X0

X1

X2

X3

X4

الفصل الخامس / عمليات التفرع121

الفصل الخامسعمليات التفرع

Branching Process المقدمة 5-1

لقد تم التطرق في الفصل السابق )الثالث( في المثال الخامس هو فقط أثبات ان عملياتقإلى العمليات التصادفية وكان التطر

التفرع هي خير مثال للعمليات العشوائية )التصادفية( وفي هذا الفصل سوف يتم التحدث بشيء من التفصيل عن عمليات التفرع

بعد ان تم أثباتها هي عمليات عشوائية تصادقية والشكل اآلتي التوضيحي يبين أعداد األفراد او الكائنات في األجيال )الصفري,

.…)األول, الثاني, الثالث........( والذي يرمز لهم , X4 , X3 , X2 , X1, X 0) على التوالي.

(1شكل رقم )

لمحة تاريخية وتعريفية عن متسلسالت التفرع:5-2 من المواضيعBranching Processesأذ تعتبر المسلسالت المتفرعة

المهمة التي لها تطبيقات واسعة في دراسة العلوم الطبيعية كالفيزياء والكيمياء وعلوم الحياة, حيث أن المتسلسلة المتفرعة

عبارة عن عملية عشوائية) تصادفية( تصف نمو وتكاثر المجتمع الذي يضم مفردات قابلة لألنقسام أو التكاثر هذه المفردات ربما تكون

كائنات حية كاألنسان, البكتريا, أو الخاليا, أو تكون عبارة عن الكترونات أو نيونرونات تنتج من خالل سلسلة من التفاعالت, أو

ارتطام االلكترونات بالصفائح المعدنية. فأذا كانت المتسلسلة تضم نوعاً واحداً من تلك المفردات له

القابلية على أنتاج مفردات أضافية من نوعه, عندئذ تسمى

العمليات العشوائية 122)فرضياتها وتطبيقاتها(

المتسلسلة بالمتسلسلة المتفرعة البسيطة )عملية تفرع بسيطة(Simple Branching Processأما إذا تضمنت المتسلسلة أنواعاً متعددة

من المفردات وكل نوع له القابلية على أنتاج ذريات من األنواع.Multiple Branching Process اآلخرى )عملية تفرع متعددة األنواع(

ويمكن تمييز المتسلسالت المتفرعة وفقاً لحالة الزمن الالزم لتكاثر مفردات المتسلسلة فهنالك المتسلسلة المتفرعة في حالة الزمن المنفصل, حيث أن المفردات في هذه المتسلسلة تتكاثر او تنقسم بصورة مستقلة عن الزمن, وأما المتسلسلة المتفرعة في

حالة الزمن المتصل في هذه المتسلسلة فأن المفردات تعيش ضمن فترة عشوائية من الزمن وخالل هذه الفترة فأنها تنتج عدداً عشوائياً

من المفردات وتنتهي بعد ذلك لتحل محلها المفردات الجديدة. كما أن البحوث األولى في هذا المجال تعود إلى الباحثين

حيث ظهرت1873 في عام Watson, Galton المعروفيناألنكليزيين تسمية المتسلسالت المتفرعة من خالل مسألةانحالل عوائل النبالء

األنكليز ومنذ ذلك التاريخ الذي جذب أنتباه هذين الباحثين, وبعد ذلك تعددت األعمال في هذا المجال وتم وضع نماذج مختلفة من المتسلسالت المتفرعة تصف سلسلة الظواهر المختلفة في

الفيزياء والكيمياء وعلوم الحياة والهندسة والديموغرافيا. لقد أنصبت معظم األعمال في هذا المجال على دراسة كل من

معدل تكاثر المفردات في المتسلسلة لكونه المؤشر الرئيسي والذي يحدد نهاية المجتمع الذي تولده المتسلسلة وحجم المتسلسلة

الذي يتطور بزيادة عدد األجيال, ولقد أختصت الكثير من تلك األعمال بدراسة حالة المتسلسلة المتفرعة البسيطة عندما يكون

معدل التكاثر أقل من واحد أو مساوياً للواحد أو أكبر من الواحد أما بالنسبة للمتسلسلة المتفرعة ذات األنواع المتعددة فقد أختصت

الكثير من هذه األعمال بدراسة المؤشر الذي يوازي معدل التكاثر في صفاته ومؤثراته على تصرف المتسلسلة المتفرعة البسيطة,

وهذا وهذا المؤشر يمثل الجذر المميز لمصفوفة معدالت التكاثر المؤشر عبارة عن تلخيص ألجمالي معدالت التكاثر بين األنواع

المختلفة في المتسلسلة. أن مصطلح المتسلسالت المتفرعة ظهر ألول مرة من خالل

المناقشة التي أجريت في قسم نظرية األحتمال بجامعة موسكو , والذي أدارها الباحث1947 ← 1946في العام األكاديمي

, وأصبح هذا المصطلح اآلن مقبول بشكلKolmogrovالسوفيتي واسع جداً.

بعد هذا العمل تعددت المنشورات حول هذا الموضوع بشكل كبير ،Kolmgrov and Serastyanm أول األمرجداً للباحثين السوفيتيين

Yaglom (1947) ، Dimitrie and Kolmogrov (1947) ، Serastyanov (1948), (1947).

الفصل الخامس / عمليات التفرع123

Otter (1949)ومن ثم المنشورات األمريكية لباحثين أمثال ، Harris (1948) ، Everrett and Vlam Bellman and Harris(1948).

وقد كرست بعض هذه األعمال لدراسة خصائص مختلف نماذج المتسلسالت المتفرعة والتي بدأت بالظهور في المجالت الرياضية التي تنتشر في مختلف أنحاء العالم وذلك في منتصف الخمسينيات

باألضافة إلى آالف البحوث وبعض الكتب التي نشرت في هذاالمجال.

والعديد من الباحثين في هذا المجال أقترحوا أو تحققوا في الكثير من نماذج المتسلسالت المتفرعة التي تصف الديموغرافيا

)الدراسة األحصائية للسكان من حيث المواليد والوفيات وهيواالنجاب.........ألخ(.

وقد سببت المتسلسالت المتفرعة في ظهور الكثير من المسائل الرياضية الصرفة والمهمة والتي لم ترتبط بصورة مباشرة بتلك

المنشورات وهذا بالتالي ساهم في أضافات جديدة في علومالرياضيات واألحصاء.

وهذا متأتي من الرغبة الشديدة في تطور تطبيقات نظرية األحتماالت. وبشكل عام وكذلك بسبب أمكانية أستخدامات مختلفة

للنماذج في الواقع البايلوجي والفيزياوي والمشاكل األخرى المتعلقة بتكوين )األشخاص( التي بأمكانها توليد أشياء أخرى من

نفس النوع وبالحقيقة أن حجم األشخاص أو )أعداد األفراد( في كلمجتمع وفي أي وقت يتوقف على ثالث عوامل هي:

, وهنا يجب األعتراف أن خصوبة أيFertilityخصوبة المجتمع .1مجتمع تختلف عن خصوبة المجتمعات األخرى.

وذلك بسبب الكوارث واألمراض Mortalityالموت الجماعي .2 والزالزل والحوادث والحروب، .... وليس باألمكان معرفة موت أي

عدد من األفراد من مجتمعات الكائنات الحية. وهذاImmigration Emigrationعامل الهجرة )الداخلية والخارجية( .3

العامل له األثر البليغ في أعداد أفراد أي مجتمع حي وبأجماع تأثيرات هذه العوامل )األيجابية والسلبية( فأن أفراد أي مجتمع

Randomمن المجتمعات الحية هي عبارة عن متغيرات عشوائية Variables.

Definition of Branching تعريف عمليات التفرع 3 – 5 Processes

الفكرة الرئيسية أو آلية العمل في عمليات التفرع هي كاآلتي, لنفرض شخص أو أي كائن حي )ولنعتبره هو الجيل الصفري( قادر

, .......من الذرية أو الكائنات الحية3, 2, 1, 0على أنجاب أو تكوين كل واحد من هذه الذرية أو الكائناتX1كوين الجيل األول تل

الحية)الجيل األول( سوف يتبع نفس اآللية أعاله في تكوين ذرية أو كائنات من خالله )أذ أخذ نفس الدور الذي وجد فيه هو( ومساهمتهم

العمليات العشوائية 124)فرضياتها وتطبيقاتها(

وأيضاً كل فرد منX2جميعاً سوف تؤدي إلى تكوين الجيل الثاني أفراد الجيل الثالث سوف يقوم بنفس الطريقة التي وجد فيها من

حيث تكوين ذرية أو وحدات المجتمع الحي وهكذا ... الخ ووصوالً إلى ( وتطور العوامل الثالثة التي ورد سردها والمؤثر فيnالجيل رقم )

هو nأعداد أي جيل. لذلك نفترض أن عدد األشخاص في الجيل رقم X nإذا أفترضنا أن هناك تركيب أو )أساس( أحتمالي لعمليات تكوين

، ... هنX1 ،X2،X3, أذن reproductionأو تكوين األشياء الحية الذرية عبارة عن متغيرات عشوائية وباألمكان حساب التوزيع األحتمالي

لهم. وباألمكان أفتراض ابسط نظام تفرع أو توليد الذرية ويكون

كاآلتي: هو عدد الذرية الذين تكونوا من شخص معين ويكون لهمX. ليكن 1

توزيع أحتمالي واحد.P {X=K }=Pk ,K=0 ,1 ,2 ,3 ,…

وهذا يكون نفسه لكل شخص في أي جيل معين.مالي يبقى ثابتاً من جيل آلخر.ت. وهذا التوزيع األح2 . تكوين الذرية من األشخاص يكون مستقالً من شخص آلخر وفي3

هذه الحالة سوف يتم التعامل مع المتغيرات العشوائية المستقلة Independent and identically distributed randomوالمتماثلة بالتوزيع

Variables (IID r.v’s). Xn}والمتسلسلة كاآلتي: انتقالي تكون سلسلة ماركوف بأحتمال{

Pij=Pr [X n+1= j|Xn=i ] ,i , j=0 ,1 ,2,3 ,…

خصائص الدوال المولدة للعزوم في عمليات التفرع4 - 5 Properties of Generating functions of Branching Process

لدينا موجود

X n+1=∑r=1

Xn

ζ r

ζعندما يكون r عبارة عن I. I. Dمتغيرات عشوائية بتوزيع أحتمالي هو {Pk gn. نفترض أن { (s هو دالة أحتمالية مولدة للعزوم للمتغير(

Xالعشوائي n , n=0 ,1 ,2 ,3 ,….ζ]ولذلك تكون الدالة المولدة للعزوم المتغير العشوائي r ]

g (s )=∑kP (ζ r=k )Sk=∑

kPk S

k

وأيضاً ممكن أفتراض gn (s )=∑

kp ( Xn=k ) Skn=0 ,1,2 ,3 ,…

الفصل الخامس / عمليات التفرع125

Xهي الدالة األحتمالية المولدة للعزوم المتغير العشوائي nوبما أنه X حجم المجتمع للجيل األبتدائي أو ما يسمى بالجيل الصفري1=0

)عمليات التفرع تبدأ من مكون للسلسلة واحد أو ما يسمى بالحدالوحيد(.

g0 (s )=S

:البرهانX 0=1

gxo (s )=E (Sk ) ¿ E (Sxo )

¿ E (S1 )=S

وبأمكان الطالب أستنتاج أن:g1 (S )=g (S )

ζ والمتغيرات العشوائية r , X1.لهما نفس التوزيع في تكوين الذرية

:نظريةgn (s )=gn−1 (g (s ) )… (1 )

gn (s )=g (gn−1 (s ) )… (2 )

( وبنفس األسلوب على الطالب1سوف يتم برهان العالقة رقم ).(2برهنة العالقة رقم )

البرهان:لدينا موجود

Pr {X n=K }=∑j=1

∞

Pr {X n=k|X n−1= j }∗Pr {Xn−1= j }

¿∑j=0

∞

Pr {∑r=1j

ζ r=k }∗P r {Xn−1= j }, … n = 1, 2, 3, 4ولذلك يكون وعندما

gn (s )=∑k=0

∞

P r {Xn=k }Sk

¿∑k=0

∞

Sk [∑j=0∞ {∑

r=1

j

¿ k }Pr {X n−1= j }]¿∑j=0

∞

Pr {Xn−1= j } [∑k=0∞

P r {ζ1+ζ2+ζ 3+…+ζ j=k }Sk ]… (3 )

العمليات العشوائية 126)فرضياتها وتطبيقاتها(

والمحصور بين األقواس ] [ تمثل دوال( 3والمقدار في المعادلة )ζمالية مولدة للعزوم لمجموع تأح 1+ζ 2+…ζ j وهذا يعني أن jمن

وكل واحدI. I. Dالمتغيرات العشوائية المستقلة المتماثلة بالتوزيع والمعادلة )j[g(s)] وهذا يساوي إلى g(s)منهم له دالة مولدة للعزوم

:( تصبح بالصيغة اآلتية3

gn (s )=∑j=0

∞

Pr {Xn−1= j }[g ( s)] j

:( وهي1وهذا مساوي إلى العالقة رقم )gn (S )=gn−1 (g (S ) )

( وبنفس األسلوب وعند2بقي على الطالب برهان العالقة )التعويض.

نحصل على ما يلي:, …n=2, 3, 4, 5وعند التعويض g2 (S )=g1 (g (S ) )=g (g1 (S ) ) . g3 ( S )=g2 (g ( S ) ) ,

g4 (S )=g3 (g ( s ) )…

وعند فتح nالتعويض ألي عدد صحيح إلى يستمر ن أوهكذا ممكن ( إلى أبعد من ذلك يكون اآلتي:1العالقة رقم )

gn (S )=gn−1 (g (S ) )=gn−2 (g (g (S ) ) )=gn−2 ( g2 (S ))

X العزم األول والعزم الثاني إلى المتغير العشوائي 5-5 n في متسلسالت التفرع:

Mean and Variance of X n for Branching Process: ن سوف يتم االشتقاق التام إلى المتوسط والتباين لعددآال

X( nاألفراد )أو لعدد الوحدات( في الجيل النوني )أو الجيل رقم n Xنفترض ان )وهذه حقيقة ثابتة أو بديهية في عمليات1=0

(Zeroth generationالتفرع أي أن الجيل رقم صفر أو الجيل الصفري ) هو دائماً واحد )أي أن الحد االعلى المكون للسلسلة هو واحد

.واألمثلة على ذلك كثيرة(إذن :

E (X 0 )=1

Var (X0 )=Zero

:إذنE (X n)=E [E (X n|Xn−1 ) ]

الفصل الخامس / عمليات التفرع127

إذ أن عدد الوحدات في الجيل النوني يعتمد على الجيل الذي سبقهولذلك يتم التوقع بشكل شرطي.

ولكن

X n=∑i=1

Xn−1

Zi

إذنE (Zi )=μ=∑

K=0Z p (Z i=k )

Var (Z i )=σ2=E (Z2 )−[E (Z ) ]2

E (X n)=E [E(∑i=1X n−1

Zi|X n−1 )]¿ E[E∑i=1

X n−1

Z i]¿E [ μ∗Xn−1 ]

أذن دائماً الثابت يخرج خارج التوقعE (X n)=μ E [Xn−1 ]

n=1عندما E (X1 )=μ E ( Xo ) E (X o )=1

E (X1 )=μ

n=2وعندماE (X2 )=μ E (X1 )=μ∗μ=μ2

n=3وعندما E (X3 )=μ E (X2 )=μ∗μ2=μ3

وهنا وباألعتماد على األستنتاج الرياضي:∴E ( Xn )=μn… (3 )

:أما بالنسبة إلى التباينVar (Xn )=Var ¿

يعندما يكون المتغير العشوائي معتمد على أي يكون بشكل شرط يكون التباين له )تباين التوقع + توقع التباين( كما في المعادلة

أعاله.( 4واآلن نأخذ الحد الثاني من المعادلة رقم )

E [Var (Xn|Xn−1) ]=E [Var∑i=1Xn−1

Z i ⌊Xn−1 ¿¿

العمليات العشوائية 128)فرضياتها وتطبيقاتها(

¿E[Var∑i=1

Xn−1

Zi]¿ E[∑i=1

X n−1

Var (Z i )]¿ E [σ 2∗Xn−1 ]¿σ 2E [Xn−1 ]¿σ 2μn−1

(4( وبالرجوع إلى المعادلة رقم )3وباألعتماد على المعادلة رقم )Var (Xn )=Var [μ∗X n−1 ]+σ 2μn−1

Var (Xn )=μ2Var (X n−1)+σ2μn−1

n=1ويالتعويض عن Var (X1 )=μ2Var (X0 )+σ2

¿O+σ2=σ2

n=2وعندما Var (X2 )=μ2Var (X1 )+σ2μ

¿ μ2σ2+σ2 μ

¿σ 2μ (1+μ )

n=3وعندما يكونVar (X3 )=μ2Var (X2 )+σ2μ2

¿ μ2 (μ2σ2+σ2μ )+σ 2μ2

Var (X3 )=σ2 μ2 (1+μ+μ2)

وبواسطة األستنتاج الرياضي يكونVar (Xn )=σ2 μn−1 (1+μ+μ2+…+μn−1 )… (5 )

( كاآلتي:5) ومن الممكن ان تكون المعادلة رقم

Var (Xn )=σ2 μn−11−μn

1−μμ≠1

:وتصبحVar (Xn )=nσ2 μ=1

Probability of Extinction احتماالت األنقراض6- 5تعريف األنقراض

الفصل الخامس / عمليات التفرع129

[Xn]األنقراض للعملية التصادفية يعني المتسلسلة العشوائية Xتساوي صفر )أي أن عدد الوحدات في المتسلسلة n)يساوي صفر

أي معنى هذا أن األجيال سوف تنعدم ولكل القيم ما عدا بعض القيم وبكالم آخر ممكن تعريف األنقراض أو يمكن حدوثnالمحددة لقيم

Prاألنقراض عندما يكون {X n=0}لبعض قيم n وهذا واضح إذا كان X n=0 X ويعد ذلكn=mلـ n=0لـ n>m: وهكذا فأن

Pr {Xn+1=0|Xn=0 }=1

(:2نظرية حول األنقراض ) وهو معدلμالذرية لكل شخص في عمليات التفرع معدل عدد النمو لألجيال.

( أي أن معدل النمو أقل أو يساوي واحد, أذن¿μ≤1فأذا كان μ>1 . أما اذا كان 100األحتماالت النهائية لألنقراض هو واحد أي %

أي ان معدل النمو أكبر من واحد فاألحتماالت النهائية لألنقراض تمثل الجذر الموجب األقل من واحد )المعادلة المكونة من الدرجة

التي سيتم شرحها فيما بعد وفقالثانية لمعادلة األنقراض( المعادالت المكونة.

هو أحتمال ان المجتمع سوف يموت نهائياً أو ينتهيqلنفرض ان Xعلى أفتراض ان )أي انه بدأ بالحد األعلى أو مؤسس الذرية1=0

qالذي هو واحد أي ان الجيل الصفري هو واحد(. وممكن صياغة بالشكل اآلتي, أي ممكن تعريفه بأحتمال األنقراض

q=limn→∞P [Xn=0|X0=1 ]

Chebyshev’s inequality يجب أستخدام متباينة شيبيشيف qولحساب :ومنطوقها الرياضي اآلتي

Pr {|X−μ|≥ t }≤ σ2

t 2

w دالة موجبة للمتغير العشوائي D(w)إذا كانت دالة معينة مثل وهي دالة غير معلومة إذا كان التوقع للدالة معلوم. بعد هذا ولكل

ثابت موجب تصح العالقة اآلتية: )نظرية لبرهنة حساب أحتمالاألنقراض(

P [D(w)≥c ]≤ E {D(w)}c

(6 )

ولتبسيط العالقة أعاله ممكن كتابتها بالشكل اآلتي:

P [ y≥c ]≤ E ( y )c

Xn}( على المتسلسلة 6وبأستخدام النظرية السابقة العالقة رقم ) } يكون لدينا اآلتي:

العمليات العشوائية 130)فرضياتها وتطبيقاتها(

P [Xn≥1 ]≤E (X n)

'

1

)راجع أشتقاق الوسط الحسابي في عمليات التفرع(

P [Xn≥1 ]≤ μn

1

ذن يكون الشكل النهائي كاآلتي:إ∴P [Xn≥1 ]≤μn

واليك الحاالت الثالثة لحدوث األنقراض من عدمه. ويكون اآلتي:μ<1 إذا كان معدل النمو أقل من واحد الحالة األولى:

E (X n)=μn

limn→∞E (Xn )=lim

n→∞μn=0

lim var (Xn )=0

∴P [Xn=0 ]=1=q

حتماالت االنقراض أكيدة عندما يكون معدل النموااذن هنا تكون عدد صحيح.1أقل من

μ=1ذا كان معدل النمو يساوي واحد الحالة الثانية: إE (X n)=1

Var (Xn )=nσ2

وهنا أيضاً أحتماالت األنقراض أكيدة. إذا كان معدل النمو أكبر من واحد فهنا نرجع إلىالحالة الثالثة:

( حول االنقراض أي ان أحتمال2الشطر الثاني من النظرية ) االنقراض النهائي هو الجذر الموجب األقل من واحد لمعادلة

األنقراض وكاآلتي:μ>1 عندما يكون E (X n)=μn

limn→∞E (Xn )=lim

n→∞μn=∞

limn→∞var ( Xn )=∞

qوممكن تعريف أحتمال األنقراض كاآلتي q=Pr {ultimate extinction }

¿Pr {P0 Pulation dieout }

الفصل الخامس / عمليات التفرع131

¿∑k=0

∞

Pr {ultimateextinction|X1=k }∗Pr {X1=k } (6 )

k {X1=k يساوي (1ن الجيل رقم )أبشرط ,(6 من المعادلة رقم ){ منkأذن المجتمع سوف ينقرض وإذا كان فقط كل واحدة من

العوائل بدأت بعدد في الجيل األول وبدأت تنقرض.وبأفتراض ان العوائل في األنقراض تسلك سلوك مستقل، إذن

Pr {ultimate extinction|X1=k }=qk… (7 )

ن لكل واحدة من وحدات المجتمع التيأ( 7وممكن تفسير المعادلة) qبدأنا بها ستنقرض وبما أنها مستقلة عن بعضها فلكل وحدة منها

←qk في نفسه عدة مرات ينتج qولهذا فعملية ضرب الـ

q=∑k=0

∞

qk Pk… (8 )

:وممكن تلخيص الحاالت الثالثة السابقة رياضياً كاآلتي(1 ) If μ<1

E (X n)=μn

limn→∞E (Xn )= lim

n→∞μn⇒ 0

lim var (Xn )⟹0

q=1هنا األنقراض أكيد (2 ) If μ=1

E (X n)=1

Var (Xn )=nσ2

q=1 هنا أيضاً األنقراض أكيد

(3 ) If μ>1

E (X n)=μn

limn→∞E (Xn )=lim μn=∞

limn→∞var ( Xn )=∞

وهنا األنقراض يساوي الجذر الموجب األقل من واحد في حل.(8المعادلة رقم )

q<1∴( 1 ومعنى هذا ان المجتمع سوف ينمو بأحتمال مقداره-q) . ممكن صياغته بمعادلة كاآلتي:μومعدل النمو

μ=∑k=0

∞

k pk… (9 )

العمليات العشوائية 132)فرضياتها وتطبيقاتها(

:( مشتقة من المعادلة9والمعادلة )E (Zi )=μ=∑

k=0Z P (Z i=k )

أفترض اآلتي عملية تفرع بأحتماالت هي:( 1مثال رقم)P2=

14, P1=

14, P0=

12

P2 ,P1 ,P0 جميعهم يمثلون Pk( أي أحتماالت النمو في9 في المعادلة ) األجيال الصفري واألول والثاني على التوالي.

μيتم أوالً حساب متوسط النمو

الحل:μ=∑

k=0

∞

k Pk

¿ 0∗12

+ 1∗14

+ 2∗14

= 34<1

q=1 األنقراض أكيد ل أحتما ∴بما ان معدل النمو أقل من واحد

(Probability of extinction is certain)

أفترض اآلتي عملية تفرع بأحتماالت نمو هي :(2) مثال رقمكاآلتي:

P2=12, p1=

14, P0=

14

المطلوب:( حدد أحتمال األنقراض.1( ما هي القيمة المتوقعة لحجم الجيل الثالث.2

الحل:μ( أيضاً نستخرج معدل النمو 1

μ=∑k=0

∞

K P k

¿ 0∗14

+ 1∗14

+ 2∗12

=1 14=1.25

μ>1∴في هذه الحالة يمكن تطبيق معادلة األنقراض من المعادلة (.8رقم )

q=∑k=0

2

qk pk

الفصل الخامس / عمليات التفرع133

q=[ q0∗14 +q1∗14

+q2∗12 ]

4 q=1+q+2q2

2q2−3q+1=0

(2q−1 ) (q−1 )=0

2q−1=0 , q=12… (1 )

q−1=0q=1… (2 )

( 1) نختار الجذر الموجب األقل من واحد وهو الجذر رقم

q=1أو ما يسمى 2

(Smallest Positive root of the equation)

( القيمة المتوقعة لحجم الجيل الثالث 2)E (X3 )=μ3=(1.25)3

أفترض اآلتي عملية تفرع بأحتماالت نمو هي: (3مثال رقم )كاآلتي:

P2=34, P0=

14

الحل: μ نستخرج معدل النمو

μ=∑k=0

∞

k pk

μ=[ 0∗14 +1∗0+ 2∗34 ]=64=1.5>1

لجأ إلى تطبيق معادلةنذاً إبما ان معدل النمو أكبر من واحد االنقراض لحساب احتمال األنقراض:

q=∑k=0

∞

qk pk

q=[q0∗14 +q1∗0+ q2∗34 ]

4 q=1+3q2

3q2−4 q+1=0

(3q−1 ) (q−1 )=0

العمليات العشوائية 134)فرضياتها وتطبيقاتها(

3q−1=0∴q=13…(1)

q−1=0∴q=1… (2 )

q=1وهنا يكون أحتمال األنقراض هو 3.

( حل التمارين اآلتية بأعتبارها عمليات تفرع مستخرجا4ًمثال)أحتمال األنقراض.

1. P0= 14 P1=12P2=

14

2. P0=16 P2=12P3=

13

3. P0=23 P1=16P2=

16

أمثلة من نوع آخر 7 – 5 في بعض األحيان ال يعطي أحتمال النمو في الجيل المعين على شكل ثابت وأنما يعطى على شكل توزيع أي لكل مجتمع له توزيع

معين في النمو. مقسم من المجتمعات لها توزيعات الثنائيBinominalحتمالية ويتما أو توزيع بواسون ولذلك تؤخذ الدالة ال

معدل النمو وتبعاً لذلك يتمμالتعرف على العزم األول الذي يمثل استخراج احتمال االنقراض كما سبق التعرف عليها.

أفترض ان التوزيع األحتمالي لعدد من الذرية يكون التوزيع:5مثال ( بدالة احتمالية هي:geometricالهندسي )

Pk=b(1−b)k،=0 ,1 ,2 ,3 ,…0<b<1

للدالة أعاله وحسب التوزيع(mean)ولهذا يكون العزم األول m=1−bالهندسي

bوسوف تكون الدالة المولدة للعزوم أعاله :

g (s )= 1(1−s (1−b ) )

وتكون معادلة األنقراض لحساب احتمال االنقراض ويكون لهاb( والثاني 1الجذور اآلتية األول يساوي )

1−b.

سوف يساوي واحد. فأن أحتمال األنقراضμ≤1إذا كان معدل النمو

b فالجذر الموجب μ>1أما إذا كان معدل النمو 1−b

هو أقل من واحد1> ويكون أحتمال األنقراض مساوياً إلى الجذر الموجب األقل من واحد

b1−b.

الفصل الخامس / عمليات التفرع135

أفترض اآلتي عملية تفرع باحتماالت نمو لألجيال هي(: 6مثال )كاآلتي:

k ≥4 عندما P3= 116,P2=

316,P1=

12,P0=

14

.qأوجد أحتمال األنقراض الحل:

والذي هو معدل النموμ أوالً يجب أستخدام μ=E ( X1 )=0∗14 + 1∗1

2+ 2∗316

+3∗116

=1716

>1

:هنا يجب تطبيق معادلة حساب أحتمال األنقراض وهي كاآلتيq=14q0+ 1

2q1+ 3

16q2+ 1

16q3

⟹q3+3q2−8q+4=0

أو(q−1 ) (q2+4q−4 )q−1=0⟹q=1 ∴أماq=−2−2√2

أوq=−2+2√2

:وهنا أحتمال األنقراض يكونq=2 (√2−1 )

عملية تكوين الدم تبدأ بشكل أولي بخلية حمراء واحدة(: 7 مثال ) وفي نهاية الوقت المخصص لدورة حياة الخلية الواحدة, الخلية

الحمراء عندما تنتهي يكون تعويض لها بأخذ األمور الثالث اآلتية هي إما )أ( خليتين حمراء أو )ب( خلية بيضاء أو )ج( خليتين بيضاء

1وبأحتماالت هي 12, 23, 1 على التوالي في تكوين الخاليا الحمراء4

والبيضاء. كل خلية حمراء يعاد تكوينها في هذه الطريقة وكل خلية بيضاء سوف تموت في كل وحدة وقت واحدة مخصصة لدورة حياة

تجديد الخلية. أثبت أن أحتمال األنقراض لمرحلة التكوين للدم1بأكملها هو3.

خلية بيضاءخليتين حمراء

خلية حمراء

خلية حمراء وخلية بيضاء

العمليات العشوائية 136)فرضياتها وتطبيقاتها(

الحل:نجد معدل النمو

μ=∑k=0

2

K P k=0∗112

+ 1∗23

+ 2∗14

¿ 23+ 12=76>1

فيجب حساب احتمال االنقراض عن طريق معادلتهμ>1بما ان

q=∑k=0

2

qk pk

q=q0 112

+q1 23+q2 1

4

⟹3q2−4q+1=0

(3q−1 ) (q−1 )=0

3q−1=0∴q=13

q−1=0∴q=1

q=1اذن احتمال االنقراض هو 3.

تمارينX( ليكن 1 n تمثل عملية تفرع وأنه g(s) تمثل الدالة المولدة

بحيث أن:(n) العدد الكلي للمشاهدات للجيل ynلألحتمالية وليكن yn+1= y0+ y1+…+ yn

الفصل الخامس / عمليات التفرع137

تمثل الدالة المولدة للعزوم، أشتق العالقة:Fn(s)ليكن Fn+1 (s )=sg (Fn ( s) ) for n=0 ,1 ,3 ,… ..

¿ gn−1 (s )=sg (gn (s ) )

p. g. f تمثل الدلة المولدة لألحتمالية g(s)( ليكن 2g (s )=as2+bs+c

g وأن (1 أثبت ان أحتمال األنقراض:1=(q= cq

هو عدد المواليد من األفراد ذوZi( أفترض عملية تفرع وأن 3EZالترتيب أو أن i=μ و var (Z i )=σ2 ،X n( يمثل حجم الجيل النوني

n وأنه )X أثبت أن:1=0 var ( Xn )=nσ2 ,E X n=μn

1أو بنت بأحتمال يساويإما ولد ( في مجتمع ما لكل رجل طفالن 42

Xأفترض أن n.يمثل خط الذكور a .أثبت أن أحتمال أنقراض خط الذكور أكيد )bلو أفترضنا أن )

.q=√5−2للرجل ثالث أطفال أثبت أن أحتمال األنقراض K) K( أفترض كل مفردة في نهاية وحدة الزمن تتحول إما إلى 5

q أو p( أو صفر باالحتماالت 2ثابت موجب صحيح أكبر أو يساوي على التتابع. أثبت ان أحتمال األنقراض أقل من واحد. أوجد

p=g=Yأحتمال األنقراض عندما 2 ,K=3.( أفترض عملية تفرع باالحتماالت اآلتية:6

P0=0.25 , p1=0.40 , p2=0.35

حتماالت األنقراض.االمطلوب: أ- حدد ب- القيمة المتوقعة لحجم الجيل العاشر.

فأن أحتمال األنقراض هوμ>1 واإذا كان q=1 فأن μ≤1( إذا كان 7∑=qأصغر جذر موجب للمعادلة

kqk pk.)برهن ذلك(

u( أفترض ان 8 ( y .y دالة غير سالبة للمتغير العشوائي (Eإذا كان {u ( y ) فأن:c موجوداً, فإن ألي ثابت موجب {

P {u( y )≥c }≤E {u ( y ) }c

)برهن ذلك(( أفترض عملية تفرع باالحتماالت اآلتية:9

العمليات العشوائية 138)فرضياتها وتطبيقاتها(

P0=14, p1=

12, p2=

14

نقراض ثم أوجد القيمة المتوقعة لحجم الجيلاحدد أحتمالية الالثاني.