Vjerovatnoca i Statistika - Prvi Dio 1

8/10/2019 Vjerovatnoca i Statistika - Prvi Dio 1

1/51

HUSE FATKI

V J E R O V A T N O A I S T A T I S T I K A

P R V I D I O

TEORIJA VJEROVATNOE

SARAJEVO, 2008.

1


2/51

Huse Fatki: VJEROVATNOA I STATISTIKA, I. DIO______________________________________________________________________________________________

TEORIJA VJEROVATNOE, 1. SVEZAK


3/51

Huse FATKI

VJEROVATNOA I STATISTIKA

PRVI DIO

TEORIJA VJEROVATNOEPRVI SVEZAK1

1 O!a" #a$ "e %&'&()ut &$ st#a)e Plana za podrku istraivanja *Resea#+ Su%%t S+e'e-e)t#a/)&e!#&%sk&( u)i!e#0iteta, SOROS &)$a+i"e2FOND OTVORENO DR34TVO 5&s)a iHe#+e(&!i)a, P&t%#&"ekat 6#u%)&( %#&"ekta ,,Savremeni problem: matemaikkih nauka* *&$(&!)iist#a0i!a7 %#&. $#. 8ua#e' A!$is%ai-, 9#. RSS2:;, &$ ;1.1?.1==>.

;


4/51


5/51

1. UVOD U TEORIJU VJEROVATNOE

1.1. Pojam, predmet, poeci i znaaj teorije jeroatno!e

3 )&!i"e !#i"e'e tei"a !"e#&!at)&e *tei"a !"e#&!at)&sti- "e$)& "e &$ )a"!a)i"i i

)a"sa$#a")i"i %&$#u7"a sa!#e'e)e 'ate'atike, k&"e se ')&(& %#i'"e)"u"e i u $#u(i' 'ate'ati7ki'$is+i%/i)a'a, %&se9)& u *'ate'ati7k&" statisti+i, ka& i u #a0)i' %&$#u7"i'a i0ika/)i i 9i&/&@ki)auka, te)ike *e/ekt#&te)ike, sa&9#aa"a i $#.-, (e)etike, u i0u7a!a)"u #a0/i7iti s/u7a")i %&"a!a,)"i&!i 0ak&)it&sti, )"i&!e %#i#&$e i u7i)ka, i $#u($"e. Tei"a !"e#&!at)&e, a i tei"e k&"e se0as)i!a"u )a %&"'&!i'a !"e#&!at)&e &$)&s)&, k&"e +#%e &s)&!)e i$e"e i0 tei"e !"e#&!at)&e, !#/& su0)a7a")e (#a)e 'ate'atike i i'a"u %#i'"e)u u @i#&k&' %&$#u7"u sa!#e'e)i $"e/at)&sti. 8a)"e "e%&0)ata 7i)"e)i+a $a se %&"'&!i !"e#&!at)&e s!e !i@e kiste i u $#u@t!e)i' )auka'a. St&asti7ke'et&$e, )%#., %#i'"e)"u"u %si&/&0i u ist#ai!a)"u %#&+esa u7e)"a. Statistik&' tei"&' se kisteek&)&'isti u is%iti!a)"u )as/"e$)i #i0ika u #a0)i' %&s/&!)i' %/a)i#a)"i'a. Tei"a i(a#a.!"e#&!a'&a i statistika su !#/& 0)a7a")e i u !&")i' $is+i%/i)a'a. S%isak s!i &9/asti u k&"i'a tei"a!"e#&!at)&e i statisti7ka a)a/i0a se %#i'"e)"u"u "e su!i@e $u( $a 9is'& (a %&ku@a!a/i i0/&0iti.D&!&/")& "e sa'& istai $a su tei"a !"e#&!at)&e, )"e)i %&"'&!i, i$e"e i 'et&$e $a)as !#/& @i#&kas%#&st#a)"e)i $a se %#&+"e)"u"e $a +e )"i&! uti+a" u 9u$u)&sti 9iti "&@ $a/ek& !ei..

P&0)at& )a' "e $a su i$ea/)e /i)i"e i t#&u(/&!i, u (e&'et#i"i #a!)i, 'ate'ati7ki %#e$sta!)i+i i/i,,'ate'ati7ki '&$e/i, &$(&!a#a"ui i0i7ki &9"ekata u st!a#)&' s!i"etu. Na isti )a7i) '&e'&,(&!iti & 'ate'ati7ki' '&$e/i'a %#&9/e'a i0 tei"e !"e#&!at)&e i '&e'& i0u7a!ati te '&$e/es/i7)& ka& st& $&ka0u"e'& tee'e u (e&'et#i"i )a &s)&!u Euk/i$&!i aksi&'a. Tei"a !"e#&!at)&e "e'ate'ati7ka $is+i%/i)a k&"a se 9a!i 0ak&)it&sti'a u s/u7a")i' %&"a!a'a, &$)&s)& tei"a .!"e#&!at)&e "e 0as)&!a)a )a '&$e/i'a k&"i &$#a0a!a"u %ita)"a i %&"a!e st!a#)&(a s!i"eta, )a &s)&!u&$#ei!a)"a 0ak&)it&sti i %#e$!ia)"a $&(aa"a. Za%#a!& '&e'& #ei $a "e statistika )aukasaku%/"a)"a i a)a/i0i#a)"a %&$ataka, a tei"a !"e#&!at)&e2'ate'ati7ka st#uktu#a )a k&"&" su0as)&!a)e statisti7ke 'et&$e.

Tei"a !"e#&!at)&e s%a$a u #e$ )a"'/ai (#a)a 'ate'atike. 3 sta#&' !i"eku a)ti7ki )a#&$i )isu%&0)a!a/i tei"u !"e#&!at)&e. Ka& i u ')&(i' $#u(i' $is+i%/i)a'a i !"e#&!at)&a "e )asta/a i0 '&ti!ak&"i )isu 9i/i !e0a)i 0a )auku, )iti su i'a/i ikak!e !e0e sa )"&'. Tak&e %&st&"i !e/ik& @a#e)i/& 'eu(/e$i@ti'a 'ate'ati7a#a & .%ita)"u k& i ka$a "e %#!i 0a%&7e& %#&u7a!a)"e %#&9/e'a !"e#&!at)&e )asiste'ati7a) )a7i). 3 ')&(i' $&stu%)i' i0!i'a *u$9e)i+i, #a$&!i i $#.- )a!&$i se $a "e 1>C.(&$i)e %&7e& #a0!&" tei"e !"e#&!at)&+e. O!a" $atu' 0a%#a!& &0)a7a!a %&7etak !#/& &%se)ekes%&)$e)+i"e i0'eu $!&"i+e !e/iki #a)+uski 'ate'ati7a#a 5/e"0a Paska/a (Blaise Pascal,'ate'ati7a#, i0i7a# i ast#&)&', 1>;21>>.- i P"e#a Fe#'e (Pierre cle ermat!%& 0a)i'a)"u %#a!)ik,'ate'atik&' se 9a!i& i0 &9i"a, 1>?121>>C-, u k&"&" su #a0'"e)"i!a/i 'i@/"e)"a & )eki' %#&9/e'i'ak&+ka)"ak&"e "e Pas+a/u %&sta!i& %a#i@ki (#aa)i) Se!a/ie


6/51

)e 'a"u $&(&$iti. Tak!i $&(aa"i )a0i!a"u sesluajnim, 0a #a0/iku &$ &)i $&(aa"a 7i"i se t&k09i!a)"a '&0e ta7)& %#e$!i$"eti *t0!. $ete#'i)isti7ki $&(aa"a &$)&s)& $ete#'i)isti7ki %&"a!a- "e# se&!i %&ka!a"u &$#ee)i' 0ak&)i'a u0#&7)e %&!e0a)&sti u $#u(&' &9/iku sa )eki' $#u(i'$&(aa"i'a i/i akti'a. Raa)"e tei"e !"e#&!at)&e u MVII !i"eku, &si' 0a Pas+a/a i Fe#'ata,!e0a)& "e i 0a i'e &/a)$sk&( 'ate'ati7a#a Ha"(e)sa ('u)hens, 1>C21>=C-. N&, %#!i 0)a7a")i"i#e0u/tati u tei"i !"e#&!at)&+e %&sti()uti su u MVIII !i"eku i %&+etk&' MIM !i"eka, a !e0a)i su 0ai'e)a Jak&9a 5e#)&u//i"a *4!a"+a#ski 'ate'ati7a# &/a)$sk&( %i"ek/a, 1>C21B?C-,e #oivrea*#a)+uski 'ate'ati7a#, 1>>B21BC-,Pierre!Simon de +aplacea *1B=21B, #a)+uski 'ate'ati7a#,

ast#&)&' i i0i7a#-, P&as&)a (S% % Poisson, 1B121?, #a)+uski i0i7a# i 'ate'ati7a#- i $#.8e$u %#!i' )"e'a7ki 'ate'ati7a# "arl riedrich auss *1BBB21CC- $&%#i)i& "e ')&(& u

%#akti7)&" %#i'"e)i tei"e !"e#&!at)&e. Ruski 'ate'ati7a#i P%+% "ebiSev *11 21=-,-% -% #arkov*1C>21=- i#% +japunov *1CB21=1- $a/i su k#u%)e $&%#i)&se u #a0!&"u k/asi7)e tei"e!"e#&!at)&e. S&!"etski 'ate'ati7a#i -%.%/o0mo)orov, Ser)ej .atanovi& Bernstajn *1?21=>-,'incini nedenko $a/i su 0)a7a")e $&%#i)&se u sa!#e'e)&' #a0!&"u tei"e !"e#&!at)&e.

Za)i'/"i!a "e 7i)"e)i+a $a se teorija vjerovatno&e (&t&!& t#i !i"eka #a0!i"a/a 9e0 st#&(&ut!#e)i aksi&'a. Vei)a )eus%"e/i %&ku@a"a st#&(&( 0as)i!a)"a tei"e !"e#&!at)&e sast&"a/a se ut&'e $a se %&"a' !"e#&!at)&e $ei)i@e %&'&u i)tuiti!)& 9/isk&( %&"'a relativne 1rekvencije%O%@te%#i!ae)u aksi&'atiku u!e& "e u tei"u !"e#&!at)&e (&$i)e 1=;;. !e/iki #uski 'ate'ati7a#

-ndrej .ikolajev& /olmo)orov% N"e(&!a aksi&'atika &9u!ata/a "e s!e $&ta$a@)"e #e0u/tate i0teorije vjerovatno&e, a tak&e se %&ka0a/& $a &)a a$ek!at)& #e%#e0e)ti#a )a@e %#i#&$)e i$e"e,&$)&s)& i)tuiti!)e %#e$&$9e & !"e#&!at)&i, t". $a %&st&"i !e0a i0'eu vjerovatno&e i relativne1rekvencije% Osi' t&(a K&/'&(&!/"e!a aksi&'atika "e $&9#a &s)&!a 0a #a0!&" )&!i sa$#a"a tei"e!"e#&!at)&e. P&s/i"e u!&e)"a &!e aksi&'atike, teorija vjerovatno&e "e $&i!"e/a i0u0eta) #a0!&" i$a)as "e "e$)a &$ !&$ei 'ate'ati7ki $is+i%/i)a.

Vjerovatnoa i statistika %&sta/e su !#/& &%@i#)e 'ate'ati7ke $is+i%/i)e i $i"e/e se )a !ise#a0)i &9/asti, &$)&s)& )&!i (#a)a, ka& @t& su:

-Klasina i o!"ta teorija vjerovatnoe

-#ra$tina teorija vjerovatnoe

-%ate&ati$a statisti$a

-Statisti$o &o'eliranje

-Teorija &asovni( o!sl)*ivanja

-Teorija !o)+'anosti

-Sto(asti$i !ro,esi

-Teorija inor&a,ija

-Statisti$a $ontrola i 'r.

Na")&!i"e &9/asti TEORIJE VJEROVATNOE su TEORIJA VJEROVATNOSNIH 8ETRIGKIHPROSTORA i TEORIJA DISTRI53IONO6 HAOSA. *3 7et!#t&' %&(/a!/"u $&)ek/e e'& #a0'at#atisa'& )eke s%e+i"a/)e k/ase !"e#&!at)&s)i 'et#i7ki %#&sta2t0!. !"e#&!at)&s)e u)ita#)e %#&ste-.

Ka& tei"a i ka& %#akti7)a 'ate'ati7ka )auka, u %&s/"e$)"e !#i"e'e, tei"a !"e#&!at)&e %&stieu9#0a)i #a0!&" i s!e !ee %#i'"e)e u !ei)i )auka *kak& %)#&$)i tak& i te)i7ki, 9i&te)i7ki i $#u@t!e)i)auka-.

Na 7e'u se 0as)i!a tei"ski i %#akti7a) 0)a7a" !"e#&!at)&eL

P#i a)a/i0i#a)"u, &%aa)"u i eks%e#i'e)tu u!i"ek se t#ai u0#&7)a !e0a i0'eu k&'%/eks)i us/&!a,#e+i'& us/&!a a, i $&(aa"a *D- u + i/" u &$#ei!a)"a 'ate'ati7ki 0ak&)a k&"i !ae 0a $&(aa"

>


7/51

D. 3 !ei)i s/u7a"e!a )e '&e'& us%&sta!iti si(u#)u !e0u i0'eu k&'%/eks)i *s/&e)i- us/&!a a i$&(aa"a *D-. Nai'e, %&st&"i "&@ u!i"ek i us/&!i, #e+i'& *;, k&"e 'i )e 0)a'&, a &$ k&"i tak&e 0a!isi)asta"a)"e $&(aa"a *D-. Tei"a !"e#&!at)&e "e, $ak/e, i 'ate'ati7ki a%a#at 0a %#&u7a!a)"e'as&!)i %&"a!a s )e%&0)ati' k&'%/eks)i' u0#&k&'. Tak!e %&"a!e 0&!u sestohastike pojave%Ri"e7 stohastian "e (#7k&( %i"ek/a a 0)a7i ,,k&"i se )as/uu"e, %a se ta #i"e7 u%&t#e9/"a!a u'"esti"e7i ,,!"e#&!at)&a. 6&t&!& u s!i' 'as&!)i' %&"a!a'a u'i"e7a) "e st&asti7ki e/e'e)at i ti'e se&9"a@)"a!a %#i)+i%i"e/)a '&(u)&st tei"e !"e#!at)&e 0a tei"u %#&u7a!a)"a st&asti7ki %&"a!a.V"e#&!at)&a "e u st!a#i $&9i/a s!&"e '"est& u 'ate'ati+i i u )au+i u&%@te ka$a "e %&7e/a )"e)a'ate'ati7ka &9#a$a, ka$a "e )a t&" &s)&!i i0(#a$e)& )au7)& sa0)a)"e $a se ')&(e %&"a!e i %#&+esi, k&"isu st&asti7k&( ka#akte#a, '&(u )au7)& ist#a0i!ati 9e0 k#uti 'ate'ati7ki 'u/a. Tak!e %&"a!e)aukaprocjenjuje, kistei %#i t&'e s!e sa!#@e)i"e 'et&$e $a te %#&+"e)e 9u$u @t& %#i9/i)i"e, st& ta7)i"e.6#e@ke k&"e se %#i t&'e "a!/"a!"u i/i )asta"u u 'a)"&" i/i !e&" '"e#i, %& %#i#&$i st!a#i, )isu !i@e )e%&0)atei )eu!at/"i!e 0a )auku. 3 s!ak&' ist#ai!a)"u '&e'& u)a%#i"e$ $a se &%#e$i"e/i'& 0a &$#ee) ste%e)t&( &$stu%a)"a i/i (#e@ke, 0a!is)& &$ +i/"a ist#ai!a)"a i &$ ste%e)a )au7)&sti k&"e( %#i ist#ai!a)"u e/i'&$a %&sti()e'&.

P&"a' i #a7u) !"e#&!at)&e u@a& "e i u )a@ s!ak&$)e!)i i!&t. Te#'i)i ka& @t& su: vjerovatno,nevjerovatno, ,,moda2, si)urno itd%% )isu )i@ta $#u(& )e(& )a@a %#&+"e)a &7eki!a)"a $&(aa"a sa !i@e i/i

'a)"e &s)&!a i sa0)a)"a. A/i $a 9i se %#a!i/)& s/ui/i ti' te#'i)i'a, %&t#e9)& "e $a 0)a'& @ta &)i 0)a7e,ka$a se '&(u u%&t#i"e9iti i kak& i t#e9a kistiti $a 9is'& !"e#)& i0#a0i/i i/i sa&%@ti/i &)& st& 0e/i'&, a$a %#i t) )e 9i u%a/i u (#e@ku.

1.". #tanoi$ta % teoriji jeroatno!e. Pro&ta jeroatno!a i &'%pne jeroatno!e

P& %ita)"u k&"u !#stu %#&9/e'a #"e@a!a tei"a !"e#&!at)&e, u&9i7a"e)a su $!a sta)&!i@ta:,,&9"ekti!)& i ,,/i7)&.

6/e$a)& sa &9"ekti!)&( sta)&!i@ta, k&"e "e %&%u/a#)i"e &$ /i7)&(, tei"a !"e&!at)&e se '&e%#i'"e)"i!ati sa'& )a &)e %&"a!e i $&(aa"e k&"i se '&(u %&)a!/"ati !i@e %uta %#i isti' us/&!i'a.

P#e'a t) sta)&!i@tu '&e se (&!iti & !"e#&!at)&i u %#&9/e'i'a ka& @t& su bacanje novi&a i/ikocke% O)i k&"i 0astu%a"u &!& (/e$i@te )e 0e/e %#i%isi!ati )eku !"e#&!at)&u %&"a!a'a k&"e se$&(aa"u sa'& "e$a)%ut. *)%#. &)i &$9i"a"u $a (&!e & !"e#&!at)&i udaje njihove sestre za mladi&a poimenu #ahmud$%

Zastu%)i+i t0!. ,,i7)&( (/e$i@ta s'at#a"u $a "e !"e#&!at)&a i0#a0 /i7)&( u!"e#e)"a u&$#ee)&" %#&%&0i+i"i i !"e#&!at)&u %#i'"e)"u"u )a s!e %#&9/e'e k&"e &9u!ata &9"ekti!)& (/e$i@te, a/ii )a !e/iku k/asu $#u(i %#&9/e'a k&"i se sa %#!&( sta)&!i@ta )e u0i'a"u u &90i#. *N%#., teetski(/e$a)&, 0astu%)i+i /i+)&( (/e$i@ta s'at#a"u $a se '&e (&!iti & !"e#&!at)&i udaje njihove sestre zamladi&a po imenu #ahrnud%$%

Ra0/i7iti auti $a"u #a0)e %&$"e/e !"e#&!at)&e. Na""e$)&sta!)i"a %&$"e/a !"e#&!at)&e, s&90i#&' )a )a'"e)u i '"est& vjerovatno&e u statistici, "e %&$"e/a )aprostu vjerovatno&u i skupnevjerovatno&e%

Prostu vjerovatno&u i'a'& u s/u7a"e!i'a ka$ se #a$i & 'asi prostih do)a3aja, t". &)i $&(aa"ak&"i )e 0a!ise i )isu us/&!/"e)i )eki' $#u(i' $&(aa"i'a. Taka! s/u7a" i'a'& ka$ se #a$i & 'asi$&(a$a"a, 'e$u k&"i' i'a &$#ee) 9#&" &)i 0a k&"e kae'& $a su povoljni (oekivani$, a 0ati' 9#&" &)i0a k&"e kae'& $a su nepovoljni *)e e/i'& )"i&!& $e@a!a)"e-.

Skupne vjerovatno&e su !"e#&!at)&e u s!i' &)i' s/u7a"e!i'a ka$a se %&'&u raunavjerovatno&e *&$)&s)& 'u/a i %#a!i/a teorije vjerovatno&e$ i0)a/a0e #a0u/tati &$)&sa $!i"e i/i !i@e

B


8/51

(#u%a *e/e'e)ta#)i- $&(aa"a, 9i/& $a su ti $&(aa"i 'eus&9)& zavisni i/i nezavisni,9i/& $a su uslovljenijedni $#u(i' i/i )e.

3 kate(i"u sku%)i !"e#&!at)&a s%a$a"u: parcijalna !"e#&!at)&a, totalna !"e#&!at)&a,sloena !"e#&!at)&a, uslovna !"e#&!at)&a, relativna !"e#&!at)&a, vjerovatno&a uzor1ca, vjerovatnocaponovljenih pokuSaja (bino1na4navjerovatnocsi$, vjerovatnoca skupa 5 vjerovatno&a izbora u uzorak%

Parcijalna vjerovatno&a i0#a7u)a!a se u &)i' s/u7a"e!i'a ka$a i'a'& !i@e $&(aa"a a/i ses!aki &$ )"i '&e %&se9)& %&s'at#ati, &$)&s)& ka$a se 0a s!aku !#stu ti $&(aa"a '&(ui0#a7u)ati &$!&"e)& vjerovatno&e nastajanja i/i nenastajanja% 6otalna vjerovatno&a %#e$sta!/"a &9/ik!"e#&!at)&e k&$ k&(a se $e@a!a)"e )ek&( $&(aa"a, #e+i'& A, %&!e0u"e sa $e@a!a)"e' $#u(a $!a$&(aa"a, #e+i'& 5 i . O$ &9/ika 'eus&9)e !e0e i us/&!/"e)&sti &!i $&(aa"a 0a!isi i 'et&$i0#a7u)a!a)"a *k&"i '&e 9iti u0 %#i'"e)u teoreme mnoenja


9/51

!"e#&!at)&e "e 'ate'ati7ka $is+i%/i)a 7i"i "e 0a$atak 'i#a)"e i %#&u7a!a)"e 'ate'ati7k&( '&$e/as/u7a"' %&kusa.

K&$ s!ak&( %&kusa &s)&!)& "e $a se usta)&!i &$)&s i0'eu u0#&ka i %&s/"e$i+e. Sa'&%&0)a!a)"e t&( &$)&sa &'&(uu"e $ei)isa)"e uslova pokusa i %#e$!ia)"e is&$a %#i s!ak&'#ea/i0i#a)"u ti us/&!a. Ve0a)& 0a t&, %&kuse $i"e/i'& u $!i"e &s)&!)e (#u%e: deterministike i sluajnepokuse% K&$ $ete#'i)isti7ki %&kusa is&$ "e "e$)&0)a7)& &$#ee) us/&!i'a %&kusa. P#i'"e#

$ete#'i)isti7ki %&kusa "e 0a(#i"a!a)"e !&$e %&$ )'a/)i' at'&se#ski' %#itisk&' )a te'%e#atu#u!i@u &$ 1?? *#e0u/tat "e %#&'"e)a a(#e(at)&( sta)"a !&$e-.

P#i %#&u7a!a)"u s/u7a")i %&kusa u tei"i !"e#&!at)&e !a)& "e %#et%&sta!iti $a "e k&'%/eksus/&!a u k&"i'a se %&kus i0!&$i ta7)& &$#ee) u s'is/u $a s!aka #ea/i0a+i"a t&( k&'%/eksa us/&!a&'&(uu"e $a se %&kus '&eponoviti tako $a "e %&)&!/"e)i %&kus i$e)ti7a) $at&' %&kusu. Dak/e,$&%u@ta'& '&(u)&stponavljanja $at&( s/u7a")&( %&kusa %#&i0!&/")& k&)a7)& ')&(& %uta.

P#i/ik&' #a0'at#a)"a %&"e$i)&( s/u7a")&( %&kusa %&t#e9)& "e )a %&7etku $&(&!iti se &t&'e @ta se s'at#a mo)u&im ishodom t&( %&kusa.

S!aki s/u7a")i %&kus 0a!#@a!a se )eki' ishodom ili do)a3ajem% Re0u/tati s/u7a")i %&kusa0&!u sesluajni do)a3aji *i/i k#ae do)a3aji$% Dak/e, s/u7a")i $&(aa" "e s!aka 7i)"e)i+a k&"a se ka&

#e0u/tat i0!&e)"a )ek&( %&kusa $esi *$&(&$i- i/i $a se )e $esi *)e $&(&$i-. D&(aa"i se )a"7e@e&0)a7a!a"u sa !e/iki' s/&!i'a *sa i/i 9e0 i)$eksa- /ati)i+e *)%#., A, 5, ... A, , A ,...-.

#ri&jer .P&kus se sast&"i u 9a+a)"u )&!7ia u!is i0)a$ #a!)e %/&e. Na%&'e)i'& $a se%&$ )&!7ie' u tei"i !"e#&!at)&e %&$#a0u'i"e!a i$ea/a) &'&(e) )&!7i tak& $a ka$ se 9a+i '&(u$a se #ea/i0u"u "e$i)a $!a '&(ua $&(aa"a *$a %a$)e )a)rb ili pismo t", )ak&) @t& "e )&!7i %a& )a%/&u, )a )"e(&!&" (&)"&" st#a)i "e (#9 *6- i/i %is'&*P-, "e#, )a &s)&!u iskust!a, #a0u')& "e%#et%&sta!iti $a $#u(e '&(u)&sti )e $&/a0e u &90i# *)%#., $a %a$)e )a #u9-.

#ri&jer 2.Neka se %&kus sast&"i u 9a+a)"u i(#ae k&+ke. I &!$"e k&+ku 0a'i@/"a'& $a "ei$ea/)& )a%#a!/"e)a i sa i$ea/)i' st#a)a'a *1,, ...,> 2 9#&" ta7aka-. 8&e se $esiti "e$a) &$ >s/u7a"e!a. P#i t&'e )e '&e'& %#e$!i$"eti k&"i e t& s/u7a" 9iti.

Ra0/ik&!ae'& sloene (razloive$ do)a3aje i elementarne (nerazloive$ do)a3aje%Nai'e, u&%@te' s/u7a"u ka$ i0!&$i'& eks%e#i'e)t &)$a ka& #e0u/tat t&( eks%e#i'e)ta '&e $a se $esi "e$a) isa'& "e$a) $&(aa", &$ !i@e )"i e!e)tua/)&, a %#i t&'e s!aki &$ ti $&(aa"a i'a istu @a)su $a se%&"a!i. 3%#a!& te $&(aa"e 0&!e'& e/e'e)ta#)i' $&(a$a"i'a. P#&i0!&/")i e/e'e)ta#)i $&(aa"&0)a7a!at e'& 7est& sa*i/i sa Q, u sku%&!)&" te#'i)&/&(i"i-, a sku% s!i e/e'e)ta#)i $&(aa"a sa, t0!. %#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a. Dak/e, %#&st "e sku% s!i e/e'e)ta#)i $&(aa"a k&"i se '&(u$&(&$iti %#i i0!&e)"u )ek&( %&kusa.

Tak&, )%#., 9a+a)"e )&!7ia *u %#i'"e#u 1 .- "e %&kus k&$ k&"e( e s!aki is&$ 9iti e/e'e)t$!&7/a)&( sku%a QP,6, a/i u)a%#i"e$ )e 0)a'& k&"i e t& e/e'e)t 9iti.

E/e'e)ta#)i $&(aa"i se, $ak/e, )e '&(u $&(&$iti ist&!#e'e)&, t". &)i se iskljuuju *$is"u)kt)isu-, $&k se s/&e)i $&(aa"i '&(u $&(&$iti ist&$&9)& t". '&(u $a se u0a"a')& ne iskljuuju *)%#., %#is/u7a")&' %&kusu 9a+a)"a $!i"u i(#ai k&+ki, ak& ka& is&$ $&9i"e'& *;,;-, ta$a se $&(&$i& i$&(aa" ,,su'a 9#&"e!a )a &9"e k&+ke "e > i $&(aa" ,,)a &9"e k&+ke %a& "e isti 9#&"-.

S!aki s/&e)i $&(aa" '&e'& #a0/&iti )a e/e'e)ta#)e $&(aa"e.

Sa$a e'& u!esti %&"'&!e k&"i e )a' t#e9ati u,,konstrukciji matematike teorijevjerovatno&te% Os)&!)i %&/a0)i &9"ekat u tei"i !"e#&!at)&e "e )e%#a0a) sku% k&"i 0&!e'&prostorelementarnih do)a3aja i k&"i #e%#e0e)ti#a sku% s!i is&$a s/u7a")&( %&kusa.

Sku% i )"e(&!e e/e'e)te *k&"e e'& 0!ati i ta7ka'a sku%a - )a$a/"e e'& s'at#ati $a su$ati, t". &)i su &s)&!)i i )e$ei)isa)i %&"'&!i u tei"i !"e#&!at)&e.

=


10/51

Ta7ke*&$)&s)&, "e$)&7/a)e sku%&!e Q- +e'& 0!ati elementarni do)a3aji%

P#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a s/ui '&$e/u i$ea/i0i#a)"a s/u7a")&( %&ku@a u s'is/u $a %&$ei)i+i"i s!ak& #"e@e)"e %&kusa 'a $ati is&$ k&"i &$(&!a#a "e$)&' i sa'& "e$)&' e/e'e)ta#)&'$&(aa"u, t". "e$)&" i sa'& "e$)&" ta7ki u . Dak/e, "e "e$)&sta!)& sku% ta7aka *0a sa$a )e'a'ate'ati7ki us/&!a 0a $%

#ri&jer /. Ak& )&!7i 9a+a'& "e$)&', '&e'& u0eti QP,6. Ak& )&!7i+ 9a+a'& $!a%ut t&"e $#u(i %&kus, %a t#e9a $#u(i , #e+i'& QPP,P6,6P,66.

P#i'i"eti'& $a ist&'e s/u7a")&' %&kusu '&e'& %#i$#uiti #a0)e %#&ste e/e'e)ta#)i$&(aa"a. N%#., ak& "e$)&' 9a+a'& i(#au k&+ku &)$a "e %#i#&$)& u0eti Q1,,...,>. A/i, &!&'%&kusu '&e'& %#i$#uiti $#u(i %#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a k&"i i'a sa'& $!a e/e'e)ta: ,,) "e%a#a) i ,,) "e )e%a#a), ($"e "e ) 9#&" k&"i %a$)e )a k&+ki. 8euti', ak& )as %#i $at&' #"e@e)"u &!&(%&kusa 0a)i'a $a /i "e ) U , &!a" $#u(i %#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a )ee 9iti &$ kisti. P#e'at&'e %#i#&$a k&)k#et)&( %#&9/e'a k&"i )as 0a)i'a u $at&' t#e)utku &$#eu"e k&"i' e'& se%#&st&' e/e'e)ta#)i $&(aa"a kistiti.

P#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a '&e 9iti konaan, t". '&e i'ati &9/ik Q1,,...,), '&e 9itibeskonaan a/i prebrojiv, t". Q1,,..., ) ,..., a/i '&0e 9iti beskonaan i neprebrojiv*,,)e%#eki$a)J-, QWP*-.

S!aka ta7ka *e/e'e)ta#)i $&(aa"- k&"a %#i%a$a $&(aa"u A 0&!e sepovoljna 0a A. D&(aa" A$&(&$it e se u $at&' !#@e)"u %&kusa ak& is&$u %&kusa &$(&!a#a "e$)a &$ ta7aka i0 A, t". ta7ka%&!&/")a 0a A.

Dak/e, )a sku%u e/e'e)ta#)i $&(aa"a '&He'& $ei)isati i $#u(e s/&He)i"e $&(aa"e. N%#., %#i&%itu 9a+a)"a k&+ke )eka se $&(aa" A $esi ka$ %a$)e %a#a) 9#&", a $&(aa" 5 se $esi ka$ %a$)e 9#&"'a)"i &$ C. Ta$a"e AQ,,>, 5Q 1,,;,.

3 sku%u e/e'e)ta#)i $&(aa"a %&se9)& se i0$!a"a"u &!a $!a $&(aa"a:

1- Si)uran i/ipouzdan $&(aa". i"e/i %#&st 0&!e se si(u#a) i/i %&u0$a) $&(aa" i &)se #ea/i0u"e ka$a se #ea/i0u"e 9i/& k&"i &$ e/e'e)ta#)i $&(aa"a, t". &) se 'a$&(&$iti u s!ak&' !#@e)"u &%ita. Dak/e, ak& )eki &%it a %#ii i0a0i!a %&"a!u $&(aa"aA, &)$a se ta" $&(aa" 0&!e %&u0$a). O9i7)& i &0)a7a!a'& sa 3.

-.emo)u& do)a3aj% P#a0a) sku% X 0&!e'& )e'&(u $&(aa". O) se )ika$a )e $esi.N"e(a )e #ea/i0u"e )i "e$a) e/e'e)ta#)i $&(aa". Dak/e, ak& se $&(aa" A si(u#)& )e$esi $ati' &%it&' &)$a se &) 0&!e )e'&(u $&(aa". S!e )e'&(ue $&(aa"e&0)a7a!a'& sa X i/i V.

D&(aa" se, $ak/e, 0&!e s/u7a"a) ak& se &) '&He, a )e 'a, %&"a!iti ka& #e0u/tat )ek&( &%ita.

D&(aa"e '&He'& &ka#akte#i0i#ati )a $!a )a7i)a: i/i tak& $a )a!e$e'& s!e )"i&!e ta7ke i/i tak& $a

&%i@e'& us/&!e u0 k&"e e se &)i $&(&$iti. Tak& )a ()"e' %#i'"e#u i'a'& A Q,,> i/i AQ)ak&+ki %a& %a#a) 9#&".

Dei)i@i'& sa$a &%e#a+i"e sa $&(aa"i'a %&'&u k&"i se &$ $ati $&(aa"a $&9i!a"u s!i$&(aa"i. Za s!e $&(aa"e s'at#a'& $a su %&$sku%&!i ist&( %#&sta e/e'e)ta#)i $&(aa"a, %a "e%#i#&$)& &%e#a+i"e )a$ $&(aa"i'a $ei)isati %&'&u &%e#a+i"a )a$ &$(&!a#a"ui' sku%&!i'a.

Za $&(aa" A kae'& $apovlai (implicira, ili - je specijalan sluaj od B$ $&(aa" 5 ak& "eA5. Ak& A 5 i 5 A &)$a kae'& $a su $&(aa"i A i 5 ek!i!a/e)t)i i %i@e'& A5.

1?


11/51

Za $&(aa"e A sta!i'& A+ YA, t". A+"e komplement &$ A. D&(aa" A+se 0&!esuprotan*k&'%/e'e)ta#a)- $&(aa" &$ A. D&(aa" A+se &0)a7a!a 7est& i sa A i/i i &) se $&(&$i u $at&'!#@e)"u %&kusa ak& i sa'& ak& se A )e $&(&$i.

Za $&(aa"e A, 5 sku% A 35 *i/i A[5- 0&!e se unija *i/i 09i#- $&(aa"a A i 5, t". $&(aa" Au5 "e$&(aa" k&"i se $&(&$i sk& i sa'& ak& se $&(&$i 9a# "e$a) &$ $&(aa"a A i 5. A)a/&()& se

$ei)i@e i u)i"a i/i 09i# k&)a7)& ')&(& $&(aa"a A1,...,A)ka& i/i &$)&s)& &$

%#e9#&"i!& ')&(& $&(aa"a *A), ) N- ka&

7

Za $&(aa"e A, 5 sku% A 5 *i/i A 5- 0&!e'&presjek *i/i %#&i0!&$- do)a3aja A i 5, t". $&(aa"A 5 "e $&(aa" k&"i se sast&"i u t&'e $a se A i 5 %&"a!/"u"u sku%a *$&(aa" A 5 $&(&$i se ak& isa'& ak& se $&(&$e &9a $&(aa"a A i 5-. A)a/&()& se $ei)i@e %#es"ek &$ k&)a7)& i/i %#e9#&"i!&')&(& $&(aa"a.

Za $&(aa"e A i 5 kae'& $a se uzajamno iskljuuju *$is"u)kt)i, )es%&"i!i- ak& "e A 5? *A

5V-. 3 t) s/u7a"u A i 5 )e '&(u se ist&!#e'e)& $&(&$iti.Za k&)a7)& i/i %#e9#&"i!& ')&(& $&(aa"a *A)- kae'& $a se uzajamno iskljuuju ak& "e

Ai " 0a i ".

Za $&(aa"e A, 5 sku% A5 0&!e'& razlika do)a3aja A i 5. Jas)&, A5 A 5+, %a &tu$as/i"e$i $a se $&(aa" A5 $&(&$i ak& i sa'& ak& se A $&(&$i i 5 )e $&(&$i, t". #a0/ika $!a $&(aa"a A i 5se 0&!e $&(aa" k&(a #ea/i0u"u e/e'e)ta#)i $&(aa"i k&"i %#i%a$a"u A a )e %#i%a$a"u 5.

Kak& su &%e#a+i"e )a$ $&(aa"i'a $ei)isa)e %&'&u &%e#a+i"a )a$ &$(&!a#a"ui'%&$sku%&!i'a %#&sta e/e'e)ta#)i $&(aa"a, t& 0a )"i !#i"e$e s!a *&$(&!a#a"ua- %#a!i/a i0 teorije

skupova%N%#., 0a )i0 $&(aa"a *A), ) N- !#i"e$e $e 8(a)&!e 'u/e *0ak&)i-:)-+\ , *\A)-+

%a &tu$a !#i"e$i Ai*\ -+.

#ri&jer .Neka "e YR[Q]W]^? i QA): )eN )i0 $&(a$a"a u Y, $at sa

A)_?,12 `, *)1,,...-

1a$o se vi'i 'a je i2 30,4, i2506.

. -. )a&ina de/inicija apriorne jeroatno!e

P#i"e )e(& @t& %#e+i0i#a'& i)tuiti!)a, )e'a/)a #a0'at#a)"a u!&$)i %&"'&!a tei"e!"e#&!at)&e, )a(/asi'& $a "e %#i %#&u7a!a)"u s/u7a")i eks%e#i'e)ata u tei"i !"e#&!at)&e )u)& )a%&7etku $&(&!iti se & t&'e k&"i su e/e'e)ta#)i *)e#a0/&i!i- $&(aa"i '&(ui is&$i $at&(s/u7a")&( eks%e#i'e)ta. S!i $&(aa"i !e0a)i u0 ta" eks%e#i'e)t '&(u se &%isati %&'&u e/e'e)ta#)i$&(aa"a.

Ak& se %&e 7ist& &$ iskust!a &)$a "e "as)& $a se $&(aa"i '&(u u%ei!ati %& ste%e)u)"i&!e '&(u)&sti %&"a!/"i!a)"a. N%#., "as)& "e $a %#i (aa)"u )ek&( +i/"a, +i/" e se %#i"e %&(&$iti )a

11


12/51

'a)"e' #ast&"a)"u, )e(& sa $ue(. I/i ak& )a )ek&" /ut#i"i i'a'& C? te/e!i0a, C '&t&+ik/a, ?aut&'&9i/a, &)$a "e !ea @a)sa $a e se $&9iti te/e!i0 a 'a)"a '&t&+ik/. Ak& 9a+a'& )&!7i @a)se $a se%&"a!i (#9 i/i %is'& su %&t%u)& "e$)ake. P&sta!/"a se %ita)"e $a /i %&st&"i )eka )u'e#i7ka!#i"e$)&st k&"a se '&e $a %#i%i@e s!ak&' $&(aa"u i k&"a 9i )a' s/ui/a ka& &9"ekti!)a '"e#a#ea/i0a+i"e )ek&( $&(aa"a %#i i0!&e)"u )ek&( s/u7a")&( %&kusa. Tak!a 9#&")a !#i"e$)&st %&st&"i i &)ase 0&!e vjerovatno&a do)a3aja%

Da 9i $ei)isa/i %&"a' !"e#&!at)&e sa k/asi7)&(, e/e'e)ta#)&( as%ekta, t#e9a %#et%&sta!itis/"e$ee: Ka$a i0!&$i'& &(/e$ s!aki %#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a "e k&)a7a) i ta" %#&ste/e'e)ta#)i $&(a$a"a '&e'& &$#e$iti. i u t) s'is/u %#et%&sta!i'& $a i'a'& )eki s/u7a")i &%it i $a

su $&(&!)& usta)&!/"e)i s!i e/e'e)ta#)i $&(aa"i *t". '&(ui )e#a0/&i!i is&$i- t&( &%ita. Neka "e -%#&i0!&/"a) $&(aa" !e0a) u0 ta" s/u7a")i &%it. Kae se $a "e )eki e/e'e)ta#)i $&(aa" povoljan 0a$&(aa" - ak& %&"a!/"i!a)"e t&( e/e'e)ta#)&( $&(aa"a ka& is&$a &%ita %&!/a7i i #ea/i0a+i"u$&(aa"a- *$a se $&(&$i& $&(aa"-$%

8

;jerovatno&a ,,apriori< . i/i apriorna vjerovatno&a *%&)eka$ se 0&!e i matematika vjerovatno&a$"e teorijska vjerovatno&a k"a (&!i "e0ik&' &$#ee)i 'ate'ati7ki +ia#a & t&'e kak!a "e '&(u)&st)asta"a)"a &7eki!a)&( $&(aa"a s &90i#&' )a u)a%#i"e$ %&0)ate %&$atke & uku%)&' 9#&"u s!i mo)u&ihdo)a3aja i & 9#&"u povoljnih, oekivanih do)a3aja k&"i u t&' uku%)&' 9#&"u '&(u )astu%iti. Z9&(

t&(a se &!a !"e#&!at)&a 0&!e tei"ska, "e# u %#aksi se )e 'a &st!a#iti &)a" #e0u/tat k&"e(a )a' "eu)a%#i"e$ $a!a/a a%#i)a !"e#&!at)&a. Tak&, )%#., ak& 9a+i'& )&!7i a%#i)a !"e#&!at)&a )a'(&!i $a "e C?b '&(u)&sti $a %a$)e (/a!a i/i %is'& "e# su t& $!i"e '&(u)&sti &$ k&"i "e$)a'a $a se &st!a#i. 8euti', u !i@e %&)a!/"a)"a 9a+a)"a )e 'a $a se &st!a#i taka! &$)&s, )e(& etek u !e&'a !e/ik&' 9#&"u 9a+a)"a $a se 0a%a0i %#i9/ia!a)"e &$)&sa C?b : C?b. S/i7a) "e s/u7a" k&$i(#a)"a /ut#i"e, i0!/a7e)"a ka#ata, 9a+a)"a k&+ke it$.

Je$)a &$ '&(ui !e#0i"a klasine (+aplaceove$ de1inicije vjerovatno&e a priori (/asi: Neka "e $ats/u7a")i &%it s k&)a7)& ')&(& e/e'e)ta#)i $&(aa"a i )eka su s!i ti e/e'e)ta#)i $&(aa"i jednakomo)u&i% Ta$a se !"e#&!at)&a %#&i0!&/")&( $&(aa"a !e0a)&( u0 ta" &%it $ei)i@e ka& k&/i7)ik 9#&"a s!ie/e'e)ta#)i $&(aa"a %&!&/")i 0a ta" $&(aa" i 9#&"a s!i '&(ui *uku%)&( 9#&"a- e/e'e)ta#)i$&(aa"a *k&"i '&(u )astu%iti %#i t&' %&kusu-.

P#i'i"eti'& &$'a s/a9&sti &!e k/asi7)e $ei)i+i"e !"e#&!at)&e *k&"u "e u tei"u !"e#&!at)&e u!e&Pierre!Simon de +aplace=% O)a "e %#i"e s!e(a #est#ikti!)a u s'is/u $a se &$)&si sa'& )a eks%e#i'e)te sk&)a7)& ')&(& e/e'e)ta#)i $&(aa"a. S $#u(e st#a)e, a%/a+e&!a $ei)i+i"a !"e#&!at)&e "e k#u)a "e#&)a u se9i sa$#i %&"a' "e$)ak& '&(u, k&"i 0a%#a!& 0)a7ijednako vjerovatan% Otu$a &!a $ei)i+i"a )i"e$&9#a ka& 9a0a aksi&'atske tei"e !"e#&!at)&e. Na%&'e)i'& $a "e !#/& i)te#esa)t)a 7i)"e)i+a $a "e &$%&7etka tei"a !"e#&!at)&e *0a ta" %&7etak se u0i'a 1>C. (&$i)a- %a $& u!&e)"a aksi&'atike u tu tei"u*k&"u "e u!e& !e/iki #uski 'ate'ati7a# A N D R E J N I K O A J E V I KO8O6OROV 1=;;. (&$i)e u s!&'u)$a'e)ta/)&' #a$u: rundbe)ri11e der >ahrscheinlichkeitsrechnun), 5e#/i), 1=;;.- 9i/& %&t#e9)& $a%#&u (&t&!& t#i st&/"ea.

#ri&jer .. 3 %&su$i se )a/a0i > 9i"e/i i +#)e ku(/i+e. Ak& se s/u7a")& i0!u7e "e$)a ku(/i+a,)ai !"e#&!at)&u $a i0!u7e)a ku(/i+a 9u$e 9i"e/e 9&"e.

Rjesenje7 Neka "e - $&(aa" $a "e ku(/i+a 9i"e/e 9&"e. Ta$a "e, %#e'a k/asi7)&" $ei)i+i"i!"e#&!at)&e a %#ii, !"e#&!at)&aP(-$ $&(aa"a- $ata sa

,; *c-

($"e "e ' 9#&" s!i e/e'e)ta#)i $&(aa"a %&!&/")i 0a - *t". k&"i #ea/i0u"u $&(aa"-$, a n uku%a) 9#&"s!i e/e'e)ta#)i $&(aa"a *'&(ui $&(aa"a 0a %&s'at#a)i %&kus-.

;O!$"e * a i )a$a/"e- P*A- 0)a7i d!"e#&!at)&a *#a)+uski d%#&9a9i/ite &$)&s)& e)(/eski d%#&9a9i/it- $&(aa"a A.1


13/51

Kak&"e, &7i(/e$)&, '>, )1?, t& "e P*A- *>?b-

I0 k/asi7)e $ei)i+i"e !"e#&!at)&e a %#ii, &$)&s)& i0 'u/e *c-, &$'a s/i"e$e &!e &s)&!)e&s&9i)e !"e#&!at)&e:

*i- V"e#&!at)&a "e )e)e(ati!)a, t".P(-$ ? ?, *0a s!aki $&(aa"-$,

*ii- V"e#&!at)&a )i"e !ea &$ 1 , t".P(-$ @ 1 , "e# "e m @ n%

Otu$a *0a s!aki $&(aa"-$

? *cc-

Ak& se #a$i & si(u#)&' $&(aa"u, &)$a s!aki e/e'e)ta#)i $&(aa" #ea/i0u"e ta" $&(aa", t".mAn,%a "e )"e(&!a !"e#&!at)&a "e$)aka 1 . V"e#&!at)&a )e'&(ue( $&(aa"a "e ? *"e# "e sa$a '?,

9u$ui $a )e'&(u $&(aa" )e #ea/i0u"e )i "e$a) e/e'e)ta#)i $&(aa"-.

=

Ak& "e !"e#&!at)&a 'a)"a &$ 1, &)$a se 0a ta" $&(aa" kaHe $a nije vjerovatan *i/i $a "e

)e!"e#&!ata)-, ak& "e P*A- , kae se $a "e A )ei0!esta) i/i su'/"i! $&(aa", a ak& "e P*A-

kae se $a "e- vjerovatan $&(aa" *ka& @t& "e $&(aa"- u %#i'"e#u 1-.

3 %#et&$)&" ta7ki s'& u!e/i %&"'&!e k&"i t#e9a"u u ,,k&)st#uk+i"i 'ate'ati7ke tei"e!"e#&!at)&e. P#i t&'e s'& uka0a/i )a 7i)"e)i+u $a "e &s)&!)i %&/a0)i &9"ekt u tei"i !"e#&!at)&e)e%#a0a) sku%, k&"e( s'& &0)a7i/i sa Y i )a0!a/i %#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a, a k&"i #e%#e0e)ti#asku% s!i is&$a s/u7a")&( %&kusa. Sku% Y i )"e(&!e e/e'e)te s'at#a'& ka& $ate, &)i su &s)&!)i i)e$ei)isa)i %&"'&!i u tei"i !"e#&!at)&e. E/e'e)te +& *7est& e'& e/e'e)te sku%a 0!ati ita7ka'a- 0&!e'& elementarni do)a3aji% P#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a s/ui '&$e/u i$ea/i0i#a)&(

s/u7a")&( &(/e$a u s'is/u $a %& $ei)i+i"i s!ak& !#@e)"e &(/e$a 'a $ati is&$ k&"i &$(&!a#a "e$)&'"e$i)&' e/e'e)ta#)&' $&(aa"u, t". "e$)&" i sa'& "e$)&" ta7ki i0 Y.

P#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a )i"e u!i"ek k&)a7a). 30'i'&, )%#., $a se &(/e$ sast&"i u#e(ist#i#a)"u 9#&"a #a0(&!a k&"e u t&ku "e$)&( $a)a &9a!i "e$)a aut&'atska te/e&)ska +e)t#a/a.Ta$a"e 0a %#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a %#i#&$)& u0eti sku%

Y ?-

O!a" sku% "e *&7i(/e$)&- %#e9#&"i!. O!$"e "e 0a Y u0et 9esk&)a7a) sku%, iak& se 0)a $a e 9#&"#a0(&!a 9iti k&)a7a), $a 9i se i09"e(/a %ita)"a u !e0i s ti' k&"i "e %#i#&$a) 9#&" '&(u ka& is&$&(/e$a, a k&"i )i"e.

N&, %#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a '&e 9iti i )e%#e9#&"i!. Nai'e, u0'i'& $a se &(/e$sast&"i &$ '"e#e)"a te'%e#atu#e 0#aka t&k&' "e$)&( $a)a. Ta$a se #a$i & '"e#e)"u u)k+i"e)e%#eki$)&( %a#a'et#a *!#e'e)a-. Ka& %#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a '&e'& u0eti sku% Y s!i'&(ui #e0u/tu"ui u)k+i"a, a/i i @i#i sku%, #e+i'& sku% s!i #ea/)i u)k+i"a )a $at&' !#e'e)sk&'i)te#!a/u i/i sku%u s!i #ea/)i )e%#eki$)i u)k+i"a. 3 &!&' s/u7a"u s'& Y s!"es)& %&!ea/i, "e#0)a'& $a 'e$u s!i' #ea/)i' u)k+i"a'a )a $at&' i)te#!a/u si(u#)& i'a tak!i u)k+i"a k&"e )e'&(u %#e$sta!/"ati k#eta)"e te'%e#atu#e ka& u)k+i"e !#e'e)a t&k&' "e$)&( $a)a. N&, u s/u7a"u"e$)&sta!)i &(/e$a s k&)a7)& ')&(& is&$a i09"e(a!a se $&$a!a)"e su!i@)i e/e'e)ata.

O $&(aa"u- !e0a)&' u0 )eki &%it '&e'& (&!iti sa'& u s/u7a"u $a "e 0a s!aki '&(uiis&$ &%ita %&0)at& $a /i se- $&(&$i/& i/i )i"e, t". s!aki $&(aa"- !e0a) u0 )eki s/u7a")i &%it

1;


14/51

&$(&!a#a %ita)"u u !e0i s ti' &%it&' k&"i i'a &$(&! ,,DA i/i ,,NE, i t& u s'is/u $a %&s/i"e s!ak&(!#@e)"a &%ita )a %ita)"e ,,$a /i se- $&(&$i& '&e &$(&!iti sa,,da2 i/i d)e. Ak& "e %#i t&'e Y%#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a t&( s/u7a")&( &%ita, &)$a sku% ta7aka k&"i #e%#e0e)tu"e s!e is&$e &%ita0a k&"e "e &$(&!,,da2 u %&t%u)&sti &%isu"e $&(aa"-% O9#at)&, %#&i0!&/"a) %&$sku%-%#&stae/e'e)ta#)i $&(aa"a Y '&e'& t#eti#ati ka& $&(aa" *k&"i se $&(&$i i/i )e $&(&$i &!is)& & t&'e $a /iis&$ &%ita #e%#e0e)ti#a ta7ku k&"a "e u- i/i k&"a )i"e u-$%

Zat& u $a/")"e' )ee'& #a0/ik&!ati $&(aa" - !e0a) u0 s/u7a")i %&kus i &$(&!a#a"ui%&$sku% sku%a e/e'e)ta#)i $&(aa"a Y k&"i se sast&"i &$ s!i ta7aka i0 Y k&"e #e%#e0e)tu"u &)eis&$e %&kusa 7i"e %&"a!/"i!a)"e !&$i )a %&"a!/"i!a)"e $&(aa"a -% Dak/e, do)a3aj %&$sku% %#&sta

e/e'e)ta#)i $&(aa"a Y. i"e/i %#&st Y 0&!e'&si)uran (pouzdan$ do)a3aj *&) se 'a $&(&$iti us!ak&' !#@e)"u &%ita-, a %#a0a) sku% X, 0&!e'& nemo)u& do)a3aj *&) se )ika$ )ee $&(&$iti-.

Za s!e $&(aa"e s'at#a'& $a su %&$sku%&!i ist&( %#&sta e/e'e)ta#)i $&(aa"a Y, %a se%#i#&$)& &%e#a+i"e )a$ $&(aa"i'a $ei)i#a"u %&'&u &%e#a+i"a )a$ &$(&!a#a"ui' sku%&!i'a, t& 0a)"i !#i"e$e s!a %#a!i/a i0 tei"e sku%&!a, t". s!a %#a!i/a i0 a/(e9#e sku%&!a !#i"e$e i u a/(e9#i$&(aa"a *)%#., !#i"e$ee#or)anovi zakoni$%

Aksi&'atsku $ei)i+i"u !"e#&!at)&e )a %#&stu e/e'e)ta#)i $&(aa"a Y &9#a$ie'& ut#ee' %&(/a!/"u *uka0u"ui )a 7i)"e)i+u $a )i"e u!i"ek '&(ue s!e %&$sku%&!e &$ Y u0eti 0a$&(aa"e, "e# se '&e $&(&$iti $a 0a )eki %&$sku%- &$ Y )e '&e'& $e+i$)& &$(&!iti )a %ita)"e:,,Da /i "e -=%

1?Se' k/asi7)ie a%/a+e&!e $ei)i+i"e !"e#&!at)&e a %#ii i aksi&'atske $ei)i+i"e !"e#&!at)&e

u!&$i se "&@ i k/asi7)a $ei)i+i"a !"e#&!at)&e a %&ste#ii *statisti7ka $ei)i+i"a !"e#&!at)&e-, @t&e'& &9#a$iti u )a#e$)&" ta7ki, te (e&'et#i"ska $ei)i+i"a !"e#&!at)&e k&"u e'& tak&e &9#a$iti u&k!i#u &!&( *$#u(&(- %&(/a!/"a.

1.0. )a&ina de/inicija jeroatno!e a po&teriori&tati&ti'a de/inicija jeroatno!e2

S &90i#&' )a t& $a /i se !"e#&!at)&a, i0#ae)a u 'ate'ati7k&' &9/iku, i0#a7u)a!a )a 9a0i%&s'at#a)"a #e0u/tata )ek&( !ee( 9#&"a eks%e#i'e)ata *&%ita, %&kusa, &(/e$a i/i $&(aa"a- i/i se t&u)a%#i"e$ &$#eu"e )a 9a0i $ati i %&0)ati st#uktu#a u &k!i#u )eke 'ase $&(aa"a, #a0/iku"e'&,,!"e#&!at)&u a %&ste#ii i ,,!"e#&!at)&u a %#ii. V"e#&!at)&u a %#ii s'& #a0'at#a/i #a)i"e, asa$a e'& &9#a$iti a%&ste#i)u !"e#&!at)&u.

;jerovatno&a ,,a posteriori2 i/i a%&ste#i)a !"e#&!at)&a "e &)a k&"a se i0#aa!a )a 9a0iiskust!a, %&kusa, %#akse *)a te'e/"u i0!#@e)i %&kusa i/i %#iku%/"e)i statisti7ki %&$ataka-. O!a!"e#&!at)&a se )a"7e@e kisti u )au7)&2ist#ai!a7k&'a #a$u, )a 9a0i %&$ataka & #ek!e)+i"i$e@a!a)"a i/i )e$e@a!a)"a &7eki!a)&( $&(aa"a. Z9&( t&(a "e &!a !"e#&!at)&a $&9i/a )a0i! statistika i/iempirijska vjerovatno&a% O7i(/e$)& "e $a se a%&ste#i)a !"e#&!at)&a #a0/iku"e &$ a%#i)e, 0a!is)&

&$ %#i#&$e i !#ste $&(aa"a i %&"a!a k&"e se %&s'at#a"u. 8euti', t#e9a 0a%a'titi $a se a%&ste#i)a!"e#&!at)&a u!i"ek s!e !i@e %#i9/ia!a a%#i)&", ak& 9#&" %&kusa i/i %&s'at#a)"a %&!ea!a'&. Ta"0ak/"u7ak (/asi: ;jerovatno&a a posteriori tei ka vjerovatno&i a priori ako se broj pokusa pove&ava kabeskonanosti(to je 'u/isa& JAKO5 5ERN3Ika&7akon velikih brojeva=%

Z)a7a" a%&ste#i)e !"e#&!at)&e "e u t&'e @t& %&'&u )"e %#i9/i)& ta7)& '&e'&i0#a7u)ati i a%#i)u V"e#&!at)&u k&"u #a)i"e )is'& %&0)a!a/i. Zati', %&'&u a%&ste#i)e!"e#&!at)&e, sa 'a/&' (#e@k&' '&e'& $a &$#e$i'& st#uktu#u %&"a!e k&"u #a)i"e )is'& %&0)a!a/i. S!ese &!& $&ka0u"e ak& "e 9#&" &%ita !e/iki. P#e'a t&'e, %#i !e/ik&' 9#&"u &%ita i/i %&s'at#a)"a

JAKO55ERNO3I *1>C21B?C-2@!a"+a#ski 'ate'ati7a# &/a)$sk&( %i"ek/a.1


15/51

usta)&!/"a!a'& 0ak&)it&st k&"a !/a$a u st#uktu#i %&"a!e, %a "e u &!&'e &s)&! teorije i/izakona velikihbrojeva%

P#i'"e)a a%&ste#i)e !"e#&!at)&e )a#&7it& "e 0)a7a")a u &9/asti &si(u#a)"a, u ek&)&'i"i, a ist&tak& i u s!i' &9/i+i'a )au7)&( ist#ai!a)"a u !e0i sa 'as&!)i' %&"a!a'a s )e%&0)ati'k&'%/eks&' u0#&ka (stohastikih pojavaC #i"e7 ,,stohastian2 "e (#7k&( %i"ek/a a 0)a7i ,,k&"i se)as/uu"e, %a se ta #i"e7 u%&t#e9/"a!a i u'"est& #i"e7i d!"e#&!at)&a (&t&!& u s!e 'as&!)e %&"a!eu'i"e@a) "estohastian element i ti'e se &9"a@)"a!a %#i)+i%i"e/)a !a)&st teorije vjerovatno&e ka&teorije%#&u7a!a)"astohastikih pojava=%

Neka "e - %#&i0!&/"a) $&(a" !e0a) 0a )eki s/u7a")i &%it, t". '&(u #e0u/tat t&( s/u7a")&(&%ita. P#et%&sta!i'& $a s'& ta" %&kus %&)&!i/i *%&$ isti' &k&/)&sti'a- n%uta, $a se u ti )%&)a!/"a)"a $&(aa"-%&"a!i& ta7)& n-%uta. Ta$a 9#&" n-0&!e'& *a%su/ut)a-1rekvendja

*u7esta)&st- $&(aa"a A, a 9#&" relativna 1rekvencija $&(aa"a- *u $ati n%&)a!/"a)"a &%ita-.

I0 &!e $ei)i+i"e #e/ati!)e #ek!e)+i"e s/i"e$i $a "e

*c-

Ka$a 9#&" %&kusa #aste &)$a #e/ati!)a #ek!e)+i"a tei ka !"e#&!at)&i $&(aa"a A, t".

*cc-

11Z)ak /i' se &!$"e )e s'i"e s!atiti u k/asi7)&' s'is /u (#a)i7)e !#i"e$)&sti, "e# )a'

a)a/iti7ki )i"e %&0)ata !e0a i0'eu n- i n, )iti &)a %&st&"i. Nai'e ak& %&!ea'& 9#&" %&kusa%#i'"eu"e'& $a &'"e# st!a#)& tei ka "e$)&" (#a)i+i. St&(a se u %#aksi i0!e$e &$#ee)i 9#&" %&kusa i tak&&$#e$i !"e#&!at)&a $&(aa"a, "e # 'i )e '&e'& i0!esti 9esk&)a7)& ')&(& %&kusa.

P&ist&!"ei!a)"e #e/ati!)e #ek!e)+i"e i !"e#&!at)&e $&(aa"a 9a0i#a se )a %&'e)ut&' Zak&)u!e/iki 9#&"e!a k&"i !ai u %#i#&$i a s'isa& 'u "e &!a": Ka$a 9#&" &%ita #aste &)$a a%su/ut)a #a0/ikai0'eu #e/ati!)e #ek!e)+i"e i !"e#&!at)&e u(/a!)&' &%a$a. O!a" 0ak&) kae $a &)& @t& %&"e$i)a7)&'a'& s'at#ati s/u7a")i' u !e/ik&" 'asi (u9i ka#akte# s/u7a")&sti i %&)a@a se ka& )e@t& u0#&7)&,0ak&)it&. Na%&'e)i'&, $a )i"e i0)i'ka $a )e '&e'& $a &$#e$i'& 9#&" %&!&/")i is&$a )ek&(

%&kusa, !e $a "e t& u %#akti7)&' %&(/e$u !#/& 7est& s/u7a" 9e0 &90i#a @t& "e ta" 9#&" k&)a7a).CDa 9i%#&!"e#i/i Zak&) !e/iki 9#&"e!a /"u$i su i0!#@i/i !e/iki 9#&" eks%e#i'e)ata.

#ri&jer . Neka "e s/u7a")i %&kus 9a+a)"e %a#a i(#a k&+aka i %ita'& se: K&/ika "e!"e#&!at)&a $&(aa"a-% 9#&"e!i k&"i su %a/i 'eus&9)& su #a0/i7itiL

5a+a)"e %a#a k&+aka "e %&kus k&$ k&"e( e s!aki is&$ 9iti "e$a) &$ e/e'e)ata sku%a YQ*i, "-: i,

" 1,..., >, k&"i i'a uku%)& ;>, a/i 09&( %#et%&sta!/"e)e si'et#i"e u)a%#i"e$ )e '&e'& #ei k&"i e t&e/e'e)at 9iti. P&!&/")i $&(aa"a i'a ;? *s!i &si' *1,1-, *,-, *;,;-, *,-, *C,C-, *>,>--. P#e'a t&'e!"e#&!at)&a a %#ii "e:

C3 tak!i' s/u7a"e!i'a !"e#&!at)&u &$#eu"e'& eks%e#i'e)ta/)&, t". u'i"est& a%#i)e &$#eu"e'&a%&ste#i)u !"e#&!at)&u.

1C


16/51

Da t& %&t!#$i i u %#aksi @!a"+a#ski ast#&)&' R. fOF%&)a!/"a& "e 1C?. (&$i)e &!a" %&kus i9i/"ei& "e #e/ati!)e #ek!e)+i"e u&e)&( $&(aa"a. D&9i& "e s/"e$ee #e0u/tate:

roj n !o$)sa7 00 000 0000 00000

Relativna re$ven,ija 0,88 0,8/9 0,8/: 0,8/://

Vi$i se $a #e/ati!)a #ek!e)+i"a1(-$A s!e !i@e tei ka !"e#&!at)&iP(-$%

Tei"a !"e#&!at)&e %#&u7a!a sa'& &)e s/u7a")e &%ite k&"i i'a"u s!&"st!& t0!. statisti7ke sta9i/)&sti #e/ati!)i#ek!e)+i"a. 3 +i/"u &9"a@)"e)"a &!&( %&"'a, %&s'at#a"'& %#&i0!&/"a) $&(aa" A !e0a) u0 )eki s/u7a")i %&kus.S!&"st!& statisti7ke sta9i/)&sti #e/ati!)i #ek!e)+i"a sast&"i se u t&'e $a se %#i/ik&' %&)a!/"a)"a %&kusa !e/iki 9#&"*)- %uta #e/ati!)e #ek!e)+i"e $&(aa"a A (#u%i#a"u &k& )ek&( iks)&( *7!#st&(- 9#&"a. P#et%&sta!i'& $a/"e $a !#@i'&)ek&/ik& se#i"a &%ita. Neka "e, %#i t&'e, )i, uku%a) 9#&" &%ita u i2t&" se#i"i, a )A*i-9#&" %&"a!/"i!a)"a $&(aa"a A u i2t&"

se#i"i. S!&"st!& sta9i/)&sti #e/ati!)i #ek!e)+i"a 0at"e!a tak&e $a su #e/ati!)e #ek!e)+i"e $&(aa"a A u i g t&"

se#i"i &%ita 'eus&9)& $&!&/")& 9/i0u 0a #a0)e !#i"e$)&sti i, t". 0a #a0)e se#i"e, ak& su s!i 9#&"e!i )i, $&!&/")& !e/iki.

K/asi7)a $ei)i+i"a !"e#&!at)&e a %&ste#ii *statisti7ka, st&&sti7ka $ei)i+i"a !"e#&!at)&e-:Ak& s/u7a")i &%it 0a$&!&/"a!a us/&! statisti7ke sta9i/)&sti #e/ati!)i #ek!e)+i"a &)$a se vjerovatno&a a

posteriori%#&i0!&/")&( $&(aa"a - !e0a)&( u0 ta" &%it $ei)i@e ka& #ea/a) 9#&" P(-$, ? U P(-$ D 1, &k&k&"e( se (#u%i#a"u &$)&s)& k&"e'u tee #e/ati!)e #ek!e)+i"e t&( $&(aa"a.

I &!a k/asi7)a $ei)i+i"a !"e#&!at)&e )i"e 'ate'ati7ki %#e+i0)a. Nai'e, %&sta!/"a se %ita)"e*%#&9/e'- kak& 0a k&)k#eta) s/u7a")i &%it %#&!"e#iti i%&te0u & statisti7k&" sta9i/)&sti #e/ati!)i#ek!e)+i"a.

N%#., 0a s/u7a")i %&kus 9a+a)"a )&!7ia &7eku"e se $a *($"e "e )Aa%&s&/ut)a#ek!e)+i"a $&(aa"a A: $a

%a$)e %is'&-, )& s!at/"i! #e0u/tat %&)a!/"a)"a t&( &%ita "e $a )&!7i

1

sta/)& %a$a )a %is'&, t". $a S/i7)& '&e'& &7eki!ati $a , i/i

$a Q u&%@te )e k&)!e#(i#a.

8euti', "&@ "e s/&e)i"i %#&9/e' statisti7ke sta9i/)&sti u se#i"a'a &%ita. T& "e &s)&!)i%#&9/e' u t&'e kak& )a7i)iti te se#i"e. Je$)a &$ '&(u)&sti "e $a se &$"e$)&' )a7i)i !#/& !e/iki 9#&" &%ita%a $a se &)$a #e0u/tati #a09i"u )a se#i"e. N&, ak& u &90i# t#e9a u0eti s!e '&(ue se#i"e, &)$a se 'a#a0'&t#iti i tak!a %&$"e/a k&$ k&"e u %#!u se#i"u u/a0e &)i &%iti k&$ k&"i se $&(aa"- $&(&$i&, a u $#u(u

se#i"u &)i k&$ k&"i se- )i"e $&(&$i&. 3 t&' s/u7a"u, u %#!&" se#i"i #e/ati!)a #ek!e)+i"a "e 1, a u $#u(&" ?,%a )e'a (&!a & sta9i/)&sti #e/ati!)i #ek!e)+i"a.

N&, u)at&7 'ate'ati7ke )e%#e+i0)&sti u &!&" $ei)i+i"i *"e#&!at)&e a %&ste#ii- 'ate'ati7a#isu us%"e/i %&'&u )"e $&9iti )i0 !#i"e$)i i kis)i #e0u/tata. O!a $ei)i+i"a se kisti i $a/"e *kak& ustatisti+i, &$)&s)& u 'ate'ati7ki' $is+i%/i)a'a k&"e kiste tei"u !"e#&!at)&e i statistiku, tak& iu ')&(i' %#i#&$)i', $#u@t!e)i' i te)i7ki' )auka'a- u s/u7a"e!i'a ka$a se )e '&e u%&t#i"e9itivjerovatno&a a priori%

3 )a!e$e)&' %#i'"e#u 1. %#&!"e#e)a "e statisti7ka sta9i/)&st #e/ati!)i #ek!e)+i"a.

1>


17/51


18/51


19/51

.


20/51


21/51

N&, kak& se $&(aa"i-,,%%%, -n'eus&9)& isk/"u7u"u t& "e

Dei)i+i"a. Za $!a $&(aa"a kae'& $a su su%#&t)i ak& &)i 7i)e %&t%u) siste' $&(aa"a.Su%#&ta) $&(aa" $&(aa"u- &0)a7a!at e'& sa i/i-< i/i )&)- i/i-ci/i +*A- i s/. *ka& @t& s'& i#a)i"e #ek/i-.N%#., ak&- &0)a7a!a %&(&$ak u 'etu &)$a &0)a7a!a %#&'a@a" *s/. C-.

N&, su%#&ta) $&(aa" se '&e $ei)isati u s'is/u kak& s'& t& i #a)i"e u7i)i/i *t". suprotando)a3aj do)a3aju - je do)a3aj u oznaci , koji se realizuje ako se ne desi $&(aa" A, &$)&s)&suprotan do)a3aj je do)a3aj koje) realizuju elementarni do)a3aji koji ne realizuju do)a3aj -$% Teore&a 9.V"e#&!at)&e su%#&t)&( $&(aa"a "e$)aka "e P * -12P*A-.

=o$a+.O!& "e )e%&s#e$)a %&s/"e$i+a tee'e C. Nai'e, $ei)i+i"a $&(aa"a- i 7i)e %&t%u)

siste' $&(aa"a, %a "eP (-$P( $AE%

#ri&jer.K#u)a 'eta %&$i"e/"e)a "e u t#i 0&)e: I, II, i III. P#i "e$)&'(aa)"u !"e#&!at)&a %&(&tka u %#!u 'etu *0&)u- "e ?,1C, a u $#u(u ?,; i ut#eu ?,1B. K&/ika "e !"e#&!at)&a $a se 'eta )e %&(&$iL

Rje"enje.O0)a7i'& sa- $&(aa" $a se 'eta %&(&$i, a sa $a se%#&'a@i. Neka "e Ai*i 1,,;- $&(aa" $a se %&(&$i i2ta 0&)a *s/.>-. Kak& se$&(aa"i-E, -H, i -Lisk/"u7u"u 'eus&9)&, t& "e-A-E-H-L, -iT -jA

1>

*i "-, &$ak/e "eP(-$AP(-E$P(-H$P(-L$AG,EIG,HLG,EQAG,II%% Otu$a "e P* - /2P*A- 12

?,CC?,C, *Cb-.Na!o&ena.Ra0'&t#i'& )a!e$e)e #e0u/tate *u &!&" ta7ki- sa sku%&!)&2teetsk&( as%ekta. 3 t&' s'is/u%#et%&sta!i'& $a "e Y k&)a7a) sku% i $a "e 0a s!aki %&$sku%N &$ Y, t". 0a s!aki , ($"e "e *Y-

%a#titi!)i sku% sku%a Y, !"e#&!at)&a &$ N si'9&/i7)&P(N$ $ei)isa)a 'u/&' ($"e su

k*E- i k*Y- 9#&"e!i e/e'e)ata sku%&!a E i Y, #es%ekti!)&.

Ta$a !#i"e$e s/i"e$ee $!i"e tee'e.!

Teorema A.

P E% (normalnost, normiranost$: P(M$AE%

PH%(nene)ativnost$:P(N$ G za svaki N (M$%

PL% (aditivnost$:P(N $AP(N$P($ ako su N i iskljuivi podskupovi od M%

=o$a+.PE je &7it&, 9u$ui $a "e P*Y-

SI. C.

S/.>.

1


22/51

P "e tak&e# &7it&, "e# "e s!aki E i0

Ak& suN i isk/"u7i!i %&$sku%&!i &$ Y, &)$a "e "as)& k(N $Ak(N$k($,%a "e

Ti'e "e tee'a A $&ka0a)a.Teore&a 8.

a-P* ?.

9-Ak& su E,F *Y-

+- Za s!ak&N ? P*E- /.

$- Za s!ak& E , P* -1 2 P*E-, ($"e "e YE *k&'%k'e)t &$E-.

e$ 7a svaki N ,P(N $AP(N$P($ !P(N $

1$ 7a svaki N , P(N $AP(N$P($%

(- Za s!aki ) sku%&!a E1,E,...,E) k&"i %#i%a$a"u a'i/i"i

=o$a+.S!e &s&9i)e a- 2 (- '&(u se $&ka0ati sa'& )a &s)&!u &s&9i)aP E!PL% I0 tee'e-

*a, )a#a!)&, '&(u se $&ka0ati i $i#ekt)& )a &s)&!u $ei)i+i"e !"e#&!at)&e )eke &$ ti &s&9i)a s'& !e$&ka0a/i i u %#et&$)i' tee'a'a-. Dak/e, u)k+i"a P : *R2sku% s!i #ea/)i9#&"e!a-, $ei)isa)a (e is%#e$ tee'e A, i'a )e sa'& &s&9i)ePE ! P L% !e i &s&9i)e )a!e$e)e utee'i 5. A &tu$a s!aka u)k+i"a : k&"a i'a &s&9i)e P 1. 2 P ;. tak&e# 0a$&!&/"a!a i&s&9i)e a-2(- u tee'i 5.

a- Neka "eNA iA % O)$a suN i Fisk/"u7i!i "e# "eN A % Zat& i0P L% s/i"e$i $a "eP(N $AP(N$P($, t".P( $AP( $P( $,"e# "e . Otu$aP( $AHP( $%a kak&"eP #ea/)a u)k+i"a, t& '&e !#i"e$iti sa'& ak& "eP( $AG%

9- S/i"e$i i0 P i P., "e# "e E F, a E i F E isk/"u7i!i.

+- Za s!akiN "e . I0 &s&9i)e 9- s/i"e$i % Kak& "e%#e'a P1,P(M$ A E i%#e'a $&ka0a)&" &s&9i)i a-,P( $AG, t& i'a'& ? P(N$ 1.

1B

Otu$a i0PL s/i"e$i $a "ePM$AP(N $AP(N$P( $,%a i0 P1i'a'&

EAP(N$SP( $,tj%P( $AE!P(N$%


23/51

e- Neka su E,F *Y-. )$a "eN A N (5N$, ($"e suN i N $is"u)kt)i *s/. B-.P#e'aP L"eP(N (5N$$ AP(N$ P( N$, t".

P(N $AP(N$P(5N$% *c-

S $#u(e st#a)e, kak& "e &7i(/e$)& *a @t& se /ak& i $&kae-

A( N$ (N $ i A(5N$ (N $, t& P; %&!/a7i

P($AP( N$P(N $% *cc-

I0 *c- i *cc- s/i"e$iP(N $ AP(N$ P($ ! P(N $% @.t.$.

SI. B.

- O!a &s&9i)a s/i"e$i &$'a i0 $&ka0a)e &s&9i)e e- ak& se iskisti $a "eP(N $ ? %#e'a

PL%(- O!a &s&9i)a $&ka0u"e se 'et&$&' 'ate'ati7ke i)$uk+i"e, kistei $a "e &s&9i)a ta7)a 0a )

%#e'a -.

Nai'e, i0 %#et%&sta!ke $a "e t!#$)"a ta7)a 0a s!aki k sku%&!aNE, NH,%%%, Nk, *Y-, &)$a,)a &s)&!u -, 0a s!aki k 1 sku%&!a i0 *Y- :NlCNH,%%%,Nk !#i"e$i

Na &s)&!u %#i)+i%a 'ate'ati7ke i)$uk+i"e, 0ak/"u7u"e'& $a (- !#i"e$i 0a s!e ) *)eN-.

1.3. Nezai&ni do*a+aji. 4%)tip)i'atina teorema % &)%aj% 'ad &% do*a+aji nezai&ni

Za $!a $&(aa"a- iB, k&"i )astu%a"u "e$)&!#e'e)& *i/i "e$a) i0a $#u(&(- ka0at e'& $a sunezavisni ak& )astu%a)"e $&(aa"a- )e 0a!isi &$ t&(a $a /i se &$i(#a& $&(aa" B i &9#at)&,)astu%a)"eB )e 0a!isi &$ t&(a $a /i se &$i(#a& $&(aa"-% P&/a0ei &$ &!e &%is)e *i)tuiti!)e-$ei)i+i"e )e0a!is)i $&(aa"a /ak& se $&ka0u"e s/i"e$ea tee'a:

Teore&a . ;jerovatno&a do)a3aja koji se sastoji u zajednikom nastupanju dva me3usobnonezavisna do)a3aja jednaka je proizvodu vjerovatno&a svako) do)a3aja posebno%

=o$a+. P#et%&sta!i'& $a su - i 5 )e0a!is)i $&(aa"i *u0'i'& )%#. !"e#&!at)&u a %#ii-. 3kate(i"i &(/e$a *%&kusa, &%ita, eks%e#i'e)ta- 'eu 7i"i' #e0u/tati'a se %&"a!/"u"e $&(aa" A )eka i'as!e(a m '&(u)&sti *'&(ui s/u7a"e!a- &$ k&"i k %&!&/")i 0a - i u kate(i"i &(/e$a 'eu 7i"i'#e0u/tati'a $&/a0i $&(aa" B )eka i'a s!e(a ) '&(ui s/u7a"e!a &$ k&"i l %&!&/")i 0a 5. P#ii0!&e)"u %#!e i $#u(e kate(i"e &(/e$a s!aki '&(ui s/u7a" %#!e kate(i"e '&He $a )astu%i sa s!aki''&(ui' s/u7a"e' $#u(e kate(i"e. Dak/e, u &(/e$i'a 'eu 7i"i' #e0u/tati'a $&/a0i $&(aa" -UB*$&(aa"- B, &$)&s)& u sku%&!)&" )&ta+i"i,- B$ i'a s!e(a m n '&(ui s/u7a"e!a. Kak& s!akis/u7a" %&!&/"a) 0a- sa s!aki' s/u7a"e' %&!&/")i' 0aB $a"e s/u7a" 0a %&!&/"a)- B% P#e'a t&'e "e *0at0!. $&(aa" *di2iJ-:

;


24/51


25/51

Rz ove de1inicije slijedi da ako je - , )dje je Mkonaan (ili prebrojiv$ prostor elementarnihdo)a3aja, takav da je P *A-?, onda su A i B nezavisni do)a3aji za svako 5 Y. 6akoder, M i Bsunezavisni do)a3aji za svako B %

Teore&a 2.Ak& su A i 5 )e0a!is)i $&(aa"i, &)$a su s/i"e$ei %a#&!i $&(aa"a takee#)e0a!is)i.

1=

i-A i 5 ii-A i 5 iii- A i 5

=o$a+.1 D&(aa"i- B i - B< *s/. - su isk/"u7i!i *"e#W - B i'%/i+i#aW B tak&$a W B< i &tu$a W - BJOHNVENN*1 ;21 =;- 2 e)(/eski /&(i7a#.A363ST3SDE8OR6AN*1 O>21 B 1 - 2 e)(/eski 'ate'ati7a# i /&(i7a#.

C


26/51

s/i"e$i:P(- B$AP(-$ P(B$% Tak&e#, i0"a!a iii- se '&e i )e%&s#e$)& $&ka0ati kistei t0!. de#or)anoveHzakone 0a $&(aa"e:*A 5- *A 5- *i/i m -, *A 5- *A 5- *i/i [ -,

k&"i se /ak& $&ka0u"u *ka& i 0a sku%&!e, a '&(u se s'at#ati i %&0)ati' u sk/a$u sa #a)i"e #e7e)&' &a)a/&(i"i i0'eu a/(e9#e $&(aa"a i a/(e9#e sku%&!a-.

Teore&a /.-ko su do)a3aji - i B nezavisni, P(-$?G i P(B$?G, onda se oni me3usobno neiskljuuju%

=o$a+. P#et%&sta!i'& su%#&t)&, t". %#et%&sta!i'& $a se $&(aa"i - i B isk/"u7u"u. Ta$a "e)"i&! %#&i0!&$ *%#es"ek- "e$)ak )e'&(ue' $&(aa"u:- BA ,%a i'a'&P (- B$AG%N&, 9u$ui $asu - i B )e0a!is)i $&(aa"i t& i'a'& $a "e P(- B$AP(-$P(B$, %a 9i $&9i/i $a "e P(-$ P(B$AG,t".P(-$AG i/iP(B$AG, a &!& "e su%#&t)& %#et%&sta!+i tee'e.

#ri&jer. Ra7u)a#ska 'a@i)a sast&"i se i0 )29/&k&!a %&u0$a)&sti, t". !"e#&!at)&a #a$a 9e0k!a#a u t&ku #a$a,pEpH,%%%, pn% 5/&k&!i se k!a#e )e0a!is)& "e$a) &$ $#u(&(. Ak& se %&k!a#i 9i/& k&"i

9/&k %&k!a#i se i +i"e/a 'a@i)a. Nai !"e#&!at)&u $a se 'a@i)a %&k!a#i u t&ku !#e'e)a t. Rje"enje.Neka Ai, &0)a7a!a $&(aa" $a 9/&k i #a$i u t&ku !#'e)a t *i 1,,...,)-. Ta$a "eP(-i$Ap,m * i 1,,...,)-. D&(aa"- $a 'a@i)a #a$i u t&ku !#e'e)a t "e : -A-l!-H!%%%!-n% N"e(&!a

!"e#&!at)&a "e

P*A-P*A1- P*A-.....P*A)-

%a "e t#ae)a !"e#&!at)&a $ata saP( $A E!P(-$A

3 &!&' s'& %#i'"e#u %#i'i"e)i/i *)a%&'e)u %&s/i"e tee'e 1.- 'u/u 0a !"e#&!at)&u%#&i0!&$a *%#es"eka- k&)a7)& ')&(& )e0a!is)i $&(aa"a k&"a se '&e $&ka0ati %&/a0ei &$i)tuiti!)e $ei)i+i"e )e0a!is)&sti !i@e $&(aa"a. N&, 'i e'& u%#a!& tu 'u/u iskistiti 0a'a/)u $ei)i+i"u )e0a!is)&sti !i@e $&(aa"a, t". $a"e'& s/i"e$eu $ei)i+i"u:

=eini,ija.Kae'& $a su $&(aa"i-E, , -H,%%%, -n(n - nezavisni *$a "e a'i/i"a (-i,! :iAE%H,%%%,n$ 1amilija nezavisnih do)a3aja$, ak&,,pravilo mnoenja2 !#i"e$i 0a s!e k&'9i)a+i"e &$ $!a i/i!i@e $&(aa"a, t". ak& "e

0a s!aki %&$sku% #a0/i7iti i)$eksa iE, iH,%%%, ik Q/, , %%%, n=, ($"e"e k H% *3'"est&: ,,#a0/i7iti i)$eksa,i1,i,...,i) '&e se #ei ,,i)$eksi

S/"e$ei %#i'"e# %&ka0u"e $a "e$)a a'i/i"a $&(aa"a )e 'a 9iti )e0a!is)a, 7ak iak& "e s!aki %a#$&(aa"a u a'i/i"i )e0a!isa).

#ri&jer.Neka"e YQ1, , ;, %#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a *"e$)ak& '&(ui- A1 Q1,AQ,iA;Q;,.Ta$a "e

t". A1, i-Hsu )e0a!is)i $&(aa"i. S/i7)& se %&ka0u"e $a "e i s!aki &$ %a#&!a A1i A;,-Hi-L)e0a!isa).8euti', kak& "e

t& a'i/i"a $&(aa"a A 1,Ai A;)i"e )e0a!is)a.

?

>


27/51

1.5. U&)ona re)atina2 jeroatno!a. 4%)tip)i'atinateorema % &)%aj% 'ada &% do*a+aji zai&ni

Gest& u %#akti7)i' 0a$a+i'a $&/a0i'& u situa+i"u $a t#ai'& !"e#&!at)&u )ek&( $&(aa"a-0)a"u7i i/i %#et%&sta!/"a"ui $a se $esi& $&(aa"B% Dak/e, !"e#&!at)&a )astu%a)"a $&(a$a"a A '&e $a0a!isi &$ t&(a $a /i se $esi& i/i )i"e $&(aa"B, ka& i &9#at)&, !"e#&!at)&a &$B '&e $a 0a!isi &$#ea/i0a+i"e $&(aa"a-% V"e#&!at)&u $&(aa)"a- k&"u #au)a'& %&$ us/&!&' $a se $esi& $&(aa"B)a0i!a'& uslovnom i/i relativnom (kondicionalnom, &!e $& sa$a su 9i/e apsolutne i/i neuslovne!"e#&!at)&e- vjerovatno&om i &0)a7a!a'& )a"7e@e saP (- 5 B$ i/iPB(-$% *K&$ us/&!)e !"e#&!at)&ePB

(-$ $&(aa" B 'a %#e$&$iti $a )asta)e $&(aa" -, a/i '&e $a 9u$e )e0a!isa).- Sa P(B5-$&$)&s)&P-(B$ &0)a7a!a'& us/&!)u !"e#&!at)&u $&(aa"aB u &$)&su )a $&(aa"-%

P&/a0ei &$ )a!e$e)e &%is)e $ei)i+i"e *u k/asi7)&" !"e#&!at)&i- %&"'a us/&!)e !"e#&!at)&e,$&ka0u"e se $a 0a us/&!)u !"e#&!at)&u !#i"e$i #e/a+i"a $ata s/"e$e&' tee'&':

Teore&a . ;jerovatno&a da se jednovremeno dese dva zavisna do)a3aja jednaka jeproizvodu vjerovatno&e jedno) do)a3aja i vjerovatno&e dru)o) do)a3aja u odnosu na prvi:

1

P(-B$AP(-$ P(B5-$AP(-5B$ P(B$, (E$

odnosno ,

(P(-$?G,P(B$?G$,()dje(-B$A(-UB$A(i - i B$A(- B$oznaava nastajanje do)a3aja - i do)a3aja B poto se desio - ili obratno$% =o$a+.Neka se u n &(/e$a $&(aa"- #ea/i0u"e k %uta. Ta$a "eP(-$ A k4n i )eka se u k&!i s/u7a"e!a i $&(aa" 5 $esi # %uta *&!$"e $&(aa" - i(#a u/&(u si(u#)&( $&(aa"a-. Otu$a "e

P(B5-$ A r4k% 8euti', !"e#&!at)&a $a se $esi- i 5 "eP (- B$ A r4k ,%&@t& se- iB &$i(#a!a"u u n

&(/e$a s!e(a # %uta. Kak& "e , t& i'a'& P(-B$AP(-$ P(B5-$% A)a/&()& se $&kae $a "e

i P(-B$ A P(B$ P(- 5 B$%

Ti'e "e tee'a 1. i $&ka0a)a. O!a tee'a, &$)&s)& #e/a+i"a *1- "e %&0)ata %&$ i'e)&' teorema o

proizvodu dva do)a3aja *&$)&s)&, multiplikaciona teorema u sluaju kad su do)a3aji zavisni$ %#ri&je'>a .P#a!i/& *1- se '&e %#&@i#iti )a $&(aa"-B" ili u&%@te-E, -H%%% -k,Nai'e,

!"e#&!at)&a $a e se ist&!#e'e)& $esiti $&(aa" (-B$ i ("$9ie

P(-B"$ A P(-B$ P("5 -B$ A P(-$ P(B 5 -$ P("5 -B$%

#ri&je'>a 2.Rz P(-B$AP(-$P(B$!P(-B$ i *1- $&9i"a'a& )e%&s#e$)& &%@ti

&9#a0a+ 0a t&ta/)u !"e#&!at)&u 0a $&(aa"e k&"i )isu )e0a!is)i:

B


28/51

P(- B$ A P(-$ P(B$ ! P(-$ P(B5 -$ A P(- ili 4 i B$,

&$)&s)&P(- B$ P(-$ P(B$ ! P (B$ P (- B$ A P (- ili 4 i B$%

#ri&jer.5a+a"u se k&+ke. K&/ika "e !"e#&!at)&a $a e i/i 09i# 9iti > i// %#&i0!&$ L

Rje"enje.R nain% P&!&/")i s/u7a"e!i 0a 09i# > *$&(aa"a-$ su: 1,C , ;,; , C,1, a 0a$&(aa"B, $a e %#&i0!&$ 9iti , su: , ,. Zat& "eP(-$ A C, P*5- ,P(B5 -$ A


29/51

P(-5B$A . Kak& "e P*A- , t& su- i B 0a!is)i $&(aa"i.

1.16. 7orm%)a tota)ne potp%ne2 jeroatno!e

Teore&a .;jerovatno&a do)a3aja B koji moe nastupiti samo pod uslovom pojavepotpuno) sistema do)a3aja -E, -H, %%%, -n, jednakaje sumi proizvoda vjerovatno&a svako) do)a3aja-iuslovnih vjerovatno&a do)a3aja B, tj%

=o$a+.P#et%&sta!i'& $a su %#i/ik&' i0!&e)"a )ek&( &%ita $&(aa"i-E-H%%%, -n7i)e%&t%u) siste' $&(aa"a *u k&)a7)&' %#&stu u0aka-, t". %#et%&sta!i'& $a '&(u )astu%iti$&(aa"i-E, -H, %%%, A)"e$a) 0a $#u(i', k&"i se 'eus&9)& isk/"u7u"u i 7i"a "e su'a !"e#&!at)&a

P&s'at#a"'& %#&i0!&/")i $&(aa" k&"i se '&e $esiti %#i/ik&' &%ita *i/i, 'ate'ati7ki #e7e)&,

$&(aa" k&"i se &$i(#a )a ist&' %#&stu e/e'e)ta#)i $&(aa"a Y-.Kak& $&(aa"i-E, -H, %%%, -n7i)e %&t%u) siste' $&(aa"a, t& se

$&(aa"B(B $ *s/. =.- '&e $&(&$iti u k&'9i)a+i"i $&(aa"a (-i B$, t".

Kak& se $&(aa"i-i(i A 1, , ..., n$ 'eus&9)& isk/"u7u"u, i k&'9i)&!a)i $&(aa"i-i !B'eus&9)& se isk/"u7u"u, te '&e'& %#i'i"e)iti a$i+i&)u tee'u 0a $&(aa"e k&"i se 'eus&9)&isk/"u7u"u *tee'u & 09i#u !"e#&!at)&a-:

;

&$ak/e, )a &s)&!u tee'e & %#&i0!&$u !"e#&!at)&a *'u/ti%/ika+i&)e tee'e 0a 0a!is)e $&(aa"e-,i'a'& $a "e

=


30/51

O!a 'u/a %&0)ata "e %&$ i'e)&'1ormula totalne ili potpune *i/ipune- vjerovatno&e i %#i'"e)"u"e se

!#/& 7est&.

Na!o&ena . V"e#&!at)&eP(-$ &9i7)& su %&0)ate u)a%#i"e$ *%#i"e i0!&e)"a &%ita-, %a se09&( t&(a )a0i!a"u a%#i)i' !"e#&!at)&a'a a sa'i $&(aa"i -, *k&"i se 7est& &0)a7a!a"u sa'$&9i7)& )a0i!a"u se nhipoteze2 % Hi%&te0e se u0a"a')& isk/"u7u"u a "e$)a 'eu )"i'a 'a se$&(&$iti.

#ri&jer . P&st&"e ; )ai0(/e$ %&t%u)& iste kuti"e. 3 %#!&" kuti"i se )a/a0e 9i"e/e i 1 +#)aku(/i+a, u $#u(&" se )a/a0e ; 9i"e/e i 1 +#)a $&k u t#e&" se )a/a0e 9i"e/e i +#)e ku(/i+e. Ak& se )as#eu i0a9e#e "e$)a kuti"a i i0 )"e se i0u7e "e$)a ku(/i+a, )ai !"e#&!at)&u $a se i0!u7e 9i"e/a ku(/i+a.

Rje"enje.Neka "e A $&(aa" $a i0!u7e)a ku(/i+a 9u$e 9i"e/e 9&"e, a'i(i ! 1,,;- $&(aa" $a"e i0a9#a)a i ! ta kuti"a. O!i $&(aa"i 'E, 'H 'L se 'eus&9)& isk/"u7u"u i )"i&!e *a%#i)e-!"e#&!at)&e su:

P('E,$ A P('H$ A P('L$ A 1


31/51

.. 8a?esova or&)la

I0 'u/e %&t%u)e !"e#&!at)&e i tee'e ')&e)"a !"e#&!at)&a, $&9i"e se "e$a) tee' &us/&!)&" !"e#&!at)&i %&0)at %&$ i'e)&'Beesovo pravilo i/iBeesov teorem, a k&"e( "e $&ka0a&THO8AS5AnES u MVIII !i"eku *1B>. (&$i)e-.

Teore&a .*5aes&!a 'u/a-..eka je ('i, i AE,H,%%%,n$ potpun sistem do)a3aja (ukonanom prostoru uzoraka M$ i takav da je P(-$?G% 6ada za svako i vrijedi

=o$a+. P#et%&sta!i'& $a "e- )eki $&(aa" k&"i )astu%a ak& )astu%i 9i/& k&"i &$ $&(aa"a

H1, H..., H)*%&0iti!)i "e#&!at)&a- k&"i se %& $!a 'eus&9)& isk/"u7u"u i 7i"i "e 09i#

Na &s)&!u tee'e ')&e)"a i'a'&.

&$ak/e $&9i"e'& L

*

Ak& i0#a0i'&P(-$ 'u/&' %&t%u)e !"e#&!at)&e $&9i"e'&

Ti'e "e tee'a 1 $&ka0a)a.Na!o&ena . 5aes&!a 'u/a i'a !e/iku !a)&st, "e# &)a $a"e !"e#&!at)&u i%&te0e *i%&te0e', se"&@ 0&!u i uzroci do)a3aja -$, ak& 0)a'& $a se $&(&$i& )eki $&(aa", t". )"e)&' %#i'"e)&' '&e'&is%iti!ati k&"u !"e#&!at)&u '&e'& %#i%isati i%&te0i & sta)&!it&' u0#&ku. O)a se 7est& i)te#%#eti#a )as/"e$ei )ai): P#et%&sta!i'& $a se !#@i )eki nauni opit i $a )a %&7etku i'a'& ) i%&te0u'E, 'H%%%, 'n& ka#akte#u %&"a!e k&"u %#&u7a!a'&, %#i 7e'u i%&te0a'a',%#i$#uu"e'& !"e#&!at)&stP('i$ *i1,,. ..,)-. P&s/i"e i0!#@e)&( &%ita 2 ak& se ka& )"e(&! #e0u/tat $&(&$i& $&(aa" A 2 'i 'i"e)"a'& s!&"eu!"e#e)"a & is%#a!)&sti i%&te0a i %#i$#uu"e'& i' !"e#&!at)&eP('!5-$ (jA 1,,..., n$% Sa$a %&)a!/"a'&

&%it $&t/e $&k 0a "e$a) #e0u/tat 5 i 0a )ek& i?)e $&9i"e'&P( 5B$AE i/iP( 5B$ E% Ta$a i%&te0u',

'&e'& s'at#ati is%#a!)&'.

O!a i)te#%#eta+i"a 5aes&!e 'u/e i'a s/a9&sti u t&'e @t& )e $a"e )a7i) kak& $a se &$#e$e%&7et)e !"e#&!at)&e i%&te0a P('$% N&, &)a se i%ak u )eki' s/u7a"e!i'a '&e !#/& kis)&%#i'i"e)iti *ka& )%#., u 'e$i+i)sk&" $i"a()&sti+i-. Ni"e te@k& )a!esti %#i'"e#e k&"i i/ust#i#a"u te@k&e *9e0&90i#a @t& )e'a 'a/)e s'et)"e 0a %#i'"e)u- %#i %#akti7)&" %#i'"e)iBaesove 1ormule, t". ($"e )i"e'&(ue $i#ekt)& %#i'i"e)iti tu 'u/u, !e su, ka& i %#i/ik&' $i#ekt)e %#i'"e)e )eki $#u(i!"e#&!at)&s)i 'et&$a 0a $&9i"a)"e kis)i #e0u/tata, %&t#e9)e ')&(e $&$at)e )et#i!i"a/)e%#et%&sta!ke.

#ri&jer . Neka se )a )ek&" k/i)i+i /i"e7e 9&/es)i+i &$ k&"i s!aki '&e i'ati "e$)u &$ 9&/esti'E,'H, %%%, 'n% 3&7i'& "e$)&( 9&/es)ika i )eka "e k&$ )"e(a, %&s/i"e %#e(/e$a usta)&!/"e) sku%-

S1.1?.

;1


32/51


33/51

)"e)u %#i'"e)u-, a/i '&(u %#i'"e)&' t0!. )eometrijskih vjerovatnosti% 3 t&' s'is/u )a!est e'&$ei)i+i"u (e&'et#i"ske !"e#&!at)&e k&"a )ee 9iti sas!i' 'ate'ati7ki %#e+i0)a *"e# se kiste %&"'&!iYizmjerivZ i,,mjera2, a t#e9a/& 9i,,+ebes)ue ! izmjeriv i Y+ebes)ueva mjera2, a/i "e %&(&$)a 0a%#i'"e)u.

Nai'e, %&"a' !"e#&!at)&e, u!e$e) k/asi7)&' a%/a+e&!&' $ei)i+i"&' !"e#&!at)&e'u/&'

*1-

%#&si#ie'& )a s/"e$ei )a7i) *)a s/u7a" ka$a "e 9#&" e/e'e)ta#)i $&(aa"a 9esk&)a7a), %#ii0!&e)"u )ek&( %&kusa-:

Neka se, )%#., u )ek&" &9/asti 6 sa$#i $#u(a &9/ast ( i


34/51

i- V"e#&!at)&a $a s/u7a")& i0a9#a)a ta7ka $ui-B *si. 11.- %#i%a$a $ui " A5"e

*C-

O!a" %#i'"e# i/ust#u"e i )a""e$)&sta!)i"i s/u7a" (e&'et#i"ske !"e#&!at)&e.

ii- V"e#&!at)&a $a +e "e$)a ta7ka, k&"a se )a/a0i u)uta# &9/asti 6 u #a!)i

*s/. 1- %asti u)uta# &9/asti ( "e:

&(#a)i7e) i i0'"e#i!-. *>-

S1.1.

iii- V"e#&!at)&a $a e "e$)a ta7ka, k&"a se )a/a0i u)uta# &9/asti V*s/. 1;- u %#&stu * ;&(#a)i7e) i0'"e#i! sku%, t". i'a k&)a7)u 0a%#e'i)u-, %asti u)uta# &9/asti ;E(;E ;$ je :

B

;


35/51


36/51

Ta$a "e Y1, 'esD12P112 , %a "e .

". OP@TA TEORIJA VJEROVATNOE

".1. A'&iomat&'a de/inicija jeroatno!e

3 $&sa$a@)"e' i0/a(a)"u %&s'at#a/i s'&, u(/a!)&', %#i'"e#e %&kusa )a k&"e s'& '&(/i%#i'i"e)iti k/asi7)u $ei)i+i"u *a%/a+e&!u- !"e#&!at)&e *!"e#&!at)&e a %#ii- i/i statisti7ku$ei)i+i"u !"e#&!at)&e. Ka& @t& s'& #ek/i, &!a k/asi7)a $ei)i+i"a "e &$i(#a/a !e/iku u/&(u u #a0!&"u

tei"e !"e#&!at)&e. 8euti', &!a $ei)i+i"a i'a i %#i)+i%i"e/)e i %#akti7)e %#i#&$e )e$&statke.P#i)+i%i"e/)i )e$&statak *a t& "e i &09i/")i )e$&statak (/e$a)& sa 'ate'atske st#a)e- sast&"i se u t&'e @t&"e u t&" $ei)i+i"i %&"a' d vjerovatno&e $ei)isa) %#ek& %&"'a d vjerovatan2 *%#e+i0)i"e, %#ek& %&"'a0ednako mo)u&2 a/i t& "e ist& @t& ijednako vjerovatan2$% 8euti', %#akti7)i )e$&statak $ei)i+i"ek/asi+)e !"e#&!at)&e "e ta" @t& se 0ati"e!a $a

1 9#&" e/e'e)ta#)i $&(aa"a, k&"i se $esi %#i i0!&e)"u )ek&( %&kusa, 9u$e k&)a7a) i

$a se '&(u &$#e$iti ti e/'e)ta#)i $&(aa"i. N&, u %#aksi 7ak "e$)&sta!)i

%#i'"e#i %&ka0u"u $a su )a#u@e)i i "e$a) i $#u(i %#i)+i%.

Ka$a )is'& '&(/i &$#e$iti 9#&" %&!&/")i is&$a k&$ )ek&( %&kusa, &)$a s'& kisti/i

k/asi7)u $ei)i+i"u !"e#&!at)&e a %&ste#ii *statisti7ku $ei)i+i"u-, a kisti/i s'& i %&"a'(e&'et#i"ske !"e#&!at)&e ka& %&&%@te)"e *%#&@i#e)"e- %&"'a !"e#&!a#!&e )a s/u7a" ka$a se %#ii0!&e)"u )ek&( %&kusa '&e $a "a!i 9esk&)a7)& ')&(& e/e'e)ta#)i $&(aa"a.

Ni"e te@k& s'is/iti %#i'"e# %&kusa sa k&)a7)& ')&(& is&$a k&"i )isu "e$)ak& '&(ui.S/"e$ei %#i'"e# &%isu"e taka! %&kus.

#ri&jer .Neka "e $at k#u(, 7i"i "e '"e#)i 9#&" %&!#@i)e "e$)ak 1, sa t"e'e)&' u ta7ki *s/.1B-. P#et%&sta!i'& $a "e u)ut#a@)"&st k#u(a %&$i"e/"e)a )a n is"e7aka, 'e@us&9)& isk/"u7i!i i tak!i$a "e )"i&!a u)i"a u%#a!& +i"e/a u)ut#a@)"&st k#u(a. O9i/"ei'& i, ka& )a $at&"s/i+i,sa -E,-H,%%%,-n% Za'is/i'& $a "e "e$)a 9esk&)a7)a ta)ka i(/a i"e$)i'k#a"e !e0a)a u +e)t#u " i 0a!#ti'& "e &k& "% T#e9a &$#e$iti !"e#&!at)&u $a ese i(/a 0austa!iti u%#a!& u &9/asti-k(kAE,H%%%,n$%Nekapk&0)a7a!a %&!#@i)u

te &9/asti-k*0a kAE,H, %%%, n$% P#i'"eti'& $a "epE,pH%%% pnAE% Jas)&, $a"e #a0u')& &7eki!ati $a "e !"e#&!at)&a 0austa!/"a)"a u -k u%#a!& pk%&!#@i)a is"e7ka -k% Za %#&st u0aka *%#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"ak&"i )isu s!i "e$)ak& '&(ui- '&e'& u0eti sku% YQ -,, -H,%%%, -n=, ($"e-k &0)a7a!a is&$ eks%e#i'e)ta $a se i(/a i 0austa!i )a is"e7ku -k Ta$ai'a'&P*QAk-%k 0a k1,,...,).

S/. 1B.

Da 9i u)k+i"a P 9i/a $ei)isa)a )a +i"e/&' %a#titi!)&' sku%u , $ei)i@e'&

;>


37/51

0a s!aki sku% +i"e/i 9#&"e!a i1, i,..., iktak!i $a "e . N%#., P*QA1, A,

A-%1[%[%.

O!ak& %#&@i#e)"e u)k+i"e P *!"e#&!at)&e- i0(/e$a sas!i' %#i#&$)&, "e# su sku%&!i-E, -H, %%%, -n'eus&9)& isk/"u7i!i, a )"i&!a u)i"a "e +i"e/a u)ut#a@)"&st k#u(a %&!#@i)e 1.

=ak& se u!"e#a!a'& $a &!ak& $ei)isa)a u)k+i"a !"e#&!at)&e P: *Y- R, 0a (e $ati %#&st

u0aka Y, 7i"i e/e'e)ti )isu "e$)ak& '&(ui, i'a &s&9i)e *k&"e su #a)i"e $&ka0a)e 0a s/u7a" %#&stau0aka k&"i &$(&!a#a"u %&kusi'a 7i"i su is&$i "e$)aki '&(ui-

P1. P*Y-1,P. P*A- 0a

P; . Ak& suN, (n$ , tak!i $a "e A &)$a "eP(N $ AP(N$ P($%

O!ak!i %#i'"e#i k&)a7)i %#&sta u0aka k&"i &$(&!a#a"u %&kusi'a 7i"i is&$i )isu )u)&"e$)ak& '&(ui, )a!&$e )a &!u $ei)i+i"u:

=e-iniija ./onaan%#&st !"e#&!at)&e "e %a# ([%,P$ ($"e "e k&)a7a) sku% iP u)k+i"aP:*R sku% #ea/)i 9#&"e!a- k&"i 0a$&!&/a"!a"u &s&9i)e P1, P. i P;. u *c-.

Ka& i #a)i"e, sku% i 0&!e'&prostor uzoraka *i/i %#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a-, %&$ sku%&!e &$Y do)a3ajima i "e$)&7/a)e %&$sku%&!e &$ Y )a0i!a'&: ekmentarnim do)a3ajima%

O$'a se !i$i $a !#i"e$i tee'aB, )a!e$e)a u &k!i#u ta7ke :,,.eke osnovne teoreme teorijevjerovatno&e za konaan prostor uzoraka2 , i sa$a 0a &%@ti k&)a7a) %#&st !"e#&!at)&e.

P&"a' )e0a!is)i $&(a"a i %&"a' us/&!)e !"e#&!at)&e, u &%@te' k&)a7)&' %#&stu!"e#&!at)&e, $ei)i@e se )a %&t%u)& isti )a7i) ka& @t& su $ate 'a/)e $ei)i+i"e &!i %&"'&!a 0a s/u7a"k&)a7)&( %#&sta u0aka k&"i "e &$(&!a#a& %&kusu 7i"i su is&$i 9i/i "e$)ak& '&(ui: Tak&e !ae i&$(&!a#a"ue tee'e 0a )e0a!is)e $&(aa"e &$)&s)& 0a us/&!)u !"e#&!at)&u *uk/"u7u"ui i 'u/u

%&t%u)e !"e#&!at)&e i 5aes&!u 'u/u- .

8euti', #a0!&" tei"e !"e#&!at)&e 0ati"e!a& "e $a se tei"a !"e#&!at)&e %#&@i#i i )a

s/u7a"e!e ka$a %#&st e/e'e)ta#)i $&(aa"a )i"e &9a!e0)& k&)a7a) sku%.Na!e$e)a aksi&'atska $ei)i+i"a !"e#&!at)&e *$e ./ -, k&"a se &$)&si )a k&)a7a) %#&st

u0aka k&"i &$(&!a#a"u %&kusi'a 7i"i is&$i )isu )u)& "e$)ak& '&(ui, "e s%e+i"a/a) s/u7a" &%@teaksi&'atske $ei)i+i"e !"e#&!at)&e, *k&"a se &$)&si )a %#&i0!&/"a) %#&st u0aka- k&"u "e %#e$/&i&A .N .KO8O6OROV 1=;;. (&$i)e. O) "e %#e$/&i& aksi&'atiku k&"a "e &9u!ata/a s!e $&ta$a@)"e#e0u/tate i0 tei"e !"e#&!at)&e, a tak&e# se %&ka0a/& $a &)a a$ek!at)& #e%#e0e)ti#a )a@e %#i#&$)e i$e"e,&$)&s)& i)tuiti!)e %#e$&$9e & !"e#&!at)&i, t". $a %&sta"e !e0a i0'eu !"e#&!at)&e i #e/ati!)e#ek!e)+i"e. Osi' t&(a, &!a aksi&'atika $a/a "e $&9#u &s)&!u 0a #a0!&" )&!i %&$#u7"a tei"e!"e#&!at)&e. Ti'e "e k&)a7)& &st!a#e) 0at"e! $a se tei"a !"e#&!at)&e 0as)u"e )a aksi&'atski )a7i),s/i7)& ka& @t& su 0as)&!a)e $#u(e 'ate'ati7ke $is+i%/i)e.

I$e"a Ka/'&(&!a se sast&"a/a u t&'e $a se %&s'at#a %#&i0!&/")i )e%#a0)i sku% Y i t& "e sku%9i/& kak!i e/e'e)ata. E/e'e)te sku%a Y 0&!e'& ekmentarni do)a3aji% Na t&' sku%u se %&s'at#ak&/ek+i"a AO9 pe i 0ati"e!a se $a &!a k&/ek+i"a 9u$e 9&(ata, ta7)i"e $a &)a 7i)i a2al)ebru *q 2polje$, t". $a &)a 0a$&!&/"a!a s/i"e$ee us/&!e:

F1.

F.

F;.

A)$#e" Nik&/a"e!i K&/'&(&! *C. IV 1=?;2?.M 1=B-2 !e/iki #uski 'ate'ati7a#;B


38/51

O$'a se !i$i $a ak& "e , $a "e Y , te $a "e 0at&!e)a

u&$)&su )a %#e9#&"i!e %#es"eke i sku%&!)e #a0/ike.

Ak& se u'"est& us/&!aL% 0ati"e!a s/a9i"i us/&!:

30

A;. A1,A,...,A)

onda se zove a/(#e9#a sku%&!a *%&/"e sku%&!a-. tuda je (prema E% i F;.-svaka \ ! al)ebraistovremeno i al)ebra%

Definicija 2..eka je \ ! al)ebra na skupu M% 8re3en par (M, $ zove se i0'"e#i! %#&st.

Definicija 3..eka je (M, $ izmjeriv prostor% unkcija P: 9 zove se !"e#&!at)&a (ili!"e#&!at)&s)a '"e#a- (na na Y.- ako vrijedi:

PE% P*A- ?, A , *)e)e(ati!)&st !"e#&!at)&e-

PH% P*Y- 1, *)'i#a)&st !"e#&!at)&e-

\PL% me3usobno disjunktni$4 e. i

, *%#e9#&"i!a i/i q2 a$i$!)&st !"e#&!at)&e-iAl iAl

Definicija 4. 8re3ena trojka (M, , P-,)dje jeUa!al)ebra na M, P vjerovatnost )a ,zovese%#&st !"e#&!at)&e *i/i !"e#&!at)&s)i %#&st-.Nlemente \!al)ebre zovemo $&(aa"i, a broj P*A-,A 0&!ese !"e#&!at)&a $&(aa"a A (ako je A , a (M,U , P$%#&st !"e#&!at)&e,za skup- se kae da je P2i0'"e#i! sku% ili da je - i0'"e#i! i odnosu na P2'"e#u-.

Primjedba: Pri davanju aksiomatske de1inicije vjerovatno&e na prostoru elementarnihdo)a3aja M treba primijetiti prvo (kao to je reeno i ranije u taki H%F%$ da nije uvijek mo)u&e sve

podskupove od M uzeti za do)a3aje% 8 tome smislu oznaimo, npr%, o)led koji se sastoji od bacanjanovi&a deset puta ali da moemo provjeriti rezultate samo za prvih est bacanja% -ko je -A Opalo jebarem sedam pisama=, onda iz ovo) to znamo o ] - ne moemo od)ovoriti na pitanje da li je ]

ili ] % 7ato smo de1inisali neku 1amiliju podskupova od M koja je predstavljala 1amilijudo)a3aja (koja je mo)la biti i ua od

.. !eke osnovne teoreme vjerovatnosnog prostora

Prije ne)o to se detaljnije ne rasvijetle problemi vezani za konstrukciju vjerovatnosno)prostora, tj% vjerovatnosne mjere na skupu (prostoru elementarnih do)a3aja$, nave&e se osnovneteoreme koje neposredno slijede iz de1inicije opte) prostora vjerovatno&e%

Teorema 1.Neka"e * , , P- %#&st !"e#&!at)&e. Ta$a !#i"e$i:

*a- P* -?.

*9- Ak& "e E1 Ei E1, E , &)$a"e P*E1- P*E-, *s!&"st!& '&)&t&)&sti

!"e#&!at)&e-

*+-

;


39/51

*$- Ak& su A1,..., A)'eus&9)& $is"u)kt)i, &)$a "e ,

*s!&"st!&k&)a7)e a&/iti!)&sti !"e#&!at)&e-.

*e- Ak& "e E) *) N-, ..., &)$a"e ,

*)e%#eki$)&st !"e#&!at)&e u &$)&su )a )e&%a$a"ui )i0 $&(aa"a-.

;1 *- Ak& "e E) , *) N-, &)$a "e

*)e%#eki$)&stvjerovatno&e u odnosu na nerastu&i niz do)a3aja$%

()$ -ko je NE ( iAl, H, %%%$, onda je , (prebrojiva

ili \! poluaditivnost vjerovatno&e$%

(h$ -ko su NEi NH iz , onda je P(NE NH$AP(NE$P(NH$!P(Nl NH$%

(k$ -ko je N ,onda je P( $AE!P(N$, ( AM N$,(vjerovatno&a suprotno)

do)a3aja$%

=o$a+. 1 P#i'i"eti'& $a s!e &s&9i)e, i0u0e! *e-2*(- u &!&" tee'i *k&"a se &$)&si )a

%#&i0!&/"a), k&)a7a) i/i 9esk&)a7a) %#&st !"e#&!at)&e %#i 7e'u e/e'e)ta#)i $&(aa"i )isu )uH)&"e$)ak& '&(ui- i'a"u isti &9/ik ka& u s/u7a"u k/asi7)e !"e#&!at)&e *0a k&)a7a) %#&ste/e'e)ta#)i $&(aa"a k&"i su "e$)ak& '&(ui-, t". i u &%@te' s/u7a"u %#&sta e/e'e)ta#)i$&(aa"a, u!e$e)&( aksi&'atski *t0!. aksi&'a'a K&/'&(&!a 0a %#&st !"e#&!at)&e: *F/- 2*qF;- i*PI- 2*qP;- !#i"e$i tee'a 5, )a!e$e)a u &k!i#u ta7ke: ,,Neke &s)&!)e tee'e k/asi7)e tei"e!"e#&!at)&eJ, s ti' @t& se u &%@te' %#&stu *k&"i )i"e )uH)& %#e9#&"i!- u0i'a"u e/e'e)ti *$&(aa"i- i0 q2 a/(e9#e * *Y-- a )e 9i/& k&"i e/e'e)ti i0 *Y-. O!ak!u %#i'"e$9u s'& )a!e/i i u %#et&$)&"ta7ki ka$a s'& (&!i/i & aksi&'atski u!e$e)&' &%@te' k&)a7)&' %#&stu !"e#&!at)&e. Tak&e,9u$ui $a "e $&ka0 %&'e)ut&( tee'a 5, ka& s%e+i"a/)&( s/u7a"a &!&( tee'a 1 0a k&)a7a)%#&st u0aka 7i"i su e/e'e)ta#)i $&(aa"i "e$)ak& '&(ui, 0as)&!a) "e$i)& )a &s&9i)a'a P1, P i P;*k&"e %#e$sta!/"a"u tee'u A, u k/asi7)&" !"e#&!at)&i, $&k su t& aksi&'e u &%@t&", aksi&'atsk&" tei"i!"e#&!at)&e 0a k&)a7a) %#&st !"e#&!at)&e-, %&t%u)& su isti $&ka0i s!i i0"a!a *a- 2 *+-, *- i *k- &!$"e,0a s/u7a" k&)a7)&( %#&sta !"e#&!at)&e ka& a)a/&()i i0"a!a u %&'e)ut&" tee'i 5. I0"a!a *$-, us/u7a"u k&)a7)&( %#&sta !"e#&!at)&sti se /ak& $&kaHe 'et&$&' 'ate'ati7ke i)$uk+i"e, ak& se %&e &$aksi&'a P1, P i P; 0a k&)a7a) %#&st !"e#&!at)&e *t". ($"e "e P;: P*E 1uE-P*E1-[P*E- ak& su E1 i Eisk/"u7i!i $&(aa"i-.

3 s/u7a"u %#&i0!&/")&( *k&)a7)&(, %#e9#&"i!&( i/i )e%#e9#&"i!&(- %#&sta !"e#&!at)&e,%&/a0ei &$ aksi&'a *F/- 2*qF;- i *P I- 2*qP;- $&ka0 &s&9i)a *9-, *+-, *- i *k- se '&He i0!esti%&0i!a"ui se )a *$-, )a isti )a7i) ka& i $&ka0 &$(&!a#a"ui &s&9i)a 0a k&)a7a) %#&st!"e#&!at)e *%&/a0ei &$ aksi&'a*P/-2*P;-- &$)&s)& ka& i u tee'i 5 *0a k/asi7a) s/u7a"-.

;=


40/51

8euti', u s/u7a"u &%@te( %#&i0!&/")&( %#&sta !"e#&!at)&e, u k&'e se u0i'a aksi&' *qP;-u'"est& *P;- $&ka0 &s&9i)a *a- i *$- '&He se i0!esti )a &!a" )a7i):

*a- 3 aksi&'i *aP;- u0'i'& A"?, 0a i / , , ...

Ta$a "e . A/i "e k&)!e#(e)ta) #e$

%#e'a *qP;-, %a "e, $ak/e, P* -?. *Ak& "e P* -h?, &)$a $i!e#(i#a, a P* -o? "e

)e'&(ue 09&( *P1-.-

*$- 3 aksi&'i * P;- sta!i'& Ai , 0a ih) i kisti'& se &s&9i)&' *a-.

; Os&9i)e *e-2*(- )e'a"u s'is/a *u k/asi7)&" !"e#&!at)&i- a )i u &%@t&" tei"i !"e#&!at)&e 0ak&)a7a) %#&st u0aka *Za@t&L-:

*e- Sta!i'& F1 E1, F)E)E)21, 0a ) . Ta$a "e F , *) N- i Fi F" 0a i ".

Kak& "e "&@

;t& i'a'&

*)a &s)&!u $ei)i+i"ek&)!e#(e)t)&( #e$a-.

*-Sta!i'&F)E1E) 0a ) N. Ta$a "e F) , F) F)[1*) N- i E1 . Otu$a

"e P*F)-P*E1-2P*E)-, %a i0 *e- s/i"e$i

t".!#i"e$i .

Na%&'e)i'& $a se i0"a!a *e- '&e $&ka0ati )a &s)&!u *- %&/a0e+i &$ E1 E ... *Nai'e, ta$a "e

$ak/e 12 i &s&9i)a *k- * u &!&" tee'i 1-

i'%/i+i#a"u $a "e

*(-Neka "e

F1E1, F)E)

Ta$a "e )i0 $is"u)kti!)i $&(aa"a sa &s&9i)&' F) E)*) N- i . Zat& "e

?


41/51

O!a" #e0u/tat 0&!e se iBooleova )e"e$)ak&st. Ti'e "e tee'a 1 . $&ka0a)a.

Teore&a 2. Sistem aksioma (El, H, \L, PE, PH, \PL$ i sistem aksioma (E, H, \L, PR,PH, PL* PF$ su ekvivalentni (tj% trojka (M, ,P$ zadovoljava prvi sistem aksioma akko zadovoljavadru)i sistem aksioma$, )dje je PL*:-koje NE za iAE, H, %%, n i Ni NjA , , onda je

*t". P;c"e aksi&' k&)a7)e a$iti!)&sti i &s&9i)a *$- u tee'i 1-.

PF:-koje NE za iAE, H, %%, i NE NH %%, ondaje

=o$a+. 1 Ak& *Y, , P- 0a$&!&/"a!a *F/, F, qF;, PI , P, qP;- &)$a *Y, , P-0a$&!&/"a!a *F/, F, F;, P1, P, P;c, P- %& tee'i 1. *$- i *-.

P#et%&sta!i'& $a *Y, , P- 0a$&!&/"a!a *F/, F, qF;, P1, P, P;c, P-. Neka "eNt 0a s!e i/, , .., tak& $a "e Ei E" , i ", &)$a 0a s!aki %#i#&$)i 9#&" ), i'a'&

;;%#e'a F/, F, qF; i F;. Da/"e "e

i &tu$a, %#e'a, P,

*O!$"e "e %&t#e9)& $&ka0ati $a"e P* -? u siste'u aksi&'a *F/, F, qF;, P1, P, P;c, P-,a/i t& se /ak& i0!&$i, "e# "e %a "e P* -P* -[P* - %#e'a P;c i/i P* -?. Ka& @t& s'&!i$"e/i, u'"est& u aksi&'i F/ '&He se u0eti M , @t& se 7ak 7e@e i #a$i, %a ak& se tak& %&stu%i,&)$a "e, i u &!&' siste'u aksi&'a, , "e#"e Y-.

Otu$a "e%& $ei)i+i"i k&)!e#(e)+i"e

#e$a.

Ti'e "e tee'a H $&ka0a)a.

Na!o&ena. Gest& se %#i'"e)"u"e s%e+i"a/a) s/u7a" tee'e. Neka "e *Y, - i0'"e#i! %#&st iP: k&)a7)& a$it!)a u)k+i"a, P*Y- 1. Ta$a "e P !"e#&!at)&a ak& i sa'& ak& 0a

oo

%#&i0!&/"a) )i0 QA)1u j0a k&"i "e A ) A)[,*)eN- i PWA)? !#i"e$i /i'P*A)- ?.n -*-'-** $%$

1


42/51

)/

Neka "e )i0 $&(aa"a u %#&stu !"e#&!at)&e *Y, , P-. Dei)i@i'& limes superiort&( )i0a sa

i limes in1eriorto) )i0a sa

I0 &!e $ei)i+i"e s/i"e$i , i !#i"e$i:

Q Y: A) 0a 9esk&)a7)& ')&(& ),

Q Y: A)0a s!e ) &si' e!e)tua/)& k&)a7)& ')&(& )"i,

ak& se !i$i $a !#i"e$i:

#ro!o+iija .7a proizvoljan niz do)a3anja u prostoru vjerovatno&e (M, , P$

vrijedi:

LF

Propozicija 2. *a- *P#i)+i% i)k/u0i"e 2 eksk/u0i"e-:Neka su A1A,..., A)%&$sku%&!i k&)a7)&( sku%a Y.Neka l*5- &0)a7a!a 9#&" e/e'e)ata sku%a 5.Ta$a "e

l

*9- *S/!este#&!a tee'a- Neka"e *),j, P- %#&st !"e#&!at)&e i Aisr#*i/,,...,)-. Ta$a!#i"e$i


43/51

Dokaz. a$ sobina (a$ se lako dokaze metodom matemati"ke indukcije, a moe se dokazati i primjenompojma tzv% karakteristine 1unkcije skupa% unkcija 1i, data sa

0&!e se ka#akte#isti7)a u)k+i"a sku%a A, *i &9i7)& se &0)a7a!a sa - . Sa$a se /ak& !i$i $a "e

ka#akte#isti7)a u)k+i"a &$

Sada se primjeti da je

^

*9- S/!este#&!a tee'a se /ak& $&ka0u"e 'et&$&' 'ate'ati7ke i)$uk+i"e *kistei $at!#$)"a !#i"e$i 0a ) )a &s)&!u tee'e 1. *-.-.

Definicija.Prostor vjerovatno&e (M, , P$ jest%&t%u) ili k&'%/eta

Documents

Vjerovatnoca i Statistika - Prvi Dio 1