Vzorce počítačové grafiky · 2010. 2. 27. · Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel

Vzorce počítačové grafikyVektorové operace

součet vektorůrozdíl vektorůopačný vektornásobení vektoru skaláremúhel dvou vektorů

velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky)

Počítačová geometrie Petra Surynková

( )

( ) ( )1 1 2 2

2 21 1 2 2

,u B A b a b a

u b a b a

= − = − −

= − + −


skalární součin dvou vektorů a

platí:


1 1 2 2u v u v u v⋅ = +

( )2

u u u

u u u uα α α

= ⋅

= ⋅ =

( )1 2,u u u= ( )1 2,v v v=

( )( ) ( )

u v v uu v w u w v w

u v u vα α

⋅ = ⋅

+ ⋅ = ⋅ + ⋅

⋅ = ⋅


úhel nenulových vektorů

Cauchyova nerovnost

rovnoběžné vektorykolmé vektory


cos u vu v

ϕ ⋅=

0,ϕ π∈ ,u v

; ,u v u v u v⋅ ≤ ∀


vektorový součin dvou vektorů v prostoru

lze vyjádřit pomocí bázových vektorů kartézské soustavy souřadnic


2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

, ,u u u u u u

u vv v v v v v

⎛ ⎞× = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

,u v

1 2 3

1 2 3

i j ku v u u u

v v v× =

, ,i j k




,u v

( ) ( ),,sin

u v u u v vu v o u vu v o u vu v u v ϕ

× ⊥ ∧ × ⊥

× = ⇔× ≠ ⇔

× =

platí

LZ

LNϕ

v

B

u v×

uA

C

geometrický význam vektorového součinu




,u v

ϕ

v

BuA

C

geometrický význam vektorového součinu

u

vϕ

sinv ϕ

sinP u v u v ϕ= × =

obsah rovnoběžníka sestrojeného nad oběma vektory umístěnými do společného bodu

trojúhelník -

u v×

12 P

Vektorové operacesmíšený součin dvou vektorů v prostoru

Vzorce počítačové grafiky


, ,u v w

[ ] ( ), ,u v w u v w= × ⋅

u

v

w

n

AC

B

Dumístění vektorůdo společného počátečního bodu

Vektorové operacesmíšený součin dvou vektorů v prostoru



, ,u v w

[ ]1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

, ,

1111

u u uu v w v v v

w w w

a a ab b bc c cd d d

= =

= −

u

v

w

n

AC

B

D

geometrický význam smíšeného součinu

[ ], ,V u v w= - objem rovnoběžnostěnu

Geometrie v rovině a v prostorurůzná vyjádření přímky a rovinyvzájemná poloha dvou přímek – rovnoběžnost, různoběžnost (průsečík), mimoběžnostvzájemná poloha rovin – rovnoběžnost, různoběžnost (průsečnice)vzdálenost dvou bodůvzdálenost bodu od přímkyvzdálenost bodu od rovinyvzájemná poloha bodu a geometrického útvaruodchylky



Vzdálenost bodu od přímky v roviněpřímka – obecná rovnice

vzdálenost bodu

orientovaná vzdálenost bodu od přímky určené dvěma body

přímka – parametrické vyjádření



0,( , ) (0,0)ax by c a b+ + = ≠

1 2[ , ]P p p

1 2

2 2

ap bp cd

a b

+ +=

+

1 2[ , ]P p p1 2 1 2[ , ], [ , ],A a a B b b A B≠

( ) ,X A B A t t= + − ∈

tj. vzdálenost opatřenáznaménkem ,,+“ nebo ,,-“podle toho, zda je bod nalevo nebo napravo od přímky

orientovaná vzdálenost bodu od přímky určené dvěma body



1 2[ , ]P p p1 2 1 2[ , ], [ , ],A a a B b b A B≠

I

It

B

Ps

A

P

vzdálenost bodu od přímky, význam parametrů t a s

( , )

( , ) ( , )I

P

d A I t B A

d P AB d P I s B A

= −

= = −

00,1

0000

I

I

I

P

P

P

tttsss

<

∈

>>=<

- bod na přímce před body A a B

- bod úsečky AB

- bod na přímce za body A a B

- bod P leží nalevo od přímky AB

- bod P leží na přímce AB

- bod P leží napravo od přímky AB

Vzdálenost bodu od přímky v prostorupřímka určená dvěma body

POZOR – v prostoru nelze přímku popsat jednou obecnou rovnicí

vzdálenost bodu



1 2 3[ , , ]P p p p

2( )( ) P A ud P A u

u− ⋅

= − − +

( ) ,X A B A t t

u AB

= + − ∈

=

1 2 3 1 2 3[ , , ], [ , , ],A a a a B b b b A B≠

Vzdálenost bodu od přímky v prostorupřímka určená dvěma body

vzdálenost bodu

NEBOpomocí roviny kolmé přímce a procházející daným bodem

NEBOpomocí vektorového součinu



1 2 3[ , , ]P p p p

u APd

u

×=

( ) ,X A B A t t

u AB

= + − ∈

=

1 2 3 1 2 3[ , , ], [ , , ],A a a a B b b b A B≠

Vzdálenost bodu od úsečkyleží-li bod v pásu vymezeném dvěma kolmicemi na úsečku v jejích koncových bodech

vzdálenost bodu od úsečky = vzdálenosti bodu od přímky

leží-li mimo pás, je výsledek menší ze vzdáleností ke koncovým bodům úsečkyk testování lze využít parametr z předchozích vztahů



It

Vzdálenost bodu od úsečky



IB

A

P

d B

A

P

d

Poloha bodu vůči přímce a úsečceúloha má smysl pouze v rovině (v prostoru vůči rovině)lze použít předchozí vztah pro výpočet

stačí zjistit znaménko čitatelepro bod a přímku (úsečku) určenou dvěma body



Ps

1 2[ , ]P p p1 2 1 2[ , ], [ , ],A a a B b b A B≠

2 2 1 1 1 1 2 2( )( ) ( )( )p a b a p a b a− − − − −

000

>=<

- bod P leží nalevo od přímky AB

- bod P leží na přímce AB

- bod P leží napravo od přímky AB

Vzdálenost dvou rovnoběžných přímekpřevedení na předchozí případ

Vzdálenost dvou mimoběžných přímekrovná se délce jejich nejkratší příčky (k oběma mimoběžkám kolmá)nebo odvození pomocí vektorového součinu



( )u v ABd

u v

× ⋅=

×

obecná rovnice roviny zadané třemi nekolineárními body

analogicky lze zapsat i pro přímku



1 2 3

1 2 3

1 2 3

11

011

x y za a ab b bc c c

=

1 2 3 1 2 3 1 2 3[ , , ], [ , , ], [ , , ]A a a a B b b b C c c c

Vzdálenost bodu od rovinyrovina – obecná rovnicevzdálenost bodu

analogicky k přímce v rovině - orientovaná vzdálenost bodu od roviny určené třemi nekolineárními body



0,( , , ) (0,0,0)ax by cz d a b c+ + + = ≠

1 2 3[ , , ]P p p p

1 2 3

2 2 2

ap bp cp dd

a b c

+ + +=

+ +

1 2 3[ , , ]P p p p

1 2 3 1 2 3 1 2 3[ , , ], [ , , ], [ , , ]A a a a B b b b C c c c

Poloha bodu vůči roviněrovina – obecná rovnicepoloha bodů



0,( , , ) (0,0,0)ax by cz d a b c+ + + = ≠

1 2 3 1 2 3[ , , ], [ , , ]P p p p Q q q q

1 1 2 3

2 1 2 3

h ap bp cp dh aq bq cq d= + + +

= + + +

1 2 0( 0) ,h h P Q> < ⇒ leží ve stejné (opačné) polorovině

Svazek rovinspolečná průsečnice

Trs rovinspolečný bod



( ) ( )2

1 21

0, , (0,0)i i i i ii

a x b y c z dλ λ λ=

+ + + = ≠∑

( ) ( )3

1 2 31

0, , , (0,0,0)i i i i ii

a x b y c z dλ λ λ λ=

+ + + = ≠∑

Odchylka dvou přímeksměrové vektory přímek –

Odchylka přímky a roviny



cosu vu v

ϕ⋅

=0,ϕ π∈

,u v

cos sinu nu n

ψ ϕ⋅

= =

ρ

n u

p

ϕψ

Odchylka dvou rovinnormálové vektory rovin –

Vzájemné polohy přímek, rovinprůsečíky, průsečnicevzájemná poloha tří rovin



cosn n

n nα β

α β

ϕ⋅

=

,n nα β

Poloha bodu vůči mnohoúhelníkulokalizace bodu v konvexním a nekonvexním mnohoúhelníkukonvexní mnohoúhelník – orientace vrcholů, použití determinantůnekonvexní mnohoúhelník – paprskový algoritmus

určení polohy bodu vzhledem k množině mnohoúhelníků

viz minulý semestr



Poloha bodu vůči kružnicisnadné – dosazení do rovnice kružnicepro střed a poloměr a bod

nebo - z porovnání vzdálenosti bodu a středu s poloměrem



1 2[ , ]S s s r 1 2[ , ]P p p

( ) ( )2 2 21 1 2 2p s p s r− + − −

000

>=<

- bod P leží vně kružnice

- bod P leží na kružnici

- bod P leží uvnitř kružnice

( , ) ( , )d P k d P S r= −S

P

Poloha bodu vůči koulipro střed a poloměr a bod

nebo – opět z porovnání



1 2 3[ , , ]S s s s r 1 2 3[ , , ]P p p p

( ) ( ) ( )22 2 21 1 2 2 3 3p s p s p s r− + − + − −

000

>=<

- bod P leží vně koule

- bod P leží na povrchu koule

- bod P leží uvnitř koule

Poloha přímky a kružnicepřímkakružnice



y kx q= +2 2 2x y r+ =

( )2 2 2 21 2 0k x kqx q r+ + + − =

D

000

>=<

- přímka protíná kružnici ve dvou bodech

- přímka je tečnou kružnice

- přímka neprotíná kružnici

Kružnice zadaná třemi body

rovnice kružnice

určení středu



1 2 1 2 1 2[ , ], [ , ], [ , ]A a a B b b C c c

2 2

2 21 2 1 22 21 2 1 22 21 2 1 2

11

011

x y x ya a a ab b b bc c c c

++

=++

1 1

2 2

a b ab b a= −= −

1 1

2 2

c c ad c a= −= −

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

e a a b b a b

f c a c d a c

= + + +

= + + +

Kružnice zadaná třemi body

je-li , leží zadané body na přímce a kružnice neexistujejinak



1 1

2 2

a b ab b a= −= −

1 1

2 2

c c ad c a= −= −

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

e a a b b a b

f c a c d a c

= + + +

= + + +

( ) ( )( )2 2 1 12g a c b b c b= − − −

( )( )

1

2

/

/

s de bf g

s af ce g

= −

= −

0g =

( ) ( )2 221 1 2 2r a s a s= − + −

Plocha trojúhelníkas vrcholy

Plocha mnohoúhelníkatriangulace, součet ploch trojúhelníků



1 2

1 2

1 2

11 12

1

a aP b b

c c=

1 2 1 2 1 2[ , ], [ , ], [ , ]A a a B b b C c c

Documents

Vzorce počítačové grafiky · 2010. 2. 27. · Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel