Operadores no acotados en espacios de Hilbertdemetrio/Monografias/Materias...Muchos de los operadores m as importantes que aparecen en la matem atica son acotados. Sin embargo, en

Operadores no acotados en espaciosde Hilbert

Adriana Giacobbi

22 de marzo de 2013

1

INDICE

Indice

1. Introduccion 3

2. Preliminares 4

3. Propiedades basicas y ejemplos 63.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Operadores simetricos y autoadjuntos 174.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5. La Transformada de Cayley 295.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Trabajo Final de Analisis Funcional Hoja 2 de 34

1. Introduccion

Muchos de los operadores mas importantes que aparecen en la matematica son acotados. Sinembargo, en este trabajo se introduciran algunas definiciones basicas y teoremas necesarios paratrabajar con operadores no acotados en espacios de Hilbert. Se mostraran algunas diferencias enel comportamiento del adjunto de un operador no acotado con respecto a un operador acotado,ası como diferencias en las propiedades espectrales.

Se estudiaran las extensiones simetricas y autoadjuntas de un operador, introduciendo la nocionde subespacios e ındices de deficiencia.

Por ultimo, se mostrara que el estudio de operadores autoadjuntos puede reducirse al de losoperadores unitarios mediante la Transformada de Cayley.

Departamento de Matematica - UNLP Hoja 3 de 34

2 PRELIMINARES

2. Preliminares

Definicion 2.0.1. Un Espacio de Hilbert es un espacio vectorial H sobre F (donde F denota Ro C) junto con un producto interno 〈·, ·〉 tal que relativo a la metrica d(x, y) = ‖x− y‖ inducidapor la norma, H es completo.

En este trabajo asumiremos que todos los espacios de Hilbert son separables.

Definicion 2.0.2. Si H y K son dos espacios de Hilbert, un Operador Lineal T : H → K es unaaplicacion lineal cuyo dominio de definicion dom(T ) es un subespacio vectorial de H.

Se dice que T es acotado si existe una costante c > 0 tal que ||Tf || ≤ c||f || ∀f ∈ dom(T ).

Observacion 2.0.3. Si el operador T es acotado, entonces puede ser extendido a un operador

lineal sobre la clausura de dom(T ) y luego, extendido a H dejando que T sea 0 sobre dom(T )⊥

.

4

En base a la observacion anterior y a menos que especifiquemos lo contrario, asumiremos queun operador acotado esta definido sobre todo H y denotaremos B(H,K) al conjunto de operadoresacotados de H en K y B(H) = B(H,H).

Definicion 2.0.4. Si T ∈ B(H,K), se define la norma de T como

‖T‖ = sup ‖Tx‖ : ‖x‖ ≤ 1 .

Proposicion 2.0.5. Si T ∈ B(H,K), entonces

‖T‖ = sup ‖Tx‖ : ‖x‖ = 1

= sup

‖Tx‖‖x‖

: x 6= 0

= inf c > 0 : ‖Tx‖ ≤ c ‖x‖ parax ∈ H .

Definicion 2.0.6. Sean T, S ∈ B(H) tales que ∀x, y ∈ H, 〈Tx, y〉 = 〈x, Sy〉. Decimos que S es eloperador adjunto de T y lo notamos S = T ∗.

Proposicion 2.0.7. Si T, S ∈ B(H) y α ∈ F, entonces:

(a) (αT + S)∗ = α T ∗ + S∗

(b) (TS)∗ = S∗T ∗

(c) T ∗∗ = (T ∗)∗ = T

(d) I∗ = I

(e) Si T es inversible y T−1 es su inverso, entonces T ∗ es inversible y (T ∗)−1 = (T−1)∗.

(f) T ∗ es acotado y ‖T‖ = ‖T ∗‖

Proposicion 2.0.8. Si T ∈ B(H), entonces:

(a) ker(T ) = ran(T ∗)⊥

(b) ker(T )⊥ = ran(T ∗)


Definicion 2.0.9. Un operador T ∈ B(H) es autoadjunto si T ∗ = T . Diremos que T es normalsi TT ∗ = T ∗T y unitario si TT ∗ = T ∗T = I.

Proposicion 2.0.10. Sea H un C-espacio de Hilbert y T ∈ B(H). Entonces T es autoadjunto si ysolo si 〈Th, h〉 ∈ R, para todo h ∈ H.

Proposicion 2.0.11. Si T ∈ B(H) es autoadjunto, entonces ||T || = sup | 〈Tx, x〉 | : ||x|| = 1.

Proposicion 2.0.12. Si T ∈ B(H), las siguiente condiciones son equivalentes:

(a) T es unitario.

(b) 〈Tx, Ty〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ H y ran(T ) = H.

(c) ||Tx|| = ||x||, ∀x ∈ H y ran(T ) = H.

Definicion 2.0.13. Dado T ∈ B(H), definimos el conjunto resolvente de T como

ρ(T ) = λ ∈ C : λI − T es inversible .

El espectro de T es el conjunto σ(T ) = C\ρ(T ).

Teorema 2.0.14. Si T ∈ B(H), entonces σ(T ) es compacto, no vacıo y σ(T ) ⊆ z ∈ C : |z| < ||T ||.

Proposicion 2.0.15. Si T ∈ B(H), entonces σ(T ∗) =λ : λ ∈ σ(T )

.

Proposicion 2.0.16. Si T ∈ B(H) es autoadjunto, entonces σ(T ) ⊆ R. Si T ∈ B(H) es unitario,entonces σ(T ) ⊆ λ : |λ| = 1.

Proposicion 2.0.17. Si T ∈ B(H), entonces 〈Tx, x〉 ≥ 0 si y solo si T ∗ = T y σ(T ) ⊆ [0,∞).


3 PROPIEDADES BASICAS Y EJEMPLOS

3. Propiedades basicas y ejemplos

Definicion 3.0.18. Sean H,K dos espacios de Hilbert. Un operador no acotado (densamentedefinido) de H en K es un operador lineal T desde un subespacio denso de H, llamado dominiode T y denotado por dom(T ), en K.

Los calculos con operadores no acotados son considerablemente mas complicados que en el casoacotado. Si T1 y T2 son operadores lineales de H en K, entonces T1 + T2 denotara el operador condom(T1 + T2) = dom(T1) ∩ dom(T2) y (T1 + T2)h = T1h + T2h. Si T2 : H → K y T1 : K → L,entonces T1T2 es un operador lineal de H en L con dom(T1T2) = dom(T2) ∩ T−12 (dom(T1)) yT1T2h = T1(T2h).

Definicion 3.0.19. Sean T1 y T2 operadores de H en K. Decimos que T1 es una extension de T2(y se denota como T2 ⊆ T1) si dom(T2) ⊆ dom(T1) y T1h = T2h ∀h ∈ dom(T2).

Notemos que si T ∈ B(H), entonces la unica extension de T es el mismo, de modo que ladefinicion anterior solo tendra sentido para operadores no acotados.

La nocion de grafico de un operador lineal, introducida por von Neumann, sera muy util paraestudiar operadores no acotados.

Definicion 3.0.20. Si T : H → K, el grafico de T es el conjunto

gra(T ) = h⊕ Th ∈ H ⊕K : h ∈ dom(T ) .

Observacion 3.0.21. Es inmediato que T2 ⊆ T1 si y solo si gra(T2) ⊆ gra(T1). 4

Definicion 3.0.22. Un operador T : H → K es cerrado si su grafico es cerrado en H ⊕ K. Unoperador se dice clausurable si tiene una extension cerrada. Denotaremos C(H,K) a la coleccionde todos los operadores cerrados densamente definidos de H en K y llamaremos C(H) = C(H,H).

Una forma natural de tratar de obtener una extension cerrada de un operador T es tomando laclausura de su grafico en H⊕K. El problema con esto es que dicha clausura, denotada por gra(T ),no corresponde en general al grafico de un operador.

Para analizar este problema, veamos primero el siguiente resultado:

Proposicion 3.0.23. Sea G un subespacio de H⊕K. Entonces G es el grafico de un operador linealT : H → K si y solo si k ∈ K, 0⊕ k ∈ G ⇒ k = 0.

Demostracion. Supongamos que G = gra(T ) para cierto T : H → K. Por linealidad, si k ∈ K y0⊕ k ∈ G resulta k = 0.

Para la recıproca, definimos el conjunto D = h ∈ H : ∃k ∈ K con h⊕ k ∈ G. Sean h ∈ Dy k1, k2 ∈ K tales que h ⊕ k1, h ⊕ k2 ∈ G. Dado que G es subespacio vectorial, se tiene que0⊕ (k1 − k2) = h⊕ k1 − h⊕ k2 ∈ G, con lo cual k1 = k2. Esto dice que para todo h ∈ D existe ununico k ∈ K tal que h⊕k ∈ G, siendo posible definir k = Th. Veamos que T es una aplicacion lineal.Sean hi ⊕ ki ∈ G, i = 1, 2 y λ1, λ2 ∈ C. Luego, λ1h1 + λ2h2 ⊕ λ1k1 + λ2k2 ∈ G. Por la definicion deT , tenemos que

T (λ1h1 + λ2h2) = λ1k1 + λ2k2 = λ1Th1 + λ2Th2

con lo cual, T es lineal y G = gra(T ).

Proposicion 3.0.24. Un operador T : H → K es clausurable si y solo si gra(T ) es un grafico.


Demostracion. Sea gra(T ) un grafico. Esto es, existe un operador S : H → K tal quegra(S) = gra(T ). Se sigue que gra(T ) ⊆ gra(S), con lo cual T es clausurable.

Supongamos ahora que T es clausurable; esto es, existe un operador cerrado S : H → K conT ⊆ S. Si 0⊕ k ∈ gra(T ), entonces 0⊕ k ∈ gra(S) y ası k = 0. Por la proposicion anterior, gra(T )es un grafico.

Si T es un operador clausurable, llamaremos clausura de T al operador cuyo grafico es gra(T )y lo denotaremos por T . De este modo, gra(T ) = gra(T ).

Definicion 3.0.25. Si T : H → K esta densamente definido, sea

D = k ∈ K : h 7→ 〈Th, k〉 es un funcional lineal acotado sobre dom(T ) .

Debido a que dom(T ) es denso en H, si k ∈ D entonces existe un unico vector f ∈ H tal que〈Th, k〉 = 〈h, f〉, ∀h ∈ dom(T )1. Denotamos a este unico vector f por f = T ∗k. Ası,

〈Th, k〉 = 〈h, T ∗k〉 (1)

para h ∈ dom(T ) y k ∈ D. El operador T ∗ es llamado el adjunto de T y D = dom(T ∗).

Observacion 3.0.26. Es claro que T ∗ es un operador lineal, pero no necesariamente esta densa-mente definido. 4

Proposicion 3.0.27. Sean T y S operadores densamente definidos sobre H. Entonces,

(a) Para todo λ ∈ C, (λT )∗ = λT ∗.

(b) Si S ⊆ T , entonces T ∗ ⊆ S∗.(c) T ∗ + S∗ ⊆ (T + S)∗.

(d) Si ST tiene dominio denso en H, entonces T ∗S∗ ⊆ (ST )∗. Si ademas S ∈ B(H), entoncesT ∗S∗ = (ST )∗.

Demostracion. La prueba de (a) es inmediata de la definicion de adjunto.

(b) Si x ∈ dom(T ∗), entonces existe y ∈ H tal que 〈x, Th〉 = 〈y, h〉, ∀h ∈ dom(T ). Como S ⊆ T ,〈y, h〉 = 〈x, Th〉 = 〈x, Sh〉 para todo h ∈ dom(S). Esto implica que x ∈ dom(S∗) y S∗x = y, esdecir, T ∗ ⊆ S∗.(c) Si x ∈ dom(T ∗ + S∗), entonces x ∈ dom(T ∗) y x ∈ dom(S∗). Por lo tanto, existen y1, y2 ∈ Htales que 〈x, Th〉 = 〈y1, h〉, para todo h ∈ dom(T ) y 〈x, Sh〉 = 〈y2, h〉, para todo h ∈ dom(S); conlo cual, 〈x, (T + S)h〉 = 〈y1 + y2, h〉, ∀h ∈ dom(T ) ∩ dom(S) = dom(T + S).

(d) Si x ∈ dom(T ∗S∗), entonces x ∈ dom(S∗) y S∗x ∈ dom(T ∗). Por lo tanto,

∃y1 ∈ H : 〈x, Sh〉 = 〈y1, h〉 , ∀h ∈ dom(S),

∃y2 ∈ H : 〈S∗x, Tu〉 = 〈y2, u〉 , ∀u ∈ dom(T ).

Ahora bien, si u ∈ dom(ST ) entonces u ∈ dom(T ) y h = Tu ∈ dom(S). Teniendo en cuenta quey1 = S∗x, se tiene que

〈x, STu〉 = 〈x, Sh〉 = 〈y1, h〉 = 〈S∗x, Tu〉 = 〈y2, u〉

con lo cual, x ∈ dom((ST )∗) y (ST )∗x = y2 = T ∗S∗x.

1El Teorema de Representacion de Riesz dice que si T es un funcional lineal acotado sobre un espacio de HilbertH, entonces existe un unico vector h0 ∈ H tal que Th = 〈h, h0〉 para todo h ∈ H. Mas aun, ‖T‖ = ‖h0‖.



El siguiente lema nos permitira estudiar de cerca al adjunto de un operador.

Lema 3.0.28. Sea T : H → K un operador densamente definido. Definimos un operador unitarioV : H⊕K → K⊕H como V (h⊕ k) = (−k)⊕ h. Entonces V es un isomorfismo y

gra(T ∗) = [V (gra(T ))]⊥ .

Demostracion. Es claro que V es un isomorfismo. Notemos que

gra(T ∗) = k ⊕ T ∗k ∈ K ⊕H : k ∈ dom(T ∗) .

Luego, si k ∈ dom(T ∗) y h ∈ dom(T ) resulta

〈k ⊕ T ∗k, V (h⊕ Th)〉 = 〈k ⊕ T ∗k,−Th⊕ h〉= −〈k, Th〉+ 〈T ∗k, h〉 = 0.

Ası, gra(T ∗) ⊆ [V (gra(T ))]⊥. Por otra parte, si k ⊕ f ∈ [V (gra(T ))]⊥ entonces ∀h ∈ dom(T )

0 = 〈k ⊕ f,−Th⊕ h〉 = −〈k, Th〉+ 〈f, h〉

de modo que 〈Th, k〉 = 〈h, f〉. Por definicion, k ∈ dom(T ∗) y T ∗k = f .

Proposicion 3.0.29. Si T : H → K es un operador densamente definido, entonces:

1. T ∗ es un operador cerrado.

2. T ∗ esta densamente definido si y solo si T es clausurable.

3. Si T es clausurable, entonces su clausura es T ∗∗.

Demostracion. La prueba de 1 es inmediata del lema 3.0.28, dado que [V (gra(T ))]⊥ es siempre unsubespacio cerrado de K ⊕H.

Para probar 2, supongamos que T es clausurable y sea k0 ∈ dom(T ∗)⊥. De este modo,

k0 ⊕ 0 ∈ gra(T ∗)⊥ = V (gra(T ))⊥⊥ = V (gra(T )) = V (gra(T )).

Ası, 0 ⊕ (−k0) = V ∗(k0 ⊕ 0) ∈ V ∗V (gra(T )) = gra(T ). Dado que T es clausurable, gra(T ) esun grafico y entonces k0 = 0. Luego, T ∗ esta densamente definido. Recıprocamente, supongamosque dom(T ∗) es denso. Esto nos garantiza que T ∗∗ ≡ (T ∗)∗ esta definido, y por 1 es cerrado. Porel lema 3.0.28,

[V (gra(T ))]⊥ = gra(T ∗) =⇒ V (gra(T )) = gra(T ∗)⊥

=⇒ V (gra(T )) ⊂ gra(T ∗)⊥

=⇒ gra(T ) ⊂ V ∗(gra(T ∗)⊥).

Dado que V es unitario (luego V ∗ tambien lo es), para cualquier subespacio M de H se tieneque V ∗(M⊥) = V ∗(M)⊥. En particular, para M = gra(T ∗) nos queda

gra(T ) ⊂ [V ∗(gra(T ∗))]⊥ = gra(T ∗∗)

con lo cual, T tiene una extension cerrada.Para la prueba de 3, nuevamente usando el lema 3.0.28, tenemos que

gra(T ∗∗) = V ∗(gra(T ∗))⊥ =[V ∗ [V (gra(T ))]⊥

]⊥=[V ∗V (gra(T )⊥)

]⊥= gra(T )⊥⊥ = gra(T ).

Por lo tanto, T = T ∗∗.


Corolario 3.0.30. Si T ∈ C(H,K), entonces T ∗ esta densamente definido y T ∗∗ = T .

Demostracion. Es inmediato de la proposicion anterior.

A continuacion veremos algunos ejemplos de operadores no acotados y sus adjuntos.

Ejemplo 3.0.31. Sea enn≥0 una base ortonormal para H y sean α0, α1, . . . numeros complejos.

Definimos D =

h ∈ H :

∞∑n=0

|αn 〈h, en〉|2 <∞

y Th =

∞∑n=0

αn 〈h, en〉 en para h ∈ D. Entonces D

es denso en H dado que en ∈ D, ∀n ≥ 0. Ademas, dom(T ∗) = D y T ∗k =∞∑n=0

αn 〈k, en〉 en, ∀k ∈ D.

En efecto, sean h, k ∈ D y φ(h) = 〈Th, k〉. Es facil ver que |φ(h)| ≤ ‖h‖

∥∥∥∥∥∞∑n=0

αn 〈k, en〉 en

∥∥∥∥∥. Como

k ∈ D, φ resulta un funcional lineal acotado sobre D, con lo cual k ∈ dom(T ∗).

Por otro lado, si k ∈ dom(T ∗), existe c > 0 tal que |φ(h)| ≤ c ‖h‖, ∀h ∈ D. Pero

|φ(h)| =

∣∣∣∣∣ lımN−→∞

N∑n=0

αn 〈h, en〉〈en, k〉

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣ lımN−→∞

⟨h,

N∑n=0

αn 〈k, en〉 en

⟩∣∣∣∣∣ ≤ c ‖h‖ ,para todo h ∈ D, con lo cual

∥∥∥∥∥∞∑n=0

αn 〈k, en〉 en

∥∥∥∥∥ <∞ y ası, k ∈ D. Por lo tanto, dom(T ∗) = D.

Por ultimo,

〈k, Th〉 = lımN−→∞

N∑n=0

〈k, αn 〈h, en〉 en〉

= lımN−→∞

N∑n=0

αn 〈en, h〉〈k, en〉

= lımN−→∞

⟨N∑n=0

αn 〈k, en〉 en, h

⟩

con lo cual, T ∗k =

∞∑n=0

αn 〈k, en〉 en, ∀k ∈ D.

Ejemplo 3.0.32. Sea (X,Ω, µ) un espacio de medida σ-finita y sea φ : X → C una funcion medible.Definimos D =

f ∈ L2(µ) : φf ∈ L2(µ)

y Tf = φf , ∀f ∈ D.

Un razonamiento similar al del ejemplo anterior, muestra que dom(T ∗) = D. Ademas, T ∗g = φgpara g ∈ D. En efecto,

〈Tf, g〉 =

∫Tfg dµ =

∫φfg dµ =

∫fφg dµ

con lo cual, T ∗g = φg, ∀g ∈ D.



Ejemplo 3.0.33. Sea H = L2([0, 1]) relativo a la medida de Lebesgue y D el conjunto definido por

D =f : [0, 1]→ C : f es absolutamente continua, f ′ ∈ L2, f(0) = f(1) = 0

.

Este conjunto incluye a todos los polinomios p con p(0) = p(1) = 0, por lo que la clausura uniformede D es el conjunto f ∈ C[0, 1] : f(0) = f(1) = 0. Ası, D es denso en L2([0, 1]).

Definimos T : L2([0, 1])→ L2([0, 1]) por Tf = if ′ para f ∈ D. Veamos que T es cerrado. Paraello, supongamos que fn ⊆ D y fn ⊕ if ′n −→ f ⊕ g en L2 ⊕ L2. Sea h(x) = −i

∫ x0 g(t)dt; luego h

es absolutamente continua. Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos que

|fn(x)− h(x)| =∣∣∣∣∫ x

0

[f ′n(t) + ig(t)

]dt

∣∣∣∣ ≤ ∥∥f ′n + ig∥∥2

=∥∥if ′n − g∥∥2 .

Ası, fn(x) −→ h(x) uniformemente sobre [0, 1]. Dado que fn −→ f en L2([0, 1]), f(x) = h(x) a.e.De este modo, podemos asumir que f(x) = −i

∫ x0 g(t)dt para todo x. Luego, f es absolutamente

continua y fn(x) −→ f(x) uniformemente sobre [0, 1]. Ası f(0) = f(1) = 0 y f ′ = −ig ∈ L2([0, 1]),con lo cual f ∈ D y f ⊕ g = f ⊕ if ′ ∈ gra(T ), esto es, T ∈ C(L2([0, 1])).

Notemos que f ′ : f ∈ D =h ∈ L2([0, 1]) :

∫ 10 h(x) dx = 0

= [1]⊥.

Por otra parte, dom(T ∗) =g : g es absolutamente continua sobre [0, 1], g′ ∈ L2([0, 1])

y para

g ∈ dom(T ∗), T ∗g = ig′. En efecto, supongamos que g ∈ dom(T ∗) y consideremos h = T ∗g yH(x) =

∫ x0 h(t)dt. Usando integracion por partes, para cada f ∈ D

i

∫ 1

0f ′gdx = 〈Tf, g〉 = 〈f, h〉 =

∫ 1

0fhdx =

∫ 1

0f(x)dH(x) = −

∫ 1

0f ′(x)H(x)dx

esto es, 〈f ′,−ig〉 = 〈f ′,−H〉, ∀f ∈ D. Ası, H− ig ∈ f ′ : f ∈ D⊥ = [1]⊥⊥, por lo tanto H− ig = c,con c constante. Luego, g = ic − iH, con lo cual g es una funcion absolutamente continua yg′ = −ih ∈ L2, como querıamos probar.

Recıprocamente, si f ∈ D y g es absolutamente continua sobre [0, 1] con g′ ∈ L2([0, 1]), entoncesmediante integracion por partes se tiene que

〈Tf, g〉 =

∫ 1

0(if ′)gdx =

∫ 1

0fig′dx = 〈f, Tg〉

con lo cual, dom(T ∗) contiene al conjunto de las funciones g absolutamente continuas sobre [0, 1]con g′ ∈ L2([0, 1]).

Ejemplo 3.0.34. Sea E =f ∈ L2([0, 1]) : f es absolutamente continua, f ′ ∈ L2, f(0) = f(1)

. Pa-

ra f ∈ E definimos Sf = if ′. Como en 3.0.33, S ∈ C(L2([0, 1])) y ran(S) = [1]⊥.Por otra parte, afirmamos que dom(S∗) = E y S∗g = ig′ ∀g ∈ E . En efecto, sea g ∈ dom(S∗)

y H(x) =∫ x0 h(t)dt. Como en 3.0.33, H(0) = H(1) = 0 y para cada f ∈ E , i

∫ 10 f′g = −

∫ 10 f′H.

Entonces, 0 =∫ 10 (if ′g+f ′H) =

∫ 10 if

′(g + iH). Ası, g+iH⊥ran(S) y luego g+iH = c, una funcionconstante. Se sigue que g = c − iH es absolutamente continua, g′ = −ih ∈ L2 y g(0) = g(1) = c.Por lo tanto, g ∈ E y S∗g = h = ig′.

La otra inclusion es analoga a la realizada en 3.0.33.

Los dos ejemplos anteriores muestran el hecho de que el calculo del adjunto depende del dominiodel operador, no solo de la definicion formal del operador.


Proposicion 3.0.35. Si T : H → K esta densamente definido, entonces

ran(T )⊥ = ker(T ∗).

Si ademas T es cerrado, entonces

ran(T ∗)⊥ = ker(T ).

Demostracion. La primera igualdad es inmediata de la definicion (1) de operador adjunto.

Por el corolario 3.0.30, si T ∈ C(H,K), entonces T ∗∗ = T , con lo cual la segunda igualdad sesigue de la primera.

Definicion 3.0.36. Si T : H → K es un operador lineal, decimos que T es acotadamenteinversible si existe un operador lineal acotado S : K → H tal que TS = I y ST ⊆ I.

Notemos que si ST ⊆ I, entonces ST es acotado sobre su dominio. Llamaremos a S inverso(acotado) de T .

Proposicion 3.0.37. Sea T : H → K un operador lineal.

(a) T es acotadamente inversible si y solo si ker(T ) = (0), ran(T ) = K y el grafico de T es cerrado.

(b) Si T es acotadamente inversible, su inverso es unico.

Demostracion.

(a) Sea S el inverso de T . Dado que ST ⊆ I, tenemos que ker(T ) = (0). Dado que TS = I, resultaran(T ) = K. Tambien, gra(T ) = h⊕ Th : h ∈ dom(T ) = Sk ⊕ k : k ∈ K, que es cerrado porser S acotado.

Recıprocamente, si T cumple las propiedades mencionadas entonces S = T−1 es un operadorbien definido sobre K. Dado que gra(T ) es cerrado, gra(S) tambien lo es, y por el Teorema delGrafico Cerrado2, S ∈ B(K,H).

(b) Si R : K → H es otro inverso, tenemos que TS(y) = y = TR(y) para todo y ∈ K. Dado queker(T ) = (0), se sigue que S = R.

Definicion 3.0.38. Si T : H → H es un operador lineal, definimos el conjunto resolvente de Tcomo ρ(T ) = λ ∈ C : λI − T es acotadamente inversible.

El espectro de T es el conjunto σ(T ) = C\ρ(T ).

El espectro de un operador no acotado puede tener caracterısticas muy diferentes al de losoperadores acotados.

Sea D1 =f ∈ L2([0, 1]) : f ∈ C1([0, 1])

y D2 = f ∈ D1 : f(0) = 0. Consideremos Tf = f ′

con dom(T ) = D1. Entonces la ecuacion (λI−T )f = λf−f ′ = 0 tiene solucion f(x) = eλx, f ∈ D1.Luego, ker(λI − T ) 6= (0) para todo λ ∈ C; es decir, σ(T ) = C.

2El Teorema del Grafico Cerrado dice que si T : H → K es un operador cuyo grafico gra(T ) = h⊕ Th : h ∈ Hes cerrado en H ⊕ K, entonces T ∈ B(H,K). Cabe aclarar que este teorema es valido para Espacios de Banach. Enparticular, es valido para espacios de Hilbert.



Consideremos ahora Tf = f ′ con dom(T ) = D2. Entonces, σ(T ) = ∅. En efecto, (λI − T )−1

existe ∀λ ∈ C. Sea Bf(y) = −eλy∫ y0 e−λxf(x)dx, y ∈ [0, 1], f ∈ L2([0, 1]). Un calculo directo

muestra que (λI − T )B(f) = f . Por otra parte, mediante integracion por partes se tiene que

B(λI − T )f(y) = −eλy∫ y

0e−λx(λf(x)− f ′(x))dx

= −λeλy∫ y

0e−λxf(x)dx+ eλy

∫ y

0e−λxf ′(x)dx

= −λeλy(− 1

λe−λxf(x))

∣∣y0− eλy

∫ y

0e−λxf ′(x)dx+ eλy

∫ y

0e−λxf ′(x)dx

= eλye−λyf(y) = f(y)

para cada f ∈ D2. Ası, (λI − T )−1 = B.

Proposicion 3.0.39. Si T : H → H es un operador lineal, entonces σ(T ) es cerrado y la funcionz 7→ (zI − T )−1 es analıtica sobre ρ(T ).

Demostracion. La demostracion puede encontrarse en el capıtulo VIII del libro de Reed-Simon[RS].

Proposicion 3.0.40. Sea T ∈ C(H). Entonces,

1. λ ∈ ρ(T ) si y solo si ker(T − λI) = (0) y ran(T − λI) = H.

2. σ(T ∗) =λ : λ ∈ σ(T )

y para λ ∈ ρ(T ), [(T − λI)∗]−1 =

[(T − λI)−1

]∗.

Demostracion. 1. Dado que ρ(T ) consta de los λ ∈ C para los cuales T − λI es acotadamenteinversible, se aplica la proposicion 3.0.37 a este operador.

2. Veamos que para λ ∈ C, λI−T ∗ es acotadamente inversible si y solo si λI−T es acotadamenteinversible.

Si λ ∈ ρ(T ∗), entonces existe B ∈ B(H) tal que (λI−T ∗)B = I y B(λI−T ∗) ⊆ I. Aplicandola proposicion 3.0.27, se tiene que B∗(λI − T ) ⊆ I y (λI − T )B∗ = I (∗). Ası, λI − T esacotadamente inversible.

La recıproca es analoga. De (∗), se deduce que [(T − λI)∗]−1 =[(T − λI)−1

]∗, para λ ∈ ρ(T ).


3.1 Ejercicios

3.1. Ejercicios

3.1.1. Definir un operador shift ponderado no acotado y determinar su adjunto.

Demostracion. Sea enn≥0 una base ortonormal para l2 y λ = (λn)n una sucesion de numeroscomplejos. Definimos

D =

x ∈ l2 :

∞∑n=0

λn 〈x, en〉 en+1 ∈ l2

Tλx =∞∑n=0

λn 〈x, en〉 en+1, para x ∈ D.

Tλ se denomina Operador Shift ponderado a izquierda. Tambien se puede definir un operadorshift ponderado a derecha, como

Sλx =∞∑n=0

λn 〈x, en+1〉 en,

donde dom(Sλ) =

x ∈ l2 :

∞∑n=0

λn 〈x, en+1〉 en ∈ l2

.

Un razonamiento analogo al utilizado en el ejemplo 3.0.31 muestra que dom(T ∗) = dom(S).Ademas,

〈Tλx, y〉 = lımN−→∞

N∑n=0

λn 〈x, en〉〈en+1, y〉

= lımN−→∞

⟨x,

N∑n=0

λn 〈y, en+1〉 en

⟩.

Luego, T ∗λ = Sλ.

3.1.2. Si H tiene dimension infinita, mostrar que existe un operador lineal T : H → H tal quegra(T ) es denso en H⊕H. ¿Que dice esto acerca de dom(T ∗)?

Demostracion. Ver Lindsay [1984].

3.1.3. Sea D el conjunto de las funciones f absolutamente continuas tales que f ′ ∈ L2(0, 1).Definimos Df = f ′ para f ∈ D y Af(x) = xf(x) para f ∈ L2(0, 1). Mostrar que DA−AD ⊆ I.

Demostracion. Alcanza con ver que (DA−AD)f(x) = f(x), para cada f . En efecto,

(DA−AD)f(x) = DAf(x)−ADf(x) = xf ′(x) + f(x)− xf ′(x) = f(x).

3.1.4. Si A es un algebra de Banach con identidad, mostrar que no existen elementos a, b ∈ A talesque ab− ba = e.



Demostracion. Supongamos que existen a, b ∈ A tales que ab− ba = e. Probaremos por induccionque

anb− ban = nan−1 6= 0 (2)

lo cual es valido para n = 1 por hipotesis.

Si (2) vale para n ∈ N, entonces an 6= 0 y

an+1b− ban+1 = an(ab− ba) + (anb− ban)a

= ane+ nan−1a = (n+ 1)an.

Por lo tanto, ∀n ∈ N se verifica (2).

Luego,

n∥∥an−1∥∥ = ‖anb− ban‖

≤ 2 ‖an‖ ‖b‖≤ 2

∥∥an−1∥∥ ‖a‖ ‖b‖y ası, n ≤ 2 ‖a‖ ‖b‖, ∀n ∈ N, lo cual es imposible.

3.1.5. Definimos A : L2(R)→ L2(R) por (Af)(x) = e−x2f(x− 1), ∀f ∈ L2(R).

1. Mostrar que A ∈ B(L2(R)).

2. Hallar ‖An‖ y mostrar que r(A) = 0, de modo que σ(A) = 0.

3. Mostrar que A es inyectivo.

4. Hallar A∗ y mostrar que ran(A) es denso.

5. Definir B = A−1 con dom(B) = ran(A) y mostrar que B ∈ C(L2(R)), con σ(B) = ∅.

Demostracion. 1. Un calculo inmediato muestra que

‖Af‖2 ≤∫Rf2(x− 1)dx =

∫Rf2(x)dx = ‖f‖2 .

Como f ∈ L2(R), resulta A ∈ B(L2(R)).

2. Se puede demostrar por Induccion que

An = exp(−n∑i=0

(x− i)2)f(x− n).

Para calcular ‖An‖, recordemos que si g es continua y T : L2(R) → L2(R) es el operadordado por Tf(x) = g(x)f(x), entonces ‖T‖ = sup |g|. En nuestro caso, calcularemos el valor

maximo de la funcion gn(x) = exp(−n∑i=0

(x − i)2), o equivalentemente, el valor mınimo de


3.1 Ejercicios

hn(x) =n∑i=0

(x− i)2. Derivando esta funcion, se sigue que su mınimo se alcanza para x0 = n2 .

Un calculo sencillo muestra que el valor mınimo de hn es

hn(x0) =n∑i=0

(n

2− i)2 =

1

6n(n+ 1)(

n

2+ 1).

Luego, ‖An‖ = exp (−16n(n+ 1)(n2 + 1)).

Por otra parte, teniendo en cuenta que r(A) = lımn−→∞ ‖An‖1n , se sigue que r(A) = 0. Ası,

por definicion de radio espectral, se deduce que σ(A) = 0.

3. Si Af(x) = 0 para todo x ∈ R, es inmediato que f ≡ 0.

4. Para cada f, g ∈ L2(R),

〈Af, g〉 =

∫ ∞−∞

e−x2f(x− 1)g(x)dx =

∫ ∞−∞

f(x)e−(x+1)2g(x+ 1)dx,

con lo cual, A∗g = e−(x+1)2g(x+ 1).

Es claro que A∗ es inyectivo, con lo cual, por 2.0.8 resulta ran(A) denso.

5. Sea B = A−1 con dom(B) = ran(A). Por la proposicion 3.0.37, B ∈ C(L2(R)).

Recordemos que si A es acotado, entonces para λ 6= 0

λ ∈ σ(A)⇐⇒ λ−1 ∈ σ(A−1).

Luego, σ(B) = ∅.

3.1.6. Si A ∈ C(H), mostrar que A∗A ∈ C(H). Mostrar que −1 /∈ σ(A∗A) y que si B = (I+A∗A)−1,entonces ‖B‖ ≤ 1. Ademas, C = AB es acotado y ‖C‖ ≤ 1.

Demostracion. Sea A ∈ C(H) y (xn)n ⊆ dom(A∗A) tal que xn −→ x y A∗Axn −→ y. Como A escerrado, se sigue que x ∈ dom(A).

Por otra parte, dado h ∈ dom(A) se tiene que

〈h,A∗Axn〉 −→ 〈h, y〉 ,

〈h,A∗Axn〉 = 〈Ah,Axn〉 −→ 〈Ah,Ax〉 ∀h ∈ dom(A).

Luego, Ax ∈ dom(A∗).Ademas, para h ∈ dom(A)

〈y −A∗Ax, h〉 = 〈y, x〉 − 〈A∗Ax, h〉= lım

n−→∞〈A∗Axn, h〉 − 〈A∗Ax, h〉

= lımn−→∞

〈Axn, Ah〉 − 〈Ax,Ah〉 = 0,



por ser A cerrado. Por lo tanto, y = A∗Ax y ası, A∗A ∈ C(H).Definamos S = I +A∗A y veamos que S es acotadamente inversible.Del lema 3.0.28 se deduce queH⊕H = V (gra(A))⊕gra(A∗). Luego, a cada h ∈ H le corresponde

un unico Bh ∈ dom(A), y un unico Ch ∈ dom(A∗) tales que

(0, h) = (−ABh,Bh) + (Ch,A∗Ch). (3)

Asi, quedan definidos en todo H los operadores lineales B y C. Ademas, para cada h ∈ H

‖h‖2 ≥ ‖Bh‖2 + ‖Ch‖2 ,

de modo que ‖B‖ ≤ 1 y ‖C‖ ≤ 1. De (3) se sigue que C = AB y que

h = Bh+A∗Ch = Bh+A∗ABh = SBh

para todo h ∈ H. Luego, SB = I. Si y ∈ dom(S), entonces y = Bh para algun h ∈ H. Ası,Sy = SBh = h y BSy = Bh = y. Por lo tanto, BS ⊆ I.


4. Operadores simetricos y autoadjuntos

Una introduccion apropiada para esta seccion consiste en un examen cuidadoso de los ejemplos3.0.33 y 3.0.34 de la seccion anterior. En 3.0.33 vimos que el operador T parecıa inclinarse a serautoadjunto, pero dom(T ∗) fue diferente de dom(T ), de modo que no podrıa decirse realmente queT = T ∗. En 3.0.34, S = S∗ en cualquier sentido del concepto de igualdad. Esto senala la diferenciaentre operadores simetricos y autoadjuntos que es necesario hacer en la teorıa de operadores noacotados.

Definicion 4.0.7. Un operador T : H → H se dice simetrico si T esta densamente definido y〈Tf, g〉 = 〈f, Tg〉, ∀f, g ∈ dom(T ).

Proposicion 4.0.8. Si T esta densamente definido, las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. T es simetrico.

2. T ⊆ T ∗.

3. 〈Tf, f〉 ∈ R, ∀f ∈ dom(T ).

Demostracion.

1) ⇒ 2) : Sea f ∈ dom(T ). Existe entonces g = Tf tal que 〈Th, f〉 = 〈h, g〉, ∀h ∈ dom(T ). Estoimplica que f ∈ dom(T ∗) y que T ∗f = g = Tf , ∀f ∈ dom(T ).

2)⇒ 3) : Si f ∈ dom(T ), 〈Tf, f〉 = 〈T ∗f, f〉 = 〈f, Tf〉 = 〈Tf, f〉. Esto implica que 〈Tf, f〉 ∈ R.

3)⇒ 1) : Supongamos que 〈Tf, f〉 ∈ R ∀f ∈ dom(T ). Dada g ∈ dom(T ), se tiene que

〈T (f + g), f + g〉 = 〈Tf, f〉+ 〈Tg, g〉+ 〈Tg, f〉+ 〈Tf, g〉 ,

〈f + g, T (f + g)〉 = 〈f, Tf〉+ 〈g, Tg〉+ 〈g, Tf〉+ 〈f, Tg〉 .

Dado que 〈T (f + g), f + g〉 = 〈f + g, T (f + g)〉, se tiene que

〈f, Tg〉+ 〈Tf, g〉 = 〈Tf, g〉+ 〈f, Tg〉

con lo cual,Im 〈Tf, g〉 = Im 〈f, Tg〉 . (4)

Utilizando el mismo razonamiento para 〈T (f + ig), f + ig〉, se llega a que

〈f, Tg〉+ 〈f, Tg〉 = 〈Tf, g〉+ 〈Tf, g〉

con lo cual,Re 〈f, Tg〉 = Re 〈Tf, g〉 (5)

De las igualdades (4) y (5), se deduce que 〈Tf, g〉 = 〈f, Tg〉.

Observacion 4.0.9. Si T es simetrico, el hecho de que T ⊆ T ∗ implica que dom(T ∗) es denso.Entonces, T es clausurable por la proposicion 3.0.29. 4

Definicion 4.0.10. Un operador densamente definido T : H → H es autoadjunto si T = T ∗.


4 OPERADORES SIMETRICOS Y AUTOADJUNTOS

Vamos a hacer hincapie en que la condicion de que T = T ∗ en la definicion anterior llevaconsigo el requisito de que dom(T ) = dom(T ∗). Ahora, claramente cada operador autoadjunto essimetrico, pero el ejemplo 3.0.33 muestra que hay operadores simetricos que no son autoadjuntos.Sin embargo, si un operador es acotado, entonces es autoadjunto si y solo si es simetrico.

Notemos que la proposicion 3.0.29 implica que un operador autoadjunto es necesariamentecerrado.

Proposicion 4.0.11. Supongamos que T es un operador simetrico sobre H.

1. Si ran(T ) es denso, entonces T es inyectivo.

2. Si T = T ∗ y T es inyectivo, entonces ran(T ) es denso y T−1 es autoadjunto.

3. Si dom(T ) = H, entonces T = T ∗ y T es acotado.

4. Si ran(T ) = H, entonces T = T ∗ y T−1 ∈ B(H).

Demostracion. 1. Por la proposicion 3.0.35 sabemos que ker(T ∗) = (0). Dado que T ⊆ T ∗,tenemos que ker(T ) = (0).

2. Aplicando 3.0.35 se deduce que ran(T )⊥ = (0), con lo cual, ran(T ) es denso en H.

Para probar que T−1 es autoadjunto, notemos que

(T−1)∗T ∗ ⊆ (TT−1)∗ = I ⇒ (T−1)∗ = (T ∗)−1.

3. Sabemos que T ⊆ T ∗. Si dom(T ) = H, entonces T = T ∗ y por el Teorema del Grafico Cerrado,T ∈ B(H).

4. Si ran(T ) = H, entonces por (1) T es inyectivo. Sea S = T−1 con dom(S) = ran(T ) = H. Sif = Tg y h = Tk con g, k ∈ dom(T ), entonces 〈Sf, h〉 = 〈g, Tk〉 = 〈Tg, k〉 = 〈f, k〉 = 〈f, Sh〉.Luego, S es simetrico. Por (3), S = S∗ ∈ B(H) y por (2), T = S−1 es autoadjunto.

Ahora centraremos nuestra atencion en las propiedades espectrales de operadores simetricos yautoadjuntos. En particular, se vera que los operadores simetricos pueden tener numeros no realesen sus espectros, aunque la naturaleza del espectro puede ser completamente caracterizada. Losoperadores autoadjuntos, sin embargo, deben tener espectro real. El siguiente resultado inicia elanalisis del espectro.

Proposicion 4.0.12. Sea T un operador simetrico y λ = α+ iβ, con α, β ∈ R.

1. Para cada f ∈ dom(T ), ‖(T − λI)f‖2 = ‖(T − αI)f‖2 + β2 ‖f‖2.

2. Si β 6= 0, ker(T − λI) = (0).

3. Si T es cerrado y β 6= 0, ran(T − λI) es cerrado.

Demostracion. Notemos que

‖(T − λI)f‖2 = ‖(T − αI)f − iβf‖2

= ‖(T − αI)f‖2 + 2Re i 〈(T − αI)f, βf〉+ β2 ‖f‖2 .


Pero 〈(T − αI)f, βf〉 = β 〈Tf, f〉 − αβ ‖f‖2 ∈ R, con lo cual, se verifica (1).El inciso (2) es inmediato de (1). Para probar (3), notemos que ‖(T − λI)f‖2 ≥ β2 ‖f‖2. Sea

fn ⊆ dom(T ) tal que (T − λI)fn −→ g. La desigualdad anterior implica que fn es una sucesionde Cauchy en H. En efecto,

β2||fn − fm||2 ≤ ||(T − αI)(fn − fm)||2 + β2||fn − fm||2 = ||(T − λI)(fn − fm)||2 −→ 0.

Sea entonces f = lım fn. Observemos que fn⊕(T−λI)fn ∈ gra(T−λI) y fn⊕(T−λI)fn −→ f⊕g,con lo cual f ⊕ g ∈ gra(T − λI) y ası g = (T − λI)f ∈ ran(T − λI).

Por lo tanto, ran(T − λI) es cerrado.

Lema 4.0.13. SiM yN son subespacios cerrados deH yM∩N⊥ = (0), entonces dimM≤ dimN .

Demostracion. Sea P la proyeccion ortogonal de H en N y definamos T :M→ N por Tf = Pfpara f ∈ M. Dado que M∩N⊥ = (0), T es inyectivo. Si L es un subespacio de M de dimensionfinita, dimL = dimTL ≤ dimN . Como L es arbitrario, dimM≤ dimN .

Teorema 4.0.14. Si T es un operador simetrico cerrado, entonces dimker(T ∗ − λI) es constantepara Im(λ) > 0 y constante para Im(λ) < 0.

Demostracion. Sea λ = α+ iβ, α, β ∈ R, β 6= 0.Afirmamos que si |λ− µ| < |β|, entonces ker(T ∗−µI)∩[ker(T ∗ − λI)]⊥ = (0). Supongamos que

esto no es ası. Entonces ∃f ∈ ker(T ∗−µI)∩ [ker(T ∗ − λI)]⊥ con ‖f‖ = 1. Por 4.0.12, ran(T −λI)es cerrado. Luego, f ∈ [ker(T ∗ − λI)]⊥ = ran(T − λI). Sea g ∈ dom(T ) tal que f = (T − λI)g.Dado que f ∈ ker(T ∗ − µI),

0 = 〈(T ∗ − µI)f, g〉 = 〈f, (T − µI)g〉=⟨f, (T − λI + λI − µI)g

⟩= ‖f‖2 + (λ− µ) 〈f, g〉 .

Por lo tanto, 1 = ‖f‖2 = |λ− µ| |〈f, g〉| ≤ |λ− µ| ‖g‖. Pero nuevamente la proposicion 4.0.12implica que 1 = ‖f‖ =

∥∥(T − λI)g∥∥ ≥ |β| ‖g‖, con lo cual ‖g‖ ≤ |β|−1.

Se sigue que 1 ≤ |λ− µ| ‖g‖ ≤ |λ− µ| |β|−1 < 1 si |λ− µ| < |β|, contradiciendo la hipotesis. Estehecho y el lema 4.0.13, nos dicen que dimker(T ∗−µI) ≤ dimker(T ∗−λI) si |λ− µ| < |β| = |Imλ|.Notemos que si |λ− µ| < 1

2 |β|, entonces |λ− µ| < |Imµ|, de modo que la desigualdad contrariatambien es valida. Esto muestra que la funcion λ 7→ dimker(T ∗−λI) es localmente constante sobreC − R. Cubriendo el semiplano superior (resp. inferior) con bolas donde se cumpla lo anterior, sellega a que dimker(T ∗ − λI) es constante para Im(λ) > 0 (resp. Im(λ) < 0).

Teorema 4.0.15. Si T es un operador simetrico cerrado, entonces ocurre una y solo una de lassiguientes posibilidades:

1. σ(T ) = C.

2. σ(T ) = λ ∈ C : Im(λ) ≥ 0.

3. σ(T ) = λ ∈ C : Im(λ) ≤ 0.

4. σ(T ) ⊆ R.



Demostracion. Sea H± = λ ∈ C : ± Im(λ) > 0. Por 4.0.12, para λ ∈ H±, T − λI es inyectivo ytiene rango cerrado. Luego, si T − λI es suryectivo entonces λ ∈ ρ(T ) por 4.0.11.

Sabemos que [ran(T − λI)]⊥ = ker(T ∗ − λI). Dado que ran(T − λI) es cerrado, se tiene queran(T − λI) = ker(T ∗ − λI)⊥. Luego, T − λI es suryectivo si y solo si ker(T ∗ − λI) = (0). Dadoque σ(T ) es cerrado, el teorema anterior implica que

H± ⊂ σ(T )⇒ σ(T ) = C

H+ ⊂ σ(T ), H− ∩ σ(T ) = ∅ ⇒ σ(T ) = H+ = λ ∈ C : Imλ ≥ 0

H− ⊂ σ(T ), H+ ∩ σ(T ) = ∅ ⇒ σ(T ) = H− = λ ∈ C : Imλ ≤ 0

H+ ∩ σ(T ) = ∅, H− ∩ σ(T ) = ∅ ⇒ σ(T ) ⊆ R

Corolario 4.0.16. Si T es un operador simetrico cerrado, las siguientes condiciones son equiva-lentes:

1. T es autoadjunto.

2. σ(T ) ⊆ R.

3. ker(T ∗ − iI) = ker(T ∗ + iI) = (0).

Demostracion.

1)⇒ 2) : Si T es simetrico, entonces cada autovalor de T es real (Ejercicio 4.1.1). Si T es autoadjuntoy λ ∈ C\R, por la proposicion 4.0.12

(0) = ker(T − λI) = ker(T ∗ − λI) = ran(T − λI)⊥ ⇒ ran(T − λI) = H

y por el teorema anterior, se deduce que σ(T ) ⊆ R.

2)⇒ 3) : Si σ(T ) ⊆ R, ker(T ∗ ± iI) = [ran(T ∓ iI)]⊥ = H⊥ = (0).

3) ⇒ 1) : Si se verifica (3), entonces esto, combinado con 4.0.12 (3) y 3.0.35, implica que T + iIes suryectivo. Sea h ∈ dom(T ∗). Luego existe f ∈ dom(T ) tal que (T + iI)f = (T ∗ + iI)h. PeroT ∗+iI ⊇ T+iI, con lo cual (T ∗+iI)f = (T ∗+iI)h, siendo T ∗+iI es inyectivo. Ası h = f ∈ dom(T ),por lo tanto, T = T ∗.

Puede ocurrir que un operador simetrico T falla en ser autoadjunto debido a que su dominio esdemasiado pequeno, y esto puede ser rectificado mediante el aumento del tamano del mismo. Enefecto, si T es el operador simetrico del ejemplo 3.0.33, entonces el operador S del ejemplo 3.0.34es una extension autoadjunta de T .

Definicion 4.0.17. Un operador simetrico T definido sobre H es llamado operador simetricomaximal si T ⊆ S, S simetrico⇒ S = T.

Proposicion 4.0.18.

(a) Todo operador simetrico tiene una extension simetrica maximal.

(b) Las extensiones simetricas maximales son cerradas.


(c) Un operador autoadjunto es un operador simetrico maximal.

Demostracion. La prueba de (a) se deduce del Lema de Zorn. Para mostrar (b), notemos que si Tes simetrico, entonces es clausurable.Ahora bien, la clausura de un operador simetrico es simetrica(Ejercicio 4.1.3), por lo que se deduce (b). Para la prueba de (c), sea T un operador autoadjunto,S un operador simetrico y T ⊆ S. Dado que S∗ ⊆ T ∗, se tiene que

S ⊆ S∗ ⊆ T ∗ = T ⊆ S,

con lo cual, S = T .

Observacion 4.0.19. La prueba de (c) muestra que cada extension simetrica de un operador Tes una restriccion de T ∗. 4

Definicion 4.0.20. Sea T un operador simetrico cerrado. Los subespacios de deficiencia de Tson los espacios

L+ = ker(T ∗ − iI) = [ran(T + iI)]⊥ ,

L− = ker(T ∗ + iI) = [ran(T − iI)]⊥ .

Los ındices de deficiencia de T son los numeros n± = dimL±.

Con el fin de estudiar las extensiones simetricas cerradas de un operador simetrico, tambienintroducimos los espacios

K+ = f ⊕ if : f ∈ L+ ,

K− = g ⊕ (−ig) : g ∈ L− .

Ası, K± 6 H⊕H. Notar que K± estan contenidos en gra(T ∗) y son las porciones del grafico deT ∗ que se encuentran sobre L±. El siguiente lema mostrara por que los subespacios de deficienciase denominan ası.

Lema 4.0.21. Si T es un operador simetrico cerrado, entonces

gra(T ∗) = gra(T )⊕K+ ⊕K−

Demostracion. Sea f ∈ L+ y h ∈ dom(T ). Entonces

〈h⊕ Th, f ⊕ if〉 = 〈h, f〉 − i 〈Th, f〉= −i 〈(T + iI)h, f〉= 0,

pues L+ = [ran(T + iI)]⊥. Se puede probar que gra(T ), K+ y K− son ortogonales de a pares. Dadoque es claro que gra(T ) ⊕ K+ ⊕ K− ⊆ gra(T ∗), nos queda por demostrar que la suma directa esdensa en gra(T ∗).

Sea h ∈ dom(T ∗) tal que h⊕T ∗h⊥ gra(T )⊕K+⊕K−. Dado que h⊕T ∗h⊥ gra(T ), se tiene que0 = 〈h⊕ T ∗h, f ⊕ Tf〉 = 〈h, f〉 + 〈T ∗h, Tf〉, ∀f ∈ dom(T ). Luego, 〈T ∗h, Tf〉 = −〈h, f〉, con locual, T ∗h ∈ dom(T ∗) y T ∗T ∗h = −h. Por lo tanto, (T ∗ − iI)(T ∗ + iI)h = (T ∗T ∗ + I)h = 0. Ası,(T ∗ + iI)h ∈ L+. Invirtiendo el orden de estos factores, se prueba que (T ∗ − iI)h ∈ L−. Pero sig ∈ L+, 0 = 〈h⊕ T ∗h, g ⊕ ig〉 = 〈h, g〉 − i 〈T ∗h, g〉 = −i 〈(T ∗ + iI)h, g〉. Dado que g puede sertomado igual a (T ∗ + iI)h, tenemos que (T ∗ + iI)h = 0 o sea, h ∈ L−. Analogamente, h ∈ L+.Luego, h ∈ L+ ∩ L− = (0).



Definicion 4.0.22. Si T es un operador simetrico cerrado yM es una variedad lineal en dom(T ∗),entonces M se dice T -simetrica si 〈T ∗f, g〉 = 〈f, T ∗g〉, ∀f, g ∈ M. Llamaremos a la variedad MT -cerrada si f ⊕ T ∗f : f ∈M es cerrado en H⊕H.

Observacion 4.0.23. M es tanto T -simetrica como T -cerrada cuando T ∗|M, la restriccion de T ∗

aM, es un operador simetrico cerrado; si dom(T ) ⊆M, entonces T ∗|M es una extension simetricacerrada de T . 4

Lema 4.0.24. Si T es un operador simetrico cerrado sobre H y S es una extension simetricacerrada de T , entonces existe una subvariedad M T -simetrica y T -cerrada de L+ + L−, tal que

gra(S) = gra(T ) + gra(T ∗|M). (6)

Recıprocamente, si M es una variedad T -simetrica y T -cerrada en L+ + L−, entonces existe unaextension simetrica cerrada S de T de modo tal que (6) se cumple.

Demostracion. Supongamos que la variedad M T -simetrica y T -cerrada en L+ + L− esta dada, ysea D = dom(T ) +M. Dado que D ⊆ dom(T ∗), S = T ∗|D esta bien definido. Sean f = f0 + f1,g = g0 + g1, con f0, g0 ∈ dom(T ) y f1, g1 ∈M. Entonces,

〈T ∗f, g〉 = 〈T ∗f0 + T ∗f1, g0 + g1〉= 〈Tf0, g0〉+ 〈Tf0, g1〉+ 〈T ∗f1, g0〉+ 〈T ∗f1, g1〉 .

Utilizando la T -simetrıa de M, la simetrıa de T y la definicion de T ∗, tenemos que

〈T ∗f, g〉 = 〈f0, T g0〉+ 〈f0, T ∗g1〉+ 〈f1, T g0〉+ 〈f1, T ∗g1〉= 〈f, T ∗g〉 .

Ası, S = T ∗|D es simetrico. Notar que gra(T )⊥ gra(T ∗|M) en H ⊕ H. Como estos espacios soncerrados, gra(S) definido como en (6) es cerrado.

Sea ahora S una extension simetrica cerrada de T . Ya sabemos que T ⊆ S ⊆ T ∗, de modo quegra(T ) ⊆ gra(S) ⊆ gra(T ∗) = gra(T )⊕K+⊕K−. Sea G = gra(S)∩(K+⊕K−) y seaM el conjuntode las primeras coordenadas de elementos en G. Se sigue que M es una variedad en L+ + L− yM ⊆ dom(S). Entonces, para f, g ∈ M, se tiene que 〈T ∗f, g〉 = 〈Sf, g〉 = 〈f, Sg〉 = 〈f, T ∗g〉. Ası,M es T -simetrica. Es claro que gra(T ∗|M) = G, con lo cual M es T -cerrada. Si h⊕ Sh ∈ gra(S),sea h⊕ Sh = (f ⊕ Tf) + k, donde f ∈ dom(T ) y k ∈ K+⊕K−. Dado que T ⊆ S, k ∈ gra(S) y ası,k ∈ G. Se sigue que gra(S) = gra(T ) + gra(T ∗|M).

Teorema 4.0.25. Sea T un operador simetrico cerrado. Si W es una isometrıa parcial con espacioinicial3 en L+ y espacio final4 en L−, sea

DW = f + g +Wg : f ∈ dom(T ), g ∈ L+ (7)

y definimos TW sobre DW por

TW (f + g +Wg) = Tf + ig − iWg. (8)

3Se llama Espacio Inicial de un operador U al espacio ker(U)⊥.4Se llama Espacio Final de un operador U al espacio ran(U).


Entonces TW es una extension simetrica cerrada de T . Recıprocamente, si S es cualquier extensionsimetrica cerrada de T , existe una unica isometrıa parcial W tal que S = TW como en (8).

Si W tiene rango finito y es una isometrıa parcial, entonces

n±(TW ) = n±(T )− dim ran(W ).

Demostracion. Sea W una isometrıa parcial con espacio inicial I+ en L+ y espacio final I− en L−.Definimos DW y TW como en (7) y (8). Sea M = g +Wg : g ∈ I+; luego M es una variedad enL+ + L−. Si g, h ∈ I+, entonces 〈Wg,Wh〉 = 〈g, h〉. Entonces,

〈T ∗(g +Wg), h+Wh〉 = 〈T ∗g, h〉+ 〈T ∗g,Wh〉+ 〈T ∗Wg, h〉+ 〈T ∗Wg,Wh〉 .

Dado que g ∈ ker(T ∗ − iI) y Wg ∈ ker(T ∗ + iI),

〈T ∗(g +Wg), h+Wh〉 = i 〈g, h〉+ i 〈g,Wh〉 − i 〈Wg, h〉 − i 〈Wg,Wh〉= i 〈g,Wh〉 − i 〈Wg, h〉 .

Analogamente, 〈g +Wg, T ∗(h+Wh)〉 = i 〈g,Wh〉 − i 〈Wg, h〉, de modo que M es T -simetrica. Sign ⊆ I+ y (gn +Wgn)⊕ (ign − iWgn) −→ f ⊕ h en H⊕H, entonces

2ign = i(gn +Wgn) + (ign − iWgn) −→ if + h,

2iWgn = i(gn +Wgn)− (ign − iWgn) −→ if − h.

Si g = (2i)−1(if + h), entonces f = g +Wg y h = ig − iWg. Luego, M es T -cerrada. Por el lema4.0.24, TW es una extension simetrica cerrada de T .

Para probar que n+(TW ) = n+(T )− dim(I+), sea f ∈ dom(T ), g ∈ I+. Entonces,

(TW + iI)(f + g +Wg) = (T + iI)f + ig − iWg + ig + iWg

= (T + iI)f + 2ig.

Luego, ran(TW + iI) = ran(T + iI)⊕ I+, y ası n+(TW ) = dim(ran(TW + iI)⊥) = dim(L+ I+) =n+(T )− dim(I+). Analogamente, n−(TW ) = n−(T )− dim(I−) = n−(T )− dim(I+).

Sea ahora S una extension simetrica cerrada de T . Por el lema 4.0.24 existe una variedadM T -simetrica, T -cerrada en L+ + L− tal que gra(S) = gra(T ) + gra(T ∗|M). Si f ∈ M, seaf = f+ + f−, donde f± ∈ L± y ponemos I+ = f+ : f ∈M. Dado que M es T -simetrica,0 = 〈T ∗f, f〉 − 〈f, T ∗f〉 = 2i 〈f+, f+〉 − 2i 〈f−, f−〉; entonces ||f+|| = ||f−||, ∀f ∈ M. Ası, siWf+ = f− cuando f = f+ + f−M y si I+ es cerrado, W es una isometrıa parcial y se cumplen(7) y (8).

Queda por demostrar que I+ es cerrado. Supongamos que fn ⊆ M y f+n −→ g+ en L+. Dadoque ||f+n − f+m|| = ||f−n − f−m||, existe g− ∈ L− tal que f−n −→ g−. Es claro que fn −→ g+ + g− = g.Tambien, T ∗f±n = ±if±n −→ ±ig±. Se sigue que g⊕ T ∗g ∈ gra(T ∗|M) = gra(T ∗|M); ası g+ ∈ I+.

Corolario 4.0.26. Sea T un operador simetrico cerrado con ındices de deficiencia n±.

(a) T es autoadjunto si y solo si n+ = n− = 0.

(b) T tiene una extension autoadjunta si y solo si n+ = n−. En este caso, el conjunto de lasextensiones autoadjuntas esta en correspondencia natural con el conjunto de isomorfismos de L+en L−.



(c) T es un operador simetrico maximal que no es autoadjunto si y solo si n+ = 0 y n− > 0 o n+ > 0y n− = 0.

Demostracion. El ıtem (a) es una reformulacion del corolario 4.0.16. Para (b), n+ = n− si y solosi L+ y L− son isomorfos. Esto, a su vez, es equivalente a afirmar que existe una isometrıa parcialsobre H con espacio inicial L+ y espacio final L−. El ıtem (c) se deduce inmediatamente del teoremaanterior.

Ejemplo 4.0.27. Sea T y D como en 3.0.33; luego T es simetrico. El operador S del ejemplo3.0.34 es una extension autoadjunta de T . Determinemos ahora todas las extensiones autoadjuntasde T . Para hacer esto es necesario determinar L±. Ahora bien, f ∈ L± si y solo si f ∈ dom(T ∗) y±if = T ∗f = if ′, con lo cual L± = αe±x : α ∈ C. Luego, n± = 1. Ademas, los isomorfismos deL+ en L− son de la forma Wλe

x = λe−x, donde |λ| = 1. Si |λ| = 1, sea

Dλ ≡f + αex + λαe−x : α ∈ C, f ∈ D

,

Tλ(f + αex + λαe−x) = if ′ + αiex − iλαe−x,

con f ∈ D, α ∈ C.De acuerdo al teorema 4.0.25, (Tλ,Dλ) : |λ| = 1 son todas las extensiones autoadjuntas de T .

El operador S del ejemplo 3.0.34 es la extension T1.


4.1 Ejercicios

4.1. Ejercicios

4.1.1. Si T es simetrico, mostrar que todos los autovalores de T son reales.

Demostracion. En 4.0.12 vimos que para λ = α+ iβ, si β 6= 0 entonces ker(T − λI) = (0). Luego,si ker(T − λI) 6= (0) resulta λ ∈ R.

4.1.2. Si T es simetrico y λ, µ son autovalores distintos, mostrar que ker(T − λI)⊥ ker(T − µI).

Demostracion. Sean λ, µ autovalores distintos de T y x ∈ ker(T − λI), y ∈ ker(T − µI) . Luego,

λ 〈x, y〉 = 〈λx, y〉 = 〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉 = 〈x, µy〉 = µ 〈x, y〉

con λ 6= µ. Por lo tanto, 〈x, y〉 = 0.

4.1.3. Mostrar que la clausura de un operador simetrico es simetrica.

Demostracion. Ya sabemos que un operador simetrico es clausurable. Para todos x, y ∈ dom(T ),existen xnn , ymm ⊆ Dom(T ) tales que xn −→ x, Txn −→ Tx, ym −→ y y Tym −→ Ty. Ası,⟨

Tx, y⟩

= lımn,m〈Txn, ym〉 = lım

n,m〈xn, Tym〉 =

⟨x, Ty

⟩.

4.1.4. Sea D el conjunto de todas las funciones f ∈ L2(0,∞) tales que ∀c > 0, f es absolutamentecontinua sobre [0, c], f(0) = 0 y f ′ ∈ L2(0,∞). Definimos Tf = if ′, para f ∈ D. Mostrar que T esun operador cerrado densamente definido y hallar dom(T ∗). Mostrar que T es simetrico con ındicesde deficiencia n+ = 0 y n− = 1.

Demostracion. T es un operador densamente definido dado que D contiene a las funciones de claseC∞(0,∞) con soporte compacto.

Veamos que T es cerrado. Supongamos que fn ⊆ D y fn ⊕ if ′n −→ f ⊕ g en L2 ⊕ L2. Seah(x) = −i

∫ x0 g(t)dt. Luego, h es absolutamente continua en [0, c], para cada c > 0. Ademas,

|fn(x)− h(x)| =∣∣∣∣∫ x

0

[f ′n(t) + ig(t)

]dt

∣∣∣∣ ≤ ∥∥if ′n − g∥∥L2([0, x]),

para cada x ∈ [0,∞). Ası, f = h a.e, f(0) = 0 y h ∈ L2(0,∞) pues f ∈ L2(0,∞).

Por ultimo, f ′(x) = −ig(x) ∈ L2(0,∞); con lo cual f ∈ D y Tf = g, como querıamos probar.

Veamos que

dom(T ∗) =g ∈ L2(0,∞) : ∀c > 0 g es absolutamente continua sobre [0, c] , g′ ∈ L2(0,∞)

.

Dado g ∈ dom(T ∗), sea h = T ∗g. Luego,∀f ∈ D∫ ∞0

if ′(x)g(x)dx =

∫ ∞0

f(x)h(x)dx.



Reemplazando por las funciones fn ∈ D definidas por fn =

1 six ∈ [x0, t],0 six ≥ t+ 1

n , x ≤ x0 −1n ,

lineal en el resto

,

nos queda

n

∫ x0

x0− 1n

ig(x)dx− n∫ t+ 1

n

tig(x)dx =

∫ ∞0

fn(x)h(x)dx.

Tomando lımite para n −→∞, se tiene

ig(x0)− ig(t) =

∫ t

x0

h(x)dx,

para casi todo x0 y t. Luego, h es integrable sobre cualquier intervalo finito; con lo cual g esabsolutamente continua sobre [0, c], para cada c > 0. Ademas, −ig′(t) = h(t) ∈ L2(0,∞) para casitodo t y ası T ∗g = −ig′.

Por otro lado, sea g ∈ L2(0,∞) tal que para cada c > 0 g es absolutamente continua en [0, c]y g′ ∈ L2(0,∞); y sea f ∈ D. Dado que T es cerrado, usando la densidad de C∞c (0,∞) en D y elmetodo de la diagonal, se sigue que existe fn ⊆ C∞c (0,∞) tal que fn −→ f y Tfn −→ Tf .Luego,

〈Tf, g〉 = lımn→∞

〈Tfn, g〉 = lımn→∞

∫ ∞0

if ′n(x)g(x)dx

= lımn→∞

−∫ ∞0

ifn(x)g′(x)dx = lımn→∞

〈fn, T g〉 = 〈f, Tg〉 .

Por lo tanto, dom(T ∗) contiene a las funciones g ∈ L2(0,∞) tales que para cada c > 0, g esabsolutamente continua sobre [0, c], g′ ∈ L2(0,∞) y T es simetrico.

Hallemos los ındices de deficiencia de T . Para ello, notemos que si f ∈ ker(T ∗ − iI), entoncesif ′ − if = 0, con lo cual f(x) = αex, α ∈ C; pero f /∈ dom(T ∗), por lo que ker(T ∗ − iI) = (0) yası n+ = 0.

Por otra parte, si f ∈ ker(T ∗ + iI) entonces if ′ + if = 0, con lo cual f(x) = αe−x, α ∈ C, yf ∈ dom(T ∗), por lo que n− = dimker(T ∗ + iI) = 1.

4.1.5. Sea E el conjunto de todas las funciones f ∈ L2(−∞, 0) tales que ∀c < 0, f es absolutamentecontinua sobre [c, 0], f(0) = 0 y f ′ ∈ L2(−∞, 0). Definimos Tf = if ′, para f ∈ E . Mostrar queT es un operador cerrado densamente definido y hallar dom(T ∗). Mostrar que T es simetrico conındices de deficiencia n+ = 1 y n− = 0.

Demostracion. Es inmediato del ejercicio anterior.

4.1.6. Si k, l son enteros no negativos o ∞, mostrar que existe un operador simetrico cerrado Tcon n+ = k y n− = l. (Sugerencia: Usar los ejercicios 4.1.4 y 4.1.5)

Demostracion. Consideremos primero el caso en que k y l son finitos.Para cada i = 1, . . . , l, sea Ti el operador definido en 4.1.4, y para i = l + 1, . . . , l + k, sea Ti el

operador definido en 4.1.5. Definimos el operador

T =

k+l⊕i=1

Ti,


4.1 Ejercicios

donde dom(T ) es el conjunto de vectores de la forma f = (f1, f2, . . . , fk+l), con fn ∈ dom(Tn).Luego, T es cerrado, simetrico y

n±(T ) =k+l∑i=1

n±(Ti).

Para i = 1, . . . , l, n+(Ti) = 0 y n−(Ti) = 1 y para i = l+ 1, . . . , l+ k, n+(Ti) = 1 y n−(Ti) = 0.Por lo tanto, n+ = k y n− = l.

Para el caso en que k =∞ y l finito, definimos T =

∞⊕i=1

Ti, con Ti definido como en 4.1.4 para

i = 1, . . . , l y Ti como en 4.1.5 para i ≥ l+ 1, donde dom(T ) es el conjunto de vectores de la formaf = (f1, . . . , fn, . . .), con fi ∈ dom(Ti).

Luego, T es cerrado, simetrico y n± =∞∑i=1

n±(Ti). Se sigue que n+ = k y n− = l.

Para el caso en que k = l =∞, se utiliza un razonamiento similar al anterior.

4.1.7. Sea C2c (0, 1) el conjunto de las funciones definidas sobre (0, 1) con derivada segunda continua

y soporte compacto, y sea Tf = −f ′′ para f ∈ C2c (0, 1). Mostrar que la clausura de T es un operador

simetrico densamente definido y determinar todas sus extensiones autoadjuntas.

Demostracion. El hecho de que la clausura de T es un operador densamente definido se sigue de3.0.29. Veamos que T es simetrico. Dadas f, g ∈ C2

c (0, 1), existen fn , gm ⊆ C2c (0, 1) tales que

fn −→ f , Tfn −→ Tf , gm −→ g y Tgm −→ Tg. Luego,

⟨Tf, g

⟩= lım

n,m〈Tfn, gm〉 = lım

n,m

∫ 1

0−f ′′ngmdx = lım

n,m

∫ 1

0f ′ng′mdx

= lımn,m

∫ 1

0−fng′′mdx = lım

n,m〈fn, T gm〉 =

⟨f, Tg

⟩.

Para estudiar las extensiones autodjuntas, recordemos que T = T ∗∗. Se puede ver que

dom(T ∗) =f ∈ L2(0, 1) : f ′ es absolutamente continua en (0, 1), f ′′ ∈ L2(0, 1)

,

dom(T ∗∗) =f ∈ L2(0, 1) : f ′ es absolutamente continua en (0, 1), f ′′ ∈ L2(0, 1), f(0) = 0 = f ′(0)

y T ∗f = −f ′′, T ∗∗f = −f ′′.

Determinemos L±. Ahora bien, f ∈ L± si y solo si f ∈ dom(T∗) y −f ′′ ∓ if = 0. Para

−f ′′ − if = 0, se tendra f(x) = e(−1+i√

2)x

, f(x) = e( 1−i√

2)x

; y para −f ′′ + if = 0, f(x) = e( 1+i√

2)x

,

f(x) = e(−1−i√

2)x

. Por otra parte, los isomorfismos de L+ en L− estan dados por Wλ(z) = λz con|λ| = 1. Ası, si

Dλ =f + αe

(−1+i√2

)x+ βe

( 1−i√2)x

+ λαe(−1−i√

2)x

+ λβe( 1+i√

2)x, α, β ∈ C, f ∈ C2

c (0, 1),

TW (f+αe(−1+i√

2)x

+βe( 1−i√

2)x

+λαe(−1−i√

2)x

+λβe( 1+i√

2)x

) = −f ′′+iαe(−1+i√

2)x

+iβe( 1−i√

2)x−λαie(

−1−i√2

)x−λβie(1+i√

2)x,

entonces (TW , Dλ) : |λ| = 1 son todas las extensiones autoadjuntas de T .

4.1.8. Si T ∈ C(H), mostrar que T ∗T es autoadjunto.



Demostracion. Sea S = I + TT ∗. En el ejercicio 3.1.6 se definieron los operadores B y C mediantela ecuacion

〈0, h〉 = 〈−TBh,Bh〉+ 〈Ch, T ∗Ch〉

y se mostro que BS ⊆ I y SB = I, de modo que B es inyectivo de H en Dom(S).Si h ∈ H, entonces h = Sx para algun x ∈ Dom(S). Luego,

〈Bh, h〉 = 〈BSx, Sx〉 = 〈x, Sx〉 ≥ 0,

pues 〈x, x〉 + 〈Tx, Tx〉 = 〈x, x〉 + 〈x, T ∗Tx〉 = 〈x, Sx〉 . Por 2.0.17, B es autoadjunto y por 4.0.11,S es autoadjunto. Luego, T ∗T = S − I es autoadjunto.


5. La Transformada de Cayley

Consideremos la transformacion de Mobius

M(z) =z − iz + i

.

Esta transformacion aplica el semiplano superior complejo en el disco D = z ∈ C : |z| < 1 yM(R ∪ ∞) = ∂D. Luego, si T es autoadjunto, M(T ) deberıa ser unitario. Supongamos que T essimetrico. ¿Tiene sentido M(T )? ¿Que es M(T )?

Para responder estas preguntas, primero debemos investigar el significado de M(T ) si T essimetrico. Podemos definir M(T ) como (T − iI)(T + iI)−1. Como hemos visto en la ultima seccion,ran(T + iI) no es necesariamente todo H si T no es autoadjunto. En efecto, ran(T + iI)⊥ = L+y ran(T − iI)⊥ = L−. Sin embargo (4.0.12), si T es cerrado y simetrico, ran(T ± iI) es cerrado.Ademas, observar que si w = M(z), entonces z = M−1(w) = i1+w1−w .

Teorema 5.0.9.

(a) Si T es un operador simetrico cerrado, con subespacios de deficiencia L±, y si U : H → H sedefine tomando U = 0 sobre L+ y

U = (T − iI)(T + iI)−1 (9)

sobre L⊥+, entonces U es una isometrıa parcial con espacio inicial L⊥+, espacio final L⊥−, y tal que(I − U)(L⊥+) es denso en H.

(b) Si U es una isometrıa parcial con espacios inicial y final M y N , respectivamente, y tal que(I − U)M es denso en H, entonces

T = i(I + U)(I − U)−1 (10)

es un operador simetrico cerrado, densamente definido, con subespacios de deficiencia son L+ =M⊥y L− = N⊥.

(c) Si T esta dado como en (a) y U esta definido por (9), entonces T y U satisfacen (10). Si Uesta dado como en (b) y T esta definido por (10), entonces T y U satisfacen (9).

Demostracion.

(a) Por 4.0.12, ran(T ± iI) es cerrado y ası L⊥± = ran(T ± iI). Ademas, ker(T + iI) = (0), con locual (T+iI)−1 esta bien definido sobre L⊥+. Mas aun, (T+iI)−1L⊥+ ⊆ dom(T ), por lo que U definidopor (9) tiene sentido y da un operador bien definido. Si h ∈ L⊥+, entonces h = (T + iI)f para ununico f ∈ dom(T ). Entonces, ||Uh||2 = ||(T − iI)f ||2 = ||Th||2 + ||f ||2 = ||(T + iI)f ||2 = ||h||2.Luego, U es una isometrıa parcial, ker(U)⊥ = L⊥+ y ran(U) = L⊥−. Una vez mas, si f ∈ dom(T )y h = (T + iI)f , entonces (I − U)h = h − (T − iI)f = (T + iI)f − (T − iI)f = 2if . Luego,(I − U)L⊥+ = dom(T ) y es denso en H.

(b) Sea U es una isometrıa parcial como indica (b). Se sigue que ker(I − U) = (0). En efecto, sif ∈ ker(I − U) entonces Uf = f , con lo cual ||f || = ||Uf || y ası f ∈ M.Dado que U∗U es laproyeccion sobre M, resulta f = U∗Uf = U∗f , con lo cual f ∈ ker(I − U∗) = [ran(I − U)]⊥ ⊆[(I − U)M]⊥ = (0), por hipotesis. Luego, f = 0 y el operador I − U es inyectivo.


5 LA TRANSFORMADA DE CAYLEY

Sea D = (I − U)M y definimos (I − U)−1 sobre D. Dado que I − U es acotado, gra(I − U)−1

es cerrado. Si T esta definido como en (10), se sigue que T es un operador cerrado densamentedefinido. Si f, g ∈ D, sea f = (I − U)h y g = (I − U)k, con h, k ∈M. Entonces,

〈Tf, g〉 = i 〈(I + U)h, (I − U)k〉= i [〈h, k〉+ 〈Uh, k〉 − 〈h, Uk〉 − 〈Uh,Uk〉] .

Dado que h, k ∈M, 〈Uh,Uk〉 = 〈h, k〉; entonces 〈Tf, g〉 = i [〈Uh, k〉 − 〈h, Uk〉]. De manera similar,〈f, Tg〉 = −i 〈(I − U)h, (I + U)k〉 = −i [〈h, Uk〉 − 〈Uh, k〉] = 〈Tf, g〉. Luego, T es simetrico.

Por ultimo, si h ∈M y f = (I−U)h, entonces (T+iI)f = Tf+if = i(I+U)h+i(I−U)h = 2ih.Ası, ran(T + iI) = M. Analogamente, (T − iI)f = i(I + U)h − i(I − U)h = 2iUh, de modo queran(T − iI) = ran(U) = N .

(c) Supongamos que T esta dado como en (a) y U esta definido como en (9). Si g ∈ (I − U)L⊥+,tomamos g = (I − U)h, donde h ∈ L⊥+ = ran(T + iI). Entonces h = (T + iI)f , para algunf ∈ dom(T ). Luego, g = h− Uh = (T + iI)f − (T − iI)f = 2if ; con lo cual f = −1

2 ig. Ademas,

i(I + U)(I − U)−1g = i(I + U)h

= i [h+ Uh]

= i [(T + iI)f + (T − iI)f ]

= 2iTf

= Tg.

Por lo tanto, (10) se cumple.Por ultimo, supongamos que U esta definido como en (b) y T esta definido por (10). Para

f = (I−U)h, h ∈ L⊥+ vimos que (T+iI)f = 2ih y (T−iI)f = 2iUh, con lo cual U(Tf+if) = Tf−ify ası se cumple (9).

Definicion 5.0.10. Si T es un operador simetrico cerrado, la isometrıa parcial U definida por (9)es llamada Transformada de Cayley de T .

Corolario 5.0.11. Si T es un operador autoadjunto y U es su transformada de Cayley, entoncesU es un operador unitario con ker(I − U) = (0). Recıprocamente, si U es unitario y 1 no es suautovalor, entonces el operador T definido por (10) es autoadjunto.

Demostracion. Si T es un operador simetrico, entonces T es autoadjunto si y solo si L± = (0). Unaisometrıa parcial es un operador unitario si y solo si sus espacios inicial y final son todo H.

Una de las utilidades de la transformada de Cayley es el estudio de operadores autoadjuntosmediante el uso de la teorıa de operadores unitarios. De hecho, los resultados anteriores dicen quehay una correspondencia biunıvoca entre los operadores autoadjuntos y el conjunto de operadoresunitarios sin el 1 como un valor propio.


5.1 Ejercicios

5.1. Ejercicios

5.1.1. Si U es una isometrıa parcial, mostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(a) ker(I − U) = (0).

(b) ker(I − U∗) = (0).

(c) ran(I − U) es denso.

(d) ran(I − U∗) es denso.

Demostracion.

a)⇒ b) : Supongamos que ker(I −U) = (0) y sea h ∈ ker(I −U∗). Luego, h = U∗h. En particular,h ∈ ran(U∗), con lo cual h ∈ ker(U)⊥ y de la igualdad anterior se sigue que

U∗Uh = U∗h. (11)

Por otra parte, h ∈ ran(U). En efecto, si escribimos h = h1⊕h2 con h1 ∈ ker(U∗) y h2 ∈ ker(U∗)⊥,resulta U∗h = U∗h2. Luego, ||h|| = ||U∗h|| = ||U∗h2|| = ||h2||. Ası, h1 = 0 y h ∈ ker(U∗)⊥. Por lotanto, de (11) se sigue que UU∗(Uh− h) = 0 y ası, Uh− h = 0, con lo cual h ∈ ker(I − U) = (0).

b)⇒ c) : Es inmediato de la proposicion 3.0.35.

c)⇒ d) : Se sigue de aplicar el teorema 3.0.35 y a)⇒ b).

d)⇒ a) : Es inmediato.

5.1.2. Sea U una isometrıa parcial con espacios inicial y final M y N , respectivamente. Mostrarque las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) (I − U)M es denso.

(b) (I − U∗)N es denso.

(c) ker(U∗ − U∗U) = (0).

(d) ker(U − UU∗) = (0).

Demostracion.

a)⇒ b) : Supongamos que (I −U)M es denso y sea x ∈ ((I −U∗)N )⊥. Luego, 〈x, (I − U∗)y〉 = 0,para todo y ∈ ran(U). Ası,

0 = 〈x, y〉 − 〈x, U∗y〉= 〈x, UU∗y〉 − 〈x, U∗y〉

pues y ∈ ker(U∗)⊥ y U∗ es isometrıa parcial. Por lo tanto, 〈x, (I − U)U∗y〉 = 0, con U∗y ∈ ker(U)⊥.Por hipotesis, x = 0.

b)⇒ c) : Sea (I −U∗)N denso y x ∈ ker(U∗−U∗U). Luego, U∗x−U∗Ux = 0. Notemos que, paray ∈ dom(U),

〈x, (I − U∗)Uy〉 = 〈x, Uy − U∗Uy〉= 〈x, Uy〉 − 〈x, U∗Uy〉= 〈U∗x, y〉 − 〈U∗Ux, y〉= 〈U∗x− U∗Ux, y〉 = 0

Por lo tanto, x = 0.


5 LA TRANSFORMADA DE CAYLEY

c)⇒ d) : Supongamos que ker(U∗−U∗U) = (0) y sea x ∈ ker(U −UU∗). Luego, Ux−UU∗x = 0,con lo cual, 0 = U∗Ux− U∗UU∗x = U∗Ux− U∗x. Por lo tanto, x ∈ ker(U∗ − U∗U) = (0).

d)⇒ a) : Supongamos que ker(U − UU∗) = (0) y sea 〈x, (I − U)y〉 = 0, ∀y ∈ ker(U)⊥. Entonces,

0 = 〈x, y〉 − 〈x, Uy〉= 〈x, U∗Uy〉 − 〈x, Uy〉= 〈U∗Ux, y〉 − 〈U∗x, y〉 ,

∀y ∈ ker(U)⊥, con lo cual, U∗Ux−U∗x ∈ ker(U). Luego, 0 = UU∗Ux−UU∗x = Ux−UU∗x, conlo cual x ∈ ker(U − UU∗) = (0).

5.1.3. Hallar una isometrıa parcial U tal que ker(I − U) = (0) pero que (I − U)ker(U)⊥ no seadenso.

Demostracion. Sea U el operador shift de multiplicidad 1, definido en 3.1.1. Si α = (αn)n∈N,entonces Uα = (0, α1, α2, α3, . . .).

El operador U es una isometrıa parcial. En efecto, ker(U) = (0) y ∀α ∈ l2,

‖Uα‖2 =∑n∈N|αn|2 = ‖α‖2 .

Por otra parte, si α− Uα = 0, entonces

(α1, α2 − α1, α3 − α2, . . .) = 0,

con lo cual, α = 0 y ker(I − U) = (0).

Por ultimo, notemos que si α ∈ ker(U∗(I − U)), entonces U∗((α1, α2 − α1, . . .)) = 0. Luego,(α2 − α1, α3 − α2, . . .) = 0. Por lo tanto, ker(U∗(I − U)) 6= (0), y por lo visto en el ejercicio 5.1.2,(I − U)ker(U)⊥ no es denso.

5.1.4. Si A es un operador simetrico, cerrado, densamente definido y B y C son los operadoresdefinidos en el ejercicio (3.1.6), verificar que la transformada de Cayley de A es una extension de(C − iB)(C + iB)−1.

Demostracion. Notemos que C − iB = AB − iB = (A − iI)B, (C + iB)−1 = B−1(A + iI)−1

y que si h ∈ dom((C − iB)(C + iB)−1), entonces h ∈ ran(A − iI) = L⊥+. Luego, para cadah ∈ dom((C − iB)(C + iB)−1),

(C − iB)(C + iB)−1h = (A− iI)BB−1(A+ iI)−1h = (A− iI)(A+ iI)−1h = Uh.

5.1.5. Hallar la transformada de Cayley del operador del ejemplo 3.0.31 cuando cada αn es real.


5.1 Ejercicios

Demostracion. Sea (αn)n ⊆ R y T el operador definido en 3.0.31. Luego, Si h = (λ1, λ2, λ3, . . .),entonces Th = (α1λ1, α2λ2, α3λ3, . . .). Ası, (T + iI)h = ((α1 + i)λ1, (α2 + i)λ2, (α3 + i)λ3, . . .) y

(T + iI)−1h = (1

α1 + iλ1,

1

α2 + iλ2,

1

α3 + iλ3, . . .)

Ademas, (T − iI)h = ((α1 − i)λ1, (α2 − i)λ2, . . .); con lo cual, la transformada de Cayley de Testa dada por

Uh = (α1 − iα1 + i

λ1,α2 − iα2 + i

λ2,α3 − iα3 + i

λ3, . . .).

5.1.6. Hallar la transformada de Cayley del operador del ejemplo 3.0.32 cuando φ es a valoresreales.

Demostracion. Sea φ una funcion a valores reales y T el operador definido en 3.0.32. Entonces,(T + iI)f = (φ+ i)f y (T + iI)−1f = 1

φ+if .Ademas, (T − iI)f = (φ− i)f ; con lo cual, la transformada de Cayley de T es

Uf =φ− iφ+ i

f.

5.1.7. Sea S el operador shift unilateral de multiplicidad 1. Hallar el operador simetrico T tal queS sea la transformada de Cayley de T .

Demostracion. Ya vimos que S es una isometrıa parcial y que I − S es inyectivo; de modo que elteorema 5.0.9 garantiza la existencia de un operador T simetrico cuya transformada de Cayley esS. Notemos que para α = (α1, α2, . . .), (I − S)α = (α1, α2 − α1, . . .) con lo cual,

(I − S)−1α = (α1, α1 + α2, . . . ,n∑i=1

αk, . . .).

Ademas, (I + S)α = (α1, α1 + α2, . . .), de modo que

Tα = i(I + S)(I − S)−1α

= i(α1, α2 + 2α1, . . . , αn + 2n−1∑k=1

αk, . . .)

y dom(T ) =

(αn)n∈N : |α1|2 + |α1 + α2|2 + . . . |∑n

k=1 αk|2 + . . . <∞

5.1.8. Sea U = S∗, donde S es el operador shift unilateral con multiplicidad 1. ¿Es U la transfor-mada de Cayley de un operador simetrico T? De ser ası, hallarlo.

Demostracion. Recordemos que el operador U esta definido como en 3.1.1.Es facil ver que I−U noes inyectivo. Luego, U no puede ser la transformada de Cayley de un operador simetrico. En efecto,si U es la transformada de Cayley de un operador T y (I − U)x = 0; llamando y = (T + iI)−1x setiene que x = Ux = (T − iI)y, con lo cual, (T + iI)y = (T − iI)y y ası, y = 0. Luego, x = 0.


BIBLIOGRAFIA

Bibliografıa

[C] Conway J.; A course in Functional Analysis.Graduate Texts in Mathematics 96.Springer-Verlag, New York, 1990.

[RS] Reed M., Simon B.; Methods of modern mathematical physics I. 1980.

[R] Rudin W.; Functional Analysis. 1973.

[P] Pedersen G.; Analysis Now. Graduate Texts in Mathematics 118. Springer-Verlag,New York, 1989.

[B] Brezis H.; Analisis Funcional. 1983.

[L] J.M. Lindsay [1984]. A family of operators with everywhere dense graph. Expos.Alath., 2, 375-378.


Documents

Operadores no acotados en espacios de Hilbertdemetrio/Monografias/Materias...Muchos de los operadores m as importantes que aparecen en la matem atica son acotados. Sin embargo, en