บทท 3ตวแบบการโปรแกรมเชงเสน (Linear Programming

Models)ตวแบบการโปรแกรมเชงเสน ไดถกนำามาใชในการแกปญหาทอย

ภายใตขอจำากดทมอยเพอทจะใหกจกรรมสามารถดำาเนนการได โดยใชแนวคดทางคณตศาสตรเขามาชวยดวยการนำาเอาเงอนไขขอกำาหนดตางๆ ทงดานของจำานวนคน จำานวนวตถดบ เปนตนนำามาสรางเปนสมการหรออสมการ จากนนนำาตวแบบทไดไปแกปญหาดวยวธทางคณตศาสตรเพอใหไดคำาตอบทสอดคลองกบเปาหมายทตองการและเงอนไขขอจำากดตางๆ

ตวแบบคณตศาสตรโปรแกรมเชงเสนการจดสรรทรพยากรดวยตวแบบคณตศาสตรโปรแกรมเชงเสน ได

ถกสรางขนมาเพอมงหวงจะใหไดผลประโยชนมากทสด (Optimum) ภายใตขอจำากดตางๆ ทมอยขณะนน เชนการทำากำาไรใหไดมากทสด การทำาใหคาใชจายในการทำางานนอยทสด โดยมตวแปรในการสรางตวแบบคณตศาสตรมความสมพนธกนในลกษณะเชงเสน

เปาหมายทเราตองการเราเรยกวาฟงกชนเปาหมาย (Objective function) ซงจะประกอบไปดวย 2 รปแบบไดแก เปาหมายในการหาคาตำาสด (Minimization) และเปาหมายในการหาคาสงสด (Maximization) โดยอยภายใตขอกำาหนดตางๆ (Constraint functions) ของทรพยากรหรอขอจำากดทมอยในขณะนน

ขนตอนของ Linear Programming จะมขนตอนโดยสรปดงน 1 สรางสมการหรออสมการ ซงจะประกอบดวย สมการเปาหมาย, สมการขอจำากดเงอนไขตางๆ

2. การหาผลลพธ มอย สองวธ คอ 2.1 การใชกราฟ (ใชไดกบกรณทมตวแปรเพยง 2 ตวแปร) 2.2 วธซมเพลกซ (Simplex)

ตวอยาง 1 บรษทแหงหนงผลตกระเปา 2 ชนดคอกระเปาสะพายซง มกำาไร 2,000 บาทตอชน กบกระเปาเงน มกำาไร 1,500 บาทตอชน โดยกระเปาสะพาย หนงใบจะใชเวลาในการผลต 5 ชวโมง ใชวตถดบในการผลต 18 หนวย สวนกระเปาเงน หนงใบใชเวลาในการผลต 3 ชวโมง และใชวตถดบชนดเดยวกนกบการผลตกระเปาสะพาย 14 หนวย ถาบรษทมเวลาอย 1,000 ชวโมง และมวตถดบอย 2,500 หนวย และอาทตยนมลกคาสงซอสนคาทงสองชนดเขามาเปนจำานวนมาก บรษทแหงนควรจะวางแผนการผลตสนคาทงสองชนดอยางไร จงจะไดรบกำาไรสงสดวธทำา

จากโจทยความตองการคอการไดรบกำาไรสงสดจากการผลตและขายสนคาทงสองชนดภายใตเงอนไขทจำากด ดงนนเราจะทำาการกำาหนดตวแปรใหกบสนคาทงสองชนดโดยกำาหนดใหกระเปาสะพาย X1 และกระเปาเงน X2 แลวพยายามเขยนความสมพนธตางๆ ทเกยวของใหอยในรปของสมการ

สมการเปาหมาย (Objective Function)

Max Z = 2,000X1 + 1,500X2

ขอจำากดทมอยในการผลตกระเปาสะพาย และกระเปาเงนสามารถพจารณาไดคอกระเปาสะพาย และกระเปาเงนใชเวลาในการผลต 5 และ 3 ชวโมงตอใบ และบรษทมเวลาในการผลตทงหมดในชวงน 1,000 ชวโมง และวตถดบทใชสำาหรบการผลตกระเปาสะพายและกระเปาเงนเปน 18 และ 14 หนวย

และมวตถดบ 2,500 หนวย เราสามารถเขยน constraint functions ไดดงน

5X1 + 3X2 ≤ 1,00018X1 + 14X2 ≤ 2,500X1, X2 ≥ 0

โปรแกรมเชงเสนทไดคอMax Z = 2,000X1 + 1,500X2

S.t5X1 + 3X2 ≤ 1,00018X1 + 14X2 ≤ 2,500X1, X2 ≥ 0

ตวอยาง 2 นายกำาแพงมเงนอยจำานวน 4,000,000 บาท ตองการนำาเงนไปลงทน 3 ประเภทโดยผลตอบแทนจากการลงทนในแตละประเภทมจำานวน รอยละ 5 ตอป 15% ตอป และ 7% ตอป นายกำาแพงตองการกระจายความเสยงในการลงทนดงน เขาลงทนในประเภทท 2 จำานวน ¼ ของจำานวนเงนทมอย และลงทนในประเภทท 1 เปนจำานวนสองเทาของการลงทนประเภทท 2 และเงนทเหลอทงหมดเคาจะนำาไปลงทนในประเภทท 3 จากขอมลดงกลาวใหสรางสมการเชงเสนสำาหรบการลงทนในครงนวธทำา

จากเนอหาทกลาวมาโจทยไมไดกำาหนดความตองการแตเปนสวนของการลงทนกตองการผลตอบแทนสงสด ดงนนสมการเปาหมายเขยนไดดงน

Max Z = 0.05X1 + 0.15X2 + 0.07X3

ขอจำากดหรอเงอนไขในการลงทนสามารถเขยน constraint functions ไดดงน

X2 ≤ (1/4)*4,000,000X1 = 2X2X3 = 4,000,000 – (X1 + X2)

โปรแกรมเชงเสนทไดคอMax Z = 0.05X1 + 0.15X2 + 0.07X3

S.tX2 ≤ (1/4)*4,000,000X1 = 2X2X3 = 4,000,000 – (X1 + X2)X1 + X2 + X3 = 4,000,000X1, X2, X3 ≥ 0

ตวอยาง 3 บรษทผลตขนมขบเคยวแหงหนง ตองการผลตถวรวมมตร บรรจถงขาย โดยจะบรรจขายในถงละ ½ กโลกรม โดยจะมถวตางๆ ในสดสวนตอไปน ถวลสงมากทสดคอ ไมตำากวา 50 % ของถวทงหมด อลมอนต ไมเกน 20% ของถวลสงกบถวปากอารวมกน เมดมะมวงหมพานต ไมเกน 50 กรม ถวปากอาไมเกน 300 กรม อลมอนตและมะมวงหมพานตรวมกนตองไมเกน 400 กรม ตนทนของถวชนดตาง ๆ มดงตอไปน ถวลสง กโลกรมละ 50 บาท อลมอนต กโลกรมละ 500 บาท มะมวงหมพานตกโลกรมละ 200 บาท ถวปากอากโลกรมละ 120 บาท จากขอมลดงกลาวจงสรางตวแบบเชงเสน

กำาหนดตวแปร X1 แทนจำานวนถวลสงทใช (หนวย :กโลกรม) X2 แทนจำานวนอลมอนต (หนวย :กโลกรม)

X3 แทนจำานวนเมดมะมวงหมพานต (หนวย :กโลกรม) X4 แทนจำานวนถวปากอา (หนวย :กโลกรม)

เปาหมายขอนไมบอกอะไรมาเลย แตขอมลทมอยเปนราคาทนของวตถดบแตละชนด แสดงวานาจะเปนเรองเกยวกบตนทน ดงนนถาเปนเรองเกยวกบตนทน กตองสรางโปรแกรมเชงเสนททำาใหไดตนทนตำาสด

สมการเปาหมายMin Z = 50X1 + 500X2 + 200X3 + 120X4

S.T X1 + X2 + X3 + X4 = 0.5X1 ¿ 0.25X2 ¿ 0.2( X1 + X4)X3 ¿ 0.05X4 ¿ 0.3X2 + X3 ¿ 0.4X1, X2 , X3 , X4 ¿ 0

ตวอยางท 4 บรษทขายเครองไฟฟาแหงหนง กำาลงจะจดงานสงเสรมการขาย ในอก 1 เดอนขางหนา ณ หางสรรพสนคา บรษทนตงงบสำาหรบใชในการประชาสมพนธ 2 ลานบาทเพอประชาสมพนธเกยวกบงานใหคนทวไปไดรบร โดยรายละเอยดชองทางทใชในการประชาสมพนธมดงตอไปน

ชองทางทใชในการประชาสมพนธหนงสอพมพ วทย โทรทศน

จำานวนผรบสอ(คน/ครง)

500,000 50,000 200,000

คาใชจายตอ(บาท/ครง)

100,000 5,000 50,00

เงอนไขของการใชสอตางมดงตอไปน หนงสอพมพ ตองลงโฆษณา ขนตำาอยางนอย 3 วน แตมหนาวางใหไมเกน 10 วน สอวทย ลงโฆษณาไดวนละ 5 ครง ไดเวลาไมเกน 20 วน สอทวตองโฆษณา ขนตำา 2 นาท โดยแบงออกเปนครง ครงละ 15 วนาท ซงมเวลาใหโฆษณา 10 นาท จงสรางตวแบบเชงเสนจากขอมลขางตนวธทำา

เรองนเปนเรองเกยวกบการเลอกใชสอโฆษณา ซงมงบอยแลว 2 ลานบาท ดงนนตวแบบเชงเสนตองเปนตวแบบเพอใชประโยชน ในการหาคำาตอบใหไดวา จะนำาเงน 2 ลานบาทไปใชอยางไรเพอใหคนไดรบรขอมลขาวสารของบรษทมากทสดกำาหนด X1 แทนจำานวนครงทใช หนงสอพมพ (หนวย : ครง)

X2 แทนจำานวนครงทวทย (หนวย: ครง)X3 แทนจำานวนครงทใชโทรทศน (หนวย : ครง)

เปาหมายคอ ตองการใหจำานวนคนไดรบสอมากทสดในการโฆษณาสมการเปาหมาย Max Z = 500,000X1 + 50,000X2 + 200,000X3 S.T. X1 ¿ 3

X1 ¿ 10 X2 ¿ 100 X3 ¿ 8 X3 ¿ 40

500,000X1 + 5,000X2 + 5,000X3 2,000,000

X1, X2 , X3 ¿ 0

การหาผลลพธจากตวแบบเชงเสนเพอหาคำาตอบทเหมาะสม1. ใชกราฟในการแกไขปญหา การใชกราฟจะเหมาะกบปญหาทม

ตวแปรแค 2 ตว การใชกราฟในการหาผลลพธ มหลกการโดยสรปดงตอไปน

1.เปลยนอสมการทงหลายใหสมการ2.หาจดตดแกนตง( 0 , X2 ) และจดตดแกนนอน( X1 , 0 )

ของสมการในขอหนง แลววาดกราฟ โดยทวไปจะให X1 อยแกนนอน และ X2 อยแกนตง

3. พจารณาหาพนทคำาตอบ โดยอาศยเสนกราฟ ในขอ 2 และเครองหมายของอสมการ (หรอสมการ) ในตวแบบเบองตน

4. สรางเสน Z1 และ Z2 จากสมการเปาหมาย Z จากนนเลอกจดยอดทเหมาะสม

5. พจารณาจดยอด แกสมการหาคำาตอบ

ตวอยาง 5 จงแกกำาหนดการเชงเสนตอไปน โดยใชกราฟสมการเปาหมาย Min Z = 3X1 + 5X2St. 2X1 + 5X2 ¿ 10

4X1 + X2 ¿ 123X1 + 6X2 ¿ 18

X2 ¿ 6 X1 , X2 ¿ 0

วธทำา 1. เปลยนอสมการตาง ๆ ใหเปนสมการ จะไดดงน

2X1 + 5X2 ¿ 10 จะได 2X1 + 5X2 = 10

4X1 + X2 ¿ 12 จะได 4X1 + X2 = 123X1 + 6X2 ¿ 18 จะได 3X1 + 6X2 = 18

X2 ¿ 6 จะได X2 = 6สำาหรบเครองหมายของสมการเดมจะใชในการพจารณาหาพนทคำาตอบ

จาก Min Z = 3X1 + 5X2 X1 = 0 และคา X2 = 3 ∴ Min Z = 3(0) + 5(2) = 15 Ans.

ตวอยาง 6 จงแกกำาหนดการเชงเสนตอไปน โดยใชกราฟสมการเปาหมาย Max Z = 300x1 + 200x2St. 2x1 + x2 ≤ 40

x1 + 3x2 ≤ 45

x1 ≤ 12x1, x2 ≥ 0

วธทำา……………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. การใชวธ ซมเพลกซ (Simplex) วธการนจะใชไดกบตวแปรทมากกวา 2 ตวและมเงอนไขทซบซอนกวา ความคดมลฐานของวธซมเพลกซคอการแกปญหาสมการซำาๆ กนเรมจากคำาตอบมลฐานเรมตนทเปนไปไดแลวคอยๆ ขยบไปตวแปรมลฐานใหมทละ 1 ตว

การแกปญหาโดยวธซมเพลกซ จะตองมการสรางรปแบบกำาหนดการเชงเสนใหอยในรปแบบมาตรฐาน คอ เปลยนขอจำากดทอยในรปอสมการใหเปนสมการทสมมลกน ตวอยางเชน

ตวอยางท 7 จงใชวธซมเพลกซหาคาสมการตอไปน (กรณการหาคา Maximum)สมการเปาหมาย Max Z = 300x1 + 250x2

St. 2x1 + x2 ≤ 40x1 + 3x2 ≤ 45x1 ≤ 12x1, x2 ≥ 0

เขยนขอจำากดใหอยในรปสมการขอจำากดทสมมลกนโดยใชตวแปรขาด (Slack Variable) ดงน ให S1 , S2 , S3 ≥ 0 เปนตวแปรขาด สมการขอจำากดทสมมลกบขอจำากด คอ

Max Z = 300x1 + 250x2 + 0S1 + 0S2 + 0S32x1 + x2 + 1S1 + 0S2 + 0S3 = 40x1 + 3x2 + 0S1 + 1S2 + 0S3 = 45x1 + 0S1 + 0S2 + 1S3 = 12

ตารางเรมตนของ Simplex

unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Qua

ntitys1 0 2 1 1 0 0 40s2 0 1 3 0 1 0 45s3 0 1 0 0 0 1 12

Coficient Max Cj 30

0250 0 0 0

unit*xi Zj 0 0 0 0 0Cj-Zj 30

0250 0 0 0

ขนตอนท 1 ทำาการพจารณาคา Cj-Zj วาคอลมนไหนมคามากทสดจะทำาการพจารณาตวแปรนนเปนตวแปรแรก จากตารางเรมตนคอตวแปร x1

unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Qua

ntitys1 0 2 1 1 0 0 40s2 0 1 3 0 1 0 45

s3 0 1 0 0 0 1 12Coficient Max Cj 30

0250 0 0 0

unit*xi Zj 0 0 0 0 0Cj-Zj 30

0250 0 0 0

ขนตอนท 2 ทำาการนำาคาตวแปร x1 ไปหารตวแปร Quantity ในแถวของตวเองและทำาการเลอกเอาคาทนอยทสด

unit profit

x1 x2 s1 s2 s3 Quantity

s1 0 2 1 1 0 0 40 (40/2)=20

s2 0 1 3 0 1 0 45 (45/1)=45

s3 0 1 0 0 0 1 12 (12/1)=12

Coficient Max Cj 30

0250 0 0 0

unit*xi Zj 0 0 0 0 0Cj-Zj 30

0250 0 0 0

ขนตอนท 3 ทำาการแทนตวแปร s3 ดวยตวแปร x1 คา unit profit ของ s3 เปลยนจาก 0 เปน 300

unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Qua

ntitys1 0 2 1 1 0 0 40s2 0 1 3 0 1 0 45

x1 300 1 0 0 0 1 12Coficient Max Cj 30

0250 0 0 0

unit*xi Zj 300 0 0 0 0

Cj-Zj 0 250 0 0 0

ขนตอนท 4 คาในแถว s1 สามารหาไดดงน นำาคาตวแปร x1 ในคอลมนท 1 แถวท 1 คอเลข 2 มาทำาการคณกบคาตวแปรในแถว x1 จำาไดคา 2 0 0 0 2 24 จากนนนำาคาในแถว s1 ตงและลบดวยคาทหาไดจากกอนหนา

2 1 1 0 0 402 0 0 0 2 240 1 1 0 -2 16

นำาคาผลตางทไดไปแทนทในแถว s1

unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Qua

ntitys1 0 0 1 1 0 -2 16s2 0 1 3 0 1 0 45x1 300 1 0 0 0 1 12

Coficient Max Cj 30

0250 0 0 0

unit*xi Zj 300 0 0 0 0

Cj-Zj 0 250 0 0 0

ขนตอนท 5 ในแถว s2 กใหทำาเชนเดยวกนกบขนตอนท 41 3 0 1 0 451 0 0 0 1 120 3 0 1 -1 33

นำาคาผลตางทไดไปแทนทในแถว s2

unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Qua

ntitys1 0 0 1 1 0 -2 16s2 0 0 3 0 1 -1 33x1 300 1 0 0 0 1 12

Coficient Max Cj 30

0250 0 0 0

unit*xi Zj 300 0 0 0 0

Cj-Zj 0 250 0 0 0

เสรจสนกระบวนการรอบท 1 ของวธ Simplex

การหาคาในรอบท 2 unit

profit x1 x2 s1 s2 s3 Quantity

s1 0 0 1 1 0 -2 16 (16/1)=16

s2 0 0 3 0 1 -1 33 (33/3)=11

x1 300 1 0 0 0 1 12Coficient Max Cj 30

0250 0 0 0

unit*xi Zj 300 0 0 0 0

Cj-Zj 0 250 0 0 0

x2 แทนคา s2 คา unit profit จาก 0 เปน 250 นำา 3 หารตวเลขในแถว s2 จะไดตวเลขตงตนดงตารางตอไป โดยทจะไมเขาไปยงกบแถว x1

unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Qua

ntitys1 0 0 1 1 0 -2 16

x2 250 0 1 0 1/3

-1/3

11

x1 300 1 0 0 0 1 12Coficient Max Cj 30

0250 0 0 0

unit*xi Zj 300

250 0 0 0

Cj-Zj 0 0 0 0 0

ทำาการพจารณาเพอปรบคาตวเลขในแถว s1 ทำาเชนเดยวกบขนตอนท 4 ในรอบท 1

0 1 1 0 -2 160 1 0 1/3 -1/3 15

0 0 1 -1/3 -5/3 5

unit profit x1 x2 s1 s2 s3 Quan

titys1 0 0 0 1 -1/3 -5/3 5x2 250 0 1 0 1/3 -1/3 11x1 300 1 0 0 0 1 12

Coficient Max Cj 30

0250 0 0 0

unit*xi Zj 300

250 0 250/

3650/

3

Cj-Zj 0 0 0-

250/3

-650/

3

จากตาราง Simplex ทไดจะเหนวาคาของ Cj-Zj มคาเปน 0 และตดลบทงหมดจงหยดการทำางานดงนนคำาตอบทไดคอ

X1 = 12X2 = 11S1 = 5

แทนคาในสมการเปาหมาย Max Z = 300*12 + 250*11 = 6,350

ตวอยางท 8 จงใชวธซมเพลกซหาคาสมการตอไปน (กรณการหาคา Minimum)

Min Z = 45x1 + 12x2St.

x1 + x2 ≥ 3003x1 ≥ 250

วธทำา………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………