WALBER DA LUZ CORREA D.Sc - Federal University of Rio de

CONTROLE DAS VIBRAÇÕES INDUZIDAS PELA INTERAÇÃO DINÂMICA

ENTRE TRENS-TRILHOS-DORMENTES-ESTRUTURA DE AÇO DE PONTES

FERROVIÁRIAS

Walber da Luz Correa

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM

ENGENHARIA CIVIL.

Aprovada por:

_________________________________________________

Prof. Ronaldo Carvalho Battista, Ph.D.

_________________________________________________

Prof. José Luis Drummond Alves, D.Sc.

_________________________________________________

Prof. Benjamin Ernani Diaz, Dr.Ing.

_________________________________________________

Prof. Carlos Eduardo Nigro Mazzilli, Ph.D.

_________________________________________________

Prof. Pedro Colmar Gonçalves da Silva Vellasco, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL

JULHO DE 2008

ii

CORREA, WALBER DA LUZ

Controle das vibrações induzidas pela inte-

ração dinâmica entre trens-trilhos-dormentes-

estrutura de aço de pontes ferroviárias.

[Rio de Janeiro] 2008

XXIII, 216 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc.,

Engenharia Civil, 2008)

Tese – Universidade Federal do Rio de Ja-

neiro, COPPE

1. Pontes ferroviárias

2. Pontes de aço

3. Composição ferroviária

4. Dinâmica estrutural

5. Fadiga de pontes ferroviárias

6. Controle de vibrações

I. COPPE/UFRJ II. Título (série)

iii

Dedico esta tese aos meus pais,

João e Eliza, a minha esposa Leila,

e a toda minha família pelo apoio constante

que sempre recebi.

iv

AGRADECIMENTOS

Agradeço em primeiro lugar ao Deus Todo-Poderoso, pois é o Criador de todas as coisas e fonte de todo conhecimento;

Aos meus pais, João Correa e Eliza da Luz;

À minha esposa Leila Jales Graciano;

Aos meus irmãos Walter, Waldecy, Waldinalva, Walterlino, Waldiléia e Wagner pelo apoio constante;

Ao professor Ronaldo Carvalho Battista, pela orientação, pelo apoio e pela amizade;

Às professoras Michele Pfeil e Eliane Carvalho pelos ensinos;

Aos amigos Emerson F. dos Santos, Adcleides A. da Silva e Tiago J. L. de Oliveira, pela amizade desde os tempos de mestrado;

Ao amigo e companheiro Wendell Varela;

Aos amigos Carlos Cortês, Carlos Rossigali, Fabrício Resende, George Answorth, Ana Maria, Luis Alvariño, Ederli Marangon, João Almeida, Jonylson Amarante, Reila Velasco, Cíntia, Vivian, Margarete, Janine;

Às Secretárias do Labest Luzidele Peixoto e Sandra Mendonça;

v

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D. Sc.).

CONTROLE DAS VIBRAÇÕES INDUZIDAS PELA INTERAÇÃO DINÂMICA

ENTRE TRENS-TRILHOS-DORMENTES-ESTRUTURA DE AÇO DE PONTES

FERROVIÁRIAS


Julho/2008

Orientador: Ronaldo Carvalho Battista

Programa: Engenharia Civil

O problema das vibrações induzidas em estruturas de aço de pontes ferroviárias

pela passagem de trens é tratado neste trabalho, juntamente com sistemas alternativos

para atenuação dessas vibrações por meio de dispositivos de controle passivo. As cargas

dinâmicas dos trens, compostos por vários vagões e locomotivas, trafegando sobre a

ponte são simuladas com auxílio de um modelo matemático-computacional em que cada

vagão e seus truques são descritos por um modelo mecânico-analítico com nove graus

de liberdade. A modelagem numérica tridimensional do sistema mecânico-estrutural de

uma ponte ferroviária é feita por meio do Método dos Elementos Finitos, mas levando

em conta a interação dinâmica trem-trilhos-dormentes-estrutura e as irregularidades

geométricas, determinísticas e aleatórias, nas rodas e nos trilhos. Para reduzir as

amplitudes das respostas em termos de deslocamentos e de tensões e, portanto, para

aumentar a vida útil à fadiga da estrutura, são concebidos e propostos dois sistemas de

controle de vibrações. O primeiro composto por dispositivos viscoelásticos para redução

das vibrações transmitidas diretamente à estrutura; o segundo, um sistema de controle

dinâmico composto por massas-molas-amortecedores acoplados à estrutura. As

respostas dinâmicas dos sistemas estruturais original e controlado, obtidas da integração

numérica das equações de movimento, são utilizadas para avaliar o desempenho dos

sistemas de atenuação propostos e os efeitos sobre as estimativas de vida útil à fadiga de

uma estrutura de aço de uma ponte ferroviária urbana, utilizada como exemplo prático.

vi

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.).

CONTROL OF VIBRATIONS INDUCED BY THE DYNAMIC INTERACTION OF

RAILCARS-RAIL-SLEEPER- STEEL STRUCTURE OF RAILWAY BRIDGES


July/2008

Advisor: Ronaldo Carvalho Battista

Department: Civil Engineering

The vibration problem in railway steel bridges and the search for alternative for

solutions involving passive control systems for attenuation of vibrations induced by the

traffic of trains are dealt within the present work. The dynamic loads produced by the

railroad cars and locomotives are simulated with the aid of a mathematic-computational

model in which each car or locomotive and their suspension-wheels systems are

described by a 3D mechanic-analytical model having nine degrees of freedom. The

three-dimensional modeling of the structural-mechanical system of a railway bridge is

done by combining the analytical and FEM numerical techniques taking into account

the dynamic interaction between train-rails-sleepers-structure and the effects of the

geometric irregularities inherent to the fabrication and wearing of the steel rails and

wheels. To reduce the amplitudes of the dynamic responses of the bridge to the traffic of

trains and to increase the fatigue life of the steel structure two distinct passive control

systems are conceived and proposed: one is the VEA composed by viscoelastic

attenuator of the vibrations transmitted directly by railroad cars to the structure; the

other system is composed by dynamic attenuators of the type SDA, closely tuned to the

frequencies of dominant vibration modes in the structure’s response to the passage of

trains. The time-response of the uncontrolled and controlled structures obtained from

the numerical integration of the differential equations of motions are used to evaluate

the performance of the proposed control systems in attenuating amplitudes of the

varying stresses in the welded connections and the consequent increase of fatigue life of

a steel bridge taken as a practical case study.

vii

Índice Capítulo I

INTRODUÇÃO .................................................................................................

I.1 MOTIVAÇÃO E OBJETIVO..........................................................................

I.2 BREVE HISTÓRICO DE PONTES FERROVIÁRIAS DE AÇO NO BRASIL.........

I.3 ESCOPO DO TRABALHO............................................................................. Capítulo II

CARGAS MÓVEIS FERROVIÁRIAS.............................................................

II.1 DESCRIÇÃO DOS TIPOS DE VEÍCULOS FERROVIÁRIOS UTILIZADOS NO

BRASIL......................................................................................................

II.1.1 TRENS PARA TRANSPORTE DE PASSAGEIROS.....................................

II.1.2 TRENS PARA TRANSPORTE DE CARGA................................................

II.2 MODELOS DE CARGA MÓVEL PRESCRITOS EM NORMAS.........................

II.2.1 MODELOS SEGUNDO A NBR 7189......................................................

II.2.2 MODELOS SEGUNDO A EN1991-2......................................................

II.2.2.1 Modelo de carga LM71..........................................................

II.2.2.2 Modelo de carga SW/0 e SW/2...............................................

II.2.2.3 Modelo HSLM.........................................................................

II.2.3 MODELOS SEGUNDO A BS5400-2.....................................................

II.3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM VEÍCULO FERROVIÁRIO.................

II.3.1 MODELOS BIDIMENSIONAIS.............................................................. Capítulo III

MODELAGEM MATEMÁTICA 3D DO PROBLEMA DE INTERAÇÃO

DINÂMICA: TREM-TRILHOS-DORMENTES-ESTRUTURA..................

III.1 MODELO TRIDIMENSIONAL DE UM VEÍCULO FERROVIÁRIO.................

III.2 MODELAGEM TRIDIMENSIONAL DO PROBLEMA DE INTERAÇÃO

DINÂMICA...............................................................................................

III.2.1 IRREGULARIDADES GEOMÉTRICAS NOS TRILHOS E NAS RODAS........

III.2.2 EQUAÇÕES MATEMÁTICAS DE INTERAÇÃO DINÂMICA......................

III.2.2.1 Massa concentrada acoplada à estrutura.............................

III.2.2.2 Modelo do dormente..............................................................

III.2.2.3 Interação dinâmica veículo-estrutura...................................

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III.2.3 MODELO COMPUTACIONAL.............................................................

Capítulo IV

SISTEMAS DE CONTROLE PASSIVO DE VIBRAÇÕES EM

ESTRUTURAS DE PONTES FERROVIÁRIAS............................................

IV.1 ATENUADORES VISCOELÁSTICOS – AVE................................................

IV.1.1 PROPRIEDADES MECÂNICAS ESTÁTICAS DOS APARELHOS DE

NEOPRENE FRETADO........................................................................

IV.1.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS DINÂMICAS DE MATERIAIS

VISCOELÁSTICOS.............................................................................

IV.1.3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE MATERIAIS VISCOELÁSTICOS..........

IV.1.4 APLICAÇÃO DE MATERIAIS VISCOELÁSTICOS EM ATENUADORES DE

VIBRAÇÕES EM PONTES FERROVIÁRIAS............................................

IV.2 ATENUADORES DINÂMICOS SINTONIZADOS/SINCRONIZADOS – ADS.....

IV.2.1 APLICAÇÃO DO SISTEMA ADS PARA ATENUAÇÃO DE VIBRAÇÕES..... Capítulo V

DESCRIÇÃO DA FERRAMENTA NUMÉRICO-COMPUTACIONAL.....

V.1 BIBLIOTECA DE ELEMENTOS DO CONTROLMADS....................................

V.1.1 ELEMENTO DE PÓRTICO ESPACIAL....................................................

V.1.2 ELEMENTO TRIANGULAR DKT.........................................................

V.1.3 ELEMENTO QUADRILÁTERO..............................................................

V.1.4 ELEMENTO HEXAÉDRICO..................................................................

V.1.5 ELEMENTO DE CONEXÃO VISCOELÁSTICA........................................

V.2 MATRIZ DE AMORTECIMENTO.................................................................

V.3 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL.......................................................

Capítulo VI

ESTIMATIVA DA VIDA ÚTIL À FADIGA DE ESTRUTURAS.................

VI.1 FADIGA EM JUNTAS SOLDADAS DE ESTRUTURAS DE AÇO.....................

VI.2 METODOLOGIAS PARA ESTIMATIVA DE VIDA ÚTIL À FADIGA...............

VI.2.1 DANO ACUMULADO.....................................................................

VI.2.1.1 Métodos de contagem de ciclos de tensão.............................

VI.2.1.2 Curvas S-N (T-N) .................................................................

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VI.2.2 COMENTÁRIOS SOBRE A APLICAÇÃO DOS PRINCÍPIOS DA

MECÂNICA DA FRATURA..................................................................

VI.3 PRESCRIÇÕES NORMATIVAS PARA ANÁLISE DE FADIGA EM PONTES

FERROVIÁRIAS........................................................................................

VI.3.1 NORMA EN1991-1...........................................................................

VI.3.2 NORMA PR1993-1-9........................................................................

VI.3.3 NORMA BRITÂNICA BS5400-10......................................................

VI.3.4 NORMA AMERICANA AASHTO......................................................

VI.3.4.1 Fadiga induzida por cargas..................................................

VI.3.4.2 Fadiga induzida por distorções............................................. Capítulo VII

ESTUDO DE CASO: PONTE FERROVIÁRIA URBANA............................

VII.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA E DAS SUAS CARACTERÍSTICAS FÍSICAS

E GEOMÉTRICAS...................................................................................

VII.2 MODELO TRIDIMENSIONAL DA ESTRUTURA........................................

VII.3 CARACTERÍSTICAS DOS VEÍCULOS FERROVIÁRIOS.............................

VII.4 CARACTERÍSTICAS DE VIBRAÇÃO DA ESTRUTURA ORIGINAL.............

VII.4.1 FREQÜÊNCIAS E MODOS DE VIBRAÇÃO DA ESTRUTURA ORIGINAL

– VIBRAÇÃO LIVRE........................................................................


COM 01 CARRO MOTOR COM TRUQUES E SUSPENSÕES...................


COM 01 CARRO REBOQUE COM TRUQUES E SUSPENSÕES................


COM 01 CARRO MOTOR E MEIO CARRO REBOQUE SOBRE A

ESTRUTURA, CONSIDERANDO SEUS TRUQUES E SUSPENSÕES.........


COM 01 CARRO REBOQUE E MEIO CARRO MOTOR SOBRE A

ESTRUTURA, CONSIDERANDO SEUS TRUQUES E SUSPENSÕES..........

VII.5 RESPOSTAS DINÂMICAS DA ESTRUTURA ORIGINAL DA PONTE À

PASSAGEM DOS TRENS...........................................................................

VII.5.1 RESPOSTAS DINÂMICAS EM TERMOS DE DESLOCAMENTOS.............

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VII.5.1.1 Análise e influência das irregularidades nas respostas

dinámicas.............................................................................

VII.5.1.2 Análise e influência da velocidade nas respostas

dinámicas.............................................................................

VII.5.2 RESPOSTAS DINÂMICAS EM TERMOS DE ESFORÇOS SECCIONAIS.....

VII.5.3 RESPOSTAS DINÂMICAS EM TERMOS DAS REAÇÕES DE APOIO........

VII.6 RESPOSTAS DINÂMICAS DA ESTRUTURA COM SISTEMA DE

CONTROLE À PASSAGEM DOS TRENS.....................................................

VII.6.1 ESTRUTURA COM ATENUADORES VISCOELÁSTICOS........................


dinâmicas da estrutura com atenuadores viscoelásticos.....

VII.6.1.2 Resposta em termos dos esforços seccionais da estrutura

com atenuadores viscoelásticos...........................................

VII.6.1.3 Resposta em termos das reações de apoio da estrutura

com atenuadores viscoelásticos...........................................

VII.6.2 ESTRUTURA COM ATENUADORES DINÂMICOS SINTONIZADOS –

ADS..............................................................................................


dinâmicas da estrutura com ADS........................................

VII.6.3.2 Resposta em termos dos esforços seccionais da estrutura

com ADS..............................................................................

VII.6.2.3 Resposta em termos das reações de apoio da estrutura

com ADS...............................................................................

VII.6.3 COMPARAÇÃO DAS RESPOSTAS DA ESTRUTURA COM SISTEMAS DE

ATENUAÇÃO DE VIBRAÇÃO............................................................

VII.7 ESTIMATIVA DE VIDA ÚTIL À FADIGA DA ESTUTURA...........................

VII.7.1 ESTRUTURA ORIGINAL...................................................................

VII.7.1.1 Determinação dos ciclos de tensão......................................

VII.7.1.2 Cálculo dos danos................................................................

VII.7.1.3 Cálculo da vida útil à fadiga................................................

VII.7.1.4 Estimativa da sobrevida útil à fadiga da estrutura..............

VII.7.2 ESTRUTURA COM SISTEMAS DE CONTROLE....................................

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VII.7.2.1 Estimativa da sobrevida útil à fadiga da estrutura com

atenuadores viscoelásticos..................................................


sistema de ADS....................................................................


atenuadores viscoelástico + ADS.......................................

VII.7.2.4 Comparação dos resultados.................................................

VII.8 RESUMO E ANÁLISE DOS RESULTADOS.................................................

Capítulo VIII

CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS............

VIII.1 CONCLUSÕES.........................................................................................

VIII.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS................................................ REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................................

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Lista de Figuras

Figura I.1 – Malha ferroviária brasileira.

Figura I.2 – Ponte ferroviária construída na segunda metade do século XIX.

Figura I.3 – Pontes sobre o Rio Grande, divisa de São Paulo e Minas Gerais.

Figura I.4 – Ponte sobre o Rio Grande, pertencente ao ramal Igarapava, inaugurada em 1915.

Figura I.5 – Ponte Francisco de Sá/PR, inaugurada em 1926.

Figura I.6 – Ponte sobre o Rio Purucui, inaugurada em 1938.

Figura I.7 – Estruturas originais, em arcos metálicos, das pontes sobre o Canal do Mangue – RJ, inaugurada em 1907.

Figura I.8 – Ponte rodo-ferroviária sobre o Rio Tocantins, inaugurada em 1985.

Figura I.9 – Ponte rodo-ferroviária sobre o Rio Paraná, inaugurada em 1988.

Figura I.10 – Ponte ferroviária de Estreito/TO, inaugurada em 2002; ponte sobre o canal de Bertioga.

Figura II.1 – Composição ferroviária urbana no Rio de Janeiro.

Figura II.2 – Rodeiro truque reboque; rodeiro truque motor.

Figura II.3 – Truque motor; truque reboque.

Figura II.4 – Trem urbano no Rio de Janeiro e em Recife.

Figura II.5 – Trem urbano em São Paulo.

Figura II.6 – Trem urbano em Belo Horizonte e em Porto Alegre.

Figura II.7 – Locomotivas diesel-elétrico utilizadas no Brasil.

Figura II.8 – Vagão tipo gôndola; vagão tipo hopper aberto.

Figura II.9 – Vagão tipo hopper convencional; vagão tipo tanque.

Figura II.10 – Vagões especiais para materiais pulverulentos; ácidos e corrosivos.

Figura II.11 – Truques para vagões ferroviários de transporte de carga.

Figura II.12 – Características geométricas e cargas dos trens-tipo(NBR 7189).

Figura II.13 – Modelo de carga LM71 (EN1991-2).

Figura II.14 – Modelo de carga SW/0 (EN1991-2).

Figura II.15 – Modelo de carga SW/2 (EN1991-2).

Figura II.16 – Modelo de carga HSLM-A (EN1991-2).

Figura II.17 – Modelo de carga HSLM-B (EN1991-2).

Figura II.18 – Modelo de carga BS5400-2.

Figura II.19 – Modelo de cargas verticais móveis.

Figura II.20 – Modelo com um grau de liberdade.

Figura II.21 – Modelo com dois graus de liberdade.

xiii

Figura II.22 – Modelo com seis graus de liberdade.

Figura III.1 – Vistas do modelo dinâmico tridimensional.

Figura III.2 – Perspectiva do modelo dinâmico tridimensional e detalhe de um truque com suas suspensões (primária e secundária) e o contato das rodas com os trilhos.

Figura III.3 – Suspensão primária composta por molas helicoidais.

Figura III.4 – Suspensão secundária composta por bolsas de ar comprimido.

Figura III.5 – Diagrama de corpo livre para o modelo dinâmico tridimensional.

Figura III.6 – Diagrama de momentos para o modelo dinâmico tridimensional.

Figura III.7 – Irregularidade senoidal.

Figura III.8 – Irregularidade por achatamento das rodas (mossas).

Figura III.9 – Irregularidade aleatória: a) autoespectro; b) irregularidade espacial.

Figura III.10 – Modelo tridimensional de interação veículo-trilhos-dormentes-estrutura.

Figura III.11 – Modelo MEF da estrutura com uma massa concentrada acoplada.

Figura III.12 – Modelo de interação dinâmica do modelo tridimensional.

Figura III.13 – Diagrama de corpo livre do modelo de interação dinâmica tridimensional.

Figura III.14 – Momentos atuantes no modelo de interação dinâmica tridimensional.

Figura III.15 – Ponto de atualização das matrizes envolvidas no sistema.

Figura IV.1 – Deslocamento vertical: a) sem controle; b) com controle.

Figura IV.2 – Deslocamento vertical no meio do vão.

Figura IV.3 - Variação do coeficiente de impacto.

Figura IV.4 – Deslocamento no meio do vão para pontes com e sem amortecedores fluidos.

Figura IV.5 – Espectros de resposta da estrutura não controla e com o sistema de cmúltiplos ADS´s, sob ação do tráfego de veículos.

Figura IV.6 Ciclos histeréticos típicos de materiais dissipativos: a) Linear; b) Não-Linear; c) Elastoplástico.

Figura IV.7 – Utilização de material viscoleástico como amortecedor em estrutura.

Figura IV.8 – Resposta no domínio do tempo da estrutura do WTC com atenuadores viscoelásticos.

Figura IV.9 – Utilização de material viscoleástico com amortecedor em estrutura do tipo sanduíche.

Figura IV.10 – Resposta no domínio do tempo de uma placa mista (aço-concreto) e outra sanduíche.

Figura IV.11 – Resposta em termos de deslocamento da estrutura com pavimento misto e sanduíche.

Figura IV.12 – Autoespectros de respostas da estrutura com pavimento misto e sanduíche.

xiv

Figura IV.13 – Aparelhos de apoio de neoprene fretado usados em pontes.

Figura IV.14 – Esforços absorvidos pelos aparelhos de neoprene fretado.

Figura IV.15 – Curvas tensão x deformação para borracha sob: a) Tração; b) Compressão; c) Cisalhamento.

Figura IV.16 – Aparelhos de apoio de neoprene fretado em substituição aos dormentes em pontes metálicas.

Figura IV.17 – Aparelho de neoprene fretado.

Figura IV.18 – Deformação imposta em material viscoelástico.

Figura IV.19 – Respostas esquemáticas de tensão em corpos elásticos, viscosos e viscoelásticos.

Figura IV.20 – Efeitos da freqüência e temperatura nos módulos de perda e armazenamento e no fator de perda.

Figura IV.21 – Modelos analíticos utilizados para caracterizar os materiais viscoelásticos: a) modelo de Maxwell; b) modelo de Voigt; c) modelo linear padrão.

Figura IV.22 – Interpretação do grau de liberdade adicional do GHM.

Figura IV.23 – Placa sanduíche.

Figura IV.24 – Comparação das respostas experimentais, PEFAMV e NASTRAN para uma placa sanduíche sob ação de forças harmônica.

Figura IV.25 - Vistas lateral e frontal da estrutura com o suporte para o aparelho de neoprene fretado.

Figura IV.26 – Vista superior da estrutura e vista em corte do suporte para o aparelho de neoprene fretado.

Figura IV.27 – Detalhe do aparelho de neoprene fretado utilizado sob os dormentes.

Figura IV.28 – Modelo de elementos hexaédricos para obtenção do ciclo histerético.

Figura IV.29 – Varaiação do módulo de armazenamento G’ com a freqüência para o Neoprene a 25 ºC.

Figura IV.30 – Variação do fator de perda η com a freqüência para o Neoprene a 25ºC.

Figura IV.31 – Ciclos histeréticos do material viscoelástico neoprene, obtidos via CONTROLMADS.

Figura IV.32 – Energia elástica de um material viscolástico.

Figura IV.33 – Esquema ilustrativo da aplicação de dispositivos viscoelásticos (representados pelos elementos de rigidez e amortecimentoO entre os trilhos e a superestrutura de aço de pontes ferroviárias.

Figura IV.34 - Diagrama de bloco de um Sistema de Controle Passivo.

Figura IV.35 – Esquema estrutural e resposta em freqüência típica com ADS de uma estrutura.

Figura IV.36 - Deslocamento de uma viga engastada, sem e com sistema de controle do tipo ADS.

Figura IV.37 – Estrutura com sistema MADS.

xv

Figura IV.38 – Estudo dos parâmetros de calibração do sistema de atenuadores dinâmicos sintonizados (ADS) passivo.

Figura IV.39 – Sistema massa-mola-amortecedor.

Figura V.1 – Elemento de pórtico espacial com seus respectivos graus de liberdade

Figura V.2 – Esquema estrutura para consideração de extremidades rígidas em elementos de pórtico espacial.

Figura V.3 – Elemento triangular para esforços de flexão.

Figura V.4 – Elemento triangular para esforços de membrana.

Figura V.5 – Elemento quadrilátero para esforços de flexão.

Figura V.6 – Elemento quadrilátero para esforços de membrana.

Figura V.7 – Elemento hexaédrico linear com 08 nós físicos e 01 dissipativo.

Figura V.8 – Relações entre taxas de amortecimento e freqüências para amortecimento viscoso linear.

Figura VI.1 – Representação de uma superfície com iniciação de fissura.

Figura VI.2 – Extrusão e intrusão formadas na superfície de um grão sujeito a ciclos de tensão.

Figura VI.3 – Estágios de propagação de uma fissura; fratura microscópica por fadiga.

Figura VI.4 – Iniciação de fratura em zona de concentração de tensão em ligações soldadas típicas de estruturas metálicas.

Figura VI.5 – Esquema de utilização do método Rainflow.

Figura VI.6 – Esquema de utilização do método Reservatório.

Figura VI.7 – Sinal de tensão.

Figura VI.8 – Comparação das amplitudes de tensão calculadas com os métodos do rainflow e do reservatório.

Figura VI.9 – Típica curva S-N.

Figura VI.10 – Curva SN dependente da condição ambiental.

Figura VI.11 – Modos básicos de ruptura de um material por fadiga.

Figura VI.12 – Campo de tensão na vizinhança de uma trinca.

Figura V.13 – Representação esquemática da Lei de Paris.

Figura V.13 – Exemplo de distribuição de tensões.

Figura VI.14 – Esquemas de cargas das composições para estimativa de fadiga.

Figura VI.15 – Curvas de resistência a fadiga da prEN1993-1-9 (2003).

Figura V.16 – Curvas S-N da BS5400-10 (1980).

Figura VI.17 – Curvas S-N da AASHTO (2002).

Figura VII.1 – Vista das pontes sobre o Canal do Mangue no ano da inauguração (1907).

Figura VII.2 – Vista das pontes em 1950.

xvi

Figura VII.3 – Novas pontes com longarinas e estroncas, 1970.

Figura VII.4 – Vista panorâmica das pontes na linha férrea da Central do Brasil.

Figura VII.5 – Vista em planta das dose pontes.

Figura VII.6 – Vista em elevação das pontes.

Figura VII.7 – Escoras inclinadas apoiadas na parede.

Figura VII.8 – Ligação rígida soldada entre escoras e vigas.

Figura VII.9 – Rótula mecânica.

Figura VII.10 – Colunetas de apoio das extremidades das vigas.

Figura VII.11 – Diferentes seções da estrutura.

Figura VII.12 – Seções tubulares das vigas.

Figura VII.13 – Medidas geométricas da ponte.

Figura VII.14 – Modelo tridimensional em elementos de barras.

Figura VII.15 – Distância entre os centros geométricos das longarinas e dos trilhos.

Figura VII.16 – Composição típica (2 TUE’s) de trens urbano no Brasil.

Figura VII.17 – Características geométricas dos trens urbanos no Brasil.

Figura VII.18a - Modo 1: 1° modo de flexão lateral, f1 = 7,25 Hz; Massa modal: 25,9 t.

Figura VII.18b - Modo 2: 1° modo de flexão vertical, f2 = 8,69 Hz; Massa modal: 37,0 t.

Figura VII.18c - Modo 3: 2° modo de flexão vertical, f3 = 12,56 Hz; Massa modal: 15,5t.

Figura VII.18d - Modo 5: flexão lateral + torção, f5 = 20,24 Hz; Massa modal: 7,9 t.

Figura VII.19 – Disposição dos veículos sobre a ponte na condição menos favorável.

Figura VII.20a - Modo 22: 1° modo de flexão vertical, f22 = 6,46 Hz; Massa modal: 86,5t.

Figura VII.20b – Modo 26: 2° modo de flexão vertical, f26 = 12,0 Hz; Massa modal: 22,9t.

Figura VII.20c – Modo 27: flexão vertical, f27 = 12,83 Hz; Massa modal: 33,7 t.

Figura VII.20d - Modo 35: flexão vertical+ flexão lateral + torção, f35 = 24,11 Hz; Massa modal: 5,1 t.

Figura VII.21a - Modo 22: 1° modo de flexão vertical, f22 = 6,83 Hz; Massa modal: 71,2t.

Figura VII.21b - Modo 23: flexão vertical, f23 = 8,36 Hz; Massa modal: 82,1 t.

Figura VII.21c – Modo 25: 2° modo de flexão vertical, f25 = 12,04 Hz; Massa modal: 19,5t.

Figura VII.21d – Modo 27: flexão vertical + torção, f27 = 18,41 Hz; Massa modal: 8,0 t.

Figura VII.21e - Modo 30: flexão lateral + torção, f30 = 23,09 Hz; Massa modal: 40,1 t.

Figura VII.21f - Modo 32: flexão lateral, f32 = 25,69 Hz; Massa modal: 2,5 t.

VII.22 – Disposição de um veículo e meio sobre a ponte.

xvii

Figura VII.23a - Modo 26: flexão vertical, f26 = 10,14 Hz; Massa modal: 97,0 t.

Figura VII.23b - Modo 29: flexão vertical, f29 = 11,82 Hz; Massa modal: 168,0 t.

Figura VII.23c – Modo 36: flexão vertical, f36 = 18,43 Hz; Massa modal: 26,4 t.

Figura VII.23d – Modo 37: flexão vertical, f37 = 19,02 Hz; Massa modal: 16,3 t.

Figura VII.24a - Modo 31: flexão vertical, f31 = 12,68 Hz; Massa modal: 135,0 t.

Figura VII.24b – Modo 38: flexão vertical, f38 = 18,56 Hz; Massa modal: 25,2 t.

Figura VII.24c – Modo 42: torção + flexão lateral, f42 = 27,80 Hz; Massa modal: 86,2 t.

Figura VII.25 – Determinação da área carregada no dormente pelo trilho.

Figura VII.26 – Variação do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina x tempo para v = 90 km/h com irregularidades nos trilhos.

Figura VII.27 – Variação do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina x tempo para v = 90 km/h com irregularidades nas rodas.

Figura VII.28 – Variação do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina x tempo para v = 90 km/h com irregularidades combinadas.

Figura VII.29 – Autoespectro de deslocamento vertical na ligação estronca-longarina para v = 90 km/h com irregularidades nos trilhos.

Figura VII.30 – Autoespectro de deslocamento vertical na ligação estronca-longarina para v = 90 km/h com irregularidades nas rodas.

Figura VII.31 – Autoespectro de deslocamento vertical na ligação estronca-longarina para v = 90 km/h com irregularidades combinadas.

Figura VII.32 – Variação do deslocamento vertical x tempo no meio do vão para v = 90 km/h com irregularidades nos trilhos.

Figura VII.33 – Variação do deslocamento vertical x tempo no meio do vão para v = 90 km/h com irregularidades nas rodas.

Figura VII.34 – Variação do deslocamento vertical x tempo no meio do vão para v = 90 km/h com irregularidades combinada.

Figura VII.35 – Autoespectro de deslocamento vertical no meio do vão para v = 90 km/h com irregularidades nos trilhos.

Figura VII.36 – Autoespectro de deslocamento vertical meio do vão para v = 90 km/h com irregularidades nas rodas.

Figura VII.37 – Autoespectro de deslocamento vertical no meio do vão para v = 90 km/h com irregularidades combinadas.

Figura VII.38 – Variação do deslocamento vertical x tempo no meio do vão para v = 30 km/h.



Figura VII.41 – Autoespectro de deslocamento vertical no meio do vão para v = 30 km/h.

xviii



Figura VII.44 – Variação do deslocamento transversal x tempo no meio do vão para v = 30 km/h.



Figura VII.47 – Autoespectro de deslocamento transversal no meio do vão, v = 30 km/h.



Figura VII.50 – Variação do deslocamento vertical máximo com a velocidade.

Figura VII.51 – Variação do deslocamento transversal máximo com a velocidade.

Figura VII.52 – Variação do momento fletor x tempo na ligação estronca-longarina para v = 90 km/h.

Figura VII.53 – Variação do momento fletor x tempo no meio do vão para v = 90 km/h.

Figura VII.54 – Variação do esforço normal x tempo na ligação estronca-longarina para v = 90 km/h.

Figura VII.55 – Autoespectro da variação do esforço normal e momento fletor na ligação estronca-longarina para v = 90 km/h.

Figura VII.56 – Autoespectro da variação do esforço normal no meio do vão para v = 90 km/h.

Figura VII.57 – Variação do momento fletor com a velocidade na ligação estronca-longarina.

Figura VII.58 – Variação do momentos fletor com a velocidade no meio do vão.

Figura VII.59 – Variação do esforço axial máximo com a velocidade na ligação estronca-longarina.

Figura VII.60 – Variação da resultante da reação de apoio do nó 09 x tempo.




Figura VII.64 – Autoespectros das resultantes de apoio da estrutura.

Figura VII.65 – Variação das resultantes das reações de apoio da estrutura com a velocidade.

Figura VII.66 – Variação do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina x tempo da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades apenas nos trilhos.

xix

Figura VII.67 – Autoespectro do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos – irregularidades nos trilhos.

Figura VII.68 – Variação do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina x tempo da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades combinadas.

Figura VII.69 – Autoepectro do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades combinadas.

Figura VII.70 – Variação do deslocamento vertical no meio do vão x tempo da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades apenas nos trilhos.

Figura VII.71 – Autoespectro do deslocamento vertical no meio do vão da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos – irregularidades apenas nos trilhos.

Figura VII.72 – Variação do deslocamento vertical no meio do vão x tempo da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.73 – Autoepectro do deslocamento vertical no meio do vão da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.74 – Variação do momento fletor na ligação estronca-longarina x tempo da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades combinada.

Figura VII.75 – Autoepectro do momento fletor na ligação estronca-longarina da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades combinada.

Figura VII.76 – Variação do momento fletor no meio do vão x tempo da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.77 – Autoepectro do momento fletor no meio do vão da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.78 – Variação do esforço normal na ligação estronca-longarina x tempo da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades combinada.

Figura VII.79 – Autoepectro do esforço normal na ligação estronca-longarina da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades combinada.

Figura VII.80 – Resultante da reação de apoio (nó 09) x tempo da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.81 – Autoepectro da resultante de apoio (nó 09) da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades nos trilhos e nas rodas.


xx

Figura VII.83 – Autoepectro da resultante de apoio (nó 384) da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.84 – Localização dos sistemas de atenuação do tipo ADS na estrutura.

Figura VII.85 – Variação do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina x tempo da estrutura original e com ADS - irregularidades apenas nos trilhos.

Figura VII.86 – Autoespectro do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina da estrutura original e com ADS– irregularidades apenas nos trilhos.

Figura VII.87 – Variação do deslocamento vertical na ligação estronca-lonfarina x tempo da estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.88 – Autoespectro do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina x tempo da estrutura original e com ADS – irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.89 – Variação do deslocamento vertical no meio do vão x tempo da estrutura original e com ADS - irregularidades apenas nos trilhos.

Figura VII.90 – Autoespectro do deslocamento vertical no meio do vão da estrutura original e com ADS – irregularidades apenas nos trilhos.

Figura VII.91 – Variação do deslocamento vertical no meio do vão x tempo da estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.92 – Autoespectro do deslocamento vertical no meio do vão da estrutura original e com ADS – irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.93 – Variação do momento fletor na ligação estronca-longarina x tempo da estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.94 – Autoepectro do momento fletor na ligação estronca-longarina da estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.95 – Variação do momento fletor no meio do vão x tempo da estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.96 – Autoepectro do momento fletor no meio do vão da estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.97 – Variação do esforço normal na ligação estronca-longarina x tempo da estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.98 – Autoepectro do esforço normal na ligação estronca-longarina da estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.99 – Resultante da reação de apoio (nó 09) x tempo da estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.100 – Autoepectro da resultante de apoio (nó 09) da estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.101 – Resultante da reação de apoio (nó 384) x tempo da estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

Figura VII.102 – Autoepectro da resultante de apoio (nó 384) da estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

xxi

Figura VII.103 – Relação D_contr / D_orig em termos de deslocamento na ligação estronca-longarina da estrutura, para freqüência de 12,94 Hz, considerando os tipos de irregularidades.

Figura VII.104 – Relação D_contr / D_orig em termos do deslocamento vertical no meio do vão da estrutura, para freqüência de 12,94 Hz, considerando os tipos de irregularidades.

Figura VII.105 – Relação D_contr / D_orig em termos do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina da estrutura com os dispositivos de controle, para freqüência de 19,53 Hz, considerando os tipos de irregularidades.

Figura VII.106 – Relação M_contr / M_orig em termos do momento fletor na ligação estronca-longarina da estrutura com os dispositivos de controle, Valores Picos, considerando os tipos de irregularidades.

Figura VII.107 – Relação M_contr / M_orig em termos do momento fletor no meio do vão da estrutura com os dispositivos de controle, Valores Picos, considerando os tipos de irregularidades.

Figura VII.108 – Histograma de variação da velocidade de passagem dos trens sobre a ponte ferroviária.

Figura VII.109 – Histograma de variação da velocidade de passagem dos trens sobre a ponte ferroviária, no sentido Central do Brasil.

Figura VII.110 – Histograma de variação da velocidade de passagem dos trens sobre a ponte ferroviária, no sentido da estação de São Cristóvão.

Figura VII.111 – Histograma do número de vagões que compõem uma composição que trafega sobre a estrutura da ponte.

Figura VII.112 – Número de passageiros transportados por dia útil e número de viagens diárias (SUPERVIA, 2008a).

Figura VII.113 – Taxa de ocupação diária dos trens em viagens no sentido Central do Brasil e estação de São Cristóvão.

Figura VII.114 – Seção transversal, no meio do vão, da viga tubular metálica com indicação de solda .

Figura VII.115 – Variação de tensão (Δσ) na solda superior esquerda da seção tubular v = 55 km/h.

Figura VII.116 – Variação de tensão (Δσ2) na solda superior direita da seção tubular v = 55 km/h

Figura VII.117 – Variação de tensão (Δσ3) na solda inferior direita da seção tubular v = 55 km/h.

Figura VII.118 – Variação de tensão (Δσ4) na solda inferior esquerda da seção tubular v = 55 km/h.

Figura VII.119 – Contagem de ciclos de tensão no meio do vão para velocidade de tráfego de 55 km/h.

Figura VII.120 – Detalhes das ligações soldadas características para curvas D e F apresentadas por Gurney (1976).

xxii

Figura VII.121 –Curvas tensão x número de ciclos necessário para iniciar o processo de fadiga apresentadas por GURNEY (1976).

Figura VII.122 –Danos nos filetes de solda onde não há inversão dos valores de tensão, calculados na ligação estronca-longarina.

Figura VII.123 –Danos nos filetes de solda onde não há inversão dos valores de tensão, calculados no meio do vão da estrutura.

Figura VII.124 –Danos nos filetes de solda onde há inversão dos valores de tensão, calculados na ligação estronca-longarina.

Figura VII.125 –Danos nos filetes de solda onde há inversão dos valores de tensão, calculados no meio do vão.

Figura VII.126 – Estimativa do número de viagens por ano para cada ponte ferroviária de 1970 a 2008.

Figura VII.127 –Distribuição da freqüência de passagem de uma composição sobre a ponte metálica em dias úteis.

Figura VII.128 –Distribuição da taxa de ocupação de uma composição sobre a ponte metálica em dias úteis.

Figura VII.129 –Danos acumulados de 1970 até 2008.

Figura VII.130 –Danos acumulados (1970 até 2008) corrigido de acordo com o número de vagões de uma composição.

Figura VII.131 – Estimativa do número de viagens por ano para cada ponte ferroviária de 2008 a 2050.

Figura VII.132 –Danos acumulados no cordão de solda até a ruptura por fadiga.

Figura VII.133 –Danos acumulados no cordão de solda, considerando concentração de tensão, até a ruptura por fadiga.

Figura VII.134 –Danos calculados na ligação estronca-longarina da estrutura com atenuadores viscoelásticos para diversas velocidade de passagem .

Figura VII.135 –Danos acumulados no cordão de solda até a ruptura por fadiga para estrutura com atenuadores viscoelástico.

Figura VII.136 –Danos calculados na ligação estronca-longarina da estrutura com atenuadores do tipo ADS para diversas velocidade de passagem.

Figura VII.137 –Danos acumulados no cordão de solda até a ruptura por fadiga para estrutura com atenuadores do tipo ADS.

Figura VII.137 –Danos calculados na ligação estronca-longarina da estrutura com atenuadores viscoelásticos + ADS para diversas velocidade de passagem.

Figura VII.138 –Danos acumulados no cordão de solda até a ruptura por fadiga para estrutura com atenuadores viscoelástico + ADS.

Figura VII.139 –Percentual de sobrevida da estrutura com os diversos sistemas de controle.

Figura VII.140 –Danos acumulados no cordão de solda até a ruptura por fadiga para estrutura com atenuadores viscoelástico + ADS.

xxiii

Lista de Tabelas

Tabela II.1 – Características dos trens utilizados no Rio de Janeiro.

Tabela II.2 – Características dos trens utilizados em São Paulo.

Tabela II.3 – Características dos trens utilizados em outros estados.

Tabela II.4 – Cargas dos trens-tipo (NBR 7189, 1985).

Tabela IV.1 – Valores do fator de forma S para diferentes geometrias.

Tabela IV.2 – Características dos aparelhos de apoio de neoprene fretado.

Tabela V.1 – Esquema do algoritmo de Newmark.

Tabela VI.1 – Valores de d utilizados.

Tabela VI.2 – Cenário de tráfego normal (EN1991-2, 2003).

Tabela VI.3 – Cenário de tráfego pesado (EN1991-2, 2003).

Tabela VI.4 – Cenário de tráfego leve (EN1991-2, 2003).

Tabela VI.7 – Parâmetro A em função da classe do detalhe (AASTHO, 2002).

Tabela VI.8 – Resistência limite para tensões de amplitudes constante em função da clase de detalhe (AASTHO, 2002).

Tabela VII.1 – Características físicas e geométricas da estrutura.

Tabela VII.2 – Modos de vibração e freqüências do veículo ferroviário.

Tabela VII.3 – Parâmetros do modelo tridimensional.

Tabela VII.4 – Carga dos trens sobre a estrutura (CPTM, 2002).

Tabela VII.5 – Descrição dos modos, freqüências associadas e massa modal.





Tabela VII.10 – Parâmetros utilizados nas equações de irregularidades.

Tabela VII.11 – Resumo dos valores de massa modal e freqüência da estrutura.

Tabela VII.12 – Valores dos parâmetros dos sistemas ADS’s.

Tabela VII.13 – Planilha de campo utilizada para cálculo da velocidade dos trens.


Tabela VII.15 – Parâmetros utilizados nas curva D e F do WIRB.

1

Capítulo I

INTRODUÇÃO

I.1 MOTIVAÇÃO E OBJETIVO

Desde seu início, em 1825, quando Stephenson construiu a primeira estrada de

ferro na Inglaterra, as ferrovias sempre inspiraram entusiasmo. No Brasil, este

entusiasmo começou em 1854, quando foi inaugurada a primeira ferrovia. A estrada,

que ligava o Rio de Janeiro ao pé da serra de Petrópolis, com 14,5 km de extensão foi

construída pelo Barão de Mauá.

No final do século XIX e início do XX, o Brasil experimentou um grande avanço

no setor ferroviário. Este avanço, oriundo de altos investimentos no setor, porém,

começou a declinar no período getulista e se estendeu até por volta dos anos 90, do

século passado. Neste período, devido ao abandono a que foram sujeitas as ferrovias, o

material rodante e as vias permanentes foram se deteriorando. É comum vermos em

reportagens televisivas a situação de grande destruição da malha ferroviária nacional.

Entretanto, essa realidade começou a mudar quando o governo brasileiro

transferiu à iniciativa privada, em 1990, através de contrato de concessão, a exploração

e uso das ferrovias, por meio do Programa Nacional de Desestatização (PND). Como

requisito para obter o direito de concessão, as empresas deveriam apresentar um plano

de investimentos no setor. A partir de então, o transporte de cargas e passageiros tomou

um novo fôlego e começaram a surgir novas perspectivas em relação ao futuro das

ferrovias.

2

Um dos maiores incentivos à modernização e reestruturação das ferrovias

brasileiras é o agro-negócio. O Brasil é líder mundial em produção de soja, milho,

açúcar, café, carne bovina e de frango. No entanto, o país enfrenta sérios problemas de

transporte na hora de escoar todo este volume produzido até os portos e pontos de

venda.

A produção está se espalhando para o centro-oeste, nordeste e norte do país,

distanciando-se dos grandes centros consumidores e canais transportadores, como sul e

sudeste (Figura I.1). Este distanciamento encarece bastante o preço final do produto e

põe em risco sua competitividade no mercado, se o sistema de transporte não for

totalmente eficiente.

A matriz modal brasileira é composta de 63% por transporte terrestre e apenas

23% por transporte ferroviário. Este percentual está bem abaixo da média mundial dos

paises ricos e em desenvolvimento, que está em torno de 40% e bem aquém de países

como Rússia, onde este percentual chega a 80%, e Índia, que é de cerca 50%.

Figura I.1 – Malha ferroviária brasileira (ANTF 2005).

É notório que um sistema ferroviário eficiente poderia resolver a maioria dos

problemas existentes hoje, em relação ao transporte de cargas, levando-se em conta a

3

capacidade de transporte de materiais deste modal, o uso de vias exclusivas e um custo

menor de tonelada transportada, se comparado com o transporte rodoviário.

Outra demanda importante para a melhoria do sistema ferroviário é o transporte

de passageiros nos grandes centros urbanos do país. Segundo o censo 2000 do IBGE,

cerca de 80% da população brasileira vive nas cidades. Estas cidades estão “inchadas” e

uma das maiores preocupações, como em qualquer lugar do mundo, é a organização do

sistema de transporte, para que possa atender aos usuários de forma eficiente.

A eficiência do transporte público é refletida no desenvolvimento e melhoria da

qualidade de vida dessas cidades, transportando pessoas de suas origens aos seus

destinos no menor tempo possível com conforto e segurança. No Brasil, contudo, a

mobilidade obedece ainda a uma política centrada no modal rodoviário, gerando

engarrafamentos quilométricos e grande perda de tempo entre origem e destino, além de

uma grande quantidade de gases poluentes lançados na atmosfera.

Em contraste com essa realidade, o sistema ferroviário tem características que

agregam grandes vantagens para o desenvolvimento das grandes cidades, como: uso de

vias exclusivas, que evita perda de tempo com engarrafamento; sistema de monitoração,

que permite otimizar o uso dessas vias; baixo nível de poluição ambiental e grande

capacidade de transporte de passageiros.

O transporte de passageiros é uma grande realidade em países desenvolvidos,

como os europeus, onde o sistema ferroviário permite o transporte rápido e seguro para

as principais cidades em curto espaço de tempo, e nos países em desenvolvimento,

como o caso da China, onde o sistema de transporte ferroviário está se modernizando e

evoluindo a cada ano.

O Brasil tem um grande potencial para o uso do modal ferroviário, tal como:

dimensões continentais, produção voltada para exportação, crescimento e interiorização

da produção agrícola e crescimento industrial. Porém, o Brasil possui somente cerca de

30 mil km de ferrovias, enquanto os EUA possuem cerca de 200 mil km e a Europa, 280

mil km e a China, 70 mil km.

As ações do governo em torno de políticas públicas para estimular o setor têm

sido tomadas de maneira lenta. Em 2003 o governo lançou o Plano de Revitalização das

4

Ferrovias e, em 2005, as Parcerias Público-Privado (PPP). O plano das PPP visou a

investir cerca de 15 bilhões de reais em projetos de rodovias, ferrovias e portos. Em

2007 foi o Programa de Aceleração do Crescimento (PAC), também pelo governo

federal.

Estas iniciativas, se não são as adequadas, pelo menos serviram para dar

perspectivas mais concretas para o setor ferroviário. Com estes investimentos, novas

ferrovias poderão ser construídas e trechos de ferrovias revitalizados gerando, assim,

demanda para a engenharia de estruturas devido às obras de arte que sempre estão

presentes em obras ferroviárias.

Com o crescimento do interesse no setor ferroviário, impulsionado pela

necessidade que o país enfrenta de transportar seus produtos e ao mesmo tempo

transportar passageiros, de uma forma eficiente e com qualidade, grande atenção deve

ser dispensada às ferrovias brasileiras.

Entretanto, o uso do modal ferroviário, assim como do rodoviário, é muitas

vezes impedido por obstáculos naturais (rios, vales etc.) e urbanos (construções), sendo

muitas vezes necessário vencê-los com obras de arte do tipo pontes e elevados. Porém,

para que estas obras tenham um bom desempenho e durabilidade, é de fundamental

importância o conhecimento do comportamento dinâmico dessas estruturas sob ação de

cargas de trens.

O estudo do comportamento de estruturas de pontes sob ação de cargas móveis

teve seu início no século XIX. Desde então, alguns pesquisadores têm estudado o

problema de interação veículo-estrutura utilizando modelos numéricos que levam em

conta as irregularidades nos trilhos e rodas, tanto determinísticas quanto aleatórias

(FRÝBA, 1972; WIRIYACHAI, CHU e GANG, 1982; FRÝBA, 1996; YANG e YAU, 1997;

AU, WANG e CHEUNG, 2001; LAW e ZHU, 2004; XIA, ZANG e GAO, 2005; MAJKA e

HARTNETT, 2007). No Brasil, além das prescrições normativas (NBR 7189/1985), há

alguns trabalhos desenvolvidos na COPPE-UFRJ que tratam da interação entre veículos e

estruturas, tais como os trabalhos de BATTISTA e BARBOSA (2000), CORREA (2003) e

CORREA E BATTISTA (2005).

5

Ênfase especial é dada às estruturas de aço soldadas e aos importantes aspectos

associados ao comportamento e durabilidade das pontes ferroviárias especialmente no

que se referem à vida útil à fadiga das juntas e detalhes geométricos com concentrações

de tensões, e ao controle das vibrações induzidas pelo tráfego ferroviário.

Assim, este trabalho tem como objetivo o estudo do comportamento dinâmico de

pontes ferroviárias de aço sob ação dinâmica do tráfego de trens de passageiros e/ou de

carga utilizados nas vias férreas brasileiras, através de uma ferramenta numérico-

computacional especialmente desenvolvida para tratar desses problemas e que utiliza o

Método dos Elementos Finitos (MEF). Além disso, propor e avaliar o desempenho de

dispositivos passivos para redução das vibrações da estrutura e, por fim, realizar uma

análise probabilística para estimar a vida útil à fadiga de estruturas de aço soldadas com

e sem sistemas de controle.

Para realizar o estudo, a carga dinâmica das composições de trens de carga e

passageiros utilizados no Brasil é simulada através de um modelo massa-mola-

amortecedor tridimensional, levando-se em conta os deslocamentos e rotações. A

estrutura da ponte é modelada através do método dos elementos finitos e as equações

diferenciais de movimento são integradas numericamente, usando o método de

Newmark. A interação trem-trilhos-dormentes-estrutura é modelada levando em conta

também as irregularidades geométricas aleatórias nos trilhos e geométricas

determinísticas nas rodas dos trens.

I.2 BREVE HISTÓRICO DE PONTES FERROVIÁRIAS DE AÇO NO BRASIL

A atividade metalúrgica no início da colonização brasileira era exercida pelos

artífices ferreiros, caldeireiros e funileiros, que sempre estavam presentes nos grupos de

portugueses que desembarcavam nas recém fundadas capitanias. No início, a matéria-

prima era importada e rara, entretanto, a partir do início do século XVII, surgiu no Brasil

uma fábrica em Santo Amaro/SP, que produzia ferro brando.

A descoberta e exploração do minério de ferro ocorreram no Brasil ainda no

final do século XVI. Com a chegada da Família Real portuguesa no Brasil o setor

metalúrgico recebeu grande investimento por parte do reinado. No início do século XIX,

foram construídos altos fornos em Serro Frio/MG e uma grande siderúrgica em Ipanema

6

(Sorocaba/SP). No entanto, essas tentativas de impulsionar o setor metalúrgico

fracassaram, haja vista que, para o mercado local, as pequenas forjas eram suficientes.

No século XIX, os ingleses - que no final do século XVIII dominavam a produção

e utilização do aço em obras civis - começaram a dominar os serviços públicos

brasileiros. Estes serviços quase sempre eram instalados com seus próprios recursos e,

assim, conseguiam a concessão para explorá-los por um longo período de tempo. Um

dos serviços monopolizados pelos ingleses foi o de implantação e exploração de

ferrovias. Essas ferrovias serviam para impulsionar a economia brasileira, baseada na

exportação de produtos agrícolas e, por isso, necessitavam transpor obstáculos naturais

através de pontes.

As pontes foram inicialmente feitas em aço forjado e, posteriormente em aço

laminado. Algumas pontes ferroviárias datam do século XIX, como mostra a Figura I.2,

uma ponte ferroviária pertencente a city of Santos improvements company construída

provavelmente na segunda metade daquele século. As Figuras I.3 mostram duas pontes

sobre o rio Grande, divisa entre os estados de São Paulo e Minas Gerais. Uma ponte em

concreto com uma parte central treliçada em aço (à esquerda). Esta ponte pertenceu à

linha do Rio Grande, que ligava Ribeirão Preto a Jaraguá, passando por Franca. A outra

toda em estrutura metálica.

Figura I.2 – Ponte ferroviária construída na segunda metade no século XIX (EFB 2005).

Figura I.3 – Pontes sobre o Rio Grande, divisa de São Paulo e Minas Gerais (EFB 2005).

7

A Figura I.4 mostra uma ponte inaugurada em 1915, que cruza o rio Grande,

pertencente ao ramal Igarapava (Entroncamento – Amoroso Costa). Esta ponte era

compartilhada pela ferrovia e pela rodovia Anhanguera até 1977, hoje opera somente

como rodovia, já a Figura I.5 mostra a ponte Francisco de Sá/PR, inaugurada em 1926.

A ponte sobre o rio Pucurui, da estrada de ferro Tocantins, é mostrada na Figura

I.6. Esta ponte, inaugurada em 1938, era metálica assentada sobre pilares de alvenaria.

A ponte sobre o canal do mangue, inaugurada em 1907, na cidade do Rio de Janeiro, é

mostrada na Figura I.7. A ponte inicialmente foi concebida em arcos metálicos, hoje

apresenta a concepção de vigas e estroncas.

A Figura I.8 mostra a ponte rodo-ferroviária sobre o rio Tocantis. Esta ponte tem

2340 m de comprimento e pertence a E.F Carajás. Outra ponte rodo-ferroviária, a sobre

o Rio Paraná, com 2600 m de comprimento, inaugurada em 1998, está mostrada na

Figura I.9. A Figura I.10, por sua vez, mostra a ponte de Estreito (TO), com 1277 m de

comprimento, e a ponte sobre o canal de Bertioga (SP), com tabuleiro de concreto sobre

vigas metálicas e 1546 m de extensão.

Figura I.4 – Ponte sobre o Rio Grande, pertencente ao ramal Igarapava, inaugurada em

1915 (EFB 2005).

Figura I.5 – Ponte Francisco de Sá/PR, inaugurada em 1926 (TRANSPORTES, 2005).

8

Figura I.6 – Ponte sobre o Rio Purucui, inaugurada em 1938 (EBF 2005).

Figura I.7 – Estruturas originais, em arcos metálicos, das pontes sobre o Canal do Mangue

– RJ, inaugurada em 1907 (EFCB, 2005).

Figura I.8 – Ponte rodo-ferroviária sobre o Rio Tocantins, inaugurada em 1985

(USIMINAS, 2005).

Figura I.9 – Ponte rodo-ferroviária sobre o Rio Paraná, inaugurada em 1988

(FERRONORTE, 2005).

9

Figura I.10 – Ponte ferroviária de Estreito/TO, inaugurada em 2002; ponte sobre o Canal

de Bertioga (EFB 2005).

I.3 ESCOPO DO TRABALHO

Este trabalho está divido em oito capítulos, incluindo o presente. No segundo

capítulo é apresentada uma descrição dos tipos de veículos ferroviários, tanto de carga

como de passageiros, utilizados no Brasil, além de modelos matemáticos,

bidimensionais. No Capítulo terceiro são formuladas as equações diferenciais de

movimento para um modelo tridimensional com nove graus de liberdade, além do

modelo matemático de interação trem-trilhos-dormentes-estrutura.

No quarto capítulo é feita uma abordagem dos sistemas de controle passivo

utilizados para redução das vibrações em pontes ferroviárias. São descritos dois

sistemas, um do tipo atenuadores viscoelásticos e outro, um sistema mecânico massa-

mola-amortecedor. No quinto capítulo é feita uma descrição da ferramenta numérico-

computacional utilizada para análise do comportamento de pontes ferroviárias sem e

com sistemas de controle. No sexto capítulo é apresentada uma revisão sobre fadiga em

estruturas metálicas, com uma breve exposição dos fenômenos característicos e uma

metodologia para estimativa de vida útil à fadiga, assim como prescrições normativas

européias e americanas para estimativa de vida útil à fadiga de pontes ferroviárias.

Um estudo de caso, uma ponte ferroviária de aço construída nos anos de 1970 se

faz presente no capítulo sete, onde são apresentadas as respostas dinâmicas da estrutura

sem controle e controlada, além do cálculo da estimativa de vida útil a fadiga. O oitavo

e último capítulo traz as conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

10

Capítulo II

CARGAS MÓVEIS FERROVIÁRIAS

II.1 DESCRIÇÃO DOS TIPOS DE VEÍCULOS FERROVIÁRIOS UTILIZADOS NO

BRASIL

II.1.1 TRENS PARA TRANSPORTE DE PASSAGEIROS

Os trens destinados ao transporte de passageiros recebem a denominação de

TUE (Trem Unidade Elétrico) e são compostos de três a quatro veículos. Dentro de uma

composição há um carro motor, um ou dois carros reboques e outro carro reboque com

cabine de condução. Uma composição ferroviária normalmente é constituída por dois

TUE’s (6 a 8 carros), conforme mostra Figura II.1. Estes veículos são constituídos

basicamente por: Rodas, Eixos, Truques, Engates, Caixa e Sistema de controle.

As rodas são fabricadas com aço especial e têm diâmetro de 965 mm. Estas são

conectadas aos eixos formando o rodeiro (Figura II.2), que recebe as cargas oriundas da

caixa do veículo através dos mancais. Dois conjuntos de rodeiros e mais o sistema de

suspensão formam os truques, sobre os quais repousa a caixa do veículo por meio de

pivôs e piões. Os truques têm como vantagem a redução da base rígida dos veículos,

assim como diminuição das vibrações transmitidas aos passageiros, devido às

imperfeições existentes nas vias férreas.

Os truques são divididos em: truque motor e truque reboque (Figura II.3). De

maneira geral, os dois tipos são semelhantes, porém os truques motores, como o próprio

11

nome sugere, contêm dois motores de tração. Os truques são constituídos, basicamente,

por duas suspensões, uma primária, composta por molas helicoidais; e outra secundária,

formada por bolsas de ar fixadas entre a caixa do veículo e o chassi do truque (CORREA

2003).

Figura II.1 – Composição ferroviária urbana no Rio de Janeiro (CBTU, 2002).

Figura II.2 – Rodeiro truque reboque; Rodeiro truque motor.

Figura II.3 – Truque Motor; truque Reboque (CORREA, 2003).

As caixas (ou carroceria dos veículos) são produzidas em aço, reunindo

conforto, segurança, velocidade e economia. As caixas devem ser suficientemente

resistentes para absorver os esforços impostos devido ao carregamento, contudo, devem

ser leves e apresentarem geometria com pouca resistência aerodinâmica, para que possa

desenvolver grande velocidade, sem acréscimo de massa. As Figuras II.4 a II.6 mostram

12

os veículos ferroviários utilizados pelas empresas brasileiras, enquanto as Tabelas II.1 a

II.3 mostram as principais características dos trens utilizados no Brasil.

O sistema de controle é formado por uma rede de microprocessadores que

executam funções de diagnóstico, sinalização de falha, registros de falha e ações de

controle redundante. A tecnologia do sistema permite a localização e detecção das

falhas. Um dos mais importantes sistemas de controle é o de antipatinagem, pois visa

otimizar a utilização da aderência, maximizando os esforços de tração e frenagem,

consequentemente, reduzindo os desgastes das rodas nos trilhos.

Figura II.4 – Trem urbano no Rio de Janeiro (SUPERVIA, 2005) e em Recife (METROREC,

2005).

Figura II.5 – Trem urbano em São Paulo (CPTM, 2005).

Figura II.6 – Trem urbano em Belo Horizonte e em Porto Alegre (ANTP, 2005).

13

Tabela II.1 – Características dos trens utilizados no Rio de Janeiro (GRIECO, 2000). Supervia

Classe Classe Classe Classe Classe Classe Rio de Janeiro 400 500 700 800 900 1000

Carac.principais Ano de operação 1964 1978 1980 1981 1981 1952

Conf. Básica M+R+RC M+R+R+M M+R+R+M M+R+R+M M+R+R+M M+R+RCFrota 43 21 25 15 28 24

Passageiros 672 984 974 948 968 655 Dimensões (m)

Composição 68 90,3 91,2 91,3 91,6 68,4 Carro Motor 22 22 22,18 22 22 22

Carro Reboque 22 22 22 22 22 22 Largura 2,98 2,98 2,98 2,98 2,98 2,98

Desempenho Vel.máxima (km/h) 90 90 90 90 90 90

M – carro motor; R – carro reboque; RC – carro reboque com cabine de direção.

Tabela II.2 – Características dos trens utilizados em São Paulo (GRIECO, 2000).

CPTM Classe Classe Classe Classe Classe Classe São Paulo

160/5500 400 700 1100 5000 82000 Carac.principais Ano de operação 1978 1964 1978 1956 1978 2000

Conf. Básica M+R+RC M+R+RC M+R+R+M M+R+RC M+R+R+M M+R+R+MFrota 50 19 21 23 96 28

Passageiros 707 672 974 807 707 1002 Dimensões (m)

Composição 60,5 60,5 91,2 77,72 60,5 88 Carro Motor 19,55 19,55 22,18 25,14 19,8 21,1

Carro Reboque 19,2 19,2 22 25,14 19,5 20,6 Largura 3,02 3,02 2,98 3,06 3,02 3,05

Desempenho Vel.máxima (km/h) 90 90 90 90 90 90


Tabela II.3 – Características dos trens utilizados em outros estados (GRIECO,2000).

Recife BH P. Alegre METROREC DEMETRÔ TRANSURB Carac.principais Ano de operação 1985 1985 1985

Conf. Básica M+R+R+M M+R+R+M M+R+R+M Frota 25 15 25

Passageiros 934 938 970 Dimensões (m)

Composição 91,34 91,56 91,04 Carro Motor 22 22 22

Carro Reboque 22 22 22 Largura 2,98 2,98 2,98

Desempenho Vel. máxima (km/h) 90 90 90


14

II.1.2 TRENS PARA TRANSPORTE DE CARGA

A partir do surgimento da primeira locomotiva, o setor ferroviário teve um

grande avanço. No início, na primeira metade do século XIX, todas as locomotivas

utilizavam o vapor como propulsão, porém, a partir de 1879 surgiu, na exposição

industrial de Berlim, a primeira locomotiva elétrica. No entanto, com o surgimento do

motor Diesel, em 1897, muitas locomotivas passaram a utilizar esse tipo de motor para

propulsão.

Os veículos ferroviários, destinados ao transporte de carga, são constituídos por

uma locomotiva, a mais usual é a Diesel-elétrica, e uma grande quantidade de vagões.

A locomotiva Diesel-elétrica possui sua fonte de energia motora. Esta energia é

usualmente provida por motores de tração elétricos, que acionam os eixos. A fonte de

toda energia posta à disposição vem de uma estação de geração sob a forma de um

robusto motor Diesel, acoplado a um alternador. O alternador produz corrente alternada

a ser retificada e enviada aos motores de tração, de corrente contínua (CONNOR 2000).

As Figuras II. 7 mostram alguns modelos de locomotivas Diesel-elétricas utilizadas no

Brasil. A tração produzida por estas locomotivas representa apenas 35% da potência

gerada por locomotivas elétricas A eletrificação das ferrovias ou de alguns trechos delas

pode contribuir bastante para o aumento da carga transportada.

Figura II.7 – Locomotivas diesel-elétrico utilizadas no Brasil (ANTF, 2005).

15

O vagão é a parte do material rodante que é rebocado e também responsável pela

movimentação da carga. Os vagões são definidos pelo serviço específico que executam

e pelos componentes diretamente relacionados às funções de carga e descarga nos

terminais. Assim, os vagões podem ser classificados em sete tipos diferentes, cada um

com seus subtipos direcionados às próprias características operacionais, conforme

ilustrado nas Figuras (II.8 a II.10).

a) Vagões fechados – são destinados ao transporte de granéis sólidos,

ensacados, caixarias, cargas inutilizadas e transporte de produtos em

geral que não podem ser expostos ao tempo;

b) Vagões gôndolas – são destinados ao transporte de granéis sólidos e

produtos diversos que podem ser expostos ao tempo;

c) Vagões hopper – podem ser fechados, destinados ao transporte de granéis

corrosivos e sólidos que podem ou não ser expostos ao tempo, e, abertos,

destinados ao transporte de granéis que podem ser expostos ao tempo;

d) Isotérmicos – são destinados ao transporte de produtos congelados em

geral;

e) Tanque – são destinados ao transporte de cimento a granel, derivados de

petróleo e líquidos não corrosivos em geral;

f) Plataforma – são destinados ao transporte de conteiners, produtos

siderúrgicos, grandes volumes, madeiras, peças de grandes dimensões;

g) Especiais – são destinados ao transporte de produtos com características

bem distintas, que não podem ser transportados nos outros tipos.

Figura II.8 – Vagão tipo gôndola; vagão tipo hopper aberto (ANTF, 2005).

16

Figura II.9 – Vagão tipo hopper convencional; vagão tipo tanque (ANTF, 2005).

Figura II.10 – Vagões especiais para materiais pulverulentos; ácidos e corrosivos (ANTF,

2005).

Os truques para vagões têm a mesma configuração dos truques destinados ao

transporte de passageiros, porém, o conjunto das suspensões é mais rígido. Os truques

são diferenciados de acordo com o seu sistema de amortecimento de vibrações, também

conhecido como cunhas de fricção. Atualmente, são conhecidos alguns sistemas de

controle de vibrações, tais como Ride Control, Barber, National e Buckeye. As Figuras

II. 11 mostram alguns tipos de truques

Figura II.11 – Truques para vagões ferroviários de transporte de carga (ANTF, 2005).

17

II.2 MODELOS DE CARGAS MÓVEIS PRESCRITOS EM NORMAS

Com o intuito de quantificar as ações tanto estáticas quanto dinâmicas que

afetam uma estrutura de ponte devido ao tráfego de trens, algumas normas contemplam

modelos para o cálculo e a verificação de estruturas sujeitas a este tipo de carregamento.

No Brasil tem-se a NBR 7189/1985 – Cargas móveis para projeto estrutural de obras

ferroviárias, enquanto na Europa, tem-se a EN1991-2 – Actions on structures - Part 2:

General Actions – Traffic loads on bridges. Os efeitos dinâmicos são levados em

consideração multiplicando-se os efeitos estáticos por um coeficiente ou fator de

amplificação dinâmica (NBR 7187, 1987).

II.2.1 MODELOS SEGUNDO A NBR 7189

A norma brasileira define quatro classes de trem-tipo a serem utilizados em

projetos de pontes, a saber:

a) TB-360: para ferrovias sujeitas ao transporte de minério de ferro ou outros

carregamentos equivalentes;

b) TB-270: para ferrovias sujeitas ao transporte de carga em geral;

c) TB-240: para ser adotado somente na verificação de estabilidade e projeto de

reforço de obras existentes;

d)TB-170: para vias sujeitas exclusivamente ao transporte de passageiros em

regiões metropolitanas e suburbanas.

A Figura II.12 mostra as características geométricas e cargas desses trens-tipo,

onde Q é a carga por eixo e q e q’ são as cargas distribuídas na via, simulando,

respectivamente, vagões carregados e descarregados. A Tabela II.4 apresenta estes

valores para as classes de trens-tipo contempladas nesta norma.

Figura II.12 – Características geométricas e cargas dos trens-tipo (NBR 7189, 1985).

18

Tabela II.4 – Cargas dos trens-tipo (NBR 7189, 1985).

TB Q (kN) q (kN/m) q’ (kN/m) a (m) b (m) c (m)

360 360 120 20 1,00 2,00 2,00

270 270 90 15 1,00 2,00 2,00

240 240 80 15 1,00 2,00 2,00

170 170 25 15 11,00 2,50 5,00

II.2.2 MODELOS SEGUNDO A EN1991-2

Para pontes ferroviárias, a EN1991-2 prescreve alguns tipos de carregamento

móvel para se levar em consideração no projeto e análise, quais são: Load Model 71

(LM71), SW/0, SW/2 e HSLM. Estes modelos podem ser combinados para levar em

consideração o tráfego local.

II.2.2.1 Modelo de carga LM71

Este modelo é utilizado para caracterizar os efeitos estáticos do tráfego

ferroviário normal. Ele foi desenvolvido com base em seis composições ferroviárias

com velocidades características correspondentes, tais como: trens para transporte de

carga, trens para transporte de passageiros, locomotivas isoladas, e trens de alta

velocidade, além de um caso excepcional. A Figura II.13 apresenta a configuração e os

valores das cargas móveis. As cargas estáticas concentradas servem para simular os

trens em pontes de pequenos vão, enquanto as distribuídas simulam os efeitos em

pontes de grande vão.

Figura II.13 – Modelo de carga LM71 (EN1991-2, 2003).

19

II.2.2.2 Modelos de carga SW/0 e SW/2

O modelo de carga SW/0 é utilizado para simular os efeitos estáticos de um trem

sobre uma ponte de vãos contínuos, enquanto o SW/2 simular o os efeitos estáticos

devido ao tráfego pesado. As Figuras II.14 e II.15 mostram, respectivamente, os

modelos SW/0 e SW/2.

Figura II.14 – Modelo de carga SW/0 (EN1991-2, 2003).

Figura II.15 – Modelo de carga SW/2 (EN1991-2, 2003).

II.2.2.3 Modelo de carga HSLM

Este tipo de modelo é utilizado para simular os efeitos estáticos e dinâmicos de

trens de alta velocidade trafegando sobre pontes. Os modelos “High-Speed-

Load_Models” – HSML são divididos em dois tipos: HSLM-A e HSLM-B, com

comprimentos de veículos diferentes. Estes modelos caracterizam os efeitos dinâmicos

das composições de passageiros articuladas e convencionais de alta velocidade. A

Figura II.16 mostra o modelo HSLM-A, onde as quantidades N, D e d são

características para as diferentes composições ferroviárias. Para pontes com vãos

inferiores a 7 metros de comprimentos é prescrito o uso do modelo HSLM-B,

apresentado na Figura II.17.

20

Figura II.16 – Modelo de carga HSLM-A (EN1991-2, 2003).

Figura II.17 – Modelo de carga HSLM-B (EN1991-2, 2003).

II.2.3 MODELOS SEGUNDO A BS5400-2

Os modelos de carga da BS5400-2 para veículos de passageiros e de carga são

apresentados na Figura II.18.

Figura II.18 – Modelo de carga BS5400-2 (1978).

Unidade: tf

21

III.3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM VEÍCULO FERROVIÁRIO

Os veículos ferroviários são sistemas mecânicos com vários graus de liberdade,

com molas de comportamento linear e não-linear e, também, amortecimento, que pode

ser hidráulico e pneumático. Durante a passagem do veículo sobre uma estrutura de

ponte, o seu peso próprio combinado com a inércia de sua massa pode causar vibrações

que afetam a integridade estrutural da ponte. Numa análise dinâmica, estes sistemas são

comumente simplificados, dependendo do tipo de análise, bidimensional ou

tridimensional, que se propõe realizar (BATTISTA, 1995).

III.3.1 MODELOS BIDIMENSIONAIS

Nos casos em que o efeito da inércia dos veículos for muito menor que seu peso

próprio, podendo assim ser desprezado, o modelo mais simples é o de cargas verticais

móveis aplicadas nos pontos de contatos das rodas com os trilhos. As magnitudes dessas

forças são iguais às forças estáticas, tal como ilustra a Figura II. 19. Esta simplificação,

porém, não permite levar em consideração as irregularidades nas vias e nas rodas.

FFFF

v

Figura II.19 – Modelo de cargas verticais móveis.

Um modelo em que os efeitos das irregularidades podem ser levados em

consideração, assim como o efeito da inércia da massa, é mostrado na Figura II.20. Este

modelo com um grau de liberdade pode ser utilizado para representar o veículo como

um todo quando o comprimento da estrutura for muito maior que a do veículo, ou

representando as rodas e suspensões com as respectivas frações de massa do veículo.

Este modelo, porém, não leva em consideração os movimentos de rotação do veículo

ferroviário.

22

m r

kv cv

mv vm

vcvk

rm m r

kv cv

mvvm

vcvk

rm

Figura II.20 – Modelo com um grau de liberdade.

A Figura II.21 apresenta um modelo que permite a modelagem das suspensões,

dianteira e traseira, do veículo ferroviário, além do movimento vertical, o movimento

angular da massa do veículo. O modelo com dois graus de liberdade consiste de uma

massa rígida mv, que representa a massa total do veículo. Esta massa é suportada pelas

suspensões, consistindo em dois conjuntos mola-amortecedor. O sistema permite o

deslocamento vertical da massa do veículo e a rotação em torno do seu centro de

gravidade, porém não leva em consideração as massas e suspensões dos truques.

A Figura II.22 mostra um modelo com seis graus de liberdade. Neste caso são

modelados os quatro eixos do veículo e levadas em consideração as massas dos dois

truques, dianteiro e traseiro. Em cada eixo está ligada uma massa rígida (mr1, mr2, mr3,

mr4), que representam as rodas dos truques e se supõe estarem sempre em contato com

os trilhos e, assim, considerar irregularidades nos trilhos e nas rodas. O sistema conta

com seis equações diferenciais, sendo três de deslocamento vertical das massas e três de

rotação em torno dos respectivos centros de massa. Este modelo, embora mais

completo, não contempla os movimentos rotacionais das massas dos truques e do vagão,

que só uma abordagem tridimensional contempla.

v2v2 ckv1cv1k

r1m m r2

θ

vIvm

d d

Figura II.21 – Modelo com dois graus de liberdade.

23

s4

m

m

d

m

d

r1

s1k s1c

u s1

mm

d

r2

d

r3

ck s2 s2

s1mθ 1

I s1

s3k c s3 k

s2u

v1k v1c v2k

θ

r4

s4c

s2 Im2θ

s2

v2c

vI

v

L L

Figura II.22 – Modelo com seis graus de liberdade (CORREA, 2003).

24

Capítulo III

MODELAGEM MATEMÁTICA 3D DO PROBLEMA DE INTERAÇÃO DINÂMICA:

TREM-TRILHOS-DORMENTES-ESTRUTURA

III.1 MODELO TRIDIMENSIONAL DE UM VEÍCULO FERROVIÁRIO

O modelo dinâmico tridimensional de um vagão ferroviário, mostrado na Figura

III.1, contém nove graus de liberdade. Este modelo permite a modelagem da caixa do

veículo e os truques, dianteiro e traseiro, separadamente, com seus movimentos de

deslocamentos vertical, rotacionais longitudinal e transversal. O modelo, por ser mais

próximo da realidade, permite que sejam consideradas, em todos os oito pontos de

contato entre o veículo e os trilhos, diferentes forças oriundas do peso do veículo, da sua

inércia e em virtude das possíveis irregularidades em cada trilho. Além disso, há a

possibilidade de utilização de diferentes valores das suspensões primária e secundária,

as quais são mostradas nas Figuras III.2 a III.4. As Figuras III.5 e III.6 apresentam,

respectivamente, o diagrama de corpo livre e o diagrama de momentos atuantes sobre o

modelo dinâmico. As forças e momentos são calculados da seguinte maneira:

( )

( )( )

( )111s1s5a

111s1s5e

11svvv1v1a

11svvv1v1e

bducf

bdukf

lulLucf

lulLukf

βθ

βθ

ββθ

ββθ

&&&

&&&&&

++=

++=

−−++=

−−++=

(Eq. III.1)

25

s6

m

m

d

m

d

r1

s1k s1c

u s1

mm

d

r2

d

r3

cks2 s2

s1mθ 1

I s1

s5k cs5 k

s2u

v1k v1c v2

θ

r4

s6c

s2 Im2θ

s2

v2

vI

v

L L

k c

Vista Lateral

7 8

651 2

43

Vista Superior

β2

b b

s2u

r 8

s8

v4v2v2 kk c

m

kc

m

k

t 2I

s8c

v4c

β

l l

uvzI

s6 s6

r 6

Vista frontal

Figura III.1 – Vistas do modelo dinâmico tridimensional.

Figura III.2 – Perspectiva do modelo dinâmico tridimensional e detalhe de um truque com

suas suspensões (primária e secundária) e o contato das rodas com os trilhos.

Figura III.3 – Suspensão primária composta por molas helicoidais.

26

Figura III.4 – Suspensão secundária composta por bolsas de ar comprimido.

zIvI

s1I

m s1

β

l

f a5f e5a7fe7f

a1

a1f

ff

f

e1

e1

f

f

a3

a3f e3

f e3

u s1

uv

vm

bb

lL

d d d d

mv

vu

s1u u s2

e1f

e1f a1

a1

f

f

e2

e2

f

f f

f a2

a2

f e5

f a5

f e6

f a6

e9f

a9fe10f

a10f

L

θ

s1mI s1

m s2

I s2

Figura III.5 – Diagrama de corpo livre para o modelo dinâmico tridimensional

b b

s1m

I t1

β

zIvm

l

m a1

e5m

l

e1ma3m

e3

a5ma7m

vu

m

e7m

u s1s1u

m e5

m

uv

m

d

m a5

d

a6m

dd

a9m a10

e6m

e1m

me9

a1m e2

L

m e10

a2m

s2u

L

mvI v

θ

m s1I s1

s2mI s2

Figura III.6 – Diagrama de momentos para o modelo dinâmico tridimensional

Aplicando-se o princípio de D’Alembert ao modelo tridimensional e impondo-se

o equilíbrio das forças, assim como o somatório dos momentos envolvidos no sistema,

obtêm-se as nove equações diferenciais de movimento que regem o sistema (Equações

III.2 a III.10).

27

Para o grau de liberdade de deslocamento vertical da massa mv, tem-se:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0224113

222111

224113

222111

=+−−−++−−++

−−+−+−−+++

+−−−++−−++

−−+−+−−+++

ββθββθ

ββθββθ

ββθββθ

ββθββθ

lulLuklulLuk

lulLuklulLuk

lulLuclulLuc

lulLuclulLucum

svvvvsvvvv

svvvvsvvvv

svvvvsvvvv

svvvvsvvvvvv

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

(Eq. III.2)

Para o grau de liberdade de rotação longitudinal da massa mv, tem-se:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0..

..

..

..

224113

222111

224113

222111

=+−−−−+−−++

−−+−−−−+++

+−−−−+−−++

−−+−−−−+++

LlulLukLlulLuk

LlulLukLlulLuk

LlulLucLlulLuc

LlulLucLlulLucI

svvvvsvvvv

svvvvsvvvv

svvvvsvvvv

svvvvsvvvvvv

ββθββθ

ββθββθ

ββθββθ

ββθββθθ

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

(Eq. III.3)

Para o grau de liberdade de rotação transversal da massa mv, tem-se:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0..

..

..

..

224222

113111

224222

113111

=+−−−−−−+−+

+−−+−−−+++

+−−−−−−+−+

+−−+−−−+++

llulLukllulLuk

llulLukllulLuk

llulLucllulLuc

llulLucllulLucI

svvvvsvvvv

svvvvsvvvv

svvvvsvvvv

svvvvsvvvvvz

ββθββθ

ββθββθ

ββθββθ

ββθββθβ

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

(Eq. III.4)

Para o grau de liberdade de deslocamento vertical da massa ms1, tem-se:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 011141113

11121111

11141113

11121111

113111

11311111

=−−+−++

+−++++

−−+−++

+−++++

+−−+−−−++−

+−−+−−−++−

βθβθ

βθβθ

βθβθ

βθβθ

ββθββθ

ββθββθ

bdukbduk

bdukbduk

bducbduc

bducbduc

lulLuklulLuk

lulLuclulLucum

ssss

ssss

ssss

ssss

svvvvsvvvv

svvvvsvvvvss

&&&&&&

&&&&&&

&

&&&&&&&&&&&&

(Eq. III.5)

Para o grau de liberdade de rotação longitudinal da massa ms1, tem-se:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0..

..

..

..

11141113

11121111

11141113

1112111111

=−−−−++

+−−+++

−−−−++

+−−+++

dbdukdbduk

dbdukdbduk

dbducdbduc

dbducdbducI

ssss

ssss

ssss

sssss

βθβθ

βθβθ

βθβθ

βθβθθ

&&&&&&

&&&&&&&&

(Eq. III.6)

28

Para o grau de liberdade de rotação transversal da massa ms1, tem-se:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 0..

..

..

..

..

..

11141112

11131111

11141112

11131111

113111

11311111

=−−−+−+

−+−+++

−−−+−+

−+−+++

+−−++−−++−

+−−++−−++−

bbdukbbduk

bbdukbbduk

bbducbbduc

bbducbbduc

llulLukllulLuk

llulLucllulLucI

ssss

ssss

ssss

ssss

svvvvsvvvv

svvvvsvvvvt

βθβθ

βθβθ

βθβθ

βθβθ

ββθββθ

ββθββθβ

&&&&&&

&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

(Eq. III.7)


( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0bβdθukbβdθuk

bβdθukbβdθuk

βbθducβbθduc

βbθducβbθduc

lβulβLθuklβulβLθuk

βluβlθLucβluβlθLucum

22s2s822s2s7

22s6s622s2s5

22s2s822s2s7

22s2s622s2s5

2s2vvvv42s2vvvv2

2s2vvvv42s2vvvv2s2s2

=−−+−++

+−++++

−−+−++

+−++++

+−−−−−−+−−

+−−−−−−+−−

&&&&&&

&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

(Eq. III.8)


( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0..

..

..

..

22282227

22262225

22282227

2226222522

=−−−−++

+−−+++

−−−−++

+−−+++

dbdukdbduk

dbdukdbduk

dbducdbduc

dbducdbducI

ssss

ssss

ssss

sssss

βθβθ

βθβθ

βθβθ

βθβθθ

&&&&&&

&&&&&&&&

(Eq. III.9)


( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0.bbβdθuk.bbβdθuk

.bbβdθuk.bbβdθuk

.bβbθduc.bβbθduc

.bβbθduc.bβbθduc

.llβulβLθuk.llβulβLθuk

.lβluβlθLuc.lβluβlθLucβI

22s2s822s2s6

22s2s722s2s5

22s2s822s2s6

22s2s722s2s5

2s2vvvv42s2vvvv12

2s2vvvv42s2vvvv22t2

=−−−+−+

−+−+++

−−−+−+

−+−+++

+−−−+−−+−−

+−−−+−−+−−

&&&&&&

&&&&&&

&&&&&&&&&&&&

Eq. III.10)

29

sendo,

vθ&& , vθ& e vθ - acel., veloc. e desloc. angular longitudinal da massa mv;

vβ&& , vβ& e vβ - acel., veloc. e desloc. angular transversal da massa mv;

1θ&& , 1θ& e 1θ - acel., veloc. e desloc. angular longitudinal da massa ms1;

1β&& , 1β& e 1β - acel., veloc. e desloc. angular transversal da massa ms1;

2θ&& , 2θ& e 2θ - acel., veloc. e desloc. angular longitudinal da massa ms2;

2β&& , 2β& e 2β - acel., veloc. e desloc. angular transversal da massa ms2;

vu&& , vu& e vu - aceleração, velocidade e deslocamento vertical da massa mv;

1su&& , 1su& e 1su - aceleração, velocidade e deslocamento vertical da massa ms1;

2su&& , 2su& e 2su - aceleração, velocidade e deslocamento vertical da massa ms2;

vI , 1sI e 2sI - momento de inércia na direção x das massa mv, ms1 e ms2;

Iz , It1 e It2 - momento de inércia na direção z das massa mv, ms1 e ms2;

L - distância, na direção longitudinal, do centro da massa mv ao centro dos truques;

d - distância, na direção longitudinal, do centro das massas ms1 e ms2 ao eixo das rodas;

l - distância, na direção transversal, do centro da massa mv ao eixo da suspensão secundária;

b - distância, na direção transversal, do centro das massas ms1 e ms2 ao eixo das rodas.

III.2 MODELAGEM TRIDIMENSIONAL DO PROBLEMA DE INTERAÇÃO

DINÂMICA

Na modelagem do problema de interação dinâmica trem-trilhos-dormentes-

estrutura, a ponte é modelada, via Método dos Elementos Finitos, com elementos de

pórtico espacial com doze graus de liberdade, seis graus de liberdade por nó

(deslocamentos axial, transversal e vertical e rotações segundo as três direções), assim

como os trilhos. Estes sobre apoios discretos viscoelásticos (elemento de conexão

viscoelástico), representando os dormentes e o lastro. As irregularidades são levadas em

conta, tanto nos trilhos quanto nas rodas (mossa), podendo assumir valores diferentes

para cada trilho e/ou rodas.

30

III.2.1 IRREGULARIDADES GEOMÉTRICAS NOS TRILHOS E NAS RODAS

Nas análises são consideradas irregularidades geométricas determinísticas

descritas por ondas senoidais nos trilhos, conforme a Equação III.11 e ilustrada na

Figura III.7. Estas irregularidades são comumente encontradas nas vias férreas

resultantes do processo de fixação do trilhos, As rodas também podem conter

irregularidades geométricas do tipo “mossa”, representadas pela expressão cossenoidal

na Equação III.12 (FRÝBA, 1996) e ilustrada na Figura III.8. Além destas, também

foram consideradas irregularidades aleatórias nos trilhos, oriundas do tratamento

estatístico de várias medidas em linhas férreas, representada pela Equação III.13

(FRÝBA, 1996) e ilustrada pela Figura III.9 . Todas essas irregularidades são

consideradas independentemente em cada trilho.

( ) nnπxr x =A sen

l⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(Eq. III.11)

( ) ( )i i ii

1 2πa 1-cos x-kA -Br x = 2 b

0

⎧ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎨ ⎣ ⎦⎪⎩

(Eq. III.12)

( ) ( )( )2 2 2

2 1

4 2 22

Aω ω +ωS ω =

ω ω +ω (Eq. III.13)

x

r(x)

nA

L

Figura III.7 – Irregularidade senoidal.

r(x)b

ia

iA iiB

xL

= 2πR

b

R

a

Figura III.8 – Irregularidade por achatamento das rodas (mossa).

31

0 0.050

0.005

0.01

0.014

0

S ω ( )

0.10 ω

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0

0.01

0.01−

η1i

8000.4 xi Figura III.9 – Irregularidade aleatória. a)espectro; b)irregularidade espacial

III.2.2 EQUAÇÕES MATEMÁTICAS DA INTERAÇÃO DINÂMICA

Ao trafegar sobre uma estrutura, além dos esforços estáticos, um veículo

ferroviário provoca esforços devido às forças de inércia produzidas pelos movimentos

relativos entre trilhos e estrutura, levadas em consideração as irregularidades

geométricas dos trilhos e rodas. A Figura III.10 mostra o modelo tridimensional de

acoplamento entre veículo-trilhos-dormentes-estrutura.

v1

v

r1m r2m

X

YZ

s1

s1u

k

s2ks1c

v1k c

u θ

ur6r5 mm

p

r4

s5k

θs2uI s1

s2c

1m

s6s5 kc

I

s4

m2θ

c

s2

r8

s1m kv2 mcv2s2

mv I v

LL

Figura III.10 – Modelo tridimensional de interação veículo-trilhos-dormentes-estrutura.

y (m)

a

b

32

III.2.2.1 Massa concentrada acoplada à estrutura

No modelo em elementos finitos da estrutura que possui uma massa concentrada

acoplada à estrutura (Figura III.11) num determinado ponto nodal, deve-se considerar

apenas a componente vertical mx dessa massa. Assim, à matriz de massa da estrutura no

sistema global é adicionada a componente de massa na diagonal de acordo com o grau

de liberdade do nó a que esteja acoplada.

u p

i

m

i-6 i+6

Figura III.11 – Modelo MEF da estrutura com uma massa concentrada acoplada

( )

( )

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+=

++

−−

..

0MM

0M.

.

1i1,i

ii,

1i1,i

xmM

onde,

M – componente da diagonal da matriz de massa global;

mx – componentes, segundo as direções x e y da massa concentrada num nó

acoplada à estrutura;

III.2.2.2 Modelo do dormente

Os dormentes são modelados como elementos de conexão viscoelásticos para os

quais são fornecidos os coeficientes de rigidez e de amortecimento segundo os graus de

liberdade nodais.

A matriz de rigidez da conexão é dada por:

33

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

zz

yy

xx

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

Gcon

jjjj

jjkk

kkkk

jj

jsimk

kk

k

0000000000000000000

000000000000000

00000000000

000000000

00000

0

onde,

kx, ky e kz – são os coeficientes de rigidez no sistema global;

jx, jy e jz – são os coeficientes de rigidez rotacional no sistema global.

A matriz de amortecimento da conexão é dada por:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

zz

yy

xx

zz

yy

xx

z

y

x

z

y

x

Gcon

dddd

dddc

dcdc

dd

dsimc

cc

c

0000000000000000000

000000000000000

00000000000

000000000

00000

0

onde,

cx, cy e cz – são os coeficientes de amortecimento no sistema global;

dx, dy e dz – são os coeficientes de amortecimento rotacional no sistema global.

34

III.2.2.3 Interação dinâmica veículo-estrutura

As ações dinâmicas na estrutura devido à passagem dos veículos sobre a ponte

são modeladas levando, também, em consideração as irregularidades geométricas nos

trilhos e nas rodas que excitam o sistema massa-mola-amortecedor dos veículos,

acarretando um aumento do carregamento dinâmico aplicado à estrutura. A Figura

III.12 apresenta o sistema mecânico-estrutural idealizado para representar o veículo

ferroviário com nove graus de liberdade.

u p

v

L L

d d

s2

c s6

I v2

c v1 k cv2

c s2

mθ

I u s2s11s1

k kcs5s5 s6

v2

θm s2

vθ

m I

d

v1k

k

u s1

k

vu

s2

d

r5 r6m mm r1 m r2

s1 c s1

Figura III.12 – Modelo de interação dinâmica do modelo tridimensional

A Figura III.13 apresenta o diagrama de corpo livre para o veículo ferroviário do

modelo tridimensional e a Figura III.14 apresenta os momentos atuantes no modelo

devido aos movimentos de rotação das massas envolvidas. Observando a figura,

percebe-se que a força que o veículo transmite à estrutura depende dos deslocamentos

de suas massas. Assim, as forças e momentos atuantes dependem dos deslocamentos

das massas do veículo, da estrutura e do valor da irregularidade no ponto de contato das

rodas com a superfície dos trilhos. As forças e momentos atuantes no modelo são

calculados da seguinte maneira:

( )

( )11svvv1v1a

11svvv1v1e

lulLucf

lulLukf

ββθ

ββθ

&&&&& −−++=

−−++= (Eq. III.14)

( )( )irrp111s1v5a

irrp111s1v5e

uUbducf

uUbdukf

&&&&& −∗−++=

−∗−++=

βθ

βθ (Eq. III.15)

35

( )

( )LlulLucm

LlulLukm

11svvv1v1a

11svvv1v1e

ββθ

ββθ

&&&&& −−++=

−−++= (Eq. III.16)

( )( )duUbducm

duUbdukm

irrp111s1v5a

irrp111s1v5e

&&&&& −∗−++=

−∗−++=

βθ

βθ (Eq. III.17)

sendo:

U*p – Deslocamento da estrutura no nó de contato da roda com o trilho;

uirr – Deslocamento das irregularidades no ponto de contato da roda com o trilho.

Ptu

u p

s P s

m r 1 m r 2

e 5

e 5f

f

ff f

ff a 5 fe 6

a 5 e 6

u s 1s 1m

θ 1

d d

sP

m

sP

r 5 m r 6

a 10

a 10

a 6 f e 9

a 6 f e 9

e 10f fa 9 f

e 10a 9f f f

s 1Is 2u

m s 2 Iθ 2

d d

s 2

vu

ff e 1 a 1

e 1f a 1f

L

f

f

fe 2 a 2

e 2 a 2f

θ

L

vm I v

Figura III.13 – Diagrama de corpo livre do modelo de interação dinâmica tridimensional

36

m e 1

m

u p

u t

u s 1

r 2mr 1m

sP sP

r 6mr 5m

sP P s

s 2mu

I s 1m s 1

mm me 5 a 5 e 6 a 6

θ 1

mme 9m a 9 e 10

s 2θ 2

dd d d

I

ma 10

s 2

u v

m

θ

a 1m m e 2

m v

a 2

vI

LL

Figura III.14 – Momentos atuantes no modelo de interação dinâmica tridimensional

Aplicando, novamente, o Princípio de D’Alembert e fazendo o equilíbrio das

forças e somatório dos momentos atuantes, chega-se às dez equações (nove do veículo

mais uma da estrutura) diferenciais de movimento de interação entre veículo-trilhos-

dormentes-estrutura, levando-se em consideração as irregularidades geométricas nos

trilhos e nas rodas.

Para o grau de liberdade de deslocamento vertical da massa mv, tem-se:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0lβk1-lβk1-ukukβlklk

Lθk1-ukβlc1-βlc1-uc

ucβlclcθLc1-ucum

2

1i

2

1i2v(2i)

i2

1i11)-v(2i

1is2v(2i)

2

1is11)-v(2iv

4

3ivi

2

1ivi

4

1ivvi

1i4

1ivvi

2

1i2v(2i)

i2

1i11)-v(2i

1i2

1is2v(2i)

2

1is11)-v(2iv

4

3ivi

2

1ivi

4

1ivvi

1i4

1ivvivv

=++−−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

++++−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+++

∑ ∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

= ==

+

===

=

+

===

+

=

====

+

=

&&&

&&&&&&

(Eq. III.18)

37

Para o grau de liberdade de rotação longitudinal da massa mv, tem-se:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0Llβk1-Llβk1-LukLuk

Llβk1-Llβk1-Luk1-θLk

βLlc1-βLlc1-uLcuLc

βLlc1-βLlc1-uLc1-θLcθI

2

1i2v(2i)

i2

1i11)-v(2i

1i2

1is2v(2i)

2

1is11)-v(2i

4

3ivvi

i2

1ivvi

1i4

1ivvi

1i4

1iv

2vi

2

1i2v(2i)

i2

1i11)-v(2i

1i2

1is2v(2i)

2

1is11)-v(2i

4

3ivvi

i2

1ivvi

1i4

1ivvi

1i4

1iv

2vivv

=+−+−

++++

+−+−

++++

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

==

+

==

==

+

=

+

=

==

+

==

==

+

=

+

=

&&&&

&&&&&&

(Eq.III.19)

Para o grau de liberdade de rotação transversal da massa mv, tem-se:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) 0βlkβlkuk1-

uk1-θlk1-Llk1-ulklk

βlkβlcβlcuc1-uc1-

θlc1-Llc1-ulclcβlcβI

2

1i2

2v(2i)

2

1i1

21)-v(2i

2

1is2v(2i)

i

2

1is11)-v(2i

iv

4

3ivi

i2

1ivi

1iv

4

3ivi

2

1ivi

4

1iv

2vi

2

1i2

2v(2i)

2

1i1

21)-v(2i

2

1is2v(2i)

i2

1is11)-v(2i

i

v

4

3ivi

i2

1ivi

1iv

4

3ivi

2

1ivi

4

1iv

2vivz

=−−+

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

+−−++

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−++

∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

===

===

+

==

=====

==

+

===

&&&&

&&&&&

(Eq. III.20)


( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

==

==

+

===

+

=

+

====

==

+

===

+

=

+

====

+=

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−++

−−−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−++

−−−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

4

1iirsi

4

1iirsi

p

4

1isi

2

1i11)-v(2i

1i1

2

1isi

2

1isi

4

1i1si

1i

2

1iv1)-v(2i

1i2

1iv1)-v(2i

2

1iv1)-v(2is1

2

1i1)-v(2i

4

1isi

p

4

1isi

2

1i11)-v(2i

1i1

2

1isi

2

1isi

4

1i1si

1i

2

1iv1)-v(2i

1i2

1iv1)-v(2i

2

1iv1)-v(2is1

2

1i1)-v(2i

4

1isis1s1

ukuc

klβk1-bβkkdθk1-

lβk1-Lθkukukk

cβlc1-βbccθdc1-

βlc1-θLcucuccum

&

&&&&

&&&&&&

*

*

U

U

38

(Eq. III.21)


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∑∑∑

∑ ∑∑∑∑

∑ ∑∑∑

=

+

=

+

=

= =

+

=

+

==

= =

+

=

+

=

+=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++++

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++++

4

1iirsi

1i4

1iirsi

1i4

1i

*psi

i

1

2

1i

4

3isi

isi

1i4

1is1si

1i4

1i1

2si

4

1i

*psi

i

1

2

1i

4

3isi

isi

1i4

1is1si

1i4

1i1

2si1s1

duk1-udc1-Udk1-

dbβk1-k1-duk1-θdkUdc1-

βdbc1-c1-udc1-θdcθI

&

&

&&&&&

(Eq. III.22)


( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∑∑∑∑

∑ ∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑ ∑∑ ∑

∑∑∑∑∑

∑ ∑∑∑ ∑

====

= =

+

==

+

=

+

====

== == =

+

==

+

=

+

==

= === =

−+−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+−−

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+

−−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

4

3iirsi

2

1iirsi

4

3iirsi

2

1iirsi

*p

2

1i

4

3isi

1isi

i1

4

3isi

i2

1isi

1i

1s

2

1i1)-v(2i

1i4

3isi

2

1isi

2

1iv

21)-v(2i

2

1iv1)-v(2i

i

2

1iv1)-v(2i

i1

4

1i

2

1i

21)-v(2i

2si

*p

2

1i

4

3isi

1isi

i

1

4

3isi

i2

1isi

1i1s

2

1i1)-v(2i

1i4

3isi

2

1isi

2

1i

2

1iv

21)-v(2iv1)-v(2i

i2

1iv1)-v(2i

i1

4

1i

2

1i

21)-v(2i

2si1t1

bukbukubcubc

bUk1-k1-dbk1-k1-

ulk1-bkbklkLlk1-

luk1-lkbkUbc1-c1-

dbc1-c1-ulc1-bcbc

lcLlc1-ulc1-lcbcI

&&

&

&&

&&&&&&

θ

βθ

β

θ

βθββ

(Eq. III.23)


39

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

====

+

==

=

+

=====

==

+

===

+

=====

+=−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

+++−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−++

++−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

8

5iirsi

8

5iirsip

8

5isi

2

1i2v(2i)

1i2

8

7isi

6

5isi

8

5i2si

1i2

1ivv(2i)

i2

1ivv(2i)

2

1ivv(2i)s2

2

1i1)-v(2i

8

5isi

p

8

5isi

2

1i2v(2i)

1i2

8

7isi

6

5isi

8

5i2si

1i

2

1ivv(2i)

i2

1ivv(2i)

2

1ivv(2i)s2

2

1i1)-v(2i

8

5isis2s2

ukucklβk1-bβkk

dθk1-lβk1-Lθkukukk

cβlc1-βbccθdc1-

βlc1-θLcucuccum

&

&&&&

&&&&&&

*

*

U

U

(Eq. III.24)


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∑∑∑

∑ ∑∑∑∑

∑ ∑∑∑

=

+

=

+

=

= =

+

=

+

==

= =

+

=

+

=

+=+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++++

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++++

8

5iirsi

1i8

5iirsi

1i8

5i

*tsi

i

2

6

5i

8

7isi

isi

1i8

5is2si

1i8

5i2

2si

8

5i

*psi

i

2

6

5i

8

7isi

isi

1i8

5is2si

1i8

5i2

2si2s2

duk1-udc1-Udk1-

dbβk1-k1-duk1-θdkUdc1-

βdbc1-c1-udc1-θdcθI

&

&

&&&&&

(Eq. III.25)


( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

∑∑∑∑∑

∑∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑∑∑

∑∑∑∑ ∑

= == =

= =

+

= =

+

=

+

====

=

+

= == =

+

= =

+

=

+

==

===

+

= =

−+−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+−+

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+

−+−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

6

5i

8

7iirsiirsi

6

5i

8

7iirsiirsi

*p

6

5i

8

7isi

1isi

i2

6

5i

8

7isi

isi

1i

s2

2

1iv(2i)

1i8

7isi

6

5isi

2

1iv

2v(2i)

2

1ivv(2i)

i

2

1ivv(2i)

1i2

8

5i

2

1i

2v(2i)

2si

*p

6

5i

8

7isi

1isi

i

2

6

5i

8

7isi

isi

1is2

2

1iv(2i)

1i8

7isi

6

5isi

2

1iv

2v(2i)

2

1ivv(2i)

i2

1ivv(2i)

1i2

8

5i

2

1i

2v(2i)

2si2t2

bukbukubcubc

Ubk1-k1-dbθk1-k1-

ulk1-bkbkβlkLlθk1-

luk1-βlkbkUbc1-c1-

θdbc1-c1-ulc1-bcbc

βlcθLlc1-ulc1-βlcbcβI

&&

&

&&

&&&&&&

(Eq. III.26)

40

A equação associada ao movimento da ponte é dada por:

vpppppp FUKUCUM =++ &&& (Eq. III.27)

Fv – Vetor de forças devido à carga dinâmica do veículo, dado por:

( )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

∑∑

∑∑

=+

+

=+

+

=+

+

=+

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−+

++−−−+

++−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−+

++−+−+

++−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−+

++−−−+

++−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−+

++−+−+

++−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

=

8

7i

irp*

221i

s2si

irp*

221i

s2si

irp*

riris2v

6

5i

irp*

221i

s2si

irp*

221i

s2si

irp*

riris2v

4

3i

irp*

111i

s1si

irp*

111i

s1si

irp*

riris1v

2

1i

irp*

111i

s1si

irp*

111i

s1si

irp*

riris1v

v

ubβdθ1uk

uβbθd1uc

umgm2

m4

m

ubβdθ1uk

uβbθd1uc

umgm2

m4

m

ubβdθ1uk

uβbθd1uc

umgm4

m8

m

ubβdθ1uk

uβbθd1uc

umgm4

m8

m

F

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

&&&&&

&&&&

&&&&&

&&&&

&&&&&

&&&&

&&&&&

&&&&

(Eq. III.28)

Substituindo o valor de Fv (Equação III.28) na Equação III.27, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )∑

∑∑ ∑

∑∑∑∑∑

∑ ∑∑∑∑

∑∑∑

=

== =

=====

= ====

===

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+

−+−−+−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−+−−+

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

8

5iirsiirsiirriri

s2v

4

1iirsiirsiirriri

s1v1

2

1i

4

3isi

isi

i

4

5i2si

i8

5is2si

4

1i1si

i4

1is1sip

8

1isip

1

2

1i

4

3isi

isi

i8

5i2si

i8

5is2si

4

1i1si

i

4

1is1sip

8

1isipp

8

1irit

ukucumgm4

m8

m

ukucumgm4

m8

mbβk1-k1-

dθk1ukdθk1ukUkK

βbc1-c1-θdc1ucθdc1

ucUcCUmM

&&&

&&&

&&&&

&&&&

(Eq. III.29)

Juntando as Equações (III.18) a (III.29), pode-se escrevê-las em um único

sistema referencial que contenha todas as equações diferenciais que regem o

comportamento dinâmico do sistema mecânico-estrutural veículo-trilhos-dormentes-

estrutura (Equação III.30).

41

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+ ∑

=p

2

2

s2

1

1

s1

v

v

v

8

1irip

t2

s2

s2

t1

s1

s1

z

v

v

Uβ

uβ

uβθu

mM

II

mI

Im

II

m

&&

&&

&&

&&

&&

&&&&

&&

&&&&

θ

θ

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

p

2

2

s2

1

1

s1

v

v

v

1010

91099

8108988

710797877

61066

5105655

410464544

3937363433

292726242322

19171614131211

U

u

u

u

ccccccccccccccccccc

cccccccccccccccccc

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

βθ

βθ

βθ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

p

2

2

s2

1

1

s1

v

v

v

1010

91099

8108988

710797877

61066

5105655

410464544

3937363433

292726242322

19171614131211

U

u

u

u

kkkkkkkkkkkkkkkkkkk

kkkkkkkkkkkkkkkkkk

βθ

βθ

βθ

42

( )

( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++

+−+

+

+

+−+

+

+

=

∑∑∑

∑ ∑

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

===

= =

=

+

=

= =

=

+

=

8

1iirsiirsiirri

8

5iri

s2v4

1iri

s1v

6

5i

8

7iirsiirsiirsiirsi

8

5iirsiirsi

1i

8

5iirsiirsi

2

1iirsi

4

3iirsiirsiirsi

4

1iirsiirsi

1i

4

1iirsiirsi

ukucumgm4

m8

mgm

4m

8m

)bukub(c)bukub(c

)dukud(c1-

ukuc

)bukub(c)bukub(c

)dukud(c1-

ukuc000

&&&

&&

&

&

&&

&

&

(Eq. III.30)

sendo,

∑=

=4

1ivi11 cc ; ∑

=

+−=4

1ivi

1i12 Lc1)(c ; ( ) ( )∑∑

==

+ −=4

3ivi

i2

1ivi

1i13 lc1-lc1-c ;

∑=

−=2

1i1)-v(2i14 cc ; ( )∑

=

=2

1i1)-v(2i

i16 lc1-c ; ∑

=

−=2

1iv(2i)17 cc ; ( )∑

=

−=2

1iv(2i)

i19 lc1-c

24

1i22 Lcc vi∑

=

= ; ( ) ( ) lLc1-lLc1-c4

3ivi

i2

1ivi

1i23 ∑∑

==

+ += ; ∑=

−=2

1i1)-v(2i24 Lcc ;

( )∑=

−=2

1i1)-v(2i

i26 Llc1-c ; Lcc

2

1iv(2i)27 ∑

=

= ; ( ) Llc1-c2

1iv(2i)

i29 ∑

=

=

2vi33 lcc ∑

=

=4

1i; 1634 cc = ; ∑

=

−=2

1i

21)-v(2i36 lcc ; 1937 cc = ; ∑

=

−=2

1i

2v(2i)39 lcc

4 2

44 si v(2i-1)i=1 i=1

c = c c+∑ ∑ ; ∑=

+=4

1isi

1i45 dc(-1)c ; ∑∑∑

=

+

==

+−=2

1i1)-v(2i

1i4

3isi

2

1isi46 lc(-1)bcbcc ;

∑=

−=4

1isi410 cc ; ∑

=

=4

1i

2si55 dcc ; ∑∑

==

+ +=4

3isi

i2

1isi

1i56 dbc(-1)dbc(-1)c ;

45510 cc −= ; ∑∑==

+=2

1i

21)-v(2i

4

1i

2si66 lcbcc ; ∑∑

==

+−=4

3isi

2

1isi610 bcbcc ;

8 2

77 si v(2i)i=5 i=1

c = c c+∑ ∑

( )∑=

+=8

5isi

1i78 dc1-c ; ∑∑∑

=

+

==

+−=2

1iv(2i)

1i8

7isi

6

5isi79 lc(-1)bcbcc ; ∑

=

−=8

5isi710 cc

43

82

88 sii=5

c = c d∑ ; ∑∑==

+ +=8

7isi

i6

5isi

1i89 dbc(-1)dbc(-1)c ; 78810 cc −= ;

∑∑==

+=2

1i

2v(2i)

8

5i

2si99 lcbcc ; ∑∑

==

+−=8

7isi

6

5isi910 bcbcc

∑=

+=8

1isi

*p1010 cCc ; somatório dos coeficientes de amortecimento da suspensão primária

aos graus de liberdade relativos à matriz de amortecimento da ponte.

∑=

=4

1ivi11 kk ; ∑

=

+−=4

1ivi

1i12 Lk1)(k ; ( ) ( )∑∑

==

+ −=4

3ivi

i2

1ivi

1i13 lk1-lk1-k ;

∑=

−=2

1i1)-v(2i14 kk ; ( )∑

=

=2

1i1)-v(2i

i16 lk1-k ; ∑

=

−=2

1iv(2i)17 kk ; ( )∑

=

−=2

1iv(2i)

i19 lk1-k

24

1ivi22 Lkk ∑

=

= ; ( ) ( ) lLk1-lLk1-k4

3ivi

i2

1ivi

1i23 ∑∑

==

+ += ; ∑=

−=2

1i1)-v(2i24 Lkk ;

( )∑=

−=2

1i1)-v(2i

i26 Llk1-k ; Lkk

2

1iv(2i)27 ∑

=

= ; ( ) Llk1-k2

1iv(2i)

i29 ∑

=

=

24

1ivi33 lkk ∑

=

= ; 1634 kk = ; ∑=

−=2

1i

21)-v(2i36 lkk ; 1937 kk = ; ∑

=

−=2

1i

2v(2i)39 lck

4 2

44 si v(2i-1)i=1 i=1

k = k k+∑ ∑ ; ∑=

+=4

1isi

1i45 dk(-1)k ; ∑∑∑

=

+

==

+−=2

1i1)-v(2i

1i4

3isi

2

1isi46 lk(-1)bkbkk ;

∑=

−=4

1isi410 kk ; ∑

=

=4

1i

2si55 dkk ; ∑∑

==

+ +=4

3isi

i2

1isi

1i56 dbk(-1)dbk(-1)k ;

45510 kk −= ; ∑∑==

+=2

1i

21)-v(2i

4

1i

2si66 lkbkk ; ∑∑

==

+−=4

3isi

2

1isi610 bkbkk ;

8 2

77 si v(2i)i=5 i=1

k = k k+∑ ∑

( )∑=

+=8

5isi

1i78 dk1-k ; ∑∑∑

=

+

==

+−=2

1iv(2i)

1i8

7isi

6

5isi79 lk(-1)bkbkk ; ∑

=

−=8

5isi710 kk

82

88 sii=5

k = k d∑ ; ∑∑==

+ +=8

7isi

i6

5isi

1i89 dbk(-1)dbk(-1)k ; 78810 kk −= ;

∑∑==

+=2

1i

2v(2i)

8

5i

2si99 lkbkk ; ∑∑

==

+−=8

7isi

6

5isi910 bkbkk

∑=

+=8

1isi

*p1010 kKk ; somatório dos coeficientes de rigidez da suspensão primária aos

graus de liberdade relativos à matriz de rigidez da ponte.

44

III.2.3 MODELO COMPUTACIONAL

Para a resolução das equações diferenciais de movimento da interação veículo-

trilhos-dormente-estrutura foi desenvolvido um modelo computacional específico, que

faz uso do algoritmo de integração direta de Newmark, o qual será descrito com mais

detalhes no Capítulo V.

As equações da seção III.2.2.3 foram desenvolvidas levando-se em consideração

que as parcelas mv, mr, cv e kv são somadas às matrizes de massa, amortecimento e

rigidez da estrutura no grau de liberdade referente ao contato entre a estrutura e o

veículo. As atualizações destas matrizes são realizadas todas as vezes que a posição do

veículo ultrapassar a metade (M) de um elemento, conforme ilustrado na figura III.15.

M

veículo veículo

M

Figura III.15 – Ponto de atualização das matrizes envolvidas no sistema

O vetor de forças aplicadas à estrutura também varia com o tempo, dependendo

da posição do veículo em cada instante de tempo. A sua atualização é feita a cada

intervalo de tempo da integração numérica. Para esta atualização são calculados os

momentos de engastamento perfeito para cada elemento, de acordo com a posição do

veículo na estrutura.

45

Capítulo IV

SISTEMAS DE CONTROLE PASSIVO DE VIBRAÇÕES EM ESTRUTURAS DE PONTES

FERROVIÁRIAS

Os sistemas de controle têm assumido um papel cada vez mais importante no

desenvolvimento e avanço da moderna tecnologia. Estes sistemas são encontrados em

abundância em quase todos os setores da indústria, tais como linhas de montagem

automobilística, controle de máquinas operatrizes, tecnologia aeroespacial, sistema de

transporte, robótica e, mais recentemente em sistemas estruturais (pontes, edifícios etc.),

típicos da indústria da construção civil.

Sistemas de controle aplicados às grandes estruturas civis estão, pouco a pouco,

ganhando espaço no meio acadêmico e profissional. Estes sistemas aplicados em pontes

servem, de maneira geral, para atenuar as amplitudes de vibrações e, consequentemente,

aumentar a vida útil à fadiga da estrutura.

Em se tratando de controle dinâmico em estruturas, MEIROVITCH (1990) reuniu

em um único livro conceitos fundamentais para o projeto de estruturas com sistemas de

controle passivo e ativo. Porém, poucos trabalhos são encontrados na literatura com

aplicação direta de sistemas de controle em pontes ferroviárias.

Um dos primeiros trabalhos acadêmicos sobre controle aplicado a pontes

ferroviárias é o de KNOW, KIM e LEE. (1998), os quais utilizaram um sistema de controle

46

passivo, consistindo de um sistema massa-mola-amortecedor com um grau de liberdade,

para redução de vibração em uma ponte ferroviária em concreto armado com 40m de

vão. A carga móvel, utilizada para simular a passagem dos trens sobre a ponte, foi um

sistema massa-mola-amortecedor com dois graus de liberdade. Como resultado

observou-se que houve uma redução de cerca de 25% nas amplitudes de deslocamento

(Figura IV.1).

Uma ponte ferroviária com 40m de vão, em concreto armado, foi usada por

WANG, LIN e CHEN. (2003) para estudar as vibrações induzidas pelo tráfego de trens.

Para simular a carga móvel dinâmica foi utilizado um modelo massa-mola-amortecedor

com três graus de liberdade. Um sistema passivo foi proposto para reduzir as respostas

em termos de deslocamento. A redução, no meio do vão, para uma velocidade de

passagem de 240 km/h é mostrada na Figura IV.2.

(a) (b)

Figura IV.1 – Deslocamento vertical: a) sem controle; b) com controle (KNOW et al, 1998).

Figura IV.2 – Deslocamento vertical no meio do vão (WANG et al, 2003).

YAU e YANG (2004), por sua vez, utilizaram uma ponte estaiada, com 128m de

vão (64 de cada lado), para verificar o efeito dinâmico na ponte devido à passagem de

vagões ferroviários. A carga dinâmica foi modelada como uma série de conjuntos

47

massa-mola-amortecedor com um grau de liberdade. Para reduzir as vibrações, foi

proposto um sistema passivo do tipo massa-mola-amortecedor. A Figura IV.3 mostra a

variação do coeficiente de impacto com a variação da velocidade.

I=(yd-ye)/ye S=πv/ωLc

Figura IV.3 – Variação do coeficiente de impacto (YAU e YANG, 2004).

MUSEROS e MARTINEZ-RODRIGO (2007) idealizaram um sistema de atenuação de

vibração do tipo amortecedor fluido (fluid viscous dampers) em duas pontes, uma de

15m e outra com 25m de vão. A Figura IV.4 mostra o deslocamento no centro do vão

das duas pontes, devido a passagem de uma composição ferroviária, para os casos sem

amortecedor, com amortecedor com altura líquida de 1,0m e altura de 1,3m, para ponte

com 15m; e sem amortecedor, com amortecedor de 1,5m e com 1,7m de altura, para

ponte com 25m de comprimento.

Figura IV.4 – Deslocamento no meio de vão para pontes com e sem amortecedores fluidos.

a) 15m e b) 25m (MUSEROS e MARTINEZ-RODRIGO, 2007).

(a)

48

Na literatura técnica pesquisada não foram encontrados relatos (artigos) de

sistemas de controle dinâmico aplicados, com sucesso, a pontes ferroviárias reais, isto é,

existentes.

No Brasil, BATTISTA (1993a) projetou e fez instalar 116 unidades de ADS –

atenuadores dinâmicos sincronizados na estrutura de concreto armado da ponte de

acesso ao Pier de minério do Porto de Sepetiba/RJ, os quais estão ainda em

funcionamento, embora em precárias condições por falta de manutenção.

Ainda no Brasil, BATTISTA (2001 e 2004) projetou e fez instalar 32 unidades de

atenuadores dinâmicos sincronizados na estrutura metálica da ponte Rio-Niterói. O

projeto, originalmente desenvolvido para atenuação das vibrações induzidas pelo vento,

obteve bastante êxito em relação à excitação provocada pelo tráfego de veículos

rodoviários, no seu modo fundamental. Esta redução se deu em torno de 60%, conforme

mostra a figura IV.5.

Figura IV.5 – Espectros de resposta da estrutura não-controlada e com o sistema de

múltiplos ADS’s, sob ação do tráfego de veículos (BATTISTA, 2004).

IV.1 ATENUADORES VISCOELÁSTICOS - AVE

Da teoria clássica linear da elasticidade (lei de Hooke), sabe-se que as tensões

aplicadas a um corpo são diretamente proporcionais à sua deformação. Por outro lado,

sabe-se, também, que a tensão é sempre proporcional a uma taxa de variação da

deformação, conhecida como viscosidade, segundo a lei de Newton aplicada à

sem controle

controlada

49

hidrodinâmica. Sabe-se, porém, que os sólidos se aproximam do comportamento

elástico para deformações infinitesimais e os líquidos aproximam-se da lei de Newton

para taxa de deformação infinitesimal. Por conseguinte, uma parte dos materiais

apresenta comportamento tanto elástico quanto viscoso, uns mais viscosos que elástico

e vice-versa, quando submetidos à deformação, retornam à sua posição original com

certa energia dissipada. Os materiais viscoelásticos sob carregamentos cíclicos dissipam

energia sob forma de calor e apresentam uma curva força versus deslocamento que

forma um ciclo, cuja área representa a energia dissipada (Figura IV.6).

Figura IV.6 – Ciclos histeréticos típicos de materiais dissipativos: a) Linear, b) Não-

Linear, c) Elastoplástico (LAZAN, 1968).

Os materiais viscoelásticos são utilizados na fabricação de dispositivos

denominados de Amortecedores Viscoelásticos, que visam reduzir as amplitudes de

aceleração que ocorrem em edifícios altos devido às forças de vento, conforme ilustra a

Figura IV.7. A Figura IV.8 apresenta uma resposta típica da utilização desse tipo de

amortecedores aplicados ao caso do World Trade Center sob ação do vento, apresentado

por SANTOS (2003). Este material pode ser utilizado, também, como mecanismo de

amortecimento que é introduzido na estrutura através do contato direto com os

elementos estruturais, sistema conhecido como sanduíche (Figura IV.9).

A Figura IV.10 apresenta uma resposta típica de uma placa do tipo sanduíche,

sob ação de uma carga de impacto, em comparação com uma placa mista de aço e

concreto, sem adição de material viscoelástico, apresentado por VASCONCELOS (2003).

Uma aplicação deste sistema de amortecimento é apresentada por SANTOS (2007), onde

faz a comparação da simulação de um tabuleiro misto (aço-concreto) com um tabuleiro

tipo sanduíche, com material viscoelástico, para a Ponte Rio-Niterói sob ação de tráfego

normal de veículos. A Figura IV.11 apresenta o sinal temporal enquanto a Figura IV.12

mostra os autoepectros onde se percebe uma redução em cerca de 50% de amplitude na

50

freqüência de 17 Hz. O amortecimento conferido pelo material viscoleásticos será tanto

maior quanto maior for a sua deformação cisalhante.

Figura IV.7 – Utilização de material viscoelástico como amortecedor em estrutura (SANTOS, 2007)

Figura IV.8 – Resposta no domínio do tempo da estrutura do WTC com amortecedores

viscoelásticos (SANTOS, 2003)

Figura IV.9 – Utilização de material viscoelástico como amortecedor em estrutura do tipo

sanduíche (VASCONCELOS, 2003)

51

Figura IV.10 – Resposta no domínio do tempo de uma placa mista (aço-concreto) e outra

sanduíche (VASCONCELOS, 2003)

Figura IV.11 – Resposta em termos de deslocamento da estrutura com pavimento misto e

saunduiche (SANTOS, 2003)

Figura IV.12 – Autoespectros de respostas da estrutura com pavimento misto e sanduiche

(SANTOS, 2007)

Uma outra aplicação bastante conhecida deste material é como aparelhos de

apoio em neoprene fretado (Figura IV.13). Os aparelhos de apoio de neoprene fretado,

comumente utilizados para transmissão dos esforços da superestrutura para a

mesoestrutura em pontes, podem absorver esforços de compressão, rotação e distorção

52

cisalhantes, como pode ser visto nas Figuras IV.14 e IV.15. Uma outra aplicação destes

aparelhos é a possibilidade de substituição dos dormentes sobre pontes, especialmente

as de aço, conforme ilustrado esquematicamente na Figura IV.16. Estes dormentes têm

como função, entre outras, absorver os esforços provenientes do carregamento estático

e, principalmente, dinâmicos oriundos do tráfego de trens sobre a estrutura. Porém, para

esta função, os materiais viscoelásticos apresentam características superiores às da

madeira.

Figura IV.13 – Aparelhos de apoio de neoprene fretados usados em pontes

(STELA SELAMIL, 2008).

Figura IV.14 – Esforços absorvidos pelos aparelhos de neoprene fretado (MASON, 1977).

Figura IV.15 – Curvas tensão x deformação para borracha sob: a) Tração,

b) Compressão, c) Cisalhamento (HARIS e CREDE, 1976).

53

Viga tubular metálica

Neoprene Fretado Chapa de aço

Viga metálica

Trilho

Suporte para o aparelho de neoprene

CORTE AA'

A A'

Figura IV.16 – Aparelhos de apoio de neoprene fretado em substituição aos dormentes em

pontes metálicas.

Os sistemas de atenuação de vibrações que utilizam materiais visco elásticos

acoplados à estrutura são uma boa alternativa na redução das amplitudes de respostas,

em conseqüência de sua principal característica ser a grande dissipação de energia por

ciclo de oscilação (VASCONCELOS, 2003). A espessura das camadas de material visco

elástico está diretamente ligada ao amortecimento e à rigidez do dispositivo de

atenuação. Quanto maior a espessura, maior o amortecimento conferido, porém a

rigidez diminui, podendo causar flambagem da camada viscoelástica.

IV.1.1 PROPRIEDADES MECÂNICAS ESTÁTICAS DOS APARELHOS DE NEOPRENE

FRETADO

Como dispositivo de atenuação de vibração em estruturas de pontes, os

aparelhos de apoio de neoprene fretado trabalham para absorver somente aos esforços

de compressão. Uma das características do neoprene (policloropreno CR) é o não

endurecimento quando exposto às intempéries, o que não ocorre com a borracha natural

(NR) e mesmo a polimérica (Estireno-Butadieno SBR).

A determinação do coeficiente de rigidez do aparelho de apoio do tipo neoprene

fretado é feito com base na teoria de GENT e MEINECKE (1970, apud ALVES, 1994). Para

determinação do coeficiente de rigidez axial de uma camada de neoprene são admitidas

as seguintes hipóteses:

A camada possui espessura constante;

As faces horizontais carregadas são impedidas de deslizarem;

54

O carregamento é uniformemente distribuído;

O coeficiente de rigidez axial depende da capacidade de abaulamento das

superfícies laterais do material viscoelástico sob carregamento. Esta capacidade de

deformação é expressa através de um fator de forma S (Tabela IV.1), que é a relação

entre a área carregada e a área livre para abaular-se. Assim, o coeficiente de rigidez

axial de uma camada de material viscoelástico é a soma de uma deformação específica

por compressão e por variação volumétrica.

Tabela IV.1 – Valores do fator de forma S para diferentes geometrias

Geometria do aparelho Fator de forma SRetangular L x C x e ( )CL2e

LC+

Quadrado L x L x e 4e

L

Circular D x e 4e

D

Retangular alongado L > 5C 2e

C

L – largura; C – comprimento; D – diâmetro; e – espessura.

A deformação específica por compressão de uma camada de material

viscoelástico submetida a uma tensão σ é dada por:

aEσ

=cε (Eq. IV.1)

sendo aE o módulo de elasticidade aparente do material viscoelástico, definido por:

)S2E(1E 2a η+= (Eq. IV.2)

sendo E o módulo de elasticidade o material viscoelástico e η uma constante

determinada empiricamente, dependente do módulo de elasticidade transversal

G(kN/m2) (ALVES, 1994):

1625,1107,8103 427 +××−××= −− GGη (Eq. IV.3)

A deformação por variação volumétrica devido à compressão é dada por:

55

vv E

σε = (Eq. IV.4)

sendo Ev o módulo volumétrico cujo valor pode ser adotado como sendo 106 kN/m2

(ALVES, 1994).

A deformação total é dada, então, por;

mva Eσ

Eσ

Eσε =+= (Eq. IV.5)

sendo Em o módulo de elasticidade modificado, dado por:

v

a

am

EE

1

EE

+= (Eq. IV.6)

Assim, o coeficiente de rigidez de uma camada de material visco elástico é dado por:

eAE

k me = (Eq. IV.7)

sendo A a área de contato da camada e e a espessura da camada.

Para um aparelho de apoio com N camadas (Figura VI.17) o coeficiente de

rigidez é dado por:

eb

ebn 2kNk

kkk

+= (Eq. IV.8)

sendo kb o coeficiente de rigidez da camada de borda, ke o coeficiente de rigidez da

camada de material viscoelástico, e ka o coeficiente de rigidez da chapa de aço,

considerando-o muito maior que o da camada de material viscoelástico. A Tabela IV.2

apresenta o número e a espessura das camadas de neoprene e a espessura das chapas de

aço comumente utilizado em projetos de aparelhos de apoio de neoprene fretado.

Figura IV.17 – Aparelho de neoprene fretado.

56

Tabela IV.2 – Características dos aparelhos de apoio de neoprene fretado (MASON, 1976).

Dimensões L x C (mm)

Número de camadas

Espessura de neoprene (mm)

Espessura da chapa de aço (mm)

100 x 150 1, 2 3 5 2 150 x 200 2, 3, 4, 5 5 2 200 x 250 2, 3, 4 8 3 200 x 300 2, 3, 4 8 3 200 x 400 2, 3, 4 8 3 250 x 400 3, 4, 5 8 3 300 x 400 3, 4, 5, 6, 7 8 3 350 x 450 3, 4, 5, 6 11 4

IV.1.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS DINÂMICAS DE MATERIAIS VISCOELÁSTICOS

O termo “propriedade mecânica dinâmica” se refere ao comportamento dos

materiais viscoelásticos quando sujeitos às tensões e deformações variáveis no tempo.

Dentre todas as propriedades mecânicas que caracterizam esses materiais, o módulo de

elasticidade é a mais importante. Para avaliar essas propriedades, considere um corpo

perfeitamente elástico sujeito às deformações cisalhantes com ângulo de distorção “γ”

variando de forma senoidal no tempo (Figura IV.18).

( )tsen ωγγ 0= (Eq. IV.9)

sendo γ0 o valor máximo da deformação angular e ω a freqüência angular. Considerando

um corpo perfeitamente elástico, a tensão de cisalhamento é dada por:

( )tsen ωττ 0= (Eq. IV.10)

onde τ0 = Gγ0 é a magnitude de tensão cisalhante e G o módulo de armazenamento

transversal.

γ

δ

Figura IV.18 – Deformação imposta em material viscoelástico.

57

Considerando, agora, um corpo viscoso, a tensão é dada por:

( )tωττ cos0= (Eq. IV.11)

onde agora τ0 = μωγ0, sendo μ o coeficiente de viscosidade. Percebe-se que as respostas

em tensões entre o corpo puramente elástico e o viscoso estão defasadas de 90º. Assim,

a tensão de cisalhamento num material viscoelástico conduz deformação “γ”

compreendida entre zero e 90º (Figura IV.19). Para o material viscoelástico a tensão é

dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tGtsenGtsen ωωωωγϕωττ cos00 ′′+′=+= (Eq. IV.12)

sendo G’ e G”, respectivamente, o módulo de armazenamento e o módulo transversal de

perda e expressos por:

( )( )ϕ

ϕ

senGG

GG*

* cos

=′′

=′ (Eq. IV.13)

sendo G* o módulo de elasticidade transversal complexo dado por:

GiGG ′′+′=* (Eq. IV.14)

Pode-se definir, ainda, os módulos longitudinais através da relação clássica da

teoria da elasticidade:

( )[ ]( )[ ]υ

υ+′′=′′+′=′

1212

GEGE

(Eq. IV.15)

A relação entre os módulos de perda e armazenamento é definida como fator de perda:

GG

EE

′′′

=′′′

=η (Eq. IV.16)

58

Figura IV.19 – Respostas esquemáticas de tensão em corpos elásticos, viscosos e

viscoelásticos.

Os módulos complexo e de armazenamento (G* e G’) crescem mais rapidamente

em região crítica quando a freqüência cresce ou a temperatura decresce e o módulo de

perda (G”) e fator de perda (η) passam por de um máximo nesta região (VASCONCELOS,

2003), o que pode ser percebido na Figura VI.20.

Figura IV.20 – Efeitos da freqüência e temperatura nos módulos de perda e armazenamento e no fator de perda (LAZAN, 1968).

Segundo NOLLE (1922, apud VASCONCELOS, 2003), o módulo de

armazenamento sempre cresce ou no mínimo permanece constante com o incremento da

freqüência; o módulo de perda tende zero à medida que a freqüência se aproxima de

zero; o módulo de armazenamento tem seu valor máximo ou mínimo em altas e baixas

freqüências; o módulo de armazenamento decresce com o aumento da temperatura, mas

cresce com o incremento de temperatura a baixas freqüências.

Mód

ulo

com

plex

o (G

*)

Mód

ulo

de a

rmaz

enam

ento

(G’)

M

ódul

o de

per

da (G

’’)

Fato

r de

per

da (η

)

Tempo T

ensã

o

59

IV.1.3 MODELAGEM MATEMÁTICA DE MATERIAIS VISCOELÁSTICOS

Existem na literatura modelos analíticos (Figura IV.21) utilizados para

caracterização dos materiais viscoelásticos, tais como o modelo linear de MAXWELL,

que simula os materiais através de uma associação em série de uma mola e um

amortecedor, apresentando a mesma força nos dois elementos; o modelo de VOIGT,

onde a associação da mola e amortecedor é feito em paralelo, apresentando o mesmo

deslocamento nos dois elementos; um modelo denominado linear padrão, que é o

resultado da combinação dos dois modelos anteriores, também é muito utilizado para

representar analiticamente os materiais viscoelásticos.

a)

b)

c)

Figura IV.21 – Modelos analíticos utilizados para caracterizar os materiais viscoelásticos: a) modelo de Maxwell, b) modelo de Voigt, c) modelo linear padrão.

A modelagem matemática dos materiais viscoelásticos adotada neste trabalho é

aquela descrita por BARBOSA (2000) e VASCONCELOS (2003) que segue o método GHM

(Golla Hughes Method) desenvolvido por GOLLA e HUGHES (1985, apud BARBOSA,

2000). Este método tem seus fundamentos na teoria de Biot para termodinâmica e

consiste, basicamente, na determinação de um sistema dinâmico equivalente, no

domínio do tempo, envolvendo materiais viscoelásticos modelados no domínio de

Laplace. Assim, a equação de movimento de um material viscoelástico é formulada no

domínio de Laplace e, posteriormente, acoplada à equação de estrutura no domínio do

tempo, introduzindo-se, aí, uma coordenada de dissipação. Por conseguinte, a equação

que relaciona a tensão com a deformação no domínio de Laplace é dada por:

( )∈= sEσ (Eq. IV.17)

60

onde E(s) é o módulo de elasticidade no domínio de Laplace e é dado por:

( ) )(shsE += ε (Eq. IV.18)

onde ε relaciona a parcela elástica entre a tensão e a deformação ∈ e h(s) é uma função

de dissipação. Muitas funções de dissipação foram propostas por diferentes autores

(VASCONCELOS, 2003), porém, é utilizada aquela apresentada por BIOT a qual pode ser

expressa por:

( )2

2

1

1

bssa

bssash

++

+= (Eq. IV.19)

que pode ser escrita da seguinte forma:

( )δβ

γα++

+=

sssssh 2

2

(Eq. IV.19’)

onde α=a1+a2; γ=a1b2+a2b1; β=b1+b2; δ=b1b2, com (α,β,γ,δ)>0.

Assim, a relação tensão x deformação pode ser rescrita da seguinte maneira:

∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++=

δβγαεσ

ssss

2

2

(Eq. IV.20)

porém, esta relação só é válida se γ=αβ (GOLLA e HUGHES, 1985, apud BARBOSA,

2000). Assim, a relação torna-se, no domínio da freqüência (substituindo s por iω) em:

( )∈⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

+−+=

δβωωβωωαεσ

ii

2

2

(Eq. IV.21)

O módulo de elasticidade do material viscoelástico na forma complexa é dado

por:

( ) ( )δβωω

βωωαεω++−

+−+=

iiE 2

2* (Eq. IV.22)

61

sabendo que E*=E’+iE”. Assim, pode-se obter o módulo de elasticidade de

armazenamento (E’) e o fator de perda em função da freqüência de operação:

( ) ( )( ) 222

222

ωβωδβδωαωεω

+−−−

+=′E (Eq. IV.23)

( ) ( ) E ′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

=1

222 ωβωδαβωδωη (Eq. IV.24)

Assim, os parâmetros necessários para caracterização de um material

viscoelástico são ε,α,β e δ. Porém, nem todo conjunto desses parâmetros caracteriza

realmente um material viscoelástico. Tais parâmetros deverão ser ajustados com curvas

experimentais de um determinado material viscoelástico. A partir da caracterização do

material e suas equações constitutivas, pode-se escrever a equação diferencial de

movimento para um grau de liberdade no domínio de Laplace:

( )[ ]{ } ( ) ( )sFsqKshMs =++ ε2 (Eq. IV.25)

sendo M a massa do sistema, K a rigidez do sistema (não incluído o fator relativo ao

módulo de elasticidade, F(s) a função de força aplicada, q(s) o grau de liberdade do

sistema e h(s) a função dissipativa, conforme Equação IV.19. Para expressar esta

equação no domínio do tempo é necessário obter as transformadas inversas (L-1) de cada

termo. Com exceção de h(s) e q(s), os outros termos possuem transformadas inversas

simples.

Para obter estas duas transformadas inversas, o GHM admite que exista um

H=L-1[h(s)q(s)] e que pode ser escrita em termos de matrizes simétricas na forma:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0111H

zq

kkK

zq

ddD

zq

mmM

δβ&

&

&&

&& (Eq. IV.26)

sendo M, D, K, m, d, k incógnitas e z é um grau de liberdade adicional. Para H,

BARBOSA (2000) desenvolveu uma expressão no domínio do tempo dada por:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0ˆˆ/0

00ˆ/0

0 Fzq

kkkK

zq

Kzq

KM

ααααε

δδαβ

βδα &

&&&&&

(Eq. IV.27)

62

sendo βα /ˆ zz = . Esta variável é chamada de variável de dissipação e pode ser

interpretada como ilustra a Figura IV.22, onde esta aparece como um deslocamento de

um oscilador amortecido atuando em paralelo com a mola principal. Este grau de

liberdade adicional não tem nenhum significado físico definido.

Figura IV.22 – Interpretação do grau de liberdade adicional do GHM

(VASCONCELOOS, 2003).

Para n graus de liberdades, têm-se:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0F

zq

KKKK

zq

Kzq

KM

ee

ee

ee

e

ˆˆ/000

ˆ/00

ααααε

δαβδα &&

&&&&

Eq. IV.28)

sendo Me, Ke são as matrizes de massa e rigidez relativas a um elemento de

comportamento elástico. A matriz de rigidez inclui os modos relativos aos movimentos

de corpo rígido (seis para um elemento tridimensional). Por conseguinte, esta equação

deve ser modificada para evitar a inclusão de forças de amortecimento associadas a

esses movimentos. Assim, fatora-se segundo sua decomposição espectral

(VASCONCELOS, 2003) e chega-se a:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

0F

zq

Kzq

Czq

M v vv &

&

&&

&& Eq. IV.29)

onde Mv, Cv e Kv as matrizes de massa, amortecimento e rigidez do elemento

viscoelástico e dadas por:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

IM

M ev δα /0

0 Eq. IV.30)

63

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ICv δαβ /0

00 Eq. IV.31)

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

IRRK

K ev αα

ααε Eq. IV.32)

sendo 1/2ff ΛRR = , onde Rf é a matriz dos autovetores associados aos modos do

elemento flexível e Λ a matriz diagonal [0, Λf] dos autovalores dos modos do elemento

flexível.

Para validação da modelagem dos materiais viscoelásticos via GHM,

VASCONCELOS (2003) apresenta as respostas para uma placa sanduíche com uma força

harmônica de 1,0 N aplicada no centro da placa, conforme ilustra Figura IV.23. Estas

respostas foram comparadas com os resultados experimentais e, também, com

resultados obtidos via modelagem numérica com NASTRAN (NASA), conforme pode ser

visto na Figura IV.24. Observando a figura, percebe-se que os resultados obtidos com

esta modelagem (PEFAMV) se mostraram bastante correlacionados com os resultados

experimentais.

Figura IV.23 – Placa sanduíche (VASCONCELOS, 2003).

Figura IV.24 – Comparação das respostas experimentais, PEFAMV e NASTRAN para

uma placa sanduíche sob ação de força harmônica (VASCONCELOOS, 2003).

64

IV.1.4 APLICAÇÃO DE MATERIAIS VISCOELÁSTICOS EM ATENUADOR DE VIBRAÇÕES

EM PONTES FERROVIÁRIAS

Com o objetivo de reduzir a transmissibilidade dos esforços provenientes da

ação móvel da composição ferroviária para a estrutura, um sistema de atenuação de

vibração viscoelástico que utiliza aparelhos de neoprene fretado para substituição dos

dormentes de madeiras pode ser uma boa opção. Estes aparelhos de apoio podem ser

acondicionados em suportes metálicos soldados à estrutura da viga metálica, conforme

ilustram as Figuras IV.25 e IV.26. Este aparelho de neoprene fretado fica dentro do

suporte metálico. Em sua extremidade superior é acoplada uma chapa de aço que

receberá os grampos de fixação dos trilhos. Esta chapa servirá também de apoio do

trilho sobre o suporte, evitando a movimentação do mesmo tanto no sentido longitudinal

quanto no transversal da via.

Viga tubular metálica

Viga tubular metálicaSuporte para o aparelho de neoprene

TrilhoChapa de aço

Figura IV.25 – Vistas lateral e frontal da estrutura com o suporte para o aparelho de

neoprene fretado.

65

Neoprene Fretado Chapa de aço

Viga metálica

Trilho

Suporte para o aparelho de neoprene

CORTE AA'

A A'

Figura IV.26 – Vista superior da estrutura e vista em corte do suporte para o aparelho de

neoprene fretado.

O cálculo das propriedades mecânicas do aparelho de neoprene fretado segue a

marcha de cálculo descrita nas seções anteriores deste capítulo. Para o dimensionamento

do dispositivo é recomendável que este trabalhe somente a esforços de compressão por

estar confinado. Por questões econômicas e de projeto um aparelho de apoio com

dimensões de 0,20 m x 0,25 m pode ser largamente utilizável em pontes ferroviárias

metálicas. O primeiro passo é o cálculo do fator de forma, conforme Tabela IV.1:

( ) ( ) 95,620,025,0008,02

20,025,02

=+××

×=∴

+= S

BLeLBS (Eq. IV.33)

considerando L a maior dimensão e B a menor; e a espessura da camada viscoelástica,

conforme Tabela IV.2. A seguir, calcula-se o módulo de elasticidade aparente do

material viscoelástico, considerando o valor do módulo de elasticidade sendo E=4000

kN/m2, o módulo de elasticidade transversal G=1300kN/m2 e η, calculado a partir da

Equação IV.3, η = 0,55, dados estes obtidos de ALVES (1993):

( ) ( ) 222 /0,21653195,655,021400021 mkNSEEa =××+=+= η (Eq. IV.34)

A partir do módulo de elasticidade aparente, determina-se o módulo de

elasticidade modificado, dado por:

66

2

2

2

2

/178000

/1000000/2165311

/216531

1mkN

mkNmkN

mkN

EE

EE

v

a

am =

+=

+= (Eq. IV.35)

sendo Ev o módulo de deformação volumétrica do material viscoelástico. Com o valor

do módulo de elasticidade aparente, calcula-se o coeficiente de rigidez de cada camada

de material visco elástico, observando a Tabela IV.2, e da camada de cobertura.

222

/1112500008,0

05,0/178000 mkNm

mmkNe

AEk m

e =×

=×

= (Eq. IV.36)

adotando-se a espessura de 4 mm para a camada de cobertura, tem-se:

222

/2225000004,0

05,0/178000 mkNm

mmkNe

AEk m

b =×

=×

= (Eq. IV.37)

Assim, o coeficiente de rigidez dependerá do número de camadas de material

visco elástico. Adotando-se quatro camadas com 8 mm de espessura, tem-se:

mkNkNk

kkk

eb

ebu /222500

111250022225000411125002225000

2=

×+××

=+×

= (Eq. IV.38)

A Figura IV.27 mostra detalhes do aparelho de neoprene fretado utilizado para

substituição dos dormentes. Estes aparelhos trabalham exclusivamente à compressão,

sendo os seus movimentos de rotação e distorção cisalhante restritos pelo suporte

metálico onde os aparelhos são acondicionados.

Chapas de aço

Borracha Neoprene

38

38

38

38

3

200

250

Borracha Neoprene

Unidade: mm

44

55

Figura IV.27 – Detalhe do aparelho de neoprene fretado utilizado sob os dormentes.

67

Para determinação das propriedades dinâmicas, fez-se uma modelagem do

aparelho de apoio de neoprene utilizando os elementos hexaédricos que simulam o

material viscoelástico. Para isto, utilizou-se o programa CONTROLMADS o qual contém

em sua biblioteca este tipo de elemento desenvolvido por BARBOSA (2000) e

VASCONCELOS (2003).

A Figura IV.28 mostra o modelo do aparelho de neoprene fretado discretizado

em elementos hexaédricos. Nesta modelagem foram utilizadas duas camadas restritoras

em aço, uma inferior (engastada) e outra superior (livre) e quatro camadas de material

viscoelástico sendo excitado com uma força harmônica na freqüência de excitação dos

trens sobre a estrutura, localizada no centro da placa superior. Os parâmetros

necessários para caracterizar um material viscoelástico, nesse caso o neoprene, são

ε, α, β e δ.

A partir dos autoespectros de resposta da estrutura sob ação do tráfego de trens,

pode-se escolher a faixa de trabalho para obtenção das propriedades dinâmicas do

material viscoelástico. As Figuras IV.29 e IV.30 apresentam, respectivamente, a

variação do módulo de armazenamento G’ e do fator de perda η do neoprene com a

freqüência a uma temperatura de 25ºC. A partir destes gráficos obtem-se, para uma

freqüência de 12,94 Hz, por exemplo, um valor de G’=9,0 x 102 kN/m2 e um valor

aproximado de η=0,12. De posse do valor de G’, e a partir da relação clássica da teoria

da elasticidade, pode-se obter o valor do módulo de armazenamento longituinal E’ e, de

posse do valor do fator de perda, o módulo transversal de armazenamento G” e o

módulo de perda longitudinal E”:

( )[ ] ( )[ ]

2

2

2

108kN/m

319,7kN/m

2664kN/m

=×=×′=′′

=×=×′=′′

=+××=+′=′

12,0/900

12,0/2664

48,012/100,912

2

2

22

mkNGG

mkNEE

mkNvGE

η

η (Eq. IV.39)

Após a determinação desses parâmetros, faz-se uma busca dos parâmetrosε, α, β

e δ necessários para bem caracterizar o material viscoelástico. Essa busca pode ser feita

através de uma varredura acoplada pelo Método dos mínimos quadrados. Empregando-

se uma função dissipação com dois termos e utilizando as propriedades do Neoprene

para dois conjuntos de E’ e η, 5 Hz e 15 Hz, foram obtidos os seguintes parâmetros:

68

21 39960sδ;1300sβ0,72MPa;α2,0MPa;ε −− ==== (Eq. IV.40)

Elementos hexaédricos

Chapa de açoF(t)

Figura IV.28 – Modelo de elementos hexaédricos para obtenção do ciclo histerético.

Figura IV.29 – Variação do módulo de armazenamento G’ com a freqüência para o

Neoprene a 25ºC (SNOWDON, 1969, apud VASCONCELOS, 2003).

Figura IV.30 – Variação do fator de perda η com a freqüência para o Neoprene a 25ºC

(SNOWDON, 1969, apud VASCONCELOS, 2003).

1 dina/cm2 = 10-4 kN/m2

69

Com a definição dos parâmetros do material viscoelástico, pode-se, então,

calcular o ciclo histerético. A Figura IV.31 apresenta os ciclos histeréticos do material

viscoelástico neoprene para duas freqüência, 12,94 Hz e 19,35 Hz, obtidos

numericamente com o programa CONTROLMADS (2007) – Programa para análise

dinâmica e projeto de estruturas com sistemas de controle de vibrações utilizando

modelagem matemática GHM (GOLLA e HUGHES, 1985). Utilizou-se uma força

harmônica aplicada no centro da placa superior (Figura IV.28). Percebe-se na figura que

os ciclos histeréticos gerados apresentaram pequena diferença, o que conduzirá a

valores muito próximos da taxa de amortecimento. Esta taxa é determinada da seguinte

maneira (CLOUCH e PENZIEN, 1993):

elast

ciclo

AA

××=

πξ

4 (Eq. IV.41)

sendo Aciclo a área total dentro da curva e Aelast é a área referente à deformação elástica,

conforme ilustrada na Figura IV.32. Calculando-se, então, estas áreas e chega-se ao

valor da taxa de amortecimento para a freqüência de 12,94 Hz:

%7,4047,0676504

400604

==×××

×=

××=

mmNmmN

AA

elast

ciclo

ππξ (Eq. IV.42)

-4.0E+04

-3.0E+04

-2.0E+04

-1.0E+04

0.0E+00

1.0E+04

2.0E+04

3.0E+04

4.0E+04

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Deslocamento (mm)

Forç

a (N

)

freq 12.,94Hz freq 19.,35Hz

Figura IV.31 – Ciclos histeréticos do material viscoelástico neoprene, obtidos via

CONTROLMADS.

70

Figura IV.32 – Energia elástica de um material viscoelástico.

A Tabela IV.3 apresenta os valores dos coeficientes de rigidez e amortecimento

do aparelhos de neoprene que podem ser utilizados para substituição dos dormentes.

Estes coeficientes podem caracterizar os elementos de conexão viscoelásticas, conforme

ilustrado na Figura IV.33.

Tabela IV.3 – Valores numéricos dos parâmetros usados nas conexões viscoelásticas.

KN 222.500 N/m

CN 5 kN.s/m

k c

ponte

trilho

k cN N N N

Figura IV.33 – Esquema ilustrativo da aplicação de dispositivos viscoelásticos (representados pelos elementos de rigidez e amortecimento) entre os trilhos e a

superestrutura de aço de pontes ferroviárias.

IV.2 ATENUADORES DINÂMICOS SINTONIZADOS/SINCRONIZADOS - ADS

Um dispositivo de controle dinâmico passivo, do tipo ADS - Atenuador

Dinâmico Sintonizado (em freqüência) é definido como um sistema de ciclo fechado,

haja vista que a magnitude das forças de controle depende diretamente das amplitudes

de respostas da estrutura principal (MEIROVITCH, 1990; BATTISTA, 1993). A força de

controle fc(t), gerada pelo sistema auxiliar, é adicionada à estrutura principal e depende,

além das respostas do sistema principal, das propriedades características do próprio

71

sistema auxiliar. O diagrama de bloco de um sistema de controle passivo está mostrado

na Figura IV.34.

f (t)e

x(t)Estrutura(K, M, C)Força de Controle Resposta

Força de Excitação

Sistema Auxiliarf [x(t)]c

Figura IV.34 - Diagrama de bloco de um Sistema de Controle Passivo.

Por não possuir um regulador automático, sensores ou atuadores pré-

programados, o sistema auxiliar não é capaz de compensar perturbações inesperadas do

sistema principal. O desempenho de um sistema de controle passivo depende,

essencialmente, da calibração prévia entre a estrutura (relação de massa e freqüência

natural) e o sistema auxiliar, para redução das vibrações. Na Figura IV.35 é apresentado

o modelo da estrutura de viga com sistema de controle passivo sintonizado na

freqüência do primeiro modo e a sua resposta em freqüência típica.

ka ca

ma

F(t)

Me, Ce, Ke

Des

loca

men

to (

mm

)

Frequência (Hz)

Figura IV.35 – Esquema estrutural e resposta em freqüência típica com ADS de uma estrutura.

A força de controle do sistema ADS é função da aceleração relativa entre este e

a estrutura criando, assim, forças de inércias que se opõem às produzidas pela estrutura,

em freqüência próxima (por exemplo, 97%) à do modo que se deseja controlar. O

acoplamento de um ADS na estrutura resulta na adição de um grau de liberdade

generalizado. O sistema de equação resultante é dado por:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

0 tFuu

kkkkk

uu

ccccc

uu

mm

a

e

aa

aae

a

e

aa

aae

a

e

a

e

&

&

&&

&& (Eq. IV.43)

Estrutura original

Estrutura com ADS

72

onde:

me, ce, ke – massa, amortecimento e rigidez da estrutura;

eee uuu ,, &&& - aceleração, velocidade e deslocamento da estrutura;

ma, ca, ka – massa, amortecimento e rigidez do ADS;

aaa uuu ,, &&& - aceleração, velocidade e deslocamento do ADS;

Se a força aplicada na estrutura for harmônica e da forma:

tieFtF ω0)( = (Eq. IV.44)

produzirá deslocamentos na estrutura do tipo:

tie euu ω

0= (Eq. IV.45)

Derivando duas vezes o deslocamento e substituindo na Equação IV.43, tem-se:

0F1Bu −= (Eq. IV.46)

sendo B é a matriz da função resposta em freqüência, que para dois graus de liberdade é

dada por:

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−−−−−++−+

=aaaaa

aaaeeae

cimkcikcikccimkk

ωωωωωω

2

2

B (Eq. IV.47)

onde me, ce, ke são, respectivamente, a massa, o amortecimento e a rigidez da estrutura e

ma, ca, ka, os mesmos parâmetros relativos ao sistema ADS.

Assim, os deslocamentos tanto da estrutura quanto do ADS são dados por:

( )

( ) 0

0

2

det

det

Fcik

u

Fcimk

u

aaa

aaae

B

B

ω

ωω

−−=

+−=

(Eq. IV.48)

onde o det(B) é o determinante da matriz B na forma complexa, dado por:

( ) iDC +=Bdet (Eq. IV.49)

73

sendo:

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ){ }aaeaepa

eaaaaaee

mkcmmkcD

cckmmkmkC22

222

ωωω

ωωω

−++−=

+−−×−= (Eq. IV.50)

A figura IV.36 apresenta as respostas em freqüência (FRF) dos deslocamentos

dinâmicos de uma viga engastada para diferentes relações de freqüência e massa.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

ωe/ω

Des

loca

men

to (m

) Estruturaoriginal

Est. com ADS

Est. com ADS

ωa/ω = 0,995ma/m = 0,5%

ωa/ω = 0,99ma/m = 1%

Figura IV.36 – Deslocamento da uma viga engastada, sem e com sistema de controle do

tipo ADS (SANTOS, 2007).

Um conjunto de Atenuadores Dinâmicos Sintonizados em freqüência e

sincronizados ente si é denominado MADS – Múltiplos Atenuadores Sincronizados. O

uso destes dispositivos como mecanismo de controle acoplado à estrutura acarreta o

acréscimo de tantas (n) equações subsidiárias quantos forem os ADS utilizados. A

Figura IV.37 ilustra uma estrutura com dois sistemas ADS e as equações de movimento

do sistema estrutural resultante pode ser escrito da seguinte forma:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0

tFuU

kkkkK

uU

ccccC

uU

m00M

a

e

aa

aae

a

e

aa

aae

a

e

a

e

&

&

&&

&&(Eq.IV.51)

onde:

Me é a matriz de massa da estrutura;

eC e eK são, respectivamente, as matrizes de amortecimento e de rigidez da

estrutura, alteradas pela adição das forças de interação (de amortecimento e de

rigidez) entre ADS e a estrutura;

eee UUU ,, &&& são os respectivos vetores de aceleração, velocidade e deslocamento

da estrutura;

74

ma, ca e ka são as submatrizes de massa, amortecimento e rigidez do sistema

MADS;

aaa uuu ,, &&& os vetores de aceleração, velocidade e deslocamento das massas dos

ADS.

a ak c

au ma amua

ck aa

pu

f (t)

Figura IV.37 – Estrutura com sistema MADS.

IV.2.1 APLICAÇÃO DO SISTEMA ADS PARA ATENUAÇÃO DE VIBRAÇÕES

Um sistema do tipo massa-mola-amortecedor, como o próprio nome sugere, é

composto por uma massa, um conjunto de molas e um amortecimento, que pode ser

viscoso ou histerético. A massa deve ser tal que multiplicada pela aceleração relativa

entre a estrutura e o sistema auxiliar consiga exercer uma força contrária à ação da

estrutura e assim reduzir as amplitudes de resposta.

Segundo BATTISTA (1993b) e MAGLUTA (1993), na calibração de um sistema

passivo de atenuação existem três parâmetros básicos a serem considerados, que são: a

massa, a rigidez e o amortecimento do sistema auxiliar. Normalmente, estes parâmetros

são considerados em termos da relação entre a massa modal da estrutura principal e o

sistema auxiliar (Ma/Me); relação entre a freqüência da estrutura e do sistema auxiliar

(ωa/ωe) e relação entre o amortecimento modal da estrutura e do sistema auxiliar

(Ca/Ce).

Os valores das relações entre massa, amortecimento e freqüências são de suma

importância para o desempenho desejável do sistema de atenuação. Com o objetivo de

obter valores que pudessem ser aplicados em projetos de sistema de atenuação,

MAGLUTA (1993) realizou estudos paramétricos destas relações utilizando como

excitação uma força harmônica.

Para uma excitação senoidal, pode-se observar, nos ensaios de laboratório, que a

maior redução das amplitudes de resposta se dá para a relação (ωa/ωe) em torno de 1,0.

75

Considerando condições mais realistas de alterações dos parâmetros característicos da

estrutura e das cargas dinâmicas, BATTISTA (1993b) sugere, para aplicação em projetos,

valores práticos para a relação de freqüências variando na faixa 0,9 < (ωa/ωe) < 1,0.

Ainda buscando valores ótimos para as relações dos parâmetros de calibração,

MAGLUTA (1993) apresenta a Figura IV.38, onde o eixo das ordenadas é a relação entre

os deslocamentos máximos da estrutura sem (D1) e com (Da) atenuador. A figura mostra

os resultados obtidos variando-se a relação de massa (Ma/Me) para três diferentes

relações de amortecimento, fixando-se a excitação em ressonância com a estrutura.

Observando, ainda, a Figura IV.38, percebe-se que há uma tendência assintótica

das três curvas, implicando, assim, que o aumento da relação de massa é desprezível a

partir de uma determinada relação. Esta relação, segundo BATTISTA (1993b), para

aplicação prática pode ser tomada variando entre 0,005 < (Ma/Me) < 0,07. Percebe-se,

ainda, nesta figura, que as maiores reduções foram obtidas para a menor relação de

amortecimentos (Ca/Ce). Em relação ao amortecimento Ca, pode-se dizer que a variação

deste interfere na amplitude de oscilação do sistema auxiliar e na magnitude da força de

interação entre a estrutura e o sistema auxiliar. Como pode ser percebido, os parâmetros

que mais interferem na calibração do sistema são a relação de massa e de freqüência.

Sendo assim, estes parâmetros são usados como base para a calibração do sistema a ser

utilizado para reduzir as amplitudes de vibração da estrutura a ser aplicado o sistema.

Figura IV.38 – Estudo dos parâmetros de calibração do sistema de atenuadores dinâmicos

sintonizados (ADS) passivo (MAGLUTA, 1993).

Definidos os parâmetros das relações entre massas e freqüências a serem

utilizados nos sistemas ADS, resta saber somente os valores de massa, amortecimento e

76

rigidez dos sistemas auxiliares. Como mencionado anteriormente, a massa do sistema

ADS é uma pequena parcela da massa modal da estrutura a ser controlada, então, esse

valor varia de estrutura para estrutura e, também, com o modo que se deseja controlar.

A taxa de amortecimento do sistema auxiliar ADS pode ser tomada, para uso prático em

projetos (BATTISTA, 1993b), como:

2M

M

ξ e

a

ot = (Eq. IV.52)

que para uma relação prática Ma/Me = 0,01, dá uma taxa de amortecimento de ξ = 0,05.

Existem algumas maneiras de se compor um sistema massa-mola-amortecedor

para uso em pontes ferroviárias, porém uma alternativa interessante é apresentada na

Figura IV.39 (VARELA, 2004 e VARELA e BATTISTA, 2008), que consiste de um

conjunto de placas de aço que podem ser variadas em suas espessuras até alcançar a

quantidade de massa desejada. O sistema possui um conjunto de molas trabalhando

somente a compressão, guiadas por eixos-guia e o amortecimento é alcançado através

do atrito entre as placas de aço e os eixos-guia e eixo central.

Figura IV.39 – Sistema massa-mola-amortecedor (VARELA, 2004).

77

Capítulo V

DESCRIÇÃO DA FERRAMENTA NUMÉRICO-COMPUTACIONAL

A ferramenta numérico-computacional utilizada na modelagem do problema de

interação dinâmica trem-trilhos-dormentes-estruturas é o CONTROLMADS, um programa

de análise baseado no Método dos Elementos Finitos e derivado do PEFAMV

(VASCONCELOS, 2003).

O CONTROLMADS – Controle de vibrações via múltiplos atenuadores dinâmicos

sincronizados é uma evolução do PEFAMV – Programa em Elementos Finitos com

Atenuadores de Mecanismo Viscoelástico, desenvolvido por VASCONCELOS (2003), que

por sua vez se baseia, no que diz respeito aos elementos hexaédricos, no programa

GHM3D, elaborado por BARBOSA (2000). O CONTROLMADS possui todos os elementos

do PEFAMV, além dos tipos de carregamento. No entanto, as grandes diferenças entre os

dois programas dizem respeito à aplicação de cargas móveis referentes a modelos

matemáticos refinados de veículos com vários graus de liberdade e a aplicação de

controle por meio do sistema de Múltiplos Atenuadores Dinâmicos Sincronizados em

freqüência – MADS.

O CONTROLMADS é desenvolvido em linguagem estruturada (FORTRAN) composto

por um programa principal e diversas subrotinas ligadas. Utiliza a técnica de alocação

dinâmica de vetores e matrizes, cujas dimensões dependem do número de equações,

78

elementos, etc., contribuindo para uma redução significativa do tempo de

processamento.

O armazenamento da matriz de rigidez global dos elementos é feito através do

perfil skyline (BATHE e WILSON, 1976), usado para reduzir espaço na memória do

computador. A matriz de massa é do tipo discreta e é armazenada em um vetor, assim

como a matriz de amortecimento. O sistema de equação resultante é resolvido utilizando

o método de integração direta de Newmark.

O CONTROLMADS é composto por alguns programas:

Gerador de malha (CONTROLMADS_MALHA.FOR)

É um pré-processador que gera um arquivo de dados de entrada que é

utilizado nas análises a serem executadas por outros programas. Neste

arquivo estão contidas, basicamente, as coordenadas nodais, as

conectividades dos elementos e as restrições de cada nó.

Análise de freqüências (CONTROLMADS_FREQ.FOR)

É o programa utilizado para cálculo das n primeiras freqüências e formas

modais de vibração da estrutura analisada. Utiliza o método do subespaço.

Visualização de formas modais (CONTROLMADS_GEO.FOR)

Este programa gera um arquivo de dados para cada modo de vibração que

pode ser visualizado através do VIEW3D (RIBEIRO, 2002), visualizador

gráfico desenvolvido na COPPE/UFRJ.

Análise dinâmica no domínio do tempo (CONTROLMADS.FOR)

É o programa propriamente dito, que realiza análise dinâmica no domínio do

tempo. Utiliza cinco tipos de função de força: Impacto triangular,

sobrecarga, carregamento senoidal, ruído branco e dados discretos.

Análise estática (CONTROLMADS_EST.FOR)

Este programa calcula os deslocamentos estáticos devido às cargas aplicadas

na estrutura, assim como os esforços e reações de apoio.

79

Análise de estruturas ferroviárias (CONTROLMADS_FER.FOR)

Realiza, no domínio do tempo, análise dinâmica de estruturas utilizando

como função de força o acoplamento de veículos ferroviários na estrutura.

V.1 BIBLIOTECA DE ELEMENTOS DO CONTROLMADS

A seguir serão descritos os elementos finitos que estão contidos na biblioteca de

elementos do CONTROLMADS. Esta possui elementos de pórtico espacial, elementos

planos de casca, elementos hexaédricos e elementos de conexão viscoelástica.

V.1.1 ELEMENTO DE PÓRTICO ESPACIAL

Elemento tridimensional definido por dois pontos nodais com seis graus de

liberdade em cada nó (três deslocamentos e três rotações), conforme ilustrado na Figura

V.1. A matriz de rigidez possui dimensão 12 x 12, a qual pode ser facilmente

encontrada na literatura técnica (GERE e WEAVER, 1981).

Figura V.1 – Elemento de pórtico espacial com seus respectivos graus de liberdade


Em relação à matriz de massa do elemento, o CONTROLMADS utiliza uma matriz

do tipo discreta, a qual é definida por uma matriz diagonal 12 x 12, de acordo com a

seguinte expressão:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

12,

12,

2,

2,

2,

2,

12,

12,

2,

2,

2,

2

2222 LLLILLLIdiagonal xx μμρμμμμμρμμμM Eq. V.1

onde μ=ρAL, sendo ρ a massa por unidade de volume.

80

Em todas as modelagens, a discretização dos elementos elásticos de pórtico é

representada, esquematicamente, pelo eixo de cada elemento. Porém, na prática existem

muitas situações em que situação não representa adequadamente a estrutura modelada,

como é o caso de vigas apoiadas em pilares. Assim, é necessário considerar uma parte

rígida na extremidade dos elementos elásticos para melhor representar as condições

físicas e geométricas das ligações/conexões entre elementos. Desta maneira, o

CONTROLMADAS apresenta este acréscimo em relação ao PEFAMV.

A introdução dessa formulação na matriz de rigidez local do elemento de pórtico

espacial se faz para os graus de liberdade de deslocamento na direção z e rotação em

torno da direção y. Outra implementação que o CONTROLMADS apresenta é possibilidade

de considerar excentricidades em dois planos ortogonais diferentes.

Considerando o esquema estrutural ilustrado na Figura V.2, assume-se que as

partes AA’ e BB’, nos extremos dos elementos tenham rigidez infinita. Assim, os

deslocamentos dos pontos A e B, relativos aos pontos A’ e B’, são dados por (GHALI e

NEVILLE, 1997):

[ ] [ ][ ]*DHD = Eq. V.2

onde:

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

1000100

0010001

bl

dl

H Eq. V.3

A matriz de rigidez de um elemento de pórtico correspondente às coordenadas

D* é dada por:

[ ] [ ] [ ][ ]HSHS T* = Eq. V.4

onde [S] é a matriz de rigidez de um elemento de pórtico espacial considerando os

novos comprimentos (cl, bl e dl), nas direções consideradas para extremos rígidos.

Assim, tem-se:

81

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

−−++

+−

+

−−−

+++

+

+=

lcb

lcb

cllcb

lclcdb

lcbd

cllcb

lc

lclcd

lclc

lcd

lcd

cllcd

lc

lc

EI

3

2

22322322322

33232233

3

2

22322

33

*

1212412612662126

1212612

12124126

12

1

αα

α

αS

Eq. V.5

onde rGalc

EI22

12=α , sendo ar a área efetiva. Tomando o valor de α = 0, desconsideram-

se os efeitos das deformações.

Figura V.2 – Esquema estrutura para consideração de extremidades rígidas em elementos de pórtico espacial.

V.1.2 ELEMENTO TRIANGULAR DKT

O elemento DKT (Discrete Kirchoff Triangle) possui três nós, com três graus de

liberdade por nó (deslocamento vertical e rotações em torno dos eixos x e y, Figura

V.3). Neste elemento é levado em conta o efeito de membrana, o que resulta na adição

de dois graus de liberdade de deslocamento por nó (Figura V.4). A matriz de rigidez é

encontrada facilmente na literatura técnica (COOK, 1995). Para compatibilizá-lo com o

elemento de pórtico espacial, é introduzida uma rigidez fictícia de rotação segundo a

direção z em cada nó (VASCONCELOS, 2003). A matriz de massa do nó (discreta) pode

ser definida por:

82

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

44 344 21vezes

diagonal

3

,,,3

,3

,3

χχχμμμM Eq. V.6

Onde, µ = ρAh, é a massa de translação do elemento, sendo A a área e h a espessura da

placa; ρ a massa específica e χ um valor muito pequeno para massa rotacional.

Figura V.3 – Elemento triangular para esforços de flexão (VASCONCELOS, 2003).

Figura V.4 – Elemento triangular para esforços de membrana (VASCONCELOS, 2003).

V.1.3 ELEMENTO QUADRILÁTERO

O elemento quadrilátero é composto por quatro nós com três graus de liberdade

por nó e deriva da teoria de Reissner-Mindlin, que leva em consideração as deformações

transversais devido ao cisalhamento (Figura V.5). Porém, os elementos derivados desta

teoria podem apresentar o fenômeno de trancamento por cortante. Para evitar tal

problema, faz-se uso da técnica de Integração Seletiva Reduzida (OWEN e HINTON,

1984). Assim como no elemento DKT, foram introduzidos dois graus de liberdade por

nó para a consideração do efeito de membrana (Figura V.6). A compatibilização com o

elemento de pórtico espacial é feita através do acréscimo de uma rigidez fictícia na

componente de rotação em torno do eixo z da placa.

A matriz de rigidez deste elemento considerando os efeitos de membrana possui

dimensão 24 x 24 (VASCONCELOS, 2003). A matriz de massa nodal discreta,

considerando o efeito de membrana, é dada por:

83

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

44444 344444 21vezes

badiagonal

4

22

,1727

..10,1727

..10,4

,4

,4

χμμμμμM Eq. V.7

sendo μ = ρAh, a massa do elemento de placa retangular de dimensões laterais a e b, h é

a espessura, χ é um número muito pequeno.

Figura V.5 – Elemento quadrilátero para esforços de flexão (VASCONCELOS, 2003).

Figura V.6 – Elemento quadrilátero para esforços de membrana (VASCONCELOS, 2003).

V.1.4 ELEMENTO HEXAÉDRICO

Os elementos hexaédricos lineares são modelados segundo o GHM (Golla e

Hughes Method). Cada elemento possui 08 nós físicos com três graus de liberdade por

nós, e um fictício (nó dissipador) para cada grau de liberdade físico (Figura V.7). A

matriz para este elemento possui a dimensão 348 x 348, quando da utilização de uma

função dissipação com 18 termos e tem a seguinte forma:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

=

∑=

mTmm

T

mm

M

iei

v

αα

αα

αααε

0.0..

00

..)(

111

111

R

R

RRk

K Eq. V.8

84

com a matriz R como definida na seção IV.1.3. e a matriz de massa e amortecimento

definida por:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=m

m

vezes

vezes

v diagonalδα

δαμμμ44 344 21

43421

4

1

1

24

,...,,,...,,M Eq. V.9

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=m

mm

vezes

vezes

v diagonalδ

βαδβα

44 344 21321

4

1

11

24

,...,,0,...,0,0C Eq. V.10

onde os parâmetros α, β e δ estão relacionados com a função dissipativa (Equação

IV.19’). Para a compatibilização deste elemento com os elásticos, VASCONCELOS (2003)

acrescentou as rotações referentes às três direções, além das restrições de alguns graus

de liberdade para reduzir o número de equações de equilíbrio.

Figura V.7 – Elemento hexaédrico linear com 08 nós físicos e 01 dissipativo


V.1.5 ELEMENTO DE CONEXÃO VISCOELÁSTICA

Este elemento, existente somente no CONTROLMADS, é um elemento de conexão

viscoelástica tridimensional, cujas matrizes de rigidez e amortecimento estão descritas

na seção III.2.2.2.

85

V.2 MATRIZ DE AMORTECIMENTO

Para a montagem da matriz de amortecimento, levou-se em consideração que o

amortecimento em sistemas estruturais pode ser viscoso e proporcional à massa e/ou à

rigidez. O CONTROLMADS utiliza o amortecimento proporcional, definido pela matriz de

amortecimento da forma:

[ ] [ ]KMC 10 aa += Eq. V.11

O significado desta definição, em termos da taxa de amortecimento ξ, é

apresentado na Figura V.8. Observando a figura, percebe-se que para valores de a0 = 0,

a matriz de amortecimento [C] é dependente somente da matriz de rigidez [K],

geralmente chamado de amortecimento proporcional à rigidez. Para o caso em que a1 =

0, a matriz de amortecimento [C] é proporcional apenas à matriz de massa [M] e é

conhecido como proporcional à massa. Quando tanto a0 quanto a1 forem diferentes de

zero, o amortecimento é proporcional à massa e à rigidez. Para um par de valores de

freqüência e taxa de amortecimento, tem-se:

22

22

10

10

n

nn

m

mm

aa

aa

ωω

ξ

ωω

ξ

+=

+=

Eq. V.12

Figura V.8 – Relações entre taxas de amortecimento e freqüências para amortecimento

viscoso linear.

Combinado

Proporcional à rigidez

Proporcional à massa

86

V.3 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL

Uma composição de veículos ferroviários trafegando sobre uma estrutura se

configura como uma carga variável no tempo e no espaço, onde o modelo mecânico-

analítico massa-mola-amortecedor é acoplado à estrutura. Esse acoplamento se dá,

basicamente, com a adição dos coeficientes de rigidez e amortecimento do veículo à

estrutura referente aos graus de liberdade dos pontos de contato do veículo com a

estrutura. É de se ressaltar que estes pontos de contatos variam a cada instante de tempo,

fazendo com que as matrizes globais de massa, amortecimento e rigidez variem ao

longo do tempo, configurando, assim, um problema de pseudo não-linearidade. Assim,

o sistema de equações matriciais diferenciais de movimentos que representa o

acoplamento de um modelo mecânico-analítico com nove graus de liberdade com a

estrutura pode ser dado por (conforme descrito no Capítulo III):

F(t)KUUCUM =++ &&& Eq. V.13

onde:

)9()9(

9

++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

nxn

n

vv(9x9)(9xn)

)x(ee(nxn)

M00M

M Eq. V.14

)9()9(

9

++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

nxnve

n

vv(9x9)(9xn)

)x(evee(nxn)

CCCC

C Eq. V.15

)9()9(

9

++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

nxnve

n

vv(9x9)(9xn)

)x(evee(nxn)

KKKK

K Eq. V.16

)9()9()9(

;;+++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

nnn v

e

v

e

v

e

UU

UUU

UUU

U&

&&&

&&

&&&& Eq. V.17

)9( +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

n(t)F(t)F

F(t)v

e Eq. V.18

sendo,

87

)(nxnen

e3

e2

e1

ee

m0000000......0......0...0..0..0m0.0...0m00....0m

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M Eq. V.19

)99( xt2

s2

s2

t1

s1

s1

z

v

v

vv

I000000000I0......00m0.....0.0I0....0..0I0...0...0m0..0....0I0.0.....0I00......0m

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=M Eq. V.20

)(nxn

s8e

s7e

s6e

s5e

s4e

s3e

s2e

s1e

)c(c)c(c

)c(c)c(c

)c(c)c(c

)c(c)c(c

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

++

++

=

OM

MM

KM

KM

KM

KM

KM

KM

KM

LO

eeC Eq. V.21

)99(

8

5

24

22

2

8

5

2

8

542

4

1

23

21

2

4

1

2

4

131

24

22

23

21

4

1

2

4231

4

1

2

4231

4

1

0

00

000

0000

00000

0000

00000

000000

xivvvi

ivi

ivvvi

ivvvi

ivi

ivvvi

vvvvi

vi

vvvvi

vi

vvvvi

vi

lclcbc

dc

cccsim

lclcbc

dc

ccc

lclclclclc

LcLcLcLcLc

ccccc

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

++

++

−−−−

++−−

−−−−

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

=

vvC

Eq. V.22

88

)9(

888

777

666

555

444

333

222

111

000

000

000

nx

sss

sss

sss

sss

sss

sss

sss

sss

Tveev

bcdcc

bcdcc

bcdcc

bcdcc

bcdcc

bcdcc

bcdcc

bcdcc

C

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−

+−−

−+−

−−−

++−

+−−

−+−

−−−

=

MMM

MMM

MMM

MMMMMM

MMMMMM

MMMMMM

MMM

MMMMMM

MMMMMM

C

Eq. V.23

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

++

++

=

OM

MM

KM

KM

KM

KM

KM

KM

KM

LO

)()(

)()(

)()(

)()(

8

7

6

5

4

3

2

1

se

se

se

se

se

se

se

se

kkkk

kkkk

kkkk

kkkk

eeK Eq. V.24

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

++

++

−−−−

++−−

−−−−

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

=

8

5

24

22

2

8

5

2

8

542

4

1

23

21

2

4

1

2

4

131

24

22

23

21

4

1

2

4231

4

1

2

4231

4

1

0

00

000

0000

00000

0000

00000

000000

ivvvi

ivi

ivvvi

ivvvi

ivi

ivvvi

vvvvi

vi

vvvvi

vi

vvvvi

vi

lklkbk

dk

kkksim

lklkbk

dk

kkk

lklklklklk

LkLkLkLkLk

kkkkk

vvK

Eq. V.25

89

)9(

888

777

666

555

444

333

222

111

000

000

000

nx

sss

sss

sss

sss

sss

sss

sss

sss

bkdkk

bkdkk

bkdkk

bkdkk

bkdkk

bkdkk

bkdkk

bkdkk

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−

+−−

−+−

−−−

++−

+−−

−+−

−−−

=

MMM

MMM

MMM

MMMMMM

MMMMMM

MMMMMM

MMM

MMMMMM

MMMMMM

Tveev KK

Eq. V.26

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

−

M

M

irv

irv

irv

irv

irv

irv

irv

irv

fP

fP

fP

fP

fP

fP

fP

fP

F

8

8

8

8

8

8

8

8

e

Eq. V.27

sendo Pv = (mv/8+ms/4+mr)g e fir é a força devido as irregularidades.

A alocação do espaço de memória, relativa aos vetores e matrizes empregados

durante a execução do programa é feita através do recurso de alocação dinâmica, o que

permite alocar de modo mais preciso. Os dados necessários às análises são fornecidos

através de um arquivo de dados com extensão .dat e lidos por uma sub-rotina chamada

RDATA. A seguir são numeradas as equações através da sub-rotina NUMEQ. O perfil

skyline da matriz de rigidez da estrutura (sem os veículos) é definido pela sub-rotina

PROFIL. Definido o perfil skyline da estrutura, faz-se, então, uma extensão desse perfil

( )

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+

+

+

+−+

+

+

∑ ∑

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

= =

=

+

=

= =

=

+

=

6

5i

8

7iirsiirsiirsiirsi

8

5iirsiirsi

1i

8

5iirsiirsi

2

1iirsi

4

3iirsiirsiirsi

4

1iirsiirsi

1i

4

1iirsiirsi

v

)bukub(c)bukub(c

)dukud(c-1

ukuc

)bukub(c)bukub(c

)dukud(c-1

ukuc000

F

&&

&

&

&&

&

&

90

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

8

1896004075200031

v

veee

eeee

ee

K

O

Eq. V.28

para comportar as equações de movimento dos veículos. As forças nodais equivalentes

são definidas na sub-rotina PLOAD. As matrizes de cada elemento são montadas na

sub-rotina ELEMENTO e adicionadas à matriz global através da sub-rotina

ADDELEMENTO. Em seguida, é feita a integração das equações matriciais diferenciais

através do algoritmo de Newmark, que é um método de integração direta.

O método de integração direta é baseado em duas idéias principais. A primeira,

em vez de tentar resolver a equação em um instante T, resolve para um intervalo de

tempo Δt=T/n. Esta idéia inclui o equilíbrio das forças de inércia, amortecimento e

rigidez usando uma rigidez efetiva. A segunda é que tanto o deslocamento, a velocidade

e a aceleração são variáveis no intervalo de tempo Δt. Este método supõe que a

aceleração, a velocidade e o deslocamento no instante de tempo t=0 sejam conhecidos.

Os algoritmos de integração direta são divididos em implícito, quando a equação

de equilíbrio e a solução são determinadas no mesmo intervalo de tempo Δt; e explícito,

quando a equação de equilíbrio é satisfeita no tempo t e a solução é obtida para um

intervalo t+ Δt. Segundo o método de Newmark, as expressões para a velocidade e

deslocamento para um tempo t+ Δt são dadas por:

[ ]Δtδ|δ)(1 Δt)(ttΔt)(t ++ +−+= UUUU t&&&&&& Eq. V.29

2Δt)(ttttΔt)(t Δtα|α)

21(Δt ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−++= ++ UUUUU &&&&& Eq. V.30

A equação (V.13) pode ser escrita para um tempo t+ Δt, da seguinte maneira:

Δt)(tΔt)(tΔt)(tΔt)(t FKUUCUM ++++ =++ &&& Eq. V.31

91

Explicitando )( ttU Δ+&& na equação (V.30) em termos de Δt)(t+U e substituindo na

equação (V.29), obtêm-se equações para )( ttU Δ+&& e )( ttU Δ+

& em função do termo

desconhecido Δt)(t+U . Estas expressões são substituídas em (A.4) para o cálculo de

Δt)(t+U e depois usando as equações (V.29) e (V.30) calculam-se Δt)(t+U&& e Δt)(t+U& . A

Tabela V.1 apresenta um esquema desse algoritmo.

Tabela V.1 – Esquema do algoritmo de Newmark Cálculos Iniciais

Cálculo dos Coeficientes

Conhecidos os valores de tΔ , δ e α pode-se calcular os coeficientes:

20 αΔt1a = ;

αΔta1

δ= ;

αΔt1a2 = ; 1

2α1a3 −= ; 1

αδa4 −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 2αδ

2Δta5 ; ( )δ1Δta6 −= e δΔta7 =

Montagem das Matrizes M,C,K e F

1. Condições iniciais ( 0U , 0U& e 0U&& )

2. Formação da matriz de Rigidez efetiva.

CMKK 10 aa ++=ˆ

Para cada intervalo de tempo Δt

3. Cálculo da força efetiva no intervalo t+ Δt:

)()(ˆ)()( tttttttttt UUUCUUUMFF &&&&&&

541320 aaaaaa ++++++= Δ+Δ+

4. Resolução do Sistema linear

)()(ˆˆ

tttt FUK Δ+Δ+ =

5. Cálculo da aceleração e velocidade

ttttttt UUUUU &&&&&320 aaa −−−= Δ+Δ+ )( )()(

)()( tttttt UUUU Δ+Δ+ ++= &&&&&76 aa

Segundo BATHE e WILSON (1976) δ e α podem assumir os seguintes valores:

( )25,025,0

50,0

δα

δ

+≥

≥ Eq. V.32

É importante ressaltar que, devido à natureza do carregamento que acarreta uma

alteração a cada instante de tempo das matrizes de massa, rigidez e amortecimento, os

parâmetros δ e α que, normalmente, são tomados com valores de 0,50 e 0,25,

92

respectivamente, foram tomados os valores de 0,52 e 0,2601, respectivamente, para

evitar instabilidade numérica.

Para a estrutura com sistema de controle do tipo ADS, o pefil skyline é

novamente estendido para comportar as equações dos diversos ADS acoplados à

estrutura e as Equações V.14 a V.18 se tornam em:

)9()9(

9

9

++++⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

mnxmnmmADSmnnm

mnn

mnn

)x()x()x(

)x(vv(9x9))x(

)x()x(ee(nxn)

M000M000M

M Eq. V.33

)9()9(_

_9

00

++++⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

mnxmnmmADSnmADSeT

e

mnADSen

)x()x(

vv(9x9)(9xn)v

)x()x(evee(nxn)

CCCC

CCCC Eq. V.34

)9()9(_

_9

00

++++⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

mnxmnmmADSnmADSeT

v

mnADSen

)x()x(

vv(9x9)(9xn)e

)x()x(evee(nxn)

KKKK

KKKK Eq. V.35

)9()9()9(

;;

++++++⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnADSmnADSmnADS UUU

UUUU

UUUU

U v

e

v

e

v

e

&

&

&

&

&&

&&

&&

&& Eq. V.36

)9(0

++⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

mn

(t)F(tF

F(t) v

e

Eq. V.37

93

Capítulo VI

ESTIMATIVA DA VIDA ÚTIL À FADIGA DE ESTRUTURAS

O fenômeno de fadiga em pontes ferroviárias ocorre principalmente devido à

natureza cíclica do carregamento atuante. Em pontes metálicas este fenômeno é mais

freqüente devido à existência de muitas regiões de concentração de tensões, como juntas

soldadas. Este assunto tem despertado interesse de muitos pesquisadores ao longo do

tempo.

Os trabalhos sobre fadiga tiveram partida com August Wöhler, na Alemanha,

entre 1850 e 1860. Porém, um dos trabalhos pioneiros aplicado às pontes ferroviárias

metálicas foi o de WARG, CHU e WIRIYACHAI (1982), os quais realizaram estudos com o

intuito de verificar a vida útil à fadiga da estrutura da ponte. Nesta pesquisa foi utilizado

um modelo tridimensional para representar a estrutura metálica treliçada, assim como

um modelo massa-mola-amortecedor com três graus de liberdade (deslocamento

vertical, rotação longitudinal e transversal), para simular o carregamento.

Como contribuição ao estudo sobre vida útil à fadiga em pontes ferroviárias

metálicas, um extensivo estudo em pontes rebitadas foi realizado por AKESSON (1994),

onde foram realizados vários ensaios “in loco” em 15 pontes metálicas construídas entre

os anos de 1903 a 1928 na Suécia. Além disso, vários testes em laboratório foram

realizados em um protótipo em escala real de uma estrutura metálica para verificação da

vida útil a fadiga.

94

FRÝBA e GAJDOS (1999) estudaram o fenômeno de fadiga em pontes ferroviárias

com tabuleiros ortotrópicos. Uma parte do tabuleiro, uma longarina com os

enrijecedores conectados ao tabuleiro, foi utilizada para realizar inúmeros testes em

laboratórios e verificar a eficiência dos cutouts (recortes nas vigas transversais para

alívio da concentração de tensões).

Com o objetivo de aprofundar o estudo sobre fadiga em pontes ferroviárias na

Coréia, um trecho de 270 metros, do vão central de uma ponte ferroviária, localizada em

Seul, foi utilizado por KIM, LEE e MHA (2001). Os autores utilizaram vários processos

estatísticos para calcular a quantidade de passageiros que poderia estar nos vagões dos

trens. A carga foi simulada através de forças móveis trafegando sobre a ponte.

Uma ponte rodo-ferroviária do tipo pênsil, com vão central de 1377 m, foi

estudada por CHAN, GUO e LI (2003) para verificação da vida útil à fadiga. A estrutura

foi modelada via método dos elementos finitos usando um programa comercial,

enquanto a carga móvel foi simulada por meio de forças móveis trafegando sobre a

ponte. LI e CHAN (2006) propuseram um critério para avaliar a vida útil à fadiga através

de monitoração da estrutura (health monitoring).

MARQUES (2006) realizou em sua dissertação de mestrado um estudo das

prescrições normativas européias e americanas sobre fadiga em pontes ferroviárias.

Além disso, fez um estudo do comportamento da ponte sobre o Rio Trezói em Portugal,

comparando-os com resultados experimentais e o cálculo da sobrevida à fadiga das

ligações da estrutura.

A modelagem em elementos finitos de uma ponte metálica rebitada foi feita por

IMAM, RIGHINIOTIS e CHRYSSANTHOPOULOS (2007) para investigar a concentração de

tensão nos nós e nos rebites e estimar a vida útil à fadiga. Trabalho semelhante também

foi realizado por SIRIWARDANE et al. (2007) que utilizaram uma ponte rebitada com 160

metros de comprimento e seis vãos no Sri Lanka.

No Brasil, tem-se o estudo de fadiga em pontes ferroviárias, realizado por

BATTISTA e BARBOSA (2000) com o objetivo de verificar a vida útil à fadiga em um

conjunto de 12 pontes ferroviárias, localizadas na cidade do Rio de Janeiro. PRAVIA

(2003) avaliou a estabilidade de pontes metálicas fraturadas, realizando extensivo

95

estudo do estado da arte sobre técnicas e procedimentos para definir a vida útil à fadiga

de estruturas de aço soldadas de pontes metálicas.

VI.1 FADIGA EM JUNTAS SOLDADAS DE ESTRUTURAS DE AÇO

O fenômeno de fratura por fadiga pode ser entendido como o resultante do

desenvolvimento progressivo de uma falha sob influência de aplicações repetidas de

tensões, que são consideravelmente inferiores à tensão capaz de provocar fraturas sob

carga uniformemente crescente ou mesmo com valores nominais inferiores ao limite de

escoamento do material. A falha pode se desenvolver vagarosamente no estágio inicial e

avançar rapidamente até o final, reduzindo a seção transversal. A fratura final ocorre

quando a área remanescente não é capaz de resistir às tensões cíclicas aplicadas

(BRANCO, FERNANDES e CASTRO, 1986).

O mecanismo de fratura do material por fadiga compreende três estágios

sucessivos, a saber: nucleação ou iniciação da fratura, propagação de uma fissura

dominante e a ruptura final do material.

A iniciação de uma fissura por fadiga ocorre em locais onde a concentração de

tensão é máxima e na superfície do material (Figura VI.1). Na superfície, os cristais não

contam com o apoio que os mais interiores contêm, e estão sujeitos à ocorrência de

deformação plástica sob tensão. O acúmulo dessa deformação plástica localizada,

originada dos movimentos cíclicos, forma pequenas tiras de deslizamentos cisalhantes

que geram extrusões e intrusões na superfície do corpo causando o aparecimento de

microfissuras, como se pode observar na Figura VI.2.

Figura VI.1 – Representação de uma superfície com iniciação de fissura

(ESDEP, 1995).

96

Figura VI.2 – Extrusão e intrusão formadas na superfície de um grão sujeito a ciclos de tensão (FUCHS e STEPHENS 1980).

Após o desenvolvimento de microfissuras na faixa de intrusão da superfície do

corpo, dá-se início à primeira fase de propagação da fissura por fadiga, primeiramente

controlada pela tensão cisalhante, formando um ângulo de cerca de 45º com a direção

do carregamento. Na segunda fase, há uma tendência de propagação da fissura

perpendicular à solicitação, atribuída pelo aumento da tensão normal (Figura VI.3).

Com o crescente aumento da fissura, ocorrerá a fratura brusca final que ocorre

no último ciclo de tensões quando a falha desenvolvida progressivamente atinge o

tamanho crítico para propagação instável. A área da fratura desenvolvida

progressivamente depende das tensões aplicadas e da tenacidade do material. Em

princípio, é possível que o material se deforme antes da ruptura final, porém, as fraturas

por fadiga são macroscopicamente frágeis, não apresentando deformação macroscópica.

Entretanto, para que haja ruptura por fadiga é necessário que ocorram: tensões

de tração, pois estas provocam o crescimento das microfissuras; deformações plásticas,

pois, apesar das fraturas ocorrerem com tensão nominal abaixo do limite de escoamento,

é necessário que haja deformação plástica localizada.

Sendo um processo essencialmente localizado, as fissuras por fadiga em

estruturas de aço soldadas ocorrem mais próximas às regiões com grandes

concentrações de tensões, como soldas e variação de dimensão. Em juntas soldadas,

ocorre devido a erros nos processos de soldagem e na superfície irregular dessas soldas,

originando concentrações de tensões locais como mostra a Figura VI.4.

97

Figura VI.3 – Estágios de propagação de uma fissura; fratura microscópica por fadiga

(FUCHS e STEPHENS 1980).

Figura VI.4 – Iniciação de fratura em zona de concentração de tensão em ligações

soldadas típicas de estruturas metálicas.

VI.2 METODOLOGIAS PARA ESTIMATIVA DE VIDA ÚTIL À FADIGA

VI.2.1 DANO ACUMULADO

Neste método, o cálculo da vida útil à fadiga pode ser determinado pela regra de

Palmgren-Miner, que estabelece que a porcentagem de danos provocados por uma

quantidade de ciclos de variação de tensões é acumulada linearmente, conforme a

Equação (VI.1):

Pé do cordão de solda

“Trincas” Raiz do cordão

de solda

98

11

≤= ∑=

k

i i

i

NnD (Eq. VI.1)

sendo ni o número de ciclos de uma determinada variação de tensão (∆σ)i, Ni o número

de ciclos necessários para ocasionar a falha do material sob variação de tensão

constante. Assim, para um número de ocorrência constante ao longo dos anos, o tempo

de vida útil da estrutura, em anos, pode ser definido como o inverso do dano total, ou

seja, o número de anos necessários para que haja iniciação da trinca por fadiga

(Equação VI.2)

oc

1T=D×N

(Eq.VI.2)

sendo Noc o número de ocorrência do evento no período de um ano.

Entretanto, para que se possa aplicar a regra de Palmgren-Miner é necessário que

se obtenha a variação de tensão e o número de ciclos com que esta atua. Para se

determinar o número de ciclos total utiliza-se um método de contagem de ciclos.

VI.2.1.1 Métodos de contagem de ciclos de tensão

Existem alguns métodos conhecidos na literatura técnica para a contagem de

ciclos de tensão de uma determinada ocorrência, tais como: a) Contagem dos máximos

e mínimos relativos, b) Número de gamas de tensão, c) Número de Passagem através de

um nível de tensão pré-determinado, d) Método do Rainflow (WIRSCHING e SHEHATA,

1977) e e) Método do Reservatório (BS5400-10, 1980).

No método de contagem dos máximos e mínimos relativos são considerados

todos os máximos e mínimos para os quais se verifica uma mudança de sinal da

inclinação do registro tensão-tempo ou se considera apenas o valor mais alto entre duas

passagens sucessivas pelo valor meio ou zero.

No método de contagem de gamas de tensão é considerado “gama” como o

intervalo do registro entre dois pontos sucessivos de alternância de tensão. Os pares de

gamas ascendentes e descendentes de mesma ordem de grandeza formarão os ciclos de

tensão.

99

No método da passagem de nível de tensão são fixados vários níveis de tensão,

sendo contado o número de vezes que cada tensão, no sentido ascendente, passa por

determinado nível de tensão.

O método do rainflow recebe este nome em analogia com a queda de uma gota

de água (chuva) ao longo de um telhado do tipo pagode. Assim, alguns autores

posicionam o registro na vertical. Porém, há um grande inconveniente em se determinar

com clareza os picos e os vales, importantíssimo no desenvolvimento do método. Por

definição do método, toda gota parte de um vale. Os picos e os vales estarão definidos

ao longo do caminho, seja qual for o lado utilizado. A Figura VI.5 ilustra o método.

O início e o fim de cada caminho de escoamento definem as extremidades de

meio ciclo. A metade de um ciclo da gota é iniciada no ponto O, percorrendo o primeiro

telhado até atingir um pico, que a partir de então a gota cai verticalmente até atingir

outro telhado e o processo continua até que uma das condições seguintes seja satisfeita:

Figura VI.5 – Esquema de utilização do método Rainflow (WIRSCHING e SHEHATA, 1977).

Uma gota movendo-se ao longo de um telhado pára ao cruzar com um caminho

já percorrido. Por exemplo, o percurso CD intercepta o percurso da gota que cai

do pico B;

Uma gota que cai da ponta de um telhado termina o seu percurso se a gota

encontrar um vale mais “profundo” do que o início do percurso. Esta regra pode

ser percebida no trecho BC da Figura VI.5.

100

Contudo, um percurso não é iniciado antes que o anterior encerre. Cada percurso

completo é considerado meio ciclo, entretanto, ciclos com variações de tensão iguais

são combinados para formar ciclos completos. Após a contagem dos ciclos, calcula-se o

dano pela regra de Palmgren-Miner, utilizando-se das curvas S-N, tabeladas para cada

geometria e junção.

O método do reservatório consiste, como o nome sugere, em assemelhar o sinal

de tensão a uma seção de um reservatório cheia de água que é esvaziada por drenos

colocados nas seções dos pontos mais baixos. Cada ciclo corresponde a uma operação

de esvaziamento. As Figuras VI.6(a-d) ilustram o método.

Inicialmente, a água é represada entre os picos mais altos do sinal. Para se

considerar a máxima amplitude de tensão se faz necessário considerar uma parede

vertical do reservatório no ponto inicial ou no ponto final do sinal (Figura VI.6a). Se o

vale na posição mais baixa (V1) fica do lado direito do pico máximo, então o último

ponto será a parede do reservatório, caso contrário, a parede ficará no ponto inicial. Em

seguida, os vales do sinal são identificados da posição mais baixa para mais alta de

maneira seqüencial. Abre-se, então, o dreno do vale mais baixo e a água toma novos

níveis nos vales afetados (Figura VI.6b). As amplitudes dos ciclos são achadas como a

diferença entre o nível da água acima do vale antes de abrir o dreno e a ordenada do

vale, resultando, assim, num valor de 280 kN. Para o vale V2, obtem-se 40 kN (Figura

VI.6c. Na Figura VI.6d mostra-se a seqüência de vales em ordem ascendente.

Os métodos do rainflow e do reservatório conduzem a resultados semelhantes

em termos de ciclos, resultando numa melhor previsão do comportamento à fadiga que

os demais métodos citados. A Figura VI.7 mostra um sinal de tensão qualquer e na

Figura VI.8 são apresentados os resultados dos ciclos de tensões calculados pelos dois

métodos, onde se percebe que os resultados são bastante semelhantes.

101

Figura VI.6 – Esquema de utilização do método Reservatório (BS5400-10, 1980).

Figura VI.7 – Sinal de tensão.

Figura VI.8 – Comparação das amplitudes de tensão calculadas com os métodos do

rainflow e do reservatório (CECILIA, 2000).

VI.2.1.2 Curva S-N (T-N)

As curvas de variação de tensão cíclica x número de ciclos para iniciar, com

certa probabilidade, uma fratura num determinado detalhe estrutural, também

conhecidas como curvas S-N, são determinadas através de análise estatística dos dados

experimentais de ensaios em peças submetidas a variações de tensão. Nestas peças são

102

aplicadas variações de tensão (∆σ) constantes até a sua ruptura. Para cada variação de

tensão utilizada, anota-se o número de ciclos necessários para alcançar o colapso da

peça. Para uma peça com características geométricas definidas, realiza-se uma grande

quantidade de ensaios e, a partir dos resultados constrói-se um gráfico em escala

logarítmica que resulta numa relação linear entre Log Δσ e Log N, conforme a Figura

VI.9.

log S

log N

1m

Figura VI.9 – Típica curva S-N.

O modelo da curva S-N pode ser escrito pela Equação VI.3:

σσ Δ−=Δ+−= logloglogloglog mamdsaN (Eq. VI.3)

sendo N o número de ciclos necessário para causar danos em uma peça submetida a uma

variação de tensão constante Δσ, s é o desvio padrão e d é a quantidade de desvios

padrões abaixo da média para traçar as curvas, como mostra a Tabela VI.1. Já os

parâmetros alog e m dependem da resistência do material utilizado.

Tabela VI.1 – Valores de d utilizados.

d Probabilidade de Falha (%) 1 15.9 2 2.3

De uma maneira geral, as curvas S-N variam com as características geométricas,

direção da variação de tensão aplicada, meio ambiente e método de fabricação das

ligações. As juntas soldadas, por exemplo, são divididas em diversas classes, cada uma

com sua respectiva curva S-N. Essas curvas trazem valores diferentes para os

parâmetros, se estiverem expostas ao ar ou com proteção catódica, como mostra a

Figura VI.10.

103

Figura VI.10 – Curva SN dependente da condição ambiental (ALMAR-NAESS, 1985).

VI.2.2 COMENTÁRIOS SOBRE A APLICAÇÃO DOS PRINCÍPIOS DA MECÂNICA DA

FRATURA

A Mecânica da Fratura Linear Elástica busca conformar os estudos de estruturas

com defeitos, considerando o efeito das trincas e defeitos nas resistências dos materiais.

Assim, esta teoria assume que as forças de coesão interatômicas são as que determinam

a resistência à ruptura, ou à fratura, dos materiais sem trincas. A tensão de coesão

teórica corresponde à tensão de ruptura de um material sem defeitos, porém, como os

materiais não estão isentos de defeitos, a tensão de coesão efetiva é menor que a tensão

teórica.

O desenvolvimento da mecânica da fratura deve-se, principalmente, aos estudos

desenvolvidos por Griffith na década de 1920. A teoria oriunda destes estudos foi

aplicada satisfatoriamente a materiais frágeis. Porém, para materiais dúcteis, percebeu-

se a existência de uma deformação plástica nas proximidades da ponta da trinca de

maneira que a tensão atuante permanecesse próxima ao limite de escoamento do

material. Assim, a teoria foi modificada por Irwin que passou a considerar a plasticidade

gerada na ponta da trinca (PRAVIA, 2003).

Analisando o comportamento mecânico nas vizinhanças da ponta de uma trinca,

percebem-se três modos básicos de carregamento: tração, cisalhamento puro e

cisalhamento fora do plano, conforme mostra a Figura VI.11. A Figura VI.12 apresenta

as convenções utilizadas relativas às tensões na vizinhança de uma fenda. O modo de

ruptura mais usual é o modo I. Para este modo, as tensões na vizinhança sã dadas pelas

Equações VI.4 a VI.9. A distribuição de tensão σz para o estado plano de tensão é dada

pela Equação VI.7 e para o estado plano de deformação, na equação VI.8.

104

Figura VI.11 – Modos básicos de ruptura de um material por fadiga (ALMAR-NAESS,

1985).

Figura VI.12 – Campo de tensão na vizinhança de uma trinca.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

23

21

2cos

2ααα

πσ sensen

hK I

x (Eq. VI.4)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

23

21

2cos

2ααα

πσ sensen

hK I

y (Eq. VI.5)

23

22cos

2ααα

πτ sensen

hK I

xy = (Eq. VI.6)

0=zσ (Eq. VI.7)

( )yxz σσνσ += (Eq. VI.8)

0== yzxz ττ (Eq. VI.9)

O temo aK I πσ= é definido como sendo o fator de intensidade de tensões e a

é o comprimento da trinca. Conhecendo-se o valor deste fator para uma trinca, se define

105

todo o campo de tensões na ponta da trinca. A fissura não provoca a ruptura do

elemento enquanto o valor de KI for menor que um valor crítico KIC ,chamado de

tenacidade. Quanto maior for o KI inicial, menor será o tempo necessário para levar a

peça à fratura.

Estudando a propagação de trincas em corpos de provas submetidos a

carregamentos cíclicos, Paris observou que o incremento no comprimento da trinca por

ciclo de carregamento era função da diferença (KImáx – KImín) atuante. Esta diferença

(ΔKI) é denominada de amplitude do fator de intensidade de tensão. A Equação VI.10

apresenta uma lei que relaciona o incremento do comprimento da trinca por ciclo de

carregamento, da/dN, e amplitude do fator de intensidade de tensões ΔKI.

( )mIKC

dNda

Δ= (Eq. VI.10)

em que C e m são constante do material determinadas experimentalmente. Os resultados

experimentais das taxas de propagação da trinca por número de ciclos, da/dN,

relacionadas às amplitudes do fator de intensidade de tensão ΔKI são apresentados na

Figura VI.13.

Figura V.13 – Representação esquemática da Lei de Paris (ALMAR-NAESS, 1985).

Integrando-se a lei de Paris entre o comprimento inicial da trinca e o seu

comprimento crítico, tem-se (Equação VI.11):

( )∫ Δ= cr

i

a

a mIKC

daN (Eq. VI.11)

106

Para o caso de uma trinca de comprimento 2a numa placa de comprimento

infinito, pode-se considerar a tensão σ constante e KI pode ser obtido por (Equação

VI.12):

aK I πασ= (Eq. VI.12)

os valores de a encontram-se tabelados para várias situações de geometria de

carregamento, conforme ilustra as Figuras VI.14.

Figura V.13 – Exemplo de distribuição de tensões.

Substituindo a expressão de KI na Equação IV.11, tem-se (Equação VI.13):

( ) ( )∫Δ= cr

i

a

a mma

daC

Nπασ

1 (Eq. VI.13)

Se os comprimentos inicial e crítico da trinca forem constantes, a Equação VI.13

torna-se em (Equação VI.14):

( )σΔ−= logloglog maN (Eq. VI.14)

que é a expressão utilizada na definição das curvas S-N.

107

VI.3 PRESCRIÇÕES NORMATIVAS PARA ANÁLISE DE FADIGA EM PONTES

FERROVIÁRIAS

VI.3.1 NORMA EN1991-2

As prescrições normativas para análise de fadiga em estruturas sujeitas ao

tráfego ferroviário estão dispostas no Anexo D da EN1991-2 (2003). Estas prescrições

consideram valores diferentes dos coeficientes de amplificação dinâmica para a análise

de fadiga daqueles relativos às análises estáticas aplicados aos modelos de carga LM71,

SW/0 e SW/2, pois seriam demasiado danosos à estrutura se fossem aplicados às

composições reais usados para análise de fadiga. Assim, o novo coeficiente é definido

como (Equação VI.15):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′+′+= ϕϕφ

21

211 (Eq. VI.15)

sendo ϕ’ e ϕ’’definidos como (Equação VI.16 e VI.17):

mLL

vK

mLvK

KKK

20;16,47

20;160

1

408,0

4

>=

≤=

+−=′ϕ

(Eq. VI.16)

100

2

56,0L

e−

=′′ϕ (Eq. VI.17)

sendo v a velocidade e L (m/s) o comprimento determinante (m).

As composições utilizadas para o cálculo da vida útil à fadiga estão associadas a

três tipos de tráfego: Normal, Pesado e Leve. A Figura VI.14 mostra algumas

configurações geométricas e cargas por eixos utilizados para esta estimativa. As Tabelas

VI.2 a VI.4 apresentam os cenários de tráfego para caracterização da fadiga para tráfego

normal, pesado e leve, respectivamente. Os tipos 1 e 2 são referentes a trens de

passageiros tracionados por locomotiva, os tipos 3 e 4 são trens elétricos de alta

velocidade, os tipos5 a 8 e 11 e 12 são trens de carga tracionados por locomotivas. O

tipo 10 se refere ao metrô e o tipo 9 a um tipo denominado RER.

108

Alternativamente, a norma prescreve que poderá calcular os efeitos dinâmicos

das composições reais por meio de simulações dinâmicas do carregamento e posterior

análise da vida útil à fadiga da estrutura.

Tipo 5

Tipo 6

Figura VI.14 – Esquemas de cargas das composições para estimativa de fadiga

(SETRA, 1996).

Tabela VI.2 – Cenário de tráfego normal (EN1991-2, 2003).

Tipo de composição

Número de composição

diário

Massa da composição

Volume de tráfego anual

(106 t/ano) 1 12 663 2,90 2 12 530 2,32 3 5 940 1,72 4 5 510 0,93 5 7 2160 5,52 6 12 1431 6,27 7 8 1035 3,02 8 6 1035 2,27

Total 67 24,95

Tabela VI.3 – Cenário de tráfego pesado (EN1991-2, 2003).



diário



(106 t/ano) 5 6 2160 4,73 6 13 1431 6,79 11 16 1135 6,63 12 16 1135 6,63

Total 51 24,78

109

Tabela VI.4 – Cenário de tráfego leve (EN1991-2, 2003).



diário



(106 t/ano) 1 10 663 2,4 2 5 530 1,0 5 2 2160 1,4 9 190 296 20,5

Total 207 25,3

VI.3.2 NORMA prEN1993-1-9

A análise da vida útil à fadiga prescrita por esta norma pode ser realizada com

duas metodologias: primeira, usa-se como método o acúmulo de danos e utilizam-se as

curvas de resistência à fadiga (curvas S-N); segunda, utiliza-se da mecânica da fratura

que consiste em analisar a propagação de uma trinca desde seu início até atingir uma

dimensão crítica que levará à fratura do material.

A Figura VI.15 apresenta as curvas S-N para diversas classes de detalhes. Os

valores de variação de tensão representados na figura são os seguintes:

ΔσC –Valor de referência da resistência à fadiga a 2 milhões de ciclos (tensão

normal), é usado para definir as categorias de detalhes e elementos estruturais;

ΔσD – Limite de fadiga sob amplitude constante, é o valor da variação de tensão

abaixo do qual não ocorre dano em teste sob condições de variação de tensão constante.

No caso de variação de tensão variável, as amplitudes devem ficar abaixo deste limite

para que não ocorra dano por fadiga;

ΔσL – Limite de truncamento (cut-off-limit), é o limite abaixo do qual as

amplitudes de tensão não contribuem para o dano acumulado.

110

Figura VI.15 – Curvas de resistência a fadiga da prEN1993-1-9 (2003).

Para tensões nominais de amplitudes constantes, as curvas S-N (representadas

com linhas tracejadas na Figura VI.15) podem ser obtidas através das seguintes

expressões:

66 105;3;102 ×≤=××Δ=Δ RmCR

mR NmN σσ (Eq. VI.18)

CD σσ Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Δ

3/1

52 (Eq. VI.19)

Para tensões acima e abaixo dos valores de DsD, as curvas S-N (representadas

pela linha cheia na Figura VI.15) podem ser obtidas através das seguintes expressões:

66 105;3;102 ×≤=××Δ=Δ RmCR


666 105105;5;105 ×≤×=××Δ=Δ RmDR


DL σσ Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Δ

5/1

1005 (Eq. VI.22)

111

VI.3.3 NORMA BRITÂNICA BS5400-10

Segundo a BS5400 (STEEL, CONCRETE AND COMPOSITE BRIDGES CODE) parte 10,

o fenômeno de fadiga consiste num dano devido a um crescimento gradual de uma

fissura num elemento estrutural, causado pela aplicação repetida de tensões que seriam

insuficientes para causar a ruptura através de uma aplicação isolada. Esta norma, ainda,

define a vida útil de projeto como sendo o período em que a estrutura terá que se

comportar de forma segura e com probabilidade aceitável de que não necessitará de

reforço, este período é de 120 anos.

Esta norma permite calcular o espectro de tensões de um determinado elemento

estrutural com base em tabelas que permitem estimar o número de ciclos aplicados a um

elemento. A classificação dos detalhes depende de sua geometria, da sua fabricação, da

direção de aplicação da carga e da localização da trinca inicial. Estes detalhes são

agrupados em tabelas que contêm:

a) detalhes não soldados que incluem as ligações rebitadas, ligações

parafusadas, aberturas nos elementos, algumas descontinuidades geométricas

(tabela 17a-BS5400);

b) detalhes soldados na superfície dos elementos (tabela 17b-BS5400);

c) detalhes soldados nas ligações entre elementos (tabela 17c – BS5400).

As curvas são expressas por:

dmr KN Δ= 0σ (Eq. VI.23)

sendo:

N – Número de ciclos;

K0 – Constante relativa à curva SN média;

Δ – Inverso do desvio padrão de logN;

d – Número de desvios padrão em relação à média.

As Tabelas VI.5 e VI.6 apresentam, respectivamente, os valores necessários para

a definição das curvas e a probabilidade de colapso que se pretende para a estrutura. A

Figura VI.16 apresenta as curvas das diversas classes de detalhes, assim como a

variação de probabilidade de colapso para a curva do caso geral G.

112

Com relação a amplitudes de variação de tensão constante e de valor pequeno,

esta norma admite que exista um valor de s0 que abaixo deste a peça da estrutura

pudesse sofrer um número infinito de ciclos que não causará dano.

Tabela VI.5 – Parâmetros das Curvas S-N BS5400-10 (1980).

Classe K0 D m W 0,37x1012 0,654 3,0 G 0,57x1012 0,662 3,0 F2 1,23x1012 0,592 3,0 F 1,73x1012 0,605 3,0 E 3,29x1012 0,561 3,0 D 3,99x1012 0,662 3,0 C 1,08x1014 0,625 3,5 B 2,34x1015 0,657 4,0 S 2,13x1025 0,313 8,0

Tabela VI.6 – Parâmetros d em função da probabilidade de colapso (BS5400-10, 1980).

Prob. colapso (%) d 50,0 0,0 31,0 0,5 16,0 1,0 2,3 2,0 0,14 3,0

Figura V.16 – Curvas S-N da BS5400-10 (1980)

113

VI.3.4 NORMA AMERICANA AASHTO

Nesta norma, a fadiga é classificada com sendo induzida por cargas ou por

distorções. Esta norma especifica métodos bem definidos para o primeiro caso e

apresenta algumas considerações práticas e regras empíricas para se levar em conta os

efeitos secundários devido às distorções.

VI.3.4.1 Fadiga induzida por cargas

Para definir a resistência, esta norma apresenta oito categorias de detalhes e

segue uma metodologia de avaliação do dano acumulado. Estas curvas são muito

semelhantes às existentes no Eurocode 3. A resistência à fadiga nessas curvas pode ser

expressa por:

( ) ( )THn FNAF Δ≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Δ

213

1

(Eq. VI.24)

sendo:

A – constante dada na Tabela VI.7 (MPa3);

(ΔF)n – resistência à fadiga (MPa)

(ΔF)TH – resistência limite à fadiga para tensões de amplitudes constante (MPa),

dado na Tabela VI.8

N – número de ciclos para iniciar uma fratura.

Tabela VI.7 – Parâmetro A em função da classe do detalhe (AASTHO, 2002). Categoria do Detalhe A x 10 11 (MPa3)

A 82,00 B 39,30 B’ 20,00 C 14,40 C’ 14,40 D 7,21 E 3,61 E’ 1,28

114

Tabela VI.8 – Resistência limite para tensões de amplitudes constante em função da clase de detalhe (AASTHO, 2002).

Categoria do Detalhe (ΔF)TH (MPa) A 165,0 B 110,0 B’ 82,7 C 69,0 C’ 82,7 D 48,3 E 31,0 E’ 17,9

A Figura VI.17 apresenta as curvas existentes na AASHTO para os diferentes

tipos de detalhes. Estas curvas são aplicadas a elementos redundantes e não

redundantes, considerando uma maior tenacidade para o segundo tipo e com isso uma

maior segurança para a estrutura.

Figura VI.17 – Curvas S-N da AASHTO (2002).

VI.3.4.2 Fadiga induzida por distorções

Esta norma define regras para controlar a curvatura da alma e a flexão do plano

da mesma. As chapas de ligação devem ser soldadas ou parafusadas ao banzo

comprimido e ao banzo tracionado dos elementos principais. Como regra empírica,

especifica-se uma força lateral de 90 kN para o dimensionamento destas ligações para

levar em consideração as tensões secundárias. Esta regra aplica-se somente a pontes

retas, sem travejamento.

115

Capítulo VII

ESTUDO DE CASO: PONTE FERROVIÁRIA URBANA

VII.1 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA E DAS SUAS CARACTERÍSTICAS FÍSICAS E

GEOMÉTRICAS

A ponte ferroviária objeto deste estudo é uma do conjunto de 12 pontes

ferroviárias metálicas sobre o Canal do Mangue e as vias marginais da Avenida

Francisco Bicalho, na cidade do Rio de Janeiro, que fazem parte da estrada de ferro que

liga as estações de São Cristóvão e Lauro Muller à estação da Central do Brasil. A

Figura VII.1 mostra uma imagem do ano da inauguração, possivelmente em 1907, das

antigas pontes metálicas em arcos que foram construídas em ferro fundido. A Figura

VII.2 mostra uma imagem dessas pontes na década de 1950 com um trem trafegando

sobre elas. Porém, por volta de 1970 estas pontes em arcos metálicos foram trocadas por

outras, as atuais, com uma geometria de vigas longarinas e estroncas, conforme se pode

observar na Figura VII.3. A Figura VII.4 mostra uma visão panorâmica da linha férrea

da central do Brasil e a localização dessas pontes ao longo da linha. Essas pontes, cada

uma com comprimento de 28,35 m, foram concebidas e projetadas para uma carga

móvel de trem tipo TB-27, segundo as normas brasileiras para pontes ferroviárias (NB7

e NB428).

116

As Figuras VII.5 e VII.6 ilustram, respectivamente, as vistas em planta e em

elevação do esquema estrutural de três pontes sucessivas, para cada uma das quatro

linhas férreas, totalizando 12 pontes.

Figura VII.1 – Vista das pontes sobre o Canal do Mangue no ano da inauguração (1907)

(Skyscrapercity, 2008).

Figura VII.2 – Vista das pontes em 1950 (Skyscrapercity, 2008).

Figura VII.3 – Novas pontes com longarinas e estroncas, 1970(Skyscrapercity, 2008).

117

Figura VII.4 – Vista panorâmica das pontes na linha férrea da Central do Brasil

(Skyscrapercity, 2008).

Figura VII.5 – Vista em planta das dose pontes (BATTISTA et all, 1996).

Figura VII.6 – Vista em elevação das pontes (BATTISTA et all, 1996).

A concepção estrutural de uma ponte típica é a seguinte: duas vigas longarinas

paralelas para fixar os dormentes de madeiras e os trilhos e suportar as cargas dos trens.

Para diminuir o vão livre, as longarinas têm escoras (do tipo mão francesa) inclinadas,

cerca de 22º em relação ao plano horizontal (Figura VII.7). Essas escoras se apóiam

118

sobre contrafortes de blocos de pedra e são conectadas à estrutura por meio de ligações

rígido-soldadas (Figura VII.8) com os esporões das longarinas. Os apoios de suas

extremidades inferiores são rótulas mecânicas, constituídas por cilindros de aço entre

sedes usinadas (uma soldada no extremo da escora e outra fixada ao contraforte de

blocos de pedra), liberando, assim, as rotações no plano vertical de flexão da estrutura

da ponte (Figura VII.9). As extremidades das longarinas se apóiam sobre colunetas,

cujos topos são parafusados aos flanges inferiores das longarinas e cujos pés estão

ligados às escoras, na região das rótulas dos apoios (Figura VII.10).

Na Figura VII.11 pode-se observar as diferentes seções que compõem a estrutura

da ponte. Todas as longarinas e escoras são constituídas por chapas soldadas formando

elementos tubulares de seção fechada retangular (Figura VII.12) com enrijecedores

longitudinais internos. As longarinas paralelas são levemente travejadas no plano

horizontal, por meio de cantoneiras diagonais e transversais soldadas nas sobrechapas

soldadas ao longo dos bordos internos das suas mesas inferiores e superiores. Os

travejamentos próximos aos apoios extremos das longarinas são mais robustos, na seção

das colunetas, as quais também são travejadas. Pode-se dizer, assim, que estas estruturas

metálicas têm pequeno grau de hiperestaticidade interna nos planos de flexão vertical e

lateral e à torção (BATTISTA et all, 1996).

Figura VII.7 – Escoras inclinadas apoiadas na parede (BATTISTA et all, 1996).

119

Figura VII.8 – Ligação rígida soldada entre escoras e vigas (BATTISTA et all, 1996).

Figura VII.9 – Rótula mecânica (BATTISTA et all, 1996).

Filete de solda

Ligação rígido-soldada (esporão)

120

Figura VII.10 – Colunetas de apoio das extremidades das vigas (BATTISTA et all, 1996).

Figura VII.11 – Diferentes seções da estrutura.

121

Figura VII.12 – Seções tubulares das vigas (BATTISTA et all, 1996).

A Tabela VII.1 apresenta as características físicas e geométricas das seções da

ponte e do trilho utilizado, o TR-57, do tipo vignole. Na fabricação dessas pontes foram

empregadas chapas de aço estrutural do tipo EB225, com tensão de escoamento fy = 250

MPa e tensão de ruptura fu = 420 MPa.

Tabela VII.1 – Características físicas e geométricas da estrutura

Seção E (kN/m2) G (kN/m2) Área (m2) Ix (m4) Iy (m4) Iz (m4)

COL 2,0E8 7,69E7 1,02E-2 2,12E-5 1,15E-2 1,78E-1

ENR1 2,0E8 7,69E7 3,07E-3 6,21E-8 2,30E-4 2,96E-6

ENR2 2,0E8 7,69E7 1,50E-3 3,10E-8 1,48E-6 1,48E-6

ESC 2,0E8 7,69E7 3,29E-2 3,46E-3 2,60E-3 3,61E-3

SV1 2,0E8 7,69E7 6,20E-2 5,29E-3 5,30E-3 6,34E-3

SV2 2,0E8 7,69E7 4,91E-2 4,27E-3 4,12E-3 4,98E-3

SV3 2,0E8 7,69E7 4,44E-2 1,72E-3 1,09E-3 4,19E-3

TR-57 2,0E8 7,69E7 7,25E-3 2,3E-4 2,73E-5 2,00E-5

Os dormentes utilizados são de madeira com dimensões 2,80m x 0,24m x 0,17 m

e espaçamento médio de 0,45m, típicos das vias férreas brasileiras.

122

VII.2 MODELAGEM TRIDIMENSIONAL DA ESTRUTURA

A Figura VII.13 mostra algumas dimensões da estrutura e das seções, enquanto a

Figuras VII.14 mostra o modelo tridimensional em elementos finitos de pórtico espacial

idealizado para representar a estrutura de uma ponte metálica típica. Os trilhos são

modelados conjuntamente, levando também em consideração os dormentes, os quais

são modelados como conexões viscoelásticas. Os apoios são modelados como rótula,

para representar a rótula mecânica da estrutura mostrada na Figura (VII.9).

A Figura VII.15 mostra um corte da seção transversal da estrutura da ponte com

indicação dos centros geométricos das longarinas e trilhos utilizados na modelagem

tridimensional da estrutura.

0,65 u p

tu

0,9 4,95 16,65 4,95 0,9

SV3 SV2 SV1 SV2 SV3

3,00 COL COLESCESC

28,35

Unidade : m

Figura VII.13 – Medidas geométricas da ponte.

Figura VII.14 – Modelo tridimensional em elementos de barras.

Nó 09

Nó 10

Nó 383 Nó 384

Z

Y X

123

1660 mm

650

mm

2660 mm Figura VII.15 – Distância entre os centros geométricos das longarinas e dos trilhos.

VII.3 CARACTERÍSTICAS DOS VEÍCULOS FERROVIÁRIOS

A composição ferroviária utilizada como carga móvel é, basicamente,

constituída por dois conjuntos de quatro veículos (TUE – Trem Unidade Elétrico). Na

Figura VII.16 é mostrada a distribuição dos carros de uma composição ferroviária típica

utilizada para transporte de passageiros no Brasil, composta por oito carros, sendo 04 do

tipo Motor (M) e 04 do tipo Reboque (R).

A Tabela VII.2 apresenta as características dinâmicas (modos de vibração e

freqüências associadas) de cada um dos tipos de veículos, além da massa que é

mobilizada em cada modo próprio. Estes parâmetros dinâmicos foram obtidos com a

solução das equações homogêneas (III.2 a III.10), usando o método de Jacobi. Os

parâmetros geométricos e físicos do modelo dos veículos, os quais foram descritos no

Capítulo III, são apresentados na Tabela VII.3 e na Figura VII.17.

O número de passageiros que cada TUE transporta está descrito na Tabela VII.4.

Tomando-se o peso médio de uma pessoa como sendo 700 N, tem-se o peso total das

pessoas que podem ser transportadas nos veículos ferroviários. Percebe-se que o

número de pessoas transportadas no carro reboque é maior que as do carro motor, isto

ocorre devido o fato de que neste há a presença de cabine de condução e naquele, não.

MR RM R MR M

Figura VII.16 – Composição típica (2 TUE’s) de trens urbano no Brasil.

124

Tabela VII.2 – Modos de vibração e freqüências do veículo ferroviário.

Freqüência (Hz) Massa

mobilizada (t) Modo

Motor Reboque

Formas modais de Vibração

M R

1 1,12 1,05

49,12 48,06

2 1,18 1,11

49,12 48,06

3 1,38 1,30

49,12 48,06

4 3,67 5,40

11,00 4,50

5 3,67 5,40

11,00 4,50

6 4,42 6,16

11,00 4,50

7 4,44 6,17

11,00 4,50

8 4,48 6,40

11,00 4,50

9 4,58 6,47

11,00 4,50

1 2

1

2

125

Tabela VII.3 – Parâmetros do modelo tridimensional.

Descrição Notação Unidade Motor Reboque

Massa do carro mv t 49,12 48,06

Momento de inércia long. da massa mv Iv t.m4 2008,95 1965,06

Momento de inércia trans. da massa mv Iz t.m4 64,05 62,67

Coef. de rigidez da susp. secundária Kv kN/m 875,65 775,19

Coef. de amort. da susp.secundária Cv kNs/m 17,42 15,46

Massa dos truques ms t 11 4,5

Momento de inércia long. da massa ms Is t.m4 20,8 7,51

Momento de inércia trans. da massa ms It t.m4 8,75 3,52

Coef. de rigidez da suspensão primária Ks kN/m 1637,27 1278,80

Coef. de amor. da susp. primária Cs kNs/m 31,75 15,46

Massa da rodas mr t 0,75 0,75

Distância entre o centro do truque ao centro do carro L m 7,5 7,5

Distância do centro da roda ao centro do truque d m 1,3 1,3

Dist.,na dir. transv., da massa mv à susp. secundária l m 1,25 1,25

Dist.,na dir. transv., da massa ms1 à susp. secundária b m 0,8 0,8

Dist. entre truque dianteiro e traseiro Lc m 12,4 12,4

Distância entre rodas do truque Ld m 2,6 2,6

Distância entre carros Li m 5,4 5,4

LL L L

Ld LiLcd d dd

ll b

b

9 10

11 12

13 14

15 1687

65

43

21

bbl

l

d ddd

Ld Ld Lc Ld

Figura VII.17 – Características geométricas dos trens urbanos no Brasil.

126

Tabela VII.4 – Carga dos trens sobre a estrutura (CPTM, 2002).

Carro Peso próprio Lotação Peso passageiro Total

Sentados – 54 Motor (M) 568,8 kN

Em pé – 185 167,3 kN 736,1 kN

Sentados - 60 Reboque (R) 412,5 kN

Em pé – 197 179,9 kN 592,4 kN

VII.4 CARACTERÍSTICAS DE VIBRAÇÃO DA ESTRUTURA ORIGINAL

No que se segue são apresentadas as freqüências e formas modais de vibração da

estrutura para as seguintes condições: a) vibração livre; b) com 01 carro motor e

suspensões; c) com 01 carro reboque e suspensões; d) com 01 carro motor e meio carro

reboque e suspensões; e) com 01 carro reboque e meio carro motor e suspensões, com o

intuito de conhecer o comportamento estrutural da ponte e prover subsídios para as

análises das respostas dinâmicas da estrutura devido a passagem de uma composição

ferroviária, descritas na seção VII.5.

VII.4.1 FREQÜÊNCIAS E MODOS DE VIBRAÇÃO DA ESTRUTURA ORIGINAL - VIBRAÇÃO

LIVRE

A Tabela VII.5 apresenta as descrições dos modos, freqüências associadas e

massa modal da estrutura em vibração livre. Nas Figuras VII.18(a-d) são mostrados

alguns desses modos de vibração com suas freqüências associadas e massas

mobilizadas. Percebe-se que o primeiro modo de vibração é aquele referente ao

movimento lateral da estrutura, cuja freqüência associada é de 7,25 Hz e que mobiliza

uma massa de aproximadamente 26 toneladas. O segundo modo de vibração se refere à

primeira forma modal de flexão vertical da estrutura com freqüência associada de 8,69

Hz e massa mobilizada de cerca de 37 toneladas. O terceiro modo de vibração é

referente à segunda forma modal de flexão vertical, cuja freqüência é de 12,56 Hz e

mobiliza uma massa de aproximadamente 15 toneladas. Os modos 4 e 5 são formas

conjugadas de flexão lateral mais torção da estrutura que têm freqüências de 16,67 Hz e

20,24 Hz, respectivamente, e mobilizam 9 e 8 toneladas. Os modos 6 e 11 são,

respectivamente, o terceiro e o quarto modo de vibração de flexão vertical da estrutura.

127


Modo Freq. (Hz) Descrição M. modal (t)

1 7,25 1º modo flexão lateral 25,9

2 8,69 1º modo flexão vertical 37,0


4 15,67 Flexão lateral + torção 9,1

5 20,24 Torção + flex. vertical + flex. lateral 7,9



Figura VII.18a - Modo 1: 1° modo de flexão lateral, f1 = 7,25 Hz; Massa modal: 25,9 t

Figura VII.18b - Modo 2: 1° modo de flexão vertical, f2 = 8,69 Hz; Massa modal: 37,0 t

Figura VII.18c - Modo 3: 2° modo de flexão vertical, f3 = 12,56 Hz; Massa modal: 15,5 t

Figura VII.18d - Modo 5: flexão lateral + torção, f5 = 20,24 Hz; Massa modal: 7,9 t

128

VII.4.2 FREQÜÊNCIAS E MODOS DE VIBRAÇÃO DA ESTRUTURA ORIGINAL COM 01

CARRO MOTOR COM TRUQUES E SUSPENSÕES

A Tabela VII.6 apresenta um resumo dos modos de vibração, suas freqüências

associadas e massas modais para a ponte ferroviária carregada com veículos do tipo

motor (Figura VII.19) com aproximadamente 75 toneladas de massa. Nesta modelagem

foram levadas em consideração as suspensões (primária e secundária) com seus

coeficientes de rigidez; também foram levados em consideração, no sistema global, os

acoplamentos das massas dos veículos nas direções longitudinal e transversal da ponte e

os momentos de inércia de massa segundo a rotação em tornos dos eixos longitudinal e

transversal. As Figuras VII.20(a-d) mostram alguns desses modos de vibração.

Observa-se nas Figuras VII.20(a-d) e na Tabela VII.6 que, em comparação com

os modos e freqüências da estrutura sem nenhum veículo sobre si, o modo de vibração

de flexão lateral teve o valor da sua freqüência associada reduzida de 7,25 Hz para 3,58

Hz devido ao acoplamento da componente de massa do veículo na direção transversal e

mobiliza uma massa de cerca de 85 toneladas. O modo que se refere à primeira forma

de vibração de flexão vertical apresenta freqüência associada de 6,46 Hz e movimenta

uma massa de aproximadamente 86 toneladas. Pode-se observar, também, que o 23º

modo tem forma similar ao referente ao 1º modo de vibração de flexão vertical, porém

com freqüência de 7,72 Hz e massa modal mobilizada de cerca de 120 toneladas. Esta

semelhança de formas dos modos de vibração com distintas freqüências ocorre devido

ao acoplamento ou não da componente de massa na direção vertical do carro motor com

a estrutura da ponte, através das suspensões dos truques. Um comportamento

semelhante a este ocorre, também, com o modo referente à segunda forma de vibração

vertical, cujas freqüências são de 12,0 Hz e 12,83 Hz, respectivamente, e massas

mobilizadas de 22,9 toneladas e 33,7 toneladas.

O modo conjugado de flexão lateral + torção tem freqüência de 8,90 Hz e

mobiliza cerca de 81 toneladas. O modo de número 30 apresenta forma de vibração por

flexão vertical e torção e tem freqüência de 18,05 Hz e massa modal de 7,6 toneladas.

Modos de vibração que apresentam formas conjugadas de flexão lateral, vertical e

torção apresentam freqüências entre 22 Hz e 25 Hz. Deve-se ressaltar que os vinte

primeiros modos são modos locais com coordenadas normais muito pequenas.

129





23 7,72 Flexão vertical 112,0




30 18,05 Torção + flex. vertical 7,6

34 22,71 Flex. vertical + flex.lateral + torção 27,9

35 24,11 Flex. vertical + flex.lateral + torção 5,1

Figura VII.19 – Disposição dos veículos sobre a ponte na condição menos favorável.

Figura VII.20a - Modo 22: 1° modo de flexão vertical, f22 = 6,46 Hz; Massa modal: 86,5 t

Figura VII.20b – Modo 26: 2° modo de flexão vertical, f26 = 12,0 Hz; Massa modal: 22,9 t

130

Figura VII.20c – Modo 27: flexão vertical, f27 = 12,83 Hz; Massa modal: 33,7 t

Figura VII.20d - Modo 35: flexão vertical+ flexão lateral + torção, f35 = 24,11 Hz; Massa

modal: 5,1 t


CARRO REBOQUE COM TRUQUES E SUSPENSÕES

A Tabela VII.7 apresenta um resumo dos modos de vibração, suas freqüências

associadas e massas modais para a ponte ferroviária carregada com veículos do tipo

reboque (Figura VII.19) com aproximadamente 60 toneladas de massa. Nesta

modelagem, assim como no caso da estrutura com carros motor, foram consideradas as

suspensões primárias e secundárias e, também, as componentes de massa dos carros

reboques nas direções longitudinal e transversal; além das componentes do momento de

inércia de massa em torno dos eixos longitudinal e transversal.

Observa-se nas Figuras VII.21(a-f) e na Tabela VII.7 que o modo referente à

vibração por flexão lateral da estrutura tem sua freqüência associada de 3,84 Hz e

mobiliza uma massa de aproximadamente 73 toneladas. O modo referente à primeira

forma modal de vibração por flexão vertical tem freqüência associada de 6,83 Hz com

massa mobilizada de cerca de 71 toneladas. O modo de número 23 apresenta forma

similar àquele referente à flexão vertical, porém com freqüência associada diferente,

8,63 Hz, e massa mobilizada, 82 toneladas.

O modo conjugado de flexão lateral mais torção tem freqüência associada de

9,53 Hz e mobiliza cerca de 64 toneladas de massa. O segundo modo de vibração por

flexão vertical tem freqüência associada de 12,04 Hz e massa modal de cerca de 20

131

toneladas. Modos de vibração que associam formas de flexão lateral, vertical e torção

têm freqüências que varia desde 18 Hz até 26 Hz e mobilizam massas de 2,5 toneladas a

40 toneladas.

Todos os modos de vibração e suas respectivas freqüências associadas foram

obtidos admitindo-se que o peso da estrutura e/ou o peso dos veículos sobre esta são

suficientes para que as condições do apoio das rótulas mecânicas sejam consideradas

como restritas ou sem deslocamento nas três direções e, também, em relação às rotações

em torno dos eixos globais nos sentidos longitudinal e vertical. Observando os modos e

formas modais da estrutura com um carro motor ou reboque, percebe-se os resultados

são muito próximos, não havendo diferenças significavas.








27 12,41 Flexão vertical + torção 8,0

29 22,08 Torção + flex. vertical 24,3

30 23,09 Flex..lateral + torção 40,1

32 25,69 Flex.lateral + torção 2,5

Figura VII.21a - Modo 22: 1° modo de flexão vertical, f22 = 6,83 Hz; Massa modal: 71,2 t

Figura VII.21b - Modo 23: flexão vertical, f23 = 8,36 Hz; Massa modal: 82,1 t

132

Figura VII.21c – Modo 25: 2° modo de flexão vertical, f25 = 12,04 Hz; Massa modal: 19,5 t

Figura VII.21d – Modo 27: flexão vertical + torção, f27 = 18,41 Hz; Massa modal: 8,0 t

Figura VII.21e - Modo 30: flexão lateral + torção, f30 = 23,09 Hz; Massa modal: 40,1 t

Figura VII.21f - Modo 32: flexão lateral, f32 = 25,69 Hz; Massa modal: 2,5 t


CARRO MOTOR E MEIO CARRO REBOQUE SOBRE A PONTE, CONSIDERANDO

SEUS TRUQUES E SUSPENSÕES

A Tabela VII.8 apresenta um resumo dos modos, freqüências associadas e

massas modais da estrutura com um carro motor e meio carro reboque sobre si,

conforme ilustra a Figura VII.22. Esta modelagem, leva em consideração as massas e

momentos de inércia de massas do veículo segundo os eixos globais da estrutura e as

suspensões primária e secundária.

As Figuras VII.23(a-d) apresentam algumas formas de vibração da estrutura.

Observando estas figura e a Tabela VII.8, percebe-se que o primeiro modo de flexão de

vibração por flexão lateral tem freqüência associada de 4,12 Hz e massa modal de 117

toneladas. A forma modal de flexão vertical com freqüência associada em 11,82 Hz

133

mobiliza uma massa de cerca de 168 toneladas, já com uma freqüência de 18, 43 Hz, a

massa modal é de aproximadamente 26 toneladas. Uma outra forma de vibração por

flexão vertical tem sua freqüência associada em 19,02 Hz e mobiliza 16 toneladas.

VII.22 – Disposição de um veículo e meio sobre a ponte.





26 10,14 Flexão vertical + flex. lateral 97,0




39 21,20 Flexão lateral 6,0


42 23,4 Flex.vertical + flex. lateral + torção 84,5

Figura VII.23a - Modo 26: flexão vertical, f26 = 10,14 Hz; Massa modal: 97,0 t

Figura VII.23b - Modo 29: flexão vertical, f29 = 11,82 Hz; Massa modal: 168,0 t

134

Figura VII.23c – Modo 36: flexão vertical, f36 = 18,43 Hz; Massa modal: 26,4 t

Figura VII.23d – Modo 37: flexão vertical, f37 = 19,02 Hz; Massa modal: 16,3 t


CARRO REBOQUE E MEIO CARRO MOTOR SOBRE A PONTE, CONSIDERANDO

SEUS TRUQUES E SUSPENSÕES

A Tabela VII.9 apresenta um resumo dos modos, freqüências associadas e

massas modais da estrutura com um carro reboque e meio sobre si, conforme ilustra a

Figura VII.25. Esta modelagem também leva em consideração as massas e momentos

de inércia de massas do veículo segundo os eixos globais da estrutura e suas suspensões.

As Figura VII.24(a-c) apresentam algumas formas de vibração da estrutura.

Observando estas figura e a Tabela VII.9, percebe-se que o primeiro modo de flexão de

vibração por flexão lateral tem freqüência associada de 4,12 Hz e massa modal de 117

toneladas, semelhante ao caso com um carro motor e meio. A forma modal de flexão

vertical com freqüência associada em 12,68 Hz mobiliza uma massa de cerca de 135

toneladas, já a forma modal com a freqüência de 18,56 Hz, a massa modal é de

aproximadamente 25 toneladas.

Assim como no caso de um carro sobre a estrutura, para a estrutura com um

carro e meio, não há diferenças significativas, contudo algumas destas podem ser

observadas nas respostas em freqüência da estrutura (Seção VII.5).

135





26 10,39 Flexão vertical + flex. lateral 68,8

27 10,57 Flexão lateral + flex. vertical 46,5



41 23,93 Flexão vertical + torção 86,2

42 27,80 Torção + flexão lateral 86,2

Figura VII.24a - Modo 31: flexão vertical, f31 = 12,68 Hz; Massa modal: 135,0 t

Figura VII.24b – Modo 38: flexão vertical, f38 = 18,56 Hz; Massa modal: 25,2 t

Figura VII.24c – Modo 42: torção + flexão lateral, f42 = 27,80 Hz; Massa modal: 86,2 t

136

VII.5 RESPOSTAS DINÂMICAS DA ESTRUTURA ORIGINAL DA PONTE À

PASSAGEM DOS TRENS

A Figura VII.11’ apresenta dois pontos em destaque. O ponto 1 se refere à

ligação rígido-soldada entre uma escora e uma das vigas principais, ocasionando, assim,

um ponto de concentração de tensão que, devido às solicitações cíclicas provocadas pela

passagem de uma composição de veículos ferroviários com velocidade constante, pode

comprometer a vida útil à fadiga da estrutura. Além disso, este ponto coincide com a

coordenada normal do primeiro modo de vibração por flexão vertical da ponte (ver

Figura VII.18b) e experimenta grandes amplitudes de vibração quando a ponte é

excitada pela passagem da composição ferroviária com irregularidades nas rodas e nos

trilhos.

O ponto 2 da figura VII.11’ se refere ao meio do vão da ponte. Este é o ponto de

maior amplitude das coordenadas normais dos modos de flexão simétricos, tanto na

direção vertical quanto na transversal e, portanto, experimenta grandes amplitudes de

vibração quando a ponte é excitada pela ação da passagem da composição de trens.

Figura VII.11’ – Diferentes seções e pontos característicos para observação das respostas

da estrutura.

1

2

137

As análises que se seguem são referentes à passagem de uma composição

ferroviária com 08 (oito) vagões, dispostos de acordo com a Figura VII.16, com sua

ocupação total, trafegando com diferentes velocidades (v = 30 km/h, v = 50 km/h e v =

90 km/h), sendo v = 90 km/h a máxima permitida nas vias férreas brasileiras. Nestas

análises foram consideradas, simultaneamente, irregulares geométricas nos trilhos do

tipo determinística (senoidal) e aleatória, além de irregularidades do tipo “mossa” nas

rodas de número 05, 27, 31 e 42, escolhidas de forma aleatória. Essas irregularidades

foram consideradas distintas para cada trilho e, também, para as rodas selecionadas. Os

valores numéricos dos parâmetros característicos dessas irregularidades estão dispostos

na Tabela VII.10.

Tabela VII.10 – Parâmetros utilizados nas equações de irregularidades (CBTU 1978; FRÝBA 1996).

Equação Trilhos linha direita Trilhos linha esquerda

(III.11) An = 5,0 mm , l = 28,35 m,

n = 5 (nº de meia onda de seno)

An = 6,0 mm , l = 28,35 m,

n = 6 (nº de meia onda de seno)

(III.12)* Ai = 3,0 m, Bi = 3,031 m, ai = 1,0 mm,

b = 62 mm, k = 0,1,2...

Ai = 3,0 m, Bi = 3,031 m, ai = 1,2 mm,

b = 65 mm, k = 0,1,2...

(III.13) A = 2,78 x 10-8 m2, ω1 = 23,3 x 10-3

rad/s, ω2 = 13,1 x 10-2 rad/s

A = 2,78 x 10-8 m2, ω1 = 23,3 x 10-3

rad/s, ω2 = 13,1 x 10-2 rad/s * Na Equação II.12, i é a i-ésima roda com achatamento e k é número de vezes que a roda achatada passa sobre a ponte.

Para o cálculo do valor do coeficiente de rigidez foi levado em consideração um

dormente de Eucalipto Citriodora (Eucalyptus citriodora), o qual se determina a partir

da seguinte expressão:

hAGK LR

D×

= (Eq. VII.1)

onde GLR é o módulo de elasticidade transversal às fibras, A é a área de atuação da carga

(Figura VII.25) e h é altura do dormente. Para o Eucalipto Citriodora, BALLARIN e

NOGUEIRA (2003) realizaram ensaios em laboratório e encontraram o valor de 861 MPa

para o módulo transversal. A área média pode ser calculada, admitindo-se o

espraiamento de um ângulo de 30º, em 0,0576 m2 (0,24 m x 0,24 m) e a altura do

dormente é 0,17 m. Assim, o valor do coeficiente de rigidez é dado por:

138

/m291727,0kN=××

=×

=m

mmkNh

AGK LRD 17,0

24,0/10861 223

(Eq. VII.2)

O coeficiente de amortecimento foi considerado com sendo CD = 0,5 kN.s/m.

Para fins das análises que se seguem, os dormentes de madeiras são considerados como

apoiados em enrijecedores internos da seção tubular a fim de se evitar a flexão da chapa

de flange da viga de aço.

0,24 m

0,17

m

0,14 m0,10 m 0,10 m

0,24 m

0,08

5 m

Figura VII.25 – Determinação da área carregada no dormente pelo trilho .

As equações diferenciais de movimento resultantes da modelagem

tridimensional da estrutura e dos veículos, levando em consideração as irregularidades,

foram, então, resolvidas numericamente através do algoritmo de Newmark para se obter

as respostas dinâmicas da estrutura da ponte sob ação do tráfego de uma composição

ferroviária.

No que se segue são apresentados e analisados os resultados obtidos com as

modelagens matemático-analítico-computacionais, descritas no Capítulo III e nas seções

VII.2 e VII.3 e com a ferramenta computacional descrita no Capítulo V, especialmente

desenvolvida para análise do problema de interação dinâmica trem-trilhos-dormentes-

lastro-estrutura. São apresentados resultados nas formas de gráficos (respostas

dinâmicas nos domínios do tempo e da freqüência) e de tabelas com valores máximos

e/ou característicos para deslocamentos, esforços normais, momentos fletores em pontos

localizados no meio do vão e na ligação estronca-longarina e reações de apoios para a

estrutura original.

139

VII.5.1 RESPOSTAS DINÂMICAS EM TERMOS DOS DESLOCAMENTOS

VII.5.1.1 Análise e influência das irregularidades nas respostas dinâmicas

Nesta seção serão apresentadas as respostas dinâmicas da estrutura levando-se

em consideração as irregularidades geométricas nos trilhos e nas rodas para uma

composição ferroviária trafegando com velocidade constante de 90 km/h. As respostas

dinâmicas são dadas em termos de deslocamentos versus tempo no ponto da ligação da

estronca com a longarina e no meio do vão (Figura VII.11’). As Figuras VII.26 a VII.28

apresentam, respectivamente, as respostas dinâmicas na ligação estronca-longarina da

estrutura considerando irregularidades geométricas apenas nos trilhos, apenas nas rodas

e a combinação de ambas. Percebe-se que a reposta apenas com irregularidades nos

trilhos (senoidal + aleatória) tem deslocamento máximo em torno de 3,2 mm, enquanto

as respostas com irregularidades apenas nas rodas e combinada apresentam

deslocamentos máximos de aproximadamente 4,0 mm.

As Figuras VII.29 a VII.31 apresentam os autoespectros das respostas temporais,

obtidos através da aplicação da Transformada de Fourier, da estrutura sob ação do

tráfego da composição com irregularidade nos trilhos, nas rodas e combinadas,

respectivamente. Percebe-se, assim, que no caso com irregularidades apenas nos trilhos,

a estrutura responde com maior amplitude, em comparação com os outros casos, para a

freqüência de 19,53 Hz, que está associada a um modo de vibração vertical da estrutura

com veículos sobre si, e em menor amplitude nas freqüências associadas aos dois

primeiros modos de vibração por flexão vertical. Isto pode ser influência dos múltiplos

da freqüência da irregularidade se aproximar da freqüência de 19,35 Hz. Nota-se, ainda,

que as respostas da estrutura tanto com irregularidades apenas nas rodas quanto

combinada são muito semelhantes em amplitudes. Observa-se, também, nestes

autoespectros a presença de freqüência próxima de zero assintótica ao eixo vertical.

Estas freqüências são devidas ao sinal temporal não ter média zero, ou seja, este sinal

tem uma componente estática na resposta que é o peso da composição ferroviária. Nota-

se, ainda, a presença da freqüência de 0,98 Hz nas respostas a qual é atribuída à

mobilidade da carga ao trafegar com velocidade constante sobre a ponte, dada por:

Hzfmob 98,0)8,135,28(

16,3

90≈

−×= (Eq. VII.3)

140

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)

Figura VII.26 – Variação do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina x tempo

para v = 90 km/h com irregularidades nos trilhos.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)


para v = 90 km/h com irregularidades nas rodas.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)


para v = 90 km/h com irregularidades combinadas.

141

19.53

12.9411.96

8.79

0.98

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)

Figura VII.29 – Autoespectro de deslocamento vertical na ligação estronca-longarina para

v = 90 km/h com irregularidades nos trilhos.

0.98

19.53

12.94

11.96

8.79

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)


v = 90 km/h com irregularidades nas rodas.

0.98

19.53

12.9411.96

8.79

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)


v = 90 km/h com irregularidades combinadas.

142

As Figuras VII.32 a VII.34 apresentam, respectivamente, as respostas dinâmicas

em termos de deslocamentos verticais versus tempo no meio do vão da estrutura,

levando em consideração irregularidades geométricas apenas nos trilhos, apenas nas

rodas e combinadas, para uma composição ferroviária trafegando com velocidade

constante de 90 km/h. Percebe-se, então, que a reposta apenas com irregularidades nos

trilhos apresenta deslocamento máximo menor que para os outros casos, ficando em

torno de 5,25 mm. Observa-se, também, que os deslocamentos máximos para as

respostas com irregularidades apenas nas rodas e combinada são bastante semelhantes,

em torno de 7,3 mm e 7,2 mm, respectivamente.

As Figuras VII.35 a VII.37 apresentam os autoepectros das respostas temporais

da estrutura no meio do vão sob ação do tráfego da composição com irregularidade nos

trilhos, nas rodas e combinadas, respectivamente. Percebe-se, então, que a estrutura

responde, levando-se em consideração apenas irregularidades nos trilhos, com

amplitudes menores, em comparação com os outros casos, tanto nas freqüências

associadas ao primeiro modo de vibração por flexão vertical (8,79 Hz) quanto na do

segundo (11,96 Hz e 12,94 Hz) e que, as respostas para os casos com irregularidades

apenas nas rodas e com irregularidades combinadas nos trilhos e nas rodas, são muito

semelhantes em termos de amplitudes e freqüências de respostas.

Após a análise das respostas na ligação estronca-longarina e no meio do vão,

conclui-se que as respostas da estrutura são afetadas em maior amplitude pelas

irregularidades geométricas nas rodas. Porém as irregularidades nos trilhos representam

as condições das vias na realidade, devido a falhas na montagem e imperfeições

inerentes ao uso e desgaste natural das vias férreas. Nas análises que se seguem, então,

serão utilizadas as irregularidades combinadas para obtenção das respostas da estrutura

em termos de deslocamentos máximos, esforços seccionais e reações de apoio.

143

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)

Figura VII.32 – Variação do deslocamento vertical x tempo no meio do vão para

v = 90 km/h com irregularidades nos trilhos

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)


v = 90 km/h com irregularidades nas rodas

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)


v = 90 km/h com irregularidades combinada

144

12.9411.96

8.79

0.98

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)

Figura VII.35 – Autoespectro de deslocamento vertical no meio do vão para v = 90 km/h

com irregularidades nos trilhos

0.98

12.9411.96

8.79

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)

Figura VII.36 – Autoespectro de deslocamento vertical meio do vão para v = 90 km/h com

irregularidades nas rodas

0.98

12.9411.96

8.79

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)

Figura VII.37 – Autoespectro de deslocamento vertical no meio do vão para v = 90 km/h

com irregularidades combinadas

145

VII.5.1.2 Análise e influência da velocidade nas respostas dinâmicas

Nesta seção serão apresentas as respostas dinâmicas da estrutura levando-se em

consideração diferentes velocidades de tráfego da composição ferroviária, tal com 30

km/h, 50 km/h e 90 km/h com irregularidades combinadas. Estas respostas são dadas

em termos de deslocamentos versus tempo no meio do vão, as quais são apresentadas

nas Figuras VII.38 a VII.40, onde se pode observar que, para a velocidade de 30 km/h, a

estrutura é pouco excitada dinamicamente, sendo seu deslocamento máximo em torno

de 5,0 mm. Para a velocidade de 50 km/h, já se percebe uma excitação dinâmica na

resposta um pouco maior e o deslocamento máximo, também, fica em torno de 5,0 mm.

Contudo, a interação dinâmica produzida por estas velocidades é pequena comparada

com a produzida para a velocidade de 90 km/h, onde a estrutura é bastante excitada

dinamicamente e seus deslocamentos máximos chegam a cerca de 7,0mm.

Os autoespectros dessas respostas são apresentados nas Figuras VII.41 a VII.43.

Observando estas figuras, pode-se perceber que, para as velocidades de tráfego de 30

km/h e 50 km/h, a estrutura da ponte responde, basicamente, na freqüência de

mobilidade da carga móvel. Porém, com relação à velocidade de tráfego de 90 km/h,

nota-se que a estrutura responde, além da freqüência de mobilidade (0,98 Hz) e seus

múltiplos, nas freqüências associadas ao primeiro (8,79 Hz) e ao segundo modo de

vibração por flexão vertical da estrutura (11,96 Hz e 12,94 Hz).

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)


v = 30 km/h.

146

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)


v = 50 km/h.

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)


v = 90 km/h.

0.73

0.37

1.10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)


147

0.61

1.22

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)


0.98

12.9411.96

8.79

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)


As Figuras VII.44 a VII.46 apresentam as resposta da estrutura, em termos de

deslocamentos transversais versus tempo no meio do vão para as diferentes velocidades

de passagem. Pode-se observar que, para a velocidade de 30 km/h, a estrutura responde

com deslocamentos máximos de aproximadamente 0,09 mm, enquanto que, para 50

km/h, os deslocamentos máximos chegam a cerca de 0,25 mm. Para a velocidade de 90

km/h, a estrutura responde com deslocamentos que chegam a aproximadamente 1,0 mm.

As Figuras VII.47 a VII.49 apresentam as respostas no domínio da freqüência

para as distintas velocidades, onde se observa que a estrutura responde na freqüência da

mobilidade da carga, na freqüência associada ao primeiro modo de vibração por flexão

lateral da estrutura (7,20 Hz) e numa faixa de freqüência entre 22 hz e 26 Hz, que estão

associadas a uma família de modos de flexão lateral+torção, com diferentes amplitudes.

148

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)

Figura VII.44 – Variação do deslocamento transversal x tempo no meio do vão para

v = 30 km/h.

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)


v = 50 km/h.

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)


v = 90 km/h.

149

25.2722.587.20

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)


23.3225.39

7.32

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)


26.37

25.15

24.17

7.32

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)


150

As Figuras VII.50 e VII.51 apresentam, respectivamente, a variação dos

deslocamentos máximos verticais e transversais (lateral) em função da velocidade de

tráfego da composição ferroviária, na ligação estronca-longarina e no meio do vão da

estrutura. Percebe-se da Figura VII.50, que para as velocidades entre 30 km/h e 50 km/h

há uma variação muito pequena nos valores dos deslocamentos tanto na ligação

estronca-longarina quanto no meio do vão, contudo, para a velocidade de 90 km/h, há

um aumento de cerca de 40% nesses valores. Com relação aos deslocamentos

transversais, nota-se uma tendência de crescimento dos deslocamentos em função do

aumento da velocidade tanto na ligação estronca-longarina quanto no meio do vão. Esta

variação é pequena entre 30 km/h e 50 km/h, porém, para 90 km/h os deslocamentos são

cerca de quatro vezes maiores que aqueles produzidos para velocidade de 50 km/h.

7.21

4.06

2.963.01

5.144.96

0

1

2

3

4

5

6

7

8

30 km/h 50 km/h 90 km/h

Des

loc_

ver

t (m

m)

lig_estronca meio_vão Figura VII.50 – Variação do deslocamento vertical máximo com a velocidade.

0.07 0.18

1.11

1.00

0.09

0.24

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

30 km/h 50 km/h 90 km/h

Des

loc_

lat (

mm

)

lig_estronca meio_vão Figura VII.51 – Variação do deslocamento transversal máximo com a velocidade.

151

VII.5.2 RESPOSTAS DINÂMICAS EM TERMOS DE ESFORÇOS SECCIONAIS

As Figuras VII.52 e VII.53 apresentam, respectivamente, as respostas dinâmicas

em termos de momento fletor (Mxz) versus tempo na ligação rígido-soldada e no meio

do vão da estrutura para a velocidade de tráfego de 90 km/h. Observa-se que o valor

máximo do momento fletor na ligação estronca-longarina é negativo e em torno de 560

kN.m. Na posição do meio do vão, o momento máximo é positivo e próximo de 520

kN.m. O esforço axial versus tempo na ligação estronca-longarina é apresentado na

Figura VII.54 onde se observa que são esforços de compressão e de aproximadamente

700 kN. As Figuras VII.55 e VII.56 apresentam, respectivamente, os autoespectros das

respostas na ligação estronca-longarina e no meio do vão para as variações de momento

fletor e esforço normal.

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

3000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Mom

ento

Fle

tor (

kN.m

)

Figura VII.52 – Variação do momento fletor x tempo na ligação estronca-longarina para

v = 90 km/h. -300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

6000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Mom

ento

Fle

tor (

kN.m

)

Figura VII.53 – Variação do momento fletor x tempo no meio do vão para v = 90 km/h.

152

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

3000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Esfo

rço

Nor

mal

(kN

)

Figura VII.54 – Variação do esforço normal x tempo na ligação estronca-longarina para

v = 90 km/h.

2.20

0.98

8.79

11.9612.94

19.53

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectr

o Li

g_es

tr-lo

ngar

ina

Esf_Normal Mom_fletor

Figura VII.55 – Autoespectro da variação do esforço normal e momento fletor na ligação

estronca-longarina para v = 90 km/h.

12.9411.96

0.98

24.90

2.20

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectr

o M

_fle

tor (

kN.m

)

Mom_Fletor

Figura VII.56 – Autoespectro da variação do esforço normal no meio do vão para

v = 90 km/h.

153

A Figura VII.57 apresenta a variação dos valores dos momentos fletores, valor

de pico e valor RMS, na ligação estronca-longarina da estrutura sob ação da passagem

da composição ferroviária com as diferentes velocidades. Nota-se que os valores RMS

sofrem pouca variação, há um aumento de cerca de 12% dos valores para velocidade de

90 km/h em comparação com aqueles produzidos para uma velocidade de 30 km/h. Por

outro lado, os valores de pico apresentam uma variação maior, principalmente entre as

velocidades de 90 km/h e 50 km/h, que chega a ser 100% maior. A Figura VII.58

apresenta esta variação no meio do vão da estrutura. Nota-se um comportamento

semelhante àquele referente à ligação rígido-soldada par os valores RMS, ficando esta

variação em torno de 9% entre as velocidades de 90 km/h e 30 km/h. Com respeito aos

valores de pico, a variação é maior que aquela referente aos valores RMS, porém

menores que aquela ocorrida na ligação rígido-soldada, ficando em torno de 70% entre

as velocidades de 90 km/h e 50 km/h.

A variação do esforço normal, valores de picos e RMS, na ligação estronca-

longariana da estrutura com a velocidade de tráfego da composição ferroviária está

apresentada na Figura VII.59. Percebe-se que há apenas uma pequena variação nos

valores RMS entre as velocidades de 90 km/h e 30 km/h, em torno de 6%, porém,

comparando os valores de picos essa variação aumenta consideravelmente, ficando em

aproximadamente 38%.

-227.49-275.76

-564.48

-101.85 -103.05-113.72

-600

-500

-400

-300

-200

-100

030 km/h 50 km/h 90 km/h

Mom

. fle

tor (

kN.m

)

V_PICO V_RMS Figura VII.57 – Variação do momento fletor com a velocidade na ligação estronca-

longarina.

154

523.76

308.91284.33

134.44

123.23123.01

0

100

200

300

400

500

600

30 km/h 50 km/h 90 km/h

Mom

. fle

tor

(kN.

m)

V_PICO V_RMS Figura VII.58 – Variação do momentos fletor com a velocidade no meio do vão.

-697.51

-546.06-505.76

-233.52-221.12-220.90

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

030 km/h 50 km/h 90 km/h

Esf.

axia

l (kN

)

V_PICO V_RMS Figura VII.59 – Variação do esforço axial máximo com a velocidade na ligação estronca-

longarina.

VII.5.3 RESPOSTAS DINÂMICAS EM TERMOS DAS REAÇÕES DE APOIO

As Figuras VII.60 a VII.63 apresentam as resultantes das reações de apoio

versus tempo para os nós de número 09, 10, 383 e 384 da estrutura sob ação da

passagem de uma composição ferroviária trafegando com velocidade de 90 km/h. Nota-

se que os valores máximos das resultantes são próximos para os quatro apoios, sendo

em média de 1080 kN. Os autoespectros destas resultantes, para todos os nós de apoio,

são apresentados na Figura VII.64, onde se pode observar que a resposta da estrutura,

para todos estes, se dá na freqüência da mobilidade da carga móvel, na freqüência

associada ao primeiro modo de vibração por flexão vertical da estrutura em vibração

livre (8,79 Hz), nas freqüências associadas ao segundo modo de vibração por flexão

155

vertical da estrutura em vibração livre e com veículos sobre si (11,96 Hz e 12,94 Hz), e

na freqüência de 19,53 Hz que está associada a um modo de vibração vertical da

estrutura com veículos sobre si.

A Figura VII.65 apresenta a variação dos picos máximos das resultantes das

reações de apoio da estrutura com a velocidade de tráfego da composição ferroviária.

Observa-se que os valores destas reações são muito próximos, em todos os nós, para as

velocidades de 30 km/h e 50 km/h, porém há um aumento de cerca de 30% para uma

velocidade de tráfego de 90 km/h.

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Resu

ltant

e_ap

oio

(kN)


-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Res

ulta

nte_

apoi

o (k

N)


156

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Resu

ltant

e_ap

oio

(kN)


-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Res

ulta

nte_

apoi

o (k

N)


0.98

8.79

11.96

12.94

19.53

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)

nó 09 nó 10 nó 383 nó 384 Figura VII.64 – Autoespectros das resultantes de apoio da estrutura.

157

736.9

786.2

1052.0

730.8 725.5

724.1718.1 705.2

771.7

1094.51096.81086.6

600

700

800

900

1000

1100

1200

nó 09 nó 10 nó 383 nó 384

Res

ulta

nte_

apoi

o (k

N)

30 km/h 50 km/h 90 km/h Figura VII.65 – Variação das resultantes das reações de apoio da estrutura com a

velocidade.

VII.6 RESPOSTAS DINÂMICAS DA ESTRUTURA COM SISTEMAS DE

CONTROLE À PASSAGEM DOS TRENS

VII.6.1 ESTRUTURA COM ATENUADORES VISCOELÁSTICOS

VII.6.1.1 Análise e influência das irregularidades nas respostas dinâmicas da

estrutura com atenuadores viscoelásticos.

Resolvendo, numericamente, o sistema de equações diferenciais descrito no

Capítulo III, resultante da interação dinâmica trem-trilho-dormente-estrutura e,

considerando, o dispositivo viscoelástico, chega-se às respostas da estrutura com os

aparelhos de apoio viscoelásticos em substituição aos dormentes, descritos no Capítulo

IV, devido à passagem da composição ferroviária. Para as análises que se seguem, os

aparelhos de neoprene são considerados apoiados sobre enrijecedores internos da seção

tubular a fim de se evitar a flexão da chapa de flange da viga de aço.

A Figura VII.66 apresenta a resposta, em termos de deslocamentos verticais

versus tempo, na ligação estronca-longarina da estrutura provida de mecanismos

viscoelásticos para atenuação das vibrações. Esta é apresentada para a estrutura

submetida à ação do tráfego de uma composição ferroviária com velocidade constante

de 90 km/h, considerando apenas irregularidades geométricas nos trilhos (senoidal e

158

aleatória). A figura mostra, também, a resposta da estrutura original (isto é, sem

atenuadores de vibração) para a mesma ação. Observando a figura, percebe-se redução

das vibrações nos valores de pico na resposta da estrutura com os atenuadores

viscoelásticos. Contudo, estas reduções são mais bem observadas no domínio da

freqüência.

A Figura VII.67 mostra os autoespectros de freqüência das respostas da estrutura

original e com atenuadores viscoelásticos. A partir da figura, observa-se que redução

das amplitudes de respostas da estrutura com atenuadores viscoelásticos. Esta redução

se dá em cerca de 75% tanto na freqüência associada ao segundo modo de vibração

(12,94 Hz) por flexão vertical quanto naquela associada a um modo de vibração vertical

com os veículos sobre a estrutura (19,53 Hz). Houve redução também da resposta em

torno da freqüência 8,79 Hz (primeiro modo de vibração por flexão vertical). Porém, na

faixa estreita de freqüências em torno de 0,98 Hz, associada à mobilidade da carga, não

houve nenhuma redução de amplitude.

As respostas, em termos de deslocamentos verticais versus tempo da estrutura

original e com atenuadores viscoelásticos na ligação estronca-longarina, levando em

consideração as irregularidades tanto nos trilhos quanto nas rodas, para a velocidade da

composição de 90 km/h, são mostradas na Figura VII.68. Analisando a figura,

percebem-se, também, reduções nos valores máximos de picos de deslocamento em

relação à resposta da estrutura original. Estas reduções são mais bem observadas na

Figura VII.69 que apresenta o autoespectos das respostas temporais. As reduções estão

presentes em quase toda faixa de freqüências, sendo mais acentuadas em torno das

freqüências associadas ao segundo modo de vibração por flexão vertical (12,94 Hz) e

daquela associada a um modo de vibração vertical da ponte com veículos (19,53 Hz).

Essas reduções são de aproximadamente 75%, valor este semelhante ao referente às

respostas para irregularidades apenas nos trilhos.

159

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)

Original Viscoelástico


da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades apenas nos trilhos.

19.53

12.9411.96

8.79

0.98

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)


Figura VII.67 – Autoespectro do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina da

estrutura original e com atenuadores viscoelásticos – irregularidades nos trilhos.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)



da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades combinadas.

160

8.79

11.9612.94

19.53

0.98

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)

Original Viscoleástico

Figura VII.69 – Autoepectro do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina da

estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades combinadas.

A Figura VII.70 apresenta as respostas em termos de deslocamento versus tempo

no meio do vão da estrutura, com e sem mecanismos viscoelásticos para atenuação das

vibrações, devido à ação dinâmica da passagem da composição ferroviária trafegando a

90 km/h, considerando irregularidades geométricas apenas nas trilhos. Observa-se, nesta

figura, que há reduções das amplitudes da resposta devido aos atenuadores

viscoelásticos. Estas reduções, que são melhores observadas na Figura VII.71, se dão

em quase todas as freqüências de resposta da estrutura, em especial naquelas associadas

ao segundo modo de vibração (12,94 Hz) por flexão vertical, onde a redução é de

aproximadamente 65%, valor este um pouco menor que o observado na ligação

estronca-longarina da estrutura.

Nas respostas da estrutura no meio do vão, considerando todas as irregularidades

geométricas, percebem-se reduções ainda mais acentuadas dos valores dos picos (Figura

VII.72). Estas são mais evidente no domínio da freqüência (Figura VII.73), onde se nota

que nas freqüências associadas ao segundo modo de vibração por flexão vertical da

estrutura (12,94 Hz) há uma redução das amplitudes de cerca de 70%.

161

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)


Figura VII.70 – Variação do deslocamento vertical no meio do vão x tempo da estrutura

original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades apenas nos trilhos.

12.9411.96

8.79

0.98

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)


Figura VII.71 – Autoespectro do deslocamento vertical no meio do vão da estrutura

original e com atenuadores viscoelásticos – irregularidades apenas nos trilhos.

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)



original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

162

8.79

11.9612.94

0.98

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)

Original Viscoleástico

Figura VII.73 – Autoepectro do deslocamento vertical no meio do vão da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

VII.6.1.2 Respostas em termos dos esforços seccionais da estrutura com

atenuadores viscoelásticos.

A Figura VII.74 apresenta a resposta dinâmica em termos da variação do

momento fletor (Mxz) versus tempo na ligação rígido-soldada, para estrutura original e

com mecanismos de atenuação viscoelásticos, para uma velocidade de tráfego da

composição ferroviária de 90 km/h e considerando irregularidades nos trilhos e nas

rodas. Observam-se, nesta figura, reduções das amplitudes de respostas de vibração

dinâmica da estrutura com atenuadores viscoelásticos, em média, de cerca de 20% dos

valores de picos. Entretanto, esta redução é mais bem observada na resposta no domínio

da freqüência, apresentada na Figura VII.75. Nesta Figura pode-se observar que nas

freqüências associadas ao segundo modo (12,94 Hz) de vibração por flexão vertical, a

redução é de aproximadamente 65%.

Por outro lado, na posição referente ao meio do vão, a redução da resposta

alcançada pela estrutura com mecanismos viscoelásticos em termos dos picos máximos

do momento fletor é, em média, de aproximadamente 25%, em média, na resposta

temporal, apresentada na Figura VII.76. Contudo, observando os autoespectros das

respostas na freqüência de 12,94 Hz (Figura VII.77), percebe-se que a redução em

termos de amplitude alcançou, em média, cerca de 75% e aproximadamente 70% na

freqüência em torno de 25 Hz.

163

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

3000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Mom

ento

Fle

tor (

kN.m

)


Figura VII.74 – Variação do momento fletor na ligação estronca-longarina x tempo da

estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades combinada.

2.20

19.5312.9411.96

8.79

0.98

0

10

20

30

40

50

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectr

o M

_fle

tor (

kN.m

)


Figura VII.75 – Autoepectro do momento fletor na ligação estronca-longarina da estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades combinada.

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

6000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Mom

ento

Fle

tor (

kN.m

)


Figura VII.76 – Variação do momento fletor no meio do vão x tempo da estrutura original

e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

164

24.90

2.20

0.98

8.79

11.96 12.9419.53

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectr

o M

_fle

tor (

kN.m

)


Figura VII.77 – Autoepectro do momento fletor no meio do vão da estrutura original e

com atenuadores viscoelásticos - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

A Figura VII.78 apresenta as respostas em termos da variação do esforço normal

na ligação estronca-longarina da estrutura sem e com dispositivos de atenuação

viscoelásticos para velocidade de 90 km/h. Observa-se redução, em média, da resposta

dinâmica em cerca de 18% dos valores de picos. Entretanto, esta redução é mais bem

observada nas respostas no domínio da freqüência (Figura VII.79), onde se percebe uma

boa redução numa faixa de freqüência que vai de 10 Hz até 30 Hz, sendo de cerca de

75% na freqüência de 12,94 Hz e 71% na freqüência de 19,53 Hz.

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

3000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Esfo

rço

Nor

mal

(kN

)


Figura VII.78 – Variação do esforço normal na ligação estronca-longarina x tempo da

estrutura original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades combinada.

165

2.20

19.53

12.9411.96

8.79

0.98

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectr

o Es

f. N

orm

al (k

N)


Figura VII.79 – Autoepectro do esforço normal na ligação estronca-longarina da estrutura

original e com atenuadores viscoelásticos - irregularidades combinada.

VII.6.1.3 Respostas em termos das reações de apoio da estrutura com

atenuadores viscoelásticos.

A Figura VII.80 apresenta as respostas em termos da resultante da reação de

apoio (nó 09) da estrutura original e com mecanismo de atenuação de vibração

viscoelástico para o tráfego da composição ferroviária com 90 km/h e irregularidades

geométricas nos trilhos e nas rodas. Observa-se que há uma boa redução, em média, dos

valores máximos das resultantes, em cerca de 35%. Contudo, esta redução pode ser

melhor observada nos autoespectros (Figura VII.81) onde se vêem grandes reduções:

70%, em média, para a freqüência de 12,94 Hz e 73% na freqüência de 19,35 Hz.

As Figuras VII.82 e VII.83 apresentam, respectivamente, as respostas em termos

da resultante da reação de apoio (nó 384) versus tempo e os autoespectros de freqüência

da estrutura original e com mecanismo de atenuação de vibração viscoelástico para o

tráfego da composição ferroviária com 90 km/h e irregularidades geométricas nos

trilhos e nas rodas. Observa-se na resposta temporal que há redução dos valores

máximos das resultantes, em cerca de 32%. Entretanto, esta redução é melhor observada

nos autoespectros onde se vê uma redução de aproximadamente 63% para a freqüência

de 12,94 Hz e 66% na freqüência de 19,35 Hz.

166

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Resu

ltant

e_ap

oio

(kN)

original Viscoelástico

Figura VII.80 – Resultante da reação de apoio (nó 09) x tempo da estrutura original e com

atenuadores viscoelásticos - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

19.53

12.94

11.96

8.79

0.98

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectr

o R

_apo

io (k

N)


Figura VII.81 – Autoepectro da resultante de apoio (nó 09) da estrutura original e com


-200

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Res

ulta

nte_

apoi

o (k

N)

original Viscoelástico


167

19.53

12.94

11.96

8.79

0.98

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectr

o R

_apo

io (k

N)




VII.6.2 – ESTRUTURA COM ATENUADORES DINÂMICOS SINTONIZADOS - ADS

Propõe-se, aqui, um sistema de 02 (dois) conjuntos de atenuadores dinâmicos

sintonizados em freqüência, sendo os atenuadores de cada conjunto sincronizados entre

si (ADS), com o objetivo de reduzir as amplitudes de vibração da estrutura devidas ao

segundo modo de vibração por flexão vertical e a um modo de vibração vertical com

veículos sobre a ponte, cujas freqüências são 12,94 Hz e 19,53 Hz, respectivamente.

Observando as respostas da estrutura original, percebe-se que as maiores

amplitudes para a freqüência de 19,53 Hz se dão na ligação estronca-viga principal e

que o segundo modo de vibração por flexão vertical (12,94 Hz) tem sua maior

amplitude no meio do vão da viga principal, indicando, assim, os locais onde serão

instalados os ADS, conforme ilustra a Figura VII.84.

Os parâmetros da estrutura como massa modal do segundo modo de vibração

por flexão vertical (12,94 Hz) e do modo de vibração vertical com veículos sobre a

ponte e suas respectivas freqüências, adotados para o projeto do sistema ADS, estão

descritos na seção VII.4 e resumidos, aqui, na Tabela VII.11. A relação de massa Ma/Me

adotada é de 0,01, ou seja, o sistema auxiliar terá 1% da massa modal para ambos os

sistemas. A escolha pela relação de massa em 0,01 se justifica pela viabilidade

econômica e também por questão de espaço, haja visto que as vigas principais da

estrutura têm cerca de 65 cm de altura. Quanto às freqüências dos ADS, as relações

168

usadas são de 0,97 para ambos os modos. Assim, os valores necessários para a

utilização dos ADS estão descritos na Tabela VII.12. 0,

65 u p

tu SV3 SV2 SV2 SV3

3,00 COL COLESCESC

ADS-2

a ak c

au m a

ADS-1

Figura VII.84 – Localização dos sistemas de atenuação do tipo ADS na estrutura.

Tabela VII.11 – Resumo dos valores de massa modal e freqüência da estrutura.

Forma modal Freqüência Massa modal

2º modo flex. vertical 12,94 Hz 34,0 t

Flex. vert. c/ veiculos 19,53 Hz 26,4 t

Tabela VII.12 – Valores dos parâmetros dos sistemas ADS’s.

Sistema Freqüência Massa Coef. Amortecimento Coef. rigidez

ADS-1 119,4 rad/s 0.27 t 3,22 kNs/m 3848 kN/m

ADS-2 78,5 rad/s 0,34 t 2,67 kNs/m 2095 kN/m

Resolvendo-se, numericamente, o sistema de equações diferenciais matriciais do

acoplamento dinâmico da estrutura com os sistemas auxiliares, chega-se às respostas da

estrutura com os dois atenuadores dinâmicos sincronizados.

169

VII.6.2.1 Análise e influência das irregularidades nas respostas dinâmicas da

estrutura com ADS.

A Figura VII.85 apresenta as respostas em termos de deslocamentos verticais

versus tempo na ligação rígido-soldada da estrutura original e com os atenuadores

dinâmicos sincronizados, submetidas à ação dinâmica da passagem de uma composição

férrea trafegando com velocidade constante de 90 km/h, considerando irregularidades

geométricas apenas nos trilhos. Observa-se que há uma redução das amplitudes de

resposta da estrutura com ADS, contudo, essa redução pode ser melhor observada na

resposta no domínio da freqüência (Figura VII.86).

A Figura VII.86 mostra as respostas em freqüência da estrutura original e com

os sistemas atenuação mecânicos do tipo ADS. Observando a figura, nota-se que a

redução das amplitudes de vibração da estrutura na freqüência de 19,53 Hz é de

aproximadamente 43%, enquanto naquela associada ao segundo modo de vibração por

flexão vertical (12,94 Hz) esta alcança 57%. Percebe-se, também, redução substancial

em quase toda a faixa de freqüência, exceto naquela associada à mobilidade da carga

móvel (0,98 Hz).

As respostas, em termos de deslocamentos verticais na ligação estronca-

longarina versus tempo da estrutura original e com ADS, levando em consideração as

irregularidades tanto nos trilhos quanto nas rodas, para a velocidade de tráfego de 90

km/h, estão apresentadas na Figura VII.87. Analisando esta figura, percebe-se, também,

redução dos valores máximos de picos de deslocamento em relação à resposta da

estrutura original. Estas reduções podem ser melhores observadas nos autoespectos das

respostas temporais (Figura VII.88). Observando a figura, percebe-se que há redução

substancial em quase toda a faixa de freqüência, sendo mais acentuadas nas freqüências

associadas ao segundo modo de vibração (12,94 Hz) por flexão vertical (cerca de 60%)

e naquela associada a um modo de vibração vertical com veículos sobre a ponte (19,53

Hz), com aproximadamente 40% de redução. Estes percentuais de redução são

semelhantes aos obtidos das respostas com irregularidades apenas nos trilhos, porém,

menores em comparação com a resposta da estrutura com atenuadores viscoelásticos.

170

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)

Original ADS


da estrutura original e com ADS - irregularidades apenas nos trilhos.

19.53

12.9411.96

8.79

0.98

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)

Original ADS

Figura VII.86 – Autoespectro do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina da

estrutura original e com ADS– irregularidades apenas nos trilhos.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)

Original ADS

Figura VII.87 – Variação do deslocamento vertical na ligação estronca-lonfarina x tempo

da estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

171

8.79

11.96

12.94

19.53

0.98

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)

Original ADS

Figura VII.88 – Autoespectro do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina x

tempo da estrutura original e com ADS – irregularidades nos trilhos e nas rodas.

A Figura VII.89 apresenta as respostas em termos da variação dos

deslocamentos verticais versus tempo no meio do vão para estrutura original e com

mecanismos de atenuação do tipo ADS, devido à ação dinâmica da passagem de uma

composição ferroviária trafegando a 90 km/h, considerando irregularidades geométricas

apenas nas trilhos. Observa-se, nesta figura, que há uma pequena redução no valor

máximo da resposta da estrutura com ADS. Já as reduções de amplitude de vibração, de

aproximadamente 57%, observadas nos autoespectros de respostas (Figura VII.90),

ocorrem, praticamente, nas freqüências de resposta da estrutura associadas ao segundo

modo de vibração (12,94 Hz) por flexão vertical, valor este próximo daquele observado

na ligação estronca-longarina.

A Figura VII.91 apresenta as respostas da estrutura em termos da variação dos

deslocamentos verticais versus tempo no meio do vão, considerando as irregularidades

nos trilhos e nas rodas. Nota-se, nesta figura, uma redução das amplitudes de resposta

da estrutura com ADS, em comparação com a estrutura original, no entanto, esta

redução é mais evidente quando observada no domínio da freqüência. A Figura VII.92

apresenta os autoepectros das respostas temporais onde pode-se observar que na

freqüência associada ao segundo modo de vibração por flexão vertical da estrutura

(12,94 Hz) a redução das amplitudes alcançada é de cerca de 57%.

172

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)

Original ADS


original e com ADS - irregularidades apenas nos trilhos.

12.9411.96

8.79

0.98

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)

Original ADS


original e com ADS – irregularidades apenas nos trilhos.

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Des

loca

men

to (m

m)

Original ADS


original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

173

8.79

11.9612.94

0.98

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectro

(mm

)

Original ADS


original e com ADS – irregularidades nos trilhos e nas rodas.

VII.6.2.2 Respostas em termos dos esforços seccionais da estrutura com ADS.

A Figura VII.93 apresenta a resposta dinâmica em termos da variação do

momento fletor (Mxz) versus tempo na ligação rígido-soldada, para estrutura original e

com ADS, para uma velocidade de passagem da composição ferroviária de 90 km/h e

considerando irregularidades tanto nos trilhos quanto nas rodas. Observando a figura

percebe-se que, em relação aos picos máximos, praticamente não se observa redução;

porém, se for levado em conta somente os valores de pico, nota-se uma pequena

redução, em média, de cerca de 5% das amplitudes de resposta dinâmica da estrutura

com ADS. A redução, em termos de amplitudes de vibração pode ser observada nos

autoespectros, apresentados na Figura VII.94. Nesta Figura se observa que nas

freqüências associadas ao segundo modo de vibração (12,94 Hz) há uma redução de

aproximadamente 63% e para freqüência de 19,35 Hz, 43%.

Para os esforços em termos do momento fletor na posição referente ao meio do

vão, a redução das amplitudes de resposta alcançada pela estrutura com ADS, em

termos dos picos do momento fletor é de aproximadamente 6%, em média, para a

resposta temporal, apresentada na Figura VII.95. Contudo, observando os autoespectros

das respostas (Figura VII.96), percebe-se que essa redução alcança cerca de 70% na

freqüência de 12,94 Hz e aproximadamente 13% na freqüência em torno de 25 Hz.

174

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

3000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Mom

ento

Fle

tor (

kN.m

)

Original ADS

Figura VII.93 – Variação do momento fletor na ligação estronca-longarina x tempo da

estrutura original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

0.98

8.79

11.96 12.9419.53

0

10

20

30

40

50

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectr

o M

_fle

tor (

kN.m

)

Original ADS

Figura VII.94 – Autoepectro do momento fletor na ligação estronca-longarina da


-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

6000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Mom

ento

Fle

tor (

kN.m

)

Original ADS

Figura VII.95 – Variação do momento fletor no meio do vão x tempo da estrutura original

e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

175

24.90

12.9411.96

8.79

0.98

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectr

o M

_fle

tor (

kN.m

)

Original ADS

Figura VII.96 – Autoepectro do momento fletor no meio do vão da estrutura original e

com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

A Figura VII.97 apresenta as respostas em termos da variação do esforço normal

na ligação estronca-longarina da estrutura sem e com ADS para velocidade de tráfego

de 90 km/h. Observa-se, nesta figura, uma redução da resposta dinâmica em cerca de

8% dos valores de picos. Entretanto, nos autoespectros dessas respostas (Figura VII.98),

percebe-se uma redução de cerca de 56% nas amplitudes de vibração na freqüência de

12,94 Hz e 32% na freqüência de 19,53 Hz.

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

3000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Esfo

rço

Nor

mal

(kN

)

Original ADS

Figura VII.97 – Variação do esforço normal na ligação estronca-longarina x tempo da


176

0.98

8.79

11.96

12.9419.53

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectr

o Es

f_N

orm

al (k

N)

Original ADS

Figura VII.98 – Autoepectro do esforço normal na ligação estronca-longarina da estrutura

original e com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

VII.6.2.3 Respostas em termos das reações de apoio da estrutura com ADS.

A Figura VII.99 apresenta as respostas em termos da resultante da reação de

apoio (nó 09) da estrutura original e com ADS para o tráfego da composição ferroviária

com 90 km/h e irregularidades geométricas nos trilhos e nas rodas. Observa-se que,

praticamente, não há redução dos valores de picos das resultantes. A redução em termos

de amplitude de vibração, porém, pode ser observada nos autoespectros (Figura

VII.100) onde se vê uma redução de cerca de 50% para a freqüência de 12,94 Hz e 40%

na freqüência de 19,35 Hz.

As Figuras VII.101 e VII.102 apresentam, respectivamente, as respostas em

termos da resultante da reação de apoio (nó 384) versus tempo e os autoespectros de

freqüência da estrutura original e com ADS para uma velocidade de 90 km/h da

composição ferroviária e irregularidades geométricas nos trilhos e nas rodas. Observa-se

na resposta temporal que, assim como para o nó 09, não há, praticamente, redução dos

valores de picos das resultantes. Entretanto, em termos das amplitudes de vibração,

observa-se redução nos autoespectros de aproximadamente 52% para a freqüência de

12,94 Hz e 40% para a freqüência de 19,35 Hz.

177

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Resu

ltant

e_ap

oio

(kN)

original ADS

Figura VII.99 – Resultante da reação de apoio (nó 09) x tempo da estrutura original e com

ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

0.98

8.79

11.96 12.94

19.53

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectr

o R

_apo

io (k

N)

Original ADS



-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (s)

Res

ulta

nte_

apoi

o (k

N)

original ADS

Figura VII.101 – Resultante da reação de apoio (nó 384) x tempo da estrutura original e

com ADS - irregularidades nos trilhos e nas rodas.

178

0.98

8.79

11.96

12.94

19.53

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40

Frequência (Hz)

Aut

oesp

ectr

o R

_apo

io (k

N)

Original ADS



VII.6.3 – COMPARAÇÃO DAS RESPOSTAS DA ESTRUTURA COM SISTEMAS DE

ATENUAÇÃO DE VIBRAÇÃO

Nesta seção é feita uma comparação entre as respostas da estrutura original e

com dispositivos de atenuação de vibrações, atenuadores viscoelásticos, sistema ADS e

a combinação de ambos (MVE+ADS). A Figura VII.103 apresenta a relação

(D_contr/D_orig) entre as respostas da estrutura com os diversos dispositivos de

controle e a resposta da estrutura original, calculada na ligação estronca-longarina, para

a freqüência de 12,94 Hz, que está associada ao segundo modo de vibração por flexão

vertical da estrutura. Observando a figura, percebe-se que a resposta da estrutura com o

sistema de ADS é cerca de 40% da resposta da estrutura original, considerando as

irregularidades nos trilhos e nas rodas. Para as repostas da estrutura com os atenuadores

viscoelásticos, a resposta da estrutura é cerca de 25% da estrutura original e

aproximadamente 16% se forem considerados os sistemas combinados MVE+ADS.

Para as respostas no meio do vão (Figura VII.104), percebe-se que para a estrutura com

sistema ADS as respostas são cerca de 43% da estrutura original, 30% para a estrutura

com atenuadores viscoelásticos e 20% para a estrutura com os sistemas combinados.

179

40%40%43%

25% 25% 25%

16%18%16%

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Irreg. Trilhos Irreg. Rodas Irreg. Combinada

12,94 Hz

D_c

ontr

/ D

_or

ig

ADSViscoelásticoVisco+ADS

Figura VII.103 – Relação D_contr / D_orig em termos de deslocamento na ligação

estronca-longarina da estrutura, para freqüência de 12,94 Hz, considerando os tipos de irregularidades.

43%43%

43%

30%32%35%

20%21%

23%

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0


12,94 Hz

D_c

ontr

/ D

_or

ig


Figura VII.104 – Relação D_contr / D_orig em termos do deslocamento vertical no meio

do vão da estrutura, para freqüência de 12,94 Hz, considerando os tipos de irregularidades.

A Figura VII.105 apresenta a relação entre as respostas da estrutura com os

diversos dispositivos de controle e a resposta da estrutura original, calculada na ligação

estronca-longarina, para a freqüência de 19,53 Hz, que está associada a um modo de

vibração por flexão vertical da estrutura. Percebe-se que a resposta da estrutura com

sistema ADS é cerca de 60% da resposta da estrutura original e que com atenuadores

viscoelásticos esse percentual diminui para 25%. Se forem aplicados os sistemas

combinados à estrutura, a resposta seria 21% da resposta da estrutura original.

180

57%

60% 60%

25%25%

25%

21%21%21%

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0


19,35 Hz

D_co

ntr /

D _

orig


Figura VII.105 – Relação D_contr / D_orig em termos do deslocamento vertical na ligação estronca-longarina da estrutura com os dispositivos de controle, para freqüência de 19,53

Hz, considerando os tipos de irregularidades.

Com relação aos deslocamentos calculados nas freqüências de 12,94 Hz e

19,35Hz, freqüências em que foram aplicados os sistemas de ADS, percebe-se que a

redução das respostas com atenuadores viscoelásticos são maiores que aquela para a

estrutura com sistema ADS. Porém, se forem combinados os dois dispositivos a redução

é maior ainda. Se, porém, forem considerados os valores de picos dos esforços, as

reduções são menores, tanto na ligação estronca-longarina quanto no meio do vão,

conforme mostram a Figuras VII.106 e VII.107, devido a influência de altas freqüências

excitadas pelas irregularidades nos trilhos e nas rodas.

99%99%97%

83% 84% 84%

84%84%84%

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0


M_c

ontr

/ M

_orig

ADS

Viscoelástico

Visco+ADS

Figura VII.106 – Relação M_contr / M_orig em termos do momento fletor na ligação

estronca-longarina da estrutura com os dispositivos de controle, Valores Picos, considerando os tipos de irregularidades.

181

100% 98% 98%

83%83%

89%82%

91%

82%

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0


M_c

ontr

/ M_o

rig

ADS

ViscoelásticoVisco+ADS

Figura VII.107 – Relação M_contr / M_orig em termos do momento fletor no meio do vão

da estrutura com os dispositivos de controle, Valores Picos, considerando os tipos de irregularidades.

VII.7 ESTIMATIVA DE VIDA ÚTIL À FADIGA DA ESTRUTURA

VII.7.1 – ESTRUTURA ORIGINAL

Nesta seção são apresentados os estudos relativos à estimativa de vida útil à

fadiga de uma das doze pontes ferroviárias metálicas sobre o Canal do Mangue, na

cidade do Rio de Janeiro, sob ação do tráfego de composições de passageiros, desde a

sua inauguração. Para se iniciar o estudo é necessário o conhecimento das velocidades

reais com que os trens trafegam sobre a estrutura. Para isto realizou-se, então, uma

pesquisa da velocidade.

A pesquisa de velocidade foi realizada no dia 11 de junho de 2008 das 07h40min

às 09h40min. A metodologia adotada foi a seguinte: a) posicionar-se em um local

próximo da ponte com visão de toda a estrutura; b) marcar um referencial na ponte, o

início, por exemplo; c) de posse de um cronômetro digital, marcar o tempo necessário

para uma composição passar por completa pelo referencial adotado; d) anotar o número

de carros em cada composição; e) preencher uma planilha de campo contendo as

informações necessárias para a determinação da velocidade dos trens. Seguindo-se esta

metodologia, foram coletadas as informações na planilha de campo, conforme mostra a

Tabela VII.13.

182


Nº ordem Nº vagões Tempo de passagem (s)

Sentido

01 08 12,75 Central 02 08 13,25 Central 03 08 12,50 Central 04 04 5,06 S. Cristovão . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

. 79 09 11,88 Central

A partir dos dados obtidos na pesquisa e tendo como base a Tabela II.1, que

apresenta os valores característicos dos trens urbanos utilizados na cidade do Rio de

Janeiro, como, por exemplo, o comprimento de cada composição com três e quatro

vagões, foi possível determinar a velocidade de tráfego de cada composição (Tabela

VII.14).


Nº ordem

Nº vagões

Comprimento da composição

(m)

Tempo de passagem

(s) Sentido Velocidade

(m/s) Velocidade

(km/h)

01 08 182,0 12,75 Central 14,3 51,4 02 08 182,0 13,25 Central 13,7 49,4 03 08 182,0 12,50 Central 14,6 52,4

04 04 91,0 5,06 S. Cristóvão 18,0 64,7

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. 79 09 204,75 11,88 Central 17,2 62,0

De posse do valor de todas as velocidades, construiu-se o histograma da variação

da velocidade de tráfego das composições sobre a ponte, conforme ilustra a Figura

VII.108. Observando a figura, percebe-se que os trens trafegam, principalmente, numa

faixa de velocidade de 45 km/h a 65 km/h, com 71% de probabilidade de ocorrência.

183

1.3%0.0%

1.3% 2.5%

8.9%

16.5%

22.8%20.3%

11.4%

6.3%5.1%

3.8%

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80

Velocidade (km/h)

Oco

rrên

cia

(%)

Figura VII.108 – Histograma de variação da velocidade de passagem dos trens sobre a

ponte ferroviária.

Agora, se for considerada a distribuição de velocidade somente dos trens no

sentido da estação da Central do Brasil, que no horário do pico da manhã trafegam com

sua lotação completa, tem-se o histograma apresentado na Figura VII.109. Da mesma

forma, se se considerarem apenas os trens trafegando no sentido da estação de São

Cristóvão, que no pico da manhã trafegam, praticamente, sem passageiros, tem-se o

histograma de velocidade apresentado na Figura VII.110. Na primeira figura se observa

que os trens trafegam, principalmente, numa faixa de velocidade de 40 km/h até 60

km/h, com 74% de probabilidade de ocorrência. Para os trens trafegando em direção à

estação de São Cristóvão, percebe-se que estes trafegam numa faixa maior de

velocidade que varia de 45 km/h até 80 km/h, chegando próximo da velocidade máxima

de operação que é de 90 km/h. Isto pode ser explicado pelo fato de estarem praticamente

vazios.

2.0%0.0% 0.0%

2.0%

12.0%14.0%

28.0%

20.0%

8.0%6.0% 6.0%

2.0%

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

35.0%

20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80Velocidade (km/h)

Oco

rrên

cia

(%)


ponte ferroviária, no sentido Central do Brasil.

184

0.0% 0.0%

3.4% 3.4% 3.4%

17.2%

13.8%

27.6%

10.3% 10.3%

3.4%

6.9%

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

30.0%

35.0%

20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80

Velocidade (km/h)

Oco

rrên

cia

(%)


ponte ferroviária, no sentido da estação de São Cristóvão.

Ainda como resultado da pesquisa, pode-se determinar a freqüência de

ocorrência do número de vagões que compreende as composições que trafegam sobre a

ponte, tal como mostra a Figura VII.111. Observando a figura, percebe-se que,

praticamente, a metade das composições é composta por 08 (oito) vagões.

49%

16%

27%

8%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

4 6 8 9Nº vagões

Oco

rrên

cia

Figura VII.111 – Histograma do número de vagões que compõem uma composição que

trafega sobre a estrutura da ponte.

Para se estimar a vida útil à fadiga de uma estrutura é essencial, também,

conhecer o número de ocorrência da ação num determinado período de tempo, em um

ano, por exemplo. A Figura VII.112 apresenta um histograma com valores de

passageiros transportados por dia útil por ano. Nota-se que os dados em vermelho

escuro são dados reais no período entre 1984 a 2007, apresentados pela concessionária

SUPERVIA (2008a) que tem a concessão dos transportes por trens na cidade do Rio de

185

Janeiro. Por outro lado, os dados em azul são inferidos para os anos anteriores a 1984,

chegando até 1970, ano de inauguração das pontes atuais de aço sobre o Canal do

Mangue. Por sua vez, os dados em laranja foram obtidos a partir de curva de tendência

de crescimento apresentado pela concessionária. Nota-se, ainda, que o valor de

transporte de passageiro por dia útil horizonte da concessionária é de 1500, valor este

que, seguindo a tendência de crescimento, será alcançado em 2026.

A Figura VII.112 mostra, também, uma estimativa do número de viagens diárias

realizadas para transportar o número de passageiros por dia útil. Esta estimativa está

baseada em dados reais apresentados pela SUPERVIA (2008b), tal como a realização de

248 viagens diárias para transportar 145000 passageiros por dia útil em outubro de 1998

e, a realização de 687 viagens diárias para transportar 450000 passageiros, em outubro

de 2007. Porém, de todas essas viagens diárias, a taxa de ocupação máxima dos trens

ocorre apenas em horários de picos e de acordo com o sentido da viagem. Com o

objetivo de estimar essa taxa de ocupação diária dos trens que trafegam sobre as pontes

de aço, propõe-se a seguinte variação ao longo do dia dessa taxa de ocupação,

apresentada na Figura VII.113, com base em observações feita no dia da pesquisa de

velocidade e em viagens realizadas nos trens que trafegam sobre a ponte. Observando a

figura, percebe-se que a taxa de ocupação máxima no sentido Central do Brasil se dá no

pico da manhã, devido ao grande número de passageiros que moram nas zonas norte e

oeste e nos municípios da Baixada Fluminense que utilizam os trens como meio de

transporte para chegar ao trabalho no Centro da cidade e na zona sul carioca. Situação

inversa ocorre no pico da tarde, quando todo esse contingente de passageiros retorna

para suas residências, fazendo com que a taxa de ocupação máxima seja no sentido da

estação de São Cristóvão.

Assim, para uma análise de fadiga é necessário estimar a taxa de ocupação dos

trens, pois a carga de passageiros de uma composição de 08 vagões representa

aproximadamente 26% da carga total da composição sobre a ponte. Dessa forma,

propõe-se três diferentes taxas de ocupação dos trens trafegando no sentido da Central

do Brasil (100%, 35% e 15%) e quatro taxas no sentido da Estação de São Cristóvão

(8%, 35%, 100% e 25%), apresentadas, também, na Figura VII.113.

186

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

2010

2012

2014

2016

2018

2020

2022

2024

2026

2028

2030

2032

2034

2036

2038

2040

pass

agei

ro /

dia

útil

(x 1

0³)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

Viag

nes

/ dia

útil

Dados Inferidos Dados Reais Tendência Viagens/dia Figura VII.112 – Número de passageiros transportados por dia útil e número de viagens

diárias (SUPERVIA, 2008a).

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

5:00

6:00

7:00

8:00

9:00

10:0

0

11:0

0

12:0

0

13:0

0

14:0

0

15:0

0

16:0

0

17:0

0

18:0

0

19:0

0

20:0

0

21:0

0

22:0

0

23:0

0

Taxa

de

ocup

ação

(Cen

tral)

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Taxa

de

ocup

ação

(S C

ristó

vão)

Sent. Central Sent. São Cristóvão Fad_Central Fad_S. Cristóvão Figura VII.113 – Taxa de ocupação diária dos trens em viagens no sentido Central do

Brasil e estação de São Cristóvão.

VII.7.1.1 Determinação dos ciclos de tensão

Para a contagem dos ciclos de tensões foi utilizado o método do Rainflow,

conforme descrito no Capítulo VI, seção 2.2 deste trabalho. As tensões foram tomadas

como sendo:

z

xy

y

zxx

IyM

IzM

AN

±±=Δσ (Eq. VII.4)

Saturação proposto pela concessionária

187

onde Nx é o esforço normal, Mzx é o momento fletor no plano vertical, Mxy é o momento

fletor no plano horizontal (lateral), z é a distância do centro geométrico da seção (linha

neutra) até a borda da seção, na direção global Z (vertical) e y é a distância do centro

geométrico da seção até a borda, na direção global Y (transversal). A tabela VII.1

apresenta as características geométricas da seções da estrutura. Para as vigas longarinas,

tanto no meio do vão quanto sobre a ligação estronca-longarina, tem-se a seção

denominada SV1, com os seguintes valores:

mzmy

mI

mImA

z

y

325,0415,0

1034,6

1030,5062,0

43

43

2

==

×=

×=

=

−

−

(Eq. VII.5)

A Figura VII.114 apresenta a seção transversal da viga tubular metálica

(longarina) com indicação e numeração das soldas de filete longitudinal utilizadas. As

tensões geradas nessas soldas, no meio do vão, são dadas por:

z

xy

y

zxx

z

xy

y

zxx

z

xy

y

zxx

z

xy

y

zxx

IyM

IzM

AN

IyM

IzM

AN

IyM

IzM

AN

IyM

IzM

AN

++=Δ

−+=Δ

−−=Δ

+−=Δ

4

3

2

1

σ

σ

σ

σ

(Eq. VII.6)

As Figuras VII.115 a VII.118 apresentam as variações de tensão nos quatro

filetes de soldas da seção tubular no meio do vão devido à ação da passagem de uma

composição ferroviária composta por oito vagões trafegando com velocidade constante

de 55 km/h. A contagem dos ciclos foi realiza pelo método do Rainflow e é apresentada

na Figura VII.119, onde se percebe que cerca de 87% dos ciclos estão entre 0 MPa e 5

MPa e que cerca de 10% estão entre 5 MPa e 10 MPa. Procedimento semelhante de

contagem dos ciclos de tensão foi realizado para as velocidades entre 45 km/h e 80

km/h, variando-se de 5 km/h.

188

-

-

+

+

-

-

830

650

21

34

Figura VII.114 – Seção transversal, no meio do vão, da viga tubular metálica com

indicação de solda .

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17Tempo (s)

Tens

ão (M

Pa)

Figura VII.115 – Variação de tensão (∆σ1) na solda superior esquerda da seção tubular

v = 55 km/h.

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17Tempo (s)

Tens

ão (M

Pa)

Figura VII.116 – Variação de tensão (∆σ2) na solda superior direita da seção tubular

v = 55 km/h

189

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17Tempo (s)

Tens

ão (M

Pa)

Figura VII.117 – Variação de tensão (∆σ3) na solda inferior direita da seção tubular

v = 55 km/h.

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17Tempo (s)

Tens

ão (M

Pa)

Figura VII.118 – Variação de tensão (∆σ4) na solda inferior esquerda da seção tubular

v = 55 km/h.

0

5

10

15

20

25

30

Tens

ão (M

Pa)

1169.5180.5402251

Nº ciclos

∆σ1

0

5

10

15

20

25

30

Tens

ão (M

Pa)

1180.5172442450.5

Nº ciclos

∆σ2

0

5

10

15

20

25

Tens

ão (M

Pa)

1307.5300.531.58.54

Nº ciclos

∆σ3

0

5

10

15

20

25

Tens

ão (M

Pa)

1309290.530.55.53

Nº ciclos

∆σ4

Figura VII.119 – Contagem de ciclos de tensão no meio do vão para velocidade de tráfego

de 55 km/h.

190

VII.7.1.2 Cálculo dos danos

Para o cálculo dos danos acumulados nos filetes de solda da seção transversal

foram utilizadas as curvas T-N Tensão versus Número de ciclos necessários para se

iniciar uma fratura por fadiga, apresentada por GURNEY (1976) no The Welding Institute

Research Bulletin – WIRB e MADDOX (2000). É oportuno ressaltar que estas curvas

serviram de base para a norma inglesa (BS5400-10), como pode ser observado na

relação de organizações que cooperaram para a mesma. As curvas das diversas normas

encontram correspondência umas nas outras.

Para as tensões na parte superior da seção no meio do vão (∆σ2) e na parte

inferior da mesma, considerando a ligação estronca-longarina (∆σ3), onde há,

basicamente, esforços de compressão, ou seja, não há inversão nos valores das tensões,

porém causando cisalhamento entre a mesa da viga e alma, será utilizada a curva D

apresentada por GURNEY (1976) no WIRB que são destinadas a ligações onde os

esforços atuam na direção longitudinal do filete de solda. Para a solda localizada na

parte inferior da seção no meio do vão (Δσ3) e na parte superior da mesma na ligação

estronca-longarina (Δσ2), onde há inversão dos valores das tensões, gerando tensão

cisalhante ainda maior entre a alma e a mesa da viga, será utilizada a curva F. A Figura

VII.120 ilustra os detalhes das ligações soldadas e a Figura VII.121 apresenta as curvas

tensão versus número de ciclos das curvas apresentadas por GURNEY (1976) no WIRB.

Os parâmetros dessas curvas (Equação VI.3’) estão apresentados na Tabela VII.15. É

interessante ressaltar que para a curva F acha-se sua correspondente na AASHTO como

a curva C e classe 100 na prEN1993-1-9. A curva D acha sua correspondência na B da

AASHTO.

Figura VII.120 – Detalhes das ligações soldadas características para curvas D e F

apresentadas por Gurney (1976).

Curva D Curva F

191

Figura VII.121 –Curvas tensão x número de ciclos necessário para iniciar o processo de

fadiga apresentadas por GURNEY (1976).

σσ Δ−=Δ+−= logloglogloglog mamdsaN (Eq. VI.3’)

Tabela VII.15 – Parâmetros utilizados nas curva D e F do WIRB.

Curva a log 10 a m d s

D 3,988x1012 12,6007 -3,0 1 0,4824

F 1,76x1012 12,2370 -3,0 1 0,2183

As Figuras VII.122 e VII.123 apresentam, respectivamente, na ligação estronca-

longarina e no meio do vão, os acúmulos de danos calculados (segundo a equação VI.1)

nos filetes de soldas onde não há inversão dos valores da variação de tensão da seção

tubular da longarina, utilizando a curva D, devido a passagem de uma composição

ferroviária com 08 vagões trafegando sobre a estrutura da ponte em diferentes

velocidades (45 km/h a 80 km/h) com cinco diferentes taxas de ocupação desta

composição (100%, 35%, 25%, 15% e 8%).

192

0.0E+00

5.0E-08

1.0E-07

1.5E-07

2.0E-07

2.5E-07

3.0E-07

3.5E-07

45 km/h 50 km/h 55 km/h 60 km/h 65 km/h 70 km/h 75 km/h 80 km/h

Dan

o

8%15%25%35%100%

Figura VII.122 –Danos nos filetes de solda onde não há inversão dos valores de tensão,

calculados na ligação estronca-longarina.

0.0E+00

5.0E-08

1.0E-07

1.5E-07

2.0E-07

2.5E-07

3.0E-07

3.5E-07


Dan

o

8%15%25%35%100%

Figura VII.123 –Danos nos filetes de solda onde não há inversão dos valores de tensão,

calculados no meio do vão da estrutura.

As Figuras VII.124 e VII.125 apresentam, respectivamente, na ligação estronca-

longarina e no meio do vão, os danos calculados nos filetes de soldas onde há inversão

dos valores da variação de tensão da seção tubular da longarina, utilizando a curva F,

devido a passagem de uma composição ferroviária com 08 vagões trafegando sobre a

estrutura da ponte em diferentes velocidades (45 km/h a 80 km/h) com cinco diferentes

taxa de ocupação desta composição (100%, 35%, 25%, 15% e 8%).

193

0.0E+00

1.0E-07

2.0E-07

3.0E-07

4.0E-07

5.0E-07

6.0E-07

7.0E-07

8.0E-07

9.0E-07

1.0E-06


Dan

o

8%15%25%35%100%

Figura VII.124 –Danos nos filetes de solda onde há inversão dos valores de tensão,

calculados na ligação estronca-longarina.

0.0E+00

1.0E-07

2.0E-07

3.0E-07

4.0E-07

5.0E-07

6.0E-07

7.0E-07


Dan

o

8%15%25%35%100%

Figura VII.125 –Danos nos filetes de solda onde há inversão dos valores de tensão,

calculados no meio do vão.

VII.7.1.3 Cálculo da vida útil à fadiga

Para determinação dos danos acumulados da estrutura soldada é necessário se

conhecer o número de ocorrências do fenômeno cíclico. Desta forma, observando a

VII.112 percebe-se uma relação entre o número de pessoas transportadas por dia útil e o

número de viagens. Entretanto, essas viagens são todas as saídas dos trens nos diversos

final/início de linha em direção à estação da Central do Brasil ou em direção a uma

estação intermediária, tal como a estação de Deodoro. Contudo, para a estimativa de

vida útil à fadiga será considerado que essas viagens partam da ou tenham seu destino

final na estação da Central do Brasil, ou seja, obrigatoriamente terão que passar pelas

pontes metálicas sobre o Canal do Mangue. Porém, todo esse tráfego de trens é dividido

194

pelas quatro linhas sobre as pontes ferroviárias e duas linhas sobre pontes de concreto

armado. A Figura VII.126 apresenta a variação do número de viagens por ano para cada

ponte ferroviária. Assim, sabendo-se que os intervalos entre uma partida e outra dos

trens são menores nos horários de picos e mais espaçados nos horários entre picos e,

ainda, admitindo-se, com base em um conjunto de dados disponíveis (SUPERVIA 2008b)

que as viagens sejam realizadas segundo uma distribuição apresentada na Figura

VII.127, tem-se condição de estimar o número de vezes que uma composição trafega

sobre a ponte metálica em foco e também a sua taxa de ocupação (Figura VII.128).

Por conseguinte, com todas essas informações e considerando que nos finais de

semana haja uma redução do número de viagens, por exemplo, em 40% nos sábados e

60% nos domingos, e na taxa de ocupação, considerando que a ocupação média seja de

35%, é possível calcular o dano acumulado desde 1970, ano em que foram inauguradas

as pontes, até julho de 2008 e, por extensão, até dezembro de 2008, considerando uma

composição típica de 08 vagões. Assim, o cálculo do dano pode ser feito através da

Equação VI.1, levando-se em contas todas essas porcentagens para os distintos

parâmetros, conforme apresenta a Figura VII.129.

∑ ∑= =

− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

m

1j

n

1i

i

NnD

i20081970 (Eq. VII.7)

onde ∑=

n

i 1

é o somatório de danos levando-se em conta a taxa de ocupação do veículo

e∑=

m

1j, os danos levando-se em consideração a velocidade de tráfego.

0.0.E+00

2.0.E+04

4.0.E+04

6.0.E+04

8.0.E+04

1.0.E+05

1.2.E+05

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

Viag

ens/

ano

Figura VII.126 – Estimativa do número de viagens por ano para cada ponte ferroviária de

1970 a 2008.

195

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

6:00

7:00

8:00

9:00

10:0

0

11:0

0

12:0

0

13:0

0

14:0

0

15:0

0

16:0

0

17:0

0

18:0

0

19:0

0

20:0

0

21:0

0

22:0

0

23:0

0

Oco

rrên

cia

Sent. CentralSent. S. Cristóvão

Figura VII.127 –Distribuição da freqüência de passagem de uma composição sobre a

ponte metálica em dias úteis.

40.0%

33.0%

10.0%11.5%

5.5%

0%

5%10%

15%

20%25%

30%

35%40%

45%

100% 35% 25% 15% 8%Taxa de ocupação

Oco

rrên

cia

Figura VII.128 –Distribuição da taxa de ocupação de uma composição sobre a ponte

metálica em dias úteis.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

∆σ2 ∆σ3

Ligação estronca-longarina

Dan

o_ac

umul

ado

(197

0 - 2

008)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

∆σ2 ∆σ3

Meio do vão

Dan

o_ac

umul

ado

(197

0 - 2

008)

Figura VII.129 –Danos acumulados de 1970 até 2008.

Porém, como indica a Figura VII.111, somente cerca de 49% das composições

que trafegam sobre as pontes são compostas por oito vagões, sendo as demais

compostas por quatro, seis e até nove vagões. Assim, a fim de se determinar o dano

aproximado, faz-se uma redução linear, de acordo com esta distribuição, e se obtém o

dano acumulado nos filetes de solda da seção transversal da viga tubular, tanto no meio

do vão quanto sobre a ligação estronca-longrina, conforme apresenta a Figura VII.130.

196

0.60

0.24

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

∆σ2 ∆σ3Ligação estronca-longarina

Dan

o_ac

umul

ado

(197

0 - 2

008)

0.28

0.47

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

∆σ2 ∆σ3Meio do vão

Dan

o_ac

umul

ado

(197

0 - 2

008)

Figura VII.130 –Danos acumulados (1970 até 2008) corrigido de acordo com o número de

vagões de uma composição.

VII.7.1.4 Estimativa da sobrevida útil à fadiga da estrutura

Observando a Figura VII.130, percebe-se que o dano acumulado de 1970 até

2008 está em cerca de 60% para o cordão de solda superior da seção sobre a ligação

estronca-logarina, ou seja, a junta crítica. Assim, é realizado, com a estimativa de

número de viagens por ano por dia útil para cada ponte, Figura VIII.126, um cálculo de

quando se dará a fratura no cordão de solda por fadiga, ou seja, a sobrevida à fadiga da

estrutura, considerando a mesma probabilidade de ocorrência de velocidade e taxa de

ocupação. O cálculo da sobrevida é feito levando em consideração o tempo (anos) em

que o somatório dos danos, considerando aqueles calculados desde 1970 até 2008, seria

igual a 1,0.

0,1=+= −− ?)(200920081970total DDD (Eq. VII.8)

onde D(2009-?) representa os danos causados à estrutura a partir de 2009 até à fratura por

fadiga.

A Figura VIII.131 apresenta a variação do número de viagens/ano por dia útil a

partir de 2008 até 2050. Observando a figura, percebe-se que o número de viagens

cresce até alcançar um patamar a partir do ano 2027, ano este que, segundo estimativa

da concessionária que administra as linhas, alcançaria a saturação.

A Figura VII.132 apresenta a variação do dano acumulado nesta junta crítica

soldada deste 1970 até 2040. Percebe-se que o ano em que poderia ocorrer a fratura do

cordão de solda por fadiga seria 2029.

197

0.0.E+00

2.0.E+04

4.0.E+04

6.0.E+04

8.0.E+04

1.0.E+05

1.2.E+05

2008

2010

2012

2014

2016

2018

2020

2022

2024

2026

2028

2030

2032

2034

2036

2038

2040

2042

2044

2046

2048

2050

Viag

ens/

ano

Figura VII.131 – Estimativa do número de viagens por ano para cada ponte ferroviária de

2008 a 2050.

1.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1970

1974

1978

1982

1986

1990

1994

1998

2002

2006

2010

2014

2018

2022

2026

2030

2034

2038

Dan

os a

cum

ulad

os

Figura VII.132 –Danos acumulados no cordão de solda até a ruptura por fadiga.

Como pode ser observado na Figura VII.132 o tempo de vida útil da estrutura

seria de 59 anos. Porém, esta estimativa é feita considerando a estrutura íntegra, sem

defeitos. Contudo, este cenário é pouco provável de ocorrer, pois em juntas metálicas

soldadas pode ocorrer tensões residuais nos cordões de solda, falha na solda, defeitos de

fabricação e outros elementos que justificariam a adoção de um fator de concentração

de tensão para esta junta soldada. Além disso, esta estrutura ao que parece não deve

receber nenhum tipo de vistoria e possíveis correções e em 1996 apresentava um estado

de deterioração de alguns elementos estruturais, conforme pode ser observado nas

Figuras VII.10. Então, adotando-se um fator de concentração de tensão de 1,1 a partir

do primeiro ano e 1,15 a partir do 10º ano em operação tem-se, assim, a seguinte

variação de danos apresentada na Figura VII.133. Observando a figura, percebe-se que

o ano em que provavelmente ocorreria a ruptura do cordão de solda é, agora, em 2024,

ou seja, cinco anos a menos e teria uma sobrevida de aproximadamente de 16 anos.

198

1.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1970

1974

1978

1982

1986

1990

1994

1998

2002

2006

2010

2014

2018

2022

2026

2030

2034

2038

Dan

os a

cum

ulad

os

Figura VII.133 –Danos acumulados no cordão de solda, considerando concentração de

tensão, até a ruptura por fadiga.

VII.7.2 – ESTRUTURA COM SISTEMAS DE CONTROLE

VII.7.2.1 Estimativa de sobrevida útil à fadiga para estrutura com

Atenuadores Viscoelásticos

Para a estrutura com atenuadores viscoelásticos procedeu-se de forma

semelhante ao cálculo para a determinação da sobrevida da estrutura à fadiga a partir de

2008. Os danos calculados para a passagem de uma composição ferroviária composta

por 08 vagões para a estrutura com este dispositivo de atenuação, considerando a junta

crítica, estão apresentados na Figura VII.134. Observando esta figura e comparando-a

com a Figura VII.124, percebe-se que o dano causado pela ação da passagem de uma

composição ferroviária é cerca 40% do dano causado na estrutura sem dispositivo de

controle. Assim, com esses novos valores dos danos, pode-se calcular, considerando a

mesma probabilidade de ocorrência das viagens/ano, a sobrevida da estrutura à fadiga.

A Figura VII.135 mostra o dano acumulado para a estrutura com sistema de atenuação

viscoelástico. Nota-se que este dano chegaria em 1,0 no ano de 2041, ou seja, teria uma

sobrevida de aproximadamente 33 anos, o que representa duas vezes mais que a

estrutura sem dispositivo de controle.

199

0.0E+00

5.0E-08

1.0E-07

1.5E-07

2.0E-07

2.5E-07

3.0E-07

3.5E-07

4.0E-07


Dan

o

8%15%25%35%100%

Figura VII.134 –Danos calculados na ligação estronca-longarina da estrutura com

atenuadores viscoelásticos para diversas velocidade de passagem .

1.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1970

1974

1978

1982

1986

1990

1994

1998

2002

2006

2010

2014

2018

2022

2026

2030

2034

2038

2042

2046

2050

Dan

os a

cum

ulad

os

Figura VII.135 –Danos acumulados no cordão de solda até a ruptura por fadiga para

estrutura com atenuadores viscoelástico.

VII.7.2.2 Estimativa de sobrevida útil à fadiga para estrutura com sistema de

ADS

Para a estrutura com o sistema de atenuação do tipo ADS, os danos acumulados

calculados devido à passagem de uma composição ferroviária composta por 08 vagões,

considerando a junta crítica, estão apresentados na Figura VII.136 e representam cerca

de 90% do dano causado na estrutura sem dispositivo de controle (Figura VII.124).

Assim, para esses valores de danos, pode-se calcular, considerando a mesma

probabilidade de ocorrência das viagens/ano, a sobrevida da estrutura à fadiga. A Figura

VII.137 mostra o dano acumulado na estrutura com sistema de atenuação do tipo ADS

acoplado. Nota-se que este chegaria em 1,0, ou seja, iniciaria a fratura por fadiga, no

200

ano de 2028, o que daria uma sobrevida de aproximadamente 19 anos, 4 anos mais que

a estrutura sem dispositivo de controle.

0.0E+00

1.0E-07

2.0E-07

3.0E-07

4.0E-07

5.0E-07

6.0E-07

7.0E-07

8.0E-07

9.0E-07

1.0E-06


Dan

o

8%15%25%35%100%


atenuadores do tipo ADS para diversas velocidade de passagem .

1.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

1970

1974

1978

1982

1986

1990

1994

1998

2002

2006

2010

2014

2018

2022

2026

2030

2034

2038

2042

2046

2050

Dan

os a

cum

ulad

os


estrutura com atenuadores do tipo ADS.

VII.7.2.3 Estimativa de sobrevida útil à fadiga para estrutura com

Atenuadores Viscoelásticos + ADS

Para a estrutura com atenuadores viscoelásticos e mais os sistemas de ADS, os

danos acumulados calculados devido à passagem de uma composição ferroviária

composta por 08 vagões, considerando a junta crítica, estão apresentados na Figura

VII.138. Observando esta figura, percebe-se que este dano representa cerca de 35%

daquele causado na estrutura sem dispositivo de controle. Assim, com esses valores de

danos, calcula-se, considerando a mesma probabilidade de ocorrência das viagens/ano, a

201

sobrevida da estrutura à fadiga. A Figura VII.139 mostra o dano acumulado para a

estrutura com sistema de atenuação viscoelástico + ADS. Nota-se que o dano

acumulado chegaria em 1,0 no ano de 2044, ou seja, teria uma sobrevida de

aproximadamente 36 anos, o que representa 2,1 vezes mais que a estrutura sem

dispositivo de controle.

0.0E+00

5.0E-08

1.0E-07

1.5E-07

2.0E-07

2.5E-07

3.0E-07

3.5E-07


Dan

o

8%15%25%35%100%


atenuadores viscoelásticos + ADS para diversas velocidade de passagem .

1.0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1970

1974

1978

1982

1986

1990

1994

1998

2002

2006

2010

2014

2018

2022

2026

2030

2034

2038

2042

2046

2050

Dano

s ac

umul

ados


estrutura com atenuadores viscoelástico + ADS.

VII.7.2.4 Comparação dos resultados

Como pôde ser observado, os resultados com os atenuadores viscoelásticos

foram muito superiores àqueles apresentados para com sistema ADS. Se forem

utilizados os sistemas combinados, o desempenho seria melhor ainda.

202

Uma sobrevida de 33 anos da estrutura com atenuadores viscoelásticos é cerca

de duas vezes mais se não fosse aplicado nenhum sistema de controle à estrutura. Porém

essa sobre vidapoderia ser ainda maior, se o sistema fosse utilizado quando da

construção da ponte. A Figura VII.139 apresenta o percentual de sobrevida da estrutura

com os diversos dispositivos de controle. Observa-se a grande diferença de sobrevida

entre o sistema viscoelástico e o ADS. Uma sobrevida baixa para a estrutura com

sistema ADS pode ser explicada devido ao fato de que este foi aplicado apenas para

duas freqüências e, pelos impactos causados pelas irregularidades, a resposta da

estrutura é composta, também, por freqüências altas, acima de 100 Hz. Isto pode ter

prejudicado significativamente os resultados das respostas em termos de esforços

seccionais para a estrutura com sistema de ADS.

106%125%

25%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

140%

ads visco visco+ads

Sobr

evid

a (%

)

Figura VII.139 –Percentual de sobrevida da estrutura com os diversos sistemas de

controle.

A Figura VII.140 apresenta a variação com a velocidade, de 45 km/h até 80

km/h, em termos de danos, para uma taxa de ocupação de 100%, das respostas da

estrutura controlada com os diversos sistemas de atenuação, divididas pela resposta da

estrutura original (sem controle). Observando a figura, percebe-se que para a resposta da

estrutura com sistema do tipo ADS, a relação é alta, com média de 96%, indicando

pouca redução, o que comprova o pequeno valor de sobrevida da estrutura. Porém, para

as respostas da estrutura com atenuadores viscoelásticos, esta relação é da ordem de

47%, ou seja, apresenta uma redução em mais de 50% nas resposta, o que pode ser

observado pelo valor de sobre vida da estrutura, em torno de 33 anos. Redução

semelhante pode ser observada para o caso em que se combina o sistema ADS com os

atenuadores viscoelásticos, em cerca de 60%.

203

92%100%

91%94%99%95%96% 100%

41%44%

35%

48%48%45%

60%

51%

35%38%

30%

42%43%40%45%

55%

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Dan

os_e

st_c

ont /

Dan

os_e

st_o

rig



estrutura com atenuadores viscoelástico + ADS.

VII.8 RESUMO E ANÁLISE DOS RESULTADOS

Após a análise dos resultados apresentados, pode-se resumi-los da seguinte

maneira:

1) nas análises dos resultados numéricos obtidos percebeu-se que há uma grande

transmissibilidade das ações provenientes do tráfego de uma composição

ferroviária sobre a ponte em estudo devido os dormentes estarem apoiados

diretamente sobre as vigas metálicas. Esta transmissibilidade acarreta grande

variação de tensões nas ligações soldadas da estrutura de aço, produzindo um

grande acúmulo de danos e comprometendo a vida útil da estrutura em serviço;

2) observou-se, também, que esta transmissibilidade depende da velocidade de

passagem da composição ferroviária sobre a ponte. Para velocidades até 50 km/h

a transmissibilidade parece ser pequena para a estrutura analisada, aumentando a

medida que a velocidade de tráfego cresce até 90 km/h, que é a máxima

velocidade permitida nas vias férreas brasileiras;

3) as respostas da estrutura com os dispositivos viscoelásticos apresentaram

redução das amplitudes de deslocamentos de até 75%, na freqüência do segundo

modo de vibração por flexão vertical (12,94 Hz), dominante no meio do vão, e

de 75% na freqüência de 19,35 Hz, associada a um modo de vibração também

por flexão vertical, dominante na ligação estronca-longarina;

204

4) As respostas da estrutura com o sistema de ADS também apresentaram reduções

satisfatórias, alcançando uma redução em termos de deslocamentos de 60% na

freqüência associada ao segundo modo de vibração por flexão vertical (12,94

Hz), dominante no meio do vão, e 57% na freqüência de 19,35 Hz; dominante na

ligação estronca-longarina;

5) quando aplicados simultaneamente os dois sistemas de atenuação de vibração,

ADS - atenuadores dinâmicos sincronizados com os dispositivos AVE –

atenuadores viscoelásticos, os resultados mostraram-se superiores aos casos

isolados, alcançando uma redução de cerca de 85% nas amplitudes de resposta

para o segundo modo dominante de vibração por flexão vertical (12,94 Hz) e em

cerca de 80% nas amplitudes de outro modo de flexão vertical na freqüência de

19,35 Hz;

6) com relação aos esforços seccionais, as reduções foram um pouco menores que

aquelas apresentadas para os deslocamentos. Observa-se que o sistema de

atenuadores viscoelásticos – AVE produziu resultados melhores que aqueles

com o sistema de ADS. Isto porque os AVE´s funcionam diretamente na redução

da transmissão das forças dinâmicas sobre a estrutura;

7) a estrutura da ponte metálica analisada, com os apoios sem desgastes

funcionando normalmente em serviço e sem pontos de forte concentração de

tensões teria, considerando a distribuição de velocidade atual, fratura iniciadas

por fadiga no cordão de solda da ligação crítica em torno do ano 2029, isto é,

uma sobrevida de 20 anos. Porém, considerados fatores de concentração de

tensão entre 1,1 e 1,15, o que se justificados pelo tipo de solda e pela falta de

manutenção, entre outros motivos, a estrutura teria fraturas iniciadas por fadiga

em 2024, ou seja, uma sobrevida de apenas 16 anos, a partir de 2008;

8) a instalação dos sistemas de controle de vibração aumenta sobremaneira a

sobrevida à fadiga das estruturas novas e, particularmente, daquelas já projetadas

com controladores/atenuadores dinâmicos. Mas, para a ponte de aço em foco, os

danos acumulados nas ligações soldadas críticas alcançam níveis altos, cerca de

65%. Se fosse instalado em 2008 o sistema de atenuadores viscoelásticos, a

estrutura teria uma sobrevida útil à fadiga de 33 anos, o que representa 100% a

mais em relação à estrutura sem controle. Se fosse aplicado o sistema de ADS, a

205

sobrevida seria pequena, 4 anos, o que representa um aumento de 25% em

relação à estrutura sem controle e no estado em que se encontra atualmente;

9) o desempenho do sistema de ADS se mostrou satisfatório quando foram

analisadas as respostas em termos de deslocamentos e acelerações. Porém, a

estimativa de vida à fadiga baseada nas variações de tensões nas ligações

soldadas, levou a uma sobrevida muito menor do que aquela obtida com os

atenuadores viscoelásticos. É de se ressaltar, aqui, que os ADS são indicados

para atenuação de vibrações oriundas de carregamentos harmônicos e, também,

de natureza aleatória, mas não o são para carregamentos produzidos, na

passagem dos trens sobre a estrutura, por impactos devidos às irregularidades

geométricas inerentes aos desgastes e características de dureza dos aços dos

trilhos e das rodas;

10) por fim, conclui-se pela instalação do sistema de atenuadores viscoelásticos

para solução do problema de fadiga, por vezes precoce, em pontes ferroviárias

de aço com ligações soldadas, nas quais os dormentes de madeiras são apoiados

diretamente sobre as longarinas. Este sistema estrutural é muito comum não só

aqui no Brasil, mas também em vários outros países, em face da sua praticidade,

facilidades projetiva e construtiva e menor custo. No entanto, se for levada em

consideração a durabilidade e a redução do risco de falha severa que

compromete a estabilidade estrutural, estas estruturas poderão ser bastante

melhoradas, talvez com apenas um pequeno acréscimo de custo de fabricação.

206

Capítulo VIII

CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTURAOS

VIII.1 CONCLUSÕES Os resultados obtidos neste trabalho de pesquisa permitem que sejam

apresentadas algumas conclusões, tais como:

a) o carregamento dos trens para transporte de carga e/ou passageiro descrito por

um modelo matemático tridimensional massa-mola-amortecedor com nove graus

de liberdade parece conduzir a uma modelagem numérico-computacional

satisfatória. A modelagem das massas dos vagões e truques separadamente, além

de permitir o uso de diferentes coeficientes de rigidez e de amortecimento para

as suspensões primária e secundária e, ainda, levar em consideração os

movimentos de translação vertical e rotação em torno dos eixos longitudinal e

transversal dos carros, tornam este modelo muito útil para análise de pontes

ferroviárias, tanto para novos projetos quanto em verificação de estruturas

existentes;

b) a ferramenta numérico-computacional desenvolvida especialmente para a análise

dinâmica de pontes ferroviárias, levando em conta o fenômeno de interação

trem-trilhos-dormentes-lastro-estrutura de aço, parece produzir resultados

práticos relevantes, tanto para respostas em termos de deslocamentos e

acelerações em qualquer ponto da estrutura quanto para esforços seccionais nos

componentes da estrutura;

207

e) fortes fatores de influência nas respostas dinâmicas da estrutura se deve às

irregularidades geométricas nos trilhos e nas rodas. Percebeu-se que as

irregularidades nas rodas são mais prejudiciais à estrutura devido aos impactos

causados pelas “mossas” das rodas sobre os trilhos, resultando em grandes picos

de deslocamentos e de esforços seccionais na estrutura;

f) como alternativa para reduzir as amplitudes de deslocamentos e tensões oriundas

das variadas ações dinâmicas sobre a estrutura, são, aqui, propostos e avaliados

os desempenhos de dois diferentes sistemas de atenuação dinâmica: um

utilizando dispositivos compostos por material viscoelástico substituindo os

tradicionais dormentes de madeira e outro, um sistema de ADS - atenuadores

dinâmicos sintonizados, compostos por dispositivos mecânicos massa-mola-

amortecedor acoplados à estrutura em pontos estratégicos.

VIII.2 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Os resultados obtidos pela ferramenta computacional, levando em conta a

modelagem tridimensional do carregamento e as irregularidades tanto nas rodas quanto

nos trilhos, parecem ser satisfatórios, porém esta ferramenta de análise necessita de uma

validação com resultados experimentais de pontes reais e carregamentos reais. Assim,

as sugestões para trabalhos futuros são:

a) calibração experimental da ferramenta numérico-computacional aqui apresentada

para análise dinâmica e redução de vibrações de pontes ferroviárias;

b) fazer uso da ferramenta em outros estudos de casos para aperfeiçoamento da

mesma;

c) avaliação do desempenho de ADS instalados para operar transversalmente ao

eixo da ponte para reduzir as amplitudes de movimento do modo fundamental de

flexão lateral da estrutura;

d) implementação da modelagem matemático-numérico-computacional de sistemas

de controle ativo ADA – atenuadores dinâmicos ativos e, também, de sistemas

de controle híbridos (ativo-passivo) e avaliação de seus desempenhos em

comparação com os AVE – atenuadores viscoelásticos do tipo concebidos no

presente trabalho.

208

OBS: Com relação aos ADA, deve-se observar que não sofrem da debilidade por

inércia mecânica apresentada pelos ADS frente às ações impulsivas ou impactos

e que, portanto, poderão apresentar desempenho satisfatório, com a vantagem de

poderem ser acoplados no interior das vigas-caixão sobre as quais correm os

trilhos;

e) testes experimentais e avaliação do desempenho do sistema combinado AVE +

ADA instalados numa estrutura de ponte de aço existente;

c) extensão da aplicação desta ferramenta de análise e projeto à estrutura de

concreto armado e protendido de pontes ferroviárias com vão convencionais e

com maiores vãos em estruturas controladas dinamicamente.

209

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WALBER DA LUZ CORREA D.Sc - Federal University of Rio de