Štátny pedagogický ústav, Pluhová 8, 830 00 Bratislava

CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY

ÚROVEŇ A

Bratislava 2004

ÚVOD Cieľové požiadavky z matematiky sú rozdelené vo väčšine kapitol na časti Obsah, Požiadavky na vedomosti a zručnosti a Príklady

Text v jednotlivých častiach vytlačený obyčajnou kurzívou predstavuje odvolávky, vysvetlivky a komentáre.

V každej kapitole sú v odseku Obsah (rozdelenom spravidla na 2 menšie časti s názvami Pojmy a Vlastnosti a vzťahy) vymenované termíny a vzťahy (vzorce, postupy, tvrdenia), ktoré má žiak ovlá-dať. Toto ovládanie v prípade pojmov znamená, že žiak

- rozumie zadaniam úloh, v ktorých sa tieto pojmy vyskytujú, - vie ich správne použiť pri formuláciách svojich odpovedí, - vie ich stručne opísať (definovať).

V prípade vlastností a vzťahov ovládaním rozumieme žiakovu schopnosť vybaviť si tieto vzťa-hy v mysli (bez toho, aby mu bolo potrebné pripomínať konkrétnu podobu uvedeného vzťahu, postupu či tvrdenia) a použiť ich pri riešení danej úlohy (pričom spôsob tohto použitia špecifikuje časť Požia-davky na vedomosti a zručnosti, o ktorej hovoríme nižšie). Kvôli prehľadnosti neuvádzame úplné zne-nie jednotlivých vzťahov so všetkými predpokladmi a podmienkami, ale len takú ich podobu, z ktorej je jasné, aké tvrdenie máme na mysli.

Pokiaľ sa v zadaniach úloh alebo otázok, ktoré má žiak riešiť alebo zodpovedať, vyskytnú po-jmy, ktoré nie sú uvedené v časti Obsah, bude potrebné ich v texte zadania vysvetliť. Rovnako tak v prípade, že zadanie vyžaduje použitie postupu alebo vzťahu, ktorý nie je zahrnutý do časti Obsah, musí byť žiakovi k dispozícii opis požadovaného postupu alebo vzťahu (tento opis však nemusí byť súčas-ťou zadania, môže byť napríklad uvedený vo “vzorčekovníku”, ktorý bude priložený k celému súboru zadaní). Výnimku z tohto pravidla predstavuje situácia, keď riešením úlohy má byť objavenie alebo odvodenie takého vzťahu, ktorý nebol uvedený v odseku Vlastnosti a vzťahy.

Časť Požiadavky na vedomosti a zručnosti opisuje v každej kapitole činnosti, ktoré má byť žiak schopný správne realizovať. V texte používanú formuláciu “žiak vie...” pritom chápeme v zmysle “žiak má vedieť...”; podobne formulácia ”... pokiaľ (ak) žiak vie...” znamená ”... ak je v týchto cieľových požiadavkách uvedené, že žiak má vedieť...”. Teda napríklad text “žiak vie nájsť všetky riešenia nerov-nice , pokiaľ vie riešiť rovnicuaxf ≤)( axf =)( a súčasne vie načrtnúť graf funkcie f” (ktorý čitateľ nájde v kapitole 1.4) treba chápať tak, že na inom mieste týchto cieľových požiadaviek je špecifikova-né, grafy ktorých funkcií f má žiak vedieť načrtnúť, a pre ktoré funkcie f má žiak vedieť riešiť rovnicu

. Podobnú úlohu plní odvolávka “pozri...”; napríklad v texte “žiak vie nájsť definičný obor danej funkcie (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy)” táto odvolávka upozorňuje, že stupeň ná-ročnosti, na ktorom má žiak zvládnuť určovanie definičného oboru funkcie, je daný náročnosťou rovníc a nerovníc, ktoré pri tom musí vyriešiť, pričom táto náročnosť je opísaná v časti 1.4. Odvolávka “pozri tiež...” upozorňuje čitateľa, že uvedený pojem alebo činnosť sa vyskytuje aj na inom mieste tohto textu.

axf =)(

Žiak by mal byť schopný riešiť úlohy komplexného charakteru, teda úlohy, ktorých riešenie vy-žaduje spojenie neveľkého počtu činností opísaných v týchto cieľových požiadavkách (pritom nevylu-čujeme spájanie činností opísaných v rôznych kapitolách); napr. pri riešení “klasickej” slovnej úlohy by mal žiak zvládnuť formuláciu príslušného problému v reči matematiky, jeho vyriešenie prístupnými matematickými prostriedkami a formuláciu odpovede opäť v reči pôvodného slovného zadania. Jednot-livé činnosti uvedené v časti Požiadavky na vedomosti a zručnosti predstavujú teda len akési “tehličky” či “základné stavebné kamene”, pričom riešenie jedného konkrétneho zadania môže vyžadovať i použi-tie a spojenie viacerých takýchto “tehličiek”.

V snahe o ucelenosť jednotlivých kapitol uvádzame tie pojmy a zručnosti, ktoré súvisia s viacerými kapitolami, v každej z nich. Z toho istého dôvodu sú do textu zaradené i niektoré pojmy, vzťahy a činnosti, ktoré sú obsahom učiva základnej školy.

Úlohy, uvedené v časti Príklady, nemajú predstavovať reprezentatívnu zbierku typov a foriem úloh, s ktorými sa bude žiak na maturite z matematiky stretávať; prvoradou funkciou týchto príkladov

2

je dokumentovať tie formulácie, u ktorých podľa nášho názoru príklad pomáha objasniť text, alebo špecifikovať stupeň požadovanej náročnosti. Dostatočne bohatú zbierku príkladov úloh, s ktorými sa žiak stretne na externej časti maturitnej skúšky z matematiky, predstavujú úlohy Monitorov z rokov 1999 – 2003.

1. ZÁKLADY MATEMATIKY 1.1 Logika a množiny Obsah

Pojmy: výrok, axióma, definícia, úsudok, hypotéza, tvrdenie, pravdivostná hodnota, logické spojky, negácia, konjunkcia, disjunkcia, implikácia, ekvivalencia, vyplýva, je ekvivalentné, kvantifikátor (existenč-ný, všeobecný, aspoň, najviac, práve), priamy a nepriamy dôkaz, dôkaz sporom, matematická indukcia, množina, prvky množiny, podmnožina, nadmnožina, prienik, zjednotenie a rozdiel množín, Vennove diagramy, disjunktné množiny, prázdna množina, doplnok množiny, konečná a nekonečná množina. Vlastnosti a vzťahy: • Implikácia (výrok) je ekvivalentná s implikáciou (výrokom) (výrok z A vyplýva

B platí práve vtedy, keď platí výrok, z negácie B vyplýva negácia A), BA⇒ AB ′⇒′

• výroky A, B sú ekvivalentné, ak platia obe implikácie , ABBA ⇒⇒ ,• negácia konjunkcie (disjunkcie) je disjunkcia (konjunkcia) negácií, • implikácia je nepravdivá práve vtedy, keď je pravdivý výrok a a nepravdivý výrok b, ba ⇒• pravdivosť zložených výrokov a negácie (“tabuľka pravdivostných hodnôt”), • negácia výroku platí V(x) je Mx∈∀ ,Mx∈∃ pre ktoré neplatí V(x), • negácia výroku , pre ktoré platí V(x) je Mx∈∃ Mx∈∀ neplatí V(x), • A = B práve vtedy, keď súčasne platí , ABBA ⊂⊂ ,• pre počty prvkov zjednotenia dvoch množín platí BABABA ∩−+=∪ , • operácie zjednotenie a prienik sú asociatívne a komutatívne, • , BABA ′∪′=′∩ )( BABA ′∩′=′∪ )( . Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • rozlíšiť používanie logických spojok a kvantifikátorov vo vyjadrovaní sa v bežnom živote na jednej

strane a v rovine zákonov, nariadení, zmlúv, návodov, matematiky na strane druhej, • zapisovať zložené a kvantifikované výroky, relácie a operácie s množinami pomocou dohodnutých

značiek a jednotlivých výrokov, resp. množín, • zistiť pravdivostnú hodnotu zloženého výroku (vytvoreného pomocou negácie, konjunkcie, disjun-

kcie, implikácie, ekvivalencie) z pravdivostných hodnôt jednotlivých zložiek (teda napísať pre da-nú situáciu príslušný riadok “tabuľky pravdivostných hodnôt”),

• v jednoduchých prípadoch rozhodnúť, či je výrok negáciou daného výroku, vytvoriť negáciu zlože-ného výroku (nie len pomocou “nie je pravda, že …”, pozri príklady 1, 2),

• v jednoduchých prípadoch zapísať a určiť množinu vymenovaním jej prvkov, charakteristickou vlastnosťou alebo množinovými operáciami (pozri príklad 3),

• v jednoduchých prípadoch rozhodnúť o konečnosti či nekonečnosti danej množiny (pozri príklad 4),

3

• opísať základné druhy dôkazov (priamy, nepriamy, sporom, matematickou indukciou) a dokumentovať ich príkladmi,

• použiť základné druhy dôkazov pri dokazovaní jednoduchých tvrdení o celých číslach (pozri 1.3 Teória čísel),

• určiť zjednotenie, prienik a rozdiel množín i doplnok množiny A (ak A je podmnožinou B) vzhľa-dom na množinu B (intervaly pozri v 1.2 Čísla, premenné a výrazy),

• použiť vzorec pre počet prvkov zjednotenia 2 množín pri hľadaní počtu prvkov týchto množín, resp. ich prieniku alebo zjednotenia (pozri príklad 5),

• pri riešení úloh o množinách použiť ako pomôcku Vennove diagramy (pre 2 – 4 množiny). Príklady 1. Sú nasledujúce výroky jeden druhému negáciou?

Existujú aspoň dvaja speváci populárnej hudby, ktorých majú všetci radi. Každého speváka populárnej hudby niekto nemá rád.

2. Utvorte negáciu výroku: Každý mnohočlen, ktorý je súčinom dvoch mnohočlenov nepárneho stupňa,

má aspoň dva reálne korene. 3. Pomocou množín A, B, C, D opíšte množinu všetkých bodov x množiny D, pre ktoré platí: ak je číslo

x v množine A, tak nie je v množine B, alebo je v množine C. 4. Zistite, či je množina všetkých dvojíc prirodzených čísel (x, y), ktoré sú riešením rovnice

a) 5x – 3y =100 000, b) 5x + 3y = 100 000

konečná alebo nekonečná. 5. Koľko štvorciferných čísel je bezo zvyšku deliteľných číslom 24 alebo 19 (číslom 24 alebo 20)? 1.2 Čísla, premenné a výrazy Obsah

Pojmy: konštanta, premenná, výraz, obor definície výrazu, rovnosť výrazov, hodnota výrazu, mnoho-člen, stupeň mnohočlena, doplnenie do štvorca (pre kvadratický mnohočlen), člen mnohočlena, vyní-manie pred zátvorku, úprava na súčin, krátenie výrazu, prirodzené (N), celé (Z), nezápor-né ( ),0N zá-porné ( −Z ), racionálne (Q), iracionálne (I), reálne (R) čísla, n–ciferné číslo, zlomky (čitateľ, menova-teľ, spoločný menovateľ, základný tvar zlomku, zložený zlomok, hlavná zlomková čiara), desatinný rozvoj (konečný, nekonečný a periodický), číslo e, číslo π , nekonečno, číselná os, znázorňovanie čísel, komutatívny, asociatívny a distributívny zákon, odmocnina (druhá), n-tá odmocnina, mocnina (s priro-dzeným, celočíselným, racionálnym exponentom), exponent a základ mocniny, základ logaritmu, abso-lútna hodnota čísla, úmera (priama a nepriama), pomer, percento, promile, základ (pre počítanie s percentami), faktoriál, kombinačné číslo, desiatková a dvojková sústava, dekadický a dvojkový zápis, interval (uzavretý, otvorený, ohraničený, neohraničený). Vlastnosti a vzťahy: • , )yx).(yx(yx +−=− 22 ( )222 2 yxyxyx ±=+± , , kde sú

korene rovnice ()).(( 21

2 xxxxacbxax −−=++ 21, xx02 =++ cbxax 0≠a ),

4

• ,. yxyx aaa =+ ,)( xyyx aa = xx

aa 1

=− , , , xxx baab =)( , 10 =c ,0, ≥ba 0>c Zyx ∈, , resp.

, Qyx ∈,

• nmm n xx = , ( ) n mmn xx = , ,. nnn xyyx = pre , 0≥y,x Nn,m ∈ ,

• aa =2 ,

• ax − je vzdialenosť obrazov čísel x a a na číselnej osi,

• , 1cossin 22 =+ αα ααπ sin2

cos =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − , ααπ cos

2sin =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − , αα sin)sin( −=− , αα cos)cos( =− ,

ααπ sin)sin( −=− , ααπ cos)cos( −=− , αα=α cos.sin22sin , ,sincos2cos 22 α−α=α

ααα

cossintan = ,

• , pre bxba ax log=⇔= xa xa =log 0,1,0 >≠> xaa ;

• , )(logloglog xyyx aaa =+yxyx aaa logloglog =− pre 0,,1,0 >≠> yxaa ;

• pre xyx ay

a log)(log = 0,1,0 >≠> xaa ;

• rs

sa

ar log

loglog = pre , , 0,, >rsa 1, ≠ar

• n!=1.2.3. ... .n, pre prirodzené čísla n, 0!=1,

• )!kn(!k

!nkn

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ pre prirodzené čísla n a nezáporné celé čísla k nie väčšie ako n,

• práve racionálne čísla majú desatinný periodický rozvoj, • , , , . IQR ∪= {}=∩ IQ }0{∪∪= −ZNZ RQZN ⊂⊂⊂ Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: (čísla) • zaokrúhľovať čísla, • upraviť reálne číslo na tvar , kde n je celé číslo a a číslo z intervalu ± na 10. )10,1 , • vypočítať absolútnu hodnotu reálneho čísla, • zapísať vzdialenosť na číselnej osi pomocou absolútnej hodnoty, • znázorňovať čísla na číselnú os, porovnávať čísla na číselnej osi, odčítať čísla z číselnej osi, • pre konkrétne n všeobecne zapísať n–ciferné číslo, • na približný výpočet číselných výrazov a hodnôt funkcií (vrátane log ) používať kalkulačku, pri-

čom vie a

- upravovať číselné výrazy na tvar vhodný pre výpočet na kalkulačke, - zvoliť vhodný postup, aby mu vyšiel čo najpresnejší výsledok (napr. pri približnom výpočte

!10!10!20 ),

• pomocou kalkulačky zistiť ostrý uhol, ktorý má danú goniometrickú hodnotu, • porovnať dve reálne čísla na úrovni presnosti kalkulačky, • vyjadriť zjednotenie, prienik a rozdiel konečného počtu intervalov pomocou najmenšieho počtu

navzájom disjunktných intervalov, jednoprvkových množín a prázdnej množiny, (výrazy)

5

• určiť hodnotu výrazu (dosadiť) “ručne” alebo pomocou kalkulačky, • určiť obor definície výrazu (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), • odstrániť absolútnu hodnotu rozlišovaním vhodných prípadov (t.j. )()( xVxV = pre x, pre ktoré

a 0)( ≥xV )()( xVxV −= pre x, pre ktoré 0)( ≤xV ), • doplniť kvadratický trojčlen do štvorca (pozri tiež 2.2 Lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická

postupnosť), • upravovať mnohočlen na súčin vynímaním pred zátvorku a použitím vzťahov pre rozklady výrazov

, , (pozri príklad 1), 22 yx − 22 2 yxyx +± cbxax ++2

• použiť pri úpravách výrazov (číselných alebo výrazov s premennými) rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy, roznásobovanie, vynímanie pred zátvorku, krátenie, úpravu zloženého zlomku na jednoduchý (pozri príklady 2, 3, 4), (práca s premennou)

• používať percentá a úmeru (pozri príklad 5), • nahradiť premennú vo výraze novým výrazom (substitúcia, pozri tiež 1.4 Rovnice, nerovnice a ich

sústavy), • pri priamo závislých veličinách vie vyjadriť jednu pomocou druhej (pozri príklad 6, pozri tiež 2.1

Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti), • vyjadriť neznámu zo vzorca (pozri 2.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti), • zapísať slovný text algebraicky (matematizácia),

- zapísať vzťahy (v jednoduchom texte) pomocou premenných, čísel, rovností a nerovností - zapísať, vyjadriť bežné závislosti v geometrii, - v jednoduchých prípadoch odvodiť zo známych vzťahov niektoré nové vzťahy (pozri príklady

7, 8), • riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k rovniciam a nerovniciam (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a

ich sústavy) a hľadaniu extrémov funkcií (pozri 2.6 Limita a derivácia, geometrický rad) a interpre-tovať získané riešenia v jazyku pôvodného zadania (pozri príklad 9).

Príklady 1. Rozložte mnohočlen na súčin lineárnych činiteľov. xxx 7136 23 +− 2. Vyjadrite

a) 32,04 loglog2 xxx − pomocou logaritmov so základom 2,

b) 1loglog2 3 −− xxx ako jeden logaritmus,

c)

21

21

2

2

xtg

xtg

−

+ len pomocou xcos .

3. Pre ktoré čísla a, b sa výraz 22 −− xx

x rovná výrazu 21 −

++ x

bx

a ?

4. Pre ktoré čísla a sa dá zlomok 22

2

−++xx

ax krátiť?

5. Zapíšte pomocou premenných, čísel a rovností

a) Peter má o x % viac .... ako Jano. (P=(1+x/100 J) b) Adam a Boris si rozdelili peniaze v pomere 2 : 3. (A = 2x, B = 3x)

6. Kváder so štvorcovou podstavou má povrch 100 cm2. Vyjadrite jeho objem pomocou jeho výšky.

6

7. Nech S je stred vpísanej gule štvorstena ABCD. a) Vyjadrite objem štvorstena ABCS pomocou plochy trojuholníka ABC a polomeru vpísanej gule

štvorstena ABCD. b) Vyjadrite polomer vpísanej gule štvorstena ABCD pomocou jeho povrchu a objemu.

8. Zapíšte pomocou premenných, čísel, rovností a nerovností:

a) Polovica A má dĺžku najviac 4. ( )80 ≤< A b) Obdĺžnik so stranami a, b má polomer opísanej kružnice 4. ( )6422 =+ ba

9. Jano riešil úlohu “Súčet A+B je o 80 % väčší ako rozdiel A – B. O koľko % je číslo A väčšie ako čís-

lo B?”. Janovi vyšiel správny vzťah A = 3,5B. Určte vzťah medzi A, B pomocou percent! 1.3 Teória čísel Obsah

Pojmy: deliteľ, násobok, deliteľnosť, najväčší spoločný deliteľ (NSD), najmenší spoločný násobok (NSN), Euklidov algoritmus, prvočíslo, zložené číslo, nesúdeliteľné čísla, zvyšok, prvočíselný rozklad, prvočiniteľ. Vlastnosti a vzťahy: • Znaky deliteľnosti:

- posledná cifra: 2, 5, 10, - posledné dve cifry: 4, 25, 50, - posledné tri cifry: 8, - súčet všetkých cifier: 3, 9.

• Ak sú čísla s, t deliteľné číslom M, tak aj číslo ts ± je deliteľné číslom M. • Ak je číslo s deliteľné prvočíslom M aj prvočíslom K, tak je deliteľné aj číslom MK ⋅ . • Výpočet NSD pomocou delenia so zvyškom (Euklidov algoritmus). • Jednoznačnosť prvočíselného rozkladu. • Prvočísel je nekonečne veľa. Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • zistiť bez delenia, či je dané číslo deliteľné niektorým z čísel uvedených v znakoch deliteľnosti, • sformulovať a použiť kritériá deliteľnosti niektorými zloženými číslami, ktoré sú súčinom nesúdeli-

teľných čísel uvedených v znakoch deliteľnosti (napr. 6, 12, 15), • nájsť NSN, NSD daných čísel, • použiť Euklidov algoritmus, • v jednoduchých prípadoch zistiť, či je číslo (buď konkrétne alebo určené pomocou najviac 1 para-

metra) prvočíslo (pozri príklady 1, 2), • nájsť celočíselné riešenia úloh, v ktorých možno jednoduchou úvahou určiť vhodnú konečnú mno-

žinu, ktorá hľadané riešenia musí obsahovať (riešenia úlohy potom nájde preverením jednotlivých prvkov získanej konečnej množiny, pozri príklady 3, 4, 6, 7),

• pri riešení jednoduchých úloh využiť pravidelnosť rozloženia násobkov celých čísel na číselnej osi (pozri príklady 5, 8),

• použiť základné druhy dôkazov pri dokazovaní jednoduchých tvrdení o celých číslach (pozri prí-klad 9).

7

Príklady 1. Je číslo 1234567891011121314151617 prvočíslo? 2. Pre ktoré prirodzené číslo n je 88272 2 +− nn prvočíslo? 3. Pre ktoré čísla a platí ? 24),6( =aNSN 4. Pre ktoré čísla A, B je číslo s dekadickým zápisom 34A57B deliteľné 12? 5. Koľko štvorciferných čísel je deliteľných 23? (každé 23. číslo je deliteľné 23) 6. Nájdite všetky pravouhlé trojuholníky s celočíselnými stranami, ktorých odvesna b meria 12. (Ná-

vod: neznáme dajte na jednu stranu a získaný výraz upravte na súčin.) 7. Nájdite všetky celé čísla x, y, pre ktoré platí (absolútna hodnota y nie je väčšia ako 5) 98142 =+ yx 8. Dokážte, že súčin 3 za sebou idúcich čísel je deliteľný 6. 9. Ukážte, že je iracionálne číslo. (sporom) 3log2

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy Obsah

Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin, substitúcia, kontrola (skúška) riešenia, (ekvivalentné a neekvivalentné) úpravy rovnice a nerovnice, lineárny, kvadratický člen, koeficient pri lineárnom (kvadratickom) člene. Vlastnosti a vzťahy: • diskriminant kvadratickej rovnice D = , 02 =++ cbxax acb 42 −

• riešením kvadratickej rovnice sú 02 =++ cbxaxa

Dbx22,1±−

= ,

• vzťah medzi diskriminantom a počtom (navzájom rôznych) koreňov kvadratickej rovnice, • , kde sú korene rovnice ( ), )).(( 21

2 xxxxacbxax −−=++ 21, xx 02 =++ cbxax 0≠a• ak sú korene kvadratickej rovnice , tak 21, xx 02 =++ cbxx bxxcxx −=+= 2121 ,. , • vzťah medzi znamienkom súčinu dvoch výrazov a znamienkom jednotlivých činiteľov. Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: (rovnice) • nájsť všetky riešenia lineárnej rovnice 0=+bax a kvadratickej rovnice , pričom

pozná vzťah medzi koreňmi kvadratickej rovnice, jej koeficientmi a koreňovými činiteľmi, počtom riešení (pozri príklady 1, 2, 3),

02 =++ cbxax

• nájsť všetky riešenia, resp. všetky riešenia ležiace v danom intervale I (ak sa nedá presne, tak pri-bližne s pomocou kalkulačky), rovnice Axf =)( , kde RA∈ a f je funkcia - , , ( , b je kladné číslo rôzne od 1), ax xb xblog Qa∈

8

- ax − , - , , xsin xcos xtan , a vie určiť, koľko riešení má uvedená rovnica (v závislosti od čísla A, čísel a, b, c, resp. intervalu I, pozri príklady 4, 5),

• použitím danej substitúcie )(xy ϕ= upraviť rovnicu zapísanú v tvare Axf =))((ϕ na tvar , špeciálne vie nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia ležiace v danom intervale) rov-

níc Ayf =)(

- , kde f je funkcia , , , , , Abaxf =+ )( ax xb xblog xsin xcos- , kde f je funkcia , , ,Acbxaxf =++ )( 2 ax xb xblog x , - , kde f lineárna, kvadratická funkcia alebo funkcia , 0)()(2 =++ cxbfxaf xsin xcos

(pozri príklad 6), • nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia ležiace v danom intervale) rovníc zapísaných v tvare

, pokiaľ vie riešiť rovnice f(x)=0, g(x)=0 (pozri príklad 7), 0)()( =xgxf• nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia ležiace v danom intervale) rovníc, ktorých riešenie mož-

no upraviť na niektorý z predchádzajúcich tvarov - použitím úprav jednotlivých strán rovnice, využívajúcich úpravy výrazov a základné vlastnosti

funkcií (pozri 1.2 Čísla, premenné a výrazy, 2 Funkcie), - pripočítaním (špeciálne odpočítaním) a vynásobením (špeciálne vydelením) obidvoch strán

rovnice výrazom, umocnením (špeciálne odmocnením) obidvoch strán rovnice, - odstránením absolútnej hodnoty v prípade rovníc s jednou absolútnou hodnotou (rozlišovaním

dvoch vhodných prípadov), resp. jednoduchých rovníc s dvoma absolútnymi hodnotami (rozli-šovaním 3 – 4 vhodných prípadov),

pričom vie rozhodnúť - či použitá úprava zachová alebo či môže zmeniť množinu riešení danej rovnice, - ktoré z koreňov rovnice, ktorá vznikla uvedenými úpravami, sú aj koreňmi pôvodnej rovnice,

resp. - pri použití postupov, ktoré mohli množinu potenciálnych koreňov zmenšiť - o ktorých číslach ešte treba zistiť, či sú koreňmi pôvodnej rovnice (pozri príklady 8 – 12),

• na základe vlastností funkcie f (monotónnosť, periodičnosť, súmernosti grafu) - určiť vzťah medzi číslami x a y, pre ktoré platí )()( yfxf = , kde f je funkcia , , , ax xb xblog ax − , , xsin xcos (na zákla-de toho vie riešenie rovnice v tvare ))(())(( xhfxgf = nahradiť riešením rovnice (alebo rovníc) zapísaných už len pomocou funkcií g a h, pozri príklad 13),

• riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k rovniciam a interpretovať získané riešenia v jazyku pô-vodného zadania,

(sústavy rovníc) • opísať a geometricky interpretovať množinu všetkých riešení jednej a dvoch lineárnych rovníc s 2

alebo 3 neznámymi (pozri 3.2 Analytická geometria v rovine, 4.2 Súradnicová sústava v priestore, vektory, analytická metóda),

• nájsť množinu všetkých riešení sústavy 1 – 3 lineárnych rovníc s 1 – 2, resp. 1 – 3 neznámymi, a to aj v prípadoch, keď táto sústava má nekonečne veľa riešení (a tieto riešenia aj zapísať) alebo nemá riešenia (pozri príklady 14, 15, 16),

• nájsť všetky riešenia sústavy 2 rovníc s 2 neznámymi, ktorú možno jednoducho upraviť na tvar )(xfy = ∧ 0),( =yxg (resp. )(yfx = ∧ 0),( =yxg ), pokiaľ vie riešiť rovnicu 0))(,( =xfxg

(resp. ), 0)),(( =yyfg• upravovať sústavy rovníc použitím

- úprav jednotlivých strán rovnice, využívajúcich úpravy výrazov a základné vlastnosti elemen-tárnych funkcií (pozri 1.2 Čísla, premenné a výrazy, 2 Funkcie),

9

- pripočítania (špeciálne odpočítania) a vynásobenia (špeciálne vydelenia) obidvoch strán rovnice výrazom,

pričom vie rozhodnúť, - či použitá úprava zachová alebo či môže zmeniť množinu riešení danej sústavy, - ktoré z riešení sústavy, ktorá vznikla uvedenými úpravami, sú aj riešeniami pôvodnej sústavy,

resp. - pri použití postupov, ktoré mohli množinu potenciálnych riešení zmenšiť - o ktorých čís-lach ešte treba zistiť, či sú riešeniami pôvodnej sústavy,

• nahradiť riešenie sústav typu 0),(0),().,( =∧= yxgyxhyxf riešením dvojice sústav , 0),(0),( =∧= yxgyxf 0),(0),( =∧= yxgyxh ,

• správne použiť nahradenie jednej rovnice sústavy súčtom vhodných násobkov jednotlivých rovníc tejto sústavy, a to aj v prípade nelineárnych sústav (pozri príklad 17),

(nerovnice a ich sústavy) • nájsť množinu všetkých riešení nerovnice

- , kde L je reálne číslo, Lxf ∗)( ∗ je jeden zo znakov nerovnosti a f je niektorá z funkcií , , ,

≥>≤< ,,,α)( bax + xb xblog ax − , resp. množinu všetkých riešení tejto nerovnice ležia-

cich v danom intervale,

- , kde f je niektorá z funkcií , , tg x a x je prvkom daného ohraničeného in-tervalu,

Lxf ∗)( xsin xcos

- 0)()(∗

xgxf a , pokiaľ vie riešiť nerovnice0)()( ∗xgxf 0)(,0)( ∗∗ xgxf , kde ∗ je znak nerov-

nosti

(pozri príklady 18, 19, 20, 21), • pri riešení a úpravách nerovníc správne použiť

- vynásobenie obidvoch strán nerovnice kladným alebo záporným číslom, - pripočítanie výrazu k obidvom stranám nerovnice, - vynásobenie nerovnice výrazom bax + , , , cbxax ++2 ax

• nájsť všetky riešenia nerovníc, ktorých riešenie možno uvedenými postupmi nahradiť riešením ne-rovníc uvedených v predchádzajúcej odrážke,

• na základe poznatkov o monotónnosti exponenciálnych a logaritmických funkcií nahradiť riešenie nerovnice , kde je znak nerovnosti a f je logaritmická alebo exponenciálna funk-cia, riešením nerovnice ,

))(())(( xhfxgf ∗ ∗

)()( xhxg ∗

• riešiť sústavu nerovníc s jednou neznámou v prípadoch, keď vie vyriešiť samostatne každú z da-ných nerovníc (pozri príklad 22, pozri tiež prieniky a zjednotenia intervalov v 1.2 Čísla, premenné a výrazy),

• vyznačiť na x–ovej osi riešenie nerovnice )()( xgxf ∗ , pokiaľ vie načrtnúť grafy funkcií y = f(x), y = g(x),

• v rovine opísať a geometricky interpretovať množinu všetkých riešení jednej nerovnice s dvoma neznámymi x, y, ktorú možno zapísať v tvare - alebo (kde )(xfy ∗ )(yfx ∗ ∗ je znak nerovnosti) v tých prípadoch, kedy vie načrtnúť graf

funkcie , resp. , )(xfy = )(yfx =- , 0∗++ cbyax- , 022 ∗++++ mdyaybxax- ak vie načrtnúť krivku ,0),( ∗yxf 0),( =yxf

(pozri príklad 23, pozri tiež 3.3 Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie),

10

• riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k nerovniciam a interpretovať získané riešenia v jazyku pôvodného zadania.

Príklady 1. Pre ktoré číslo p má kvadratická rovnica s neznámou y jediné riešenie? 042 =++ pyy 2. Pre ktoré číslo p má rovnica jediné riešenie? 0342 =++ xpx

3. Nech s, t sú oba korene rovnice . Vypočítajte racionálne číslo 0142 =+− xxst11

+ .

4. Koľko koreňov má rovnica v intervale (1, 26)? 5,0cos =x 5. V intervale (5π, 6π) nájdite všetky riešenia rovnice

571sinsin π

=x .

6. Použitím substitúcie riešte rovnicu xt 2= .1424 1 += −xx

7. Riešte rovnicu . Návod: upravte ľavú stranu na súčin. 02)2( 3 =−−+ xx 8. Riešte rovnicu . 5,0cos2cos 2 =+ xx

9. Riešte rovnicu 85cossin 44 =+ xx .

10. Riešte rovnicu 234 =++ xx . 11. Riešte rovnicu xx 252 =++ . 12. Adam riešil rovnicu

a) , 1cos16 4 =xb) 19.16 =x

tak, že ju odmocnil na tvar a) , 1cos4 2 =xb) 13.4 =x

a novú rovnicu správne doriešil. Dostal tak správne riešenie pôvodných rovníc? Svoju odpoveď zdôvodnite.

13. Riešte rovnicu . xx 5sin3sin = 14. Pre ktoré čísla a nemá sústava 3x + 2y = 5, ax – 5y = 1 riešenie? 15. Pre ktoré čísla a, b má sústava 3x + 2y = b, ax – 5y = 1 nekonečne veľa riešení? 16. Sústava dvoch lineárnych rovníc o troch neznámych má medzi riešeniami trojice x = 0, y = 4, z = –3

a x = 1, y = –2, z = 0. Napíšte aspoň jedno ďalšie riešenie tejto sústavy.

11

17. Zistite, či rovnicu 5x – 4y + 11z + 32 = 0 môžeme dostať súčtom vhodných násobkov jednotlivých rovníc sústavy 3x + 5y – 7z + 4 = 0, 9x – 22y = 47z + 88 = 0.

18. Riešte nerovnicu 210

2

+−

≤xx .

19. Riešte nerovnicu . 0)34log( >−⋅ xx 20. Pre ktoré čísla x leží graf funkcie xxy 4.22 2 += nad grafom funkcie ? 752 12 +−= + xy x

21. Určte najmenšie n, od ktorého je postupnosť 1

2032 +−

=nnan rastúca.

22. Pre ktoré čísla a, b sú riešením sústavy nerovníc 4x − 7 > a + b, b − 5x > 8 práve všetky čísla z in-

tervalu (–3, 8)? 23. Riešte nerovnicu , ak viete, že korene rovnice 23 265 xxx −+≤ 23 265 xxx −+= sú x = 2,

x = –3, x = –1.

2. FUNKCIE 2.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti Obsah

Pojmy: premenná (veličina), “daná premenná je funkciou inej premennej”, funkcia, postupnosť, argu-ment, funkčná hodnota, (n-tý) člen postupnosti, definičný obor a obor hodnôt funkcie, graf funkcie, rastúca, klesajúca, monotónna funkcia (postupnosť), maximum (minimum) funkcie (postupnosti), lo-kálne maximum a minimum funkcie, zhora (zdola) ohraničená funkcia (postupnosť), ohraničená funk-cia (postupnosť), horné (dolné) ohraničenie; konštantná, prostá, inverzná, zložená, periodická funkcia; rekurentý vzťah, postupnosť daná rekurentne. Vlastnosti a vzťahy: • rastúca (klesajúca) funkcia je prostá, • k prostej funkcii existuje inverzná funkcia, • graf inverznej funkcie je súmerný s grafom funkcie podľa priamky 1−f f xy = , • ( ) x)x(ff =−1 . Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • v jednoduchých prípadoch rozhodnúť, či niektorá z dvoch daných premenných veličín je funkciou

druhej z nich, a túto závislosť vyjadriť, ak je to možné urobiť pomocou predpisov funkcií, ktoré po-zná (pozri príklady 1, 2), z daného grafu funkcie • - určiť približne

- jej extrémy, - intervaly, na ktorých rastie (klesá),

- zistiť, či je zdola (zhora) ohraničená,

12

nájsť definičný obor danej funkcie, resp. rozhodnúť, či dané číslo patrí do definičného oboru danej funkcie (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

•

• •

•

rozhodnúť, či dané číslo patrí do oboru hodnôt danej funkcie (pozri 1.4 Rovnice a nerovnice), nájsť funkčnú hodnotu funkcie v danom bode, určiť jej priesečníky so súradnicovými osami, nájsť priesečníky grafov dvoch funkcií (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

v prípade konštantnej funkcie a funkcií bax + , , cbxax ++2

dcxbax

++ , , , , , ,

tg x

ax xa xalog xsin xcos

- určiť na danom intervale ich obor hodnôt, - určiť intervaly, na ktorých sú tieto funkcie rastúce, resp. klesajúce, - načrtnúť ich grafy, - nájsť ich najväčšie, resp. najmenšie hodnoty na danom intervale ,, ba - rozhodnúť, ktoré z nich sú na danom intervale I

- prosté, - zhora (zdola) ohraničené,

určiť na danom intervale obor hodnôt funkcií tvaru )( baxf + , kde je niektorá z funkcií , , , , , tg x,

f ax xaxalog xsin xcos

•

načrtnúť grafy funkcií • - bax + , dcxbax +++ , - ak pozná graf funkcie , a opísať, ako vznikne uvedený graf

z grafu funkcie , ,|)(|),(),(),( xfxfxafxfa −++ f

fnačrtnúť graf inverznej funkcie , ak pozná graf prostej funkcie f, 1−f•

• nájsť inverzné funkcie k funkciám

- , bax+dcxbax

++ , , , , ax xa xalog

- na vhodnom intervale, cbxax ++2

- , kde je niektorá z funkcií , , , dbaxfc ++ )( f ax xa xloga

v jednoduchých prípadoch rozhodnúť o existencii riešenia rovnice (resp.0)( =xf axf =)( ), po-kiaľ vie načrtnúť graf funkcie f,

•

graficky znázorniť na číselnej osi množinu riešení nerovnice a)x(f ∗ , kde * je jeden zo symbolov , pokiaľ vie načrtnúť graf funkcie f, ≥>≤< ,,,

•

nájsť všetky riešenia nerovnice axf ∗)( , pokiaľ vie riešiť rovnicu a súčasne vie načrtnúť graf funkcie f,

axf =)(•

použiť dané (alebo žiakom objavené) rekurentné vzťahy pri riešení jednoduchých úloh (pozri 5.1 Kombinatorika a pravdepodobnosť),

•

• vypočítať hodnotu daného člena postupnosti danej jednoduchým rekurentným vzťahom, • v jednoduchých prípadoch rozhodnúť, či dve postupnosti, z ktorých jedna je daná rekurentne a dru-

há explicitne, sú rovnaké, • v jednoduchých prípadoch rozhodnúť o raste, resp. klesaní postupnosti (pozri príklad 3). Príklady 1. Veličiny x, y sú vyjadrené pomocou premennej t nasledovne:

a) , tytx 27,13 2 −=+=b) . tytx 44 cos,sin ==

Zistite, či veličina x je funkciou veličiny y alebo veličina y je funkciou veličiny x.

13

2. Všímajme si všetky rovnoramenné trojuholníky so základňou 8 cm. Zistite, či v týchto trojuholní-

koch je a) výška na rameno funkciou výšky na základňu, b) výška na základňu funkciou výšky na rameno.

3. Od ktorého člena počnúc je postupnosť nn

nan 10073

2

2

−−

= monotónna?

2.2 Lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická postupnosť Obsah

Pojmy: lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická postupnosť, smernica priamky, diferencia aritmetic-kej postupnosti, dotyčnica paraboly, vrchol paraboly. Vlastnosti a vzťahy:

grafom lineárnej (kvadratickej) funkcie je priamka (parabola), • • • • •

•

•

lineárna (kvadratická) funkcia je jednoznačne určená funkčnými hodnotami v 2 (3) bodoch, vzťah medzi koeficientom pri lineárnom člene a rastom, resp. klesaním lineárnej funkcie, vzťah medzi diferenciou aritmetickej postupnosti a jej rastom, resp. klesaním, kvadratická funkcia má na R jediný globálny extrém, minimum v prípade kladného koeficientu pri kvadratickom člene, maximum v opačnom prípade, parabola (t.j. graf kvadratickej funkcie) je súmerná podľa rovnobežky s osou y, prechádzajúcej vr-cholom paraboly.

Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: (pozri tiež 2.1 Funkcia a jej vlastnosti) • riešiť lineárne a kvadratické rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), špe-

ciálne vie nájsť priesečníky grafov 2 lineárnych (resp. 2 kvadratických) funkcií alebo lineárnej a kvadratickej funkcie,

• nájsť predpis lineárnej (alebo konštantnej) funkcie, ak pozná - hodnoty v 2 bodoch, - hodnotu v 1 bode a smernicu grafu tejto funkcie,

• nájsť predpis kvadratickej funkcie, ak pozná - jej hodnoty v 3 vhodne zvolených bodoch, - vrchol jej grafu a hodnotu v ďalšom bode, nájsť intervaly, na ktorých je daná lineárna alebo kvadratická funkcia rastúca, resp. klesajúca,

• nájsť - pokiaľ existuje - najväčšiu a najmenšiu hodnotu kvadratickej a lineárnej funkcie na danom intervale, špeciálne vie nájsť vrchol grafu kvadratickej funkcie, ak pozná jej predpis,

• upraviť (napríklad rozlišovaním prípadov pri odstraňovaní absolútnej hodnoty) predpis funkcie tvaru srxbaxxf +++=)( , resp. srxcbxaxxf ++++= 2)( na predpisy dvoch lineárnych, resp. kvadratických funkcií na vhodných intervaloch,

• nájsť dotyčnicu kvadratickej funkcie v danom bode jej grafu (pozri 2.6 Limita a derivácia, geomet-rický rad),

• určiť hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej postupnosti, ak pozná - jeden jej člen a diferenciu, - dva rôzne členy,

14

pre aritmetickú postupnosť (danú explicitne) napísať zodpovedajúci rekurentný vzťah, • • nájsť súčet n (pre konkrétne aj všeobecné n) za sebou nasledujúcich členov danej aritmetickej po-

stupnosti. 2.3 Mnohočleny a mocninové funkcie, lineárna lomená funkcia Obsah

Pojmy: mocnina, n-tá odmocnina, mocnina s prirodzeným, celočíselným, racionálnym exponentom, polynóm, mnohočlen, mocninová funkcia, koeficient pri n-tej mocnine (v polynomickej funkcii), expo-nent, lineárna lomená funkcia, asymptoty grafu lineárnej lomenej funkcie. Vlastnosti a vzťahy: • polynóm stupňa n má najviac n rôznych reálnych koreňov,

• , ,srsr xxx =+ ( ) rssr xx = rr x

x−=

1 , , rrr yxxy =)( Zsr ∈, , resp. Qsr ∈, ,

• nmm n xx = , ( ) n mmn xx = , nnn xyyx =. , pre , 0≥y,x Nn,m ∈ , • polynóm nepárneho stupňa má aspoň 1 reálny koreň. Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: (pozri tiež 2.1 Funkcia a jej vlastnosti) • použiť rovnosti z časti Vlastnosti a vzťahy pri úpravách výrazov (pozri 1.2 Čísla, premenné, výra-

zy), • riešiť rovnice a nerovnice s polynomickými, mocninovými a lineárnymi lomenými funkciami (po-

zri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), • schematicky načrtnúť a porovnať grafy funkcií pre rôzne hodnoty na intervaloch

, , , ( ) , nxy = Zn∈

( )1,−∞− ( )0,1− ( )1,0 ∞,1• vypočítať deriváciu a integrál polynomickej funkcie a mocniny s reálnym exponentom (pozri 2.6

Limita a derivácia, geometrický rad, 2.7 Integrálny počet), • na základe výpočtu derivácie načrtnúť graf polynomickej funkcie, zistiť, kde je rastúca, resp. klesa-

júca (ak vie vyriešiť nerovnice 0)( ∗′ xf , pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), a na základe znamienok funkčných hodnôt v bodoch lokálnych extrémov zistiť počet priesečníkov tohto grafu s osou x, nájsť rovnice asymptot grafu lineárnej lomenej funkcie, •

• nájsť intervaly, na ktorých je lineárna lomená funkcia rastúca, resp. klesajúca a nájsť k nej inverznú funkciu,

• opísať vlastnosti - funkcií , kde , polynomických funkcií a lineárnej lomenej funkcie pre hodnoty

x zväčšujúce sa do alebo do

nxxf =)( Zn∈∞ ∞− ,

- funkcií , kde , pre hodnoty x blízke 0, nxxf =)( Zn∈

- lineárnej lomenej funkcie dcxbaxxf

++

=)( pre hodnoty x blízke číslu cd

−

(pozri tiež 2.6 Limita a derivácia, geometrický rad).

15

2.4 Logaritmické a exponenciálne funkcie, geometrická postupnosť Obsah

Pojmy: exponenciálna a logaritmická funkcia, základ exponenciálnej a logaritmickej funkcie, číslo e, logaritmus, prirodzený logaritmus, geometrická postupnosť, kvocient geometrickej postupnosti. Vlastnosti a vzťahy: • re ,. srsr aaa =+ rssr aa =)( p Rsraa ∈≠> ,,1,0 ,

• xx

aa 1

=− ,

• pre bxba ax log=⇔= Rxbaa ∈>≠> ,0,1,0 ,

• , )(logloglog rssr aaa =+srsr aaa logloglog =− pre 0,,1,0 >≠> sraa ,

• pre rsr as

a log)(log = Rsraa ∈>≠> ,0,1,0 ,

• rss

a

ar log

loglog = pre , 0,, >rsa 1, ≠ra ,

• pre . xa xa =log 0,1,0 >≠> xaa Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: (pozri tiež 2.1 Funkcia a jej vlastnosti) (exponenciálna funkcia) • použiť rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy pri úprave výrazov (pozri 1.2 Čísla, premenné,

výrazy), • riešiť exponenciálne rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), • rozhodnúť o raste, resp. klesaní funkcie v závislosti od čísla a vie načrtnúť graf tejto funkcie

s vyznačením jeho “význačných” bodov (t.j. (0,1), (1,a)), xa a

• rozhodnúť o ohraničenosti zhora, resp. zdola funkcie na danom intervale, xa• vyjadriť n–tý člen geometrickej postupnosti (pre konkrétne aj všeobecné n) pomocou jej prvého

(alebo iného než n–tého) člena a kvocientu q, • nájsť súčet n za sebou nasledujúcich členov geometrickej postupnosti (pre konkrétne aj všeobecné

n), • rozhodnúť o raste, resp. klesaní geometrickej postupnosti v závislosti od jej prvého člena a kvocien-

tu, • opísať správanie sa funkcií xaxf =)( , kde , pre hodnoty x zväčšujúce sa do 1>a ∞+ alebo ∞−

(pozri tiež 2.6 Limita a derivácia, geometrický rad), (logaritmická funkcia) • použiť rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy pri úpravách výrazov (pozri 1.2 Čísla, premen-

né, výrazy), • riešiť logaritmické rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), • rozhodnúť o raste, resp. klesaní funkcie v závislosti od čísla a a vie načrtnúť graf tejto funk-

cie s vyznačením jeho “význačných” bodov (t.j. xalog

[ ] [ ]1,,0,1 a ), • rozhodnúť o ohraničenosti zhora, resp. zdola logaritmickej funkcie na danom intervale, • vyriešiť jednoduché príklady na výpočet úrokov, • opísať správanie sa funkcií xxf alog)( = , kde , pre hodnoty x zväčšujúce sa do 1>a ∞+ alebo

blížiace sa k 0 (pozri tiež 2.6 Limita a derivácia, geometrický rad).

16

2.5 Goniometrické funkcie Obsah

Pojmy: π, goniometrická funkcia, sínus, kosínus, tangens, (najmenšia) perióda. Vlastnosti a vzťahy:

• hodnoty goniometrických funkcií pre uhly 0, 2

,3

,4

,6

ππππ ,

• vzorce pre sínus a kosínus dvojnásobného uhla,

• tgααα

cossin

= , , 1cossin 22 =+ αα ααπ sin2

cos =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − , ααπ cos

2sin =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − , ααπ sin)sin( −=+ ,

ααπ cos)cos( −=+ , xx sin)sin( −=− , xx cos)cos( =− , tg(–x) = –tg(x), ααα cossin22sin = , , ααα 22 sincos2cos −=

• graf funkcie kosínus vznikne posunutím grafu funkcie sínus, • periodickosť a najmenšie periódy jednotlivých goniometrických funkcií, • osi a stredy súmerností grafov goniometrických funkcií. Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: (pozri tiež 2.1 Funkcia a jej vlastnosti) • použiť rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy pri úprave goniometrických výrazov (pozri 1.2

Čísla, premenné, výrazy), • nájsť pomocou kalkulačky riešenie rovnice axf =)( , kde f je goniometrická funkcia, a to aj

v prípade, že na kalkulačne niektoré goniometrické alebo inverzné goniometrické funkcie nie sú (pozri tiež 1.2 Čísla, premenné, výrazy),

• riešiť goniometrické rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

• vyjadriť hodnoty goniometrických funkcií pre uhly ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈

2,0 πα ako pomery strán pravouhlého troj-

uholníka, • použiť goniometrické funkcie pri výpočte prvkov pravouhlého trojuholníka (pozri tiež 3.1 Základné

rovinné útvary), • vyjadriť (na základe znalosti súmerností a periodičnosti grafov goniometrických funkcií)

,cos,sin αα tg α pre R∈α ako sínus, kosínus alebo tangens vhodného uhla ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈

2,0 πβ ,

• nájsť hodnoty všetkých goniometrických funkcií pre daný argument, ak pre tento argument pozná hodnotu aspoň jednej z nich,

• načrtnúť grafy funkcií sin, cos, tg, určiť hodnoty v bodoch 0, 2

,3

,4

,6

ππππ , určiť najmenšie periódy

týchto grafov a ich osi a stredy súmernosti, • určiť podintervaly daného ohraničeného intervalu, na ktorých sú funkcie sin, cos, tg rastúce, resp.

klesajúce, • rozhodnúť o ohraničenosti funkcie tg x na danom intervale, • načrtnúť grafy funkcií )(),()),(( baxfkxfxfk + , kde a f je niektorá

z goniometrických funkcií, určiť priesečníky týchto funkcií s x–ovou osou a ich periódu a v prípade alebo aj najmenšie a najväčšie hodnoty.

Rbak ∈,,

xxf sin)( = xxf cos)( =

17

2.6 Limita a derivácia, geometrický rad Obsah

Pojmy: limita postupnosti a funkcie, nevlastná limita, spojitá funkcia, derivácia funkcie, dotyčnica ku grafu funkcie v danom bode, stacionárny bod funkcie, druhá derivácia funkcie, geometrický rad, kvo-cient geometrického radu, konvergentný a divergentný geometrický rad. Vlastnosti a vzťahy:

• 01lim =∞→ nn , pre 0lim =∞→n

n q 1<q ,

• q

aaqn

n

−=∑

∞

= 10 pre 1<q ,

• geometrický rad ∑ (kde ) diverguje pre ∞

=0n

naq 0≠a 1≥q ,

• derivácia funkcie f v bode a je smernicou dotyčnice ku grafu funkcie v bode [ ], f )(, afa• ak má funkcia v každom bode intervalu f I kladnú deriváciu, tak je na I rastúca, • vzťah medzi existenciou maxima (minima) funkcie a nulovosťou jej derivácie. Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • opísať jednoduché limitné procesy (napr. výpočet plochy pod grafom funkcie na interva-

le na základe explicitného vyjadrenia pre súčet , výpočet smernice dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode tohto grafu),

2)( xxf =[ ]10, 222 21 n+++ L

)x(fy =• vypočítať deriváciu polynomickej funkcie a mocninových funkcií a nájsť v danom bode rovnicu

dotyčnice k týmto funkciám, • na základe výpočtu derivácie nájsť intervaly, na ktorých polynomická funkcia rastie, resp. klesá a

načrtnúť jej graf (pokiaľ vie riešiť nerovnice 0)( ∗′ xf , pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), na základe znamienok funkčných hodnôt v bodoch lokálnych extrémov zistiť počet priesečníkov tohto grafu s osou x,

• v prípade jednoduchých slovných úloh na extrémy nájsť predpis funkcie, ktorej extrém treba nájsť, • použitím derivácií nájsť v jednoduchých prípadoch extrémy funkcií na uzavretom ohraničenom

intervale, • opísať správanie sa

- polynómov pre a ∞→x −∞→x ,

- lineárnej lomenej funkcie dcxbaxy

++

= pre ∞→x a −∞→x , cdx −→ ,

- funkcií , kde , nxy −= Nn∈ xy alog= pre hodnoty x blížiace sa k 0,

- funkcie xy tan= pre hodnoty x blížiace sa k 2π ,

rozhodnúť, či je daný geometrický rad konvergentný, • • nájsť súčet konvergentného geometrického radu. 2.7 Integrálny počet Obsah

18

Pojmy: neurčitý integrál, integračná premenná, integračná konštanta, plocha ohraničená grafmi funkcií, (Riemannov) určitý integrál, Newtonov-Leibnizov vzorec. Vlastnosti a vzťahy: • Newtonov-Leibnizov vzorec pre výpočet určitého integrálu (tj. vzťah medzi primitívnou funkciou

k funkcii a integrálom ), špeciálne vzťah medzi veľkosťou plochy ohraničenej grafom nezápornej funkcie a primitívnou funkciou k tejto funkcii,

f ∫b

adxxf )(

f• ak aj , tak F a G sa líšia o konštantu (integračná konštanta). )()( xfxF =′ )()( xfxG =′ Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • na základe znalostí derivácií funkcií nájsť , ak je polynóm alebo niektorá z funkcií

a pre tieto funkcie vie použitím Newtonovho–Leibnizovho vzorca vypočítať , ∫ dxxf )( f

rbax )( + ∫b

adxxf )(

• v jednoduchých prípadoch pomocou integrálu vyjadriť veľkosť plochy [ ]{ })()(],[,, 2 xgyxfbaxRyx ≤≤∧∈∈ ,

resp. plochy ohraničenej grafmi dvoch spojitých funkcií (ak vie nájsť priesečníky týchto dvoch funkcií, pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

• opísať limitné procesy používané pri výpočte veľkosti plôch (napr. vypĺňanie, ohraničovanie zhora a zdola).

3. PLANIMETRIA 3. 1 Základné rovinné útvary Obsah

Pojmy: a) Lineárne útvary. Bod, priamka, polpriamka, úsečka, stred úsečky, deliaci pomer, polrovina, rovnobežné a rôznobežné priamky, uhol (ostrý, pravý, tupý, konvexný, priamy a nekonvexný uhol), susedné, vrcholové, súhlasné a striedavé uhly, os úsečky, os uhla, uhol dvoch priamok, kolmé priamky, kolmica, vzdialenosť (dvoch bodov, bodu od priamky, rovnobežných priamok). b) Kružnica a kruh. Stred, polomer (ako číslo i ako úsečka), priemer, tetiva, kružnicový oblúk, dotyčnica, sečnica a nesečnica, stredový a obvodový uhol, obvod kruhu a dĺžka kružnicového oblúka, kruhový výsek a odsek, medzikružie, obsah kruhu a kruhového výseku, spoločné (vonkajšie, vnútorné) dotyčnice dvoch kružníc. c) Trojuholník. Trojuholník (ostrouhlý, pravouhlý, tupouhlý, rovnoramenný a rovnostranný trojuholník), vrchol, strana (ako vzdialenosť, ako úsečka), výška (ako vzdialenosť, ako úsečka i ako priamka), uhol, ťažnica, ťaži-sko, stredná priečka, kružnica trojuholníku opísaná, kružnica do trojuholníka vpísaná, obvod a plošný obsah trojuholníka, trojuholníková nerovnosť, Pytagorova veta, Euklidove vety, sínusová a kosínusová veta. d) Štvoruholníky a mnohouholníky. Vrchol, strana (ako vzdialenosť, ako úsečka), uhlopriečka, uhol, konvexný štvoruholník, rovnobežník, kosoštvorec, obdĺžnik, štvorec, lichobežník, rovnoramenný lichobežník, základňa a rameno lichobežní-

19

ka, výška rovnobežníka a lichobežníka, plošný obsah rovnobežníka a lichobežníka, konvex-né, nekonvexné a pravidelné mnohouholníky, obsah mnohouholníka. Vlastnosti a vzťahy: a) Lineárne útvary

• Súhlasné uhly pri dvoch rovnobežkách sú rovnaké, • striedavé uhly pri dvoch rovnobežkách sú rovnaké, • súčet susedných uhlov je 180°, • vrcholové uhly sú rovnaké.

b) Trojuholník • Trojuholníková nerovnosť, • súčet vnútorných uhlov trojuholníka, • oproti väčšej (rovnakej) strane leží väčší (rovnaký) uhol, oproti rovnakým stranám ležia rovnaké

uhly, • delenie ťažníc ťažiskom, • priesečník osí strán je stred opísanej kružnice, priesečník osí uhlov je stred vpísanej kružnice, • vyjadrenie obsahu trojuholníka pomocou

- dĺžky strany a k nej príslušnej výšky, - dvoch strán a sínusu uhla týmito stranami zovretého,

• Pytagorova veta, goniometria pravouhlého trojuholníka (pozri 2.5. Goniometrické funkcie), • vyjadrenie kosínusov uhlov trojuholníka pomocou dĺžok strán (kosínusová veta),

• γβα sinsinsin

cba== =2r, kde r je polomer opísanej kružnice (sínusová veta),

• vyjadrenie polomeru vpísanej kružnice pomocou jeho obsahu a obvodu, • zhodné a podobné trojuholníky, vety o zhodnosti (sss, sus, usu, Ssu) a podobnosti (sss, sus, uu)

trojuholníkov, Euklidove vety, • vzťah medzi pomerom podobnosti dvoch trojuholníkov a

- dĺžkami odpovedajúcich si úsečiek, - veľkosťami odpovedajúcich si uhlov, - ich plošnými obsahmi.

c) Kružnica a kruh • Kružnica je jednoznačne určená stredom a polomerom, resp. tromi svojimi bodmi, • žiadne tri body kružnice neležia na priamke, • kolmosť dotyčnice k príslušnému polomeru kružnice, • Talesova veta, vzťah medzi stredovým uhlom a obvodovými uhlami príslušnými k danej tetive, • závislosť vzájomnej polohy kružnice a priamky na polomere kružnice a vzdialenosti jej stredu od

priamky, • dotykový bod dvoch kružníc leží na spojnici stredov kružníc, závislosť vzájomnej polohy dvoch

kružníc od vzdialenosti stredov kružníc a ich polomerov, • vzťahy pre výpočet obvodu a obsahu kruhu, dĺžku kružnicového oblúka a obsahu kruhového vý-

seku. d) Štvoruholníky a mnohouholníky

• Rovnobežnosť a rovnaká veľkosť protiľahlých strán rovnobežníka, • rozpoľovanie uhlopriečok v rovnobežníku, • rovnosť protiľahlých vnútorných uhlov v rovnobežníku, • súčet susedných uhlov rovnobežníka, • súčet vnútorných uhlov lichobežníka priľahlých k jeho ramenu, • uhlopriečky kosoštvorca sú na seba kolmé a rozpoľujú vnútorné uhly, • zhodnosť uhlopriečok obdĺžnika a štvorca,

20

• súčet vnútorných uhlov konvexného n-uholníka, • rovnobežník je stredovo súmerný, • obdĺžnik a štvorec sú súmerné podľa osí strán, • kosoštvorec je súmerný podľa uhlopriečok, • rovnoramenný lichobežník je súmerný podľa osi základní, • pravidelnému n-uholníku sa dá vpísať a opísať kružnica, • v rovnoramennom lichobežníku sú rovnaké uhlopriečky a rovnaké uhly pri základni, • obsah rovnobežníka vyjadrený pomocou strany a príslušnej výšky, resp. pomocou susedných

strán a uhla medzi nimi, • obsah lichobežníka vyjadrený pomocou výšky a veľkosti základní.

Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • približne vypočítať obvod a obsah narysovaných trojuholníkov, n-uholníkov, kruhov a ich častí, • vypočítať v trojuholníku, jednoznačne určenom jeho stranami, resp. stranami a uhlami, zvyšné stra-

ny a uhly, dĺžky ťažníc, výšok, polomer vpísanej a opísanej kružnice, obvod a obsah (pozri príklady 1, 2, 4, 5),

• rozhodnúť, či sú dva trojuholníky zhodné alebo podobné (pozri príklad 6), • vlastnosti zhodnosti a podobnosti použiť vo výpočtoch a dôvodeniach (pozri príklady 3, 7), • vypočítať obvod a obsah kruhu a kruhového výseku (pozri príklad 3), • rozhodnúť o vzájomnej polohe

- priamky a kružnice, - dvoch kružníc, ak pozná ich polomery a vzdialenosť stredov,

• vypočítať plošný obsah rovnobežníka, lichobežníka, resp. rozkladom na trojuholníky aj obsah iných mnohouholníkov,

• vypočítať uhol medzi uhlopriečkami, resp. medzi uhlopriečkou a stranou, v pravidelnom mnohou-holníku.

Príklady 1. Šnúra na bielizeň, dlhá 3 m, je zavesená medzi bodmi A a B, ktorých vzdialenosť je 2 m

a ktoré sú 2 m vysoko od zeme. Vo vzdialenostiach po jednom metri sú na šnúre pevne pri-chytené dve závažia. O koľko cm klesne jedno závažie, ak odstránime druhé závažie?

2. Postačí pravouhlý trojuholník, s odvesnami s dĺžkou 7 cm a 8 cm, na prikrytie mince

s priemerom 4 cm ? 3. Dve kolesá sú spojené prevodovou reťazou. Polomery kolies sú 10 cm a 5 cm, vzdialenosť stredov je

60 cm. Vypočítajte dĺžku reťaze. Hrúbku reťaze zanedbajte. 4. Dĺžky strán konvexného štvoruholníka sú |AB| = 20 cm, |BC| = 15 cm, |CD| = 15 cm, |DA| = 20 cm a

uhlopriečka BD má dĺžku 24 cm. Vypočítajte dĺžku druhej uhlopriečky. 5. Dĺžky strán konvexného štvoruholníka sú |AB| = 3 cm, |BC| = 5 cm, |CD| = 4 cm a |DA| = 6 cm, uh-

lopriečka AC je osou uhla pri vrchole A. Vypočítajte jeho plošný obsah. 6. Pre ktoré x, y sú trojuholníky so stranami 3, x, 5 a y, 6, 15 podobné?

21

7. Peter si kreslí len štvoruholníky, ktoré majú dve protiľahlé strany rovnobežné a súčasne druhé dve protiľahlé strany rovnako dlhé. Adam si kreslí len štvoruholníky, ktorým sa dá opísať kružnica a ktoré majú súčasne rovnaké uhlopriečky. Zistite, či platí, že

a) každý Adamov štvoruholník je aj Petrov, b) každý Petrov štvoruholník je aj Adamov.

3.2 Analytická geometria v rovine Obsah

Pojmy: (karteziánska) súradnicová sústava na priamke (číselná os) a v rovine, súradnice bodu, vše-obecná rovnica priamky, smernica priamky, smernicový tvar rovnice priamky, rovnica kružnice; vek-tor, umiestenie vektora, súradnice vektora, vektor opačný k danému vektoru, nulový vektor, súčet a rozdiel dvoch vektorov, násobok vektora číslom, dĺžka vektora, skalárny súčin vektorov, parametrické rovnice priamky, smerový a normálový vektor priamky. Vlastnosti a vzťahy: • vyjadrenie vzdialenosti dvoch bodov pomocou ich súradníc, • vzťah medzi smernicami dvoch rovnobežných, resp. kolmých priamok, • vzťah medzi koeficientmi všeobecných rovníc dvoch rovnobežných, resp. kolmých priamok, • aspoň jeden vzťah alebo postup pre výpočet

- uhla dvoch priamok (napr. pomocou skalárneho súčinu, kosínusovej vety alebo smerníc), - vzdialenosti bodu od priamky,

• geometrická interpretácia súčtu dvoch vektorov a násobku vektora reálnym číslom a ich vyjadrenie pomocou súradníc daných vektorov,

• body A, B a C ležia na jednej priamke, ak jeden z vektorov B – A a C – A je násobkom druhého • vzťah medzi smerovými vektormi dvoch rovnobežných priamok , • vzdialenosť dvoch bodov ako dĺžka vektora, • kolmosť dvoch priamok a jej vzťah so skalárnym súčinom ich smerových vektorov, • vyjadrenie skalárneho súčinu vektorov pomocou dĺžok vektorov a kosínusu ich uhla (resp. vyjadre-

nie kosínusu uhla dvoch vektorov pomocou ich skalárneho súčinu a ich dĺžok), vyjadrenie skalár-neho súčinu vektorov pomocou ich súradníc,

• vzťah medzi koeficientmi všeobecnej rovnice priamky a normálovým vektorom priamky. Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • zostrojiť (v danej súradnicovej sústave) obrazy bodov, ak pozná ich súradnice, a určiť sú-

radnice daných bodov, • vypočítať súradnice stredu úsečky, resp. bodu, ktorý úsečku rozdeľuje v danom pomere, • napísať analytické vyjadrenie priamky (pozri tiež 3.3 Množiny bodov daných vlastností a

ich analytické vyjadrenie a 3.4 Zhodné a podobné zobrazenia) - prechádzajúcej dvoma danými bodmi, - daným bodom rovnobežne s danou priamkou, - prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku,

• určiť vzájomnú polohu dvoch priamok (ak sú dané ich rovnice) a nájsť súradnice ich prí-padného priesečníka,

• vypočítať - vzdialenosť 2 bodov, - vzdialenosť bodu od priamky, - vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok,

22

- obsah trojuholníka určeného jeho vrcholmi, - uhol dvoch priamok,

• napísať rovnicu kružnice (pozri tiež 3.3 Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadre-nie a 3.4 Zhodné a podobné zobrazenia) - ak pozná jej stred a polomer, - v tvare , ak pozná tri body, ktorými kružnica prechádza, 022 =++++ cbyyaxx

• určiť z rovnice kružnice jej stred a polomer, • opísať v súradnicovej sústave pomocou rovníc a nerovníc úsečku, kružnicu a jej časti, polrovinu a

kruh, • rozhodnúť o vzájomnej polohe

- priamky a kružnice, - dvoch kružníc, ak pozná ich rovnice,

• napísať rovnicu dotyčníc kružnice z daného bodu, resp. rovnobežných s daným smerom, • pri riešení planimetrických úloh používať analytickú metódu, t.j. vie

- vhodne si zvoliť súradnicovú sústavu a algebraicky spracovať zadanie, - pomocou vedomostí z algebry a poznatkov o vektoroch algebraicky vyriešiť úlohu, - algebraický výsledok ”preložiť” do geometrického kontextu úlohy (pozri príklad 1).

Príklady 1. V rovine s danými bodmi A, B mal žiak určiť priamku p daných vlastností. Žiak si zvolil súradnico-

vý systém tak, že A[0, 0], B[1, 0]. Riešením mu vyšla priamka s rovnicou x = 0,75. Opíšte výslednú priamku pomocou bodov A, B. (Riešením je priamka p kolmá na úsečku AB a prechádzajúca bodom C úsečky, pre ktorý platí |AC| = 3|CB|.)

2. Ukážte, že ak bod [ leží na grafe paraboly ]yx, pxy 2= , tak jeho vzdialenosť od priamky 2py −=

sa rovná jeho vzdialenosti od bodu ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ 0,

2p .

3.3 Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • geometricky opísať, načrtnúť a nájsť (v danej alebo vhodne zvolenej súradnicovej sústave) analy-

tické vyjadrenie množiny bodov s konštantnou vzdialenosťou od - bodu, - priamky, - kružnice,

• geometricky opísať a načrtnúť množiny bodov - z ktorých vidieť danú úsečku pod daným uhlom, - ktoré majú rovnakú vzdialenosť od

- dvoch bodov, - dvoch rovnobežných priamok, - dvoch rôznobežných priamok,

• geometricky opísať a načrtnúť množiny bodov, ktoré majú - od daného bodu vzdialenosť menšiu (väčšiu) ako dané kladné číslo, - od danej priamky vzdialenosť menšiu (väčšiu) ako dané kladné číslo,

23

- od jedného bodu väčšiu vzdialenosť ako od druhého bodu, - od jednej danej priamky väčšiu vzdialenosť ako od druhej danej priamky,

• opísať v jednoduchých prípadoch množinu bodov daných vlastností - pomocou uhlov, častí priamky, kružnice a kruhu (pozri príklady 1, 2, 3), - pomocou zhodných a podobných zobrazení (pozri príklad 4), - vo vhodne zvolenej súradnicovej sústave analyticky pomocou jednoduchých rovníc a nerovníc

(pozri príklad 5), • znázorniť množinu bodov [ , pre ktoré platí ]yx,

- y* f(x), kde * je jeden zo znakov ≥>≤< ,,, a f je predpis funkcie, ktorej graf vie žiak znázorniť (pozri 2.1 Funkcia a jej vlastnosti),

- ax + by + c * 0, - , 022 ∗++++ mdyaybxax- ak vie načrtnúť krivku ,0),( ∗yxf 0),( =yxf

a v jednoduchých prípadoch aj množinu bodov [ ]yx, , ktorá je opísaná sústavou dvoch z pred-chádzajúcich nerovníc (pozri tiež 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

• tieto množiny bodov použiť pri riešení jednoduchých konštrukčných úloh (pozri 3.5 Konštrukčné úlohy).

Príklady 1. Dané sú body A, B. Nech bod C je vrcholom ľubovolného pravouhlého trojuholníka s preponou AB.

Určte množinu ťažísk týchto trojuholníkov. 2. Dané sú body A, B, D, ktoré neležia na jednej priamke. Nájdite množinu bodov C, pre ktoré je štvor-

uholník ABCD konvexný a súčasne trojuholníky ABD a ABC majú rovnaký obsah. (Riešením je po-lpriamka s krajným bodom D, rovnobežná s priamkou AB.)

3. Daná je úsečka AB. Určte množinu bodov, ktorých vzdialenosť od priamky AB je rovná dĺžke úsečky

AB, a z ktorých je vidieť úsečku AB pod uhlom 450. 4. Dané sú body A, B. Nech bod C je vrcholom ľubovolného pravouhlého trojuholníka s preponou AB.

Určte množinu bodov X, ktoré delia stranu AC v pomere 1 : 2. 5. Dané sú body A, B. Nájdite množinu bodov C, pre ktoré platí 2222 BCACAB += . (Ak zvolíme sú-

radnicovú sústavu tak, aby ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡− 0,

2,0,

2dBdA , kde d je dĺžka úsečky AB, bude pre súradnice x, y

bodu platiť [ yxC , ]4

3 222 dyx =+ .)

3.4 Zhodné a podobné zobrazenia Obsah

Pojmy: zhodné zobrazenie, osová súmernosť, os súmernosti, posunutie, stredová súmernosť, stred sú-mernosti, otočenie, stred otočenia, orientovaný uhol a jeho veľkosti, uhol otočenia, osovo a stredovo súmerný útvar; rovnoľahlosť, stred a koeficient rovnoľahlosti, samodružný bod, skladanie zobrazení, inverzné zobrazenie. Vlastnosti a vzťahy:

24

• stredová súmernosť je jednoznačne určená stredom súmernosti, resp. dvoma odpovedajúcimi si bodmi,

• osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti, resp. dvoma odpovedajúcimi si bodmi, • otočenie je jednoznačne určené stredom a uhlom otáčania, • posunutie je jednoznačne určené vektorom posunutia, resp. dvoma odpovedajúcimi si bodmi, • vzťah medzi orientovaným uhlom a jeho veľkosťami, • rovnobežník je stredovo súmerný, • obdĺžnik a štvorec sú súmerné podľa osí strán, • kosoštvorec je súmerný podľa uhlopriečok, • rovnoramenný lichobežník je súmerný podľa osi základní, • nech A,B sú dva osovo súmerné body podľa priamky p, potom AB je kolmá na p a stred AB leží na

p, • priamka a jej obraz v posunutí sú rovnobežné, • rovnoľahlosť je jednoznačne určená stredom a koeficientom rovnoľahlosti, dvoma vhodne zvole-

nými dvojicami odpovedajúcich bodov, • dve rovnoľahlé priamky sú rovnobežné, • každé dve nerovnaké rovnobežné úsečky sú rovnoľahlé (dvoma spôsobmi), • každé dve kružnice s rôznym polomerom sú si podobné (sú rovnoľahlé), • vonkajšie (vnútorné) spoločné dotyčnice dvoch kružníc sa pretínajú v strede rovnoľahlosti, • vzťah medzi pomerom podobnosti dvoch útvarov a

- dĺžkami zodpovedajúcich si úsečiek, - veľkosťami zodpovedajúcich si uhlov, - ich plošnými obsahmi.

Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • zobraziť daný útvar v danom zhodnom alebo podobnom zobrazení, • rozhodnúť, či je daný útvar osovo (stredovo) súmerný, • napísať súradnice bodu (rovnicu priamky, úsečky, kružnice alebo jej časti), ktorý je obrazom dané-

ho bodu (danej priamky, úsečky, kružnice alebo jej časti), - v súmernosti podľa začiatku súradnej sústavy, resp. podľa daného stredu, - v súmernosti podľa niektorej súradnej osi, alebo podľa priamky rovnobežnej so súradnou osou,

alebo podľa priamky y = x (pozri tiež inverznú funkciu v 2.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnos-ti),

- v posunutí, • opísať zobrazenie, ktoré vznikne zložením dvoch osových súmerností, • určiť inverzné zobrazenie k danému zhodnému alebo podobnému zobrazeniu, • zostrojiť

- stredy rovnoľahlosti dvoch daných kružníc, - obraz daného útvaru v danom zhodnom zobrazení alebo v rovnoľahlosti, resp. útvar podobný

s daným útvarom, pri danom pomere podobnosti, • zhodné zobrazenia a rovnoľahlosť (resp. podobnosť) použiť

- v konštrukčných úlohách (pozri 3.5 Konštrukčné úlohy), - pri zisťovaní množiny bodov daných vlastností (pozri 3.3 Množiny bodov daných vlastností

a ich analytické vyjadrenie). 3.5 Konštrukčné úlohy Obsah

25

Pojmy: rozbor, náčrt, konštrukcia, postup konštrukcie. Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • zdôvodniť postup konštrukcie, t. j. urobiť rozbor jednoduchých konštrukčných úloh, pričom vie

použiť - nasledujúce základné konštrukcie (na ktoré sa môže pri opise postupu zložitejších kon-

štrukčných úloh odvolávať bez toho, aby ich podrobne rozpisoval): - rovnobežku s danou priamkou daným bodom, - rovnobežku s danou priamkou v predpísanej vzdialenosti, - os úsečky, os uhla, - priamku, ktorá prechádza daným bodom a zviera s danou priamkou daný uhol,

- úsečku dĺžky c

ab (pomocou podobnosti), ab (pomocou Euklidových viet), kde a, b, c sú

dĺžky narysovaných úsečiek, - rozdeliť úsečku v danom pomere, - trojuholník určený:

- tromi stranami, - dvoma stranami a uhlom, - dvoma uhlami a stranou,

- kružnicu - trojuholníku opísanú, - do trojuholníka vpísanú,

- dotyčnicu kružnice - v danom bode kružnice, - z daného bodu ležiaceho mimo kružnice, - rovnobežnú s danou priamkou,

- stredy rovnoľahlosti dvoch kružníc a spoločné dotyčnice dvoch kružníc, - obraz daného bodu, úsečky, priamky, kružnice a jej častí v danom zhodnom zobrazení, resp.

v rovnoľahlosti (pozri 3. 4 Zhodné a podobné zobrazenia), - množiny bodov daných vlastností, uvedené v prvej a druhej odrážke v 3.3 Množiny bodov

daných vlastností a ich analytické vyjadrenie, - množiny bodov daných vlastností, - vhodné zhodné zobrazenie alebo rovnoľahlosť, resp. podobnosť,

(pozri príklady 1 – 4), • pri kreslení náčrtu pri rozbore úlohy rozlíšiť jednotlivé možnosti zadania (napr. “výška leží

v trojuholníku” a “výška je mimo trojuholníka”), • na základe vykonaného (daného) rozboru napísať postup konštrukcie (pozri príklad 5), • uskutočniť konštrukciu danú opisom, • rozhodnúť (aj na základe pomocných výpočtov) o medzných hodnotách vstupných údajov (pozri

príklad 6), • určiť počet riešení v prípade číselne zadaných úloh. Príklady 1. (postupné rysovanie) Zostrojte trojuholník ABC, keď je dané c = 6 cm, α = 75°, = 8 cm. (Na zá-

klade uvedených údajov je možné skonštruovať trojuholník ASC (S je stred strany AB), v ktorom sú dané 2 strany a uhol.)

ct

26

2. (využitie množín bodov daných vlastností) Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané a = 6 cm, α = 75°, = 8 cm. (Hľadaný vrchol A má danú vzdialenosť od stredu S strany BC a túto stranu z neho vidno

pod daným uhlom.) at

3. (využitie zhodných zobrazení) Dané sú dve rôznobežné priamky a, b a bod S ležiaci mimo nich, zo-

strojte body A∈ a, B∈ b, ak viete, že S je stred AB. (Body A a B sú súmerné podľa bodu S.) 4. (využitie podobnosti) Zostrojte trojuholník ABC, keď je dané α = 75°, β = 45°, obvod O = 13 cm.

(Dá sa narysovať trojuholník podobný s hľadaným.) 5. Tu je Adamov rozbor úlohy “Zostrojte štvoruholník ABCD, |AB| = 3 cm, |BC| = 5 cm, |CD| = 4 cm a

|DA| = 6 cm, ak viete, že uhlopriečka AC je osou uhla pri vrchole A.”. Rozbor: Zostrojím si bod X súmerný podľa AC s bodom B. Podľa zadania úlohy leží bod X na strane AD. V trojuholníku CDX si viem vyjadriť dĺžky všetkých jeho strán pomocou strán štvoruholníka ABCD, teda ho viem zostrojiť. Potom je už celá konštrukcia jasná. Napíšte postup Adamovej konštrukcie.

6. Pre ktorú hodnotu a (zvyšné zadanie sa nemení) bude mať úloha 2 jediné riešenie (nebude mať rie-

šenie)? 4. STEREOMETRIA

4.1 Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Obsah Pojmy: premietanie (voľné rovnobežné premietanie), priemet priestorového útvaru do roviny.

Vlastnosti a vzťahy : • voľné rovnobežné premietanie zachováva deliaci pomer a rovnobežnosť.

Požiadavky na vedomosti a zručnosti Žiak vie: • použiť vlastnosti voľného rovnobežného premietania pri zobrazovaní kocky, pravidelných hranolov

a pravidelných ihlanov. (Pozri príklad 1). Príklady 1. Na obrázku je torzo priemetu kocky ABCDEFGH vo voľnom

rovnobežnom premietaní. Doplňte priemety bodov B, D, E a G. 4.2 Súradnicová sústava v priestore, vektory, analytická metóda Obsah

27

Pojmy: (karteziánska) sústava súradníc v priestore, bod a jeho súradnice, vzdialenosť bodov, vektor, umiestenie vektora, súradnice vektora, opačný vektor, nulový vektor, súčet a rozdiel dvoch vektorov, násobok vektora číslom, smerové vektory (priamky a roviny), parametrické rovnice priamky a roviny, skalárny súčin vektorov, dĺžka vektora, kolmosť a uhol dvoch vektorov, normálový vektor roviny, vše-obecná rovnica roviny. Vlastnosti a vzťahy: • body A, B a C ležia na jednej priamke, ak jeden z vektorov B – A, C – A je násobkom druhého, • body A, B, C a D ležia v jednej rovine, ak jeden z vektorov B – A, C – A, D – A je lineárnou kom-

bináciou (súčtom násobkov) ostatných, • vyjadrenie vzdialenosti dvoch bodov pomocou ich súradníc, • súradnice a geometrická interpretácia súčtu a rozdielu dvoch vektorov a násobku vektora reálnym

číslom, • vyjadrenie skalárneho súčinu vektorov pomocou dĺžok vektorov a kosínusu ich uhla (resp. vyjadre-

nie kosínusu uhla dvoch vektorov pomocou ich skalárneho súčinu a ich dĺžok), vyjadrenie skalár-neho súčinu vektorov pomocou ich súradníc,

• vzťah medzi kolmosťou vektorov a ich skalárnym súčinom, • vzťah medzi koeficientmi všeobecnej rovnice roviny a normálovým vektorom roviny. Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • zostrojiť (v danej súradnicovej sústave) obrazy bodov, ak pozná ich súradnice, a určiť súrad-

nice daných bodov (pozri tiež 4.3 Lineárne útvary v priestore – polohové úlohy a 4.4 Lineárne út-vary v priestore – metrické úlohy),

• zostrojiť lineárnu kombináciu (súčet násobkov) daných vektorov a vie nájsť jej súradnice, • určiť súradnice stredu úsečky a súradnice bodu, ktorý delí danú úsečku v danom pomere, • určiť analytické vyjadrenie (pozri tiež 4.3 Lineárne útvary v priestore – polohové úlohy)

- priamky určenej dvoma bodmi, bodom a smerovým vektorom, - roviny určenej troma bodmi, priamkou a bodom, dvoma priamkami, bodom a normálovým vek-

torom, • rozložiť vektor na súčet násobkov daných vektorov, • z parametrických rovníc roviny určiť jej všeobecnú rovnicu a naopak, • vhodnou voľbou súradnicovej sústavy algebraizovať geometrický problém, špeciálne vo vhodne

zvolenej súradnicovej sústave opísať vrcholy daného kvádra (pozri príklad 1), • geometricky interpretovať výsledok získaný algebraickými prostriedkami. Príklady 1. Bod X patrí hrane GH kocky ABCDEFGH a pre jeho polo-

hu platí 2:3: =XGHX . Aká musí byť poloha bodu Y na úsečke EH, aby úsečky AX a CY boli rôznobežné (pozri ob-rázok)?

28

4.3 Lineárne útvary v priestore - polohové úlohy Obsah

Pojmy: bod, priamka a rovina v priestore, rovnobežné, rôznobežné a mimobežné priamky, rovnobež-nosť a rôznobežnosť priamky a roviny, rovnobežné a rôznobežné roviny, priesečnica dvoch rovín, rez telesa rovinou, súmernosť podľa bodu. Vlastnosti a vzťahy: • rovnobežné (rôznobežné) priamky ležia v jednej rovine, mimobežné priamky neležia v jednej rovi-

ne, • rovnobežné priamky majú rovnaké smerové vektory, • rovnobežné roviny majú rovnaké normálové vektory, • smerový vektor priamky rovnobežnej s rovinou je aj smerovým vektorom roviny, • priesečnice roviny s dvoma rovnobežnými rovinami sú rovnobežné, • priamky (roviny) súmerné podľa bodu sú rovnobežné. Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • opísať možnosti pre vzájomné polohy ľubovoľných dvoch lineárnych útvarov, • rozhodnúť o vzájomnej polohe dvoch lineárnych útvarov daných súradnicami bodov, rovnicami

priamok a rovín, alebo pomocou ich obrazu vo voľnom rovnobežnom premietaní (pozri príklady 1, 2),

• určiť súradnice spoločného bodu alebo rovnicu spoločnej priamky použitím analytickej metódy alebo voľného rovnobežného premietania,

• súradnicami určiť bod, ktorý je súmerný k danému bodu podľa daného bodu, • parametrickými rovnicami opísať priamku, ktorá je súmerná k danej priamke podľa daného bodu, • rovnicou opísať rovinu

- prechádzajúcu daným bodom rovnobežne s danou rovinou, - súmernú s danou rovinou podľa daného bodu,

• zostrojiť vo voľnom rovnobežnom priemete jednoduchého telesa (kocky, resp. hranola) priesečník priamky (určenej 2 bodmi ležiacimi v rovinách stien kocky, resp. hranola) s rovinou steny daného telesa,

• zostrojiť rovinný rez kocky, kvádra, pravidelného hranola a pravidelných ihlanov rovinou určenou tromi bodmi ležiacimi v rovinách stien, z ktorých aspoň dva ležia v tej istej stene daného telesa.

Príklady

obr.1

1. Daná je kocka ABCDEFGH. Body K, L, M, N a O sú po

rade stredmi úsečiek AC, CG, GH, AH a KM (pozri obr. 1). Ležia body

a) H,O,C, b) G,O,A, c) B,O,H, d) N,O,L, e) D,O,F

na jednej priamke?

29

2. Daná je kocka ABCDEFGH s dĺžkou hrany 3 cm, na jej hranách AB, BC, CG, GH, HE a EA postupne bo-dy K, L, M, N, O, P také, že

PAOENHMGLCKB ===== = 1 cm (pozri obr. 2). Rozhodnite, či body K, L, M a N sú kompla-nárne (t. j. či ležia v jednej rovine).

obr. 2

4.4 Lineárne útvary v priestore - metrické úlohy Obsah

Pojmy: uhol dvoch priamok, kolmosť priamok a rovín, priamka kolmá k rovine, uhol dvoch rovín, kolmý priemet bodu a priamky do roviny, vzdialenosť dvoch lineárnych útvarov (dvoch bodov, bodu od roviny, bodu od priamky, vzdialenosť rovnobežných a mimobežných priamok, priamky a roviny s ňou rovnobežnej, vzdialenosť rovnobežných rovín), uhol priamky s rovinou, súmernosť bodov podľa priamky a roviny. Vlastnosti a vzťahy: • vyjadrenie uhla dvoch priamok pomocou ich smerových vektorov, • vzťah medzi uhlom dvoch rovín a uhlom ich normálových vektorov, • vzorec alebo postup výpočtu vzdialenosti bodu od roviny, • určenie uhla (špeciálne kolmosti) priamky a roviny pomocou smerového vektora priamky

a normálového vektora roviny, • ak je priamka kolmá na dve rôznobežné priamky roviny, tak je kolmá na rovinu. Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • na zobrazených telesách označiť

- úsečky, ktorých skutočná veľkosť predstavuje vzdialenosť daných lineárnych útvarov, - uhly, ktorých skutočná veľkosť predstavuje uhol daných lineárnych útvarov,

• vypočítať, alebo v jednoduchých prípadoch graficky určiť (t.j. narysovať v skutočnej veľkosti) - uhol (špeciálne pravý), - vzdialenosť, lineárnych útvarov daných svojimi rovnicami alebo obrazom vo voľnom rovnobežnom premietaní,

• súradnicami určiť bod, - ktorý je kolmým priemetom daného bodu do danej roviny, - súmerný k danému bodu podľa danej roviny.

4.5 Telesá Obsah

Pojmy: teleso, mnohosten, vrchol, hrana, stena, kocka, sieť kocky, hranol, kolmý a pravidelný hranol, kváder, rovnobežnosten, ihlan, zrezaný ihlan, štvorsten, pravidelný štvorsten, podstava, výšky v štvorstene, pravidelné mnohosteny, guľa a jej časti, valec, kužeľ, objemy a povrchy telies a ich častí.

30

Vlastnosti a vzťahy: • vzorce pre výpočty objemov a povrchov telies a ich častí. Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • rozhodnúť, či daná sieť je sieťou telesa daného obrazom vo voľnom rovnobežnom premietaní, • načrtnúť sieť telesa daného obrazom vo voľnom rovnobežnom premietaní, • riešiť úlohy, ktorých súčasťou je výpočet objemu, resp. povrchu kocky, kvádra, pravidelného kol-

mého hranola, rovnobežnostena, pravidelného ihlana, (aj zrezaného), gule a jej častí, valca, kužeľa a telies zložených z týchto telies a vie pri tom nájsť a aktívne použiť vzorce pre výpočet objemov a povrchov telies potrebné pre vyriešenie úlohy.

5. KOMBINATORIKA, PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA 5.1 Kombinatorika a pravdepodobnosť Obsah

Pojmy: (kombinatorické) pravidlo súčtu, (kombinatorické) pravidlo súčinu, permutácie, variácie a va-riácie s opakovaním, kombinácie, faktoriál, kombinačné číslo, Pascalov trojuholník, binomická veta, pravdepodobnosť, doplnková pravdepodobnosť, “geometrická” pravdepodobnosť, náhodný jav, nezá-vislé javy. Vlastnosti a vzťahy: • n! = 1.2.3. … . n, 0! = 1,

• )!(!

!knk

nkn

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

kn

nCk )( ,)!(

!)(kn

nnVk −= , !nPn = ,

• , , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kn

nkn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11

1 kn

kn

kn

• binomická veta, • pre pravdepodobnosť P udalosti A platí 1)(0 ≤≤ AP , • , kde 1)()( =′+ APAP A′ je doplnková udalosť k udalosti A, • pravdepodobnosť istej udalosti je 1, • , ak A, B sú nezávislé javy. )()()( BPAPBAP ⋅=∩ Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • riešiť jednoduché kombinatorické úlohy

- vypisovaním všetkých možností, pričom - vie vytvoriť systém (strom logických možností) na vypisovanie všetkých možností (ak sa

v tomto strome vyskytujú niektoré možnosti viackrát, vie určiť násobnosť ich výskytu), - dokáže objaviť podstatu daného systému a pokračovať vo vypisovaní všetkých možností, - na základe vytvoreného systému vypisovania všetkých možností určiť (pri väčšom počte

možnosti algebraickým spracovaním) počet všetkých možností, - použítím kombinatorického pravidla súčtu a súčinu, - využitím vzorcov pre počet kombinácií, variácií, variácií s opakovaním a permutácií, - použitím rekurentného prístupu (pozri príklad 1),

31

• použiť pri úprave výrazov rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy (pozri 1.4 Čísla, premenné, výrazy),

• pre konkrétne n a k nájsť koeficient pri mocnine v mnohočlene , knkba − nba )( +• rozhodnúť

- o závislosti javov A, B, ak pozná a )(),( BPAP )( BAP ∩ , - v jednoduchých prípadoch o správnosti použitia rovnosti )()()( BPAPBAP ⋅=∩ ,

• riešiť úlohy na pravdepodobnosť, založené na - hľadaní pomeru všetkých priaznivých a všetkých možností, resp. všetkých nepriaznivých a

všetkých priaznivých možností, ak vie tieto počty určiť riešením jednoduchých kombinatoric-kých úloh,

- doplnkovej pravdepodobnosti, - využití “geometrickej” pravdepodobnosti (pozri príklady 2, 3).

Príklady 1. Nech je počet všetkých možností, ako je možné zjesť n jabĺčok tak, že každý deň zjem jedno ale-bo dve jabĺčka. Vyjadrite pomocou a (Ukážte, že

na

na 1−na 2−na 21 −− += nnn aaa ). 2. Aká je pravdepodobnosť, že bod náhodne zvolený vnútri rovnostranného trojuholníka leží vnútri

kružnice, ktorá je tomuto trojuholníku vpísaná? 3. Na úsečke si náhodne zvolím bod. Aká je pravdepodobnosť, že tento bod rozdelí úsečku na dve ú-

sečky, z ktorých jedna je aspoň 7-krát väčšia ako druhá? 5.2 Štatistika Obsah

Pojmy: diagram – graf (stĺpcový, obrázkový, kruhový, lomený, spojitý, histogram), základný súbor, výberový súbor, rozdelenie, modus, medián, aritmetický, geometrický, harmonický priemer (aj viac ako dvoch čísel), stredná hodnota, smerodajná odchýlka, rozptyl, triedenie. Vlastnosti a vzťahy: • vzťahy medzi aritmetickým a geometrickým priemerom, vrátane toho, kedy nastáva rovnosť, • vzťah pre výpočet rozptylu. Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Žiak vie: • vypočítať aritmetický, geometrický a harmonický priemer daných čísel, • získavať informácie z rôznych tabuliek (napr. autobusová tabuľka) a diagramov, • spracovať údaje do vhodných diagramov, • zistiť v danom súbore modus, medián, strednú hodnotu, priemery, rozptyl, smerodajnú odchýlku

a uviesť štatistickú interpretáciu získaných výsledkov, • uviesť príklad súboru s požadovanými podmienkami na modus, medián, strednú hodnotu, priemery,

rozptyl, smerodajnú odchýlku (pozri príklad 1), • znázorniť a vyhodnotiť namerané hodnoty, • urobiť triedenie a znázorniť ho. Príklady

1. Navrhnite súbor s 8 hodnotami tak, aby v ňom aritmetický priemer bol väčší ako modus.

32

Úpravy cieľových požiadaviek z matematiky úroveň A pre žiakov so špeciálnymi výchovno-vzdelávacími potrebami

žiaci so sluchovým postihnutím

2.2 Lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická postupnosť Požiadavky na vedomosti a zručnosti vypúšťa sa pre aritmetickú postupnosť (danú explicitne) napísať zodpovedajúci rekurentný vzťah,

3.4 Zhodné a podobné zobrazenia Požiadavky na vedomosti a zručnosti vypúšťa sa opísať zobrazenie, ktoré vznikne zložením dvoch osových súmerností.

4.2 Súradnicová sústava v priestore, vektory, analytická metóda Požiadavky na vedomosti a zručnosti vypúšťa sa geometricky interpretovať výsledok získaný algebraickými výsledkami,

4.4 Lineárne útvary v priestore – metrické úlohy Požiadavky na vedomosti a zručnosti požiadavka vypočítať, alebo v jednoduchých prípadoch graficky určiť (t.j. narysovať v skutočnej veľkosti)

- uhol (špeciálne pravý), - vzdialenosť, lineárnych útvarov daných svojimi rovnicami alebo obrazom vo voľnom rovnobežnom premietaní,

sa upravuje vypočítať

- uhol (špeciálne pravý), - vzdialenosť, lineárnych útvarov daných svojimi rovnicami alebo obrazom vo voľnom rovnobežnom premietaní,

4.5 Telesá Požiadavky na vedomosti a zručnosti požiadavka riešiť úlohy, ktorých súčasťou je výpočet objemu, resp. povrchu kocky, kvádra, pravidelného kol-

mého hranola, rovnobežnostena, pravidelného ihlana, (aj zrezaného), gule a jej častí, valca a kužeľa a telies zložených z týchto telies a vie pri tom nájsť a aktívne použiť vzorce pre výpočet objemov a povrchov telies potrebné pre vyriešenie úloh.

sa upravuje riešiť úlohy, ktorých súčasťou je výpočet objemu, resp. povrchu kocky, kvádra, pravidelného kol-

mého hranola, pravidelného ihlana, (aj zrezaného) gule, valca a kužeľa a vie pri tom nájsť a aktívne použiť vzorce pre výpočet objemov a povrchov telies potrebné pre vyriešenie úloh.

5.1 Kombinatorika a pravdepodobnosť Obsah Obsah

33

Pojmy: (kombinatorické) pravidlo súčinu, (kombinatorické) pravidlo súčinu, permutácie, variácie a variácie s opakovaním, kombinácie, faktoriál, kombinačné číslo, Pascalov trojuholník, pravdepo-dobnosť, doplnková pravdepodobnosť, “geometrická” pravdepodobnosť, náhodný jav, nezávislé ja-vy.

sa upravuje Pojmy: (kombinatorické) pravidlo súčinu, (kombinatorické) pravidlo súčinu, permutácie, variácie

a variácie s opakovaním, kombinácie, faktoriál, kombinačné číslo, Pascalov trojuholník, pravdepo-dobnosť, doplnková pravdepodobnosť, náhodný jav, nezávislé javy.

Požiadavky na vedomosti a zručnosti vypúšťa sa požiadavka - riešiť jednoduché kombinatorické úlohy – použitím rekurentného prístupu,

- riešiť úlohy na pravdepodobnosť založenú na - doplnkovej pravdepodobnosti, - využití “geometrickej” pravdepodobnosti.

5.2 Štatistika Požiadavky na vedomosti a zručnosti požiadavka zistiť v danom súbore modus, medián, strednú hodnotu, priemery, rozptyl, smerodajnú odchýlku

a uviesť štatistickú interpretáciu získaných výsledkov, uviesť príklad súboru s požadovanými podmienkami na modus, medián, strednú hodnotu, priemery,

rozptyl, smerodajnú odchýlku, sa upravuje zistiť v danom súbore modus, medián, strednú hodnotu, priemery, uviesť príklad súboru s požadovanými podmienkami na modus, medián, strednú hodnotu, priemery,

žiaci so zrakovým postihnutím

1.2 Čísla, premenné a výrazy Príklady vypúšťa sa príklad č.7,

odporúčanie príklad č. 8b doplniť reliéfnym nákresom (obdĺžnik s opísanou kružnicou a zvýrazneným stredom),

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy Požiadavky na vedomosti a zručnosti vypúšťa sa schopnosť grafického riešenia a znázorňovania riešenia sústav rovníc a nerovníc z jednotlivých po-

žiadaviek, 2. Funkcie Požiadavky na vedomosti a zručnosti v požiadavkách obsahujúcich znázornenie grafov funkcií,

sa nahrádza schopnosťou ich slovného opisu,

Príklady vypúšťa sa príklad č. 1 b, 2,

34

3. Planimetria odporúčanie úlohy doplniť reliéfnymi obrázkami, voliť vhodný popis obrázkov, pretože žiaci so zrakovým postihnutím nepoznajú všetky symboly,

ktoré využívajú vidiaci, konštrukčné úlohy nahradiť slovným opisom jednotlivých krokov konštrukcie,

3.3 Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie odporúčanie len slovné overenie základných pojmov a vzťahov,

3.4 Zhodné a podobné zobrazenia odporúčanie zobrazovať jeden, dva, najviac tri body, vynechať riešenia príkladov v pravouhlej sústave súradníc,

4. Stereometria odporúčanie úlohy doplniť vhodnými priestorovými modelmi, pretože vo všeobecnosti nie je možné vyžadovať

od žiakov so zrakovým postihnutím zobrazovanie telies do roviny a ani pochopenie takýchto obráz-kov,

konštrukčné úlohy nahradiť slovným opisom jednotlivých krokov konštrukcie, 4.1 Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny vypúšťa sa bez náhrady 4.2 Súradnicová sústava v priestore, vektory, analytická metóda Príklady vypúšťa sa príklad č. 1,

4.3 Lineárne útvary v priestore – polohové úlohy Príklady vypúšťa sa príklad č. 1, 2,

4.4 Lineárne útvary v priestore – metrické úlohy Požiadavky na vedomosti a zručnosti odporúčanie len základné vlastnosti a vzťahy, nie požadované zručnosti,

5.2 Štatistika vypúšťa sa kreslenie diagramov a iné grafické vyhodnocovanie nameraných údajov.

žiaci s telesným postihnutím

2. Funkcie odporúčanie v úlohách nahradiť požiadavku načrtnúť graf funkcie otázkami s výberom odpovede,

35

3. Planimetria odporúčanie konštrukčné úlohy nahradiť slovným opisom jednotlivých krokov konštrukcie (podľa druhu postih-

nutia), 4. Stereometria odporúčanie konštrukčné úlohy nahradiť slovným opisom jednotlivých krokov konštrukcie (podľa druhu postih-

nutia),

žiaci s vývinovými poruchami učenia alebo správania

Cieľové požiadavky z matematiky pre túto skupinu žiakov sú totožné s cieľovými požiadavka-mi pre intaktných žiakov.

Žiakom so špecifickou poruchou – dyskalkúlia – neodporúčame konať maturitnú skúšku z matematiky.

žiaci s narušenou komunikačnou schopnosťou

Cieľové požiadavky z matematiky pre túto skupinu žiakov sú totožné s cieľovými požiadavka-mi pre intaktných žiakov.

žiaci chorí a zdravotne oslabení

Cieľové požiadavky z matematiky pre túto skupinu žiakov sú totožné s cieľovými požiadavka-mi pre intaktných žiakov.

žiaci s pervazívnymi vývinovými poruchami (s autizmom)

Cieľové požiadavky z matematiky pre túto skupinu žiakov sú totožné s cieľovými požiadavka-

mi pre intaktných žiakov.

36