Využitie IKT vo vyučovaní matematiky v 8.roč.ZŠ

PYTAGOROVAPYTAGOROVA VETAVETA

Pytagorova vetaPytagorova veta

• Pravouhlý trojuholník

• Tabuľky

• Pravidelné n-uholníky

• Konštrukčné úlohyKonštrukčné úlohy

• Súhrnné opakovanie

• Testy

• TajničkaTajnička

Opakovanie – rozdelenie trojuholníkovOpakovanie – rozdelenie trojuholníkov

Trojuholníky rozdeľujeme: Trojuholníky rozdeľujeme:

1. podľa veľkosti strán na:1. podľa veľkosti strán na:

rôznostranné

rovnostranné

rovnoramenné

2.p2.pododľľa vea veľkosti vnútorných uhlov na:ľkosti vnútorných uhlov na:

ostrouhlé

tupouhlé

pravouhlé

Pravouhlý trojuholníkPravouhlý trojuholník

c - preponaodvesna - a

b - odvesnaC A

BAC,BC - odvesnyAB - prepona

Ktorý z trojuholníkov je pravouhlýKtorý z trojuholníkov je pravouhlý?

Pomenuj a vypíš všetky prepony a Pomenuj a vypíš všetky prepony a odvesny trojuholníkovodvesny trojuholníkov

C A

B

O

PR

K L

M

U T

V

prepony: c,r,l,v odvesny: a,b,o,p,m,k,t,u

c

r

l

v

Pytagorova vetaPytagorova veta

• Pravý uhol a začiatky Pytagorovej vetyPravý uhol a začiatky Pytagorovej vety

• Kto bo Pytagoras?Kto bo Pytagoras?

• Čo hovorí Pytagorova veta ?

• Znázornenie a dôkaz Pytagorovej vety

Pytagoras Pytagoras (580 – 500 p.n.l (580 – 500 p.n.l ))

• Grécky filozof a matematik.Grécky filozof a matematik.• Študoval matematiku a Študoval matematiku a

astronómiu v Egypte a astronómiu v Egypte a Babylone.Babylone.

• V južnom Taliansku založil V južnom Taliansku založil školu, ktorá významne prispela školu, ktorá významne prispela k rozvoju matematiky a k rozvoju matematiky a astronómie.astronómie.

• Pytagoras a jeho stúpenci – Pytagoras a jeho stúpenci – Pytagorovci objavili známu Pytagorovci objavili známu vetu, že súčet vnútorných vetu, že súčet vnútorných uhlov v trojuholníku je 180° a uhlov v trojuholníku je 180° a ešte známejšiu ešte známejšiu Pytagorovu vetu.

Egyptský povrazEgyptský povraz

• V starom Egypte merali uhly pomocou povrazu, na ktorom urobili 13 od seba rovnako vzdialených uzlov.

• Povraz rozložili do trojuholníka so stranami 3, 4 a 5 dielov.

• Trojuholník vo vrcholoch držali traja stavitelia.

• Podľa tohto spôsobu sa vymeriavali aj pôdorysy starých palácov a pyramíd.

Ako to teda robili:

• Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napríklad po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili .

• Potom uhol 148 je pravý.

4 3 2 1

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Pytagorova vetaPytagorova veta

• Obsah štvorca Obsah štvorca nad preponou nad preponou pravouhlého pravouhlého trojuholníka sa trojuholníka sa rovná súčtu rovná súčtu obsahov štvorcov obsahov štvorcov nad oboma nad oboma odvesnami.odvesnami.

S1= a2 = 32 = 9 cm2

S2= b2 = 42 = 16cm2

S = S1 + S2

S = 9 + 16S = 25 cm2

S = c2 = 52 = 25 cm2

Obsah štvorca nad preponou pravouhlého trojuholníka Obsah štvorca nad preponou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad oboma odvesnami.sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad oboma odvesnami.

Obsah štvorca nad preponou Obsah štvorca nad preponou pravouhlého trojuholníka sa rovná pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad oboma súčtu obsahov štvorcov nad oboma odvesnami.odvesnami.

c2 = a2 + b2

Znázornenie a dôkaz Pytagorovej Znázornenie a dôkaz Pytagorovej vetyvety

• S dôkazom sa pohráš, S dôkazom sa pohráš, ak klikneš naak klikneš na:

• http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythagoras.html

c2

b2

a2

c2=b2+a2

C

A B

Čínsky odtlačok drevorytu z roku 2000

p.n.l.

Starý grécky dôkaz, vzťahujúci sa na rovnoramenný

Zistite, či trojuholník ABC je pravouhlý:

a = 12 cm, b = 5 cm, c = 13 cm

c2 = a2 + b2

132 = 122 + 52

169 = 144 + 25169 = 169

Trojuholník ABC je pravouhlý.

Zistite, či trojuholníky sú pravouhléZistite, či trojuholníky sú pravouhlé

a b c a2+b2 c2 riešenie

5 6 7

8 15 17

160 mm 30 cm 3,4 dm

13,2mm 0,85 cm 15,7 mm

61 49 nie

áno

áno

áno

289

1156 cm 1156 cm

246,49mm

246,49mm

289

Doplňte tabuľku tak, aby číselné hodnoty predstavovali číselné hodnoty dĺžok strán pravouhlého

trojuholníka.p,q-odvesny,r-prepona

p

q

r

6

12

13

6

8

10

15

8

17

16

12

20

56

33

65

28

45

53

Použitie Pytagorovej vety pri Použitie Pytagorovej vety pri konštrukčných úloháchkonštrukčných úlohách

Pytagorovu vetu môžeme použiť aj pri riešení nasledovných príkladov :

Príklad 1

Príklad 2

Príklad 3

Príklad 4

RiešeniaRiešenia

Chcete vidieť správne riešenia predchádzajúcich príkladov?Klikajte myšou.

riešenie1

riešenie2

riešenie3

riešenie4

OPAKOVANIEOPAKOVANIE

C A

B

c

b

a c2=a2+b2

Pravouhlý trojuholníkPravouhlý trojuholník

A B

CD

u

a

b

u2=a2+b2

ObdĺžnikObdĺžnik

A B

CD

a

au

u2 = a2 + a2

ŠtvorecŠtvorec

A B

C

r r

z

v

r2 = v2 + ( )2

Rovnoramenný trojuholníkRovnoramenný trojuholník

C1

2

z

2

z

A B

C

a

a

av

a2 = v2 + ( )2

Rovnostranný trojuholníkRovnostranný trojuholník

C1

2

a

2

a

A

B

C

D

a a

aa

a2 = ( )2 + ( )2

KosoštvorecKosoštvorec

S2

e

2

f

2

f

2

e

Lichobežník pravouhlýLichobežník pravouhlý

A B

CD

a

x = a-cb

c

d v

b2 = v2 + x2

x

Lichobežník rovnoramennýLichobežník rovnoramenný

A B

CD

a

b

c

d v

d2 = v2 + x2

2

ca x =

x x

A B

CD

a

b

c

dv

b2=v2+( )2

Lichobežník rovnoramennýLichobežník rovnoramenný

X2

ca

2

ca

TestyTesty

Variant A

Variant B

Variant C

Variant AVariant A

1..Vypočítajte uhlopriečku obdĺžnika ABCD, ktorého strany sú a=7 cm, b=3,5 cm.

2.Vypočítajte dĺžku tetivy v kružnici s polomerom 6 cm, ak jej vzdialenosť od stredu je 4 cm.

3.Vypočítajte rameno rovnoramenného lichobežníka so základňami 78 cm a55 cm. Výška lichobežníka je 48 cm.

4.Pri prieskumnom vrte upevnili vrtnú vežu vysokú 22,5 m lanami tak, že ich konce boli priviazané k zemi vo vzdialenosti 7,2 m od

päty veže. Aké dlhé boli laná?

5.Z kmeňa stromu bol vytesaný trám obdĺžnikového prierezu s rozmermi 50 mm a120 mm. Aký najmenší priemer musel mať

kmeň?

6. Záhon tvaru rovnostranného trojuholníka so stranou 8 m bol vysypaný kamennou drvinou.Koľko drviny sa spotrebovalo, ak na

1m2 plochy záhonu sa jej spotrebuje 25kg ?

7. Na strome sedeli dve opice, jedna na vrchole a druhá 10 lakťov od zeme.Obidve sa chceli napiť z prameňa, ktorý bol vzdialený 40 lakťov od stromu. Prvá opica skočila k prameňu z vrcholu stromu a

preletela tú istú dráhu, akú prebehla druhá opica. Z akej výšky opica skočila?

Variant BVariant B

1. Vypočítajte výšku rovnostranného trojuholníka, ktorého strana a= 6cm.

2. Obdĺžnik má jednu stranu 4 cm, uhlopriečku 50 mm. Aká je dĺžka druhej strany obdĺžnika?

3. V pravouhlom lichobežníku merajú základne 9 cm a 5 cm.Jeho kratšie rameno meria 3 cm.Vypočítaj dĺžku druhého ramena.

4. Na tyč štvorcového prierezu so stranou dlhou 57 mm sa má navliecť valcové puzdro. Vypočítaj jeho vnútorný priemer.

5. Tyč dĺžky 8,5 m je opretá o múr. Jej spodný koniec sa opiera o zem vo vzdialenosti 1,8 m od múru. Do akej výšky na múre

siaha horný koniec tyče ?

6. Kosoštvorec má uhlopriečky dlhé 16 cm a 12 cm. Vypočítaj dĺžku strany a jeho obvod.

7. Tetiva kružnice s polomerom r = 4 cm má dĺžku d = 4cm.Vypočítajte vzdialenosť tetivy od stredu kružnice.

Variant CVariant C

1. Trojuholníku ABC je veľkosť výšky na stranu c 12 cm. Veľkosť strany a = 15 cm, b = 13 cm. Vypočítajte obsah trojuholníka

ABC.

2. Strany obdĺžnika sú v pomere 3:5 a jeho obvod meria 72 cm.Vypočítajte dĺžku uhlopriečky.

3. Vypočítajte objem a povrch kocky, ak má jej stenová uhlopriečka dĺžku 9,8 dm.

4. Rameno rovnoramenného lichobežníka meria 41 cm. Výška je 40 cm a stredná priečka 45 cm. Určte jeho základne.

5. Vypočítajte obsah pravidelného šesťuholníka, ktorého strana má dĺžku 4cm.

6. Vypočítajte obsah štvoruholníka na obrázku.

5 cm3 cm

2 cm

7*. Vypočítajte dĺžky strán pytagorejských

trojuholníkov, ktorých jedna odvesna má dĺžku

12cm.

Výsledky a bodovanieVýsledky a bodovanie

AA BB CCPríklad výsledky body výsledky body výsledky body

1. 7,83 cm 5b 5,2cm 5b 84 cm2 11b

2. 8,94 cm 8b 30mm 6b 22,5;13,5 8b

3. 49,36 cm 7b 5 cm 6b 332,76 11b

4. 23,62 m 6b 80,61mm 6b 54;36 11b

5. 130 mm 6b 8,3 m 6b 41,57 10b

6. 692,82kg 9b 10;40 cm 8b 12,98 13b

7. 20 7b 3,46 cm 7b 5,12,13/9,12,15

16,12,20/35,12,37 bonus

spolu 48b 44b 64b

cm

288,12

Návrh na hodnotenieNávrh na hodnotenie

48-44 výborný 43-36 chválitebný

35-24 dobrý 23-12 dostatočný

12-0 nedostatočný

AA

44-40 výborný 39-33 chválitebný

32-22 dobrý 21-11 dostatočný

11-0 nedostatočný

BB64-58 výborný

57-48 chválitebný47-32 dobrý

31-16 dostatočný15-0 nedostatočný

CC