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Voyage vers l’infiniment fractale
Voyage vers l’infiniment fractale
Hélène Carlier, Alice Rouvez, Pierre Duflot, Hessam Iranmanesh, Guillaume Rossillon
Plan de la présentationPlan de la présentation
• Introduction• Caractéristiques de fractales• Les mathématiques des fractales• L’ensemble de Mandelbrot• Dimension fractale• Les math-fractales
La découverte des fractalesLa découverte des fractales
Ensemble de Julia Gaston Julia
Ensemble de MandelbrotEnsemble de Mandelbrot
Ensemble de Mandelbrot Benoît Mandelbrot
Les caractéristiques des fractalesLes caractéristiques des fractales
•Principe d’itération
•Principe d’autosimilarité
•Les dimensions fractales
Principe d’itérationsPrincipe d’itérations
Flocon de Von KochFlocon de Von Koch
Principe d’autosimilaritéPrincipe d’autosimilarité
Dimension fractaleDimension fractale
Eponge de Menger- Sierpinski Triangle de Sierpinski
• Corps Humain– Yeux – Battements du cœur– Intestins– Poumons
Les fractales dans la natureLes fractales dans la nature
• Corps Humain• Plantes
– Fougères– Choux-Fleurs
Les fractales dans la natureLes fractales dans la nature
Les mathématiques des fractalesLes mathématiques des fractales
• Aires, périmètres et volumes des fractales
• L’ensemble de Mandelbrot et le chaos
• La dimension fractale
Un carré un peu spécialUn carré un peu spécial
L’aireL’aire
Coté 1er carré = 1A₀=1A₁ = 1 + 4. ¼A₂ = 1 + 4. ¼+ 4. 3. 1/16A₃ = 1 + 4. ¼+ 4. 3. 1/16 + 4.3.3.1/64…An= 1+4. (30. (¼)1+31.( ¼ )2+…+3n-1.( ¼ )n)
An = 1+ 4/3. ((3/4)1+ (3/4)2+…+ (3/4)n )
An= 1+4. (1- (¾)n )
lim An = 1+4. (1-0)= 5n -> ∞
Le périmètreLe périmètre
P0= 4
P1= 4+4. (3/2- ½)
P2= 4+4. (3/2- ½) + 4. 3. (3/4 – ¼)
P3= 4+4. (3/2- ½) + 4. 3. (3/4 – ¼) +4. 3. 3. (3/8 - 1/8)
…Pn= 4+4. ((3/2)0 + (3/2)1 + (3/2)2 +…+ (3/2)n-1)
lim Pn= 4+ 8. ((3/2)∞ -1)= ∞
Un périmètre infini pour une aire finie
n -> ∞
L’éponge de Menger/SierpinskiL’éponge de Menger/Sierpinski
Le volumeLe volume
• Chaque étape enlève 7 cubes sur les 27 de base• Côté du 1er cube= 1
V0= 1
V1= 1. 20/27
V2= 20/27. 20/27= (20/27)2
Vn= (20/27)n
lim Vn=0n -> ∞
L’aireL’aire
An= Cn. (1/9)n ↔ Cn= An. 9n
Cn+1= Cn. 8 +24. 20n An+1=Cn+1. (1/9)n+1 An+1= (Cn. 8 +24.20n). (1/9)n+1
An+1= ((An. 9n). 8 +24.20n). (1/9)n+1
An+1= 8/9. An+ 24/9. (20/9)n
La formule et sa démonstrationLa formule et sa démonstration
An+1= (2.20n+1+4. 8n+1)/(9n+1) ; avec A0=6
A1= (2. 20+4. 8)/9= 8An+1= 8/9. An+ 24/9. (20/9)n or An= (2.20n+4. 8n)/(9n)An+1= (2. 8. 20n+4. 8n+1+24. 20n)/(9n+1)An+1= (2. 20. 20n+4. 8n+1)/(9n+1)An+1= (2. 20n+1+4. 8n+1)/(9n+1)
lim An=(2. (20/9)n+4. (8/9)n)= +∞+0= +∞n -> ∞
Application: murs anti-bruitApplication: murs anti-bruit
Réduction de 3 dB par rapport à un mur classique
• Qu’est ce que le Chaos?
• Le figuier, un comportement pas si prévisible
• L’ensemble de Mandelbrot et son intérêt
Ensemble de Mandelbrot le ChaosEnsemble de Mandelbrot le Chaos
Le Figuier, un calcul simple?Le Figuier, un calcul simple?
• Prenons un réel entre -1 et 1• Elevons ce réel au carré• Retirons 1• Et recommençons du début
• Xn+1= (Xn)2 -1
• -1 ≤ Xn+1 ≤ 0
Pas vraiment si simple…Pas vraiment si simple…
• Xn+1= k. (Xn)2 -1
Ordre Chaos
L’ensemble de MandelbrotL’ensemble de Mandelbrot
• Xn+1= k. (Xn)2 -1; avec k=a+ b. i= c et Xn=an
• an+1= c. (an)2 -1
• c. an+1= c2. (an)2 –c
• Zn+1= (Zn)2 – c
La dimension fractaleLa dimension fractale
• Généralisation
• La poussière de Cantor
• Le flocon de Von Koch
• L’éponge de Menger/Sierpinski
GénéralisationGénéralisation
• 1/n= rapport d’homothétie, m= le nombre de figures• d= lognm• d= log m/log n
La poussière de CantorLa poussière de Cantor
• Le nombre segment double à chaque étape ↔ M=2• Le rapport d’homothétie vaut 1/3= 1/n ↔ n=3
• d= log2/log3 ≈ 0,63 ↔ 0< d< 1
Le flocon de Von KochLe flocon de Von Koch
• Le nombre de segments quadruple à chaque étape ↔ M=4• Le rapport d’homothétie vaut 1/3= 1/n ↔ n=3
• d= log4/log3≈ 1,26 ↔ 1< d< 2
L’éponge de Menger/SierpinskiL’éponge de Menger/Sierpinski• Le nombre de cubes est multiplié par 20 à chaque étape ↔
M=20• Le rapport d’homothétie vaut 1/3= 1/n ↔ n=3
d= log20/log3≈ 2,73 ↔ 2< d< 3
La math-fractaleLa math-fractale
• Le nombre d’or• Les propriétés de φ• La spirale et la suite de Fibonacci• Le triangle de Pascal • Les matrices• Pythagore
Le nombre d’orLe nombre d’or
• 1,618 033 989• φ2= φ+1 • φ-1= 1/φ
Première propriétéPremière propriété
• φ2= φ+1 • φ=√(1+φ)
• φ=√1+√(1+φ)• φ=√1+√1+(√(1+φ)
φ= 1+√1+√1+√1+√1+√(1+φ)
Deuxième propriétéDeuxième propriété
• φ-1= 1/φ φ=1+ 1/φ• φ=1+ 1/(1+ 1/φ)• …• φ=1+ 1/(1+1/(1+1/(1+ 1/(1+1/(1+1/(1+
1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/φ)))))))))))
La suite de FibonacciLa suite de Fibonacci
= Restent/Grandissent
= Engendrent
La Spirale de FibonacciLa Spirale de Fibonacci
Le Triangle de PascalLe Triangle de Pascal
Les MatricesLes Matrices
Et encore une fractale…
(0 11 1)
PythagorePythagore
• a2=b2+c2
ConclusionConclusion