VII. OPERADORES NOACOTADOS EN ESPACIOSDE HILBERT

La teorıa de operadores no acotados surge como necesidad deestablecer los fundamentos matematicos de la Mecanica Cuanticay fue desarrollada en los anos 1920-1930 por von Neumann y Sto-ne. Sus principales aplicaciones, aparte de la Mecanica Cuanti-ca, se dirigen al estudio de las ecuaciones diferenciales. Sirvaeste capıtulo para mostrar las propiedades fundamentales de losoperadores no acotados, destacando las diferencias y nuevas difi-cultades que aparecen al eliminar la condicion de acotacion en losoperadores, en especial el problema de extension que aquı apa-rece.

SECCIONES

1. Introduccion. Operadores simetricos y autoadjuntos.

2. Propiedades espectrales de operadores simetricos y autoadjuntos.

3. Teorema espectral de operadores unitarios.

4. Teorema espectral de operadores autoadjuntos no acotados.

5. Ejercicios.

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1. INTRODUCCION. OPERADORES SIMETRICOS Y AUTO-ADJUNTOS.

Los dos ejemplos basicos de operadores no acotados son el operador multipli-cacion Mf(x) = x ·f(x) y el operador derivacion Df(x) = d

dxf(x), definidosen L2(R), operadores para los que se cumple la relacion de conmutacionDM −MD = I, formula en la que se basa el principio de incertidumbre dela Mecanica Cuantica. Se puede probar ademas que la relacion anterior nose da en ninguna pareja de operadores acotados (ver los ejercicios al finaldel capıtulo) y los operadores que la cumplen se pueden identificar con losanteriores.

El primer resultado que enunciamos es uno de los primeros teoremas delAnalisis Funcional (1910) y sugiere que el dominio de un operador y el pro-blema de extension del mismo juegan un importante papel en la cuestion desu acotacion.

1.1.- Teorema (Hellinger-Toeplitz). Sea H un espacio de Hilbert y supon-gamos que T : H → H es un operador lineal definido en todo H y simetrico,es decir tal que 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉, ∀x, y ∈ H. Entonces T es acotado.

En particular, como el operador multiplicacion verifica

〈Mf, g〉 =∫

Rxf(x) g(x)dx = 〈f,Mg〉

y no es acotado, no puede estar definido en todo el espacio.

Demostracion. Supongamos por el contrario que existe una sucesion de Cau-chy (yn)n∈N en H con ‖yn‖ = 1 y ‖Tyn‖ → ∞. Definimos la sucesion (fn)n∈Nde funcionales lineales en H por fn(x) = 〈Tx, yn〉 = 〈x, Tyn〉, ∀n.

Por la desigualdad de Schwarz, |fn(x)| = |〈x, Tyn〉| ≤ ‖Tyn‖ · ‖x‖, de modoque cada fn esta acotado.

Ademas, de |fn(x)| = |〈Tx, yn〉| ≤ ‖Tx‖ de deduce que (fn(x))n∈N es una su-cesion acotada. Por el principio de acotacion uniforme (capıtulo IV, teorema4.2), (‖fn‖)n∈N esta acotada, por lo que ‖fn‖ ≤ k, ∀n. Ası

|fn(x)| ≤ ‖fn‖ · ‖x‖ ≤ k‖x‖.

En particular, para x = Tyn resulta que

‖Tyn‖2 = 〈Tyn, T yn〉 = |fn(Tyn)| ≤ k‖Tyn‖ =⇒ ‖Tyn‖ ≤ k

lo que es absurdo. ♦

Observaciones. 1) El teorema anterior sugiere plantear el problema dedeterminar dominios de operadores y obtener extensiones de los mismos.

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Utilizaremos la notacion S ⊂ T para indicar que T es extension de S, es decirD(S) ⊂ D(T ) y T |D(S) = S. Es claro que S ⊂ T si y solo si G(S) ⊂ G(T ),donde G representa el grafo del operador.

2) Si un operador lineal es acotado, es decir

∃k > 0 : ‖Tx‖ ≤ k‖x‖, ∀x ∈ D(T ),

puede extenderse a D(T ) por continuidad. Si D(T ) no fuera denso en H,se puede extender T mas alla de D(T ), haciendo por ejemplo Tx = 0,∀x ∈ D(T )⊥, y por linealidad definirlo en todo H. Dicha extension es-tara tambien acotada y tendra la misma norma de T . Esto sugiere suponerque los operadores lineales acotados estan siempre definidos en todo H, demodo que en lo sucesivo adoptaremos dicho convenio.

A continuacion vamos a generalizar el concepto de operador adjunto en elcaso de operadores no acotados.

1.2.- Definicion. Dado un operador lineal T con dominio D(T ) ⊂ H, sedefine

D(T ∗) = x′ ∈ H : ∃y′, 〈Tx, x′〉 = 〈x, y′〉,∀x ∈ D(T )

y se llama adjunto de T al operador T ∗ definido por

∀x′ ∈ D(T ∗) : T ∗x′ = y′.

1.3.- Proposicion. T ∗ esta bien definida (es decir y′ es unico) si y solo siD(T ) es denso en H.

Demostracion. Si D(T ) 6= H, existe y1 ∈ H con y1 6= 0 tal que y1⊥D(T ).Ası 〈x, y′〉 = 〈x, y′〉+ 〈x, y1〉.

Recıprocamente, si D(T ) = H e y1 = T ∗x, y2 = T ∗x, entonces

〈y1, z〉 = 〈y2, z〉, ∀z ∈ D(T ) =⇒ y1 − y2⊥D(T ) =⇒ y1 − y2⊥H =⇒ y1 = y2.

Observaciones. De la definicion se deducen tambien las propiedades corres-pondientes al caso en que los operadores son acotados. En particular:

1) ∀x ∈ D(T ), x′ ∈ D(T ∗) : 〈Tx, x′〉 = 〈x, T ∗x′〉.

2) Si T ∈ L(H), entonces T ∗ ∈ L(H) y ‖T ∗‖ = ‖T‖.

3) Si T ∈ L(H), entonces T ∗∗ = T .

4) Si S, T ∈ L(H), T ∗S∗ = (ST )∗.

5) Si α ∈ C y T tiene dominio denso en H, entonces (αT )∗ = αT ∗.

Sin embargo, para operadores no acotados se presentan ciertas diferenciascomo se muestra a continuacion.

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1.4.- Proposicion. Sean S y T dos operadores lineales con dominio densoen el mismo espacio de Hilbert H.

a) Si S ⊂ T , entonces T ∗ ⊂ S∗.

b) T ∗ + S∗ ⊂ (T + S)∗.

c) Si ST tiene dominio denso en H, entonces T ∗S∗ ⊂ (ST )∗. Si ademasS ∈ L(H), entonces T ∗S∗ = (ST )∗.

Demostracion. a) Si x ∈ D(T ∗), entonces existe y ∈ H tal que 〈x, Tz〉 =〈y, z〉, ∀z ∈ D(T ). Como S ⊂ T , 〈y, z〉 = 〈x, Tz〉 = 〈x, Sz〉, ∀z ∈ D(S). Estoimplica que x ∈ D(S∗) y S∗x = y, o bien que T ∗ ⊂ S∗.

b) Si x ∈ D(T ∗ + S∗), entonces x ∈ D(T ∗) y x ∈ D(S∗). Por tanto,

∃y1, y2 ∈ H : 〈 x, Tz〉 = 〈y1, z〉, ∀z ∈ D(T )〈 x, Sz〉 = 〈y2, z〉, ∀z ∈ D(S)

=⇒ 〈 x, (T + S)z〉 = 〈y1 + y2, z〉, ∀z ∈ D(T ) ∩D(S) = D(T + S).

Esto implica que x ∈ D(T + S)∗ y (T + S)∗x = y1 + y2 = (T ∗ + S∗)x.

c) Si x ∈ D(T ∗S∗) =⇒ x ∈ D(S∗), S∗x ∈ D(T ∗). Por tanto,

∃y1 ∈ H : 〈x, Sz〉 = 〈y1, z〉, ∀z ∈ D(S),∃y2 ∈ H : 〈S∗x, Tu〉 = 〈y2, u〉, ∀u ∈ D(T ),

Ahora bien, si u ∈ D(ST ), entonces u ∈ D(T ) y z = Tu ∈ D(S). Teniendoen cuenta que y1 = S∗x, tenemos:

〈x, STu〉 = 〈x, Sz〉 = 〈y1, z〉 = 〈S∗x, Tu〉 = 〈y2, u〉

lo que implica que x ∈ D((ST )∗) y (ST )∗x = y2 = T ∗S∗x.

Por ultimo, si S ∈ L(H), veamos que D((ST )∗) ⊂ D(T ∗S∗).

Sea pues x ∈ D((ST )∗). Entonces ∃y ∈ H : 〈x, (ST )z〉 = 〈y, z〉, ∀z ∈ D(ST ).En particular 〈x, (ST )z〉 = 〈y, z〉, ∀z ∈ D(T ). Como S ∈ L(H), S∗ ∈ L(H)y 〈x, (ST )z〉 = 〈S∗x, Tz〉, lo que implica que S∗x ∈ D(T ∗). Como ademasD(S∗) = H, tambien x ∈ D(S∗); por tanto x ∈ D(T ∗S∗). ♦

Una generalizacion del concepto de operadores simetricos para operadoresno acotados es la siguiente:

1.5.- Definicion. Un operador T : D(T ) ⊂ H → H es simetrico si

〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉, ∀x, y ∈ D(T ).

Un operador simetrico es maximal si no tiene extensiones simetricas pro-pias.

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Observacion. A veces se exige que un operador simetrico tenga dominiodenso y, en caso de no cumplir esta condicion, recibe el nombre de operadorhermıtico.

Las siguientes caracterizaciones de los operadores simetricos son utiles.

1.6.- Proposicion. Si D(T ) = H, son equivalentes:

i) T es simetrico.

ii) T ⊂ T ∗.

iii) 〈Tx, x〉 ∈ R, ∀x ∈ D(T ).

Demostracion. i) =⇒ ii). Sea x ∈ D(T ). Existe entonces y = Tx tal que〈Tz, x〉 = 〈z, y〉, para todo z ∈ D(T ). Esto implica que x ∈ D(T ∗) y queT ∗x = y = Tx.

ii) =⇒ iii). Si x ∈ D(T ), 〈Tx, x〉 = 〈T ∗x, x〉 = 〈x, Tx〉 = 〈Tx, x〉. Estoimplica que 〈Tx, x〉 ∈ R.

iii) =⇒ i). Sea α ∈ C. Entonces

〈T (x + αy), x + αy〉 = 〈Tx, x〉+ α〈Ty, x〉+ α〈Tx, y〉+ α α〈Ty, y〉〈x + αy, T (x + αy)〉 = 〈x, Tx〉+ α〈y, Tx〉+ α〈x, Ty〉+ α α〈y, Ty〉.

Teniendo en cuenta que 〈T (x + αy), x + αy〉 = 〈x + αy, T (x + αy)〉, resul-ta:

Para α = 1, 〈x, Ty〉+〈Tx, y〉 = 〈Tx, y〉+〈x, Ty〉 =⇒ Im〈Tx, y〉 = Im〈x, Ty〉.

Para α = i, 〈x, Ty〉+〈x, Ty〉 = 〈Tx, y〉+〈Tx, y〉 =⇒ Re〈x, Ty〉 = Re〈Tx, y〉.

De las dos igualdades se deduce que 〈Tx, y〉 = 〈x, Ty〉. ♦

1.7.- Definicion. Un operador T : D(T ) ⊂ H → H con dominio denso enH es autoadjunto si T = T ∗.

Es evidente entonces que todo operador autoadjunto es simetrico y si D(T ) =H, el recıproco tambien es cierto.

De la definicion se deduce tambien que todo operador simetrico T que verificaD(T ) = D(T ∗) es autoadjunto.

Ejemplos. 1) Sea H = L2(R) y D = i · ddx el operador definido en el

conjunto de funciones que tienen lımite cero en los infinitos (que es densoen H). Entonces D es simetrico.

2) Sea H = L2[0, 1] y se define Tkf = i · f ′, (k = 1, 2, 3), con

D(T1) = f ∈ H : f absolutamente continua y f ′ ∈ H,D(T2) = f ∈ D(T1) : f(0) = f(1) ⊂ D(T1),D(T3) = f ∈ D(T2) : f(0) = f(1) = 0 ⊂ D(T2),

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dominios que definen varios aspectos del problema de la cuerda vibran-te.

Se observa en primer lugar que T3 ⊂ T2 ⊂ T1. Tenemos ademas que T ∗1 =

T3, T ∗2 = T2, T ∗

3 = T1. Resulta pues que T2 es extension autoadjunta deloperador simetrico T3 y T1 es una extension no simetrica de T2. Esto indicaen particular que los conceptos de operador simetrico y autoadjunto nocoinciden en el caso de operadores no acotados. Observemos ademas que elcalculo del operador adjunto depende del dominio del operador y no bastala definicion formal del mismo.

En un espacio de Hilbert arbitrario H, la aplicacion U : H ×H → H ×H,definida por U(x, y) = i(y,−x), llamado operador de conjugacion, es unoperador unitario tal que U2 = I; ademas tenemos lo siguiente:

1.8.- Proposicion. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con D(T ) =H.

a) Si G(T ) = (x, Tx) : x ∈ D(T ) es el grafo de T , entonces U(G(T ))⊥ =G(T ∗).

b) Si T admite una clausura, entonces su adjunto T ∗ tiene dominio densoen H y U(G(T ∗))⊥ = G(T ∗∗).

Demostracion. a) Supongamos que (x, y) ∈ U(G(T ))⊥. Entonces,

∀(u, v) ∈ U(G(T )), 〈(x, y), (u, v)〉 = 0.

Como (u, v) = U(a, Ta) = (iTa,−ia) para algun a ∈ D(T ), resulta:

0 = 〈(x, y), (u, v)〉 = 〈x, u〉+ 〈y, v〉 = 〈x, iTa〉+ 〈y,−ia〉= −i〈x, Ta〉+ i〈y, a〉 =⇒ 〈x, Ta〉 = 〈y, a〉.

Esto implica que x ∈ D(T ∗) y que y = T ∗x.

Recıprocamente, si (x, y) ∈ G(T ∗), x ∈ D(T ∗), y = T ∗x. Por tanto, paratodo a ∈ D(T ),

〈(x, y), (iTa,−ia)〉 = −i〈x, Ta〉+ i〈y, a〉 = −i〈T ∗x, a〉+ i〈y, a〉 = 0.

b) Supongamos que D(T ∗) 6= H, es decir ∃y0 6= 0 : y0⊥D(T ∗). Entonces〈y0, x〉 = 0, ∀x ∈ D(T ∗), de donde

〈(y0, 0), (x, T ∗x)〉 = 0, ∀x ∈ D(T ∗) =⇒ (y0, 0) ∈ G(T ∗)⊥.

Debido al apartado (a),

G(T ∗)⊥ = U(G(T ))⊥⊥ = U(G(T )).

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Por tanto, ∃(xn)n∈N ⊂ D(T ) tal que (y0, 0) = lımn U(xn, Txn), de don-de

y0 = lımn

iTxn, 0 = lımn−ixn.

Por ser T clausurable, si lımn ixn = 0, lımn iTxn = y0, entonces y0 = 0, loque contradice la suposicion inicial.

La segunda parte se obtiene de (a) sustituyendo T por T ∗. ♦

La importancia de este teorema queda patente en la variedad de consecuen-cias que de el se derivan.

1.9.- Corolario. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con dominiodenso en H.

1) T ∗ es cerrado. En particular los operadores autoadjuntos son cerrados.

2) Si D(T ∗) es tambien denso en H, T ⊂ T ∗∗.

3) Si T es clausurable, entonces ( T )∗ = T ∗, T = T ∗∗. En particular, si Tes cerrado, T = T ∗∗.

4) N(T ∗) = R(T )⊥ y, si T es cerrado, N(T ) = R(T ∗)⊥.

5) Si T es simetrico, es clausurable y T es tambien simetrico.

6) H ×H = G(T ∗)⊕ UG(T ).

7) Si T es cerrado, el sistema−Tx + y = ax + T ∗y = b

siempre tiene solucion (x, y) ∈

D(T )×D(T ∗).

8) Si T es inyectiva y R(T ) es denso en H, entonces T ∗ es inyectiva y(T ∗)−1 = (T−1)∗.

Demostracion. 1) G(T ∗) es cerrado por ser el complemento ortogonal de unsubespacio de H ×H.

2) Como U(G(T ))⊥ = G(T ∗), resulta

U(G(T )) = G(T ∗)⊥ =⇒ U(G(T )) ⊂ G(T ∗)⊥

=⇒ G(T ) ⊂ U(G(T ∗)⊥) = G(T ∗∗) =⇒ T ⊂ T ∗∗.

3) Si T es la clausura de T , G( T ) = G(T ). Entonces

U(G( T )) = U(G(T )) =⇒ G(T ∗) = U(G(T ))⊥ = U(G( T ))⊥ = G( T∗).

Por otra parte, de G(T ∗) = U(G(T ))⊥ deducimos que

G(T ∗)⊥ = U(G(T ))⊥⊥ = U( G(T )) = U(G( T ))

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y de aquı,

G(T ∗∗) = U(G(T ∗))⊥ = U(G(T ∗)⊥) = U2(G( T )) = G( T ).

Esto prueba que T ∗∗ = T .

4) De lo anterior se deduce

x ∈ N(T ∗) ⇐⇒ (x, 0) ∈ G(T ∗) ⇐⇒ 〈(x, 0), (u, v)〉 = 0, ∀(u, v) ∈ U(G(T ))⇐⇒ 〈(x, 0), (iTa,−ia)〉 = 0, ∀a ∈ D(T )⇐⇒ 〈x, Ta〉 = 0, ∀a ∈ D(T ) ⇐⇒ x ∈ R(T )⊥.

5) Si T es simetrico, T ∗ es extension de T y T ∗ es cerrado. Ademas, ∀x, y ∈D( T ), ∃(xn)n∈N, (ym)m∈N ⊂ D(T ) tales que

xn → x, Txn → Tx, ym → y, Tym → Ty.

Ası pues,

〈Tx, y〉 = lımn,m

〈Txn, ym〉 = lımn,m

〈xn, T ym〉 = 〈x, Ty〉.

6) Es evidente pues G(T ∗)⊥ = U(G(T )).

7) Sea (a, b) ∈ H ×H arbitrario. Tenemos:

(a, b) = f + g, f ∈ G(T ∗), g ∈ U(G(T )) = U(G(T ))

(a, b) = (y, T ∗y) + U(x′, Tx′), y ∈ D(T ∗), x′ ∈ D(T )=⇒ (a, b) = (y, T ∗y) + i(Tx′,−x′) = (y, T ∗y) + (−Tx, x), y ∈ D(T ∗), x ∈ D(T ).

8) Por el apartado (4), N(T ∗) = R(T )⊥ = R(T )⊥

= 0. Teniendo encuenta ahora la proposicion 1.4, como D(T ) y D(T−1) = R(T ) son densosen H, entonces

(T−1)∗T ∗ ⊂ (TT−1)∗ = I =⇒ (T−1)∗ = (T ∗)−1. ♦

Observacion. Debido al apartado 5) se puede suponer siempre que un ope-rador simetrico es cerrado.

La siguiente propiedad sera tambien util en el estudio de los operadoresautoadjuntos.

1.10.- Proposicion. Sea T un operador simetrico con dominio denso enH. Entonces:

a) D(T ) = H =⇒ T = T ∗ y T ∈ L(H).

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b) T = T ∗ y T inyectivo =⇒ R(T ) = H y T−1 = (T−1)∗.

c) R(T ) = H =⇒ T inyectivo.

d) R(T ) = H =⇒ T = T ∗ y T−1 ∈ L(H).

Demostracion. a) Por ser T simetrico, T ⊂ T ∗. Como D(T ) = H, T = T ∗.Por el teorema del grafico cerrado, como T es cerrado y D(T ) = H, Tes acotado. (Como se observa, esto constituye otra prueba del teorema deHellinger-Toeplitz.)

b) Debido al apartado 4 del corolario anterior, N(T ) = R(T )⊥, de modoque, si N(T ) = 0, entonces R(T ) = H.

La segunda parte se obtiene ahora aplicando el apartado 8 del corolariocitado.

c) Sea v ∈ D(T ) tal que Tv = 0. Entonces:

〈Tv, x〉 = 0, ∀x ∈ D(T ) =⇒ 〈v, Tx〉 = 0, ∀x ∈ D(T ) =⇒ v ∈ R(T )⊥ =⇒ v = 0.

d) Si R(T ) = H, T es inyectiva y existe S = T−1 con D(S) = R(T ) =H.

Dados f, h ∈ R(T ), f = Tg, h = Tk, entonces

〈Sf, h〉 = 〈g, Tk〉 = 〈Tg, k〉 = 〈f, k〉 = 〈f, Sh〉,

es decir S es simetrico. Por el apartado a), S = S∗ ∈ L(H) y, por el apartadob), T = S−1 es autoadjunto. ♦

Estudiaremos a continuacion el problema de las extensiones de operadoressimetricos. Sabemos que, si T es un operador simetrico y S es una extensionsimetrica de T , entonces T ⊂ S ⊂ S∗ ⊂ T ∗, es decir toda extension simetricade T es restriccion de T ∗.

1.11.- Proposicion. a) Todo operador simetrico tiene alguna extension si-metrica maximal.

b) Toda extension simetrica maximal de un operador simetrico es cerra-da.

c) Todo operador autoadjunto es simetrico maximal.

El apartado a) es una simple aplicacion del lema de Zorn y los otros dos sonconsecuencia de los resultados anteriores.

1.12.- Teorema. Sean T un operador simetrico y λ = a + ib con a, b ∈ R.Entonces:

a) ‖(T − λI)x‖2 = b2‖x‖2 + ‖(T − aI)x‖2, ∀x ∈ D(T ).

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b) Si b 6= 0, N(T − λI) = 0, es decir T − λI es inyectivo.

c) Si b 6= 0 y T es cerrado, entonces R(T − λI) es cerrado.

d) Si ademas R(T − λI) = H, T es simetrico maximal.

Demostracion. Observamos en primer lugar que

‖(T−λI)x‖2 = ‖(T−aI)x−ibx‖2 = ‖(T−aI)x‖2+b2‖x‖2+2Re i〈(T−aI)x, bx〉

donde 〈(T − aI)x, bx〉 = b〈Tx, x〉 − ab‖x‖2 ∈ R. Esto demuestra el apartadoa).

De aquı tambien se deduce que (T − λI)x = 0 =⇒ b2‖x‖2 = 0 =⇒ x = 0, loque prueba el apartado b).

Para probar c) elegimos una sucesion (xn)n∈N ⊂ D(T ) tal que (T −λI)xn →y. Entonces (xn)n∈N es de Cauchy porque

b2‖xn−xm‖2 ≤ ‖(T−aI)(xn−xm)‖2+b2‖xn−xm‖2 = ‖(T−λI)(xn−xm)‖2 → 0.

Por ser H de Hilbert, existe x = lımn xn. De este modo, por ser T − λIcerrado, debe ser x ∈ D(T − λI) y (T − λI)x = y, es decir y ∈ R(T −λI).

Por ultimo, para probar d) suponemos que existe un operador simetrico Stal que T ⊂ S. Entonces H = R(T − λI) ⊂ R(S − λI). Si consideramosun elemento u ∈ D(S) \D(T ), aplicando el resultado de b) al operador S,tenemos:

∃u′ ∈ D(T ) : (S − λI)u = (T − λI)u′ = (S − λI)u′ =⇒ u = u′

lo que es absurdo a no ser que T = S. ♦

El siguiente resultado permite asociar a todo operador cerrado un operadorpositivo acotado y sirve de base para dar una prueba del teorema espectralde operadores autoadjuntos no acotados.

1.13.- Teorema. Sea T cerrado con dominio denso; se define Q = I +T ∗T .Entonces:

a) Q : D(Q) → H es biyectivo y existen B,C ∈ L(H), con ‖B‖ ≤ 1,‖C‖ ≤ 1, tales que C = TB y BQ ⊂ QB = I. Ademas B ≥ 0 y T ∗T esautoadjunto.

b) Sea T ′ = T |D(T ∗T ); entonces G(T ′) es denso en G(T ).

Demostracion. Por el apartado 6 del corolario 1.9 y teniendo en cuenta que Tes cerrado, H ×H = G(T ∗)⊕UG(T ). Entonces, ∀h ∈ H, existen x ∈ D(T ),y ∈ D(T ∗) tales que:

(0, h) = (y, T ∗y) + U(x, Tx) = (y + iTx, T ∗y − ix).

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Quedan definidos ası los operadores Bh = −ix, Ch = y, que tienen dominioH y son lineales. Ademas, debido a que la suma anterior es ortogonal, porla definicion de norma en H ×H, tenemos:

‖h‖2 = ‖Ch‖2 + ‖T ∗Ch‖2 + ‖TBh‖2 + ‖Bh‖2 ≥ ‖Ch‖2 + ‖Bh‖2.

Entonces ‖Ch‖ ≤ ‖h‖ y ‖Bh‖ ≤ ‖h‖, con lo que ‖B‖ ≤ 1 y ‖C‖ ≤ 1.Ademas,

0 = Ch− TBh =⇒ TB = C

h = T ∗Ch + Bh = Bh + T ∗TBh = (I + T ∗T )Bh =⇒ QB = I.

En particular, ∀y ∈ D(Q), ∃h ∈ H tal que y = Bh; por tanto, Qy = QBh =h y BQy = Bh = y, de donde BQ ⊂ I.

La aplicacion Q es biyectiva pues, por ser QB = I, Q es sobre y, por serBQ ⊂ I, Q es inyectiva.

Ademas, Q es un operador positivo pues, ∀x ∈ D(Q),

〈Qx, x〉 = 〈x, x〉+ 〈T ∗Tx, x〉 = ‖x‖2 + ‖Tx‖2 ≥ 0.

Veamos, como consecuencia de lo anterior, que B ≥ 0:

Dado cualquier h ∈ H, sea x ∈ D(Q) tal que h = Qx; entonces

〈Bh, h〉 = 〈BQx,Qx〉 = 〈x,Qx〉 ≥ 0.

Como B ∈ L(H), B es autoadjunto. De 1.10(b) se deduce que Q es tambienautoadjunto, con lo que evidentemente Q− I = T ∗T es autoadjunto.

Para probar b), consideremos un elemento (x, Tx) ortogonal a G(T ′). En-tonces ∀y ∈ D(T ∗T ) = D(Q) :

0 = 〈(x, Tx), (y, Ty)〉 = 〈x, y〉+〈Tx, Ty〉 = 〈x, (I+T ∗T )y〉 = 〈x,Qy〉 =⇒ x⊥R(Q).

Como R(Q) = H, x = 0. ♦

Observacion. Teniendo en cuenta que TT ∗ = T ∗∗T ∗ (pues T es cerrado)y T ∗ es cerrado, el resultado anterior tambien se aplica al operador TT ∗.Ademas, de la proposicion 1.10 se deduce que los operadores (I + T ∗T )−1 y(I + TT ∗)−1 son acotados.

Veremos en los ejercicios al final del capıtulo algunas aplicaciones de esteteorema.

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2. PROPIEDADES ESPECTRALES DE OPERADORES SIMETRI-COS Y AUTOADJUNTOS.

Muchas de las propiedades espectrales de operadores autoadjuntos acota-dos se conservan en el caso de operadores no acotados. Algunas de dichaspropiedades se generalizan en esta seccion.

Observemos en primer lugar que, si T : D(T ) ⊂ H → H es un operador linealcerrado con dominio denso, entonces T − λI : D(T ) → R(T ) es biyectiva siy solo si λ no es autovalor de T . Ası pues, los autovalores son aquellos paralos que, o bien T −λI no tiene inverso, o bien (T −λI)−1 no es un operadoracotado definido en todo H.

Si T es ademas un operador simetrico, sus autovalores son reales (teorema1.12.b). Esto da lugar al siguiente resultado.

2.1.- Proposicion. Sea T un operador autoadjunto. La condicion necesariay suficiente para que λ sea autovalor de T es que R(T − λI) 6= H.

Demostracion. Si λ es autovalor, existe x 6= 0 tal que Tx = λx. Enton-ces:

〈x, (T − λI)y〉 = 〈(T − λI)x, y〉 = 0, ∀y ∈ D(T ).

Esto implica que x⊥R(T − λI) con lo que R(T − λI) 6= H.

Recıprocamente, si R(T − λI) 6= H, entonces ∃x 6= 0 tal que x⊥R(T − λI).Luego

〈x, (T − λI)y〉 = 0, ∀y ∈ D(T )=⇒ 〈x, Ty〉 = 〈x, λy〉, ∀y ∈ D(T ) =⇒ x ∈ D(T ∗), T ∗x = λx.

Como T es autoadjunto y λ ∈ R, entonces Tx = λx. ♦

2.2.- Corolario. Si T es autoadjunto, el autoespacio correspondiente a unautovalor λ es R(T − λI)⊥.

El siguiente resultado es tambien similar al correspondiente en el caso deoperadores acotados.

2.3.- Teorema. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador autoadjunto condominio denso en H. Entonces

λ ∈ ρ(T ) ⇐⇒ ∃c > 0 : ‖(T − λI)x‖ ≥ c‖x‖, ∀x ∈ D(T ).

Los tres lemas siguientes seran utiles en la determinacion del espectro delos operadores simetricos.

2.4.- Lema. Sea T un operador simetrico cerrado y λ = a+ ib un complejo,con b 6= 0. Si µ ∈ C es tal que |λ− µ| < |b|, entonces N(T ∗ − µI) ∩N(T ∗ −λI)⊥ = 0.

300

Demostracion. Supongamos por el contrario que

∃f ∈ N(T ∗ − µI) ∩N(T ∗ − λI)⊥

y ‖f‖ = 1. Como R(T − λI) es cerrado, N(T ∗ − λI)⊥ = R(T − λI), demodo que existe g ∈ H tal que (T − λI)g = f . Ası pues, como f ∈ N(T ∗ −µI),

0 = 〈(T ∗ − µI)f, g〉 = 〈f, (T − µI)g〉= 〈f, (T − λI)g〉+ (λ− µ)〈f, g〉 = ‖f‖2 + (λ− µ)〈f, g〉.

Entonces

1 = ‖f‖2 = |λ− µ| · |〈f, g〉| ≤ |λ− µ| · ‖g‖1 = ‖f‖ = ‖(T − λI)g‖ ≥ |b| · ‖g‖

=⇒ 1 ≤ |λ− µ| · |b|−1,

lo que contradice la hipotesis. ♦

2.5.- Lema. Sean M y N subespacios cerrados de un espacio de Hilbert H,tales que M ∩N⊥ = 0. Entonces dim M ≤ dim N .

Demostracion. Llamamos P : H → H a la proyeccion ortogonal sobre N yT : M → N a la restriccion de P a M , Tf = Pf , ∀f ∈ M . Es evidente que Tes inyectiva. Por tanto, si L ⊂ M es un subespacio arbitrario con dim L = k,entonces dim TL = k ≤ dim N , lo que implica que dim M ≤ dim N .♦

2.6.- Lema. Si T es un operador simetrico cerrado, entonces dim N(T ∗−λI)es constante para cualquier λ con Im λ > 0.

Demostracion. De los lemas anteriores, haciendo λ = a + ib, con b > 0, sededuce que dim N(T ∗ − µI) ≤ dim N(T ∗ − λI) si |λ − µ| < b. Tomando|λ−µ| < b/2, tambien |λ−µ| < Im µ, de modo que la desigualdad contrariatambien es cierta.

Se prueba ası que la funcion λ 7→ dim N(T ∗ − λI) es localmente constante.Cubriendo el semiplano superior con bolas donde se cumpla lo anterior, seobtiene la tesis. ♦

2.7.- Teorema. Si T es un operador simetrico cerrado, entonces una y solouna de las siguientes posibilidades es cierta:

i) σ(T ) = C.

ii) σ(T ) = λ ∈ C : Im λ ≥ 0.

iii) σ(T ) = λ ∈ C : Im λ ≤ 0.

iv) σ(T ) ⊂ R.

Demostracion. Sea H± = λ ∈ C : ± Im λ > 0. Por la proposicion 1.12, siλ ∈ H±, T − λI es inyectiva y tiene rango cerrado. Tenemos dos posibilida-des:

301

- Si T − λI no es sobre, entonces λ ∈ σ(T ).

- Si T − λI es sobre, por la proposicion 1.10(d), λ ∈ ρ(T ).

Como N(T ∗ − λI) = R(T − λI)⊥, del lema anterior resultan las siguientesopciones (observando ademas que σ(T ) es cerrado, lo que se prueba comoen el caso de operadores acotados):

i) H+ ⊂ σ(T ), H− ⊂ σ(T ) =⇒ σ(T ) = C.

ii) H+ ⊂ σ(T ), H− ∩ σ(T ) = ∅ =⇒ σ(T ) = H+ = λ ∈ C : Im λ ≥ 0.

iii) H+∩σ(T ) = ∅, H− ⊂ σ(T ) =⇒ σ(T ) = H− = λ ∈ C : Im λ ≤ 0.

iv) H+ ∩ σ(T ) = ∅, H− ∩ σ(T ) = ∅ =⇒ σ(T ) ⊂ R. ♦

2.8.- Proposicion. Si T es un operador simetrico cerrado, son equivalen-tes:

i) T es autoadjunto.

ii) σ(T ) ⊂ R.

iii) N(T ∗ − iI) = N(T ∗ + iI) = 0.

Demostracion. Por ser T simetrico, sus autovalores son reales.

i) =⇒ ii): Sea T autoadjunto y tomemos λ ∈ C \ R. Teniendo en cuenta losapartados b) y c) del teorema 1.12,

0 = N(T − λI) = N(T ∗ − λI) = [R(T − λI)]⊥ =⇒ R(T − λI) = H

y, por el teorema anterior (repitiendo el argumento para λ), se deduce queel espectro de T es real.

ii) =⇒ iii): Como ±i ∈ ρ(T ),

N(T ∗ ± iI) = [R(T ∓ iI)]⊥ = H⊥ = 0.

iii) =⇒ i): Por hipotesis, R(T − iI) = R(T + iI) = H. Veamos que ademasT ± iI son inyectivas:

Sea x ∈ D(T ) tal que (T ± iI)x = 0. Por ser T ∗ extension de T , ∀z ∈ Hresulta:

〈x, z〉 = 〈x, (T∓iI)y〉 = 〈(T ∗±iI)x, y〉 = 〈(T±iI)x, y〉 = 〈0, y〉 = 0 =⇒ x = 0.

Esto quiere decir que existe (T ± iI)−1 ∈ L(H). Como [(T ± iI)−1]∗ =(T ∗ ∓ iI)−1, tambien (T ∗ ∓ iI)−1 ∈ L(H).

Sea h ∈ D(T ∗). Entonces existe f ∈ D(T ) tal que (T + iI)f = (T ∗ + iI)h.Pero (T + iI)f = (T ∗ + iI)f , de modo que f = h y T = T ∗. ♦

302

3. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES UNITARIOS.

A fin de lograr una representacion espectral de operadores autoadjuntos,utilizaremos la transformada de Cayley y la representacion espectral deoperadores unitarios, que son acotados. En esta seccion se deduce dicharepresentacion espectral. Utilizaremos el enfoque clasico, inigualable en sualcance al enfoque actual vıa la teorıa de algebras de Banach, transforma-da de Gelfand y teorema de Gelfand-Naimark, pero mas proximo a quienesesten orientados a las aplicaciones.

En primer lugar se prueba que el espectro de un operador unitario esta enla circunferencia unidad.

3.1.- Teorema. Sea U : H → H un operador unitario en un espacio deHilbert complejo H; entonces |λ| = 1, ∀λ ∈ σ(U).

Demostracion. Basta observar que,

si |λ| < 1, ‖(U − λI)x‖ ≥ ‖Ux‖ − |λ| · ‖x‖ = (1− |λ|)‖x‖,si |λ| > 1, ‖(U − λI)x‖ ≥ |λ| · ‖x‖ − ‖Ux‖ = (|λ| − 1)‖x‖,

y, en ambos casos, ∃(U − λI)−1 ∈ L(H). ♦

Hay varias formas de obtener el teorema espectral de operadores unitarios,desde la de Wintner (1929) y pasando por las de von Neumann (1930), Stone(1932), Wecken (1935), Friedrichs (1935) y Riesz-Nagy (1955).

En el caso finito-dimensional sabemos que si H es un espacio de Hilbertcon dim H = n y U es un operador unitario en H, entonces existe unabase ortonormal v1, . . . , vn de H formada por vectores propios de U , conUvj = λjvj , j = 1, . . . , n y |λj | = 1. Si llamamos Ej al subespacio propioasociado a λj ,

Ej = v ∈ H : Uv = λjv,

y Pj a la proyeccion ortogonal de H sobre Ej (j = 1, . . . ,m con m ≤ n), elteorema espectral dice que

i) H = E1 ⊕ · · · ⊕ Em;

ii) I = P1 + . . . Pm;

iii) U = λ1P1 + · · ·+ λmPm.

Una posible generalizacion en dimension infinita puede producir la descom-posicion U =

∑∞k=1 λkPk o bien U =

∫T λdP , siendo T = λ ∈ C : |λ| = 1

(pues los autovalores estan en la circunferencia unidad).

303

Para que tenga sentido dicha integral necesitamos definir una corresponden-cia entre la σ-algebra Ω de subconjuntos de Borel en T y el espacio L(H) delos operadores lineales y acotados en H que tenga las propiedades de unamedida. De ahı que debamos introducir la siguiente definicion.

3.2.- Definicion. Sean X un conjunto arbitrario, Ω una σ-algebra de sub-conjuntos de X y H un espacio de Hilbert. Una medida espectral u ortogo-nal en (X, Ω,H) es una correspondencia E : Ω → L(H) con las propieda-des

i) E(∆) es una proyeccion ortogonal, ∀∆ ∈ Ω.

ii) E(X) = I, E(∅) = 0.

iii) Si Ann∈N ⊂ Ω son disjuntos dos a dos y x ∈ H arbitrario, entoncesE(

⋃n∈N

An)x =∑n∈N

E(An)x.

iv) E(A ∩B) = E(A)E(B), ∀A,B ∈ Ω.

De la definicion se deduce inmediatamente el siguiente resultado.

3.3.- Lema. Si E es una medida espectral en (X, Ω,H) y x, y ∈ H, entoncesla funcion de conjuntos Ex,y : Ω → C definida por Ex,y(∆) = 〈E(∆)x, y〉es una medida numerablemente aditiva en Ω con variacion total ‖Ex,y‖ ≤‖x‖ · ‖y‖.

El siguiente resultado da sentido al concepto de integral respecto a unamedida espectral.

3.4.- Proposicion. Si E es una medida espectral en (X, Ω,H) y φ : X → Cuna funcion Ω-medible acotada, existe un unico operador A ∈ L(H) tal quepara cualesquiera ε > 0 y ∆1, . . . ,∆n Ω-particion de X con

sup|φ(x)− φ(x′)| : x, x′ ∈ ∆k < ε (1 ≤ k ≤ n),

entonces ∥∥∥A−n∑

k=1

φ(xk)E(∆k)∥∥∥ < ε, ∀xk ∈ ∆k.

Dicho operador se llama integral de φ respecto a E y se denota por A =∫X φdE. Del resultado anterior se deduce que 〈Ax, y〉 =

∫X φdEx,y.

Demostracion. A cada funcion simple s =∑n

k=1 αkχ∆kle asociamos el ope-

rador As =∑n

k=1 αkE(∆k).

Como cada E(∆k) es autoadjunto, entonces

A∗s =

n∑k=1

αkE(∆k) = A s.

304

Si t =∑m

j=1 βjχ∆′j

es otra funcion simple, entonces

AsAt =∑k,j

αkβjE(∆k)E(∆′j) =

∑k,j

αkβjE(∆k ∩∆′j) = Ast.

De estas igualdades se deduce que

A∗sAs = A sAs = A ss = A|s|2 .

Si tomamos x, y ∈ H arbitrarios, obtenemos:

〈Asx, y〉 =n∑

k=1

αk〈E(∆k)x, y〉 =n∑

k=1

αkEx,y(∆k) =∫

XsdEx,y,

de modo que

‖Asx‖2 = 〈A∗sAsx, x〉 = 〈A|s|2x, x〉 =

∫X|s|2dEx,x ≤ ‖s‖2

∞‖Ex,x‖ ≤ ‖s‖2∞·‖x‖2,

es decir ‖Asx‖ ≤ ‖s‖∞ · ‖x‖.

Por otra parte, es claro que, si x ∈ R(E(∆i)), entonces Asx = αiE(∆i)x =αix; de esta igualdad y eligiendo i de manera que |αi| = ‖s‖∞, resultaque

(∗) ‖As‖ = ‖s‖∞.

Sea ahora φ : X → C una funcion Ω-medible y acotada y (s(i))i∈N una su-cesion de funciones simples medibles que converge a φ. De la formula (∗)deducimos que la sucesion (As(i))i∈N es de Cauchy en L(H); por tanto, con-verge a un operador A ∈ L(H). Dicho operador no depende de la eleccionde la sucesion (s(i))i∈N. Ası pues, dados ε > 0 y ∆1, . . . ,∆n con las con-diciones indicadas en el enunciado, la tesis se sigue de la convergencia de lasucesion (As(i))i∈N al operador A. ♦

Con esta notacion, si consideramos la σ-algebra

Ω = ∆ ⊂ T : ∆ de Borel en T,

el teorema espectral se enuncia entonces de la siguiente forma:

3.5.- Teorema. Si U ∈ L(H) es unitario, entonces existe una unica medidaespectral E en (T,Ω,H) tal que Un =

∫T zndE(z), ∀n ∈ Z.

Observacion. Debido a que todo punto z ∈ T puede representarse comoz = eit, con t ∈ [0, 2π), podemos escribir Un =

∫ 2π0 eintdE(t).

Demostracion. El proceso sera el siguiente:

305

1) Buscaremos una familia de medidas µx, x ∈ H tal que

〈Unx, x〉 =∫

Tzndµx(z), ∀n ∈ Z.

Fijado x ∈ H, consideramos la sucesion numerica cn(x)n∈Z, definida porcn(x) = 〈Unx, x〉. De la definicion es claro que c−n = cn.

Como la medida espectral debe verificar que Un =∫

T zndE(z), ∀n ∈ Z y, enparticular, 〈Unx, x〉 =

∫T znd〈E(z)x, x〉, ∀x ∈ H, la medida escalar positi-

va µx definida por µx(∆) = 〈E(∆)x, x〉 debe verificar cn(x) =∫

T zndµx(z),∀n ∈ Z. La existencia de tal medida corresponde al llamado problema tri-gonometrico de momentos; la respuesta a dicho problema la proporciona elteorema de representacion de Herglotz:

Dicha medida µ existe (y es unica) si y solo si la sucesion cnn∈Z es definidapositiva, es decir

N∑j,k=1

cj−kλj λk ≥ 0, ∀N ∈ N, ∀λ1, . . . , λN ∈ C.

En este caso la sucesion 〈Unx, x〉n∈Z es definida positiva, pues

N∑j,k=1

cj−k(x)λj λk =N∑

j,k=1

〈U j−kx, x〉λj λk

=N∑

j,k=1

〈λjUjx, λkU

kx〉 =∥∥∥ N∑

j=1

λjUjx

∥∥∥2≥ 0.

2) A continuacion queremos encontrar una familia de medidas µx,y(∆) paralas que 〈Unx, y〉 =

∫T zndµx,y(z), ∀n ∈ Z.

Para ello utilizamos la identidad de polarizacion

〈Unx, y〉 =14

[〈Un(x + y), x + y〉 − 〈Un(x− y), x− y〉]

+i

4[〈Un(x + iy), x + iy〉 − 〈Un(x− iy), x− iy〉] ,

por lo que basta definir

µx,y(∆) =14µx+y(∆)− 1

4µx−y(∆) +

i

4µx+iy(∆)− i

4µx−iy(∆).

3) Fijado ∆ de Borel en T, la funcion β(∆) : H × H → C definida por

306

β(∆)(x, y) = µx,y(∆) es una forma sesquilineal:

〈Un(αx1 + x2), y〉 =∫

Tzndµαx1+x2,y(z),

α〈Unx1, y〉+ 〈Unx2, y〉 = α

∫Tzndµx1,y(z) +

∫Tzndµx2,y(z)

=∫

Tznd[αµx1,y(z) + µx2,y(z)],

de modo que∫Tf(z)dµαx1+x2,y(z) =

∫Tf(z)d[αµx1,y(z) + µx2,y(z)],

∀f exponencial trigonometrica. Por linealidad, tambien es cierta para poli-nomios trigonometricos y, por el teorema de aproximacion de Weierstrass,tambien para toda funcion continua o continua a trozos. En particular,∫

Tχ∆(z)dµαx1+x2,y(z) =

∫Tχ∆(z)d[αµx1,y(z) + µx2,y(z)],

o bien µαx1+x2,y(∆) = αµx1,y(∆) + µx2,y(∆).

Analogamente, debido a la igualdad

〈x, Uny〉 = 〈U−nx, y〉 =∫

Tz−ndµx,y(z)

= 〈Uny, x〉 =∫

Tz−nd µy,x(z), ∀n ∈ Z,

y razonando como en el caso anterior, se deduce que µx,y(∆) = µy,x(∆).

4) Veremos a continuacion que F : C(T) → L(H), definida por F (g) = g(U),es una representacion de C(T) (espacio de las funciones continuas en T conla norma del supremo), es decir es un homomorfismo de algebras que cumpleF (g∗) = F (g)∗, donde definimos g∗(x) = g(x).

Definimos en primer lugar F : P → L(H) por F (p) = p(U), donde denota-mos por P = p : T → C : p(z) =

∑N2n=N1

anzn al espacio de los polinomiostrigonometricos con la norma del supremo. Resultan de la definicion lassiguientes propiedades:

i) F es lineal, F (α1p1 + α2p2) = α1F (p1) + α2F (p2).

ii) F es multiplicativa, F (p1p2) = F (p1)F (p2).

iii) 〈p(U)x, y〉 =∫

T p(z)dµx,y(z), ∀x, y ∈ H.

307

iv) p(U) = p(U)∗:

〈x, p(U)∗y〉 = 〈p(U)x, y〉 =∫

Tp(z)dµx,y(z) =

∫T

p(z)d µx,y(z)

=∫

Tp(z)dµy,x(z) = 〈 p(U)y, x〉 = 〈x, p(U)y〉.

v) Si p(z) ≥ 0, ∀z, entonces p(U) ≥ 0:

Por el teorema de Fejer-Riesz, si p ∈ P es positivo, ∃q ∈ P : p = |q|2.Entonces

〈p(U)x, x〉 = 〈( qq)(U)x, x〉 = 〈 q(U)q(U)x, x〉 = 〈q(U)∗q(U)x, x〉 = ‖q(U)x‖2 ≥ 0.

vi) ‖F‖ = 1:

‖p(U)x‖2 = 〈p(U)x, p(U)x〉 = 〈p(U)∗p(U)x, x〉 ≤ ‖p‖2∞ · ‖x‖2

⇐⇒ 〈[‖p‖2∞I − p(U)∗p(U)]x, x〉 ≥ 0.

Como ‖p‖2∞I − p(U)∗p(U) = F (q) con q(z) = ‖p‖2

∞ − |p(z)|2 ≥ 0, la desi-gualdad anterior se deduce de v). En definitiva,

‖p(U)x‖ ≤ ‖p‖∞ · ‖x‖ =⇒ ‖p(U)‖ ≤ ‖p‖∞ =⇒ ‖F‖ ≤ 1.

Por otra parte, tomando p(z) = 1, ∀z, entonces p(U) = I de modo que

‖F‖ ≥ ‖p(U)‖/‖p‖∞ = 1 =⇒ ‖F‖ = 1.

Como F es acotada y L(H) es completo, F se extiende a P que es el es-pacio C(T) de las funciones continuas con la norma del supremo, donde semantienen las propiedades anteriores; en particular,

(∗) 〈F (g)x, y〉 = 〈g(U)x, y〉 =∫

Tg(z)dµx,y(z), ∀g ∈ C(T).

5) Debido a la equivalencia entre el dual de C(T) y el espacio de las medidasde Borel finitas en T, dada por µ 7→ l ∈ C(T)′, con l(f) =

∫T fdµ, ∀f ∈ C(T),

podemos probar la acotacion de µx,y como sigue:

‖µx,y‖ = sup∣∣∣∣∫

Tfdµx,y

∣∣∣∣ : f ∈ C(T), ‖f‖∞ ≤ 1

= sup|〈f(U)x, y〉| : f ∈ C(T), ‖f‖∞ ≤ 1≤ sup‖f(U)‖ · ‖x‖ · ‖y‖ : f ∈ C(T), ‖f‖ ≤ 1 ≤ ‖x‖ · ‖y‖.

6) El siguiente paso es extender la representacion F a la C∗-algebra B(T)de las funciones medibles Borel y acotadas en T.

308

Fijamos ahora g ∈ B(T) y definimos βg(x, y) =∫

T g(z)dµx,y(z). Debido aque βg es un forma sesquilineal acotada con ‖βg‖ ≤ ‖g‖∞, por el teoremade representacion de Riesz para formas sesquilineales (capıtulo III, teorema6.5), existe un unico operador Ag ∈ L(H) tal que βg(x, y) = 〈Agx, y〉 y‖Ag‖ ≤ ‖g‖∞. La nueva aplicacion F : B(T) → L(H) definida por F (g) =Ag esta bien definida, ‖F (g)‖ ≤ ‖g‖∞ y

(∗∗) 〈F (g)x, y〉 =∫

Tg(z)dµx,y(z), ∀x, y ∈ H.

Debemos probar a continuacion que F es una representacion de B(T) queextiende a la correspondiente representacion de C(T).

i) Es inmediato de (∗) y (∗∗) que se trata de una extension.

ii) Es tambien evidente que F es lineal y tiene norma 1.

iii) F ( g) = F (g)∗ pues, ∀x, y ∈ H:

〈F (g)∗x, y〉 = 〈A∗gx, y〉 = 〈Agy, x〉 =

∫T

g(z)dµy,x(z)

=∫

Tg(z)dµx,y(z) = 〈A gx, y〉 = 〈F ( g)x, y〉.

iv) F es multiplicativa; para ello veamos en primer lugar que F (fg) =F (f)F (g) con f ∈ C(T) y g ∈ B(T), pero debido a las equivalencias

F (fg) = F (f)F (g) ⇐⇒ 〈F (fg)x, y〉 = 〈F (f)F (g)x, y〉 = 〈F (g)x, F (f)∗y〉

⇐⇒∫

T(fg)(z)dµx,y(z) =

∫Tg(z)dµx,F (f)∗y(z),

la igualdad anterior sera cierta si y solo si fdµx,y = dµx,F (f)∗y, ∀f ∈ C(T),o bien

∫T ϕfdµx,y =

∫T ϕdµx,F (f)∗y, ∀ϕ ∈ C(T), lo que equivale a la multi-

plicatividad de F en C(T) que ya fue probada.

Queda ası probado que∫

T f(z)(g(z)dµx,y(z)) =∫

T f(z)dµx,g(U)∗y(z), ∀f ∈C(T), g ∈ B(T), de donde gdµx,y = dµx,g(U)∗y.

Sean ahora g, g1 ∈ B(T); entonces

〈F (gg1)x, y〉 =∫

T(gg1)(z)dµx,y(z) =

∫Tg1(z)dµx,g(U)∗y(z)

= 〈g1(U)x, g(U)∗y〉 = 〈g(U)g1(U)x, y〉 = 〈F (g)F (g1)x, y〉.

7) Definimos ahora, para cada ∆ de Borel en T el operador

E(∆) = F (χ∆) ∈ L(H).

De la definicion se deduce directamente que 〈E(∆)x, y〉 = µx,y(∆). Veamosque E es una medida espectral en T.

309

i) E(∆) es un proyector ortogonal:

E(∆)2 = F (χ∆) · F (χ∆) = F (χ∆ · χ∆) = F (χ∆) = E(∆);E(∆)∗ = F (χ∆)∗ = F ( χ∆) = F (χ∆) = E(∆).

ii) E(T) = F (χT) = F (1) = I, E(∅) = F (χ∅) = F (0) = 0.

iii) Si ∆1,∆2 ∈ Ω,

E(∆1∩∆2) = F (χ∆1∩∆2) = F (χ∆1χ∆2) = F (χ∆1)F (χ∆2) = E(∆1)E(∆2).

iv) Si ∆jj∈N ⊂ Ω son disjuntos dos a dos, es facil probar la aditividadfinita. Si llamamos Hn =

⋃k>n ∆k, para todo x ∈ H tenemos:

∥∥∥E(⋃j∈N

∆j)x−m∑

j=1

E(∆j)x∥∥∥2

=⟨E(Hm)x, E(Hm)x

⟩=

⟨E(Hm)x, x

⟩=

⟨F (χHm)x, x

⟩=

∫TχHm(z)dµx,x(z) =

∑j>m

µx,x(∆j),

expresion que tiende a cero si m →∞.

8) Por ultimo veamos que F (g) =∫

T g(z)dE(z), ∀g ∈ C(T):

Dado ε > 0, sea ∆1, . . . ,∆n una particion de T mediante elementos de Ωtal que

sup|g(x)− g(x′)| : x, x′ ∈ ∆k < ε, (1 ≤ k ≤ n).

Entonces, para cualquier eleccion xk ∈ ∆k, ‖g −∑n

k=1 g(xk)χ∆k‖∞ < ε.

Como ‖F‖ = 1, ‖F (g)−∑n

k=1 g(xk)E(∆k)‖ < ε, lo que implica que F (g) =∫T g(z)dE(z), ∀g ∈ C(T).

En particular, si g(z) = zn, entonces F (g) = Un, de donde Un =∫

T zndE(z),lo que completa la demostracion. ♦

La medida espectral encontrada tiene la siguiente propiedad adicional.

3.6.- Proposicion. Si U ∈ L(H) es un operador unitario y A ∈ L(H) esun operador que conmuta con U , entonces A conmuta con E(∆), para todo∆ de Borel en T. Ademas µx,A∗y = µAx,y.

Demostracion. En primer lugar se comprueba que Ap(U) = p(U)A, paracualquier polinomio trigonometrico p. A continuacion, si aproximamos todafuncion continua f ∈ C(T) mediante polinomios trigonometricos (aplican-do el teorema de Stone-Weierstrass), se prueba que Af(U) = f(U)A. Porultimo, si ∆ ∈ Ω, consideremos la sucesion creciente gnn∈N de funciones

310

continuas tal que gn → χ∆. Por el teorema de la convergencia monotona,∀x, y ∈ H se tiene:

〈AE(∆)x, y〉 = 〈E(∆)x, A∗y〉 = µx,A∗y(∆)

=∫

Tχ∆(z)dµx,A∗y(z) = lım

n

∫Tgn(z)dµx,A∗y(z) = lım

n〈gn(U)x,A∗y〉

= lımn〈Agn(U)x, y〉 = lım

n〈gn(U)Ax, y〉 = 〈E(∆)Ax, y〉.

Para la segunda parte, de AU = UA se deduce que:

〈E(∆)Ax, y〉 = 〈AE(∆)x, y〉 = 〈E(∆)x, A∗y〉 =⇒ µx,A∗y = µAx,y. ♦

4. TEOREMA ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUN-TOS NO ACOTADOS.

Es natural preguntarse si existe una descomposicion espectral de todo ope-rador simetrico analoga a la que existe en el caso de operadores acotados.Trabajos importantes, especialmente de Carleman relativos a ecuacionesintegrales singulares, mostraron la imposibilidad de obtener una comple-ta analogıa. Fue E. Schmidt quien observo que es necesario restringirse aoperadores autoadjuntos si se quiere obtener una descomposicion analoga.El teorema espectral para operadores autoadjuntos fue probado de diferen-tes maneras por von Neumann, Stone, Riesz y otros y constituyo el puntode partida de la nueva teorıa de operadores lineales en espacios de Hilbert.En esta seccion ilustramos una demostracion de von Neumann que hace usode la transformada de Cayley y, por tanto, se basa en la descomposicionespectral de operadores unitarios (acotados). Otras demostraciones puedenverse en los distintos textos de Analisis Funcional (ver por ejemplo [BN],[RN], [Fu], [Ru]).

Si uno considera los operadores, acotados o no, en espacios de Hilbert comogeneralizaciones de los numeros complejos, se encuentra que muchos resulta-dos sencillos en relacion a los numeros complejos tienen analogos no trivialesen el contexto de operadores. Uno de ellos se refiere a la transformada deMobius. Si en el espacio C definimos el conjunto T = z ∈ C : |z| = 1,la transformacion de Mobius w = z−i

z+i es una aplicacion biyectiva de R en

T \ 1 cuya inversa es z = i(1+w)1−w . Una adaptacion de esta transforma-

cion al caso de operadores permitira aplicar operadores autoadjuntos no

311

acotados sobre operadores unitarios acotados y operadores simetricos sobreisometricos. Esto permitira establecer una analogıa entre operadores linealesy numeros complejos. Mediante esta analogıa los operadores autoadjuntosjugaran el papel de numeros reales, los operadores positivos corresponderana los reales no negativos y los operadores unitarios a los complejos de modu-lo 1. Esto viene sugerido por el hecho de que el espectro de un operadorautoadjunto es real y el de un operador unitario esta contenido en T. El pa-ralelismo es mas acusado si tenemos en cuenta que T es autoadjunto en unespacio complejo si y solo si 〈Tx, x〉 ∈ R, ∀x. El siguiente ejemplo muestraque lo anterior no es cierto si el espacio es real:

En el espacio X = R2 definimos el operador T (x1, x2) = (x1 + 2x2, x2).Entonces 〈Tx, x〉 = 2|x2| ∈ R pero T ∗(x1, x2) = (x1, 2x1 + x2).

La relacion entre operadores autoadjuntos y unitarios viene dada por elsiguiente resultado.

4.1.- Proposicion. Sea T un operador autoadjunto en H. Entonces losoperadores T ± iI tienen inversas acotadas definidas en todo H y el opera-dor

U = (T − iI)(T + iI)−1

es un operador unitario en H, llamado transformada de Cayley de T .

Demostracion. La primera parte se deduce de los teoremas 1.10 y 1.12 y delas igualdades N(T ± iI) = R(T ∓ iI)⊥.

Para ver que U es unitario, sea x ∈ H y llamamos y = (T + iI)−1x. Enton-ces:

‖Ux‖2 = 〈(T − iI)y, (T − iI)y〉 = 〈Ty, Ty〉 − i〈y, Ty〉+ i〈Ty, y〉+ 〈y, y〉= 〈Ty, Ty〉 − i〈Ty, y〉+ i〈y, Ty〉+ 〈y, y〉= 〈(T + iI)y, (T + iI)y〉 = ‖x‖2. ♦

Recıprocamente, conocida la transformada de Cayley de un operador auto-adjunto, se puede extraer este como sigue.

4.2.- Proposicion. Si U es la transformada de Cayley de un operador auto-adjunto T en H, entonces I−U es inyectiva y T = i(I +U)(I−U)−1.

Demostracion. Si (I−U)x = 0 y llamamos y = (T + iI)−1x, tenemos:

x = Ux =⇒ x = (T − iI)y =⇒ (T + iI)y = (T − iI)y =⇒ y = 0 =⇒ x = 0.

La segunda parte se obtiene por calculo directo. ♦

4.3.- Corolario. Sea U la transformada de Cayley de un operador autoad-junto T . Entonces 1 no es autovalor de U . Ademas 1 esta en la resolventede U si y solo si T es acotado.

312

El recıproco del resultado anterior tambien es cierto: si 1 no es autovalor deun operador unitario U , entonces U es la transformada de Cayley de algunoperador autoadjunto.

Los dos ultimos teoremas, con los que concluimos el capıtulo y el curso,permiten establecer una correspondencia biunıvoca entre las medidas espec-trales en R y los operadores autoadjuntos.

4.4.- Teorema (espectral de operadores autoadjuntos.) Sea T : D(T ) →H un operador autoadjunto con dominio denso en H. Entonces existe unamedida espectral P en R tal que T =

∫R λdP (λ).

Demostracion. Sea U = (T − iI)(T + iI)−1 la transformada de Cayley de T ;como ya se ha probado, U es unitario, I−U es inyectivo y T = i(I +U)(I−U)−1 con D(T ) = (I − U)(H).

Por el teorema espectral de operadores unitarios, existe E medida espectralen T tal que U =

∫T zdE(z).

Por ser I − U inyectivo, 1 no es valor propio de U . De aquı se deduce queE(1) = 0.

En efecto, supongamos por el contrario que H0 = E(1)H 6= 0. Entoncesexiste x 6= 0 tal que x = E(1)x de donde Ux = UE(1)x. Como E(1)es el operador asociado a la funcion caracterıstica χ1, tenemos:

Ux = UE(1)x =∫

Tλ · χ1(λ)dE(λ)x = 1 · E(1)x = x,

lo cual contradice que I − U es inyectivo.

Como la funcion ϕ : T \ 1 → R definida por ϕ(z) = i · 1+z1−z es biyectiva, la

funcion P (∆) = E(ϕ−1(∆)), ∀∆ de Borel en R, es una medida espectral enR (como E(1) = 0, E(T) = E(T \ 1) = I).

Debido a la formula de la transformada de Cayley, procediendo formalmente,obtenemos:

T = i(I + U)(I − U)−1 =∫

Ti · 1 + z

1− zdE(z) =

∫Tϕ(z)dE(z);

si hacemos el cambio λ = ϕ(z), resulta

T =∫ ∞

−∞λdE(ϕ−1(λ)) =

∫ ∞

−∞λdP (λ). ♦

Veamos el sentido de la expresion∫∞−∞ f(λ)dP (λ), con f : R → R funcion

medible, no necesariamente acotada.

313

4.5.- Teorema. Sea P una medida espectral en R y f : R → R una fun-cion medible. Existe entonces un unico operador autoadjunto T con domi-nio

D(T ) = x ∈ H :∫

Rf2(λ)d〈P (λ)x, x〉 < ∞

tal que T =∫

R f(λ)dP (λ) y ‖Tx‖2 =∫

R f2(λ)d〈P (λ)x, x〉, ∀x ∈ D(T ).

Demostracion. Haremos la demostracion en dos pasos.

1) Si f es acotada,∫∞−∞ f(λ)dP (λ) es un operador acotado simetrico:

En efecto, la aplicacion β(x, y) =∫∞−∞ f(λ)d〈P (λ)x, y〉 es un funcional ses-

quilineal acotado pues

|β(x, y)| ≤ ‖f‖∞∫ ∞

−∞d|〈P (λ)x, y〉| ≤ ‖f‖∞ · ‖x‖ · ‖y‖.

Por tanto, existe un operador T ∈ L(H) tal que β(x, y) = 〈Tx, y〉, ∀x, y ∈ H.Ademas T es autoadjunto pues

〈x, Ty〉 = 〈Ty, x〉 = β(y, x) =∫ ∞

−∞f(λ)d 〈P (λ)y, x〉

=∫ ∞

−∞f(λ)d〈P (λ)x, y〉 = β(x, y) = 〈Tx, y〉.

Escribiremos en este caso T =∫∞−∞ f(λ)dP (λ).

2) Si f es medible, llamamos ∆n = f−1[n, n + 1), ∀n ∈ Z; por definicion,R =

⋃n∈Z ∆n y la union es disjunta. Si llamamos ahora ϕn = χ∆n , Pn =

P (∆n) y Hn = PnH, entonces 1 =∑

n∈Z ϕn, I =∑

n∈Z Pn, H =⊕

n∈Z Hn

(donde la suma es ortogonal por ser Pnn∈Z una familia ortogonal de pro-yecciones).

Como ahora f(λ)ϕn(λ) son funciones acotadas para todo n, existen, segunel apartado anterior, T ′

n operadores simetricos y acotados tales que

T ′n =

∫ ∞

−∞f(λ)ϕn(λ)dP (λ).

Veamos ahora que T ′nH ⊂ Hn, para lo cual basta probar que PnT ′

n =T ′

n:

Como T ′n =

∫∆n

f(λ)dP (λ), podemos aproximarlo por sumas de Riemanndel tipo T ′

n ∼∑k

j=1 f(λj)P (Fj), siendo F1, . . . , Fk una particion de ∆n yλj ∈ Fj (j = 1, . . . , k). Entonces

PnT ′n ∼

k∑j=1

f(λj)P (∆n)P (Fj) =k∑

j=1

f(λj)P (∆n ∩ Fj) =k∑

j=1

f(λj)P (Fj).

314

Como ambas sumas de Riemann coinciden, T ′n = PnT ′

n y, en consecuencia,R(T ′

n) ⊂ Hn.

Lo anterior permite definir los operadores

Tn =∫ ∞

−∞f(λ)ϕn(λ)dP (λ)|Hn : Hn → Hn

y probaremos a continuacion que existe un unico operador autoadjunto Ten H tal que T |Hn = Tn (teorema de Riesz-Lorch):

Definimos pues Tx =∑

n∈Z TnPnx cuyo dominio es

D = x ∈ H :∑n∈Z

‖TnPnx‖2 < ∞

(ver teorema 4.7, capıtulo III). Ası x ∈ D si y solo si∑

n∈[−k,k] TnPnxconverge cuando k →∞.

Ası definido se cumplen las siguientes propiedades:

i) D ⊃ Hn, ∀n ∈ Z.

ii) T esta bien definido pues, si x ∈ D,

Tx = T( ∑

n∈Z

Pnx)

=∑n∈Z

T (Pnx) =∑n∈Z

TnPnx.

iii) D es denso en H. En efecto, por i),

Hn ⊂ D =⇒ 〈⋃n∈Z

Hn〉 ⊂ D =⇒ 〈⋃n∈Z

Hn〉 ⊂ D =⇒ H =⊕n∈Z

Hn ⊂ D.

iv) D = x ∈ H :∫∞−∞ f2(λ)d〈P (λ)x, x〉 < ∞ pues

‖TnPnx‖2 =∫ ∞

−∞f2(λ)ϕ2

n(λ)d〈P (λ)x, x〉 =∫

∆n

f2(λ)d〈P (λ)x, x〉

=⇒∑n∈Z

‖TnPnx‖2 =∫ ∞

−∞f2(λ)d〈P (λ)x, x〉.

v) T es simetrico pues, ∀x, x′ ∈ H,

〈Tx, x′〉 =∑n∈Z

〈TnPnx, x′〉 =∑n∈Z

〈TnPnx, Pnx′〉

=∑n∈Z

〈Pnx, TnPnx′〉 =∑n∈Z

〈x, TnPnx′〉 = 〈x, Tx′〉.

315

vi) T es autoadjunto, para lo cual basta probar que D(T ∗) ⊂ D(T ).Sea y ∈ D(T ∗); entonces existe y∗ tal que 〈Tx, y〉 = 〈x, y∗〉, ∀x ∈ D.Veamos que Pny∗ = TnPny:

〈TnPny, x〉 = 〈TnPny, Pnx〉 = 〈Pny, TnPnx〉 = 〈y, TnPnx〉= 〈y, TPnx〉 = 〈y∗, Pnx〉 = 〈Pny∗, x〉, ∀x ∈ H.

Entonces∑

n∈Z ‖TnPny‖2 =∑

n∈Z ‖Pny∗‖2 = ‖y∗‖2 < ∞ =⇒ y ∈ D.

vii) T es unico. Para ello, supongamos que existe un operador autoadjuntoS tal que S|Hn = Tn, ∀n ∈ N. Veamos que S = T .Si x ∈ D(T ), debido a que∑

n∈N

‖SPnx‖2 =∑n∈N

‖TnPnx‖2 < ∞,

se deduce que∑

n∈N SPnx converge.Por otro lado, como las sumas parciales de

∑n∈N Pnx (que estan en

D(S)) convergen a x y S es cerrado, x ∈ D(S) y ademas

Sx =∑n∈N

SPnx =∑n∈N

TnPnx = Tx.

Esto implica que T ⊂ S.Recıprocamente, por ser S autoadjunto, de la proposicion 1.4 deduci-mos que S = S∗ ⊂ T ∗ = T , de donde S = T . ♦

Observaciones. 1) La forma que adopta la descomposicion espectral de unoperador autoadjunto no acotado es similar a la correspondiente del casoacotado. Sin embargo aquı los lımites de integracion en la representacion noson finitos debido a que el espectro de un operador autoadjunto no acotado,aun siendo real, no es acotado.

2) De la descomposicion espectral de un operador autoadjunto T se puedeobtener tambien una formula para la resolvente Rz = (T−zI)−1 (ver propie-dades de la misma en los ejercicios al final del capıtulo). Mas precisamente,si P es la medida espectral de T ,

Rz =∫

R

1λ− z

dP (λ)

para cualquier valor de z donde tengan sentido dichas expresiones. Estaformula se puede generalizar a operadores simetricos arbitrarios y propor-cionar ası diversas aplicaciones de la teorıa de operadores.

3) Algunas notas historicas con respecto al teorema espectral pueden consul-tarse en las obras de Steen [Ste], Dunford-Schwartz [DS] y Halmos [Ha1].

316

EJERCICIOS.

1. a) Probar que los operadores Mf(x) = xf(x), Df(x) = f ′(x) defi-nidos en L2(R) son operadores simetricos no acotados y verificanla relacion de conmutacion DM −MD = I.

b) Probar que no existe ningun par de operadores acotados A, Bque cumplan la relacion AB −BA = I.

Resp.: a) En diversos lugares se ha probado ya que dichos operadoresson simetricos no acotados. Ademas

DMf(x) = D(xf(x)) = xf ′(x) + f(x) = (I + MD)f(x),

es decir DM − MD = I (en esta formula se basa el principio deincertidumbre en Mecanica Cuantica).

b) Supongamos que existen A,B ∈ L(H) tales que AB − BA = I.Entonces, multiplicando a izquierda y derecha por A, obtenemos:

A2B −ABA = A y ABA−BA2 = A.

Al sumar miembro a miembro, resulta que A2B −BA2 = 2A.

Repitiendo el proceso, se llega a la igualdad general

AnB −BAn = nAn−1.

Entonces n‖An−1‖ ≤ ‖AnB‖ + ‖BAn‖ ≤ ‖An−1‖ · ‖AB‖ + ‖BA‖ ·‖An−1‖.

Si suponemos que A 6= 0, entonces ‖An−1‖ 6= 0, ∀n, y de lo anteriorse deduce que n ≤ ‖AB‖+ ‖BA‖ ≤ 2‖A‖ · ‖B‖, lo cual contradice elhecho de que A y B son operadores acotados.

2. Sean T1, T2, T3 tres operadores arbitrarios.

a) Probar que (T1T2)T3 = T1(T2T3).

b) Probar que T1 ⊂ T2 =⇒ T3T1 ⊂ T3T2 y T1T3 ⊂ T2T3.

Resp.: a) Veamos en primer lugar que D((T1T2)T3) = D(T1(T2T3)).

317

En efecto,

x ∈ D((T1T2)T3) ⇐⇒ x ∈ D(T3), T3x ∈ D(T1T2)⇐⇒ x ∈ D(T3), T3x ∈ D(T2), T2T3x ∈ D(T1)⇐⇒ x ∈ D(T2T3), T2T3x ∈ D(T1) ⇐⇒ x ∈ D(T1(T2T3)).

Por otra parte, es evidente que, si x ∈ D((T1T2)T3), entonces (T1T2)T3x =T1(T2T3)x.

b) Como, por hipotesis, T1 ⊂ T2, entonces D(T1) ⊂ D(T2) y T1x =T2x, ∀x ∈ D(T1). Resulta ası:

x ∈ D(T3T1) =⇒ x ∈ D(T1), T1x ∈ D(T3)=⇒ x ∈ D(T2), T2x ∈ D(T3) =⇒ x ∈ D(T3T2).

Ademas, ∀x ∈ D(T3T1):

(T3T1)x = T3(T1x) = T3(T2x) = (T3T2)x,

lo que prueba que T3T1 ⊂ T3T2.

Con el otro caso se procede de la misma forma.

3. Sea H = L2(R) y llamamos D = f ∈ L2(R) : x · f(x) ∈ L2(R).Probar que el operador T : H → H definido por Tf(x) = xf(x) condominio D es autoadjunto. [Este es el llamado operador posicionen Mecanica Cuantica.]

Resp.: Veamos que D es denso en L2(R). Para ello, basta observarque D contiene al conjunto de las funciones con soporte compacto yque este conjunto es denso en L2(R).

Veamos a continuacion que T es simetrico:

〈Tf, g〉 =∫

Rxf(x) g(x)dx =

∫R

f(x) · xg(x)dx = 〈f, Tg〉, ∀f, g ∈ D.

Esto implica que T ⊂ T ∗ (ver proposicion 1.6).

Por ultimo, comprobaremos que D(T ∗) ⊂ D(T ):

Sea g ∈ D(T ∗) y llamemos g∗ = T ∗g. Por definicion de adjunto,

∀f ∈ D(T ),∫

Rxf(x) g(x)dx =

∫R

f(x) g∗(x)dx.

318

Si tomamos f(x) = χ[α,x0], la igualdad anterior queda∫ x0

αx g(x)dx =

∫ x0

αg∗(x)dx

y, derivando, x0 g(x0) = g∗(x0) para casi todo x0. Esto implica queg ∈ D y T ∗g(x) = xg(x).

De lo anterior se deduce que T es autoadjunto.

4. Sea H = L2(R) y D = f ∈ L2(R) : f es absolutamente continuaen todo intervalo finito y f ′ ∈ L2(R). Probar que el operadorT : H → H definido en D por Tf(x) = −if ′(x) es autoadjunto.[Este es el operador momento en Mecanica Cuantica.]

Resp.: Definimos para cada n la funcion continua

fn(x) =

1 si x ∈ [α, x0]0 si x ≤ α− 1/n o x ≥ x0 + 1/n

recta en el resto.

Las combinaciones lineales de funciones de la forma de fn con diferen-tes valores de α, x0 y n son densas en L2(R). Por tanto, D es densoen H.

Para probar que T es simetrico, sea g ∈ D. Entonces, ∀f ∈ D, inte-grando por partes obtenemos:∫ b

a−if ′(x) g(x)dx = −if(x) g(x)

∣∣ba

+∫ b

af(x)[−ig′(x)]dx.

Como f(x) g(x) es integrable en R, se deduce que lıma→−∞,b→∞

f(x) g(x)∣∣ba

=

0 y

〈Tf, g〉 =∫

R−if ′(x) g(x)dx =

∫R

f(x)[−ig′(x)]dx = 〈f, Tg〉.

Esto implica que g ∈ D(T ∗) y T ∗g(x) = −ig′(x), es decir T ⊂ T ∗.

Solo falta comprobar, al igual que en el ejercicio anterior, que D(T ∗) ⊂D. Sea para ello g ∈ D(T ∗) y llamemos g∗ = T ∗g. Como sabemos,∫

R−if ′(x) g(x)dx =

∫R

f(x) g∗(x)dx, ∀f ∈ D.

319

Eligiendo las funciones fn anteriores, la igualdad anterior se escribecomo:

n

∫ α

α−1/n−i g(x)dx− n

∫ x0+1/n

x0

−i g(x)dx =∫

Rfn(x) g∗(x)dx.

Haciendo n →∞, obtenemos:

−i(g(α)− g(x0)

)=

∫ x0

αg∗(x)dx para casi todos α y x0.

Por la desigualdad de Schwarz, se deduce que g∗ es integrable sobrecualquier intervalo finito. Entonces g(x0) es absolutamente continuaen x0 sobre cualquier intervalo finito y, por tanto, −ig′(x0) = g∗(x0)para casi todo x0. Esto implica que g ∈ D y T ∗g(x) = −ig′(x).

5. Probar que el operador T1f(x) = if ′(x) es simetrico en D(T1) =f ∈ L2[0, 1] : f es absolutamente continua, f(0) = f(1) = 0, f ′ ∈L2[0, 1] pero no es autoadjunto.

Resp.: Veamos que T ∗1 = T2 donde T2f(x) = if ′(x) tiene dominio

D(T2) = f ∈ L2[0, 1] : f es absolutamente continua y f ′ ∈ L2[0, 1].

Debido a que D(T1) = L2[0, 1], existe el adjunto T ∗1 . Si g ∈ D(T ∗

1 ) yllamamos g∗ = T ∗

1 g, entonces

∀f ∈ D(T1) :∫ 1

0if ′(x) g(x)dx =

∫ 1

0f(x) g∗(x)dx.

Si integramos por partes,∫ 10 f(x) g∗(x)dx = −

∫ 10 f ′(x) G∗(x)dx, donde

G∗(x) =∫ x0 g∗(s)ds.

Como f(1) =∫ 10 f ′(x)dx = 0, entonces∫ 1

0f ′(x)[G∗(x) + i g(x) + c]dx = 0, ∀f ∈ D(T1), ∀c.

Por otra parte, ∀h ∈ L2[0, 1], la funcion H(x) =∫ x0 h(s)ds−x

∫ 10 h(s)ds

esta en D(T1). Para esta funcion se tiene:∫ 1

0

h(x)−

∫ 1

0h(s)ds

[G∗(x) + i g(x) + c

]dx = 0.

Eligiendo c de modo que∫ 10 [G∗(x)−ig(x)+c]dx = 0, resulta la igualdad

320

∫ 10 h(x)

[G∗(x) + i g(x) + c

]dx = 0. Al ser h arbitrario, G∗(x) =∫ x

0 g∗(s)ds = ig(x) − c. Por tanto, g ∈ D(T2) y T2g = g∗, lo queprueba que T ∗

1 ⊂ T2.

Es claro tambien, integrando por partes, que T2 ⊂ T ∗1 , lo que completa

la prueba.

6. Sea T : D(T ) ⊂ H → H un operador lineal con dominio denso enH. Probar la siguiente equivalencia:

i) T es clausurable

ii) D(T ∗) = H.

Resp.: La implicacion i) =⇒ ii) corresponde a la proposicion 1.8.b).El recıproco se deduce del apartado 2 del corolario 1.9 (basta observarque T ⊂ T ∗∗ y que T ∗∗ es cerrado).

7. A la ecuacion diferencial f ′′ − f = g, siendo g ∈ L2[0, 1] unafuncion conocida, se le asocian los tres problemas de contornosiguientes:

a) f(0) = f(1) = 0.

b) f ′(0) = f ′(1) = 0.

c) f(0) = f(1) y f ′(0) = f ′(1).

Mostrar que los tres problemas tienen solucion unica f tal quef ′ es absolutamente continua y f ′′ ∈ L2[0, 1].

Resp.: En el espacio de Hilbert H = L2[0, 1] definimos los operadoresTkf = if ′ (k = 1, 2, 3), con dominios

D(T1) = f ∈ H : f es absolutamente continua y f ′ ∈ HD(T2) = f ∈ D(T1) : f(0) = f(1) ⊂ D(T1)D(T3) = f ∈ D(T2) : f(0) = f(1) = 0 ⊂ D(T2).

Entonces T3 ⊂ T2 ⊂ T1 y ademas T ∗1 = T3, T ∗

2 = T2 y T ∗3 = T1 (como

observabamos en el ejemplo de la pagina 322).

321

a) Sea f ∈ D(T ∗3 T3); entonces (I + T ∗

3 T3)f = f + T1T3f = f − f ′′.Como T3 es cerrado (pues T3 = T ∗

1 ), y D(T3) = H, entonces I +T ∗3 T3 :

D(T ∗3 T3) → H es biyectivo (teorema 1.13). Ası pues, ∀g ∈ H, existe

un unico f ∈ D(T ∗3 T3) tal que (I + T ∗

3 T3)f = −g, es decir f ′′ − f = g.Ahora bien, por ser f ∈ D(T ∗

3 T3), f ∈ D(T3) y T3f ∈ D(T ∗3 ), es decir

f(0) = f(1) = 0, f ′ es absolutamente continua y f ′′ ∈ H, lo queresuelve el problema a).

b) Sea ahora f ∈ D(T ∗1 T1); nuevamente, (I + T ∗

1 T1)f = f + T3T1f =f − f ′′. El teorema 1.13 prueba tambien que el operador I + T ∗

1 T1 :D(T ∗

1 T1) → H es biyectivo. Ası pues, ∀g ∈ H, existe un unico f ∈D(T ∗

1 T1) tal que (I +T ∗1 T1)f = −g, es decir f ′′−f = g. Dicha solucion

verifica ahora que f ∈ D(T1) y T1f ∈ D(T ∗1 ), lo que corresponde a las

condiciones f ′(0) = f ′(1) = 0, f ′ absolutamente continua y f ′′ ∈L2[0, 1].

c) Consideramos en este caso f ∈ D(T ∗2 T2). Repitiendo el proceso

seguido en los dos casos anteriores se prueba la existencia de solucionpara este problema.

8. Dada g ∈ L2(R), probar que la ecuacion diferencial f ′′ − f = gtiene solucion unica f ∈ L2(R) tal que f ′, f ′′ ∈ L2(R) y f, f ′ sonabsolutamente continuas.

Mediante calculo directo, encontrar la formula

f(x) = −12

∫ x

−∞et−xg(t)dt− 1

2

∫ ∞

xex−tg(t)dt

para determinar la solucion de la ecuacion.

Resp.: Consideramos el operador Tf = if ′ con dominio el conjuntode funciones absolutamente continuas en un intervalo cerrado de R ycuya derivada esta en L2(R).

Como dicho dominio es denso en L2(R) y T es autoadjunto, el teorema1.13 prueba que I + T 2 : D(T 2) → L2(R) es biyectivo. Ası pues,dado g ∈ L2(R), existe un unico f ∈ D(T 2) tal que (I + T 2)f =−g, es decir f ′′ − f = g. Como f ∈ D(T ) y f ′ ∈ D(T ), la solucionf es absolutamente continua y f ′ ∈ L2(R), ası como tambien f ′ esabsolutamente continua y f ′′ ∈ L2(R).

Para resolver explıcitamente la ecuacion f ′′ − f = g, buscamos enprimer lugar la solucion general de la ecuacion homogenea asociada

322

f ′′ − f = 0, lo que da el conjunto y = C1ex + C2e

−x, con C1, C2

constantes arbitrarias.

A continuacion aplicamos el metodo de variacion de constantes pararesolver la ecuacion no homogenea, es decir resolvemos el sistema

C ′1(x)ex + C ′

2(x)e−x = 0C ′

1(x)ex − C ′2(x)e−x = g(x)

el cual tiene como solucion C ′1(x) = (1/2)g(x)e−x, C ′

2(x) = −(1/2)g(x)ex.La solucion general de la ecuacion queda pues de la forma indicada enel enunciado.

9. Sea E una medida espectral arbitraria (ver definicion 3.2). Pro-bar que |Ex,y(∆)|2 ≤ Ex,x(∆)Ey,y(∆), ∀x, y ∈ H.

Resp.: Teniendo en cuenta que E(∆) es una proyeccion ortogonal, porla desigualdad de Cauchy-Schwarz, obtenemos:

|〈E(∆)x, y〉|2 = |〈E(∆)x,E(∆)y〉|2

≤ ‖E(∆)x‖2 · ‖E(∆)y‖2 = 〈E(∆)x,E(∆)x〉 · 〈E(∆)y, E(∆)y〉= 〈E(∆)x, x〉 · 〈E(∆)y, y〉.

10. Sea T un operador simetrico con dominio denso. Probar que eloperador U : R(T + iI) → R(T − iI) definido por

U = (T − iI)(T + iI)−1

(llamado tambien transformada de Cayley de T ) es isometrico.

Resp.: Veamos en primer lugar que existe (T + iI)−1 y es acotado(como operador definido en R(T + iI)). Para ello basta observar lasiguiente desigualdad, que es consecuencia de la proposicion 1.12:

‖(T + iI)x‖2 = ‖Tx‖2 + ‖x‖2 ≥ ‖x‖2, ∀x ∈ D(T ).

Para probar que U es isometrico, sean x, y ∈ D(U). Entonces ∃f, g ∈D(T ) tales que x = (T + iI)f , y = (T + iI)g. Ası pues,

〈Ux, Uy〉 = 〈(T − iI)f, (T − iI)g〉= 〈Tf, Tg〉+ 〈Tf,−ig〉+ 〈−if, Tg〉+ 〈−if,−ig〉= 〈Tf, Tg〉+ i〈f, Tg〉 − i〈Tf, g〉+ 〈if, ig〉= 〈Tf, Tg + ig〉+ 〈if, Tg + ig〉 = 〈Tf + if, Tg + ig〉 = 〈x, y〉.

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11. En el espacio `2 se define el operador V por V (α1, α2, . . . ) =(0, α1, α2, . . . ). Probar que V es la transformada de Cayley deun operador simetrico T con ındices de defecto 0 y 1, donde, pordefinicion, los ındices de defecto de un operador simetrico T sonlas dimensiones de R(T +iI)⊥ y R(T −iI)⊥. Hallar una expresionde T .

Resp.: (•) Veamos en primer lugar que V es isometrıa:

∀α ∈ `2 : ‖α‖22 =

∑n∈N

|αn|2 y ‖V α‖22 =

∑n∈N

|αn|2 = ‖α‖22.

Sin embargo, V no es unitario pues el elemento α = (1/n)n∈N esta en`2 pero no esta en el rango de V .

(•) Probaremos a continuacion que I − V es inyectiva. En efecto, siα ∈ N(I − V ), entonces α = V α, es decir α1 = 0, αn+1 = αn, ∀n ∈ N,de donde α = 0.

(•) De las condiciones anteriores se deduce la existencia de un operadorsimetrico T cuya transformada de Cayley es V , T = i(I +V )(I−V )−1,y D(T ) = R(I − V ).

(•) Calcularemos a continuacion los ındices de defecto de T :

Como D(V ) = `2, R(T + iI) = `2 de donde dim R(T + iI)⊥ = 0.

Por otra parte, como R(V ) = (0, α1, α2, . . . ) :∑

n∈N |αn|2 < ∞,entonces R(V )⊥ esta generado por el elemento (1, 0, 0, . . . ). Teniendoen cuenta que R(V ) = R(T − iI), es evidente que dim R(T − iI)⊥ = 1.

(•) Para obtener una expresion explıcita de T , observemos que(I − V )(α1, α2, . . . ) = (α1, α2 − α1, . . . ). Por tanto,

(I − V )−1(α1, α2, . . . ) = (α1, α1 + α2, . . . ,

n∑k=1

αk, . . . )

(I + V )(α1, α2, . . . ) = (α1, α1 + α2, . . . , αn−1 + αn, . . . )=⇒ T (α1, α2, . . . ) = i(I + V )(I − V )−1(α1, α2, . . . )

= i(α1, α2 + 2α1, . . . , αn + 2n−1∑k=1

αk, . . . ),

con D(T ) = (αn)n∈N : |α1|2+|α1+α2|2+· · ·+|∑n

k=1 αk|2+. . . < ∞.

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12. Sea T un operador autoadjunto con dominio denso en H y Rz =(T − zI)−1 el operador resolvente definido en el conjunto de va-lores z ∈ C : ∃(T − zI)−1, R(T − zI) = H. Probar:

a) ‖Rzx‖ ≤ (1/|β|)‖x‖ si β = Im z 6= 0.

b) Rz2 −Rz1 = (z2 − z1)Rz2Rz1, ∀z1, z2 ∈ ρ(T ).

c) (Rz)∗ = R z.

Resp.: a) A partir de la igualdad

‖(T − zI)x‖2 = β2‖x‖2 + ‖(T − αI)x‖2, ∀x ∈ D(T ), z = α + iβ,

si hacemos y = (T − zI)x, resulta ‖y‖2 ≥ β2‖(T − zI)−1y‖2.

b) Es evidente que

Rz2 −Rz1 = Rz2(T − z1I)Rz1 −Rz2(T − z2I)Rz1

= Rz2 [(T − z1I)− (T − z2I)]Rz1 = (z2 − z1)Rz2Rz1 .

De esta relacion se deduce la conmutatividad Rz1Rz2 = Rz2Rz1 , ∀z1, z2 ∈ρ(T ).

c) Como D(Rz) = H, existe (Rz)∗. Ademas, ∀x ∈ D(Rz), y ∈ D(R z):

〈Rzx, y〉 = 〈Rzx, (T − zI)R zy〉 = 〈(T − zI)Rzx,R zy〉= 〈x,R zy〉 =⇒ R z = (Rz)∗.

TEMAS COMPLEMENTARIOS.

1. Operadores de multiplicacion y derivacion ([AG], [Kr]).

2. Semigrupos de operadores ([Ru]).

3. Operadores no acotados en Mecanica Cuantica ([Kr]).

4. Operadores cerrados y clausurables. Teorema de la aplicacion abiertapara operadores no acotados ([CC]).

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