III – Variáveis Estatísticas Unidimensionaisdocentes.fe.unl.pt/~acsilva/TratDados/III_1_localizacao_310.pdf · Propriedades da média aritmética A média aritmética é uma função

Tratamento de Dados 2º Semestre 2005/2006

III – Variáveis Estatísticas Unidimensionais

1. Medidas de Localização


Qualidades das medidas descritivas

a) objectividadeb) dependência de todas as observaçõesc) ter significado concreto, de interpretação

simples e imediatad) serem fáceis de calculare) serem pouco sensíveis aos valores extremosf) prestarem-se facilmente ao cálculo numérico


Tipo de Medidas Descritivas

a) localização ou tendência centralb) dispersãoc) concentraçãod) forma

- assimetria- achatamento


a) Dados não-classificados

b) Dados classificadosN

x

Nxxxx

N

ii

N∑==+++= 121 ......

x’j : pontos médios de cada classe mwj : pesos das classes

∑∑

=

= ==m

jjj

m

jjj

xfN

xnx

1

'1

'

ou

∑

∑

=

== m

jj

m

jjj

w

xwx

1

1

'

Medidas de localizaçãoMédia Aritmética


Propriedades da média aritmética

A média aritmética é uma função das observaçõesPode escrever-se como

),......,( 21 Nxxxmx =

a média aritmética goza das seguintes propriedades


1ª Propriedade

Dem.

kxxxmNNk

Nxxx

N

N

+=

=++++=

),....,,(

......

21

21

c.q.d.

kxxxmkxkxkxm NN +=+++ ),...,,(),...,,( 2121

=++++++=

=+++=

Nkxkxkx

kxkxkxmx

N

N

......),...,,(

21

21


2ª Propriedade

Dem.

=+++=N

kxkxkxkxkxkxm NN

....),....,,( 2121

),...,,(

....

21

21

N

N

xxxkmN

xxxk

=

=+++=

c.q.d.

),...,,(),...,,( 2121 NN xxxkmkxkxkxm =


3ª Propriedade

Dem.

...),...,,(),...,(...)...,...,(

2121

2211

++==++++++

NN

NN

yyymxxxmyxyxyxm

=+++++++=

=++++++

Nyxyxyx

yxyxyxm

NN

NN

.........)...,...,(

2211

2211


3ª Propriedade (cont.)

=++++++++= ......... 2121

Nyyy

Nxxx NN

...)...()......(

21

21

++++++++++=

N

N

yyymxxxm

c.q.d.


Se uma amostra com N elementos estiver dividida em k sub-amostras com N1, N2 ,.., Nkelementos, então

4ª Propriedade

Dem.Admitam-se as k sub-amostras N1 , N2 ,..., Nkcom

NNk

jj =∑

=1

NxNxNxNx kk+++= ...2211


4ª Propriedade (cont. 1)

=+++

+

+++++

++++

=

Nxxx

Nxxx

Nxxx

x

kkNkk

NN

...

.........

21

2222111211 21

=+++

+

++++

++++

=

NNxxx

N

NNxxx

NNN

xxxN

k

kNkkk

NN

k...

...

.........

21

2

222212

1

112111

21


4ª Propriedade (cont. 2)

c.q.d.

=+++=NxN

NxN

NxN k

k...22

11

NxNxNxN kk+++

=...2211


5ª Propriedade

0),...,,( 21 =−−− xxxxxxm N

Dem.Basta aplicar a 1ª propriedade, com xk −=

=+==+++

kxxxmkxkxkxm

N

N

),...,,(),...,,(

21

21

0=−=+= xxkx c.q.d.


6ª Propriedade

N

VxV

VxVxVxmVxN

ii

N

)(

),...,,(

1

21

∑=

−+=

=−−−+=

Dem.Basta aplicar a 1ª propriedade, com

Vxx ii −= e Vk =


6ª Propriedade (cont.)

=+−+−+−= ),...,,( 21 VVxVVxVVxmx N

=+−−−= VVxVxVxm N ),...,,( 21

N

VxV

N

ii∑

=

−+= 1

)(

c.q.d.


mínimo ⇔ V =⎯x( )2

1∑=

−N

ii Vx

7ª Propriedade

Dem.∑∑==

=−−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

∂∂ N

ii

N

ii VxVx

V 1

2

10)(2)(

Donde∑=

=−N

ii NVx

10

01 =−∑= VN

xN

ii

e VxVx =→=−→ 0c.q.d.


Média geométrica

C1= C0 (1+i1 )

C2= C1 (1+i2 )= C0 (1+i1 )(1+i2 )............CN = C0 (1+i)N

(1+i)N = (1+i1 )(1+i2 )...(1+iN )

NNiiii )1)...(1)(1(1 21 +++=+


Média geométrica (cont.)

Dados não-classificados

NN

iiN

N

iig xxm

1

11⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∏∏==

Dados classificadosNm

j

njN

nj

m

jg

jj xxm

1

11⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∏∏

==


Cálculo da média geométrica

∑=

=N

iig x

Nm

1ln1ln

)ln(1ln1

j

m

jjg xn

Nm ∑

=

=

com xi ; xj > 0

O logaritmo da média geométrica é igual a média aritmética dos logaritmos dos valores


Média harmónicaRendimento anual =2000 €

p1=25 € ; p2=40 € ; p3=50 €

33.383

504025 =++=p

1º ano 2000/25= 80 unidades2º ano 2000/40= 50 unidades3º ano 2000/50= 40 unidades


Média harmónica (cont. 1)

29.351706000

405080504040502580 ==

++×+×+×=p

29.35085.03

501

401

251

311

1

1

==++

==∑=

N

i i

h

xN

m


Média harmónica (cont. 2)Dados não-classificados

∑=

= N

i i

h

x

Nm

1

1

Dados classificados

Média harmónica: inverso da média aritmética dos inversos

∑∑

∑

==

= == m

j j

jm

j j

j

m

jj

h

xf

xn

nm

11

1 1


Média quadráticaDados não-classificados

N

xm

N

ii

q

∑== 1

2

Dados classificados

∑

∑

=

== m

jj

j

m

jj

q

n

xnm

1

2

1


rm

j

rjj

rN

i

ri xfrmx

Nrm

1

1

1

1)(ou 1)( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑∑==

h

g

q

mrmrmrmrxrmrmrmr

=⇒−=

=⇒==⇒=

=⇒=

)(1

)(0)(1

)(2

Formula geral das médias


Mediana

Nxxx ≤≤≤ ......21

a) Variáveis discretas

1+= kxM se N=2k+1 (impar)

21++

= kk xxM se N=2k (par)

b) Variáveis contínuasF

i* (M)= 0.5


Modaa) Variáveis discretas

Quadro de frequências ou Diagrama de barras(Quadro II.1 ou Gráficos II.1 e II.2)

b) Variáveis contínuasQuadro de frequências ou Histograma

(Quadro II.5 ou Gráficos II.5 e II.6)

Classe modal


Moda (cont.)Fórmula de King

1010

1000mod

+−

+

++=

fffhl

ondel0 = limite inferior da classe modal

f0+1 = frequência da classe a seguir à classe modal

f0-1 = frequência da classe anterior à classe modal

h0 = amplitude da classe modal

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