SỞ GD - ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KSCL THEO TỔ HỢP CÁC MÔN TUYỂN SINH ĐH,CĐ LẦN 1, NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y x (m )x (m m)x 3 2 23 2 2 ( )1 , với m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( )1 khi m 0 .

b) Tìm m để hàm số ( )1 có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x x (x x ) 1 2 1 26 4 0 .

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x sin x sin2x 0 . Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình log x log x log x 3

1 822

1 3 1 .

Câu 4 (1,0 điểm)

a) Trong một hộp đựng 8 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp trên. Tìm

xác suất để 4 viên bi được lấy ra có cả bi xanh và bi đỏ.

b) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức x x x x 5 1021 2 1 3 .

Câu 5 (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, aSD 17

2, hình

chiếu vuông góc H của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung

điểm của đoạn AD.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD theo a.

Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có D( ; )4 5 .

Điểm M là trung điểm của đoạn AD, đường thẳng CM có phương trình x y8 10 0 . Điểm B

nằm trên đường thẳng x y2 1 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B và C, biết rằng điểm C có tung độ

y 2 .

Câu 7 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình xy y y x y x

(x, y )( y) x y (x ) ( x y ) y

2 3 1 3 5

1 2 2 1 2 1 .

Câu 8 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a,b,c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Pa b ca b bc b (a c)

2 2

3 8 12 8 2 2 3

.

----------- Hết ----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:..............................

www.VNMATH.com

SỞ GD - ĐT THANH HÓA

TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ KSCL THEO TỔ HỢP CÁC MÔN TUYỂN SINH ĐH, CĐ

LẦN 1, NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: TOÁN

(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

Câu Đáp án Điểm a. (1,0 điểm) Khi m 0 ta có y x x 3 23 2 * Tập xác định D * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' x x 23 6 , y ' x 0 0 hoặc x 2

0,25

- Khoảng đồng biến: ( ; )0 2 ; các khoảng nghịch biến ( ; ) 0 và ( ; )2 - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại CTx ; y 0 2 ; đạt cực đại tại CDx ; y 2 2 - Giới hạn:

x xlim y ; lim y

0,25

- Bảng biến thiên: x 0 2 y’ - 0 + 0 - y

2 -2

.

0,25

* Đồ thị:

0,25

b. (1,0 điểm) Ta có y ' x (m )x (m m) 2 23 2 3 2 . Hàm số có hai điểm cực trị y ' 0 có hai nghiệm phân biệt

0,25

m m 2 3 2 3 20 9 2 0

2 2 (*)

0,25

Ta có m m (m )x x ; x x

2

1 2 1 22 2 3

3 3; x x (x x ) m m 2

1 2 1 26 4 0 10 24 0 0,25

1

m 2 hoặc m 12 (loại). Vậy m 2 0,25

x

y

2

2

-2

O 1

www.VNMATH.com

(1,0 điểm) Pt đã cho 2cos2x.sinx 2sin x.cosx 0 0,25 22sinx(2cos x cosx 1)=0

0,25 s inx 0 x k cos x x k 1 2

0,25

2

cos x x k

1 22 3

Vậy, phương trình có các nghiệm là: x k ; x k2 (k )

3 .

0,25

(1,0 điểm) Điều kiện: x 1 3 0,25 Pt đã cho log (x ) log ( x) log (x ) 2 2 21 3 1 0,25 (x )( x) x 1 3 1 x x 2 4 0 0,25

3

x

1 172

hoặc x

1 172

(loại)

Vậy, phương trình có nghiệm là x

1 172

0,25

(1,0 điểm) a) Số cách lấy ra 4 viên bi từ hộp là: C 4

14 1001 4 viên bi lấy ra có cả xanh và đỏ, có 3 khả năng: 1viên đỏ + 3viên xanh; 2 viên đỏ + 2 viên xanh; 3 viên đỏ + 1viên xanh

0,25

Số cách lấy ra 4 viên bi có cả xanh và đỏ là: C .C C .C C .C 1 3 2 2 3 18 6 8 6 8 6 916

Vậy, xác suất cần tính P 916

1001.

0,25

b) Hệ số của 5x trong khai triển của 5x(1 2x) là 4 45( 2) .C

Hệ số của 5x trong khai triển của 2 10x (1 3x) là 3 3103 .C

0,25

4

Hệ số của 5x trong khai triển thành đa thức của 5 2 10x(1 2x) x (1 3x) là 4 45( 2) .C + 3 3

103 .C

Vậy hệ số của 5x trong khai triển là 4 45( 2) .C + 3 3

103 .C 3320 .

0,25

(2,0 điểm) 5 a)SH (ABCD) SH HD . Ta có SH SD HD SD (AH AD ) 2 2 2 2 2

SH a 3

S.ABCD ABCDaV SH.S

31 33 3

b) HK//BD HK//(SBD) d(HK,SD) d(HK,(SBD)) d(H,(SBD)) Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên BD và F là hình chiếu vuông góc của H trên SE. Ta có BD HE và BD SH nên BD (SHE) BD HF mà HF SE

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

K

H

CB

A D

S

E

F

www.VNMATH.com

do đó HF (SBD) . Suy ra d(H,(SBD)) HF

Ta có aHE HB.sin EBH 2

4

HS.HE aHFHS HE

2 2

35

. Vậy, ad(HK,SD) 35

0,25 0,25

(1,0 điểm) 6 Gọ H, K là hình chiếu vuông góc của B, D lên CM

.

DK( )

2 2

4 8 5 10 26651 8

Gọi I, G là giao điểm của BD với AC và CM G là trọng

tâm ACD ; BH BGDG GI BG DGDK DG

2 2 2

BH 5265

; b

B(b; b ) BH b

17 18 522 1 17 18 52

65 65

b

b (loai)

27017

(loại vì điểm B và D cùng phía với đường thẳng CM). Do đó ta có B( ; ) I( ; ) 2 5 3 0 C( c ; c)8 10 CD.CB ( c).( c) ( c)( c) 14 8 12 8 5 5 0

c c 265 208 143 0

c

c (loaido c )

1143 265

C( ; ) A( ; ) 2 1 8 1 .

Vậy A( ; ); B( ; ); C( ; ) 8 1 2 5 2 1

0,25 0,25 0,25 0,25

(1,0 điểm)

Điều kiện:

yx y x

y x yy x

02 1 5

1 2 103 5

(*)

0,25

Ta có phương trình (2) ( y)( x y ) ( x y )( y) 1 2 1 2 1 1 0

( y)( x y )( )x y y

1 11 2 1 0

2 1 1 (3)

Do x y y

1 1 0

2 1 1và y 1 0 nên phương trình (3) y x 2 1

0,25

Với y x 2 1. Phương trình (1) trở thành x x x x 22 4 2 5 1 (đk: x 2 4 ) Pt ( x ) ( x ) ( x x ) 22 1 4 1 2 5 3 0

(x )( x )x x

1 13 2 1 02 1 4 1

x

x ( )x x

31 1 2 1 42 1 4 1

0,25

7

Xét f (x)x x

1 12 1 4 1

và g(x) x 2 1 với x ; 2 4 , ta có g(x) g( ) 2 5

M

C

A

HD

B

K

G

I

www.VNMATH.com

f '(x) , x ;x ( x ) x ( x )

2 2

1 1 0 2 42 2 2 1 2 4 4 1

f(x) nghịch biến

f (x) f ( )

12 12 1

. Do đó f (x) g(x), x ; 2 4 hay phương trình (4) vô nghiệm

Vậy, hệ phương trình có nghiệm là ( ; )3 5 .

0,25

(1,0 điểm)

Ta có bc b. c b c 8 2 2 2 . Suy ra (a b c)a b bc

3 322 8

0,25

Mặt khác (a c) b (a c) b 2 22 2 . Suy ra a b c(a c) b

2 2

8 833 2 2

0,25

Do đó P(a b c) a b c a b c (a b c) a b c

3 8 1 1 8

2 3 2 3 (1)

Đặt a b c t, t 0 . Xét hàm số f (t)t t

1 82 3

với t 0 .

Ta có (t )( t )f '(t)t ( t) t ( t)

2 2 2 2

1 8 3 1 5 32 3 2 3

, suy ra f '(t) t 0 1

Bảng biến thiên: t 0 1 f’(t) - 0 + f(t)

32

0,25

8

Từ bảng biến thiên suy ra f (t) f ( ) 312

với mọi t 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có P 32

. Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c a cb c

bb a c

1142

12

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 32

, đạt được khi a c , b 1 14 2

.

0,25

----------- Hết -----------

www.VNMATH.com