Wektory, pochodne, całki. Wiesława Korczak, Marianna Trajdos

5/10/2018 Wektory, pochodne, ca ki. Wies awa Korczak, Marianna Trajdos.

1/42


2/42

W e k to r yp o c h o d n ec a l k i


3/42

~W Y D A W N I C T W ON A U K D W EP W N

W A R S ? A W A1998

W e k t o r y. p o c h o d n ec a l k iW 1 8 s t a w a K o r c z a kM a r i a n n a T r a j d o sW y d an ie d ru g ie


4/42

PubhkaC' j3 13 Uka1. : !I~ si~ po raz piCfWSZY W fOl11li~ SktyPIU uczelnianego-Wlt '!oOrnW(i K


5/42

PrzedmowaStu.(len-oi pierwszych l at , za l'owno uniwersyteckich wydzia16w nauk przyrod-niczYch, jak iuczelni tech:nlcznych! jui na pierwszyeh wykladach z f izykiO'beuj'l ~.wektorami, pechadnyml icalkami. n o s t wykla.danego materialu,a ta .k ~e aposob wyJdada.1lia ~Z!i lsto s tanowi< ' l: . dla sluchaczy barie .r~ t rudnado pekonania. Nasea publikacjaskierowana jest do wszystkicb 'pQ!i:z~t.kujq.-cy:-el, stud,erttow, ktorzy cbc.l%:l1ZupeJ:ni.r. lp.o,Szerzyc w ia dom os ci w yn ie sie ne7 .8 &'tkQ~Y,by uporac si~ ze swymi trudnosciami. Repetytol'ium zawiera mini-malny -eestaw irrformacji ma.tematyczuyCh pctrzebnych studentora w pierw-sZYGhtygbdniac,b ~aJtt z :fizyki., tj. podstawowe ll0 .i~da rachunku wektoro-wegQ 1 roZnlezkowe:goi catkowego s e s zC, Z eg 61 nym uwzg l~ d -u le n iem roznychzastosowail, orae Iiczne przy.kl:a.dy izadaaia do samodzlelnego rozwi~ania(wra.z z odpowledslami]. Swia.dolhieomini~tu przy tyro niektore deflnicje,twierdzenia id O W O d - Y I zatem ksi4:ieczl.t~ ta z pewnosdq, nle rnose nat'Wi csystematycznegCl wykladu algebry czy analizy matemajycznej.Gp


6/42

RozdziaJ 1

Dzialania na wektorach1.1. Skalary iwektoryfl/ieUeos'd c ;trk ow id e o 1q eslo ne p rz ez jed :n Cl::iczb~ Ila,zywa.,my skalarami, s~nirni na ptzyJdad:masa., g~st()ilc, tempera.~ural petenejal, energis. Inne wiel-kosci ~aga.j~ db pernego okreslenia podanla wartosci, kierunku iZWTOtl1.Na2iYwa.my je wektorami i_ oznacsamy pogrubionymi literami lnb litera zestrza.:tk


7/42

10

1.2. Dodawanie iodejrnowanie wektor6wSUIll~ w ek to rd w m ( )Z na . z na le iC metodq rOwnoleg/obo.ku.. Z je dn eg o p -u nk tuwylueSIamy wektary if ib , jak na . rysunku 3a. W rownoleglebckn zbudo-w anym na tych wektoraeh P O SZ 1 1k iw 3 .U J } S lJ 1l 1.


8/42

12

Zanwasmy (zoo. rys . 7) , 7..e~) weksor if rna dtugoic

J3

S~l&dowe smny ~j1 ',inil), _r6wne Stlmie (roinicy) l:Ikbdowych.D 1 a . dWLlwekLorow mamyii r; = , [ a " , b < l : ! a , . b 1l1 aj!: b , , 1 . ( 1 . 1 3 )

p;),z;y-kJady1. WektoJ' a ={3,4, 5J rna poczi\~ek w punkels M ( -2,2,5). Znale'zc w5p6!-rlli~dne je~n koi.ea.R(JzWiqzan:ia. O~l ' I< l .czniy kQniec wektora przez N. Wiadcmo, ze skladewewekt en a o b li c1 I :MnY odejmltj'l:c oc t wtIpohz~d.nej konca.wektera wsp61rz~d 'U


9/42

14 Dz ii l/ lH lf a n a wl$tarlld,

oraz rozdeielne wzgl~dem dodawania. tan,s . (b + e J = ii b +s C o (1.16)

Z d af in ic ji i lo cs yn n s ka la ,r n: eg o (1.14) wynika, iet. i ~;. i = k k = 1,i j=;'k=k.[=O.

Wobee tego iloczyn skalarny wekterow if, ib , gdzies =a : . J i+ 0 , 3 + a , ) : ' .

(U7)( 1 . 18 )

b = b ~ ; l " + b ll] + b , J ; ,mQ~a T0wn. iei zilpisa~ za pomG)c ' IJ 5.klaamwych

( 1 .19)Z auw az .m y . i e a . b = 0 , j :ez e' li wektory 5 " 1 : prostopadle ( c . p = rr!2) , a wi~warunek prostopadlescl dwoch wekto:row rna postac

{l.tO)JeieJj obydw a w ektory iloczynu s< !jednakowe, to Z


10/42

17fj

4. Dane S'i trzy wektory: ii:: [3;11 , 4 ' J , b = (i,JI2], c= [2 , -4, -1].a) Wyznaczyc wartosci y j z, dla ktdrych wekiQr Ii jeS:I prostopadly dowekt.orow b i ob) Jill k'ltt tworzi! ze sob'lJ welnery ii - 5 Ii+ b ?Rozwiqzani e.a) Z warunku pro~topadto5d wynika, ze

if, b = 0 i a C o = :: : 0 ,zasem

3+ 3y+2z = 0,6 -41{- Z = o .

Rozwiuj'lC ten uklad rownari, otrzymujemy1 1 : ; ; ; 3, Z =~6.

b) Zgod.rLie Ze wzorem (1.13)a -b = [2,0, -8l , it + b :;;;[4,6, -4],

a cosinus k'l:' ta mi~dzy wektorami wynosi

5. Znaleic rz ut sH y f =27 - J + 2 k 11


11/42

19zioliIMill na Iveklwad

n o zapisu i lQ(:ZYllU weklc;mjwego wykotzystanez0staly wyznaceniki drugi~gostopnia, ktore l i ea ymy Ila.st~uj~co;I ; : f = qd - be.I lorzyn w~to rowy ij x bn;to .zna z a pi sa c k r 6r .: .e j z a JlQmoc~ wysn acznika &tpp-Ilia t r~ec iego 4 x 1 = / : . ~ k{A y 11 . . z

b : ; ; J b 7 J /;;;;(1.27)

.s-:-~o

W fizyee cz~ot" wysi:@uje m om ent p~d.u o razmoment sily. Momerli!Jm wektoxa. a wzglli)oempunktu 0 (z cb. ry s. 9 ) n.aa .yw a.m y il.otzyn wsk -tarowy preznienia wodz, ! :cego ;;t j wektera il Co ., 1saprsujemy

Rys.9 momo ii.=fx 0 ;. (1.28)Wobec iego

Imomo a~= ,q.SU1 L(f,ii) =T(lSUtO!.W ostatnim zapisie wykorzys- tano r ownose i k~t6w L(f',a)sinus6w sic (7 r - Q) = sin 0:. 7( - Pi oraz

przyklady

1. Oblicz!c i lo cz y n w e kt or ow y wekto:r6w a = [2 -1.1J b = [1 0 1J d 0sposoba.nu: a) korzyst '. I ' . . 1., I, WQID.a,n oa tl m w yc h . ,. . , k (1 aJ ) Z W aanosei Ilecsynu wektcrowego w ek to r6 w jed-Z,JI .26 oraa b) za pom oea w yznaczru ka. (1.27).

8 o Z ' l D i q zanie.a)i,x i= (2;- ; + ~) x (i+ k)

2., ~ ~ -= x, + 2'vL_ T .,. 7 - - - - _a,,~ jXi-Jxk+kxi+k k- .,. ~ -x - -z - J + k,

b) .. , kJ2 -11 =(-1 . 1 - 1 0)+(1 .1 - 2 ' 1)1 +1 (J 1

+ (20- (-1) l)k;;: -I -; + k ,2. ]unkt 0 masie m porusza s i~ ~ p r~ d ko ik i' ll ii po e okr 0 ~ . ," ......p . , . _ IU ~I""0- t "ly ~g:u :pfOmleDlll T.Zoaie1 . ,Em omsn " " 1 : 1 1 . J . > . , men: El l wzglE,idem. St0dka. okr ~\L.R . O Z ' U l i q z Q . t l i e . Ponrewaz pr~dkos'c jests ty cz na d o toru TI1~hU, zatem momentp~d l l pun.ktll wzgl~dem srodka olcrmu

m orno (m 11 ) = T x m u,= LL e z y na osf eo ' (zob. r y s . l O } 1 a jegowa t ta s e o o tr z ymu j emy presto z e w zo ruJ , . :: : trn'V. S I l a , dorodkowa F dsiala-jitca'na ten . punkt tworzy ~promieniernw o d z < ! : c y m -punlttu k i \ t (;lJ = n, a. Wi~mome l l t sHy fX test rowny O.

0'

Rys. 10

3. , Z n a . l e z c ~u.n:u~:wochwektor6w r6wnoleglych iji , odleglych ad siebie 0 I.Razwiqza:n:ie. Wekt"di 'Y aib rnaj"l: zgedne zwroty,a w i l t - I t dlugosc wektera cj es t. r QW Ila sumie dlllgosciwektor6w li ih, czyli

o I-x

c = a+ b _Punkt przylozenia 0 wek-tone jest taki , iem om o if + m om o b = O .

.. .c

By,. 11

W o b ee teg o ax, = b(1- X ) 1 czyli X =: bll (a + b). Punkt przyloieni. wektora.izna. jduje sifil w odlegto~ci bI/(o + b) od wek_:ora. ii. R ysunek 11 przedst&-w i a . su me d w6 ch w ek to r6 w r6 wn oleg lyc h a i odleglyc.h 0 I j j edDocwinierozlozenie wektora c na dw a wektory r6wnolegle ii j b odJegle ad siebie 0 ..


12/42

21204. Na rowni pochylej 0 k'\ge na.ch~le~i~( ) le zy pudelko 0 ci~~~Z~ Q. ,Roz}ozye 'Q .na l ' i l ! I l ! , p rostopacUl ! : N isi1Q rownol~iI .>_Fdo powienchni J l o w r u ,Jtl1zwiq~anie, Z konca waktera Q pro-wadzimy rnvmoJegJe do zlanycb kierun-kow, Z t'ysllnku 12 widac, ze

N = Q co s " F = Q Sl11 0'. llys, 12Za,pami"taJrny: aby Ioz iozyc wektor C na dwa lZa .dane kiarunki , ~urdl1je~yr6wnolegiob~k, rysujll_.cz korica wsktona C r6w.nolegle do tych kierunkow,jak ria rysunku 1.3.&,ysunekten moi~y :dnterluetowac na, dwa sp0soby;1) w wyniku dedania w e k 1 . r u : o w a j b otrzy-mu j sr ny w " kt o. r c ;

a+b=~2) wektor CZ G s t t : J . J rozlozony na dwa wehoryskladowe if i b , tzu.

1.6. Iloczyn mieszany

. 9 .1 1 5 . . 19

Rozwaam fQWll,ol-egloscianwyzrracsony pr;~ez.trzy wektory ill ii , ,wycho-dze z jednego wierzchclka (zob. rys. 14) j VworzC}ceklad pra.'WQk:r~tny.Wektor ii x b jest prosjopadly do pod-stawj, a . jego modul jest towny polu po-wierzchn i podsta.wy. Mnoz: pole pod-stawy prses W Y S O ' K O S C C cos 'P , otrsymu-j emy 0h ji 2t o sc r ownol eg l osc. ia nu

R U B . 1 ,4

(1.:29)Je *eU wek te r y ii, t. e twOIZ~ uklad lewo-skr~tny, to obj~tosc jest r6wna wartoselhezwzgl~dej iloczynu (it x b ) , c .

(J.", all a:.a b x c= b ; l ; ' b y ~ [L30)Uil: C'II ~~

C O la:t~o spra.wdz16~ro sp isu jac 1 ew '< 1:ip r a - W i \ : stron~ IOwnosd .

Pn;ykl~dW kry.szt.ale soli kuehenns] (NaCl) najmnjej~y element 'Pow!a.rzaj~y si~VIpIzestrzeni j E m t wysnaczony przez wekt0Tya = {lit, -fj, b ;::: l~l,.l1,G = [l l ~l,l ] , gdzie I :::: 3 . 10-10 m. Obliczy


13/42

22.,.. . 10 'ednruie,K tworsy Z osiami 3' iy klibt.y Towne

3 . Wek t( J~o d d. ln go s/ ~ r l. o :n /~ J " : (.lsi::..z l ;Worzy k~t ' " ' I < 7f/2. Wyy.na.ozycodlp 'oWle nlO '7[;J ,,'1,.,. .. -.: .sUadoW tego wektGra. j k~t, jakl tWOl'ZY Z osiq, z, OI'3 :Z wekLor,~ razykr6tszy.Jakie skla.dowe rna wektar ii, ktdrego modul wynosi '6 , j.ezell :W:~I'zjt4. ", , k' d n ' '' p 6 J rz . .dnveh bty a: - = (3 = = arccos( - ' 2 ) . Ilez. osiam; Z 1 1 1 a ra 11 " '', '", 0 / ' .wynosi k,t milildzy wektore.m if iosi~ z?

5. Wyzl ,1 aqzyc ml a re rzutu wsktora a : = [2,~, 4J ~a wek_:ol'ii = [-1,2, 1Jo ra ;f l sk Jadow , ! : wek to ra c = [ 4, O j 3j w zd lu z w ek te ra d = = [ 0,4 , - 3J .6. Wykaza.e, ie. tT6jk'!:t 0 wierzchotkac.ll A( -2, O)~ B(o,2), C(l,l) jestprestok'ltny.

1 . D aile S , , ! - wektory ii =2i + 3 7 j & ~ r ~ 2;' Na.rysewa te wikt :QlY, .~~t.!.u pr.zedwny -6eraz Bum~ ii+ b. o b l iczy li ' k " ll t mi~dzy wektbl'a.ntlIk J .0 .

8. Mam y dwawektory: (j,,= [-2,2,1] j b = [2, -2,1]. 01?lit;:zyi k'i:1:m.ii):d$ywektoraml oraz ich ccsinusy kierunkowe,

9. J a . l c i warunek n : ius z< l !s pel n ia Wf lp 'o l :r z qd .ne pun .k tu 1 > ( x - , ' Y ,. 3 ), ab y wek-tor l ' i :CZitQ' poc~'i-tek ukladu Q z punktem A(2, 3, -5) byl prosto:p:adJ;ydo wek,tora AP.

10. Wyznaczyc w m G sc ~ , dla ktOl!'ej wektor a . + A b jest prostopadly do 0,jeZeli ii= [-3, I, 3] , b = (1 ,-3,4]! C = [ 5 ,3 , - 2 ].

11. Podae wspol:rz"dne wieezchofkow szest;.ianu,ktorego jeden wierschotekznajduje sig w pocz'l !tku ukledu wsp6hz~dnyeh, a kraw~dz ie p


14/42

24

R 0 7 i d zial 2

28. Wrak samochodu Ci J masie WOO k g wci~any jest 7-a pomoca dzwiglihi ' 2 mjs na szcsyt nasygu l lacl tyloncgo pod k~tem 7 f : / 6 dQz szy ",OS!:Ht L ' '1 i .. .!. I-I," t na .prA7enie lin" di> vig u jeze 1 S J a ,arC1


15/42

26Z d ef in .i ~i (2.1) wiMe. z e pochQdnawyraaa s2ybJ.;oJc zmsan. funkcji f(x)przy zmianie x, niezaleznie ad ~ego,c z y:m j e st f u n kc j a; czy zmienja.j~c~:ti~w czasie powierzchni./! rosnacego li-cia, lkzb'j, Judizi danego juajn, ilo~ciO 3;

Podobnie 0bliczamy (cos:J) Y = - si n x.2. y = a r3, C I l !I .znacza d owol na s ta J: 'l !.y = lim !Jell: + AzJ3 - ax3 = lim 3ax2Ax +3a.,'l;(~x)2 + a(6x)3

6z:-0 Llz c:l.:'-O J l . : c~ a 6~O(3:z!.2 + 3xL1x + (ax?) =lax2

3. 11= = ZR, n +Ilcsba naturalna.

'z;adaniaKOTZ,ysta.j~C 'lJ d:efinicji,) pol:kzyc pochodn?t rUnkcji J ( : J J J w pu .n if t: ie : to , j ei el i1. f ( a ; ) : ; : o 5 ces z j Xo ~ nN . 2. f(x) ~ ~2 - 3 i xo = 0,3. j ( : c ) =1/;,; i X o = 1, 4. f ( x ) =:; fi i :C o =36.

U w . a g a . : ~a.jpierw licsymy 'pochoan~, a. potem wsta.wiamy war-tost X o.5. Qbliczyc tangens k~ta na~hylsnia ~5tY'CZ:oejde wy lH es u f ll nk cj i f ( ! l : ; ) =

: : = : ' 1 :2 W punkta ueh Xl = Q 1 :1:2 = -2.

2.2. pochodna sumy, ilocaynu iilorazu funkcjiNiechu = f( x) eras v = g(:t) o.znaczaj~ funkcje r6iniczkowalne. WOWCZ3 ,prawdziwe S I \ : n.ast~puj4:(;e W Z 0 1 :y :S t o J l l ! C rtLozn~ wyt'lp:yt praed pochodna, tzn.

d (Cy ) = Cdy .d~ dx (2.2)Cy) ' = C y ' albo

Pochodna su/my (Toinjcy) J t tnkc j i . Jeseli y = ' 1 . 1 , v, to1/ = ' 1 1 / Vi albo dy d'tl dvtj:x = d : z : d z .

Pochodn~ i lor:zynu funkcji. Jezeli y = ltV, tod ty du dvr / = ul'r) + 1 1 . ' , 1 ) ' alb 0 dx = dz 1J + ' I I . dx ' (2.4)

(2.3)

POnodna iloraeu / ' U ' I L k c j i . Jeieli y : : : : :u l v iii/; 0, todu d l1-11-11.-albo dy = 9 % 2 d% .dx 11


16/42

pochodna funkcji odwrotnejPrzyklady1. Obljczyc pochodn\ funkcji 1 1 = xl> + 3 x : ! + 5 z2 - 7.liozwiqzl1.nic..

2 . O b li cz yc p oc ho ,c ln ,( J funkcji U =~.Ro-{wiqPJ.nie. Przekszta.kamy pisrwiastek do postael pot'tgowejp= ~=:tlt =$3/4i6znkzkujemy

3. Oblic~c pochodna funkcjiy "" 3x~' ;2.

Rozwiqzanie. Wyra.iamy 11jako edpowiednia pot4\l!~ ztniennej x, a wi~cy = lx4 '1&2/3 =3,x_l4/3.Iyt = 3. _!i:1)'11/:l = 14x11/3 =14x3~3 "

4 . O blic zy c pochcdna funkcji y = xS si n x.Rozwil lZ l ln ie. Z g od nie z e w zo re m n a p oc h.o dn 'l : il oe zy nn m a . : r o . y

'l= = (x 3}'sin:z; + x3(SIn x y = 3x2,sin Jl +];3 COSiX.5. Z ro in ic zk ow aC f un k . t ,~_cJf2 'J I = g x , IW rzysta j ze w zcru (2.5).Rozwiqzanie.

( tg:c) ' = (Sinx)J = (sin ! l l ) ' e.OSX - sin.l'(cou:)'COB:' ( co s z ) .2

:::::008 2 :& + sin 2 x 1C082 x - (;082 X

,.,Ii funkcj?1 ro~nic: :1I l


17/42

R J r. n ic z k o I< '1 ll Ii & ( u JJ k c ji

2.4. pochodna funkcji zlozonejJeieJi funkcja zb~ona y = J[o(x )) jest okreiiloua, w pewnym otorzenlupunktu J; = X a, iun.kcja, g(x) j e st [ o in i c z>kowah i .a w punkcie x"=: : . 1 > ( ' 1 , a Junkcja/ ( 1 1 , ) jest roilliczkowaltta "Ii\' plUlkcie u = IkO. gdzie U o = g(xo} , 1,0 pm:hodn'IJr~ji doiofl@j Y o = J ( g ( : c J ) w punkcie x = ~o eblicsamy wedrog, wZOJ'U. .

y~~ :::::j'(g(.z:),1/(:Z;))",=;;o ='('lloJl(Z.)"="'D').;tory ITI0Z11azapisac W postaci

( d ' Y ) ( ' d , y ) ( a u )d J : x=rro = a u !1="a' a x . =lI:'o (2~7)Przy oblicsaniu pocltodnej funkcji zloton:ej bardso wyg0dny je st zapis roz-nicskowy prZ'eds tawiollY wsorem (2.1) . Na przyklad, jElM fnnkcja y_ma p0-stae 1 1 = j(11) gdzie: u = g ( v ) , a v = h(x-), to

t i y d r y d ' l ) , a ua : r : = du . a u ' dx'Zalett! aapisu tYPIl dyldx jest to, z e wiemy, wzgl~dem ktOrej zrrriennej TQZ-niczkujemy,Przyldady1. Oblicbyt dyds : ' j P . . s l i u= (z~ + 2 . ' 1 > +IIllhzwiq.zanie.. Fun~cj~ y rnosna zapls'ac jake 11= us, gd.zre ' U : :: : z2 : + 21 t + ] .Wobet tego

dy a u- : : : : 5 '1 1 .4 - = 2 z + 2du 'dz a ssukana pochodna jes t rQwna

ay dy dudx :::: du . dx ::::5u4 (2:c + 2) =:::::5(Z2 + 2 : t + 1 ) 4 ( 2 : 1 : + .2 ) = 10(x2+ 2 :r + 1 ) " ( 1 1 ; + 1 ),

2. Obficzycdy . 'Jj ( x _ 1 ) 3d : r : ' Je 5 1 1 = --x+ 1 .

dye lm

3 " QB l ll ;z y t poc.hodn~ fu nk eji 1 1::: sin 2 ..fi.R(}~(:a~ie, Jesli zapis~emy d~~ fnnkcJ'i Y W ]JQsta.ei ' 1 J ~ (sinv'iY', toYlJdzimy , zey = u2 ;gdzle U = SIn.,Ji". Z kolei ' !J , : :: : sin v , gdsie 1 1 . : :: : Ji.W e h e < : t e g o

dy dy du dv 1- = -.' -.- =21'c:0&1:1--d:n du ltv d; 2Ji'Wraca j , t' cdo zmienne j x, otrsymujemy

r f . , y =:2 sin.,fii . cos -Ii' _1_ = sin..fi cosVi = sin 2.jidx 2,fi...fi 2ft .

2.5. Pochodna funkcji wykladniczejZ e wszystkich funkcji wykladniczych szczegolnie interesuj'lca jest funkcja.lVykladnicza 0 podstawie e, gdeie

e = lim ( 1 + ~ ) I t=2 ,7 1 82 8 71 8 28 4 59 . .71.-00 n

Funkcja eX rna. tll: wlasnosc, z e jej pochodna jest taka s am& . jail: funkcja:d-e~ fl.dx (2 )


18/42

;1 2/J.t!, R6zniczkowanie funkcji loga yt' ./I U . r InllczneJ

" T I " ~ochodn~ logarytmu na . tura . inegoO b lt ( ;Z )l " . . . .rld~ In z , x > 0.

Kdr)ly~~aj~c>'i wla.sno5cJ e J J a / l > = t. l;> 0, m a m : v(e ln rt. J ' ;=:;; x , :: ::l.

Jednoc7Icsnie)l ;godnie z ,e WZOIenJ (2 .9 ) Q t l 'zymujemy( el U! !l )' = el nJ l! . (In:t) ' .

) 'o r o w n u j, ij ;C p r a w e .\!trollY o statn ich dw u W Z O T O W , u~yskujemy pochodI1~ Io -g a . r y t m u n.a:tu.ra.lnego

(2.11)

Korxysta.j' lL z reguly Iiczenia pocbodnej Iunkcji zJozonej (2.7). otrzyru ujemy.i!l(a:) = e .g(:) d9. (2.9)ds d:eWOOf ( 2 .9 ) jest szc2egQlnym przy.p.a.dkiem pechcdnej Iunkcji 1 1 = G,II{"')(( I :FO), roWI i l ej

(2.10)

W ' C .o r 1 1 a . po.chodn'l: logarytrnu przy podstawie a,gd'Zie a > 0, rna posta1.(logo. x Y = -in1 .It (t

p) 'zyklady1. Oblltzyc s' , jdli Jl = z ln x Ix > O.R o z : w i Q z a n . i e . Stosu.ii:C wzor na pochodna lloczynu (2.4), m am y

dy ' = : l: - inx + In X = 1+ In : r . .c i l :2. Oblitzyt 1/, jsLi y = (In x f 3 , x > O.RQzwiqzanie. Niech g(x)= lu r , w te dy , s to su j,! :c w z6 r n a p oc h.o du i\ f un kc jizloionej,oLrzYmujemy

d d 3(ln x ) 2- (lux? =3(lnx) 2 -lnx =d:r dz x

g dz ie I n ,a u z n ac z a l o g ar y tm naturalny, c zy li lo gar ytm p rz y podstawie e.

PrzykladyL Oblkz'yc pochedna-Iunkc j l 'J I = e-b.ROZWWjZflme". Osnaczamy z = -2a:, wtedy y = ~J


19/42

3 , Z ro i. ni (l ~k owa i f un k cj ~ '1/= 111(a:2+ 3x + 5) ., Q znaczam " u =.z;'l +3x +5, wtedy 'Y : :: : In u . Po zastosow~nillR()~"" I l ; iq iumie , 01

d,y dU du.d= a ' l l ' t / , xotrzymujemy

dy ~ ~ . (2 $ + 3) .a x lLOstatecsnie, po podsta.wieniu ;a u, mamy

d 2 ~ 2:1:+3dx in(o: + 3a;+ 5) - 3;2 + 3$ + 5Z au ww .m y , ie o sta tn i wyttik mo i na . , za ,p is ac Q:g6lnle

yJ(lny)' = -,Usk~d wynika, z e (2.12)Wz6r ten prsydaje si~w6wczas, gdy funkcja y rna. postae '!l = ! (X ) ! l ( iU).Korzystaj~~ za.tl!.ID ze wzoru (2.12), policzmy perJ,locL!: t " l ! funkcji y =. '1' l3;;;

PodsumowaniePochodna funkcji /(x) jest

fl(x) = ..! ( : r . ) = lim J{ x + !l,x) - I(x)dc e lI.~O llxZasa .dy r6znkzkowan .i a :Je8li 1 1 = fez) g ( : c ) , to y' = J'(x) g l ( : l l ) ,Jeili y = J(:r;)g(z), to yl = F(x)g(x) + I{x)g~(x),l e S J j y = f((;)) t gdz ie g ( x ) # O J, to y ' = 1 '( :1 ;) 9 (x ) - f ( :r .) g '( x )9 g2(x) .Je8li 1 1 = f [ g ( : r ) ] . to 1 1 = J '[ g (x )J . g '( z) .

V l K i l u . d U f > nilkt.6ryt..h r 1 J n k t J ' i eie ... t h. 'H .en a.rnycFlll'lkc.ja. p()chodnaI- xn 1lfl;'nl-lc"l: e~n r c all In aIn Illi 1

:Jj

logQ 1 : . I l i ]"In 11sin:t co s Itcos ;~ -sln~tgx 1cojjlxctgx 1- f in '! !: .;arcsin :t Iv'1-~(!arccos ;r ; I-Jl-rarctg X 1Hzlarcctg X 1-1+J;1

Zad.aniaO b l i l ; z y c pochodne na . .sL~puj~cyth Iunkcji (a , D , C, WI r . p - stale):1. J ( t ) = a t ' } . + bt: 2. J ( x ) = (2X2 + 1) sine.

J:3 - 13. !(t)=wls-ill{uJl+IP). 4. /(;r) = !t+3's. J ( a ; ) = Ja -t (b + c.c)3. 6. J ( x ) - : : : ~ - b sln 2 z ,17, ftt) = tgwt. 8. J(x)=~.9 . f ( . x ) = e'u', 10. J ( x ) = sin4' l : . r .

1 1 . f ( t ) = In~. 1 2 . / ( : r )= lnCOih .13. !(x) =: In(ln:r) x > 14. f ( z } = IsiTu + /i.1 5 . f ( x ) = efliu1;r. U s. f x) = Jz/iJi.


20/42

2.1. pochodne wyzszych rz~d6w2 . S . znajdowanie najmniejszych inai .wartosci funkcji JWl~kszych

' " \ J " > y - -I'0

R,s.17

Pochodna rz~dll drugiego lub dru~i\ PlJ'tiliodlIl}[nnkcji 'I I = I(a;) nazywamypochodII

P(c ) = 0 f"(c) > 0,t o I u nke ja f ( x ) rn a w tym punkcie.l ok a ln e m i n im um f C c ) = {nun


21/42

3

oraz

przykl.ady1. Ze W'szystkic.a prostok~Lnych stolOw 13 jednalrowym QDwodriep wyhra.csto1 0 naj -wi~ I!~ t! ' j powierzchni .Rozwiqzante. Jeieli jedan bck s tc lu Q z p_ ac 2y m y p xzez x , te drug] rnosnawyrazit jako p /2 - z , Pole p:tastok~ta. S j e s t wtedy f u : n k c . j , < ! : zmienne] $Gzyl i

( p ) P . ~Sfx) := X 2 " - x ;:;: 2 3: - iii Fullkcj~ ta osi~a eksrrernum wtedy, gd y jej poehedna S' jest rdwna 01 zy l i

!!,-2x.=O,2a stltd . r : ;; ;p!4. Druga poc;:hOdna 8" = -2 jest uj amna , wi~c fun.kcja - S ( x )rna wtedy W;;LTtosc maksyma. lJ : t~. Ea.twd pelliczyc, ze d lugosc drugiegc bokumu si s i'i !rewnac takie p/4. T ak w if ilc z e w s zy st ki cb p IO s to k~ to w ) tym sa -m ym abwodz ie na,jw.i~k$ile pole mil : kwadra t .2_Z kwadratowego kawalka blaclIy 6 bokn a wycieto na-rogach kwadracikio baku :r; t < L k ; ie p o Z a@ 4 i! cj u brzeg6w izh i towa .n1u o t rz y rnano prestepadle-scienne pndelko, Jaka powinna bye wielkoU: wyd~ty~h kwadrai:.ik6w.ahypudelko mialo najwi~ksz'l- obj~toic?Rozwiqzanre. Pudelko ma wysokG lsC IOWl l; ! : ill ikwadratowe' dne 0 bokua - 2:r (zob. rys. 1 8 ). O b j@ t o se pudelka V wy:r~z imy wsorem

v = (a - 2:z :lx , a-2x.

pole pO' \ li ie[ 'z ibni ca. ikoiVi te j w a),u . S w yn .ia !Ii~ wi~c W'l.oremS = 27trh + 2 11 ;1 "2 : ;::: 2 nT ' 2r1 + 2'n"r2,

S =2rcr2(2t + 1).Po podstawieruu, do tego wzeru wyra.Ze:n1a. na r ipo up;rOSZCZenl l l mamy

a~ 2t+lSet) = v2nV2 W'Q"b l icz ;; a ,mye ra . z pochodn \

:lr.? 2 t2v 1:" - (2 t + 1) . 3 ' Vi5' ;: .v'21tV2 WPo przyrow_naruu jej do zera o t r zymujemy rOwna.n.ie

2t - ~(2t + 1 ) = = 0,3 " U . . chodna. S'(t) zmien.ia.znakk t6 re g ow zw i ,! za n .i em j es t t = = L Jes t rosm e, po ."" .ptty p 'u ej sc iu p rz ez t = 1 z u jem nego na dodatni, a. w~ d l a t e l: a .r t~. .b d" konomu:zne pWlZ. . . . 1 1 1 . & , 1 \zmlennej t f un kc ja o si ~g a . m i nl ln um . NaJ at" Z le J e "boun: ")zatem ksztalt walca 0 wysokosci rownej s redni cy (" ,walec 10WDO y.

czyli ...~~ ~ ~;8: 8 B B ~ ~~

.~~ I

av ( ll ) : ;; ;;4x3 _ 4ax2 + a?x.

Ja k widzimy, obj~tosc jest tu ftm kcj


22/42

4 0

4. Biedronka j iuczek ~paceruj~ wzdl~kraw~d.zi stoju a wynuarach 1x 1 ill .W pewnym momenc ie s~ w s ' !JSie~i~rogach, iuezek smiersa z pr~dkos~,!' ( )= :2 em(s w StTOIl1~ bied:ronJu, a. bie-d ro n ka u c ie k a z pr~d_ko.ki~ Vb=1 r.m/s(20b. rys. 1 9 ). K i ed y o d le g lo sc ~~~Z !b i ed r on k ~ a z l 'I c zk i em b~dzie lIaJOlllle.J-s za. ? ObJ icz t~ odlegtosl. Ry s. If)

RO'zwiqzanie. Polosenie biedronki @pJsujernyza .pomoc~ wsp6;rz~dn~j ~,a :iu cz ka - w sp 6h z~ dn ej y. Z go dA ie z warunkaml aadania wSPQ:trz~dn~ t~zmieaiaja si~ w csasie wed lug wsordw

. x ( t ) = ' iJbt ,y(t) = 11- tit,

gdzje przez a oanacsona zostaia d lugos , kraw~di s-toru. OdJegfosc d mi~dzytymi owa.damizmrenja si~ w czasie zgodnie ze wzorem

Po o b ll ez en lu pQc .h o dn e j iprzyrownanirr jej de ~era . otrzy,mujerny2 1J lt - "2v( a - vt) = 0

j ostatecanis avt = -;;--"=7): + 1)2'a p o w st aw ie ni u w i el ko sc i I icabowych

t = = 40 s,N aj m ni ej sz a d dl eg lo sc mi~dzy z'Uczkiem a h i e -d ronk , !: :wyn ies le

d = ';402 + {1 00 - 8 0)2 em = 20V5 em .5. p~ ~e~8cowoBc A prowadzi szosa w k ienmku pc:Hn.ocnym. MiejscowoscB a&jdu_Je lilt na uboczu , W odlegJosci DB=b od tej sz osy , a odcinek AD

, . .. ... (J,. Turys1.a . , i rl '1 ;c y z A doB,"~tro"''' k - M' idsiJ " " . tlrogi w pun cie . II Zl ed l o d z , J z,5 :tiel.aj polaroi wpr'ost de punkin1Ia.p r k tQrym n r ie j$ CU pow in ie n skIltic,9 W . _ ) I . najkrotszyrn czasie dot:rze.c.b y W J " " - . d ",rl\"~.. , d, 11 J e S u p I ' ) asosie 1 Zle z pr~-: ~ 0 a lpr~HkDSC w~dr6wk i prsez pole:s C I l \ : -1 , - 2. u _ P f Z Y c:~m 111 = = V2w - y n 0 5 1 ~I

'nz(tnie. Q z na cz am y Ilrz _e; 11 -odcin ,ek , lto{), p!zejdz ie- tllrysta w~dtlJzRo z ' W t ' 1 : rt--"'---;;;---;----f-;;- (AM := :t), wtedy OM = (J , - $ ME = y(a - :1:)2 + b2 PRy ~a . .-_s~li)sy .d . _. - t 1, dko' . -" iu ie hrysta 1 Z1 e po szosre ze S a . ; L % 'P r~ SCl~ V : t , abliczam y esas tlI Q z e T l l 1 . .,. d . AM .l_- k'bny na przeJsClt:i: -row. ' oraz ezas t~W~~urOW 1 p rz e z p o laPQ ll z e: : z : .)(0, - x ) ' l + & 2h=- oraz & 2 - : :: : : - - - "- - - -' - -- - _ : _ _ - -1)]. - 'Ill

o Ba M

t!1

R ' ! } " ~ " 2 0

' C a ; l k ( i ) w i t y ( , > Z a 5 1 . W'i jdr6wki z A da B j es t S 1 il I ll i< !:t -:::::l + t2, G~UlD J(a-x)2+b2

t= -+ .VI 'lJ2'1)ri) .kt1lj- t JU G funkcj' t, smiennej x, o b li cz an ry j ,e j p o ch o dn < l: ipr~yr6wnl1-j e : 1 1 l Y do zent. Mamy kolejno

]_ + _ ! _ . . 2ea - z)(-l) . = 0,VI V2 2v(a - x j ' i ! + b 2

a - 7: 1'2- -~ := :=~~~= --!J(a-x)'2+b2 'Illvi(a - Z )2 ='l.l~(a - ; 1 ; ) 2 + b2u~,

( 'V I - v~ )(a - X ) 2 := & 2 " 5 Z pst %1> ~zepochodna Iunkcji t Jest ujemna a. li XL

fnnkcja. t(x) o si 'l g a. m i n im um w punkcie Xl-

~Wl/.lijr' fli '!.,lmm"'jSqyc:h i r!l. jw),


23/42

12

Zadan_ia_H.. o I p r ze c il > to r ia ! i l w i e . c z~ sc i. Z j ed ll e; j c z~ s_ ci ~ .r ob jo no1. Drut Q nrugoscr " '. ' d l . , .. k 'd d &,'. . d . ., - kG lo J aka. ) jo,wmna bye . ugOf i ! : az e.. ce~cl,k"'a .Mat, z rug teJ . - ' + ' al ?aoy sUlD,apol wymienionyc l . ! ftgur byia mIiUIU . ria:

C 11__. 't ' ~ , . . j , J r butelk i do s :zampanl l : I1 I , Q z n a :! lwi:"l :~ae.z I i c s b a WS,-2 .. ~"UJWJY II:US'-;'produkoWaJl-ych butelek N Zit p om o c< l w zo ru_ 8 0 0 'Q O + ! ! . . . . . + 5 .K - N 200

Ile butelek trzeba wyprodukowa~, by kosz t b y J - najmniejszy?3. Mlasta znajd'llj,!: si~ po dwoch stronaeh ~eki 0 szerokosci d. W kt6rym.

miejscn na.lBzy wybudowar most p rz ez I 'z ek ~~ a ,b y p ro je kto wa na d ro ;g a.,b t- C ll ~c a t e m i as ta b y! a n aj k. r6 ts za ? Miaste A ~naJd uje S l l' ,l W od.legJaIlla od brsegu rseki, miasto B zas - W odleglosq b ,a .< : b . OdIegfoac: mi~:.dz y prostymi pfosfopacilymi do rzeki.iprzechad'2Y.mi pI'zez miastaAiB wynosi c.

4. Okno rna ksstal t figury wypuklej blildej SUItt~ llroBtok"t3J ip6lkola;,kt6rego sre.nnk,!jest gorny bok prostokll-ta. Obw:6d okaa jest rowny p.JaJUepowinny b ye wym .i a. ry ekaa, by prsepusaczala ono jak najwi~cejsWlaUa?

5. Kalan jed.zi~po prcstol iniowej drodze z punktu Dw kierunku punktu11 z pr~dkQscut 15 km/h, DB = 14 km. Na prostej JJA, BA .1DB,W cdleglesei 2,8 km ad drogi DB znajduje si~ dam A I do ktoregokolars mns l dotrzec jak na ] wczesn l .e j . Od drogi DB d o d orn u A we rna.ia.dnej sciezki, po kt6r~j mozna jechat rewerem, natomiast dam jes'tdost~PDYdla pleazych. W Jakim punkeie C drogi DB kolarz powinienzejsc Z roweru ip6 jsQ dale] piechot(l Z p l''t dk osc i'li 5 k m /h , a by jegopodr6z do A trwala na.jkn5eej?

8. - z kawa.lka drutu 0 dlugosci 11 2 m n al ez y z ro bic model prostopadlo-Scla.nu 0 m o ili wi e n ajw i~ kg ze j o bj~ to Sc i. Podae dlugosc krawedsi pod-sta.wy tego pro8topa.dlo~cia.n1l, jesli wladomo , ze jest ona kwadratem.

T. Jaki ."Ycinek naJeiy USUD ~ kola. 0 promieniu R, ab y z pozostaiejcr.tici m o iu a b ylo u tw orz yt lejek 0 najwi~ks2ej pcjemnoeci?

Z ' -.lcowa,1Ie~o kloca, ktorofl;D p rz ek r6 j r na I 'H om l cn '1 ' r"l.;. t.akB ~ VIa!.. . . . li':IJOZy .1 . . . . wy .. . bcJk~ 0 pJ'%l.!kwJu proslo4tnYfJi a by rn i~ ht naJ'w it"k C I< . l i t; ; . ' ( " " !l2.~ wytrzy-. r o a J ! ' > s c .n a ~gm aJlJe. Jczell ,'I:. Ortn~CZ~t k ro tl l ~ Y b O R , a . y dlnifll '.Y b o kQstok< !!ta,; to w ytrzym a!or;c belki na zg inanie wYl'a.za. s ip ' w s o re rnp r , t , ! ) - . :W { 2 1 , 1 /) = A ;~ 1 J "

p'o dw6c il s tr on a ch prostclinlowe] szosy l i '-Z 'I ;dw ie m i ta jl i. cawo ik i A '1 1],9. k~6re na[ezy pol~~ye ~~.blem clektryc:mym puccinaj,\cym BZOS~W PUII-

\ccie I(. Odleg!oac) A. I 1 3 o ~ S,?:0SY' s~ r6 wn e odpowiedni.Q a i 0; 0(1-~gloSC IZllt6w punk~ow A IB ~'a szos~ wYJlosi i. Wyzllacz'jc zwiiJ:-zek anailty(;zny pomll~dzy ki\t iLffiJ nachyletl ia odcinkcw AK I BK Iiniie 1e 1c tr yc :z M j d o s zo sy p rz y z ac ho wa ni u warunku m in im u m k os 7- t6 ", b u-dowy, je;i;eliwiadomo, ~e .kQ8Zty przeprowa.dzenia. je~nego me-Va. kablao stro m e A l P 'O stronie B ll~ W stceunku 'In : 'Ii. S ze ra ko sc a zo eyp .,I l lDzna p o m l ' O ' < \ : c .Cena P. ja.k~ usyakuje s}~z.a J e d n o . ! i t k f C pewnego towaru , za.leiy od

1 0. w ielk osc i. d qs-tawy :t ( w tonach] zgodnie ze wzorem10 + 4:t

p = : 1 : ( x 2 + 50)'1 i T s t a . l i e , jaka, dostawa zapewnia n a , j w i t k s z y utarg.L ba titt'l>tjpc do szpitala nAego dnia epidemii oplsana jest wzorem11. lCZ. r J ""

L = 10 + 3 0 n - 3 ' h . 2 .K to reg o d nia P l:Z yj~ to lla.jwj~cej chorych?

12. Wztilui rseki 0prostym brsegu s~ustawicne na.~o~ w odl~losd a ; !Odl l 'I. dzy n am lQ tam i M kh a.la IA m w yn os) b. W kbr7;egu. eg OSI, ; ml~ . ed ' .. d. . powinien Michal czerpac wod~ z rzaki prz pOJsclem 0rym rrueJsc'U . ikr . '1uamiotu Ani , by droga, kt6r~ musi przebyc, byia naj otsza:

. . ' . 1 " st w teatrze tyro wi~ej13. Wla.scicicl teatru zauwazy i1 ze un ciep eJ Je ... kt na l iabylod6w mose sprzedac w czasle prze.rwy. Z a1ez~osc. fun Y Jkupionyeh lodew N o d l em p e ra .L u ry t rna . postac

N =500 (1 - 7 ) 1. . d t ra.tury wedlug Wloru C = 5'a . koszty oguewania C zaiel'l 0 empe ya k wla .i c ic ie la . e a tr aJaka powiuna bye tempera.tura w teatrze, by z 05-'". . . 'ii l o c i y ,po , :61.z e sp rz ed az y lo d6 w by! naJwu~kszy jes

45


24/42

C . t polo~'onaw w]erzcholkac:h kwadratu 0 bokn ct pol~14. ZLen' mras Ii I" '" .' " . , " c l ta k by byro be~posrednJl .~ poi~czenle ml~dzykazd" l :aono 8JeCl

15. Przekrc] domkn 1?uteroM 1ego, rna, ksstalt Pl'osto4ta ABeD (sob.rys, 22) 0 powierechni S, Wewn~t.rz Lego prGs,t;>k'llta nalezy zbudo-waG dwie sc ia .~y dzialowe HE j GF, p rzy esym G.F = 0,4 AB, ahyuzyskac t rzypokojcwe mieszkanie, bjor~c pod 'UWa .g~I 'e kQszty budow,yj ed ne go m e tr a. s ci an y q zi alo .w e j ikia ,ny zewn~tr:tnej posoataja w sto-SUJI.kU 2 : 3 . Jakie po win ny bye wym i a ry p r os t! 'J K< J: ta , a - hy k o sz t bl1dow-ywszys-t .kic,h scia.ll byl najmnlejsey?

16. Statek r n a p I 'z e pt y n, !: c od1eglose d m U merskieh. Koszt pal iwa . zu iy -wanego w cI1&U godziay jest proporcionalny d( J kwadratu :pr~dkoB~jstatku, moiDa go wi~c wyrazic wsorem h'l. Wyna.grodzerue ,zalogi sagodZjD~ p ra cy ru e z a1 eiy o d predkosci statku, moin:a je satem wyr&z icpr.zez k', Obl iczyc, przy jakiej pr~dkosci statku (w w~zlach, czyli JJ1i-lach na go d z in f ;l ) s um a wyda.Lk6w n a p ali wo i na wynagr .odzen ie za . !ogijest najmniejsza,

11. Wydajnosc pra.cy w p : r acownlb zmienia sj ~ w d~u 8 -god z j_nnego dn i apra.cy j po t godzinach 05j~a, War1;r)scw = 50 0 + 3t + 4t2 - f.

o kt6rej godzinie jego wydajnoS~ jest najwieksza, jezeli rozpocsynapreq 0 go c lz i ni e s io dme j ?

W jaKiej o dJ eg lo sc i o d o kr 01 !g h! go fOtOJu0 protuienju a oak; . ~ ._18 . ! p O > a by o sw ic t le uia bl"zegu. stotn brrlo n,lI,j'lpsZ'o" (N '" . 'l.Y. l1II1~e ,1:1(':t. u u "" '. . . "', a..~ellJe oswist-. , w Y l '< : \lZ a . l>lJ~ wzcrem 1 = kf!.1fi t P / t2 I > 'd z i '" 0" , kt e ] l 1 : r u . ' . , . , . . ' n If' " n a . c z a . ' l < t . narhy.LeILia pr"llru;~l. 7' - odlegtosc ZT(1~l"" !'lwlatta (l)d o sw i 'i !L lo n eg o p u nk tu ,

k - swiat lo5G. )19 . POW iffff5;bn: ia . ~?,dl 'ukow la sz G zy iu ie p rz ek ro ju w o da z a.jm u je po -wier~chPl~ S " a . jej poziom wynesi .h ?

2l . Chlopiec rzucil pilk~ t e n i s . f l w ' \ J c , Polosenie pilki po t seknndach opisuj'lwzory x=3t, y=20t-5'l'Z,g d , z ie x iy ozna.cza. ja .: adleg!os!: i ( wm e tr ac h ] o dp ow ie dn io w kieru.nkupaziamyro ip ionow ym ad pu nk tu w yrzn tu . Jak~ maksyrnalna wyso-kaIK.o~gnie ta p.j[ka.iW' jakiej odleglosci b~dzi.ewtedy od ehrepca?

23. Do ir6dla pradu elektrycznego esile e- le .k t romoto rycz~ej 6 . i .oporz~wewn~trznyrn 'I' podlacsono odblernik 0 oporze .R : Jaki ~o'?ru~n by~o p or z ew n ~t .r .z li lY R , aby wydsielila sift ja k [ L aJwH~ ks za 1 1 o s~ c.lepla. .

.1 L . l ' Q = iRt gdzie 1oznacza(Zgodme z 'prawem Joule a- enza ciep 0 '... d t aw a Oh....a. za S R tr = . 1 1 . )n a,tq ~em e p r~ U, ' - c za .S , z pr '" IU1

24 Ja k p.ol"!:czyc n jednakowyci l oguiw 0si le elektromotorycznej tioporze , b d", one: zewn~tnnym R popiyn~wewn~tr znyn l 'r 1 aby w 0 WO Z1I : '0 o~ . _ V r =maksyrnalny pr~d. WykoTli:l.c ob ! ic z er u .a d l a n = 24 , E - 1, 8 I: :: :: O, 3f2 , R =O ,S n.

1 . . . . " dz' tk 0powlerzchni 100m2 pny1e-2 5. Z am lerz am y ku pic p ro sto ~tn ~ 1~ EC . d ialki by koszty O l I O -g a j'l c, ,\ d o r ze ki . J ak nalezy dob rac wylUla.ry Z Idzenia byly najmniejsze'!


25/42

462.9. pochodne funkcjiokreslonej r6wnaniami

parametrycznymiJesll i: iY si t lunkcjami ci


26/42

ZadaniaOb li cz y t p f I; ;d k os e i pr7.)sEiesze-ni~ punktu, ktorego polosenie okresla pro-mien wodz'!ty i 1 , t ) = : r e t ) i+ y(t)j. gdzie:1. xV) = t, yet) = 2i2i2 .r(n =bcoliwt, y V ) = = r s:lnwt, b,f.:. W - 5 t a l ~ ;3. z(t) = l'Ot cos0., y(t);;: T 1 Q t sin a - g t " ! ' } " Vo, C l: t 9 - stale.

2.11. Pochodne czastkowe irozniczkiR o zw as m y f un kc je d wu zmiennycb f ( 3 ' . , v) . Pochodnq czqstkowq rz~du pierw-szego tej funkcji W punkcie (3'.0. Yo ) wzgl~ern zmienuej x nazywa .my gIan:ic~

lim J ( : t a + tJ.z, Y O) - 1($0, y o , ) .Lu';- . ja,kzwy~ 'pochodna Iunkcji jednej zmien-nej ~. ~rzy czym zmienJ 'l~ y traktujemy ja,k sta!y parametr. Analogicznied ef in i u jem y p oc ho dn il cz~tkow~ funkcji f ( ' : l i> y) wzgl~dem zmiennej y:

lim 1(3:0, y o + flU ) - 1(:0 . Yo)1l.!;I-O fly (2.23)

P o ch o dn e c .z ee st kow e f nn k cj i f( x, y ) wzgl~dem. zmienae] x imiennej 1 1 ozna-czamy odpowiednlo symbolant i

PrzykbtdObliczyc poehodne c.ztkowe funkcjia) f(x.V)=x 2yJ+:rslny! b) J(:z:,z)=z2z+:r+ez,Rozwiqzanie.a)

of 2 2lJ y = 3 x 1 1 + Z CQs y;b )

8 1-=2zz+1o : z 1

zadllnill. 'i'l> Oc ho cllle c1.~s1.kowe w z g l f ; 1 d e . m kaidaJ ' Z O b l\C ZY c ~ IDlenneJ wyst~ujl lce j w da -

l I e j f u a k : C J l1. tl:;; :dn y - e~/Y ,

i J . - ~ +1Iv'i .3.~ .fi(:tY)~ 6. 'U = y3 e ll:'lI + ! I .5. 11 - : : : : - , ,1.2 1 : : : :ht(!l;+lny), 8. z=ysin2 :r;.

9 . Wy~ a .C ., z e w r :6Wll_cmlu Cla"peytona. pv =RT, gdzie p o zn ae za c is ni e-ni e1 V ~ obj:';ltosc, T - temperature W skaJj Kelwina, R - s ta J '~ gazow , \,Uoczyn p.ochodnych cZC I; st k owyc b . r n a. w l a. sn o sc

8p 8v a T-'-'~=-lu v a T a p .z b ad a t s zy bko sc zrnian obj~tosci stozka V:10 . a ) p:rzy z m i a . . - r u e promienia podstawy r 1b)przy zmiame wysokosci h.

B.OZnic_zk~funkcj i y = . J ( a ; ) nazywamy i loczyn. pochodnej tej funkcji priezdawo!:ny j:ilzyrost a : z ; zm ie nn ej n ie za le iu .e j iz n a- cz ar ny s ymho lem d y (ad lac.d i f f e r e n t i a = - r6iirurnj.)

dy= d I C : z : ) : : : : : J ' ( x ) d : t . (2.24)R o i n i G z k l i funkcj i mozna zinterpretoVia.C w n a.st wu j'l:c y sp os6 b. N ie eh k rz yw anarysunku 23 przedstaw ia wykres Iunkcji y = f ( : r : ) PoprowadZmy styczl lCl ;A C do wykresu w punkcie A. Z troj-k~ta.ABC otrzymamy Be = ABtgo..A le AB = f'..z := d : c~ tg a r6wna siltpochodnej y' w punkcie A, w i i C C Be =: . ' i f dlt = = dy . R6zniczka . przedstawiasatem gi6w~ C Z l ( s c przyrostu funkcjiA y = BM ijest wi~c wa.rtosci~ prsy-bliion" przyrostu funkcji t!.y. Przybli-ienie to jest tym lepsze, im mniejsza.j e s t wartoSc dx.

A:I

51


27/42

Oznaczenie pocbodnej w symbolac.h roinlezkowychdy = df(i$) =1'(:, ;)dx ax

wynika ze wzorn (2.24). Jesli 1 J . 1 l 1 i ~ , Y l i c :zYG?oChod~e_, till znajdewanie r~~-niczek I D e powinnn l l prawiac zadnych Jd:Op01tD'IiV. Ohlicz.~!..~J~~k~dowm roe-ruczkll {uu.kcjj y = :t2, - 3t!:t1 dla x = 4. Pochedna tel J.tli .....cJ~ y = 2.$ - 3 ,a wi~c r 6 Z n i c : z k a . WYFaZa s i l l l WZOT~m

dy = ( 2 . x - 3) dx.Weimy d = 0,1 jalw T6ZIdGzk~ zm ienne j niesalezne] . 1t6in .iczka 'Iunkcjl jes trdwna. dy = (2 4 - 3) . 0,1 = 0,5, natomiast przyrost funkcji l:l.y w tympunkcie wynosi 0,51.Obllczmy ri::linkzq funkcji 1 J b'\ldej $ 1 I . m q lttb roi:riiG'g dwoch funkcji y e i l )=u ( 2 o " + v ( x J . W6wcza.$

dy = ( u . ' + 1 / ) d x = v . ' d a + ' I J ' d t l : = d ' ! . / " + d - v ,zatem

d(uv) =duciv. (2.25)Podobnie mosna wybzac , ie la)zruczki i loczynu j iloro..zu, fun.ktj~ wy.tq;ia;j '!is i~ wzo Ia l, I li

a(uv) = ' !:I au + udv, (2.26)

k funkcji zna jduje (:Zllls,to Za.stosowanht wtedy ady w ' ll...,. il:Z it . h . ' ~ l e KOBel wy -R.tj$)1. "e w e WZ;OIZC poe odz< !J z pomlarow, a w i~ c slJ: ob arc zo ne n ew ny rnP u)ll" 1 1 . . ~~~~ . T 3J,..d wie I\.osel wyznaczonej 313wzoru :mo ioa w6wcza.s blie I.de ln. )..." . 0 tzyc 0'iC)-bi~ . e z roz lUczkl .rr.Jsf,a .)~ . , . . ." am Y to na pr~yldadzle wyz.naczama przyspJeszenla .z ietmkiego fJ Z~W ik ~ w ah .a ula , rn atem 1 :ti,y cz .n go , O kres drg an T waha .i il a. ma tema tyc'Z -0 J I l0 'c : 4 ; ~ dlugesci l wynaB!n e g Q Q

T d o r f f , r,k;;d 9 ~ 4n 1 ~ ." .' 1,t> iUll1cji g ( I,T) mozna za.pisac w -postaci1 toZh ICZ Jl '. ~ .8 g B ydg = F J l d l + 8ra!r

Jaieli r n - a .k s ~ f :U l .a l n y b l : :a : d bezwzgl~d l lYI jaki m o iem y - po pe bl ic p rz y p om i ar zeI.. ~',.'ll OZJll),Gzymy praes 6.1 a maksyrnalny b1


28/42

Rozdsial 3

Calkowanie3.1. Calka niaosnaesenaMoma Itwl)~ye drswi, a naJi t~pme je za.mkn~c. Moina podniesd tiezb~ d O l -dat~ de kwadra;fur a z wyI l. iJ .ruob l i ezyc riodatni' pierwiassek kwadratowy.W obu przypadkach po dwu dz:i ala :n.i :ach wJ:a.camy do stanu pm:z~tkowegb.T ak ie d w a d zi a. ia .n ia n 1LZ y- wB J n_ y:zif1,faniami wza jemn ie a t i'w 'rO t n ,ym i . Prsy-kladami t a . . . k l c l l d~alaii s~: dadawanie iedejmowanie, mnosenie idzieienie,funkcje y zz: sillz j x = a.rcsin y oras W;ieJ.e.bJ:nyth. Wszcz g61nosd dziala-Diem odwrotnym da t6iniczkowania jest ealkowanie, Mamy na przyklad

r6:bniczkowaniecalkowanie

C a !k il n le oa na cs on a fllnk.cji /(x) ~glej VI prsedsiale ( e L l 0 ) na .zywamywyraienie F(:z:)+C, gdzie F'(x) = fex) , a C jest dowolna s t a l C } ; , ieenaesamyje J f(x)dx (G zy ta rn y : Ga Jk a .f ad x, dx). Marny satem

J / (x)dx = F ( : z : l + 0, jeiili F'(:r;) = 1 ( : 1 : ) . (3 .1)Funkc,k f(x) naeywamy funkc j' l- podc a .l kow i } , tr - zm ienn '! c a .. lkQwa ; ,n i a; f e x ) ' d i r e '- wy r a. Zen .i em podc al kowy rn, a . Ffz) - funkcj~ pjerwot.n~fuukcji j(z).Za.p~ ta jmy , ie a na k c al li J j r6znlczka d$ wystwuj ' l- za.wsze r azem, jaklewy j pra.wy nawjas. Zgodnie z, definicj"l; c al ki ( 3. 1) ikO I: zy st a. j z o z na ez e -R ia F'ez) =dF(:n)/dx., ma .myrr f-;{Z liz =F(z ) + Club dF( : r ) = F(x ) + C .

' " " Jv ra r ,(3 , nczywis ty lakl, ie w wyniku rozniczkowit.n.i .a, ana. Z il .'pj" "./ , ! " : b t l Qsti. l, t(LI a.nia fun krji P(:r;) otrsymujemy t~ IIMll 0, a I - 1;inaJ cos x dx = sin z + G, J si n X 00 = -COS:E + C;J _ _ _ _ _ 2 : _ dz = tgx + C 1 f - . ; - d : z : =-ctgz + C .C:QS1 x srn x

.. 1. ",' e pra 'UT" lJehs troa row-Pedanewzory la-two sprawcizlc p rz ez z ro z ru c zl \. ow .. .u " -J .Il ln. Qz.asem, aby uproscic zapis, opuszcza sif, lsta.l\ c.alkowa.rua. .

(3.4)(3.5)(3.6}

3.2. Zasady calkowaniaS la lq A mozna wyltt czyc p rz ed z na .k c:a lld , tz n.J AJ(x)dz = = A f f(z)dx.C~l'.- ( ,. . ). , sma'", (ro ' in iC1j) calek, czyli4WI. 8umy ro znzcy Jest rowna u ...J [f(") 9()]dz ~ J f()dd J g{z)dz.

(3.7)


29/42

. . d /k " udaJ'c si.. zapisal w p.ostaci Iloczyu u fUllkcji z] .Jpw runkCJ~ po ca owa ' ~ .) '. O?,O.nej f(g(xl) i pochodnej funkcji wewn~trzlleJ g (x , to prawdziwy Jest WZOJJ f ( g ( I J : ) } . r / ( x ) d x =!(y)dy , gdzie y = g ( : r ) , ( 3 . 9 )kt6ry cpisuje e o. lk ow ame p r zt 3z pod_~ta'IJJie7l f t.C z as am i w y g od ll ie j es t potraklOWa.C funk(: j~ podcaikow~ja.ko i!eczyn jePlle'funkcji tJ, = = l e x ) ipochodnej innej funkc j i v = g (~ ) . Otrzyma.my wLedy WZQ, ;j f(; r;) g'(x)d x =!(x)O (; t)- / J '(x)'g (x) d:r ;, (3.10)ktOfY przedstawia. me~od~ ~Q i kCl tJ J a .r b iapr~i cz~";ci ,Zauwa. imy, z e I:itQlluj poj~de romicz>kil otrzymujemy

d v = g ' ( I & ) d ' . I . ol'tl.Z a u = J ' ( z ) dxiwzo r (3.l0) p rzy jmu je posta.c

J u d 'II.'U - / VdUl (3.11)~kt6rej c~t~ ~'i!dziemy korzystali w .dalsz,yhrozwasaniach. Powysssy zapisJest powszec t in i e stosowany, wa.rto, wJ~it. pr,zyzwyczaic si~ do niego,

Przyklady1. Obliczyc calk~

J= jZ(.t+l){Z-3)dx.RoztDiqzanie. Doprowadzam f kc i dia.lk ujem y zg od nie z (3 2) (3Y7u)~(tJ~)P o ca~ ko ~~ d o p ostacl w iC !'lo m ian u , 1 3 .8 , u zY B ku J~ c

1= /(z3_2:c2-3Z)dZ= J 'J:3dfl-2 J x 2dx-3 J Xd f =1.. 2 3= = -:I: - _Z3 :2 C- 4 3 - 2 .t + .

2 . Ob l ic , z;yCca Jk~

3 . Ob li cz yC. catkfi lT "-I s :. .f o - \f;}-" dx.x

Rot1Diqzanie. Przeksz takamy f u n k r . j C " t : podca&ow, ! ! i t r z y m u j e m y{ = J (x1+t-1 - !ti- ') d a ; = = J :e td z - . f :u-t all =

:J;~+1i :z;-t+1 2. 4.12 + 1- 1 + C : ;; ;;1 It - - Jr;J + c _ 4 + 1 . 3 v 3 v s- .

1 1 . O b l i C ' Z y c aalk~

RIJ,Zwiqznnie. Ca.1k~ t"\! sprowadzimy d o z na .n ej c a.l li p rz ez p od st a.w le niea z = u , sk .< j, d a a x : : d u , czyli d r c . = d:u,Ja. M a.m y w i~ c

1J . 1 eo s ce1= - smud.u.=--COr;lu+C=---+C,a a a5 . O b li cz yc calk~

1= f ( :z :' l - o . y ~ x d:l;, @;dzie a o zn ac aa s ta .l\ .RQzwiqzanie. M osem y liczyc ta.k ja.k w p ieTWszym przykla.dzie lub 181\0-sowa.t podstawieuie: x 2 - a = y. Po zr6zniczkowa.niu otrzymuje!nY 2 z . == d y , c zy li J: d J: :: dy/2. N a . p od st a.w ie w z or u ( 3.9 ) usyUu jemy

1 f ' 1 'l l( 1 )4 C1=2 y3dy = " 2 . 4 ' + c = 8 Z - G. + .8. Obliczyc calkft


30/42

6 . O b li cz y c ca.!k~I J 3J a x gd z ie u i = o .= = - ~2 + a2) 1 1 '

RoZUliqt(.mie- s to su jem .y pods taw ie rue x2 + 0,"). = Y " Y > O. j po zr6irri


31/42

Wracaj~c do zmlen.nej z , ma.my

/3 3 ,5 1, 7sin 7 x dz ::: - ton + co s : l: " - 5 co s li'+ 7 cos- x +c.

2lnxdu =: -- dx , 1' 1 = : z : .x

10. Obliczyc calk~ J . t dJ z: sm x .'t. [Ill'= e am e - e:ll C O S 1 I1 - 1;" k~ d l a, tw o p ol ir z. yf s zu ka n( l: ca.lk~ I:J ~ . . . e'"!Ii! ' sm e t } ; : n = "2(sin:c - cos : 1 : ) .r ze ks zt al ca m y f u_ n kc j~ p o d c a. lk o w~Ro~wiq;;lmie. sin7 x = sl n 6 z : Sin:1; = (1 - cos:! t t : ) ; ; J si.n . : r ; .WykQnu jemy podsw.vienje 1J::; C05.'11, skad au::: -sintaa; j O'tTzyruuje.m.y

1 ,;n' . t . zz: - 1 ( 1 - ,, '13d.=-/ ( 1 - 3 ,, '+ 3 ,,< - u')d.== _u+u3 _ ~U5 + ~U7 + C. J::: J (ln 'X Y dZ 1 gdzie x> O.R e z w . i q : Z l 1 ! n i e . C a.tk uj er ny p rz ez cz.~sd! przyjmu,l '!:c:11. Obliczyc c",lk~

J= J : z : e x ! J x .I(OJzysu, j1\C ze wzoru (3.11), o tnymu je :my

I : : : : l: (1n$ )~ - 2 J h;ucdx.Ca.lkfJ J In:t d : J S pol iczymy r6wniei pTZez cz~ci: podstawiamy

dxw=lnx, dz=dx sk~d dw=-, Z=:l:ixRozwiqzanie. Stosuj~c zapis rdZniczkowy, mamy~ = = x , d u " " , d x , d v : : : e : t : d x , lJ::::: J e r & d u ; = e!;"

a po sca lkowan iu przez cz~sci otrzymujernyj ln c dz = = z lnz> J d!'l:::: : z : { l n : r -1)+ C.

O ~ t a t e c Z I l i e u n a D 1 Y

1= J e X sin.e ds:x( ln x ) z - 'l:r (ln ;J ; - 1 ) + C =zt(1n x ? - 2ln x + 2 1 + c.

. . ,!" K lejnv przykl:a.d llnstrujeCsasami podsta,wJeme wym.a a. p o :m .y s ~~OSCl'. 0 ie autor podstawienia. mose aawet przeJsc do hlstoru.

f ( tn; l i )2 d .x =12. Obliczyc calk\!

RozwilfZ4ni.e: Ozna.czamyu = s in z , dv = e: t d z ! skl du = cos x d x I v' = eZ

14. Oblic:zyc ca.lk~J= J Jx~X+k)

Rozwiqzanie. Za.stosujemy podstawienie Eulerax + .fx2 + k = t.

gdzie z'2 + k > O.iot rzymujemy

61d 'esierull do kwadra.tu otl'zyruujemy


32/42

Mamy J x 2 + k = t- x, po po illt'l - k

X -~, tiO,- 2till n a st ~pn ie l ic ZY II lY

( 2t) 2 - (t 2,_ k ) : ? l dt= :( 2 + Ie dl.dz =: (2 0 2 2't 2,Wobec tego

t2 + kj dx = j . 2t2 d t = j d t = J . n 1 t l + C .~ t- t~.-k i

2 tP o p ow ro eis d o z m le nm e j z o tr zy utu je m y o Bta ~ec m 1ie

J d : r , z: In /$ + v i$2 + k [ + C ./x2 + k15. J : z ; : 3 dx..17. I (X~~~~)4! '

j '1:. ds:19, V 2 - 3~j21. J v i } ' + 'bx a x .23 . f ~ . dX .2$ J (Ii + Idx.. . x( x-I) (x + 2) .27. J 1 : : 2 d a ; .29. J erI!JP!' + 1d,31. J jl;~~:2 d . - . r ; .

Przyklad 14jest szczeg:61nym przypadJciem vno ru .og6lneg~

J dx =In I x + :! p + / : 1 ) . 2 4 - px + q I + C ./$2 + p a : + q 2Wz or u te go nie:naleiy l 1 . c Z Y ~ si~l1allam.i~. Wysta.rczy wiadziec, Z(l jstmeje.Obl icziLI ll ie cal :ek m e saw sse jed proste. Sf!: calki, kt6re .potrafhny w y . z : n a , . .'zye metedaml, ja16e tutaj Ojllsalismy, trud.lIiejsze m:o~~my'odczyfatz ta:bliomatematyc;nych, a b a rd z o s komp li kowane ob li c .z amy me todam i numeryez-nymi.Tedt~ calkowaniacpanewnje si~ przee cwiezenie.W Waym z zami es zczonych zadari ])1"z'ez otipQwiedniepI'zekszetalcenie lu bpodstawienie sprowadzamy badan", calk~ do postaci , kt6r~ znamy.

ZadaniaA . W y zn a.c zy c nasttPuj~ce calkj:1. j ( 3 Z 2 - 5 % + 3 + z 1 2 ) d:c.3. 1 3: (3 % 2 - 5)3dz.

33.2. jCz2-X+l)(X2+1)d:l=.

4. J (tS - 2)(t4 - 8t + G )J dt . 35. J 'J J~ dX .

10. J (x 2 + 4 Y " l i c / , - x .12 " J . J h + 1dx .14. J 61/ ,"\1'1- ua du .16. J 1:2a:d:J:.18.

20.

22-.24. f 5 : c ' l26. d x .( : 1 :3 - 7) 2J x~ aiO.28. a 'd + x3 d x ,30. J 5r r3ezf a x .j e 1/ : 1 :32. ~d:z:.x'lJ e2u - e-2u34. duoelu + e-21 s38. i (u - 2)JV.+ leu.

CaIJwwa.niec - C & ! ' k B . ClZlHI .CjZOl l a 63


33/42

38. 1 :J J o : r . d3x x.40. ! (X+l ) cX -2)d z .42. f cos a; ti.V1+ sinz : J J .44. J l.ga: d- xeos2 $ -46. J COl) X esin.: ds:

/ dz48. 2 2 co s 3x50. I co s3 X dx .

37. J t g ; r a x .39. J - - = - de.:1;+24 1 . J x sio(2x2 + 1) d ' 1 J .I 2: r + 343. dx.. z:!+3x-2J sin x46. dx, b#O.a+bcosxJ cos2:t -'47.. (hal.s m; ;; - ( ' ,ns; ; ;

49. J t g Z X d X51. J S i ~ 3 x + co s3 j; d .sm x + COli X 52. J dzv x 2 +4'

/ J1- tOSIe dx.4.& ( ; 1 . J t si n t, 2 dt.58. f $J - 42 - ..fii du:.60. J 1-x{I X ds:-162. j x 3 < - 8x -2 dx .64. f~-~fi d.

B. Wyznaczyc n~puJ':'lIre lki t d .r- c a . me 0 ~ calkewaaia pl'zez CZfilsd:1. l-: dz, '" = x, dv = e31 , d x .2. J x (OBz th. U = ItI dv = c os z d z.

- - -3 . J Jiln:li d : n , v.=l.n:Jl, dv =(i .:t.4 . J : 1 ' , 3 . ) : , 2 ' + 2 d, U = :1:'2, d1J'= :'C~ fix.5 . f 3ze-(Z~+3) dw , '1.1'= 3 : 1 ; d . v : ; ; : : e-(2::rr+3) d : x ; ,6. J ; : c ( l i i . x Y 2 dx., U = ( I n a ; ? , (tv = :J l di l l ' .

J ~ u . : :: :: z ;2 , 7l1 . dm d'IJ=. J a ; . . 2 -1 I ~d!ll .1S . f : C ( : L ' + 2)4 dx , 1J,=~) dv = ( : I : + 2) 4 dx.9. J :n 7 'sill5x drc! 'U =.,x2 dv = sin 5x d . . iJ . ,10. J 'f)-in:- sin 3w d , r c I U= e-21l: d v = a i l ) . 3 x d :r :.\1 1 . fX ln2:cd$l 'lJ. =lin 2x, dv = ~d:r:.

3.3. Calka osnaczonaJezeli przez F ( : z : ) o~n.a.czymy c.atlt~ funkcji 1(1:) ci~lej W pTze d zi al e (a . b ),tsn. jasli jest spelniona zalei.nQsc F'(x} = J(,z) , to przes calk~ oznaczolUlfunkejl j ( 3 1 ) ed a do b rozumiem.y

l b f ( x ) d x ; : : F ( b ) - F (a ) ,przy czym roznica. F ( b ) - F(Il ) nie zalezy ad st~ej calkowania. C. Pra.w",strone WZOIU (3 .13) oznacza si~symbolem

(3.13)

[ F ( x ) l : lub F(l:) I~ (3 .14)W calce (3 .1 3) licz~ a nazywamy dolnq grGnu:q ta l imoaniB, l ie s" , , ,- '-g O ' mq g r an ic 4 c a lk ow an ia .

5 5~ 6 ! 4 ~ - - - - - - - - ~ C ~ ~ ~ ~ ~ W B ~ H J ~ e - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -iJ 1Jle w ta sn os ci c alli O zn .a .c ZO lle j s'\ t .akie same j a . M . ca.lki .


34/42

. . b 1 / . I ~d"c .y ZmOdYf ikOw~l i t ,er .


35/42

["'/424 . 1 0 tgs:z;d:z;.25. Obliczyc polE zawa.rte mjpdzy k .. ' . .'26 ObJj , ... r~ywyn:u y, = ,1 ;2 1 Y - rz: czyc pole zawarte . d - v:z;21 . Oblicz yc' 1 ..( ;... mI~ zy wyIuesami. funkcji y = :z;3 i 'II = 3,'"p o e .n ou ry og ran ! " . .' ; , w ,< - ~ 1 r 1 ~7r). czoneJ SIRllSOld'll COBinUBOjd~ w prsedsiale28 . Por6wna.C po la pow ierzc lm .i .kcji y = sln.e, '1 / = = z, '1 / = t ' ; ~ t e - I D l ~ d _ z y osh~.'Ox a wykresami tun-g ;c na le z '! -c y ch do prsedsiatu ( , o , in).

Z8IdaniaOhliczyc (;alki oznaczone:

.. 71. f o o , o s3 X dx./ a "/IJ cos 2$3.. d : r . .o Sill X + co s z

5 . l 3 (3w ~ 2) 3 dw .1 3 t 31 .+ 2 2 . dt.It +3t-2

19. / 2 1+ x d-2~23; + w 2 :Il.121 3u. 0 v '4 _ u2 du,

1 ' 1 3 t23. J 0 (4 _ t' l)3/2 dt.

Pft>dk1 ' )SCsa.mochodu (w km/h) zmien.ia 5;,., W C"'''''1'" sg d . '1. '0: .,..." ..., "'.. 0 rue ze wzerem. 71/22. i (x + 1) cos x dz..

4. / ~ 12 (1 + :;3)2 dx .r 23 1 -16. IJ (x 2 _ X + 3) 2 d,8. l~ / 1 ) , du oII 'II; + 1 .10.jI Il: . dx-1;;~+ 6 .1 2 . ! a .1. J t + :2 dt .~4. ( 3 F , - dr.1 0 .4- T16. 1 \ $ 5 +3)vstl + 18s ds.J o

' 1 : 318. J 1 a t .

-1/3 J,2+ a t:l

20. 1 "'43 + 1d s.J a22.t->+1dx.

v et) : :: ;60 + 432 t,

(3.16)

gd0ie t je$t~y:rai;@L1e wgodZina,ch. I le 1ci lQmetrow przejedzie sa.moth6dw d~gl1W n un ut7R O $ w i ~ z ( J /n . i e .. PI~dko~c jest poehedna drag) oS wzglflldem czaru t, czyli

d svet) =d'

If = J v(t)dt.Cz~ zmlerua si~ ad Odo 1/6 godziny, mamy wi~.c

(3.LIS)

()'/6 . r 432t~1116s =10 (6 0 + 4 3 2 .t ) d t = l o O t + ~2- Q = 16.Sa .moch6d pT~ejechaf 16 k i lome t :r 6w .2. Zianiko piasku utkwlro na brsegu kola roweru 0 promieniu 'J'. Oblkzyc.d l u : g . o s c luku zakreslollego przez siarnkc, g t l y :a) kolo ebraca si~ w miajs;tljb ) toesy s i l iJ bes poslizgu.R~).zwi'l:zanie. Jdli cialo porusza &i~ po.tone krzywaliniowym, to dlugosclnkn (drogli) L l i czymy ze WZOIU (3.15)~ kt6ry teraz za.piszemy w dw6chrowuowainy ch postaciach

'i!leini~ o d t eg o , c'E'j r 6w n a.n ie t or u j es t o kr es le ne p 3.l "a m et ry cz ni e, tzn. w po-staci x = g(t), Y = h(t), czy tez jako y = J(z) ,a) Rownania parametryczne okregu maj'4:postal

z(t) = TC08wt, yet) = r sinwt ,

}

,,~.i~~kf,;pra.cy dW moznill. zapisai:. jako dW = F( < P ) ' r dlfl. Szukan a pra(; ;e


36/42

. . r O , ." " " li' .. . T '1: e. a zate:m wy czyc Z i a . PHJ10C2t ca .t k i oz i1 : a ,czone; ,(IloZ,n . "

[":/2 r':W = J Q F(tp ) rd .!p=mgr J f ) (COSip+/.tSinf-p)d!p== mydsin If- P, cos tp }~ /~ : ::mgr(l + j . t ) ,

gdzie l..J = 2rr /T , aT OZl'lacza ckres ebretu kola. Licsymy pcchndned~ .dt = - fW8m w~.,

ipo ,~JWIZystaniu ze wsoru (3 .16) ' mamy.L a = IT / r2;w2 s in ~wt + r2w~cos2 w t dt =1 0 4. wyr ,uaczyc mom~n_t bezwl:adnosci jednorodnegQ wa.len a mas)!! 11 1 ipro-1l1ienJuR, ab1'a.ca.j '\ ic-e go si~ wokol o si s ym e tr il .

/lozt/1iqzanie. Moment bezwladn(}'~ciI bryly wyraza si~WZ01'em1= = J r2 lim,

gd$ie r 6znacza odleg;losG. niewieIkiej masy dm ad os i obrotu. W naszymz a d < W i 1 .tr oi ru cz R a . d m . esnacza r n a ,, ,~ w y a r < 'l l i o n e g o waica 0 prom:ieciu we-WI1~t:r'lnym r ig ru 'b o sc i - s~ aI te k a r . Jesll -prZ:8z V a2'.lHt.Czymy obj~tost walcae wysoltosci B 1 to z proporcji

[ T 2n= rIM) J o dt ~ r~[tJd= r TT =2m'.Otrzymalismy zatem z.nany Wz.61 n a d lu go sd okr~gu.b) Punkt na ohwcdzle tocz'lJeego sili l kola. porussa 5 i - " po c .y .k lo id zi e k t'OpjllUj~ rownarua I .Ol'~

:Ii = = r (w 1 , - sin w . t ) ,Po o b li cz e ni u poc.hodnych

a xlit =rw( 1O(ls'wt),

'!J =r(l- Eoswt) .

dm dVdy .- = 'PWS1Dwtdt -=~m Viwstawieniu Ic h d o w to ru u. dl:ugosc lu,ku 0trZ'jlnmjemy

Lb = foT P W 2 (1 - o o s w t ) 2 + r 2 w 2 sin 2 wi dt == 'IN L T ..)2 - 2 co s wt dt = rw i T V 2. 28m2 ~t d 't =

m m 2mdm = V dV = 1tR'l H . 2.1tT H dr = R2 r dTipo podstawieniu otrozymujemy

f R _ 2m 2m { R 2m r r 4 } R 1I= J . r' : a T ~ R' J . " a T ~ R' l 4 " ~ 7_mR',. 0

M om en t b ez -w ra dn osd w a lc a 0ma.siem ipromieniu R wynosi zatem mR1r2.a

T I I '2rw . wt 2 ta t To s , m " 2 dt = 2 rw [ -; :; C O S 2 " L = 8r ,Ja.k widac, d lu go B .c l uk u cy:klojd ., Y Jest cztery razy wiekssa ed je j ~rednky.3. Ja . k , p ra .c ~ t rz eb a wy ko na .c by ka,ml ' .c z a . s z - y kuliBtej 0 promienin r j~Sli $ '1en 0 ~aole ~ w e p c : h n o tc na szcfiytRo .' . ., ' w P O I C Z . Y r u t i k t .a r ru a wyno s i /J?

.~n1e. Slla, Ja.k'l! m usim y dzjillla .' ..... .?pls~ym kem I(J (If _ k~t oa t 'k_jcna karmen zn. a .jduj 'l rc :y sj~ w punkcieJest rowna ry , ja tworzy stycana do toru z pionem),F(~) = mg co s < p + mg.}lsin If,

1_ . - a _ _ '


37/42

( t . r . ) b _ . . . .lI::Ii - '"

.. . - ,: v l l~ : m l ' r l : : :; ( z y ' $ ) m : : : : y r ; m , X > 0, ffil n - lic~by na.ttlralnej


38/42

4l ~l1. Obw6d kwadratu: 7C + 4 ;; kola: '1t + 4 .3. W odleglosci ~ od prostoej pr~ech(ldz-ej przee A ipJostopadieja+bdo rzeki.

Odpowiedzi do aadasi 2at + b.1 2. 4mSln:n + (2a:2 + 1) COS2;,.Rozdzial 12. 100km/h. 3. ' Y ; : : : n/3, a / o ; : : : c [1, .;2,1].4. a l = [-3, -3. 3\/~, 11 = t ' l t ; a z = [-3, -3, -3.J2J, ' Y ' 1 . = ~n.

3 . w sin(wt + 1 f ' } I +w 2t C O & ( wi + I .p ) .3c(b + c : ) ; y ~ 6. -asin 2 : z :5 . 2 J a + (b , + C ' x ) 3 2Ja-bain'2:1;

3 O. a . e a . z ' .8. - ( 3! li + 5) 1'"1 12. -2tg2:t.11- 2 ( 1 , -1)"

2;t cos m + ..f'i 1-15. e ain '2~ )el;'!n !I:.14. 4 : z : J & i n X + .,fi

5. V ' B . -i - . . . .6. A B B e:::= .u ,8. cos ttl = -j,cos {J l =~, C;OS 11 . = ~i - . ( 7OS0:2 = = J , COSfJ2 = = -i, C01;'1'2 = k , .(i, b) =arccosl;-:g)..9. 2x + 3y - 5z = 38. 10. > . = -~.11. c:os1'= -j. 1.2. 11= -~, b=~.-~----( _ + _ _ ) ( i J l + t i 2 ) ' V ~ d C2 2' j;y t13. cos 111 . V B , ' 11 2 = 1 _ . _ 1 1 _ I ' = V V i + U:t + v 6 1 . l J V :a .v] + 1 . 1 2 V' 214. l = \1 13 - 6.)2, tg rp = 1- ~ J Z > tp - k,!:t Z e ) s i i ' l J . o x . ..is. lVi. 16. lx . 17. -~.19 . s - b = 50\1"3, s x b= [ 0, 0 , - ii O] .20. F = . . ; 13N, L(F, 1 1 ) =atdgM!5.

2 , 7 .L 8":::: 2(1 + r3), $'11 = -6r4.2. yll =-?cos 2 . 1 : ,yiN =.4 sin 2lJ;.3. ' ! l I T =_n:-2, s"> 2::z;-3.4. '1 / =2a2(ax + b)-a) yfll = -6a-3( a : c + b)-4.

II__ a . . .-5/3 y J I I = H:l'a;:-8/3.5. Y -"9,'" !" 2:76. y fl =6(1 + 6;t~)e3:J:\ ym = l08x(2;J:3 + 1)e3:r ?

21. if x t. iF = O . ~- 123. a X b = [ 0, =r ; 0 ] . .~ ~24. AB= (2, -2, 2]. CA~ '-2,0', -3 l " momo AB= [-6., -2-,4].26. 9 em:! .

21. 0,2 mjs2, R =100(50 - v'3) N lub R = 100(50 + V3 ) N.28. 5500 N. 29. Podpdrka W edleglosci 1/6 ed ojca.30. F =100N. sUa Fi tworzy k~t Q:::arccosikierunkiem polnocnym,31. h~/" + .. ~ 2.t2 11- v " 32. Nl = 4250N, N~ : : = 2500 N.

2 . & .

4. 21:2 +93:2 + 1( .x + 3)2w7. cos2 wt

10. 4 sin '1 2,; sin 43:.113. -dn.x

16. 7 -lIS~Jl 8

2. 4000.

Rozdzial 2 a. p 6 . O,lm.4 . T---b-~ 5 . Lkm odB.2.1. -2- -4+1t'1. -JJ2. 2 . O . 7 . 1R2 (1- ~ ) . 8. x =2 r j i " y = 2 r J i .3. -1.. . I co s a n Pi,tego dnia.12' & . 4 i-4. 9. 11.--=- 10. 5ton.C08~ m74 UII!Jp"lnieriill. i(J~pa,,'ift]ld ---------


39/42

1 2 . ~b 13. 20"C. 1 4 . M N=a(l- ~ ) .2 .15. !! 16. ~ 17. o dziesi


40/42

32. _el/x. 3 . 334- tln(e2U + e-21Ji). 2 2. 1 3,. O . 4. ~.1. 3 ' 2 " 7 ( . J 1 n s36. ~ ('U - 4)(u + 1)3/2. 71 5 6 . {s 7. ~ln2. 8 . '2 2 '5. --r'38. i(ln 1 5 2 i 1 } 2 . lln II 10, 1 ] . 1i.

'), 12. 18 - ~V2.g . 2 s : i'

40. tIn I l l l + 1 1 +in Ix - 2 1 . 14. 10 15. 112 16. 1:.Ji9.: 1 1 . 3 . 9. 3' g4.2. 2/1+ sin x. H! HI. ~ 19. 3. 20. II17' , 3' 3 .15'I 5:2 1 2A. i(1-1n 2).44. 2CQSSl;g 2 1 . 6 . 22. g

23. '2'1 9

2- . J 2 7( 1 In 246. emn z.

27. 2 . J 2 . 28. 32'-25. 26. - 2 , 23 2

31. 1 _zl-'ic .33.. ~ J .n (e2:!' + 1).35. Hz + ~J(x- 2)3/~.37. -ru 1coul39. % -2ln Ix + 2 1 41- -t CQs(2x2 + I).43. In J x 2 + J :l ; - 21

145. - b " in la , + bc0571I41. cos z - sin z, 48. ig3 C .

50. sinx-lsin3:t .52., mix + . . / $ 2 + 4 1 .54. v1 x2. co s e-.256. 1 2-- cos t2 '5&. -u(~+ 1 }[60. - e x + i!l:4/3 + i :t 5/3).62. ~x3+x' + 4z,64. 2 ! 1 ;1/6 _ ial'/41 5'

49". tgx -~.x +ios:2x.

151.53.

1 14 (;OSIl X - CQS~X - in I cos t 57. 4./2(5jn~- j 5 i n 3 ~ }55.

59. 3x- ~zVi'.61. 1 : !l 3 - ~X 2 + z ,63. 3x + ~z2.B.1. i{3x - 1e:l:.3. j l 7 : y ' X ( l n x - f ) 5. -~(2z + 1)e-(2x+3).1. 1(z2 +2)~.9. 1cos5z ( ; 5 - z2 ) + 2 ~ ! I l i n 5 z .18. -1 \ (3 co s 3x + 2 si n 3z )e-2Z.

2. e sinz + coax.4. 1 \ (3z" - 4 ) { s ; 2 i + 2)3 /2.6. ~x2 [ht:t(ln s; - 1) + ~ ].8. io(5x - 2)(.x + .2)5.11. fx 2(21n 2x-1).

~ W YDAW N ICTW O NAUKOW E PW N


41/42

Wydownict1NONGukowel 'W N

00-251 WaiszoWlI, u l . Miodowo 10tel. ( 0 2 2 ) 6 9 5 4 3 21, fox (0 22 ) 8 26 7 1 5 3W;tp:I!WWW.j?WD.com.pl

K s i -: g C nu io , u l . M io do wo 1 0tel. (0 2 2) 535 80 88

D z i Q . ! Rl!klamy 1 Morketingutel. (0 2 2) & 31 4 5 1 )9 . tel./fox ( 0 2 2 } 6 2.8 76 29[lriW: Hrmdlowyt el . ( 0 Z 2 } 82 ~ 8 9 7 6, f O J ( (0 221826 0950.695415~Dz .i al D ys tr y bm j i. t el , ~ a 2 2) 0 9 5 4 1 5Zl J z i o _ ! D s t T y b u c j i W~sylk(JwejiPrenumerntJinj() beZplQtnD tel. 0 8 00 20145 w g o d z . . 8-18fax (0 lZ ) 695 41 79

.. O z:io !.s pr ze da zy M ng ~y n, 1 : 1 1 . suwek 5[1. (0 22) S 43 3$ 21 . 8 4355 55.ra x (0 2 Z 1 M3 14 81

Adam Strzalkowskio silach rz~dz'lcych.swiatemOddziaipvania iC 6 i l S W S ' l T w o I Z yw r n l, Z k to T e g o b u d ll je m y f r z y C Z U l y ohraz s w 1a ta . C Z rl st kis t a n O W l < t ~ u b s L a n r j ~ r n a r c r i a l n a le j b u d o w li , o d dz i a l yw a n ia m i Q d z y 1 1 1 m i z a s ' l '. ' f ll 1 1 n h U ' 1. t ru k tu r ~ o b i e kt 6w ir z e b i e g z a d l O d z o t c ) ' c h z j a \ \ r i : s k . D z i s z n am y r z t { 'r y o d d z ia f w a n i a p o d -stawowe: gra\\itat):int. eld . . .r o m i l g n e t y c z l l e . silne i s la be. P ra ca A dam s S ll 'Z al kowsk ic goz a w i e r s zwi~zl}' p o z b a w i O ! 1 Y w r or uw m a r e m a t) " c z n yc h !) o p is w s z y . s l k i c h t y p o w o d d z i a i y w a no r a z pr6b i c h u n i f L k a c j i . N a w e l u n du e z a g a dn i e n ia , t a k i e j a k u w i ~ z . i e n i e k w ar k 6w . t e er i ap ola z c ec hnwa ni em , s p o n t a n i c z n e l a l 1 1 i 1 n i c s y m e t r i i i t p . . Auto!" prsedsiawil w ~ ' P 0 s 6 bn i e z w y k J e przys(~pny, p r e z e nr u ji .j c p r l} ' ty m n a j l1 Q w s z e o s i< l l iT I i fc i a \II t e j d z i e d si n ie .K . . s i k a a d re so w a na j e s t d o S l e ro J . J e g o k r r g u CZY l e J n i . k 6 ~ v , e d u ce ni o w s z k6 1 s r e d n i c h , s t u -d e o t 6 w u n iw e f S } 1 e t 6 w i p o li te c hu ik p o n a uc z )' c ie f i f 1 Z . y k i i w s z y s tk i c h , k t 6 ry c b intcrcsujew s p o k z . e $ l l r naukov .'Y opis swiata. Cella 9 , 0 0 zl

8 0 -1 7 2G d a ns k , u l. T ny L tp y 1Dzln l Re l}1omy 1 Morke tingu.I)zial Hond l owy , r ei . (058) 306 1175.t~l.lfax ( 0 5 8 ) 302 64 41 w . 250-252.3 06 1 1 7 6.M ug az yn P ~. [e l./fa x (Q 58 ) 3 0 2 56 7 6.t el, [ 0 5 8 ) 3 06 1 1 7 4K S i \ ! g O T l ) i G . ul, K t n - l e n n a 31/3!itel. [0 5 3)30S 24 50.tel./fax [0 5 B )l0 5 2 4 4 9

9 0 -7 2 1 M d t . Ill. Wl~ ( k fJW5k i eg l ) 13tel. ( 04 21 '3 0 6 7 7 0. fa x 1 0 42)']0 67 8 4

'Ksi~gClrnio , u l , Wi~rkoW5kif 'go 11rei ~ O4 21 3 0 6 7 6 9

D li o! R e kl am y IMnrktnnguo r io l Hand lClwyllll. ( 0 4 2 )3 0 6 1 13 . fax (0 42 ) JO 6 1Mag o zy n . ul. S w . T Il ~e s y 1 0 0tel, (0 4 2J 51 8 78 6. fa x ( 0 01 2 ) 4 0 71 70

6},816 Poznm'l. u], 111[OJ(Zo1


42/42

I I , , Do nabyelat K. A SiemlendiajewI N Bronszejn, ..' Matematyka..por"dnikencyklopedycZny

Do nabycia w ksiegarniach:

A. H en ne l, W Kr zyZ at1 Gw ski. W . S zu~ie wicz , K, W6dkiewiczZadania iproblemy z fizyki

Mechanfka klasyc~na I relafywistyczna 8. M. Jaworski, A. A. DiedafFizyka.poradnik encyklopedycZnyA . H ennel, W $ZUSZkJBWiczZadania iproblemy z flzyki

Pola. Obwody. Termodynamika W. Krysicki, L. wtodarskiAnalf~amatematyczna w zedaniach, cz, I iIIM . s t Y . G. Szet i lI ' iska , M . SzymaiJskl, Q. Wasik

Zadanis I problemy z fizykiOrgania ; fale skalarne

W . R ud inAnaliza rzeczyw;sta i zesp'olona

M . B a l , G . S te tlins ka , M . Szymansk i , D . W a sikZadanJa iproblemy z flzyki

Fate elektromagnetyczne. Fale mater;;

IN . Rudinpodstawy analizy matematycznejKl;LlZkIIPWN sa d o n ab yc ia w ksi~g.arniach wtasnych PWN:War s zawa , u l, M i Q dow a 10 ; Gdansk, ul, Korte l1na 33135;Katowice, u l , Dwo r cowa 9; Krakow, ul. ~w Tomasza 30:

t6dz, ul. Wi,~ckowskj'ego 13; Poznan. ol, Wodna B / 9 ;Wrocfaw, ul, Kuznlcza 56.

Zamowienia telefoniczne i plsernne przyjmuje:Dziat Dystrybucji Wysylkowej iPrenumerat

u l. M i o d ow a 1 0 ,0 0 - 25 1 Warszawaia,x 6954179, infolinia 0-1300-20145(POfc:tcze~te bezplatne)

Documents

Wektory, pochodne, całki. Wiesława Korczak, Marianna Trajdos