T

i:LECTROTEHNICA, ELECTRONICA, AUTOMATICA, 51 (2003), Nr. 1 33 AUTOTRANSFORMATOR DE PORNIRE

OPTIMUM TEHNICO-ECONOMIC

Determinarea prin calcul a optimului tehnico-economic in constructia �i exploatarea autotransformatorului de pornire

MARIN CONSTANTIN-VIOREL, MARIN DOINA"

The computation of the optimal solution in the starting autotransfonner design and exploatation _

The optimal solution is the. autotransfonne�pro�iding certain technical and sa fety characteristics requiring the lowest total cost. Th� total cost 1s computed takmf! mto account both manufacturing and exploitation expenditures. The paper ?eafs with the _autotran�fonn�r f?r �tarting the asynchronous motor. An analytical expression of the total cost is established. The optimal design pomt 1s ngorousfy computed. This approach may be used in computer aided design.

1. lntroducere

Autotransformatorul de pornire (ATP), destinat por­nirii moto"'-llui asincron (MA), este definit de marimi considerate ca elemente de baza: puterea aparenta maxima de scurta durata, durata de actionare, puterea de regim permanent, tensiunile de intrare !?i de ie!?ire, pierderile !?i curentul la functionarea in gol, pierderile !?i tensiunea de scurtcircuit. in afara acestor elemente pentru definirea completa a ATP, mai sunt necesar� precizari in legatura cu solicitarile termice !?i mecanice admisibile !?i cu caracteristicile MA, motor care urmea­za a fi pornit prin intermediul ATP, precum §i indicatii asupra regimului tip de functionare. Evaluarea canti­tativa a acestor elemente este necesara pentru ca ATP � asigure cerintele de transformare a energiei electrice dupa un program dat §i sa prezinte totodata un grad de siguran\<'i !?i o durata de via\a in exploatare satisfacatoare.

Precizarea cantitativa a elementelor enumerate reprezinta o problema complexa a carei solutie prezin­ta interes atat pentru utilizator, cat !?i pentru cons­tructor. Aceasta rezulta din stransa interdependenta a parametrilor functionali, care definesc ATP din punct de vedere tehnic !?i economic, unii care intereseaza direct exploatarea §i economicitatea ATP altii care privesc direct proiectarea !?i constructia ATP � i care definesc in ultima analiza pretul sau de cost.

Economicitatea ATP reprezinta un element caracteristic fundamental al unei constructii !?i ea poate fi exprimata suficient de exact de catre cons­tructor prin intermediul pretu lui de fabrica\ ie , iar de ca­tre utilizator prin aprecierea cheltuielilor de exploatare .

Rezulta deci ca problema de baza, pusa in fa\a constructorului �i uti lizatorului de ATP, consta in deter­minarea optimului tehnico-economic, care sa rezulte din considerarea cerin\elor de natura tehnica, de secu­ritate �i economicitate in productia �i exploatarea ATP.

Problema determinarii optimului tehnico-economic al transformatoarelor de putere a fost analizata In lucrari ca [1, 2]. ln [1], se expune o metoda de deter­minare a optimului tehnico-economic in constructia �i

• De ing. Marin, C. V., �ef lucrari, Universitatea .Po!itehnica" Bucure�ti, Facultatea de Electrotehnica; ing. Marin, Deina, Efectroaparataj SA

exploatarea transformatoarelor de putere, prin consi­derarea simultana a elementelor de natura tehnica, de siguranta !?i economica. Tn [3], se analizeaza posibi­litatile de proiectare economica pentru transformatoare trifazate de mica !?i medie putere, in [4] se prezinta modul de determinare a optimului tehnico-economic pentru bobinele de reactanta pentru sisteme ener­getice, iar in [5] se prezinta modul de determinare a solicitarilor electrice §i magnetice la inductantele de curent continuu din conditia minimizarii volumului efectiv.

Tn lucrarea de fata, se prezinta o metoda de calcul pentru determinarea ATP optim prin considerarea simultana a elementelor principale de natura tehnica de siguranta !?i economica care intervin in fabricatia §l exploatarea ATP.

·

2. Principiile de ba.z.a ale rezolvarii prob!emei

0 ma!?ina electrica este proiectata prin luarea in considerare a unor conditii de natura diferita: function�!� , siguranta !?i durata de viata in exploatare, eco�?m1c1tate in productie !?i exploatare, conditii stab1hte de catre utilizator §i constructor. Satisfacerea simultana a acestor conditii trebuie sa conduca fa definin�a solutiei optime in constructia !?i exploatarea aceste1a. Rezulta deci ca se poate defini ca optimum acel autotransformator care asigura caracteristici !?i grad de siguranta satisfacatoare , necesitand totodata cheltuieli minime pentru producerea §i exploatarea sa. Determinarea prin calcul a acestui optim poate fi efectuata [6] urmand etapele prezentate in continuare.

Chetuielile totale, necesitate de fabricatia §i

�xp loata�ea transformatorului, se exprima prin mtermed1ul unei functii de forma:

(1) in care variabilele reprez inta marimile care

definesc ma�ina intr-o prima aproximat ie din punct de

vedere electric �i magnet ic cum sunt dimensiunile principale, induc\ia magnetica �i densitatea de curent . Cerintele de natura func\ionala precum �i siguranta in exploatare sunt definite prin intermediul a i funct ii de form a:

'

(2)

34 ELECTROTEHNICA, ELECTRONICA, AUTOMATICA, 51 (2003), Nr. 1

Determinarea minimului functiei (6.1) prin active de mers in go l p , costul specific al energiei considerarea conditiilor exprimate de functii le (2) . .

0 .

reprezinta o problema de minim relativ care se rezolva electnce active ce, t1mpul de racordare al

prin . eliminarea a m -1 variabile §i rezolvarea autotransformatorului la reteaua T,,, durata de ecuatiei :

dC =O dxm

actionare DA $i constanta de sarcina &05 (ce repre­(3) zinta raportul dintre timpul tu in care ATP este

Determinarea minimului functiei (1) reprezinta, in cazul problemei de fata. calcularea valorilor varia­bilelor x m , deci a marimilor de baza care definesc

ma§ina cu cheltuieli minime de fabricatie §i in exp loatare §i care satisfac, totodata, conditiile tehnice §i de siguranta exprimate de relatiile (2); se determina astfel prin calcul optimul tehnico-economic, definit la inceput. Functia (1) a cheltuielilor totale C(xm), necesitate de fabricatia §i exploatarea autotransfor­matorului, pentru a putea fi utilizata la determinarea optimului tehnico-economic trebuie raportata la o perioada de timp bine determinata. in cazul general, varianta economica este reprezentata de acea solutie caracterizata de cheltuieli totale minime. De aici, rezulta ca, in expresia (1), al carei minim determina optimul tehnico-economic, trebuie sa intervina chel­tuielile totale necesare realizarii produsului, ca $i cheltuielile de exploatare raportate la durata de func­tionare. Cheltuielile de intretinere uzuale pe care le necesita autotransformatorul pentru intreaga sa durata de viata sunt atat de mici, incat aceste costuri pot fi neglijate.

Pretul de cost efectiv al autotransformatoru lui Cef poate fi exprimat in functie de pretul 'de cost cores­punzator cheltuielilor de fabricatie C / $i pretul de

cost Ce corespunzator cheltu ieli lor de exploatare in

timpul de utilizare Tn prin relatia:

Cef =C1 +Ce (4)

Pretul de cost corespunzator cheltuieli lor de fabricatie prin considerarea doar a elementelor care pot varia in limite largi, in cazul cand variaza dimensiunile principale ale autotransformatorului, ca $i solicitarile electrice, magnetice §i termice ale materia l elor utilizate, poate fi exprimat in functie de costul specific c Fe al materialului feromagnetic §i c; al

Tnfa§urarilor §i GFe masa miezu lui feromagnetic,

respectiv masa infa§urarilor G; prin relatia:

Cf =creGFe +ciGi (5) Pretul de cost corespunzator cheltuielilor totale in

exploatare poate fi exprima t sub forma:

4

alimentat $i timpul de pornire al motorului t P pe durata

unei actionari) are expresia:

DA Ce = cePoEos -Tn I 100 (7)

-Cei este pretul de cost al pierderilor active in

bobinajul ATP, care, in functie de pierderile medii de

putere activa in infa§urari in timpul pornirii Pmp, are

expresia: DA

Ce2 =cePmp -Tn 100 (8)

c

- eel este pretul de cost al pierderilor de putere

reactiva corespunzatoare curentului de magnetizare,

care, in func�e de pierderi le active de mers in gol Q0 $i costul specific al energiei electrice reactive cq, are

expresia:

DA Ce3 =cqQoEos -Tn 100

(9)

- ce4 este pretul de cost al pierderilor de putere

reactiva corespunzatoare componentei reactive a tensiunii de scurtcircuit, care, in functie de pierderile medii de putere reactiva datorita sarcinii pe durata timpului de pomire Qms, are expresia:

DA Ce4 =cqQms - Tn 100

(10)

Prin insumarea termenilor definiti de expres i ile (5, 7, 8, 9 �i 10), rezulta pentru cef expresia:

Ce/ =cFeGFe +ciGi +

[ce (EosPo + Pmp )+ l DA + - Tn

+cq(8osQo+Qms) 100 ( 11)

Expresia cheltuielilor totale fiind astfel stabilita ,

urme2za a fi utilizata la determinarea optimului tehnico-economic dupa prealabila e i derivare in raport cu o marime caracteristica a ATP, considerata variabila independenta. lntereseaza structura expresiei (11) §i faptul ca ea sa cuprinda toti termenii larg variabili la variatiile rnarimii sau ale marimi!or

Ce = "'""' Cc � ' i=I

(G) considerate var iabi le independente. Expresia (11)

unde: - Ce este pre\ul de cost al pierderilor active in I

miezu! magnetic c:i ATP, care, in func\ ie de pis:Jeri!'.';

poate fi utilizata §i direct, sub forma stabilita, pentru compararea d iferitelor variante de ca lcu l , opera\ie care nu trebuie insa echivalat;'l cu determinarea exacta a cheltuielilor tota le n:,�cesitz;!c de fabrica\ia �i

'l

..

>

1£LECTROTEHNICA, ELECTRONICA, AUTOMATICA, 51 (2003), Nr. 1 35 exploatarea autotransformatorului de pornire, Procedc'ind in acest mod, s-au retinut pentru deoarece pot interveni erori provocate, pe de o parte, formularea functiilor (/J; urmatoarele cond itii : de neglijarea anumitor cheltuieli constante sau de ordin foarte mic, iar pe de alta parte datorita

a) puterea autotransformatorului care trebuie dez-

posibilitaW de apreciere cu sensibilitate redusa a voltata in conditiile de functionare nom ina le ;

unora dintre marimile care intervin in expresie. b) componenta reactiva a tensiunii de scurtcircuit, ca

Expresia ( 11) poate fi utilizata pentru determinarea element ce determina cu suficienta exactitate

optimului tehnico-economic, deoarece termenii tensiunea de scurtcircuit a autotransformatorului §i a carei valoare are implicatii directe asupra

constan� sau U§Or variabili pot fi neglijati interesand solicitarilor mecanice ale autotransformatorului la varia� lui Cef §i nu valoarea sa efectiva, iar variatiile scurtcircuit §i asupra comportarii sistemului

marimilor care pot fi doar grosier apreciate in expresie energetic la care este conectat nu influenteaza sensibil solutia stabilita. Rezulta deci autotransformatorul; ca la determinarea optimului poate fi utilizata expresia c) solicitarea termica a infa§urarilor, valoarea aces-

(11) sub forma data sau transformata, rezultatele teia influent<'ind direct gabaritul §i nivelul

stabtlite in acest mod fiind suficient de exacte. Sursa pierderilor, putand totodata oferi indicatii asupra

erorilor, ca §i aprecierea lor cantitativa sunt abordate legaturii dintre durata de viata §i economicitatea in cuprinsul lucrarii. autotransformatorului.

Conditiile tehnice §i de siguranta in exploatare ale Conditia solicitarilor mecanice nu s-a retinut printre transfonnatoarelor §i autotransformatoarelor se formu- conditiile fundamentale, deoarece solicitarile infa§u­leaza de obicei [1] prin precizarea urmatoarelor ele- rarilor, care constituie de obicei obiectul verificarii mente principale : tensiunile infa§urarilor §i gama de autotransformatorului din punct de vedere mecanic, reglare a acestora, puterea de transfer in regim sunt, pe de o parte, determinate indirect prin valoarea permanent, pierderile in gel §i la scurtcircuit, curentul adoptata pentru tensiunea de scurtcircuit pentru in gol §i tensiunea de scurtcircuit, solicitarile termice §i solicitarile radiale, iar pe de alta parte solicitarile axiale mecanice, domeniu l de utilizare §i regimul tip de la tensiune de scurtcircuit data pot fi aduse in general funqionare. La precizarea conditiilor tehnice §i de la valori admisibile prin alegerea adecvata a siguranta. constructorul §i utilizatorul mai pot consi- constructiei infa§urarilor. dera §i alte elemente, cum ar fi incadrarea produsului De§i ar fi prezentat interes, nu s-a retinut nici in seriile unitare fabricate §i utilizarea pentru fabricatie conditia greutatii totale §i a gabaritului ATP, deoarece, a utilajului existent, greutatea totala §i gabaritul, prin aceasta, s-ar fi ingreunat rezolvarea problemei, realizarea unui grafic de sarcina cu un motor asincron iar indicatiile suplimentare care s-ar obtine nu ar fi de alta putere etc. justificat acest lucru.

Pentru stabilirea conditiilor tehnice §i de siguranta Din cele expuse, rezulta ca problema poate fi in exploatare necesare pentru formularea functiilor <J>i rezolvata cu suficienta exactitate prin utilizarea

care intervin in rezolvarea problemei , s-au utilizat expresiei ( 11 ) §i a conditiei <pi (x m) = 0 , unde

urmatoarele criterii: i = 1, 2, 3 , conditiile respective reprezentand puterea a) conditiile alese trebuie sa fie reprezentative de transfer in regim permanent, componenta reactiva

pentru rezolvarea problemei, sa fie de sine statatoare a tensiunii de scurtcircuit §i solicitarea termica a §i sa nu conduca la solutii imposibile; infa§urarilor ATP.

b) numarul conditiilor alese sa fie redus la minimum pentru simplificarea rezolvarii problemei, fara insa ca, prin aceasta sa se lase un grad de libertate prea mare la stabi!irea solutiei.

Procedand in acest mod, s-a considerat ca tensiunile infa§urarilor, gama lor de reglare, domeniul de utilizare, regimul tip de functionare, incadrarea ATP in seriile unitare existente etc. sunt elemente cunoscute, iar influenta lor asupra solu\ionarii problemei se manifesta indirect prin alegerea convenabila a anumitor parametri de calcul constanti . S-a avut in vedere, de asemenea, ca valor ile pierderilor in gol $i la scurtcircuit sunt marimi care rezu!ta prin determinarea cheltuielilor totale min ime, iar precizarea ini\iala a unor valori sub forma unor conditii tehnice poate conduce la constituirea unu i sistem imposibil. f ntrucat din minimul cheltuielilor

totale rezulta atat P0, cat �i Q0 , conditia curen tulu i in

gol nu poate constitui o condi \ ie de sine statatoare, curentul in gol putand fi determinat prin intermediul

celor doua componente 100 �i I or .

3. Ex:presiile de calcul ale cheltuielilor totale Expresiife de calcul ale cheltuielilor totale ,.i ale

conditiilor tehnice �i de siguranta in lucrare sunt stabilite pentru autotransformatorul trifazat cu trei coloane echipat cu infa�urari cilindrice cu dispunere concentrica, cu miez feromagnetic realizat din tabla silicioasa cu graunti orienta\i cu infa$urari din cupru.

Considerand ca dimensiuni principale ale autotransformatorului: diametrul coloanei D inalt i­mea ferestrei H, $i la\imea ferestrei F . iar � soli�i­ta ri magnetice $i e lectrice inductia in miez B, respec­tiv densitatea de curent medie j , corespunzatoare

puterii de regim permanent, expresiile GFe, G,, P0, I',,P, Q0 �i Qm, pot fi puse sub urmatoarea forma:

greutatea totala a miezu lui feromagnetic:

greutatea totala a infa�urarilor:

(12)

36 ELECTROTEHNICA, ELECTRONICA, AUTOMATICA, 51 (2003), Nr. 1

pierderile la functionarea in gal;

Po =kccrFeYFekFe ·

. [3H + 4:' +3k0 (r + � )D ]D2(:, )' (14)

pierderile de putere activa ale autotransfor­matorului la func\ionare in regim permanent:

(15)

pierderile medii de putere activa in infa§urari, in

me - reprezinta numarul canalelor axiale de

racire, inclusiv canalul de scapari;

8c - reprezinta latimea canalelor axiale de

racire.

perioada ponirii: H

(16)

puterea de magnetizare la func\ionarea in gal:

Qo =%mYFekFe ·

. [3H + 2(2F + 3D )� + niqOi ]n2(.!!_)2 r Y FeqOm Brq

(17)

pierderile medii de putere reactiva datorita sarcinii pe perioada pornirii:

(18)

Nota\iile utilizate in expresiile (12, 13, 14, 15, 16, 17 § i 18) au urmatoarele semnifica\ii:

y Fe - greutatea specifica a tablei utilizate;

r = SJ/Sc - raportul intre sec\iunea jugului S1

§i sec\iunea coloanei Sc;

1t k Fe = -kuFekui - coeficientul total de umplere 4

al miezului, definit de coeficien\ii care apreciaza sec\iunea miezului fa\a de sec\iunea circulara, respectiv izola\ia tablelor.

y; - greutatea specifica a materialului conductor ;

kub = kski - unde k5 reprezinta coeficientul de

spar al greuta\ii materialului activ datorita

prezen\ei izola\iei §i k; reprezinta raportul dintre

sec\iunea efectiva a materialului conductor §i sec\iunea infa�urarii.

3rr k,if = 2k<p - unde k<p reprezinta raportul dintre

seqiunea infa�urarii �i a ferestrei ATP

Fig. 1.

cr Fe - reprezinta pierderile specifice in fier la

inductia de referinta Br §i la frecventa data;

k5 - coeficientul de spor al pierderilor in zona

imbinarilor datorita .. neconcordantei liniilor de camp §i directiei de u§oara magnetizare corespunzatoare laminarii materialelor;

j(t) este densitatea de cu rent variabila in timpul

pornirii;

qom §i qOi reprezinta puterea de magnetizare

specifica a miezului §i jugului, respectiv a

imbinarilor, la inductia de refer inta B · • • rq'

n; este numarul imbinarilor;

UscrAT §i llscaAT reprezinta COmponentele

reactiva, respectiv activa ale tensiunii de scurtcircuit.

Expresia (12) s-a stabilit in premisa ca jugul are

sec\iunea S1 §i lungirnea egala cu (2F + 3D), iar

expresia (13) in premisa ca a1 + a�1 = a20 + a2,

unde a1, a11, a20 §i a2 sunt indicate in figura 1. Legec: de varia\ie adoptata pentru pierderile specifice

rs Fe (B) = cr Fe (BIB, )2 este valabila in intreg dome­

niui de: varia\ ie al induc\iilor B = (171,8 )T cu erori sub 5%_

FLECTROTEHNICA, ELECTRONICA, AUTOMATICA, 51 (2003), Nr. 1 37 4. Expresiile conditiilor tehnice §i de siguranta c) Conditia solicitarii termice a infa�urarii auto-

in exploatare transformatorului (4] este:

Conditiile tehnice �i de siguranta in exploatare pot fi exprimate in functie de acelea�i marimi D, H, F, B,j.

a) Puterea transferata de regim permanent a autotransformatorului �i puterea aparenta conventionala:

1. Puterea de regim permanent a autotransfor­matorului

{24)

2. Puterea aparenta c6nventionala. ATP au un Notatiile utilizate in expresiile ( 19, 20, 21, 22, 23 �i regim de functionare interminent, specific 24) au urmatoarele semnificatii: procesului de pornire, pe care trebuie sa-1 H asigure. Atunci dmd incalzirea este "cea maxim - kh =

H _ 2h este coeficientul de corectie egal

admisa de clasa de izolatie T max , se obtin

regimuri termic echivalente maximale. Deoarece la o aceea�i durata relativa DA temperatura maxima atinsa T max depinde de

-

durata ciclului Tc , se utilizeaza puterea

aparenta convention ala Sc ca putere aparenta

corespunzatoare unui regim periodic cu o

durata relativa DA �i o durata a ciclului tc

data de relatia:

(20)

b) Componentele reactiva �( activa ale tensiunii de scurtcircuit

1. Componenta reactiva este data de expresia:

unde:

2. Componenta activa este data de expresia:

( D+�)F.

BD2 J

(21)

(22)

(23)

cu raportul dintre inaltimea ferestrei �i inaltimea infa�urarilor;

me este numarul de canale axiale de racire intre

infa!?urarea comuna !?i infa!?urarea restanta !?i care, in lucrare, pentru simplificarea expresiilor,

s-a·luat me = 1;

'I 'CJ

'·

0

I 'W [ _ _!_ T ' l I=-· - (l-e T )(l+-)--1 '•as t, '• I _l.

I I='·' T -- - -1-

- -- \ 1-\\.1

\i' ' -- - - - - \_ -----r '\

I

o' •1

T

Fig. 2.

a este grosimea totala a infa�urarilor, dedusa in

premisa infa�urarilor de inaltime egala �i prin considerarea coeficientului lui Rogowski egal cu unitatea , rezultand expresia:

khk<j! a=--F+(mc -1)8c

2 (25)

T este constanta de timp termica a infa�urari lor autotransformatorului care, cu notatiile din Fig. 2, este:

(26)

38 ELECTROTEHNICA, ELECTRONICA, AUTOMATICA, 51 (2003), Nr. 1

ac este coeficientul de transmisie a caldurii prin

conductie ;;i convectie; t P este durata timpului de pornire;

tr este durata timpului de pauza, care depinde

de timpul de pomire §i de durata de actionare dupa relatia:

t = t (100 -1) r P DA (27)

Pentru determinarea relatiilor de calcul ce descriu incalzirea bobinajului ATP in timpul pornirii, se fac urmatoarele ipoteze simplificatoare:

se admite ca turatia motorului asincron cu care ATP functioneaza in sistem in timpul pornirii are o variatie liniar crescatoare in functie de timp; se admite ca intensitatea curentului primar al MA in timpul pornirii t P, egala cu intensitatea

curentului de ie;;ire al ATP, valiaza, in functie de timp, descrescator dupa o parabola §i, in consecinta. intensitatea cu care se dezvolta

pierderile P = Ri(t )2 in bobinajul ATP variaza in

timp descrescator dupa o dreapta; se admite ca energia termica se transmite in perioada pornirii de la bobinajul ATP numai mediului de racire cu coeficientul de transmisie a caldurii prin conductie §i convectie constant; se admite ca temperatura aerului in lungul bobinajului ATP este constanta tot timpul pornirii §i egala cu temperatura mediului ambiant.

Se considera ipoteza ca, in procesul pornirilor succesive, conditiile initiale de pornire sunt identice, ceea ce conduce la incalziri identice. Procesul de

incalzire pentru n porniri succesive, cu durate p

identice t P

cuprinde §i n P - 1 raciri intercalate cu

durate egale.

5. Rezolvarea problemei de determinare a optimului tehnico-economic

in expresiile stabilite (19, 21 ;;i 24), intervin marimi de natura diferita: dimensiunile principale $i sarcinile e lectromagnetice (D, H, F, B, j), marimi constructive

aproximativ constante la tensiune $i putere ale ATP date (a20,a11,a12,h,<\,meoni), marimi caracteris­

tice ale materialelor active utilizate, practic constante la materiale date (y Fe,"( i, pi, CT Fe, q om, q oi ) , marimi

caracteristice procesului de pornire $i motorului ac\ionat, practic constante pentru un motor dat ;;i grafic de func\ionare date � P, 1�, DA, I Nmot, k Ip, n P ) $i, in sfar;;it, marimi de calcul, variabile in limite relativ mici, cum sunt r1' k Fe, k0 kc, kc,, ks, k1z, sau mai mari, cum sunt ki,kuf• in functie de puterea, tensiunea ;;i tipul constructiv al infa;;urarilor, al miezului sau jugului ATP. Tntrucat la putere, tensiune,

motor ;;i grafic de lucru ;;i constructie date, varia\ia marimilor amintite fata de anumite valori, considerate valori medii, poate fi in mod obi§nuit de ordinul a (5 - 20 %), ele se pot considera intr-o prima aproximatie marimi constante.

in cazul cand aceste marimi sunt date ;;i constante, latimea ferestrei ATP F rezulta din relatia (22) ;;i astfel problema poate fi rezolvata prin considerarea urmatoarelor variabile independente: diametrul D, inaltimea ferestrei H , inductia in miez B §i densitatea medie a curentului din infa;;urari j . in

expresia matematica a conditiilor tehnice ;;i de siguranta (19, 21 ;;i 24) intervin: puterea nominala a

autotransformatorului pentru regim permanent SP , componenta reactiva a tensiunii de scurtcircuit ukr §i

solicitarea termica e it . Puterea SP pentru regim

permanent a ATP este o marime data, constanta. Se pot adopta, de asemenea, conform prescriptiilor nationale sau intemationale, anumite valori bine

determinate §i pentru Uk respectiv Ukr §i 8it. Problema se poate rezolva in acest caz, optimul determinat corespunzand valorilor initial impuse.

Teoria generala a functiilor cu minim relativ arata insa ca, in c�zul cand intre

.functiile cp;(x) exista relaW

de legatura prin intermediul unei variabile independen­te, in cazul de fata. functiile (21) ;;i (24), de exemplu, sunt legate intre ele prin intermediul lui j - minimul

relativ real trebuie determinat prin variatia tuturor

parametrilor introdU$i, deci §i ukr §i 8it. Cum in cazul

analizat intereseaza nu atat respectarea anumitor norme, cat determinarea in mod obiectiv a unui optim tehnico-economic - care, eventual, in masura rentabilitatii poate sa serveasca la fixarea a noi norme - rezulta ca, in cazul general, urmeaza a se face prin

considerarea marimilor ukr $i eit ca variabile

independente intre limite acceptabile din punct de vedere tehnic.

De a ici rezulta ca, pentru rezolvarea problemei in cazul general, ar trebui considerate ca variabile independente urmatoarele §ase marimi: 0, H, 8, j, Ukn eit; numarul conditiilor tehnice ;;i de siguranta - redus la trei - nu permite insa acest lucru, de aceea problema Se Va rezo lva la U, c::i 8 ·r initial Constante 1..r 'f J • I

urmand ca, ulterior, sa fie variate succesiv iar solutia optima sa se determine corespunzator' minimu iui func\iei Cer=f(eif). respectiv Cer=f(ukr). Analiza cazurilor din practica se simplifica insa cu mult fa\a de acest caz teoretic, data fiind varia\ia practic insensibila a func\iilor f ( e it ) �i f(u kr) la varia\ii ale lui e it ;;i u kr cuprinse intre limitele acceptabile din punct de vedere tehnic. Problema se rezolva deci prin considerarea expresiei (11) ;;i c: condi\ilor (19, 21 ;;i 24) la 11 kr ;;i e it constan\i, urmand ca, ulterior, ultimele doua marimi sa fie variate succesiv. Daca, in c:xpresia (11 ), se in troduc expresi!'2 marimilor GFe. G;,

�LECTROTEHNICA, ELECTRONICA, AUTOMATICA, 51 (2003), Nr. 1 39 P0, Prop. Q0, §i Oms. expresiile (11, 19, 21 §i 24) iau Sistemul format din relatiile (28, 29, 30 §i 31) forma: reprezinta expresia matematica a problemei ce trebuie

BD2Hj=A6

( F) j D+- --=A7 2 BD2

J2 = eit Ag

rezolvata in premisele stabilite anterior. Sistemul se rezolva cu ajutorul calculatoarelor §i al

progamelor adecvate, rezultand valorile lui D, j, B §i H,

pentru care ATP, astfel determinat, reprezinta solutia optima cautata din punct de vedere tehnico-economic.

Sistemul se poate rezolva �i pe cale directa, caz in

(28) care din (29, 30 �i 31) se exprimaj, B §i Hin functie de D §i se inlocuiesc in (28), care, derivata in raport cu D §i egalata cu zero, determina valoarea lui D,

respectiv a lui j, B �i H, pentru care ATP dat reprezinta optimul tehnico-economic. Rezulta:

(29)

(30)

(31)

j=A13 F D+-2 B=A14 2 D

1 H=A15 F D+-2

in care, pentru simplificare, s-au facut urmatoarele notatii de calcul:

(32)

2 (D+ :r + AkA15A13 + Aq ----- + 4 Ds

(33)

+.,(f F+D )+AqJD:F +A.,A15A13

cu coeficientii de calcul constanti:

A13 =A1iA15 AP5 = Ai24AP2 Aq4 =Aq1A1sA?4 A% =A[4Aq3

AP4 = APl15Ai24 AP6 = AP3Ai24

Aq5 =A[4AJ (34)

Derivand C ef in raport cu D §i egaland cu zero,

rezulta:

(35)

40 ELECTROTEHNICA, ELECTRONICA, AUTOMATICA, 51 (2003), Nr. 1

( F)6( 7

8 11 ) -A _ D +-- 2D- +-F2 +-FD -q) 2 3 2

- A% ( D+ �r (3D+4F)=O

respectiv:

E13D1 3 +E12D12 +E11D11 +E10D10 +E9D9 +

+ EgD8 + E7D 7 + +E6D6 + E5D5

+ E4D4 + (36)

+E3D3 +E2D2 +E1D+Eo =0

in care A13, A14, A15, E0 , . • . , E13 sunt constante de calcul §i au urmatoarele semnificatii:

leit A13 A5 A13 = - A14 =- A15 = ---\ Aa h A13A14

13 E13 = 3Ar 2 E12 = -FAr2 c 3

25 2 E11 =UF A! 2 + AIJ + AP6

E10 = F 3 A!2 + F(AIJ + APJ

E9 = -&P 5F + APJ Eg � { 2FAP4 + %F2 AP5 + �3 AP6 + 2Aq5 J

{

4

l

5 2 3 3 F -F AP4 +-F Ap- +-A

. p6 +

£7 = 4 4 ) 16 _

23 +2FAq5 +3A%

{F3 F4 l -AP4 +-AP5 +4Aq4 +

E _ 4 8 6 - 80 2 +3F Aq5+13FA%

( 269 3 93 2 ) Es=- 14FAq4 +-8-

F Aq5 +4F Aq6

( 2 205 4 45 3 ) E4 = - 20F Aq4 +-8-F Aq5 + lF A

%

E� = -(15F3 A + _!__!2_1_ F5 A + 205 F4 A ) .) q 4 96 q 5 16 q 6

E =-(25 F4A + 3761 F6 A . + 69 Fs A ) 2 4 q 4 I 056 % 16 q 6

£1 =--F A +-F A +-F A ( 11 5 7 7 35 6 ) 8 q 4 12 q 5 44 q 6

Eo = - - F A + -F A + -F A . (I 6 4 s 2 7 ) 8 q4 99 q5 33 q6

Coeficien\ii de calcul s-au afectat cu indici care

indica provenien\a !or. Astfel, f afecteaza coeficien\ii ...

de calcul cu implicatii directe asupra costului fabrica\jei, indicele p pierderile de putere activa, iar q pierderile de putere reactiva la functionarea in gol a autotransformatorului.

6. Concluzii in lucrare, s-a expus o metoda obiectiva de deter­

minare a optimului tehnico-economic prin considera­rea in mod unitar a conditiilor tehnice §i de exploatare a ATP.

Metoda, formulata matematic, a fost utilizata la realizarea unui program de calcul pentru a fi utilizata la proiectarea ATP cu ajutorul computerelor.

Metoda este riguroasa §i poate fi aplicata cu rezultate suficient de exacte chiar in cazul in cand se cunosc in mod aproximativ unele elemente care caracterizeaza constructia §i exploatarea ATP.

Analiza expresiilor coeficientilor de calcul Ei arata,

oc de asemenea, ca termenii ecuatiei __!![_ = 0 , de · an gradele 13 �i 12 sunt influentati doar de elemente care privesc fabricatia, termenii de grad 11 §i 10 de elemente care privesc fabricatia §i pierderile de putere activa, termenii de grad 6, 7, 8 §i 9 negativi de elemente care privesc pierderile de putere activa §i reactiva, iar termenii de grad 0, 1, . . . , 5, de asemenea negativi, doar de elemente referitoare la pierderile de putere reactiva. Aceasta observatie poate servi la aprecierea calitativa a modului cum pot influenta elementele de fabrica\ie sau exploatare asupra optimului tehnico-economic. Astfel, de exemplu, cre§terea relativa a costului materialelor active va conduce la un optim reprezentat de un autotransformator caracterizat de diametre mici, inaltimi ale ferestrei H relativ mari §i inductii B marite. in mod analog, se poate urmari influenta calitativa a oricarui alt parametru. intr-o lucraie viitoare, se va analiza in mod sistematic aceasta problema, aducandu-se precizari �i de natura cantitativa.

Bibliografie [1] Apetrei, C., - Determinarea prin calcul a optimului tehnico­

economic in construc\ia ;;i exploatarea transformatoarelor de putere. Studii ;;i cercetari de energetica, Energetica generala ;;i electroenergetica, Tomul XII, Nr. 10, 1962.

[2] Chivu/escu, C., - Proiectarea optima a transformatoarelor de putere, Conferin\a interna\ionala de transformatoare electrice CITE'96. Bucure�ti 9-10 mai 1996 .

[3] Covrig, M., Togui, L, - Analiza posibilita\ilor de proiectare economica a unui transformator trifazat de mica $i medie putere, Conferin\a intc:na\ionala de transformatoare electrice CITE'96. Bucure$li , 9-10 mai 1996.

(4] Bala, C. V., fogui, L, Covrig, M, - Bobine de reactan\a pentru sisteme energetice, Editura Tehnica, Bucure$ti , 1982.

(SJ Burcea, T., Chivu!escu, C., - Alegerea optima a solicitarilor specifice B $i j ;;i delerminarea dimensiunilor geometrice optime la inductan\ele de curent continu u in vederea realizarii rninimului de volum efocliv, E.EA Electrotehnica nr. 5, Bucure�ti 1981 .

(61 f.,fan·n C. V., - Pornirea prin autotransformator a motorului asincron, Ed itura Printech Andor Tipo, Bucure;;ti, 1999 .

�