1-1

Prednáška 1

Logika, usudzovanie a teória dôkazu

• Logika je charakterizovaná ako analýza metód používaných v ľudskom myslení alebo uvažovaní.

• Logika nie je dôležitá len v matematike a informatike, ale aj v našom každodennom bežnom živote.

• Ľudské bytosti sú jediný biologický druh na Zemi, ktorý sa správa uvedomele racionálne, dokáže vyvodzovať nové poznatky zo známych poznatkov, dokáže predvídať a plánovať svoje konanie. Racionalita je schopnosť konať a myslieť cestami, ktoré sú vedené logikou.

1-2

1. Výroková logika

Výroková logika študuje také formy usudzovania, pre ktoré platnosť záverov nezávisí od obsahu a ani od vnútornej štruktúry výrokov, ale výlučne len na pravdivosti či nepravdivosti týchto výrokov.

(1) Atóm je fyzikálna štruktúra. (2) Atóm je sociálna štruktúra. (3) Vo vesmíre existuje život aj mimo Zeme. (4) Láska je rádioaktívna. (5) Rast nášho hospodárstva má neustálu tendenciu.

Možno konštatovať, že veta (1) je pravdivá, zatiaľ čo veta (2) je nepravdivá. O vete (3) zatiaľ nemôžeme rozhodnúť jej pravdivosť alebo nepravdivosť. Veta (4) je síce gramaticky správna, ale je to zrejmý nezmysel. Konečne, skladba vety (5) je chybná, takže nemá vôbec žiadny zmysel sa pýtať na jej pravdivosť alebo nepravdivosť.

1-3

• Výrok sa definuje ako jednoduchá oznamovacia veta, pre ktorú má zmysel pýtať sa či je alebo nie je pravdivá. • Pravdivosť alebo nepravdivosť nejakého výroku budeme označovať za pravdivostnú hodnotu daného výroku. • Prirodzený jazyk obsahuje spojky (napr. a, alebo, ak..., potom..., je ekvivalentné, nie je pravda, že...) pomocou ktorých z jednoduchých výrokov vytvárame zložitejšie výroky, pričom ich pravdivosť alebo nepravdivosť je určená len pravdivostnými hodnotami ich zložiek. • Výroková logika sa zaoberá takými formami usudzovania, ktoré závisia len na pravdivosti alebo nepravdivosti použitých výrokov, a nie na tom, či majú alebo nemajú zmysel. • Výroky majú pravdivostnú hodnotu 0 (nepravdivý) alebo 1 (pravdivý). • Jednotlivé elementárne výroky (nazývané výrokové premenné, ktoré budeme označovať p, q, r, ...) spájame logickými spojkami do zložitejších výrokov, ktoré môžu byť ďalej spájané spojkami do ďalších výrokov, atď.

1-4

Tabuľka pravdivostných hodnôt logických spojok

p q p

q p q∧ (konjunkcia)

p q∨ (disjunkcia)

p q⇒ (implikácia)

p q⇔ (ekvivalencia)

0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1

Negácie výrokov sú označené p a q , binárne symboly 0 a 1 reprezentujú „pravdu“ resp. „nepravdu“.

1-5

Formule výrokovej logiky sú definované takto: (1) Každá výroková premenná je formula, (2) Ak p a q sú výrokové formule, potom aj ( )p,q , p q ,∧ ( ) ( )p q , p q∨ ⇒ ,

( )p q⇔ sú formule. Zátvorky sa používajú ako pomocné symboly, pomocou ktorých môžeme odstrániť prípadnú nejednoznačnosť výrokových formúl. Uvažujme formulu p q r∧ ∨ , môžeme ju interpretovať dvoma rôznymi spôsobmi ( )p q r∧ ∨ alebo

( )p q r∧ ∨ . Vyššie špecifikovaný spôsob konštrukcie výrokových formúl nazývame syntaxom výrokovej logiky. Vo výrokovej logike, nie každé zreťazenie prípustných symbolov nám definuje formulu, existujú formule, ktoré nie sú syntakticky správne (napr. formula ( )p q⇒⇒ ∨ ∧ ).

1-6

Pre každú formulu výrokovej logiky môžeme zostrojiť tzv. pravdivostnú tabuľku, v ktorej sú postupne počítané hodnoty jej „podformúl“. Pre ilustráciu uvedieme pravdivostnú tabuľku formule ( ) ( )p q p q⇒ ⇒ ∧

1 2 3 4 5 p q 1 2⇒ 1 2∧ 3 4⇒0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1

Z tejto tabuľky vyplýva, že existujú také pravdivostné hodnoty premenných p a q (p=0, q=0 a p=0, q=1), pre ktoré je pravdivostná hodnota danej výrokovej formule nepravdivá (0).

1-7

• Vo výrokovej logike majú mimoriadne postavenie také formule, ktorých pravdivostná tabuľka je pravdivá pre všetky možné kombinácie pravdivostných hodnôt premenných vo všetkých riadkoch – tautológie, ktoré majú postavenie „zákonov“ výrokovej logiky.

• Ich používanie pri odvodzovaní nových formúl zabezpečuje, že tieto sú taktiež tautológie.

• Opakom tautológie je kontradikcia, t.j. formula, ktorá je pre všetky možné pravdivostné hodnoty jej výrokov nepravdivá. Jednoduchým príkladom kontradikcie je p p∧ .

• Formula, ktorá nie je ani tautológiou a ani kontradikciou, sa nazýva splniteľná formula. Splniteľná formula je pravdivá pre niektoré pravdivostné hodnoty jej výrokov, ale je aj nepravdivá pre iné pravdivostné hodnoty jej výrokov.

1-8

Každá výroková formula je reprezentovaná pomocou grafického útvaru

nazývaného syntaktický strom

Obrázok. Syntaktický strom formule ( ) ( )p q p q⇒ ⇒ ∧ . Koncové vrcholy stromu reprezentujú výrokové premenné p a q, vrcholy z nasledujúcich vrstiev sú priradené spojkám implikácie a konjunkcie. Vyhodnocovanie tohto stromu prebieha postupne z dolu na hor.

1-9

Syntax formúl výrokovej logiky je jednoznačne určený spôsobom ich konštrukcie, pomerne ľahko vieme rozhodnúť, či daná formula ma korektný syntax, alebo nemá. Sémantika formúl je špecifikovaná tabuľkou pravdivostných hodnôt formule pre rôzne hodnoty jej výrokov. Príklad: Formulu ( ) ( )p q p q⇒ ⇒ ∧ má korektný syntax, jej sémantika je plne určená tabuľkou jej pravdivostných hodnôt pre všetky štyri kombinácie výrokov p a q. Niektoré tautológie sa často používajú nielen v samotnej výrokovej logike, ale aj v bežnom usudzovaní, a sú obvykle označované aj vlastným menom. Väčšinou sa jedná o tautológie tvaru ekvivalencie, ktoré umožňujú nahradzovať jedny formule inými bez straty vlastnosti ich tautologičnosti.

1-10

Najznámejšie zákony výrokovej logiky patria tieto tautológie:

(1) Zákon totožnosti p p⇒ . (2) Zákon dvojitej negácie p p⇔ . (3) Zákon vylúčenia tretieho p p∨ .

(4) De Morganov zákon pre konjunkciu ( )p q p q∧ ⇔ ∨ .

(5) De Morganov zákon pre disjunkciu ( )p q p q∨ ⇔ ∧ .

(6) Zákon ekvivalencie ( ) ( ) ( )( )p q p q q p⇔ ⇔ ⇒ ∧ ⇒

(7) Zákon hypotetického sylogizmu ( ) ( ) ( )( )p q q r p r⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(8) Zákon kontrapozície ( ) ( )p q q p⇒ ⇔ ⇒

(9) Zákon „reductio ad absurdum“ ( ) ( )( )p q p q p⇒ ⇒ ⇒ ⇒ .

(10) Zákon nahradenia implikácie ( ) ( )p q p q⇒ ⇔ ∨ .

1-11

2. Predikátová logika

V hovorovej a odbornej reči sa často vyskytujú obraty:

objekt x má vlastnosť P, objekty x, y sú vo vzťahu R,

kde vlastnosť P a vzťah – reláciu R budeme označovať ako predikát, objekty x a y budeme označovať ako indivíduum, formálne môžeme tieto výroky vyjadriť P(x) a R(x,y). Príklad 1. Vlastnosť P je „študent“, potom P(Jano) je predikát, ktorý označuje indivíduum Jano za študenta. Príklad 2. Relácia R je „brat“, potom R(Jano,Jožo) je predikát, ktorý označuje indivídua Jano a Jožo za bratov.

1-12

Obe formulácie môžeme preformulovať pomocou použitia kvantifikátorov, ktoré kvantifikujú množstvo objektov - indivíduí. Prvá formulácia sa dá vyjadriť napr. dvoma spôsobmi ako

všetky objekty x majú vlastnosť P, existuje objekt x majúci vlastnosť P.

Spojky „všetky objekty x“ a „existuje objekt x“ sú vyjadrené pomocou symbolu všeobecného kvantifikátora ∀x, resp. existenčného kvantifikátora ∃x. Pomocou týchto symbolov obe kvantifikované formulácie vyjadríme v predikátovej logiky takto

∀x P(x) = všetky objekty x majú vlastnosť P, ∃x P(x) = existuje objekt x majúci vlastnosť P.

Alternatívna reprezentácia kvantifikátorov sa môže zostrojiť v rámci výrokovej logiky pomocou sekvencie konjunkcií resp. disjunkcií

1-13

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...x

x P x P a P b P z P x∀ ⇔ ∧ ∧ ∧ ⇔ ∧

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...x

x P x P a P b P z P x∃ ⇔ ∨ ∨ ∨ ⇔ ∨

Pomocou tohto vyjadrenia ľahko zostrojíme negáciu kvantifikovaného výrazu pomocou de Morganových zákonov

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ...x

x P x P a P z P a P z P x x P x∀ ⇔ ∧ ∧ ⇔ ∨ ∨ ⇔ ⇔ ∃∨

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ...x

x P x P a P z P a P z P x x P x∃ ⇔ ∨ ∨ ⇔ ∧ ∧ ⇔ ⇔ ∀∧ Ilustrácia:

( ) ( )x P x∀ ∼každý vojak má zbraň,

( ) ( ) ( ) ( )x P x x P x∀ ⇔ ∃ ∼existuje vojak, ktorý nemá zbraň

1-14

Pomocou kvantifikátorov môžeme efektívne sformalizovať rôzne verbálne tvrdenia: (1) Výrok „každý riaditeľ má aspoň jedného podriadeného“ vyjadríme takto

( )( ) ( ) ( )( ),x y R x P y x∀ ∃ ⇒ kde R(x) znamená, že x je riaditeľ a P(y,x) znamená, že y je podriadený x. (2) Definícia limity postupnosti { }1 2, ,..., ,...n na a a a= : hovoríme, že postupnosť { }na má limitu a, ak pre každé ε>0 existuje taký index n0, že pre každý index

0n n> platí na a− < ε . Pomocou formalizmu predikátovej logiky túto definíciu postupnosti zapíšeme v kompaktnom tvare takto

( )( )( )( )0 00 0 nn n n a a∀ε > ∃ > ∀ > − < ε

1-15

3. Usudzovanie Pravidlá usudzovania tvoria schému

1

n

predpoklad....................predpoklad

záver

ktorá obsahuje n predpokladov a jeden záver. Táto schéma usudzovania je totožná so symbolom logického dôkazu

{ }1 npredpoklad ,..., predpoklad záver

1-16

Schémy usudzovania výrokovej logiky

Schéma usudzovania

Teorém výrokovej logiky Názov schémy

pp q∨ ( )p p q⇒ ∨ adícia

p qp

∧ ( )p q p∧ ⇒ simplifikácia (zjednodušenie)

pqp q∧

( )( )p q p q⇒ ⇒ ∧ konjunkcia

pp qq

⇒ ( )( )p p q q⇒ ⇒ ⇒ modus ponenes

q

p qp

¬⇒

¬ ( )( )q p q p¬ ⇒ ⇒ ⇒ ¬ modus tollens

1-17

p qq rp r

⇒⇒⇒

( ) ( ) ( )( )p q q r p r⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ hypotetický sylogizmus

p q

pq

∨¬ ( ) ( )p q p q∨ ⇒ ¬ ⇒ disjunktívny sylogizmus

p qq p⇒

¬ ⇒ ¬ ( ) ( )p q q p⇒ ⇒ ¬ ⇒ ¬ inverzia implikácie

p qp q

p

⇒⇒ ¬

¬ ( ) ( )( )p q p q p⇒ ⇒ ⇒ ¬ ⇒ ¬ reductio ad absurdum

Schémy usudzovania píšeme alternatívne takto

{ }1 n,...,ϕ ϕ ϕ 1 n...ϕ ∧ ∧ ϕ ⇒ ϕ

( )( )( )1 2 n...ϕ ⇒ ϕ ⇒ ⇒ ϕ ⇒ ϕ

1-18

Príklad

Prvý predpoklad je výrok ´prší´ Druhý predpoklad je implikácia ´ak prší, potom je cesta mokrá´ . Použitím modus ponens dostaneme záver ´cesta je mokrá´,

pršíak prší , potom cesta je mokrácesta je mokrá

.

pp qq

⇒

1-19

Príklad

k pravdivému výroku ´teplota je pod bodom mrazu´

Použitím schémy usudzovania adície dostaneme pravdivý záver ´teplota je pod bodom mrazu alebo prší´

teplota je pod bodom mrazuteplota je pod bodom mrazu alebo prší

pp q∨

1-20

Príklad

ak dnes bude pršať , potom sa nepôjdem kúpaťak sa nepôjdem kúpať , potom navštívim príbuznéhoak dnes bude pršať , potom navštívim príbuzného

Túto schému môžeme sformalizovať pomocou štyroch výrokov

p=´dnes prší´ q=´kúpem sa´ r= ´navštívim príbuzného´

p q

q rp r

⇒ ¬¬ ⇒

⇒

Táto schéma je jemne modifikovaný hypotetický sylogizmus,

1-21

Príklad

Postulujme, že množina predpokladov obsahuje tieto formuly – zložené výroky:

ϕ1 = ´dnes poobede nie je slnečno a je chladnejšie ako včera´ ϕ2 = ´pôjdeme sa kúpať len vtedy, ak bude slnečno´ ϕ3 = ´ak sa nepôjdeme kúpať, potom sa budeme člnkovať na rieke´ ϕ4 = ´ak sa budeme člnkovať na rieke, potom sa vrátime domov podvečer´

požadovaný záver má tvar

ϕ = ´budem doma podvečer´

1-22

Výrokové premenné

p = ´dnes poobede nie je slnečno´ q = ´je chladnejšie ako včera´ r = ´ pôjdeme sa kúpať ´ s = ´ budeme člnkovať na rieke´ t = ´ vrátime domov podvečer´

{ }p q,r p, r s,s t t¬ ∧ ⇒ ¬ ⇒ ⇒

1-23

1. p q¬ ∧ predpoklad1 2. r p⇒ predpoklad2 3. r s¬ ⇒ predpoklad3 4. s t⇒ predpoklad4

5. p¬ simplifikácia predpokladu1 6. q simplifikácia predpokladu1

7. r¬ medzivýsledok 5 a modus tollens na preddpoklad2 8. s medzivýsledok 7 a modus ponens na predpoklad3 9. t medzivýsledok 8 a modus ponens na predpoklad4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

predpoklady

p q r p r s s t p q r s t¬ ∧ → ⇒ → ¬ ⇒ → ⇒ → ¬ → → ¬ → →

1-24

Diagramatická reprezentácia príkladu

¬ ∧p q

¬p qr p⇒

¬r ¬ ⇒r s

s s t⇒

t

simplifikácia

modus tollens

modus ponens

modus ponens

1-25

Príklad Množina predpokladov obsahuje tieto formuly – zložené výroky:

ϕ1 = ´ak mi pošleš email, potom program dokončím´ ϕ2 = ´ak mi nepošleš email, potom pôjdeme spať včasnejšie´ ϕ3 = ´ak pôjdem spať včasnejšie, potom sa ráno zobudím odpočinutý´

požadovaný záver má tvar

ϕ = ´ak nedokončím program, potom sa ráno zobudím odpočinutý´ Pomocou výrokových premenných

p = ´pošleš mi email ´ q = ´program dokončím´ r = ´pôjdeme spať včasnejšie´ s = ´sa ráno zobudím odpočinutý´

{ }p q, p r,r s q s⇒ ¬ ⇒ ⇒ ¬ ⇒

1-26

1. p q⇒ predpoklad1 2. p r¬ ⇒ predpoklad2 3. r s⇒ predpoklad3

4. q p¬ ⇒ ¬ inverzia implikácie na predpoklad1 5. q r¬ ⇒ hypotetický sylogizmus na medzivýsledok 4 a predpokladu2

6. q s¬ ⇒ hypotetický sylogizmus na medzivýsledok 5 a preddpoklad3

p q⇒

¬ ¬q p⇒ ¬ ⇒p r

hypotetický sylogizmus

¬q r⇒ r s⇒

hypotetický sylogizmus

¬q s⇒

1-27

Chybné pravidlá usudzovania Prvá nekorektná schéma sa nazýva potvrdenie dôsledku

qp qp

⇒

Druhá nekorektná schéma sa nazýva popretie predpokladu

pp q

q

¬⇒

¬

1-28

Prvá schéma „popretie predpokladu“ je ilustrovaná príkladom

sa vydala som saak som pekná, tak vydám

som pekná

Druhá schéma „potvrdenie dôsledku môže byť ilustrovaná podobným príkladom

sa nie som peknáak som pekná, tak vydám

nevydám sa

O nekorektnosti týchto dvoch schém usudzovania sa ľahko presvedčíme tak, že im priradíme formuly výrokovej logiky, ktoré nie sú tautológie

( )( )q p q p⇒ ⇒ ⇒

( )( )p p q q¬ ⇒ ⇒ ⇒ ¬

1-29

Usudzovanie v predikátovej logike

Schéma usudzovania Teorém predikátovej

logiky

Názov schémy

( )( )x P x

P c

∀ ( )( ) ( )x P x P c∀ ⇒ Konkretizácia univerzálneho

kvantifikátora

( )( )

P c pre každé c

x P x∀ ( ) ( )( )P c x P x⇒ ∀ Zovšeobecnenie pomocou

univerzálneho kvantifikátora

( )( )x P x

P c pre nejaký element c

∃ ( )( ) ( )x P x P c∃ ⇒ Konkretizácia existenčného

kvantifikátora

( )( )

P c pre nejaký element c

x P x∃ ( ) ( )( )P c x P x⇒ ∃ Zovšeobecnenie pomocou

existenčného kvantifikátora

1-30

Konkretizácia univerzálneho kvantifikátora Ak nejaká vlastnosť P(x) platí pre každý objekt (indivíduum) z univerza U,

( )x P x∀ , potom túto vlastnosť musí mať aj ľubovoľný konkrétny objekt c z tohto univerza,

( )( ) ( )x P x P c∀ ⇒ Táto vlastnosť je priamym dôsledkom interpretácia univerzálneho kvantifikátora

( ) ( ) ( ) ( ) ( )defx U

x P x P x P a P b ... P u∈

∀ = = ∧ ∧ ∧Ï

( )( )( )

( )

x P xP aP b........P c........

∀

1-31

Príklad Príklad konkretizácie zo stredovekej logiky

každý človek je smrteľnýSokrates je človek

Sokrates je smrteľný

kde Sokrates patrí do univerza U (obsahujúceho všetkých ľudí) platnosti kvantifikátora ∀. Toto schéma usudzovanie môžeme zovšeobecniť takto

( ) ( )

( )

x U P xc U

P c

∀ ∈∈

1-32

Zovšeobecnenie pomocou univerzálneho kvantifikátora

Ak sa nám podarí dokázať, že vlastnosť P má každý objekt z nejakého univerza U, potom vzhľadom k tomuto univerzu môžeme definovať univerzálny kvantifikátor ∀

( ) ( ) ( ) ( )defx U

P a ... P c ... P x x P x∈

∧ ∧ ∧ = = ∀Ï

( )

( )

( )

P a........P c........

x P x∀

( ) ( )( )P c x P x⇒ ∀

1-33

• V mnohých prípadoch mimo matematiku použitie zovšeobecnenia podľa tejto schémy usudzovania tvorí základ tzv. induktívneho zovšeobecnia, v ktorom sú parciálne poznatky zovšeobecnené pre každý objekt postulovaného univerza U.

• V tejto súvislosti, potom vystupuje do popredia podľa rakúsko-anglického

filozofa Karla Poppera problém falzifikácie všeobecného výroku ( )x P x∀ . Stačí nájsť jeden objekt o U∈ pre ktorý neplatí vlastnosť P,

( )P o¬ , potom všeobecný výrok ( )x P x∀ je neplatný, ( )x P x¬∀ .

1-34

Príklad

• Univerzum U obsahuje všetky labute na našej planéte. • Experimentálnym pozorovaním zistíme, že pre veľkú podmnožinu

U U′ ⊂ platí, že každá labuť z nej je biela (túto vlastnosť označíme predikátom B).

• Túto skutočnosť môžeme „poctivo“ zovšeobecniť pomocou univerzálneho kvantifikátora ∀´ definovaného vzhľadom k „poduniverzu“ U´

( ) ( )def

x Ux B x B x

′∈′∀ = Ï

• V dôsledku určitej netrpezlivosti, pozorovateľ zovšeobecní tento poznatok

pre celé univerzum U, postuluje platnosť formuly ( )x B x∀ . • Falzifikácia tejto vlastnosti spočíva v tom, že nájdeme takú labuť (napr.

pod skleneným mostom v Piešťanoch) , ktorá je čierna, potom automaticky platí ( )x B x¬∀ .

1-35

• V tejto súvislosti môžeme hovoriť aj o verifikácii vlastnosti ( )x B x′∀ , ďalšími a ďalšími pozorovaniami rozširujeme univerzum U´ o ďalšie objekty x, ktoré majú vlastnosť B(x).

• Toto rozširovanie platnosti ( )x B x′∀ o ďalšie objekty nám neprináša žiadnu zásadne nový poznatok, neustále platí, že „labute sú biele“, len máme o tejto skutočnosti stále rozsiahlejšie vedomosti o evidentnosti tohto poznatku.

• Preto, ako prvý zdôraznil Karl Popper, falzifikácia na rozdiel od verifikácie, je zásadne dôležitá pre induktívne zovšeobecňovanie, napomáha nám pri vzniku nových poznatkov.

1-36

Konkretizácia existenčného kvantifikátora

( )( ) ( )x P x P c∃ ⇒

( )( )x P x

P c pre nejaký element c

∃

( ) ( ) ( ) ( )defx U

x P x P x P a ... P c ...∈

∃ = = ∨ ∨ ∨Í

1-37

Zovšeobecnenie pomocou existenčného kvantifikátora

( ) ( ) ( )defx U

P c P x x P x∈

⇒ = ∃Í

( )

( )P c pre nejaký element c

x P x∃

( ) ( )P c x P x≡ ∃

1-38

Príklad Predpoklady: ϕ1 = ‘každý kto navštevuje prednášky z diskrétnej matematiky

je študentom informatiky‘ ϕ2 = ‘Mária navštevuje prednášky z diskrétnej matematiky’ Záver: ϕ = ‘Mária je študentom informatiky’

1-39

( ) ( )( )

( )( )

1

2

x P x I x

P Maria

I Maria

ϕ = ∀ ⇒

ϕ =

ϕ =

1. ( ) ( )( )x P x I x∀ ⇒ predpoklad1 2. ( )P Maria predpoklad2

3. ( ) ( )P Maria I Maria⇒ konkretizácia 1 4. ( )I Maria modus ponens na 2 a 3

1-40

4. Teória dôkazu

Priamy dôkaz

Implikácia p q⇒ je dokázaná tak, že z predpokladu pravdivosti p vyplýva pravdivosť výroku q.

{ } { } { }1 1n mdôsledokpredpokladaxi ó my vety

,..., ,..., p qϕ ϕ ∪ ψ ψ ∪

1-41

Príklad

( ) ( )2

p q

n je nepárne číslo n je nepárne číslo⇒

Z predpokladu pravdivosti p dokážeme pravdivosť dôsledku q. Nech n je nepárne prirodzené číslo, potom existuje také nezáporné celé číslo k , že 2 1n k= + . Pre kvadrát čísla n platí

( ) ( )22 2 22 1 4 4 1 2 2 2 1 2 1l

n k k k k k l= + = + + = + + = +

čiže aj kvadrát n2 je nepárne číslo.

1-42

Nepriamy dôkaz Implikácie ( )p q⇒ je dokázaná pomocou priameho dôkazu „inverznej“ implikácie q p¬ ⇒ ¬ .

Príklad ( ) ( )3 2

p q

n je nepárne číslo n je nepárne číslo+ ⇒

Budeme dokazovať inverznú implikáciu

( ) ( )3 2q p

n je párne číslo n je párne číslo¬ ¬

⇒ +

Nech n je párne číslo, potom n = 2k, potom ( ) ( )3 2 3 2 2 2 3 1n k k+ = + = + , čo je párne číslo. Týmto sme dokázali inverznú implikáciu q p¬ ⇒ ¬ , čiže musí platiť aj „pôvodná“ implikácia p q⇒ .

1-43

Dôkaz sporom

Ak z predpokladu p súčasne odvodíme q a ¬q, potom musí byť pravdivá negácia ¬p východiskového predpokladu. Tento typ dôkazu je založený na schéme „reductio ad absurdum“

p qp q

p

⇒⇒ ¬

¬

( ) ( )( )p q p q p⇒ ⇒ ⇒ ¬ ⇒ ¬

1-44

Príklad

Dokážte, že 2 je iracionálne číslo

(1) implikácia p q⇒ 2p ' je racionálne číslo'=

2q ' , kde , sú celé nesúdeliteľné čísla'= = α β α β .

(2) implikácia p q⇒ ¬ 2p ' je racionálne číslo'=

2q ' , kde , sú celé súdeliteľné čísla'¬ = = α β α β

⇓

2p ' je iracionálne číslo'¬ =

1-45

Dôkaz vymenovaním prípadov

Dôkaz vymenovaním prípadov používame vtedy, ak výrok q je dôsledok rôznych prípadov p1,..., pn.

( )1 np ... p q∨ ∨ ⇒

( )( ) ( ) ( )( )1 1n np ... p q p q ... p q∨ ∨ ⇒ ≡ ⇒ ∧ ∧ ⇒

1-46

1. ( )1 np ... p q∨ ∨ ⇒

2. ( )1 np ... p q¬ ∨ ∨ ∨ prepis 1 pomocou disjunktívneho tvaru implikácie 3. ( )1 np ... p q¬ ∧ ∧ ¬ ∨ použitie De Morganovho zákona 2 4. ( ) ( )1 np q ... p q¬ ∨ ∧ ∧ ¬ ∨ použitie distributívneho zákona na 3 5. ( ) ( )1 np q ... p q⇒ ∧ ∧ ⇒ prepis 4 pomocou disjunktívneho tvaru implikácie

( )

( )( )

1

1

n

n

p q...............

p q

p ... p q

⇒

⇒

∨ ∨ ⇒

1-47

Príklad Dokážte identitu

{ }{ } { } { }{ }max a,min b,c min max a,b ,max a,c= (1) Prípad a b c< <

{ } { } { }b b c

max a,min b,c min max a,b ,max a,c⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

{ } { }b b

max a,b min b,c=

(2) Prípad b a c< <

{ } { } { }b a c

max a,min b,c min max a,b ,max a,c⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

{ } { }a a

max a,b min a,c=

1-48

Podobným spôsobom by sme preskúmali aj ostatné štyri možnosti vzájomného usporiadania čísel a, b a c. Týmto spôsobom sme dokázali 6 nezávislých implikácií

( ) { }{ }( ) { } { }{ }( )a b c max a,min b,c b min max a,b ,max a,c b< < ⇒ = ∧ =

( ) { }{ }( ) { } { }{ }( )b a c max a,min b,c a min max a,b ,max a,c a< < ⇒ = ∧ = ..................................................................................................................... ( ) { }{ }( ) { } { }{ }( )c b a max a,min b,c a min max a,b ,max a,c a< < ⇒ = ∧ =

„Enumeratívnym“ spôsobom sme dokázali danú algebraickú identitu tak, že sme separátne preskúmali všetky možné usporiadania čísel a, b a c.

1-49

Matematická indukcia

Metóda matematickej indukcie dokazuje ( )n P n∀ pomocou dvoch východiskových predpokladov P(1) a ( ) ( )( )1n P n P n∀ ⇒ + z ktorých vyplýva formula ( )n P n∀ .

( )( ) ( )( )

( )

1

1

P

n P n P n

n P n

∀ ⇒ +

∀

1-50

1. P(1) 2. ( ) ( )( )1n P n P n∀ ⇒ +

3. ( ) ( )1 2P P⇒ konkretizácia 2 pre n = 2 4. ( ) ( )2 3P P⇒ konkretizácia 2 pre n = 3 .............................. 5. ( ) ( )1P n P n⇒ + konkretizácia 2 pre n = 2 .................................. 6. P(2) modus ponens na 1 a 3 7. P(3) modus ponens na 1 a 4 ............... 8. P(n+1) modus ponens na 1 a 5 ............... 9. ( )n P n∀ zovšeobecnenie pomocou ∀

1-51

Príklad

Dokážte, že suma prvých n nepárnych prirodzených čísel sa rovná n2. Nech

( ) ( ) ( ) 2

12 1 1 3 5 2 1 2 1

k

iP n k ... k i k

=

= − = + + + + − = − =∑

Ľahko sa presvedčíme, že platí P(1) = 1. Budeme študovať P(n+1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1 1

22

2 1 1 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 1

k k

i iP n k ... k i i k

k k k

+

= =

= + = + + + + + = − = − + +

= + + = +

∑ ∑

Týmto sme dokázali, že platnosť implikácie ( ) ( )( )1n P n P n∀ ⇒ + , použitím schémy matematickej indukcie dostaneme ( ) 22 1n P n k k∀ = − = .

1-52

Príklad Dokážte, že pre každé kladné celé číslo n platí 2nn < . Nech ( ) ( )2nP n n= < , P(1) je pravdivý predikát. Budeme študovať P(n+1)

( ) ( )( )

11 2 1 2 2

2 2 1 2

n n

n

n n

n

++ < ⇒ + < ⋅

⇒ < ⋅ ⇒ <

kde sme použili indukčný predpoklad 2nn < . Týmto sme dokázali platnosť implikácie ( ) ( )( )1n P n P n∀ ⇒ + , potom musí platiť ( )2nn n∀ < .

1-53

Príklad Pomocou matematickej indukcie dokážte platnosť zovšeobecneného De Morganovho vzťahu z teórie množín

1 1

n n

i ii i

A A= =

=› ‹

pre 2n ≥ . Nech

( )1 1

n n

i ii i

P n A A= =

= =› ‹

Pre n = 2 dostaneme ( ) 1 2 1 22P A A A A= ∩ = ∪

čo je štandardná verzia De Morganovho zákona pre negáciu prieniku dvoch množín.

1-54

( )1 1

1 1 11 1 1 1 1

1n n n n n

i i n i n i n ii i i i i

P n A A A A A A A A+ +

+ + += = = = =

+ = = = = =› › › › ‹ ‹ ‹ ‹

Týmto sme dokázali implikáciu zovšeobecnenú pomocou univerzálneho kvantifikátora

( ) ( ) ( )( )2 1n P n P n∀ ≥ ⇒ + čím sme dokázali pomocou matematickej indukcie zovšeobecnenie De Morganovho vzťahu pre negáciu prieniku dvoch a viac množín.

1-55

Zhrnutie

Logika tvorí solídny základ našej racionality, študuje zákony podľa ktorých sa riadi naše usudzovanie. Formálna logika je integrálnou súčasťou informatiky, je teoretickým základom počítačových metód pre spracovanie informácie, strojového usudzovania nad databázami poznatkov. Podrobná znalosť zákonov logiky a ich formalizácia nám umožňuje pochopiť a interpretovať procesy ľudského usudzovania, simulovať ich pomocou formálno-symbolických modelov. Znalosť základných logických zákonov patrí k všeobecnému vzdelaniu nielen vo vedách prírodných ale aj humanitných.