Vorkurs Mathematik

Vorbereitung auf das Studium derMathematik

Skript

Dr. Johanna Dettweiler

Institut fur Analysis

20. Oktober 2009

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 7

1 Aussagen und Mengen 91.1 Aussagen: Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Beispiele fur Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2 keine Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 logische Verknupfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Mengen: Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Darstellung von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.2 Leere Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Schnitt- und Vereinigungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Relatives Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.8 Die Mengen N,Z,Q,R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.8.2 Rechenregeln fur reelle Zahlen und Ordnungsrelationen . . . . . . 131.8.3 Regeln fur das Rechnen mit Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . 141.8.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Pradikatenlogik 172.1 Die Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.3 Beispiel: Bedeutung der Reihenfolge der Quantoren . . . . . . . . 18

2.2 Verneinung (Negation) von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Potenzen, Logarithmus und Betrag 193.1 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3

Inhaltsverzeichnis

3.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2 Die q-te Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.3 Potenzen mit rationalem Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.5 Beispiel: Rationalmachen des Nenners . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.1 Die Logarithmengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.2 Umrechenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.4 Beispiele zu den Logarithmengesetzen . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Der Betrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.3 Auflosen von Betragsungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Losen von Gleichungen und Ungleichungen 244.1 in einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2.1 Beispiel: Quadratisches Erganzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.2 Losungsmengen quadratischer Ungleichungen . . . . . . . . . . . . 254.2.3 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.4 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Bruchungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5 Betragsungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.6 ...in zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.6.1 Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.6.2 R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.6.3 Das kartesische Produkt zweier Intervalle . . . . . . . . . . . . . . 304.6.4 Einige Teilmengen des R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.6.5 Vertauschen von x und y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.6.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Funktionen 345.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Der Graph einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.3.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3.2 gerade und ungerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.4 Definition der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4

Inhaltsverzeichnis

5.5 Die Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.5.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.6 Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . 375.7 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.7.1 Allgemeine lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.7.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.8 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.8.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.8.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Trigonometrische Funktionen 466.1 Herleitung und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.1.1 Schaubild des Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.1.2 Umrechnung von Grad- und Bogenmaß . . . . . . . . . . . . . . . 476.1.3 Schaubild des Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . 486.1.4 Spezielle Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.1.5 Die Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.1.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 Einige Beweise 50

8 Anhang 53Losungen zu den Beispielen des Skriptes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Index 64

5

Einleitung

Dieser Kurs soll wichtige Bereiche Ihres Schulwissens moglichst konsistent aufbereiten.Er richtet sich insbesondere an Studierende, die Unsicherheiten im Umgang mit demmathematischen Schulstoff haben, deren Mathematikunterricht langer zuruckliegt oderderen mathematischer Schulstoff nicht alle fur das Studium notwendige Voraussetzungenumfasste. Der Vorkurs muss sich auf das Notwendigste beschranken, soll Sie aber schonvertraut machen mit der prazisen Darstellung mathematischer Sachverhalte, wie sie dasStudium vermitteln und verlangen wird.

Die dargestellten Inhalte sind vielerorts, sei es frei erhaltlich im Internet, oder auf demBuchermarkt in guten Darstellungen zu finden. In diesen Kurs fließen aber die speziellenErfahrungen des Lehrbetriebes an der Karlsruher mathematischen Fakultat ein. UberJahre konnten wir gravierende Lucken vieler Studienanfanger im Umgang mit elemen-taren Rechentechniken und Definitionen, wie Rechnen mit Betragen oder den sicherenUmgang mit Ungleichungen beobachten. Wenn solche Lucken nicht aufgearbeitet werden,kann daran leicht das erfolgreiche Studium scheitern. Auch beobachteten wir bei vielenStudienanfangern und -anfangerinnen große Hemmungen, sich eigenstandig an das Losenauch einfacherer Ubungsaufgaben zu machen. Das ist aber unumganglich um mit demFortschreiten des Stoffes Schritt zu halten und nicht irgendwann

”abzuhangen“. Dieser

Vorkurs soll daher jedem Studienanfanger, jeder Studienanfangerin die Chance bieten,im Studium von Anfang an alle Ubungsangebote optimal fur sich nutzen zu konnen unddamit die Grundlage fur ein erfolgreiches Mathematik- oder Informatikstudium an derUniversitat Karlsruhe bieten.

Auf dem Buchermarkt gibt es eine große Anzahl von mathematischen Einfuhrungen undVorkursen. Das folgende Material wurde von einigen davon inspiriert.

[2]: Dieses Buch bietet eine sehr ausfuhrliche Einfuhrung in alle Grundlagen und Begriffe,die fur ein Studium der Mathematik oder Wirtschaftswissenschaften benotigt werden. Daes sich an Studierende der Wirtschaftwissenschaften und Sozialwissenschaften richtet, istes fur mathematisch interessierte Studienanfanger im Bereich Mathematik und Informa-tik bestimmt etwas zu ausfuhrlich. Einige der Beispiele des vorliegenden Vorkursskriptszu quadratischen Gleichungen und Ungleichungen wurden ihm entnommen.

[3]: Dieses Werk bietet eine knappe aber konsistente Einfuhrung in die Bereiche Mengen,Abbildungen, Rechenregeln fur reelle Zahlen, Betrag, Intervalle, Summenzeichen. Die

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Darstellung der Mengen N,Z,Q und R wird in diesem Buch sinngemaß ubernommen,wie auch einige Aufgaben.

[4]: Dieses Buchlein wird inzwischen leider nicht mehr aufgelegt. Gut verstandlicheEinfuhrungen, sinnvoller Aufbau und eine große Zahl von Aufgaben mit Losungen ma-chen ein Selbststudium gut moglich. Einige Beispiele in den Kapiteln 3, 4 und 5 sind ihmentnommen. Zu bemerken ware allenfalls, dass die Autoren gemaß ihrer Lehrtradition inihrer Darstellung der Funktionen nicht zwischen einer Funktion f und dem Funktions-wert an einer Stelle f(x) unterscheiden. Da diese Unterscheidung im Studium in vielenVorlesungen aber getan wird, wird auch in diesem Vorkurs streng zwischen Funktionund Funktionswerten unterschieden.

[1]: Diesem Buch, das auf anspruchsvolle Weise den Analysis-Stoff des Grundstudi-ums behandelt, habe ich sinngemaß das Kapitel 2 dieses Vorkurses (dort S. 4 ff) uberPradikatenlogik und die Verwendung der Quantoren entlehnt. Die vielen Beispiele helfen,abstrakte mathematische Definitionen, wie sie gleich zu Beginn des Studiums behandeltwerden, zu verstehen. Die oft verwendete Technik des Verneinens von verknupften Aus-sagen wird anhand vieler Beispiele geubt.

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1 Aussagen und Mengen

Wenn man sich uber Mathematik verstandigen will, ist es unumganglich zu verstehen,was eine mathematische Aussage ist und wie sie verknupft werden kann. Erst dann kannman verstehen, was bspw. ein mathematischer Beweis ist. Daher fangt dieser Vorkurs mitmathematischen Aussagen an und behandelt in Kurze, wie daraus durch verschiedeneVerknupfungen neue Aussagen entstehen.

1.1 Aussagen: Definition

Eine Aussage im mathematischen Sinne ist eine Feststellung, deren Wahrheitsgehaltstets mit

”wahr“ oder

”falsch“ angegeben werden kann.

1.1.1 Beispiele fur Aussagen

• Dienstag ist ein Wochentag.

• Dienstag ist Montag.

• 2 ist eine gerade Zahl.

• 2 = 1

1.1.2 keine Aussagen

• Mathematik macht Spaß.

• 2 · log x sinxπ

1.2 logische Verknupfungen

Folgende logischen Verknupfungen von Aussagen werden wir verwenden:

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1.3 Mengen: Definition

BezeichnungSymbol Bedeutung der Verknupfung

1. Negation ¬A nicht A (es gilt: ¬(¬A) = A)

2. Konjunktion (und) A ∧ B A und B

3. Disjunktion (oder) A ∨ B A oder B

4. Implikation (Folgerung) A ⇒ B aus A folgt B

5. Aquivalenz (genau dann,wenn; kurz: gdw)

A ⇔ B A und B sind aquivalent

In Kapitel 2 werden weitere Verknupfungen von Aussagen erarbeitet werden.

1.3 Mengen: Definition

Eine Menge ist eine Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte. Fur jedes Objekt musseindeutig feststellbar sein, ob es zu der Menge gehort oder nicht. Die zu einer Mengegehorenden Objekte heißen Elemente der Menge.

Mengen werden im Allgemeinen mit Großbuchstaben A,B,C, ... und ihre Elemente mitkleinen Buchstaben a, b, c, ... bezeichnet.

Wir schreibena ∈ A fur

”a ist Element von A“ und

a 6∈ A fur”a ist kein Element von A“.

1.4 Darstellung von Mengen

Elemente von Mengen werden durch geschweifte Klammern {...} zusammengefasst.

Dies geschieht

entweder durch die aufzahlende Darstellung, wie:die Menge A der Buchstaben des Namens

”Leonhard Euler“, mit Unterscheidung

großer und kleiner Buchstaben:A = {L, e, o, n, h, a, r, d, E, u, l} = {r, e, l, n, h, a, L, d, E, u, o},

oder durch die beschreibende Darstellung {x|x hat die Eigenschaft E}, wie:B := {x|x ∈ A, x ist ein Großbuchstabe } = {L,E} oderC := {x|x ist eine ungerade Zahl}.

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1 Aussagen und Mengen

Es bedeutet X := Y”X sei definiert als Y “.

Ist fur ein x aus einer Menge X die Eigenschaft E in Gestalt eines AusdruckesE(x) gegeben, so sind gleichbedeutend {x ∈ X|x hat die Eigenschaft E}, {x ∈X|E(x) ist wahr.} oder meist {x ∈ X|E(x)}. Die so definierte Menge ist danneine Teilmenge von X (s.u.).

1.5 Teilmengen

Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element a aus A auch Elementvon B ist.

Wir schreiben A ⊂ B.

Falls A keine Teilmenge von B ist, so schreiben wir A 6⊂ B.

Gilt A ⊂ B und B ⊂ A, so sind die Mengen gleich und wir schreiben A = B.

1.5.1 Beispiel

Mit A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {3, 2, 1}, D = {2, 4} gilt:

A ⊂ B,A ⊂ C,C ⊂ A,A = C und A 6⊂ D.

Insbesondere ist jede Menge Teilmenge von sich selbst: A ⊂ A.

Ist A ⊂ B, so nennt man B auch Obermenge von A.

1.5.2 Leere Menge

Die Menge, die kein Element besitzt, wird als leere Menge bezeichnet. Wir schreiben ∅oder {}.

Nicht zu verwechseln mit {∅} oder {0}.

1.6 Schnitt- und Vereinigungsmenge

Seien A,B Mengen.

Die Schnittmenge A ∩B von A und B wird definiert als

A ∩B := {x|x ∈ A und x ∈ B}.

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1.7 Relatives Komplement

Die Vereinigungsmenge A ∪B von A und B wird definiert als

A ∪B := {x|x ∈ A oder x ∈ B}.

1.6.1 Beispiel

Mit A := {1, 2, 3} und B = {3, 4, 5} ist A ∩B = {3} und A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5}.

1.7 Relatives Komplement

Seine A,B Mengen. Als relatives Komplement von B in A definiert man die MengeA \B = {x ∈ A|x 6∈ B}.

1.7.1 Beispiel

{1, 2, 3} \ {2, 4} = {1, 3}

1.8 Die Mengen N,Z,Q,R

In der Menge N der naturlichen Zahlen, N = {1, 2, 3, ...}, hat jede Zahl n einen Nachfolgern+ 1; es gibt also keine großte naturliche Zahl. In N sind die Rechenoperationen + und· uneingeschrankt ausfuhrbar, d.h. fur a, b ∈ N gilt a + b, a · b ∈ N. Die Differenz a − bist nur Element von N, falls a echt großer als b ist.

In der Zahlenmenge der ganzen Zahlen Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...} ist die Diffe-renzbildung a − b immer moglich; die Gleichung x + b = a (a, b ∈ N, x unbekannt, a, bbekannt) besitzt in Z stets eine Losung. Es gilt N ⊂ Z. In Z gibt es im Gegensatz zuN keine kleinste Zahl. Der Quotient a : b (oder a

b), a ∈ Z, b ∈ N ist nicht immer in Z

enthalten.

In der Zahlenmenge der rationalen Zahlen

Q ={x|x =

a

bmit a ∈ Z und b ∈ N

}ist die Quotientenbildung a : b fur a ∈ Z, b ∈ N immer moglich. Es gilt N ⊂ Z ⊂ Q. Einebeliebige rationale Zahl hat keinen unmittelbaren Nachfolger und keinen unmittelbarenVorganger, wie es in Z der Falle ist. Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen stets noch(unendlich viele) andere rationale Zahlen.

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1 Aussagen und Mengen

Die Zahl√

2, fur die gilt

(√

2)2

=√

2 ·√

2 = 2,

ist nicht rational;√

2 ist irrational.

Beweis. Siehe Kapitel 7.

Jede rationale Zahl laßt sich als endliche oder periodische Dezimalzahl schreiben undumgekehrt stellt jede endliche oder periodische Dezimalzahl eine rationale Zahl dar. Indiesem Kontext soll es genugen, sich unter der Menge R der reellen Zahlen alle moglichenDezimalzahlen vorzustellen, also endliche, periodische und nicht endliche, nicht periodi-sche Dezimalzahlen. Es gilt N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

1.8.1 Beispiel

1 ∈ N1, 17 ∈ Q13

= 0.3333... ∈ Q ist periodisch, nicht endlich√2 = 1, 41421... ∈ R ist nicht periodisch, nicht endlich

π = 3.14159... ∈ R ist nicht periodisch, nicht endlich. Mit der Zahl π identifizieren wirdie Lange eines Halbkreisbogens mit dem Radius 1.

1.8.2 Rechenregeln fur reelle Zahlen und Ordnungsrelationen

Wir vereinbaren fur x, y ∈ R:

x = y steht fur”x ist gleich y“,

x < y steht fur”x ist echt kleiner als y“,

x ≤ y steht fur”x ist kleiner oder gleich y“,

x > y steht fur”x ist echt großer als y“,

x ≥ y steht fur”x ist großer oder gleich y“.

Die reellen Zahlen konnen auf der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Jeder reellenZahl entspricht genau ein Punkt auf der Zahlengeraden und umgekehrt. Fur zwei belie-bige reelle Zahlen x, y kann eindeutig entschieden werden, ob x < y, x = y oder x > ygilt. Auf der Menge der reellen Zahlen ist also ein Ordnungsstruktur gegeben. Fur diesegelten folgende

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1.8 Die Mengen N,Z,Q,R

1.8.3 Regeln fur das Rechnen mit Ungleichungen

Seinen a, b, c ∈ R. Dann gilt

Aus a < b und b < c folgt a < c.

Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc

Aus a < b und c < 0 folgt ac > bc

Aus a < b folgt a+ c < b+ c

ab > 0 gilt genau dann, wenn (a > 0 und b > 0) oder (a < 0 und b < 0)

ab < 0 gilt genau dann, wenn (a > 0 und b < 0) oder (a < 0 und b > 0)

ab = 0 gilt genau dann, wenn (a = 0 oder b = 0)

Entsprechende Aussagen gelten auch fur ≤ und ≥.

Fur das Rechnen mit den reellen Zahlen gelten folgende

Rechenregeln

Kommutativgesetz derAddition

Multiplikation

a+ b = b+ a

ab = ba

Assoziativgesetz derAddition

Multiplikation

(a+ b) + c = a+ (b+ c)

(ab)c = a(bc)

Distributivgesetz a(b+ c) = ab+ ac

1. binomische Formel (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

2. binomische Formel (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

3. binomische Formel (a+ b)(a− b) = a2 − b2

Vorzeichenregeln −(−a) = a

−(a+ b) = −a− b

−(a− b) = −a+ b

Die Regeln der Bruchrechnung werden als bekannt vorausgesetzt.

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1 Aussagen und Mengen

1.8.4 Beispiele

1. Losen Sie die folgenden Ungleichungen und geben Sie die LosungsmengeL := {x ∈ R| Ungleichung bzw. Gleichung ist fur x definiert und x erfullt sie} an:x− 2 > 2x− 1 B2(x− 1) < 6(x+ 5

3) B

2. Faktorisieren Sie:9xy + 3y + 6x+ 2 B2p3 + 9q2 − 3p2q − 6pq B

3. Faktorisieren Sie mit Hilfe der binomischen Formeln:c2 − 1 By2 − 12y + 36 B16x4 − 8x2y2 + y4 B

4. Faktorisieren Sie (Nullstellen!):x2 + 3x+ 2 Bx2 + x− 2 B

1.9 Intervalle

Seien a, b ∈ R mit a ≤ b.

1.9.1 Definition

Das offene Intervall (a, b) ist die Menge

(a, b) = {x ∈ R|a < x < b}.

Das abgeschlossene Intervall [a, b] ist die Menge

[a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}.

Die halboffenen Intervalle sind definiert als die Mengen

(a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}, [a, b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}

Ist speziell a = b, so gelten [a, a] = {a}, bzw. [a, a) = (a, a] = (a, a) = ∅. Als Inter-vallgrenzen sind auch ±∞ zugelassen. Daraus ergeben sich funf weitere unbeschrankteIntervalltypen:

(−∞, a) = {x ∈ R|x < a} (−∞, a] = {x ∈ R|x ≤ a}(a,∞) = {x ∈ R|x > a} [a,∞) = {x ∈ R|x ≥ a}(−∞,∞) = R

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1.9 Intervalle

Der Schnitt zweier Intervalle ist stets ein Intervall (evtl. die leere Menge). Die Vereini-gung zweier Intervalle kann ein Intervall sein, muss es aber nicht.

1.9.2 Beispiel

[3, 4] ∩ [1,∞)=[3,4][−2, 0) ∩ (−1, 0] = (−1, 0)[4, 7] ∩ [8, 9) = ∅[7, 8] ∩ [8, 9) = [8, 8] = {8}[4, 5) ∪ (−3, 1] ist kein Intervall[4, 5] ∪ (−3, 4) = (−3, 5]

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2 Pradikatenlogik

2.1 Die Quantoren

Die Quantoren ∃ und ∀ sind logische Zeichen, die der abkurzenden Schreibweise in derAussagenlogik dienen.

Sei X eine Menge und E eine Eigenschaft, durch die fur jedes x ∈ X eine Aussage E(x)gegeben ist. Dann bedeuten:(

∃x ∈ X : E(x))

:”Es existiert ein x ∈ X, sodass E(x) wahr ist.“ (2.1)

bzw.”Es existiert ein x mit der Eigenschaft E.“(

∀x ∈ X : E(x))

:”Fur alle x ∈ X gilt E(x).“ (2.2)

2.1.1 Beispiel

Sei X die Menge der Teilnehmer dieses Vorkurses und E(x) die Aussage:”x tragt eine

Brille.“

1. Dann bedeutet (2.1):”Mindestens ein Teilnehmer tragt eine Brille.“ In welchen

Konstellationen ist diese Aussage wahr bzw. falsch? B

2. (2.2) bedeutet:”Alle Teilnehmer tragen eine Brille.“

Diese Quantoren kann man auch iterativ verwenden: Seien X, Y Mengen und X ×Y :={(x, y)|x ∈ X, y ∈ Y } das sog. kartesische Produkt od. auch Kreuzprodukt von X undY und E eine Eigenschaft auf X × Y .

Dann bedeutet bspw.

∃x ∈ X : (∀y ∈ Y : E(x, y)) :”Es existiert ein x ∈ X, sodass fur alle (2.3)

y ∈ Y die Aussage E(x, y) gilt.“

2.1.2 Beispiel

Sei X = Y = R. F (x, y) sei die Aussage x · y = 0. Dann bedeutet (2.3):”Es existiert ein

x ∈ R, sodass fur alle y ∈ R x · y = 0 gilt.“

Ist diese Aussage wahr? Wenn ja, fur welche x? B

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2.2 Verneinung (Negation) von Aussagen

2.1.3 Beispiel: Bedeutung der Reihenfolge der Quantoren

Die Reihenfolge der auftretenden Quantoren ist fur die Bedeutung der formulierten Aus-sage entscheidend. Die Aussagen ∀x ∃y : E(x, y) und ∃y ∀x : E(x, y) haben eine unter-schiedliche Bedeutung. So unterscheiden sich die Aussagen

”Alle Anwesenden haben

einen Schuh, der passt.“ und”Es gibt einen Schuh, der allen Anwesenden passt.“ oder

auch die Aussagen ∀x ∈ Q \ {0} ∃y ∈ Q : x · y = 1 und ∃y ∈ Q ∀x ∈ Q \ {0} : x · y = 1.

2.2 Verneinung (Negation) von Aussagen

Oft gelingt es bei einfachen Aussagen, diese”nach Gefuhl“ zu verneinen. Bei Aussagen,

die selbst wieder Verknupfungen anderer Aussagen sind, wird das jedoch immer unzu-verlassiger. Es gibt aber eine ganz einfache Regel, wie das Negieren einer Aussage ganz

”mechanisch“ zu bewerkstelligen ist:

• Behalte die Reihenfolge bei!

• Vertausche ∃ und ∀ sowie ∨ und ∧.

• Verneine alle auftretenden Aussagen.

Die folgende Zusammenstellung listet Negierungen typischer Aussagetypen auf. Seiendabei A,B Aussagen, X, Y Mengen und E eine Eigenschaft.

1. ¬¬A := ¬(¬A) = A.

2. ¬(A ∧B) = (¬A) ∨ (¬B).

3. ¬(A ∨B) = (¬A) ∧ (¬B).

4. ¬(∀x ∈ X : E(x)) = (∃x ∈ X : ¬E(x)). Die Negation der Aussage”Alle Teil-

nehmer waren punktlich da“ ist die Aussage”Mindestens ein Teilnehmer war

unpunktlich“.

5. ¬(∃x ∈ X : E(x)) = (∀x ∈ X : ¬E(x)). Die Negation der Aussage”Es gibt einen

Teilnehmer mit Brille“ ist”Alle Teilnehmer tragen keine Brille“, was naturlich eher

als”Kein Teilnehmer tragt eine Brille“ formuliert wird.

6. ¬(∀x ∈ X : (∃y ∈ Y : E(x, y))

)=(∃x ∈ X : (∀y ∈ Y : ¬E(x, y))

). Die Negation

der Aussage”Jeder Teilnehmer findet mindestens einen Satz des bisherigen Stoffes

trivial“ ist die Aussage”Es gibt einen Teilnehmer der alle bisherigen Satze nicht-

trivial findet“

7. ¬(∃x ∈ X : (∀y ∈ Y : E(x, y))

)=(∀x ∈ X : (∃y ∈ Y : ¬E(x, y))

). Die Negation

der Aussage”Es gibt einen Teilnehmer, der alle Anwesenden bereits kennt“ ist

”Alle Teilnehmer kennen mindestens einen der Anwesenden nicht“.

17

3 Potenzen, Logarithmus und Betrag

3.1 Potenzen

3.1.1 Definition

Fur Zahlen a ∈ R und m ∈ Z wird die m-te Potenz von a definiert als

am = 1, falls m = 0

am = a · a · . . . · a︸ ︷︷ ︸m−mal

, falls m > 0

bzw.

am =1

a−m, falls m < 0, a 6= 0.

Die Zahl a heißt Basis , m heißt Exponent .

Fur a, b ∈ R \ {0} und n,m ∈ Z gelten die folgenden Potenzgesetze:

1. a0 = 1 und 00 = 1.

2. an · am = an+m

3. an

am = an−m

4. an · bn = (a · b)n

5. an

bn=(ab

)n6. (am)n = am·n

3.1.2 Die q-te Wurzel

Fur a ≥ 0 und q ∈ N ist a1q die q-te Wurzel aus a,

a1q = q√a;

das ist die Zahl x ∈ R, x ≥ 0, fur die xq = a gilt. Fur ungerade m ∈ N und a < 0 istx = − m

√−a die Losung der Gleichung xm = a. Z.B. ist x = −2 = − 3

√8 die Losung von

x3 = −8.

18

3.1 Potenzen

3.1.3 Potenzen mit rationalem Exponenten

Fur a ∈ R, a > 0, r ∈ Q mit r = pq, p ∈ Z, q ∈ N definieren wir die (gebrochene) Potenz

ar durch

ar = apq =

(a

1q

)pAuch fur rationale Exponenten gelten die obigen Potenzgesetze (m und n konnen durchr, s ∈ Q ersetzt werden). Der Anschauung halber formulieren wir hier einige mit derWurzelschreibweise:

Seien a ≥ 0 und n, k ∈ N und m ∈ Z. Dann gelten die sogenannten Wurzelgesetze

1. n√am = ( n

√a)m und n

√an = ( n

√a)n = a

2. n√a · n√b = n√ab

3.n√an√b

= n√

ab

4. n√

k√a = nk

√a = k

√n√a

3.1.4 Beispiele

10√

1024 =10√

210 =(

10√

2)10

= 2

6 =√

4√

9 =√

4 · 9 =√

36 = 6√

64√4

=√

644

=√

16 = 43√

2√

64 =2√

3√

64 = 6√

64 = 2

3.1.5 Beispiel: Rationalmachen des Nenners

Treten Bruche mit irrationalen Nennern n√am = a

mn , a > 0, n,m ∈ N, m < n, so

erweitert man den Bruch mit a1−mn .

So ist:

13√

2=

1

21/3· 22/3

22/3=

3√

4

2

Ist der Nenner der Gestalt√a±√b mit a 6= b, so wird der Bruch mit

√a∓√b erweitert.

So ist:

1√2 +√

3=

1√2 +√

3·√

2−√

3√2−√

3=

√2−√

3

2− 3=√

3−√

2

19

3 Potenzen, Logarithmus und Betrag

3.2 Der Logarithmus

Unter dem Logarithmus c einer positiven reellen Zahl a zur positiven reellen Basis b 6= 1

c = logb a, a > 0, b > 0, b 6= 1

versteht man diejenige reelle Zahl c, mit der die Basis b zu potenzieren ist, um a zuerhalten. Es ist also die Gleichung

bc = a, a > 0, b > 0, b 6= 1

mit der ersten Gleichung gleichwertig. Man schreibt auch log a anstelle logb a, falls mandie Basis nicht festlegen will.

Eine besondere Rolle spielt die sog. Eulersche Zahl e. Fur die Basis e = 2, 71828...verwenden man das Symbol

ln a = loge a.

Es gilt insbesondere

a = blogb a und ac = ec ln a.

Es gilt immer

logb 1 = 0, logb b = 1.

3.2.1 Die Logarithmengesetze

1. log(x · y) = log x+ log y, x > 0, y > 0;

2. logx

y= log x− log y, x > 0, y > 0;

3. log(xy) = y · log x, x > 0;

4. log y√x =

1

ylog x, x > 0, y ∈ N.

Wegen logb a = logb(dlogd a

)= (logd a)(logb d) gilt die

3.2.2 Umrechenformel

logd a =logb a

logb d, a > 0

20

3.3 Der Betrag

3.2.3 Beispiele

1. 2x = 16⇔ x = 4 5. log5 125 = x⇔ x = 3

2. 3x = 19⇔ x = −2 6. log 1

2

116

= x⇔ x = 4

3. logx 36 = 2⇔ x = 6 7. log3 x = 5⇔ x = 243

4. logx164

= −6⇔ x = 2 8. log2 x = −5⇔ x = 132

3.2.4 Beispiele zu den Logarithmengesetzen

1. log2√a+ ba3b2

3√c(a+ c)2

B

2. log(a+ b) + 2 log(a− b)− 1

2log(a2 − b2) B

3.3 Der Betrag

Sei a ∈ R; dann wird der Betrag von a, |a|, definiert als

|a| :=

{a fur a ≥ 0

−a fur a < 0.

3.3.1 Beispiel

| − 3| = −(−3) = 3, da − 3 < 0; |3| = 3, da 3 > 0; |0| = 0.

Der Abstand zweier beliebiger Zahlen a, b kann mit Hilfe des Betrages als Betrag derDifferenz |a− b| definiert werden.

Es gilt fur a, b ∈ R:

|a| ≥ 0; |a| = 0 gdw. a = 0

|a · b| = |a| · |b|

|a+ b| ≤ |a|+ |b| (Dreiecksungleichung)

Fur a ∈ R gilt

|a| =√a2.

21

3 Potenzen, Logarithmus und Betrag

3.3.2 Beispiel

Geben Sie alle a ∈ R an, fur die folgenden Aussagen zutreffen:

1. a2 = 4

2. a2 > 3 B

3.3.3 Auflosen von Betragsungleichungen

Sei ε > 0. Geben Sie die Menge aller x ∈ R an, fur die folgende Ungleichungen erfulltsind.

1. |x| ≤ ε

2. |x− 2| < ε B

22

4 Losen von Gleichungen undUngleichungen

4.1 in einer Variablen

Unter der Definitionsmenge D einer Gleichung bzw. Ungleichung in x ∈ R verstehen wirdie Menge aller x, fur die die Gleichung bzw. Ungleichung definiert ist. Die LosungsmengeL (siehe Beispiel 1.8.4.1) ist dann eine Teilmenge der Definitionsmenge.

Oft ist offensichtlich D = R und braucht nicht angegeben zu werden. Fur die Ungleichung1x> 1 hingegen ist D = R \ {0} und L = (0, 1). Auch gibt es weitere Moglichkeiten, die

Definitionsmenge korrekt anzugeben (siehe Abschnitt Bruchungleichungen)!

4.2 Quadratische Gleichungen und Ungleichungen

4.2.1 Beispiel: Quadratisches Erganzen

Das quadratische Erganzen ist eine Technik zum Ermitteln von Nullstellen quadratischerGleichungen. Zunachst werden die Terme in x2 und x durch eine binomische Formelausgedruckt: das geht immer! Dann ist i.A. ein Korrekturterm notwendig um den x-freien Teil des binomischen Terms zu neutralisieren.

Bestimmen Sie die Losungen der Gleichung x2 − x− 6 = 0.

x2 − x− 6 = (x− 1

2)2 − (

1

2)2 − 6 = (x− 1

2)2 − 25

4

23

4 Losen von Gleichungen und Ungleichungen

also gilt

x2 − x− 6 = 0

⇔(x− 1

2)2 =

25

4

⇔x− 1

2= ±

√25

4

⇔x =1

2± 5

2⇔x = −2 ∨ x = 3

4.2.2 Losungsmengen quadratischer Ungleichungen

Quadratische Ungleichungen konnen stets auf die Form

x2 + px+ q≥≤ 0, bzw.

><

fur p, q ∈ R gebracht werden.

Die Losungsmenge L ist entweder leer, ein Intervall, oder Vereinigung zweier Inter-valle. Zunachst muss die Losungsmenge der quadratischen Gleichung x2 + px + q = 0bestimmt werden. Dies geschieht z.B. mit der oben ausgefuhrten Technik des quadrati-schen Erganzens.

Bild 1 Bild 2 Bild 3

4.2.3 Beispiel 1

Zeigen Sie, dass fur alle x ∈ R die Ungleichung x2 − 2x+ 3 > 0 erfullt ist.

x2 − 2x+ 3 = (x− 1)2 − 1 + 3 = (x− 1)2 + 2 > 0.

24

4.3 Wurzelgleichungen

Da die letzte Ungleichung offensichtlich fur alle x ∈ R wahr ist, haben wir die Behaup-tung bewiesen.

4.2.4 Beispiel 2

Bestimmen Sie die Losungsmenge der Ungleichung x2 − x− 6 > 0.

1.Weg: uber die Faktorisierung.

Aus 4.2.1 kennen wir die beiden Nullstellen x1 = −2 und x2 = 3 von x2 − x − 6. Alsogilt die Identitat

x2 − x− 6 = (x+ 2)(x− 3) .

Bekanntlich ist dieses Produkt genau dann großer Null, wenn (x+ 2 > 0 und x− 3 > 0)oder (x+ 2 < 0 und x− 3 < 0) erfullt ist.

Es gilt

x+ 2 > 0 ∧ x− 3 > 0

⇔ x > −2 ∧ x > 3

⇔ x ∈ (3,∞)

und

x+ 2 < 0 ∧ x− 3 < 0

⇔ x < −2 ∧ x < 3

⇔ x ∈ (−∞,−2) .

Die Losungsmenge ist also die Menge L = (−∞,−2) ∪ (3,∞).

2.Weg: uber die Anschauung.

Wie in Bild 1 dargestellt, ist das Schaubild von x2−x−6 eine nach oben geoffnete Parabel,welche die x-Achse in den Punkten −2 und 3 schneidet. Gesucht ist nun die Menge allerx ∈ R an welchen die Parabel (echt) oberhalb der x-Achse liegt. Das entspricht in Bild 1der gestrichelten Menge. Man sieht also L = (−∞,−2) ∪ (3,∞).

4.3 Wurzelgleichungen

Diese lost man durch wiederholtes Auflosen solcher Gleichungen nach einer Wurzel undanschließendem Potenzieren. Das fuhrt auf eine rationale Gleichung in x, d.h. einerGleichung in der nur noch ganzzahlige Exponenten von x auftauchen.

25

4 Losen von Gleichungen und Ungleichungen

Achtung: Nicht alle Losungen der resultierenden rationalen Gleichung sind Losungen derWurzelgleichung. Jedoch kann es außer den Losungen der rationalen Gleichung keineweiteren geben. Durch Einsetzen dieser Losungen in die Ursprungsgleichung erhalt mandie Losungsmenge.

4.3.1 Beispiel 1

7 + 3√

2x+ 4 = 16 (∗)

⇔ 3√

2x+ 4 = 9

⇔√

2x+ 4 = 3

⇒ 2x+ 4 = 9

⇔ x = 52

Einsetzen von x = 52

zeigt: x = 52

lost (∗). Damit ist L ={

52

}.

4.3.2 Beispiel 2

√x−√x− 1 =

√2x− 1 (∗∗)

⇒ (√x−√x− 1)2 = 2x− 1

⇔ x− 2√x√x− 1 + (x− 1) = 2x− 1

⇔ 2√x(x− 1) = 0

⇔ (x = 1) ∨ (x = 0)

Probe: x = 1: 1− 0 = 1 stimmt!

x = 0: die rechte Seite von (∗∗) ist fur x = 0 nicht definiert.

Also ist L = {1}.

4.4 Bruchungleichungen

Zunachst bestimmt man D, indem man alle x ausschließt, fur die die auftretenden Nen-ner Null werden. Das Multiplizieren mit dem Nenner fuhrt zu Fallunterscheidungen,abhangig vom Vorzeichen des Nenners.

26

4.4 Bruchungleichungen

Gesucht sei die Losungsmenge L folgender Ungleichung.

2x+ 1

x− 3< 1 (4.1)

Sei x 6= 3. Wir unterscheiden die Falle:

Fall 1 x− 3 > 0, also x > 3: Dann gilt

2x+1x−3

< 1

⇔ 2x+ 1 < x− 3

⇔ x < −4

Bezeichnen wir die Losungsmenge in diesem Fall mit L1, so gilt L1 = (3,∞) ∩(−∞,−4) = ∅.

Fall 2 x− 3 < 0, also x < 3: Dann gilt

2x+1x−3

< 1

⇔ 2x+ 1 > x− 3

⇔ x > −4

Fur die Losungsmenge dieses Falles gilt L2 = (−∞, 3) ∩ (−4,∞) = (−4, 3)

Fur die Gesamtlosungsmenge L gilt nun L = L1 ∪ L2 = (−4, 3).

Bild 4.A

27

4 Losen von Gleichungen und Ungleichungen

4.5 Betragsungleichungen

|2x+ 1|x− 3

≤ 1 (∗)

Bestimmen Sie D und L.

Sei x 6= 3.

Fall 1: x > 3:

(∗)

⇔ |2x+ 1| ≤ x− 3

⇔ 2x+ 1 ≤ x− 3

⇔ x ≤ −4

Analog zu 4.4 Fall 1 ist hier L1 = ∅.

Fall 2: x < 3:

(∗)

⇔ |2x+ 1| ≥ x− 3 (∗∗)

Fall 2a: x ≥ −1/2 (also 2x+ 1 ≥ 0). Wir suchen jetzt also die x ∈ [−1/2, 3), die (∗∗)erfullen.

(∗∗)

⇔ 2x+ 1 ≥ x− 3

⇔ x ≥ −4

Also ist L2a = [−1/2, 3) ∩ [−4,∞) = [−1/2, 3).

Fall 2b: x < −1/2 (also 2x+ 1 < 0).

(∗∗)

⇔ −(2x+ 1) ≥ x− 3

⇔ −3x ≥ −2

⇔ x ≤ 2/3

Also ist L2b = (−∞, 3) ∩ (−∞,−1/2) ∩ (−∞, 2/3) = (−∞,−1/2).

Insgesamt ist L = L1 ∪ L2a ∪ L2b = (−∞, 3).

28

4.6 ...in zwei Variablen

4.6 Gleichungen und Ungleichungen in zwei Variablen

4.6.1 Kartesisches Produkt

Seien A,B Mengen. Das kartesische Produkt auch Kreuzprodukt A × B der Mengen Aund B ist die Menge aller geordneten Paare (a, b) von Elementen a ∈ A und b ∈ B

A×B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}.

4.6.2 R2

Das kartesische Produkt R2 := R × R ist die Menge aller geordneten Paare (x, y) vonElementen x, y ∈ R. Wir konnen uns R2 durch ein Koordinatensystem in der Ebeneveranschaulichen.

4.6.3 Das kartesische Produkt zweier Intervalle

Das kartesische Produkt zweier Intervalle kann leicht im Koordinatensystem dargestelltwerden:

29

4 Losen von Gleichungen und Ungleichungen

Das kartesische Produkt A×B der Intervalle A = [1, 4] undB = [1, 2] im Koordinatensystem.

Andere Beispiele lassen sich nicht als kartesische Produkte darstellen:

4.6.4 Einige Teilmengen des R2

1. S := {(x, y)|x2 + y2 ≤ 1}

2. K := {(x, y)|x2 + y2 = 1}

3. R := {(x, y)||x|+ |y| ≤ 1}

4. T := {(x, y)|0 ≤ y ≤ 1, x2 − y2 > 0}

4.6.5 Vertauschen von x und y

Vergleichen Sie die beiden Mengen

A := {(x, y)|(y − 1)2 + x2 ≤ 1, x ≥ 0}

und

B := {(x, y)|(x− 1)2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0}

30

4.6 ...in zwei Variablen

B entsteht durch Spiegelung von Aan der Achse x = y.

4.6.6 Beispiel

Ermitteln Sie die Losungsmenge L in R2, deren Elemente die folgende Ungleichungerfullen

2x− |y − 1| < 1

Hier losen Sie wie gewohnt die Betragsstriche auf und losen dann die Ungleichungennach y auf:

Fall 1: y ≥ 1, dh. |y − 1| = y − 1.

2x− |y − 1| < 1

⇔ 2x− (y − 1) < 1

⇔ −y < −2x

⇔ y > 2x

Also ist L1 := {(x, y)|y ≥ 1, y > 2x} Teilmenge von L.

31

4 Losen von Gleichungen und Ungleichungen

Fall 2: y < 1, dh. |y − 1| = 1− y.

2x− |y − 1| < 1

⇔ 2x− (1− y) < 1

⇔ y < 2− 2x

Insgesamt ist also L = L1 ∪ L2 mit L2 := {(x, y)|y < 1, y < 2− 2x}.

Skizzieren Sie die Losungsmenge! B

Bemerkung: Bei diesem Beispiel konnte man auch obige Uberlegung uber das”Vertau-

schen“ von x und y anwenden:

Es gilt (nachrechnen): 2x − |y − 1| < 1 ⇔ x < 12

+ 12|y − 1|. Vertauschen wir hier x

und y, so erhalten wir y < 12

+ 12|x − 1|. Die zugehorige Losungsmenge lasst sich dann

folgendermaßen skizzieren.

Spiegeln an der Geranden x = y liefert dann die Skizze der ursprunglich gesuchtenMenge.

32

5 Funktionen

5.1 Definition

Seien A,B Mengen. Eine Vorschrift f , die jedem Element x ∈ A genau ein Element y,y = f(x) ∈ B zuordnet, heißt Funktion oder auch Abbildung von A nach B.

A bezeichnen wir als Definitionsbereich, B als Wertebereich.

Schreibweisen: f : A→ B, x 7→ f(x). Oder: f : A→ B, y = f(x).

5.2 Der Graph einer Funktion

Funktionen mit A,B ⊂ R lassen sich durch ihren Graphen veranschaulichen, welcherdurch folgende Teilmenge des R2 gegeben ist:

G := {(x, y)|y = f(x), x ∈ A}

Bild 5.A Graph einer Funktion

33

5 Funktionen

5.3 Eigenschaften von Funktionen

Im Folgenden sei stets D ⊂ R und f eine Funktion mit f : D→ R. Eine solche Funktionnennt man auch reellwertige (reelle) Funktion.

5.3.1 Monotonie

Eine Funktion f : D → R mit x 7→ f(x) heißt auf D monoton wachsend (fallend), fallsfur alle Paare x1, x2 ∈ D mit x1 < x2 gilt

f(x1) ≤ f(x2), bzw. f(x1) ≥ f(x2) .

Entfallen die Gleichheitszeichen, so spricht man von strenger Monotonie.

Bild 5.B monotonwachsende Funktion

Bild 5.C gerade Funktion Bild 5.D ungerade Funktion

5.3.2 gerade und ungerade Funktionen

Eine Funktion f heißt gerade oder symmetrisch, bzw. ungerade oder antisymmetrisch,wenn gilt

f(−x) = f(x), bzw. f(−x) = −f(x)

5.4 Definition der Umkehrfunktion

Existiert zu jedem y ∈ W := {y ∈ R| ∃x ∈ D : f(x) = y} (W heißt Wertemenge oderBildmenge oder Bild) genau ein x mit y = f(x), so nennt man die Funktion injektiv. Indiesem Falle ist x als eindeutige Funktion von y erklart. Die Funktion

f−1 : W→ D, x = f−1(y)

34

5.5 Die Potenzfunktion

heißt Umkehrfunktion von f .

Es gilt also fur alle x ∈ D und y ∈W: f−1(f(x)) = x und f(f−1(y)) = y.

Umkehrfunktionen existieren immer zu streng monotonen Funktionen. Die Graphen vonf und f−1 liegen symmetrisch zur Geraden y = x.

Achtung: Die Bildmenge W ist i.A. eine echte Untermenge des Wertebereiches und be-steht nur aus den tatsachlich angenommenen Werten. Zudem ist es manchmal sinnvollden Definitions- bzw. Wertebereich einer Funktion f mit Df bzw. Wf zu bezeichnen.

Im Folgenden wird eine Reihe von elementaren Funktionen mit ihren Graphen angege-ben.

5.5 Die Potenzfunktion

Im Folgenden bezeichnen R>0, R<0 und R≥0 die Mengen {x ∈ R|x > 0}, {x ∈ R|x < 0}und {x ∈ R|x ≥ 0}. Man nennt R>0 die positiven Zahlen, R<0 die negativen Zahlen undR≥0 die nicht negativen Zahlen.

Eine Funktion f : Df → R mit

f(x) = axr, a ∈ R, r ∈ Q

heißt Potenzfunktion. Fur a 6= 0 unterscheiden wir die Falle

1. r = 0. f ist eine konstante Funktion mit Df = R.

2. r = 1. f ist eine lineare Funktion mit Df = R.

3. r ∈ N, r ≥ 2. Df = R.

4. r ∈ Z, r ≤ −1. Df = R \ {0}

5. r 6∈ N, r > 0. Df = R≥0.

6. r 6∈ Z, r < 0. Df = R>0

35

5 Funktionen

Bild 5.E Bild 5.F

5.5.1 Beispiel

Ist f : [0,∞)→ R durch y = xn, n ∈ N, n ≥ 2 gegeben, so ist die Umkehrfunktion f−1

durch

f(x) = n√x mit Df−1 = [0,∞)

gegeben.

Der Graph der Umkehrfunktion f−1 entsteht durch Spiegelung des Graphen von f ander Achse x = y, wie man in Bild 5.E sehen kann.

5.6 Die Exponentialfunktion und dieLogarithmusfunktion

Die Funktion f : R→ R

f(x) = ax = ex ln a, a > 0, a 6= 1

nennt man Exponentialfunktion.

36

5.7 Polynome

Die Logarithmusfunktion mit

y = loga x, a > 0, a 6= 1

ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und auf D = (0,∞) definiert (vgl. 3.2).

Bild 5.G

5.7 Polynome

Als Polynome bezeichnen wir bestimmte Summen von Potenzfunktionen.

Ein Funktion p : R→ R gegeben durch

p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n, a0, a1, ..., an ∈ R, n ∈ N ∪ {0}

nennen wir ein Polynom. Ist an 6= 0, so ist p ein Polynom n-ten Grades und n heißt derGrad von p.

37

5 Funktionen

Bild 5.H Ein Polynom funften Grades

Der nachste Abschnitt behandelt den Fall n = 1.

5.7.1 Allgemeine lineare Funktionen

Die Funktion f : R→ R, x 7→ a+ bx, a, b ∈ R, nennt man allgemeine lineare Funktion.Sie ist ein Polynom ersten Grades!

Skizzieren Sie den Graphen solch einer Funktion im Falle

1. a = 0, b = 2

2. a = 1, b = 0

3. a = −1, b = −0.5 B

5.7.2 Beispiele

1. Schreiben Sie die Funktion f : R→ R, f(x) = 2− |1− x| − |x+ 2| ohne Betrage.Skizzieren Sie ihren Graphen.

Losung: Zunachst ermitteln wir die kritischen Punkte, in denen die Terme inner-halb der Betragsstriche das Vorzeichen wechseln. Das sind die Punkte 1 und −2.

38

5.7 Polynome

Das fuhrt uns auf die drei Teilintervalle von R: (−∞,−2), [−2, 1) und [1,∞) aufdenen eine einheitliche Darstellung ohne Betrage moglich ist.

Sei x ∈ (−∞,−2): Hier gilt

f(x) = 2− |1− x| − |x+ 2| = 2− (1− x) + (x+ 2) = 3 + 2x

Sei x ∈ [−2, 1): Hier gilt

f(x) = 2− (1− x)− (x+ 2) = −1

Sei x ∈ [1,∞): Hier gilt

f(x) = 2 + (1− x)− (x+ 2) = −2x+ 1

Insgesamt ist

f(x) =

3 + 2x x < −2

−1 −2 ≤ x < 1

1− 2x x ≥ 1

Bild 5.I Graph der Funktion f

2. Bilden Sie von f : (−∞,−1) ∪ (−1,∞) → R, x 7→ x−1x+1

, die Umkehrfunktion undzeichnen Sie deren Bilder.

39

5 Funktionen

Losung: Wie auf der Skizze zu sehen ist die Funktion f injektiv und somit inver-tierbar. Wir losen zunachst die Gleichung y = x−1

x+1nach y auf.

Sei x 6= −1.

y = x−1x+1

⇔ (x+ 1)y = x− 1

⇔ x(y − 1) = −1− yy 6=1⇔ x = −

(y+1y−1

)Um die Umkehrfunktion f−1 zu bestimmen, muss man sich klarmachen, dass dasobige y die Variable sein soll und man daher in der letzten Gleichung x und yvertauschen muss. Wir erhalten also: f−1 : (−∞, 1) ∪ (1,∞)→ R, x 7→ −

(x+1x−1

).

Bild 5.J Graph der Funktion f Bild 5.K Graph der Funktion f−1

3. Geben Sie den Definitionsbereich und die Wertemenge von f an und bilden Siex = f−1(y) mit

y = f(x) =1√

a+√x, a > 0.

Losung: Es gilt Df = [0,∞) und Wf = (0, 1/√a]. Insbesondere gilt also y 6= 0.

y = 1√a+√x

⇔√a+√x = 1

y

⇔√x = 1

y−√a

√x≥0⇔ x =

(1y−√a)2

40

5.8 Verkettung von Funktionen

Damit ist die Aufgabe gelost. Wir halten zusatzlich fest: f−1 : Wf → Df , x 7→(1x−√a)2

.

5.8 Verkettung von Funktionen

Hat die Funktion g den Definitionsbereich Dg und die Bildmenge Wg und ist die Funktionf fur alle z ∈Wg definiert, so ist durch

f ◦ g : Dg → R, x 7→ f(g(x))

eine Funktion definiert, die man f nach g oder die Hintereinanderausfuhrung von g undf oder die Verkettung von f und g nennt.

Als Anwendung der obigen Definition wollen wir uns verschiedenen Manipulationen vonGraphen widmen, wie Verschieben, Spiegeln, Strecken oder Stauchen. Dieses wird durchbesonders einfache Verkettungen bewirkt, auch wenn diese der Einfachheit halber nichtmehr explizit aufgeschrieben werden. Die Betrachtung dieser Verkettungen erlaubt einemhaufig, auf einfache Weise den Graphen der resultierenden Funktion f zu zeichnen oderDefinitions- und Bildmenge zu bestimmen.

5.8.1 Beispiel

Sei f : R→ R durch f(x) = −x2 + x+ 2 definiert.

Es gilt f(x) = −x2+x+2 = −(x2−x−2) = −[(x−1/2)2−1/4−2

]= −

[(x−1/2)2−9/4

]Der Graph von f entsteht nun aus dem Graphen von g mit g(x) = x2 durch Verschiebenum 1/2 nach rechts, Verschieben um −9/4 nach unten und Spiegelung an der x-Achse.

Daraus ist ersichtlich, dass Df = R und Wf = (−∞, 9/4] gilt.

Allgemein sei f durch

f(x) = ±c · g(± b(·x+ a)

)+ d, a,b, c,d ∈ R,b, c > 0

gegeben. Wobei g eine elementare Funktion mit Dg = R sei. Ist Dg 6= R, so mussen dieDefinitionsbereiche der kombinierten Funktionen entsprechen angepasst werden, woraufwir hier wegen der Ubersichtlichkeit aber nicht eingehen.

41

5 Funktionen

Im Folgenden werden wir alle Schritteanhand g(x) = x3 illustrieren.

Bild 5.L g(x) = x3

In Bezug auf den Graphen von f(x) = ±c · g(± b(·x+ a)

)+ d bewirkt

a eine Verschiebung des Graphen von g um −a entlang der x-Achse (s. Bild 5.M);

b eine 1/b-fache Streckung in Richtung der x-Achse (fur b > 1 wird der Graph alsogestaucht) (s. Bild 5.N);

− vor b eine Spiegelung an der Achse x = −a (s. Bild 5.O);

Bild 5.M g(x− 1) = (x− 1)3 Bild 5.N g(1/2(x− 1)) Bild 5.O g(−1/2(x− 1))

c eine c-fache Streckung in Richtung der y-Achse (s. Bild 5.P);

− vor c eine Spiegelung an der x-Achse (s. Bild 5.Q);

d eine Verschiebung des Graphen um d in Richtung der y-Achse (s. Bild 5.R).

42

5.8 Verkettung von Funktionen

Bild 5.P 3 · g(−1/2(x− 1)) Bild 5.Q −3 · g(−1/2(x− 1)) Bild 5.R 3·g(−1/2(x−1))+1

5.8.2 Beispiele

1. Die Funktion f sei durch die Zuordnungsvorschrift

y = ln(−x2 + x+ 2)

gegeben. Geben Sie den großtmoglichen Definitionsbereich Df und die WertemengeWf an.

Losung: Die Funktion f ist in der Form u◦v mit u = ln und v = −x2 +x+2. Wirmussen nun den Definitionsbereich Dv so wahlen, dass u fur alle z ∈Wv definiertist. D.h. wir suchen die Menge Dv = {x ∈ R| − x2 + x+ 2 > 0}Durch Ausprobieren erhalten wir die zwei Nullstellen −1 und 2 der quadratischenGleichung x2 − x − 2 = 0 (Normalform). Wir verfahren wie in Abschnitt 4.2.2dargestellt.

−x2 + x+ 2 > 0⇔ x2 − x− 2 < 0⇔ x ∈ (−1, 2). Also ist Dv = (−1, 2). Mit demErgebnis aus Beispiel 5.8.1 erhalten wir Wv = (0, 9/4]. Wegen der Monotonie vonu ist somit Wf = (−∞, ln 9/4] und Df = Dv = (−1, 2).

2. Skizzieren Sie das Bild der Funktion f mit

f(x) = −√

4− (x− 1)2

Geben Sie zunachst ihren Definitionsbereich an.

Losung: Es gilt D = {x ∈ R|4− (x− 1)2 ≥ 0}. Dazu berechnen wir

4− (x− 1)2 ≥ 0

⇔ |x− 1| ≤ 2

⇔ −2 ≤ x− 1 ≤ 2

⇔ −1 ≤ x ≤ 3

43

5 Funktionen

Also ist D = [−1, 3].

Kreisgleichung In Abschnitt 4.6.4 haben wir die Kreisgleichung fur den Einheits-kreis , d.h. fur den Kreis um Null mit Radius r = 1 kennen gelernt: x2 + y2 = 1.Seien x0, y0 ∈ R, r > 0. Dann lautet die allgemeine Kreisgleichung

(x− x0)2 + (y − y0)

2 = r2, x, y,∈ R

Die Losungsmenge dieser Gleichung beschreibt einen Kreis um (x0, y0) mit Ra-dius r. Durch Umformung sieht man, dass der Graph des Kreises sich aus denFunktionen, welche durch

y1 =√r2 − (x− x0)2 + y0, x ∈ [x0 − r, x0 + r], (oberer Halbkreis)

und

y2 = −√r2 − (x− x0)2 + y0, x ∈ [x0 − r, x0 + r], (unterer Halbkreis)

beschrieben werden, zusammen setzt. Mit den obigen Uberlegungen erkennt man,dass der resultierende Kreis aus einer Verschiebung um x0 ”

nach rechts“ und y0

”nach oben“ aus dem Kreis um Null mit Radius r hervorgegangen ist.

Zuruck zur Aufgabenstellung: Das ge-gebene f stellt einen unteren Halbkreisum (1, 0) mit Radius r = 2 dar:

Bild 5.S

44

6 Trigonometrische Funktionen

6.1 Herleitung und Definition

Fur ein rechtwinkliges Dreieck

Bild 6.Agelten die Definitionen

sinα := Gegenkathete/Hypotenuse,

cosα := Ankathete/Hypotenuse,

tanα := Gegenkathete/Ankathete.

Diese Definition ist nur fur α < 90◦ moglich.

Die sog. Trigonometrischen Funktionen sin und cos erweitern diese Darstellung auf denDefinitionsbereich R. Dies soll aus der Anschauung des Einheitskreises hergeleitet wer-den.

45

6 Trigonometrische Funktionen

Bild 6.B

Daraus leiten wir die Funktionen sin : R → R, x 7→ sinx und cos : R → R, x 7→ cos(x)ab. Wir konnen Folgendes ablesen: Die Wertemengen Wsin und Wcos sind jeweils dasIntervall [−1, 1]. Die Funktionen sind periodisch mit Periode 2π.

6.1.1 Schaubild des Sinus und Cosinus

Bild 6.C

6.1.2 Umrechnung von Grad- und Bogenmaß

Der Umfang des Einheitskreises ist 2π. Daraus leitet sich das Bogenmaß ab, dass imFolgenden statt des Gradmaßes verwendet wird.

46

6.1 Herleitung und Definition

Es gilt 180◦=π. Also bestehen zwischen dem Gradmaß a und dem Bogenmaß b dieBeziehungen

a◦ =180

πb

b =π

180a◦

6.1.3 Schaubild des Tangens und Cotangens

Der Tangens

tanx :=sinx

cosx

ist definiert furx ∈ R \ {x| cosx = 0}= R \ {kπ + π

2|k ∈ Z}.

Der Cotangens

cotx :=cosx

sinx

ist definiert furR \ {kπ|k ∈ Z}.

Bild 6.D

Die Funktionen sin und cos, bzw. tan und cot sind periodisch mit den Perioden 2π bzw.π. Fur k ∈ Z gilt

sinx = sin(x+ 2kπ), cosx = cos(x+ 2kπ),

tanx = tan(x+ kπ), cotx = cot(x+ kπ).

6.1.4 Spezielle Werte

Leiten Sie folgende spezielle Funktionswerte aus der Anschauung des Einheitskreises her.

47

6 Trigonometrische Funktionen

x in ◦ x im Bogenmaß sinx cosx tanx

0◦

30◦

45◦

B

6.1.5 Die Additionstheoreme

Es gilt

1. sin2 x+ cos2 x = 1, mit der Schreibweise sin2 x := (sinx)2

2. sin(x± y) = sin x cos y ± cosx sin y

3. cos(x± y) = cos x cos y ∓ sinx sin y

6.1.6 Beispiel

Machen Sie sich anschaulich klar, dass

sin(x+π

2) = cos x

gilt (vgl. Beispiel 5.8.1)und beweisen Sie dieses mit den Additionstheoremen.

48

7 Einige Beweise

Mathematische Beweise

Kann eine Behauptung B allein durch logische Verknupfungen aus einer gegebenen Vor-aussetzung A, bereits bewiesenen Aussagen und geltenden Axiomen gefolgert werden,so gilt B als bewiesen. Wir unterscheiden die folgenden Beweistechniken:

Der direkte Beweis

Hier wird die Behauptung B durch die Implikation A ⇒ B gezeigt.

Beispiel 1

Beweisen Sie: das Quadrat jeder geraden naturlichen Zahl n ist gerade.

Anmerkungen: Die Voraussetzung lautet”n ist gerade“. Dh. es existiert eine naturliche

Zahl k mit n = 2k. Die Behauptung lautet”n2 ist gerade“.

Beweis. Wegen n = 2k fur eine geeignete naturliche Zahl k gilt:

n2 V or.= (2k)2 = 4k2 = 2 · (2k2)

Die Zahl n2 ist also das Doppelte einer naturlichen Zahl und somit gerade.

Beispiel 2

Beweisen Sie: Das Quadrat jeder ungeraden naturlichen Zahl n ist ungerade. B

49

7 Einige Beweise

Der indirekte Beweis (auch: Widerspruchsbeweis)

Hier nimmt man unter gegebenen Voraussetzungen an, dass die Behauptung falsch istund fuhrt das zu einem Widerspruch. Aus dem Widerspruch folgert man, dass die Be-hauptung nicht falsch sein kann. Dann muss sie aber richtig sein (warum?).

Beispiel 3 Beweisen Sie: Die Darstellung einer rationalen Zahl r als gekurzter Bruch pq

ist eindeutig.

Beweis. Vorbemerkung: Nach Definition der rationalen Zahlen bezeichnen zwei Zahlenmn

, jk, m, j ∈ Z, n, k ∈ N, das gleiche Element r ∈ Q, falls m · k = j · n gilt. Bsp. 6

9= 4

6,

da 6 · 6 = 4 · 9 gilt.

Zum Beweis: Wir nehmen an, r hatte zwei verschiedene gekurzte Darstellungen r = pq

=p′

q′mit p, p′ ∈ Z, q, q′ ∈ N und ggT(p, q) = ggT(p′q′) = 1 (ggT bezeichne den

”großten

gemeinsamen Teiler“). Wegen p q′ = q p′ gilt q | p q′ (”q teilt p q′“), wegen ggT(q, p) = 1

muss zudem q | q′ gelten. Analog zeigt man q′ | q.

Aus q | q′ und q′ | q folgt nun aber q = q′ und damit p = p′. Das steht im Widerspruchzur Annahme! Damit ist die behauptete Eindeutigkeit gezeigt.

Beispiel 4 Beweisen Sie:√

2 ist irrational.

Beweis. Annahme:√

2 ist rational. Dann existieren m,n ∈ N mit ggT(m,n) = 1 und√2 = m

n. Nach Voraussetzung gilt

2 =m2

n2(∗)

und damit 2n2 = m2. Nach Beispiel 1+2 ist m somit eine gerade Zahl, dh. fur ein k ∈ Ngilt m = 2 · k. Damit formen wir (∗) um und erhalten 2n2 = 4k2, also n2 = 2k2. Also istauch n2 und damit n eine gerade Zahl.

Widerspruch zur Annahme ggT(m,n) = 1! Also kann√

2 keine rationale Zahl sein.

Beispiel 5 Beweisen Sie: Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis. Annahme: es gibt nur endlich viele, namlich n Primzahlen, n ∈ N. Sei pn diegroßte dieser Primzahlen. Betrachte nun das Produnkt all dieser Primzahlen m := p1 ·p2 · ... · pn und die Zahl q := m+ 1.

50

Es gibt nun zwei Moglichkeiten: Entweder q ist eine Primzahl, offensichtlich mit q > pn,oder q ist selbst keine Primzahl. Im zweiten Fall sei p ein Primteiler von q. Wir zeigennun, dass p 6∈ {pi|i = 1...n} gilt, dass also p > pn gelten muss:

Ware p eine der Primzahlen p1, ..., pn, so teilte p sowohl m als auch m + 1 und damitauch die Differenz 1 = m+ 1−m. Wid.! Also gilt p > pn!

Beide Falle liefern also einen Widerspruch zur Annahme, dass es nur endlich viele Prim-zahlen gibt! Es gibt also unendlich viele Primzahlen!

Es gibt noch weitere Beweistechniken, wie der konstruktive Beweis oder die vollstandigeInduktion.

51

8 Anhang

Losungen zu den Beispielen des Skriptes

52

1.8.4.1:

x− 2 > 2x− 1

⇔ −x > 1

⇔ x < −1

Also ist L = (−∞,−1)

2(x− 1) < 6(x+ 53)

⇔ −4x < 12

⇔ x > −3

Also ist L = (−3,∞)

1.8.4.2:

9xy + 3y + 6x+ 2 = 3y(3x+ 1) + 2(3x+ 1) = (3y + 2)(3x+ 1)

2p3 + 9q2 − 3p2q − 6pq = p2(2p− 3q)− 3q(2p− 3q) = (p2 − 3q)(2p− 3q)

1.8.4.3:

c2 − 1 = (c+ 1)(c− 1)

y2 − 12y + 36 = (y − 6)2

16x4 − 8x2y2 + y4 = (4x2 − y2)2 =((2x+ y)(2x− y)

)21.8.4.4:

x2 + 3x+ 2 = (x+ 1)(x+ 2)

x2 + x− 2 = (x− 1)(x+ 2)

2.1.1:

Wahr fur: 1 Teilnehmer tragt Brille; mehrere Teilnehmer tragen eine Brille; alle Teilneh-mer tragen eine Brille.

Falsch fur: keine Teilnehmer tragt eine Brille.

2.1.2:

Diese Aussage ist genau fur x = 0 wahr!

3.2.4:

1. Unter der Bedingung a > 0, b > 0 und c > 0 gilt

log2√a+ ba3b2

3√c(a+ c)2

= log 2 +1

2log(a+ b) + 3 log a+ 2 log b− 1

3log c− 2 log(a+ c).

2. Unter der Bedingung b > 0 und a > b gilt

log(a+ b) + 2 log(a− b)− 1

2log(a2 − b2) =

1

2log(a+ b) +

3

2log(a− b).

3.3.2:

1. a2 = 4⇔ |a| = 2⇔ a = 2,−2

2. a2 > 3⇔ |a| >√

3⇔ a < −√

3 od. a >√

3, also a ∈ (−∞,−√

3) ∪ (√

3,∞).

3.3.3:

1. |x| ≤ ε⇔ −ε ≤ x ≤ ε, dh. x ∈ [−ε, ε].

2. |x− 2| < ε⇔ −ε < x− 2 < ε⇔ 2− ε < x < 2 + ε, dh. x ∈ (2− ε, 2 + ε).

4.6.6:

5.7.1:

6.1.4:

x in ◦ x im Bogenmaß sinx cosx tanx

0◦ 0 0 1 0

30◦ π/6 1/2√

3/2 1/√

3 =√

3/3

45◦ π/4√

2/2√

2/2 1

7 Beispiel 2:

Beweisen Sie: Das Quadrat jeder ungeraden naturlichen Zahl n ist ungerade.

Beweis. Wegen n = 2k + 1 fur eine geeignete naturliche Zahl k gilt:

n2 V or.= (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k) + 1 = 2m+ 1

mit m = 2k2 + 2k. Somit ist n2 eine ungerade Zahl.

Literaturverzeichnis

[1] H. Amann und J. Escher Analysis I, Birkhauser, Basel, 2006

[2] E. Cramer und J. Neslehova, Vorkurs Mathematik. Arbeitsbuch zum Studienbe-ginn in Bachelor-Studiengangen., EMIL@A-stat, Springer, 2008

[3] R. Janßen und K. Benecke, Studienvorbereitung: Mathematik in den Naturwis-senschaften -Teil 1-, Oldenburg, 1996

[4] W. Schafer und K. Georgi, Vorbereitung auf das Hochschulstudium, BSB B. Teub-ner Verlagsgesellschaft, 1985

63

Index

<, 13=, 13>, 13A \B, 12D, 24, 36L, 15⇔, 10N, 12Q, 12R2, 30R>0, R>0, R≥0, 36⇒, 10W, 36Z, 12∅, 11≥, 13∈, 10≤, 13logb a, ln, 21¬, 10π, 13⊂, 11∨, 10∧, 10f ◦ g, 42

Df , 36Wf , 36

Abbildung, 34Additionstheoreme, 49allgemeine lineare Funktion, 39Aussage, 9

Basis, 19, 21

Betragsungleichungen, 29Beweis

der direkte Beweis, 50der indirekte Beweis, 51

Beweistechniken, 50Bild, 35Bildmenge, 35, 36binomische Formeln, 14Bogenlange des Einheitskreises, 13, 47Bogenmaß, 47Bruchrechnung, 14, 51Bruchungleichungen, 27

Cosinus, 47Cotangens, 48

Definitionsbereich, 34Definitionsmenge, 24

Eigenschaft, 11, 17Einheitskreis, 45, 46Element einer Menge, 10elementare Funktionen, 36Exponent, 19Exponentialfunktion, 37

Fallunterscheidungen, 27Funktion, 34

gerade, 35symmetrische, 35trigonometrische Funktion, 46ungerade, 35

Funktionenelementare, 36

ganze Zahlen, 12

64

Index

gerade Funktion, 35Gradmaß, 47Graph einer Funktion, 34

Hintereinanderausfuhrung von Funktio-nen, 42

injektiv, 35Intervall, 15

abgeschlossenes, 15offenes, 15

kartesisches Produkt, 17, 30Kreisgleichung, 45Kreuzprodukt, 17

Losungsmenge, 15, 24leere Menge, 11Logarithmengesetze, 21Logarithmus

Basis, 21Logarithmusfunktion, 37Logharithmus, 21logische Verknupfungen, 9

Menge, 10monoton, 35

fallend, 35wachsend, 35

naturliche Zahlen, 12Negation, 18negative Zahlen, 36nicht negative Zahlen, 36

Obermenge, 11

Parabel, 25, 26Polynom, 38

n-ten Grades, 38positive Zahlen, 36Potenz, 19

gebrochene, 20Potenzfunktionen, 36

Potenzgesetze, 19Pradikatenlogik, 17

quadratische Gleichungen, 24quadratische Ungleichungen, 24quadratisches Erganzen, 24Quantoren, 17

rationale Gleichung, 26rationale Zahlen, 12reelle Zahlen

Rechenregeln, 14reellwertige Funktion, 35relatives Komplement, 12

Schnittmenge, 11Sinus, 47streng monoton, 35symmetrisch, 35

Tangens, 48Teilmenge, 11trigonometrische Funktionen, 46

spezielle Werte, 48

Umkehrfunktion, 35Umrechenformel, 21ungerade Funktion, 35Ungleichungen, 24

Regeln, 14

Vereinigungsmenge, 11Verkettung von Funktionen, 42Verneinung, 18

Wertebereich, 34, 36Wertemenge, 35Wurzel, 19

q-te, 19Wurzelgesetze, 20Wurzelgleichungen, 26

Zuordnungsvorschrift, 34

65