Curso de Engenharia - UNIVESPDisciplina Matemática

Bimestre 1

Exercícios da semana 3 - vídeoaulas 11 e 12

RECOMENDAÇÕES GERAIS SOBRE A AVALIAÇÃO (PORTFÓLIO)

Caro aluno,

Nesta semana, a sua avaliação para as Aulas 11 e 12 será composta por duas entregas no Portfólio de Matemática que estão descritas a seguir:

A) Para avaliação das aulas 11 e 12 da Semana 3 da disciplina, escreva um resumo pessoal, de 10 a 20 linhas, sobre o significado do tema tratado, registrando em que as aulas contribuíram para revelar o papel da Matemática na compreensão da realidade. Publique sua resposta no Portfólio da disciplina.

Resumo

O IDH (Índice de desenvolvimento humano) foi criado em 1990. Desde

sua criação até 2009, o cálculo do IDH usava a Média Aritmética de três

indicadores:

P (referente ao PIB per capita);

E (referente à escolaridade) e;

S (referente à Saúde).

Os valores de P, E e S resultavam da comparação com outros países e

eram expressos por números entre 0 e 1: IDH = (P + E + S)/3

A partir de 2010, em vez da Média Aritmética, passou-se a usar a Média

Geométrica dada pela expressão:

IDH = (P x E x S)1/3 (raiz cúbica do produto dos três fatores)

A razão da mudança é valorizar mais a qualidade de vida em países em

que os valores de P, E e S não são muito discrepantes, pois a Média

Geométrica é sempre menor ou igual à Média Aritmética. Assim, as duas

médias serão iguais apenas quando os valores de P, E e S forem iguais.

O uso da Média Geométrica no cálculo do IDH visa à consideração das

diferenças entre os três fatores P, E e S: quanto mais díspares seus valores,

menor é o IDH. Entretanto, pode ocorrer – e em geral ocorre - uma

desigualdade muito grande no interior de cada fator. A distribuição de renda

pode ser muito desigual, assim como a expectativa de vida, ou o acesso a

Educação. Para levar em consideração tais desigualdades, foi criado, em 2013,

o IDHAD, ou seja, o Índice de Desenvolvimento Humano Ajustado à

Desigualdade.. Quando ele é levado em consideração, o Brasil cai, na

comparação entre os diversos países, do 85º lugar para o 97º, em 2013.

No cálculo do IDH de um país X, o fator P, referente ao PIB per capita, é

calculado utilizando-se logaritmos em vez de uma comparação envolvendo a

proporcionalidade direta.

A razão da utilização dos logaritmos é o fato de que um aumento de,

digamos, 100$ em um PIB per capita de 200$ é altamente expressivo,

enquanto um aumento dos mesmos 100$ em um PIB per capita de, digamos,

20.000$, é quase irrelevante. Como a função y = log x cresce a taxas

decrescentes, ou seja, seu gráfico vai se tornando cada vez mais encurvado

para baixo, isso pode ser utilizado para dar mais peso a um aumento no PIB

quando a renda é mais baixa.

B) Os exercícios das aulas 11 e 12, foram formuladas a partir de pequenos textos (Texto A, Texto B, Texto C etc.). Para avaliação das aulas 11 e 12, escolha pelo menos UM (1) Texto (A, B, C etc.)  e resolva os exercícios relacionados ao texto. As respostas devem ser

enviadas pelo Portfólio da disciplina.  Para melhorar a sua aprendizagem resolva, explore e aprofunde, até onde for possível, os outros textos e seus exercícios.

Lembre-se - Nesta semana você também deverá entregar alguns exercícios referentes às videoaulas 9 e 10 que estão disponíveis na Organização Didática da semana 3 e no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) do curso.

Exercícios das vídeoaulas 11 e 12 – Matemática

Texto ADesde que foi criado em 1990 até 2009, no cálculo do IDH usava-se a Média Aritmética dos três indicadores P (referente ao PIB per capita), E (referente à escolaridade) e S (referente à Saúde). Os valores de P, E e S resultavam da comparação com outros países e eram expressos por números entre 0 e 1: IDH = (P + E + S)/3A partir de 2010, em vez da Média Aritmética, passou-se a usar a Média Geométrica: IDH = (P x E x S)1/3 (raiz cúbica do produto dos três fatores)A razão da mudança é valorizar mais a qualidade de vida em países em que os valores de P, E e S não são muito discrepantes, pois a Média Geométrica é sempre menor ou igual à Média Aritmética. Assim, as duas médias serão iguais apenas quando os valores de P, E e S forem iguais; quanto mais discrepantes forem os três valores. A atividade que segue visa a explicitação de tal fato.

1. Preencha a tabela abaixo, calculando a média aritmética (Ma) e a média geométrica (Mg) dos números indicados (use uma calculadora para calcular a raiz cúbica):

Número

Número

Número Ma Mg

1 9 2 4 2,620741394

0 6 6 4 3,30

1 1 10 4 2,15443469

5 4 3 4 3,914867641

4 4 4 4 4

0,7 0,8 0,6 0,7 0,695205329

0,3 0,9 0,9 0,7 0,624025147

0,1 1 1 0,7 0,464158883

0 1 1 0,666666667

0,66666667

0,7 0,7 0,7 0,7 0,7Calculos:

Media Aritmética da 1ª linha da tabela acima:

MA= 1+9+2/3=4

Media Geométrica da 1ª linha da tabela acima:

MG= 3√1.9 .2=2,620

O calculo é o mesmo para as linhas 3,4,5,6,7,8 e 10

Media Aritmética da 2ª linha da tabela acima:

MA= 0+6+6/3=4

Media Geométrica da 2ª linha da tabela acima:

MG= 3√6.6=3,30

Media Aritmética da 9ª linha da tabela acima:

MA= 0+1+1/3= 0,6666

Media Geométrica da 9ª linha da tabela acima:

MG= 3√1.1=1

Como MG deve ser menor ou igual a MA, temos

MA=MG=0,666

Texto B

No cálculo do IDH de um país X, o fator P, referente ao PIB per capita, é calculado utilizando-se logaritmos. Vamos procurar entender a razão. Consideremos a seguinte situação, no conjunto dos países:

Valor Máximo do PIB per capita: 100 000 $ Valor Mínimo: 160 $

Valor do PIB per capita país X: 10 000

Em vez de uma comparação envolvendo a proporcionalidade direta, de que resultaria:

P = (10 000 - 160) / (100 000 – 160) = 0,10

o cálculo que é efetivamente feito é o seguinte:

P = (log 10 000 - log 160)/(log 100 000 - log 160)= 0,64

A razão da utilização dos logaritmos é o fato de que um aumento de, digamos, 100$ em um PIB per capita de 200$ é altamente expressivo, enquanto um aumento dos mesmos 100$ em um PIB per capita de, digamos, 20 000$, é quase irrelevante. Como a função y = log x cresce a taxas decrescentes, ou seja, seu gráfico vai se tornando cada vez mais encurvado para baixo, isso pode ser utilizado para dar mais peso a um aumento no PIB quando a renda é mais baixa.

Para explicitar mais tal fato, considere as atividades abaixo.

2. Faça o gráfico das funções f(x) = 3x + 11 e g(x) = 7x + 4

Calcule os valores das diferenças, abaixo indicadas, representando-as nos gráficos:

f(2) - f(1)= 3 g(2) – g(1)= 7

f(6) - f(5)= 3 g(6) – g(5)= 7

f(13) – f(12) = 3 g(13) – g(12)= 7

f(387) – f(386) = 3 g(2014) – g(2013)= 7

Resposta:

f(2) = 3x2 + 11=17 f(13) = 3x13 + 11=50

f(1) = 3x1 + 11=14 f(12) = 3x12 + 11=47

f(2)-f(1)= 17-14=3 f(13)-f(12)= 50-47=3

f(6) = 3x6 + 11=29 f(387) = 3x387 + 11=1172

f(5) = 3x5 + 11=26 f(386) = 3x386 + 11=1169

f(6)-f(5)= 29-26=3 f(387)-f(386)= 1172-1169=3

g(2) = 7x2 + 4=18 g(13) = 7x13 + 4=95

g(1) = 7x1 + 4=11 g(12) = 7x12 + 4=88

g(2)-g(1)= 18-11=7 g(13)-g(12)= 95-88=7

g(6) = 7x6 + 4=46 g(2014) = 7x2014 + 4=14102

g(5) = 7x5 + 4=39 g(2013) = 7x2013 + 4=14095

g(6)-g(5)= 46-39=7 g(2014)-g(2013)= 14102-14095=7

3. Faça o gráfico das funções f(x) = 10x, g(x) = log x (logaritmo decimal) e h(x) = x1/2

Calcule os valores das diferenças indicadas, representando-as no gráfico (use calculadoras para o cálculo dos logaritmos):

f(2) - f(1) = 10 g(2) – g(1)= 0,301 h(2) – h(1) = 0.414

f(11) - f(10) = 10 g(11) – g(10)= 0.041 h(11) – h(10) = 0,154

f(101) – f(100) = 10 g(101) – g(100)= 0,004 h(101) – h(100) = 0,050

f(2)= 10x2=20 g(2)= log 2=0,3010f(1)= 10x1=10 g(1)= log 1=0f(2)-f(1)= 20-10=10 g(2)-g(1)= 0,3010-0=0,3010f(11)= 10x11=110 g(11)= log 11=1,041f(10)= 10x10=100 g(10)= log 10=1f(11)-f(10)= 110-100=10 g(11)-g(10)= 1,041-1=0,041f(101)= 10x101=1010 g(101)= log 101=2,0043f(100)= 10x100=1000 g(100)= log 100=2,0000f(101)-f(100)= 1010-1000=10 g(101)-g(100)= 0,0043

h(2)= 21/2= 1,4142h(1)= 11/2 = 1h(2)-h(1)= 21/2 - 11/2 = 0,4142h(11)= 111/2 =3,316h(10)= 101/2 =3,162h(11)-h(10)= 111/2 - 101/2 =,154h(101)= 1011/2=10,049h(100)= 1001/2=10h(101)-h(100)= 1011/2 - 1001/2=0,0498

4. Calcule os valores das razões indicadas:

40 – 10 401/2 – 101/2 log40 – log10

a)───── = 1/3 b) ────── = 0,462 c) ─────── = 0,602

100 – 10 1001/2 – 101/2 log 100 – log 10

Resposta:

a) 30/90=1/3b) (6,324-3,162)/(10-3,162)= 3,162/6,837= 0,462c) (1,60-1)/(2-1)=0,602

________________________________________________

Texto C

O IDH é um dos indicadores do nível de desenvolvimento humano, ou seja, da qualidade de vida nos quase 200 países em que é calculado, a partir de 1990. Representa um avanço em relação à consideração única do PIB per capita, até 1989. Ao lado do IDH, existem outros indicadores. O IDG (Índice de Diferença de Gênero), que analisa as diferenças de remuneração entre homens e mulheres com a mesma função e a mesma formação, é um exemplo.

5) Acesse a rede www e localize informações sobre os valores do IDH nos diversos países. Pode ser o site www.pnud.org.br, ou mesmo a Wikipedia. Procure informar-se sobre outros indicadores de qualidade de vida nos diversos países, como o Índice de Diferença de Gênero (IDG).Explique em palavras o que cada um deles busca representar.

__________________________________________________

Texto D

O uso da Média Geométrica no cálculo do IDH visa à consideração das diferenças entre os três fatores P, E e S: quanto mais díspares seus valores, menor é o IDH. Entretanto, pode ocorrer – e em geral ocorre - uma desigualdade muito grande no interior de cada fator. A distribuição de renda pode ser muito desigual, assim como a expectativa de vida, ou o acesso a Educação. Para levar em consideração tais desigualdades, foi criado, em 2013, o IDHAD, ou seja, o Índice de Desenvolvimento Humano Ajustado à Desigualdade. Quando ele é levado em consideração, o Brasil cai, na comparação entre os diversos países, do 85º lugar para o 97º, em 2013.

6) Procure informações sobre o IDHAD. Pode ser no site do PNUD, indicado anteriormente, na Wikipedia, ou em outro site. Compare o IDH e o IDHAD em diversos países, com diferentes níveis de desenvolvimento econômico e social. Explique em palavras o significado das diferenças entre esses indicadores.

Texto E

Quando uma função y = f(x) cresce de tal maneira que, para cada unidade a mais na variável x, o aumento no valor de y é sempre o mesmo, então dizemos que y cresce com rapidez constante, em relação a x, ou cresce a taxas constantes. Nesses casos, temos a relação y = kx + h, onde k e h são valores constantes. A relação expressa uma proporcionalidade direta entre os valores de y – h e de x. A taxa (constante) de crescimento pode ser obtida calculando-se a diferença f(x + 1) – f(x) e verificando essa diferença é igual a k. Numa função como g(x) = x2, se calcularmos a diferença g(x+1) – g(x), ou seja, a variação nos valores de g por unidade a mais de x, veremos que ela depende do valor de x: para valores positivos de x, quanto maior o valor de x, maior é o valor da diferença. Dizemos que g(x) cresce a taxas crescentes para valores positivos de x.

Algo análogo ocorre com a função h(x) = 3x. Funções como y = x2, y = 3x, y = x3, y = 5x crescem a taxas crescentes para valores positivos de x. Outras funções, como y = x1/2, ou y = logx (logaritmo decimal), crescem a taxas decrescentes para valores positivos de x. Os valores das diferenças f(x+1) – f(x) são cada vez menores, à medida que x aumenta.

__________________________________________________

7) Faça um esboço do gráfico de cada uma das funções abaixo, para valores positivos de x:

f1(x) = x4 f2(x) = 10x f3(x) = log10 x f4(x) = 3x + 7

f5(x) = 4x - 5 f6(x) = x2+ 7 f7(x) = 1 + x1/2 f8(x) = 3log10 x

Resposta:

Indique no gráfico de cada uma delas o que seriam as diferenças

f(2) – f(1) f(3) – f(2) f(5) – f(4) f(10) - f(9)

Quais, dentre elas, são funções que crescem a taxas constantes?

Resposta:

f(x) = 3x+7

f(x) = 4x-5

Quais, dentre elas, são funções que crescem a taxas crescentes?

Resposta:

f(x) = x4

f(x) = 10x

f(x) = x2+7

Quais, dentre elas, são funções que crescem a taxas decrescentes?

Resposta:

f(x) = log10 x

f(x) = 1+x1/2

f(x) = 3log10 x

TEXTO F

Para informar-se mais sobre os temas FUNÇÕES e LOGARITMOS, consulte os CADERNOS DOS PROFESSORES / MATEMÁTICA, editados pela Secretaria de Estado da Educação/São Paulo. Especialmente os Cadernos da 1ª série do Ensino Médio, volumes 2 e 3.

8 No Caderno da 1ª série, volume 2, leia e realize as atividades correspondentes às Situações de Aprendizagem 1 e 2 (p.11 a p.27).

9 No Caderno da 1ª série, volume 3, leia e realize as atividades correspondentes às Situações de Aprendizagem 1 e 2 (p.1 a p.35).

*****