Właściwościmechaniczne wybranychnanostruktur - …pbc.gda.pl/Content/12830/phd_bialoskorski_michal.pdf · Dyskretno-kontynualna natura nanostruktur, podobnie jak korpuskularno-falowa

Właściwości mechanicznewybranych nanostruktur

Michał Białoskórski

Rozprawa doktorska przygotowana pod kierunkiem

dr hab. inż. Jarosława Rybickiego, prof. ndzw. PG

Politechnika Gdańska

Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej

Gdańsk, 2010

Serdecznie dziękuję profesorowi Jarosławowi Rybickiemuza nieocenioną pomoc, wsparcie wiedzą i doświadczeniem,

za wielką cierpliwość, wiarę i wyrozumiałość.

Dziękuję Żonie i Rodzicom za pomoc i wsparcie.

Praca została wykonana w ramach grantu promotorskiego MNiSWo numerze N519 024 32/3053.

Wszystkie obliczenia wykonano na Komputerach Dużych MocyCentrum Informatycznego Trójmiejskej Akademickiej Sieci Komputerowej.

SPIS TREŚCI

Spis istotnych oznaczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. Modelowanie oddziaływań międzyatomowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Modelowanie nanostruktur węglowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Modelowanie struktury krystalicznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Cele, zakres i struktura pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Właściwości mechaniczne nanostruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Sprężystość – opis odkształceń i naprężeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1. Odkształcenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2. Naprężenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2. Równania konstytutywne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Nanostruktury jako ośrodek ciągły . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1. Hipoteza Cauchy-Borna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2. Ciągłość materii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4. Plastyczność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Model fizyczny. Warunki symulacji numerycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1. Przygotowanie próbek do symulacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1. Przygotowanie nanorurek węglowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.2. Przygotowanie nanoprętów metalowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Wielkość próbek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1. Jednorodny, jednoosiowy stan naprężeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.2. Wpływ napięcia powierzchniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.3. Liczba atomów w próbkach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.4. Nanorurki węglowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.5. Nanopręty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3. Mocowanie i obciążanie próbek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4. Prędkość propagacji wzbudzenia mechanicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4. Model matematyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1. Dynamika molekularna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2. Symulacje w zespole kanonicznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3. Model oddziaływania dla wiązań węgiel – węgiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4. Model oddziaływania dla wiązań metalicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5. Metryki strukturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.6. Całkowanie równań ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5. Narzędzia programistyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.1. Program nanoMD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2. Programy do obróbki danych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3. Poprawność działania programu nanoMD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4. Optymalizacja programu nanoMD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6. Analiza wyników symulacji numerycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1. Wyznaczanie modułu Younga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2. Wyznaczanie współczynnika Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3. Wyznaczanie modułu Kirchhoffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.4. Walidacja i weryfikacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7. Właściwości mechaniczne jednościennych nanorurek węglowych . . . . . . . . 72

7.1. Moduł Younga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.1.1. Metody doświadczalne wyznaczania modułu Younga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.1.2. Metody obliczeniowe wyznaczania modułu Younga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.1.3. Moduł Younga – wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.2. Współczynnik Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.2.1. Współczynnik Poissona dla nanorurek – wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.3. Moduł Kirchhoffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.3.1. Moduł Kirchhoffa dla nanorurek – wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.4. Granica plastyczności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8. Właściwości nanoprętów metalowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.1. Moduł Younga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.1.1. Wyniki przeprowadzonych symulacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.2. Współczynnik Poissona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.2.1. Wyniki obliczeń współczynnika Poissona dla nanoprętów . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.3. Moduł Kirchhoffa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.3.1. Moduł Kirchhoffa dla nanoprętów – wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8.4. Granica plastyczności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.4.1. Stabilność nanoprętów podczas ściskania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.4.2. Dyslokacje i poślizgi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.5. Napięcie powierzchniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.6. Asymetria właściwości mechanicznych nanostruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

10. Dodatek 1: Zestawienie wyników dla nanorurek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

11. Dodatek 2: Zestawienie wyników dla nanoprętów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

12. Dodatek 3: Wpływ asymetrii modułu Younga na zginanie belki . . . . . . . 122

13. Dodatek 4: Podręcznik użytkownika programu nanoMD . . . . . . . . . . . . . . 127

13.1. Plik wejściowy setup.in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

13.2. Plik wejściowy spec.in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

13.3. Plik wejściowy pos.xyz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

13.4. Pliki wyjściowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

13.5. Zastosowane rodzaje oddziaływań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

13.6. Zastosowane algorytmy i metody obliczeniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

13.7. Kompilacja programu nanoMD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

14. Dodatek 5: Programy do obróbki danych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

14.1. Program cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

14.2. Program vnn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

14.3. Biblioteka libmb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

14.4. Kompilacja programów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

14.4.1. Kompilacja programów użytkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

14.4.2. Kompilacja programu vnn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

14.4.3. Kompilacja biblioteki libmb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Spis istotnych oznaczeń

L – długość próbki

L0 – długość początkowa próbki

D – średnica próbki

D0 – średnica początkowa próbki

R – promień próbki (R= 12D)

R0 – promień próbki początkowy (R0= 12D0)

J – moment bezwładności przekroju próbki

a – stała sieciowa budulca

ν− – współczynnik Poissona dla ściskania

ν+ – współczynnik Poissona dla rozciągania

ν(hkl) – współczynnik Poissona dla kierunku [hkl] (pręta o orientacji przekroju (hkl)

ν(hkl)− – współczynnik Poissona dla ściskania w kierunku [hkl]

ν(hkl)+ – współczynnik Poissona dla rozciągania w kierunku [hkl]

Y− – moduł Younga dla ściskania

Y+ – moduł Younga dla rozciągania

Y (hkl) – moduł Younga dla kierunku [hkl] (pręta o orientacji przekroju (hkl)

Y(hkl)− – moduł Younga dla ściskania w kierunku [hkl]

Y(hkl)+ – moduł Younga dla rozciągania w kierunku [hkl]

G – moduł Kirchhoffa

G(hkl) – moduł Kirchhoffa dla pręta o orientacji przekroju (hkl)

ε,εt – odkształcenie wzdłuż osi pręta (wzdłużne)

εr – odkształcenie prostopadłe do osi pręta (radialne)

εkr – odkształcenie krytyczne

εk− – odkształcenie krytyczne dla ściskania

εk+ – odkształcenie krytyczne dla rozciągania

ZZ – klasa nanorurek o indeksie (0,n), zygzakowych (z ang. zigzag)

AC – klasa nanorurek o indeksie (n,n), krzesełkowych (z ang. armchair)

4

1. Wprowadzenie

W 1959 roku, na zjeździe Amerykańskiego Towarzystwa Fizycznego R. Feynman w wy-

kładzie zatytułowanym „Tam na dole jest dużo miejsca“ [1], zauważając, że zasady fizyki nic

nie mówią o niemożliwości manipulowania materią na poziomie atomów, przedstawił możliwe

kierunki działania w tym obszarze. Wraz z rozwojem technik wykorzystujących zbliżeniową

sondę skanującą zwiększał się zakres i możliwości takich manipulacji. Przełom w badaniach na

poziomie atomowym nastąpił w 1981 r., gdy Binning i Rohrer skonstruowali skaningowy mi-

kroskop tunelowy (STM) [2]. Skonstruowanie w 1986 roku mikroskopu sił atomowych (AFM)

[3] umożliwiło dotarcie do pojedynczych atomów również w materiałach nieprzewodzących.

Odkrycie w 1985 r. alotropowej odmiany węgla, fulerenów i teoretyczna identyfikacja

przestrzennej budowy cząsteczek C60 [4] zintensyfikowały działalność badawczą w obszarze

nanostruktur. W 1991 r. zostały odkryte nanorurki węglowe [5], które w przeciwieństwie

do fullerenów nie występują w przyrodzie, a z powodu różnorodności otrzymywanych

struktur nie są cząsteczkami chemicznymi. Prace nad poznaniem nanostruktur objęły również

pierwiastki inne niż węgiel i struktury inne niż fullereny czy nanorurki.

Powodem wciąż rosnącego zainteresowania nanostrukturami są niektóre ich właściwości

elektryczne, chemiczne, mechaniczne i optyczne, znacznie różniące się od właściwości tych

materiałów w skali makro. Zarówno aspekt poznawczy badań w tym obszarze, jak i możliwości

wykorzystania w elektronice, medycynie, wojsku, badaniach kosmicznych i życiu codziennym,

spowodowały zainteresowanie licznych ośrodków naukowych nanostrukturami i nanotechno-

logią.

Nanotechnologia obejmuje projektowanie, tworzenie oraz użytkowanie nanostruktur,

to znaczy takich materiałów, elementów i struktur, które co najmniej jeden z wymiarów

liniowych mają mniejszy niż sto nanometrów. Jako dolną granicę wielkości nanostruktur

Kittel [6] podaje wartość 10nm, natomiast Kelsall w [7] przyjmuje 1nm.

Lata 90-te są okresem intensywnego rozwoju metod i możliwości pomiarowych oraz mocy

obliczeniowych. Dzisiejsze możliwości pozwalają na weryfikację eksperymentalną tego, co na

początku lat 90-tych byłoby jedynie hipotezą. Z tych między innymi powodów przewidywana

w 1985 r. struktura przestrzenna fulerenów pozostawała hipoteza badawczą przez około pięć

5

1. WPROWADZENIE 6

lat, a wcześniejsze o dwanaście lat informacje o fulerenach przeszły bez echa, jako jedne

z wielu ciekawych, lecz nieweryfikowalnych hipotez [8, 9].

Na początku lat 90-tych moce obliczeniowe komputerów nie pozwalały na prowadzenie

rozbudowanych cykli eksperymentów numerycznych, dotyczących nanostruktur liczących po

kilka tysięcy atomów. Przeprowadzano jedynie pojedyncze obliczenia. Otrzymane wyniki

przyczyniły się do zrozumienia właściwości elektrycznych nanostruktur, a w krótkim czasie

również do ich zastosowania w technice.

Analiza publikacji dotyczących nanorurek pokazuje, że obecnie ma miejsce okres kon-

sumpcji osiągnięć badawczych przez praktykę. Świadczyć o tym może, między innymi, lawi-

nowy wzrost ilości publikacji dotyczących nanokompozytów. Pokonanie trudności technolo-

gicznych z uzyskaniem przemysłowych ilości pożądanych co do struktury i wielkości nanoru-

rek, przyspieszy dalszy rozwój badań podstawowych. Przedmiot wielu prowadzonych obecnie

badań stanowią szczegółowe zagadnienia techniczne [10], związane z wykorzystaniem nano-

struktur w technice cywilnej i wojskowej. Duża grupa prac dotyczy poznania nanostruktur

występujących w organizmach żywych. Wyniki te są wykorzystywane w medycynie (wirusy

i nowotwory) i farmacji (nowe generacje leków) [11]. Nanotechnologia jest obecna również

w domowych pralkach, w postaci płytek pokrytych nanocząsteczkami srebra, likwidujących

bakterie i inne organizmy jednokomórkowe.

Potrzeba szybkiego poprawnego przewidywania właściwości różnych materiałów powo-

duje, że wraz ze wzrostem mocy obliczeniowych komputerów powstają nowe metody i nowe

programy symulacyjne. I chociaż nic nie zastąpi ostatecznej weryfikacji doświadczalnej, to sy-

mulacje numeryczne pozwalają potwierdzić poprawność przeprowadzonej analizy uzyskanych

wyników doświadczalnych, przy zmniejszonej liczbie eksperymentów.

Prace opisujące właściwości fizyczne nanostruktur skupiają się głównie na właściwo-

ściach elektrycznych i magnetycznych. W literaturze dotyczącej właściwości mechanicznych

uwaga jest skupiona przede wszystkim na współczynnikach opisujących zachowanie się ma-

teriału w obszarze sprężystym: module Younga, module Kirchhoffa i współczynnika Poissona

[12]. Publikacje dotyczące modułu Younga zostaną omówione w rozdziałach 7.1.1 oraz 8.1.

Prace dotyczące modułu Kirchhoffa oraz współczynnika Poissona nanorurek zostaną omó-

wione w rozdziałach 7.3.1 i 7.2, natomiast odnoszące się do nanoprętów – w rozdziałach 8.3

i 8.2.

Badając nanostruktury, w jednych przypadkach przypisujemy im właściwości ośrodka

ciągłego, w innych opisujemy je jako ośrodek dyskretny, złożony z atomów lub cząstek.

Dyskretno-kontynualna natura nanostruktur, podobnie jak korpuskularno-falowa natura

światła, również odnosi się do zagadnień podstawowych i jest źródłem pytań dotyczących

1. WPROWADZENIE 7

tego co widzimy i czego jeszcze nie widzimy, czym jest to, co badamy i dlaczego ma takie

właściwości. Na wiele z tych pytań nie ma jeszcze odpowiedzi. Z nanostrukturami wiążą się

również inne pytania, na przykład o mechanizm nukleacji i wzrostu nanorurek, o chiralność,

którą przyjmie powstająca nanorurka i przyczyny zakończenia jej wzrostu [13, 14]. Na

obecnym etapie rozwoju technik laboratoryjnych i pomiarowych nie zawsze jest możliwe

bezpośrednie potwierdzenie powstających hipotez.

1.1. Modelowanie oddziaływań międzyatomowych

Obliczenia odnoszące się do nanostruktur wykonywane są najczęściej metodami dyna-

miki molekularnej (molecular dynamics, MD) lub metodą ciasnego wiązania (tight binding,

TB). Inne metody, na przykład modelujące oddziaływania międzyatomowe prętami o okre-

ślonych charakterystykach, mają ograniczony obszar zastosowań.

Dwie podstawowe grupy modeli to te, w których ciało stałe jest traktowane jako ośrodek

ciągły, oraz te, które uwzględniają jego budowę dyskretną (atomową). Modelowanie ciał sta-

łych jako ośrodka ciągłego wymaga stworzenia oddzielnego modelu dla każdej z właściwości

i wyznaczania eksperymentalnego stałych, charakteryzujących ten model: oddzielny model

dla właściwości sprężystych, oddzielny dla plastycznych, inny dla dyslokacji, inny dla pękania

etc. Drugą grupę tworzą modele dyskretne – o tyle prostsze i bardziej efektywne, że znając po-

tencjał sił międzyatomowych i położenie początkowe atomów, przy pomocy jednego modelu

można prowadzić jednoczesną obserwację i opis różnych zjawisk. Modele dyskretne umożli-

wiają również wyznaczenie stałych, które są potrzebne do budowy modeli ośrodka ciągłego.

Potencjał sił międzyatomowych jest funkcją skalarną i jako taki jest prostszy w stosowa-

niu, niż opis metodami ośrodka ciągłego, wykorzystujący funkcje tensorowe stanu naprężenia

i stanu odkształcenia. Metody dynamiki molekularnej są metodami numerycznymi, wymaga-

jącymi komputerów o dużej mocy obliczeniowej, natomiast modele zbudowane na funkcjach

analitycznych zazwyczaj umożliwiają szybkie obliczenia przybliżone (oszacowania).

Od trafności doboru postaci funkcji i dobrego wyznaczenia jej współczynników przez

twórcę potencjału zależy zakres możliwości jego stosowania oraz zapewnienie poprawności

i dokładności otrzymanych wyników. Rozwój fizyki, a w tym mechaniki kwantowej, przyniósł

w 1926 roku potencjał Lennarda-Jonesa, zwany też potencjałem „6–12”, do dzisiaj używany

zarówno ze względu na swoją prostotę, jak i zadowalającą zgodność wyników z doświadcze-

niem, chętnie stosowany w pracach dotyczących ogólnych zależności fizycznych oraz do testo-

wania wzorów przybliżonych, gdy nie jest konieczne otrzymanie precyzyjnych co do wartości

wyników. W pracy [15] z 2001 roku zebrano informacje dotyczące około stu postaci funkcyj-

1. WPROWADZENIE 8

nych potencjałów wykorzystywanych do symulacji właściwości materiałów. Badania wciąż

przynoszą nowe, bardziej doskonałe funkcje. Widoczne to jest na przykładzie nanorurek —

pierwsze obliczenia były wykonywane z zastosowaniem potencjału REBO (reactive empirical

bond-order) stworzonym przez Brennra[16]. Kolejne lata przyniosły, najbardziej dotychczas

rozbudowany, stworzony przez grupę Stuarta[17], potencjał AIREBO (adaptive intermole-

cular REBO). Przez długi czas potencjał AIREBO nie był wykorzystywany w symulacjach

wykonywanych metodami dynamiki molekularnej z powodu trudnej do zaimplementowania

postaci. W 2009 roku ukazał się pierwsze artykuły, w którym przedstawiono wyniki symulacji

wykonanych z wykorzystaniem potencjału AIREBO. W artykule [18], porównując szybkość

obliczeń różnymi metodami, obliczenia metodą dynamiki molekularnej wykonano z wyko-

rzystaniem potencjału AIREBO. W artykułach [19] i [20] pokazano zastosowanie potencjału

AIREBO do obliczeń właściwości mechanicznych grafenu. Natomiast w [21] obliczenia do-

tyczą zachowania łańcuchów węglowych. Artykuł [22] poświęcony jest skręcaniu nanorurek.

W odróżnieniu od obliczeń wykonywanych potencjałem Brennera, wykorzystując potencjał

AIREBO otrzymuje się wyniki wskazujące na wpływ wektora chiralnego na właściwości me-

chaniczne, zarówno nanorurek, jak i płyt grafenowych.

1.2. Modelowanie nanostruktur węglowych

Wykresy linii ugięcia nanoprętów otrzymane drogą symulacji metodą cząstek, wykresy

linii ugięcia obliczone według wzorów z wytrzymałości materiałów oraz zdjęcia uginanych

lub zginanych nanoprętów i nanorurek dają podobny obraz. Weryfikacja tych spostrzeżeń

pozwoliła stwierdzić, że zgodność obliczeń linii ugięcia otrzymanych obydwiema metodami

zachodzi w dużym zakresie średnic i długości. Zgodność tę wykorzystano do wyznaczenia

modułu Younga. Przegląd publikacji, w których wykorzystano tę zgodność do wyznaczenia

modułu Younga nanostruktur, nanorurek oraz nanoprętów, umieszczono w rozdziałach

7.1.1 oraz 8.1. Do obliczenia momentu bezwładności przekroju nanorurki przyjmowano

grubość ścianki równą 3.4A. W rozdziale 3.2.2, w celu określenia naprężeń powierzchniowych

stworzono model powłokowy, w którym ścianka nanorurki jest traktowana jako ośrodek

ciągły. Również i w tym przypadku uzyskano dobrą zgodność wyników obliczeń otrzymanych

w modelu ciągłym z wynikami uzyskanymi metodami cząstek w modelach dyskretnych.

Jednoczesny opis właściwości i zachowania nanostruktur metodami ośrodka ciągłego

i metodą cząstek jest możliwy, ponieważ oddziaływania z atomami sąsiadującymi, wynika-

jące w dynamice molekularnej z obliczeń, w metodach ośrodków ciągłych są zastąpione przez

stałe materiałowe: moduł Younga, moduł Kirchhoffa i współczynnik Poissona. Stałe te można

1. WPROWADZENIE 9

wyznaczyć eksperymentalnie lub metodami dynamiki molekularnej. Możliwość jednoczesnego

stosowania opisu ciągłego i dyskretnego wiąże się z zagadnieniem związku pomiędzy opisem

odkształcenia w terminach ośrodka ciągłego, a odpowiadającym mu opisem zmian odległości

i kątów w sieci atomowej. Określenie warunków, jakie muszą być spełnione, aby było możliwe

połączenie opisu dyskretnego z ciągłym, jest przedmiotem hipotezy Cauchy-Borna. Bardziej

szczegółowe omówienie tej hipotezy, zwanej też twierdzeniem Cauchy-Borna, zostanie przed-

stawione w rozdziale 2.3, gdzie pokazano również, jak trudności związane z zastosowaniem

hipotezy Cauchy-Borna do nanorurek zostały rozwiązane przez Arroyo i Bieliczko [23, 24].

Nie znaleziono jeszcze powszechnie akceptowanego rozstrzygnięcia, teoretycznego lub

eksperymentalnego, odnośnie grubości ściany nanorurki jednościennej. Brak takiej odpo-

wiedzi jest związany z tym, że do wyznaczenia grubości ścianki potrzebna jest znajomość

gęstości, powierzchni przekroju lub momentu bezwładności przekroju, a do ich wyznaczenia

konieczna jest znajomość grubości ścianki, którą należy znać lub przyjąć jakąś prawdopo-

dobną wartość. Ponieważ grubość ścianki jest nieznana, powszechnie stosuje się drugi sposób.

Jedyną metodą doświadczalną, w wyniku której wyznaczono moduł Younga i grubość ścianki

nanorurki bez dodatkowych założeń był eksperyment Lourie [25], w którym wykorzystano

pomiar widma częstości drgań metodą spektroskopii ramanowskiej i ich zmianę spowodo-

waną odkształceniem nanorurek. Poniżej przytoczono za [25] opis eksperymentu i sposób

obliczania moduły Younga.

Wyselekcjonowane nanorurki węglowe o znanej średnicy zatopiono w żywicy epoksydowej

i w czasie jej twardnienia utrzymywano temperaturę 295K. Następnie próbki poddano

schładzaniu do temperatury 223K, 153K i 81K, w każdej z nich badano widmo częstotliwości.

Pomiędzy przesunięciem widma a skróceniem nanorurki zachodzi zależność:

ε=−(

1− ω0ωq

)

, (1.1)

gdzie: ε - skrócenie względne nanorurki, ω0 - częstotliwość początkowa (przy temperaturze

295K), ωq - częstotliwość po obniżeniu temperatury.

Zachowanie materiałów kompozytowych opisuje jednocześnie zależność [25]:

ε=∆α∆T

1+ ΦntΦmYntYm

, (1.2)

gdzie: ∆T - różnica temperatur, ∆α - różnica współczynników rozszerzalności cieplnej

nanorurek i żywicy, Φnt=1−Φm - udział objętościowy napełniacza (nanorurek) w próbce,Φm - udział objętościowy osnowy (matrycy) w próbce, Ynt - moduł Younga nanorurki, Ym -

moduł Younga żywicy.

1. WPROWADZENIE 10

Z porównania powyższych zależności wyznaczono moduł Younga nanorurki Ynt. W wy-

niku opracowania otrzymanych wyników uzyskano wartości 2.8÷3.6 TPa. Znając Y , ε i śred-nicę rurki obliczono również jej grubość, otrzymując wartość około 1A.

Autorowi nie udało się odnaleźć w literaturze żadnej publikacji dotyczącej powtórzenia

tych badań lub odnoszącej się do nich polemiki. Jedyne uwagi pozwalające domyślać się

przyczyn zaniechania stosowania tego sposobu, to spostrzeżenie [26] dotyczące niewystarcza-

jącego przekazywaniu obciążenia z osnowy na umocnienie, co uniemożliwia pełne wykorzy-

stanie właściwości mechanicznych nanorurek, gdyż niejako wyślizgują się z żywicy podczas

rozciąga materiału, oraz uwaga [27], mówiąca o tym, że wielka powierzchnia rozdziału faz

w nanokompozytach, nawet przy niewielkim stopniu napełnienia powoduje, że znaczną część

matrycy polimerowej stanowi warstwa graniczna o właściwościach znaczne różniących się od

właściwości polimeru bez wypełniacza. Obydwie przyczyny powodują trudne do określenia

granice błędu dla tak uzyskanej wartości Y .

W 1996 Yakobson i inni [28] przedstawili sposób obliczania grubości ścianki nanorurki, δ,

wychodząc z modelu powłokowego. W modelu powłokowym nanorurek wykorzystali wzory na

sztywność giętną, DP , oraz na sztywność na rozciąganie, CP , stosowane w teorii cienkich płyt

i powłok kołowosymetrycznych. Przyjmując do obliczeń sztywność giętną jednostki długości

obwodu nanorurki:

DP =Y δ3

12(1−ν2) (1.3)

oraz sztywność na rozciąganie jednostki długości obwodu nanorurki:

CP =Y δ, (1.4)

i podstawiając do nich wartości otrzymane w wyniku symulacji numerycznych: DP =0.85 eV,

CP =0.59 eV/atom i współczynnik Poissone’a ν=0.19, uzyskano grubość ścianki 0.66A oraz

moduł Younga 5.5TPa. W wyniku obliczeń wykonywanych tym sposobem, z wykorzystaniem

innych potencjałów, otrzymywano różniące się wyniki, zawsze jednak w pobliżu 1A, a więc

zbliżone do rozciągłości orbitali π. Omówienie wyników zawiera artykuł [29].

W artykułach [30, 31] wykazano, że błąd wynikający z przyjęcia modelu powłokowego

do nanorurek wynosi 40%. Jeżeli uwzględni się ten błąd, to grubość nanorurki nadal będzie

mniejsza od 2A. W artykule [32] poinformowano o znalezieniu w nanorurkach wielościennych

wewnętrznej rurki o średnicy 3.0A, co wskazuje na grubość ścianki mniejszą niż 3.4A. Różnice

wyników obliczeń i brak weryfikacji eksperymentalnej spowodowały, że po początkowym

okresie wahań, czy grubości ścianki ma być równa rozciągłości orbitali π, czy odległości

pomiędzy płaszczyznami grafenowymi wynoszącej 3.4A, przyjęło się stosować tę drugą, stałą

wartość. Próbą uniknięcia problemu jest również wprowadzenie modułu Younga odniesionego

do powierzchni nanorurki [33]. Arbitralne przyjęcie 3.4A pozwala jedynie na porównywanie

1. WPROWADZENIE 11

wyników uzyskiwanych dla tej samej grubości ścianki, bez możliwości porównania z innymi

materiałami, na przykład z diamentem lub wiskersami. Porównując wyniki uzyskane dla tej

samej grubości ścianki, wciąż nie znamy wartości modułu Younga i innych wielkości zależnych

od grubości ścianki. W prezentowanej pracy do obliczeń przyjęto standardową wartość 3.4A.

1.3. Modelowanie struktury krystalicznej

Drugim rodzajem nanostruktur, będących przedmiotem symulacji, są nanopręty zbudo-

wane z idealnych monokryształów, bez poślizgów, zbliźniaczeń lub dyslokacji. Związek po-

między energią odkształcenia sprężystego, a zmianą energii wiązań międzyatomowych będzie

omówiony w rozdziale 2.3, natomiast wpływ struktury krystalicznej na właściwości mecha-

niczne w rozdziale 2.4.

Asymetria funkcji potencjału wynikająca z ograniczonych możliwości zbliżania się ato-

mów i z nieograniczonych możliwości oddalania się od siebie, wpływa na asymetrię właściwo-

ści mechanicznych przy zmianie kierunku działania siły, ściskaniu lub rozciąganiu. Asymetrię

właściwości stwierdzono również podczas eksperymentów z ciałami polikrystalicznymi, gdzie

wpływ na jej wielkość mają zjawiska zachodzące na granicy ziaren. Na wykresach pętli hi-

sterezy podczas następujących po sobie cykli rozciągania i ściskania również widoczna jest

asymetria właściwościach mechanicznych.

Asymetria modułu Younga, wynikająca z asymetrii potencjału, w zakresie odkształceń

sprężystych może osiągnąć wartość około 3%. Symulacje numeryczne, w których obserwo-

wano asymetrię właściwości mechanicznych monokryształów, były co prawda fragmenta-

ryczne [34–36], lecz ich wyniki wskazują na istnienie znacznie większej asymetrii właściwości

mechanicznych przy zmianie kierunku obciążania niż różnica wynikająca z asymetrii funkcji

potencjału względem położenia równowagi. Do symulacji komputerowych tych właściwości

wykorzystywano metodę cząstek.

1.4. Cele, zakres i struktura pracy

W tytule zawarty jest ogólny cel pracy: określenie właściwości mechanicznych nanostruk-

tur. Przegląd wskazanych we wstępie źródeł oraz analiza dostępnych możliwości badawczych

pozwoliły zawęzić cele badawcze do nanorurek i nanoprętów, a metody badawcze do symulacji

numerycznych.

Celem pracy w odniesieniu do jednościennych nanorurek węglowych było zbadanie

wpływu chiralności na ich właściwości mechaniczne. Opublikowane badania obejmowały

1. WPROWADZENIE 12

zawsze obydwa rodzaje rurek achiralnych i niekiedy kilka rurek o przypadkowo wybranej

chiralności. W programie badań umieszczono wszystkie rurki o chiralności od (0,5) do (20,20),

o długości 170A każda.

Realizacja celu obejmowała następujące zadania:

– wybór potencjału

– określenie modułu Younga dla nanorurek chiralnych i achiralnych, poczynając od

średnicy 5A, aż do zaniku wpływu średnicy na wartość modułu;

– określenie modułu Kirchhoffa w zakresie takim, jak dla modułu Younga;

– określenie współczynnika Poissona w badanym zakresie;

– zbadanie odmienności zachowania nanorurek przy rozciąganiu i ściskaniu w zakresie

sprężystym;

Drugą grupę nanostruktur objętych programem badań stanowiły nanopręty metalowe. Jako

cele pracy w odniesieniu do nanoprętów postawiono systematyczne przebadanie zachowa-

nia się nanoprętów monokrystalicznych pod wpływem rozciągania i ściskania dla różnych

kierunków krystalograficznych.

Realizacja celu obejmowała następujące zadania:

– wybór struktury i kierunków krystalograficznych;

– wybór potencjału i pierwiastków;

– określenie modułu Younga dla ściskania i rozciągania;

– określenie modułu Kirchhoffa w zakresie takim jak dla modułu Younga;

– określenie współczynnika Poissona w badanym zakresie;

Do zrealizowania tak postawionych celów poznawczych potrzebne były odpowiednie narzę-

dzia. Celem pracy, wynikającym z tej potrzeby, było stworzenie narzędzia, które pozwoli

zrealizować powyższe zadania.

Realizacja tego celu obejmowała następujące zadania:

– wybór sposobu modelowania oddziaływań międzyatomowych;

– wybór sposobu modelowania struktury krystalograficznej;

– stworzenie zasadniczego programu symulacyjnego;

– stworzenie programów towarzyszących, do przetwarzania i wizualizacji wyników.

Struktura niniejszej pracy przedstawia się następująco.

W rozdziale 2 przedstawiano opis właściwości mechanicznych za pomocą teorii conti-

nuum w odniesieniu do modelowania nanostruktur.

W rozdziale 3 przedstawiano model fizyczny przeprowadzanego eksperymentu nume-

rycznego. Opisano sposób przygotowania próbek, określono rozmiary próbek, oraz wielość

1. WPROWADZENIE 13

powstających naprężeń powierzchniowych związanych z rozmiarami próbki. W rozdziale tym

przedstawiano także zastosowany w przeprowadzonych eksperymentach sposób mocowania

i obciążania próbek.

W rozdziale 4 przedstawiono model matematyczny zastosowany do opisu zaproponowa-

nego modelu fizycznego. W szczególności opisano użyte metody obliczeniowe – dynamikę mo-

lekularną, wykorzystane modele oddziaływań międzyatomowych, stworzone do opisu zmian

geometrii próbek – metryki strukturalne oraz zastosowane algorytmy numeryczne.

W rozdziale 5 opisano stworzony w ramach niniejszej pracy autorski program nanoMD

oraz zestaw programów do służących do przygotowania danych wejściowych i programów do

obróbki wyników przeprowadzonych symulacji komputerowych.

W rozdziale 6 przedstawiono sposób wyznaczania wartości opisujących właściwości

mechaniczne nanostruktur z wyników przeprowadzonych symulacji komputerowych wraz

z oszacowaniem niepewności wyznaczanych wartości.

Analizę wyników symulacji dotyczących jednościennych nanorurek węglowych przedsta-

wiono w rozdziale 7. W szczególności opisano wyznaczone moduł Younga, współczynnik

Poissona, moduł Kirchhoffa oraz określono granicę plastyczności.

Analizę wyników otrzymanych z symulacji monokrystalicznych nanoprętów metalowych

zbudowanych z pierwiastków: Ni, Cu, Au i Pt przedstawiono w rozdziale 8. Opisano

wyznaczone moduł Younga, współczynnik Poissona, moduł Kirchhoffa oraz określono granicę

plastyczności i defekty strukturalne pojawiające się po jej przekroczeniu.

Rozdział 9 zawiera podsumowanie uwagi końcowe i kierunki dalszych badań.

W pierwszych dwóch dodatkach umieszczono wyznaczone wartości właściwości mecha-

nicznych oraz parametry wykorzystanych w symulacjach próbek. W dodatku 3 przedstawiono

analizę wpływu asymetrii modułu Younga na krzywiznę ugięcia. W dodatku 4 zamieszczono

„Podręcznik użytkownika” do autorskiego programu nanoMD , natomiast w dodatku 5 za-

mieszczono opis wybranych programów do obróbki danych stworzonych w ramach niniejszej

pracy.

2. Właściwości mechaniczne nanostruktur

Jednym z typów właściwości fizycznych ciał są właściwości mechaniczne, które charak-

teryzują ich zachowanie pod wpływem przyłożonego obciążenia – zmiany kształtu, struktury

lub ciągłości i określane są przez moduł Younga, granicę sprężystości, granicę wytrzymałości

na zrywanie, moduł Kirchhoffa, granicę wytrzymałości na skręcanie, moduł Poissona, wy-

trzymałość zmęczeniową, kruchość, ciągliwość, twardość. Wartości tych wielkości zależą od

materiału, prędkości obciążania, temperatury, czasu, historii, obecności defektów, itd. W ma-

teriałach anizotropowych na te wartości wpływa również usytuowanie kierunku działania siły

względem płaszczyzn krystalicznych. W materiałach polikrystalicznych istnieje związek po-

między tymi wartościami a wielkością ziaren i sposobem ich ułożenia. Ze względu na ciągle

zbyt małą moc obliczeniową współczesnych komputerów, określenie właściwości mechanicz-

nych ciał polikrystalicznych jest możliwe jedynie jako wynik serii badań laboratoryjnych,

natomiast dla monokryształów możliwe jest wyznaczenie ich w drodze symulacji numerycz-

nych i odnosimy je wówczas do struktury idealnej.

Rozwój inżynierii materiałowej, idący między innymi w kierunku wytwarzania materia-

łów o założonych z góry właściwościach powoduje, że konieczne jest uprzednie teoretyczne

badanie właściwości materiału, a dopiero potem jego wytwarzanie. Przykładów dostarcza

rozwój techniki komputerowej, gdzie postęp w miniaturyzacji elementów poprzedzają osią-

gnięcia i badania teoretyczne. Również wyznaczenie właściwości mechanicznych materiału

na drodze teoretycznej, przez powiązanie ich z budową atomową, z każdym rokiem zyskuje

nowe rozwiązania. Opisany i wykorzystany w prezentowanej pracy autorski program nanoMD

wpisuje się w ten nurt.

2.1. Sprężystość – opis odkształceń i naprężeń

Przyłożenie sił powoduje zmianę kształtu, wyrażającą się w zmianie odległości pomię-

dzy obserwowanymi punktami ciała oraz kątów pomiędzy łączącymi je liniami. Odwracalne

zmiany kształtu nazywamy odkształceniami sprężystymi. Obciążanie może się odbywać po-

przez siły skupione, siły powierzchniowe lub masowe (objętościowe). Energia odkształcenia,

powodująca zmiany kształtu w skali makro, zmienia energię wiązań międzyatomowych przez

14

2. WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE NANOSTRUKTUR 15

zmianę odległości i kątów między atomami. Do lokalnego opisu stanu ośrodka ciągłego wy-

korzystuje się pojęcia naprężenia oraz odkształcenia liniowego (wydłużenia) i odkształcenia

kątowego. Do ujednolicenia nazw, oznaczeń, określeń i definicji związanych ze stanem od-

kształceń i naprężeń wykorzystano notację przyjętą w wykładzie Bonneta [37], w którym

istotne dla naszych analiz wielkości ujęto w układzie współrzędnych prostokątnych, pomija-

jąc uogólnienia na układ współrzędnych krzywoliniowych.

p

q1

q2

dxq2

dxq1

P

Q2

Q1

XP

xp

dXQ1

dXQ2

X1,x1

'

X3,x3

X2,x2

Rysunek 2.1. Zmiany położenia bliskich punktów przed i po odkształceniu

2.1.1. Odkształcenia

We wszystkich podanych poniżej definicjach i określeniach przyjęto, że wielkie litery

odnoszą się do konfiguracji początkowej - niezdeformowanego układu odniesienia, a małe

litery odnoszą się do konfiguracji odkształconej. Wszystkie zależności będą odnoszone do

prostokątnego układu współrzędnych (x1,x2,x3) - rysunek 2.1. W ciele wyróżniamy punkt P

oraz znajdujące się w jego bliskim otoczeniu punkty Q1 i Q2. Nowe położenie punktów, po

zmianie spowodowanej deformacją ciała, opisuje funkcja Φ:

x =Φ(X ), (2.1)

można więc zapisać:

xp=Φ(XP ), (2.2)

xq1 =Φ(XQ1), (2.3)

xq2 =Φ(XQ2). (2.4)


Zmiany względnego położenia punktów P , Q1 i Q2 opisują zależności:

dX1 =XQ1−XP , dX2 =XQ2−XP , (2.5)

dx1 =xq1−xp=Φ(XP +dX1)−Φ(XP ), (2.6)

dx2 =xq2−xp=Φ(XP +dX2)−Φ(XP ). (2.7)

Wykorzystując tensor gradientu deformacji:

F =∂x

∂X=Φ(X ), (2.8)

można przyrosty x wyrazić jako funkcję X :

dx1 =FdX1 , (2.9)

dx2 =FdX2 . (2.10)

Tensor gradientu deformacji jest tensorem o walencji dwa i umożliwia opis odkształcenia

elementu, za wyjątkiem sztywnego obrotu. Powyższe zależności pozwalają wprowadzić pięć

różnych miar odkształcenia:

1. tensor deformacji Cauchy-Greena (prawy) G:

dx1 ·dx2 = dX1 ·GdX2 , (2.11)

gdzie G wyraża się wzorem:

G =FTF ; (2.12)

2. tensor deformacji Cauchy-Greena (lewy) lub tensor Fingera b:

dX1 ·dX2 = dx1 ·b−1dx2 , (2.13)

gdzie b przyjmuje postać:

b =FFT ; (2.14)

3. tensor deformacji Greena-Lagrange’a (Greena-Saint-Venanta) E :

12(dx1dx2 −dX1dX2 )= dX1 ·EdX2 , (2.15)

gdzie:

E =12(G−I ); (2.16)

4. tensor deformacji Almansiego e :

12(dx1dx2 −dX1dX2 )= dx1 ·edx2 , (2.17)

gdzie:

e =12(I −b−1). (2.18)

Pomiędzy elementami objętości przed i po transformacji zachodzi związek:

dv=JdV, (2.19)

gdzie J =detF – jakobian tensora gradientu deformacji.


Jeżeli składowe tensora odkształceń wyrazimy przez składowe tensora przemieszczeń u =

x −X i pominiemy człony nieliniowe, to otrzymamy:

Eij =12

[ ∂uj∂Xi+∂ui∂Xj

]

, (2.20)

eij =12

[∂uj∂xi+∂ui∂xj

]

. (2.21)

Jeżeli ponadto ma miejsce:∂X

∂x≪ 1, (2.22)

wówczas wybór układu odniesienia, zdeformowanego lub niezdeformowanego, nie wpływa na

wynik i otrzymujemy

5. infinitenzymalny tensor odkształceń Cauchy’ego ε wyrażony przez przesunięcia:

εij =12

[∂uj∂xi+∂ui∂xj

]

. (2.23)

Oprócz opisu tensorowego, (2.12) do (2.18), lub zapisu we współrzędnych, (2.20) do

(2.23), znane jest rozwiązanie zaproponowane przez Hilla, w którym przyjmując jako miarę

wydłużenia stosunek długości odkształconego elementu do jego długości początkowej, ζ =

l/l0, rozwijając funkcję ε= f(ζ) w szereg Taylora w otoczeniu punktu ζ =1 otrzymuje się:

f(ζ)= f(1)+ζ−11!f ′(1)+

(ζ−1)22!f ′′(1)+ ··· (2.24)

Uwzględniając to, że f(1) = 0, f(1) = 1, f(ζ) jest funkcją monotonicznie rosnącą, a ζ jest

małe w porównaniu z jednością, w pierwszych członach rozwinięcia wyróżnia się składnik:

ε(n)=ζ2n−12n, (2.25)

z którego otrzymuje się dla różnych wartości n:

dla n=-1 ε= ζ−2 −1−2 =

12l2−l20l2 ,

dla n= 0 ε= limn→0ζ2n−12n = lnζ = ln(

ll0),

dla n= 12 ε= ζ−1= ∆ll0 ,dla n= 1 ε= ζ

2−12 =

12l2−l20l20.

Wydłużenie właściwe logarytmiczne można również otrzymać z ogólnej definicji wydłużenia:

ε=∫ lk

l0

dl

l= lnl∣

∣

∣

lk

l0= ln(

1+∆ll0

)

, (2.26)

z którego po rozwinięciu w szereg otrzymujemy:

ε= ln(

1+∆ll0

)

=∆ll0− 12∆ll0+ ···. (2.27)

Odrzucając człony nieliniowe otrzymujemy infinitenzymalny tensor Cauchy’ego:

ε=∆ll0. (2.28)

W niniejszej pracy wykorzystano pełną postać wydłużenia właściwego logarytmicznego,

ponieważ dla nanostruktur możliwe są duże odkształcenia, kiedy nie jest spełniony warunek

∆l≪ l0.


2.1.2. Naprężenia

Siły wewnętrzne wyraża wektor naprężenia, definiowany w układzie ciała odkształconego

jako:

t(n)= lim∆a→0

∆p∆a, (2.29)

gdzie n jest wersorem normalnym do elementu powierzchni ∆a. W układzie współrzędnych

wyznaczonym wersorami (e1,e2,e3) możemy wyznaczyć składowe tensora naprężeń [σij ],

gdzie i jest kierunkiem normalnym do powierzchni, a j - kierunkiem rzutowania siły

przyłożonej do tej powierzchni.

Dla dowolnej powierzchni określonej wersorem n zachodzi związek:

t(n)=σn , (2.30)

gdzie tensor naprężeń Cauchy’ego:

σ=3∑

i,j=1

σijei⊗ej (2.31)

określa stan naprężeń odniesiony do konfiguracji odkształconej (⊗ – symbol iloczynu dia-dycznego).

Stan naprężeń w konfiguracji początkowej opisują tensory Pioli-Kirchhoffa. Ponieważ

element powierzchni dA w układzie nieodkształconym przekształca się w da w układzie

odkształconym, to siłę dp działającą na element da =nda możemy zapisać jako:

dp = tda=σda . (2.32)

Ponieważ da =JF−TdA, więc:

dp =JσF−TdA=K1dA. (2.33)

Pierwszy tensor naprężeń Pioli-Kirchhoffa:

K1= JσF−T (2.34)

nazywany jest też tensorem naprężeń Lagrange’a.

Wprowadza się również symetryczny tensor naprężeń w układzie nieodkształconym -

drugi tensor Pioli-Kirchhoffa K2:

K2=F−1K1, (2.35)

K2=JF−1σF−T . (2.36)

Tensor naprężeń σ można wyrazić się przez tensory Pioli-Kirchhoffa:

σ=J−1K1F−T , (2.37)

σ=J−1FK2FT . (2.38)

Tensory Pioli-Kirchhoffa łączą w sobie pole odkształceń z polem naprężeń i są wyko-

rzystywane do analizy zależności pomiędzy tymi polami, w tym również do analizy równań


konstytutywnych, p. rozdz. 2.3. W zależności od wielkości odkształceń oraz od przedmiotu

analizy stosowane są różne miary deformacji i różne sposoby ich zapisu.

2.2. Równania konstytutywne

Powiązanie pola naprężeń z polem odkształceń następuje poprzez równania konstytu-

tywne. Historycznie pierwszym takim równaniem było prawo Hooka w postaci:

∆l=YF l

A. (2.39)

Energia właściwa odkształcenia sprężystego dla tego przypadku ma postać:

Λ=LeV=12F∆lAl=12σε, (2.40)

gdzie:

Le – praca odkształcenia sprężystego,

A – powierzchnia przekroju rozciąganego elementu,

F – przyłożona siła rozciągająca,

l – długość początkowa,

∆l – przyrost długości.

W zapisie tensorowym dla przypadku ogólnego prawo Hooka przybiera postać:

K2=CGE , (2.41)

gdzie:

K2 – tensor naprężeń - drugi tensor naprężeń Pioli-Kirchhoffa,

E – tensor deformacji Greena,

CG – tensor sztywności.

Pomiędzy energią właściwą odkształcenia sprężystego W , a tensorem sztywności zachodzi

związek:

CG=∂2 W

∂E∂E. (2.42)

W klasycznej teorii sprężystości przyjmuje się izotermiczny przebieg procesu odkształcenia,

a praca własna odkształcenia równa się przyrostowi energii potencjalnej sił sprężystości.

Ponadto w przybliżeniu liniowym, dla małych odkształceń, ∆l≪ l, odrzucamy wszystkiewyrazy wyższego rzędu niż pierwszy, a wówczas prawo Hooka sprowadza się do postaci:

σ=Cε, (2.43)

gdzie:

σ – tensor naprężeń Cauchy’ego,

ε – infinitenzymalny tensor naprężeń Lagrange’a,


C – tensor sztywności odniesiony do infinitenzymalnego tensora naprężeń:

C =∂2 W

∂ε∂ε. (2.44)

W dalszym ciągu będzie wykorzystywana ta właśnie forma prawa Hooka, gdyż umoż-

liwia częściowe uproszczenie zapisu, bez utraty potrzebnej ogólności. Obecnie najczęściej

stosowane sposoby zapisu to zapis tensorowy oraz zapis w składowych z wykorzystaniem

umowy sumacyjnej. Obydwa sposoby pozwalają na zwartą postać zapisu i są wykorzysty-

wane w rozważaniach ogólnych. Zastosowania wymagają rozpisania tych wzorów w formie

rozwiniętej. Złożoność wzorów spowodowała powstanie wielu różnych uproszczeń i specjal-

nych sposobów zapisu. Podobnie jak w poprzednim paragrafie, zebrano poniżej potrzebne

definicje, wzory i określenia dla ujednolicenia zapisów i nazw.

W ustalonym ortonormalnym układzie współrzędnych xi (i = 1,2,3) możemy zapisać

relacje pomiędzy naprężeniami i odkształceniami jako:

σij = cijklεkl, (2.45)

gdzie cijkl - składowe tensora sztywności sprężystej materiału spełniające równanie:

cijkl=∂2 W

∂εij∂εkl, (2.46)

gdzie εij - składowe tensora odkształceń (2.23).

Wyrażając odkształcenia przez naprężenia, z równania (2.45) otrzymujemy:

εij = sijklσkl, (2.47)

gdzie sijkl - składowe tensora podatności sprężystej.

Wszystkie omawiane tensory są tensorami symetrycznymi, co zmniejsza liczbę niezależ-

nych składowych. Pomiędzy składowymi tensora podatności sprężystej istnieje wiele związ-

ków, wynikających z symetrii struktur, do których się odnoszą. W przypadku ciała izotro-

powego tensor podatności sprężystej ma jedynie dwie niezależne składowe.

Symetria tensorów naprężeń i odkształceń powoduje zmniejszenie liczby niezależnych

składowych do sześciu, a to umożliwia uproszczenie zapisu. Najczęściej stosowany jest uprosz-

czony jednowskaźnikowy sposób zapisu zaproponowany przez Voighta: ε11 → ε1,...ε23 →ε4,... i podobnie dla σij . Wspomniana redukcja liczby niezależnych składowych tensorów

podatności i sztywności sprężystej umożliwia zapisanie ich w postaci macierzy 6×6, z zasto-sowaniem identycznych zamian wskaźników przy przechodzeniu z jednego sposobu zapisu na

drugi: s1111→ s11 ...s2323→ s44 ... według zasady zamiany wskaźników:

11→ 1; 22→ 2; 33→ 3; 23=32→ 4; 13=31→ 5; 12=21→ 6. (2.48)


Zapisanie tych zależności w postaci macierzowej jest w wielu zastosowaniach wygodniejsze

i czytelniejsze od zapisu wyłącznie wskaźnikowego. Należy jednak pamiętać, że nie są to

tensory i przechodząc do innego układu odniesienia należy powrócić do zapisu tensorowego.

Związki istniejące pomiędzy elementami macierzy odkształceń: εm = εij dla i= j oraz

εm=2εij dla i 6= j, powodują, że w zapisie εi= sijσj , macierz [sij ] wyraża się przez elementy[sijkl] jak niżej:

s11 s12 s13 s14 s15 s16s22 s23 s24 s25 s26

s33 s34 s35 s36s44 s45 s46

s55 s56s66

=

s1111 s1122 s1133 2s1123 2s1131 2s1112s2222 s2233 2s2223 2s2231 2s2212

s3333 2s3323 2s3331 2s33124s2323 4s2331 4s2312

4s3131 4s31124s1212

Dla omawianych w pracy kryształów o sieci regularnej pomiędzy składowymi tensora S

zachodzą związki:s1111= s2222= s3333,

s1122= s1133= s2233,

s1212= s1313= s2323,

pozostałe sijkl=0

(2.49)

lub w zapisie zredukowanym (Voighta):

s11= s22= s33,

s12= s13= s23,

s66= s55= s44,

pozostałe sij =0.

(2.50)

Ciała o strukturze krystalicznej regularnej mają jedynie trzy niezależne składowe macierzy

sztywności sprężystej. W układzie współrzędnych związanym z krawędziami komórki elemen-

tarnej, macierze podatności wyrażone przez stałe Y , G oraz ν, przedstawiające odpowiednio

moduł Younga, moduł Kirchhoffa oraz współczynnik Poissona, mają postać:

S=

1/Y −ν/Y −ν/Y 0 0 0−ν/Y 1/Y −ν/Y 0 0 0−ν/Y −ν/Y 1/Y 0 0 00 0 0 1/G 0 00 0 0 0 1/G 00 0 0 0 0 1/G

(2.51)

Elementy macierzy sztywności sprężystej C wyrażają się przez elementy macierzy podatności

związkami:

c11=s11+s12

(s11−s12)(s11+2s12),

c12=−s12

(s11−s12)(s11+2s12),

c44=1s44.

(2.52)


W ciałach izotropowych dodatkowo zachodzi związek:

s44= s55= s66=2(s11−s12), (2.53)

dający zależność pomiędzy stałymi Y , ν i G postaci:

G=Y

2(1+ν). (2.54)

Dla kierunków krystalograficznych 〈001〉 moduł Younga ma tę samą wartość dla każ-dego z kierunków leżących w płaszczyźnie podstawowej i wyznaczamy ją w warunkach jedno-

osiowego, jednorodnego stanu naprężeń. Wyrażając moduł Younga przez elementy macierzy

podatności sprężystej sij otrzymujemy dla badanych kierunków krystalograficznych poniższe

wzory [38]:

– dla kierunków 〈001〉:Y (001)=

1s11, (2.55)


42s11+2s12+s44

, (2.56)


3s11+2s12+s44

. (2.57)

Wyznaczania stałych materiałowych na drodze teoretycznej początkowo nie miało na

celu zastosowań praktycznych, a jedynie sprawdzenie poprawności analizowanego modelu

oddziaływań międzyatomowych. Dzisiaj, gdy możliwości badawcze i techniczne pozwalają

na wytwarzanie materiałów o ustalonych wcześniej właściwościach, ma ono również cel prak-

tyczny. Nie zmienia to faktu, że większość wykorzystywanych w technice materiałów to metale

polikrystaliczne, a dla nich, z powodu dużej ilości zmiennych powiązanych w sposób nieli-

niowy, jedyną możliwością wyznaczenia stałych materiałowych jest sposób eksperymentalny.

2.3. Nanostruktury jako ośrodek ciągły

Od momentu sformułowania teorii atomowej budowy materii podejmowano wiele prób

wyjaśnienia sposobu, w jaki siły międzyatomowe przekładają się na właściwości ciała stałego

oraz w jaki sposób obciążenie zewnętrzne wpływa na siły wewnętrzne i na położenie atomów.

Pierwsze prace dotyczące tych zagadnień, to prace Fresnela (1820) i Naviera (1821). Przed-

stawione w nich sposoby rozwiązania nie przyczyniły się do dalszego rozwoju nauki. Ale już

w 1822 r. Cauchy publikuje pracę, w której do opisu odkształcenia ciała stałego wykorzy-

stuje tensory i wprowadza równania konstytutywne. Opis Cauchy’ego obejmował niewielki

wycinek tego, co stanowi obecnie przedmiot zainteresowania mechaniki ośrodków ciągłych

i posługiwał się tylko jednym równaniem konstytutywnym. Publikacja ta zapoczątkowała


jednak metodę opisu ośrodka ciągłego stosowaną i rozwijaną do naszych czasów. Cauchy

sformułował wówczas tezę, że ruch atomów jest zgodny z ogólną deformacją ośrodka. Temat

ten podejmowali również na przełomie XIX i XX w. Voight i Poincare. W drugiej połowie

XX w. badania substancji tworzących struktury krystaliczne dotyczyły głównie właściwości

ciał polikrystalicznych, powstawania i rozwoju dyslokacji, właściwości warstwy powierzchnio-

wej i przebudowy struktury krystalicznej. Na postęp prac dotyczących nanostruktur wpły-

nął wzrost możliwości badawczych i pomiarowych. Rozwój nanotechnologii oraz badania nad

fullerenami i nanorurkami wpłynęły na intensyfikację badań dążących do połączenia opisu

świata atomów z opisem ośrodka ciągłego, na wyjaśnienie związku pomiędzy tym, co się

dzieje w skali makro, a tym, co zachodzi na poziomie atomowym.

2.3.1. Hipoteza Cauchy-Borna

Wspomniana wcześniej hipoteza Cauchy’ego mówi ogólnie o zgodności odkształcenia

lokalnego z odkształceniem całkowitym. W 1919 roku Born zawęża zagadnienie do ciał kry-

stalicznych, formułując hipotezę o odwzorowaniu odkształcenia ciała jako ośrodka ciągłego na

deformację elementarnych komórek krystalicznych, a w roku 1954 wraz z Huangiem nadają

tej teorii formę uogólnienia matematycznego. Hipoteza ta zakłada wspomniane odwzoro-

wanie odkształcenia globalnego na odkształcenie lokalne oraz równość energii odkształcenia

sprężystego i zmiany energii wiązań atomowych. Odkształcenie lokalne odnosi się do defor-

macji komórki elementarnej Bravaisa, do ruchu jej krawędzi, a więc atomów w narożach lub

na krawędziach komórki. Ruch atomów sieci krystalicznej związanych ze ścianami (fcc) lub

z wnętrzem komórki (bcc) wynika z ruchu krawędzi komórki. Przyjęło się nazywać ją hipotezą

(lub prawem) Cauchy-Borna. Pięćdziesiąt lat po jej sformułowaniu zauważono przydatność

tej hipotezy przy badaniach nanostruktur metodami dynamiki molekularnej, najlepiej spraw-

dzającej się metody symulacji nanostruktur. Hipoteza Cauchy-Borna jest wykorzystywana

jako uzasadnienie bezpośredniego przejścia od energii oddziaływań międzyatomowych do

energii odkształcenia sprężystego.

Nanostrukturze złożonej z M atomów przypisujemy energię Uc zgromadzoną w wiązaniach

atomowych:

Uc=U(x1,x2,x3,... ,xM ), (2.58)

gdzie xk jest wektorem wodzącym atomu k. Jeżeli V (Rij ;Rjk,k 6= i,j) jest potencjałem sił,który jest zarazem energią wiązania, pomiędzy atomami i oraz j, a ponadto zależy od długości


pozostałych wiązań, to całkowitą energię potencjalną rozpatrywanej nanostruktury możemy

zapisać jako:

Uc=M∑

i<j

V (Rij ;Rjk,k 6= i,j). (2.59)

Wektor rij , będący obrazem wiązania pomiędzy atomami i oraz j przed odkształceniem

nanostruktury, po odkształceniu przechodzi w wektor:

Rij =Frij , (2.60)

gdzie F jest tensorem gradientu deformacji (2.8).

Powyższa zależność jest silnym ograniczeniem dla możliwości stosowania hipotezy

Cauchy-Borna, ponieważ dla ośrodka ciągłego jest to zależność różniczkowa:

dx =FdX (2.61)

i jedynymi jej ograniczeniami są ciągłość i istnienie pierwszej pochodnej, natomiast w ukła-

dzie dyskretnym zależność (2.60) jest słuszna jedynie wówczas, gdy gradient deformacji jest

stały.

Wyrażając długość wektora Rij w postaci zależnej od tensora odkształceń Greena (2.11):

Rij =√

Rij ·Rij = rij√

I +2NijE ·Nij , (2.62)

gdzie:

rij =√rij ·rij ,

Nij = rij/rij ,

można wyrazić potencjał V jako zależny od tensora odkształceń Greena E :

V (E)=V [Rij(E);Rjk(E),k 6= i,j]. (2.63)

Korzystając z hipotezy Cauchy-Borna można gęstość energii odkształcenia sprężystego dla

ośrodka ciągłego wyrazić przez gęstość energii wiązań atomowych:

W (E)=12

∑

1≤i≤nV (Rij(E);Rjk(E),k 6= i,j)Ω

, (2.64)

gdzie:

Ω – średnia objętość przypadająca na jeden atom,

n – liczba atomów jakie tworzą wiązanie z atomem i.

W wyniku otrzymujemy średnią energię potencjalną na atom.

Pochodna energii odkształcenia daje w wyniku drugi tensor naprężeń Pioli-Kirchhoffa K2:

K2=∂W

∂E. (2.65)

Pochodna drugiego tensora naprężeń Pioli Kirchhoffa daje tensor sprężystości:

C =∂2 W

∂E∂E. (2.66)


Dla E = 0 otrzymujemy dla przybliżenia liniowego tensor sprężystości czwartego rzędu.

W tym przypadku zachodzą następujące zależności między stanem odkształcenia i naprę-

żenia:

σij = cijklεkl. (2.67)

Hipoteza Cauchy-Borna i wynikające z niej, przedstawione powyżej, zależności, odnoszą

się do monokryształów zbudowanych z komórek centrosymetrycznych, oddalonych od po-

wierzchni na tyle, że jej wpływ może być pominięty. Ponieważ badania nanostruktur objęły

nowe materiały, jak płyty grafenowe, membrany i cienkie powłoki, nanorurki, nanopręty,

kropki kwantowe, zaistniała potrzeba rewizji hipotezy. Arroyo i Bieliczko rozwijając metody

przestrzeni wykładniczych [39, 23, 24], wykazali, że przedstawione powyżej zależności, opisu-

jące monokryształy, odnoszą się również do grafenów, nanorurek i membran. Natomiast Park

i Klein [40], nadając wagę kolejnym warstwom powierzchniowym, udowodnili, że zależności

te odnoszą się również do nanostruktur z oddziaływaniami powierzchniowymi.

2.3.2. Ciągłość materii

Z matematycznego punktu widzenia ciągłość ośrodka oznacza jego nieskończoną po-

dzielność i możliwość wykorzystania w makroskopowej mechanice ośrodków ciągłych całego

aparatu analizy matematycznej. Praktycznie oznacza to możliwość wykorzystania otrzyma-

nych wzorów i zależności, jeżeli elementom, których wielkość różni się o kilka rzędów wielkości

od przyjętego wymiaru charakterystycznego, można przypisać te same właściwości.

Wymiary nanostruktur są porównywalne ze stałą sieci lub inną, zbliżoną co do wartości

odległością międzyatomową. Elementem o długości o kilka rzędów wielkości mniejszym

jest jądro atomowe, którego właściwości w drastyczny sposób odbiegają od właściwości

nanostruktury. Warunki wymaganych dla nieskończonej podzielności ciał makroskopowych

nie są spełnione, a pomimo tego, stosując do nanostruktur wzory z zakresu wytrzymałości

materiałów, otrzymuje się poprawne wyniki.

Do analizy i opisu odkształceń ciał metodami wytrzymałości materiałów wykorzystuje

się charakterystyki geometryczne przekroju obciążanego elementu: pole powierzchni i mo-

ment bezwładności. Na jednym centymetrze kwadratowym powierzchni takiego przekroju

znajduje się około 1018 atomów, oczywisty jest jego kształt i widoczne są jego granice. Na

przekroju poprzecznym nanorurki jednościennej, na jej obwodzie, co 2÷3A znajduje się jądroatomu o średnicy 10−4 A. Pomimo tak zasadniczej różnicy w strukturze powierzchni, w celu

znalezienia, na przykład, linii ugięcia nanorurki jednościennej obliczamy moment bezwładno-

ści powierzchni przekroju nanorurki tak, jak dla rury, a otrzymany w wyniku kształt linii jest


zgodny z rzeczywistością. Taki sam kształt otrzymujemy poddając nanorurkę obciążeniom

zginającym i dokonując obliczeń metodami dynamiki molekularnej.

Nośnikiem właściwości statycznych ciał są jądra atomowe, skupiona masa atomu, opi-

sywana jako punkt materialny. Położenie jąder atomowych wyznacza kształt, a z ich ilości

wynika masa ciała. Kinematyka i dynamika procesu odkształcania również jest opisywana

przez ruch jąder atomowych, gdyż to trajektoria jądra opisuje drogę atomu. Odkształcenia

wiążą się ze zmianami niektórych odległości międzyatomowych, czyli między jądrami ato-

mów. Stabilność kształtu w czasie ruchu i w czasie odkształcania zapewniają siły międzyato-

mowe, które powodują, że cały czas sąsiadują ze sobą te same atomy. Zmiana sąsiadujących

atomów jest możliwa, lecz wiąże się z procesami, których nie obejmuje opis odkształceń ciał

sprężystych.

W obliczeniach wykonywanych metodami dynamiki molekularnej oddziaływania elektro-

magnetyczne pomiędzy cząstkami naładowanymi zastępuje się potencjałami sił międzyato-

mowych. Pod wpływem sił wyznaczonych przez te potencjały odbywa się ruch jąder atomów,

potraktowanych jako cząstki obojętne elektrycznie. Ruch odbywa się według zasad mechaniki

klasycznej, a średnica atomu nie jest istotna.

Na gruncie analizy dynamiki jąder atomowych nie udaje się uzasadnić możliwości

stosowania tych samych wzorów w skali makro i w skali nano, gdyż jądra w zbyt małym

stopniu wypełniają przestrzeń. W oparciu o nie można również obliczać charakterystyk

geometrycznych przekroju.

Rozwiązując równania Schrodingera dla układu elektronów i jąder [41] w przybliżeniu

Borna-Oppenheimera, ograniczając się tylko do części elektronowej, traktuje się rdzenie ato-

mowe jako nieruchome jony dodatnie. Przywołując twierdzenie Hellmanna-Feynmana, znając

przestrzenny rozkład ładunków ujemnych oraz położenia jąder, z prawa Coulomba można wy-

znaczyć siły występujące w układzie. Przyłożenie siły zewnętrznej (mechanicznej) związane

jest z kontaktem dwóch ciał, a to oznacza oddziaływanie na siebie chmur elektronowych

ciała wywierającego nacisk z chmurami elektronów ciała, na które ten nacisk jest wywie-

rany. Zbliżenie takie powoduje zmiany rozkładów przestrzennych gęstości elektronów; zmiany

w rozkładzie gęstości powodują przesunięcia jąder atomowych i ustalenie się nowego stanu

równowagi.

Teoria sprężystości i wytrzymałość materiałów zajmują się opisem oddziaływań siłowych

i ich skutków w ośrodkach ciągłych. Możliwość wykorzystania uzyskanych w nich zależności

do obliczeń dotyczących nanostruktur wynika z tego, że zarówno w skali makro, jak i w skali

nano, oddziaływania przebiegają w identyczny sposób — są to oddziaływania chmur elek-

tronowych przenoszące się na ruchy jąder atomowych. Przenoszenie oddziaływań siłowych


odbywa się przez elektrony, a przestrzeń, w której te oddziaływania mają miejsce, jest za-

pełniona przez chmury elektronowe w sposób ciągły. A zatem nanostruktury również są

ośrodkami ciągłymi.

O tym, czy ciało stałe możemy nazwać ośrodkiem ciągłym decyduje ciągłość tego

składnika materii, który jest przekaźnikiem oddziaływań zewnętrznych do wnętrza ciała oraz

uczestniczącym w oddziaływaniach wewnętrznych, międzyatomowych, stabilizujących kształt

ciała.

Charakterystyki geometryczne odgrywające istotą rolę przy opisie sił wewnętrznych, jak

powierzchnia przekroju lub moment bezwładności przekroju, również są związane z obszarem

zajętym przez elektrony: powierzchnia dowolnego przekroju to powierzchnia przekroju przez

chmurę elektronów, a geometryczny moment bezwładności przekroju, to moment bezwład-

ności powierzchni przekroju przez chmurę elektronową.

2.4. Plastyczność

Od pewnej wielkości naprężeń odkształcenia nie są już całkowicie odwracalne. Zakres

naprężeń i odkształceń, w którym to następuje nazywamy obszarem odkształceń plastycz-

nych. Z obszarem plastycznym wiąże się inna właściwość niektórych metali: ciągliwość, czyli

właściwość umożliwiająca uzyskiwanie dużych odkształceń plastycznych bez utraty ciągłości.

Powstawanie odkształceń plastycznych jest powodowane przez wzrost i przebudowę układu

dyslokacji, poślizgi i zbliźniaczenia. Poślizgi następują pomiędzy płaszczyznami o najgęst-

szym upakowaniu, w kierunkach o najgęstszym wypełnieniu atomami. Płaszczyzna poślizgu

i leżący na niej kierunek poślizgu tworzą system poślizgu. W strukturze fcc najgęstsze wy-

pełnienie atomami występuje na płaszczyznach 111. Kierunkami, wzdłuż których są najgę-ściej ułożone atomy, są kierunki 〈110〉. Na każdej z płaszczyzn 111 są trzy ułożenia atomówo kierunku 〈110〉 [42, 43].

Do prezentacji zachowania się materiału pod wpływem przyłożonej siły stosuje się

wykres rozciągania, na którym w układzie odkształcenie–naprężenie można wyróżnić kilka

charakterystycznych punktów [44]:

– granicę proporcjonalności wyznaczającą zakres, w którym zależność siła–wydłużenie jest

liniowa,

– granicę sprężystości, przy której odkształcenia trwałe ε=0.02%,

– granicę plastyczności techniczną, przy której odkształcenia trwałe ε=0.2%,

– granicę plastyczności fizyczną, albo przystanek plastyczności, po którym następuje

spadek naprężenia przy rosnącym wydłużeniu.


W dalszym ciągu niniejszej pracy, gdy będzie mowa o granicy plastyczności, zawsze będzie

przez to rozumiana fizyczna granica plastyczności i odpowiadający jej punkt na wykresie —

przystanek plastyczności [44].

Zróżnicowanie właściwości w zależności od materiału powoduje, że wykresy rozciągania mają

różny przebieg i nie dla każdego z nich wszystkie wymienione punkty są wyraźnie widoczne.

Kruche pękanie, czyli utrata ciągłości nie poprzedzona płynięciem materiału, ma miej-

sce wówczas, gdy zakres odkształceń, w którym powstają i rozrastają się dyslokacje lub inne

zaburzenia sieci, jest bardzo mały. Symulacje numeryczne jednoosiowego rozciągania nano-

rurek dały w wyniku bardzo duży zakres odkształceń sprężystych – do 12% – i następujące

po nich kruche pęknięcie.

Eksperymentalnie stwierdzono, że dla nanorurek zakres odkształceń sprężystych wynosi

ok 4%. Przy większych odkształceniach pojawia się lokalna przebudowa struktury heksago-

nalnej na pięciokąty i siedmiokąty - tzw. defekty Stone-Walesa lub „5−7−7−5” [45–47],pokazane na rysunku 2.2.

Rysunek 2.2. Mechanizm powstawania defektów Stone-Walesa

W modelach matematycznych, budowanych w oparciu o dynamikę molekularną, takiej

przebudowy struktury sieci nie uzyskano i w literaturze nie udało się znaleźć informacji o ist-

nieniu rozwiązania numerycznego dla tego problemu. Jest to skomplikowane programistyczne

zadanie minimalizacji określonych funkcjonałów i przeniesienia uzyskanych wyników (lub nie)


na strukturę początkową. W pracy [45] badane są skutki przypadkowo wprowadzonej okre-

ślonej ilości takich defektów.

Wszystkie symulacje nanoprętów metalowych obejmowały zakres odkształceń plastycz-

nych. Procesy zachodzące w obszarze odkształceń plastycznych zostały szczegółowo prze-

analizowane przez śledzenie przemieszczeń atomów względem ich początkowego położenia

w sieci krystalicznej, jak i względem atomów sąsiednich. Dzięki temu możliwa była obser-

wacja powstawania i rozwoju poślizgów w rozciąganych i ściskanych nanoprętach. Uzyskane

wyniki potwierdziły poprawność modelu przez sprawdzenie kierunku poślizgów. Zgodnie z

oczekiwaniami, poślizgi powinny następować w płaszczyznach największego poślizgu. Sposób

analizy poślizgów omówiono w rozdziale 4.5, natomiast wyniki w rozdziale 8.4.2.

3. Model fizyczny. Warunki symulacjinumerycznych

Metodyka podejścia do budowy modeli rzeczywistości fizycznej zaprzątała uczonych od

dawna. W 1838 r. w pracy On the Laws of Reflexion and Refraction of Light at the common

Surface of two non-crystallized Media George Green (1793-1841), rozpatrując możliwości wy-

prowadzenia równań teorii sprężystości, wskazał, że budując model rzeczywistości nie należy

zaczynać od naszego wyobrażenia o oddziaływaniach jakie mają miejsce, gdyż „końcowy

efekt może się znacznie różnić od tego, którym posługuje się przyroda”, lecz od wybrania

ogólnej zasady fizycznej [48]. W wielu badaniach właściwości mechanicznych nanostruktur

tą zasadą jest hipoteza Cauchy-Borna. Następne kroki to wybór warunków przeprowadza-

nia eksperymentu, przygotowanie próbek i dobór aparatury pomiarowej. W eksperymentach

numerycznych, podobnie jak przy eksperymentach fizycznych, niewłaściwe przygotowanie

próbek spowoduje otrzymanie błędnych wyników.

Uzyskanie nanokryształu lub nanopręta o określonych z góry wymiarach i ułożeniu płasz-

czyzn krystalograficznych oraz strukturze bez defektów jest bardzo trudne, a wszystkie te

czynniki mają wpływ na wyniki badań właściwości mechanicznych. Stworzenie idealnych

warunków do przeprowadzenia eksperymentów, spełniających wszystkie te wymagania, jest

możliwe jedynie w symulacjach komputerowych. Symulacje numeryczne umożliwiają stwo-

rzenie wirtualnej, idealnej, jednorodnej struktury krystalicznej o zadanej wielkości i dowol-

nie ułożonych kierunkach krystalograficznych. Na raz stworzonej wirtualnej próbce można

sprawdzać różne warianty sposobu obciążania, zadając, na przykład, różne prędkości wzro-

stu siły, zmiany wielkości oscylacji, różne sposoby przyłożenia siły i zamocowania lub pod-

parcia próbki. Odczytanie wyników z dużą dokładnością ułatwia analizę i zmniejsza liczbę

wątpliwości. Ponadto możliwa jest również analiza zachowania atomów we wnętrzu badanej

próbki. Zważywszy ponadto na nieograniczone możliwości wizualizacji wyników, symulacje

numeryczne są potężnym narzędziem badawczym. Jednak ostateczną weryfikacją wyników

symulacji numerycznych jest eksperyment fizyczny, ponieważ modele są uproszczone w sto-

sunku do poznanej już rzeczywistości, a wiedza nasza jest niepełna.

Pomiary właściwości sprężystych przeprowadza się dla małych odkształceń i jednorod-

nego stanu naprężeń, a uzyskanie takiego stanu jest możliwe jedynie w dwóch przypadkach

30

3. MODEL FIZYCZNY. WARUNKI SYMULACJI NUMERYCZNYCH 31

- podczas jednoosiowego rozciągania pręta cylindrycznego wzdłuż osi oraz podczas czystego

ścinania. Ścinaniu towarzyszy zginanie, a podczas skręcania, gdy wektor momentu skręca-

jącego pokrywa się z osią pręta, w każdym przekroju poprzecznym na całej długości pręta

będzie identyczny, lecz niejednorodny, rozkład naprężeń ścinających. Dla ciał anizotropowych

należy dodatkowo wskazać kierunek działania siły względem osi krystalograficznych.

3.1. Przygotowanie próbek do symulacji

Prezentowane w literaturze wyniki symulacji były w większości przeprowadzane w tem-

peraturze 300 K. Jedynie w nielicznych publikacjach są to inne temperatury, np. w pracy [49],

badając zależność modułu Younga od temperatury, brano pod uwagę zakres od 50 do 1000K.

W niniejszej pracy przyjęto zasadę, że wszystkie eksperymenty będą przeprowadzone w tem-

peraturze 300K, w warunkach izotermicznych, co osiągnięto stosując termostat Nose-Hoovera

[50, 51].

Nanorurki i nanopręty poddawane eksperymentom numerycznym były prostoliniowe

i pozbawione defektów. Ich długość w większości przypadków była znacznie większa od

średnicy. Dla osiągnięcia postawionych celów należało między innymi:

– dobrać potencjał oddziaływań międzyatomowych, odpowiedni do struktury krystalicznej

i pierwiastka,

– wytworzyć pożądana strukturę atomową,

– zadać sposób obciążania i jego wartość końcową,

– ustalić sposób i częstość rejestracji obserwabli.

Zasady doboru potencjału i omówienie dokonanego wyboru zostaną opisane w rozdziale 4.

Kolejne kroki prowadzące do utworzenie wybranej struktury atomowej obejmowały:

– wygenerowanie idealnej geometrycznie (teoretycznej) struktury krystalicznej,

– przeprowadzenie relaksacji swobodnego układu (bez uchwytów),

– odczytanie nowych wielkości stałych sieci,

– utworzenie idealnej geometrycznie struktury z nowymi stałymi sieciowymi,

– przeprowadzenie relaksacji układu razem z uchwytami (unieruchomionymi końcami).

Relaksacja jest prowadzona do czasu ustalenia się energii układu na stałym poziomie.

Przykładowy przebieg relaksacji układu pokazuje rysunek 3.1.

Tak przygotowana próbka nie posiada defektów strukturalnych, a naprężenia powstałe

wskutek zmiany odległości międzyatomowych nanostruktury w stosunku do kryształu zostają

zrelaksowane.


-3.7495

-3.749

-3.7485

-3.748

-3.7475

-3.747

-3.7465

-3.746

-3.7455

-3.745

-3.7445

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

ener

gia

kohe

zji [

eV/a

tom

]

czas [ps]

Rysunek 3.1. Przykładowy przebieg relaksacji nanopręta.

3.1.1. Przygotowanie nanorurek węglowych

Badaniom poddano wybrane nanorurki węglowe – jeden z najbardziej obiecujących ma-

teriałów powstałych w ostatnich czasach. Symulacje przeprowadzono na rurkach jednościen-

nych. Wartości charakteryzujące nanorurki poddane symulacjom zebrano w tabeli 10.1 w Do-

datku 1. Średnica nanorurki i położenie pierścieni węglowych na jej powierzchni są określone

przez współrzędne wektora chiralnego. Spośród możliwych sposobów budowania struktury

nanorurki węglowej jednościennej wybrano ten, w którym wszystkie atomy węgla leżą na po-

wierzchni walca kołowego, odległości między sąsiadującymi atomami pozostają takie, jakie

były w nieodkształconym pierścieniu węglowym, wszystkie pierścienie węglowe są jednakowo

odkształcone w porównaniu z wyjściowym, płaskim pierścieniem węglowym. Sposób defor-

macji powierzchni pierścieni węglowych będzie zależeć od współrzędnych wektora chiralnego:

dla pierścieni węglowych tworzących nanorurkę o współrzędnych (0,n) będzie to zgięcie sze-

ściokąta wzdłuż długiej, pionowej osi pokrywającej się z tworzącą walca. Po zgięciu powstają

dwa trapezy równoramienne tworzące ze sobą kąt α = π−π/n. Natomiast na rurce (n,n)każdy pierścień węglowy składa się ze środkowego prostokąta i dwóch trójkątów leżących

na innych płaszczyznach. W tym przypadku linie zagięcia pierścienia węglowego pomiędzy

środkowym prostokątem i bocznymi trójkątami również pokrywają się z tworzącymi walca.

Sposób odkształcenia pierścieni węglowych jest uwidoczniony na rysunku 3.2.

Spełnienie powyższych warunków, to znaczy umiejscowienie wszystkich atomów węgla

na jednej powierzchni walcowej oraz zachowanie długości wiązań międzyatomowych, dla

rurek o chiralności (n,m), n 6=m spowoduje, że na każdym sześciokącie pierścienia węglowego


(0,6) (4,4)

Rysunek 3.2. Przekrój poprzeczny nanorurek (0,6) i (4,4).Pogrubioną linią zaznaczono jeden pierścień węglowy.

pojawią się dodatkowe linie gięcia, nie leżące na tworzącej walca. Ponadto sąsiadujące wzdłuż

rurki powierzchnie będą do niej nachylone pod różnymi kątami.

W pracach [47, 52], omówiono identyczny z wyżej wskazanym, analityczny sposób two-

rzenia wyjściowej struktury nanorurki o dowolnym wektorze chiralnym oraz wyprowadzono

wzory na kąty i odległości pomiędzy sąsiadującymi atomami przed procesem relaksacji.

Tak zbudowana nanorurka zostaje poddana procesowi relaksacji, w czasie którego następują

zmiany odległości międzyatomowych i wszystkie atomy przyjmują położenie optymalne pod

względem energetycznym. Im ułożenie początkowe będzie bliższe optymalnego energetycznie,

tym czas relaksacji będzie krótszy.

3.1.2. Przygotowanie nanoprętów metalowych

Eksperymenty numeryczne przeprowadzono na nanoprętach o strukturze fcc, wolnych

od dyslokacji. Największy możliwy stopień upakowania – 74% – powoduje, że pod wpływem

obciążenia nie następuje jej przebudowa w inne, gęściej upakowane, struktury. Badaniom

poddano nanopręty o przekroju kołowym, wykonane ze złota, miedzi, platyny i niklu.

Eksperymenty numeryczne przeprowadzono dla płaszczyzn krystalograficznych związanych

z kierunkami najłatwiejszego poślizgu, 011 i 111 (rozdział 2.4) oraz dla kierunkówpodstawowych 001.

Dla zmniejszenia wpływu płaszczyzn tworzących powierzchnię nanostruktury na wy-

niki eksperymentów, przeprowadzono je na nanoprętach o przekroju kołowym. Dla takiego

przekroju powierzchnię nanostruktury tworzy wiele różnych płaszczyzn krystalograficznych

równoległych do osi nanopręta. Umożliwia to porównywanie różnych prętów, bez potrzeby

oddzielnej analizy wpływu kierunków krystalograficznych na powierzchnie tworzące ściany


boczne [53]. Wybór przekroju kołowego wynikał również z widocznego na wszystkich zdję-

ciach kołowego przekroju [54, 55] otrzymywanych nanoprętów. Również warunek minimum

energii powierzchniowej [56] wskazuje na przekrój kołowy.

Charakterystyki geometryczne oraz uzyskane wyniki nanoprętów poddanych ekspery-

mentom numerycznym zebrano w tablicach 11.1 do 11.4.

3.2. Wielkość próbek

3.2.1. Jednorodny, jednoosiowy stan naprężeń

Przyłożenie obciążenia lub zamocowanie próbki wpływa na rozkład naprężeń w próbce.

W odległości porównywalnej z rozmiarem obszaru przyłożenia siły pole naprężeń jest

niejednorodne. W przypadku współosiowego obciążenia przyłożonego na końcach nanopręta,

zakłócenia pola naprężeń przestają być zauważalne w odległości większej niż średnica

próbki. Jeżeli przez V0 oznaczymy całkowitą objętość nanostruktury, a przez Vz – objętość

nanostruktury, w której widoczne jest zakłócenie pola naprężeń, to spełnienie zależności

VzV0≪ 1 (3.1),

pokazuje, że w pręcie panuje jednorodny stan naprężeń.

Powyższe warunki sformułowane zostały dla dużych elementów. W celu sprawdzenia

poprawności tak sformułowanych ograniczeń w odniesieniu do nanoprętów, poddano analizie

rozciągany pręt, wyróżniając w nim plastry o grubości równej jednej stałej sieci. Następnie

w każdym plastrze obliczano średnie naprężenie przypadające na atom. Wyniki przedstawia

rysunek 3.3, charakterystyki strukturalne omówione zostały w rozdziale 4.5.

W odległościach od końców większych od średnicy próbki rozkład naprężeń staje się

jednorodny. Fluktuacje widoczne w części środkowej pręta na rysunku 3.3 są spowodowane

ruchami termicznymi atomów. Dłuższy okres uśredniania wartości naprężeń, rzędu 50ps,

powoduje wygładzenie rozkładu.

Utrudnieniem w stosowaniu wzorów z zakresu wytrzymałości materiałów jest wpływ

odchylenia obrysu przekroju poprzecznego nanostruktury od kształtu kołowego i zmiany

charakterystyki geometrycznej przekroju. Do symulacji przyjęto, że nanopręty będą budo-

wane z komórek elementarnych sieci krystalicznej, a to spowodowało, że powierzchnia prętów

„okrągłych” o średnicy 6÷10a nie jest gładka i widoczne są na niej również fragmenty płaskie.Przekroje poprzeczne badanych nanoprętów pokazano na rysunku 3.4.

Kontur przekroju przez nanostrukturę składa się z punktów, które można połączyć

odcinkami prostej. Na przekroju poprzecznym nanostruktury, złożonym z punktów-atomów,


8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

12

12.5

-50 0 50 100 150 200 250

σ zz

[GP

a]

z

Rysunek 3.3. Przykładowy rozkład naprężeń w nanopręcie obciążonym wzdłuż osi.

utwórzmy teoretyczny obrys zewnętrzny, jakim może być na przykład przekrój kołowy. Na

odcinku o długości ri, łączącym środek ciężkości przekroju z leżącym na obrysie atomem i,

przez rsci oznaczymy odległość teoretycznego obrysu od środka ciężkości przekroju. Kryterium

geometryczne stosowalności wzorów wytrzymałościowych do nanostruktur ma postać:√

√

√

√

1N

N∑

i=1

(ri−rscirsci

)2

≪ 1. (3.2)

Pierwszy warunek (3.1) służy do sprawdzenia wielkości niezakłóconego pola naprężeń, gdy

jedynym źródłem zakłóceń jest obszar przyłożenia sił zewnętrznych. Drugi warunek (3.2)

pozwala sprawdzić zgodność przekroju rzeczywistego z przyjętym teoretycznym przekrojem.

3.2.2. Wpływ napięcia powierzchniowego

Zmniejszenie liczby sąsiadujących atomów w warstwie zewnętrznej powoduje zmianę

oddziaływań międzyatomowych. Powstaje warstwa powierzchniowa, w której działanie zmie-

nionych sił międzyatomowych nazywamy napięciem powierzchniowym. W modelach wyko-

rzystywanych do opisu zjawisk powierzchniowych, gdy grubość warstwy powierzchniowej jest

znacznie mniejsza od wielkości elementu, pomija się ich wpływ. Do opisu sił występujących

w tej warstwie wprowadza się napięcie powierzchniowe o wymiarze N/m.


-40

-20

0

20

40 (001)

-40

-20

0

20

40 (011)

-40

-20

0

20

40 (111)

Rysunek 3.4. Rzut pozycji atomów na przekrój poprzeczny prętów dla średnic prętów: 5a,8a,14a,20aoraz dla orientacji płaszczyzny przekroju poprzecznego: (001),(011),(111).

Analiza zasięgu oddziaływań międzyatomowych w ciałach stałych pozwala stwierdzić, że

zmiana liczby sąsiadujących atomów w warstwie zewnętrznej wpływa w sposób zauważalny

na zachowanie się atomów w następnych dwóch warstwach [40]. Energię powierzchniową ciała

stałego określa się jako odwracalną pracę, odniesioną do jednostki powierzchni, potrzebną do

rozdzielenia ciała na dwie części. Zmiana gęstości energii warstwy powierzchniowej w miarę

oddalania się od powierzchni oraz trudna do określenia granica tej warstwy spowodowały,


że do opisu warstwy powierzchniowej stosuje się pojęcie energii powierzchniowej o wymiarze

J/m2.

Właściwości mechaniczne nanopręta jako całości zależą od stosunku liczby atomów ob-

jętych oddziaływaniami powierzchniowymi do całkowitej liczby atomów. Oddziaływanie war-

stwy powierzchniowej bardzo cienkich nanoprętów, poniżej 5A, powoduje zmiany struktury

krystalograficznej w całej objętości [57, 58].

Rozwój nanotechnologii zwiększył zainteresowanie wyznaczeniem napięcia powierzchnio-

wego ciał stałych. Przegląd metod obliczeniowych wyznaczania napięcia powierzchniowego

zawierają prace [59, 60, 58, 61, 62]. Wpływ napięcia powierzchniowego przejawia się w skró-

ceniu próbki poddanej relaksacji [63]. Wpływ napięcia powierzchniowego jest widoczny dla

średnic mniejszych od 7a. Andriewski [64] określa jako krytyczny obszar, poniżej którego

należy uwzględnić naprężenia powierzchniowe, zakres 20÷100A, z zastrzeżeniem, że są towyniki obliczeń, często ze sobą sprzecznych, natomiast w pracy [34] ta granica wynosi 4A.

Obszerną analizę dotychczasowych badań, związanych z wpływem wielkości nanostruktury

na jej właściwości mechaniczne i temperaturę topnienia, wykonał Andriewski [64], pokazując

zarazem paradoksy i sprzeczne wyniki badań. Z obliczeń przeprowadzonych przez Lianga

[63] wynika, że wpływ średnicy pręta na moduł Younga jest pomijalny od średnicy około

7÷ 8a. Jedną z przyczyn różnic w otrzymywanych wynikach jest stosowanie odmiennychmodeli oddziaływań (potencjałów). Duży rozrzut wartości dotyczy również wartości napięcia

powierzchniowego. W tabeli 3.1 umieszczono wartości napięcia powierzchniowego wyliczone

modelem powłokowym oraz zebrano wartości spotykane w literaturze.

Punktem wyjściowym w budowie modelu powłokowego było spostrzeżenie, że w żadnej

z przeprowadzonych symulacji nie stwierdza się przesunięcia warstw zewnętrznych wzglę-

dem części rdzeniowej nanopręta. Gdyby takie przesunięcie następowało, to, na przykład,

dla wartości odkształcenia ε=0.03 po piętnastu odstępach sieci atom warstwy zewnętrznej

byłby przesunięty o pół odstępu względem atomów z wnętrza pręta, a na końcach nano-

pręta tworzyłyby się uskoki na kolejnych warstwach atomów powierzchniowych. Skrócenie

próbki wskutek naprężeń powierzchniowych odbywa się z zachowaniem płaskości przekrojów

poprzecznych, a zatem nanopręt utworzony z regularnej sieci krystalicznej, po relaksacji jest

krótszy i ma mniejszą średnicę, lecz rodzaj sieci, w naszym przypadku fcc, zostaje zacho-

wany w całej objętości. Zachowanie płaskości przekrojów poprzecznych przez atomy warstwy

zewnętrznej nanopręta spowodowane jest oddziaływaniem na nie atomów znajdujących się

w części wewnętrznej — atomy zewnętrzne są źródłem sił ściskających pręt wzdłuż jego

osi, a regularna struktura wnętrza powoduje zachowanie jednakowych odległości pomiędzy


wszystkimi prostopadłymi do osi warstwami komórek sieci; siła obwodowa, wywołana naprę-

żeniami w warstwie powierzchniowej, powoduje powstanie naprężeń radialnych.

Prowadząc obliczenia wykorzystano zasadę superpozycji obciążeń wzdłużnych i radial-

nych oraz omówioną w rozdziale 1.2 zamienność metod obliczeniowych dla ośrodków dyskret-

nych i ciągłych. Wpływ i wielkość naprężeń powierzchniowych zostały policzone metodami

ośrodka ciągłego, jak dla pręta obciśniętego stygnącą rurą. Część zewnętrzną, „rurę”, tworzą

warstwy atomów powierzchniowych i to one są źródłem sił działających na rdzeń nanopręta.

Do dalszej analizy zostanie przyjęty pręt okrągły, w którym warstwa powierzchniowa

ma grubości δ = ka oraz wnętrze o średnicy Dw = na, gdzie a jest stałą sieci krystalicznej.

Powierzchnia przekroju poprzecznego wnętrza nanopręta, Fw, wynosi:

Fw=0.25π(na)2. (3.3)

Powierzchnia przekroju poprzecznego warstwy zewnętrznej, Fp, wynosi:

Fp=0.25π[(na+2ka)2−(na)2]. (3.4)

Suma sił wewnętrznych na przekroju poprzecznym pręta znajdującego się w równowadze

wynosi zero:

σpFp+σwFw=0, (3.5)

gdzie σp oznacza naprężenie w warstwie powierzchniowej, a σi naprężenie we wnętrzu pręta.

A zatem:

σp=−σwFwFp. (3.6)

Podstawiając (3.4) i (3.3) do (3.6) otrzymamy:

σp=−σwFwFp=−σw

n2a2

4ka2(n+k)=−σw

n2

4k(n+k). (3.7)

Korzystając z prawa Hooka, σw=Ywε, przekształcamy (3.7) do postaci:

σp=−n2

4k(n+k)Ywε. (3.8)

Wykorzystując zależność γp=σδ otrzymujemy:

γp=−n2

4k(n+k)Ywaε. (3.9)

Wielkość naprężeń radialnych określa wzór Laplace’a dla powłok kołowo-symetrycznych,

w omawianym przypadku sprowadzający się do postaci

σθRi=σrδ, (3.10)

gdzie σθ – naprężenia styczne, σr – naprężenia normalne, Ri = Di/2 – promień części

wewnętrznej pręta, δ – grubość warstwy powierzchniowej. Wykorzystując zależność σθ = γp/δ

otrzymujemy

σr =σθδ

Ri= γp

1Ri. (3.11)


Ponieważ naprężenia styczne są stałe, niezależne od średnicy nanopręta, naprężenia radialne

na powierzchni r = Rw maleją w stosunku do naprężeń wzdłużnych jak 1/Rw, a wartość

stosunku σw/σr jest stała i wynosi 4.

Uprzedzając uzyskane wyniki badań, w tabeli 3.1 zestawiono wartości napięcia po-

wierzchniowego dostępne w literaturze oraz wyliczone według modelu powłokowego. Szcze-

góły obliczeń zostaną przedstawione w rozdziale 8.5

Tabela 3.1. Wartości naprężeń powierzchniowych dla pierwiastków badanych w nanoprętach, w[

Nm

]

.

Pierwiastek model wg [65] wg [59] wg [66] eksperyment eksperymentpowłokowy za [66] za [67]

Ni 2.698 1.530 0.82-2.5 1.58 2.38Cu 1.723 1.325 1.11-2.05 1.28 1.79Pt 3.633 1.408 2.8-5.6 1.65 2.49 2.574±0.4Au 1.118 0.797 1.71-2.77 0.92 1.50 1.175±0.2

Zaproponowany model i sposób obliczania wartości napięcia powierzchniowego oraz

uzyskane wyniki pokazują, że i w tym przypadku można zastosować metody i wzory

z wytrzymałości materiałów do obliczeń odnoszących się do nanostruktur.

3.2.3. Liczba atomów w próbkach

W literaturze podjęto również temat termodynamiki nanostruktur, łączący się z okre-

ślaniem granic stosowalności termodynamiki klasycznej. W pracy [68] posługując się me-

todami mechaniki statystycznej, autorzy otrzymali wzór na minimalną liczbę atomów, od

której można wprowadzać pojęcie temperatury ciała. Dla T <Θ, gdzie Θ jest temperaturą

Debye’a:

nmin≈ 1.52(ΘT

)3

. (3.12)

Dla węgla Θ = 2230K, stąd dla T = 300K minimalna liczba atomów w próbce wynosi

nmin≈ 620.

Inne badania [69–73], również prowadzą do wniosku, że minimalna wielkość próbki to

103÷104 atomów. Przyjęto, że liczebność próbki dla nanorurek węglowych będzie większaod n = 0.6× 103 atomów. Dla pozostałych pierwiastków poddanych badaniu temperaturaDebye’a jest niższa niż dla węgla i wielkość próbki mogłaby być mniejsza. Geometria sieci

i przyjęte założenia co do kształtu przekroju poprzecznego nanoprętów zawsze wymuszały

wielkość próbek większą od 103 atomów.


3.2.4. Nanorurki węglowe

Minimalna średnica nanorurek węglowych przyjętych do obliczeń wynikała z liczby

atomów węgla na obwodzie rurki. Wszystkie otrzymywane eksperymentalnie nanorurki

węglowe są zamknięte na końcach, a najmniejszą nanorurką dającą się zamknąć czapeczką

węglową jest nanorurka o chiralności (0,7). Zamknięciem dla niej jest połowa fulerenu C60.

Dla mniejszych rurek nie udaje się skonstruować zamknięcia czapeczką węglową zbudowaną

z wielokątów spełniających twierdzenie Eulera o wielokątach.

W celu otrzymania stabilnej postaci nanorurki o mniejszej średnicy należy wysycić jej

wiązania krańcowe wodorem lub atomami metalu. Przeciętna średnica rurek jednościennych

otrzymywanych laboratoryjnie wynosi 12A, natomiast minimalna – 7A, co odpowiada

rurkom (0,7) lub (10,10). Najmniejsza nanorurka węglowa, jaką udało się zaobserwować miała

średnicę zbliżoną do średnicy pierścienia węglowego – 3.0A [32] i stanowiła wewnętrzną rurkę

w wielościennej nanorurce węglowej.

Przeprowadzone w pracy badanie rurek mniejszych niż (0,7) miało na celu sprawdzenie

ich zachowania i ciągłości zmian różnych parametrów opisujących właściwości mechaniczne

nanorurek.

Potrzeba uwzględnienia wpływu średnicy na przebieg odkształcania nanorurek jedno-

ściennych zachodzi podczas badania nanorurek o dużych średnicach lub poddawanym dużym

odkształceniom. Dochodzi wówczas do odwracalnego zapadania się powierzchni (ang. buc-

kling). Przyjęte wartości współczynników wektora chiralnego zawarte zostały w tabeli 10.1

z Dodatku 1.

3.2.5. Nanopręty

Średnica drutu wynikała z kształtu, wielkości i liczby komórek sieci krystalicznej miesz-

czących się w płaszczyźnie prostopadłej do osi. Liczbę komórek dobierano tak, aby przekrój

poprzeczny nanopręta maksymalnie wypełniał okrąg opisany na zadanej liczbie komórek.

W celu ułatwienia porównywania ze sobą wyników, otrzymanych dla różnych pierwiastków

i dla różnych kierunków krystalograficznych, wymiary liniowe próbek przyjmowano jako wie-

lokrotność stałej sieci. Wszystkie próbki miały długość pięćdziesięciu stałych sieciowych,

a średnicę prętów przyjmowano jako 3-, 5-, 8-, 14- i 20-krotność stałej sieciowej. Ekspery-

menty przeprowadzono na próbkach zbudowanych w ten sposób, żeby przekrój poprzeczny

nanopręta tworzyła jedna z wybranych płaszczyzn krystalograficznych: (001), (011) lub (111).

Wszystkie te informacje zawarte są w oznaczeniu próbek według schematu:

X−(hkl)−R, (3.13)


gdzie:

X – pierwiastek (Au, Ni, Cu, Pt),

(hkl) – płaszczyzna krystalograficzna prostopadła do osi wzdłużnej nanopręta,

R – promień nanopręta.

Zestawienie przebadanych próbek zawarto w tablicach 11.1 do 11.4 w Dodatku 2.

3.3. Mocowanie i obciążanie próbek

Zasada de Saint-Venanta głosi, że jeśli dany układ sił, działających na niewielki obszar

ciała sprężystego (będącego w stanie równowagi), zastąpimy innym układem statycznie

równoważnym i działającym bezpośrednio na ten obszar, to w pewnej odległości od miejsca

przyłożenia sił różnice w naprężeniach, odkształceniach i przemieszczeniach, pochodzących

od obu przypadków obciążenia, są dowolnie małe (tzn. wpływ działających sił uśrednia się).

W wytrzymałości materiałów przyjmuje się, że przy rozciągania prętów dopiero w od-

ległości porównywalnej z jego średnicą pole naprężeń jest jednorodne, niezależne od spo-

sobu przyłożenia siły do końca pręta. Punktowo przyłożona siła będzie się rozchodzić po

liniach łańcuchów siłowych (force chains) [74] i również dopiero w odległości porównywalnej

ze średnicą zaistnieje jednorodny stan naprężeń. Dla uniezależnienia się od analizy różnych

możliwych sposobów unieruchamiania końców nanopręta lub nanorurki oraz różnych możli-

wych sposobów zadawania sił i związanych z tym niejednorodności pola naprężeń, uchwyty

w potocznym rozumieniu słowa, zostały zastąpione przez ustalenie względnego położenia

kilku ostatnich warstw atomów i nadanie im stałej prędkości dla całej powierzchni końcowej

nanopręta. Grubość takiego uchwytu przyjmowano jako krotność stałej sieci.

Siła zewnętrzna przyłożona do uchwytu pręta powinna być mniejsza od sumy sił

wiążących uchwyt z prętem, czyli składowej równoległej do siły zewnętrznej, będącej sumą

sił międzyatomowych stanowiących uchwyt. Przewaga wpływu ruchów termicznych atomów

nad ruchem liniowym uchwytu powoduje, że amplituda drgań całego uchwytu jest większa

od liniowego postępu. Jest to dużym utrudnieniem w analizie danych.

v1 v2D

L

Rysunek 3.5. Schemat mocowania i przyłożenia obciążenia do próbek.


Eksperyment numeryczny pozwala na nadanie końcówkom pręta stałej prędkości liniowej

v= v2=−v1, tak aby następowało ich zbliżanie bądź oddalanie, jak pokazano to na rysunku3.5. Ten sposób obciążenia, równoważny z przyłożeniem liniowo rosnącej siły, pozwala

pominąć wpływ ruchów atomów, wynikających z drgań termicznych i sił międzyatomowych.

Przyłożenie stałej prędkości v do końców pręta powoduje zmianę długości pręta:

L(t)= 2vt+L0, L0=L(0), (3.14)

co daje czasową zależność względnego odkształcenia:

ε(t)= ln(L(t)L0

)

≈ 2vL0t; (3.15)

dla małych odkształceń daje to linowy wzrost siły:

F (t)= ε(t)Y A≈( 2vL0t)

Y A, (3.16)

gdzie: Y – moduł Younga, A – pole przekroju pęta.

Przyłożenie w ten sposób obciążenia mechanicznego jest proste i czytelne. Przy modelo-

waniu nanostruktur, gdy moc dostarczana do atomu jest większa od możliwości przekazania

jej na dalsze atomy, następuje przerwanie wiązań międzyatomowych. Dla zbyt dużych pręd-

kości nie następowałoby wyrównywanie obciążeń i otrzymywane wyniki byłyby obciążone

dużym błędem. W celu uniknięcia tego zjawiska zbadana została prędkość rozchodzenia się

wzbudzenia mechanicznego w prętach.

3.4. Prędkość propagacji wzbudzeniamechanicznego

W ciałach stałych prędkość rozchodzenia się dźwięku wynosi

v=

√

Y

, (3.17)

gdzie Y - moduł Younga, - gęstość badanego materiału. Zauważalna zbieżność otrzymanych

wartości dla nanoprętów z prędkością dźwięku w metalach w skali makro pokazuje, że również

zjawiska związane z transportem energii mechanicznej w skali nano przebiegają podobnie jak

w ośrodkach ciągłych.

Dla metali prędkość dźwięku jest rzędu v≈ 2×103m/s=2×10−2 A/fs.W celu określenia prędkości rozchodzenia się wzbudzenia nanopręt został rozciągnięty

o 4%. Zwolnienie jednego z uchwytów skokowo zmniejszało do zera przyłożoną siłę. Jako

moment, kiedy informacja o tym pojawia się na drugim, zamocowanym, końcu pręta przyjęto

spadek siły do zera. Wykres sił na zamocowanym końcu pręta przedstawia rysunek 3.6.


-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 20 40 60 80 100

napr

ężen

ie p

rzy

uchw

ycie

[GP

a]

czas [ps]

Rysunek 3.6. Wielkość siły w miejscu zamocowaniu pręta po zwolnieniu drugiego końca,przykład dla złotego nanopręta o długości 208A.

Znając długość pręta i czas przebiegu sygnału przez pręt znajdujemy prędkość rozcho-

dzenia się wzbudzenia w pręcie. W tabeli 3.2 zestawiono uzyskane prędkości dla badanych

prętów. Otrzymane w ten sposób wartości prędkości rozchodzenia się wzbudzenia były pod-

stawą do sprawdzenia poprawności i ewentualnej korekty przyjmowanych parametrów obli-

czeniowych, jak np. krok czasowy lub prędkość obciążania.

Tabela 3.2. Zmierzona prędkość propagacji impulsu mechanicznego dla różnych nanoprętów

orientacja średnica długość prędkośćetykieta przekroju próbki[A] próbki [A] propagacji [m/s]Au-001-10 (001) 80.2 208.7 1807Au-011-10 (011) 80.2 208.7 1939Au-111-4 (111) 31.2 209.3 2490Au-111-7 (111) 57.6 209.3 2543Cu-001-10 (001) 71 185.8 2813Cu-011-10 (011) 71.2 185.8 3205Cu-111-10 (111) 71 181.4 4258Cu-111-4 (111) 27.8 186.4 4020Cu-111-7 (111) 49.2 186.4 4127Ni-001-10 (001) 69.2 177 3342Ni-011-10 (011) 69.4 176 4285Ni-111-10 (111) 69.2 182 5029Pt-111-4 (111) 30.2 202 3338Pt-111-10 (111) 77.2 202 3394


Otrzymane wartości są bliskie wartościom prędkości dźwięku w polikrystalicznych cia-

łach masywnych, wynoszącym dla Ni, Cu, Pt i Au odpowiednio 4970, 3570, 2680 i 1740 m/s.

W otrzymanych wynikach zauważa się słabo zaznaczoną zależność prędkości impulsu

mechanicznego od średnicy próbki, natomiast wyraźna jest zależność prędkości od kierunku

rozchodzenia się sygnału. Wzrost prędkości wraz ze wzrostem średnicy jest spowodowany

zmniejszaniem się gęstości oraz wzrostem wartości modułu Younga.

4. Model matematyczny

Matematyczne modele opisu właściwości mechanicznych możemy podzielić na trzy

podstawowe grupy: oparte na teorii kwantowej, na mechanice klasycznej oraz na teorii

ośrodków ciągłych.

Stosowanie metod mechaniki kwantowej dla struktur składających się z ∼ 104 atomówjest kosztowne z powodu długości obliczeń i wymaganych dużych zasobów pamięci operacyj-

nej, a dla większych układów wręcz niemożliwe. Metoda elementów skończonych jest narzę-

dziem stworzonym do obliczeń skomplikowanych problemów mechanicznych (wytrzymałość

materiałów) — obliczeń konstrukcji o rozbudowanej, nieregularnej geometrii przestrzennej

i skomplikowanych warunkach początkowych i brzegowych. Obliczenia wykonywane tą me-

todą w krótkim czasie dają zadowalającą dokładność obliczeń. Metoda ta znalazła zastoso-

wanie również w rozwiązywaniu zadań wieloskalowych [75, 76].

Biorąc pod uwagę możliwość uwzględniania oddziaływań międzyatomowych oraz uzyski-

waną dokładność otrzymywanych wyników, jako narzędzie odpowiednie dla zakresu badań

planowanych w prezentowanej pracy przyjęto dynamikę molekularną.

Symulacje dynamiczno–molekularne są metodą analizy dynamiki układów molekular-

nych i niejednokrotnie umożliwiają otrzymanie wyników nieosiągalnych innymi metodami,

jak chociażby przez obliczenia kwantowe. Metoda ta polega na rozwiązywaniu klasycznych

równań ruchu dla zbioru atomów. Najczęściej stosowane są empiryczne funkcje potencjału

sił – o postaci i parametrach dobranych tak, aby jak najlepiej odzwierciedlały rzeczywiste

oddziaływania międzyatomowe. W wyniku symulacji można otrzymać trajektorie atomów

i średnie wartości termodynamiczne.

Analiza wyników pozwala uzyskać informacje o strukturze i ewolucji układu oraz o jego

właściwościach fizycznych. Powinna również wskazać granice obszarów, w których można lub

należy stosować inne sposoby opisu i obliczeń.

4.1. Dynamika molekularna

Wyjaśniając przebieg procesu i poszukując matematycznych zależności, które go opisują,

tworzymy model rzeczywistości który to umożliwi, bez zbytnich uproszczeń. Podstawowym

45

4. MODEL MATEMATYCZNY 46

modelem służącym do opisu właściwości mechanicznych nanostruktur jest zbiór punktów ob-

razujących jądra atomowe. Ewolucję badanego układu opisują trajektorie jąder atomowych.

Opisując ewolucję systemu metodami dynamiki molekularnej w kolejnych krokach obliczeń

znajdujemy nowe położenia punktów badanego obszaru. Oddziaływania siłowe modeluje się

odpowiednim potencjałem sił. Wyniki uzyskiwane tą metodą wykazują bardzo dobrą zgod-

ność z rzeczywistym przebiegiem badanego procesu. O ograniczeniach MD pisze Binney w

[77] oraz Steinmann [78].

W dynamice molekularnej dokonuje się dekompozycji złożonego układu na układ od-

działywających mas punktowych i rozwiązuje klasyczne zagadnienie wielu ciał. Podstawowa

wersja realizowana jest przez numeryczne całkowanie równań ruchu Newtona dla klasycznego

układu dynamicznego (wszystkich cząstek układu):

ri=Fi(r1,... ,rN )

mi,i=1...N, (4.1)

gdzie: ri jest położeniem i-tej cząstki,mi jej masą, a Fi(r1,... ,rN ) wypadkową siłą działającą

na nią, w ogólności zależną od położeń wszystkich pozostałych N cząstek.

Siłę działającą na cząstkę można podzielić na dwie składowe:

Fi =F zewi +Fwewi , (4.2)

gdzie F zewi jest związana z oddziaływaniem zewnętrznym, takim jak np. siła bezpośrednio

przyłożona do układu, natomiast Fwewi jest wypadkową siłą, pochodzącą od oddziaływań

między cząstkami tworzącymi układ. Gdy oddziaływania te zadane są jako zależność energii

potencjalnej U od położenia atomów, można napisać:

Fwewi =−∇iU, (4.3)

gdzie U =U(r1,... ,rN ) jest całkowitą energią potencjalną układu.

4.2. Symulacje w zespole kanonicznym

Układ równań (4.1) i (4.3) opisuje izolowany układ zachowawczy i trajektorie fazowe,

będące jego rozwiązaniem, pozostają na powierzchni stałej energii w przestrzeni fazowej.

Podczas symulacji rzeczywistych układów fizycznych wymagane jest zazwyczaj, aby układ

pozostawał w stałej temperaturze lub pod stałym ciśnieniem. W celu przejścia od zespołu

mikrokanonicznego do kanonicznego potrzebna jest więc modyfikacja równań ruchu.

Dla swobodnego układu izolowanego, jakim jest (4.1) i (4.3), można sformułować funkcję

Lagrange’a o postaci:

L= 12

∑

i

mr2i −U(r1,... ,rN ), (4.4)


z równaniami ruchu:∂L∂ri− ddt∂L∂ri=0, i=1,... ,N, (4.5)

gdzie N jest liczbą cząstek.

Dla umożliwienia zmian energii (takich jak np. utrzymywanie stałej temperatury)

wprowadza się siły uogólnione F (ri, ri):

∂L∂ri− ddt∂L∂ri=−F (ri, ri). (4.6)

Zakładając, że siły uogólnione F są zadane potencjałem uogólnionym V (r , r):

F (ri, ri)=−∂V

∂ri+ddt∂V

∂ri=0, (4.7)

można wprowadzić nową funkcję Lagrange’a:

L′=L−V. (4.8)

Otrzymuje się wówczas równanie ruchu bez więzów w postaci:

∂L′

∂ri− ddt∂L′

∂ri=0, (4.9)

z którego wynikają następujące równania ruchu:

mri= pi+∂V

∂ri,

pi=−∂U

∂ri− ∂V∂ri,

pi=∂L′

∂ri.

(4.10)

Korzystając z dowolności funkcji V przyjmijmy, że zależy ona tylko od ri:

V =V (ri). (4.11)

Pozwala to zredukować równania (4.10) do postaci:

mri= pi+∂V (ri)∂ri

,

pi=−∂U

∂ri.

(4.12)

Przyjmując następnie funkcję V , w postaci więzu ustalającego wartość całkowitej energii

kinetycznej, metodą izokinetyczną Heermanna:

V =12

∑

i

mr2i −Λ=0,

równania ruchu daje się sprowadzić do postaci:

mri=pim

√

2mΛ∑

j p2j

,

pi=−∂U

∂ri.

(4.13)

Zawarty w równaniu (4.13) składnik Λ skaluje prędkości cząstek do wartości zachowującej

stałą wartość energii kinetycznej. Przemnażanie prędkości w metodzie izokinetycznej Heer-


manna nie ma bezpośredniej interpretacji fizycznej i nie można określić, jaki ma to wpływ

na trajektorie cząstek i właściwości fizyczne układu.

Lepiej fizycznie uzasadniona jest metoda Evansa [79]. Wprowadza się ją przez przyjęcie

uogólnionej siły Fi w postaci:

Fi= rni . (4.14)

W otrzymanych wówczas równaniach ruchu:

mri= pi,

pi=−∂U

∂ri+rni β,

β=U

∑

i rirn+1i

,

(4.15)

stała wartość energii kinetycznej utrzymywana jest w układzie przez zależną od prędkości

poprawkę do siły, którą interpretować można jako siłę tarcia wewnętrznego. Dla n = 1

powyższe równanie nazywane jest termostatem gaussowskim.

Inne podejście do sprowadzenia układu (4.1) do zespołu kanonicznego zaproponował

Nose[80]. Wprowadził do układu zmienną s skalującą prędkości i związany z nią dodatkowy

stopień swobody. Wszystko opisał równaniem Lagrange’a:

L= 12ms2∑

i

r2i −U(r1,... ,rN )+12Mss

2 −w(s) , (4.16)

gdzie Ms jest współczynnikiem bezwładnościowym zmiennej uogólnionej s, a

w(s)= (nf +1)kT0 ln(s) (4.17)

funkcją potencjału dla zmiennej s zapewniającą, iż równanie będzie opisywać zespół ka-

noniczny ze stałą średnią temperaturą układu równą T0. Z równania (4.16) otrzymujemy

następujące równania ruchu:

ri=1mis2Fi−2ssri ,

s=1sMs

(

∑

i

mis2r2 − (nf +1)kT0

)

.(4.18)

gdzie Fi= ∂U∂ri , a nf jest liczbą stopni swobody układu.

W.G. Hoover[50, 51] uprościł równania (4.18), wprowadzając skalowanie zmiennej

czasowej t w zamian za skalowanie prędkości używane w metodzie Nosego. Niech t′ oznacza

czas rzeczywisty (fizyczny), a t – czas przeskalowany oraz s(t′) – czynnik skalujący, wówczas:

dt= s(t′)dt′ . (4.19)

Przechodząc w równaniach (4.18) z powrotem do czasu rzeczywistego t′ otrzymujemy:

ri=1mFi−s

sri, (4.20)


s=s2

s+G1 s

Ms, (4.21)

gdzie G1=m∑

i r2i −nfT0. Równanie (4.20) jest zwykłym równaniem Newtona (4.1) z po-

prawką do siły, natomiast równianie (4.21) jest sprzężeniem zwrotnym (feed back), kontrolu-

jącym temperaturę układu.

Metoda opisana powyżej jest nazywana termostatem Nose–Hoovera i jest najczęściej

używaną metodą opisu układów NVT. Została wykorzystana w programie nanoMD .

4.3. Model oddziaływania dla wiązań węgiel –węgiel

Do modelowania oddziaływania węgiel-węgiel zastosowany został potencjał AIREBO[17].

Potencjał ten stworzony został w 1999 roku przez grupę prof. Stuarta. Jako baza posłużył

dobrze znany i sprawdzający się w modelowaniu zjawisk potencjał Brennera[16]. Modyfikacja

Stuarta polegała na dodaniu do potencjału Brennera oddziaływania niewiążącego i oddzia-

ływania torsyjnego, wynikającego z kąta dwuściennego pomiędzy trójką wiązań.

Potencjał AIREBO można przedstawić w postaci sumy:

E=12

∑

i

∑

i 6=j

[

EREBOij +ELJij +∑

k 6=i,j

∑

l 6=i,j,k

Etorskijl

]

, (4.22)

gdzie: EREBO jest funkcją potencjału Brennera, ELJ - potencjałem Lennarda-Jonesa, a Etors

potencjałem oddziaływania torsyjnego.

Empiryczny potencjał Brennera jest modyfikacją potencjału Tersoffa. Pierwotnie został

zastosowany do symulacji naparowywania cienkich warstw diamentu, ale z powodzeniem jest

stosowany do modelowania zjawisk zachodzących w materiałach składających się z węglowo-

dorów. Potencjał ten przedstawić można wzorem:

EREBOij =V Rij +bijVAij , (4.23)

gdzie człon odpychający i przyciągający dane są (odpowiednio) zależnościami:

V Rij =wij(rij)[

1+Qijrij

]

Aije−αijrij (4.24)

V Aij =−wij(rij)3∑

n=1

B(n)ij e

−β(n)ijrij (4.25)

gdzie wartości parametrów Qij , Aij oraz αij zależą od typów atomów i oraz j. Funkcja wij

jest wagą wiązania:

wij(rij)=S′(tc(rij)), (4.26)

gdzie S′(t) jest funkcją przejścia o postaci:

S′(t)=Θ(−t)+Θ(t)Θ(1− t)12[1+cos(πt)]. (4.27)


Zakres przejścia dla każdego typu wiązania dany jest wzorem:

tc(rij)=rij−rminijrmaxij −rminij

. (4.28)

Parametr bij ze wzoru (4.23), opisuje rząd wiązania (ang. bond order) dla atomów typu i

oraz j. Wyrażony jest wzorem:

bij =12[pσπij +p

σπji ]+π

rcij +π

dhij . (4.29)

Wyrażenie to realizuje koncepcję wpływu otoczenia atomów na siłę wiązania. Wartość bij jest

tym większa im silniejsze jest wiązanie. Wartości wszystkich składowych wyrażenia (4.29)

są wielociałowe. Podstawową składową jest pσπij , opisująca wiązanie kowalentne pomiędzy

atomami i oraz j:

pσπij = [1+∑

k 6=i,j

wik(rik)gi(cosθjik)eλijk+Pij ]12 , (4.30)

gdzie θjik jest kątem pomiędzy wiązaniami ij oraz ik, a funkcja gi obniża energię wiązania dla

atomów, których sąsiednie atomy są zbyt blisko siebie i ma postać funkcji sklejanej piątego

stopnia. Gdy atomem centralnym jest atom węgla, wówczas funkcja gi zależy dodatkowo od

liczby koordynacyjnej.W tym celu wprowadza się dodatkowe funkcje g(1)C i g(2)C oraz parametry

N(H)ij i N (C)ij , przedstawiające liczbę atomów (odpowiednio wodoru i węgla) związanych

z i-tym atomem, z pominięciem atomu j oraz N (t)ij będący ich sumą.

Dla zachowania ciągłości potencjału, liczby N (H)i , N(C)i , N

(t)i wyrażono w sposób

następujący:

N(H)i =

(

∑

k 6=j

δkHwik(rik))

−δjHwij(rij), (4.31)

N(C)i =

(

∑

k 6=j

δkCwik(rik))

−δjCwij(rij), (4.32)

N(t)i =N

(H)i +N

(C)i . (4.33)

Dla zachowania gładkości funkcji gi przy przejściu pomiędzy koordynacjami 1 i 2, wprowadza

się:

gC(cosθjik)= g(1)C (cosθjik)+S

′(tN (N(t)ij ))[g

(2)C (cosθjik)−g

(1)C (cosθjik)], (4.34)

gdzie funkcja skalująca tN dana jest wzorem:

tN (N(t)ij )=

N(t)ij −Nminij

Nmaxij −Nminij. (4.35)

Pozostałe wyrażenia w funkcji (4.30) stanową niewielkie poprawki. Wyrażenie eλijk , w któ-

rym:

λijk=4δiH [(δkHρHH+δkCρCH−rik)], (4.36)

jest poprawką do energii powierzchniowej w przypadku wiązań węglowodorowych. Natomiast

wyrażenie Pij(NCij ,NHij ) jest funkcją sklejaną trzeciego stopnia, poprawiającą energię wiązań

dla węglowodorów.


Następny człon wyrażenia (4.29) – πrcij (N(t)ij ,N

(t)ji ,N

conjij ) jest funkcją opisującą ciągłość

układu i ma postać funkcji sklejanej trzeciego stopnia, zależnej od trzech parametrów.

Wartość parametru N conjij zależy od tego, czy wiązanie między i-tym a j-tym atomem

należy do układu ciągłego, czyli czy oba atomy mają po tyle samo wiązań. Wartość N conjij

przedstawiona jest wzorem:

N conjij =1+[

∑

k 6=i,j

δkCwik(rik)S′(tconj(Nki))]2

+[

∑

l 6=i,j

δlCwjl(rjl)S′(tconj(Nlj))]2

, (4.37)

przy czym sumowanie po k i l przebiega po atomach węgla. N conjij =1, gdy wiązanie i–j nie

jest częścią układu ciągłego i N conjij ≥ 2, gdy do niego należy.Ostatni człon πdhij wyrażenia (4.29) opisuje wpływ skręcenia na energię wiązania i wyraża

się wzorem:πdhij =Tij(N

(t)ij ,N

(t)ji ,N

conjij )

∑

k 6=i,j

∑

l 6=i,j

(1−cos2ωkijl)

×S′(t′c(rik))S′(t′c(ril))Θ(sin(θjik)−smin)

×Θ(sin(θijl)−smin),

(4.38)

gdzie Tij jest funkcją sklejaną trzeciego stopnia. Funkcja skalująca t′c dana jest wzorem:

t′c=rij−rminijrmaxij

′−rminij. (4.39)

Kąt dwuścienny ωkijl definiowany jako kąt pomiędzy płaszczyznami określanymi przez pary

wektorów rij i rik oraz parę rij i rjl, wyrażony jest przez:

cos(ωijkl)=rji×rik|rji×rik|

· rij×ril|rij×ril|. (4.40)

Oddziaływania niewiążące modeluje człon ELJij opisany wzorem:

ELJij = [1+S(tr(rij))(S(tb(bij))−1)]CijV LJij (rij), (4.41)

zawierający potencjał Lennarda-Jonesa:

V LJij (rij)= 4ǫij[(σijrij

)12

−(σijrij

)6]

, (4.42)

zmodyfikowany przez kilka funkcji przejściowych:

S(t)=Θ(−t)+Θ(t)Θ(1− t)[1− t2(3−2t)]. (4.43)

Pozostałe funkcje skalujące modyfikują energię wiązania w zależności od otoczenia i siły

wiązania kowalentnego:

tr(rij)=rij−rLJminij

rLJmaxij −rLJminij

, (4.44)

tb(bij)=bij−bminijbmaxij −bminij

(4.45)

oraz ostatnią funkcję przełączająca zależną od wagi wiązania:

Cij =1−maxwij(rij),wik(rik)wik(rik)∀k,wik(rik)wjl(rjl)wlj(rlj)∀k,l. (4.46)


Ostania funkcja, Etors, opisuje siły torsyjne:

Etorskijl =wki(rki)wij(rij)wil(rjl)Vtors(ωkijl), (4.47)

V tors(ωkijl)= ǫkijl[256405cos10(

ωkijl2)− 110

]

. (4.48)

Postać potencjału przewiduje reaktywność, czyli możliwość zrywania i powstawania nowych

wiązań międzyatomowych. Jednak główną cechą i zaletą jest dokładne modelowanie struktury

i energii wiązań dla związków węglowodorowych i do tych cech zostały dopasowane parametry

potencjału dokładnie przedstawione w [17].

4.4. Model oddziaływania dla wiązańmetalicznych

Do modelowania oddziaływania w materiałach złożonych z atomów metalu wykorzystano

potencjał zaproponowany przez Suttona i Chena[81]:

U = ε[12

∑

ij

( a

rij

)n

−c∑

i

(

∑

j

(a

rij)m)12]

, (4.49)

stworzony do przeprowadzania symulacji metali o gęstym upakowaniu fcc. Istnieją dwie me-

tody wyznaczania wartości parametrów potencjału. Pierwszą jest dopasowanie parametrów

tak, aby zgadzały się wybrane właściwości modelowanego materiału z wartościami otrzymy-

wanymi w eksperymencie. Metoda ta jest ograniczona małą liczbą właściwości, jakie można

dokładnie wyznaczyć z eksperymentów. Ponadto trudne jest wyznaczenie właściwości w eks-

tremalnych warunkach. Wygodniejszą w stosowaniu i dającą lepsze rezultaty jest metoda

wyznaczania wartości parametrów potencjału do właściwości materiału wyznaczonych z ob-

liczeń kwantowo-mechanicznych. Dzięki zastosowaniu teorii kwantowej możliwe jest dopaso-

wanie parametrów dla większej ilości przypadków.

Z uwagi na dużą liczbę możliwych zestawów parametrów potencjału, parametry wyko-

rzystane w symulacjach zebrano w tabeli 4.1. Są to parametry wyliczone częściowo przez

porównanie wyznaczanych cech kryształów z obliczeniami przeprowadzanymi metodami me-

chaniki kwantowej [82].

Tabela 4.1. Wartości parametrów potencjału SC dla badanych nanoprętów.

Pierwiastek ε a n m c

Ni 7.3767·10−3 3.5157 10 5 58.693Cu 5.7921·10−3 3.6030 10 5 84.843Au 7.8052·10−3 4.0651 11 8 53.581Pt 9.7894·10−3 3.9163 11 7 96.524


4.5. Metryki strukturalne

W celu badania zmian geometrii nanostruktur wprowadzone zostały odpowiednie me-

tryki:

rnb – odległość między najbliższymi atomami,

Rns – promień przekroju poprzecznego nanostruktury,

σRns – średnie odchylenie kwadratowe promienia nanostruktury,

L – długość nanostruktury,

σOp – średnie odchylenie kwadratowe środka od osi nanostruktury,

D(M) – miara zmian lokalnego uporządkowania atomu (wektor poślizgu).

R

O

DP

L

z

x

y

Rysunek 4.1. Schemat podziału nanostruktury na plastry.

Przyjęto, że wszystkie nanostruktury są zorientowane wzdłuż osi Oz. Poprzeczny przekrój

jest zorientowany w pionie wzdłuż osi Oy, w poziomie wzdłuż osi Ox. Dla określenia geometrii

podłużnych nanostruktury podzielono ją na Np plastrów o grubości Dp. Jak pokazano to na

rysunku 4.1. Dla każdego z plastrów określono środek masy Op:

O(j)p =(x(j)o ,y

(j)o ), (4.50)

x(j)o =1

n(j)p

∑

i∈P (j)

xi, (4.51)

y(j)o =1

n(j)p

∑

i∈P (j)

yi, (4.52)

gdzie (x(j)o ,y(j)o ) – współrzędne środka masy j−tego plastra.

Założono, że plastry są cylindrami o osi równoległej do osi Oz, przechodzącej przez

środek masy plastra. Promień plastra wyznaczono obliczając średnią odległość atomów

powierzchniowych od osi plastra:

R(j)p =1

n(j)p

∑

i∈Pp

ri, (4.53)

ri=√

(xi−x(j)o )2 + (yi−y(j)o )2, (4.54)


σR(j)p=

√

√

√

√

1

n(j)p

∑

i∈P(j)p

(ri−R(j)p )2 , (4.55)

gdzie n(j)p – liczba atomów powierzchniowych, P(j)p – zbiór atomów powierzchniowych,

Promień nanostruktury określono jako średnią promieni plastrów:

Rns=1Np

Np∑

i=1

R(i)p . (4.56)

Podobnie średnie odchylenie promienia nanostruktury:

σRns =

√

√

√

√

1Np

Np∑

i=1

(Rns−R(i))2

p (4.57)

oraz średnie odchylenie odległości położenia środków masy plastrów O(j)p od osi równoległej

do osi Oz, przechodzącej przez środek masy całej nanostruktury:

σOp =

√

1Np

∑

i

|Ons,Op|2, (4.58)

gdzie:

Ons=(xons,yons), (4.59)

xons=1N

∑

i

xi, (4.60)

yons=1N

∑

i

yi. (4.61)

Miara odchylenia promienia pozwala określić stan powierzchni nanostruktury oraz

jej jednorodność, natomiast odchylenie położenia środków plastrów od osi nanostruktury

pozwala na określenie jej prostoliniowości.

Dodatkowo dla nanorurek węglowych, z uwagi na kierunkowy charakter wiązań, wprowa-

dzono miarę kątów pomiędzy najbliższymi sąsiadami. Wyznaczono średnią z najmniejszych

i średnią największych kątów pomiędzy wiązaniami C–C. Wraz z analizą długości wiązań

pozwala to określać, które czynniki strukturalne zmieniają się podczas odkształcania (mani-

pulacji mechanicznych).

W przypadku jednościennych nanorurek węglowych określenie, które atomy należą

do powierzchni jest trywialne, gdyż wszystkie atomy są powierzchniowe. Dla nanoprętów

określenie to już nie jest takie proste. W celu znalezienia atomów stanowiących powierzchnię

nanostruktury stworzono metodę porównywania gęstości bliskiego otoczenia atomów. Gęstość

otoczenia określono jako funkcję:

ρi=∑

j

(rnbrij

)2

Θ(rij−2a), (4.62)

gdzie a jest stałą sieci dla danego budulca, a rnb – średnią odległością między najbliższymi

sąsiadami.


Jako atomy powierzchniowe zidentyfikowano te, dla których gęstość ρi otoczenia jest

mniejsza od 3/4 maksymalnej gęstości w danej strukturze.

Miara D(M) wprowadzona została w celu analizy powstawania dyslokacji i poślizgów

w sieci krystalicznej. Pojawienie się poślizgu powoduje zmianę lokalnego uporządkowania

atomów. Dla odnajdywania poślizgów w sieci fcc wystarczające jest analizowanie zmian

odległości do atomów znajdujących się w najbliższym otoczeniu. Najbliższe otoczenie atomu i

definiowane jest jako zbiór:

Bi= j;rij <δr. (4.63)

Zmiany otoczenia zdefiniowane zostały jako zbiór:

δ(A)i (t)=

rij(t)rij(t0)

,j ∈Bi

, (4.64)

gdzie rij(t0) jest odległością pomiędzy atomami i i j w arbitralnie ustalonym czasie początku

pomiaru t0. Istotnym jest, aby w czasie t0 struktura była wolna od dyslokacji i poślizgów.

Dla każdego atomu określamy maksimum zbioru δ(A)i :

D(M)i (t)=max(δ

(A)i (t)),

które zostało zdefiniowane jako miara lokalnego uporządkowania atomu. Na podstawie

obserwacji określić można stałą D(P ) taką, że atomy, dla których spełniony jest warunek:

D(M)i (t)>D

(P ) (4.65)

są kandydatami do poślizgu. Drgania termiczne oraz migracja atomów na powierzchni

struktury powodują pojawianie się pojedynczych par atomów spełniających warunek (4.65),

dla temperatury 300K stanowią one koło 0.1% całkowitej liczby atomów. Dopiero grupa

atomów o wielkości porównywalnej z przekrojem próbki, spełniających ten warunek, stanowi

poślizg.

Do analizy przydatna jest całkowita liczba atomów spełniających warunek D(M)i (t)>x

dla dowolnego x:

W (M)(x,t)=N∑

i=1

Θ(D(M)i (t)−x). (4.66)

Rozkład ten pozwala na na wyznaczenie stałejD(P ) oraz czasu, w którym nastąpiło powstanie

dyslokacji i poślizgu.

4.6. Całkowanie równań ruchu

Najprostszą metodą rozwiązywania układu równań (4.1) jest zastosowanie (wynikające

bezpośrednio z rozwinięcia funkcji położenia atomu ri(t) w szereg Taylora), równania Eulera:

ri(t+h)= ri(t)+hri(t)+12h2ri(t), (4.67)


gdzie h jest krokiem całkowania. Jednak ze względu na małą dokładność rzędu O(h3) nie

nadaje się ona do stosowania w symulacjach. Dużo lepszą jest metoda Leap-Frog, w której:

ri(t+12h)= ri(t−

12h)+hr(r),

ri(t+h)= ri+hri(t+12h).

(4.68)

Jest to jedna z szybszych metod, lecz nie podaje dokładnych wartości prędkości w danym

kroku czasowym. Dokładność określenia prędkości jest o rząd niższa od dokładności wyliczo-

nych w tym samym kroku położeń – O(h4).

Następną grupę metod rozwiązywania układu (4.1) tworzą metody z przedkrokiem

(predictor–corrector, PC). Metody polegają na dwustopniowym obliczaniu właściwej wartości

opisujących stan cząstki.

Najczęściej wykorzystywaną jest tu metoda Geara [83], w której stan cząstki opisuje

wektor:

xi(t)=

xi(t)hxi(t)12h2xi(t)

12h2xi(t−h)

, (4.69)

gdzie h oznacza, jak wyżej, krok całkowania. W pierwszym przybliżeniu obliczany jest wektor

yi(t+h) przewidywanych położeń i ich pochodnych:

yi(t+h)=Ax i(t), (4.70)

gdzie:

yi(t+h)=

yi(t+h)hyi(t+h)12h2yi(t+h)12h2yi(t)

, A=

1 1 43 −13

0 1 3 −10 0 2 −10 0 1 0

. (4.71)

Z otrzymanego w ten sposób przewidywanego położenia cząstki yi(t+h) liczona jest siła

f(yi(t+h)). Właściwy wektor stanu cząstki, odnoszący się do następnego kroku całkowania,

otrzymywany jest ze wzoru:

xi(t+h)=yi(t+h)+a12h2[

f(yi(t+h))− yi(t+h)]

, gdzie a =

1656

10

. (4.72)

Metoda PC jest rzędu O(h5). W porównaniu z dokładnością prostszych metod, jak opisana

wyżej metoda Leap-Frog, jest o rząd dokładniejsza. Pozwala to zastosować kilkukrotnie

dłuższy krok całkowania – rzędu 5fs.

Pomimo, że metoda ta jest bardziej skomplikowana od pozostałych i w jednym kroku

wymaga wykonania większej liczby operacji zmiennoprzecinkowych, dzięki uzyskiwanej sta-

bilności czas obliczeń może ulec skróceniu w porównaniu z mniej skomplikowanymi metodami.


Dla zastosowanych do obliczeń potencjałów liczba operacji potrzebnych do obliczenia sił

jest znacznie większa (kilkaset razy) od liczby operacji potrzebnych do scałkowania równań

ruchu. Budując program wybrano więc algorytm umożliwiający zastosowanie dłuższych

kroków czasowych, co skróciło czas obliczeniowy przeprowadzanych symulacji.

5. Narzędzia programistyczne

5.1. Program nanoMD

Na potrzeby wyznaczenia stałych materiałowych stworzony został program nanoMD ,

pozwalający wyznaczyć ewolucję układu cząstek (atomów) metodami dynamiki molekularnej.

Podstawowym celem było stworzenie narzędzia o dużym stopniu uniwersalności, mogącego

posłużyć do symulacji różnych układów nanomechanicznych.

Trajektorie atomów obliczane są z równań odpowiednich dla wybranego sposobu utrzy-

mywania temperatury:

– bezpośrednie skalowanie prędkości do temperatury (metoda izokinetyczna Heermanna),

równania (4.13),

– termostat Nose–Hoovera, równania (4.20) i (4.21),

– termostat gaussowski, równania (4.15) dla n=1,

– brak kontroli, równanie (4.5),

których całkowanie odbywa się za pomocą algorytmu Geara czwartego rzędu, przedstawio-

nego w rozdziale 4.6.

Potrzebne do rozpoczęcia symulacji prędkości początkowe przypisywane są atomom

z rozkładu Maxwella–Boltzmanna. Współrzędna x(t−h), wymagana przez algorytm Gearado opisu stanu cząstki, wyznaczana jest przez wykonanie Neuler kroków metodą Eulera

(4.67), z krokiem czasowym he = − hNeuler

(gdzie h jest podstawowym krokiem czasowym

wykorzystywanym przy całkowaniu równań), i obliczeniu sił działających w tym czasie.

W celu obliczania sił działających na atom, gradient potencjału (4.3) zapisany został

jako funkcja (nie jest liczony numerycznie z funkcyjnej postaci potencjału), co znacznie przy-

spiesza obliczenia. W szczególności, jako oddziaływanie międzyatomowe, zaimplementowane

zostały:

– potencjał harmoniczny (użyteczny do testów),

– potencjał AIREBO dla wiązań C–C opisany dokładniej w rozdziale 4.3,

– potencjał Sutton-Chen dla metali opisany dokładniej w rozdziale 4.4

58

5. NARZĘDZIA PROGRAMISTYCZNE 59

Podstawową cechą programu, pozwalającą na manipulacje mechaniczne symulowanymi obiek-

tami, jest możliwość przypisania grupie atomów oddziaływania zewnętrznego, rozumianego

jako jakiekolwiek oddziaływanie nie będące oddziaływaniem międzyatomowym.

Oddziaływanie zewnętrzne może być zadane przez:

– zewnętrzną siłę,

– wymuszoną prędkość,

– moment siły zewnętrznej,

– wymuszoną prędkość kątową,

– unieruchomienie atomu (całkowite lub względem zadanego kierunku).

5.2. Programy do obróbki danych

Z uwagi na dużą liczbę przeprowadzonych symulacji należało zautomatyzować wyzna-

czanie wszystkich właściwości przebadanych nanostruktur. W tym celu powstał zbiór pro-

gramów pozwalających na znaczne zautomatyzowanie przygotowania danych wejściowych,

analizy wyników i wyznaczania podstawowych właściwości badanych obiektów.

Zostały stworzone programy:

maketube – do generowania początkowej struktury nanorurki o dowolnej chiralności i długości,

metalbase – do generowania początkowej struktury nanprętów fcc o zdanej orientacji kry-

stalograficznej i dowolnym promieniu i długości,

xyzstats – do obróbki danych wyjściowych zawierających położenia atomów z wybranych

kroków symulacji. Program pozwala na analizę zmian geometrii układu podczas

eksperymentu,

hdetect – do zliczania liczby znaczących maksimów przebiegu funkcji,

edetect – do wyznaczania granicy monotoniczności przebiegu danych, na potrzebę wyznacza-

nia granicy sprężystości,

ddetect – do analizy powstawania dyslokacji i poślizgów.

Pozostałe obliczenia zostały wykonane za pomocą odpowiednich skryptów do programu

gnuplot [84].

5.3. Poprawność działania programu nanoMD

Sprawdzenie poprawności działania programu obliczeniowego do symulacji MD jest dzia-

łaniem wieloetapowym. Podstawą poprawnego działania jest prawidłowe całkowanie rów-

nań ruchu. Następnie należy sprawdzić poprawność implementacji funkcji energii wiązania.


W kolejnym kroku sprawdzana jest działanie funkcji obliczającej siły. Błędnie wprowadzone

funkcje lub nieodpowiedni algorytm całkowania równań będą prowadzić do niespełnienia

zasady zachowania energii dla układów izolowanych. Równolegle należy zwracać uwagę na

dokładność całkowania równań ruchu. Błędy spowodowane zbyt dużym krokiem całkowania

spowodują, że zasady zachowania również i w tym przypadku nie będą spełnione. Nie będzie

to jednak błąd programu, a jedynie zły dobór parametrów obliczeń.

Następnym krokiem w weryfikacji poprawności działania programu jest sprawdzenie

poprawności uzyskanych wyników. Sprawdzenie to zawiera w sobie weryfikację jakościową,

którą można przeprowadzić porównując rezultaty symulacji ze spodziewanym wynikiem,

jak np. liniowość prawo Hooka dla małych odkształceń i zależność temperatury topnienia

od średnicy nanostruktury, oraz weryfikację ilościowa przez porównanie własnych wyników

z rezultatami uzyskanymi innymi metodami lub programami.

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.005 0.01 0.015 0.02

napr

ężen

ie [G

Pa]

odkształcenie ε

Rysunek 5.1. Liniowy wzrost naprężenia podczas rozciągania nanopręta. Przykład dla pręta Auo promieniu 40A i orientacji przekroju (111).

Przeprowadzone próby potwierdziły poprawność działania programu. Określono mak-

symalny krok całkowania dla nanorurek węglowych, wynoszący 0.5fs, oraz dla nanoprętów,

wynoszący 5fs. Z symulacji rozciągania nanoprętów uzyskano zgodność z prawem Hooka,

co obrazuje liniowy przebieg zmiany siły wraz z odkształceniem przedstawiony na wykresie

5.1. Symulacje ogrzewania nanoprętów pozwoliły wyznaczyć temperaturę topnienia. Zgodnie

z innymi badaniami [85–87] temperatura topnienia malała ze wzrostem średnicy nanoprę-

tów. Podobnie dla nanorurek węglowych – uzyskane w wyniku wartości modułu Younga były


zgodne z oczekiwaniami i z wynikami innych obliczeń oraz eksperymentów, co zostało opisane

w rozdziale 7.1

5.4. Optymalizacja programu nanoMD

Możliwości obliczeniowe posiadanego sprzętu oraz założone terminy wykonania wymu-

szają przyjęcie odpowiedniej strategii realizacyjnej. Podstawowym elementem takiej strategii

jest ustalenie pożądanej dokładności wyników. Następnym elementem strategii jest mak-

symalizacja szybkości obliczeń. Pozostałe elementy, jak wygoda użytkowania, elastyczność,

uniwersalność itd. maja znaczenie drugorzędne w porównaniu z pierwszymi dwoma.

Dokładność obliczeń wynika głównie z dobranych parametrów symulacji takich, jak

długość kroku czasowego całkowania równań ruchu, czy też promień odcięcia potencjału.

Promień odcięcia dla nanorurek wynika z postaci samego potencjału i wynosi 2A dla

oddziaływań wiążących i 7A dla niewiążących. Dla nanoprętów metalicznych należało

uwzględnić znacznie większe sąsiedztwo otaczających atomów. Dla wszystkich próbek został

ustalony promień odcięcia równy czterem stałym sieciowym budulca. Dla sieci fcc otoczenie

to zwiera około 900 atomów.

Szybkość obliczeń rozumiana w sensie liczby obliczonych kroków symulacji w czasie

można zwiększyć stosując odpowiednie metody i algorytmy numeryczne lub odpowiednio

zaplanowanie zadań.

Z uwagi na różnice wielkości i złożoności numerycznej obliczeń, przeprowadzane ekspe-

rymenty podzielono na dwie grupy. Jedną stanowiły nanorurki węglowe – 432 obiekty złożone

z 700 do 7000 atomów. Pomimo rozbudowanego i złożonego modelu oddziaływań dla węgla,

kowalentny charakter wiązania i mała liczba sąsiednich atomów uwzględnianych przy wyli-

czaniu energii i sił powodują, że nie są to obliczenia czasochłonne. Zrównoleglenie obliczeń

dla tak mało intensywnych obliczeniowo układów nie jest zazwyczaj opłacalne. Dla tej grupy

eksperymentów odpowiednim podejściem do optymalizacji jest zrównoleglenie pracy nad ca-

łym zadaniem (wszystkimi obiektami na raz). Plan wykonywania obliczeń i przygotowanie

danych wejściowych zostały wykonane tak, aby można było uruchamiać wszystkie obliczenia

i analizę wyników na raz – optymalnie wykorzystując dostępne zasoby.

Drugą grupę stanowią nanopręty metaliczne – 72 obiekty zawierające od 1500 do 64000

atomów. Wykorzystany model oddziaływania dla metali jest prosty matematycznie, lecz

z uwagi na charakter wiązań metalicznych zachodzi potrzeba uwzględnienia do 800 sąsied-

nich atomów. Bardzo duże układy, dużą złożoność numeryczna obliczeń i mała, w porówna-

niu z nanorurkami węglowymi, liczba obiektów zaplanowanych do przebadania, wymagały


zmiany strategii optymalizacji obliczeń i skupienia się na pojedynczych obiektach. Dobre

zrównoleglenie programu umożliwiło prowadzenie obliczeń, dla największych obiektów, na

100 procesorach jednocześnie. Z powodu czasu niezbędnego do komunikacji między proce-

sami zrównoleglenie obliczeń ma sens jedynie dla większych nanostruktur, złożonych z więcej

niż 1000 atomów.

Przy obliczeniach równoległych istotne są dwie miary odnoszące się do liczby wykorzy-

stanych procesorów. Podstawową miarą jest przyspieszenie definiowane jako stosunek czasu

potrzebnego na wykonanie obliczeń na jednym procesor do czasu obliczeń na wielu proce-

sorach. Wynik badań dla programu nanoMD przedstawia wykres 5.2. Jak można zauważyć,

nie opłaca się wykorzystywać więcej niż 100 procesorów.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 20 40 60 80 100 120 140 160

przy

spie

szen

ie o

blic

zeń

liczba procesorów

Rysunek 5.2. Zależność przyspieszenia obliczeń od liczby procesorów.

Drugą miarą jest efektywność zrównoleglenia. Definiowana jest jako stosunek przyspie-

szenia do liczby wykorzystanych procesorów. Dla idealnego przypadku efektywność wynosi 1.

Wyniki badań dla programu nanoMD przedstawiono na wykresie 5.3

Dla 100 procesorów efektywność zrównoleglenia wynosi zaledwie 50%, lecz z uwagi na

liczbę dostępnych procesorów i skrócenie czasu obliczeń, uruchamianie programu na takiej

liczbie procesorów daje oszczędność czasu.


0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 20 40 60 80 100 120 140 160

efek

tyw

ność

zró

wno

legl

enia

obl

icze

ń

liczba procesorów

Rysunek 5.3. Wpływ liczby procesorów na efektywność zrównoleglenia.

6. Analiza wyników symulacjinumerycznych

Podczas symulacji wielkości fizyczne są bardzo gęsto próbkowane (wartości chwilowe),

a wartości makroskopowe właściwości mechanicznych wynikają z uśrednienia w określonym

przedziale czasu. Dla ich wyznaczenia wymagane jest uśrednianie mierzonych wartości

w określonych odcinkach czasu lub w dostatecznie dużym obszarze.

6.1. Wyznaczanie modułu Younga

Podstawową wielkością charakteryzującą właściwości mechaniczne materiału w zakresie

odkształceń sprężystych jest moduł Younga Y , określający podatność materiału na zmianę

odległości międzyatomowych pod wpływem przyłożonego obciążenia.

Każde odkształcenie badanej próbki wiąże się ze zmianami odległości międzyatomowych,

zarówno podczas rozciągania, gdy zmieniają się długości boków komórek elementarnych, jak

i podczas ścinania, gdy długości boków komórki nie zmieniają się, lecz zmieniają się długości

przekątnych. Zależność modułu ścinania od modułu Younga jest bezpośrednio widoczna dla

ciał izotropowych, (2.54).

Moduł Younga oraz granicę plastyczności wyznaczano z przebiegu rozciągania i ściska-

nia próbki. Próbki wycięte z idealnego kryształu wzdłuż odpowiednich płaszczyzn krysta-

lograficznych poddawano relaksacji, w czasie której atomy w warstwach powierzchniowych

przybierały nowe położenie wynikające z minimum energetycznego. Rozciągając i ściskając

tak przygotowane próbki wyznaczono moduł Younga.

Obciążanie próbek odbywało się przez nadanie końcom próbki (uchwytom) stałej pręd-

kości o kierunku równoległym do osi pręta. Stała prędkość uchwytów daje w wyniku stałą

prędkość odkształcania, co jest równoznaczne z siłą narastającą ze stałą prędkością. Ob-

ciążając próbkę w taki sposób nie wprowadza się obciążenia udarowego, prowadzącego do

niepożądanych skutków, jak drgania lub pękanie. Bliższe omówienie mocowania i obciążania

zawiera rozdział 3.3.

64

6. ANALIZA WYNIKÓW SYMULACJI NUMERYCZNYCH 65

Do opisu właściwości mechanicznych ciał krystalicznych zbudowanych z komórek regu-

larnych, centrowanych na ściankach lub centralnie, należy wyznaczyć trzy niezależne stałe

materiałowe, na przykład moduł Younga, moduł Kirchhoffa i współczynnik Poissona.

Metody pomiarowe służące badaniu właściwości mechanicznych nanoprętów są iden-

tyczne jak dla nanorurek - drgania swobodne [88], ugięcie pręta zamocowanego jednostronnie

lub dwustronnie [89, 90]. Znane metody wytwarzania nanoprętów nie pozwalają na otrzy-

mywanie nanoprętów o zadanych parametrach [88, 89, 91, 92]. Trudności te spowodowały, że

przeważają prace, w których badanie odbywa się przy pomocy eksperymentów numerycznych

[93–96, 78].

Najprostszą postacią zależności pomiędzy odkształceniami a naprężeniami jest prawo

Hooka dla jednorodnego, jednoosiowego pola naprężeń:

σx=Y εx, (6.1)

gdzie σ – naprężenie, ε – wydłużenie. Ten właśnie sposób wyznaczania modułu Younga Y

został przyjęty w pracy: z przebiegu rozciągania i ściskania próbki wyznaczano moduł Younga

oraz granicę plastyczności. Symulacje prowadzono aż do momentu zerwania materiału.

Szczegółową analizę wyników prowadzono do momentu pojawienia się dyslokacji i spadku

energii właściwej próbki.

Moduł Younga można wyznaczyć korzystając bezpośrednio z jego definicji, mierząc

podczas obciążania naprężenia powstające w próbce,

Y =σ

ε, (6.2)

definiując naprężenie jako

σ=FkA, (6.3)

gdzie Fk – siła reakcji próbki mierzona na uchwycie, A – powierzchnia przekroju uchwytu.

Dla zakresu w którym zjawisko jest liniowe, w celu porównania z makroskopowymi odpo-

wiednikami modułu Younga, należy dopasować parametry prostej do wyników eksperymentu:

σ(ε)=Y ε (6.4)

tak jak przedstawiono to na rysunku 6.1. Wyznaczony w ten sposób został moduł Younga

dla ściskania próbki (Ysci) oraz dla rozciągania (Yroz).

Drugim sposobem wyznaczenia wartości modułu Younga jest użycie zależności energii

wewnętrznej E od odkształcania:

Y =1V0

∂2E

∂ε2. (6.5)

W metodzie tej wyznaczany jest moduł Younga z zależność całkowitej energii wewnętrznej

układu od odkształcenia E(ε). Metoda ta jest jednak obarczona błędem powodowanym przez


-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

napr

ężen

ie σ

odkształcenie ε

σ(ε) zmierzoneσ(ε)=Yrozεσ(ε)=Ysciε

Rysunek 6.1. Wyznaczanie modułu Younga z zależności σ(ε).

wpływ uchwytów manipulujących. Nie mniej z uwagi na gładki przebieg zależności E(ε) jest

często stosowana do wyznaczania modułu Younga.

6.2. Wyznaczanie współczynnika Poissona

Współczynnik Poissona, ν, charakteryzuje przewężenie w kierunku prostopadłym do

kierunku rozciągania i dla ciał izotropowych oraz dla nanorurek ma miejsce związek:

ν=−εyεz=−εxεz, (6.6)

gdzie: εz - wydłużenie w kierunku działania siły, εx, εy - wydłużenie w kierunkach prostopa-

dłych do kierunku działania siły,

W ciałach anizotropowych ma miejsce zależność współczynnika Poissona od kierunków

krystalograficznych [97, 38, 98, 99]. W kryształach fcc, gdy rozciąganie następuje w kierunku

110 wówczas εx 6= εy. W tym przypadku wyznaczona wartość jest uśrednionym współczyn-nikiem Poissona.

We wszystkich przypadkach wartość odkształcenia poprzecznego obliczano ze zmiany

uśrednionego promienia pręta R obliczonego według wzoru (4.56):

ν=εrεz, (6.7)

gdzie:

εr = ln(R−R0R0) (6.8)


Przedstawiony sposób liczenia ν będzie identyczny dla pręta i dla rurki, pomimo odmienności

interpretacyjnej mającej miejsce dla nanorurek, omówionej w rozdziale 7.2

Współczynnik Poissona wyznaczono korzystając bezpośrednio z jego definicji, z zależno-

ści odkształcenia poprzecznego od odkształcenia wzdłużnego. W obszarze liniowej zależności

odkształceń współczynnik Poissona równy jest wartości współczynnika nachylenia prostej.

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04

odks

ztał

ceni

e po

prze

czne

εr

odkształcenie wzdłużne εt

εr zmierzoneεr = ν- εtεr = ν+ εt

Rysunek 6.2. Wyznaczanie współczynnika Poissona z zależności εt(εr).

Wyznaczana w ten sposób wartość współczynnika Poissona jest zależna od zakresu

liniowości przebiegu εt(εr).

6.3. Wyznaczanie modułu Kirchhoffa

Podczas skręcania pręta występuje ścinanie, bez naprężeń gnących i rozciągających. Do

określenia siły z jaką materiał przeciwstawia się takiemu odkształceniu służy moduł ścinania

G, nazywany również modułem Kirchhoffa. Moduł Kirchhoffa dla ciał anizotropowych

określamy podając płaszczyznę wzdłuż której następuje ścinanie oraz kierunek działania

siły lub momentu skręcającego.

Zgodnie z hipotezą Cauchy-Borna, odwzorowanie odkształcenia całego kryształu ma

miejsce na krawędziach komórek elementarnych, natomiast przesunięcie atomów związanych

ze środkami ścianek wynika z odkształcenia całej ścianki w wyniku ruchu krawędzi. W wa-

runkach laboratoryjnych dla ciał masywnych moduł Kirchhoffa jest wyznaczany ze skręcania


pręta Jest to próba statyczna, podczas której możliwe jest osiągnięcie dużej dokładności

pomiaru.

Podczas symulacji numerycznych wykorzystano inny sposób wyznaczenia modułu ścina-

nia — z częstości drgań skrętnych pręta. Po skręceniu pręta puszczano jeden z jego końców

i badano częstość powstałych drgań skrętnych. Do obliczenia modułu Kirchhoffa wykorzy-

stano wzór na częstość podstawową swobodnych drgań skrętnych pręta:

f =14L

√

G

, (6.9)

z którego otrzymujemy wyrażenie na moduł Kirchhoffa:

G=16L2f2. (6.10)

Doświadczenie polegało no skręceniu próbki o kąt, przy którym widoczne jest wzrost energii

wewnętrznej, a następnie swobodnym puszczeniu jednego z uchwytów. Częstotliwość drgań

skrętnych wyznaczana jest z okresu oscylacji energii wewnętrznej.

-3.725

-3.724

-3.723

-3.722

-3.721

-3.72

-3.719

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Ene

rgia

koh

ezji

[eV

/ato

m]

czas [ps]

Rysunek 6.3. Wykres zmian energii wewnętrznej układu podczas drgań skrętnych.Przykład dla pręta Au-001-7.

6.4. Walidacja i weryfikacja

Ocena poprawności i dokładności uzyskanych rezultatów w świetle tego co wiemy o sys-

temie fizycznym i modelu używanym do jego opisu, jest ważnym zagadnieniem związanym

ze stosowaniem symulacji komputerowych.


Wyznaczanie i kwantyfikowanie rzetelności i pewności symulacji komputerowych jest

znane jako weryfikacja i walidacja (W&W). Walidacja, to wyznaczanie dokładności, z jaką

dany model matematyczny opisuje modelowane zjawisko. Weryfikacja, to wyznaczanie do-

kładności, z jaką dany model obliczeniowy reprezentuje model matematyczny. Walidacja od-

powiada na pytanie: czy dobre równania są rozwiązywane, podczas gdy weryfikacja dotyczy

odpowiedzi na pytanie czy równania są poprawnie rozwiązywane[100].

Proces W&W można podzielić na część odnoszącą się do modelu i odnoszącą się do

danych. Walidacja modelu, to ocena założeń i sposobu reprezentacji problemu oraz badanie

modelu w trakcie jego eksploatacji, weryfikacja zaś, to badanie poprawności implementacji.

Celem walidacji danych jest upewnienie się, że dane wykorzystane w modelu są poprawne.

W przypadku nanostruktur nie jest możliwe przeprowadzenie W&W w pełnym zakresie,

wynikającym z ogólnych zasad, ponieważ dane doświadczalne są obarczone dużym błędem,

na przykład w nanorurkach jest on oceniany na 50%. Porównanie z wynikami innych obliczeń,

również nie zweryfikowanych fizycznie, nie jest ani walidacją, ani weryfikacją.

Na wielkość niepewności wyników otrzymanych symulacji komputerowych mają wpływ

takie czynniki, jak:

– stworzony model fizyczny,

– zastosowany model matematyczny,

– dokładność zastosowanych metod numerycznych,

– błąd statystyczny,

– powtarzalność symulacji.

Zastosowane do wyznaczania właściwości mechanicznych modele fizyczny i matematyczny i

ich aktualność w stosunku do problemu omówiono w rozdziałach 3 oraz 4. Krok całkowania

równań pozwalał na uzyskanie stabilnych rozwiązań, natomiast zastosowane potencjały wy-

starczająco dobrze opisują siły międzyatomowe. Błąd statystyczny uzyskiwanych rezultatów

jest wynikiem:

– niepewności pomiaru geometrii,

– drgań termicznych struktury.

Drgania termiczne struktury są rzeczą naturalną i wiążą się z nimi fluktuacje mierzonych

wartości sił, prędkości i pozycji atomów. Niepewność wyznaczonej wartości wynika z błędu

statystycznego popełnianego przy uśrednianiu mierzonych parametrów układu lub przy

dopasowaniu funkcji do przebiegu zmienności tych parametrów.

Maksymalny błąd statystyczny zaobserwowany przy wyznaczaniu modułu Younga,

wynikający z dopasowania funkcji do przebiegu zmienności energii od odkształcenia, wynosi:

U(Y )= 10%, (6.11)


natomiast dla współczynnika Poissona:

U(ν)= 6%. (6.12)

Na niepewność pomiaru geometrii oprócz drgań termicznych wpływa również odchylenie

kształtu próbki od przyjętego, w badanych próbkach – cylindra. O ile długość struktury mo-

żemy określić ściśle, gdyż mierzymy ją jako odległość pomiędzy niepodlegającymi drganiom

termicznym uchwytom, o tyle średnica przekroju struktury nie jest taka sama w każdym

kierunku, co jest widoczne na rysunku 3.4. Maksymalny błąd pomiaru promienia przekroju

poprzecznego wynosi:∆RR=2% (6.13)

Z uwagi na fakt, iż mierzone właściwości zależne są także od promienia, wpływ tej niepewności

także należy uwzględnić:∆YY=2∆RR+U(Y )= 14%, (6.14)

∆νν=∆R|R−R0|

+∆R0R0+U(ν). (6.15)

Niepewność pomiaru ν jest odwrotnie proporcjonalna do różnicy R−R0, powoduje todużą niepewność pomiaru dla małych odkształceń. Dla odkształcenia εt = 0.02 niepewność

pomiaru ν wynosi:∆νν

∣

∣

∣

εt=0.02=20%. (6.16)

Niepewność pomiaru współczynnika Kirchhoffa G związana jest z dokładnością wyzna-

czenia okresu drgań skrętnych oraz wyznaczenia gęstości próbki. Okres drgań skrętnych wy-

znaczany był z 8 okresów z dokładnością do 1/4 okresu. Daje to dokładność wyznaczenie

okresu drgań równą 1/32, czyli ∼ 3%, dodając do tego błąd wyznaczenia gęstości związanyz niepewnością określenia średnicy próbki wynoszący 4%, otrzymujemy:

∆GG=7% (6.17).

Powtarzalność uzyskiwanych wyników została sprawdzona porównując wyniki kilku wybra-

nych symulacji różniących się prędkościami początkowymi atomów. Różnice wartości wy-

znaczanych własności mechanicznych mieściły się poniżej granicy błędu. Jedyną wartością

wykraczającą poza błąd statystyczny pojedynczego pomiaru jest wartość granicznego na-

prężenia σkr i granicznego odkształcenia εkr nanostruktury. Rozrzut uzyskanych rezultatów

wyniósł 20%:

U(εkr)= 20% (6.18)

i jest on spowodowany zależnością momentu powstania poślizgu od fluktuacji termicznych

atomów.

W tabeli 6.1 umieszczono górne oszacowanie niepewności wyznaczanych właściwości

mechanicznych nanostruktur.


Tabela 6.1. Niepewności wyznaczanych wartości opisujących właściwości mechaniczne.

parametr niepewnośćY 16%ν 20%εkr 20%G 7%

7. Właściwości mechanicznejednościennych nanorurek węglowych

Struktura atomowa nanorurek węglowych jest dobrze znana i opisana. Współrzędne

wektora chiralnego określają sposób ułożenia pierścieni węglowych na powierzchni rurki i po-

zwalają obliczyć średnicę nanorurki. Długość rurki jest dowolna. Opanowanie na skalę prze-

mysłową metod otrzymywania nanorurek węglowych, wykorzystywanych następnie do wy-

twarzania wysokowytrzymałych nanokompozytów, zwiększyło zainteresowanie ich właściwo-

ściami mechanicznymi [101–103]. Pewne trudności sprawia jeszcze wytwarzanie nanorurek

o zadanej chiralności i średnicy, ponieważ nie w pełni poznano mechanizmy nukleacji homo-

genicznej, wzrostu i zakończenia ich wzrostu, a znajomość tych mechanizmów jest potrzebna

do opracowania metod nukleacji heterogenicznej indukowanej.

Bez względu na rodzaj zastosowanego sposobu syntezy nanorurek, w otrzymanym

produkcie średnica większości nanorurek jednościennych zawiera się w granicach od 12 do

20A, podczas gdy średnica nanorurek wielościennych może przekraczać 250A[7].

Przyjęto oznaczenie ZZ dla nanorurek o chiralnościach (0,n) i (n,0) (tzw. zygzakowa-

tych) oraz AC dla nanorurek o chiralnościach (n,n) (tzw. krzesełkowych, z ang. armchair).

7.1. Moduł Younga

7.1.1. Metody doświadczalne wyznaczania modułu Younga

Pierwszą pracą dotyczącą pomiaru modułu Younga nanorurek węglowych był pomiar

częstości drgań metodą spektroskopii ramanowskiej [25] omówiony w rozdziale 1.2. W prze-

ciwieństwie do powyższej metody, wszystkie pozostałe metody pomiarowe były metodami

pośrednimi, gdyż do obliczenia modułu Younga należało przyjąć jakąś grubość ścianki na-

norurki. Po początkowym okresie wahań, czy ma to być przestrzenna rozciągłość orbitali π,

czy odległość pomiędzy płaszczyznami grafenowymi 3.4A, przyjęło się stosować tę drugą

wartość. Umowa ta umożliwia jedynie porównywanie otrzymywanych wyników.

Kriszna [104] wyznaczył moduł Younga metodą analizy drgań termicznych końca jedno-

stronnie zamocowanej nanorurki. Następnie przyjmując grubość ścianki δ = 3.4A otrzymał

72

7. WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE JEDNOŚCIENNYCH NANORUREK WĘGLOWYCH 73

w wyniku Y =1.3TPa z możliwym błędem +0.6/−0.4TPa. Pomiary wykonano na rurkacho długości 7÷50A i przeciętnej średnicy 14A. Podobnie, wyznaczono moduł Younga w pra-cach [93, 105–107].

W innych badaniach moduł Younga obliczano na podstawie pomiaru ugięcia swobodnego

końca nanorurki [108–111] lub ugięcia na środku długości nanorurek obustronnie zamocowa-

nych [112–114, 22]. Metody te opierają się na założeniu, że linię ugięcia nanorurki opisuje

ten sam wzór, co linię ugięcia rury w skali makro, a do obliczenia momentu bezwładności

wykorzystuje się wzory z wytrzymałości materiałów, przyjmując grubość ścianki równą 3.4A.

Znaczny błąd pomiaru, wynoszący do 50% [114, 115, 93] oraz arbitralne przyjęcie grubości

ścianki, powodują niepewność interpretacji. Większość publikacji wskazywała na wartość mo-

dułu Younga wynoszącą 1±0.5TPa. Obszerne przeglądy uzyskiwanych wyników zawarte sąw pracach [116, 12, 117].

7.1.2. Metody obliczeniowe wyznaczania modułu Younga

Wśród symulacji numerycznych prowadzących do określenia właściwości mechanicznych

nanorurek, w literaturze przedmiotu można wyróżnić:

— metody oparte na modelu powłokowym [28, 118, 119],

— metody oparte na modelu membranowym [39, 23, 24],

— metody wykorzystujące dynamikę molekularną – większość prac, np. [116],

— metody stosujące mechanikę kwantową –[120–122].

Dla małych ugięć płaska płyta grafenowa posiada znikomą sztywność. Zwinięcie płyty

grafenowej w rurkę wymaga wykonania pracy zależnej od średnicy rurki i składowych wektora

chiralnego. Oprócz wzrostu energii wiązań, wynikającego z krzywizny [11], wzrasta sztywność

kształtu, mierzona sztywnością na zginanie, D= Y J , gdzie J - moment bezwładności prze-

kroju. W rozdziale 1.2 omówiono metodę powłokową obliczania właściwości mechanicznych

nanorurek. Otrzymana w jej wyniku grubość ścianki jednościennych nanorurek węglowych

równą 0.6A, co jest wartością zbliżoną do przestrzennej rozciągłości orbitali π.

Odnośnie wpływu chiralności na właściwości nanorurek, w tym na moduł Younga, po-

między autorami opublikowanych prac zauważa się istotne różnice [123]. Brak rozstrzygnięcia

eksperymentalnego tych kontrowersji wynika z braku dostatecznie precyzyjnych metod po-

miarowych. Natomiast dla eksperymentu numerycznego istotny jest rodzaj przyjętego poten-

cjału i wartości jego parametrów. Większość opublikowanych wyników uzyskano wykorzystu-

jąc potencjał Tersoffa-Brennera. Potencjał ten nie uwzględnia wpływu kątów przestrzennych

pomiędzy wiązaniami na energię wiązania, przez co w wyniku obliczeń uzyskanych z wyko-


rzystaniem zawsze otrzymuje się wartość modułu Younga niezależną od chiralności. W przed-

kładanej pracy do obliczeń wykorzystano potencjał AIREBO, uwzględniający zmiany kątów

przestrzennych powstające pomiędzy wiązaniami w wyniku zwijania płyty grafenowej.

Na obecnym etapie rozwoju możliwości pomiarowych jedynym możliwym sposobem

określenia zależności modułu Younga od budowy nanorurki jest zatem eksperyment nume-

ryczny, a jego wyniki będą mogły być zweryfikowane w przyszłości, kiedy to powstaną od-

powiednio dostatecznie dokładne metody eksperymentalne. Podejmowane próby określenia

właściwości mechanicznych na podstawie modeli prętowych mają ograniczony zakres stoso-

wania, ponieważ podczas odkształcania następują jednoczesne zmiany kątów oraz długości

wiązań, wpływ zmiany kąta pomiędzy wiązaniami na energię układu nie jest symetryczny

względem położenia równowagi, a otrzymywane układy prętów są statycznie niewyznaczalne.

7.1.3. Moduł Younga – wyniki

Wyniki przeprowadzonych symulacji przedstawiono w tabeli 10.1 umieszczonej w Uzu-

pełnieniu 1 oraz syntetyczny sposób na rysunkach 7.1 do 7.4.

Na rysunku 7.1a przedstawiającym zależność naprężenia od odkształcenia, widoczna

jest zmiana kąta nachylenia stycznej, co oznacza zmienność modułu Younga w funkcji

wydłużenia ε. W miarę wzrostu wydłużenia maleje wartość modułu Younga i tym samym

zwiększa się podatność materiału na wydłużenie. Niemniej w granicach −0.02 < ε < 0.0oraz 0 < ε < 0.02 można przyjąć nachylenie jako stałe, czyli moduł Younga jako stałą

materiałową. Z takiego przedziału zostały wyznaczone prezentowane poniżej wartości modułu

Younga. Na rysunkach 7.1 widoczna jest także zależność modułu Younga od typu nanorurki.

W celu zbadania wpływu indeksu chiralności na moduł Younga wyodrębniono nano-

rurki, dla których pierwsza współrzędna ma wartość n, a druga ze współrzędnych wektora

chiralnego zmienia się w zakresie od 0 do n. Na rysunkach 7.2 pokazano zmianę wartości Y

wraz ze wzrostem indeksu chiralności n+m, gdy wartość współrzędnej n wynosi 20. Wzrost

indeksu oznacza w tym przypadku również wzrost średnicy nanorurki.

Podczas rozciągania (rysunek 7.2b) największą wartość modułu Younga ma achiralna

nanorurka typu zygzakowatego (ZZ), o współrzędnych wektora chiralności (0,20). Wraz ze

wzrostem drugiej współrzędnej zmniejsza się wartość Y i dla drugiego rodzaju achiralności,

nanorurki typu krzesełkowego (AC) o współrzędnych (20,20), gdy średnica rurki wzrosła

o około 50%, wartość modułu Younga zmniejszyła się o 17%. Analogicznie dla ściskania,

z tą różnicą, że najmniejszą wartość modułu mają rurki ZZ. Pomimo widocznej zależności

modułu Younga od współrzędnych wektora chiralnego, nie można wskazać przyczyny zmian


-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08

npar

ężen

ie [G

Pa]

odkształcenie ε

a)(00,20)(10,20)(20,20)

-40

-20

0

20

40

60

80

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08

npar

ężen

ie [G

Pa]

odkształcenie ε

b)(00,25)(10,20)(15,15)

σ(ε)=Y(00,25)εσ(ε)=Y(10,20)εσ(ε)=Y(20,20)ε

Rysunek 7.1. Krzywe rozciągania dla nanorurek: a) o indeksach (20,n), n= 0, . . . ,20,b) o średnicy około 10A i różnych chiralnościach.

modułu Younga – czy jest nią średnica nanorurki, czy jej chiralność, bowiem zmiany

chiralności wiążą się ze zmianami średnicy.

Przyczyna zmian jest widoczna na rysunku 7.1b, na którym zebrano wyniki uzyskane

dla rurek o podobnej średnicy, około 10A. Na wykresach rozciągania w układzie σ – ε

pokazano przebiegi dla rurek o współrzędnych wektora chiralnego (0,25), (15,20) i (10,20).

Z porównania nachylenia otrzymanych linii wynika, że to zmiana chiralności wpływa na


0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

0 5 10 15 20

mod

uł Y

oung

a [T

Pa]

indeks n chiralności (20,n) i (n,20)

a)

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

0 5 10 15 20

mod

uł Y

oung

a [T

Pa]

indeks n chiralności (20,n) i (n,20)

b)

Rysunek 7.2. Zależność modułu Younga od chiralności dla klasy nanorurek o indeksach (n,20)i (20,n), n∈0, . . .,20, a) podczas ściskania próbki i b) podczas rozciągania próbki.

zmiany wartości modułu Younga. Nanorurki typu zygzakowatego są mniej podatne na

rozciąganie od rurek krzesełkowych

Y(ZZ)+ >Y

(AC)+ , (7.1)

natomiast podczas ściskania jest odwrotnie, rurki typu zygzakowatego są bardziej podatne

na odkształcanie od rurek krzesełkowych

Y(ZZ)− <Y

(AC)− . (7.2)

Na rysunkach 7.4 przedstawiono zależność modułu Y od chiralności jako mapę w zakresie

indeksów 0,... ,20.

Na krzywych rozciągania, pokazanych na rysunkach 7.1 widoczne jest, że związki (7.1)

i (7.2)) mają miejsce w całym zakresie odkształceń sprężystych.

0 5 10 15 20

indeks n

0

5

10

15

20

indeks m

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

TPaa)

0 5 10 15 20

indeks n

0

5

10

15

20

indeks m

0.85

0.9

0.95

1

1.05

TPab)

Rysunek 7.4. Zależność modułu Younga od chiralności (n,m) nanorurek węglowych dla:a) dla ściskania i b) rozciągania.

Przebieg zależności modułu Younga nanorurek od ich średnicy wskazywał, że wartości

Y dla rozciąganych nanorurek typuAC powinny stanowić dolną granicę wartości, a nanorurek


0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

mod

uł Y

oung

a [T

Pa]

promień [Ao]

AC

ZZ

a)

zygzak (n,0) i (0,n)krzesełkowa (n,n)

(n,m) n≠m

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

mod

uł Y

oung

a [T

Pa]

promień [Ao]

AC

ZZ

b)

zygzak (n,0) i (0,n)krzesełkowa (n,n)

(n,m) n≠m

Rysunek 7.3. Zależność modułu Younga od promienia nanorurek węglowych obserwowana:a) podczas ściskania i b) podczas rozciągania próbki.

typu ZZ – górną. W wyniku obliczeń okazało się, że górna granica utworzona jest przez

nanorurki o współrzędnych wektora chiralnego (n,1). Podobnie z dolną granicą – tworzą ją

wartości Y dla nanorurek (n,n−1). Różnica pomiędzy wartościami Y dla rurek (n,0) i (n,1)oraz pomiędzy rurkami (n,n) i (n,n−1) jest nieznaczna, to jednak istnieje, i właściwość tama miejsce dla wszystkich średnic poddanych badaniu. Nie znaleziono potwierdzenia takiego

zachowania w dostępnej literaturze, ani nie udało się go wyjaśnić na drodze analiz własnych.

Na rysunku 7.3 widoczna jest stabilizacja granicznych wartości modułu Younga dla

średnic większych od 8A. Wynoszą one odpowiednio górna 1.05TPa, a dolna 0.89TPa.


Wyniki uzyskane podczas obliczeń mających na celu sprawdzenie wpływu chiralności na

moduł Younga dla nanorurek ściskanych nie układają się tak regularnie, jak podczas próby

rozciągania, co widać z porównania na rysunków 7.2a 7.2b oraz 7.3a i 7.3.b. Niemniej jednak

wpływ chiralności jest nadal wyraźnie zauważalny.

7.2. Współczynnik Poissona

Mechanizm zmiany średnicy nanorurki podczas rozciągania jest odmienny od mechani-

zmu zwężania się pręta. Nie można go rozpatrywać tak, jak dla ciała masywnego, ponieważ

nanorurka powstała z płyty grafenowej, i tak jak dla płyty grafenowej, nie ma sensu fizycz-

nego wydłużenie w kierunku prostopadłym do jej powierzchni.

Zmiana obwodu występująca podczas rozciągania nanorurki wzdłuż osi daje identyczny

efekt, jak w przypadku pręta zmiana średnicy początkowej.

Porównanie wartości ν otrzymanych dla płaskiej płyty grafenowej z wartościami obli-

czonymi dla nanorurki pokazuje zmiany ν spowodowane zakrzywieniem powierzchni.

7.2.1. Współczynnik Poissona dla nanorurek – wyniki

Dla większości nanorurek wartości zmierzonego współczynnika Poissona wynoszą od 0.1

do 0.25. Uzyskane wyniki zostały przedstawione w Uzupełnieniu 1 oraz syntetycznie w postaci

rysunków 7.5 i 7.6.

0 5 10 15 20

indeks n

0

5

10

15

20

indeks m

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

a)

0 5 10 15 20

indeks n

0

5

10

15

20

indeks m

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

b)

Rysunek 7.6. Zależność współczynnika Poissona od chiralności (n,m) nanorurek węglowych dlaa) ściskania i b) rozciągania.

Współczynnik Poissona, podobnie jak moduł Younga, zależny od chiralności nanorurki.

Nanorurki o mniejszym module Y mają większy współczynnik Poissona. Jest to związane

z większą podatnością całej struktury na odkształcenie.


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

wsp

ółcz

ynni

k P

oiss

ona

ν -

promień [Ao]

a)

zygzak: (n,0) i (0,n)(n,1) i (1,n)

krzesełkowa (n,n)(n,n+1) i (n+1,n)

(n,m) n≠m

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

wsp

ółcz

ynni

k P

oiss

ona

ν +

promień [Ao]

b)

zygzak: (n,0) i (0,n)(n,1) i (1,n)

krzesełkowa: (n,n)(n,n+1) i (n+1,n)

(n,m) n≠m

Rysunek 7.5. Zależność współczynnika Poissona od promienia nanorurek węglowych obserwowana:a) podczas ściskania próbki i b) podczas rozciągania próbki.

Podczas ściskania próbki o chiralności (n,n+1) i (n+1,n) mają ∼ 30% mniejszą wartośćν od nanorurek typu AC – (n,n), natomiast podczas rozciągania nanorurki o chiralnościach

(n,1) i (1,n) mają ∼ 20% mniejszy współczynnik Poissona od nanorurek typu ZZ – (n,0)i (0,n). Natomiast dla pozostałych wartości współrzędnych wektora chiralnego obwiednią

wartości współczynników Poissona są współczynniki dla nanorurek AC i ZZ.

Analiza struktury polegająca na określeniu średnich wartości kątów między wiązaniami

oraz średnich długości wiązań, nie wskazała różnic świadczących o wpływie tych czynników


na zjawisko zachodzące dla nanorurek (n,n+1) i (1,n), co może świadczyć o wpływie kąta

dwuściennego, którego wartości nie były analizowane.

Zależność współczynnika ν od promienia ma także podobny przebieg jak dla modułu

Younga. Analizując zależności dla rurek typu AC i ZZ należy stwierdzić iż współczynnik

Poissona staje się niezależny od promienia nanorurki dla R> 5A.

7.3. Moduł Kirchhoffa

Moduł Kirchhoffa nanorurek węglowych jest wyznaczany jedynie na drodze eksperymen-

tów numerycznych. Skręcanie nanorurek jednopowłokowych jest ścinaniem zwiniętej płyty

grafenowej, a różnica wartości G pomiędzy nanorurką i płaską płytą wynika ze zmiany wła-

ściwości energetycznych grafenu spowodowanych zakrzywieniem powierzchni.

7.3.1. Moduł Kirchhoffa dla nanorurek – wyniki

Wyniki przeprowadzonych symulacji, przedstawiające na wykresach moduł Kirchhoffa G

(rysunki 7.7 i 7.9), uwidaczniają wpływ chiralności na jego wartość. Podobnie jak dla Y ,

również dla G wartości modułu rurek achiralnych tworzą obwiednię otrzymanych wyników.

Dla modułu Kirchhoffa zależność ta ma postać

G(ZZ)>G(AC). (7.3)

5

5.2

5.4

5.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

6.8

7

7.2

2 4 6 8 10 12 14

Mod

uł K

irchh

offa

[GP

a]

promień [Ao]

AC

ZZ

zygzak (n,0)(n,m) n!=m

krzesełkowa (n,n)

Rysunek 7.7. Zależność modułu Kirchhoffa od promienia nanorurek węglowych.


Podczas skręcania (ścinania) struktura ulega rozciągnięciu i wyniki należy porównywać

z rozciąganiem wzdłużnym. Zakładając prawdziwość zależności Y ∼G i porównując nierów-ność (7.3) z (7.1) zauważamy, iż zachodzi

G(ZZ)∼Y (AC)+ ,

G(AC)∼G(ZZ).(7.4)

Oznacza to, że skręcanie nanorurek AC powoduje zmianę struktury podobną do zmiany

zachodzącej podczas rozciągania rurek ZZ oraz skręcanie rurek ZZ odpowiada rozciąganiu

rurek AC.

Zależności (7.4) należy interpretować jako wpływ układu dróg, po których działa

(przekazywana jest) siła tzw. łańcuchów sił. Dla rurek AC droga ta ma podobny, kształt do

drogi przekazywania siły podczas rozciągania rurki ZZ – co drugie wiązanie jest równoległe

do kierunku obciążania jak przedstawiono to na rysunkach 7.8 a) i d). Dla skręcania nanorurki

typu ZZ, droga sił nie jest taka sama, jak odpowiednia droga dla rozciągania rurki typu AC,

jak przedstawiono to na rysunkach 7.8 b) i c), gdyż część wiązań jest prostopadła do kierunku

obciążania, tym niemniej orientacja wiązań względem kierunku obciążania jest podobna.

Kier. obciążenia Kier. obciążenia

Kier. o

bciążen

ia

Kier. o

bciążen

ia

AC ZZ

Oś n

anoru

rki

a) b)

c) d)

Rysunek 7.8. Droga przekazywania sił dla: a) skręcania rurki AC, b) skręcania rurki ZZ,c) rozciągania rurki AC i d) rozciągania rurki ZZ

Dla nanorurek o promieniu mniejszym niż 5A obserwuje się spadek wartości współczyn-

nika Kirchhoffa ze wzrostem promienia, co widoczne jest na rysunku 7.7, oraz zależność G

od chiralności odmienną od pozostałych nanorurek o chiralnościach (9+n,m) widoczne na


rysunku 7.9. Tendencja ta nie ma swojego odpowiednika dla zjawisk obserwowanych podczas

rozciągania nanorurek. Zachowanie to spowodowane jest wpływem małego promienia krzy-

wizny ściany nanorurki, co powoduje utworzenie innych dróg przekazywania sił od opisanych

powyżej.

0 5 10 15 20

indeks n

0

5

10

15

20

indeks m

5.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

6.8

7GPa

Rysunek 7.9. Zależność modułu Kirchhoffa od chiralności (n,m) nanorurek węglowych.

7.4. Granica plastyczności

W przeprowadzonych symulacjach, podczas rozciągania nanorurek węglowych zerwania

nanorurki nie poprzedza płynięcie materiału, jest to pękanie kruche, spowodowane tym,

że zerwanie jednego z wiązań powoduje gwałtowny wzrost obciążenia wiązań sąsiednich

i coraz szybsze rozprzestrzenianie się pęknięcia, na wizualizacjach przypominające prucie

się nanorurki. Efekt ten związany jest z krótkim zasięgiem wiązań kowalentnych C–C.

Ponieważ w wyniku symulacji nie powstają defekty Stone-Walesa (rozdział 2.4), można

przypuszczać, że zastosowana funkcja potencjału nieprawidłowo modeluje zrywanie wiązań

międzyatomowych, nie można więc wyników dotyczących zrywania nanorurek, traktować

jako prawidłowe.

Podczas ściskania nanorurek nie następuje odkształcenie wiązań poza granicę stosowal-

ności użytego potencjału, a zatem uzyskane wyniki można można traktować jako wiarygodne.

Dla nanorurek o promieniu R> 10A zaobserwowano utratę stabilności powierzchni – staje się

ona pofałdowana, i to jeszcze zanim struktura wyboczy się, natomiast dla nanorurek o mniej-

szej średnicy zaobserwowano pojawienie się wyboczenia struktury przed utratą stabilności

powierzchni. Przykład przedstawiono na rysunku 7.10.


a)

b)

Rysunek 7.10. Utrata stabilności nanorurki podczas ściskania: a) wyboczenie nanorurki (10,0),b) utrata stabilności powierzchni w przypadku nanorurki (20,20).

Brak stabilności powierzchni podczas ściskania próbek wpływa na słabszą, w porównaniu

ze ściskaniem, regularność otrzymanych wyników dla modułu Younga i współczynnika

Poissona.

Nanorurki dzięki swej strukturze oraz mocy wiązań C–C nawet po wyboczeniu struktury,

lub przełamaniu nie zostają zniszczone. Po uwolnieniu mocowań lub ponownym rozciągnięciu

struktury wraca ona do pierwotnego kształtu.

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

gran

iczn

e od

kszt

ałce

nie

ε k-

promień [Ao]

ZZ

AC

zygzak: (n,0) i (0,n)krzesełkowa (n,n)

(n,m) n≠m

Rysunek 7.11. Graniczne odkształcenie podczas ściskania nanorurki przedstawionew zależności od promienia nanorurek węglowych.

Wzrost wytrzymałości na ściskanie próbki, widoczny na rysunku 7.11, związany jest

zwiększającą się z promieniem odpornością struktury na wyboczenie boczne. Spadek wytrzy-


0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0 5 10 15 20

indeks n

0

5

10

15

20

indeks m

Ek-

Rysunek 7.12. Graniczne odkształcenie podczas ściskania nanorurki przedstawionew zależności od chiralności (n,m) nanorurek węglowych.

małości dla nanorurek o promieniu R< 4A związany jest z pojawieniem się niestabilności

powierzchni nanorurki związanej z mniejszą krzywizną płaszczyzny grafenowej.

Wpływ chiralności na wytrzymałość struktury już nie jest tak mocno widoczny jak dla

wyżej omawianych właściwości mechanicznych (rysunek 7.12). W przypadku odporności na

wzdłużne zgniatanie ogranicza się do większej wytrzymałości nanorurek typu ZZ.

Jest to związane ze równoległym względem obciążenia ułożeniem 1/3 wiązań tworzących

nanorurek oraz utworzeniem przez pozostałe wiązania pierścieni o konstrukcji odpornej na

poprzeczne względem nich odkształcania, jak można to zobaczyć na rysunku 7.8d. Całość

zapewnia większą stabilność powierzchni tworzącej nanorurkę.

Ponadto w rurkach typu AC 1/3 wiązań ułożona jest prostopadle względem obciążenia

tworząc linie łatwego łamania osłabiając odporność struktury na odkształcenie.

8. Właściwości nanoprętów metalowych

Na właściwości nanopręta wpływają: kształt przekroju poprzecznego, rozmiary, ułożenie

płaszczyzn krystalograficznych względem powierzchni i przekroju, stan powierzchni, porowa-

tość i wszelkie odstępstwa od idealnej sieci krystalicznej oraz pierwiastek, z którego nanopręt

jest zbudowany. Duża ilość czynników wpływających na zmienność właściwości mechanicz-

nych zrodziła potrzebę wyznaczenia warunków, kiedy zmienność właściwości jest pomijalna,

gdy wszystkie obliczenia mają prostą postać z jedną, „niezmienną stałą”.

W tabeli 8.1 dla pierwiastków poddanych badaniu zebrano niektóre charakterystyczne

wielkości: liczbę atomową (la), masę atomową (ma), najmniejszą odległość międzyatomową

w sieci fcc w A (lmin ), gęstość () w kg/dcm3, temperaturę topnienia (Tt) i temperaturę

parowania (Tb) w K, prędkość dźwięku (vdz) w m/s oraz wartości podatności sprężystej sij

w TPa−1 (wg [124]). Do obliczenia stałych materiałowych Y, G i ν dla pozostałych płaszczyzn

krystalograficznych, (011) i (111), wykorzystane zostaną zależności podane w publikacjach

[97, 38, 98, 99]

Tabela 8.1. Wartości wybranych wielkości oraz współczynników podatności sprężystej dla badanychpierwiastków według danych tablicowych dla ciał masywnych.

Atom la ma lmin Tt Tb vdz s11 s12 s44Ni 28 59 2.492 10.94 1728 3186 4970 7.75 -2.98 8.05Cu 29 63.5 2.556 11.81 1358 2840 3570 15.25 -6.39 13.23Pt 78 195.1 2.775 15.1 2041 4098 2680 7.34 -3.08 13.07Au 79 197 2.884 16.96 1337 3129 1740 23.3 -10.65 23.8

Wartości uzyskane w wyniku symulacji przedstawiono w trzech układach:

— wydłużenie graniczne (granica plastyczności) w funkcji promienia nanopręta; jako para-

metry przyjęto płaszczyznę krystalograficzną oraz kierunek odkształcenia (rysunki 8.8)

— naprężenie graniczne (granica plastyczności) w funkcji promienia dla każdego pierwiastka

i każdej płaszczyzny krystalograficznej; jako parametr przyjęto promień nanopręta

(rysunki 8.9)

— naprężenie w funkcji odkształcenia (wykresy rozciągania); jako parametr przyjęto płasz-

czyznę krystalograficzną (rysunki 8.3).

Do obliczeń wykorzystano wzory podane w artykułach [97, 99].

85

8. WŁAŚCIWOŚCI NANOPRĘTÓW METALOWYCH 86

0

100

200

300

400

500

2 4 6 8 10

mod

uł Y

oung

a [G

Pa]

promień [a]

Ni(001), ε>0(001), ε<0(011), ε>0(011), ε<0(111), ε>0(111), ε<0

0

100

200

300

2 4 6 8 10

mod

uł Y

oung

a [G

Pa]

promień [a]

Cu(001), ε>0(001), ε<0(011), ε>0(011), ε<0(111), ε>0(111), ε<0

0

100

200

300

400

500

2 4 6 8 10

mod

uł Y

oung

a [G

Pa]

promień [a]

Pt(001), ε>0(001), ε<0(011), ε>0(011), ε<0(111), ε>0(111), ε<0

0

100

200

300

2 4 6 8 10

mod

uł Y

oung

a [G

Pa]

promień [a]

Au(001), ε>0(001), ε<0(011), ε>0(011), ε<0(111), ε>0(111), ε<0

Rysunek 8.1. Zależność modułu Younga od promienia wyrażonego w stałych sieciowychi orientacji krystalograficznej nanprętów.

8.1. Moduł Younga

8.1.1. Wyniki przeprowadzonych symulacji

Badania modułu Younga przeprowadzono na nanoprętach o średnicach 3a, 5a, 8a, 14a

i 20a. Na rysunkach 8.1 przedstawiono wyniki uzyskane przy pomocy programu nanoMD.

Dla każdego z pierwiastków poddanych badaniu, i dla każdej z płaszczyzn krystalo-

graficznych poddanych analizie, pokazano przebieg wartości modułu Younga dla ściskania

i dla rozciągania w funkcji promienia próbki. Obliczenia wykonano według wzoru (6.5) do-

pasowując parametry paraboli do zmierzonych wartości energii kohezji Ep(ε) w zakresie

−0.03<ε< 0.03.

Dla próbek o średnicy mniejszej od 10a zauważalna jest zależność modułu Younga od

grubości próbki. Jest to wynikiem wpływu napięcia powierzchniowego, zostało to dokładnie

opisane w rozdziałach 3.2.2 i 8.5.

Dalsze omówienie wyników będzie dotyczyło prętów o średnicy 14a. Od tej średnicy

nie ma znaczącego wpływu napęcia powierzchniowego na właściwości badanego materiału.

Próbki o średnicy 20a nie będą analizowane z uwagi na możliwy wpływ mocowań na własności


a)

0

50

100

150

200

250

300

350

(001) (011) (111) (001) (011) (111) (001) (011) (111) (001) (011) (111)

Mod

uł Y

oung

a (ś

cisk

anie

) [G

Pa]

orientacja przekroju

NiCuPt

Au

b)

0

50

100

150

200

250

300

350

(001) (011) (111) (001) (011) (111) (001) (011) (111) (001) (011) (111)

Mod

uł Y

oung

a (r

ozci

ągan

ie)

[GP

a]


NiCuPt

Au

Rysunek 8.2. Wartości modułu Younga dla prętów o średnicy D=14a: a) podczas ściskania,b) podczas rozciągania.

mechaniczne spowodowany zbyt małym stosunkiem D/L wynoszącym 0.4, choć wpływ ten

nie został zaobserwowany. Wyznaczone wartości Y przedstawione zostały na rysunku 8.2

Przechodząc do omówienia otrzymanych wartości modułu Younga, niezależnie od bu-

dulca, kierunku obciążania ani zwrotu obciążana moduł Younga ma największą wartość dla

kierunku [111] i najmniejszą dla kierunku [001]:

Y (001)<Y (011)<Y (111). (8.1)

Wyjątkiem jest przypadek rozciągania złotego nanopręta, w którym zaobserwowano, że

Y (011) jest mniejszy od Y (001). Niemniej, z uwagi na dokładność wyznaczania wynoszącą 6%,


jest to wyjątek mieszczący się w granicy błędu. Podczas ściskania dla wszystkich nanoprętów

obserwuje się zależności:

Y(001)− ≈ 0.5Y (011)− ≈ 0.4Y (111)− , (8.2)

natomiast podczas rozciągania:

Y(001)+ ≈Y (011)+ ≈ 0.5Y (111)+ . (8.3)

Świadczy to zmienności charakteru obciążenia w kierunku [011] w zależności od jego zwrotu.

Ponadto analizując stosunek modułu Younga dla ściskania do rozciągania w tym samym

kierunku:Y(001)− /Y

(001)+ ≈ 0.8,

Y(011)− /Y

(011)+ ≈ 1.5,

Y(111)− /Y

(111)+ ≈ 1.0,

(8.4)

widoczny jest brak asymetrii modułu Younga względem zwrotu obciążenia dla kierunku

[111] oraz największą dysproporcję dla kierunku [011]. Wynika to z liczby najbliższych

sąsiadów leżących na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku obciążania, gdyż na własności

mechaniczne ma wpływ układ lokalny atomów, czyli między innymi odległości do najbliższych

sąsiadów.

Jeżeli odkształcenie próbki nie powoduje zmian we wszystkich odległościach do naj-

bliższych sąsiadów, a odległości ulegające zmianie, zmieniają się jednakowo, to próbka bę-

dzie miała symetryczną krzywą obciążania σ(ε) i symetryczne względem zwrotu obciążania

właściwości mechaniczne próbki. Kierunkiem takim jest [111], natomiast płaszczyzna (011)

zawiera tylko dwóch najbliższych sąsiadów, a odległości do pozostałych zmieniają się nierów-

nomiernie podczas odkształcania. Krzywe obciążania σ(ε) przedstawiono na rysunku 8.3.

Z powodu zmienności nachylenia wykresów σ= f(ε), widocznej na rysunkach 8.3 moduł

Younga jest stałą materiałową:

– dla rozciągania w kierunku [001],

– dla ściskania w kierunku [011],

natomiast dla

– ściskania w kierunku [001],

– ściskania i rozciągania w kierunku [011],

– rozciągania w kierunku [111],

nie można mówić o module Younga jako stałej materiałowej, ponieważ Y =Y (ε), dσdε 6= const.W tabeli 8.2 zebrano wartości modułu Younga uzyskane w przeprowadzonych symulacjach

numerycznych na prętach o średnicy 14a dla każdego z badanych kierunków oraz wartości ob-

liczone według wzorów (2.55, 2.56, 2.57) dla wartości współczynników podatności sprężystej

zawartych w tabeli 8.1


-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

napr

ężen

ie [G

Pa]

odkształcenie ε

Ni

(001)(011)(111)

-15

-10

-5

0

5

10

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

napr

ężen

ie [G

Pa]

odkształcenie ε

Cu

(001)(011)(111)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

napr

ężen

ie [G

Pa]

odkształcenie ε

Pt

(001)(011)(111)

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1

napr

ężen

ie [G

Pa]

odkształcenie ε

Au

(001)(011)(111)

Rysunek 8.3. Wpływ orientacji krystalograficznej nanoprętów o średnicy D=14ana przebieg odkształcania.

Tabela 8.2. Wartości modułu Younga dla badanych nanoprętów w GPa.

Pierwiastek Y (001) Y (011) Y (111) polikryst.tabl. wynik symulacji tabl. wynik symulacji tabl. wynik symulacji tabl.

rozc. scisk. rozc. scisk. rozc. scisk. YbNi 129 132 93 212 136 194 304 284 260 200Cu 66 98 69 122 139 179 191 196 193 130Pt 136 157 133 175 176 276 210 304 330 168Au 43 91 78 76 84 137 116 156 183 78

Dla każdego z pierwiastków możliwe jest wyznaczenie parametrów funkcji wielomiano-

wych opisujących przebieg zależności σ(ε). W zakresie odkształceń −0.01<ε< 0.01 funkcjawielomianowa pierwszego stopnia opisuje krzywą σ(ε) z błędem < 10%, podobnie funkcja

drugiego stopnia dla zakresu 0.08εk−<ε< 0.08εk+ oraz funkcja trzeciego stopnia dla całego

zakresu odkształceń sprężystych εk−<ε<εk+.

8.2. Współczynnik Poissona

W tym rozdziale przyjęto oznaczenia: εt i ε – dla odkształcenia wzdłuż nanopręta (od-

kształcenia wzdłużnego) równoległego do przyłożonego obciążenia, natomiast εr – dla od-

kształcenia poprzecznego (radialnego), prostopadłego do kierunku przyłożonego obciążenia.


Analogicznie oznaczenia współczynnika Poissona νt, νr oraz ν− odnoszący się do ściskania i

ν+ – do rozciągania próbki.

8.2.1. Wyniki obliczeń współczynnika Poissona dlananoprętów

W tabeli 8.3 zestawiono wartości współczynnika Poissona uzyskane w wyniku obliczeń

programem nanoMD dla prętów o średnicy 14a („wynik symulacji”) z obliczeniami wyko-

nanymi z wykorzystaniem współczynników podatności sprężystej z tabeli 8.1.

Tabela 8.3. Wartości współczynnika Poissona dla badanych nanoprętów.

(001) (011) (111) polikryst.tabl. wynik symulacji tabl. wynik symulacji tabl. wynik symulacji eksperyment

rozc. scisk. rozc. scisk. rozc. scisk. νbNi 0.38 0.46 0.57 0.30 0.38 0.35 0.23 0.27 0.35 0.31Cu 0.42 0.44 0.58 0.34 0.39 0.36 0.26 0.28 0.35 0.35Pt 0.42 0.46 0.55 0.39 0.40 0.39 0.38 0.32 0.40 0.38Au 0.45 0.48 0.55 0.42 0.44 0.42 0.38 0.35 0.43 0.44

Współczynnik Poissona wyznaczony został ze zmian promienia nanopręta w zakresie

odkształceń −0.02 < ε < 0 dla ściskania i 0 < ε < 0.02 dla rozciągania, według metodyprzestawionej w rozdziale 6.2.

Dla siły działającej wzdłuż kierunków [001] oraz [111] współczynniki Poissona mają stałą

wartość, bez względu na prostopadłe do kierunku działania siły kierunki odkształcenia. Nato-

miast podczas odkształcania pręta w kierunku [011] największa zmiana średnicy następowała

tylko w kierunku krystalograficznym [001], natomiast dla kierunku [011] nie zachodziła żadna

widoczna zmiana średnicy pręta (ν(011)r = 1, ν(001)r = 0). Wynika to z dysproporcji modułu

Younga pomiędzy tymi kierunkami (8.2) – przy tym samym naprężeniu radialnym kierunek

[001] ulega większym odkształceniom od kierunku [011].

Z uwagi na to iż materiały zwykło się określać pojedynczymi parametrami, wartość

ν(011) obliczono jako średnią wartość dla pełnego zakresu kąta obrotu wokół osi pręta.

We wszystkich badanych przypadkach współczynnik Poissona był największy dla kie-

runku [001] natomiast najmniejszy dla [111]:

ν(001)>ν(011)>ν(111), (8.5)

pokazano na rysunku 8.4. Nierówności te są odwrotne od analogicznych nierówności dla

wartości modułu Younga (8.1). Oznacza to, że odkształcenie w kierunku o mniejszym

module Younga powoduje większą zmianę średnicy próbki niż odkształcenie w kierunku

charakteryzującym się większym modułem Younga.


a)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

(001) (011) (111) (001) (011) (111) (001) (011) (111) (001) (011) (111)

Wsp

ółcz

ynni

k P

oiss

ona

(ści

skan

ie)


NiCuPt

Au

b)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

(001) (011) (111) (001) (011) (111) (001) (011) (111) (001) (011) (111)

Wsp

ółcz

ynni

k P

oiss

ona

(roz

ciąg

anie

)


NiCuPt

Au

Rysunek 8.4. Wartości współczynnika Poissona dla prętów o średnicy D=14a:a) podczas ściskania i b) podczas rozciągania.

W przeciwieństwie do zależności dla modułu Younga (8.2) i (8.3) zależności współczyn-

ników Poissona pomiędzy kierunkami zależne są od pierwiastka tworzącego próbkę. Dla niklu

i miedzi obserwujemy:

ν(001)− ≈ 1.4ν(011)− ≈ 1.6ν(111)− ,

ν(001)+ ≈ 1.2ν(011)+ ≈ 1.6ν(111)+ ,

(8.6)

natomiast dla platyny i złota:

ν(001)− ≈ 1.2ν(011)− ≈ 1.3ν(111)− ,

ν(001)+ ≈ 1.2ν(011)+ ≈ 1.4ν(111)+ .

(8.7)


Ponadto w kierunkach odkształcania [011] i [111] zachodzi:

νNi<νCu<νPt<νAu, (8.8))

co świadczy o wpływie gęstości budulca na współczynnik Poissona. Atomy ośrodka rzadszego

mają więcej miejsca do przemieszczenia się i dlatego odkształcenie w zadanym kierunku

powoduje mniejsze odkształcenie w płaszczyźnie prostopadłej niż w gęstszym ośrodku.

Na rysunkach 8.5, przestawiających uzyskane w wyniku symulacji wartości ν dla ściska-

nia i rozciągania w funkcji promienia pręta wyrażonego w stałych sieciowych a, widoczny

jest brak wyraźnej stabilizacji wartości współczynnika Poissona ze wzrostem średnicy próbki.

Wynika to z błędu wyznaczania wynoszącego ±10% wartości współczynnika.

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

2 4 6 8 10

Wsp

ółcz

ynni

k P

oiss

ona

promień [a]

Ni(001), ε<0(001), ε>0(011), ε<0(011), ε>0(111), ε<0(111), ε>0

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

2 4 6 8 10

Wsp

ółcz

ynni

k P

oiss

ona

promień [a]

Cu(001), ε<0(001), ε>0(011), ε<0(011), ε>0(111), ε<0(111), ε>0

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

2 4 6 8 10

Wsp

ółcz

ynni

k P

oiss

ona

promień [a]

Pt(001), ε<0(001), ε>0(011), ε<0(011), ε>0(111), ε<0(111), ε>0

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

2 4 6 8 10

Wsp

ółcz

ynni

k P

oiss

ona

promień [a]

Au(001), ε<0(001), ε>0(011), ε<0(011), ε>0(111), ε<0(111), ε>0

Rysunek 8.5. Zależność współczynnika Poissona od promienia i orientacji krystalograficznej nanoprętów

Wszystkie badane próbki poddane obciążeniu ściskającemu działającemu w kierunku

[001] wykazywały wartość ν− jest większa od 0.5. Świadczy to o zwiększaniu objętości

nanopręta podczas ściskania i nie daje się tego uzasadnić na gruncie mechaniki klasycznej.

Nie jest to efekt dużej, w stosunku do długości, średnicy pręta, gdyż występuje we wszystkich

badanych średnicach. Na rysunku 8.6, przedstawiającym zależność zmiany promienia próbki

(odkształcenia poprzecznego εr) od odkształcenia wzdłużnego εt, widoczne jest iż wraz ze


-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

-0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0

odks

ztał

ceni

e po

prze

czne

εr

odkształcenie wzdłużne εt

εr zmierzoneεr = νs εt

εr = -0.5 εt

Rysunek 8.6. Zależność odkształcenia poprzecznego εr od wzdłużnego εtdla ściskania złotego nanopręta w kierunku [001].

wzrostem odkształcenia rośnie nachylenie krzywej, co oznacza że współczynnik Poissona

rośnie wraz ze wzrostem odkształcenia.

8.3. Moduł Kirchhoffa

Moduł Kirchhoffa wyznaczony został z częstości drgań skrętnych pręta według wzoru

(6.9). Uzyskane w ten sposób wyniki określają średnią wartość modułu ze wszystkich

kierunków prostopadłych do osi pręta. Z tego też względu, w oznaczeniu modułu wystarcza

wskazanie przyjętej orientacji krystalograficznej przekroju poprzecznego nanopręta.

8.3.1. Moduł Kirchhoffa dla nanoprętów – wyniki

W tabeli 8.4 przedstawiono wyniki serii badań dla różnych średnic i różnych orientacji

krystalograficznych nanopręta wykonanego ze złota. Ponieważ wartość modułu Kirchhoffa nie

zależy od średnicy nanopręta, lub jej wpływ mieści się w granicach błędu, dla pozostałych

próbek moduł wyznaczono na podstawie symulacji przeprowadzonych dla jednej średnicy –

14a. Wyniki dla badanych nanopętów przedstawiono na wykresie 8.7.

Charakterystyczna jest dwukrotna różnica pomiędzy wartościami dla kierunku [001]

oraz zbliżonymi do siebie wartościami dla kierunków [011] i [111]. Wskazuje to na związek

współczynnika Kirchhoffa z kształtem komórki Wignera-Seitza.


Tabela 8.4. Wartości modułu Kirchhoffa G w GPa dla złotych nanopętów

oznaczenie orientacja średnica częstość modułpróbki przekroju [a] [GHz] G [Pa]Au-001-2.5 (001) 5 17.8 50.8Au-001-4 (001) 8 19.3 53.8Au-001-7 (001) 14 20.0 53.6Au-001-10 (001) 20 20.2 53.9Au-011-2.5 (011) 5 12.8 24.9Au-011-4 (011) 8 14.9 32.4Au-011-7 (011) 14 14.9 29.7Au-011-10 (011) 20 15.1 30.3Au-111-2.5 (111) 5 13.2 27.7Au-111-4 (111) 8 14.0 28.0Au-111-7 (111) 14 14.3 27.9Au-111-10 (111) 20 14.5 28.3

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

(001) (011) (111) (001) (011) (111) (001) (011) (111) (001) (011) (111)

Mod

uł K

irchh

offa

[GP

a]


NiCuPt

Au

Rysunek 8.7. Zależność modułu Kirchhoffa od orientacji krystalograficznej przekroju poprzecznegodla nanoprętów o grubości 7a.

W tabeli 8.5 zebrano wartości G w GPa uzyskane w wyniku przeprowadzonych ekspery-

mentów numerycznych (kolumny „sym.”) oraz wartości otrzymane z obliczeń na podstawie

współczynników podatności (kolumny „tabl.”). W ostatniej kolumnie podano wartości mo-

dułu Kirchhoffa dla ciała polikrystalicznego.

Tabela 8.5. Wartości modułu Kirchhoffa G w GPa dla badanych nanoprętów.

pierwiastek (001) (011) (111) polikryst.tabl. sym. tabl. sym. tabl. sym.

Ni 124.2 91.6 79.5 43.3 58.9 36.0 76Cu 75.6 65.7 44.7 30.8 30.1 25.5 48Pt 76.5 107.5 76.5 52.9 54.8 60.2 61Au 42.0 53.6 26.2 29.7 18.8 27.9 27

Różnica pomiędzy wartościami modułu Kirchhoffa uzyskanymi w wyniku przeprowadzo-

nych obliczeń, a wartościami wyznaczonymi z tablicowych współczynników podatności sprę-


żystej sięga 30%. Trudno jednoznacznie określić czy przyczyną jest rozmiar nanostruktury,

czy wybrana metoda obliczeniowa. Pod względem jakościowym wyniki są zgodne z oczeki-

waniami – dla przekroju (001) uzyskana została maksymalna wartość G.

Wartości modułu Kirchhoffa obliczone na podstawie wcześniej wyznaczonego modułu

Younga i współczynnika Poissona, dla prętów o orientacji przekroju (001) i (011), różnią

się mniej niż o 10% od wartości modułu wyznaczonego z częstości drgań skrętnych. Współ-

czynniki wyliczone dwoma różnymi i niezależnymi od siebie sposobami są porównywalne, co

wskazuje na wewnętrzną spójność przyjętego modelu.

8.4. Granica plastyczności

Początek uplastycznienia związany z powstawaniem dyslokacji i przechodzeniem krysz-

tału w niższy stan energetyczny jest dobrze widoczny jako skok na wykresach energii próbki

oraz jako przystanek plastyczności na wykresach rozciągania (rysunek 8.3).

Analizie poddano również granicę plastyczności. Jest to wyraźnie widoczny na wykresach

obciążenia punkt, tak zwany przystanek plastyczności, w którym następuje gwałtowna

zmiana badanych wielkości – odkształcenia, naprężenia i energii. Gwałtowność tej zmiany

wiąże się z osiągnięciem stanu, w którym następuje raptowny wzrost ilości dyslokacji

i materiał zaczyna ulega trwałej deformacji.

Wykresy 8.8 pokazują wpływ płaszczyzny krystalograficznej i kierunku obciążania na

wielkość wydłużenia granicznego (granicy plastyczności) dla każdego z pierwiastków.

Na wykresach 8.9 widoczny jest wpływ płaszczyzny krystalograficznej i kierunku ob-

ciążania na wielkość naprężenie granicznego (granicy plastyczności). Charakterystyczna dla

wszystkich badanych pierwiastków jest stabilizacja wielkości wydłużenia i naprężenia gra-

nicznego następująca od średnicy pręta około 15a oraz nieregularny przebieg tej zależności

dla średnic mniejszych od 8a.

Na wykresach 8.3, w układzie naprężenie-odkształcenie, pokazany jest cały badany

zakres odkształcania i wpływ płaszczyzn krystalograficznych na przebieg rozciągania próbki.

Charakterystyczny dla tych wykresów jest niewielki wpływ promienia próbki na przebieg

odkształcenia w zakresie sprężystym. Inną cechą wspólną dla wszystkich uzyskanych wyników

jest charakterystyczna dla każdego pierwiastka wartość naprężenia w obszarze trwałego

odkształcenia próbki – niezależna od średnicy ani od kierunku krystalograficznego.

Na wykresach 8.3 widoczne jest ponadto:

1. próbki rozciągane w kierunku [001] zachowują stałą wartość modułu Younga w całym

zakresie sprężystym, od zera do granicy plastyczności;


2. próbki ściskane w kierunku [111] zachowują stałą wartość modułu Younga w całym

zakresie sprężystym, od zera do granicy plastyczności;

3. ze wzrostem odkształcenia w kierunku [011] przy rozciąganiu materiał staje się coraz

bardziej podatny (Y zmniejsza się)

4. ze wzrostem odkształcenia w kierunku [011] przy ściskaniu materiał staje się coraz

bardziej sztywny (Y zwiększa się)

5. moduł Younga próbki odkształcanych w kierunku [011] w całym zakresie odkształceń

sprężystych, ściskania i rozciągania, ma zmienną wartość,

6. podczas rozciągania w kierunku [011], na końcowym odcinku przed osiągnięciem granicy

plastyczności (ε≈ 0.02÷0.05), wartość modułu Younga zbliża się do zera,7. podczas ściskania w kierunku [001], na końcowym odcinku przed osiągnięciem granicy

plastyczności (ε≈ 0.02÷0.05), wartość modułu Younga zbliża się do zera,8. dla tej samej wartości ε, powstałe naprężenie w kierunku [001] jest dla ściskania około

1.5 raza mniejsze niż dla rozciągania, natomiast dla kierunku [011] powstałe naprężenia

są około 2 razy większe dla ściskania niż dla rozciągania;

9. naprężenia powstające podczas obciążania próbki w kierunku [111] dla ściskania są

zbliżone do powstających podczas rozciągania;

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

2 3 4 5 6 7 8 9 10

odks

ztał

ceni

e gr

anic

zne

|ε|

promień [a]

Ni(001), ε<0(001), ε>0(011), ε<0(011), ε>0(111), ε<0(111), ε>0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

2 3 4 5 6 7 8 9 10

odks

ztał

ceni

e gr

anic

zne

|ε|

promień [a]

Cu(001), ε<0(001), ε>0(011), ε<0(011), ε>0(111), ε<0(111), ε>0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

2 3 4 5 6 7 8 9 10

odks

ztał

ceni

e gr

anic

zne

|ε|

promień [a]

Pt(001), ε<0(001), ε>0(011), ε<0(011), ε>0(111), ε<0(111), ε>0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

2 3 4 5 6 7 8 9 10

odks

ztał

ceni

e gr

anic

zne

|ε|

promień [a]

Au(001), ε<0(001), ε>0(011), ε<0(011), ε>0(111), ε<0(111), ε>0

Rysunek 8.8. Wydłużenie graniczne (granica plastyczności) nanoprętów w zależności od promieniai orientacji krystalograficznej przekroju.


0

5

10

15

20

25

30

2 3 4 5 6 7 8 9 10

napr

ężen

ie g

rani

czne

[GP

a]

promień [a]

Ni(001), ε<0(001), ε>0(011), ε<0(011), ε>0(111), ε<0(111), ε>0

0

5

10

15

20

2 3 4 5 6 7 8 9 10

napr

ężen

ie g

rani

czne

[GP

a]

promień [a]

Cu(001), ε<0(001), ε>0(011), ε<0(011), ε>0(111), ε<0(111), ε>0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

2 3 4 5 6 7 8 9 10

napr

ężen

ie g

rani

czne

[GP

a]

promień [a]

Pt(001), ε<0(001), ε>0(011), ε<0(011), ε>0(111), ε<0(111), ε>0

0

5

10

15

20

2 3 4 5 6 7 8 9 10

napr

ężen

ie g

rani

czne

[GP

a]

promień [a]

Au(001), ε<0(001), ε>0(011), ε<0(011), ε>0(111), ε<0(111), ε>0

Rysunek 8.9. Naprężenie graniczne (granica plastyczności) nanoprętów w zależności od promieniai orientacji krystalograficznej przekroju.

8.4.1. Stabilność nanoprętów podczas ściskania

Przyjmijmy, że wzory obowiązujące dla ciał masywnych, odnoszą się również do nanoprę-

tów. Siłę krytyczną, przy której następuje utrata stabilności pręta ściskanego (wyboczenie),

wyznaczamy z kryterium Eulera

F =π2Y J

(κL)2, (8.9)

gdzie J = πD4

64 - moment bezwładności przekroju kołowego κ - współczynnik zależny od

sposobu zamocowania końców, przyjmujący wartości od 0.5 dla sztywnego zamocowania

obydwu końców do 2 dla końca swobodnego. Po przekształceniu wzór na odkształcenie

krytyczne przyjmuje postać:

εk−=( πD

4κL

)2

. (8.10)

W tabeli 8.6 umieszczono wartości odkształcenia krytycznego dla trzech wartości κ: 0.5,

1.0 oraz 2.0; średnica nanopręta w jednostkach stałej sieci krystalicznej a, długość wynosiła

50a. Pozostawiono wartości większe od 0.1, lecz nie mają one sensu fizycznego, ponieważ

przekraczają zakres liniowej teorii sprężystości.


Tabela 8.6. Wartości odkształcenia krytycznego dla badanych nanoprętów.

κ

D[a] 0.5 1.0 2.03 0.142 0.036 0.0095 0.395 0.099 0.0258 1.011 0.253 0.06314 3.095 0.774 0.19320 6.317 1.579 0.395

Trwała deformacja materiału rozpoczyna się przy odkształceniu ε ≈ 0.05 i widać, żedla sztywnego zamocowania, gdy κ= 0.5, nie dochodzi do wyboczenia przed osiągnięciem

granicy plastyczności dla żadnej ze średnic. Dla κ = 1 może dojść do wyboczenia przed

osiągnięciem granicy plastyczności dla prętów o średnicy 3a. Gdyby obciążany koniec był

swobodny, κ = 2, do wyboczenia przed osiągnięciem granicy plastyczności może dojść

w nanoprętach o średnicach 3a, 5a i 8a. Wartość współczynnika κ dla nanoprętów jest

związana nie tylko ze sposobem mocowania końców, lecz również z tym, że odchylając się

od położenia równowagi wskutek drgań termicznych, mogą zainicjować utratę stabilności.

Mając na uwadze brak pewności co do możliwości bezpośredniego stosowania wzoru Eulera

w omawianej sytuacji oraz wartości współczynnika κ, jaki należy przyjąć w opisywanych

eksperymentach, sporządzono wykres maksymalnego odchylenia od położenia równowagi

w funkcji odkształcenia. Przykładowy wykres dla platyny, dla kierunku 001 pokazano narysunku 8.10.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Mak

sym

alne

odc

hyle

nie

środ

ka p

ręta

od

osi

odkształcenie −ε

D=3aD=5aD=8a

D=14aD=20a

Rysunek 8.10. Maksymalne odchylenie osi ściskanego pręta (platyna, kierunek 001)

Widoczny na wykresie wzrost wychylenia osi pręta pojawia się dopiero po osiągnięciu

granicy plastyczności, a zatem wcześniej nie dochodzi do utraty stabilności. Wzrost wychyle-


nia po osiągnięciu granicy plastyczności jest spowodowany powstawaniem poślizgów. Zostały

one opisane w następnym rozdziale.

8.4.2. Dyslokacje i poślizgi

Z uwagi na to, iż wszystkie badane nanopręty mają strukturę krystaliczną fcc, analizę

powstawania poślizgów przeprowadzono tylko dla nanoprętów złotych. W celu uniknięcia

wpływu zamocowania uchwytów na powstawanie dyslokacji badania powstawania poślizgów

podczas rozciągania przeprowadzono dla nanoprętów o długości 1200A i promieniu 10a.

Niestety podczas ściskania tak długie pręty ulegały wyboczeniu prędzej niż powstawała

trwała deformacja. Z tego powodu badanie powstawania dyslokacji i poślizgów dla ściskania

zostało ograniczone do prętów o długości 200A i promieniu 7a. Dla takich prętów poślizgi

nie pojawiały się przy uchwycie, co sugeruje, iż zamocowanie próbki nie miało wpływu na

rodzaj deformacji.

Do analizy powstawania i przebiegu zjawiska powstawania trwałych deformacji posłu-

żono się miarą D(M) zdefiniowaną w rozdziale 4.5. Wpierw należy określić D(P ) – dozwolone

maksymalne odchylenie odległości do najbliższego sąsiada, powyżej której daną parę ato-

mów sklasyfikować można jako parę, w której każdy atom należy do jeden z dwóch części

materiału, pomiędzy którymi nastąpił poślizg. Taką parę nazywać będziemy dyslokacją pary

atomów.

1

10

100

1000

10000

100000

1e+06

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

W(M

)

D(M)

przed poślizgiempo poślizgu

Rysunek 8.11. Wykres rozkładu W (M) przed i po pojawieniu się poślizgu,dla rozciąganego złotego nanopręta.


Porównując przedstawione na rysunku 8.11 rozkłady W (M)(x,t), obliczone według

wzorów (4.66) dla czasu t1 – przed pojawieniem się poślizgu oraz dla czasu t2, gdy poślizg

był już dostatecznie rozwinięty, należy przyjąć, że graniczną wartością odchylenia odległości

sąsiedniego atomu dla sieci fcc jest:

D(P )=0.2. (8.11)

Czas, w którym zaczął powstawać poślizg można wyznaczyć korzystając z wykresu liczby

atomów spełniających warunek (4.65), a określonych wzorem W (M)(D(P ),t). Przykład

przedstawiono na rysunku 8.12. Na wykresie widoczne są trzy charakterystyczne punkty

czasowe związane z poślizgami: w punkcie 592ps następuje początek wzrostu poślizgu, 597ps

to koniec wzrostu poślizgu oraz czas 599ps – to początek wzrostu kolejnego poślizgu. Ponadto

z przebiegu funkcji odczytać można, iż w poślizgu brało udział około 2000 atomów.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

590 592 594 596 598 600

W(M ) (0

.2,t)

czas [ps]

Rysunek 8.12. Wykres rozkładu W (M)(0.2,t) określającej liczbę zdyslokownaych atomów w czasie,dla rozciągania złotego nanopręta.

Dokładna analiza przebiegu powstawania poślizgów pozwala stwierdzić, że dla wszyst-

kich badanych próbek, niezależnie od promienia, długości i kierunku obciążania:

– poślizgi powstają w płaszczyźnie najgęściej upakowanej – 111,

– nukleacja poślizgu rozpoczyna się zawsze od powierzchni nanopręta,

– na lokalizację poślizgu nie ma wpływu zagęszczenie pojedynczych dyslokacji par atomów.

Z uwagi na krótki czas powstawania poślizgu (∼ 5ps) analiza przyczyn jego lokalizacjiwymaga dalszych badań wychodzących poza zakres niniejszej pracy.


Rysunek 8.13. Kolejne etapy powstawania poślizgu podczas rozciągania złotego nanopręta.Kolorem czerwonym zaznaczono pary atomów spełniające warunek D(P )> 0.2.

Rysunki dla czasów symulacji: 592.5ps, 5950ps i 597.5ps.


8.5. Napięcie powierzchniowe

Przedstawiony w rozdziale 3.2.2 model powłokowy napięcia powierzchniowego pozwala

obliczyć przybliżoną wartość napięcia, γp. Obliczenia wykonano w następujących warunkach:

– w części środkowej nanopręta odkształcenia nie osiągnęły granicy plastyczności,

– moduł Younga części środkowej nanopręta ma wartość wyliczoną według współczynni-

ków sztywności sprężystej,

– naprężenia w całej warstwie powierzchniowej są jednorodne, wyliczone wg wartości γp,

– naprężenia w części środkowej są jednorodne,

– na granicy warstwy powierzchniowej z częścią środkową następuje zmiana kierunku

naprężeń (zerowa grubość strefy przejściowej),

– grubość warstwy powierzchniowej jest równa a,

– skrócenie nanopręta ε równe średniemu zmniejszeniu odległości międzyatomowych,

– wszystkie wielkości są wyrażone jako krotność stałej sieci a0 dla kryształu nieodkształ-

conego,

– oś nanopręta jest zgodna z kierunkiem [001].

Wartości γp obliczone przy powyższych założeniach zostały umieszczone w tabeli 3.1.

Napięcie w warstwie powierzchniowej nie zależy od średnicy pręta, a więc γp = const.

Ponieważ ponadto Y = const, zatem:

n2

k(n+k)ε= const. (8.12)

Otrzymujemy wzór na skrócenie pręta spowodowane napięciem powierzchniowym w funkcji

jego średnicy wyrażonej przez na:

ε(n)=αk(n+k)n2

, (8.13)

gdzie α=4γ/aYi – stała, zależna od pierwiastka: dla miedzi 0.29, dla niklu 0.31, dla platyny

0.27, dla złota 0.26. Sprawdzono również minimalną średnicę pręta, przy której nie następuję

jeszcze uplastycznienie ściskanego rdzenia i wynosi ona dla niklu, miedzi i platyny Dmin=4a,

dla złota 3a.

Wykres funkcji a/a0 = 1−α(1+x)/x2, gdzie x = d/a, pokrywa się z wykresami a/a0otrzymanym w wyniku symulacji, zostało to przedstawione na rysunku 8.14.

Uzyskane wyniki, przedstawione na wykresach umieszczonych w tym rozdziale wskazują

na mały wpływ średnicy na właściwości mechaniczne nanoprętów. Zauważalne różnice dla

małych średnic związane są z uplastycznieniem rdzenia.


0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

a/a 0

promień [Ao]

Au

001011111

z napęcia powierzchowego

Rysunek 8.14. Stosunek stałej sieci a/a0 uzyskany z symulacji dynamiczno-molekularnych i wyznaczonyz napięcia powierzchniowego.

Zmiany odległości międzyatomowych w nanoprętach wiążą się z napięciem powierzch-

niowym, należy więc uznać, że napięcie powierzchniowe wpływa na właściwości mechaniczne

nanoprętów i ich zmiany ze wzrostem średnicy.

Porównując rysunki 8.1 nie zauważa się wpływu średnicy pręta na wyniki. Natomiast

większa wartość naprężenia granicznego przy ściskaniu od naprężenia granicznego przy roz-

ciąganiu, wskazuje na mały wpływu naprężeń powierzchniowych na właściwości mechaniczne,

gdyż wstępne obciążenie ściskające nanokryształu powinno przyspieszyć jego uplastycznienie

przy ściskaniu, i odwrotnie, opóźnić uplastycznienie przy rozciąganiu, natomiast zachowanie

badanych próbek było odwrotne od tych przewidywań.

8.6. Asymetria właściwości mechanicznychnanostruktur

Niektóre z wielkości opisujących właściwości mechaniczne otrzymane w wyniku symu-

lacji komputerowych mają inną wartość podczas ściskania próbki niż podczas rozciągania.

Asymetria ta nie jest uwzględniana w wytrzymałości materiałów ani w teorii sprężystości.

Wartości tablicowe współczynników odnoszą się do rozciągania i przyjmuje się, że są one

identyczne dla obydwu kierunków odkształcania. Takie właściwości materiałów maja miej-

sce w bliskim otoczeniu stanu nieodkształconego, co zostało to pokazane na rys. 8.15, na

którym widoczne są rzeczywiste krzywe odkształcenia oraz proste odpowiadające modułowi


-10

-5

0

5

10

-0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06

napr

ężen

ie [G

Pa]

odkształcenie ε

Cu

(001)(011)(111)

σ(ε)=Y001εσ(ε)=Y011εσ(ε)=Y111ε

Rysunek 8.15. Porównanie rzeczywistego kształtu krzywych odkształcenia z przebiegiem liniowymwyznaczonym z danych doświadczalnych.

Younga wyznaczonemu z tablicowych współczynników podatności sprężystej (zależność li-

niowa). Przy wydłużeniu ε=±0.02 asymetria jest już wyraźnie zauważalna.

Informacje o asymetrii właściwości materiałów pojawiały się przy okazji innych badań

jedynie jako pojedyncze spostrzeżenia. Właściwość ta nie była dotychczas przedmiotem sys-

tematycznych badań. Przedstawione w niniejszej pracy wyniki również nie są ani pełne, ani

systematyczne, ponieważ dotyczą jedynie czterech pierwiastków, jednej struktury krystalo-

graficznej, fcc, i jedynie trzech wybranych kierunków krystalograficznych.

Innych struktur krystalograficznych niż fcc nie badano, należy jednak przypuszczać,

że również dla nich ujawni się asymetria właściwości oraz ich zależność od płaszczyzny

krystalograficznej.

Asymetria siły oddziaływań międzyatomowych względem punktu równowagi wynikająca

z asymetrii możliwych przesunięć - zbliżanie się atomów do siebie ma granicę, oddalanie nie

ma, pokazuje, że asymetria związana z kierunkiem obciążania jest naturalną cechą oddzia-

ływań międzyatomowych. Analizując jedynie dwa sąsiadujące atomy przesuwane względem

siebie do 2% odległości międzyatmowej otrzymujemy różnicę modułu Younga pomiędzy ści-

skaniem i rozciąganiem w granicach od zera do trzech procent wartości modułu. Widoczne

na wykresach różnice wartości modułu Younga dla nanoprętów monokrystalicznych osiągają


70%, co wskazuje na istotny wpływ dalszych atomów i struktury krystalicznej na tę asyme-

trię.

Kształt komórki Wignera-Seitza pozwala natomiast przewidywać wpływ kierunków kry-

stalograficznych na wartości modułu Younga. Dla kryształów fcc odległości do najbliższych

atomów w kierunkach 110 i 111 są identyczne, i znacznie mniejsze od odległości w kie-runku 100. Wartości modułu Younga w kierunkach 110 i 111 powinny mieć podobnewartości, i znacznie większe niż w kierunku 100.Jest to rzeczywiście widoczne na wykresach 8.3 w obszarze ściskania. Natomiast krysz-

tały rozciągane w kierunku 110 wykazują moduł Younga zbliżony do kryształów rozcią-ganych w kierunku 100, a dla większych odkształceń ta wartość jest mniejsza. Nanoprętyrozciągane w kierunku 111 zachowują tę różnicę wartości w całym zakresie odkształceń.Uzyskane wartości modułu Younga nanoprętów zebrano oraz w tabelach 8.2 i 8.7.

Asymetria modułu Younga jest widoczna dla wszystkich badanych średnic nanoprętów, co

pokazane jest na rysunkach 8.1. Na rysunkach 8.3 widoczna jest asymetria występująca

w całym zakresie odkształceń sprężystych, z tym, że dla kierunków 111 jest ona niewielka.W tabeli 8.7 zestawiono wartości ilorazu modułu Younga dla ściskania Y− do modułu Younga

dla rozciągania Y+ dla prętów o średnicy 14a.

Tabela 8.7. Wartości stosunku Y−/Y+ dla badanych nanoprętów.

(001) (011) (111)Ni 0.7 1.4 0.9Cu 0.7 1.6 1.0Pt 0.8 1.6 1.1Au 0.9 1.6 1.2

Również porównanie wartości współczynnika Poissona uzyskane podczas ściskania i pod-

czas rozciągania nanoprętów wskazują na istnienie związku pomiędzy wartością ν a kierun-

kami krystalograficznymi wynikającego z kształtu komórki Wignera-Seitza. W tabeli 8.8

zestawiono wartości ν dla prętów o średnicy 14a

Tabela 8.8. Wartości stosunku ν−/ν+ dla badanych nanoprętów.

(001) (011) (111)Ni 1.3 0.9 1.3Cu 1.3 0.9 1.3Pt 1.2 0.9 1.3Au 1.1 0.9 1.2

Dla wszystkich próbek zauważa się prawidłowości związane z wpływem kierunków

płaszczyzn krystalograficznych i kierunku działania siły na granicę plastyczności, co pokazano

w tabeli 8.9. W tabeli zestawiono wartości naprężenia granicznego (granicy plastyczności)

dla ściskania σk− do naprężenia granicznego dla rozciągania σk+.


Tabela 8.9. Naprężenie graniczne – wartości stosunku σk−/σk+ dla badanych nanoprętów.

(001) (011) (111)Ni 0.3 2.4 1.4Cu 0.3 2.4 1.4Pt 0.4 3.2 1.9Au 0.5 3.1 2.3

Również podczas obciążania nanorurek węglowych obserwowano asymetrię właściwości

mechanicznych. Na rysunkach 7.3 pokazany został wpływ kierunku działania siły na moduł

Younga nanorurek jednopowłokowych. Nanorurki ściskane wykazują nieznacznie wyższą

wartość modułu, natomiast istotny wpływ na właściwości mechaniczne ma chiralność rurek:

podczas rozciągania największą wartość ma moduł Younga nanorurek typu zygzakowatego,

a najmniejszą dla nanorurek krzesełkowych; podczas ściskania jest odwrotnie: największą

wartość ma moduł Younga nanorurek typu krzesełkowego, a najmniejszą dla nanorurek

typu zygzakowatego. Również współczynnik Poissone’a wykazuje znaczne różnice wartości

w zależności od kierunku obciążania.

9. Podsumowanie

Przedstawione w niniejszej pracy wyniki oraz ich dyskusja pozwoliły poszerzyć wiedzę

o właściwościach mechanicznych jednościennych nanorurek węglowych oraz monokrystalicz-

nych nanoprętów metalowych.

W ramach pracy przeprowadzono przeszło 8000 symulacji nanostruktur, z których

wykorzystano 2/3, a bezpośrednie wyniki prezentowane w niniejszej pracy są efektem 1/5

symulacji. Pozostała część miała na celu przygotowanie próbek do właściwej symulacji i

ogólne poznanie nanostruktur, wyniki tych symulacji stanowią podstawę do dalszych badań

właściwości fizycznych nanostruktur. Całość danych zajmuje 3TB miejsca, a przeprowadzenie

wszystkich symulacji zajęło przeszło 40000 procesorogodzin, czemu odpowiada 4.5 roku

ciągłej pracy pojedynczego procesora.

Tam gdzie było to możliwe, uzyskane rezultaty zostały porównane z wynikami innych

prac eksperymentalnych i obliczeniowych. Na podstawie uzyskanej zgodności z innymi wyni-

kami można przyjąć, iż przedstawiane, są wyznaczone z co najmniej taką samą dokładnością

jak porównywane.

Przeprowadzone systematyczne badania nanorurek węglowych pokazały, że na ich wła-

ściwości mechaniczne wpływa chiralność, natomiast wpływ średnicy jest zauważalny dla śred-

nic mniejszych niż 8A. Właściwości mechaniczne nanorurek achiralnych stanowią obwiednię

dla właściwości pozostałych nanorurek, to znaczy takich, których obie współrzędne wek-

tora chiralnego są różne od zera. Graniczne wartości właściwości mechanicznych różnią się

o 15÷20%. Jedynym wyjątkiem są nanorurki o chiralnościach (n,±1) i (n,n±1) którychwspółczynnik Poissona mocno różni się od pozostałych i nie mieścił się w proponowanej

obwiedni. Zwrot obciążenia, oprócz wpływu na wartości stałych materiałowych nanorurek,

wpływa również na charakterystykę zależności od chiralności. Podczas rozciągania nanorurek

stwierdzono, iż nanorurki krzesełkowe, (AC), są bardziej podatne mechanicznie od zygzako-

watych, (ZZ): Y (AC)+ <Y(ZZ)+ natomiast przy ściskaniu nanorurek zależność ta zmienia się

na: Y (AC)− >Y(ZZ)− .

Przeprowadzone systematyczne badania nad nanoprętami monokrystalicznymi, pokazały

wpływ kierunku i zwrotu działania obciążenia na właściwości mechaniczne, natomiast wpływ

średnicy nanoprętów na własności mechaniczne zaobserwowano jedynie dla prętów o średnicy

107

9. PODSUMOWANIE 108

mniejszej niż 8 stałych sieciowych. Przeprowadzona analiza uzyskanych wyników pozwala

stwierdzić iż: moduł Younga mierzony w kierunku [111] ma największą wartość i nie zmienia

się przy zmianie zwrotu obciążenia, mierzony w kierunku [001] ma wartość najmniejszą

i jest 20% mniejszy dla ściskania niż rozciągania, natomiast dla kierunku [011] jest 50%

większy dla ściskania od wartości wyznaczonej dla rozciągania. Wartości współczynnika

Poissona i modułu Kirchhoffa są największe dla obciążania w kierunku [001] a najmniejsze

dla kierunku [111]. Analiza powstawania defektów strukturalnych po przekroczeniu granicy

plastyczności ukazała, iż poślizgi niezależnie od kierunku i zwrotu obciążenia następują na

płaszczyznach najgęstszego upakowania: 111, a ich powstawanie zawsze rozpoczyna się odbrzegu nanopręta.

Odkryta i opisana zależność właściwości mechanicznych nanostruktur od zwrotu ob-

ciążenia oraz, nie uwzględniana w literaturze, tak silna zależność własności mechanicznych

nanorurek węglowych od ich chiralności wymagają jeszcze potwierdzenia na drodze ekspery-

mentalnej i obliczeniowej dokładniejszymi modelami jak na przykład mechanika kwantowa.

Uzyskane rezultaty pozwalają stwierdzić, iż stworzenie prawidłowego modelu nano-

-mechanicznego wymaga stosowania różnych stałych materiałowych w zależności od me-

chaniki układu jaki one opisują. Podobnie, jak dla ciał makroskopowych, stałe materiałowe

dobrze opisują tylko odkształcenia nie większe niż 2%. Dla odkształceń z zakresu ±80%odkształcenia zrywającego nanostrukturę, wystarczające jest użycie funkcji kwadratowej do

opisu zależność σ(ε). W całym zakresie odkształceń sprężystych zależność σ(ε) można dobrze

opisać funkcją wielomianową trzeciego stopnia (z niepewnością nie większą niż 8%).

Przedstawiona analiza pokazała, że stosowanie metod wykorzystywanych w teorii sprę-

żystości i wytrzymałości materiałów jest możliwe dla nanostruktur o wielkości większej niż

103 atomów. Natomiast wszystkie charakterystyki materiałów należy, i można, uzyskiwać na

drodze obliczeniowej metodami MD. Opis zachowania nanostruktury pod wpływem zadanych

obciążeń można uzyskać metodami wytrzymałości materiałów, natomiast skomplikowane

przypadki metodą elementów skończonych, pozwalającą na tworzenie modeli o rozmiarach

większych niż te, na które pozwalają możliwości obliczeniowe komputerów przy symulacjach

metodami cząstek.

W ramach tej pracy powstał pakiet programów komputerowych pozwalających na pro-

wadzenie dynamiczno-molekularnych symulacji układów mechanicznych w skali nanome-

trycznej. Głównym składnikiem pakietu jest autorski program komputerowy nanoMD .

Przydatność programu zaowocowała powstaniem na jego bazie dwóch prac doktorskich.

W ramach pracy doktorskiej dr inż. Jacka Dziedzica [125] program nanoMD został wzbo-

gacony o możliwość przeprowadzania obliczeń metodami kwantowo-mechanicznymi (wzbo-

9. PODSUMOWANIE 109

gacona wersja programu nazwana została nanoTB), natomiast w pracy doktorskiej dr inż.

Moniki Rychcik-Leyk [126] program nanoMD w wersji podstawowej został wykorzystany do

modelowania ultra-precyzyjnego skrawania. Dzięki uzyskanym w niniejszej pracy wynikom

uzasadnione było rozbudowanie programu nanoMD o moduły umożliwiająca przeprowadza-

nie obliczeń metodami elementów skończonych. Prace nad rozbudową programu są w toku.

Dodanie modułu umożliwiającego wykonywanie obliczeń metodami elementów skończonych

pozwoli na wykonywanie pełnych symulacje trójskalowych dla układów znacznie większych

niż te, które do tej pory były modelowane.

10. Dodatek 1: Zestawienie wyników dlananorurek

W poszczególnych kolumnach umieszczono: R0, L0 – promień i długość początkowa

nanorurki w A, Ys i Yr – moduł Younga dla ściskania i rozciągania w TPa, νs i νr –

współczynnik Poissone’a dla ściskania i rozciągania, G – moduł Kirchhoffa w GPa oraz

ilorazy badanych wielkości.

110

10. DODATEK 1: ZESTAWIENIE WYNIKÓW DLA NANORUREK 111

Tabela 10.1. Charakterystyka geometryczna i właściwości mechaniczne nanorurek węglowych

chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr(5,0) 2.1 164.5 1.020 0.963 0.053 0.116 – 1.06 0.46(0,5) 2.1 161.9 1.019 0.953 0.089 0.116 – 1.07 0.77(6,0) 2.4 165.8 1.129 0.982 0.095 0.110 – 1.15 0.87(0,6) 2.4 165.1 0.994 0.979 0.088 0.121 6.03 1.02 0.72(7,0) 2.8 168.4 1.023 1.016 0.085 0.136 – 1.01 0.62(0,7) 2.8 165.6 1.067 1.008 0.091 0.142 6.05 1.06 0.65(8,0) 3.2 168.7 1.049 1.030 0.104 0.167 – 1.02 0.62(0,8) 3.2 168.0 0.999 1.023 0.101 0.162 6.05 0.98 0.62(9,0) 3.5 168.9 1.176 1.036 0.113 0.182 – 1.14 0.62(0,9) 3.5 168.2 1.041 1.031 0.107 0.173 6.01 1.01 0.62(10,0) 3.9 169.0 1.062 1.041 0.104 0.183 – 1.02 0.57(0,10) 3.9 168.2 0.987 1.038 0.167 0.201 5.98 0.95 0.83(11,0) 4.3 169.0 1.135 1.044 0.143 0.198 – 1.09 0.72(0,11) 4.3 168.3 1.080 1.038 0.138 0.202 5.88 1.04 0.68(12,0) 4.7 169.1 1.118 1.043 0.161 0.193 – 1.07 0.83(0,12) 4.7 168.4 1.025 1.039 0.134 0.189 5.82 0.99 0.71(13,0) 5.0 169.1 1.103 1.045 0.175 0.208 – 1.05 0.84(0,13) 5.0 168.4 0.979 1.042 0.128 0.211 5.78 0.94 0.61(14,0) 5.4 169.1 0.951 1.049 0.120 0.227 – 0.91 0.53(0,14) 5.4 168.4 1.030 1.038 0.123 0.236 5.73 0.99 0.52(15,0) 5.8 169.1 1.133 1.047 0.104 0.222 – 1.08 0.47(0,15) 5.8 168.4 1.056 1.041 0.137 0.226 5.63 1.01 0.60(16,0) 6.2 169.1 1.040 1.048 0.149 0.219 – 0.99 0.68(0,16) 6.2 168.4 1.029 1.042 0.129 0.225 5.74 0.99 0.57(17,0) 6.6 171.2 0.943 1.051 0.145 0.224 – 0.90 0.64(0,17) 6.6 168.4 1.120 1.045 0.145 0.223 5.93 1.07 0.65(18,0) 7.0 171.2 0.950 1.052 0.133 0.216 – 0.90 0.62(0,18) 7.0 168.4 1.056 1.043 0.158 0.232 5.96 1.01 0.68(19,0) 7.3 171.2 0.983 1.050 0.151 0.224 – 0.94 0.67(0,19) 7.4 168.4 1.030 1.040 0.180 0.225 5.93 0.99 0.80(20,0) 7.7 171.2 1.002 1.049 0.062 0.212 – 0.96 0.29(0,20) 7.7 168.4 1.060 1.042 0.187 0.233 5.99 1.02 0.80(0,25) 9.6 168.4 0.963 1.043 0.182 0.235 – 0.92 0.77(0,30) 11.6 168.4 1.059 1.044 0.181 0.247 – 1.01 0.73(0,35) 13.5 168.4 1.016 1.040 0.201 0.225 – 0.98 0.89(0,40) 15.4 168.4 0.952 1.042 0.218 0.225 – 0.91 0.97(3,3) 2.1 168.9 1.111 0.854 0.128 0.085 6.58 1.30 1.51(4,4) 2.7 169.6 1.130 0.879 0.236 0.145 6.93 1.29 1.62(5,5) 3.4 170.5 1.029 0.887 0.178 0.162 6.74 1.16 1.10(6,6) 4.0 170.3 1.096 0.889 0.167 0.188 6.58 1.23 0.89(7,7) 4.7 170.1 1.104 0.894 0.191 0.175 6.48 1.23 1.09(8,8) 5.4 171.2 1.174 0.889 0.268 0.191 6.35 1.32 1.40(9,9) 6.0 171.1 1.018 0.894 0.219 0.184 6.41 1.14 1.19(10,10) 6.7 171.1 0.962 0.892 0.225 0.187 6.44 1.08 1.20(11,11) 7.4 171.0 1.067 0.890 0.290 0.195 6.49 1.20 1.49(12,12) 8.0 171.0 1.060 0.892 0.183 0.198 6.37 1.19 0.92(13,13) 8.7 170.9 1.057 0.892 0.197 0.193 6.53 1.18 1.02(14,14) 9.3 170.9 1.048 0.891 0.233 0.186 6.45 1.18 1.25(15,15) 10.0 170.9 1.059 0.887 0.236 0.202 6.50 1.19 1.17(16,16) 10.7 170.9 0.946 0.890 0.240 0.193 6.51 1.06 1.24(17,17) 11.3 170.9 1.091 0.894 0.190 0.187 6.40 1.22 1.02(18,18) 12.0 170.8 1.017 0.891 0.214 0.191 6.39 1.14 1.12


chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr(19,19) 12.7 170.8 0.975 0.891 0.242 0.190 6.54 1.09 1.28(20,20) 13.3 170.8 1.013 0.892 0.221 0.167 6.51 1.13 1.32(25,25) 16.7 170.8 1.020 0.892 0.244 0.176 – 1.14 1.38(1,4) 1.9 163.9 0.340 0.950 0.078 0.142 – 0.36 0.55(1,5) 2.2 166.4 0.950 0.968 0.049 0.097 – 0.98 0.50(1,6) 2.6 167.5 1.186 0.999 0.094 0.132 6.34 1.19 0.71(1,7) 3.0 168.5 1.053 1.017 0.078 0.116 6.41 1.04 0.67(1,8) 3.3 169.0 1.061 1.026 0.109 0.142 6.36 1.03 0.77(1,9) 3.7 169.3 0.996 1.037 0.119 0.150 6.23 0.96 0.79(1,10) 4.1 169.7 1.177 1.039 0.130 0.156 6.09 1.13 0.83(1,11) 4.5 169.8 1.071 1.041 0.096 0.197 6.04 1.03 0.49(1,12) 4.9 170.0 0.948 1.046 0.171 0.199 5.96 0.91 0.86(1,13) 5.2 170.0 1.027 1.049 0.140 0.194 5.87 0.98 0.72(1,14) 5.6 170.2 1.076 1.048 0.149 0.199 5.78 1.03 0.75(1,15) 6.0 170.3 1.058 1.049 0.102 0.222 5.90 1.01 0.46(1,16) 6.4 170.3 0.976 1.049 0.142 0.203 6.03 0.93 0.70(1,17) 6.8 170.3 1.006 1.049 0.097 0.225 5.99 0.96 0.43(1,18) 7.1 170.3 0.997 1.050 0.147 0.215 6.04 0.95 0.68(1,19) 7.5 170.4 1.034 1.049 0.170 0.234 6.07 0.99 0.73(1,20) 7.9 170.4 1.066 1.049 0.148 0.221 6.07 1.02 0.67(2,3) 1.8 166.4 0.570 0.843 0.135 0.105 – 0.68 1.29(2,4) 2.1 167.3 1.126 0.901 0.093 0.081 – 1.25 1.15(2,5) 2.5 168.5 1.150 0.946 0.101 0.106 – 1.22 0.95(2,6) 2.8 168.6 1.170 0.970 0.112 0.128 6.56 1.21 0.87(2,7) 3.2 169.4 1.180 0.988 0.148 0.150 6.52 1.19 0.98(2,8) 3.6 169.4 1.033 1.003 0.145 0.163 6.41 1.03 0.89(2,9) 4.0 169.8 1.126 1.013 0.133 0.159 6.37 1.11 0.84(2,10) 4.3 170.0 1.063 1.022 0.161 0.181 6.14 1.04 0.89(2,11) 4.7 170.1 0.990 1.025 0.133 0.203 6.07 0.97 0.66(2,12) 5.1 170.0 0.979 1.030 0.140 0.195 6.01 0.95 0.72(2,13) 5.5 170.3 0.992 1.031 0.120 0.208 5.91 0.96 0.58(2,14) 5.9 170.0 1.018 1.036 0.182 0.218 5.78 0.98 0.84(2,15) 6.2 170.4 0.980 1.037 0.147 0.210 5.96 0.95 0.70(2,16) 6.6 170.4 1.017 1.039 0.163 0.228 6.05 0.98 0.72(2,17) 7.0 170.5 1.073 1.039 0.165 0.226 6.03 1.03 0.73(2,18) 7.4 170.3 1.058 1.041 0.161 0.222 6.05 1.02 0.72(2,19) 7.8 170.6 1.022 1.040 0.123 0.233 6.10 0.98 0.53(2,20) 8.1 170.4 0.982 1.043 0.152 0.219 6.06 0.94 0.69(3,3) 2.1 168.9 1.111 0.854 0.128 0.085 6.58 1.30 1.51(3,4) 2.4 169.8 1.114 0.873 0.115 0.075 7.01 1.28 1.54(3,5) 2.8 169.8 1.131 0.907 0.144 0.128 7.02 1.25 1.12(3,6) 3.1 169.7 1.130 0.933 0.162 0.145 6.92 1.21 1.11(3,7) 3.5 170.2 1.171 0.957 0.177 0.148 6.75 1.22 1.19(3,8) 3.8 170.2 1.106 0.971 0.177 0.170 6.62 1.14 1.04(3,9) 4.2 169.9 1.068 0.987 0.177 0.184 6.40 1.08 0.96(3,10) 4.6 170.3 1.056 0.998 0.163 0.194 6.29 1.06 0.84(3,11) 5.0 170.4 1.137 1.005 0.184 0.198 6.09 1.13 0.93(3,12) 5.3 170.3 1.097 1.010 0.116 0.196 5.98 1.09 0.59(3,13) 5.7 170.5 1.094 1.015 0.191 0.199 6.10 1.08 0.96(3,14) 6.1 170.6 1.006 1.018 0.120 0.198 6.10 0.99 0.61(3,15) 6.5 170.4 1.015 1.023 0.194 0.222 6.08 0.99 0.88(3,16) 6.8 170.6 1.001 1.026 0.163 0.212 6.14 0.98 0.77


chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr(3,17) 7.2 170.6 1.076 1.028 0.173 0.217 6.14 1.05 0.80(3,18) 7.6 170.3 1.005 1.027 0.159 0.212 6.16 0.98 0.75(3,19) 8.0 170.7 1.056 1.030 0.179 0.236 6.12 1.02 0.76(3,20) 8.4 170.6 1.056 1.029 0.191 0.210 6.18 1.03 0.91(4,1) 1.9 164.2 0.513 0.956 0.060 0.229 – 0.54 0.26(4,2) 2.1 167.5 1.080 0.908 0.091 0.086 – 1.19 1.06(4,3) 2.4 169.8 1.125 0.877 0.118 0.036 – 1.28 3.33(4,4) 2.7 169.6 1.130 0.879 0.236 0.145 6.93 1.29 1.62(4,5) 3.1 170.6 1.144 0.889 0.150 0.128 6.90 1.29 1.17(4,6) 3.4 170.3 0.976 0.907 0.179 0.164 6.85 1.08 1.09(4,7) 3.8 170.7 1.127 0.923 0.142 0.182 6.74 1.22 0.78(4,8) 4.1 170.4 1.046 0.945 0.181 0.179 6.64 1.11 1.01(4,9) 4.5 170.7 1.141 0.955 0.195 0.179 6.48 1.19 1.09(4,10) 4.9 170.5 1.089 0.970 0.208 0.191 6.26 1.12 1.09(4,11) 5.2 170.7 1.049 0.981 0.187 0.206 6.20 1.07 0.91(4,12) 5.6 170.4 1.000 0.989 0.185 0.199 6.07 1.01 0.93(4,13) 6.0 170.7 1.060 0.992 0.160 0.211 6.08 1.07 0.76(4,14) 6.3 170.7 1.139 0.996 0.193 0.204 6.19 1.14 0.95(4,15) 6.7 170.7 1.070 1.001 0.202 0.225 6.17 1.07 0.90(4,16) 7.1 170.3 1.082 1.003 0.171 0.198 6.18 1.08 0.86(4,17) 7.5 170.7 1.077 1.012 0.195 0.212 6.18 1.06 0.92(4,18) 7.8 170.6 1.006 1.017 0.120 0.224 6.17 0.99 0.54(4,19) 8.2 170.7 0.995 1.019 0.133 0.222 6.13 0.98 0.60(4,20) 8.6 170.4 0.990 1.023 0.158 0.224 6.25 0.97 0.71(5,0) 2.1 164.5 1.020 0.963 0.053 0.116 – 1.06 0.46(5,1) 2.2 166.8 1.144 0.969 0.046 0.098 – 1.18 0.47(5,2) 2.5 168.9 1.198 0.948 0.080 0.103 – 1.26 0.78(5,3) 2.8 170.0 1.192 0.907 0.130 0.119 – 1.31 1.09(5,4) 3.1 170.7 1.098 0.887 0.129 0.122 – 1.24 1.06(5,5) 3.4 170.5 1.029 0.887 0.178 0.162 6.74 1.16 1.10(5,6) 3.7 170.9 1.091 0.894 0.186 0.128 6.73 1.22 1.46(5,7) 4.1 171.0 1.110 0.903 0.182 0.176 6.63 1.23 1.03(5,8) 4.4 171.0 1.119 0.920 0.175 0.183 6.50 1.22 0.96(5,9) 4.8 170.8 1.062 0.931 0.212 0.162 6.41 1.14 1.31(5,10) 5.1 170.2 1.134 0.943 0.168 0.181 6.32 1.20 0.93(5,11) 5.5 170.8 1.149 0.949 0.210 0.193 6.18 1.21 1.09(5,12) 5.9 170.8 1.096 0.965 0.174 0.206 6.25 1.14 0.84(5,13) 6.2 170.9 1.037 0.978 0.202 0.201 6.28 1.06 1.00(5,14) 6.6 170.8 0.980 0.986 0.174 0.208 6.34 0.99 0.84(5,15) 7.0 170.3 1.024 0.986 0.206 0.217 6.21 1.04 0.95(5,16) 7.3 170.8 0.993 0.992 0.177 0.234 6.28 1.00 0.76(5,17) 7.7 170.8 1.039 1.001 0.183 0.207 6.24 1.04 0.88(5,18) 8.1 170.9 1.025 1.001 0.203 0.219 6.17 1.02 0.93(5,19) 8.5 170.8 0.993 1.006 0.161 0.205 6.24 0.99 0.78(5,20) 8.8 170.7 1.057 1.010 0.194 0.221 6.25 1.05 0.87(6,0) 2.4 165.8 1.129 0.982 0.095 0.110 – 1.15 0.87(6,1) 2.6 168.4 1.142 0.992 0.065 0.118 – 1.15 0.55(6,2) 2.9 169.6 1.061 0.973 0.126 0.134 – 1.09 0.94(6,3) 3.1 170.0 1.128 0.933 0.183 0.130 – 1.21 1.40(6,4) 3.4 170.5 1.104 0.907 0.217 0.159 – 1.22 1.36(6,5) 3.7 170.9 1.056 0.895 0.173 0.128 – 1.18 1.36


chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr(6,6) 4.0 170.3 1.096 0.889 0.167 0.188 6.58 1.23 0.89(6,7) 4.4 171.2 1.115 0.892 0.194 0.134 6.52 1.25 1.45(6,8) 4.7 171.0 1.113 0.902 0.172 0.180 6.40 1.23 0.95(6,9) 5.1 170.9 1.137 0.910 0.216 0.193 6.33 1.25 1.12(6,10) 5.4 171.1 1.018 0.925 0.201 0.191 6.37 1.10 1.05(6,11) 5.8 171.0 1.063 0.934 0.154 0.178 6.37 1.14 0.86(6,12) 6.1 171.0 1.170 0.944 0.163 0.188 6.42 1.24 0.87(6,13) 6.5 170.9 1.129 0.952 0.168 0.187 6.40 1.19 0.90(6,14) 6.9 170.8 1.103 0.959 0.188 0.196 6.32 1.15 0.96(6,15) 7.2 170.7 1.109 0.965 0.189 0.197 6.37 1.15 0.96(6,16) 7.6 170.9 1.077 0.976 0.197 0.214 6.32 1.10 0.92(6,17) 8.0 170.9 1.053 0.983 0.197 0.218 6.30 1.07 0.91(6,18) 8.3 170.9 1.060 0.989 0.233 0.209 6.32 1.07 1.11(6,19) 8.7 170.9 1.054 0.992 0.201 0.222 6.25 1.06 0.91(6,20) 9.1 170.9 0.977 0.994 0.216 0.240 6.23 0.98 0.90(7,0) 2.8 168.4 1.023 1.016 0.085 0.136 – 1.01 0.62(7,1) 3.0 169.3 1.167 1.015 0.085 0.109 – 1.15 0.78(7,2) 3.2 170.0 1.141 0.992 0.144 0.151 – 1.15 0.96(7,3) 3.5 170.5 1.124 0.957 0.157 0.147 – 1.17 1.07(7,4) 3.8 170.9 1.010 0.927 0.154 0.169 – 1.09 0.91(7,5) 4.1 171.1 1.140 0.903 0.188 0.165 – 1.26 1.14(7,6) 4.4 171.3 1.048 0.892 0.151 0.126 – 1.17 1.21(7,7) 4.7 170.1 1.104 0.894 0.191 0.175 6.48 1.23 1.09(7,8) 5.0 171.3 0.990 0.890 0.177 0.149 6.34 1.11 1.19(7,9) 5.4 171.2 1.076 0.897 0.232 0.203 6.34 1.20 1.14(7,10) 5.7 171.2 1.024 0.905 0.190 0.209 6.40 1.13 0.91(7,11) 6.1 171.2 0.937 0.914 0.200 0.200 6.38 1.03 1.00(7,12) 6.4 171.1 1.046 0.925 0.224 0.193 6.38 1.13 1.16(7,13) 6.8 171.1 1.083 0.936 0.181 0.175 6.39 1.16 1.04(7,14) 7.2 170.9 1.072 0.943 0.208 0.210 6.47 1.14 0.99(7,15) 7.5 171.0 1.024 0.950 0.172 0.187 6.35 1.08 0.92(7,16) 7.9 171.1 1.072 0.956 0.182 0.199 6.28 1.12 0.91(7,17) 8.2 170.9 0.998 0.970 0.226 0.201 6.39 1.03 1.12(7,18) 8.6 171.0 1.097 0.973 0.209 0.215 6.34 1.13 0.97(7,19) 9.0 171.0 0.976 0.984 0.161 0.179 6.45 0.99 0.90(7,20) 9.4 170.9 0.995 0.983 0.201 0.205 6.41 1.01 0.98(8,0) 3.2 168.7 1.049 1.030 0.104 0.167 – 1.02 0.62(8,1) 3.3 169.8 1.135 1.028 0.094 0.141 – 1.10 0.66(8,2) 3.6 170.3 1.064 1.006 0.149 0.164 – 1.06 0.91(8,3) 3.8 170.7 1.052 0.973 0.149 0.172 – 1.08 0.87(8,4) 4.1 170.6 0.997 0.945 0.100 0.174 – 1.05 0.58(8,5) 4.4 171.1 1.096 0.916 0.232 0.180 – 1.20 1.29(8,6) 4.7 171.1 1.153 0.898 0.170 0.171 – 1.28 0.99(8,7) 5.0 171.3 1.076 0.890 0.209 0.142 – 1.21 1.47(8,8) 5.4 171.2 1.174 0.889 0.268 0.191 6.35 1.32 1.40(8,9) 5.7 171.3 1.183 0.890 0.199 0.148 6.36 1.33 1.34(8,10) 6.0 171.2 1.027 0.897 0.237 0.189 6.41 1.14 1.25(8,11) 6.4 171.2 1.037 0.907 0.215 0.189 6.47 1.14 1.14(8,12) 6.7 171.2 1.029 0.911 0.221 0.186 6.38 1.13 1.19(8,13) 7.1 171.1 0.993 0.920 0.206 0.193 6.41 1.08 1.07(8,14) 7.4 171.1 1.023 0.927 0.190 0.203 6.42 1.10 0.94(8,15) 7.8 171.1 0.973 0.935 0.184 0.171 6.39 1.04 1.08


chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr(8,16) 8.2 170.8 0.937 0.947 0.190 0.193 6.46 0.99 0.98(8,17) 8.5 171.1 0.942 0.949 0.166 0.200 6.45 0.99 0.83(8,18) 8.9 171.0 1.064 0.953 0.172 0.209 6.39 1.12 0.82(8,19) 9.3 171.0 1.033 0.961 0.209 0.203 6.47 1.07 1.03(8,20) 9.6 171.0 1.069 0.968 0.165 0.197 6.29 1.10 0.84(9,0) 3.5 168.9 1.176 1.036 0.113 0.182 – 1.14 0.62(9,1) 3.7 170.3 0.927 1.035 0.145 0.179 – 0.90 0.81(9,2) 4.0 170.7 1.135 1.012 0.126 0.170 – 1.12 0.74(9,3) 4.2 170.8 1.044 0.985 0.159 0.185 – 1.06 0.86(9,4) 4.5 171.0 1.141 0.958 0.176 0.170 – 1.19 1.03(9,5) 4.8 171.2 1.094 0.933 0.204 0.168 – 1.17 1.22(9,6) 5.1 171.1 1.093 0.911 0.230 0.187 – 1.20 1.23(9,7) 5.4 171.4 1.074 0.902 0.212 0.188 – 1.19 1.13(9,8) 5.7 171.4 1.135 0.888 0.259 0.153 – 1.28 1.70(9,9) 6.0 171.1 1.018 0.894 0.219 0.184 6.41 1.14 1.19(9,10) 6.4 171.4 1.122 0.893 0.184 0.141 6.42 1.26 1.30(9,11) 6.7 171.3 1.058 0.896 0.235 0.199 6.45 1.18 1.18(9,12) 7.0 171.1 1.035 0.903 0.208 0.200 6.44 1.15 1.04(9,13) 7.4 171.3 1.056 0.910 0.207 0.191 6.45 1.16 1.09(9,14) 7.7 171.2 1.075 0.915 0.163 0.200 6.42 1.17 0.82(9,15) 8.1 171.2 1.055 0.924 0.193 0.191 6.52 1.14 1.01(9,16) 8.5 171.2 1.004 0.925 0.268 0.202 6.48 1.08 1.33(9,17) 8.8 171.1 1.016 0.936 0.194 0.209 6.45 1.09 0.93(9,18) 9.2 170.8 1.058 0.943 0.195 0.207 6.37 1.12 0.94(9,19) 9.5 171.1 1.025 0.950 0.198 0.195 6.37 1.08 1.02(9,20) 9.9 171.1 0.988 0.952 0.181 0.207 6.18 1.04 0.88(10,0) 3.9 169.0 1.062 1.041 0.104 0.183 – 1.02 0.57(10,1) 4.1 170.5 1.071 1.037 0.130 0.173 – 1.03 0.75(10,2) 4.3 170.5 1.057 1.018 0.180 0.184 – 1.04 0.98(10,3) 4.6 171.1 0.995 0.997 0.152 0.205 – 1.00 0.74(10,4) 4.9 170.9 1.121 0.967 0.191 0.177 – 1.16 1.08(10,5) 5.1 171.3 0.980 0.948 0.174 0.170 – 1.03 1.02(10,6) 5.4 171.3 1.056 0.922 0.222 0.193 – 1.15 1.15(10,7) 5.7 171.3 1.074 0.907 0.207 0.180 – 1.18 1.15(10,8) 6.0 171.3 1.016 0.900 0.201 0.196 – 1.13 1.02(10,9) 6.4 171.4 1.102 0.895 0.212 0.139 – 1.23 1.52(10,10) 6.7 171.1 0.962 0.892 0.225 0.187 6.44 1.08 1.20(10,11) 7.0 171.3 1.048 0.891 0.194 0.137 6.45 1.18 1.41(10,12) 7.4 171.2 1.119 0.893 0.220 0.189 6.53 1.25 1.17(10,13) 7.7 171.3 1.065 0.897 0.206 0.194 6.42 1.19 1.06(10,14) 8.1 171.3 1.063 0.902 0.187 0.185 6.44 1.18 1.01(10,15) 8.4 171.1 1.049 0.910 0.256 0.187 6.52 1.15 1.37(10,16) 8.8 171.2 0.996 0.916 0.204 0.190 6.46 1.09 1.07(10,17) 9.1 171.2 1.003 0.923 0.204 0.197 6.54 1.09 1.04(10,18) 9.5 171.2 0.995 0.930 0.225 0.200 6.41 1.07 1.12(10,19) 9.8 171.2 0.991 0.939 0.169 0.141 6.44 1.06 1.20(10,20) 10.2 170.8 1.084 0.943 0.217 0.201 6.37 1.15 1.08(11,0) 4.3 169.0 1.135 1.044 0.143 0.198 – 1.09 0.72(11,1) 4.5 170.8 1.027 1.040 0.101 0.163 – 0.99 0.62(11,2) 4.7 170.9 1.005 1.026 0.124 0.196 – 0.98 0.63(11,3) 5.0 171.0 1.023 1.000 0.152 0.199 – 1.02 0.77


chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr(11,4) 5.2 171.2 1.085 0.980 0.179 0.202 – 1.11 0.89(11,5) 5.5 171.3 1.117 0.952 0.148 0.191 – 1.17 0.78(11,6) 5.8 171.4 1.042 0.932 0.206 0.186 – 1.12 1.10(11,7) 6.1 171.4 1.020 0.916 0.168 0.188 – 1.11 0.89(11,8) 6.4 171.4 1.017 0.905 0.214 0.198 – 1.12 1.08(11,9) 6.7 171.4 1.061 0.897 0.220 0.208 – 1.18 1.06(11,10) 7.0 171.5 1.107 0.891 0.188 0.147 – 1.24 1.28(11,11) 7.4 171.0 1.067 0.890 0.290 0.195 6.49 1.20 1.49(11,12) 7.7 171.4 1.030 0.891 0.176 0.135 6.49 1.16 1.31(11,13) 8.0 171.4 1.037 0.891 0.194 0.194 6.35 1.16 1.00(11,14) 8.4 171.3 1.075 0.898 0.213 0.196 6.37 1.20 1.09(11,15) 8.7 171.3 1.069 0.903 0.237 0.192 6.52 1.18 1.23(11,16) 9.1 171.3 1.003 0.907 0.231 0.183 6.43 1.11 1.26(11,17) 9.4 171.2 1.011 0.912 0.241 0.190 6.37 1.11 1.27(11,18) 9.8 171.2 1.017 0.919 0.238 0.181 6.51 1.11 1.31(11,19) 10.1 171.2 1.010 0.928 0.203 0.192 6.47 1.09 1.05(11,20) 10.5 171.2 1.008 0.932 0.192 0.189 6.44 1.08 1.01(12,0) 4.7 169.1 1.118 1.043 0.161 0.193 – 1.07 0.83(12,1) 4.9 170.9 0.993 1.045 0.134 0.179 – 0.95 0.75(12,2) 5.1 170.9 1.017 1.030 0.144 0.203 – 0.99 0.71(12,3) 5.3 170.8 1.093 1.009 0.162 0.204 – 1.08 0.80(12,4) 5.6 170.8 1.030 0.987 0.129 0.191 – 1.04 0.68(12,5) 5.9 171.3 1.153 0.964 0.232 0.195 – 1.20 1.19(12,6) 6.1 171.2 1.157 0.941 0.194 0.192 – 1.23 1.01(12,7) 6.4 171.4 0.971 0.925 0.215 0.188 – 1.05 1.15(12,8) 6.7 171.5 1.035 0.912 0.223 0.202 – 1.13 1.11(12,9) 7.0 171.2 1.062 0.901 0.215 0.195 – 1.18 1.10(12,10) 7.4 171.5 1.063 0.895 0.218 0.183 – 1.19 1.19(12,11) 7.7 171.4 1.058 0.891 0.210 0.154 – 1.19 1.36(12,12) 8.0 171.0 1.060 0.892 0.183 0.198 6.37 1.19 0.92(12,13) 8.3 171.4 1.037 0.891 0.170 0.137 6.50 1.16 1.24(12,14) 8.7 171.3 1.009 0.892 0.184 0.194 6.47 1.13 0.95(12,15) 9.0 171.3 1.020 0.894 0.267 0.189 6.53 1.14 1.41(12,16) 9.4 171.3 1.044 0.900 0.196 0.175 6.53 1.16 1.12(12,17) 9.7 171.3 0.966 0.906 0.210 0.202 6.55 1.07 1.04(12,18) 10.1 171.1 0.998 0.908 0.231 0.183 6.44 1.10 1.26(12,19) 10.4 171.3 0.960 0.917 0.206 0.193 6.41 1.05 1.07(12,20) 10.8 171.1 1.074 0.921 0.223 0.195 6.38 1.17 1.14(13,0) 5.0 169.1 1.103 1.045 0.175 0.208 – 1.05 0.84(13,1) 5.2 170.9 1.083 1.047 0.136 0.204 – 1.03 0.67(13,2) 5.5 171.1 1.010 1.033 0.156 0.212 – 0.98 0.74(13,3) 5.7 171.2 1.149 1.014 0.254 0.203 – 1.13 1.25(13,4) 6.0 171.2 0.979 0.993 0.184 0.198 – 0.99 0.92(13,5) 6.2 171.3 1.143 0.974 0.202 0.199 – 1.17 1.01(13,6) 6.5 171.3 1.091 0.948 0.184 0.198 – 1.15 0.93(13,7) 6.8 171.4 1.083 0.933 0.192 0.182 – 1.16 1.06(13,8) 7.1 171.4 1.010 0.920 0.219 0.196 – 1.10 1.12(13,9) 7.4 171.4 1.082 0.910 0.233 0.202 – 1.19 1.16(13,10) 7.7 171.5 1.053 0.896 0.214 0.190 – 1.17 1.13(13,11) 8.0 171.4 1.019 0.897 0.211 0.193 – 1.14 1.09(13,12) 8.3 171.4 1.085 0.892 0.218 0.149 – 1.22 1.46(13,13) 8.7 170.9 1.057 0.892 0.197 0.193 6.53 1.18 1.02(13,14) 9.0 171.4 1.025 0.889 0.215 0.147 6.59 1.15 1.47


chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr(13,15) 9.4 171.4 1.043 0.891 0.192 0.187 6.38 1.17 1.03(13,16) 9.7 171.4 1.057 0.896 0.238 0.200 6.50 1.18 1.19(13,17) 10.0 171.4 0.974 0.900 0.222 0.204 5.12 1.08 1.09(13,18) 10.4 171.3 1.032 0.903 0.203 0.192 6.01 1.14 1.05(13,19) 10.7 171.3 0.968 0.909 0.214 0.195 6.39 1.07 1.09(13,20) 11.1 171.3 0.972 0.912 0.200 0.205 6.41 1.07 0.97(14,0) 5.4 169.1 0.951 1.049 0.120 0.227 – 0.91 0.53(14,1) 5.6 171.1 0.962 1.051 0.139 0.204 – 0.92 0.68(14,2) 5.9 170.9 1.024 1.035 0.105 0.215 – 0.99 0.49(14,3) 6.1 171.3 1.191 1.016 0.216 0.206 – 1.17 1.05(14,4) 6.3 171.1 1.040 0.999 0.155 0.206 – 1.04 0.75(14,5) 6.6 171.4 1.094 0.982 0.217 0.218 – 1.11 1.00(14,6) 6.9 171.4 1.067 0.958 0.174 0.196 – 1.11 0.89(14,7) 7.2 171.2 1.105 0.942 0.208 0.199 – 1.17 1.04(14,8) 7.4 171.4 1.026 0.928 0.209 0.195 – 1.11 1.07(14,9) 7.7 171.5 1.074 0.913 0.191 0.187 – 1.18 1.02(14,10) 8.1 171.4 1.093 0.901 0.206 0.189 – 1.21 1.09(14,11) 8.4 171.4 1.013 0.900 0.227 0.193 – 1.13 1.17(14,12) 8.7 171.4 0.998 0.890 0.212 0.188 – 1.12 1.13(14,13) 9.0 171.5 0.986 0.891 0.134 0.153 – 1.11 0.88(14,14) 9.3 170.9 1.048 0.891 0.233 0.186 6.45 1.18 1.25(14,15) 9.7 171.4 1.044 0.891 0.203 0.146 6.51 1.17 1.38(14,16) 10.0 171.4 1.016 0.888 0.247 0.181 6.14 1.14 1.37(14,17) 10.4 171.4 0.996 0.894 0.235 0.194 6.30 1.11 1.21(14,18) 10.7 171.3 1.036 0.899 0.211 0.195 6.42 1.15 1.08(14,19) 11.1 171.3 1.031 0.901 0.211 0.196 6.39 1.14 1.07(14,20) 11.4 171.3 1.046 0.905 0.236 0.186 6.36 1.16 1.27(15,0) 5.8 169.1 1.133 1.047 0.104 0.222 – 1.08 0.47(15,1) 6.0 171.2 1.100 1.047 0.158 0.202 – 1.05 0.78(15,2) 6.2 171.2 1.034 1.037 0.156 0.211 – 1.00 0.74(15,3) 6.5 171.3 1.055 1.020 0.170 0.214 – 1.03 0.80(15,4) 6.7 171.4 0.967 1.010 0.184 0.200 – 0.96 0.92(15,5) 7.0 171.4 1.078 0.987 0.210 0.201 – 1.09 1.05(15,6) 7.2 171.4 1.147 0.964 0.182 0.191 – 1.19 0.95(15,7) 7.5 171.5 1.035 0.952 0.199 0.203 – 1.09 0.98(15,8) 7.8 171.5 1.036 0.936 0.204 0.195 – 1.11 1.05(15,9) 8.1 171.4 1.072 0.918 0.289 0.186 – 1.17 1.55(15,10) 8.4 171.3 0.997 0.913 0.214 0.190 – 1.09 1.12(15,11) 8.7 171.4 1.100 0.903 0.087 0.183 – 1.22 0.48(15,12) 9.0 171.4 1.010 0.895 0.207 0.200 – 1.13 1.04(15,13) 9.4 171.5 1.108 0.889 0.241 0.172 – 1.25 1.40(15,14) 9.7 171.5 1.095 0.888 0.195 0.163 – 1.23 1.20(15,15) 10.0 170.9 1.059 0.887 0.236 0.202 6.50 1.19 1.17(15,16) 10.3 171.4 1.010 0.887 0.203 0.142 6.53 1.14 1.43(15,17) 10.7 171.4 1.052 0.891 0.222 0.184 6.45 1.18 1.21(15,18) 11.0 171.3 0.992 0.895 0.223 0.213 6.44 1.11 1.05(15,19) 11.4 171.3 0.971 0.899 0.201 0.193 6.39 1.08 1.04(15,20) 11.7 171.2 1.045 0.901 0.203 0.150 6.56 1.16 1.36(16,0) 6.2 169.1 1.040 1.048 0.149 0.219 – 0.99 0.68(16,1) 6.4 171.2 1.097 1.043 0.144 0.212 – 1.05 0.68(16,2) 6.6 171.2 0.909 1.039 0.170 0.229 – 0.88 0.74(16,3) 6.8 171.3 1.066 1.022 0.149 0.219 – 1.04 0.68(16,4) 7.1 171.2 1.013 1.009 0.208 0.204 – 1.00 1.02


chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr(16,5) 7.3 171.4 1.050 0.994 0.191 0.216 – 1.06 0.88(16,6) 7.6 171.4 1.138 0.972 0.178 0.203 – 1.17 0.88(16,7) 7.9 171.4 1.000 0.958 0.183 0.198 – 1.04 0.92(16,8) 8.2 171.1 1.040 0.944 0.287 0.199 – 1.10 1.45(16,9) 8.5 171.5 1.107 0.930 0.233 0.191 – 1.19 1.22(16,10) 8.8 171.5 1.009 0.916 0.212 0.198 – 1.10 1.07(16,11) 9.1 171.5 1.020 0.909 0.235 0.198 – 1.12 1.18(16,12) 9.4 171.4 1.015 0.897 0.229 0.214 – 1.13 1.07(16,13) 9.7 171.5 0.962 0.893 0.252 0.231 – 1.08 1.09(16,14) 10.0 171.4 1.038 0.892 0.211 0.194 – 1.16 1.08(16,15) 10.3 171.4 0.946 0.891 0.184 0.144 – 1.06 1.28(16,16) 10.7 170.9 0.946 0.890 0.240 0.193 6.51 1.06 1.24(16,17) 11.0 171.4 1.020 0.890 0.185 0.159 6.42 1.15 1.16(16,18) 11.4 171.3 1.066 0.889 0.223 0.187 6.39 1.20 1.19(16,19) 11.7 171.4 1.049 0.895 0.217 0.179 6.39 1.17 1.21(16,20) 12.0 171.3 1.014 0.895 0.228 0.189 6.36 1.13 1.21(17,0) 6.6 171.2 0.943 1.051 0.145 0.224 – 0.90 0.64(17,1) 6.8 171.3 1.058 1.045 0.129 0.209 – 1.01 0.61(17,2) 7.0 171.3 1.022 1.038 0.134 0.233 – 0.98 0.58(17,3) 7.2 171.4 1.080 1.029 0.164 0.206 – 1.05 0.80(17,4) 7.5 171.4 1.050 1.013 0.222 0.223 – 1.04 0.99(17,5) 7.7 171.4 1.105 0.995 0.178 0.210 – 1.11 0.85(17,6) 8.0 171.4 1.111 0.981 0.146 0.226 – 1.13 0.65(17,7) 8.3 171.5 1.038 0.964 0.190 0.214 – 1.08 0.89(17,8) 8.5 171.5 1.007 0.951 0.239 0.191 – 1.06 1.25(17,9) 8.8 171.5 1.022 0.934 0.126 0.191 – 1.09 0.66(17,10) 9.1 171.5 0.969 0.925 0.237 0.205 – 1.05 1.16(17,11) 9.4 171.5 1.057 0.914 0.178 0.192 – 1.16 0.93(17,12) 9.7 171.5 0.961 0.906 0.214 0.190 – 1.06 1.13(17,13) 10.0 171.5 0.973 0.898 0.211 0.170 – 1.08 1.24(17,14) 10.4 171.5 1.015 0.894 0.211 0.189 – 1.13 1.11(17,15) 10.7 171.5 1.020 0.891 0.218 0.201 – 1.14 1.08(17,16) 11.0 171.4 1.013 0.889 0.195 0.128 – 1.14 1.52(17,17) 11.3 170.9 1.091 0.894 0.190 0.187 6.40 1.22 1.02(17,18) 11.7 171.4 1.041 0.889 0.218 0.134 6.39 1.17 1.63(17,19) 12.0 171.4 1.023 0.890 0.214 0.174 6.37 1.15 1.23(17,20) 12.4 171.4 1.065 0.895 0.180 0.146 6.37 1.19 1.23(18,0) 7.0 171.2 0.950 1.052 0.133 0.216 – 0.90 0.62(18,1) 7.1 171.4 1.048 1.046 0.134 0.213 – 1.00 0.63(18,2) 7.4 171.3 0.976 1.040 0.157 0.220 – 0.94 0.71(18,3) 7.6 171.2 0.998 1.031 0.155 0.221 – 0.97 0.70(18,4) 7.8 171.3 1.011 1.015 0.173 0.229 – 1.00 0.76(18,5) 8.1 171.5 1.037 1.001 0.154 0.214 – 1.04 0.72(18,6) 8.3 171.3 1.162 0.984 0.221 0.185 – 1.18 1.19(18,7) 8.6 171.4 1.054 0.971 0.238 0.200 – 1.09 1.19(18,8) 8.9 171.5 1.082 0.954 0.175 0.213 – 1.13 0.82(18,9) 9.2 171.1 1.021 0.945 0.202 0.207 – 1.08 0.97(18,10) 9.5 171.4 1.024 0.928 0.254 0.199 – 1.10 1.27(18,11) 9.8 171.5 0.994 0.919 0.227 0.196 – 1.08 1.16(18,12) 10.1 171.3 1.007 0.913 0.210 0.192 – 1.10 1.10(18,13) 10.4 171.5 1.044 0.903 0.228 0.175 – 1.16 1.31


Tabela 10.9. Charakterystyka geometryczna i właściwości mechaniczne nanorurek węglowych

chiralność R0 L0 Ys Yr νs νr G Ys/Yr νs/νr(18,14) 10.7 171.5 1.023 0.897 0.213 0.176 – 1.14 1.21(18,15) 11.0 171.3 1.076 0.895 0.224 0.196 – 1.20 1.14(18,16) 11.4 171.5 1.088 0.891 0.217 0.190 – 1.22 1.14(18,17) 11.7 171.5 1.033 0.888 0.207 0.142 – 1.16 1.45(18,18) 12.0 170.8 1.017 0.891 0.214 0.191 6.39 1.14 1.12(18,19) 12.3 171.4 1.058 0.891 0.180 0.136 6.37 1.19 1.33(18,20) 12.7 171.4 1.008 0.890 0.209 0.194 6.51 1.13 1.08(19,0) 7.3 171.2 0.983 1.050 0.151 0.224 – 0.94 0.67(19,1) 7.5 171.3 1.026 1.051 0.124 0.214 – 0.98 0.58(19,2) 7.8 171.3 0.989 1.041 0.146 0.231 – 0.95 0.63(19,3) 8.0 171.4 1.028 1.029 0.141 0.222 – 1.00 0.64(19,4) 8.2 171.5 1.035 1.018 0.235 0.212 – 1.02 1.11(19,5) 8.5 171.4 1.079 1.006 0.184 0.212 – 1.07 0.86(19,6) 8.7 171.5 0.993 0.992 0.194 0.218 – 1.00 0.89(19,7) 9.0 171.5 1.024 0.979 0.181 0.210 – 1.05 0.86(19,8) 9.3 171.5 1.075 0.964 0.195 0.199 – 1.11 0.98(19,9) 9.5 171.6 1.032 0.948 0.172 0.192 – 1.09 0.89(19,10) 9.8 171.5 1.042 0.937 0.194 0.185 – 1.11 1.05(19,11) 10.1 171.5 1.053 0.927 0.216 0.201 – 1.14 1.08(19,12) 10.4 171.6 0.992 0.918 0.208 0.197 – 1.08 1.06(19,13) 10.7 171.5 0.946 0.908 0.239 0.169 – 1.04 1.42(19,14) 11.1 171.5 1.027 0.902 0.219 0.190 – 1.14 1.16(19,15) 11.4 171.5 1.049 0.896 0.219 0.193 – 1.17 1.14(19,16) 11.7 171.5 1.052 0.895 0.221 0.183 – 1.18 1.21(19,17) 12.0 171.4 1.014 0.889 0.238 0.204 – 1.14 1.17(19,18) 12.3 171.5 1.054 0.891 0.192 0.129 – 1.18 1.49(19,19) 12.7 170.8 0.975 0.891 0.242 0.190 6.54 1.09 1.28(19,20) 13.0 171.4 1.035 0.889 0.228 0.092 6.48 1.16 2.48(20,0) 7.7 171.2 1.002 1.049 0.062 0.212 – 0.96 0.29(20,1) 7.9 171.4 0.998 1.049 0.176 0.224 – 0.95 0.78(20,2) 8.1 171.4 1.052 1.042 0.220 0.236 – 1.01 0.93(20,3) 8.4 171.4 1.054 1.031 0.177 0.219 – 1.02 0.81(20,4) 8.6 171.2 0.943 1.021 0.179 0.219 – 0.92 0.82(20,5) 8.8 171.2 1.024 1.009 0.169 0.210 – 1.01 0.81(20,6) 9.1 171.5 1.030 0.995 0.187 0.206 – 1.04 0.91(20,7) 9.4 171.5 1.085 0.982 0.186 0.207 – 1.11 0.90(20,8) 9.6 171.4 1.035 0.968 0.199 0.200 – 1.07 1.00(20,9) 9.9 171.5 1.030 0.957 0.192 0.208 – 1.08 0.92(20,10) 10.2 171.1 1.055 0.945 0.199 0.201 – 1.12 0.99(20,11) 10.5 171.5 0.976 0.932 0.184 0.179 – 1.05 1.03(20,12) 10.8 171.3 0.974 0.920 0.221 0.184 – 1.06 1.20(20,13) 11.1 171.6 1.019 0.914 0.203 0.189 – 1.11 1.07(20,14) 11.4 171.5 1.061 0.906 0.209 0.194 – 1.17 1.08(20,15) 11.7 171.4 1.008 0.902 0.200 0.187 – 1.12 1.07(20,16) 12.0 171.3 1.079 0.898 0.200 0.196 – 1.20 1.02(20,17) 12.4 171.5 1.045 0.893 0.213 0.194 – 1.17 1.10(20,18) 12.7 171.4 1.024 0.891 0.248 0.237 – 1.15 1.05(20,19) 13.0 171.4 1.057 0.889 0.202 0.101 – 1.19 1.99(20,20) 13.3 170.8 1.013 0.892 0.221 0.167 6.51 1.13 1.32

11. Dodatek 2: Zestawienie wyników dlananoprętów

W kolumnie „oznaczenie” umieszczono oznakowanie próbek przyjęte w przeprowadzo-

nych eksperymentach:

X−(hkl)−R, (11.1)

gdzie:

X – pierwiastek (Au, Ni, Cu, Pt),

(hkl) – płaszczyzna krystalograficzna prostopadła do osi wzdłużnej nanopręta,

R – promień nanopręta wyrażony jako krotność stałej sieci krystalograficznej a.

Wyniki przeprowadzonych symulacji zebrane zostały w tablicach 11.1 do 11.4. W poszcze-

gólnych kolumnach umieszczono:R0, L0 – promień i długość początkowa w A, ρ0 –gęstość

początkowa, Ys i Yr – moduł Younga dla ściskania i rozciągania w GPa, νs i νr – współ-

czynnik Poissone’a dla ściskania i rozciągania, σs i σr – granica plastyczności dla ściskania i

rozciągania w GPa, G – moduł Kirchhoffa w GPa oraz ilorazy badanych wielkości.

Tabela 11.1. Charakterystyka geometryczna i właściwości mechaniczne niklowych nanoprętów

oznaczenie (hkl) R0 L0 ρ0 Ys Yr νs νr σs σr G Ys/Yr νs/νr σs/σrNi-001-2.5 001 8.0 167.9 11 0 57 0.70 0.53 0.4 7.5 - - 1.3 0.0Ni-001-4 001 13.1 169.9 10 83 80 0.58 0.51 1.1 9.2 - 1.0 1.1 0.1Ni-001-7 001 24.1 171.9 9 89 124 0.56 0.41 2.5 9.4 125.4 0.7 1.4 0.3Ni-001-10 001 34.6 172.7 9 93 132 0.57 0.46 3.0 9.1 - 0.7 1.3 0.3Ni-011-2.5 011 8.5 172.4 11 184 159 0.34 0.32 9.9 6.9 - 1.2 1.1 1.4Ni-011-4 011 13.0 172.9 10 260 207 0.34 0.33 15.0 7.0 - 1.3 1.0 2.2Ni-011-7 011 24.0 173.6 9 199 148 0.38 0.39 14.1 5.7 58.2 1.3 1.0 2.5Ni-011-10 011 34.7 173.9 9 194 136 0.35 0.38 12.9 5.4 - 1.4 0.9 2.4Ni-111-2.5 111 8.0 173.2 11 249 330 0.37 0.29 8.3 11.9 - 0.8 1.3 0.7Ni-111-4 111 13.5 173.7 10 285 303 0.36 0.29 14.0 13.8 - 0.9 1.3 1.0Ni-111-7 111 23.9 174.2 9 261 286 0.35 0.28 16.4 13.1 48.1 0.9 1.3 1.2Ni-111-10 111 34.6 174.4 9 260 284 0.35 0.27 19.0 13.3 - 0.9 1.3 1.4

120

11. DODATEK 2: ZESTAWIENIE WYNIKÓW DLA NANOPRĘTÓW 121

Tabela 11.2. Charakterystyka geometryczna i właściwości mechaniczne miedzianych nanoprętów

oznaczenie (hkl) R0 L0 ρ0 Ys Yr νs νr σs σr G Ys/Yr νs/νr σs/σrCu-001-2.5 001 8.2 172.2 11 0 94 0.76 0.54 2.5 4.6 - - 1.4 0.5Cu-001-4 001 13.5 174.5 10 64 51 0.58 0.51 0.7 6.1 - 1.3 1.1 0.1Cu-001-7 001 24.8 176.5 9 67 85 0.57 0.45 1.6 6.4 85.4 0.8 1.3 0.3Cu-001-10 001 35.5 177.2 9 69 98 0.58 0.44 2.1 6.4 - 0.7 1.3 0.3Cu-011-2.5 011 8.8 177.0 11 126 98 0.35 0.32 7.7 4.9 - 1.3 1.1 1.6Cu-011-4 011 13.3 177.5 10 174 115 0.35 0.34 9.4 4.9 - 1.5 1.0 1.9Cu-011-7 011 24.6 178.2 9 141 95 0.38 0.40 10.4 4.0 39.3 1.5 1.0 2.6Cu-011-10 011 35.6 178.5 9 139 85 0.36 0.39 9.1 3.9 - 1.6 0.9 2.4Cu-111-2.5 111 8.2 177.8 11 192 220 0.37 0.26 5.3 9.0 - 0.9 1.4 0.6Cu-111-4 111 13.9 178.3 10 204 206 0.37 0.29 8.4 9.2 - 1.0 1.3 0.9Cu-111-7 111 24.6 178.8 9 188 195 0.36 0.28 12.1 9.3 32.4 1.0 1.3 1.3Cu-111-10 111 35.5 179.0 9 193 196 0.35 0.28 12.0 8.7 - 1.0 1.3 1.4

Tabela 11.3. Charakterystyka geometryczna i właściwości mechaniczne platynowych nanoprętów

oznaczenie (hkl) R0 L0 ρ0 Ys Yr νs νr σs σr G Ys/Yr νs/νr σs/σrPt-001-2.5 001 8.8 191.0 28 117 142 0.53 0.42 2.9 12.2 - 0.8 1.3 0.2Pt-001-4 001 14.5 192.5 25 123 154 0.54 0.43 4.0 12.0 - 0.8 1.2 0.3Pt-001-7 001 26.8 193.5 23 134 154 0.53 0.44 4.9 11.9 116.4 0.9 1.2 0.4Pt-001-10 001 38.5 193.7 22 133 157 0.55 0.46 5.0 12.0 - 0.8 1.2 0.4Pt-011-2.5 011 9.5 192.5 26 384 246 0.38 0.36 22.1 8.8 - 1.6 1.1 2.5Pt-011-4 011 14.4 193.2 25 336 225 0.38 0.38 27.3 7.9 - 1.5 1.0 3.4Pt-011-7 011 26.8 194.0 22 285 182 0.42 0.43 21.5 6.8 57.1 1.6 1.0 3.2Pt-011-10 011 38.7 194.0 22 276 176 0.39 0.40 20.3 6.4 - 1.6 1.0 3.2Pt-111-2.5 111 8.9 193.6 27 378 365 0.41 0.31 15.0 14.8 - 1.0 1.3 1.0Pt-111-4 111 15.1 194.3 24 349 323 0.40 0.30 23.4 13.7 - 1.1 1.4 1.7Pt-111-7 111 26.7 194.6 23 336 308 0.40 0.32 26.2 12.6 64.4 1.1 1.3 2.1Pt-111-10 111 38.7 194.6 22 330 304 0.40 0.32 24.2 12.6 - 1.1 1.3 1.9

Tabela 11.4. Charakterystyka geometryczna i właściwości mechaniczne złotych nanoprętów

oznaczenie (hkl) R0 L0 ρ0 Ys Yr νs νr σs σr G Ys/Yr νs/νr σs/σrAu-001-2.5 001 9.1 199.3 25 83 98 0.55 0.40 1.6 4.9 51.8 0.9 1.4 0.3Au-001-4 001 15.1 200.6 22 76 94 0.54 0.43 2.1 5.2 54.2 0.8 1.2 0.4Au-001-7 001 27.9 201.3 20 75 89 0.56 0.48 2.5 5.5 53.5 0.8 1.2 0.4Au-001-10 001 40.1 201.6 20 78 91 0.55 0.48 2.5 5.4 53.6 0.9 1.1 0.5Au-011-2.5 011 9.2 199.3 24 214 134 0.47 0.43 10.6 4.2 25.4 1.6 1.1 2.5Au-011-4 011 15.0 200.8 22 174 103 0.42 0.40 12.3 3.8 32.5 1.7 1.0 3.2Au-011-7 011 27.9 201.3 20 136 86 0.45 0.45 11.7 3.3 29.6 1.6 1.0 3.6Au-011-10 011 40.1 201.8 20 137 84 0.42 0.44 9.9 3.2 30.1 1.6 0.9 3.1Au-111-2.5 111 9.2 201.2 24 198 194 0.45 0.34 8.8 6.3 27.6 1.0 1.3 1.4Au-111-4 111 15.6 202.0 22 188 171 0.44 0.35 11.8 5.6 27.8 1.1 1.2 2.1Au-111-7 111 27.8 202.2 20 180 159 0.44 0.35 11.9 5.5 27.5 1.1 1.2 2.2Au-111-10 111 40.0 202.5 20 183 156 0.43 0.35 12.2 5.2 27.9 1.2 1.2 2.3

12. Dodatek 3: Wpływ asymetrii modułuYounga na zginanie belki

W przypadku zginania występuje jednocześnie ściskanie z jednej strony materiału

i rozciągania z drugiej strony. Poniżej przeanalizowano wpływ asymetrii modułu Younga na

przesunięcie osi obojętnej zginania (w stronę materiału ściskanego), na linię ugięcia oraz na

naprężenia maksymalne. Wpływ asymetrii modułu Younga na sztywność zginania obliczono

na przykładzie pręta prostokątnego (wysokość× szerokość)= 2a×b.Rozpatrując zginanie belki, dla małych ugięć wprowadza się założenie płaskich przekro-

jów: przekrój prostopadły do osi wzdłużnej zginanej belki, płaski przed rozpoczęciem zgi-

nania, pozostaje płaski po zakończeniu zginania. Rozpatrując zginanie wyłącznie pod wpły-

wem momentu gnącego M . Ponieważ nie występuje siła wzdłużna (normalna do przekroju

poprzecznego), wobec tego∫

A

σdA=0. (12.1)

Z założenia płaskich przekrojów wynika, że zależność

εx= ε(y) (12.2)

jest zależnością liniową. Ponieważ zachodzi również:

σ=Y ε, (12.3)

więc σ też zmienia się liniowo.Ponieważ zachodzi 12.1, więc zarówno ε jak i σ zmieniają

znak na przekroju poprzecznym. Tę warstwę w belce zginanej, gdzie naprężenia normalne,

a więc i odkształcenia, zmieniają znak nazywamy płaszczyzną (warstwą) obojętną zginania.

Przyjmijmy, że płaszczyzna x0z przechodzi przez warstwę obojętną zginania. Niech ponadto

lokalny promień gięcia będzie promieniem gięcia osi 0x. Dla warstwy o współrzędnej y można

zapisać:

εx=(+y)dϕ−dϕ

dϕ=y

, (12.4)

ponieważ przed odkształceniem odcinek był równy długości linii obojętnej zginania, tj. ϕ.

Podstawiając do 12.1 otrzymujemy:∫

A

σxdA=∫

A

Y εxdA=∫

A

Yy

dA=0. (12.5)

122

12. DODATEK 3: WPŁYW ASYMETRII MODUŁU YOUNGA NA ZGINANIE BELKI 123

PonieważY

= const 6=0, (12.6)

musi być∫

A

ydA=0. (12.7)

Moment statyczny jest równy zeru jedynie wówczas, gdy jest liczony względem osi prze-

chodzącej środek ciężkości. A zatem płaszczyzna obojętna zginania przez środek ciężkości

przekroju.

Z warunku

dMy =σxzdA=EεxzdA=Y

yzdA, (12.8)

MY =Y

∫

A

yzdA=0, (12.9)

ponieważ zginanie następuje w płaszczyźnie x0y, więc My =0, a zatem i∫

A

yzdA=0 (12.10)

czyli oś 0y jest zarazem osią główną.

dMz =σydA=Y εxydA=Y

y2dA, (12.11)

Mz =Y

∫

A

y2dA=0, (12.12)

Mz =Y

Jz, (12.13)

gdzie Jz - moment bezwładności przekroju. Z równań (12.3), (12.4), i (12.13) otrzymujemy

=y

εx=Yyσx=Y JzMz, (12.14)

stąd

σx=MzJzy (12.15)

Łącząc równanie (12.13) ze wzorem na lokalną krzywiznę (12.16)

1=± y′′

[1+(y′)2]3/2(12.16)

i ograniczając się do małych ugięć otrzymujemy równanie linii ugięcia v(x)

1=d2v

dx2, (12.17)

d2v

dx2=MzY J, (12.18)

Y Jv′′=−M(x) (12.19)


Dla jednostronnie zamocowanych prętów obciążonych prostopadłą siłą, jak na rysunku,

wykres momentów gnących przedstawia sąsiedni rysunek. Rozwiązując równanie dla tego

przypadku, tzn dla warunków brzegowych:

M(x)=PL0−Px;y(0)= 0;y′′(0)= 0, (12.20)

otrzymujemy równanie linii ugięcia

y=PL306Y J

[

−( x

L0

)3

+3( x

L0

)2]

. (12.21)

A. Moment bezwładności przekroju

Zmienność modułu Younga spowoduje przesunięcie płaszczyzny obojętnej zginania Moment

bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości przekroju wynosi dla przy-

jętego wcześniej przekroju prostokątnego 2a×b

J0zz =2a3b3. (12.22)

Jeżeli nowa płaszczyzna obojętna zginania będzie odległa o ξ od płaszczyzny przechodzącej

przez środek ciężkości, to moment bezwładności przekroju względem tej osi będzie

Jξzz =J0zz

[

1+3( ξ

a

)2]

. (12.23)

B. Hipoteza płaskich przekrojów

Przekrój płaski przed odkształceniem pozostaje płaski po odkształceniu, a wówczas można

zapisać:

a) dla skrajnej warstwy ściskanej y= a

(−a+ξ)dϕ= dϕ(1−εmins ), (12.24)

b) dla skrajnej warstwy rozciąganej y=−a

(+a+ξ)dϕ= dϕ(1+εmr ax), (12.25)

Po podzieleniu stronami otrzymujemy zależność

εmaxrεmins

=a+ξa−ξ . (12.26)

C. Warunki równowagi

Dla najprostszego przypadku, kiedy Y zależy jedynie od kierunku obciążenia (Yz = const,Yr =

const,Yz 6= Yr) liniowa zmiana odkształcenia powoduje, że również naprężenia zmieniają sięliniowo. Ponieważ obciążenie wzdłużne jest równe zeru (12.1), więc

12σmaxr (a+ξ)=

12σmins (a−ξ), (12.27)

ponieważ (12.3)

Yrεmaxr (a+ξ)=Ysεmins (a−ξ). (12.28)

D. Przesunięcie płaszczyzny obojętnej zginania


Przypadek, kiedy Y zależy jedynie od kierunku obciążenia, pozwala oszacować górną granicę

wpływu tej zmienności. Do dalszych obliczeń przyjęto

Ys=ΘYr, (12.29)

a wówczas

εmaxr (a+ξ)=Θεmins (a−ξ). (12.30)

Z porównania z równaniem (12.28) otrzymujemy równanie kwadratowe

εmaxrεmins

=a+ξa−ξ =Θ

a−ξa+ξ, (12.31)

z którego otrzymujemy dla(

ξa

)

< 1)

( ξ

a

)

=1−2 1

1+√Θ. (12.32)

Przykładowe wyniki przedstawiono w tabelce:

E. Zginanie belki ciągłej z asymetrycznym modułem Younga

Powtarzając tok rozumowania przedstawiony przy analizie zginania belki ze stałym modułem

Younga dochodzimy do zależności

Mz =1ρ

0∫

−a+ρ

Ysy2dA+

1ρ

a+ρ∫

0

Yry2dA, (12.33)

=Y J0zzρ

12

[

(Θ+1)(

1+3( ξ

a

)2)

−(Θ−1)(( ξ

a

)

+( ξ

a

)3)]

, (12.34)

dającej w wyniku równanie linii ugięcia różniące się od (12.21) jedynie zwiększoną sztywno-

ścią zginanie o wyrażenie w nawiasach kwadratowych.

F. Naprężenia w warstwach skrajnych

W przypadku stałej wartości modułu Younga maksymalne naprężenia, ze względu na

symetrię będą równe co do wielkości, wystąpią w warstwach skrajnych y=±ai wyniosą

σ=Ma

Y J0zz, (12.35)

natomiast dla asymetrycznego modułu Younga przy zginaniu identycznym momentem gną-

cym M zachodzi równośćY0J

0zz

ρ0=χY0J

0zz

ρ1, (12.36)

gdzie

χ=12

[

(Θ+1)(

1+3( ξ

a

)2)

−(Θ−1)(( ξ

a

)

+( ξ

a

)3)]

, (12.37)

- współczynnik uwzględniający zwiększenie sztywności zginania spowodowane asymetrią

modułu Younga. Ostatecznie ρ1=χρ0.


Wykorzystując powyższe zależności możemy zapisać

−a+ξ=−ρ1εmins , (12.38)

a+ξ= ρ1εmaxs v, (12.39)

stąd po przemnożeniu przez moduł Younga

σs=−a+ξρ1Ys, (12.40)

σr =a+ξρ1Yr, (12.41)

oraz

σ0s =σ0r =σ

0=a

ρ0Yr, (12.42)

Ostatecznieσrσ0=4Θ+1

√Θ

1+√Θ, (12.43)

σsσ0=4ΘΘ+1

1

1+√Θ. (12.44)

W tabeli 12.1 umieszczono współczynniki: asymetrii modułu Younga Θ - wzór (12.29); zmiany

położenia linii obojętnej zginania ξ/a - wzór 12.23; zmiany wielkości linii ugięcia χ - wzór

12.37; zmiany naprężeń po stronie ściskanej σsc/σ0 - wzór 12.44; zmiany naprężeń po stronie

rozciąganej σroz/σ0 - wzór 12.43.

Tabela 12.1. Wpływ asymetrii modułu Younga na parametry zginania belki

Θ ξ/a χ σsc/σ0 σroz/σ00.5 0.172 0.772 0.781 1.1050.6 0.127 0.813 0.845 1.0910.7 0.089 0.857 0.897 1.0720.8 0.056 0.903 0.938 1.0490.9 0.026 0.951 0.972 1.0251 0 1 1 11.1 0.024 1.051 1.023 0.9751.2 0.046 1.102 1.041 0.951.3 0.065 1.155 1.056 0.9271.4 0.084 1.208 1.069 0.9031.5 0.101 1.263 1.079 0.8811.6 0.117 1.318 1.087 0.859

13. Dodatek 4: Podręcznik użytkownikaprogramu nanoMD

Program ten stworzony został z myślą o nanomechanicznych symulacjach, w odróżnieniu

od innych programów do symulacji dynamiczno-molekularnych, posiada bardziej przejrzysty

sposób tworzenia (konfiguracji) takich układów. W innych programach zwykle nie jest to

nawet możliwe.

Program wydany został na licencji GNU GPL w wersji trzeciej (GNU General Public

License http://www.gnu.org/licenses/) pozwalającej na darmową dystrybucję, wykorzy-

stanie i modyfikację kodu. Przy czym programy wykorzystujące tak licencjonowany kod źró-

dłowy same muszą zostać objęte licencją GPL.

Do poprawnego działania programu niezbędne są trzy pliki z danymi wejściowymi.

Główny plik z parametrami symulacji (nazywany później setup.in), plik z opisem rodza-

jów atomów biorących udział w symulacji i oddziaływań między nimi (nazywany później

spec.in) oraz plik z pozycjami atomów i informacją o ich rodzaju i typie (nazywany później

pos.xyz).

Uruchomienie programu następuje przez podania w linii komend nazwy pliku konfigu-

racyjnego (jak np.: setup.in):

> nanoMD setup.in

13.1. Plik wejściowy setup.in

Plik ten zawiera niezbędne parametry do przeprowadzenia symulacji, oraz nazwy po-

zostałych plików wejściowych (spec.in i pos.xyz. Został on podzielony na sekcje. Każda

sekcja zaczyna się od nagłówka:

section nazwa sekcji

i kończy słowem kluczowym end.

W sekcji głównej section main dostępne są następujące pola:

pos=’pos.xyz’

program odczytuje pozycje atomów z pliku o nazwie plik.pos, którego

struktura opisana jest poniżej,

127

13. DODATEK 4: PODRĘCZNIK UŻYTKOWNIKA PROGRAMU NANOMD 128

spec=’spec.in’

program odczytuje specyfikacje układu z pliku o nazwie plik.spec, którego

struktura opisana jest poniżej,

out=’nazwa’

zapisywanie wyników do plików:

statystyki – do pliku nazwa.log,

pozycje atomów – do pliku nazwa.xyz,

dane potrzebne do kontynuacji symulacji przy ponownym jej uruchomie-

niu – do pliku nazwa.coord-N ,

zmienne określające sposób startu symulacji (ich ustawinie jest opcjonalnie)

restart

program wpierw odczyta ustawienia symulacji z plików konfiguracyjnych,

później odczyta stanu układu z pliku ’nazwa.coord’ i nastąpi start

symulacji

odtworz

program odczyta stan układu z pliku restore zapisywanego co 100

kroków i nastąpi kontynuacja przerwanej symulacji

overwrite

program wystartuje nowa symulacje, z tym że wszystkie pliki wyjściowe

(o ile istnieją) zostaną nadpisane

coord=’start.coord’

program wpierw odczyta ustawienia symulacji z plików konfiguracyjnych,

później odczyta stanu układu z pliku start.coord i nastąpi start symulacji

zmienne określające parametry układu:

temp=T

temperatura początkowa symulacji [K]

chtemp=n

zmiana temperatury wzorcowej, przeprowadzane w n etapach określonych

w n liniach po polu chtemp (n=0 oznacza brak zmian), każda linia składa

się z trzech liczb:

Np Nk Tk

które oznaczają, że temperatura wzorcowa zmieniać się będzie liniowo od

kroku Np do kroku Nk, uzyskując w korku Nk wartość Tk [K]


termos=typ M

temperatura utrzymywana poprzez działanie termostatu oznaczonego nu-

merem typ z parametrem będącym odpowiednikiem masy M.

W programie przewidziane zostały trzy możliwości:

typ rodzaj termostatu0 brak termostatu1 termostat Nose–Hoovera2 termostat gaussowski

scale=n

skalowanie prędkości do temperatury, przeprowadzane w n etapach okre-

ślonych w n liniach po polu scale (n=0 oznacza brak skalowania), każda

linia składa się z trzech liczb:

Np Nk Ns

które oznaczają, że skalowanie odbywać się będzie od kroku Np do kroku

Nk, co Ns kroków,

timestep=h

całkowanie równań ruchu, przeprowadzane z krokiem czasowym h poda-

nym w [fs],

steps=N

liczba kroków symulacji (całkowania równań ruchu),

nstep=N

numer pierwszego kroku, kroki będą numerowane od N

store=Nlog,Nxyz,Ncoord

statystyki liczone i zapisywane do pliku nazwa.log co Nlog kroków;

położenia atomów zapisywane do pliku nazwa.xyz co Nxyz kroków; dane

potrzebne do kontynuacji symulacji zapisywane do pliku nazwa.coord-N

co Ncoord kroków,

cutoff=RC

definiuje promień odcięcia, co oznacza, że najbliżsi sąsiedzi atomu będą

szukani w kuli o promieniu RC wokół niego,

types=n

określa liczbę grup atomów, do których przypisane są oddziaływania ze-

wnętrzne, grupę te opisywane są w sekcjach section typeN przedsta-

wionych poniżej, typy numerowane są od 0, przy czym typ zerowy (type0


zawsze odnosi się do wszystkich atomów układu, np.: jeśli chcemy zdefi-

niować jeden własny typ, należy wpisać types=2

stat=Ns Z

Ns określa liczbę kroków branych do obliczenia średnich wartości, Z - co

które średnie mają być zapisane do pliku nazwa.stat

stress-stat=Ns

określa liczbę kroków Ns branych do obliczenia średniej wartości naprężeń

stress-grid=dx dy dz

przestrzeń układu zostanie podzielone na kostki o wymiarach dx,dy,dz w

ramach których będzie obliczane średnie naprężenie i zapisywane do pliku

out.stress w binarnym formacie dat3d

gtemp=dx dy dy dz N

przestrzeń układu zostanie podzielone na kostki o wymiarach dx,dy,dz

w ramach których będzie obliczana średnia temperatura z N kroków i

zapisywana do pliku out.gTemp w binarnym formacie dat3d

blocks=Nb

liczba zdefiniowanych bloków w układzie, do których przypisane są od-

działywania zewnętrzne, bloki opisywane są w sekcjach section blockN,

bloki numerowane są od 0, w trakcie symulacji do bloków będą przypisy-

wane dynamicznie co chk blocks kroków

chk blocks=Nbc

określa liczbę kroków co ile ma nastąpić przypisanie atomów do zdefinio-

wanych bloków

zero amom=I

I =1 – będzie zerowany całkowity moment pędu układu, I =0 – zerowanie

wyłączone

zero lmom=I

I = 1 – będzie zerowany całkowity pęd układu, I = 0 – zerowanie wyłą-

czone

collect xyz=Ns Z

średnie położeń atomów liczone z Ns kroków, zapisywane co Z średnia

collect vel=Ns Z

średnie prędkości atmomów liczone z Ns kroków, zapisywane co Z średnia

collect prdf=Ns Z R dr S

pseudo RDF, liczony z Ns kroków, do histogramu brane będą położenia z


co S kroku, zapisywany będzie co Z RDF, RDF o długości R, i dokładności

dr, jeżeli R i dr nie są ustawione, to są przyjmowane wartości domyślne

R= rcutoff , dr=0.1, S=10

collect mprof=Ns Z R dr x y z

profil masy, liczony od punktu (x,y,z), domyślnie (x,y,z)= (0,0,0)

collect msd=Z

msd całego układu zapisywane co Z kroków, wynik zostanie zapisny w

pliku *.MSD

collect smsd=Ns Z R dr

”shell msd” msd w powłokach, liczonych od środka masy układu, długość

smsd= R grubość powłok= dr, w pliku *.SMSD-NNNN zostanie zapisny

SMSD z korku NNNN, w pliku *.SDMSD zostanie zapisny przyrost msd.

Oddziaływania zewnętrzne definiowane są w oddzielnych sekcjach:

section typeN

gdzie N=0..types-1 jest numerem grupy atomów.

Atomy można przypisać do danej grupy przez dodanie numeru grupy po znaku podkre-

ślenia ’ ’ do nazwy rodzaju atomu zdefiniowanego w pierwszej kolumnie pliku, zawierającego

współrzędne atomów.

Sekcja type0 jest zarezerwowana dla oddziaływań przypisywanych wszystkim atomom

układu.

W każdej sekcji section typeN można określić następujące oddziaływania zewnętrzne:

fixed=nx,ny,nz

gdzie ni może przyjmować wartości 0 albo 1 i jest maską ruchomości

atomów w danym wymiarze, np.:

maska ’1,1,0’ oznacza, że atomy tej grupy będą mogły się poruszać jedynie

w płaszczyźnie Oxy

veloc=vx,vy,vz

atomom danej grupy będzie przypisana stała prędkość

v =(vx,vy,vz) w [ Afs ]

force=fx,fy,fz

na daną grupę będzie działać stała siła Fzew=(fx,fy,fz)

Bloki geometryczne definiowane są w oddzielnych sekcjach o nazwach:

section blockN


gdzie N=0..blocks-1 Do bloków można przypisywać wszystkie oddziaływania zewnętrzne, w

ten sam sposób jak w sekcji section typeN. Dodatkowym oddziaływaniem jest grzejnik:

heater= t Th ∆T Nmin p

w danym bloku będzie utrzymywana stała temperatura Th, stała t określa

rodzaj zastosowanego algorytmu utrzymywania temperatury (na chwilę

obecną zaimplementowana jest tylko metoda izokinetyczna Heermana,

t= 0), ∆T określa maksymalną różnicę między temperaturą Th a śred-

nią temperaturą grzejnika, przy której grzejnik nie jest włączany, Nmin

określa minimalną liczbę kroków z których liczona jest średnia tempera-

tura grzejnika, p jest parametrem ustawianym w zależności od potrzeb

zastosowanego algorytmu

Bloki geometryczne definiowane są za pomocą listy wierzchołków i listy numerów wierzchoł-

ków tworzących ściany:

vertex=Nv

określa liczbę wierzchołków, których współrzędne w postaci xi yi zi muszą

być podane w Nv następnych wierszach

sites=Ns

określa liczbę ścian, których wierzchołki tworzące muszą być podane w

postaci nk1 nk2 nk3, gdzie nk, są numerami porządkowymi listy wierz-

chołków (vertex) numerowanymi od 0

Poniżej zamieszczono przykładową definicję bloku o kształcie prostopadłościanu o skraj-

nych wierzchołkach (−5,−5,−240)−(25,25,−110)section block0

vertex=8 # wierzcho/lki

-5 -5 -240

25 -5 -240

25 25 -240

-5 20 -240

-5 -5 -110

25 -5 -110

25 25 -110

-5 25 -110

sites=6 # kt/ore wierzcho/lki tworz/a /sciany

0 1 2


0 4 5

0 4 7

1 2 6

3 2 6

4 5 6

end

Przykładowy plik setup.in:

# konf

section main

# restart

# odtworz

pos=’5x5x5.xyz’ # pozycje atomow

spec=’spec.in’ # typy, potencjaly dla atomow

out=’test’ # nazwa plikow wysciowych (*.log, *.xyz ...)

temp=300 # temperaura w K

cutoff=9 # promien odciecia, ten sam dla wszystkich

steps=100000 # ilosc krokow

termos= 0 0.4

scale=3 # skalowanie predkosci do temperatury

0 2000 2 # od 0 do 2000 kroku co drugi

2000 3000 6 # od 2000 do 3000 kroku co 6

timestep=0.5 # fs

types=3 # ilosc typow

store=10 500 5000 # co ile ma zapisywac: srednie, xyz

statis=100 2

stress-stat=1000 # usrednia naprezenia z 1000 krokow

stress-grid=10 10 10 # usrednia naprezenia w blokach 10x10x10 angstr.

end

# sekcje typow, type0 dotyczy wszystkich

section type0

force=0 0 -9.81 # stala sila

end


section type1

fixed=0 0 0 # maska ruchomosci na danym wymiarze

veloc=0 0 0.01 # angstrom//fs

end

section type2

fixed=0 0 0

veloc=0 0 -0.01 # stala predkosc Angstr//fs

end

13.2. Plik wejściowy spec.in

Plik składa się z dwóch części, każdej zakończonej słowem kluczowym end. W pierwszej

części zdefiniowane są poszczególne atomy. W pierwszej kolumnie zawarta jest nazwa atomu,

składająca się maksymalnie z 3 znaków, w drugiej numer porządkowy atomu, a w trzeciej –

masa atomu w jednostkach masy atomowej [u].

W drugiej części określone są oddziaływania pomiędzy poszczególnymi rodzajami ato-

mów. W pierwszych dwóch kolumnach zawarte są numery porządkowe atomów (z drugiej

kolumny części pierwszej), w trzeciej kolumnie nazwa oddziaływania pomiędzy nimi, a w

następnych kolumnach, odpowiednia dla danego oddziaływania, liczba parametrów.

Pykładowy plik spec.in:

Pb 1 207.18

C 6 12.0

end

1 1 sutton-chen 0.0055765 4.935485 10.0 7.0 45.778

1 6 harm 1e+8

6 6 brenner

end

W przykładowym pliku przedstawionym na Wydruku 2 zdefiniowane zostały dwa rodzaje

atomów:

1. o symbolu Pb, numerze porządkowym 1 i masie 200u;

2. o symbolu C, numerze porządkowym 6 i masie 12u;


oraz oddziaływania:

– Sutton-Chen’a pomiędzy atomami Pb;

– harmoniczne pomiędzy atomami Pb i C;

– Brennera pomiędzy atomami C.

13.3. Plik wejściowy pos.xyz

Jest to plik typu XYZ, rozpoznawalny przez większość programów do wizualizacji ukła-

dów atomów. Plik składa się z nagłówka (2 pierwszych linii). W pierwszej linii umieszczona

jest liczba odpowiadająca liczbie atomów w danym pliku. W drugiej linii umieszczony jest

tytuł (nazwa) układu. Jeżeli tytuł rozpoczyna się od słowa ’BBox:’ to program nanoMD roz-

pozna tytuł jako informacje o pudle symulacyjnym (warunkach brzegowych). Po słowie BBox

musi wtedy wystąpić sześć liczb przedstawiających kolejno minimalna i maksymalną wartość

współrzędnej x, y i z. W układzie zawsze stosowane są periodyczne warunki brzegowe, aby ich

się pozbyć najlepiej jest dobrać rozmiary pudła kilkakrotnie większe od rozmiarów rzeczywi-

stych symulowanego układu. Rozszerzenie znaczenia tytułu w formacie XYZ jest własnością

jedynie programu nanoMD, lecz nie wprowadza to żadnych nieprawidłowości w obsłudze

takiego pliku przez inne programy.

Każda następna linia pliku opisuje pojedynczy atom. W pierwszej kolumnie zapisany

jest rodzaj atomu (jego nazwa) wraz z numerem grupy po podkreślniku ’ ’, a w następnych

trzech kolumnach współrzędne atomu.

13.4. Pliki wyjściowe

Wszystkie wartości zachowywane są w jednakowych jednostkach: energia w eV , tempe-

ratura w K, siły w N .

Co Nxyz kroków, do pliku nazwa.xyz, program będzie zapisywał położenia wszystkich

atomów, w formacie XYZ, przyczym zamiast tytułu w każdej klatce zostanie wpisany czas

odpowiadający danemu zapisowi.

Co 100 kroków tworzony jest plik nazwa.restore służący do odtworzenia przerwanej

symulacji

Co Ncoord kroków, do pliku nazwa.coord-N, zapisany zostanie stan układu. Pliki te

umożliwiają późniejszy restart od konkretnego miejsca z np. nowymi parametrami symulacji.

Co Nlog kroków, do pliku nazwa.log, zapisywane są bieżące informacji o stanie układu

takie jak chwilowa temperatura, energia całkowita układu, odchyłka od energii początkowej


układu. Przy czym za energię początkową rozumiana jest energia układu po krokach

równoważenia (skalowania)

Co Nstat =Nrol Ndump kroków, do pliku nazwa.stat zapisywane są średnie wartości.

każdy zapis zaczyna się od ciągu znaków #@ po których wymieniane są krok i czas w którym

nastąpił zapis oraz średnie wartości temperatury, energii całkowitej kinetycznej i potencjalnej

przypadającej na jeden atom. Następnych N linii przedstawia średnie wartości temperatury,

siły i energii potencjalnej przypadające na poszczególne atomy.

Co Nstat kroków, do pliku nazwa.frc XXX, gdzie XXX – symbol atomu (pierwiastka)

zostanie wypisana średnia siła działająca na atomy o symbolu XXX

Co Nstat kroków, do pliku nazwa.frc typN, gdzie N – numer grupy (podtyp), zostanie

wypisana średnia siła działająca na atomy należące do danej grupy oddziaływania zewnętrz-

nego.

Plik zawierający średnie naprężenia zapisywany jest w formacie dat3d.

specyfikacja pliku dat3d:

nagłówek:

char[5]: ’space’

określa typ pliku, na razie tylko space opierający się na podziale prze-

strzeni na równe bloki będzie tez ’index’ do wartości uśrednianych w punk-

tach np.: na atomach

int[1]: Nv

- liczba zmiennych opisujących każde pole

treść:

char[2]= ’ST’ lub ’CO’

jeżeli ’ST’ (start) to następujące pola:

double[3]:xm,ym,zm - minimalne wartości, początek pudła

int[3]: nx,ny,nz - liczba podziałów

double[3]: dx,dy,dz - wielkości podziałki

jeżeli ’CO’ (continue) to:

int[1]: numer korku w ktorym nastąpił zapis

double[1]: czas

int[1]: z ilu kroków brana była średnia

int[1]: N - liczba wpisów


int Id,double[Nv][N] - N rekordów zawierających: Id i Nv zmiennych

Uwagi!!

1. po ST musi nastąpić CO, w środku pliku może się zdarzyć nowe ST.

2. po CO wpisywane są tylko te bloki których wartości są niezerowe, stąd pole Id

3. sposób obliczania Id z x,y,z:

int ix=int((x-min_x)//dx);

int iy=int((y-min_y)//dy);

int iz=int((z-min_z)//dz);

Id=nxy*iz+nx*iy+ix;

4. sposób obliczania x,y,z z Id:

int ix=off%nx;

int iy=(off//nx)%ny;

int iz=off//nxy;

x= min_x+dx*ix;

y= min_y+dy*iy;

z= min_z+dz*iz;

13.5. Zastosowane rodzaje oddziaływań

Program nanoMD został wyposażony w cztery podstawowe rodzaje oddziaływań mię-

dzyatomowych. Dodawanie nowych oddziaływań nie wymaga dużej ingerencji w strukturę

programu. Poniżej wymienione zostały zaimplementowany już oddziaływania wraz ze sło-

wami kluczowymi do pliku spec.in i parametrami:

1.Harmoniczny:

harm r0 k

jednostki: r0[A] k[Nm ]

U =12

∑

i

∑

j

k(rij−r0)22

Ze względu na prostą postać, nie wymaga dużych obliczeń i jest bardzo wygodny do

testowania.

2. Sutton-Chen:

sutton-chen ǫ a m n C


jednostki: ǫ[eV ] a[A] m n C

U = ǫ[12

∑

ij

( a

rij

)n

−C∑

i

(

∑

j

(a

rij)m)12]

Stworzony do symulowania metali FCC.

3. Finnis-Sinclair:

fin-sin d A c c0 c1 c2

jednostki: d[A],A[eV A−2],c[A],c0[eV A−2],c1[eV A−3],c2[eV A−4

U =12

∑

ij

(rij−c)2(c0+c1rij+c2r2ij)−A∑

i

(

∑

j

(rij−d)2Θ(rij−d))12

Stworzony do symulowania metali BCC.

4. Morse:

morse D α rα rc

jednostki: D[eV ], α[A−1], rα[A], rc[A]

U =12

∑

i,j

D(

(e−α(rij−rα)−1)2−1)

Θ(rij−rc)

5. Brenner:

brenner

Eb=12

∑

i

∑

j

[

VR(rij)−BijVA(rij)]

6. AIREBO:

airebo

Ea=12

∑

i

∑

i 6=j

[

EREBOij +ELJij +∑

k 6=i,j

∑

l 6=i,j,k

Etorskijl

]

Kod potencjału AIREBO został zapożyczony z dostępnego na licencji GPL programu

NanoHive-1 (http://www.nanohive-1.org/) .

13.6. Zastosowane algorytmy i metody obliczeniowe

Trajektorie atomów obliczane są z równań odpowiednich dla wybranego sposobu utrzy-

mywania temperatury:

– bezpośrednie skalowanie prędkości do temperatury (metoda izokinetyczna Heermanna),

– termostat Nose–Hoovera,

– termostat gaussowski,

– brak kontroli (układ mikrokanoniczny),

których całkowanie odbywa się za pomocą algorytmu Geara IV rzędu.


Metoda Geara całkowania równań ruchu jest metodą z przedkrokiem (ang. predictor-

corrector). stan cząstki jest opisany przez wektor:

xi(t)=

xi(t)hxi(t)12h2xi(t)

12h2xi(t−h)

,

gdzie h oznacza, krok całkowania. W pierwszym przybliżeniu obliczany jest wektor yi(t+h)

przewidywanych położeń i ich pochodnych:

yi(t+h)=Ax i(t)

gdzie:

yi(t+h)=

yi(t+h)hyi(t+h)12h2yi(t+h)12h2yi(t)

, A=

1 1 43 −13

0 1 3 −10 0 2 −10 0 1 0

.

Z otrzymanego w ten sposób przewidywanego położenia cząstki yi(t+h) liczona jest siła z

następnego kroku f(yi(t+h)). Właściwy wektor stanu cząstki, odnoszący się do następnego

kroku całkowania, otrzymywany jest ze wzoru:

xi(t+h)=yi(t+h)+a12h2[f(yi(t+h))

mi− yi(t+h)

]

, gdzie a =

1656

10

.

Metoda ta jest bardziej skomplikowana od innych powszechnie używanych metod, w jednym

kroku wymaga wykonania większej liczby operacji zmiennoprzecinkowych, ale jej stabilność i

dokładność pozwalają na stosowanie większego kroku całkowania równań ruchu. W rezultacie

czas obliczeń ulega skróceniu w porównaniu z mniej skomplikowanymi metodami.

Potrzebne do rozpoczęcia symulacji prędkości początkowe przypisywane są z rozkładu

Maxwella–Boltzmana. Współrzędna x−1 wymagana przez algorytm Geara IV rzędu jest

liczona przez wykonanie Neuler kroków metodą Eulera z krokiem czasowym he = − hNeuler

(gdzie h jest podstawowym krokiem czasowym wykorzystywanym przy całkowaniu równań)

i obliczeniu sił działających w tym czasie.

W celu obliczania sił działających na atom, gradient potencjału zapisany został jako

funkcja (nie jest liczony numerycznie z funkcyjnej postaci potencjału), co znacznie przyspie-

sza obliczenia.

Do atomu (lub grupy atomów) może być przypisane oddziaływanie zewnętrzne, rozumiane

jako jakiekolwiek oddziaływanie nie będące oddziaływaniem międzyatomowym. Może ono

być zadane przez:

– zewnętrzną siłę,


– wymuszoną prędkość,

– unieruchomienie atomu (całkowite lub względem zadanego kierunku).

– wymuszenie stałej temperatury (grzejnik)

13.7. Kompilacja programu nanoMD

1. Należy rozpakować archiwum z programem.

2. Przejść do katalogu nanoMD

3. Uruchomić polecenie

> make -f Makefile.xxx

wybierając odpowiedni plik Makefile:

Makefile.gcc – aby skorzystać z kompilatorów GNU (kompilator g++ powinien być

dostępny w ścieżce wykonywalnych programów. Jeśli nie ma to należy podać pełną

nazwę kompilatora wraz ze ścieżką w polu CC pliku Makefile.gcc

Makefile.icc – aby skorzystać z kompilatorów Intel C++, w przypadku gdy

kompilator icpc nie jest dostępny bezpośrednio z linii poleceń trzeba postąpić

podobnie jak wyżej.

Makefile.mpi – kompilacja programu w wersji równoległej, w przypadku gdy

kompilator mpiCC nie jest dostępny bezpośrednio z linii poleceń trzeba postąpić

podobnie jak wyżej wskazując właściwy kompilator C++ dla używanego środowiska

MPI.

4. Po pomyślnej kompilacji wynikowy z programem będzie zapisany pod nazwą:

po kompilacji programu szeregowego (gcc i icc) lub pod nazwą nanoMD.mpi.xxx-arch po

kompilacji programu równoległego (mpi).

W przypadku korzystania z innych kompilatorów należy zmodyfikować jeden z plików

Makefile.xxx i w polu CC ustawić własny kompilator, w polu CPPFLAGS parametry kom-

pilatora optymalizujące kod wykonywalny. Dla programów szeregowych do pola CPPFLAGS

należy zawsze dodać opcję -DSERIALMODE, inaczej program będzie kompilowany w wersji

równoległej, co może zakończyć się fiaskiem.

14. Dodatek 5: Programy do obróbkidanych

14.1. Program cubic

Porgram cubic służy tworzenia poszczególnych elementów do całego układu nanomecha-

niczengo. Pozawala on tworzenie różnych brył wyciętych z regularnej sieci krystalograficznej.

Za pomocą niego można tworzyć kule, skrawki kuli lub bryły ograniczone zadanymi płasz-

czyznami krystalograficznymi. W wyniku działania programu tworzony może być plik typu

XYZ.

Do poprawnego działania programu potrzebny jest jeden plik z danymi wejściowymi.

Plik ten składa się z sekcji, każda zaczynająca się od nagłówka:

section nazwa

i kończońca się słowem kluczowym end.

Na pełną konfigurację układu składają się: sekcja główna section main z ogólnymi

definicjami oraz sekcje section objN (gdzieN - numer obiektu) z poszczególnymi obiektami

(bryłami) składającymi się na tworzony układ.

W sekcji section main dostępne są następujące pola:

obj=N

definiujące z ilu obiektów (sekcji obj) składa się układ

out=nazwa

definiujące nazwę pliku wyjściowego

fmt=’format’

definiujące format zapisywanej linii w pliku wyjściowym o składni jak w

języku C. Musi on formatować wyjście dla kolejno: łańcucha znaków i

trzech liczb zmiennopozycyjnych, można tu wstawiać inne napisy, znaki,

znaki formatujące (jak np. koniec wiersza ’\n’). Przykładowy format

fmt=’%-s5%14.7f%14.7f%14.7f’ spowoduje stworzenie plik typu XYZ.

bbox= Bx By Bz

definiujące warunki brzegowe. Jeżeli Bi = 1 to na i−tym kierunku będązastosowane periodyczne warunki brzegowe, analogicznie jeżeli Bi = 0 –

141

14. DODATEK 5: PROGRAMY DO OBRÓBKI DANYCH 142

tych warunków nie będzie. warunki periodyczne uwzględnione będą przez

niedopełnienie bazowych komórek krystalograficznych na odpowiednich

ścianach, oraz stworzenie odpowiednich ustawień ’BBox’ w piku wyjścio-

wym.

W sekcjach section objN dostępne są następujące pola:

prefix=’sym’

definiuje symbol atomu danego obiektu (przedrostek przed każdą tróją

współrzędnych)

latt= a b c

definiuje długości wektorów tworzących komórkę elementarną

size= Nx Ny Nz

definiuje wielkość maksymalny rozmiar kryształu (wielokrotności komórki

elementarnej na kierunkach x,y i z) z którego w następnych korkach mogą

być wycinane inne bryły

base=n

definiuje liczbę wektorów bazy atomowej, a następnie w n wierszach

wypisane muszą być współrzędne kolejnych wektorów bazowych

mirror

stworzony będzie obiekt wraz ze swoim odbiciem lustrzanym, względem

płaszczyzny Oyz

center

geometryczny środek stworzonego obiektu umieszczony będzie w punkcie

(0,0,0)

cutoff= Rk

z całego kryształu (zdefiniowanego przez pole size) wycięta zostanie kula

o promieniu Rk

disp= x y z

tworzony obiekt zostanie przesunięty o wektor [x,y,z]

klin= n

definiuje liczbę płaszczyzn wycinających bryłę z kryształu. W następ-

nych n liniach musi się znaleźć po 7 liczb: h k l x0 y0 z0 w, określają-

cych kolejno współczynniki (hkl) millera wycinającej płaszczyzny, punkt

(x0,y0,z0) przez który ona przechodzi (podany w wielokrotnościach wek-

torów bazowych) oraz po której stronie płaszczyzny leży wnętrze bryły,


dla w=1 po stronie wskazywanej przez wektor normalny, dla w=−1 poprzeciwnej stronie.

14.2. Program vnn

Program vnn jest programem graficznym stworzonym do wizualizacji konfiguracji prze-

strzennej atomów.

Program obsługuje następujące rodzaje plików:

DL POLY - pliki typu CONFIG i HISTORY

XYZ - pliki z zapisem pojedynczej konfiguracji jak i z zapisem wielokrotnym

ASC - plik z programu mdsim

Pliki są odczytywane poprzez bibliotekę libmb. W miarę rozwoju biblioteki będą

dodawane nowe rodzaje plików rozpoznawanych przez program vnn.

Program składa się z dwóch okien:

– widok 3D obiektu

– konfiguracja widoku 3D

W oknie konfiguracji można wczytywać pliki, zmieniać kolor i rozmiar rysowanych

atomów według typu.

Dodatkowo program pozwala na zapisywanie treści okna 3D w postaci pliku graficznego

PNG. A także zapisywać sekwencje wyświetlanych klatek.

Pliki z zapisem obrazów. Pojedyncze zapisy okna 3D będą umieszczone w katalogu z

którego został uruchomiony program, w plikach o nazwie: sshotN.png, N - numer kolejnego

zapisu. Sekwencje wyświetlanych klatek będą umieszczane w podkatalogu anim/ katalogu z

którego został uruchomiony program w plikach o nazwach: anim-0N.png, N - numer kolejnego

zapisu.

Za pomocą skryptu make anim dostarczonego z programem vnn, z zapisu klatek z

katalogu anim/ można stworzyć film MPEG.

14.3. Biblioteka libmb

Biblioteka libmb została stworzona do obróbki plików z zapisem konfiguracji atomów.

Obsługuje formaty plików:

– DL POLY - plik typu CONFIG i HISTORY

– XYZ - pliki z pojedynczym i wielokrotnym zapisem konfiguracji

– ASC - pliki z programu mdsim.


Biblioteka pozawala na bardzo łatwą konwersje pomiędzy obsługiwanymi rodzajami

plików. Wystarczy odczytać plik w jednym formacie i zapisać w drugim.

Dodatkowo biblioteka została wyposażona w alorytmy pozwalające znajdować klastry

połączonych ze sobą atomów zadanych typów.

Całość została napisana w języku C++, dzięki temu użytkownik może w prosty sposób,

opierając się o mechanizm dziedziczenia, napisać własny program do analizy konfiguracji

atomów nie zależny od sposobu zapisu.

14.4. Kompilacja programów

14.4.1.Kompilacja programów użytkowych

Wszystkie programy zostały napisane w języku C/C++ w standardzie ANSI. Mogą być

kompilowane za pomocą dowolnego kompilatora C++.

14.4.2.Kompilacja programu vnn

Po rozpakowaniu należy przejść do katalogu vnn zmodyfikować plik Makefile ustawiają

zmienną DIRMB tak aby wskazywała na miejsce kompilacji biblioteki libmb a następnie

uruchomić polecenie make.

Do kompilacji programu wymagane są:

– biblioteka fltk w wersji 1.1.x http://www.fltk.org

– biblioteka OpenIL http://openil.sourceforge.net

– biblioteki OpenGL

– biblioteka libmb będąca częścią pakietu

14.4.3.Kompilacja biblioteki libmb

Po rozpakowaniu archiwum należ przejść do katalogu libmb i uruchomić polecenie

> make

biblioteka zostanie zapisana pod nazwą libmb.a w bieżącym katalogu.

Do kompilacji wymagany jest kompilator C++ obsługujący standard 1998 ISO C++.

Bibliografia

[1] RP Feynman, 1992, There’s Plenty of Room at the Bottom. An Invitation to Enter a New Field ofPhysics, Journal of Microelectromechanical Systems, 1 60-66

[2] G Binnig, H Rohrer, C Gerber, E Weibel, 1982, Surface Studies by Scanning Tunneling Micro-scopy, Phys. Rev. Lett. 49 57-61

[3] G Binnig, Ch Gerber, C F Quate, 1986, Atomic Force Microscope, Phys. Rev. Lett. 56 930-933[4] HW Kroto, JR Heath, SC O’Brien, RF Curl, RE Smalley, 1985, C60: Buckminsterfullerene, Nature 318162-163

[5] S Iijima, 1991, Helical microtubules of graphitic carbon, Nature, 354 56-58[6] Ch Kittel, 1999, Wstęp do fizyki ciała stałego, Warszawa, PWN 191[7] Ed. RW Kelsall, IW Hamley, M Georghegan, 2005, Nanoscale science and technology, J. Wiley &Sons, Chichester

[8] DA Bochvar, EG Galpern, 1973, Hypothetical systems: Carbododecahedron, s-icosahedron, and carbo-sicosahedron, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 209 239-241

[9] DA Bochvar, EG Galpern, 1973, Truncated dodecahedron and truncated icosahedron hypotheticalstructures, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 209 610-612

[10] D Gerke, 2009, NASA 2009 Body of Knowledge (BoK) carbon nanotube technology Jet PropulsionLaboratory California Institute of Technology Pasadena, California 1-28

[11] ZC Tu, ZC Ou-Yang, 2008, Elastic theory of low-dimensional continua and its applications in bio- andnano-structures, J. Comput.Theor. Nanosci. 5 422-448

[12] AV Eletskii, 2007, Mechanical properties of carbon nanostructures and related materials, Phys. usp., 50225-261

[13] D Tomanek, 1996, The Growth and the Death of Carbon Fullerenes and Nanotubes, NATO ASI SeriesE Applied Sciences - Advanced Study Institute, 313 403-422

[14] A Bachmatiuk, 2008, Badania nad technologią otrzymywania i właściwościami nanorurek węglowych,praca doktorska Politechnika Szczecińska, 1-106

[15] S Erkoc, 2001, Empirical potential energy functions used in the simulations of materials properties, An-nual Reviews of Computational Physics IX, IX 1-103

[16] DW Brenner, 1990, Empirical potential for hydrocarbons for use in simulationg the chemical vapordeposition of diamond films Phys. Rev. B 42 94589471

[17] SJ Stuart, AB Tutein, JA Harrison, 2000, A reactive potential for hydrocarbons with intermolecularinteractions, Journal of Chemical Physics 112 6472-6486

[18] JL Zang, Q Yuan, FC Wang, YP Zhao, 2009, A comparative study of Young’s modulus of single-walledcarbon nanotube by CPMD, MD and first principle simulations, Computational Materials Science, 46621-625

[19] Q Lu, R Huang, 2010, Excess energy and deformation along free edges of graphene nanoribbons, PhysicalReview B, 81 155410.1-8

[20] H Zhao, K Min, NR Aluru, 2009, Size and chirality dependent elastic properties of graphene nanoribbonsunder uniaxial tension, Nano Letters, 9 3012-3015

[21] Z Qi, F Zhao, X Zhou, Z Sun, HS Park, H Wu, 2010, A molecular simulation analysis of producingmonatomic carbon chains by stretching ultranarrow graphene nanoribbons, Nanotechnology, 21 265702

[22] Z Wang, M Devel, B Dulmet, 2009, Twisting carbon nanotubes: A molecular dynamics study, SurfaceScience, 604 496-499

[23] M Arroyo, T Belytschko, 2004,Finite element methods for the non-linear mechanics of crystalline sheetsand nanotubes, Int. J. Numer. Meth. Eng, 59 419-456

[24] M Arroyo, T Belytschko, 2005, Continuum mechanics modeling and simulation of carbon nanotu-bes, Meccanica, Springer 40 455-469

[25] O Lourie, HD Wagner, 1998, Evaluation of Young’s modulus of carbon nanotubes by micro-Raman, Jo-urnal of Materials Research(USA) 13 2418-2422

145

BIBLIOGRAFIA 146

[26] A Muc, M Chwał, 2004, Modele mechaniczne kompozytów z udziałem nanorurek węglowych, Kompo-zyty, 4 432-438

[27] W Królikowski, Z Rosłaniec, 2004, Nanokompozyty polimerowe, Kompozyty 4 3-16[28] BI Yakobson, CJ Brabec and J Bernholc, 1996, Nanomechanics of carbon tubes: Instabilities beyondlinear response, Phys. Rev. Lett. 76 2511-2514

[29] VM Harik, TS Gates, MP Nemeth, 2002 Applicability of the Continuum-shell Theories to the Mechanicsof Carbon Nanotubes, NASA Langley Research Center 1-11

[30] ZC Tu, ZC Ou-Yang, 2006, On Applying the Shell Theory to Single Layer Graphitic Structures, Journalof Computational and Theoretical Nanoscience, 3 375-377

[31] J Peng, J Wu, KC Hwang, J Song, Y Huang , 2008, Can a single-wall carbon nanotube be modeled asa thin shell? J. Mech. Phys. Solids JMPSA 56 2213-2224

[32] X Zhao, Y Liu, S Inoue, T Suzuki, RO Jones, Y Ando, 2004, Smallest carbon nanotube is 3 Aindiameter, Phys. Rev. Lett. 92 125502.1-3

[33] E Hernandez, C Goze, P Bernier, A Rubio, 1998, Elastic properties of single-wall nanotubes, ApliedPhysics A: Materials Science & Processing, 68 287-292

[34] J. Diao, K. Gall, M. Dunn, 2004, Yield Strength Asymmetry in Metal Nanowires, Nano Letters, 41863-1867

[35] AC Lund, TG Nieh, CA Schuh, 2004, Tension/compression strength asymmetry in a simulatednanocrystalline metal, Physical Review B, 012101.1-4

[36] MA Tschopp, DL McDowell, 2007, Tension-compression asymmetry in homogeneous dislocation nucle-ation in single crystal copper Applied Physics Letters 90 121916.1-3

[37] J. Bonet, R. D. Wood, 1997, Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis, CambridgeUniversity Press

[38] A Cazzani, M Rovati, 2003, Extrema of YoungŹs modulus for cubic and transversely isotropic solids, Int.J. Solids Struct. 40 1713-1744

[39] M Arroyo, T Belytschko, 2001, An atomistic-based finite deformation for single layer crystalline films,J. Mech. Phys. Solids, 50 1941-1977

[40] HS Park, A Klein, 2008, Surface stress effects on the resonant properties of metal nanowires: Theimportance of finite deformation kinematics and the impact of the residual surface stress, ournal of theMechanics and Physics of Solids Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 56 3144-3166

[41] WK Liu, S Jun, D Qian, 2008, Computational nanomechanics of materials, Journal of Computationaland Theoretical Nanoscience 5 1-27

[42] Z Bojarski, M Gigla, K Stróż, M Surowiec, 1996, Krystalografia, Warszawa[43] Z trzaska Durski, H Trzaska Durska, 1994, Podstawy krystalografii strukturalnej i rentgenowskiej,War-szawa

[44] M Zakrzewski, J Zawadzki 1983, Wytrzymałość materiałów, Warszawa, PWN[45] Q Lu, B Bhattacharya, 2005, Effect of randomly occurring StoneWales defects on mechanical propertiesof carbon nanotubes using atomistic simulation, Nanotechnology, 16 555-566

[46] BI Yakobson, G Samsonidze, GG Samsonidze, 2000, Atomistic theory of mechanical relaxation infullerene nanotubes Carbon, 38 1675-1680

[47] N Chandra, S Namilae, C Shet, 2004, Local elastic properties of carbon nanotubes in the presence ofStone-Wales defects, Physical Review B, 69 094101.1-12

[48] PA Żilin, 2006, Prikładnaja miechanika. Osnowy teorii obołoczek, Sankt Petersburg, 2006[49] T Cagśn, G Dereli, M Uludogan, M Tomak, 1999, Thermal and mechanical properties of some fcctransition metals, Physical Review B, 59 3498-3473

[50] WG Hoover, 1985, Canonical dynamics: Equilibrium phase-space distributions, Phys. Rev. A 3116951697

[51] AC Brańka, KW Wojciechowski, 2000, Generalization of Nose and Nose-Hoover isothermal dyna-mics, Physical Review E 62 32813292

[52] CJ Wu, CY Chou, CN Han, KN Chiang, 2006, Numerical Simulation of The Mechanical Properties ofCarbon Nanotube Using the Atomistic-Continuum Mechanics, European NANOSYSTEMS 06 Paris;arXiv 0708.1467

[53] J. Diao, K. Gall, M. Dunn, J. Zimmerman, 2006, Atomistic simulations of the yielding of goldnanowires, Acta Materialia, 54 643-653

[54] P Zhang, Y Huang, H Gao, KC Hwang, 2002, Fracture nucleation in single-wall carbon nanotubes undertension: a continuum analysis incorporating interatomic potentials, Journal of Applied Mechanics, 69454-458

BIBLIOGRAFIA 147

[55] S Hoffmann, F Ostlund, J Michler, HJ Fan, M Zacharias, 2007, Fracture strength and Young’s modulusof ZnO nanowires, Nanotechnology 18 205503.1-5

[56] L Landau, E lifszic, 1959, Fizyka statystyczna, Warszawa[57] Z Chun-Fang, W He-Lin, W Jian, L Zu-Li , 2007, Gold Nanobelt Reorientation by Molecular DynamicsSimulation, Chinese Physics Letters, 24 2227-2229

[58] D Sander, 2003, Surface stress: implications and measurements, Current Opinion in Solid State andMaterials Science, 7 51-57

[59] Q Jiang, LH Liang, DS Zhao, 2001, Lattice contraction and surface stress of fcc nanocrystals, J. Phys.Chem. B, 105 6275-6277

[60] I Galanakis, G Bihlmayer, V Bellini, N Papanikolaou, R Zeller, S Blgel, PH Dederichs, 2002,Broken-bond rule for the surface energies of noble metals, EPL (Europhysics Letters) , 58 751-757

[61] M Zhao, W Zheng, J Li, Z Wen, M Gu, CQ Sun, 2007, Atomistic origin, temperature dependence, andresponsibilities of surface energetics: An extended broken-bond rule, Physical Review B, 75 085417.1-8

[62] MX Gu, CQ Sun, Z Chen, TC Au Yeung, S Li, CM Tan, V Nosik, 2007, Size, temperature, and bondnature dependence of elasticity and its derivatives on extensibility, Debye temperature, and heat capacityof nanostructures, Physical Review B, 2007, 75 125403.1-9

[63] W Liang, M Zhou, 2005, Pseudoelasticity of single crystalline Cu nanowires through reversible latticereorientations, Journal of Engineering Materials and Technology, 127 423-433

[64] RA Andrievski, 2008, size-dependent effects in prperties of nanostructured materials, Rev.Adv. Mater.Sci. 21 107-133

[65] VB. Shenoy, 2005, Atomistic calculations of elastic properties of metallic fcc crystal surfaces, PhysicalReview B, 71 094104.1-11

[66] SM Foiles, MI Baskes, MS Daw, 1986, Embedded-atom-method functions for the fcc metals Cu, Ag, Au,Ni, Pd, Pt, and their alloys, Physical Review B, 31 7983-7991

[67] J Burki, CA Stafford, 2005, On the stability and structural dynamics of metal nanowires, AppliedPhysics A: Materials Science and Processing, 81 1519-1525

[68] M Hartmann, G Mahler, O Hess, 2004, Fundamentals of Nano-Thermodynamics, Arxiv preprintcond-mat/0408133,

[69] AM Nassimi, GA Parsafar, 2007, Making thermodynamic functions of nanosystems intensive, Journalof Physics: Condensed Matter, 19 156218.1-8

[70] P Mohazzabi, GA Mansoori, 2005,Why Nanosystems and Macroscopic Systems Behave Differently, In-ternational journal of nanoscience and nanotechnology (IJNN), 1 53-60

[71] P Mohazzabi, GA Mansoori, 2005, Nonextensivity and Nonintensivity in Nanosystems: A MolecularDynamics simulations, J. Comput. Theor. Nanosci, 2 138-147

[72] GR Vakili-Nezhaad, GA Mansoori, 2004, An Application of Non-Extensive Statistical Mechanics toNanosystems, J. Comput. Theor. Nanosci, 1 233-235

[73] MF Horstemeyer, MI Baskes, SJ Plimpton, 2001, Length scale and time scale effects on the plastic flowof fcc metals, Acta Materialia, 49 4363-4374

[74] C Goldenberg, I Goldhirsch, 2002, Force chains, microelasticity, and macroelasticity, Phys. Rev.Lett. 89 084302.1-4

[75] Belytschko, S. P. Xiao, 2003, Coupling methods for continuum model with molecular model, InternationalJournal for Multiscale Computational Engineering, 1, 100-111

[76] R Sunyk, P. Steinmann, 2006, Transition to Plasticity in Continuum-Atomistic Modelling, Multidisci-pline Modeling in Materials and Structures, , 3, 249-286

[77] Binney J.J., Dorwick N.J., Fischer A.J., Newman M.E.J., 1998. Zjawiska krytyczne. Wstęp do teoriirenormalizacji, Warszawa

[78] P Steinmann, A Elizondo and R Sunyk, 2007, Studies of validity of the CauchyBorn rule by directcomparison of continuum and atomistic modelling, Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 15 271-281

[79] DJ Evans, 1983, Nonequilibrium molecular dynamics via Gauss’s principle of least constraint J. Chem.Phys., 28 10161021

[80] S Nose, 1984, A molecular dynamics method for simulations in the canonical ensemble, MoleculatPhysics, 52 255-268

[81] AP Sutton, J Chen, 1990, Long-range FinnisSinclair potentials, Philos. Mag. Lett. 61 139-146[82] T Cagin, Y Qi, H Li, Y Kimura, H Ikeda, WL Johnson, WA Goddard III, 1999, The quantumSutton-Chen many-body potential for properties of fcc metals, MRS Symposium Series 554

BIBLIOGRAFIA 148

[83] G Ciccotti, WG Hoover, 1986, Molecular–Dynamics Simulation of Statistical–Mechanical Systems, So-cieta Italiana di Fisica

[84] T Williams, C Kelley i wielu innych, 2010, gnuplot 4.4, An interactive plotting program,http://www.gnuplot.info/

[85] P Buffat, JP Borel, 1976, Size effect on the melting of gold particles, Phys. Rev. A 13 2287-2298[86] JWM Frenken, JF van der Veen, 1985, Observation of Surface Melting Phys. Rev. Lett. 54 134137[87] Wikipedia, 2010, http://en.wikipedia.org/wiki/Melting-point depression[88] H Petrova, J Perez-Juste, Z Zhang, J Zhang, T Kosel, GV Hartland, 2006, Crystal structure dependenceof the elastic constants of gold nanorods Journal of Materials Chemistry, 16 3957-3963

[89] J Song, X Wang, E Riedo, ZL Wang, 2005, Elastic Property of Vertically Aligned Nanowires, Nanolet-ters, 5 1954-1958

[90] GY Jing, HL Duan, XM Sun, ZS Zhang, J Xu, YD Li, JX Wang, DP Yu, 2006, Surface effects on elasticproperties of silver nanowires: Contact atomic-force microscopy, Physical review B 73 235409.1-6

[91] PE Marszalek, WJ Greenleaf, H Li, AF Oberhauser, JM Fernandez, 2000, Atomic force microscopycaptures quantized plastic deformation in gold nanowires, PNAS 97 6282-6286

[92] JL Elechiguerra,J Reyes-Gasgab, MJ Yacaman, 2006, The role of twinning in shape evolution ofanisotropic noble metal nanostructures, J. Mater. Chem. 16 39063919

[93] S Cuenot, C Fretigny, S Demoustier-Champagne, B Nysten, 2004, Surface tension effect on themechanical properties of nanomaterials measured by atomic force microscopy, Phys. Rev. B 69165410.1-5

[94] C Ji, HS Park, 2007, The coupled effects of geometry and surface orientation on the mechanicalproperties of metal nanowires Nanotechnology 18 305704.1-8

[95] J-G Guo, Y-P Zhao, 2007, The size-dependent bending elastic properties of nanobeams with surfaceeffects, Nanotechnology 18 074306.1-11

[96] KA Afanasyev, F Sanso, 2007, Strengthening in Gold Nanopillars with Nanoscale Twins NanoLett., 7 2056-2062

[97] A Ballato, 1996, Poisson’s ratio for tetragonal, hexagonal, and cubic crystals, IEEE Trans. 43 56-62[98] J Turley, G Sines, 1970, The anisotropy of Youngs modulus, shear modulus and Poissons ratio in cubicmaterials, Journal of physics D: Applied physics, 4 264-271

[99] KW Wojciechowski, 2005, Poissons ratio of anisotropic systems Computational methods in science andtechnology 11 73-79

[100] T Burczyński, 2010, Metody numeryczne w mechanice oraz ich wpływ na rozwój mechaniki w Polsce,w „Polskie i światowe osiągnięcia nauki”, http://fundacjarozwojunauki.pl

[101] B Zhao, J Wang, Z Li, P Liu, D Chen, Y Zhang, 2008,Mechanical strength improvement of polypropylenethreads modiĄed by PVA/CNT composite coatings, Materials Letters 62 43804382

[102] R Andrews, MC Weisenberger, 2004, Carbon nanotube polymer composites, Current Opinion in SolidState and Materials Science 8 31-37

[103] NH Tai, MK Yeh, JH Liu, 2004, Enhancement of the mechanical properties of carbon nanotube/phenoliccomposites using a carbon nanotube network as the reinforcement, Carbon 42 2735-2777

[104] A Krishnan, E Dujardin, TW Ebbesen, PN Yianilos, MMJ Treacy, 1998, Young’s modulus ofsingle-walled nanotubes, Physical Review B, 58 1413-1419

[105] MMJ Treacy, A Krishnan, PN Yianilos, 2002, Inferring physical parameters from images of vibratingcarbon nanotubes, Microscopy and microanalysis, 6 317-323

[106] G Overney, W Zhong, D Tomanek, 1993, Structural rigidity and low frequency vibrational modes oflong carbon tubules, Zeitschrift fr Physik. D, atoms, Molecules and Clusters 27 93-96

[107] YI Prylutskyy, SS Durov, OV Ogloblya, EV, 2000, Molecular dynamics simulation of mechanical,vibrational and electronic properties of carbon nanotubes, Computational Materials Science, 17 352-355

[108] TW Tombler, C Zhou, L Alexseyev, J Kong, H Dai, L Liu, C. S. Jayanthi, Meijie Tang, Shi-YuWu, 2000,Reversible electromechanical characteristics of carbon nanotubes under local-probe manipulation, Na-ture 405 769-772

[109] M. Sasaki, K. Hane, S. Okuma, and Y. Bessho, 1994, Shape of the cantilever deflection for the atomicforce microscope in force curve measurements, Rev. Sci. Instrum. 65 1930-1934

[110] EW Wong, PE Sheehan, CM Lieber, 1997, Nanobeam mechanics: elasticity, strength, and toughness ofnanorods and nanotubes Science, 277 1971-1974

[111] H.J.Qi, K.B.K. Teo, K.K.S. Lau, M.C. Boyce, W.I. Milne, J. Robertson and K.K. Gleason, 2003,Determination of mechanical properties of carbon nanotubes and vertically aligned carbon nanotubeforests using nanoindentation, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 51 2213-2237

BIBLIOGRAFIA 149

[112] JP Salvetat, GAD Briggs, JM Bonard, RR Bacsa, AJ Kulik, T. Stockli, NA Burnham, and L. Forro,1999, Elastic and shear moduli of single-walled carbon nanotube ropes, Physical Review Letters, 82944-947

[113] JP Salvetat, J-M Bonard, NH Thomson, AJ Kulik, L Forro, W Benoit, L Zuppiroli, 1999, Mechanicalproperties of carbon nanotubes, Appl. Phys. A 69 255-260

[114] KT Kashyap, RG Patil, 2008, On Young’s modulus of multi-walled carbon nanotubes, Bulletin ofMaterials Science, 31 185-187

[115] R Ruoff, MF Yu, H Rohrs, 2002, Nanomanipulation and characterization of individual carbon nanotu-bes, Recent Advances in Experimental Mechanics, Springer 65-74

[116] A Sears, RC Batra, 2004, Macroscopic properties of carbon nanotubes from molecular-mechanicssimulations, Physical Review B 69 235401.1-16

[117] A Kis, A Zettl, 2008, Nanomechanics of carbon nanotubes, Philosophical Transactions of the RoyalSociety A 366 1591-1611

[118] A Pantano, MC Boyce, DM Parks, 2004, Mechanics of deformation of single-and multi-wall carbonnanotubes, Journal of the Mechanics and Physics of Solids 52 789-821

[119] J Wu, KC Hwang, J Song, Y Huang, 2008, Material and structural instabilities of single-wall carbonnanotubes, Acta Mechanica Sinica 24 285-288

[120] D Sanchez-Portal, E Artacho, JM Soler, A Rubio, 1999, Ab initio structural, elastic, and vibrationalproperties of carbon nanotubes, Phys. Rev. B 59, 1267812688

[121] D Srivastava, M Menon, K Cho, 1999, Nanoplasticity of Single-Wall Carbon Nanotubes under UniaxialCompression, Phys. Rev. Lett., 83, 29732976

[122] Q Zhao, MB Nardelli, J Bernholc, 2002,Ultimate strength of carbon nanotubes: A theoretical study Phys.Rev. B 65, 144105.1-6

[123] HF Ye, JB Wang, HW Zhang, 2009, Numerical algorithms for prediction of mechanical propertiesof single-walled carbon nanotubes based on molecular mechanics model Computational MaterialsScience 44 1089-1097

[124] Table by MIT, 2007, ps4 07.pdf ocw.mit.edu[125] J Dziedzic, 2009, Quantum-Classical Calculations of the Nanomechanical Properties of Metals, Poli-

technika Gdańska, rozprawa doktorska[126] M Rychcil-Leyk, 2008, Symulacje dynamiczno–molekularne ultraprecyzyjnego ścinania wybranych me-

tali, Politechnika Gdańska, rozprawa doktorska

Documents

Właściwościmechaniczne wybranychnanostruktur - …pbc.gda.pl/Content/12830/phd_bialoskorski_michal.pdf · Dyskretno-kontynualna natura nanostruktur, podobnie jak korpuskularno-falowa