ferrari.lce.pub.roferrari.lce.pub.ro/studenti/~viomarin/Curs_Electrotehnica.pdf · B. PRECONDIŢII DE ACCESARE A DISCIPLINEI - parcurgerea si/sau promovarea urmatoarelor discipline:

ELECTROTEHNICA

Constantin Viorel Marin Department of Electrical Engineering, “Politehnica” University,

Spl. Independentei nr. 313, Bucharest, 77206, Romania

Electrotehnica C. V. Marin

Conf. Dr. Ing. MARIN Constantin Viorel

Facultatea de Inginerie Electrica / Departamentul Electrotehnica

Off. EB 236 / Tel. 0214029582 / Consultatii: Marti 14-16


FIŞA DISCIPLINEI

DATE DE IDENTIFICARE Titlul Disciplinei: ELECTROTEHNICA Titular/i de disciplină: Conf. Dr. Ing. Marin Constantin Viorel Cod: UPB.08.I.03.O126 Tipul: pregatire generala Numar ore curs: 28 ore Numar ore aplicatii: 14 ore Numarul de puncte de credit: 4 Semestrul: 3 Pachetul: aria curiculara comuna Preconditii: parcurgerea si/sau promovarea urmatoarelor

discipline: Analiza, Algebra liniara, Matematici speciale, Fizica.

Electrotehnica

C. V. Marin

A. OBIECTIVELE DISCIPLINEI

- pentru curs : - dobandirea cunostintelor de baza asupra Marimilor, legilor si regimurilor campului electromagnetic; - sa confere baza teoretica pentru studiul circuitelor electrice; - cunoasterea metodelor pentru studiul circuitelor de curent cotinuu; - cunoasterea metodelor pentru studiul circuitelor de curent alternativ; - cunoasterea metodelor pentru studiul circuitelor de curent alternativ trifazat;

Electrotehnica

C. V. Marin

- pentru aplicatii: - sa dezvolte capacitatea de utilizare a tehnicilor de analiza a circuitelor de curent continuu si de curent alternativ; - sa utilizeze calculatorul si programe dedicate pentru analiza circuitelor electrice; - sa utilizeze aparatele pentru masurarea marimilor electrice: ampermetrul, voltmetrul, watmetrul; - sa dezvolte capacitatea de a comunica in scris prin referate.


B. PRECONDIŢII DE ACCESARE A DISCIPLINEI - parcurgerea si/sau promovarea urmatoarelor discipline: Algebrǎ, Analizǎ matematicǎ, Matematici speciale.

C. COMPETENŢE SPECIFICE •Identificarea si rezolvarea problemelor de circuite electrice; •Analiza si calculul circuitelor electrice aferente produselor, echipamentelor si sistemelor electrice; •Analiza si interpretarea datelor obtinute din rezolvarea circuitelor electrice; •Utilizarea tehnicilor de modelare si a instrumentelor software dedicate analizei circuitelor electrice; •Abilitatea de a lucra in echipa si de a comunica eficient.

Electrotehnica

C. V. Marin

D. CONŢINUTUL DISCIPLINEI

a. Curs


b) Aplicaţii


Activitatile evaluate si ponderea fiecareia : Referate de laborator 40%; Caiet de conspecte 10% Teme de casa 10 % Lucrari 20% Total activitate in timpul anului 80 % Examinare finala 20%;

TOTAL 100% Cerintele minimale pentru promovare

- predarea temelor de casa; - predarea referatelor de laborator; - obţinerea a 50 % din punctajul total.

Calculul notei finale: de regulă prin rotunjirea punctajului final.

E. EVALUARE


G. BIBLIOGRAFIE • Marin C. V., “Electrotehnica”, Editura Printech, Bucuresti 2003, ISBN 973-652-680-1. (http://ferrari.lce.pub.ro/studenti) • Nitescu M., Constantinescu F., Bazele Electrotehnicii, Partea I – Teoria Circuitelor Electrice, Editura Printech, 1998, http://ferrari.lce.pub.ro/studenti/ • Constantinescu F., Ionescu A., Marin C. V., Nitescu M., “Analiza circuitelor electrice cu Pspice. Lucrari de laborator”, Editura Printech, Bucuresti 2003, ISBN 973-652-759-x. (http://ferrari.lce.pub.ro/studenti) • Hantila F., s.a. Electrotehnica teoretica, Editura Electra, 2002, • Moraru, A., -Electrotehnica, masurari si masini electrice- Vol. I si II, Institutul Politehnic Bucuresti 1980;

F. REPERE METODOLOGICE Prelegeri, aplicatii concrete la laborator.

http://ferrari.lce.pub.ro/studenti

http://ferrari.lce.pub.ro/studenti

ELECTROTEHNICA



Partea a I-a. Marimile si legile electromagnetismului


Cuprins:

• 1. Introducere

• 2.1. Marimile si legile electromagnetismului

• 2.2. Regimurile c@mpului electromagnetic


• Electrotehnica are ca obiect studiul fenomenelor electrice ]i magnetice din punctul de vedere al aplica\iilor tehnice. • Energia electromagnetic`, numit` uzual incomplet energie electric`, are urm`toarele propiet`\i remarcabile: -se transform` u]or [n orice alt` form` de energie ]i reciproc; - se transmite u]or ]i practic instantaneu la mari distan\e; - se divide ]i se distribuie foarte u]or cu ajutorul circuitelor elctrice. • Energia electromagnetic` se inmagazineaz` [ns` greu [ntr-un volum restrans ]i numai pentru un timp relativ scurt. • Din aceast` cauz` nu se pot constitui rezerve de energie sub aceast` form`; ea trebuie deci transmis` pe m`sur` ce se produce.

1. Introducere


• Energia electromagnetic` produs` [n mari unit`\i produc`toare de energie numite centrale electrice este transmis` economic la distan\e cu ajutorul liniilor electrice de [nalt` tensiune, pan` la locul de utilizare, unde poate fi transformat` [n form` direct` utilizabil`: energie mecanic` [n motoare, c`ldura [n aparatele de [ncalzit, energie chimic` [n celulele electrice, lumina [n corpurile de iluminat etc.

• Energia electric` are o mare arie de aplicabilitate tehnic`, caracteristic` din care rezult` importan\` dob@ndirii de cuno]tin\e din domeniul electrotehnicii de c`tre viitorii ingineri.


• Cursul de Electrotehnic` se axeaz` pe cuno]tin\ele date de Teoria macroscopic` a fenomenelor electromagnetice. Aceasta este o teorie fenomenologic`, deoarece apeleaz` la diverse experien\e ]i observa\ii pentru introducerea m`rimilor cu care se opereaz` ]i macroscopic` deoarece ignor` structura microscopic` a materiei. • C@mpul electromagnetic este o stare special` de existen\` a materiei, care, nu presupune [n mod obligatoriu existent` substan\ei (de exemplu undele electromagnetice se propag` prin vid [n spa\iul interplanetar) ]i este capabil de a acumula ]i transporta energie ]i de a exercita ac\iuni ponderomotoare (adic` for\e, cupluri ]i presiuni) asupra corpurilor cu care interac\ioneaz`.


• n cadrul teoriei fenomenologice a electromagnetismului se opereaz` cu m`rimile fizice care caracterizeaz` anumite clase de propiet`\i ale c@mpului ]i corpurilor. n func\ie de domeniul spa\ial c`ruia [i sunt asociate, m`rimile se [mpart [n m`rimi locale, care sunt ata]ate fiec`rui punct din spa\iu ]i m`rimi globale care sunt asociate unor domenii volumice superficiale sau lineice. • Teoria fenomenelor electromagnetice are o structur` [n care legile au valoarea unor axiome, exprim@nd proprieta\i care au fost mai int@i verificate experimental [n anumite cazuri ]i apoi postulate [n general. Teoremele se deduc din legi.


•Teoria macroscopic` a fenomenelor electromagnetice are dou`sprezece legi importante, dintre care nou` sunt legi generale ]i trei sunt legi de material.

•Legile de material spre deosebire de legile generale au [n expresia lor ]i anumite m`rimi de material (de exemplu: rezistivitatea electric`, conductivitatea electric` etc.). Cursul de electrotehnic` cuprinde urm`toarele ]apte capitole: 1. M`rimi ]i legi; 2. Electrostatica; 3. Electrocinetica; 4. Circuite electrice de curent continuu; 5. Electrodinamica; 6. Circuite electrice de curent alternativ; 7. Circuite trifazate.

1. Marimi si legi


1.1. M`rimile caracteristice fenomenelor electromagnetice

1.1.1. M`rimi locale Pentru caracterizarea cantitativ` a st`rii c@mpului electromagnetic [ntr-un

punct, se utilizeaz` patru vectori func\ie de punct ]i de timp respectiv:

- - intensitatea c@mpului electric; - - induc\ia c@mpului electric; - - induc\ia c@mpului magnetic; - - intensitatea c@mpului magnetic. Pentru caracterizarea cantitativ` a st`rii corpurilor [n interac\iunea lor [n

c@mpul electromagnetic se utilizeaz` urm`toarele m`rimi fizice: - - densitatea curentului electric de conductie; - - densitatea de volum a sarcinii electrice. Deci pentru caracterizarea complet` a c@mpului electromagnetic ]i a st`rii

electromagnetice a corpurilor dintr-un domeniu spa\ial sunt necesare 16 func\ii scalare de pozi\ie ]i de timp.

),,( zyxMM =

),( tMEE−−

=),( tMDD

−−

=),( tMBB

−−

=),( tMHH

−−

=

),( tMJJ−−

=),,,( tzyxρρ =

1.1.2. M`rimi globale

Electrotehnica

C. V. Marin

• n scopul de a u]ura caracterizarea c@mpului electromagnetic se introduc m`rimi globale, care caracterizeaz` comportarea [n medie a a c@mpului electromagnetic pe diverse subdomenii. • Aceste m`rimi fizice se definesc prin opera\ii de integrare ]i sunt asociate unor domenii curbilinii (a), superficiale (b) sau volumice (c). • Suprafa\a [nchis`, notat` uzual , este mul\imea punctelor de pe frontiera unui domeniu spa\ial, m`rginit ]i de volum nenul, notat uzuzal . • Suprafa\a deschis`, notat` uzual , este o parte conex` a unei suprafa\e [nchise, ]i este m`rginit` de o curb` [nchis` notat` uzual . • Prin parcurgerea unei curbe [nchise se ajunge la punctul de plecare. • Curbele [nchise se vor nota, [n general, cu litera iar suprafe\ele deschise care se sprijin` pe aceste curbe se noteaz` cu . • O parte conex` a unei curbe [nchise se nume]te curb` deschis` ]i se va nota cu C. • O curb` deschis` are ca extremit`\i dou` puncte, pe care aceasta le une]te. • De exemplu, suprafa\a lateral` a unei sfere este o suprafa\` [nchis` ce m`rgine]te domeniul sferic . • O calot` sferic` este o suprafe\` deschis` sprijinit` pe curba [nchis` , iar [n acest caz este un cerc. • Un arc de cerc sau un segment de dreapt` sunt curbe deschise.

ΣΣD

ΓSΓ

Γ

ΓS

ΓS

ΣΣD

Γ'SΓ

Γ

a. M`rimi globale ata]ate unor domenii curbilinii


- – tensiunea electric`; - – tensiunea magnetic`.

)(tu)(tum

Tensiunea electric` este o m`rime scalar`, asociat` unei curbe orientate ]i definit` ca fiind integrala de linie a intensit`\ii c@mpului electric de-a lungul curbei :

∫=C

DsdEu

[n care E este intensitatea c@mpului electric iar ds este elementul vectorial de linie, tangent la curba ]i orientat [n sensul curbei. (fig.). |in@nd cont de defini\ia produsului scalar ]i de propriet`\ile integralei, rezult`:

∫ ∫∫ ⋅====C C

tmedtC

lcEdrEdrEsdEu αcos

unde E tmed reprezint` valoarea medie a componentei tangen\iale a intensit`\ii c@mpului electric (mediat` pe curba C) iar l c reprezint` lungimea curbei .

a. M`rimi globale ata]ate unor domenii curbilinii


Tensiunea magnetic` este o m`rime fizic` scalar` asociat` unei curbe orientate ]i definit` ca fiind integrala de linie pe o curb` [nchis` (fig.) a intensit`\ii c@mpului magnetic, [n care H este intensitatea c@mpului magnetic iar ds este elementul de linie.

∫=C

D

m sdHu

Ctmedm lHu ⋅=

Tensiunea magnetic` d` informa\ii asupra componentei tangen\iale H t , a intensit`\ii c@mpului magnetic, mediate pe curba C

b. M`rimi globale ata]ate unor domenii superficiale


• - – fluxul electric; • - – fluxul magnetic; • - - intensitatea curentului electric de conduc\ie.

)(tΨ)(tΦ

)(tiFluxul electric este o m`rime scalar`, asociat` unei suprafe\e S (fig.) ]i definit` ca fiind integrala de suprafa\` a vectorului induc\iei electrice

ψ

∫∫=S

DAdDψ

Vectorul elementar de arie dA este orientat dup` normala la suprafa\` S [n direc\ie asociat` dup` regula burghiului drept sensului de parcurgere (precizat de s`geat` [n fig.) al conturului pe care se sprijin` suprafa\a deschis` S. Fluxul electric se poate exprima prin:

Γ

SnmedS

nSS

ADdADdADAdD ==== ∫∫∫ αψ cos

[n care D nmed este valoarea medie a componentei normale a induc\iei, mediat` pe suprafa\a S iar A s este aria suprafe\ei S.



Fluxul magnetic este o m`rime scalar`, asociat` unei suprafe\e (fig.) S ]i definit` ca fiind integrala de suprafa\` a induc\iei magnetice printr-o suprafa\` dat` S

Φ

∫∫=ΦS

DAdB

[n care B este induc\ia magnetic`, iar dA elementul de arie se consider` orientat conform conven\iei adoptate la defini\ia fluxului electric.

Snmed AB ⋅=Φ unde B nmed este valoarea medie, pe suprafa\a S, a componentei normale B n iar As este aria suprafe\ei.

Fluxul magnetic d` informa\ii asupra comport`rii componentei normale Bn a induc\iei magnetice pe suprafa\a S:



Intensitatea curentului electric i este o m`rime scalar` asociat` unei suprafe\e S (fig.) ]i definit` ca fiind fluxul densit`\ii curentului electric J printr-o suprafa\` dat` S:

∫∫ ⋅=S

DAdJi

unde J este densitatea de curent iar dA este vectorul elementului de arie, orientat dup` normala pozitiv` a suprafe\ei S, asociat` conform regulii burghiului drept sensului precizat de s`geat` al curbei [nchise . Γ

Intensitatea curentului electric se exprim` [n func\ie de valoarea medie, pe suprafa\a S, a componentei normale a densit`\ii de curent J nmed:

Snmed AJi ⋅=unde As este aria suprafe\ei S.


c. M`rimi globale ata]ate unor domenii volumice

- – sarcina electric`. )(tqSarcina electric` q este o m`rime fizic` scalar` asociat` unui domeniu D (fig.) de volum nenul ]i definit` de:

∫∫∫=D

v

DdVq ρ

[n care este densitatea de sarcin` iar dV este elementul de volum

vρ

Sarcina electric` satisface egalitatea

Dmed Vq ⋅= ρ[n care este valoarea medie pe domeniul D, a densit`\ii de sarcin` iar este volumul domeniului D.

medρDV


1.1.2. M`rimi globale • `rimile globale dau informa\ii asupra comport`rii, [n medie a integrantului, pe domeniul pe care au fost definite. Tensiunile electric` ]i magnetic` sunt definite pe curbe, prin integrarea unei intensit`\i de c@mp electric respectiv magnetic. Fluxurile electric ]i magnetic sunt definite pe suprafa\e, prin integrarea unei induc\ii electrice respectiv magnetice. • Intensitatea curentului electric reprezint` fluxul densit`\ii curentului electric. n cazul mediilor [n mi]care, curbele ]i suprafe\ele pe care au fost definite m`rimile globale se consider` antrenate de corpuri [n mi]carea lor. • Faptul c` o m`rime global` este nul`, nu implic` faptul c` integrantul este nul, ci c` valoarea medie este nul` (pe o parte a domeniului, integrantul poate fi pozitiv, iar [n rest negativ, astfel [nc@t [n medie s` rezulte zero). Dac`, [n schimb o m`rime global` este nul` pe orice curb`, respectiv suprafa\` [nchis` sau deschis`, atunci se poate afirma c` ]i integrantul (c@mpul) este nul. • Dac` integralele pe orice curb` [nchis` (tensiunile) sunt nule, atunci c@mpul respectiv nu poate avea linii de c@mp [nchise. • Dac` [ntr-un domeniu spa\ial, integralele pe orice suprafa\` [nchis` (fluxurile) sunt nule, atunci c@mpul respectiv are linii de c@mp care nu pot nici s` [nceap` ]i nici s` se termine [n domeniul respectiv.


1.2. Legile c@mpului electromagnetic

Legile c@mpului electromagnetic sunt rela\iile fundamentale care leag` [ntre ele m`rimile caracteristice ale c@mpului electromagnetic. n continuare se prezint` aceste rela\ii f`r` demonstra\ie, deoarece ele rezult` prin generalizarea unor observa\ii experimentale.

1.2.1 Legea fluxului electric

Enun\: Fluxul electric prin orice suprafa\` [nchis` (figura) este egal cu sarcina electric` con\inut` de acea suprafa\`:

Σψ ΣΣq

ΣΣ = qψExplicit@nd m`rimile globale rezult`:

dVAdDD

v∫∫∫∫∫Σ

=Σ

ρ

Legea fluxului electric arat` c` sarcina electric` este o surs` de c@mp electric



1.2.2. Legea fluxului magnetic

Enun\: Fluxul magnetic este nul prin orice suprafa\` [nchis` Σ

0=ΦΣExplicit@nd m`rimile globale(figura) rezult`:

0=∫∫Σ

AdB

Legea fluxului magnetic pune [n eviden\` o restric\ie impus` induc\iei magnetice



1.2.3. Legea induc\iei electromagnetice

Enun\: Tensiunea electromotoare (produs` prin induc\ie electromagnetic`) [n lungul unei curbe [nchise este egal` cu viteza de sc`dere a fluxului magnetic prin orice suprafa\` sprijinit` pe aceast` curb`.

Γ

dtd

e SΓΦ

−=Γ

Explicit@nd m`rimile globale (figura) rezult`:

∫∫∫Γ

=Γ S

dABdtddsE

Aceast` lege arat` c` fluxul magnetic variabil [n timp este surs` a c@mpului electric



1.2.4. Legea circuitului magnetic Enun\: n orice moment, tensiunea magnetomotoare de-a lungul oric`rei curbe [nchise este egal` cu suma a doi termeni: primul este solena\ia , corespunz`toare curen\ilor care str`bat o suprafa\` deschis` oarecare m`rginit` de curba ; al doilea termen este derivata [n raport cu timpul a fluxului electric prin aceea]i suprafa\` ]i se nume]te curent de deplasare.

Γmmu ΓΓsθ

ΓS ΓΓΨS ΓS

dtdu S

SmmΓ

ΓΓ

Ψ+=θ

Explicit@nd m`rimile globale (figura) rezult`:

∫∫∫∫∫ΓΓ

+=Γ SS

dADdtddAJdsH

Legea circuitului magnetic arat` c` at@t curentul electric de conduc\ie c@t ]i varia\ia [n func\ie de timp a c@mpului electric sunt surse ale c@mpului magnetic



1.2.5. Legea leg`turii dintre D , E ]i P

Enun\: n fiecare moment ]i [n orice punct al unui corp induc\ia electric` este numeric egal` cu suma dintre intensitatea c@mpului electric multiplicat` cu permitivitatea vidului ]i polariza\ia electric`

PED += 0ε

tp PPP +=

⋅⋅=

mF

90 10941

πε

Legea leg`turii dintre D , E ]i P arat` c` polariza\ia permanent` este o surs` de c@mp electric.



1.2.6. Legea leg`turii dintre B, H ]i M

Enun\: n orice punct induc\ia magnetic` este egal` cu suma vectorial` dintre intensitatea c@mpului magnetic ]i magnetiza\ia multiplicat` cu permeabilitatea vidului.

( )MHB += 0µ

tp MMM += [ ]mH /104 70

−⋅= πµLegea arat` c` magnetiza\ia permanent` este o surs` de c@mp magnetic.

1.2.7. Legea conserv`rii sarcinii electrice

Enun\: Intensitatea a curentului electric de conduc\ie care iese dintr-o suprafa\` [nchis` (adic` str`bate suprafa\a cu sensul de referin\` spre exterior) este [n fiecare moment egal` cu viteza de sc`dere a sarcinii electrice localizat` [n interiorul suprafe\ei

ΣΣq

dtdqi Σ

Σ −=


1.2.8. Legea transform`rii energiei [n conductori (legea Joule-Lenz)

Enun\: Puterea p j cedat` pe unitatea de volum al conductorului de c@mpul electromagnetic, [n procesul de conduc\ie electric`, este egal` cu produsul scalar dintre intensitatea c@mpului electric E ]i densitatea curentului electric de conduc\ie J

JEp j ⋅=1.2.9. Legea electrolizei

Enun\: Masa m de substan\` depus` [n timpul la un electrod al bìi electrolitice este propor\ional` cu sarcina trecut` prin baie ]i cu echivalentul chimic al elementului depus

qAF

dtiAF

mtt

t νν 00

11 0

0

∫+

==

νA este echivalentul

chimic 0F = 96 490 Coulombi/echivalent gram, constanta lui Faraday .



1.2.10. Legea polariza\iei electrice temporare

Enun\: Polariza\ia temporar` este propor\ional` cu vectorul c@mp electric

EP et χε0=1.2.11. Legea magnetiza\iei temporare

Enun\: Magnetiza\ia temporar` este propor\ional` ]i omoparalel` cu intensitatea c@mpului magnetic

HM mt ⋅= λ 1.2.12. Legea conduc\iei electrice (legea lui Ohm)

Enun\: n regim neelectrostatic, suma vectorial` dintre intensitatea c@mpului electric ]i intensitatea c@mpului electric imprimat din interiorul unui conductor izotrop este propor\ional` [n fiecare punct cu densitatea curentului electric de conduc\ie din acel punct

JEE i ρ=+

n consecin\` curentul electric de conduc\ie ]i c@mpul electric imprimat (m`rime echivalent` cu ac\iunea unor for\e neelctrice) sunt surse ale c@mpului electric


1.3. Regimurile c@mpului electromagnetic Legile teoriei câmpului magnetic stabilesc rela\ii [ntre m`rimile caracteristice câmpului. Aceste rela\ii sunt reprezentate [n figura. Cu s`geat` dubl` s-au marcat rela\iile valabile atât [n regim sta\ionar cât ]i [n regim variabil,

iar cu s`geat` simpl`, rela\iile existente doar [n regim variabil.

•Rela\ia 1 ce exist` [ntre induc\ia electric` ]i densitatea de sarcin` reprezint` legea fluxului electric ]i eviden\iaz` drept surs` a câmpului, sarcina electric`. •Rela\ia 2 reprezint` legea induc\iei, ]i pune [n eviden\` o cauz` a câmpului electric ]i anume varia\ia [n timp a câmpului magnetic. • Rela\ia 3 reprezint` legea circuitului magnetic ]i pune [n eviden\` dou` cauze posibile ale câmpului magnetic ]i anume: curentul electric ]i câmpul electric variabil [n timp. •Rela\ia 4 reprezint` legea leg`turii dintre ]i ]i pune [n eviden\` o cauz` posibil` a câmpului electric ]i anume polariza\ia magnetic` permanent`. •Rela\ia 5 reprezint` legea leg`turii dintre ]i ]i pune [n eviden\` o cauz` a câmpului electric ]i anume polariza\ia magnetic` permanent`. •Rela\ia 6 reprezint` legea leg`turii dintre ]i ]i pune [n eviden\` o cauzà câmpului electric ]i a st`rii electrocinetice ]i anume câmpul electric imprimat.

•Rela\ia 7 reprezint` legea conserv`rii sarcinii ]i pune [n eviden\` cauza apari\iei sarcinii ]i anume curentul electric, care poate impune varia\ia [n timp a sarcinii electrice.

Regimul general variabil


1.3. Regimurile c@mpului electromagnetic

Dac` se presupun, m`rimile câmpului electromagnetic, invariate [n timp atunci regimul generat se nume]te regimul sta\ionar al câmpului electromagnetic.

• [n regim sta\ionar (s`ge\ile simple sunt eliminate), ecua\iile câmpului electric sunt decuplate de ecua\iile câmpului magnetic. n aceast` situa\ie sursele câmpului electric sunt: polariza\ia permanent`; câmpul electric imprimat ]i sarcina electric`. • Câmpul electric sta\ionar determin` [n conductoare curentul electric (se poate demonstra c` doar componenta câmpului electric generat` de câmpul imprimat este capabil` s` determine curent electric sta\ionar, celelalte componente generate de ]i, numite componente coulombiene nu sunt capabile s` determine curent electric). •n regim sta\ionar, câmpul magnetic (figura) are drept surse magnetiza\ia permanent` ]i curentul electric .


1.3. Regimurile c@mpului electromagnetic • Se constat` c` problema analizei câmpului electric ]i magnetic [n regim sta\ionar poate fi descompus` [n probleme mai simple. • Dac` la ipotezele regimului sta\ionar se adaug` ]i ipoteza inexisten\ei transferului de energie (echivalent` conform legii transferului de energie cu anularea densit`\ii curentului electric J=0 ), atunci regimul astfel generat se nume]te regim static.

•[n regim static ecua\iile câmpului electric se separ` complet de ecua\iile câmpului magnetic. •n regimul electrostatic(figura), sursele câmpului electric sunt sarcina electric`, polariza\ia permanent` ]i eventual ( [n m`sura [n care nu genereaz` curent electric) câmpul electric imprimat .

n regimul magnetostatic (figura), cauza câmpului magnetic este doar magnetiza\ia permanent` (magne\ii permanen\i au

). 0≠pM


1.3. Regimurile c@mpului electromagnetic

• Regimul electrocinetic este definit ca un regim sta\ionar [n care intereseaz` determinarea densit`\ii de curent ]i a intensit`\ii câmpului electric , produse de câmpul electric imprimat din conductoare (pilele electrochimice au ). • Un regim utilizat frecvent [n aplica\ii este regimul cvasista\ionar [n care se neglijeaz` efectul undelor electromagnetice. • Pentru aceasta [n conductoare se consider` nul curentul de deplasare, legea circuitului magnetic utilizându-se sub forma teoremei lui Ampère, iar [n izolan\i se consider` nul` derivata fluxului magnetic, legea induc\iei utilizându-se sub forma teoremei poten\ialului electric sta\ionar. • Ipotezele regimului cvasista\ionar sunt satisf`c`toare [n cazul câmpurilor electromagnetice cu varia\ie suficient de lent` [n timp. • Formele particulare ale legilor câmpului electromagnetic, ce rezult` aplicând ipotezele unui anumit regim, se numesc ecua\iile fundamentale ale regimului respectiv. Electrotehnica

C. V. Marin

ELECTROTEHNICA




Cuprins • Sarcina electric` ]i c@mpul electric. For\e • Starea de electrizare. Conductori ]i izolan\i • Sarcina elctric`. C@mpul electric • For\e [n c@mp electric (For\e Coulombiene) • Rela\iile fundamentale ale electrostaticii • Teorema poten\ialul electrostatic • Poten\ialul electrostatic • Suprafe\e echipoten\iale. • Teorema poten\ialului electrostatic ]i consecin\ele ei • Dielectrici ]i caracterizarea lor • Conditia de echilibru electrostatic

CAPITOLUL 2. ELECTROSTATICA


CAPITOLUL 2. ELECTROSTATICA

• Electrostatica este partea Electrotehnicii [n care se studiaz` st`rile electrice invariabile [n timp, ne@nso\ite de curen\i electrici de conduc\ie, respectiv ne@nso\ite de transform`ri energetice (adic` de dezvoltarea de c`ldur` care caracterizeaz` ace]ti curen\i).

Sarcina electric` ]i c@mpul electric. For\e.

Experien\a arat` c` dac` se freac` unele de altele anumite corpuri, ca de exemplu o bar` de sticl` ]i o bucat` de m`tase, ]i se separ` apoi acele corpuri, asupra lor ]i asupra corpurilor din apropierea lor se exercit` for\e ]i cupluri care nu se exercitaser` mai [nainte, chiar dac` st`rile mecanice ]i termice ale corpurilor au r`mas neschimbate.


• Starea [n care au fost aduse prin frecare corpurile se nume]te stare de electrizare, iar for\ele exercitate de aceste corpuri se numesc for\e electrice. • Starea de electrizare a corpurilor poate fi ob\inut` ]i prin alte procedee ca: atingerea de corpuri electrizate, [nc`lzire, iradiere, tensionare mecanic` etc.

Dup` modul [n care transmit starea de electrizare (la atingerea cu un alt corp electrizat), materialele se [mpart [n: - conductoare electrice - care transmit foarte repede starea de electrizare, de exemplu: metalele, aliajele lor, c`rbunele, anumite solu\ii de s`ruri, baze ]i acizi; - izolan\i electrici numi\i ]i dielectrici, care transmit starea de electrizare [ntr-un interval de timp foarte mare (ore, zile); de exemplu: sticla, m`tasea, materialele plastice, por\elanul, h@rtia, lacurile, uleiul, aerul uscat etc.;


Explor@nd c@mpul electric cu un mic corp de prob` electrizat, prin m`surarea for\ei care se exercit` asupra lui, se poate stabili rela\ia experimental` unde: - q numit` sarcina electric` a corpului de prob`, este o m`rime scalar` caracteriz@nd global starea de electrizare a corpului; unitatea de sarcin` electric` este coulombul C, egal cu sarcina electric` care trece [ntr-o secund` prin sec\iunea unui conductor str`b`tut de un curent electric de un amper: 1C=1Ax1s; - Ev numit` intensitatea c@mpului electric [n vid este o m`rime vectorial` func\ie de punct caracteriz@nd local c@mpul electric; unitatea de m`sur` a c@mpului electric este voltul pe metru (V/m).

vEqF =


•Liniile c@mpului electric. Liniile de c@mp ale vectorului c@mp electric sunt liniile tangente [n fiecare punct la direc\ia local` a vectorului c@mp.

•Liniile de c@mp electric pornesc de pe corpurile cu sarcin` (+) ]i ajung la cele cu sarcin` (-) (ca in figura)

Spectru al liniilor de c@mp este mul\imea curbelor pentru care vectorul c@mp este tangent [n orice punct de pe curb`. Spectrul c@mpului se ob\ine desen@nd pe fiecare unitate de arie normal` pe liniile de c@mp un num`r de linii propor\ionale cu

intensitatea local` a c@mpului electric figura


• Pentru corpurile cu dimensiuni mari, comparabile cu distan\ele la care se studiaz` c@mpul electric, caracterizarea st`rii de electrizare prin sarcina electric` total` este nesatisf`c`toare ]i trebuie definite densit`\i ale sarcinii electrice:

- de volum

- de suprafa\`

- de linie

dvdq

vq

vv =∆∆

=→∆ 0

limρ

dAdq

Aq

As =∆∆

=→∆ 0

limρ

dsdq

sq

sl =∆∆

=→∆ 0

limρ


• Dac` se freac` dou` corpuri, unul se [ncarc` cu sarcin` pozitiv`, iar cel`lalt cu sarcin` negativ`. Valorile absolute ale sarcinilor de nume contrar sunt [ns` egale. • Producerea sau dispari\ia unei sarcini electrice este [nso\it` [ntotdeauna de producerea, respectiv dispari\ia simultan` pe acela]i corp izolat a unei sarcini egale de nume contrar. • n general, sarcina total` a unui sistem de corpuri izolat electric (adic` [nconjurat de materiale electroizolante), este constant`: .constq

kk =∑

Aceasta relatie reprezint` o forma particulara a legii conserv`rii sarcinii electrice valabil` pentru corpuri izolate electric


• Sarcinile electrice pozitive sau negative se combin` algebric aditiv,

• adic` un mic corp, dielectric sau conductor, [nc`rcat succesiv cu sarcinile q1, q2, q3,….sau format din reuniunea corpurilor izolate, care au aceste sarcini, se comport` ca fiind [nc`rcat cu o sarcin`:

nqqqq +++= ...21

Dac` aceast` sum` este nul`, se spune c` sarcinile s-au neutralizat.


For\e [n c@mp electric (For\e Coulombiene) • for\a pe care o exercit` un mic corp electrizat M1 av@nd sarcina electric` q1, asupra unui alt mic corp electrizat M2, av@nd sarcina q2, ca [n figura, este data de rela\ia:

12

12212

2112

4 rr

rqqF

πε=

-r12 este raza vectoare care une]te corpul M1 cu corpul M2; - ε este permitivitatea mediului omogen sau constanta lui dielectric`, care caracterizeaz` mediul dielectric din punct de vedere al c@mpului electric. •Dac` sarcinile au acela]i semn se resping, iar dac` au sarcini contrare, se atrag.


C@mpul electric produs de un corp punctiform

• Expresia intensit`\ii c@mpului electric produs de un mic corp [nc`rcat cu sarcina q, aflat [ntr-un mediu dielectric omogen de permitivitate ε:

34 rrqE

πε=

• Dac` c@mpul electric este produs de mai multe corpuri punctiforme electrizate, intensitatea c@mpului electric este egal` cu suma vectorilor intensit`\ii c@mpului electric pe care l-ar produce fiecare corp luat [n parte:

∑=i i

ii r

rqE 341πε


Rela\iile fundamentale ale electrostaticii

• Rela\iile fundamentale ale electrostaticii rezult` prin particularizarea legilor generale ]i de material ale c@mpului electromagnetic [n urm`toarele condi\ii:

• m`rimile nu variaz` [n timp ]i [n ecua\ii derivatele [n raport cu timpul sunt nule;

•corpurile sunt imobile ]i densitatea curentului electric de conduc\ie este nul` .

•Aceste rela\ii sunt:

0=v0=J


• 1. Legea fluxului electric, care sub form` integral` are expresia

dVAdDD

v∫∫∫∫∫Σ

=Σ

ρ

• 2. Legea leg`turii dintre D, E ]i P

PED += 0ε• 3. Legea polariza\iei electrice temporare

EP et χε0=• La materialele f`r` polariza\ie permanent` Pp=0 ]i deci P=Pt, legea polariza\iei electrice temporare se folose]te [mpreun` cu legea leg`turii dintre D, E ]i P :


EEEPED ee )1(0000 χεχεεε +=+=+=

ED ε=re εεχεε 00 )1( =+=

• permitivitatea relativ` ca raport dintre permitivitatea acelui mediu(material dielectric) ]i cea a vidului:

er χεεε +== 1

0


4. Rela\ia de conservare a sarcinii electrice, care rezult` prin anularea membrului al doilea al legii conserv`rii sarcinii electrice .constq =Σ

5. Teorema poten\ialului electrostatic form` particular` a legii induc\iei electrice rezultat` prin anularea derivatei cu timpul din membrul drept: 0=∫

Γ

sdECondi\ia de echilibru electrostatic care se deduce din legea conduc\iei electrice [n acord cu condi\ia J=0; rezult` pentru medii conductoare neomogene: 0=+ iEE•pentru medii conductoare f`r` c@mp imprimat (omogene): 0=E


Teorema poten\ialului electrostatic

Poten\ialul electrostatic Defini\ie: O func\ie scalar` de punct ),,()( zyxr ϕϕ =

se nume]te poten\ialul unui c@mp de vectori

GzkGyjGxizyxGrG ++== ),,()(dac` exist` rela\iile:

zGz

yGy

xGx

∂∂ϕ

∂∂ϕ

∂∂ϕ

−=−=−= ;;

Se nume]te gradient al unei func\ii scalare φ , un c@mp de vectori care are drept componente carteziene, derivatele par\iale ale func\iunii φ.


Rela\iile se mai scriu restr@ns C@mpul electrostatic este un c@mp poten\ial deci se poate scrie adic` sunt [ndeplinite rela\iile scalare

ϕgradG −=

VgradE −=

zVEz

yVEy

xVEx

∂∂

∂∂

∂∂

−=−=−= ;;

Func\iunea scalar` V(r) se nume]te poten\ialul electric al c@mpului electric E. Diferen\ala total` a poten\alului electrostatic este:

sdEdzzVdy

yVdx

xVgradVsddV −=++=⋅=

∂∂

∂∂

∂∂


Rezult` prin integrare rela\ia care exprim` poten\ialul electrostatic corespunz`tor intensit`\ii c@mpului electric E al unui corp:

)()( 00

pVsdEpVP

p+−= ∫

• Constanta V(po) depinde de alegerea originii poten\ialelor ]i se determin` preciz@nd valoarea poten\ialului [ntr-un punct din domeniu.

• Adesea punctual de referin\` se ia la infinit, iar poten\ialul lui V(po) se ia nul;

• dac` o astfel de alegere duce la valori infinite pentru poten\ial, punctul de referin\` nu poate fi luat la infinit


|in@nd cont de expresia intensit`\ii c@mpului electric rezult` poten\ialul (electrostatic) electric corespunz`tor c@mpului unui corp punctiform de sarcin` q situat [ntr-un dielectric omogen de permitivitate ε:

041 V

rqV +=

πεPrin superpozi\ie aceasta rela\ia se generalizeaz` pentru un sistem de corpuri punctiforme cu sarcinile qi:

∑=i i

i

rq

Vπε41


• [n c@mpul electrostatic tensiunea electric` [ntre dou` puncte este egal` cu diferen\a de poten\ial dintre aceste puncte.

21

2

1

2

112 VVdVsdEU −=−== ∫∫

Suprafe\e echipoten\iale

Suprafe\ele care con\in toate punctele de acela]i poten\ial se numesc suprafe\e echipoten\iale:

.),,( ctkzyxV ==


• Se poate ar`ta c` vectorul c@mp este normal [n fiecare punct din c@mp pe o suprafa\` echipoten\ial` care trece prin punctul considerat.

•Dac` se consider` dou` puncte infinit apropiate pe o aceea]i suprafa\` echipoten\ial` , astfel [nc@t s` fie raza vectoare a unui punct [n raport cu cel`lalt, trebuie s` se satisfac` condi\ia ca diferen\iala total` s` se anuleze

kzyxV =),,(sd

sdEdzzVdy

yVdx

xVgradVsddV −=

∂∂

+∂∂

+∂∂

==

adica 0=dV sau 0=gradVsd•rezult` c` toate elementele de arc con\inute [ntr-o suprafa\` echipoten\ial` sunt normale pe valoarea local` a vectorului intensitate c@mp electric astfel [nc@t cosinusul unghiului celor doi vectori ]i s` fie nul.


n figura cu linie plin` s-au reprezentat liniile echipoten\iale iar cu linie punctata s-au reprezentat liniile de c@mp. Deci toate elementele de arc cuprinse intr-o suprafa\` echipoten\ial` sunt

normale pe direc\ia local` a vectorului intensitate c@mp electric E •Liniile de c@mp sunt, deci, traiectorii ortogonale ale suprafe\elor echipoten\iale.


Teorema poten\ialului electrostatic ]i consecin\ele ei

Enun\: Circula\ia intensit`\ii c@mpului electric este nul` pe orice curb` [nchis` Γ.

0=∫Γ

sdE

Consecin\e: • n c@mpul electrostatic nu exist` linii de c@mp [nchise.

Dem. Presupun@nd c` ar exista linii de c@mp [nchise ca [n figura, ar rezulta, aplic@nd rel.de mai sus acestor curbe

0=⋅= ∫∫ΓΓ

dsEsdE


sdE , ceea ce este absurd deoarece unde

0>=⋅ sdEsdE]i o sum` de termeni pozitivi nu poate fi nul`.

•n concluzie, liniile de c@mp sunt deschise.

•Ele [ncep acolo unde sunt sarcini pozitive ]i sf@r]esc acolo unde sunt sarcini negative


• 2. n c@mpul electrostatic tensiunea electric` [ntre dou` puncte nu depinde de drum.

Dem. Consider@nd figura se poate scrie, integr@nd pe conturul punctat [n sensul s`ge\ii,

01

)(2

2

)(1)(,2),(,1

2121

=+== ∫∫∫∫Γ

CCCC

sdEsdEsdEsdE

sau

∫ ∫∫ =−==1

)(2

2

)(1

2

)(1

12

2 21 C CC

sdEsdEsdEU


Dielectrici ]i caracterizarea lor

• Dup` cum s-a ar`tat, dielectricii sau izolan\ii electrici sunt materialele care transmit starea de electrizare [ntr-un interval de timp foarte mare. • n cazul dielectricilor liniari ]i izotropi exist` rela\ia

EED rεεε 0==Valorile permitivit`\ii relative pentru c@teva materiale dielectrice uzuale sunt date [n tabelul urmator


•Exist` ]i materiale la care dependen\a induc\iei [n func\ie de intensitatea c@mpului electric D=f(E) este neliniar`, variind ciclic [ntre ]i form@nd un ciclu de histerezis, parcurs [n sensul indicat de s`ge\i, ca [n figura.

Aceste materiale se numesc feroelectrice. De exemplu: titanatul de bariu, tetrahidratul de potasiu, etc.


•O alt` m`rime care caracterizeaz` izolan\ii electrici este rigiditatea dielectric`. - Rigiditatea dielectric` este valoarea intensit`\ii c@mpului electric din material la dep`]irea c`reia materialul []i pierde calit`\ile de izolant . n tabelul urmator sunt date rigidit`\ile dielectrice ale unor materiale uzuale.

• Ed se mai nume]te ]i tensiune de str`pungere. Ed depinde de natura materialului electroizolant ]i este puternic influen\at` de al\i factori cum ar fi umiditatea temperatura si presiunea


CONDITIA DE ECHILIBRU ELECTROSTATIC

• La atingerea st`rii de echilibru electrostatic (adic` lipsa unui curent electric) se constat` urm`toarele: 1. - [n interiorul conductoarelor omogene sau neaccelerate intensitatea c@mpului electric se anuleaz`; 2. - [n conductoarele neomogene sau accelerate intensitatea c@mpului electric ia anumite valori, independente de c@mpul electric exterior [n care este plasat conductorul ]i determinate numai de starea fizico-chimic` local` ]i de natura conductorului. condi\ia de echilibru electrostatic este exprimat` de rela\ia:

0=+ iEE


n aplica\ii intereseaz` [n primul r@nd conductorii omogeni.

n acest caz Ei=0 ]i condi\ia de echilibru electrostatic devine

0=EDeoarece intensitatea c@mpului electric este nul` [n interiorul conductoarelor omogene ( ), conform

rela\iei rezult` c` ]i induc\ia electric` este nul` .

E0=P

ED 0ε=

0=D


Consecin\e: a) Toate punctele din interiorul conductorului au acela]i poten\ial. Scriind rela\ia tensiunii [ntre oricare dou` puncte 1 ]i 2 din interiorul conductorului rezult`:

∫ ==−=2

12112 0dsEVVU

pentru c` ]i deci V1=V2 pentru oricare puncte 1 ]i 2 din interiorul conductorului omogen.

n consecin\` suprafa\a conductorului este o suprafa\` echipoten\ial`.

0=E


b) Liniile c@mpului electric exterior sunt perpendiculare pe suprafa\a conductorului omogen. Fie o suprafa\` de discontinuitate ]i un mic contur ca [n figura. Aplic@nd teorema poten\ialului ]i scriind integrala de linie a vectorului intensitate a c@mpului electric [n lungul conturului rezult`:

0)(0 12 =−∆+∆⇒=∫Γ

tlEtlEsdE

deoarece [n`l\imea micului dreptunghi este infinit mic` fa\` de dimensiunea ∆l. Deci:

0)( 12 =− EEt

21 tt EE =sau:


Deci din teorema poten\ialului rezult` c` valoarea componentei tangen\iale a lui E este aceea]i pe ambele fe\e ale suprafe\ei de discontinuitate. Cum E=0 [n interiorul conductorului, rezulta Et1= Et2. Deci c@mpul electric la suprafa\a exterioar` a unui conductor omogen nu are component` tangen\ial` ci numai component` normal`.


c) Sarcina electric` este repartizat` superficial [n cazul conductorilor omogeni. Cu alte cuvinte: Sarcina din interiorul conductorului este nul`. Demonstra\ie: Din legea fluxului electric, [n conductorul omogen, pe orice suprafa\` [nchis` Σ:

∫∫ ∫∫Σ

ΣΣ

=== qAdEAdD 00ε

n conductorii omogeni polariza\ia este nul` P=0 ]i deci

Cum [n interiorul conductorilor omogeni , rezult` c` integrala este nul` ]i deci:

ED 0ε=0=E

0=Σq


c) Efectul de ecran. Liniile de c@mp electric din exteriorul unui conductor nu p`trund [n interiorul unui gol existent [n conductor. Dem: Presupunem c` ar exista linii de c@mp [n golul din conductor aceste linii nu pot fi [nchise deci pleac` dintr-un punct 1 ]i ajung [ntr-un punct 2 al fe\ei interioare a golului, ca [n figura. Tensiunea [n lungul unei astfel

de linii interioare este:

02

1

2

112 ≥⋅== ∫∫ sdEsdEU


• Dar suprafa\a unui conductor omogen este o suprafa\` echipoten\ial` deci

02112 =−= VVU• Pentru oricare puncte 1 si 2 cere apartin acestei suprafete.

• [n consecin\` [n fiecare punct din interiorul conductorului omogen

0=EFenomenul de ecranare electrostatic` se aplic` la ecranarea unor incinte [n care este necesar` protec\ia echipamentelor ]i instala\iilor electrice [mpotriva influen\elor perturbatoare ale unor c@mpuri electrice exterioare


Ecranarea este eficace, de]i par\ial`, chiar [n cazul [n care conductorul (ecranul) nu este o suprafa\` [nchis`, dar este legat la p`m@nt. n figura, C este

un conductor [nc`rcat la tensiunea U fa\` de p`m@nt iar P este zona ecranat` de ecranul E. Este figurat spectrul liniilor c@mpului electric din incint`.

ELECTROTEHNICA




CUPRINS

1. Condensatorul electric ]i capacitatea sa

2. Capacitatea condensatorului electric

3. Condensatorul plan

4. Condensatorul cilindric

5. Teoremele capacit`\ilor echivalente

6. Energia ]i for\ele [n c@mp electrostatic

7. Aplicatii


Condensatorul electric ]i capacitatea sa

Defini\ie:

• Condensatorul electric este un sistem format din dou` conductoare omogene [nc`rcat cu sarcinile electrice q1 ]i q2, egale ]i de nume contrare: q1=q ]i q2=-q .

• Conductoarele se numesc arm`turi, [ntre ele g`sindu-se dielectrici omogeni sau neomogeni dar ne@nc`rca\i ]i f`r` polariza\ie permanent`, adic`

]i . 0=Vρ 0=pP


Capacitatea condensatorului electric

Defini\ie: Capacitatea electric` a condensatorului este raportul dintre sarcina uneia dintre arm`turi ]i diferen\a de poten\ial dintre ele

Uq

Uq

Uq

VVqC

D===

−=

21

2

12

1

21

1

Unitatea de m`sur` a capacit`\ii este faradul (F). F este capacitatea unui condensator care [nc`rcat cu sarcina de 1 C Coulomb stabile]te [ntre arm`turile sale o tensiune de 1 Volt (1 V).


Condensatorul plan

Fie un condensator plan ca [n figura cu arm`turile plane, paralele ]i apropiate, desp`r\ite de un dielectric de permitivitate ε ]i grosime d.

Pe fiecare arm`tur` sarcina electric` se repartizeaz` practic uniform pe suprafa\a dinspre dielectricul separator cu densitate

Aq

s =ρ


Aplic@nd legea fluxului electric suprafe\ei Σ:

qADdADAdD ∆=∆=⋅==Ψ ∫∫ ∫∫Σ

Σ

respectiv: Aq

AqD s ==

∆∆

= ρ

Rezult` expresia intensit`\ii c@mpului electric

AqDE

εε==


Tensiunea electric` [ntre cele dou` arm`turi [n lungul unei linii de c@mp este:

∫ ∫ ===2

1

2

112 EdEdssdEU

respectiv: A

qdUε

=

Rezult` capacitatea condensatorului plan conform rela\iei de defini\ie:

dA

UqC ε

==


Condensatorului cilindric

Arm`turile condensatorului sunt doi cilindri coaxiali de raze a ]i b, b>a, de lungime l [ntre care exist` un dielectric de permitivitate ε.

Din motive de simetrie liniile de c@mp au direc\ie radial`.

Fie un condensator cilindric ca [n figura


Se aplic` legea fluxului electric pe suprafa\a format` dintr-un cilindru coaxial de raz` r, a<r<b ]i lungime l:

∫∫ ∫ ∫ ∫Σ

Σ =⋅=++==Ψ qrlDAdDAdDAdDAdDb tlS B S

π21 2 0

Rezult`:

rlqDπ2

=

Intensitatea c@mpului electric este rl

qDEπε 2

==Tensiunea [ntre cele dou` arm`turi calculat` de-a lungul unei linii de c@mp

ab

lq

rdr

lqEdrsdEU

b

a

ln22

2

1

2

1 πεπε==== ∫ ∫∫


rezult` capacitatea

ab

lUqC

ln

2πε==

Din rela\ia de mai sus se deduce expresia capacit`\ii pe unitatea de lungime (F/m), utilizat` [n cazul cablurilor monofilare (coaxiale):

abl

CCs

ln

2πε==


Teoremele capacit`\ilor echivalente

n cazul unei re\ele de condensatoare, cu dou` borne A ]i B de acces se nume]te capacitate echivalent` m`rimea:

ABe U

qC =

Capacitatea echivalent` a unei re\ele de condensatoare este deci capacitatea unui condensator care, fiind supus la aceea]i tensiune ca ]i sistemul de condensatoare, se [ncarc` cu acee]i sarcin` ca ]i sistemul dat.


Condensatoare legate [n paralel

Fie un sistem de n condensatoare conectate [n paralel ca [n figura. Sarcina totala este egala cu suma sarcinilor celor n condensatoare

nqqqq +++= ...21

nlocuind sarcina

ABnABABABe UCUCUCUC +++= ...21


simplific@nd cu UAB rezult`

∑=

=n

kke CC

1

Enun\: Capacitatea echivalent` a n condensatoare conectate [n paralel este egal` cu suma capacit`\ilor condensatoarelor interconectate


Condensatoare legate [n serie

Fie un sistem de condensatoare conectate [n serie ca [n fig. Tensiunea la bornele A-B este egal` cu suma c`derilor de tensiune pe cele n condensatoare:

nAB UUUU +++= ...21nlocuind tensiunea rezulta:

ne Cq

Cq

Cq

Cq

+++= ...21


]i simplific@nd cu sarcina q rezult`:

∑=

=n

k ke CC 1

11

Enun\:

Valoarea reciproc` a capacit`\ii echivalente a n condensatoare conectate [n serie este egal` cu suma valoarilor reciproce ale capacit`\ilor condensatoarelor.


Energia ]i for\ele [n c@mp electrostatic

Energia [n c@mp electrostatic

St`rii de electrizare a corpurilor [i corespunde o anumit` energie numit` energia c@mpului electrostatic. Aceast` energie este egal` cu lucrul mecanic cheltuit pentru a aduce treptat, p@n` la realizarea st`rii finale, a tuturor particulelor electrizate din domeniu, pornind de la o stare ini\ial` [n care c@mpul electric este nul [n orice punct.


Se consider` c@mpul electrostatic creat de n conductoare [nc`rcate cu sarcinile electrice q1, q2,….qn ]i aflate la poten\ialele V1, V2….Vn.

Energia electrostatic` este dat` de rela\ia:

∑=

=n

kkke qVW

121

n particular pentru un condensator de capacitate C rezult` q1=q, q2=-q ]i, V1-V2=U deci:

∑=

=n

kkke qVW

121 ∑

=

=n

kkke qVW

121

CqCUqUVVqWe

22

21 21

21

21)(

21

===−=


For\ele [n c@mp electrostatic

• For\ele care se exercit` asupra corpurilor [n c@mp electric s-ar putea calcula cu formula lui Coulomb, [mp`r\ind suprafa\a sau volumul corpului [n p`r\i suficient de mici. •Exist` [ns` ]i o cale mai simpl` de calcul a for\elor globale, [n func\ie de modificarea energiei electrostatice a sistemului de corpuri utiliz@nd teoremele for\elor generalizate [n c@mp electrostatic.


Prima teorem`. Enun\: For\a generalizat` F, corespunz`toare coordonatei generalizate x, este egal` cu derivata cu semn schimbat a energiei (exprimat` [n func\ie de sarcini ]i de coordonate generalizate ) We=We(q,x) [n raport cu coordonata generalizat` x, la sarcini constante ale conductoarelor.

ctq

e

xW

F=

−=

∂∂


A doua teorem`.

Enun\:

For\a generalizat` F, corespunz`toare coordonatei generalizate x, este egal` cu derivata energiei (exprimat` ca func\ie de poten\iale ]i coordonata generalizat` ) We=We(V,x) [n raport cu coordonata generalizat`, la poten\iale constante ale conductoarelor.

ctV

e

xW

F=

=

∂∂


Aplica\ie: For\a cu care se atrag arm`turile unui condensator plan

Fie un condensator plan cu arm`turile de arie A ]i dielectric de grosime d cu permitivitatea ε. Se cere s` se determine for\a cu care se atrag arm`turile Rezolvare: Problema se rezolv` [n dou` moduri utiliz@nd pe r@nd ce dou` teoreme ale for\elor generalizate [n c@mp electrostatic. Cum for\a ac\ioneaz` [n sensul diminu`rii coordonatei generalizate . Energia [n func\ie de sarcini ]i de coordonate generalizate, lu@nd [n considerare capacitatea condensatorului plan este dat` de rela\ia:

dx −∂=∂

dA

qCqxqWe ε

22

21

21),( ==


Aplic@nd prima teorem` a for\elor generalizate [n c@mp electrostatic rezult`:

Aq

dd

Aq

xW

Fctq

e

ε∂∂

ε∂∂ 22

21

21

=

=

−=

=

Energia ca func\ie de poten\iale ]i coordonata generalizat`, lu@nd [n considerare capacitatea condensatorului plan, este dat` de rela\ia:

dAUCUxVWe

121

21),( 22 ε==


Aplic@nd a doua teorem` a for\elor generalizate [n c@mp electrostatic rezult`:

( )d

CUd

AUddAU

xWF

ctV

e2

2

22

21

21/1

21

==

−=

=

=

ε∂

∂ε∂

∂

Consider@nd relatiile de mai sus se constat` c` cele dou` teoreme conduc la acela]i rezultat.

Totodat` [n cazul condensatorului plan [ntre for\` ]i energie exist` rela\ia:

dW

F e=

ELECTROTEHNICA




CAPITOLUL 3. ELECTROCINETICA

CUPRINS 1. Starea electrocinetic` 2. Rela\iile fundamentale ale electrocineticii 3. Teorema poten\ialului electric sta\ionar ; consecinte 4. Forma integral` a legii conserv`rii sarcinii electrice 5. Teorema continuit`\ii liniilor de curent ; consetinte 6. Legea conduc\iei electrice (legea lui Ohm) ; Forma

local` a legii conduc\iei electrice 7. Forma integral` a legii conduc\iei electrice; Legea

lui Ohm 8. Legea transform`rii energiei [n conductori (legea

Joule-Lenz)


• Electrocinetica este partea Electrotehnicii care studiaz` st`rile electrice ale conductoarelor parcurse de curen\i electrici de conduc\ie.

Starea electrocinetic` ]i caracterizarea ei

Fie un element galvanic P cu bornele 1 ]i 2 al c`rui circuit exterior se poate [nchide printr-un lan\ de conductoare, ca in figura, cu ajutorul unui [ntrerup`tor I


Pentru exemplificare se presupune c` acest circuit exterior cuprinde: -un fir sub\ire ]i lung, bobinat pe un suport ]i a]ezat [ntr-un calorimetru K; - un voltametru V constituit din doi electrozi de aceea]i natur` (de exemplu din argint), cufunda\i [ntr-un electrolit (de exemplu o solu\ie diluat` de azotat de argint [n ap`); - o lamp` cu incandescen\` L; -o bar` MN rigid` ]i mobil` care poate aluneca f`r` frecare ]i f`r` s` se [ntrerup` circuitul pe dou` bare de contact paralele, etc -ntrerup`torul I fiind deschis, sistemul de corpuri descris se g`se]te [n starea de echilibru electrostatic, adic` nu exist` mi]care ordonat` a particulelor adic` curent electric de conduc\ie.


Dac` se [nchide circuitul cu [ntrerup`torul I, se constat` experimental c` lan\ul de conductori ajunge [ntr-o stare nou`, diferit` de starea de echilibru electrostatic ]i numit` stare electrocinetic`, [nso\it` de numeroase efecte. Cele mai importante efecte care [nso\esc starea electrocinetic` sunt: a) efecte mecanice - exercitare de for\e ]i momente asupra por\iunilor de conductor care se g`sesc [n stare electrocinetic` (de exemplu for\a asupra bornei MN); - exercitare de for\e ]i momente asupra corpurilor magnetizate care sunt aduse [n prezen\a conductoarelor aflate [n stare electrocinetic` (de exemplu cuplul C asupra acului magnetic al busolei B); Observa\ie: Efectele mecanice pun [n eviden\` faptul c` prin aducerea conductoarelor [n stare electrocinetic` se produce [n jurul lor un c@mp numit c@mp magnetic.


b) efecte chimice - reac\ii de electroliz` (adic` reac\ii de descompunere a solu\iilor de electroli\i (de exemplu [n voltametrul V) [n urma c`rora la catod (adic` polul negativ) se depune metalul (de exemplu argintul) provenit din descompunerea solu\iei, iar anodul (electrodul legat la polul pozitiv) se dizolv` [n solu\ie. c) efecte calorice - dezvoltarea de c`ldur` [n conductoarele parcurse de curent (de exemplu firul bobinat imersat [n calorimetrul K); d) efecte luminoase - [n l`mpile electrice cu incandescen\` (de exmplu [n lampa L).

• Efectele enumerate caracterizeaz` at@t st`rile sta\ionare c@t ]i st`rile nesta\ionare


n cazul st`rilor nesta\ionare la efectele enumerate care caracterizeaz` at@t st`rile sta\ionare c@t ]i st`rile nesta\ionare se adaug`: e) efectele electrice - varia\ia sarcinii electrice a conductoarelor care se g`sesc [n stare electrocinetic` variabil` [n timp. Dac` se inverseaz` leg`turile la electrozii elementului galvanic, efectele chimice ]i [n parte cele mecanice []i schimb` sensul pe c@nd efectele calorice ]i luminoase (cu pu\ine excep\ii) r`m@n neschimbate. Experien\a arat` c` existen\a unui c@mp electric [n conductoare determin` o stare specific` a cestora, denumit` stare electrocinetic`.


• n aceast` stare, conductoarele sunt sediul unor transform`ri energetice, puse [n eviden\` prin efecte mecanice, termice, magnetice ]i chimice. • Absen\a sau prezen\a efectelor chimice [n conductoarele aflate [n stare electrocinetic` conduce la clasificarea acestora [n conductoare de ordinul [nt@i ]i de ordinul doi.


Tensiunea electromotoare ]i curentul electric Defini\ie: Se nume]te tensiune electromotoare de contur integrala de linie a sumei dintre intensitatea c@mpului electric ]i intensitatea c@mpului electric imprimat [n lungul unei curbe [nchise Γ:

( )∫Γ

ΓΓ +== dsEEue ie

0=+ iEEn regim electrostatic, (condi\ia de echilibru electrostatic) [n interiorul conductoarelor, ]i de aceea tensiunea electromotoare de contur este nul` pentru orice curb` [nchis` dus` numai prin interiorul conductoarelor.


n regim sta\ionar, sarcinile electrice au o reparti\ie invariabil` [n timp ]i c@mpul electric E este un c@mp coulombian pentru care este valabil` teorema poten\ialului, adic`

0=∫Γ

dsE

( ) 0≠=+= ∫∫ΓΓ

Γ dsEdsEEe ii

•[n acest regim tensiunea electromotoare de contur este dat` numai de c@mpul electric imprimat •aducerea lan\ului de conductoare din figura 2.1 in stare electrocinetic` este o consecin\` a faptului c` tensiunea electromotoare este diferit` de zero pentru conturul [nchis considerat.


• un conductor [n stare electrocinetic` este parcurs de curent electric de conduc\ie.Starea electrocinetic` se caracterizeaz` prin m`rimea fizic` global` numit` intensitatea curentului electric de conduc\ie. • Intensitatea curentului electric este debitul de sarcini electrice transportate printr-o suprafa\` dat` S [n intervalul de timp dt, [ntr-un sens de referin\` dat dt

dqi s

s =

• Se consider` drept sens al curentului electric sensul de mi]care al particulelor libere [nc`rcate pozitiv, respectiv sensul opus sensului de mi]care al particulelor libere [nc`rcate negativ.n metale, unde particulele libere sunt negative (electronii), sensul curentului este deci opus sensului de mi]care al particulelor libere.


• curentul electric se poate defini ]i ca fluxul densit`\ii curentului electric printr-o suprafa\` dat` S:

• Liniile c@mpului de vectori J, densitatea curentului electric, se numesc linii de curent. • Unitatea de m`sur` a intensit`\ii curentului electric este amperul [A] definit direct [n raport cu efectele sale ponderomotoare (mecanice). • Unitatea de m`sur` a densit`\ii de curent este amperul pe metru p`trat [A/m2]. • n practic` se mai utilizeaz` ]i multipli : 1 A/mm2 = 106 A/m2 ]i 1 A/cm2 = 104 A/m2.

∫∫ ⋅=S

S AdJi


Rela\iile fundamentale ale electrocineticii • Rela\iile fundamentale ale electrocineticii rezult` prin particularizarea legilor c@mpului electromagnetic [n urm`toarele condi\ii:

• conductoarele sunt imobile v=0;

•polariza\ia conductoarelor este nul` P=0 ]i

•m`rimile nu variaz` [n timp d*/dt=0. n electrocinetic` r`m@n valabile urm`toarele rela\ii din electrostatic`: 1 - legea leg`turii dintre D, E ]i P(induc\ia electric`, intensitatea c@mpului electric ]i polariza\ia electric`);

PED += 0ε


-2- legea polariza\iei electrice temporare –

care pentru materiale f`r` polariza\ie permanent` se poate pune sub forma cu observa\ia c` [n metale deci polariza\ia electric` a conductorilor poate fi neglijat` 3 - legea fluxului electric. Alte legi ]i teoreme cap`t` forme sau interpret`ri noi 4 - teorema poten\ialului electric sta\ionar form` particular` a legii induc\iei electrice;

ED ε= 0εε ≈

ED 0ε=

ΣΣ = qψ

EP et χε0=

0=∫Γ

dsE


5 - legea conserv`rii sarcinii electrice; 6 - legea conduc\iei electrice care reprezint` generalizarea condi\iei de echilibru electrostatic. Se adaug` o lege nou`: 7 - legea transform`rii energiei [n conductori parcur]i de curent electric.

0=−= ΣΣ dt

dqi

JEE i ρ=+

JEE i ρ=+

JEp j ⋅=


Teorema poten\ialului electric sta\ionar Regimul electrocinetic sta\ionar are urmatoarele caracteristici • densitatea curentului electric de conduc\ie este nenul` • densitatea curentului electric de conduc\ie este invariabil` [n timp (curent continuu), respectiv de condi\ia ca un conductor s` se g`seasc` [n stare electrocinetic` este

0≠J

0≠+ iEECurentul electric [n regim sta\ionar se nume]te curent continuu.


Teorema poten\ialului electric sta\ionar Teorema are aceea]i form` ca ]i teorema poten\ialului electrostatic ]i are enun\ul urm`tor: Tensiunea electromotoare a c@mpului electric (adic` integrala de linie pe o curb` [nchis` a vectorului c@mp electric) este nul` de-a lungul oric`rei curbe [nchise:

∫Γ

= 0sdE


Consecin\e: • Tensiunea electric` nu depinde de drum:

∫ −==2

12112 VVUsdE

• Se poate defini [n fiecare punct un poten\ial electric:

∫−=P

P

sdEPVPV0

)()( 0

• Vectorul intensitatea c@mpului electric E deriv` din acest poten\ial:

VgradE −=


•n regim electrocinetic sta\ionar suprafe\ele conductoarelor nu sunt suprafe\e echipoten\iale ca [n regimul electrostatic.


• n conductoarele parcurse de curent continuu intensitatea c@mpului electric E nu este nul`.

• Conservarea componentelor tangen\iale ale lui E la suprafa\a de separa\ie a dou` medii diferite impune [nclinarea liniilor de c@mp fa\` de normal` ca [n figura de mai sus.

• Aceasta este consecin\a faptului c` [n regim electrocinetic nu mai este valabil` condi\ia de echilibru electrostatic ci este valabil` legea lui Ohm.


Teorema continuit`\ii liniilor de curent

•n regim electrocinetic sta\ionar sarcina q este constant` ]i legea conservarii sarcinii electrice are o forma particulara ce constituie teorema continuit`\ii liniilor de curent :

∫∫Σ

Σ == 0AdJi

•Enun\: Intensitatea curentului continuu care trece printr-o suprafa\` [nchis` este nul` (socotind pozitivi curen\ii care ies ]i negativi pe cei care intr`). •Alt` formulare a enun\ului: Intensitatea curentului continuu care intr` efectiv [ntr-o suprafa\` [nchis` este egal` cu intensitatea curentului continuu care iese efectiv din acea suprafa\`. •Liniile de curent nu au [nceput ]i nici sf@r]it; curentul electric continuu circul` numai pe cì [nchise.


Consecin\ele teoremei continuit`\ii liniilor de curent • Curentul continuu este acela]i de-a lungul unui tub de curent ]i [n particular de-a lungul unui conductor electric

Demonstra\ie: Fie un tub de linii de curent (de linii ale densit`\ii de curent) ca [n figura. Aplic@nd teorema continuit`\ii liniilor de curent pe suprafa\a ]i \in@nd cont c` pe , deci rezult`:

ΣlatS nJ ⊥ 0=⋅ nJ

∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫Σ

Σ =+−=+⋅+⋅== 021

21

latS SS

iidAnJdAnJdAnJAdJi

21 ii =sau


• La suprafa\a unui conductor str`b`tut de curent continuu densitatea de curent este tangen\ial`.

0=⋅= nJJ nDemonstra\ie: Fie un domeniu cilindric plat [nchis de suprafa\` , ca in figura de mai jos Σ


Fluxul vectorului J care str`bate suprafa\a inchisa , cu [n vid, este:

Σ0=J

Cum este aria suprafe\ei deci rezult`: A∆

∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫Σ

Σ =+=⋅=2 11 S SS

AdJAdJAdJAdJi

Respectiv:

( ) 011

=∆⋅⋅=⋅== ∫∫∫∫Σ AnJdAnJAdJiSS

1S 0≠∆A

0=⋅ nJ


c) La trecerea printr-o suprafa\` de discontinuitate [ntre doi conductori se conserv` componenta normal` a densit`\ii de curent. Demonstra\ie: Fie o suprafa\` [nchis` de forma unui cilindru aplatizat ca in figura de mai jos.

Σ

ΣScriind fluxul lui J prin rezult`:

0212121 =∆+∆ AJnAJnsau cu

rezult`:

1221 nn −=

0)( 1212 =− JJn

21 nn JJ =adic`


Legea conduc\iei electrice (legea lui Ohm)

• Factorul de propor\ionalitate este o m`rime de material numit` rezistivitatea materialului, care depinde de natura acestuia, de temperatur`, etc. • Dependen\a de temperatur` [ntr-o prim` aproxima\ie (adic` dac` diferen\ele de temperatur` sunt mici) este dat` de rela\ia:

JEE i ρ=+ρ

( )[ ]000 1 TT −+= αρρ este rezistivitatea la temperatura de referin\` ;

este coeficientul de temperatur` al rezistivit`\ii la temperatura de referin\` .

0ρ0α

0T

0T


n tabelul urmator se prezint` ]i la ale unor materiale uzuale [n electrotehnic`.

0ρ 0α C020

Conductivitatea electric` este m`rimea egal` cu valoarea reciproc` a rezistivit`\ii

σ

ρσ 1=


Forma integral` a legii conduc\iei electrice

Se consider` o por\iune de circuit filiform [n care este inclus` ]i o surs` de tensiune ca in figura. Integrala de linie a sumei de-a lungul curbei (C) care coincide cu axa conductorului (de-a lungul firului) este:

iEE +

( )∫ ∫=+2

1

2

1

sdJsdEE i ρ

Se noteaz`:

•tensiunea electric` [n lungul firului • tensiunea electric` imprimat`

• rezisten\a electric` a conductorului [ntre punctele 1 ]i 2

∫=2

112

sdEu f

∫=2

112

sdEe ii

∫=2

112 A

dsR ρ


∫ ∫ ∫ ∫ ====2

1

2

1

2

1

2

112Ri

Adsids

AidsJsdJ ρρρρ

Cu aceste nota\ii termenul al doilea al ecuatiei devine:

Rezult` forma integral` a legii conduc\iei electrice:

iReu if =+Enun\: Pentru o por\iune oarecare neramificat` de circuit filiform, suma dintre tensiunea electric` luat` [n lungul firului ]i tensiunea imprimant` a surselor ce se g`sesc [n acea por\iune de circuit este egal` cu produsul dintre intensitatea curentului ]i o m`rime caracteristic` circuitului numit` rezisten\` electric`.


Legea lui Ohm • Legea conduc\iei electrice este valabil` at@t [n curent continuu c@t ]i [n curent variabil [n timp. • n curent continuu (adic` [n regim sta\ionar) conform teoremei poten\ialului electric sta\ionar tensiunea electric` nu depinde de drum ci numai de punctele extreme:

∫ −===2

121 VVsdEuu bf

este tensiunea [ntre bornele 1 ]i 2 ale conductorului ub

Legea lui Ohm; enun\: Tensiunea electric` la bornele unui circuit pasiv (f`r` surse) de curent continuu este egal` cu produsul dintre intensitatea curentului ]i rezisten\a circuitului: iRub =


n cazul unui conductor omogen ]i de sec\iune constant` rezisten\a electric` este

AlR ρ=

Conductan\a electric` notat` cu G, este m`rimea egal` cu valoarea reciproc` a rezisten\ei

lA

lA

RG

ρσ 11

===

Unitatea de m`sur` a rezisten\ei se nume]te ohm ]i este rezisten\a unui conductor prin care un curent continuu de un amper determin` o c`dere de tensiune

de un volt: AV

111 =Ω


• Unitatea de rezistivitate este ohm*metru .

• Aceast` unitate fiind prea mare se utilizeaz` uzual o alt` unitate

mΩ

mmm2

Ω mmmm

26101 Ω=Ω

• Unitatea de m`sur` pentru conductan\` rezult` din unitatea de rezisten\` ]i se nume]te siemens

111 −Ω=S• Unitatea de conductivitate se deduce din unitatea de conductan\` ]i se nume]te siemens pe metru

1111 −−Ω= mmS


Legea transform`rii energiei [n conductoare (legea Joule-Lenz). Forma integral` a legii .

Integr@nd expresia formei locale a legii pe volumul V al unei por\iuni de conductor filiform cu sec\iunea A ca in

figura, rezult` puterea total` cedat` de c@mpul electro-magnetic conductorului [n

procesul de conduc\ie a curentului electric:

∫∫∫ ∫∫∫==V V

jJ dvJEdvpP

∫ ∫ ∫===2

1

2

1

2

1

sdEidsiEdsAJEPJ


Dar integrala este tensiunea electric` [n lungul firului ]i rezult`: iuP fJ =

• Rela\ia reprezint` forma integral` a legii cu enun\ul: Puterea total` cedat` de c@mpul electromagnetic unei por\iuni de conductor filiform, [n procesul de conduc\ie electric`, este egal` cu produsul dintre intensitatea curentului ]i tensiunea [n lungul firului.

Consider@nd legea conduc\iei electrice sub form` integral` rezult`:

ieRiP iJ −= 2gJ PRiP −= 2


• Primul termen din membrul drept al legii este puterea disipat`. Puterea disipat` (m`surat` [n W) este puterea dezvoltat` ireversibil sub form` de c`ldur` [n conductoare ]i este egal` cu produsul dintre rezisten\a conductorului ]i p`tratul intensit`\ii curentului (legea Joule-Lenz)

• Al doilea termen din membrul drept al legii este puterea generat`. Puterea generat` este puterea adus` [n circuit de sursa de tensiune electromotoare ei, care debiteaz` curentul de intensitate i, egal` cu produsul acestor dou` m`rimi: ieP ig ⋅=

Ru

RiP bR

22 ==

n aceast` expresie, ei se ia pozitiv c@nd are sensul curentului ]i negativ [n caz contrar Dac` Pg>0, (adic` ei ]i i au acela]i sens efectiv [n fig.a) sursa produce energie (exemplu: pila electric`).

Dac` Pg<0 (adic` ei ]i i au sensuri efective opuse [n fig.b) atunci sursa prime]te energie (exemplu:

un acumulator care se [ncarc`).

ELECTROTEHNICA



Circuite electrice reziztive (de curent continuu)


Cuprins:

• 2. Elemente de circuit;

• 3. Elemente de topologie a circuitelor • 4. Elemente dipolare de circuit

• 5.Teoremele lui Kirchhoff, Tellegen, Vaschy.

Electrotehnica

C. V. Marin

• Un sistem de corpuri prin care poate trece curentul electric se nume]te circuit electric. • Circuitul electric con\ine surse ]i consumatoare (receptoare) de energie electric`. • Un ansamblu de circuite electrice formeaz` o re\ea electric`. • ipotezele de studiu sunt: - circuitele sunt filiforme (adic` suficient de sub\iri pentru ca intensitatea curentului s` poat` fi considerat` uniform repartizat` pe sec\iunea lor) - liniare , adic` av@nd laturi cu rezisten\e constante, independente de valorile curen\ilor.

Electrotehnica

C. V. Marin

Rela\iile fundamentale ale electrocineticii au urm`toarele forme: • teorema poten\ialului electric sta\ionar. • teorema continuit`\ii liniilor de curent

rel.este o form` particular` a legii conserv`rii sarcinii; •legea conduc\iei electrice

sau pentru

∫ ==Γ 0sdEu

∫∫Σ

Σ == 0AdJi

Rieu f =+Riub = 0=e

Electrotehnica

C. V. Marin

• puterea Joule-Lenz dispat` [ntr-un rezistor. • puterea produs` de un generator de tensiune electromotoare • Ultimele doua relatii sunt forme particulare ale legii transform`rii energiei [n conductori. • Primele trei rela\ii permit determinarea curen\ilor c@nd se cunosc t.e.m. ale surselor care produc curen\ii ]i rezisten\ele receptoarelor cu ajutorul unor consecin\e.

2RiPk =

eiPg =


2. Elemente de circuit

• In foarte multe domenii tehnice cum sunt: sistemul electroenergetic, calculatoare, sistemele de telecomunicatii, aparatura audio sau TV, un rol de maxima importanta il joaca circuitele electrice. • Un circuit fizic este o multime de dispozitive electrice interconectate: rezistoare, bobine, condensatoare, diode, tranzistoare, amplificatoare operationale, baterii, transformatoare, motoare electrice, generatoare electrice si altele. • Teoria circuitelor foloseste relatii matematice care descriu comportarea electrica a acestor circuite fizice. • Unui circuit fizic format din dispozitive electrice i se asociaza un circuit electric alcatuit din modele idealizate care se numesc elemente (ideale) de circuit.



• Un element de circuit modeleaza un singur fenomen fizic descris de o relatie matematica simpla intre tensiunile si curentii bornelor. • Daca elementul are doua borne, este parcurs de curentul i(t), si are tensiunea u(t) intre borne atunci: - rezistorul ideal caracterizat de relatia u(t)=Ri(t) modeleaza efectul rezistiv, - bobina ideala caracterizata de relatia u(t)=Ldi(t)/dt modeleaza efectul inductiv, - condesatorul ideal caracterizat de relatia i(t)=Cdu(t)/dt modeleaza efectul capacitiv, unde u si i sunt functii de timpul t iar R, L si C sunt constante in raport cu u(t) si i(t).

Electrotehnica

C. V. Marin

• Orice circuit electric, este un model ce teprezinta o aproximatie a circuitului fizic. • De exemplu o bobina este realizata prin infasurarea unui conductor pe un suport ceramic. Daca efectul rezistiv si cel capacitiv, sunt neglijate in raport cu cel inductiv, si se poate lua in considerare numai efectul inductiv, elementul este modelat printr-o bobina ideala. • Daca rezultatele teoretice obtinute in urma analizei circuitului electric corespund cu rezultatele practice obtinute in urma masuratorilor facute asupra circuitului fizic inseamna ca modelul este corect. • Comportarea unui dispozitiv electric poate fi aproximata prin mai multe modele (scheme echivalente) in functie de conditiile de lucru (semnale mari sau semnale mici, gama de frecvente a semnalelor utilizate, gama temperaturilor de


functionare etc.).

Electrotehnica

C. V. Marin

• Fenomenele electromagnetice se propaga cu o viteza aproximativ egala cu viteza luminii in vid c=3 108 m/s. • Propagarea dupa directia celei mai mari dimensiuni dmax a circuitului fizic introduce o intarziere Dt=dmax/c. • Daca Dt este neglijabil fata de cea mai mica perioada Tmin=1/fmax (unde fmax estefrecventa maxima) a unui semnal de interes practic, efectul de propagare poate fi neglijat. • In acest caz se poate considera ca semnalele se propaga instantaneu (cu viteza infinita) si un astfel de model se numeste circuit electric cu parametri concentrati.


Electrotehnica

C. V. Marin

2. Elemente de circuit • Daca efectul de propagare nu se poate neglija circuitul

fizic se modeleaza cu un circuit electric cu parametri distribuiti. • Intr-un circuit cu parametri distribuiti curentii si tensiunile sunt functii de timp si de variabile spatiale; comportarea circuitului este influentata de pozitia relativa a dispozitivelor electrice. • Intr-un circuit cu parametri concentrati, admitand ca propagarea se face instantaneu, curentii si tensiunile sunt functii numai de timp nu si de variabile spatiale; un astfel de model nu tine seama de pozitia relativa a dispozitivelor electrice. • Fiind mai simplu, modelul de circuit cu parametri concentrati este de preferat atunci cand poate fi utilizat.

Electrotehnica

C. V. Marin

• Un sistem de corpuri prin care poate trece curentul electric se nume]te circuit electric. • Circuitul electric con\ine surse ]i consumatoare (receptoare) de energie electric`. • Un ansamblu de circuite electrice formeaz` o re\ea electric`. • Pentru studiul circuitelor de curent continuu sunt utilizate urmatoarele ipoteze: - circuitele sunt filiforme , adic` suficient de sub\iri pentru ca intensitatea curentului s` poat` fi considerat` uniform repartizat` pe sec\iunea lor; - circuitele sunt liniare , adic` av@nd laturi cu rezisten\e constante, independente de valorile curen\ilor. • Comportarea unui element de circuit este descrisa de relatiile intre curentii bornelor (terminalelor) si tensiunile intre aceste borne. • Daca elementul de circuit are n borne (terminale), el se numeste n-pol (cu 2 borne - dipol, cu 3 borne - tripol, cu 4 borne - cuadripol).

Electrotehnica

C. V. Marin

Asocierea sensurilor de referin\` [n circuitele electrice

• u si i sunt asociate dupa regula de la receptoare atunci cand sagetile curentului si tensiunii "ies din aceeasi borna".

• Un curent al unui terminal are un sens de referinta simbolizat printr-o sageata; o tensiune intre doua borne are un sens de referinta simbolizat prin alta sageata.

• Conven\ia este denumit` astfel deoarece puterea la borne Pb=ui este efectiv primit` de latur` c@nd este pozitiv` (]i efectiv cedat` c@nd este negativ`).

Electrotehnica

C. V. Marin

Asocierea sensurilor de referin\` [n circuitele electrice

•Regula de la generatoare.

• Tensiunea u ]i curentul i sunt asociate dup` regula de la generatoare atunci c@nd s`ge\ile tensiunii ]i curentului “nu ies din aceea]i born`” (respectiv atunci c@nd unul intr` cel`lalt iese) ca [n figura

•Conven\ia este denumit` astfel doarece puterea la borne Pb=ui, este efectiv cedat` de latur` c@nd este pozitiv` (]i efectiv primit` c@nd este negativ`).

Electrotehnica

C. V. Marin

3. Elemente de topologie a circuitelor

• Topologia circuitelor se refer` la modul de conectare a elementelor de circuit.

• Unui circuit electric ]i se ata]eaz` un graf constituit dintr-o mul\ime de noduri (1,2,...,N) legate [ntre ele prin laturi (l1 , l2 ,...,lL).

• Latura este o por\iune de circuit format` din elemente conectate [n serie (adic` sunt parcurse de acela]i curent), cuprinse [ntre dou` noduri.

• Nodul este un punct al re\elei [n care sunt legate cel pu\in trei laturi.

Dac` laturile sunt orientate (au sens de referin\`), graful este orientat.

Graful circuitului con\ine toate informa\iile despre interconectarea elementelor de circuit, dar nu con\ine informa\ii asupra dependen\elor dintre uk (t) ]i ik (t).

Graful circuitului se ob\ine reprezentand toate elementele de circuit prin grafuri interconectate intre ele la fel ca elementele c`rora le corespund.

Acesta descrie propriet`\ile de interconexiune ale circuitului ]i, dac` este orientat, arat` ]i sensurile curen\ilor ]i tensiunilor.

Electrotehnica

C. V. Marin


• Circuitului din figura [i corespunde graful al`turat.

• S`ge\ile de pe laturi indic` sensurile de referin\` ale curen\ilor ]i tensiunilor, uk ]i ik fiind asociate dup` regula de la receptoare.

• Graful are N=5 noduri ]i L = 8 laturi.

• ntr-un graf G cu N noduri ]i L laturi se definesc urm`toarele mul\imi de laturi: • 1) O bucl` (B) este o mul\ime de laturi care formeaz` o cale [nchis`, fiecare latur` fiind parcurs` o singur` dat`. n exemplul precedent B1=[1,2,6] si B2=[3,4,5] sunt bucle. • 2) Un arbore (A) este o mul\ime de laturi care conecteaz` [ntre ele toate nodurile din graful G f`r` s` formeze bucle. Un graf poate avea mai mul\i arbori. Un arbore are N-1 laturi. O latur` a arborelui se nume]te ramur`. In exemplul precedent A = [1, 2, 3, 4] este un arbore. • 3) Un coarbore (C) este format din mul\imea laturilor grafului care nu sunt con\inute [n arborele corespunz`tor A. Un coarbore con\ine L-N+1 laturi. O latur` a coarborelui se nume]te coard`. În exemplul precedent coarborele C = 2,5,7,8 corespunde arborelui A = 1, 2, 3, 4.

Electrotehnica

C. V. Marin


• 4) Sistemul fundamental de bucle este mul\imea buclelor ob\inute ata]@nd la o coard` calea din arbore care une]te nodurile coardei respective. Num`rul buclelor fundamentale este L-N+1, egal cu num`rul coardelor.

• 5) Sec\iunea este o mul\ime de laturi intersectate de o suprafa\` [nchis` care are [n interior cel pu\in un nod. ∑1=1,6,3,5,8 sau ∑2=3,4,7 sunt dou` sec\iuni [n exemplul precedent. • 6) Sistemul fundamental de sec\iuni este mul\imea sec\iunilor pentru care fiecare suprafa\` intersecteaz` c@te o singur` latur` a arborelui. Num`rul sec\iunilor fundamentale dintr-un graf este N-1 egal cu num`rul ramurilor. • n exemplul precedent sistemul fundamental de bucle in raport cu arborele 1,2,3,4 este format din L-N+1=4 bucle (1,2,6, 3,4,5, 1,2,3,7, 2,3,4,8) ]i sistemul fundamental de sec\iuni este format din N-1=4 sec\iuni (6,7,1, 6,7,8,2, 5,7,8,3, 5,8,4).

Electrotehnica

C. V. Marin

5. Teoremele lui Kirchhoff

5.1. Prima teorem` a lui Kirchhoff

Din legea conserv`rii sarcinii electrice [n regim sta\ionar rezult`:

0=Σi• Dac` suprafa\a [nchis` [nconjoar`, de exemplu, nodul (r) al unei re\ele, suma intensit`\ilor curen\ilor, care concur` [n nodul (r), este nul`. • Sensul de referin\` al curen\ilor fa\` de nod se alege dirijat dinspre nod spre exterior (pleac` din nod). • Rela\ia care exprim` prima teorem` a lui Kirchhoff este:

pentru k = 1, 2, ..., N ∑−

=

=1

10

N

kkI

Enun\: Suma algebric` a curen\ilor laturilor ce se [nt@lnesc [ntr-un nod este nul`. Se consider` cu un semn pozitiv curen\ii care ies din nod (spre exemplu cu +) ]i cu semnul contrar ([n exemplul dat cu -) curen\ii care intr` [n nod. Altfel spus, suma curen\ilor care intr` [n nod este egal` cu suma curen\ilor care ies din nod

Electrotehnica

C. V. Marin

A doua teorem` a lui Kirchhoff

Scriind tensiunea electromotoare pe curba care trece

prin axa conductorilor ce formeaz` bucla (B), din forma local` a legii conduc\iei electrice rezult`:

( )∫Γ

+ sdEE i Γ

( ) ∫∫ΓΓ

=+ sdJsdEE i ρ

n regim sta\ionar iar membrul drept al rel. devine: 0=∫Γ

dsE

∑∫∑∫==Γ

==B

kkk

kkk RI

AdsIsdJ

1)(1ρρ

Rezult` rela\ia care exprim` a doua teorem` a lui Kirchhoff pentru bucla B

∑ ∑∈ ∈

=Buclak Buclak

kkk RIE

unde k=1,2,… B ]i B=L-N+1

Electrotehnica

C. V. Marin

4.3.2. A doua teorem` a lui Kirchhoff

Enun\: Suma algebric` a t.e.m. ale surselor [n lungul unei bucle este egal` cu suma algebric` a c`derilor de tensiune din laturile buclei.

La scrierea rela\iei semnul (+) se pune [n fa\a t.e.m., respectiv a produsului , numit c`dere de tensiune, dac` t.e.m., respectiv curen\ii, sunt [ndrepta\i [n sensul de integrare al rela\iei, adic` [n sensul ales ales arbitrar al lui ; [n caz contrar, se pune semnul (-). Sensul de integrare numit ]i sens de scriere a teoremei se marcheaz` cu o s`geat` [ncurbat` pe bucl`.

Forma generala: ∑∈

=Buclak

kU 0

unde k=1,2,… B ]i B=L-N+1

Electrotehnica

C. V. Marin

Teoremele lui Kirchhoff. Forma matriceala

Fie un circuit electric cu N noduri si L laturi in care: • I este vectorul curentilor laturilor grafului

• U este vectorul tensiunilor laturilor grafului

• V este vectorul potentialelor primelor N-1 noduri

• tensiunea Uk este asociata dupa regula de la receptoare cu curentul Ik,

• A este matricea de incidenta a laturilor la noduri care este o matrice cu N-1 linii si L coloane. Un element din linia i si coloana j poate avea valoarea: +1 - daca latura j iese din nodul i, -1 - daca latura j intra in nodul I si 0 - daca latura j nu este conectata la nodul i,

=

LU

UU

U

2

1

=

LI

II

I2

1

=

−1

2

1

NV

VV

V

0=IAVAU T=

T.K I:

T.K II:

Enunt: Fie doua circuite 1 si 2 care au acelasi graf orientat G cu N noduri si L laturi (sensurile tensiunii si curentului se asociaza dupa regula de la receptoare pentru toate laturile), daca este vectorul curentilor din laturile circuitului 1 care satisfac teorema I a lui Kirchhoff si este vectorul tensiunilor laturilor circuitului 2 care satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff, atunci:

Electrotehnica

C. V. Marin

Teorema lui Tellegen

[ ]

=

Li

ii

I2

1

)1(

[ ]

=

Lu

uu

U2

1

)2(

0)()(1

)1()2( =∑=

L

kkk titu

Demonstratie: Teorema lui Tellegen este o consecinta a teoremelor lui Kirchhoff. Trebuie aratat ca Daca [I](1) si [U](2) satisfac teoremele lui Kirchhoff, atunci avem: si Se transpune a doua relatie, apoi se multiplica cu [I](1) si rezulta: Dar si deci .

Electrotehnica

C. V. Marin

Teorma lui Tellegen

[ ] [ ] 0)1()2( =IU T

0][ )1( =IA VAU T=)2(][

)1()1()2( ][][][ IAVIU TT =0][ )1( =IA 0][][ )1()2( =IU T

S-a demonstrat ca existenta celor doua teoreme ale lui Kirchhoff implica teorema lui Tellegen. Se poate demonstra ca oricare dintre teoremele lui Kirchhoff impreuna cu teorema lui Tellegen implica cealalta teorema a lui Kirchhoff

Sursa:Nitescu M., Constantinescu F.,Bazele Electrotehnicii. Partea I. Teoria circuitelor electrice. Ed. Printech.Buc. 1998. ISBN 973-98453-5-5.

Aceasta relatie se numeste bilantul puterilor instantanee si reprezinta principiul conservarii puterilor (principiul I al termodinamicii).

Fie un n-pol cu marimile la borne: • potentialele vk(t) (k=1,2,...,n-1), vn(t)=0, curentii ik(t) si tensiunile uk(t) • uk(t) si ik(t) (k=1,2,...,n-1) sunt asociate dupa regula de la receptoare. Puterea instantanee absorbita de n-pol la momentul t este

Electrotehnica

C. V. Marin

Transferul de putere pe la bornele unui multipol

∑−

=

=1

1)()()(

N

kkk titutp

•In cazul unui dipol puterea absorbita este pa(t)=u(t)i(t) •u si i fiind asociate dupa regula de la receptoare. •Puterea debitata de acelasi dipol va fi pd(t)= -pa(t)=-u(t)i(t)=u’(t)i(t), unde u’(t)= - u(t) este tensiunea asociata cu i(t) dupa regula de la generatoare. •Intr-un circuit care contine elemente dipolare, multipolare si multiport produsul uk(t) ik(t) reprezinta puterea p(t) absorbita sau debitata de latura k a grafului la momentul t. Separand puterile debitate de laturile grafului care corespund unor surse (cu uk si ik asociate dupa regula de la generatoare) de cele absorbite de laturile grafului care corespund unor consumatori (cu uk si ik asociate dupa regula de la receptoare), teorerma lui Tellegen se poate scrie

∑∑ =

iiconsumatortoti

a

surseletoate

d tptp )()(


Teorema lui Vashy pentru generatoare de tensiune. Enunt: tensiunile si curentii prin elementele unei retele liniare sau neliniare nu se modifica daca se introduc in serie cu laturile ce concura intr-un nod generatoare de tensiune ce au aceeasi tensiune electromotoare si acelasi sens fata de nod. Dem:

Electrotehnica

C. V. Marin

Teoremele lui Vashy. Teoremele surselor ideale cu actiune nula

Utilizari:Transferul in retea a generatorului de tensiune conectat in serie cu un element pasiv respectiv pasivizarea elementului retelei. Anularea tensiunii initiale a unui condensator. Anularea fluxului magnetic initial respectiv a curentului initial al unei bobine

Sursa:Mocanu C.I. Teoria circuitelor electrice. Ed. Did. Si Ped.Buc. 1979

Teorema lui Vashy pentru generatoare de curent. Enunt: tensiunile si curentii prin elementele unei retele liniare sau neliniare nu se modifica daca se introduc in lant cite un generator de curent avind aceeasi injectie de curent si acelasi sens intre fiecare pereche de noduri succesive ce apartin unei curbe inchise, trasate pe la nodurile retelei. Dem:

Electrotehnica

C. V. Marin

Teoremele lui Vashy. Teoremele surselor ideale cu actiune nula

Utilizari:Transferul in retea a generatorului de curent conectat in paralel cu un element pasiv respectiv pasivizarea elementului retelei. Anularea sarcinii electrice initiale a unui condensator. Anularea curentului initial al unei bobine

Sursa:Mocanu C.I. Teoria circuitelor electrice. Ed. Did. Si Ped.Buc. 1979

ELECTROTEHNICA



Electrotehnica

C. V. Marin

Cuprins: 1. Teoreme ale circuitelor rezistive; 2. Teorma conservarii puterilor; 3. Teorema superpozitiei; 4. Teorema transferului maxim de putere; 5. Teoreme de echivalenta: Thevenin, Norton.

Circuite electrice reziztive (de curent continuu)


Teoreme ale circuitelor rezistive 1. Teorema conservarii puterilor • S-a aratat, in cazul transferului de putere pe la bornele unui multipol, ca pentru orice circuit suma puterilor debitate de toate sursele este egala cu suma puterilor absorbite de toti consumatorii. • Intr-un circuit rezistiv consumatorii de putere sunt rezistoare. • Enuntul teoremei: Intr-un circuit rezistiv pentru orice moment de timp puterile se conserva.

pd t pa ttoaterezistoarele

toatesursele

( ) ( )= ∑∑

• Puterea absorbita de un rezistor este pR=u(t)*i(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la receptoare.

• Puterea debitata de o sursa de tensiune este pE(t)=u(t)*i(t)=es(t) i(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la generatoare.



1. Teorema conservarii puterilor

• Puterea debitata de o sursa de curent este pI(t)=u(t)*i(t) =u(t) *Is(t) unde u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la generatoare.

Observatii:

• Demonstratia este facuta pe baza teoremei lui Tellegen si in consecinta puterile se conserva atat in circuitele liniare cat si in cele neliniare

• Orice solutie a unui circuit rezistiv satisface teorema conservarii puterilor (bilantul puterilor); in consecinta bilantul puterilor este un instrument de verificare a solutiei problemei analizei unui circuit.



2. Teorema superpozitiei • In orice sistem a carui functionare este descrisa de ecuatii liniare se poate formula o teorema de superpozitie. • Enuntul teoremei: Intr-un circuit liniar cu mai multe surse independente care are o solutie si numai una, orice curent sau tensiune, xi asociat laturii i a grafului circuitului, se poate calcula ca fiind suma algebrica a curentilor sau tensiunilor produse de fiecare sursa independenta luata separat, atunci cand celelalte surse independente sunt pasivizate.

xi ikx

k= ∑ ( )

Demonstra\ie: Demonstra\ia teoremei se bazeaz` pe faptul c` sistemul ecua\iilor re\elei [n tensiuni ]i curen\i este liniar: pentru fiecare nod n=1...N-1 pentru fiecare bucl` b=1...L-N+1

( )∑ =

nkI 0

( )( )∑ ∑=

b bkkk IRE


Rezolv@nd sistemul de ecua\ii rezult` pentru curentul din latura j o expresie de forma:

∑=

=+++=L

kkjknjjjj EGEGEGEGI

n1

21 ...21

unde fiind curentul din latura j c@nd toate t.e.m. sunt nule

[n afar` de ]i este conductan\a de transfer de la latura k la latura j. Rezult`:

kjkjk EGI =

kE jkG

∑=

=L

kjkj II

1

adic`:

Rela\ia exprim` chiar enun\ul dat teoremei superpozi\iei.

[ ] kjcuEEcindII jkjjk ≠=≠= 0;0

OBS: • raspunsul circuitului in momentul de timp t depinde numai de valorile parametrilor surselor independente in acelasi moment t (ek(t) si isk(t) ), deci un circuit rezistiv nu are memorie, • exista situatii in care teorema superpozitiei poate usura efortul de calcul considerand pe rand raspunsul corespunzator fiecarei surse independente.


4. Teorema transferului maxim de putere Enun\: O surs` de tensiune cu parametrii E ]i Ri, transfer` o putere maxim` unui rezistor R conectat la bornele ei dac` R=Ri.

Dem:Se considera o sursa de tensiune cu tensiunea electromotoare E si rezistenta interna Ri, care debiteaza pe un rezistor cu rezistenta R. Se cere valoarea lui R astfel incat rezistorul sa absoarba puterea maxima.

Curentul prin circuit este: Puterea debitata de sursa este:

Puterea absorbita de rezistor este iRR

EI+

=i

deb RRIEEIP

+==

2

( )22

2

iR RR

RERIP+

==

RPdRdPR

( ) ( )( )

( )( )

024

222

4

222

=+−

=+

+−+=

i

i

i

iiR

RRRRE

RRRRRERRE

dRdP

Maximul expresiei se ob\ine anul@nd derivata

:


iRR =

iRR =iRR < 0>

dRdPR

iRR > 0<dRdPR

REPdeb 2

2

=

REPR 4

2

max = 5,0==deb

R

RPη

Derivata se anuleaz` numai pentru

este un punct de maxim deoarece pentru , ]i pentru ,

.n acest caz, [n care este [ndeplinit` rela\ia de definitie,puterea debitat` de surs` este: ]i puterea maxim` absorbit` de rezistor este: iar randamentul transferului de

putere:

n figura se prezint` varia\ia puterii la borne [n func\ie de varia\ia rezisten\ei R. Observa\ii: a) dac` , atunci dar ; b) dac` [n loc de sursa de tensiune [n circuit este o surs` de curent cu parametrii Is ]i Ri , rezistorul absoarbe puterea maxim` tot dac` este indeplinit` condi\ia: R=Ri.

∞→R 1→η 0→RP



Teorema reciprocitatii Teorema: Fie un circuit rezistiv liniar N (fig.1) format din rezistoare dipolare cu R>0 si o singura sursa independenta de tensiune in latura k si fie curentul i(1)j prin latura j. Daca sursa de tensiune electromotoare E se conecteaza in latura j (fig.2) atunci i(1)j = i(2)k

Demonstratie: Se scrie teorema lui Tellegen pentru cele doua circuite 1 si 2 care au acelasi graf. Daca curentii ik(1) satisfac teorema I a lui Kirchhoff in 1

si tensiunile uk(2) satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff in 2 atunci

ikk

Luk

( ) ( )11

2 0=∑ ⋅ =

ikk

Luk

( ) ( )21

1 0=∑ ⋅ =si similar


0)2()1()2(0)2( =⋅∑+⋅+⋅q

iqq

uj

ik

iE

0)1()2()1()1(0 =⋅∑+⋅+⋅q

iqq

uj

iEk

i

qiqRqu )1()1( =

u q Rqi q( ) ( )2 2=u qi q Rqi qi q u qi q( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1= =

Daca se scade relatia (1) din relatia (2) se obtine ij

ik

( ) ( )1 2=

Observatii: • se pot demonstra proprietati similare considerand in loc de sursa de tensiune o sursa de curent si in loc de curentul printr-o latura cu R=0 tensiunea la bornele unei laturi cu R=∞

• considerand E=1 rezulta simetria conductantelor de transfer (gjk=gkj) • considerand in loc de E=1, Is=1 rezulta simetria rezistentelor de transfer



Teoremele rezisten\elor echivalente • Rezisten\a echivalent` [ntre dou` borne ale unei re\ele oarecare,

func\ion@nd [n c.c., este prin defini\ie raportul dintre tensiunea aplicat` la borne ]i curentul pe care [l absoarbe re\eaua, cu sensurile de referin\` dup` regula de la receptoare. Rezistoare cuplate [n serie

Enun\: Rezisten\a echivalent` a n rezistoare cuplate [n serie este egal` cu suma rezisten\elor rezistoarelor interconectate.

∑=

=n

kke RR

1


Rezistoare cuplate [n paralel.

Enun\: Valoarea reciproc` a rezisten\ei echivalente a n rezistoare cuplate [n paralel este egal` cu suma valorilor reciproce ale rezisten\elor rezistoarelor interconectate.

∑=k ke RR

11 ∑=k

ke GG

Divizorul de tensiune ]i divizorul de curent

Divizorul de tensiune [mparte tensiunea U în dou` p`r\i U1 ]i U2 (U=U1+U2).

Divizorul de curent [mparte curentul I în dou` p`r\i I1 ]i I2 (I=I1+I2).

21

21 RR

RII+

=

21

12 RR

RII+

=

U UR

R R11

1 2=

+U U

RR R2

2

1 2=

+


Teoreme de echivalen\` ale circuitelor liniare

Un dipol rezistiv liniar con\ine rezistoare liniare, surse independente ]i surse comandate liniar ]i are bornele (polii) A ]i B. Se consider` c` doi dipoli rezistivi sunt echivalen\i dac` au aceea]i comportare la borne descris` de rela\ia [ntre tensiunea UAB ]i curentul IAB. Teoremele generatoarelor echivalente determine` dipolii cu structura cea mai simpl` echivalen\i unui dipol dat. Teorema generatorului echivalent de tensiune (T. Thevenin)

Enun\: Curentul IAB debitat de o re\ea liniar` [ntr-o rezisten\` R legat` la bornele (A, B) este egal cu raportul dintre tensiunea UAB0 de mers [n gol la bornele (A, B) ]i suma dintre rezisten\a exterioar` R ]i rezisten\a interioar` RAB0 a re\elei pasivizate.

0

0

AB

ABAB RR

UI

+=


Demonstra\ie: Demonstra\ia se bazeaz` pe teorema superpozi\iei. Se consider` re\eaua completat` cu latura de rezisten\` R, ca provenind prin superpozi\ie din dou` re\ele a ]i b ca [n figura.

Re\eaua (a) are toate sursele din re\eaua ini\ial` ]i [n plus o surs` cu t.e.m. E’=UAB0 [n latura cu rezisten\a R, sensul t.e.m. E’ fiind opus sensului de referin\` al curentului. Astfel se me\ine tensiunea UAB0 [ntre bornele A ]i B ]i curentul prin latura de rezisten\` R este nul. Re\eaua (b) are un generator de t.e.m. E”=UAB0 [n latura de referin\` a curentului, celelalte surse fiind pasivizate. n acest caz curentul I”AB este:

0

0

0

""AB

AB

ABAB RR

URR

EI+

=+

=


Suprapun@nd cele dou` sisteme de surse ale celor dou` re\ele se ob\ine re\eaua ini\ial` iar curentul IAB este

ABABABAB IIII ""' =+=

deoarece I’AB=0 ]i rezult` rela\ia

0

0

AB

ABAB RR

UI

+=

Rezult` c` o re\ea electric` liniar` poate fi [nlocuit` [ntre dou` borne oarecare A si B, printr-un generator echivalent de tensiune av@nd t.e.m. E=UAB0 ]i rezisten\a interioar` Ri=RAB0, ca [n figura


Teorema generatorului echivalent de curent (Norton)

Enun\: Tensiunea produs` [n sarcin` de o re\ea liniar` care alimenteaz` [ntre bornele A ]i B o rezisten\` exterioar` R, este egal` cu raportul dintre curentul de scurtcircuit al re\elei IABsc la bornele A, B ]i suma dintre conductan\a interioar` a re\elei pasivizate ]i conductan\a

0

0

1AB

AB RG =

RG 1=

GGI

UAB

ABAB

sc

+=

0


Demonstra\ie: Curentul IABsc se ob\ine scurtcircuit@nd bornele A ]i B deci R=0. Conform T. Thevenin rezult`:

00

0

0ABAB

AB

ABAB UG

RU

Isc

==

Tensiunea UAB [n sarcin` este:

RAB

ABABAB R

URRIU

+

==0

0

[nlocuind UAB0 ]i \in@nd cont c` G =1/R ]i GAB0 = 1/RAB0

rezult`:

GGI

UAB

ABAB

sc

+=

0

Din aceast` teorem` rezult` c` orice re\ea electric` liniar` se poate [nlocui [ntre dou` borne A, B cu un generator de curent [n care debiteaz` o surs` de curent Is=IABsc ]i are o conductan\` interioar` GAB0, ca [n figura


Sursele reale de tensiune si curent sunt formate din surse ideale si rezistente interne Ri, R’i pozitive ]i de valoare finit`. Aplic@nd teorema generatorului echivalent de curent sursei reale de tensiune rezult` R’i=Ri ]i Is =E/Ri. Dac` Ri=0, sursa de tensiune nu se poate transforma [n surs` de curent (rezult` Is=∞), iar daca R’i= ∞, sursa de curent nu se poate transforma [n surs` de tensiune (rezult` E=∞).

Observa\ie. Generatoarele echivalente nu exista pentru orice circuit. Exemple. Circuitul din fig. are la borne U=0 si I=0 deci are RAB0=0/0 si nu admite nici unul dintre generatoarele echivalente; acest circuit admite ca pereche tesiune curent numai U=0, I=0 ]i se numeste nulator


• -dac` RAB0= 0 exista numai generatorul echivalent de tensiune format din sursa ideala de tensiune UAB0 ]i care nu poate fi transformata intr-un generator de curent. • -dac` RAB0=∞ exista numai generatorul echivalent de curent, format din sursa ideala de curent IABSC si care nu poate fi transformata [ntr-un generator de tensiune. • Pentru a evita calculul inutil al UAB0 sau IABSC este preferabil sa se calculeze mai intai RAB0. • Daca RAB0=0 se calculeaza apoi UAB0 iar daca RAB0=∞ se calculeaza IABSC. • Daca 0<RAB0<∞ se poate calcula UAB0 sau IABSC.


Existenta si unicitatea solutiilor. Circuite liniare Se spune ca un circuit rezistiv are solutie unica daca ecuatiile acestuia sunt satisfacute simultan de o multime unica de tensiuni si curenti. Exista circuite simple care nu au solutie sau au un numar infinit de solutii. Circuitul din figura a are o solutie unica daca R≠0. Daca R=0 I

E ER

=−1 2

se pot distinge doua situatii: 1. daca E1-E2=0 rezulta 0•I=0 si

circuitul are o infinitate de solutii (orice I∈R )

2. ii) daca E1-E2≠0 rezulta 0•I≠0 si circuitul nu are solutie.

Circuitul din figura b are o solutie unica daca G≠0 UIs Is

G=

+1 2



Daca G=0 se pot distinge doua situatii: i) daca Is1+Is2=0 rezulta 0•U=0 si circuitul are o infinitate de solutii (orice U∈R ) ii) daca Is1+Is2≠0 rezulta 0•U≠0 si circuitul nu are solutie. Conditia de existenta si unicitate a solutiei unui sistem liniar de n ecuatii algebrice Ax=B este detA≠0. Aceasta conditie exprima faptul ca ecuatiile sistemului sunt liniar independente intre ele. Daca detA=0 exista doua situatii de interes practic: i) rangul lui A este n-1 si determinantul minorului principal bordat cu coloana termenilor liberi este nul; in acest caz una dintre ecuatii este liniar dependenta de celelalte si sistemul are o infinitate de solutii ii) rangul lui A este n-1 si determinantul minorului principal bordat cu coloana termenilor liberi este nenul; in acest caz sistemul nu are solutie.

Teorema Un circuit liniar format din rezistoare dipolare liniare cu R>0 si surse independente are o solutie unica pentru orice valori ale tensiunilor electromotoare si ale curentilor electromotori daca si numai daca sunt satisfacute urmatoarele conditii: - nu exista nici o bucla formata numai din surse de tensiune - nu exista nici o sectiune formata numai din surse de curent


ELECTROTEHNICA



Electrotehnica

C. V. Marin

Cuprins: 1. Metoda teoremelor lui Kirchhof pentru rezolvarea circuitelor;

Partea a I-a. Circuite electrice reziztive (de curent continuu)

Electrotehnica

C. V. Marin

1. Metoda teoremelor lui Kirchhof pentru rezolvarea circuitelor;

Formularea problemei Problema analizei unui circuit de curent continuu se formuleaz` astfel: a) Se dau elementele cunoscute: 1 - valorile parametrilor elementelor Rk, Ek ]i Isk. 2 - modul de interconectare a elementelor de circuit. b) Se cere s` se determine toate tensiunile ]i to\i curen\ii. Algoritmul de rezolvare al problemei este urm`torul: 1. Se aleg sensuri arbitrare pentru curen\ii din laturi. 2. Se determin` sensul tensiunii la bornele fiec`rei laturi prin asociere cu sensul curentului dup` regula de la generatoare pentru surse sau dup` regula de la receptoare pentru rezistoare. 3. Se scriu ecua\iile circuitului respectiv cele N-1 ecua\ii date de teorema I a lui Kirchhoff ]i cele L-N+1 ecua\ii date de teorema a doua a lui Kirchhoff. 4. Se rezolv` ecua\iile circuitului. 5. Se verific` solu\ia cu bilan\ul puterilor.

Electrotehnica

C. V. Marin

Aplica\ie: S` se fac` analiza circuitului din figura ]i s` se verifice solu\ia cu bilan\ul puterilor.

Rezolvare: Necunoscutele sunt I1, I2, I3, I4 ]i U. N=3 ]i se scrie teorema I a lui Kirchhoff [n nodurile 1 si 2: (1) (2)

L=5, deci num`rul buclelor independente este L-N+1=3. Se scrie teorema a doua a lui Kirchhoff pe buclele I, II, III cu sensurile de parcurgere din figura

0321 =+−− III

0642 =−− II

[1]

[2]

[3]

053211 =−⋅+⋅ II0413221 =⋅+⋅+⋅ III

041 =⋅+ IU

I A I A I A I A U V1 2 3 41 1 2 5 5= = = = − =, , , , .

.35)5(1112211

3565152222∑

∑=−⋅+⋅+⋅+⋅=

=⋅+⋅=

WP

WP

abs

deb

Bilan\ul puterilor

ELECTROTEHNICA



Electrotehnica

C. V. Marin

Cuprins:

1. Metode sistematice de analiza a circuitelor rezistive liniare;

2. Metoda potentialelor la noduri;

3. Metoda curentilor ciclici;

4. Aplicatii



1.4. Metode sistematice pentru rezolvarea circuitelor [n curent continuu

Metoda poten\ialelor nodurilor Algoritmul de scriere a ecua\iilor metodei poten\ialelor nodurilor este urm`torul: • 1. Se fac toate transform`rile posibile ale surselor de tensiune [n surse de curent si ale comenzilor in curent in comenzi in tensiune; • 2. Se alege poten\ialul de referin\` astfel [nc@t c@t mai multe poten\iale ale nodurilor s` poat` fi exprimate ca sume de tensiuni electromotoare; • 3. Se scrie sistemul de ecua\ii:

∑∈

∑∈

∑∈

=−jk jik jk skIkGiVkGjV

,la care se adaug` ecua\iile suplimentare de forma: αEVV me =−


•Prima rela\ie reprezint` ecua\ia [n nodul j [n care: • prima sum` con\ine toate conductan\ele conectate [n nodul j; • a doua sum` con\ine toate produsele Vi Gk unde Gk este conectat` [ntre nodurile j ]i i ; • suma din membrul drept con\ine to\i curen\ii surselor (independente sau comandate) conectate la nodul j (lua\i cu semnul + dac` intr` [n nodul j ]i cu semnul - dac` ies din acesta).

∑∈

∑∈

∑∈

=−jk jik jk skIkGiVkGjV

,


• Referitor la pct. 1 al algoritmului, dac` circuitul con\ine o surs` real` de tensiune (o surs` ideal` de tensiune [n serie cu un rezistor), atunci aceasta poate fi transformat` [ntr-o surs` de curent ca [n aplica\ia ilustrat` [n figura. • Sursele reale de tensiune si curent sunt formate din surse ideale si rezistente interne Ri, R’i pozitive ]i de valoare finit`.


• Aplic@nd teorema generatorului echivalent de curent sursei reale de tensiune rezult` R’i=Ri ]i

IS =E/Ri. • Dac` Ri=0, sursa de tensiune nu se poate

transforma [n surs` de curent (rezult` Is=∞), • daca R’i= ∞, sursa de curent nu se poate

transforma [n surs` de tensiune (rezult` E=∞).


• Exist` [ns` ]i surse de tensiune care nu se pot transforma [n surse de curent (surse ideale de tensiune) • rezulta mai multe cazuri

1. circuitul contine doar o singura sursa ideala de tensiune: Rezolvare: • se alege ca nod de referinta nodul k si rezulta ecuatiile V1 =0 si V2 =E • Nu se mai scrie ecuatia 1 pentru nodul j (nu se mai scrie teorema I a lui Kirchhoff in nodul j de potential V2).


2. circuitul contine doua surse ideale de tensiune care nu au un punct comun: Rezolvare: • pentru prima sursa, se alege ca nod de referinta nodul k si rezulta ecuatiile V1 =0 si V2 =E. Nu se mai scrie ecuatia 1 pentru nodul j (nu se mai scrie teorema I a lui Kirchhoff in nodul j de potential V2).


2. circuitul contine doua surse ideale de tensiune care nu au un punct comun:

• pentru sursa E2 se introduce o necunoscuta

suplimentara I. • Cand se scriu ecuatiile in nodurile de potentiale V3 si

V4, latura ce contine sursa E2 se considera parcursa de curentul I.

• Acestei necunoscute suplimentare ii corespunde o ecuatie suplimentara:

V4-V3=E2


3. circuitul contine mai multe surse ideale de tensiune care au un punct comun: Rezolvare: daca exista mai multe surse de acest tip care au un nod comun sau care formeaza un “mini-arbore”, nodul de potential nul va apartine acestei structuri iar potentialele celorlalte noduri ale structurii respective se pot exprima ca sume de tensiuni electromotoare.


• Comanda in curent se poate transforma in comanda in tensiune:

• aceasta transformare este posibila daca 0<R< ∞ • daca R= ∞ atunci nu are sens; curentul prin latura de comanda este I =0;


• daca R=0, se considera o sursa cu E=0 in latura de comanda si se procedeaza ca in cazul sursei ideale de tensiune (in ecuatiile nodurilor de potentiale V1 si V2 latura de comanda apare prin -i si +i si se adauga ecuatia V1=V2).


Aplica\ie: Fie dat circuitul din figura. Se cere s` se scrie ecua\iile metodei poten\ialelor nodurilor.

Rezolvare:

Curen\ii surselor independente sunt lua\i cu semnul (+) dac` intr` [n nodul (j) ]i cu (-) dac` ies din nod

2

1

321

322

322

3211

3

1111

11111

0

s

s

IRR

VRR

V

IRR

VRRR

V

V

=

+−

+

=

+−

++

=


Metoda curen\ilor ciclici Algoritmul de scriere a ecua\iilor curen\ilor ciclici este

urm`torul: 1. Se fac toate transform`rile posibile ale surselor de curent [n surse de tensiune (nu exist` surse comandate); 2. Se aleg cele B=L-N+1 bucle fundamentale astfel [nc@t sursele de curent netransformate s` fie plasate [n coarbore; 3. Consider@nd c` cele B bucle sunt parcurse de ni]te curen\i fictivi I’1, I’2, …I’B, numi\i curen\i ciclici, se aleg sensurile acestora ]i se scrie sistemul de ecua\ii:

∑∈

∑

∈∈

=+∑∈ iBk kE

jBkiBk kRjI

iBk kRiI ''

Sau I’Bj=ISK


∑∈

∑

∈∈

=+∑∈ iBk kE

jBkiBk kRjI

iBk kRiI ''Rela\ia

reprezint` ecua\ia corespunzatoare buclei parcurs` de curentul ciclic I’i unde, Rk din primul termen din st@nga reprezint` rezisten\ele din bucla parcurse de curentul ciclic I’i iar Rk din cel de-al doilea termen din st@nga reprezint` rezisten\ele comune buclelor ]i parcurse simultan de curen\ii ciclici I’i si I’j ; produsul I’j Rk se ia cu semnul (+) daca I’i ]i I’j au acela]i sens prin Rk ]i cu semnul (-) dac` I’i si I’j au sensuri diferite prin Rk.


• Referitor la pct. 1 al algoritmului, dac` circuitul con\ine ]i surse de curent acestea pot fi transformate [n surse de tensiune dac` au c@te un rezistor [n paralel (invers ca [n aplica\ia ilustrat` la metoda potentialelor la noduri.

• Sursele de curent ideale se plaseaz` [n coarbore.

• n acest caz curentul ciclic al buclei fundamentale care con\ine sursa de curent este chiar curentul acestei surse deci ecua\ia corespunz`toare este:

I’Bj=ISK


• Pentru a avea mai pu\ine necunoscute este preferabil s` se transforme comenzile [n tensiune [n comenzi [n curent.

• Dac` tensiunea de comanda uc este la bornele unui rezistor de rezisten\a R atunci transformarea comenzii se face simplu u=R*i. Evident I de comanda se exprim` u]or ca o sum` de curen\i ciclici.


• aceasta transformare este posibila daca 0<R< ∞ • daca R= 0 atunci nu are sens; tensiunea de comanda este u =0; • daca R= ∞ atunci tensiunea de comanda u este la bornele unui rezistor corespunzator mersului [n gol, Solutie: bucla se sparge [n dou` bucle care au latura comun` cu R=∞ ca [n figura;

• apare necunoscuta suplimentar` u [n ecua\iile corespunzatoare celor dou` bucle ]i se introduce o ecua\ie [n plus

I’1 + I’2 =0


Aplica\ie: Fie dat circuitul din figura a. Se cere s` se scrie ecua\iile metodei curen\ilor ciclici. Rezolvare: • Dup` transformarea sursei de curent [n surs` de tensiune se ob\ine circuitul din figura b. • Curen\ii ciclici sunt: I‘1, I‘2 ]i I‘3.


Ecua\iile sunt:

==⋅−⋅+++

=⋅−++

2812)211(

312)21(

'3

'3

'1

'2

'3

'2

'1

IIII

III

Rezult`:

AIAIAI

211

'3

'2

'1

===

AIIAIIIAIIIAIII

728231

24

213

'3

'22

'3

'11

=−+==+==+=−=−=

]i


Observa\ii:Ecua\iile poten\ialelor nodurilor se pot scrie pentru circuite liniare ]i pentru circuite cu elemente neliniare controlate [n tensiune.

• Ecua\iile curen\ilor ciclici se pot scrie numai pentru circuite liniare.

• |in@nd seama ]i de faptul c` dac` gradul de complexitate al circuitului trece de o anumit` limit` (dac` num`rul mediu de laturi conectate la un nod este mai mare dec@t patru) avem N-1 < L-N+1 rezult` c` metoda poten\ialelor nodurilor este mai util` dec@t metoda curen\ilor ciclici.

• Chiar dac` circuitul este liniar, dac` num`rul necunoscutelor cre]te peste o anumit` limit` analiza nu se poate face dec@t cu un program de calcul numeric

ELECTROTEHNICA



Electrotehnica

C. V. Marin

Cuprins:

1. Elemente de circuit rezistive neliniare; Analiza circuitelor neliniare 2. Circuite cu rezistoare neliniare ; Caracteristici de intrare si de transfer 3. Determinarea solutiei prin metoda dreptei de sarcina ; 4. Rezolvarea circuitelor neliniare. Determinarea unei solutii prin metoda Newton-Raphson




1. Elemente de circuit rezistive neliniare; Analiza circuitelor neliniare

• Rezistorul ideal este un element dipolar de circuit pentru care multimea perechilor admisibile tensiune-curent poate fi reprezentata printr-o curba in planul u-i.

• Daca curba este o dreapta care trece prin origine rezistorul este liniar;

•In cazul in care curba fie nu este o dreapta fie nu trece prin origine rezistorul este neliniar.

• Ecuatia f(u,i)=0 a acestei curbe se numeste ecuatia constitutiva a rezistorului.


• Curba care reprezinta in planul u-i multimea perechilor admisibile tensiune-curent se numeste caracteristica rezistorului.

• Daca rezistorul este invariabil in timp caracteristica se pastreaza aceeasi pentru orice t.

• Daca rezistorul este variabil in timp caracteristica se modifica in functie de t.


•Un rezistor liniar satisface legea lui Ohm: u (t ) = R•i(t) pentru orice t, unde u(t) este tensiunea la borne, i(t) este intensitatea curentului si R este rezistenta reprezentata printr-o curba in planul u-i.

•Modelarea unui dispozitiv printr-un rezistor liniar este de obicei o aproximatie a fenomenului real, dispozitivele fiind de regula neliniare.

•Sunt multe exemple in care neliniaritatea joaca un rol esential in functionarea dispozitivului.

Exemple de dispozitive neliniare

• tubul cu neon



•jonctiunea pn (dioda semiconductoare ) cu caracteristica

id Is eud uT= −(

/)1

unde Is si uT sunt constante în raport cu ud si id

•Daca se aproximeaza caracteristica neliniara cu segmente de dreapta, se obtine un rezistor cu caracteristica liniara pe portiuni.

•De exemplu dioda ideala care este un model simplificat al diodei semiconductoare


•dioda Zener este o dioda care are pentru u<0 o zona in care se poate considera u≅const.

• este utilizata la stabilizarea tensiunii;

• in figura este data caracteristica si modelul ei liniarizat pe portiuni


•Daca rezistorul are o ecuatie constitutiva de forma i=î(u) se numeste rezistor controlat in tensiune, •iar daca aceasta ecuatie are forma u = û(i) rezistorul este controlat in curent

Termistoare.

•Sunt rezistoare care se execut` din materiale semiconductoare ]i au caracteristica prezentat` [n figura.

•Termistoarele se utilizeaz` [n tehnica frecven\elor [nalte pentru efectuarea de m`sur`tori.


Analiza circuitelor neliniare de curent continuu • Analiza re\elelor electrice de curent continuu ce con\in rezistoare neliniare este mult mai dificil` dec@t [n cazul re\elelor liniare deoarece nu se pot utiliza metodele care au la baz` teorema superpozi\iei. • Circuitele neliniare se rezolv` prin metode analitice, grafico-analitice ]i numerice. Teoremele lui Kirchhoff [n circuite neliniare au forma: •Teorema I a lui Kirchhoff (pentru fiecare nod n=1,..., N-1) •Teorema a II-a a lui Kirchhoff (pentru fiecare bucl` b=1,2,...,B; B=L-N+1)

0)(

=∑n

kI

∑∑ =)()( b

kb

k UE


•Dac` toate elementele din circuit sunt neliniare atunci termenul din dreapta al teoremei a II-a a lui Kirchhoff exprim` suma tensiunilor la bornele elementelor neliniare date de ecua\iile constitutive ale acestora: ( )kk IfU =•n cazul unui circuit combinat din rezisten\e liniare ]i neliniare ecua\iile date de teorema a II-a a lui Kirchhoff con\in at@t sume de produse c@t ]i tensiuni . kk IR ( )kk IU

•La analiza circuitelor neliniare se utilizeaz` ecua\iile date de teoremele lui Kirchhoff la care se adaug` caracteristicile elementelor neliniare. •n cazul [n care este cunoscut` ecua\ia constitutiv` a elementelor neliniare este posibil` rezolvarea analitic` a sistemului de ecua\ii. •n cazul [n care caracteristica rezistoarelor neliniare este dat` sub form` de curb` se utilizeaz` metoda grafico-analitic`.


Analiza unor circuite simple neliniare. Caracteristici de intrare ]i transfer.

Fie dou` rezistoare neliniare conectate [n serie ca [n figura

•Se cunosc caracteristicile f1(u1, i1)=0 ]i f2(u2, i2)=0 ]i se cere s` se determine caracteristica de intrare [ntre bornele A ]i B f(u, i)=0.

•Ecua\iile care descriu conexiunea serie sunt i= i1=i2 ]i u=u1+u2.

• Cunosc@nd graficele f1 (u1, i1)=0 ]i f2(u2, i2)=0, curba f(u,i)=0 se poate determina prin puncte adun@nd tensiunile corespunzatoare aceluia]i curent.


• opera\iunea este posibil` numai pentru mul\imea curen\ilor admisibili pentru ambele rezistoare.

•Daca i1 ∈ [I1m, I1M] si i2 ∈ [I2m, I2M] (unde cu m s-au notat curen\ii minimi si cu M s-au notat curen\ii maximi) atunci I ∈ [I1m, I1M] ∩ [I2m, I2M].

Fie dou` rezistoare neliniare conectate [n paralel ca [n figura.

Se procedeaz` asem`n`tor.

•ecua\iile conexiunii paralel fiind u=u1=u2 ]i i=i1+i2, se adun` curen\ii corespunz`tori aceleia]i tensiuni.

•opera\iunea se face pentru u ∈ [U1m, U1M] ∩[U2m, U2M] semnifica\iile m`rimilor fiind similare cu conexiunea serie.


Determinarea solu\iei prin metoda dreptei de sarcin` •Fie circuitul din figura care con\ine un singur rezistor neliniar cu caracteristica alaturat`.

•M`rimile u ]i i trebuie s` satisfac` teorema a doua a lui Kirchhoff \i rela\ia constitutiv` a rezistorului neliniar.


•Teorema a doua a lui Kirchhoff se scrie Ri+u=E ]i poate fi reprezentat` [n planul u-i printr-o dreapta numit` dreapta de sarcin`. Pentru a desena dreapta de sarcina consider`m punctele (i=0, u=E) ]i (u=0, i=E/R). Valorile u ]i i se g`sesc la intersec\ia caracteristicii rezistorului cu dreapta de sarcin` ca [n figura.


Observ\ii: • similar se pot determina u ]i i in circuitul din figura [n care se cunoa]te caracteristica rezistorului neliniar; •[n acest caz ecua\ia dreptei de sarcina rezult` din prima teorema a lui Kirchhoff;

•dac` circuitul con\ine un singur rezistor neliniar atunci se construie]te generatorul echivalent al par\ii liniare ]i problema se reduce la rezolvarea unuia dintre cele dou` circuite prezentate.


• Fie un sistem de ecuatii algebrice neliniare f(x)=0 unde x este vectorul necunoscutelor.

• Relatia care defineste metoda iterativa Newton-Raphson se obtine dezvoltand pe f in serie Taylor in jurul lui (x la iteratia j):

)( jx

...)()1()()()1( +

−+

+

=

+ jxjxjxJjxfjxf

matricea se numeste Jacobianul sistemului si se calculeaza in punctul

)(...1

...1

...1

1

)(

jxxnxnf

nx

f

xnf

x

f

jxJ

=

=

∂∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

)( jx


)1( +jx• Se impune conditia ca sa fie solutie a ecuatiei f(x)=0 • se neglijeaza termenii de ordin superior din dezvoltarea in serie Taylor • se obtine relatia de recurenta a metodei iterative Newton-Raphson:

).)(())((1)()1( jxfjxJjxjx −−=+

• Algoritmul pleaca de la o aproximatie initiala x(0)

• Se efectueaza un numar fix de iteratii N0.


•Daca eroarea intre doua iteratii succesive

este mai mica decat o eroare impusa ε unde

• atunci se considera ca metoda este convergenta iar solutia este

• Daca dupa N0 iteratii eroarea nu scade sub valoarea ε se considera ca metoda este divergenta.

• Daca f(x)=0 are mai multe solutii, prin aceasta metoda se determina numai una dintre ele si anume cea care este mai “apropiata” de aproximatia initiala

∑=

=n

k kxx1

2

x N x N( ) ( )− −1

)0(x

)(Nx


• Daca x are o singura componenta metoda Newton-Raphson are o interpretare geometrica simpla. • Fie f(x) avand reprezentarea grafica din figura si fie aproximatia initiala.

)0(x

• Valoarea lui x(1) se obtine din relatia :

))0(())0((1')0()1( xfxfxx ⋅−−=

)1()0())0(())0(('

xx

xfxftg−

==αdar

• x(1) se poate determina intersectand tangenta la f(x) in x(0) cu axa Ox.

• In continuare se obtin x(2), x(3) si solutia numerica tinde

catre solutia exacta x*.


• Metoda Newton-Raphson nu este convergenta pentru orice aproximatie initiala.

• De exemplu, fie f(x) din figura de mai jos si aproximatia initiala x(0).

•Aplicand aceasta metoda, solutia numerica va oscila intre valorile x(1) si x(2) si nu se va apropia de solutia exacta x*.


• Se observa ca daca se scrie relatia de recurenta sub forma

• La fiecare iteratie se rezolva un sistem de ecuatii liniare a carui matrice J(x(j)) si termen liber

trebuie recalculate.

• Calculul Jacobianului implica determinarea a n2 valori ale derivatelor in x(j) ceea ce nu este deloc simplu.

• Pentru un circuit rezistiv liniar exista, insa, o procedura mult mai simpla de efectuare a iteratiilor.

J x x J x x f xj j j j j( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅ = −+1

)()( )()()( jjj xfxxJ −


• Consideram la inceput un exemplu: • La fiecare iteratie rezistorul neliniar poate fi inlocuit cu un circuit echivalent serie format dintr-o sursa de tensiune in serie cu un rezistor.

• La prima iteratie sursa are tensiunea electromotoare E(0) si rezistorul are rezistenta R(0) =tg α(0).

• Pentru a doua iteratie avem E(1) si R (1) =tg α(1) etc. Acest circuit se numeste circuitul echivalent discret.

• La fiecare iteratie se calculeaza parametrii circuitului echivalent discret si se rezolva un circuit liniar.


•Aceasta procedura se poate aplica unui circuit rezistiv neliniar oricat de complicat ar fi acesta.

• Circuitul echivalent discret la iteratia k+1 al unui rezistor controlat in curent cu caracteristica u=û(i) contine sursa de tensiune E(k) obtinuta ca in exemplul precedent in serie cu rezistorul

cu rezistenta

• Pentru un rezistor controlat in tensiune cu caracteristica i=î(u) circuitul echivalent discret are parametrii Is(k) si

Rui

ki k

( )( )=

∂∂

Giu

ku k

( )( )=

∂∂


• Daca rezistorul are caracteristici liniare pe portiuni, parametrii circuitului echivalent discret se determina ca in figura:

• Prin utilizarea circuitului echivalent discret aplicarea metodei Newton-Raphson se simplifica considerabil.


Determinarea tuturor solutiilor

• Consideram un circuit cu rezistoare dipolare avand caracteristici liniare pe portiuni. • Fiecare solutie a circuitului corespunde unei combinatii de portiuni liniare ale rezistoarelor.

• Se face analiza circuitelor echivalente discrete corespunzand tuturor combinatiilor posibile de portiuni liniare.

• Fiecare circuit echivalent discret are o solutie.


• Daca exista cel putin un rezistor neliniar pentru care solutia circuitului echivalent discret corespunde unui punct de pe prelungirea portiunii liniare a caracteristicii, atunci aceasta solutie nu este solutie a circuitului neliniar.

• Solutia unui circuit echivalent discret este solutie a circuitului neliniar daca toate punctele care ii corespund se afla in intervalele de tensiuni si curenti de pe caracteristicile rezistoarelor neliniare.

ELECTROTEHNICA




Cuprins • C@mpul magnetic. Induc\ia magnetic`. For\e • Magnetizarea corpurilor • For\e [n c@mp magnetic. Amperul absolut • C@mpului magnetic produs de un circuit parcurs de curent • Legea fluxului magnetic. •Legea legaturii dintre, inductie, intensitate si magnetiza\ie •Legea magnetiza\iei temporare •Clasificarea substantelor magnetice • Circuite magnetice • Reluctan\a. Permean\a • Teoremele lui Kirchhoff pentru circuitele magnetice. •Teoremele reluctan\elor echivalente. • Inductivit`\i. • Energia ]i for\ele c@mpului magnetic

Electrodinamica


CAPITOLUL 5. ELECTRODINAMICA

•Electrodinamica este partea Electrotehnicii [n care se studiaz` st`rile electrice ]i magnetice variabile [n timp. • n aceast` parte a cursului se vor considera ]i propiet`\ile magnetice ale c@mpului electromagnetic trat@ndu-se cel de-al doilea aspect al lui: c@mpul magnetic.

Magnetizarea corpurilor •Starea de magnetiza\ie. Experien\a arat` c` exist` corpuri, de exemplu unele buca\i de minereu de fier care au proprietatea de a exercita [ntre ele ]i asupra altor corpuri (de fier, nichel, cobalt sau anumite aliaje) din apropierea lor for\e ]i momente diferite de cele de natur` gravita\ional` sau electric`. Starea fizic` a acestor corpuri se nume]te stare de magnetiza\ie iar despre corpuri se spune c` sunt magnetizate.


For\e [n c@mp magnetic • For\a lui Laplace. M`sur@nd for\a ce se exercit` asupra unui element de conductor , care face parte dintr-un circuit parcurs de curentul ]i plasat [ntr-un c@mp magnetic exterior se determin` experimental expresia:

BliF ×∆=∆For\a lui Ampère. Se consider` dou` conductoare paralele, filiforme ]i foarte lungi, parcurse de curen\ii ca [n figura

Experimental se constat` c` cele dou` conductoare se atrag [n cazul c@nd curen\ii ]i au acela]i sens ]i se resping c@nd curen\ii circul` [n acela]i sens contrar.


lR

iiuF12

2101212

24πµ

−=unde: - este for\a datorit` c@mpului magnetic al curentului exercitat` asupra conductorului 2; - l este lungimea de conductor pentru care se calculeaz` for\a; - este distan\a [ntre conductoare; - este versorul dirijat de la conductorul 1 spre 2; - este permeabilitatea absolut` a vidului.

12F

12R12u0µ

Experimental s-a determinat (Ampère 1820-1821) expresia for\ei:


Amperul absolut •Unitatea de m`sur` a curentului este amperul A,

•Amperul absolut, este stabilit pe baza for\elor electrodinamice care se exercit` [ntre conductoarele parcurse de curent, ca [n figura

• Defini\ie. Amperul absolut este intensitatea curentului constant care men\inut [ntre dou` conductoare filiforme paralele, rectilinii, de lungime practic infinit`, a]ezate la o distan\` de un metru unul de altul, [n vid, determin` [ntre aceste conductoare o for\` de Newtoni pe metrul de lungime.

7102 −⋅



C@mpului magnetic produs de un circuit parcurs de curent

• Se poate deduce pentru intensitatea c@mpului magnetic produs [n vid de un circuit filiform [nchis, parcurs de curentul i ca in figura, expresia:

∫Γ

×== 3

0 4 RRdsiHB

vv

πµnumit` formula lui Biot-Savart-Laplace, [n care: - este elementul de arc al conturului al circuitului cu sensul dat de sensul pozitiv al curentului i;

ds


Legea fluxului magnetic Enun\ (forma integral`) : Fluxul magnetic este nul prin orice suprafa\` [nchis` Σ

0==Φ ∫Σ

Σ AdBConsecin\e: • Fluxul magnetic are aceea]i valoare pentru toate suprafe\ele deschise care se sprijin` pe acela]i contur [nchis Γ. Demonstra\ie: Fie suprafe\ele S1 ]i

S2 care [mpreun` formeaz` o suprafa\` [nchis` Σ ca [n figura alaturata. Pe suprafa\a S1, normala asociat` dup` regula burghiului drept sensului de parcurgere a conturului Γ, coincide cu normala exterioar` a suprafe\ei [nchise Σ


• pe S2, normala exterioar` a suprafe\ei este antiparalel`. Rezult`: =+===Φ ∫∫∫

∪∪=Σ

2121

210

SSSSSS AdBAdBAdB

21

21

SSSS

AdBAdB Φ−Φ=−= ∫∫deci 21 SS Φ=Φ• Din legea fluxului magnetic rezult` c` liniile vectorului induc\ie nu pot s` [nceap` sau s` se termine [ntr-un punct din c@mp, deoarece fluxul, printr-o suprafa\` [nchis` ce se restr@nge c`tre acel punct ar fi nenul. Liniile de c@mp pot fi [nchise(ca [n cazul conductorului foarte lung), pot [ncepe ]i se pot termina la infinit , sau se pot [nf`]ura asimptotic [n jurul unor curbe limit` sau pe anumite suprafe\e(linii practice [nchise).


Legea leg`turii dintre B, H ]i M

Enun\: n orice punct induc\ia magnetic` este egal` cu suma vectorial` dintre intensitatea c@mpului magnetic ]i magnetiza\ia multiplicat` cu permeabilitatea vidului.

( )MHB += 0µLegea magnetiza\iei temporare

Enun\: Magnetiza\ia temporar` este propor\ional` ]i omoparalel` cu intensitatea c@mpului magnetic

HM mt ⋅= χtMM =


( ) ( ) HHHHB rmm µµχµχµ 000 1 =+=+=

n cazurile [n care magnetiza\ia permanent` este

nul` ]i deci , aceast` lege se

utilizeaz` [n asocial\ie cu legea leg`turii dintre B, H ]i M, respectiv:

0=pM tMM =

HB µ=Unde permeabilitatea relativ` a materialului este:

mr χµµµ +== 1

0

Adica:


Clasificarea substan\elor magnetice

• Dup` modul cum se magnetizeaz` materialele se [mpart [n: diamagnetice, paramagnetice ]i feromagnetice. • Materialele diamagnetice sunt caracterizate printr-o susceptivitate magnetic` constant`, negativ` < 0 ]i o valoare absolut` foarte mic` • Exemplu: bismut , argint , cupru .

1≈rµ610170 −⋅−=mχ 61019 −⋅−=mχ

61010 −⋅−=mχ• Materialele paramagnetice sunt caracterizate printr-o susceptivitate magnetic` pozitiv` > 0 , [n valoare absolut` foarte mic` ]i care scade cu temperatura. Exemplu: mangan , platin` , aluminiu , oxigen

mχ

1≈rµ 6103600 −⋅=mχ 610330 −⋅=mχ61022 −⋅=mχ 61042,1 −⋅=mχ

mχ


• Materialele feromagnetice sunt caracterizate printr-o susceptivitate magnetic`, respectiv, printr-o permeabilitate relativ` foarte mare , unde ]i dependent` de intensitatea c@mpului magnetic.

62 10...10 mr χµ += 1

• La aceste materiale exist` o temperatur` critic` - numit` temperatur` Curie – la dep`]irea c`reia corpurile []i pierd propriet`\ile magnetice • Sub temperatura Curie, corpurile feromagnetice sunt [mp`r\ite [n domenii de structur` Weiss, cu dimensiuni de ordinul a mm.

• Fiecare domeniu este uniform ]i total magnetizat, toate momentele magnetice ale moleculelor ]i ale particulelor elementare sunt omoparalele.


• n absen\a unui c@mp magnetic exterior direc\iile de magnetizare ale domeniilor sunt orientate haotic ]i dau o magnetiza\ie macroscopic` nul`, ca [n figura a. • n prezen\a unui c@mp magnetic exterior domeniile se rotesc sau []i schimb` volumul d@nd o magnetiza\ie macroscopic` rezultant`, care cre]te o dat` cu intensitatea c@mpului magnetic H, p@n` la alinierea omoparalel` cu H a momentelor magnetice ale tuturor domeniilor ca [n fig. b


• Se ob\ine astfel magnetiza\ia de satura\ie .

• Cre]terea [n continuare a intensit`\ii c@mpului magnetic nu mai m`re]te magnetiza\ia.

sM

• Dependen\a induc\iei magnetice de intensitatea c@mpului magnetic (cu orientare constant`) este ilustrat` [n figura a. pentru un material feromagnetic. • Presupun@nd ini\ial corpul demagnetizat, la aplicarea unui c@mp magnetic a c`rui intensitate H cre]te de la zero, induc\ia B va cre]te dup` curba 0-1, numit` curb` de prim` magnetizare.



• La varia\ia ciclic` a intensit`\ii c@mpului magnetic [ntre Hm ]i – Hm se parcurge ciclul de histerezis 1-2-3-4-5-6-1, pe care se disting urm`toarele puncte importante: - v@rfurile ciclului: 1 (Hm, Bm) ]i 4(-Hm, -Bm); - punctele de remanen\`: 2 (H=0, Br) ]i 5 (H=0, -Br); - punctele coercitive: 3 (-Hc, B=0) ]i 6 (Hc, B=0).

• M`rimile acestor puncte se numesc astfel: - Bm ]i Hm sunt induc\ia ]i intensitatea maxim` a

c@mpului magnetic corespunz`toare ciclului; - Br - induc\ia remanent`; - Hc - intensitatea c@mpului magnetic coercitiv.

• Ciclul de histerezis se parcurge [ntotdeauna [n sensul indicat [n figur` prin s`ge\i


• Suprafa\a ciclului de histerezis corespunde totdeauna unei energii, care se transform` [n c`ldur`, prin frec`ri interne, la fiecare parcurgere a ciclului. • La magnetizarea [n c@mp alternativ a materialelor feromagnetice se produc deci pierderi de putere prin histerezis, care sunt propor\ionale cu num`rul de magnetiz`ri [n unitatea de timp, adic` cu frecven\a curentului alternativ. • n tehnic` se utilizeaz` de obicei curba loc geometric a v@rfurilor ciclurilor de histerezis numit` curb` de magnetizare, ca in figura b. Pe aceast` curb` se remarc` existen\a unei por\iuni finale de pant` egal` cu [n care magnetiza\ia nu mai cre]te cu intensitatea c@mpului magnetic (satura\ia materialului).

0µ


• Exist` patru metale feromagnetice : fierul, nichelul, cobaltul ]i gadoliniu

• Exist` numeroase aliaje feromagnetice, dintre care unele sunt formate din substan\e neferomagnetice de exemplu: bismanolul cu 78% Bi ]i 22% Mn.

• Dup` forma ciclului de histerezis, materialele feromagnetice se clasific` [n materiale magnetice moi ]i materiale magnetice dure.

Materialele magnetice moi au un ciclu de histerezis [ngust ]i o intensitate a c@mpului coercitiv Hc mic` p@n` la zeci

de A/m ]i 1>>rµ )1010( 53∈rµ


• Aceste materiale se magnetizeaz` ]i se demagnetizeaz` relativ u]or ]i se folosesc pentru realizarea circuitelor magnetice ale ma]inilor ]i ale aparatelor electrice; figura a. Exemplu:

• o\elul electrotehnic cu caracteristicile

• permalloy cu caracteristicile

50000,6,0,/5,%5,21,%5,78 max === rc TBrmAHFeNi µ

7000,8,0,/40,%42 max ===÷ rc TBrmAHSi µ


• Materialele magnetice dure au un ciclu de histerezis larg, respectiv o intensitate a c@mpului coercitiv mare ]i , dupa cum este aratat infigura b.

mAH c /102>401÷=rµ


• Aceste materiale se magnetizeaz` ]i se demagnetizeaz` relativ greu ]i se folosesc pentru realizarea magne\ilor permanen\i.

Exemple:

• o\elul carbon c`lit cu caracteristicile:

C%16,0 ÷ mAHc /5000= TBr 7,0=

• o\eluri Alni ]i Alnico, realizatedin Cu, Fe, Al, Ni, Co cu caracteristicile:

mAH c /5500034 −= TBr 25,153,0 −=


• Materialele ferimagnetice sau feritele constituie o ultim` categorie de materiale cu propriet`\i magnetice. -Feritele au o structur` asem`n`toare cu a corpurilor feromagnetice, [ns` o parte din domeniile cu magnetizare spontan` mai slab` se orienteaz` [n sens opus intensit`\ii c@mpului magnetic.

•Feritele sunt materiale semiconductoare, caracterizate prin rezistivitate mare . - Sunt compu]i ai unor metale Ni, Mn, Zn, Cu, Co, Ba cu oxidul de fier. - pot avea at@t propriet`\i de materiale magnetice moi (Feroxcube, Maniperm ].a.), c@t ]i de materiale magnetice dure (Feroxdur, Magnadur, Baferite). - se utilizeaz` [n informatic` (memorii, antene magnetice) c@t ]i [n domeniul ma]inilor ]i aparatelor electrice de mic` putere (Exemplu: transformatoare, micromotoare, microgeneratoare, relee etc.).

mΩ÷ 64 1010


Legea circuitului magnetic. Forma integral`

Enun\: n orice moment, tensiunea magnetomotoare de-a lungul oric`rei curbe [nchise este egal` cu suma a doi termeni: primul este solena\ia , corespunz`toare curen\ilor care str`bat o suprafa\` deschis` oarecare m`rginit` de curba ; al doilea termen este derivata [n raport cu timpul a fluxului electric prin aceea]i suprafa\` ]i se nume]te curent de deplasare.

dtdu S

SmmΓ

ΓΓ

Ψ+=θ


Solena\ia este curentul de conduc\ie total, adic` suma algebric` a curen\ilor din conductoarele care str`pung suprafa\a considerat`:

∫∫Γ

Γ=Σ=

SS AdJNiθ

Legea circuitului magnetic se scrie explicit ∫∫∫∫∫

ΓΓ

+=Γ SS

AdDdtdAdJsdH

Deoarece circula\ia vectorului H [n lungul unei curbe [nchise Γ ( ) este diferit` de zero, rezult` c` ([n cazul general), vectorul c@mp H nu este derivabil dintr-un poten\ial scalar, iar tensiunea magnetic` , [ntre dou` puncte depinde de drum,

adic` de curba de integrare de la A la B.

∫Γ

sdH

∫=B

Am sdHu


Circuite magnetice. Defini\ii

n corpurile feromagnetice (]i ferimagnetice), la o valoare dat` a intensit`\ii c@mpului magnetic se ob\in valori mai mari ale induc\iei magnetice dec@t [n corpurile dia sau paramagnetice.

-1- coloan`; -2- jug; -3- [ntrefier; -4- arm`tur`; -5- bobin`;


• Din acest motiv miezurile ma]inilor ]i aparatelor electrice se realizeaz` din materiale feromagnetice ]i ferimagnetice pentru realizarea unor induc\ii magnetice mari, necesare func\ion`rii economice a acestora. •Circuitele magnetice sunt miezuri [mpreun` cu eventualele [ntrefieruri, care au proprietatea de a conduce cea mai mare parte a fluxului magnetic. ntrefierurile sunt [ntreruperi scurte ale miezului, umplute cu aer sau materiale neferomagnetice. n figura de mai sus se prezint` dou` circuite magnetice pentru transformatorul electric monofazat ]i pentru releul electromagnetic. Coloanele sunt por\iunile circuitului magnetic pe care se a]eaz` bobinele. Restul circuitului magnetic se [nchide prin juguri ]i [ntrefieruri.Arm`turile sunt por\iunile mobile ale circuitului magnetic.


Reluctan\a. Permean\a.

Fie o por\iune neramificat` de circuit magnetic, care constituie un tub de flux magnetic, suficient de sub\ire pentru a se considera fluxul repartizat uniform pe sec\iunea lui ca [n figura

Tensiunea magnetic` [ntre dou` puncte 1 ]i 2 de-a lungul curbei C pe axa tubului este:

∫∫∫ ===2

1

2

1

2

1)()(

dsBdsHsdHUCC

m µ

deoarece ,curba C este o linie de c@mp, iar

dsHB ||||HB µ=

Rezult`: ∫∫ Φ=Φ

=2

1

2

1)()( LL

Adsds

AU f

fm µµ

[n care este fluxul magnetic fascicular constant prin toate sec\iunile tubului de flux.

fΦ


• Se nume]te reluctan\` magnetic` sau rezisten\` magnetic` a por\iunii de circuit magnetic, m`rimea pozitiv` definit` de raportul dintre tensiunea magnetic` ]i fluxul fascicular: f

mm

UR

Φ=

•Din rela\iile de mai sus rezult` c` reluctan\a magnetic` a unui tub sub\ire de flux magnetic are expresia:

∫=2

1 AdsRm µ

• n cazul particular al por\iunilor de circuit omogen, de lungime l, de sec\iune A constant` ]i permeabilitate constant` reluctant` este

AlRm µ

=


• n S.I. unitatea de m`sur` pentru reluctan\a magnetic` este amperspira pe weber . • Inversul reluctan\ei se nume]te permean\`.

[ ]WbspA ⋅

lA

UR m

f

m

µ=Φ

==Λ1

Din rela\ia de defini\ie rezulta legea lui Ohm pentru circuite magnetice.

fmm RU Φ=• Rezolvarea unui circuit magnetic de configura\ie dat` const` fie [n determinarea prin calcul a fluxurilor magnetice utile ]i de dispersie la o distribu\ie a solena\iilor date, fie [n determinarea solena\iilor la flux magnetic util dat. • Rezolvarea se poate efectua fie direct plec@nd de la legile c@mpului magnetic, fie utiliz@nd o analogie [ntre circuitele magnetice ]i cele

electrice


Teoremele lui Kirchhoff pentru circuitele magnetice

Teorema I a lui Kirchhoff.

• Enunt: Suma algebric` a fluxurilor magnetice care trec prin laturile unui circuit magnetic ce concur` [ntr-un nod al acestui circuit, considerate negative c@nd sunt [ndreptate spre nod ]i pozitive [n caz contrar este nul`.

∑∈

=ΦNK

fk 0

Teorema I a lui Kirchhoff rezult` din legea fluxului magnetic

∫∫Σ

==ΦΣ 0AdB


Teorema a II-a a lui Kirchhoff.

• Enunt: n regim sta\ionar ]i cvasista\ionar, suma algebric` a solena\iilor care [nl`n\uie laturile f`r` dispersie magnetic` ale oric`rui ochi de circuit magnetic este egal` cu suma algebric` a produselor reluctan\elor magnetice ale laturilor prin fluxurile magnetice fasciculare care trec prin ele (adic` cu suma c`derilor de tensiune magnetic`)

∑ ∑∈ ∈

Φ=BK BK

fkmkk Rθ

• Teorema a II-a a lui Kirchhoff rezult` din legea circuitului magnetic • Rezult` echivalen\e [ntre circuite electrice ]i circuite magnetice:

∑= kmmkU θ

fmm IURR φθ →→→ ,,


Teoremele reluctan\elor echivalente

Circuitul magnetic cu n laturi [n serie.

Enun\: Reluctan\a echivalent` a mai multor laturi conectate [n serie (adic` st`b`tute de acela]i flux) este egal` cu suma reluctan\elor laturilor.

∑=

=n

Kmkme RR

1


Circuitul magnetic cu n laturi [n paralel

Fie dat un circuit magnetic cu n laturi [n paralel ca [n figura Enun\: Valoarea reciproca a reluctan\ei echivalente a mai multor laturi conectate [n paralel (c`rora li se aplic` aceea]i tensiune magnetic`) este egal` cu suma valoarilor reciproce ale reluctan\elor acestor laturi.

∑=

=n

K mkme RR 1

11 ∑=

Λ=Λn

Kke

1


Inductivit`\i Defini\ie: Inductivitatea este definit` ca fiind raportul dintre fluxul magnetic care str`bate o suprafa\` limitat` de conturul unui circuit ]i curentul care [l produce.

iL

D Φ=

• Se consider` dou` circuite cu N1 ]i N2 spire de contur ]i ]i se presupune c` numai primul circuit este str`b`tut de curentul i1 ca [n figura - Se noteaz` cu fluxul fascicular produs de circuitul 1 ]i cu fluxul fascicular produs de circuitul 2.

11fΦ

21fΦ


Conven\ii • Se convine ca nota\ia acestor fluxuri s` fie afectat` de doi indici: primul indic` circuitul prin a c`rui suprafa\` trece fluxul, iar al doilea curentul care produce fluxul respectiv. • Se mai convine c` sensul de referin\` al fiec`ruia din aceste fluxuri s` fie asociat dup` regula burghiului drept sensului de referin\` de pe circuitul [nl`n\uit de acel flux.

• Se noteaz` cu fluxul de dispersie al circuitului 1 fa\` de circuitul 2, adic` fluxul fascicular produs de circuitul 1 ce nu trece prin circuitul 2. Rezult` evident:

21fdΦ

212111 fdff Φ+Φ=Φ


•Defini\ie: Inductivitatea proprie L11 a circuitului 1 este raportul pozitiv dintre fluxul total Φ11 prin circuitul 1, produs de curentul acelui circuit ([n sensul asociat dup` regula burghiului drept sensului curentului) ]i curentul i1 care [l produce

01

111

1

1111 >

Φ=

Φ=

iN

iL f

• Defini\ie: Inductivitatea mutual` L21, [ntre circuitele 1 ]i 2 este raportul dintre fluxul total Φ21 produs de circuitul 1, care trece prin circuitul 2, ]i curentul i1 care [l produce:

01

212

1

2121 <

>Φ=

Φ=

iN

iL f

• Inductivitatea mutual` (]i uneori modulul ei) se mai noteaz` cu simbolul M.


n mod analog se definesc: • inductivitatea proprie L22 a circuitului 2:

2

222

2

2222 i

Ni

L fΦ=

Φ=

• inductivitatea mutual` L12 [ntre circuitul 2 ]i 1:

2

121

2

1212 i

Ni

L fΦ=

Φ=

• Se poate demonstra c` inductivit`\ile mutuale satisfac rela\iile de reciprocitate

2112 LL =n S.I. unitatea de m`sur` pentru inductivitate este

Henry [ ]H


Energia ]i for\ele c@mpului magnetic

Energia

• Energia c@mpului magnetic este localizat` [n tot domeniul de c@mp cu o densitate de volum dat` de expresia:

∫=B

m BdHw0

n medii liniare HB µ= si 22

21

21

21 BHBHwm µ

µ ===

Energia magnetic` se poate calcula ]i ca integrala de volum a densit`\ii de volum extins` la volumul ocupat de c@mp: ∫=

εVmm dvwW


Dac` se consider` cazul general al unei reparti\ii neomogene a c@mpului magnetic, energia c@mpului magnetic localizat` [n volumul V este dat de rela\ia:

∫∫∫=εV

m dvHBW2

Observa\ie: Energia magnetic` proprie a unei bobine [n func\ie de inductivitatea L de fluxul Φ ]i de curentul i este:

LiLiWm 222

22 Φ==

Φ=


Teoremele for\elor generalizate [n c@mpul magnetic

•Prima teorem` a for\elor generalizate [n c@mp magnetic Fie energia magnetic` exprimat` [n func\ie de fluxuri ]i de coordonata generalizat`: ),( xfWm Φ=

•Enun\: For\a generalizat` F corespunz`toare coordonatei generalizate x, este egal` cu derivata par\ial` a energiei magnetice Wm [n raport cu coordonata generalizat` luat` cu semn schimbat, la fluxuri magnetice constante prin circuite

.ct

m

xW

F=Φ

∂∂

−=


• A doua teorem` a for\elor generalizate [n c@mpul magnetic Fie energia magnetic` exprimat` [n func\ie de curen\i ]i de coordonata generalizat`: ),( xifWm =•Enun\: For\a generalizat` F corespunz`toare coordonatei generalizate x, este egal` cu derivata par\ial` a energiei magnetice Wm [n raport cu coordonata generalizat`, la curen\i constan\i prin circuite.

.cti

m

xW

F=

∂∂

=

• Ambele rela\ii permit calculul aceleia]i for\e F a c`rei valoare nu depinde de modul cum este calculat`.


Aplica\ie: For\a portant` a unui electromagnet

Fie dat electromagnetul cu datele din figura

Se cere: a) S` se calculeze inductivitatea [nf`]ur`rii; b) S` se determine for\a portant`.


Rezolvare: a) Se consider` o bobin` cu circuit magnetic f`r` dispersie, a c`rui reluctan\` total` Rm , este suma reluctan\elor [n serie la un circuit neramificat. Inductivitatea este:

m

f

RiN

iNL θ1

=Φ

= Λ== 22

NRNL

m

21 fff lll +=• Se noteaza

• expresia inductivit`\ii [nf`]ur`rii electromagnetului din figur` este:

00

22

2AA

lN

Al

NLf

µδ

µµ +==

∑

ELECTROTEHNICA




Circuite electrice monofazate in regim sinusoidal

Cuprins: • Definitii, marimi sinusoidale, imagini in complex, proprietati. • Caracterizarea in complex a elementelor de circuit. • Puteri in regim sinusoidal. • Metode de rezolvare a circuitelor in regim sinusoidal. • Teoreme de echivalenta in complex. • Rezonanta dipolilor. Aperiodicitate. Ferorezonanta.


1. Introducere

• Un circuit functioneaza in regim sinusoidal daca toate tensiunile si toti curentii sunt marimi sinusoidale de aceeasi pulsatie. Un astfel de circuit se numeste circuit de curent alternativ (c.a.). • Fie un circuit liniar cu rezistoare cu rezistentele pozitive, bobine cu inductivitatile pozitive, condensatoare cu capacitatile pozitive si in care toate sursele independente sunt sinusoidale de aceeasi pulsatie ω. Un astfel de circuit functioneaza in regim sinusoidal atunci cand timpul care trece de la cuplarea surselor tinde catre infinit (t→∞) .


• Se spune ca regimul permanent, care se obtine pentru pentru t→∞, al acestui circuit este sinusoidal. • Daca intr-un astfel de circuit avem un singur element neliniar, regimul permanent, daca exista, este unul nesinusoidal (deformant) in care raspunsul contine componente de pulsatiile 2ω, 3ω,... • Regimul sinusoidal este deci regimul permanent al unei clase de circuite liniare. • Importanta studiului acestui regim este legata de faptul ca energia electrica se produce cu generatoare sinusoidale si se distribuie eficient prin circuite de curent alternativ; in plus foarte multe circuite electronice functioneaza in acest regim


M`rimi periodice ]i m`rimi sinusoidale • Valoarea instantanee a unei m`rimi variabile este valoarea pe care o are acea m`rime la un moment oarecare t; • prin conven\ie, se noteaz` cu litera mic` a simbolului pentru m`rimea respectiv`( i, u, p ). • M`rimea periodic` este o m`rime variabil` ale c`rei valori instantanee se reproduc [n acee]i succesiune dup` trecerea unor intervale de timp egale.


• Valoarea instantanee a unei m`rimi periodice (in exemplu s-a ales simbolul curentului, dar propriet`\ile exemplificate pot fi ale oric`rei m`rimi) satisface pentru orice t condi\ia: unde: - n este un num`r [ntreg pozitiv sau negativ; - T este perioada m`rimii variabile, adic` cel mai mic interval de timp dup` care se reproduc in aceea]i succesiune valorile instantanee ale m`rimii periodice respective. Frecven\a este num`rul de perioade cuprins [n unitatea de timp:

)()( nTtiti +=

Tf 1= Unitatea de masura pentru frecven\` se

nume]te hertz notat [ ]Hz


• M`rimile periodice care iau valori de un singur semn se numesc m`rimi pulsatorii, iar cele care iau valori de ambele semne se numesc m`rimi alternative.

• Valoarea de v@rf a unei marimi periodice este cea mai mare valoare periodic` atins` [n decursul unei perioade; dac` valoarea instantanee este i, valoarea de v@rf se noteaz` sau , ca [n figura


• Valoarea medie a unei m`rimi periodice este media aritmetic` a valorilor ei instantanee [ntr-un interval de timp egal cu o perioad` T:

∫+

=Tt

tmed idt

TI

1

1

1

• Valoarea efectiva (sau eficace) sau , a unei m`rimi periodice este r`dacina patrat` a mediei p`tratelor valorilor ei instantanee [ntr-un interval de timp egal cu o perioad`:

∫+

=Tt

t

dtiT

I1

1

21


• Valoarea efectiv` a unui curent alternativ este egal` cu intensitatea curentului continuu care, [ntr-un rezistor cu aceea]i rezisten\`, dezvolt` aceea]i caldur` [n timp de o perioad` ca ]i curentul periodic. • M`rimea sinusoidal` sau armonic`, este o m`rime alternativ` a c`rei varia\ie [n timp reprezentat` [n figura


• varia\ia [n timp a unei marimi sinusoidale este descris` printr-o expresie de forma:

)sin()( max ϕω += tItiunde: • este amplitudinea egal` cu modulul valorii maxime a m`rimii sinusoidale; • I este valoarea efectiv`; • T este perioada; • f = 1/T este frecven\a; • ω este pulsa\ia ω = 2 π f ; • este faza ini\ial`.

II 2max =

ϕ


• Valoarea medie pe o perioad` a m`rimii sinusoidale este nul`.

0=medIValoarea efectiv` m`rimii sinusoidale este:

22)](2cos1[

2)(sin1 max

2max

2max22

maxI

TT

Idtt

TI

dttIT

IT

o

T

o

==+−=+= ∫∫ ϕωϕω

M`rimile sinusoidale se reprezint` [n electrotehinic` cu ajutorul valorii efective:

).sin(2)( ϕω += tIti


Reprezentarea [n complex a m`rimilor sinusoidale

Reprezentarea [n complex a m`rimii sinusoidale y(t) = Y sin(t + ϕ), este num`rul complex Unde, ca [n figura : - Y este modulul numarului complex; - ϕ este argumentul numarului complex; -

ϕjYeY =

j = −1 Evident Y=Ycosϕ + jYsinϕ, unde: - Ycosϕ este partea real` a lui Y; - Ysinϕ este partea imaginar` a lui Y. Reprezentarea grafic` a lui Y [n planul complex se nume]te fazor.

2


Propriet`\i ale transformarilor in complex • liniaritatea: a*y1 (t) + b*y2 (t) ⇔ a*Y1+ b*Y 2 cu a,b∈R

Demonstra\ie: Este evident c` ay1 (t) ↔ aY1. R`m@ne de ar`tat ca y1 + y2 ↔ Y1 + Y2

Fie si y t Y t1 1 12( ) sin( )= +ω ϕ y t Y t2 2 22( ) sin( )= +ω ϕ

Atunci: =+++= )sincoscossinsincoscossin(2)( 22221111 ϕωϕωϕωϕω tYtYtYtYty

]cos)sinsin(sin)coscos[2 22112211 tYYtYY ωϕϕωϕϕ +++=

Se noteaz`: 2211 coscos ϕϕ YYA += 2211 sinsin ϕϕ YY +=B

ABtg =ϕ

22sin

BAB+

=ϕ22

cosBA

A+

=ϕ


Rezult`:

).sin()(2)cossinsin(cos)(2

)cossin(2)(

2222

2222

22

ϕωωϕωϕ

ωω

++=++

=+

++

+=

tBAttBA

tBA

BtBA

ABAty

Reprezentarea in complex a lui y(t) este:

jBAjBAY +=++= )sin(cos22 ϕϕ

12121111 sincossincos ϕϕϕϕ jYYjYY +++

21 YY +

=

= =

=


• derivarea marimii sinusoidale [n raport cu timpul:

⇔ jω Y dydt

Dem:

⇔++=+= )2

sin(2)cos(2 παωωαωω tYtYdtdy

Yjj

eY ω

παω =

+⇔

)2

(


Observatii • reprezentarea in complex a unei marimi sinusoidale (tensiune sau curent) are numai 2 parametri (Y, ), dintre cei trei parametri (Y, , ) ai marimii sinusoidale corespunzatoare. Parametrul intervine in expresiile impedantelor complexe • Sistemul de ecuatii diferential algebric care caracterizeaza un circuit liniar dinamic in regim sinusoidal corespunde unui sistem de ecuatii algebrice in complex; aceasta proprietate constituie principalul avantaj al utilizarii reprezentarii in complex a marimilor sinusoidale deoarece manipularea (inclusive rezolvarea) unor ecuatii algebrice este considerabil mai simpla decat a unor ecuatii diferentiale.

ϕϕ

ωω


Aplica\ii. • Fie m`rimea sinusoidal` y(t) = *120sin (ωt + π/2)

Num`rul complex corespunzator este Y = Ye jϕ cu Y = 120 si ϕ = π/2, respectiv Y = 120e jπ/2 = =120 ( cos π/2 +jsin π/2) = 120j. • Dac` y(t) = 100 sin (ωt + π/4), atunci Y = e jπ/4 = = ( cosπ/4 +jsinπ/4 ) ⇔ Y =50 ( 1+j ). • Fie numarul complex Y = 3+4j. Marimea sinusoidala corespunzatoare este y(t) = Ysin(ωt + ϕ) cu Y = 5 si ϕ = arctg 4/3 = 580 si

deci y(t) = *5sin (ωt +580 )

2100

2100

2

2

2


Caracterizarea [n complex a circuitelor liniare

Caracterizarea [n complex a elementelor dipolare de circuit (EDC)

Fie un element dipolar de circuit (EDC), ca [n figura av@nd tensiunea la borne ( )utUtu ϕω += sin2)(

]i curentul

( )itIti ϕω += sin2)(

respectiv [n complex U=Ue jϕ u ]i I = Ie jϕ i unde se noteaza

ϕ = ϕu - ϕi este defazajul [ntre tensiune ]i curent.


• Se consider` u(t) ]i i(t) asocia\i dup` regula de la receptoare (ca ]i m`rimile complexe corespunzatoare U ]i I) • Se defineste impedan\a complex` a EDC ca raportul dintre tensiunea U ]i curentul I

UI

e j Ze jϕ ϕ=

==I

UZ

IUZ =unde este impedan\a EDC.

Z ]i Z se m`soar` [n Ω.


Se noteaz`: Z= R + jX , unde : ReZ=R este rezisten\a de curent alternativ; • ImZ=X este reactan\a;

Deci: Z=R + jX = R X e j arctgX R Ze j2 2+ =/ ϕ

Se defineste admitan\a complexa Y a unui element de circuit ca raportul dintre curentul I si tensiunea U:

jBGjYeZU

IY −=−=== ϕ1

unde: Y este admitanta EDC,

• G=ReY este conductanta EDC • B=ImY este susceptanta EDC.

Y si Y se masoara in Siemens (S) sau (Ω- 1 ).


Schemele echivalente [n complex ale (EDC)

• Se prezinta schemele echivalente [n complex ale elementelor dipolare de circuit [n c.a. Pentru surse u(t) ]i i(t) se consider` asociate dup` regula de la generatoare. Pentru celelalte elemente de circuit u(t) ]i i(t) se consider` asociate dup` regula de la receptoare.

Sursa ideala de tensiune (SIT) are tensiunea electromotoare sinusoidal`:

e(t) = E sin(ωt + α), 2deci [i corespunde [n complex e(t)⇔E=Ee jα. n figura sunt desenate sursa de tensiune ]i schema ei echivalent` [n complex.


Sursa ideal` de curent (SIC)

• are curentul electromotor

is(t) =Is sin(ωt + ß) cu reprezentarea [n complex ]i schema echivalent` din figura

βjss eII =


Rezistorul ideal. Fie un rezistor ideal ca [n figura a.

tRU

Rtuti ωsin2)()( ==

Rezult` [n complex: U=RI deci impedan\a rezistiv`: ZR =R

Dac` u(t) = U sinωt

• Rezistorul are schema echivalent` [n complex prezentata in figura b de mai sus. • n schemele echivalente [n complex impedan\ele complexe se simbolizeaza ca ni]te rezistoare. Defazajul [ntre tensiune ]i curent este ϕ = ϕu - ϕi = 0, si reprezentarea fazorial` a lui

2

U ]i I este dat` [n figura c.

atunci


Bobina ideal` Fie o bobin` ideal` ca [n figura a. Dac`:

i(t) = Isinωt atunci din ecua\ia de functionare

)2sin(2)()( πωω +== tLIdt

tdiLtu rezult` [n complex:U= jωLI

•Deci impedan\a inductiv`: ZL = jωL = jXL unde XL=ωL este reactan\a inductiva a bobinei. Bobina ideal` are schema echivalent` [n complex din figura b, iar defazajul [ntre tensiune ]i curent este ϕ= ϕu - ϕi= π / 2 • reprezentarea fazoriala a lui U si I este dat` [n figura c. • Deci bobina ideal` defazeaza cu π / 2 tensiunea [naintea curentului (sau curentul [n urma tensiunii).

2


Condensatorul ideal. Fie un condensator ideal ca [n figura a Dac` u(t) = Usinωt atunci din ecuatia de func\ionare

)2sin(2)()( πωω +== tCUdt

tduCti

rezult` I= jωC U sau U = I/ jωC ]i deci impedan\a capacitiv` este dat` de rela\ia: ZC= -j/ ωC = jXC, unde XC=-1/ ωC este reactan\a capacitiv` a condensatorului. Conden-satorul ideal are schema echivalent` [n complex din figura b. Defazajul [ntre tensiune ]i curent este: ϕ = ϕu-ϕi=-π/2

Reprezentarea fazorial` a lui U ]i I este dat` [n figura c. Deci condensatorul ideal defazeaz` cu π / 2 tensiunea [n urma

2

curentului (sau curentul [naintea tensiunii).


Elementele multipolare

• Un circuit de curent alternativ poate contine orice element liniar de circuit.

• Exemplu de elemente rezistive multipolare liniare

- sursele comandate liniar

- circuitul echivalent liniar pentru semnale mici al tranzistorului

• o sursa comandata liniar are ca schema echivalenta in complex tot o sursa comandata liniar;


• de exemplu o SCCC cu ecuatia de functionare is(t)= ßi1(t) are ca schema echivalenta in complex o SCCC cu ecuatia de functionare Is= ßI1.

•In consecinta circuitul echivalent liniar pentru semnale mici al tranzistorului are schema echivalenta in complex prezentata in figura


Perechea de bobine cuplate magnetic. Ecuatiile de functionare a doua bobine liniare cuplate magnetic sunt:

dt

tidM

dt

tidLtu

)(2)(11)(1 ±=

dt

tidM

dt

tidLtu

)(1)(22)(2 ±=

In complex aceste ecuatii devin:

U1=jωL1I1±jωMI2

U2=jωL2I2±jωMI1


• Schema echivalenta in complex contine doua impedante inductive cuplate intre ele. • La bornele unei astfel de impedante avem o cadere de tensiune proprie si o cadere de tensiune mutuala. • De exemplu U1 este formata din caderea de tensiune proprie jωL1I1 si caderea de tensiune mutuala jωMI2; • semnul caderii de tensiune mutuale este + daca curentii I1 si I2 ataca la fel bornele polarizate (ambii intra sau ambii ies din aceste borne) sau - daca curentii I1 si I2 ataca diferit bornele polarizate (unul intra si celalalt iese din borna polarizata) •de fiecare data cand se scriu ecuatiile circuitului trebuie determinate semnele caderilor de tensiune mutuala.


• Aceleasi ecuatii in complex corespund si unui circuit echivalent cu surse de tensiune comandate in curent

• calculand U1 ca suma intre caderea de tensiune la bornele impedantei jωL1 si tensiunea la bornele sursei comandate rezulta U1=jωL1I1±jωMI2.

•In expresiile E1 si E2 se considera semnul + daca curentii I1 si I2 ataca la fel bornele polarizate si semnul - daca le ataca diferit.

• O verificare similara se poate face si pentru U2


• Se prefera utilizarea acestui circuit in locul schemei cu bornele polarizate. Aceasta deoarece semnele E1 si E2 se stabilesc atunci cand se construieste circuitul echivalent, aceasta operatiune fiind facuta separat de cele implicate de scrierea ecuatiilor.

• Se diminueaza astfel posibilitatea de a gresi, fata de utilizarea schemei cu borne polarizate in care semnele caderilor de tensiune mutuale se stabilesc in timpul scrierii ecuatiei.


Doua bobine cuplate care au un nod comun

• Daca cele doua bobine cuplate au un nod comun (fig. a) exista un circuit echivalent mai simplu fara surse comandate. Ecuatiile de functionare ale celor doua bobine cuplate sunt:

U1=jωL1I1 + jωMI2

U2=jωL2I2 + jωMI1.

• In prima ecuatie se aduna si se scade jωMI1 si in a doua ecuatie se aduna si se scade jωMI2


se obtin ecuatiile:

U1=(jωL1 - jωM)I1+ jωM (I1+I2)

U2= (jωL2 - jωM)I2+jωM(I1+I2) carora le corespunde schema echivalenta din figura b . Acest procedeu se numeste spargerea cuplajului. Daca bornele

polarizate sunt atacate diferit de curenti atunci M se inlocuieste cu -M si circuitul echivalent fara cuplaje este prezentat in figura


Puteri [n circuitele de curent alternativ

• Deoarece produsul a dou` m`rimi instantanee nu este o m`rime sinusoidal`, puterea instantanee p(t) la bornele unui dipol nu se poate reprezenta [n complex dup` regulile reprezent`rii stabilite pentru m`rimi sinusoidale. •Se considera un EDC cu tensiunea si curentul la borne: u(t) = Usinωt si i(t) = Isin(ωt - ϕ). Pentru generatoare (surse) de orice tip u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la generatoare; pentru celelalte elemente de circuit u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la receptoare. Se definesc urmatoarele puteri: •Puterea instantanee p(t), absorbita de receptor sau cedata de generator este: p(t)= u(t) *i(t) =2UI sinωt *sin(ωt - ϕ) = UIcosϕ - UIcos(2ωt - ϕ)

2 2


•Valoarea medie pe o perioada a puterii instantanei care se numeste putere activa P este:

PT

p t dt UIT

= =∫1

0( ) cosϕ

•Puterea activa depinde de valorile efective ale tensiunii si curentului si de factorul de putere si se consuma efectiv si ireversibil in rezistoare. Unitatea de masura a puterii active este Wattul, [P] = 1W. Din definitia puterii active rezulta interpretarea fizica a valorii efective a curentului si a tensiunii. Daca se considera un rezistor cu rezistenta R prin care trece curentul i(t) = I*sinωt rezulta u(t) = Ri(t) = = RIsinωt si •Deci valoarea efectiva a unui curent sinusoidal este numeric egala cu valoarea unui curent continuu care, trecand prin aceeasi rezistenta ca si curentul sinusoidal produce aceeasi putere prin efect Joule.

Pabs Tu t i t dt RI

T= =∫

1 20

( ) ( )2

2


• Puterea reactiva Q, este Q = UI sinϕ avand unitatea de masura [Q]=1VAR (volt-amper reactiv).

• Puterea aparenta S, este S = UI si are unitatea de masura [S] = [VA]. Evident

•Se define]te o m`rime complex` care str@nge [n aceea]i expresie puterea activ`, puterea reactiv` ]i puterea aparent`, utilizate pentru a caracteriza regimul permanent al circuitelor.

•Puterea aparenta complexa (puterea complexa) este

S = U I*=UIe j ϕ =Uicosϕ +jUIsinϕ=P+jQ.

S P Q= +2 2


• Puterile absorbite sau debitate de elementele ideale de circuit

• rezistorul ideal absoarbe puterea activa P=RI2 si, deoarece ϕ=0, puterea reactiva absorbita este Q=UIsinϕ=0 deci puterea complexa absorbita este Sa =RI2 +j0.

•bobina ideala parcursa de curentul i(t)= Isinωt are tensiunea la borne u(t)= ωLIsin(ωt + π/2) deci ϕ=π/2 si rezulta Q=UIsinπ/2=ωLI2=U2/ωL > 0, P = UI cosπ/2 = 0, deci bobina absoarbe puterea complexa Sa=0+jωLI2.

•Media pe o perioda a energiei acumulate in bobina este

22

~ ( )Wm TLi t dt LI

T= =∫

1 2 20


- condensatorul ideal cu tensiunea la borne u(t) = Usinωt este parcurs de curentul i(t)= ωCUsin(ωt + π/2), deci ϕ = -π/2 si rezulta Q = UIsin(-π/2)= = - U2ωC < 0, P = UI cos(-π/2) = 0, deci condensatorul absoarbe puterea complexa Sa=0-jωCU2.

- Media pe o perioda a energiei acumulate in condensator este

22

~ ( )We TCu t dt CU

T= =∫

1 2 20

• Deoarece elementele dinamice, condensatorul si bobina schimba cu circuitul in care sunt conectate o putere reactiva nenula, ele se numesc si elemente reactive.

Teoria circuitelor electrice C. V. Marin

-sursa ideala de tensiune cu tensiunea electromotoare e(t)= Esinωt parcursa de curentul i(t)= I sin(ωt+ϕ) debiteaza o putere complexa

Sd=E I* = EIe -jϕ = EIcosϕ-jEIsinϕ

(U si I sunt asociate dupa regula de la generatoare sau I parcurge sursa in sensul sagetii lui E)

2 2

Sursa ideala de curent are curentul electromotor is(t)= Is sin(ωt+ϕ) cu

tensiunea la borne u(t)= U sinωt, debiteaza o putere complexa Sd = U I* = UIse -jϕ = UIscosϕ-jUIssinϕ (U si Is sunt asociate dupa regula de la generatoare)

22


Observatii: • puterea activa este absorbita numai de rezistoarele ideale • puterea reactiva este absorbita numai de bobinele si condensatoarele ideale •impedanta complexa Z=R+jX absoarbe puterea aparenta complexa Sa =U I*= Z I I*= ZI2=(R+jX) I2 =RI2 + jXI2 deci Pa=RI2 si Qa =XI2. •sursele debiteaza atat putere activa cat si putere reactiva

ELECTROTEHNICA




Cuprins:

• Definitii, marimi sinusoidale, imagini in complex, proprietati.

• Caracterizarea in complex a elementelor de circuit. • Puteri in regim sinusoidal.

•Teorme in circuitele de curent alternativ •Teoreme de echivalenta in complex.

•Metode de rezolvare a circuitelor in regim sinusoidal.

• Rezonanta dipolilor. Aperiodicitate. Ferorezonanta.



Teorme in circuitele de curent alternativ

Teoremele lui Kirchhoff in complex

ik ( )k Ni

t∈∑ = 0

0=∑∈Sk

kI

Enunt: suma algebrica a curentilor in complex corespunzator tuturor laturilor unei sectiuni S este nula.

si datorita liniaritatii reprezentarii in complex se obtine:

Teorema I a lui Kirchhoff este :


Teorema a II-a a lui Kirchhoff este:

Enunt: suma algebrica a caderilor de tensiune complexe la bornele tuturor elementelor de circuit care apartin aceleiasi bucle este nula.

si similar datorita liniaritatii reprezentarii in complex rezulta

0)( =∑∈

tBk ku

0=∑∈Bk kU


Teorema conservarii puterilor complexe Se considera:

•teorema a II-a a lui Kirchhoff in complex si

• curentii conjugati Ik* verifica, evident, teorema I alui

Kirchhoff in complex 0* =∑

∈SkkI

teorema lui Tellegen in complex este: Uk Ik

toatelaturile* =∑ 0

in aceasta expresie Uk si Ik sunt asociate dupa regula de la receptoare.


•Se separa intr-un membru puterile complexe debitate de surse (pentru care Uk si Ik sunt asociate dupa regula de la generatoare) si

•in celalat membru puterile complexe absorbite de consumatori (impedante complexe) rezulta:

Teorema conservarii puterilor complexe.

Enunt: Suma puterilor complexe debitate de toate sursele dintr-un circuit este egala cu suma puterilor complexe absorbite de toate impedantele din acelasi circuit:

S kd S katoate sursele toate impedantele

∑ = ∑


Se tine seama ca :

Sd = Pd + jQd si

Sa = Pa + jQa

Si rezulta:

Pkd Pkatoate sursele toate rezistoarele∑ = ∑

Qkd Qkatoate sursele toate elementele reactive∑ = ∑

• puterile active si puterile reactive se conserva.


Observatii: • puterile aparente Sk nu se conserva • conservarea puterilor complexe poate fi folosita, similar cu consevarea puterilor in circuitele de c.c., la verificarea rezultatelor obtinute prin rezolvarea problemelor de analiza a circuitelor de c.a. •pentru o bobina Qa=ω si pentru un condensator Qa=-ω rezulta ca •deci un dipol RLC are caracter inductiv daca >0, are caracter capacitiv daca <0 si are caracter rezistiv sau este la rezonanta daca =0

~Wm ~WeQa Wm We= −∑∑ ω ( ~ ~ )

QatoateZ∑

QatoateZ∑

QatoateZ∑


• condensatorul nu genereaza putere reactiva chiar daca absoarbe o putere reactiva negativa; asa cum rezulta din teorema conservarii puterilor complexe, puterea reactiva (pozitiva sau negativa) este generata de surse

•defazajul ϕ intre curent si tensiunea la bornele unui dipol RLC format din elemente de circuit cu R,L,C>0 este cuprins intre -π/2 si +π/2 deoarece

UIcosϕ = Rk Iktoate R2 0>∑

deci cosϕ > 0


Teoreme ale circuitelor de curent aternativ • Ecuatiile circuitului echivalent cu surse si impedante complexe sunt similare ecuatiilor unui circuit liniar de curent continuu. Din acest motiv enunturile teoremelor sunt asemanatoare cu cele prezentate anterior si demonstratiile nu vor fi reluate Teoremele impedantelor echivalente Legarea in serie a impedantelor: •Deoarece Zes = Res + jXes si Zk = Rk + jXk rezulta Legarea in paralel a impedantelor: deci si

∑=

=n

kkZesZ

1Res Rkk

n=

=∑

1Xes Xkk

n=

=∑

1∑=

=n

kkYepY

1Gep Gkk

n=

=∑

1Bep Bkk

n=

=∑

1


Transfigurarile stea-triunghi si triunghi-stea Stea-triunghi :Se dau Z1, Z2, Z3 si se cer impedan\ele Z12, Z23, Z31 ale triunghiului echivalent

• Ca [n figura, se scurtcircuiteaza bornele 2 si 3 [n ambele circuite si se calculeaz` impedan\a echivalent` [ntre bornele 1 si 2 (Ze12) care trebuie s` fie aceea]i:

32

32112 ZZ

ZZZZ Ye +

+=311212

111ZZZ e

+=∆


deci :

313221

32

3112

11ZZZZZZ

ZZZZ ++

+=+

n mod asem`nator se ob\in rela\iile:

313221

31

2312

11ZZZZZZ

ZZZZ ++

+=+

313221

21

3123

11ZZZZZZ

ZZZZ ++

+=+


• Se adun` cele trei ecua\ii, se simplific` cu 2 si reulta:

313221

321

312312

111ZZZZZZ

ZZZZZZ ++

++=++

Din relatia de mai sus se scade pe r@nd fiecare din ecua\iile ini\iale ]i se obtin:

3

31322112 Z

ZZZZZZZ ++=

1

31322123 Z

ZZZZZZZ ++=

2

31322131 Z

ZZZZZZZ ++=

•Dac` steaua este echilibrat`, adica are aceasi impedan\` ZY pe fiecare faz`, atunci triunghiul echivalent este ]i el echilibrat , de impedan\` Z∆ = 3ZY.


Triunghi-stea. Pentru transfigurarea triunghi-stea se procedeaz` similar, consider@nd pe r@nd c@te o born` [n gol.:

312312

312312)3(12

)(ZZZ

ZZZZ ingole +++

=∆

21)3(12 ZZZ Yingole +=

n continuare calculul continu` ca [n cazul stea-triunghi si rezult`:.

312312

31121 ZZZ

ZZZ++

=312312

12232 ZZZ

ZZZ++

=312312

23313 ZZZ

ZZZ++

=

Un triunghi echilibrat de impedanta Z∆ are o stea echivalenta echilibrata de impedanta ZY= Z∆

3


Teorema superpozitiei • Enunt: Fie un circuit de c.a. cu mai multe surse: E1, ... , El, Is,l+1,...,Ism. Orice curent (sau tensiune) din circuit se poate scrie ca o suma a curentilor (tensiunilor) din aceeasi latura produsi de fiecare sursa independenta separat, celelalte surse independente fiind pasivizate. • De exemplu unde I1k este curentul produs in latura 1 de sursa independenta din latura k, celelalte surse independente fiind pasivizate. • Teorema este o consecinta a caracterului liniar al ecuatiilor circuitului. • Sursele comandate nu se pasivizeaza.

I I kk

m1 1

1=

=∑


Teoremele generatoarelor echivalente Generatorul echivalent de tensiune al unui dipol • Fie un dipol liniar cu bornele A si B.

Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de tensiune UAB0 in serie cu o impedanta ZAB0 unde

• UAB0 este tensiunea de mers in gol masurata la bornele A si B (impedanta Z fiind scoasa din circuit)


• ZAB0 este impedanta echivalenta intre bornele A si B a circuitului pasivizat (sursele comandate nu se pasivizeaza).

• Daca circuitul pasivizat este o combinatie serie - paralel de impedante atunci determinarea lui ZAB0 se poate face cu teoremele impedantelor echivalente


• Daca circuitul contine surse comandate sau nu este un circuit serie - paralel, atunci :

• se conecteaza intre A si B o sursa independenta de tensiune de valoare 1V

• sau o sursa independenta de curent de valoare 1A si

• ZAB0 rezulta in urma determinarii lui I sau U.


Generatorul echivalent de curent al unui dipol

• Fie un dipol liniar cu bornele A si B

Enunt: Oricat de complicat ar fi acest circuit el se poate echivala cu un circuit format dintr-o sursa de curent IABsc in paralel cu o impedanta ZAB0 unde curentul IABsc corespunde scurtcircuitului intre bornele A si B.

Daca in schemele echivalente ale diportilor rezistivi liniari se inlocuiesc rezistentele cu impedante si conductantele cu admitante se obtin schemele echivalente ale diportilor de c.a.


Teorema transferului maxim de putere activa

Se considera o sursa de tensiune electromotoare E si de impedanta interna Zi, la bornele careia se leaga o impedanta Z. Se pune problema urmatoare: ce relatie trebuie sa existe intre Zi si Z astfel incat pentru un E dat puterea activa absorbita de Z sa fie maxima.

Fie Zi = Ri + jXi si Z = R + jX

Curentul din circuit este

I ER Ri j X Xi

=+ + +( )


•deci puterea activa absorbita de Z este

P RI RE

R Ri X Xi= =

+ + +2 2

2 2( ) ( )Se observa ca functia P(R,X) are un maxim in raport cu X pentru X= -Xi .

P R Xi PM R RE

R Ri( , ) ( )

( )− = =

+

2

2

Valoarea acestui maxim este:

• Dar maximul functiei are loc pentru R=Ri conform teoremei demonstrate anterior


• Rezulta ca puterea activa absorbita de sarcina este maxima daca Z = Zi* (teorema transferului maxim de putere activa).

• Daca Z = Zi* puterea activa Pd cedata de sursa este consumata in cantitati egale de R si Ri deci randamentul circuitului este η=P/ Pd=0,5.

Observatii:

•daca in loc de sursa de tensiune avem o sursa de curent cu parametrii Is si Zi, impedanta de sarcina Z absoarbe puterea activa maxima tot daca Z = Zi* •daca generatorul de curent alternativ are o impedanta interna inductiva, rezulta ca pentru a absorbi o putere activa maxima sarcina trebuie sa aiba un caracter capacitiv.

ELECTROTEHNICA




Cuprins:

• Definitii, marimi sinusoidale, imagini in complex, proprietati.

• Caracterizarea in complex a elementelor de circuit. • Puteri in regim sinusoidal. •Teoreme de echivalenta in complex. •Teorme in circuitele de curent alternativ

•Metode de rezolvare a circuitelor in regim sinusoidal. • Rezonanta dipolilor. Aperiodicitate. Ferorezonanta.



Analiza circuitelor de curent alternativ Introducere

• Prin utilizarea reprezentarii in complex a marimilor sinusoidale, intr-un circuit de c.a. al carui graf are L laturi si N noduri se pot scrie urmatoarele ecuatii liniar independente intre ele:

• N-1 ecuatii date de teorema I a lui Kirchhoff • L-N+1 ecuatii date de teorema a II-a a lui Kirchhoff • L ecuatii date de legaturile intre Uk si Ik pentru fiecare

latura a grafului


• Ecuatiile unui circuit de c.a. sunt ecuatii algebrice de aceeasi forma cu ecuatiile unui circuit liniar de c.c. deoarece: - teoremele lui Kirchhoff au aceeasi forma - in ecuatiile de legatura intre Uk si Ik, Zk ia locul lui Rk, Yk ia locul lui Gk, etc. • La circuitele liniare de c.c. Ik si Uk sunt marimi reale iar ecuatiile sunt liniare in Ik si Uk avand coeficienti reali. • La circuitele de c.a. Ik si Uk sunt marimi complexe iar ecuatiile sunt liniare in Ik si Uk avand coeficienti complecsi. Ca urmare metodele de analiza a circuitelor de c.a. sunt aceleasi cu cele pentru circuitele liniare de c.c.. Metodele de analiza vor fi reluate pe scurt in continuare insistandu-se asupra particularitatilor circuitelor de c.a.


Formularea problemei si metoda de rezolvare

Problema analizei unui circui de c. a. se formuleaza astfel: • se cunosc: valorile parametrilor elementelor (Rk, Lk, Ck,

Mk, ek(t), isk(t)) si modul de interconectare a elementelor de circuit,

• se cere sa se determine toate tensiunile si toti curentii. • Rezolvarea acestei probleme consta in scrierea

sistemului de 2L ecuatii ale circuitului si determinarea solutiei acestuia (Uk , Ik ,k=1,...,L).


Algoritmul de analiza a unui circuit de c.a. are urmatoarele etape: 1) Se construieste circuitul echivalent cu surse si impedante complexe utilizand schemele echivalente in complex ale elementelor de circuit 2) Se scriu ecuatiile acestui circuit 3) Se rezolva sistemul de ecuatii si se determina valorile complexe ale curentilor si tensiunilor, (Uk, Ik, k = 1, ... , L) de forma Uk = Uke jϕk

4) Se verifica rezultatele obtinute prin bilantul puterilor complexe 5) Se determina valorile instantanee de forma uk(t) = Uksin(ωt +ϕk).


Exemplu Se da circuitul din figura a cu e(t) = 30sin ωt si is (t) = 2 sin (ωt+π/4) unde ω=100π s-1. Se cere sa se determine toate necunoscutele. Circuitul echivalent cu surse si impedante complexe este dat in figura b.

Se scrie sistemul de ecuatii dat de teoremele lui Kirchhoff:

2


I1 + I2 = 1+j ,

10 I1 -20j I2 = 30,

20j I2 - 20j (1+j) - U = 0

Solutiile acestui sistem sunt: I1 = 1 ,

I2 = j si

U = - 20j.

Verificarea rezultatelor prin bilantul puterilor complexe: = E I1* + U Is* = 30⋅1 + (-20j) (1-j) = 10 -20j = R⋅I12 + ωLj⋅I22 - j⋅Is2 = 10⋅1 + 20j⋅1- 20j⋅2 = 10 - 20j

S kdtoate sursele

∑

S katoate impedantele

∑ 1ωC

Valorile instantanee sunt: i1 (t) = sin ωt,

i2 = sin( ωt+π/2) si u(t) = 20sin( ωt-π/2)

2

2 2



Metoda potentialelor nodurilor

Algoritmul de scriere a ecuatiilor potentialelor nodurilor • se fac toate transformarile posibile ale surselor de tensiune in surse de curent si ale comenzilor in curent in comenzi in tensiune • se alege potentialul de referinta astfel incat cat mai multe potentiale ale nodurilor sa poata fi exprimate ca sume de tensiuni electromotoare • considerand si necunoscutele suplimentare (curentii unor surse de tensiune conectate intre alte noduri decat cele de la punctul precedent si curenti de comanda) se scrie sistemul de ecuatii: V j Y k V i Y k I sk

k jk i jk j− =

∈∑

∈∑

∈∑

,si ecuatiile suplimentare


Metoda potentialelor nodurilor

• Este preferata comanda in tensiune deoarece marimea de comanda poate fi scrisa ca o diferenta de potentiale. • Ca urmare, circuitul echivalent cu surse de tensiune comandate in curent al bobinelor cuplate nu este potrivit pentru scrierea ecuatiilor metodei nodale. • Pentru aceste bobine se poate construi un circuit echivalent cu surse de curent comandate in tensiune. • In acest scop se rezolva ecuatiile de functionare ale bobinelor cuplate: U1=jωL1I1±jωMI2 , U2=jωL2I2±jωMI1 in raport cu necunoscutele I1 si I2 .


Exemplu. Fie bobinele cuplate cu ecuatiile de functionare

Se rezolva acest sistem de ecuatii in raport cu I1 si I2 si rezulta:

U jI jI si U jI jI1 2 1 2 2 1 2 2= + = +

IU

j

jU si I

U

j

jU1

132

3 2 2232

3 1= + = +

Aceste ecuatii corespund circuitului echivalent:


Aplicatie .Sa se scrie ecuatiile potentialelor nodurilor pentru circuitul din figura:

e t t

is t t

( ) cos

( ) sin( )

=

= +

2 2

2 24π

Cuplajul nu se poate sparge si se construieste

circuitul echivalent cu surse de curent comandate in tensiune al celor doua bobine cuplate. Cu notatiile din figura ecuatiile de functionare ale acestor doua bobine sunt:

U jI jI U jI jI1 2 1 2 2 2 2 1= + = +,


circuitul echivalent este cel prezentat in exemplul precedent si schema echivalenta in complex este prezentata in figura. Se observa ca avem un circuit

rezonant RLC serie cu Ze = j-j+3 =3 si doua surse ideale de tensiune care nu se pot transforma in surse de curent. • Se alege ca potential de referinta o borna a uneia dintre aceste surse iar pentru

cealalta introducem necunoscuta suplimentara I4 .

Rezulta circitul echivalent si ecuatiile date in continuare


VV j

Vj

Vj

V I j U

U VV V I

IV V

j

Vj j

Vj

Vj j U

U V V

V j I

5 0

1

223

13 1

23 3

13 4 3 2

2 32 4 3 3

31 31

31

113

23

11

23

13 1

1 1 2

412

1 4

==

+

− − = +

= −− =

=−−

−+ +

−

−− = + +

= −

= − − −

adica un sistem de 9 ecuatii cu necunoscutele

V V U U I I1 5 1 2 3 4, ... , , , , , .


Metoda curentilor ciclici Algoritmul de scriere a ecuatiilor curentilor ciclici

este: • se fac toate transformarile posibile ale surselor de curent

in surse de tensiune si ale comenzilor in tensiune in comenzi in curent

• se aleg cele B=L-N + 1 bucle fundamentale astfel incat sursele de curent netransformate sa fie plasate in coarbore

• considerand ca aceste bucle sunt parcurse de niste curenti fictivi (curentii ciclici), se aleg sensurile acestora si se scrie sistemul de ecuatii:

I i Rkk BiI j Rkk Bi

k Bj

' '∈∑ + =

∈∈

∑ Ekk Bi∈∑

si ecuatiile suplimentare


Aplicatie. Se da ciucuitul din figura si sursele

e t t

e t t1

2

2 2

2

( ) cos

( ) sin

=

=Se cere sa se scrie ecuatiile metodei curentilor ciclici

Schema echivalenta in complex se construieste considerand pentru bobine circuitul echivalent cu surse de tensiune comandate in curent .


++−−=++++−

−−=

=

=

++−−=+++++

21131)21('1)21('2

'2'13

'22

'11

21232)21('2)121('1

IjIjIjIjjIjjjI

III

II

II

IjIjjIIjjjIjjI

5 ecuatii cu necunoscutele : I I I I I1 2 1 2 3' , ' , , , .


Aplicatie. Se da circuitul din figura si sursele

e t t

e t t

is t t

1 2 2 2

2 2 24

2 24

( ) cos

( ) sin( )

( ) cos( )

=

= −

= −

π

π

Se cere sa se calculeze

Z ZAB AB0 1( )= ΩBobinele cuplate avand un nod comun se poate sparge cuplajul. Prin pasivizare si calculand impedantele echivalente circuitul capata o forma mai simpla j j j j

j j− =

− ⋅−

= ∞

0 2 2

2 2,


Se conecteaza intre A si B o sursa de tensiune cu E=1V si rezulta

Ij

jj

ZAB Ij

jj

= + =+

= =+

=+1

612

1 36 0

1 61 3

1 610


Rezonanta dipolilor Definitii si exemple

Exista doua definitii ale rezonantei: prima se foloseste in electroenergetica, a doua se utilizeaza la circuitele electronice. Definitia 1 Un dipol de c.a. este la rezonanta daca absoarbe pe la borne o putere reactiva nula, adica

Deci la rezonanta defazajul ϕ dintre U si I este nul (sinϕ = 0 ⇒ ϕ = 0). Daca impedanta echivalenta la bornele dipolului este Z=R+jX, Q=XI2 =0 ⇒X = 0 deci la rezonanta reactanta echivalenta este nula si dipolul are o comportare rezistiva la

Qabs=UI sinϕ = 0.

borne.


Definitia 2 a) Se considera la bornele dipolului o sursa de tensiune cu pulsatie variabila si valoare efectiva constanta. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care I(ω) are maxime si minime.Exemplu

- in cazul maximelor de curent (ω1 , ω3 , ω5 ) avem rezonanta de tensiune, - in cazul minimelor de curent (ω2 , ω4) avem rezonanta de curent.

- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile ω1 , ω2 , ω3 , ω4, ω5


Se observa ca deoarece I = Y U si U = ct, curba Y (ω) are aceeasi alura cu I (ω).

b) Se considera la bornele dipolului o sursa de curent cu pulsatie variabila si valoare efectiva constanta. Pulsatiile de rezonanta sunt cele pentru care U(ω) are maxime si minime.Exemplu

- dipolul este la rezonanta pentru pulsatiile ω‘1 , ω‘2 , ω‘3 , ω‘4, ω‘5


- in cazul minimelor de tensiune (ω‘1 , ω‘3 , ω‘5) avem rezonanta de tensiune, - in cazul maximelor de tensiune (ω‘2 , ω‘4) avem rezonanta de curent. Deoarece U = Z I si I = ct, curba Z(ω) are aceeasi alura cu U(ω). Observatii: • cele doua definitii ale rezonantei nu duc in general la aceleasi pulsatii de rezonanta • rezonanta de tensiune are loc la pulsatiile pentru care Y(ω) are maxime locale si deci Z(ω)=1/ Y(ω) are minime locale • rezonanta de curent are loc la pulsatiile pentru care Y(ω) are minime locale si deci Z(ω)=1/ Y(ω) are maxime locale.


Exemple. a) Se da un circuit R,L,C serie. Impedanta complexa a circuitului RLC serie este

Rezulta

Z R jX R j LC

= + = + −( )ωω1

Z R LC

2 2 1 2( ) ( )ω ωω

= + −

•Dupa prima definitie, pulsatia de rezonanta corespunde lui X=0 deci ω0

1=

LC

• Dupa a doua definitie, se calculeaza

si se obtine aceeasi valoare pentru ω0

δ ωδω

Z 20( )

=


•Daca U=ct in raport cu ω, la rezonanta I ia valoarea maxima deoarece Z ia valoarea minima Z(ω0)=R.

• Pentru acest circuit

Uc(ω0)=|Xc|I= UL(ω0)=|XL|I si

Uc(ω0)= -UL(ω0) deci

U(ω0)=UR(ω0) +UC(ω0) + UL(ω0)=UR(ω0).

• Este posibil ca la rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta UC si UL sa aiba valori mai mari decat tensiunea U a sursei de alimentare.


Daca Q0 >1 ( ), la rezonanta, tensiunea bobinei si cea a condensatorului depasesc tensiunea sursei de alimentare.

Se noteaza cu Qo factorul de calitate al circuitului unde UL, UC, UR se considera la rezonanta.

QU LU R

U CU R R

LC0

1= = =

b) Fie circuitul RLC paralel

Utilizand ambele definitii se obtine aceeasi pulsatie de rezonanta a acesui circuit

ω01

=LC

LC

R≥


La rezonanta

deci Y are valoarea minima.Daca U=ct in raport cu ω, la rezonanta I ia valoarea minima deoarece I=YU. Pentru acest circuit Ic(ω0)=U/|Xc|= IL(ω0)=U/|XL| si Ic(ω0)= -IL(ω0) deci I(ω0)=IR(ω0) +IC(ω0) + IL(ω0)=IR(ω0). - Este posibil ca la rezonanta si in jurul pulsatiei de rezonanta IC si IL sa aiba valori mai mari decat curentul I prin sursa de alimentare.

YR

j CL R

( ) ( )ω ωω0

10

1

0

1= + − =

•Se noteaza cu Q0 factorul de calitate unde IL, IC, IR se considera la rezonanta.

QI LI R

ICI R

R CL0 = = =

Qo >1 CL R≥

1

curentul bobinei si al condensatorului depasesc curentul

Daca adica

total.


Aplicatii tehnice ale rezonantei a)Compensarea factorului de putere Presupunem ca avem o linie de transport al energiei electrice la capatul careia este conectat un consumator inductiv , asa cum sunt majoritatea consumatorilor energetici, ca in figura a.

Curentul absorbit de consumator este I UR

Uj L

= +ω


deci modulul: I UR L

= +12

12 2ω

Factorul de putere

cosϕ = P

UIU

RUR L

L

R L=

+

=+

2

2 12

12 2

2 2 2

ω

ω

ω

• Se conecteaza un condensator in paralel cu consumatorul inductiv, ca in circuitul b), astfel incit . ω

ωL

C=

1

• Rezulta un circuit RLC derivatie la rezonanta a carui impedanta de intrare este Z=R si curentul absorbit de receptor este

I UR

I'= ⟨


•Puterea reactiva absorbita de consumatorul inductiv in paralel cu condensatorul C este nula, si pierderile de putere activa pe linia de transport (de rezistenta r ) vor fi minime : ∆P’linie = rI’2 < ∆Plinie= rI2.

•In acest caz factorul de putere cosϕ‘=1 si avem o compensare totala a factorului de putere. • Consumatorii industriali nu au tot timpul aceiasi parametri (se opresc anumite utilaje, in anumite zile nu se lucreaza, etc). Pentru a nu se ajunge la functionarea in regim capacitiv (care produce efecte nedorite in sistem) mentinand pierderile de putere pe linie la un nivel rezonabil se face o compensare partiala a factorului de putere (de exemplu cosϕ‘=0,92).


• In acest caz calculul capacitatii condensatorului care se leaga in paralel cu consumatorul inductiv se face astfel: - diferenta intre puterea reactiva absorbita de consumatorul necompensat Q=UIsinϕ si cea absorbita de consumatorul compensat partial Q’=UIsinϕ‘ este absorbita de condensator (QC=ωCU2). - Exprimand puterile reactive in functie de puterea activa P absorbita de consumator (Q=Ptgϕ, Q’=Ptgϕ‘) rezulta

• In acest calcul se considera ca U nu se modifica prin conectarea condensatorului.

C Ptg PtgU

=−ϕ ϕω

'2


b. Montaje Boucherot. Sunt circuite simple ca in figura a si b, pentru care curentul IZ prin impedanta Z este independenta de valoarea lui Z daca este indeplinita conditia ω2LC=1

IZ=U/ωL IZ=UωC • Se utilizeaza de exemplu in circuitele de alimentare ale cuptoarelor electrice in care curentul prin rezistenta de

incalzire nu trebuie sa depinda de valoarea acesteia.


C. Circuite de rezistenta constanta.

• Circuitele se mai numesc si circuite complet rezistive si desi contin elemente reactive de circuit impedanta echivalenta complexa are numai componenta reala, adica rezistiva independent de frecventa.

• Sunt circuite simple ca in figura a si b, sau formate din mai multe grupuri de elemente in serie, pentru care impedanta complexa echivalenta Ze =R, este independenta de valoarea frecventei daca este indeplinita conditia R2=L/C



Ferorezonanta

Sursa: Mocanu C. I., Teoria circuitelor electrice, Ed. Did. Si Pedagogica

Bucuresti, 1979.

Fenomenele de rezonanta prezinta aspecte specifice in circuitele ce contin bobine cu miez de fier si condensatoare in comparatie cu circuitele electrice liniare. Cauza o reprezinta dependenta neliniara dintre tensiune si curent. A. Ferorezonanta serie este un fenomen care se produce in circuitele neliniare in care bobina cu miez de fier este conectata cu condensatorul in serie. Se variaza tensiunea de alimentare a circuitului. Pentru o anume valoare a tensiunii de alimentare, caderea de tensiune pe bobina este egala si in opozitie de faza cu tensiunea de pe condensator. Fenomenul se produce la tensiune data, datorita variatiei tensiunii de alimentare iar circuitul este denumit ferorezonant


B. Ferorezonanta paralel este un fenomen care se produce in circuitele neliniare in care bobina cu miez de fier este conectata in paralel cu condensatorul.

•Se variaza valoarea efectiva a curentului. Pentru o anume valoare a acestuia, curentul prin bobina este egal si in opozitie de faza cu cel care trece prin condensator.

•Fenomenul se produce la o valoare data a curentului, iar circuitul este denumit antiferorezonant.

ELECTROTEHNICA




Cuprins:

• 4.1. Sisteme trifazate de marimi. Teorema de descompunere in sisteme fundamentale.

• 4.2. Linii trifazate. Receptoare trifazate: ∆, Y, Y0.

• 4.4. Circuite trifazate echilibrate cu surse nesimetrice.

• 4.3. Circuite trifazate echilibrate cu surse simetrice.

• 4.5. Circuite trifazate dezechilibrate local (avarii).

4. Circuite trifazate

Sursa: Nitescu, M., Constantinescu, F., Bazele Electrotehnicii. Partea I-Teoria Circuitelor Electrice, Ed. Printech, 1998,ISBN 973-98453-5-5.


• Un sistem trifazat este un ansamblu de trei m`rimi sinusoidale de aceea]i pulsa\ie. • Fie sistemul trifazat y1(t), y2(t), y3(t):

( )( )( )333

222

111

sin2

sin2

sin2

αω

αω

αω

+=

+=

+=

tYy

tYy

tYy Reprezentarea [n complex a acestui sistem este:

[n figura este prezentat` diagrama fazorial` 3

2

1

33

22

11

α

α

α

j

j

j

eYYeYYeYY

===

4.1. Sisteme trifazate; caracterizare si proprietati

CAPITOLUL 4. CIRCUITE TRIFAZATE


• Un sistem trifazat simetric este •un sistem trifazat ale ale c`rui m`rimi sinusoidale sunt defazate [ntre ele cu •]i au modulele sunt egale [ntre ele:

32π

YYYY === 321

• Un sistem trifazat simetric poate fi de succesiune direct` dac` secven\a

se ob\ine prin parcurgere [n sens orar ]i de succesiune invers` dac` aceea]i secven\` se parcurge [n sens antiorar.

321 ,, YYY


Sistemul m`rimilor instantanee este:

+=

−=

=

32sin2)(

32sin2)(

sin2)(

3

2

1

πω

πω

ω

tYty

tYty

tYty

Reprezentarea [n complex a sistemului dat este:

aYYeY

YaYaYeY

YY

j

j

==

===

=

−

32

3

21

232

2

1

π

π


Diagrama fazorial` a sistemului este prezentata [n figura n rela\iile s-au folosit nota\iile

23

21

32sin

32cos3

2

jjeaj

+−=+==πππ

23

21

32sin

32cos3

22 jjea

j−−=−+−==

− πππ

• 1, a ]i a2 sunt solu\iile ecua\iei

013 =−xSunt satisfacute rela\iile: 01 2 =++ aa

2* aa = ( ) aa =*2 13 =a aa =4

25 aa =Sursa: Nitescu, M., Constantinescu, F., Bazele Electrotehnicii. Partea I-Teoria Circuitelor Electrice, Ed. Printech, 1998,ISBN 973-98453-5-5.


M`rimi trifazate •n centralele electrice se produce energie electric` cu ajutorul generatoarelor sincrone trifazate care furnizeaz` tensiuni ce formeaz` un sistem trifazat simetric de succesiune direct`:

)3

2sin(2)(

)3

2sin(2)(

sin2)(

3

2

1

πω

πω

ω

+=

−=

=

tEte

tEte

tEte


• Fiecare faz` a generatorului trifazat ar putea alimenta un receptor separat ]i deci linia ar putea avea ]ase conductoare.

• Acest sistem de transmisie nu este [ns` economic.

• Prin conexiuni speciale, [n stea sau [n triunghi ale receptoarelor, num`rul de conductoare se poate reduce la trei sau patru ca [n figura.


• Avantajele distribu\iei trifazate a energiei electrice sunt:

• transmisie de energie mai economic` (economie de material – Al sau Cu Cond), puterea maxim` pe conductor fiind mai mare;

• posibilitatea de a avea dou` valori pentru tensiuni la utilizator: ]i • posibilitatea producerii c@mpurilor magnetice [nv@rtitoare pe care se bazeaz` func\ionarea motoarelor asincrone.

fU lU


• Un circuit trifazat con\ine cel pu\in un generator ]i un receptor conectate [ntre ele prin conductoarele liniei de transport al energiei. • Elementele de circuit din schema generatorului care sunt parcurse de acela]i curent formeaz` o faz` a generatorului. • Faza receptorului este format` asem`n`tor din elemente de circuit parcurse de acela]i curent. • Un generator trifazat, ca ]i un receptor trifazat are trei faze. •Pentru a utiliza c@t mai pu\ine conductoare de leg`tur` at@t generatoarele c@t ]i receptoarele trifazate se conecteaz` [n stea sau [n triunghi.


• Fie, de exemplu, un generator conectat [n stea legat cu un receptor conectat [n stea. • Fazele generatorului formate din ( faza 1), (faza 2) ]i (faza 3), sunt legate [mpreun` [n punctul 0 neutrul generatorului.

gZE 11

gZE 22 gZE 33


• Fazele receptorului , ]i sunt legate [mpreun` la neutrul receptorului N, dup` cum se prezint` [n figura anterioara. • Conexiunea stea se caracterizeaz` prin legarea tuturor fazelor la un punct neutru. • Generatorul este conectat cu receptorul prin linia de transport a energiei care are patru conductoare: cele trei faze: conductoarele 1-1’, 2-2’ ]i 3-3’ ]i conductorul neutru 0-N care, [n general, are o impedan\` ZN • n tehnic`, tensiunea la bornele unei faze a generatorului sau a receptorului se nume]te tensiune de faz` (de exemplu sau ). Asem`n`tor curentul printr-o faz` a generatorului sau a receptorului se nume]te curent de faz`.

1Z 2Z 3Z


• Tensiunea intre o faza a liniei si conductorul de nul se numeste tot tensiune de faza desi, in general, are alta valoare decat tensiunea de faza a generatorului sau a receptorului; • de exemplu U10, U20, U30 sunt tensiuni de faza dar, in acest caz, U10 = U1g si U10 ≠ U1N. • Curentii care trec prin conductoarele 1-1’, 2-2’ si 3-3’ se numesc curenti de linie (I1 , I2 , I3) si curentul prin conductorul neutru se numeste curent de nul (IN). • Tensiunile intre conductoarele 1-1’, 2-2’ si 3-3’ se numesc tensiuni de linie (U12, U23 , U31). • La conexiunea stea curentul de linie este egal cu cel de faza (I1 =I1g = I1r, I2 = I2g= I2r, I3 = I3g = I3r).


• Daca tensiunile de faza U10, U20, U30 formeaza un sistem simetric de succesiune directa, atunci si tensiunile de linie U12, U23 , U31 formeaza un sistem simetric de succesiune directa cu valori efective de ori mai mari

fUlU 3=3

Intr-adevar U12 = U10 - U20 , U23 = U20 - U30 , U31 = U30 - U10

si reprezentand fazorii corespunzatori rezulta:


• Se obtine un triunghi echilateral cu latura Ul si cu 2/3 din inaltime Uf. • Cum intre inaltime si latura exista relatia rezulta Si: • Un receptor trifazat se poate considera ca fiind alimentat: • fie cu sistemul tensiunilor U10, U20, U30 , • fie cu sistemul tensiunilor U12, U23 , U31.

h a=3

232

32

⋅ =U f U l

U l U f= 3


• La conexiunea triunghi a unui generator sau a unui receptor, sfarsitul unei faze este legat la inceputul fazei urmatoare. • Fie un receptor in triunghi cu fazele Z 12 , Z 23 si Z 31 alimentat printr-o linie cu trei conductoare de legatura. • Se observa ca tensiunea de linie U12 este si tensiunea la bornele fazei Z 12 a receptorului s. a. m. d.

• Deci, la conexiunea triunghi, tensiunea de linie este egala cu cea de faza. • In acest caz, curentii de linie sunt I1 , I2 si I3 iar curentii de faza sunt I12, I23 , I31


Puteri. Compensarea factorului de putere

Puteri. Conform teoremei transferului de putere la bornele unui multipol, pentru un receptor cu patru borne de acces, notind cu Sb puterea aparenta complexa absorbita de receptorul in stea se obtine:

Sb U I U I U I Pb jQb= + + = +10 1 20 2 30 3* * *


Aplicand teorema conservarii puterilor aparente complexe (puterea aparenta complexa primita pe la borne de receptor este egala cu puterea aparenta complexa consumata in impedante), unde Z1, Z2, Z3, ZN sunt impedantele receptorului in stea, rezulta:

Sb S c Z I I Z I I Z I I Z N I N I N= = + + +1 1 1 2 2 2 3 3 3* * * *In cazul unui receptor echilibrat alimentat cu tensiuni simetrice s-a aratat ca: U U f

U a UU aU

10

202

1030 10

=

==

si

I I f e j

I a II aI

1

22

13 1

= −

==

ϕ


Deci:

Sbstea U I U I U I U f I f e j U f I f e j a a

U f I f e j a a U f I f e j

= + + = + ⋅ +

+ ⋅ =

10 1 20 2 30 32 2

3

* * * ( ) *

*

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Pbstea U l I l si Qbstea U l I l= =3 3cos sinϕ ϕ

si conform teoremei lui Tellegen

Pbstea Pcstea R f I f si Qbstea Qcstea X f I f= = = =3 2 3 2


Fie cazul unui receptor cu trei borne de acces:

Sb U I U I= +12 1 32 3* *Daca receptorul este in triunghi

I I I I I I I I I1 12 31 2 23 12 3 31 23= − = − = −U U U12 23 31 0+ + =

*3131*2323*1212

*2332*3132*3112*1212IUIUIU

IUIUIUIUbS++=

=−+−=

Expresia obtinuta reprezinta, de fapt, tot suma puterilor complexe absorbite de faze.


• din bilantul puterilor aparente complexe rezulta:

Sb S c Z I Z I Z I= = + +12 122

23 232

31 312

Pentru receptorul echilibrat in triunghi alimentat cu tensiuni simetrice cu I12=Ife -jϕ s.a.m.d. rezulta

Sb U f I f e j∆ = 3 ϕ

23sin3

23cos3

fIfXcQlIlUbQ

fIfRcPlIlUbP

=∆==∆

=∆==∆

ϕ

ϕ


Compensarea factorului de putere • Receptoarele industriale fiind inductive, imbunatatirea factorului de putere se poate efectua cu baterii de condensatoare conectate in stea sau triunghi. • In cazul unor receptoare echilibrate


Se noteaza: Q - puterea reactiva a receptorului inductiv Qc - puterea reactiva a condensatorului Q’ =Q+Qc - puterea reactiva a ansamblului receptor inductiv-baterie de condensatoare (o valoare pozitiva foarte mica care corespunde unei medii statistice in timp pentru consumatorul respectiv).Rezulta:

QC C U l∆ ∆= −3 2ω

Qcstea Cstea U f= −3 2ω


Rezulta capacitatea pe faza :

CsteaQ Q

U f=

− '

3 2ω

C Q Q

Ul

Cstea∆ =

−=

'

3 2 3ωDeci compensarea cu baterii de condensatoare legate in triunghi este mai avantajoasa din punct de vedere al pretului condensatoarelor (C∆ < Cstea). Totusi, condensatorul C∆ lucreaza la o tensiune mai mare decat Cstea, ceea ce il face sa fie mai scump; solutia optima se alege in fiecare caz concret.


• Analiza circuitelor trifazate consta in determinarea curentilor de faza si de linie cand se cunosc tensiunile de alimentare si impedantele fazelor. • Se pot aplica toate metodele de analiza studiate in capitolul referitor la circuite de curent alternativ monofazat. • Exista si algoritmi specifici circuitelor trifazate care vor fi prezentati in continuare.

Analiza circuitelor trifazate


Receptorul in stea cu fir neutru

Analiza unor receptoare trifazate simple

Fie un receptor [n stea cu fir neutru ca [n figura Se noteaz` cu N nulul receptorului ]i cu 0 nulul de la generator. Se cunosc: • tensiunile de faz` care alimenteaz` receptorul •impedan\ele fazelor •]i impedan\a conductorului neutru

10U 20U 30U

1Z 2Z 3Z

NZ

NZ



Se cere s` se determine m`rimile: - curen\ii dintre fazele receptorului - curentul din firul neutru - tensiunea

1I 2I 3I

NI0NU

Se scriu [n circuitul dat ecua\iile

• date de teoremele lui Kircchhof ]i

•Legea lui Ohm


Rezulta:

3003

2002

1001

UUUUUUUUU

NN

NN

NN

=+=+=+

321

0

333

222

111

IIIIYUI

YUIYUIYUI

N

NNN

N

N

N

++=====

NN YYYY

YUYUYUU

+++++

=321

3302201100

(1) (2)

(3)

Rel. (3) se numeste formula lui Millman sau formula de calcul a deplasarii punctului neutru.

Unde:

11

1Z

Y =2

21

ZY =

33

1Z

Y =N

N ZY 1

=

Prin opera\ii elementare asupra acestor ecua\ii rezult`:



Algoritmul de analiza a circuitelor este urmatorul: • Se pleaca de la tensiunile de faza de alimentare (U10, U20, U30;) si admitantele receptorului cu care se determina UN0 din relatia (3). • Se determina tensiunile de faza la receptor U1N, U2N, U3N cu rel. (1) • Se determina curentii dintre fazele receptorului I1, I2, I3 si curentul din firul neutru IN cu rel. (2).


Dac` tensiunile de alimentare formeaz` un sistem simetric:

f

f

f

aUUUaU

UU

=

=

=

30

220

10

]i receptorul este echilibrat, adica: jeYeY

Z−==

1

atunci formula lui Millman devine:

03

)1( 2

0 =+

++=

N

fN YY

aaUYU


• tensiunile de faz` ]i curen\ii de faz` formeaz` sisteme simetrice:

fN

fN

fN

aUUUUaUU

UUU

==

==

==

303

2202

101

jefN

jefN

jefN

eaIYUIeIaYUI

eIYUI

−

−

−

======

33

222

11

0321 =++= IIII N]i

Se poate observa c` la receptorul echilibrat [n stea alimentat cu tensiuni simetrice:

fl UU 3= fl II =


Receptorul [n stea f`r` fir neutru •Fie un receptor stea f`r` fir neutru ca [n figura

Se dau: • tensiunile de linie care alimenteaz` receptorul:

eUU =12

eUaU 223 =

eaUU =31• impedan\ele fazelor 321 ,, ZZZ•Se cere s` se determine: curen\ii [n fazele receptorului 321 ,, III


• Se scriu ecua\iile:

0321

3

3

3

33

2

2

2

22

1

1

1

11

=++

−==

−==

−==

IIIZ

UUZ

UI

ZUU

ZU

I

ZUU

ZU

I

NN

NN

NN


Pentru determinarea poten\ialului U N ,se alege ca poten\ial de referin\` poten\ialul neutrului re\elei ,ca ]i cum ar fi accesibil:

321

332211

YYYYUYUYU

U N ++++

=

6313

6232

6121

3

3

3

π

π

π

j

j

j

eUU

eUU

eUU

−

−

−

=

=

=unde:


n cazul particular al receptorului echilibrat:

ZZZZ === 321

Potentialul nodului neutru: 03

)( 321 =++

=Y

UUUYU N

rezult`:

]i:

ϕ

ϕ

ϕϕ

jf

jf

jf

jl

eaII

eIaZUI

eIeZU

ZUI

−

−

−−

=

==

===

3

2

2

22

1

11 3

0321 =++ III

•Tensiunile de faz` ]i curen\ii de faz` formeaz` sisteme simetrice.

•La receptorul echilibrat [n stea alimentat cu tensiuni simetrice avem:

fl UU 3= fl II =


Receptorul [n triunghi Fie un receptor [n triunghi ca [n figura . Se dau: • tensiunile de linie U12, U23 , U31 ]i •impedantele receptorului Z 12, Z 23, Z 31. Se cere •s` se calculeaze curen\ii de linie: I1 , I2 , I3 ]i •curentii din fazele receptorului: I12, I23 , I31 . •n total sunt ]ase necunoscute de determinat.


Din aplicarea legii lui Ohm si a teoremei I a lui Kirchhoff rezult`:

12

1212 Z

UI =23

2323 Z

UI =

31

3131 Z

UI =

31121 III −= 12232 III −= 23313 III −=• O alt` metod` de a ob\ine curen\ii de linie I1 , I2 , I3 este prin transfigurarea triunghi-stea ]i aplicarea algoritmului prezentat pentru receptorul [n stea cu fir neutru •Dac` receptorul [n triunghi este echilibrat ]i este alimentat cu un sistem simetric de tensiuni

ϕjZeZZZ === 312312

32

,32

, 312312

ππ jUeU

jUeUUU =

−==

atunci curen\ii din fazele receptorului sunt: ϕ⋅−= je

ZUI 12

)32(

23

πϕ+⋅−=

je

ZUI )3

2(31

πϕ−⋅−=

je

ZUI


Ace]ti curenti formeaza un sistem trifazat simetric defazat cu ϕ fata de tensiunile U12, U23 , U31 ca [n figura

Curen\ii de linie sunt: )6(63)]

23

21(1[1

πϕπϕϕ −−

=−−=+−−−=

jelI

jejeIjje

ZUI f

)32

6(2

ππϕ ++−=

jeII l

)32

6(3

ππϕ +−−=

jeII l

]i formeaz` tot un sistem simetric. Se observ` ca [n cazul receptorului echilibrat [n triunghi alimentat cu

tensiuni simetrice: lf UU = fl II 3=Deci pentru receptoarele echilibrate [n stea sau triunghi alimentate cu tensiuni simetrice este suficient s` se fac` analiza pentru o faz`, marimile celorlalte faze rezult@nd din proprie`\tile de simetrie.


Transfigurarile stea-triunghi si triunghi-stea

Stea-triunghi Se dau Z1, Z2, Z3 si se cer impedan\ele Z12, Z23, Z31 ale triunghiului echivalent ca in figura. Rezolvarea urmeaza acelasi algoritm ca in c.c.

Se scurtcircuiteaza bornele 2 si 3 [n ambele circuite si se calculeaz` impedan\a echivalent` [ntre bornele 1 si 2 (Ze12) care trebuie s` fie aceea]i:

32

32112 ZZ

ZZZZ Ye +

+=231212

111ZZZ e

+=∆


deci : 313221

32

2312

11ZZZZZZ

ZZZZ ++

+=+

n mod asem`nator se ob\in rela\iile:

313221

31

2312

11ZZZZZZ

ZZZZ ++

+=+

313221

21

3123

11ZZZZZZ

ZZZZ ++

+=+

Se adun` cele trei ecua\ii ]i se simplific` cu 2:

313221

321

312312

111ZZZZZZ

ZZZZZZ ++

++=++

Din relatia de mai sus se scade pe r@nd fiecare din ecua\iile ini\iale ]i se obtin:

3

31322112 Z

ZZZZZZZ ++=

1

31322123 Z

ZZZZZZZ ++=

2

31322131 Z

ZZZZZZZ ++=•Dac` steaua este echilibrat` de

impedan\` ZY pe fiecare faz`, atunci triunghiul echivalent este ]i el echilibrat de impedant\` Z∆ = 3ZY


Triunghi-stea. Pentru transfigurarea triunghi-stea se

procedeaz` similar consider@nd pe r@nd c@te o born` [n gol.:

312312

312312)3(12

)(ZZZ

ZZZZ ingole +++

=∆

21)3(12 ZZZ Yingole +=

n continuare calculul continu` ca [n cazul stea-triunghi

312312

31121 ZZZ

ZZZ++

=312312

12232 ZZZ

ZZZ++

=

312312

23313 ZZZ

ZZZ++

= Un triunghi echilibrat de impedanta Z∆

are o stea echivalenta echilibrata de impedanta ZY= Z∆/3 .

Documents

ferrari.lce.pub.roferrari.lce.pub.ro/studenti/~viomarin/Curs_Electrotehnica.pdf · B. PRECONDIŢII DE ACCESARE A DISCIPLINEI - parcurgerea si/sau promovarea urmatoarelor discipline: