Upload
phungmien
View
220
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
1.
2. Voorwoord
Bijna 50 bewijzen vanbuiten kennen. Het lijkt praktisch onmogelijk en geloof me, makkelijk is het zeker niet. Het wordt nog moeilijker wanneer je dan ook overal in de cursus de bewijzen moet gaan zoeken. Maar zelfs al vind je ze, van tussenstappen schrijven heeft Prof. Temst niet veel kaas gegeten.
Dit document heb ik dus gemaakt in de hoop het mensen makkelijker te maken. Versta mij nu wel niet verkeerd, dit document is geen garantie op slagen. Al ken ik een aantal mensen die enkel deze bewijzen hadden gestudeerd en geslaagd zijn, toch raad ik dit zeker niet aan. Maar wanneer je in tijdsnood zit, door welke reden dan ook, dan zijn mijn tips:
Studeer vooral de werkzittingen; de helft van de punten gaan op oefeningen en meestal zijn de oefeningen op de examens minsten even moeilijk of zelfs makkelijker dan op de werkzittingen.
Studeer deze bewijzen. Maar print deze bundel af voor het schooljaar en schrijf tijdens de lessen de uitleg erbij. Deze is namelijk ook noodzakelijk op het examen. Elke stap moet er uitgelegd worden.
Voor de rest wil ik er nog op wijzen dat er hier en daar een aantal foutjes instaan (vooral het vergeten van vectorstreepjes; niets al te groot), dit is mij al lang bekend, maar ik doe geen moeite meer aan het verbeteren hiervan. Mij hiervoor mails sturen om dit aan te passen is dus nutteloos. Het staat in de Word-extensie, dus hoop ik dat er na mij een persoon komt die hier eens verbeterd en het zo een echte studentencursus van kan maken.
Veel studiegenot
Thomas Bogaerts
3.
2Thomas
1. Inhoud 1. Voorwoord.....................................................................................................................................2
1. Inhoud............................................................................................................................................3
1. Versnelling: Tangentiële en normale..............................................................................................5
2. Tweede Wet Newton in functie van impuls....................................................................................6
3. Kracht op een stroomvoerende geleider........................................................................................7
4. Moment op stroomvoerend kader.................................................................................................8
5. Elektron in homogeen elektrisch veld............................................................................................9
6. Kathodestraalbuis.........................................................................................................................11
7. Beweging geladen deeltje in magnetisch veld..............................................................................12
8. Deeltjesversneller cyclotron.........................................................................................................14
9. Exponentiële relaxatie..................................................................................................................15
10. Halveringstijd............................................................................................................................17
11. Impuls van een stelsel van deeltjes..........................................................................................18
12. Behoud van impuls...................................................................................................................19
13. Tijdsafgelijde van impulsmoment.............................................................................................20
14. Traagheidsmoment..................................................................................................................21
15. Behoud van impulsmoment.....................................................................................................22
16. Statica.......................................................................................................................................23
17. Kinetische energie van een puntmassa....................................................................................24
18. Wet van arbeid en energie.......................................................................................................25
19. Kinetische energie systeem van punten...................................................................................26
20. Kracht afleiden uit potentiele energie......................................................................................28
21. Elektrische potentiaal in puntlading.........................................................................................29
22. Energie van een puntmassa......................................................................................................30
23. Energie van een systeem..........................................................................................................31
24. Macroscopische beschrijving van ideale gaswet......................................................................32
25. Temperatuur............................................................................................................................33
26. Niet-elastische centrale botsing...............................................................................................34
27. Eendimensionale elastische botsing.........................................................................................35
28. Wetten van Ohm......................................................................................................................37
a. Microscopische vorm...................................................................................................................37
29. Temperatuursafhankelijkheid van soortelijke weerstanden....................................................39
3Thomas
30. Vermogen van een kring...........................................................................................................40
31. Verband bron en kringsspanning..............................................................................................41
32. Opladen en ontladen van condensator....................................................................................42
33. Brug van Wheatstone...............................................................................................................44
34. Kring met enkel weerstand.......................................................................................................45
35. Kring met enkel condensator....................................................................................................46
36. Hoog en laagfrequentie filters..................................................................................................47
37. Diffusie.....................................................................................................................................48
38. Diffusiespanning.......................................................................................................................49
39. dipool.......................................................................................................................................51
40. Elektrocardiogram....................................................................................................................53
41. Prikkel langs zenuw..................................................................................................................54
42. Kabelvergelijking......................................................................................................................55
43. Warmteuitwisseling zonder verandering..................................................................................57
44. Warmteuitwisseling met verandering van toestand.................................................................58
45. Warmtetransport.....................................................................................................................59
46. Eerste wet van thermodynamica..............................................................................................60
47. Tweede wet van thermodynamica...........................................................................................61
4Thomas
1. Versnelling: Tangentiële en normale
(1) vv⃗=Rωsnelheid vaneen punt dat eencirkelbeweging beschrijft
(2) a⃗=d (Rω )dt
(3) ∆ e⃗ t=|∆θ|richtingsverandering vaneenheidsvector
(4) limt2−t 1
|∆θ|∆ t
=ω
(5) 2 β+∆θ=π somhoeken vaneendriehoek
β= π2−∆θ2
(6) limt en θ→0
β= π2
(7) ∆ e⃗ t⊥ e⃗ t ∆ e⃗ t blijft altijd naar hetmiddelpunt gericht
(8) a⃗=dvdt
e⃗ t+Rω2 e⃗ n
Tangentiële versnelling : at=dvdt
grooteverandering
v↓ : tegengestelde richtingv↑ : zelfderichting
Normale ver snallingan=Rω ²= v2
Rrichtingsverandering>0
5Thomas
6Thomas
2. Tweede Wet Newton in functie van impuls
(1) F=dpdt
Verandering van impulshoeveelheid beweging is gelijk aandekracht
Fdt=dp
∫t1
t2
Fdt=p (t2 )−P ( t1 )
Fg= 1t 2−t1
∫t1
t2
Fdt
Fg=mv (t 2 )−mv (t1 )
t2−t 1verandering impuls per tijdseenheid
(2) p=mvdefinitie impuls
(1) + (2) = f=dpdt
7Thomas
3. Kracht op een stroomvoerende geleider
I=Stroom
dFm=magnetische kracht
dr=verplaatsing langs geleider∈richting
B=magnetische inductieveld
dt: tijdsinterval waarin alle ladingen doorheen A gaan
dQ: lading
v: snelheid ladingen in dr
(1) dQ=Idt
(2) d r⃗= v⃗ dtd F⃗m=dQ v⃗ x B⃗¿ Idt v⃗ x B⃗¿ I v⃗ dt x B⃗d F⃗m=I d r⃗ x B⃗ op een stukje
(3) F⃗m=I∫ d r⃗ x B⃗ op totale geleider
(4) F⃗m=I∫ d r⃗ x B⃗
¿ I∫d r⃗ x ( e⃗ t x B⃗ )¿ I ( e⃗ t x B⃗ )∫d r⃗
¿ I ( e⃗ t x B⃗ ) l
(5) F⃗m=B Il op rechte geleider
8Thomas
9Thomas
4. Moment op stroomvoerend kader
F⃗ ab=F⃗ cd=I B sin (90 °−θ )
F⃗ bc=F⃗ da=I l B sin (90° )
(1) M=r⃗ da∗F⃗ da+ r⃗ bc∗F⃗ bc moment van krachtenFdaen Fbc ¿ ( r⃗ da+r⃗ bc )∗F⃗ da
(2) F⃗ da=I l1 ( l⃗ I∗B⃗ )kracht inductieveld opgeleider
(1) + (2) M=l2Fda sin θ
M=l2 l1 I B sinθ
M=A I B sin θ
10Thomas
5. Elektron in homogeen elektrisch veld
E⃗⊥ v⃗0
E⃗⊥Platen
I Binnen(1) F⃗ e=−e E⃗ kracht∈elektrisch veld ope−¿ is tegengesteld ¿
(2)ay=−e E⃗me
versnelling enkel volgens de y−as
(3) v y1=a y td y−component vansnelheid bij verlaten van platen
¿ −ed E⃗me v0
vz=v0 z−component van snelheid
(4) y1=a y t ² d2
¿ −ed ²2me v0²
E⃗y
II Buiten e−¿¿ondervindt geen kracht meer en v=cst(5) tan α=
v y
v0hoek waaronder straalwordt afgebogen
11Thomas
¿ −e dme v0 ²
E⃗ y
¿y2D
(6) y2=−e dDme v0²
E⃗ y
(4) + (6)
y= y1+ y2
y= −e d ²2me v0 ²
E⃗ y+−edDmev0 ²
E⃗ y
y= −e dme v0
2 E⃗ y (D+ d2 ) => hoe groter E, hoe groter y: ze zijn rechtevenredig
12Thomas
6.
Kathodestraalbuis
Onderdeel van oscilloscoop: meet fluctuaties van elektrische stroom en spanning
Buis is luchtledig
(1) Elektronenkanon: e−¿¿worden gevormd en versneld tot e−¿¿-straal met dezelfde snelheid(2) Horizontaal elektrisch veld: e−¿¿-straal wordt horizontaal afgebogen(3) Verticaal elektrisch veld: e−¿¿-straal wordt verticaal afgebogen
E⃗=elektrisch veld
F⃗=−e E⃗=kracht van E⃗ ope−¿¿
a⃗= F⃗m
=−e E⃗m
=versnelling enmogelijkeafbuiging
13Thomas
7. Beweging geladen deeltje in magnetisch veld (1) F⃗m=ma⃗ tweedewet van Newton
F⃗m=e v⃗∗B⃗
(2) an=ev∗Bm
= v ²rprojectie opn−en t−assen
a t=0
(1)+(2)
Fm=man=evB=mv2
r Snelheidsfilter
14Thomas
E⃗⊥ B⃗E⃗⊥ v⃗0v⃗0∥ B⃗F⃗m en F⃗ e werkenelkaar
tegen
(1) F⃗=q ( E⃗+ v⃗+ B⃗ ) totalekrachtF⃗=F⃗m+ F⃗ e
(2) a⃗=qm
( E⃗+ v⃗∗B⃗ )versnelling vandeeltjemet lading
q enmassam
(3) a⃗=0als deeltje rechtdoor gaatals E=−(v∗B )=B∗v
als v0=EB
→Verhouding EBregelen :deeltjesmet bepaalde snelheid selecteren
⇒ v0<EB:Fe>Fm⇒wijkt af naar beneden
⇒ v0>EB:Fe<Fm⇒wijkt af naar beneden
Massaspectrometer
15Thomas
(1) Ionisatiekamer: mengsel ioniseren door valentie-elektronen weg te slagen door beschieting met elektronen
(2) Analysator : scheidt verschillende componenten door magnetisch en elektrisch veld
B⃗=homogeenv⃗⊥ B⃗
(1) r= mv¿q∨B
ladingenbeschrijven eencirkelbeweging
(2) Alle grootheden = contanten=>ladingen scheiden
mbv≠m :m↑=r ↓m↓=r ↑ massaonderscheid de ladingen
(3) F⃗m=q v⃗∗B⃗F⃗m⊥ B⃗B⃗∨¿ v⃗
⇒ F⃗m⊥ v⃗
(4) F⃗m=¿q∨vB¿manVersnellingheeft enkelnormaal component∈een
F⃗m=mv2
rhomogeenmagnetisch veld
r= mv¿q∨B
16Thomas
8. Deeltjesversneller cyclotron
Onderzoeken van samenstelling van materie
Hoe kleiner de deeltjes, hoe energierijker de botsingen
Ladingen die kromme baan beschrijven zenden magnetische straling uit
Bron SDoelwit TA :alternatorE⃗ :versnelt de ladingenB⃗: buigt de ladingenaf
(1) Ladingen vertrekken in S, worden versneld door E⃗ en beschrijven een kromme met
r= mv¿q∨B
(2) Alternator keert E⃗ om zodat ladingen blijven versnellen met een grotere cirkelboog
(3) Bij verlaten gemikt op T
⇒bij lage snelheid :w= vr=qB
m=cst
frequentie A=cst⇒bij hoge snelheid : frequentie snelheidafhankelijk
17Thomas
9. Exponentiële relaxatie a. Geen aandrijving
f (t )=dxdt
+αx=0
(1)dxdt
=−αx
∫ dxdt
=∫−αt
ln x=¿−αt+C ¿e ln x=e−αt+¿ eC
x (t )=A e−αt
(2) Voor alle waarden van t geldt:
1ex (t )= A e−αt
e¿ Ae−αt−1
¿ Ae−α(t−1α )
¿ x (t+ 1α )T : tijdsconstante : intervalwaarmee t moet toenemenomx
met 1ete reduceren
b. Trapfunctie
f ( t )=dxdt
+αx=αXd=cst
(1)dxdt
=−α (−Xd+x)
dxdt
=dXddt
=0want Xd=cst
dxdt
=dydt
(2)dydt
=−αy
18Thomas
y ( t )=A e−αt
x (t )−Xd=A e−αt
x (t )=A e−αt+Xd
19Thomas
(3) Beginvoorwaarden: x (0 )=A+XdA=x (0 )−Xd
x (t )=( x (0 )−Xd )e−αt+Xdovergangsrespons : geleidelijke aanpassing aan plotse verandering
20Thomas
10. Halveringstijd
dxdt
=−αx
dN ( t )dt
=−α N ( t )uitdrukkingradioactief vervalmet deevenredigheidsfactor
(1) Scheiden van variabelendN (t )N (t)
=−α dt
(2) Integreer
∫ dN ( t )N (t )
=∫−α dt
∫ dN ( t )N (t )
=−α∫dt
ln N (t )=−α t+Ce lnN (t )=e−α t eC
N ( t )=Ce−α t beginwaarde N (t )=N (0 )=0N ( t )=N0 e
−αt
⇒halveringstijd
(1) N ( t )=N0 e−αt
(2)12N ( t )=N (t+ t 1
2)
(1)+(2)
12N0 e
−αt=N 0 e−α( t+t 12 )
12e−αt=e−αt e
−αt 12
12=e
−αt 12
ln 2=αt 12
t 12= ln 2
α=T ln 2
21Thomas
11. Impuls van een stelsel van deeltjes
p=mv
(1) p=∑i=1
n
p i
¿∑i=1
n
mi vi
¿∑i=1
n
mi
d ridt
¿d (∑i=1
n
mi ri)dt
(2) m'=∑i=1
n
mi totalemassa
(3) m' ri=∑i=1
n
mir idefinitie massacentrum
(4) dmr idt
=d (∑i=1
n
mi r i)dt
¿ pp=mvmc
22Thomas
12. Behoud van impuls
(1) dpdt
=∑i=1
n
F1
dpdt
=Ruitwendig
(2) ∫t1
t2
Ruitw=p ( t2 )−p (t 1)
(3) Ruitw=0
p=∑i=1
n
p i=cst
⇒ alle componentengelijk aannulimpuls=cst
∑i=1
n
mi v i (t 1)=∑i=1
n
mi v i ( t2 )
⇒ als1vande componentengelijk is aannul
∑i=1
n
mi v i (t 1)=∑i=1
n
mi v i ( t2 )
23Thomas
13. Tijdsafgelijde van impulsmoment
(1) d L⃗dt
=d ( r⃗∗mv⃗ )
dt
¿ d r⃗dt
∗m v⃗+ r⃗∗d (m v⃗ )dt
(2) F⃗=d (m v⃗ )dt
vectoren∥ d r⃗dt
∗m v⃗=0
(1)+(2)
d L⃗dt
=r⃗∗F⃗=M⃗
⇒ voor eensysteem : d L⃗dt
=∑i=1
n
( r⃗i∗F⃗ i)
d L⃗dt
=M⃗ uitw
24Thomas
14. Traagheidsmoment
(1) Lz=(∑i=1n
mi (r i) ²)wz niet vervormbaar systeemdraait om vasteas
(2) Lz=∑i=1
n
( r⃗ i∗mi∗v⃗ i) z
¿∑i=1
n
( (a⃗ i+ r⃗ ' i )∗mi∗v⃗ i ) z
¿∑i=1
n
( (a⃗i∗mi∗v⃗ i ) z∗(r⃗ 'imi v⃗ i)z )⊥op z−as :valt weg
¿∑i=1
n
( r⃗ ' imi v⃗i )
¿∑i=1
n
(r ' imi r ' 1w z )
¿∑i=1
n
¿¿
Lz=¿
(3) I=∑i=1
n
mi(r '¿¿1) ² traagheidsmoment ¿
25Thomas
15. Behoud van impulsmoment
(1) Fuitw=0enM uitw=0
(2) d L⃗dt
=∑i=1
n
( r⃗ i∗F⃗ i )dLdt
=0
L=cstmet Lz=cst
26Thomas
16. Statica Als Fuitw=0, kunnen we het referentiepunt om moment te berekenen kiezen omdat rond geen enkel punt een rotatie-as mag ontstaan
∑i=1
n
M⃗ i , 01=∑i=1
n
r⃗i ,01∗F⃗ i
¿∑i=1
n
(r⃗i ,02+r⃗02,01)∗F⃗i
¿∑i=1
n
r⃗i , 02∗F⃗i+∑i=1
n
r⃗ 02,01∗F⃗i
¿∑i=1
n
r⃗i , 02∗F⃗i+r⃗ 02,01∗∑i=1
n
F⃗imaar∑i=1
n
F⃗ i=0
¿∑i=1
n
r⃗i , 02∗F⃗i
∑i=1
n
M⃗ i , 01=∑i=1
n
M⃗ i ,02
27Thomas
17. Kinetische energie van een puntmassa
(1) Tweede wet van Newton
∑i=1
n
F⃗ i=m a⃗
(2) Vermenigvuldigen met infinitesimale verplaatsing d r⃗
(∑i=1n
F⃗ i=m a⃗)d r⃗=(m a⃗ )d r⃗
δW=m d v⃗dt
d r⃗
δW=md v⃗ d r⃗dt
δW=md v⃗ v⃗
(3) Willekeurige verctorenv⃗ v⃗=v⃗ 2cosθ¿ v ²d ( v⃗ v⃗)=dv ²d ( v⃗ ) v⃗+d ( v⃗ ) v⃗=dv ²2d ( v⃗ ) v⃗=dv ²
d ( v⃗ ) v⃗=d v2
2
(2)+(3)
δW=d (mv2
2 )Ekin=
mv2
2
28Thomas
18. Wet van arbeid en energie
(1) Verplaatsing tussen punten 1 en 2
W 12=∫⃗r1
r⃗2
(∑i=1
n
F i)d r⃗W 12=∫⃗
r1
r⃗2
d (mv2
2 )W 12=
mv22
2−mv1
2
2
(2) Ekin=mv2
2= p2
2m
(1)+(2)W 12=E kin ,2−E kin ,1
29Thomas
19. Kinetische energie systeem van punten
a. Translatie
Ekin=∑i=1
n mi v i2
2
Ekin=∑i=1
n mi v ²2
Ekin=mv2
2
b. Algemene beweging (1) r⃗ i, 0=r⃗ c, 0+r⃗i ,c plaatsvector massacentrumen plaatsvector punt
(2) v⃗i , 0= v⃗c ,0+v⃗ i , c
(3) v⃗i , 0 ²= v⃗ i ,0 v⃗ i , 0¿ ( v⃗c, 0+v⃗ i , c) ( v⃗c ,0+ v⃗i , c )¿ v⃗c, 0 v⃗c ,0+2 v⃗c ,0 v⃗ i , c+ v⃗ i ,c v⃗ i ,c
¿ v⃗c, 0 ²+2 v⃗c ,0 v⃗ i , c+ v⃗ i ,c ²
(4) Ekin=∑i=1
n mi v i , 0²2
¿∑i=1
n mi ( v⃗c ,0 ²+2 v⃗c ,0 v⃗ i , c+ v⃗ i ,c ² )2
¿∑i=1
n mi v⃗c, 0 ²2
+∑i=1
n 2mi v⃗c, 0 v⃗ i ,c
2+∑
i=1
n mi v⃗ i , c ²2
¿mvr ,0
2
2+v⃗c , 0∑
i=1
n
mi v⃗ i , c+∑i=1
n mi v⃗ i ,c2
2=0
Ekin=mvr ,0 ²2
+∑i=1
n mi v i , r ²2
30Thomas
c. Rotatie van een onvervormbaar voorwerp
Rotatie van een onvervormbaar voorwerp met symmetrische rotatie-as
(1) Massacentrum op symmetrie-as
vi , rot=r ' iω r 'i=afω=hoeksnelheid
(2) Ekin , rot=∑i=1
n mi v i , rot ²2
¿∑i=1
n mi (r 'iω ) ²2
¿(∑i=1
n
mi r 'i ²)ω ²2
traagheidsmoment I=∑i=1
n
mir 'i ²
(3) Ekin , rot=I ω2
2(4) Ek=Ekin ,tran+E kin ,rot
Ek=mvr ,0 ²2
+ I ω2
2
31Thomas
20. Kracht afleiden uit potentiele energie (1) Kracht in elk punt van de ruimte
Ep(x , y , z )
(2) Definitie potentiële energie−d Epot=F⃗ d r⃗−d Epot=F xd x+F y d y+F zdz
(3) {F x=−∂ Ep
∂ x
F y=−∂E p
∂ y
F z=−∂ Ep
∂z
partiël afgeleiden
(4) F⃗=−∇⃗ Ep −∇⃗= ∂ f∂ x
, ∂ f∂ y
, ∂ f∂ z
32Thomas
21. Elektrische potentiaal in puntlading
∆ E p=1
4 π ε0 (qq0r2
−qq0r1 )
V (r2 )−V (r 1)=q04 π ε0
1r2
− 1r1
V (r )=q04 π ε0
1r
33Thomas
22. Energie van een puntmassa
(1) Conservatieve krachten: ∑i=1
k
F⃗ inw , c
Niet conservatieve krachten:∑i=1
m
F⃗ inw, nc
(2) W 12=∑i=1
k
∫⃗r1
r⃗2
F⃗ inw , cd r⃗+∑i=1
m
∫⃗r1
r⃗2
F⃗ inw ,nc d r⃗
¿>∑i=1
k
∫⃗r 1
r⃗ 2
F inw, cd r⃗=−∑i=1
k
(E p2 ( F⃗ inw , c)−Ep1 ( F⃗ inw, c))
¿>W 12nc=∆ Ekin=Ekin ,2−E kin ,1
(1)+(2) Ekin , 2−Ekin , 1=−∑i=1
k
(Ep2 ( F⃗inw ,c )−E p1 ( F⃗ inw, c ))+W 12nc
(3) W 12nc=(Ekin , 2+∑
i=1
k
(Ep2 ))−(Ekin ,1+∑i=1
k
(E p1))(4) E=Ekin+∑
i=1
k
(E p )mechanischeenergie
(3)+(4)E2−E1=W 12
ncWet vanarbeid enmechanischeenergieW 12
nc=0→E2=E1Wet vanbehoud vanmechanischeenergie
34Thomas
23. Energie van een systeem
(1) Ekin=mvc , 0
2
2+∑
i=1
n mi v i ,c2
2translatie rotatie
Ekin , trE kin ,rot=I w2
2
(2) Ekin=Ekin ,tr+E kin ,rot+E kin ,inw
(3) Ekin=Ekin ,uitw+Ekin ,inw
(4) Ekin , 2−Ekin , 1=W 12uitw , c+W 12
nc+W 12inw ,c
(5) {W 12uitw ,c=−(Epot , 2
uitw −Epot , 1uitw )
W 12uitw ,c=−(Epot , 2
inw −Epot , 1inw )
W 12nc=E kin ,2
uitw +Ekin ,2inw +E pot ,2
uitw +Epot ,2inw −(Ekin , 1
uitw +Ekin ,1inw +Epot , 1
uitw +E pot ,1inw )
W 12nc=(E2uitw+U 2 )−(E1uitw+U1 )
E=Euitw+U
35Thomas
24. Macroscopische beschrijving van ideale gaswet
(1) Gay-Lussac: V=cst p T
(2) Boyle en mariotte: T=cst pV=cst
(3) Charles: p=cst V T
⇒ pV=cst TpV=n RT molaire gasconstante
36Thomas
25. Temperatuur
(1) pV=23Nu
(2) pV=nRT
(1)+(2)
nRT=23Nu
u=32nN
RT N=n N A
u=32
RN A
T constante van Boltzman :kb
u=32kbT
u≈Tm0 vg ²2
=32kbT
37Thomas
26. Niet-elastische centrale botsing
(1) Wet van behoud van impulsm1 v1i+m2 v2i=(m1+m2 )v finaal
(2) Wet van behoud van energieEkin , i+Enm,i=Ekin ,f +Enm, f Enm ,i=0 12m1 v1, i ²+
12m2 v2 , i²=
12 (m1+m2) v f ²+Enm,f
(3) Snelheid beide deeltjes na de botsing
v f=m1 v1 ,i+m2 v2 ,i
m1+m2
(4) Verlies van Ekin: tweede deeltje in rust: v2, i=0
Ekin , i=m1 v ²1 , i2
Ekin , f=¿¿Ekin , f−Ekin ,i=¿¿
¿(m1+m2 )2
m12v1 , i2
(m1+m2 ) ²−
(m1 v21 ,i)
2
Ekin , f−Ekin ,i=−m1m2
m1+m2
v1 ,i2
2∆ E k<0⇒Ekin , f<E kin ,i⇒ verlies
38Thomas
27. Eendimensionale elastische botsing
(1) Behoud van impulsm1 v1 x+m2 v2x=m1 v1 ' x+m2 v2 ' x
m1 (v1 x−v1' x)=m2 (v2' x−v2 x)
v1 x+v1' x=v2
' x+v2x
(2) Behoud van kinetische energiem1 v ²1 x2
+m2 v ²2 x2
=m1 v ' ²1 x2
+m2v ' ²2 x2
m1 v ²1 x−m1 v ' ²1 x=m2 v ' ²2 x−m2 v ²2 xm1 (v1 x−v '1 x ) (v1 x+v '1 x)=m2 (v ' 2 x−v2 x ) (v ' 2 x+v2 x )
(3) v1' =
(m1−m2 ) v1 x+2m2v2 xm1+m2
v2' =
−(m1−m2) v2 x+2m1 v1 xm1+m2
¿>m1=m2=m
v ' 1 x=v2 x→de deeltjesnemennadebotsing elkaars snelheid¿v ' 2 x=v1 x
¿>m2=∞⇒m1
m2≪1⇒m2≫m1
v ' 1 x=(m1
m2−1)v1 x+2 v2 x
m1
m2+1
v ' 2 x=−(m1
m2−1)v2 x+2(m1m2 ) v1 x
m1m2
+1
v '1 x=−v1 x+2v2 xv ' 2 x=v2 x }de snelheid vande zwaremassa verandert niet
(4) Energieoverdracht: stel v2 x=0
v ' 1 x=(m1−m2 )v1 x
m1+m2
39Thomas
v ' 2 x=2m1 v1 xm1+m2
40Thomas
(5) Verandering Ekin1
Ekin , 1 ,finaal−Ekin ,1 ,initiëel=m1
2v ' ²1 x−
m1
2v ²1x
¿m12 (v ' ²1 x−v ²1 x )
¿m12 (( (m1−m2 ) v1 x
m1+m2 )2
−v ²1 x)¿m1 v ²12
x (( (m1−m2 )m1+m2 )
2
−1)¿m1 v ²12
x (−4m1m2
(m1+m2 )2 )Ekin , 1 ,finaal−Ekin ,1 ,initiëel=
m1 v ²12
x (−4m1m2(m1+m2 )2 )
41Thomas
28. Wetten van Ohm
(1)Gemiddelde stroomI g=
∆Q∆ t
(2)Ogenblikkelijke stroomI (t )=dQ
dt
(3)Stroom van positieve ladingen∆Q=n (Avd ∆ t )q A : doorsnede n :aantal ladingen per volumeI=nqvdA q : lading per deeltje
a. Microscopische vorm
(1) Wet van Ohmv⃗d=± μ E⃗ d vd=driftnelheidμ=mobiliteit+: positieve lading−:negatieve lading
(2) Stroomdichtheid per oppervlakte
J= IA
(3) Stroomdichtheid per punt
42Thomas
J= dIdA
J⃗=nq v⃗d
(4) Geleider met Ohm’s gedragJ⃗=±nqμ E⃗J⃗=¿ n|q|μ E⃗ σ=conductiviteit J⃗=σ E⃗
⇒ ρ=1σ= 1n|q|μ ρ=resiciteit :soortelijke weerstand
J⃗= E⃗ρ
E⃗=ρ J⃗
b. Macroscopische vorm
(1) I=nq vd AI=n|q|μAE
(2) Spanning van een geleiderU=El
I=n∨q∨μAl
U
R= ln∨q∨μA
weerstand van eengeleider
I=UR
Opmerking: Voor elektrolytenI=q+n+vd+A=Q−vd−n−A
I=( q+n+μ+q−nl )AE
R= l(q+n+μ+q−n )
weerstand
G= 1Rgeleidbaarheid :conductantie
Pas stroom als spanning U ≥U dpotentiaalverschilI=G(U−Ud)
43Thomas
29. Temperatuursafhankelijkheid van soortelijke weerstanden
(4) R=ρ lAΩ
ρ= 1n|q|μ
Temperatuursafhankelijkheid
(5) R−R0=αR0(T−T 0)
α=temeratuurscoefficiënt ¿0R↑¿0R↓
T−T 0=R−R0α R0
44Thomas
30. Vermogen van een kring
(1) Wet van Ohm
{|V 2−V 1|=R12 I=0Weerstand verbindingsdraden=OΩ|V 4−V 3|=R34 I=0
(2) Verandering van potentiële energiedEp=dq (V 3−V 2 )=dq (V 4−V 1 )¿−dqU¿−IUdt
(3) Energie omgezet in warmteδQ+δEp=0δQ=IUdt
(4) Ontwikkeld vermogen
P= δQδt
=U I U=RI
P=RI I=RI ²
P=U2
R
45Thomas
31. Verband bron en kringsspanning (1) Tweede wet van Kirchhoff
U−I Ri −IR=0Uk=U−I Ri :spanning tussen polen aenboftewelde klemspanning
(2) Belastingsweerstand
I= UR+Ri
46Thomas
32. Opladen en ontladen van condensator
a. Opladen
Opmerking: Meer positieve ladingen op de linkerplaat: daling potentiaalverschil
(1) Tweede wet van Kirchhoff∆Vbron+∆Vweerstand+∆Vcondensator=0
U−I R−QC
=0 I=dqdt
>0
U=R dqdt
+ 1Cq
1RC
CU=dqdt
+ 1RC
qlineare differentiaalvergelijking1eorde
dxdt
+αx=αXd
(2) Oplossen met behulp van interpolatie x=Ae−αt+Xddqdt
+ qRC
=UR
dqdt
=−(q−UC )RC
∫0
q dqq−UC
=−∫0
t 1RC
dt
ln UC−qUC
= −tRC
UC−q=uC e−tRC
q=UC (1−e−tRC )
(3) Stroom
I=URe
−tRC
47Thomas
48Thomas
b. ontladen
(1) Tweede wet van KirchhoffqC
−I R=0 lineare differentiaalvergelijking1eorde
dqdt
+ 1RC
q=0 dxdt
+αx=0
(2) Oplossenx=Ae−αt
q=Qe−tRC
I= QRC
e−tRC
(3)
49Thomas
33. Brug van Wheatstone
Twee vaste gekende weerstanden R1 en R2
Veranderlijke weerstand Rv
Onbekende weerstand Rx
Galvanometer: gevoelige stroommeter
(1)∆Vac=∆Vad∆Vcb=∆Vdb}geen stroomdoor G
R1 I 1=R2 I 2Rx I 1=Rv I 2 }Rx=Rv R 1
R 2
Doel: Rv regelen zodat I(G)=0
50Thomas
34. Kring met enkel weerstand
Harmonisch variërende spanning
(1) Tweede wet KirchhoffU−IR=0
i (t )=URsinωt
I=UR
Stroom en spanning zijn in fase op hetzelfde moment hebben ze hun maximum
51Thomas
35. Kring met enkel condensator
(1) Tweede wet van Kirchhoff
U−qc=0
q=Cu ( t )=Cusinωt
i (t )=dqdt
i (t )=CwU cosωt
i (t )=CwU sin(ωt+ π2 )
(2) Capacitieve reactantie
X c=1
WC
I= UXc
stroomloopt 90 ° voor opspanning
52Thomas
36. Hoog en laagfrequentie filters
(1) i (t )=I sin (ωt+Φ)
(2) Tweede wet van KirchhoffU=U c+U r
(3) Pythagoras
U ²=U r2+U c
2
U ²=R ² I ²+ I2
(WC ) ²
I= u
√R ²+ 1(WC ) ²
(4)U r=IR= u
√R ²+ 1(WC ) ²
=> U r=u hoogdoorlaatfilter: werkt lage frequenties weg
U c=I
WC= u
√1+(WRC ) ² => U c=u laagdoorlaatfilter: werkt hoge frequenties weg
53Thomas
37. Diffusie (1) Eerste wet van Fick: stationaire diffusie bij lage concentratiegradiënt
∆ N ∝ A dCdx
∆ t
dNdt
=−D A dCdx diffusiecoëfficiënt
(2) Deeltjesflux: deeltjesstroom per opp
J=−D dCdx
(3) Diffusiecoëfficient Viscositeitcoëfficiënt
D=k 0Tμ
(4) Eerste wet van FickdNdt
=D Ad (C1−C2 ) Dichte wand
J=Dd (C1−C2 ) Permeabiliteitcoëfficiënt
54Thomas
38. Diffusiespanning
1: Na+¿¿ diffundeert
2: E werkt diffusie tegen
3: Evenwicht: diffusie en E compenseren elkaar
Potentiaalverschil = diffusiespanning
(1) Ideaal gas
P ( x )= nV
RT
¿C ( x )RT
x-compensatie van drukkracht{ P ( x )∆ A links−P (x+∆x )∆ Arechts
(2) Drukkracht ten gevolge van concentratieverschilF px=−(P ( x+∆ x )−p ( x ))∆ A
¿−dpdx
∆x ∆ A
¿−dCdx
RT ∆ x∆ A
(3) Elektrische krachtFex=eNaC (x)∆ A ∆ xEx
¿eNaC ∆ A ∆ x−( dvdx )55
Thomas
(4) EvenwichtFex+Fpx=0
eNaC ∆ A ∆ x−( dvdx )−dCdx
RT ∆ x∆ A=0
−eNaC ( x ) dU−RTdC ( x )
dU=−RTNae
dC ( x )C ( x )
RNa
=kB
(5) Integratie
∫1
2
dUdt=−kBTe ∫
1
2 dC ( x )C ( x )
dt
V 2−V 1=−kBT
eln(C2C1 )nernstvergelijking
56Thomas
39. dipool &
(1) Potentiaal in PV ( r⃗ )=V−Q ( r⃗ )+V +Q ( r⃗ )
¿− kQr 1
+ kQr 2
¿kQ(−1r 1 + 1r2 )
(2) r 1≅ r+ l2cosθ
r 2≅ r+ l2cosθ
(1) + (2)
V (r )=kQ(−1r 1 + 1r 2 )
57Thomas
≅ kQ( −1
r+ l2cosθ
+ 1
r+ l2cosθ )
≅ kQ(−(r+ l2cos θ)+(r+ l
2cosθ)
r2+( l2 cosθ)2 )
≅kQr2 ( lcosθ
1−( l2 cosθ)2 )
→r≫ l→ lr≪≪1
v (r )= kQl cosθr ²
= p⃗ cosθ4 π ε0r ²
58Thomas
40. Elektrocardiogram Meet potentiaalverschillen in functie van de tijd
Driehoeksmethode van Einthoven
59Thomas
41. Prikkel langs zenuw
Geleiding langs stukje axon
(1) Spanning u over condensator
U=Uinv Rmℜ+Ri+Rm
(2) Lekstroom: ontlading: negatief
I=−dQdt
¿−c dUdt
→U=RmI
U=−RmC dUdt
U=U 0 e−tRmC exponentiële afname met tijdsconstante RmC
60Thomas
42. Kabelvergelijking
Doel: bepalen hoe de spanning afneemt in functie van de tijd
(1) Wet van Ohmi (r )∆R i=v ( x )−v (x+∆ x)
i (r )∆R i=δvδx
∆ x
i (r )∆ Ri
∆ x=−δv
δx
(2) Weerstand per lengte-eenheid
ri=∆R i
∆ x(1) + (2) = Verband tussen stroom en gradiënt van potentiaal
ri=−δ vδx
(3) Eerste wet kirchhoff
i (x )−i ( x+∆ x )−ℑ− δvδx
=0
δvδx
=−(i ( x+∆ x )−i (x ) )−ℑ
(4) Stel Q=CvDelen door (2πa ∆x )
Lekstroomdichtheid: jm= ℑ(2πa∆ x )
Cappaciteit per opp: Cm= C(2 πa∆ x )
Cm ∂v∂ t =
−i ( x+∆ x )−i(x)(2 πa∆ x )
− jm
(5) Partiële afgeleide𝐶𝑚∂v∂ t
= −1(2πa )
δiδx
− jm
↓ ri ( x )=−δvδx
Cm ∂v∂ t
= 1(2πari )
δ ² iδx ²
− jm
61Thomas
(6) Veronderstel
jm=Gd
(v−vr )
¿ gm ( v−vr )geleidbaarheid per opp: gm= G2πa∆ x
Cm ∂v∂ t
= 12πari
δ ² iδx ²
−gm(v−vr )
(7) Veronderstel: Delen door gm
λ ²= 12πari gm
τ=Cmgm
μ=v−vr
τ δ uδt
=λ ² δ ²μδ x2
−μ
1.⇒ δuδt
=0
λ ² δ ² μδ x2
−μ=0
v−vr=μ0 e−xλ
μ0exλ
x>0x<0}⇒exponentiële uitdoving
2.⇒ δ ²uδt ²
=0
v=vr+μ0 e−tτ
62Thomas
43. Warmteuitwisseling zonder verandering
(1) Verhoging inwendige kinetische energie
δQ=C dt warmtecapaciteit c=ML ²T2θ2
(2) Q12=C ∆T¿C (T2−T1)
C=mc soortelijke warmteC=nCmmolaire warmtecapaciteit
(3) Warmte
{ δQ=mc dtδQ=nCmdt
(4) Integratie
{ Q12=∫1
2
mcdt
Q12=∫1
2
mCmdt
⇒{ Q12=mc (T2−T1)Q12=mCm (T 2−T1)
63Thomas
44. Warmteuitwisseling met verandering van toestand
(1) Verdampen
Q12=mlv soortelijke verdampingswarmte lv= Lvm
→condensatie is omgekeerde
(2) Smelten
Q12=mls soortelijke smeltwarmtels=Lsm
→stollenis omgekeerde
(3) Sublimeren
Q12=mlsubl soortelijke sublimatiewarmte lsubl= Lsublm
→depositieis omgekeerde
64Thomas
45. Warmtetransport
(1) Gemiddelde warmtestroom
Iwg=ΔQdt
(2) Ogenblikkelijke warmtestroom
Iw=dQdt
(3) Temperatuursgradiënt
Iwgα AT2−T1x2−x1
Iwgα A dTdx
Iw=−λ A dTdx
warmtegeleidingscoëfficient constant
Iw=λ AT1−T 2x1−x2
65Thomas
46. Eerste wet van thermodynamica
(1) Wet van Arbeid en Energie
E sys2−Esys1=−W 12uitw .+Q12
(2) Verandering van inwendige energieE sys2−Esys1=U 2−U1
(3) Arbeid van systeem op omgeving
W 12=−W 12uitw .
(4) U2−U 1=Q12−W 12
66Thomas
47. Tweede wet van thermodynamica
(1) Geïsoleerd systeemδW=0δQ=0
(2) Isotherm
δQ=δW ≅ p∆V=NkT ∆VV
(3) Verhoudingen microtoestanden
(V+∆V )N
V N =(1+∆VV )
N
¿(1+ δQNkT )
N
maar NkT=heel klein
¿ (e )δQKT
ln (V +∆VV N )
N
= δQT
k ln (V +∆V )−k lnV=δQT
(4) EntropieS=k ln (microtoestand bijmacrotoestand )
(5) Quasistische isotherme expentie
S (V +∆V )−S (V )= δQT
67Thomas