DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES ANEXO – ANÁLISIS DE FOURIER 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES - A.1 - ANEXO: Análisis de Fourier
3. DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE IINNGGEENNIIEERRAA
MMEECCNNIICCAA,, EENNEERRGGTTIICCAA YY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS
ANEXO ANLISIS DE FOURIER 33 DDEE IINNGGEENNIIEERRAA
IINNDDUUSSTTRRIIAALL EELLEEMMEENNTTOOSS DDEE MMQQUUIINNAASS YY
VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.3 - A.1 Introduccin Por regla general,
el estudio de vibraciones en sistemas mecnicos suele iniciarse
analizando la respuesta de un sistema discreto bsico de un grado de
libertad ante solicitaciones de tipo armnico, para, posteriormente,
extender los resultados obtenidos al caso de solicitaciones
peridicas cualesquiera. Ello permite analizar el comportamiento de
sistemas mecnicos ante excitaciones peridicas. La principal ventaja
de las excitaciones peridicas es que basta con analizar un periodo
de la excitacin para extender las conclusiones obtenidas a la
totalidad del dominio temporal. No obstante, resulta tambin de
inters ampliar el campo de trabajo para poder incluir las
vibraciones aleatorias, ya que sta ser la realidad con la que nos
encontremos en una gran parte de los casos con los que podamos
enfrentarnos. Adems, muchos de los algoritmos empleados en los
analizadores de vibraciones para determinar las frecuencias
naturales y los modos de vibracin de un sistema mecnico estn
desarrollados desde la perspectiva de las vibraciones aleatorias.
El estudio de la vibraciones mecnicas de carcter aleatorio se
caracteriza por el uso de la estadstica y del anlisis espectral,
anlisis en el dominio de la frecuencia; mediante el cual una funcin
peridica puede ser descompuesta en sus componentes armnicas, lo que
es conocido tambin como Anlisis de Fourier. En este Anexo se
introduce el Anlisis de Fourier, basado en la Transformada de
Fourier, a partir de las Series de Fourier. Se estudiarn sus
propiedades ms significativas con un cierto detalle de cara a su
posterior aplicacin en el mbito del Anlisis Modal. El estudio de la
Transformada de Fourier Finita y de la Transformada de Fourier
Discreta permitir analizar las aproximaciones que se llevan a cabo
en el mbito sealado y los errores presentes en su aplicacin.
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.4 - A.2 Series de Fourier Sea una funcin
peridica f(t) de periodo T. Se verificar entonces: f(t+T) = f(t+2T)
= ...= f(t+nT) = f(t) (1) La teora matemtica de las Series de
Fourier demuestra que si la funcin peridica f(t) es continua y
tiene definidas las derivadas por la izquierda y por la derecha en
cada punto del intervalo [0,T], dicha funcin puede expresarse como
serie de funciones armnicas en la forma ( ) ( ) ( ) = = ++= 1j 0j
1j 0j0 tjf2senbtjf2cosaa 2 1 tf (2) donde f0 es la llamada
frecuencia fundamental, y es igual a 1/T. Por otra parte los
coeficientes aj y bj vienen dados por las expresiones ( ) ( ) = 2T
2T 0j dttjf2costf T 2 a j = 0, 1, 2, ... (3) ( ) ( ) = 2T 2T 0j
dttjf2sentf T 2 b j = 1, 2, ... (4) donde las funciones sen(2jf0t)
y cos(2jf0t) forman un sistema ortogonal, ya que se verifican las
siguientes relaciones ( ) 0dttjf2sen 2T 2T 0 = j = 1, 2, ... (5) (
) 0dttjf2cos 2T 2T 0 = j = 0,1, 2, ... (6) ( ) ( )
0dttjf2costif2sen 2T 2T 00 = i, j = 0, 1, 2, ... (7) ( ) 2 T
dttjf2sen 2T 2T 0 2 = j = 1, 2, ... (8) ( ) 2 T dttjf2cos 2T 2T 0 2
= j = 1, 2, ... (9)
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.5 - ( ) ( ) 0dttjf2costif2cos 2T 2T 00 =
i j (10) ( ) ( ) 0dttjf2sentif2sen 2T 2T 00 = i j (11) Puede ayudar
a justificar la ecuacin (2) el considerar que f(t), que es una
funcin peridica de periodo T, se obtiene como serie de funciones
peridicas cuyos periodos son divisores exactos del periodo T. La
Serie de Fourier definida por las expresiones (2), (3) y (4) puede
escribirse tambin de otra forma ms compacta haciendo: 2 j 2 jj baA
+= (12) j j j a b arctg= (13) de donde resulta que aj y bj pueden
expresarse en la forma jjj cosAa = (14) jjj senAb = (15)
Sustituyendo estos resultados en (2) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = = += =++=
1j j0j0 1j 0j0jj0 tjf2cosAa 2 1 tjf2sensentjf2coscosAa 2 1 tf (16)
FORMA EXPONENCIAL COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER Ms utilidad que
las dos anteriores expresiones (2) y (16), tiene una tercera forma
de expresar la Serie de Fourier, conocida con el nombre de forma
compleja de la Serie Fourier. Las relaciones de Euler establecen
que ( ) ( )t0jf2it0jf2i 0 ee 2 1 tjf2cos += (17) ( ) (
)t0jf2it0jf2i 0 ee i2 1 tjf2sen = (18) haciendo ( )jjj iba 2 1 F =
(19)
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.6 - y sustituyendo (17), (18) y (19) en
la ecuacin (2) resulta ( ) ( ) = = ++= = + + += 1j t0jf2i* j t0jf2i
j0 1j t0jf2ijjt0jf2ijj 0 eFeFa 2 1 e 2 iba e 2 iba a 2 1 tf (20)
donde F*j es el complejo conjugado de Fj. Teniendo en cuenta (3) y
(4) se verifica aj = a-j bj = -b-j (21) y por tanto, dada la
expresin (19), se tendr que F*j = F-j (22) sustituyendo este
resultado en (20) ( ) = = = = +=+= 1j t0jf2i j 0j t0jf2i j 1j
t0jf2i j 0j t0jf2i j eFeFeFeFtf (23) y podremos obtener: ( ) =
t0jf2i jeFtf (24) Recordando (3), (4) y (19), los coeficientes Fj
tendrn la forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) == 2T 2T 0 2T 2T 0jjj
dttjf2sentf T i dttjf2costf T 1 iba 2 1 F (25) teniendo en cuenta
que, segn la frmula de Euler, ( ) ( )tjf2senitjf2cose 00 t0jf2i =
sustituyendo en (25), resulta finalmente ( ) = 2T 2T t0jf2i j dtetf
T 1 F j = 0, 1, 2, ... (26) las expresiones (24) y (26) constituyen
la forma compleja de la Serie de Fourier, a la que cabe darle una
interpretacin geomtrica de cierto inters. Fj es un nmero complejo
que puede ser asociado con un vector en el plano. Su mdulo o
magnitud |Fj| y su argumento j estn relacionados con las
expresiones (12) y (13). A su vez, ( )t0jf2i jeF es otro nmero
complejo de la misma magnitud que puede ser expresado: ( )jt0jf2i j
t0jf2i j eFeF + = (27)
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.7 - Este nmero complejo puede ser
considerado como un vector de magnitud |Fj| que gira en sentido
contrario a las agujas del reloj con velocidad angular 2jf0 (Figura
1). Por otra parte, el correspondiente trmino con (j) negativo es
otro vector de la misma magnitud |Fj| y argumento (-j). Figura 1
Explicitando el signo (-) cuando (j) es negativo, el nmero complejo
( )t0jf2i jeF resulta ser un vector simtrico al de la Figura 1, que
gira con velocidad angular 2jf0 en el sentido de las agujas del
reloj. Ambos vectores aparecen representados en la Figura 2,
juntamente con su resultante. A partir de dicha figura puede
deducirse que esta resultante es un movimiento armnico real de
amplitud (2|Fj|) y de frecuencia jf0. En funcin de los coeficientes
aj y bj esta amplitud ser: Figura 2 2 j 2 j 2 j 2 j j ba 4 b 4 a
2F2 +=+= (28) lo cual est de acuerdo con la expresin (12). En la
Figura 2, puede observarse que las componentes imaginarias de los
dos trminos en (j) y en (-j) se anulan entre s. Por eso, aunque la
expresin (24) es un sumatorio de nmeros complejos, el resultado de
dicho sumatorio es real. La expresin (26) indica el modo de extraer
la componente Fj a la frecuencia jf0, de la funcin f(t). Recurdese
que la funcin f(t) tiene un conjunto de componentes armnicas de
frecuencias mltiplo de la frecuencia fundamental f0. Segn lo que se
acaba de ver, f(t) puede considerarse como la suma de un conjunto
de parejas de vectores que giran con velocidades angulares opuestas
de valor 2jf0 Como la funcin f(t) es peridica, ser nula la integral
extendida a un periodo de cualquiera de sus componentes armnicas,
pues cada una de estas componentes tiene un periodo que divide
exactamente al periodo T. Si se multiplica la funcin f(t) por
e-i2jf0t, todos los
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.8 - vectores Fk que componen f(t) sufren
una modificacin en su velocidad angular, en el sentido de que sta
queda disminuida en (2jf0) radianes, ya que ( ) ( ) t0fjk2i k
t0jf2it0kf2i k eFeeF = (29) el vector Fk gira ahora con velocidad
angular 2(k-j)f0. Como esta frecuencia sigue siendo mltiplo de la
frecuencia fundamental f0, la integral de este trmino extendida a
un periodo T seguir siendo cero a no ser que k=j. Dicho de otra
forma, el multiplicar la funcin f(t) por e-i2jf0t tiene como
resultado el parar la componente (j), verificndose entonces que ( )
j 2T 2T t0jf2i FTdtetf = (30) de donde se deduce la expresin (26).
Obsrvese que es el carcter peridico de f(t) lo que determina que
sus componentes aparezcan a frecuencias discretas mltiplo de la
frecuencia fundamental f0. El contenido en frecuencia de una funcin
peridica f(t) puede representarse grficamente (Figura 3). Figura 3
VALOR CUADRTICO MEDIO DE UNA SEAL PERIDICA Una propiedad de
especial inters en una seal peridica es su valor cuadrtico medio.
En el caso de una funcin armnica, su valor cuadrtico medio puede
calcularse muy fcilmente. 2 a dt T t4 cos1 T2 a dt T t2 sena T 1 2T
0 2T 0 2 = = (31) Si se tiene una funcin peridica f(t)
desarrollable en Serie de Fourier en la forma exponencial compleja
vista en la expresin (24)
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.9 - ( ) = t0jf2i j eFtf (24') se llama
espectro de potencia de esta funcin al conjunto de los valores
cuadrticos medios de sus componentes en frecuencia. Hay que
recordar que la amplitud de la componente de frecuencia jf0 es
(2|Fj|). Por tanto su valor cuadrtico medio asociado ser, teniendo
en cuenta las ecuaciones (28) y (31): ( ) 2 b 2 a 2 F2 2 j 2 j 2 j
+= (32) resultado que est de acuerdo con la expresin (2). El
espectro de potencia puede ser representado grficamente de 2 formas
(Figura 4). Dichas representaciones se suelen llamar,
respectivamente, espectros de dos bandas y espectro de una banda; y
cualquiera de ellas sirve para indicar la composicin en frecuencia
de la funcin f(t). En este sentido, el espectro de potencia
proporciona la misma informacin que la Serie de Fourier de la
Figura 3, aunque es evidente que con l la informacin de fase se ha
perdido. Figura 4 RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 1 GDL ANTE UNA FUERZA
PERIDICA Recordemos que la ecuacin de equilibrio de un sistema de 1
gdl es: ( )tfkxxcxm =++(33) Si f(t) es peridica podr desarrollarse
en Serie de Fourier, segn (24): ( ) = t0jf2i j eFtf (24'')
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.10 - y como el sistema es lineal, la
respuesta ser la suma de las respuestas a cada trmino de la serie
(24''). Siendo cada una de estas respuestas la respuesta ante una
fuerza de carcter armnico - que puede calcularse multiplicando por
la correspondiente funcin de transferencia -, se tendr que: ( ) (
)[ ] = t0jf2i j0 eFjfHtx (34)
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.11 - A.3 Integral de Fourier Para
extender el resultado del Apartado anterior sobre las Series de
Fourier al caso de las funciones no peridicas, basta hacer tender a
infinito el periodo T de la funcin f(t). Cuando el periodo T tiende
a infinito, la frecuencia fundamental f0 - definida como f0=1/T -
tiende a cero. Por otro lado, esta frecuencia f0 es la que separa
las frecuencias de los distintos armnicos (Figura 3), por lo que al
tender a cero la funcin discreta de dicha figura tiende a adoptar
la forma de una funcin continua (Figura 5). Figura 5 No obstante,
conviene precisar que las dimensiones de aj y de A(f) no son las
mismas: las dimensiones de A(f) son las de aj, pero por unidad de
frecuencia; esto es, A(f) tiene las dimensiones de una densidad de
aj. Para que aj tuviera la misma dimensin de A(f) habra que
multiplicar sta por (f-jf0) - siendo la funcin de Dirac -. As pues,
cuando f0 df resulta que Fj F(f).df (35) 1/T = f0 df (36) jf0 f
(37) Sustituyendo estos valores en la expresin (26) resulta que ( )
( ) = dtetffF ft2i (38) expresin en la que se ha simplificado el
trmino df presente a ambos lados de la igualdad. Adems, el
sumatorio de (24) se convertir en una integral, y se tendr ( ) ( )
dfefFtf ft2i = (39) sta es la expresin de la funcin f(t) como
Integral de Fourier. A la funcin F(f), definida mediante la ecuacin
(38) - y con contenido en todas las frecuencias -, se le llama
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.12 - Transformada de Fourier (TDF) de
f(t). Anlogamente, f(t) es la Transformada de Fourier Inversa
(TDFI) de F(f). La funcin F(f) es una funcin compleja (al igual que
Fj), en la que se podr separar la parte real y la parte imaginaria.
Por analoga con la expresin (19): ( ) ( ) ( )( )fiBfA 2 1 fF = (40)
a partir de la expresin (38) se deduce que ( ) ( ) ( )dtft2costf2fA
= (41) ( ) ( ) ( )dtft2sentf2fB = (42) de estas expresiones se
deduce claramente que A(f) es una funcin simtrica de f, es decir:
A(f) = A(-f), mientras que B(f) es una funcin antisimtrica: B(f) =
-B(-f). La Transformada de Fourier (TDF) admite una interpretacin
anloga a la realizada para el coeficiente Fj de la Serie de
Fourier. As, los trminos: ( ) ( ) ( )( )dffiBfA 2 1 dffF = (43) ( )
( ) ( )( )dffiBfA 2 1 dffF += (44) son dos vectores que giran con
velocidades angulares (2f) y (-2f), dando como resultante un
movimiento armnico de frecuencia (f) y de amplitud (2F(f)df). La
Transformada de Fourier F(f) de una funcin f(t) tiene unas
condiciones matemticas de existencia bastante restrictivas. Puede
demostrarse que para que la funcin f(t) tenga TDF es necesario que
est acotada la integral ( ) dttf (45) segn esta condicin, ninguna
funcin peridica tendra TDF, al estar esta integral extendida desde
(-) hasta (+). Ms adelante se ver cmo puede ser superada esta
dificultad recurriendo a la funcin (t), que no es una funcin
propiamente dicha, sino una funcin generalizada. SIMETRA DE LA
TRANSFORMADA DE FOURIER Esta propiedad consiste en que la TDF de la
TDF de una funcin f(t) est directamente relacionada con dicha
funcin f(t).
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.13 - Sea F(f) la TDF de f(t) y (g) la
TDF de F(f). Se verificarn las relaciones ( ) ( ) = dfefFtf ft2i
[f(t) es la Transf. de Fourier Inversa de F(f)] (46) ( ) ( ) =
dfefFg fg2i [(g) es la TDF de F(f)] (47) a partir de esta ltima
expresin, es evidente que se verificar: ( ) ( ) = dfefFg fg2i (48)
comparando las expresiones (46) y (48) se puede concluir que: (-g)
= f(g) (49) o bien que f(t) = (-t) (50) Por lo tanto, la TDF de la
TDF de una funcin f(t), es otra funcin (t) simtrica de la funcin
original f(t) respecto del eje de ordenadas. TRANSFORMADA DE
FOURIER DE UNA FUNCIN PERIDICA A partir de la TDF de la funcin
f(t)=ei2f0t, y mediante la relacin de Euler, se obtendrn las TDF de
funciones senoidales y cosenoidales. En principio, esta funcin f(t)
- que es peridica - no tiene Transformada de Fourier porque no
cumple la condicin de acotamiento (45). Sin embargo, si se prueba
la funcin generalizada (-) delta de Dirac, como TDF y se halla la
TDFI se obtiene para el valor f-f0 F(f) = (f-f0) (51) ( ) ( ) ( )
t0f2ift2i 0 ft2i edfeffdfefFtf === (52) donde se ha tomado en
cuenta que ( ) ( ) ( )afdttfat = , y de donde se puede deducir que
ei2f0t y (f-f0) son funcin y transformada respectivamente. De esta
forma, y como la TDF es lineal, se podr determinar la TDF de la
funcin seno y coseno. Utilizando la relacin de Euler, ( ) ( ) + ==
2 ee atf2cosatf t0f2it0f2i 01 (53) ( ) ( ) == i2 ee atf2senatf
t0f2it0f2i 02 (54)
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.14 - y aplicando las ecuaciones (51) y
(52) ( ) ( ) ( )[ ]001 ffff 2 a fF ++= [TDF de la funcin cos real]
(55) ( ) ( ) ( )[ ]002 ffff i2 a fF += [TDF de la funcin sen imag.]
(56) As pues, el concepto de transformada de Fourier puede
extenderse a funciones armnicas (y, por consiguiente, tambin a las
peridicas), a travs de la funcin de Dirac. Con ms generalidad, la
TDF de un par de trminos cualesquiera de la Serie de Fourier ( ) (
) ( )tjf2senbtjf2cosatf 0j0j += (57) ser ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0jj0jj
jffiba 2 1 jffiba 2 1 fF +++= (58) es muy fcil comprobar que la
TDFI de la funcin F(f) de la expresin (58), viene dada por la
funcin f(t) de la expresin (57). Por lo tanto, la TDF de una funcin
peridica cualquiera f(t) podr calcularse a partir de la
correspondiente Serie de Fourier. Recordando (24) ( ) = tjf2i j 0
eFtf (24''') como la TDF es una operacin lineal y teniendo en
cuenta (51) y (52): ( ) ( )[ ] = 0j jffFfF (59) Este resultado
permite recordar la indicacin hecha anteriormente acerca de la
diferencia en la dimensin de Fj y F(f), donde se advirti que para
que Fj tuviera la misma dimensin que F(f) haba que multiplicarla
por la funcin de Dirac. TEOREMA DE CONVOLUCIN La convolucin o
producto de convolucin entre dos funciones x(t) e y(t), se denota
como x(t) * y(t) y se define como la integral ( ) ( ) ( ) ( ) =
dtyxtytx (60)
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.15 - El Teorema de la Convolucin es una
de las herramientas ms utilizadas en el Anlisis de Fourier, y se
podra enunciar en la siguiente forma: Dadas dos funciones x(t) e
y(t), que tienen como TDF a las funciones X(f) e Y(f)
respectivamente, si z(t) es la funcin que resulta del producto de
convolucin de las funciones x(t) e y(t), su TDF Z(f) es el producto
de las funciones X(f) e Y(f). z(t) = x(t) * y(t) (61) Z(f) = X(f)
Y(f) (62) Para demostrar este teorema basta calcular la TDF de la
funcin z(t) definida mediante la expresin (38) ( ) ( ) ( )( ) =
dtedtyxfZ ft2i (63) permutando el orden de las integrales ( ) ( ) (
)( ) = ddtetyxfZ ft2i (64) haciendo el cambio de variable = t - en
la integral anterior ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )fXfYdefYx
dedeyxfZ f2i f2if2i == == (c.q.d.) (65) El teorema de la convolucin
se aplica tambin en sentido inverso: si Z(f) es el producto de
convolucin de las funciones X(f) e Y(f) definido en la forma ( ) (
) ( ) ( ) ( )dggfYgXfYfXfZ == (66) entonces la funcin z(t), la TDFI
de Z(f), es el producto de las funciones x(t) e y(t). Para
demostrarlo puede utilizarse el Teorema de la Convolucin y la
propiedad de simetra (50). Aplicando la TDF a (66) y teniendo en
cuenta (50) resulta: z(-t) = x(-t) y(-t) (67) o bien, finalmente
z(t) = x(t) y(t) (68) Los Teoremas de la Convolucin en tiempo y en
frecuencia facilitan el clculo de TDF directas o inversas, y tienen
tambin importantes aplicaciones en los siguientes apartados. En la
Figura 6, se representa esquemticamente el Teorema de la Convolucin
directa.
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.16 - Figura 6 CONVOLUCIN CON LA FUNCIN
IMPULSO (t-a) Es interesante observar (Figura 7) el efecto que,
sobre una funcin cualquiera f(t), tiene el producto de convolucin
con la funcin impulso: ( ) ( ) ( ) ( ) = datfattf (69)
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.17 - y teniendo en cuenta las
propiedades de integracin de la funcin de Dirac: ( ) ( ) ( )atfattf
= (70) que indica como el efecto de realizar una convolucin con la
funcin impulso situada en a, es el de trasladar el origen de la
funcin f(t) a dicho punto. Figura 7 EJEMPLOS Y TABLA DE
TRANSFORMADAS DE FOURIER Ejemplo 1: TDF de una funcin constante
f(t) = a (71) Esta es una funcin que tampoco cumple la desigualdad
(45). Sin embargo, la TDFI de la funcin F(f) = a(f) (72) resulta
ser f(t): ( ) adfefa)t(f ft2i == (73) con lo que queda demostrado
que la TDF de una funcin constante es una funcin de Dirac situada
en el origen f0=0. En virtud de la propiedad de simetra, la TDF de
una funcin impulso ser una funcin constante. f(t) = a (t) (74) ( )
( ) adtetafF ft2i == (75)
18. DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE IINNGGEENNIIEERRAA
MMEECCNNIICCAA,, EENNEERRGGTTIICCAA YY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS
ANEXO ANLISIS DE FOURIER 33 DDEE IINNGGEENNIIEERRAA
IINNDDUUSSTTRRIIAALL EELLEEMMEENNTTOOSS DDEE MMQQUUIINNAASS YY
VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.18 - Tabla 1 Ejemplos de Transformadas
de Fourier (TDF)
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.20 - Ejemplo 2: TDF de un pulso
rectangular f(t) = a t T0 f(t) = 0 tT0 (76) la TDF de esta funcin (
) ( ) == 0T 0T ft2ift2i dteadtetffF (77) ya que f(t) es cero fuera
del intervalo [-T0, T0]. Sustituyendo la funcin exponencial por
medio de la relacin de Euler ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) (
) ( )( ) ( )0 0000 T T T T fT2sen f a fT2cosfT2cosi f2 a
fT2senfT2sen f2 a ft2cosift2sen f2 a dtft2senift2cosafF 0 0 0 0 = =
+ = + == (78) luego, la TDF de un pulso rectangular es una funcin
senoidal decreciente. Ejemplo 3: TDF de un tren de impulsos Dado el
tren de impulsos de la Figura 8, cuya expresin analtica es ( ) ( )
= = n nTtatf (79) Esta funcin es una funcin peridica y por tanto
debe admitir desarrollo en Serie de Fourier: Figura 8 ( ) ( ) = =
== j t0jf2i j n eFnTtatf (80) siendo f0=1/T. Los coeficientes Fj
podrn calcularse a partir de la expresin (26) ( ) ( ) = == n 2T 2T
t0jf2i2T 2T t0jf2i j dtenTta T 1 dtetf T 1 F (81)
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.21 - pero por ser (-T/2) y (+T/2) los
lmites de integracin, slo el impulso correspondiente a n=0 cae
dentro del intervalo de integracin. Por tanto, Fj = a/T (82)
sustituyendo en la expresin (80), se tendr ( ) ( ) = = == j t0jf2i
n e T a nTtatf (83) Estudiada la funcin, es fcil obtener su TDF
considerando (51) y (52): ( ) ( ) = = j 0jff T a fF (84) de donde
se puede concluir que la TDF de un tren de impulsos es otro tren de
impulsos cuyo periodo y amplitud estn relacionados con los del
primer tren. TRANSFORMADA DE FOURIER FINITA (TDFF) En la expresin
(38) de la TDF el dominio de la integracin est extendido de (-) a
(+). En la prctica, cuando se trata de calcular TDF de funciones
determinadas experimentalmente, nunca se dispone de registros de
duracin infinita. Entonces, la TDF debe ser calculada mediante la
expresin ( ) ( ) = 2T 2T ft2i dtetfT,fF (85) El clculo de esta TDFF
de f(t) puede verse como el clculo de la TDF de una funcin g(t),
obtenida mediante el producto de f(t) por un pulso rectangular r(t)
de valor unidad y extendido de (-T/2) a (+T/2), segn puede verse en
la Figura 9 para el caso en que f(t) es una funcin coseno. Figura 9
La aplicacin de la TDFF a la funcin f(t) es idntica a la aplicacin
de la TDF, a la funcin g(t), pues g(t) se supone nula fuera del
intervalo [-T/2, T/2]. Aplicando el Teorema de la Convolucin en
frecuencia, la TDFF de f(t) ser igual al producto de convolucin de
las TDF de f(t) y r(t).
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.22 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
)fRfFdtetgT,fGfGT,fF 2T 2T ft2i ==== (86) Para el caso concreto en
el que f(t) sea, por ejemplo, una funcin coseno f(t) = a0cos(2f0t)
t T/2 (87) La TDF de f(t) viene dada por las expresiones (53) y
(55) ( ) ( ) ( )[ ]00 0 ffff 2 a fF ++= (88) mientras que la TDF
del pulso rectangular puede encontrarse en la expresin (78) ( ) (
)fT2sen f 1 fR = (89) entonces, de acuerdo con la expresin (86) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) == dggfRgFfRfFfG (90) sustituyendo los resultados
de las expresiones (88) y (89) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ++ = dg gf
Tgf2sen fgfg 2 a fG 00 0 (91) teniendo en cuenta las propiedades de
integracin de la funcin de Dirac, ( ) ( )( ) ( )( ) + + + = 0 0 0
00 ff Tff2sen ff Tff2sen 2 a fG (92) donde se puede comprobar que
la convolucin de R(f) con la doble funcin impulso de la expresin
(88) produce el efecto de una doble traslacin de R(f) a los puntos
(-f0) y (+f0). En la Figura 10, se muestra la TDF y la TDFF de
f(t). Figura 10
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.23 - Puede comprobarse que el rea
comprendida bajo las dos TDF de la Figura 10, - la finita y la
infinita -, es la misma. La figura indica que la realizacin de la
TDF en intervalos de longitud finita, introduce distorsiones y
errores en la informacin que se obtiene acerca del contenido en
frecuencia de la funcin analizada. Este error se conoce en la
literatura tcnica con el nombre de leakage. El efecto del leakage
es doble. Por una parte, limita la resolucin en frecuencia que se
puede obtener mediante la TDFF, ya que dos frecuencias sern
indistinguibles cuando su diferencia sea menor que el semiperiodo
de la funcin sen(2fT)/f. Este semiperiodo es 1/(2T). As pues, si se
quiere aumentar la resolucin en frecuencia, no hay ms remedio que
aumentar la longitud T del intervalo de tiempo. El segundo efecto
del leakage, viene producido por las oscilaciones que aparecen en
la funcin R(f) a ambos lados del mximo absoluto. El resultado es
una distorsin en las frecuencias a (f0). Para disminuir estos dos
errores del leakage se han sugerido varios procedimientos, de los
cuales el ms popular es el debido a Hanning, que consiste en
modificar la forma del pulso rectangular con el que se ha realizado
la convolucin de la seal original. Conviene recordar que la TDF de
este pulso es la que se repite, desplazada a (-f0) y a (+f0), en la
TDFF de f(t). Interesa que la forma del pulso sea tal que las
oscilaciones de R(f) sean las menores posibles. A la funcin r(t)
con la que se realiza la convolucin, se le suele llamar ventana. La
ventana de Hanning viene definida por la funcin ( ) Tt T t cos1 2 1
tr += (93) en la Tabla 1 vista anteriormente, se representa esta
funcin y su TDF. DENSIDAD ESPECTRAL La densidad espectral es a la
TDF lo mismo que el espectro de potencia es a la Serie de Fourier.
Supngase que se tiene una seal no peridica, cuya TDF es una funcin
continua, y que se quiere estudiar el valor cuadrtico medio de su
composicin en una estrecha banda de frecuencias centrada en f0
(Figura 11). Figura 11 Se verificar que ( ) ( ) = dfefFtf ft2i
(94)
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.24 - El contenido de esta funcin
alrededor de la frecuencia f0 se podr expresar aproximadamente
como: ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )( )[ ]tf2senitf2cosffF
tf2senitf2cosffFtf 000 000f0 + ++= (95) Teniendo en cuenta que ( )
( ) ( )[ ]fBifA 2 1 fF = (96) resulta ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[
]tf2senfBtf2cosfAftf 0000 0f += (97) el valor cuadrtico medio de
esta componente ser ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )2 0 2 2 0 2 022 f fF2f 2
fB 2 fA ftfm 0 = += (98) a esta funcin |F(f)|2 se le conoce con el
nombre de densidad espectral. Es una funcin real que proporciona
informacin acerca del contenido en frecuencia de la funcin f(t).
RESPUESTA DE UN SISTEMA DE 1 GDL ANTE UNA FUERZA CUALQUIERA POR EL
MTODO DE LA TDF Resulta sencillo calcular la respuesta de un
sistema de 1 gdl ante una excitacin de tipo general - f(t) -,
teniendo en cuenta que la TDF de la fuerza indica su contenido en
frecuencia, y que para una excitacin de una frecuencia determinada
la respuesta del sistema se halla multiplicando por la funcin de
transferencia H(f). As, sea F(f) la TDF de la fuerza de excitacin
f(t) ( ) ( ) = dtetffF ft2i (99) la respuesta del sistema ser la
suma - es decir, la integral - de las respuestas para cada
frecuencia. Esto es, ( ) ( ) ( ) = dfefFfHtx ft2i (100) pero,
adems, x(t) estar relacionado con su TDF a travs de la TDFI: ( ) (
) = dfefXtx ft2i (101) comparando las expresiones (100) y (101) se
concluye que X(f) = H(f) F(f) (102)
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.25 - es decir, que la TDF de la
respuesta del sistema es el producto de la funcin de transferencia
por la TDF de la fuerza excitadora. Este resultado permite calcular
la respuesta del sistema ante cualquier fuerza excitadora, siempre
que se disponga de medios para calcular TDF directas e inversas.
Como ejemplo de aplicacin se va a calcular la respuesta ante una
excitacin impulso (t). Se tendr que ( ) ( ) 1dtetfF ft2i == (103)
X(f) = H(f) (104) y la respuesta h(t) ante un impulso unitario ser
( ) ( ) ( ) == dfefHthtx ft2i (105) de donde se concluye que la
funcin de transferencia H(f) es la TDF de la respuesta h(t) a un
impulso unitario. Esta es una propiedad verdaderamente importante
para el anlisis experimental de vibraciones, porque la funcin h(t)
es mucho ms fcil de determinar fsicamente que la funcin de
transferencia. De hecho, la funcin de transferencia siempre se
determinar a partir de la respuesta h(t) a un impulso unitario,
calculando su TDF. Por otro lado, la respuesta de un sistema de 1
gdl ante una excitacin de tipo general puede expresarse tambin
mediante la integral de convolucin en la forma ( ) ( ) ( ) = dhtftx
(106) es decir, con la notacin introducida anteriormente x(t) =
f(t) * h(t) (107) Aplicando el Teorema de la Convolucin, se tendr
que ( ) ( ) ( )fHfFfX = (108) donde ( )fH es la TDF de h(t).
Comparando la expresin (108) con la expresin (102), se vuelve a
concluir que la funcin de transferencia es la TDF de la respuesta
h(t) al impulso unitario.
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.26 - TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA
(TDFD) CONCEPTO DE TDFD La TDF explicada en los apartados
anteriores puede, en la prctica, ser calculada de un modo analgico
o de un modo digital. En el primero de estos modos, la funcin f(t)
es filtrada mediante un filtro de banda tan estrecha como sea
posible; el resultado de esta operacin es el extraer la componente
armnica de la funcin f(t) en la frecuencia deseada. La amplitud de
esta componente es el valor de la TDF en ese punto. El clculo
analgico de las TDF exige filtros muy precisos, y es una operacin
muy lenta a las bajas frecuencias caractersticas de las vibraciones
mecnicas. Adems, en vibraciones aleatorias aparecen otras funciones
como la densidad espectral, la densidad espectral cruzada, la
autocorrelacin, etc., que para ser calculadas analgicamente, exigen
costosos equipos adicionales. Actualmente, el Anlisis de Fourier se
realiza, en la mayora de los casos, digitalmente. Para ello, una
vez que la funcin f(t) ha sido convenientemente filtrada y
acondicionada (por las razones que se vern posteriormente), se
procede a digitalizarla en un convertidor analgico-digital. Figura
12 As, la funcin f(t) queda reducida a un conjunto de N valores
discretos (Figura 12) que se almacenan digitalmente en la memoria
de una computadora. A partir de este momento, todas las operaciones
que se realizan sobre estos datos, se realizan numricamente, con
todas las ventajas que esto tiene en cuanto a rapidez y eliminacin
de fuentes de error. Adems, el tratamiento numrico de estos datos
puede realizarse con una gran versatilidad, obtenindose todas las
caractersticas de f(t) que se deseen utilizando el programa
adecuado.
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.27 - Se llama Transformada de Fourier
Discreta (TDFD) a la TDF que se obtiene digitalmente a partir de
una funcin f(t) discretizada. Las expresiones de la Serie de
Fourier para una funcin continua eran, respectivamente ( ) = tjf2i
j 0 eFtf (109) ( ) = 2T 2T tjf2i j dtetf T 1 F 0 j = 0, 1, 2, ...
(110) Es natural adoptar, para la TDFD, una expresin anloga a la
expresin (110) en la que la integral se sustituye por un sumatorio
extendido al dominio finito T. Supngase que este dominio se ha
subdividido en N intervalos de longitud t0 = = 1N 0k ktjf2i k 0 j
00 ef T t F (111) Ahora bien, se verifica que N t0 = T (112) f0 =
1/T (113) introduciendo estos valores en la expresin (111) resulta
( ) = = == 1N 0k jk N 2 i k 1N 0k Njk2i kj ef N 1 ef N 1 F (114)
que tambin puede expresarse = = 1N 0k jk Nkj Wf N 1 F (115) donde
e-i2N se ha denominado WN . Esta expresin puede ser considerada
como una expresin aproximada para calcular los coeficientes de la
expresin de f(t) en Serie de Fourier. Haciendo modificaciones
anlogas en la expresin (109) se llega a que ( ) = = == 1N 0j jk Nj
1N 0j Njk2i jk WFeFf (116)
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.28 - que es la frmula inversa de la
(114) (115). En concreto, la expresin (116) es la frmula inversa
exacta de la expresin (115), en el sentido de que permite
recalcular exactamente los valores de fk utilizados. Efectivamente
( ) ( ) ( ) = == = = = 1N 0j Njk2i 1N 0r Njr2i r 1N 0j Njk2i jk eef
N 1 eFf ( )( ) = = = 1N 0r 1N 0j Nkrj2i r ef N 1 (117) pero el
parntesis de la expresin anterior es igual a N si r=k, y es cero si
rk, pues es una suma vectorial de N vectores unitarios
uniformemente espaciados angularmente entre 0 y (2(r-k)(N-1)/N)
radianes. Por tanto ( ) k 1N 0r rkrr fNf N 1 f == = (118) Las
frmulas (114-115) y (116) son expresiones aproximadas para la Serie
de Fourier de la funcin f(t); estas aproximaciones implican por
tanto el carcter peridico - con periodo T - de la funcin f(t)
discretizada. A pesar de que en realidad f(t) no es una funcin
peridica, sino una funcin cualquiera, las expresiones (114-115) y
(116) se generalizan, y se consideran respectivamente como la
Transformada de Fourier Discreta Directa e Inversa. Posteriormente,
se estudiarn los errores introducidos por esta aproximacin.
Seguidamente se van a considerar, desde otro punto de vista, las
hiptesis implicadas en la aceptacin de las expresiones (114-115) y
(116) como TDFD. Estas hiptesis estn resumidas en la Figura 13.
Supngase una funcin cualquiera f(t) con su TDF F(f), Figura 13a.
Discretizar la funcin f(t) es equivalente a multiplicarla por un
tren de funciones impulso (t, t0). ( ) ( ) = 00 nttt,t (119) Este
peine de funciones impulso aparece en la Figura 13b juntamente con
su TDF, (84) e incluida en la Tabla 1. La funcin resultante del
producto f(t)(t,t0) es la funcin f(t) discretizada a lo largo de
todo el dominio de la variable tiempo.
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.30 - Esta funcin producto tendr una TDF
que, en virtud del Teorema de la Convolucin, ser el producto de
convolucin de F(f) por el tren de funciones impulso 1/t0(f,1/t0).
Teniendo en cuenta que la convolucin con la funcin impulso equivale
a un desplazamiento a lo largo del eje de abscisas. La TDF de la
funcin f(t)(t,t0) ser la que aparece reflejada en la Figura 13c y
cuya expresin matemtica es ( ) ( ) ( ) = 00 tnfFt1,ffF (120) En la
figura 13c puede observarse que la TDF exacta de una funcin
discretizada es todava una funcin continua. En dicha figura, la
funcin f(t)(t,t0) est definida sobre un dominio de longitud
infinita. Para tener en cuenta que en la realidad no podr ser as y
que habr que considerar un n finito de valores, habr que
multiplicar por la funcin rectangular r(t), que aparece en la
Figura 13d, juntamente con su TDF, R(f). La funcin producto
f(t)(t,t0)r(t) se muestra en la figura 13e. Su TDF ser el doble
producto de convolucin F(f)*1/t0(f,1/t0)*R(f), que aparece en la
misma Figura. Tambin esta TDF sigue siendo continua. Como una TDF
continua no puede ser guardada en la memoria del ordenador, hay que
realizar una segunda discretizacin, esta vez en el dominio de la
frecuencia. Esta segunda discretizacin se realiza multiplicando
dicha TDF por otro tren de funciones impulso (f,1/T). El resultado
de este producto aparece en la Figura 13g. Por el Teorema de la
Convolucin este producto en el dominio de la frecuencia equivale a
una convolucin en el dominio del tiempo. Convolucin que se debe
realizar precisamente entre la funcin f(t)(t,t0)r(t) y el tren de
funciones impulso T(t,T). Recordando otra vez que la convolucin con
la funcin impulso equivale a una traslacin en el eje de abscisas,
se llega a la conclusin de que en la Figura 13g aparece la TDFF
discreta de una funcin en el tiempo, que es la funcin f(t)
discretizada y multiplicada por el pulso rectangular r(t), y
considerada adems como funcin peridica de periodo T. Se tiene pues
en sntesis, la interpretacin de lo que es la TDFD y de las
aproximaciones que representa. Si se recuerda la propiedad de
simetra de la TDF, resulta lgico que as como una funcin peridica
tiene TDF discreta, una TDF discretizada debe ser la TDF exacta de
una funcin peridica. En otras palabras, el carcter digital de la
funcin y de su TDF implican la periodicidad de ambas funciones. Es
evidente que ste es uno de los distintos errores que se cometen al
calcular transformadas de Fourier Discretas. Ms adelante, se
estudiarn estos errores y la forma de eliminarlos o, al menos, de
disminuir su influencia. As por ejemplo, de la Figura 13g se deduce
que no tienen sentido las componentes a frecuencias superiores a
1/(2t0), dada la periodicidad de la TDFD.
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.31 - PROPIEDADES DE LA TDFD A
continuacin, se enuncian y demuestran algunas de las propiedades ms
importantes de la TDFD definida por las expresiones (115) y (116).
1 Linealidad Sean fk y gk dos sucesiones de N valores uniformemente
espaciados en el tiempo y tomados a partir de las funciones f(t) y
g(t). Si Fj y Gj son sus correspondientes TDFD, se verifica que la
TDFD de fk+gk viene dada por Fj+Gj. En efecto, ( ) jj 1N 0k Nkj2i k
1N 0k Nkj2i k 1N 0k Nkj2i kk GFeg N 1 ef N 1 egf N 1 +=+=+ = = =
(121) 2 Simetra Si Fj es la TDFD de fk, se verifica que (f-k) es la
TDFD de (NFj). Para demostrarlo, basta calcular f-k a partir de la
expresin (116) ( )( ) ( ) ( ) = = == 1N 0j Njk2i j 1N 0j Nkj2i jk
eFN N 1 eFf (122) 3 Frmula de Inversin Esta frmula permite calcular
TDFD inversas a partir de la TDFD directa. La frmula es la
siguiente ( )( ) = = 1N 0j Nkj2i jk eFf (123) donde (*) indica el
conjugado de un nmero complejo. Para demostrar esta frmula basta
conjugar como se indica en la expresin Fj = Aj + i Bj (124) Fj* =
Aj - i Bj (125) sustituyendo, y teniendo en cuenta que el conjugado
de un producto es el producto de los conjugados, ( )( ) = = = 1N 0j
Njk2i j 1N 0j Nkj2i j eFeF (126)
32. DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE IINNGGEENNIIEERRAA
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.32 - que coincide con la expresin (116).
4 TDFD de una funcin par Sea fj una funcin par. Su producto por la
funcin coseno ser una funcin par, mientras que su producto por la
funcin seno ser impar. Entonces = = = == 1N 0k k 1N 0k k 1N 0k
Njk2i kj N jk2 senf N i N jk2 cosf N 1 ef N 1 F (127) pero el
sumatorio imaginario es cero porque fk repite valores para k N/2
(recurdese el carcter peridico de la TDFD) y el sumatorio est
extendido a un nmero entero de ciclos; luego = = 1N 0k kj N jk2
cosf N 1 F (que es un nmero real) (128) 5 TDFD de una funcin impar
Anlogamente a lo realizado para funciones pares, puede demostrarse
que la TDFD de una funcin impar viene dada por la expresin = = 1N
0k kj N jk2 senf N i F (129) 6 TDFD de una funcin compleja Sea f(t)
una funcin compleja definida en la forma f(t) = r(t) + is(t) (130)
fk = rk + isk (131) La TDFD de fk se define igualmente por medio de
la expresin (115) ( ) = = +== 1N 0k Njk2i kk 1N 0k Njk2i kj esir N
1 ef N 1 F (132) TEOREMA DE LA CONVOLUCIN DISCRETA La convolucin
continua de dos funciones x(t) e y(t) se defina en la forma ( ) ( )
( ) ( ) = dytxtytx (133) La convolucin discreta se obtiene
suponiendo que x(t) e y(t) vienen dadas por valores discretos y
sustituyendo la integral por el sumatorio correspondiente. Si se
dispone de N valores discretos de x(t) e y(t).
33. DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE IINNGGEENNIIEERRAA
MMEECCNNIICCAA,, EENNEERRGGTTIICCAA YY DDEE MMAATTEERRIIAALLEESS
ANEXO ANLISIS DE FOURIER 33 DDEE IINNGGEENNIIEERRAA
IINNDDUUSSTTRRIIAALL EELLEEMMEENNTTOOSS DDEE MMQQUUIINNAASS YY
VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.33 - ( ) ( ) = = 1N 0k kmkm yxyx (134)
la aplicacin de esta frmula no puede hacerse sin recurrir al
carcter peridico que la TDFD supone para xk e yk, pues si no xk-m
puede no estar definida. El Teorema de la Convolucin para la TDFD
establece que la TDFD de ( ) = = 1N 0k kmkm yxz (135) viene dada
por la funcin Zj = Xj* YjN (136) Para demostrar este teorema, hay
que sustituir los valores de xk-m y de yk dados por las expresiones
(123) y (116) en la expresin (135). ( ) = = = = 1N 0k 1N 0n Nnk2i n
1N 0j Nmkj2i jm eYeXz (137) si xk-m es real la conjugacin del
corchete podr omitirse porque dicho corchete es real. Se tendr
entonces, permutando los sumatorios ( ) = = = = 1N 0j 1N 0k Nkjn2i
1N 0n Njm2i njm eeYXz (138) el corchete de la expresin (138) es
anlogo al de la expresin (117), y por las mismas razones que aqul
es igual a ( ) nj 1N 0k Nkjn2i Ne = = (139) siendo nj la de
Kronecker. La expresin (138) se reduce en tal caso a ( ) NeYXz 1N
0j Njm2i jjm = = (140) pero esta expresin coincide con la de la
TDFD inversa. Luego Zj = Xj* YjN (141) con lo cual queda demostrado
el Teorema de la Convolucin en el tiempo. Existe tambin un Teorema
de la Convolucin en frecuencia que establece que si xk e yk son dos
funciones discretas cuyas TDFD son Xj e Yj, entonces, si Zm es el
producto de convolucin de Xj* e Yj, zk es el producto de xk e
yk.
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ANEXO ANLISIS DE FOURIER 33 DDEE IINNGGEENNIIEERRAA
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.34 - ( ) = = 1N 0j jmjm YXZ (142)
sustituyendo Xj-m e Yj mediante la frmula de la TDFD ( ) = = = = 1N
0j 1N 0n Nnj2i n 1N 0k Nmjk2i km ey N 1 ex N 1 Z (143) reordenando
trminos ( ) = = = = 1N 0k 1N 0j Nknj2i 1N 0n Nkm2i nk2m eeyx N 1 Z
(144) teniendo en cuenta que el corchete es knN, resulta: = = 1N 0k
Nkm2i kkm eyx N 1 Z (145) en esta expresin se reconoce la forma de
la TDFD de Zk, por lo que se habr de verificar zk = xk yk (c.q.d.)
(146) ERRORES DE LA TDFD La TDFD permite calcular TDF de cualquier
tipo de funcin, incluso de las que no estn definidas analticamente.
Sus clculos pueden ser realizados por un ordenador en un pequeo
intervalo de tiempo y por un coste mnimo. Sin embargo, como la TDFD
no es ms que una aproximacin de la TDF, al utilizarla se cometen
errores de los que es necesario conocer el alcance y el
significado. Adems, estos errores pueden en ocasiones eliminarse o,
al menos, reducir sus efectos. En el clculo de TDFD pueden
distinguirse tres fuentes principales de error: El error propio del
carcter digital de las funciones del tiempo y de la frecuencia, que
recibe el nombre de aliasing. El error originado por la necesidad
de considerar intervalos finitos de la funcin temporal. A este
error - que ya ha aparecido al hablar de la TDF continua - se le da
el nombre de leakage. El error inherente del proceso de
digitalizacin, pues el valor de la funcin debe ser redondeado o
truncado para poder expresar con el n de cifras limitado que el
ordenador puede considerar. Este ltimo tipo de error carece de
importancia si el ordenador considera un n de cifras adecuado, y
por ello toda la atencin se dirigir al aliasing y al leakage.
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.35 - Aliasing Para explicar este tipo de
error se hace necesario volver a acudir a la Figura 13. Entre la
TDF exacta de la Figura 13a y la TDFD de la Figura 13g, se han
introducido dos fuentes principales de error: la convolucin con la
funcin pulso rectangular, y el carcter peridico que adquiere la TDF
al realizar la convolucin con el tren de funciones impulso. El
primero de estos errores es el leakage, que se ver posteriormente.
Es el segundo de estos errores - el aliasing -, el que se considera
a continuacin. El efecto del aliasing aparece muy claramente si se
comparan las TDF de la Figura 13a y 13c. La primera de las citadas
figuras muestra la TDF exacta, mientras que en la segunda ya hay
aliasing. Este se ha introducido como consecuencia de la
discretizacin de la funcin temporal, y fundamentalmente consiste en
dotar a la TDF de un carcter peridico que en realidad no tiene. Si
t0 es el intervalo de digitalizacin en el tiempo, 1/t0 ser el
periodo introducido en el dominio de la frecuencia. La TDF peridica
se obtiene sumando infinitas funciones F(f) desplazadas cada una
respecto a la anterior una distancia 1/t0. El efecto del aliasing
es, por lo tanto, doble. Por una parte, elimina el sentido de las
frecuencias mayores que 1/(2t0) y menores que -1/(2t0), ya que los
valores de la TDF de la Figura 13c exteriores a dicho intervalo no
son ms que meras repeticiones de los valores interiores. Esta
propiedad se conoce con el nombre de Teorema de Shannon: con un
intervalo de discretizacin de t0 no es posible obtener informacin
acerca del contenido de la seal original a frecuencias superiores a
1/(2t0). A esta frecuencia se le llama frecuencia de Nyquist. Otra
forma de explicar esta misma limitacin es recordar que para
detectar la frecuencia de una funcin armnica, hay que muestrear el
valor de la funcin al menos dos veces por periodo. En la figura 14,
se observa como una frecuencia f/N es indistinguible de la
frecuencia f(N+1)/N si slo se dispone de la informacin de los
valores discretizados. Figura 14 Adems de la frecuencia lmite
mencionada, el aliasing tiene otro importante efecto que afecta
negativamente a la precisin de los valores calculados y que puede
comprenderse
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.36 - observando las figuras 13a y 13c.
Hay valores de F(f) por encima de la frecuencia de Nyquist que,
cuando F(f) es desplazada, caen durante el intervalo [-1/(2t0),
+1/(2t0)], perturbando los valores de la TDF dentro de este
intervalo. As por ejemplo, el valor de la TDF para la frecuencia f
que es tomado como correcto es la suma siguiente ( ) L+ ++ ++ ++ ++
f t 2 Ff t 2 Ff t 1 Ff t 1 FfF 0000 (147) Para corregir este tipo
de error hay que tener en cuenta que si la funcin no tiene
componentes a frecuencias superiores a la de Nyquist, este error no
se produce. Lo que se debe entonces hacer es filtrar la funcin a
analizar con un filtro que elimine todas las frecuencias altas (por
encima de 1/(2t0). Leakage Ya se ha hablado del leakage al tratar
de la Transformada de Fourier Finita. La TDFF equivale, segn se
demostr, a la convolucin de la verdadera TDF de la funcin original,
con la TDF de un pulso rectangular unitario de longitud T. En la
Figura 13d aparece este pulso rectangular y su TDF. Esta TDF
presenta la forma de una funcin armnica cuya amplitud tiende
hiperblicamente a 0. El semiperiodo de esta funcin armnica es 1/T.
Los errores producidos por el leakage se deben tambin a un doble
mecanismo de actuacin. Por una parte, la convolucin con el lbulo
central de la TDF R(f) del pulso rectangular tiende a promediar las
componentes a frecuencias contiguas en la TDF F(f). Quiere esto
decir que se disminuye la resolucin de la Transformada de Fourier,
en proporcin a la anchura 2/T de dicho lbulo. As, por ejemplo, en
la Figura 10 se vio cmo la TDF de una funcin coseno, que consta de
dos funciones impulso, aparece como una doble funcin R(f). Si no se
desea perder resolucin, y se quiere evitar este defecto, hay
aumentar la longitud del periodo T en la TDFF. El segundo tipo de
error producido por el leakage se debe a los lbulos laterales de
amplitud decreciente que aparecen en la TDF R(f) del pulso
rectangular r(t). Estos lbulos tienden a distorsionar la composicin
en frecuencia segn puede verse comparando las figuras 13c y 13e.
Adems este error no se corrige como el de la falta de resolucin,
aumentando simplemente el intervalo T. Para disminuir este error es
necesario reducir en lo posible las oscilaciones de la TDF del
pulso rectangular. Para ello, lo que se suele hacer es cambiar la
forma de este pulso, al que - como ya se ha dicho - se le suele
denominar tambin ventana. Hay que buscar ventanas distintas de la
rectangular, cuya TDF presente menos oscilaciones que la de sta.
Entre la multitud de formas propuestas que se pueden encontrar en
la bibliografa, la ms popular sin duda es la ya citada de Hanning.
La forma
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.37 - de esta ventana viene dada por la
expresin (93) y su transformada de Fourier puede encontrarse en la
Tabla 1. En la Figura 15, aparece la ventana rectangular y la
ventana de Hanning juntamente con sus respectivas TDF (en mdulo).
En dicha figura puede verse que la TDF de la ventana de Hanning
presenta unas oscilaciones mucho menores que las de la ventana
rectangular. Sin embargo, ste es el precio de una mayor anchura en
el lbulo central, con lo cual, algo de lo que se gana en fiabilidad
del resultado se pierde en resolucin por el efecto antes citado.
Otro efecto de la ventana de Hanning es reducir el valor de la
amplitud de la seal considerada a la correspondiente frecuencia.
As, para una seal armnica, dicha amplitud se reduce en 6.02 db.
Figura 15 Hasta ahora, todo lo que se ha dicho del leakage es vlido
para la TDFF continuas y discretas. A partir de ahora, se realizarn
consideraciones y se presentarn algunos ejemplos caractersticos de
la TDFD.
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.38 - En la Figura 16, puede verse la TDF
de un pulso triangular, funcin que resulta al hacer la convolucin
de dos pulsos rectangulares; por ello, su TDF es igual al cuadrado
de la TDF del pulso rectangular. En la Figura 17, aparece la TDF de
un pulso triangular truncado, y se puede observar la distorsin
debida al truncamiento. Figura 16 Figura 17 En la Figura 18,
aparece una funcin peridica triangular. Se ha registrado un
intervalo de 8 segundos correspondiente a 8 periodos de 1 segundo.
En dicha figura aparece la TDF de esta funcin, con picos asociados
a frecuencias de 1, 3, 5 ... Hz. Puede comprobarse que esta TDF es
exacta. Figura 18 A primera vista, este resultado no deja de ser
sorprendente, porque deberan aparecer los efectos del leakage. No
es as, y la explicacin es sencilla. Se ha dicho anteriormente que
la TFFD es la TDF exacta de una seal discreta en el tiempo de
duracin T, que se supone peridica con ese mismo periodo T. Como el
intervalo T de la funcin de la Figura 18 comprende un nmero entero
de periodos de f(t), el superponer este intervalo repetido no
introduce ningn error en la funcin f(t), y por tanto la TDF que
aparece da valores exactos. No se puede decir que esta TDF es
exacta, sino slo que da valores exactos. La razn de este hecho est
en que la TDF continua de la funcin f(t) definida en el intervalo
finito de 8 segundos, s que presenta los efectos del leakage. Cmo
es entonces que la funcin discreta no los presenta?. La razn se
encuentra explicada en la Figura 19, y se fundamenta en el hecho de
que la discretizacin de la TDF se realiza precisamente en los ceros
de la TDF del pulso
39. DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE IINNGGEENNIIEERRAA
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.39 - rectangular, con lo cual la TDFD no
se ve afectada por estos errores. Esto slo sucede cuando el pulso
rectangular contiene un nmero entero de periodos de la funcin
original. Figura 19 En la Figura 20, aparece la misma funcin
peridica triangular, pero sin que el nmero de periodos comprendido
en el intervalo T sea entero. En este caso, en su correspondiente
TDFD, aparecen ahora claros los efectos del leakage. Figura 20 En
la Figura 21, aparece la misma funcin triangular de la Figura 18,
pero con frecuencia doble. En este caso, los picos de la TDFD
aparecen desplazados hacia la derecha Figura 21 Como el nmero de
puntos de discretizacin no ha aumentado, los efectos del aliasing
se hacen notar, y slo se puede obtener informacin acerca de la
frecuencia fundamental y del primer armnico, pues todos los dems
armnicos quedan por encima de la frecuencia de Nyquist. Como no se
han filtrado las frecuencias altas, los errores de magnitud
producidos por el aliasing estn presentes en los resultados de
todas estas figuras.
40. DDEEPPAARRTTAAMMEENNTTOO DDEE IINNGGEENNIIEERRAA
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.40 - En la Figura 22, aparece una funcin
armnica y su TDFD. Como el nmero de periodos es entero y no hay
aliasing, por no haber en este caso ms que una frecuencia, el
resultado es exacto. Figura 22 Es evidente que - en la prctica - no
se puede nunca garantizar la condicin referente al nmero de
periodos. Por ello, no hay ms remedio que utilizar la ventana de
Hanning, con objeto de reducir el leakage. Figura 23 En la Figura
23, aparece la funcin armnica de la Figura 22 multiplicada por la
ventana de Hanning, y su TDF. El resultado es una disminucin de la
resolucin en frecuencia. En la Figura 24, aparece la misma funcin
armnica (y su TDTD), pero con un nmero de periodos no enteros. En
la Figura 25, se muestra dicha funcin multiplicada por la ventana
de Hanning. Comparando ambas figuras, se observan los efectos del
leakage y de la ventana de Hanning. Dicha ventana disminuye la
resolucin, pero los valores de la frecuencia que proporciona son ms
fiables. Figura 24 Figura 25
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VVIIBBRRAACCIIOONNEESS - A.41 - TRANSFORMADA RPIDA DE FOURIER (FFT)
Se ha visto anteriormente que la TDFD vena definida por las
relaciones = = 1N 0k Nkj2i kj ef N 1 F (148) ( ) = = 1N 0j Nj2i j
eFtf (149) El clculo directo de estas expresiones supone
aproximadamente N2 multiplicaciones por la funcin exponencial. En
tiempo de ordenador esto tiene un precio excesivamente alto. La
preocupacin por la resolucin de este problema llev a Cooley y Tukey
a desarrollar -a mediados de los aos 60- el algoritmo de la
Transformada Rpida de Fourier FFT (Fast Fourier Transform). Este
algoritmo est basado en el clculo de la TDFD de un conjunto de
valores de fk a partir de la TDFD de subconjuntos parciales de
dichos valores. Con esto, el nmero de multiplicaciones por la
funcin exponencial se reduce considerablemente a N log2N. Por
ejemplo, para el caso en que N=215 N2 es aproximadamente 109,
mientras que N.log2N es 4,9105. El factor de reduccin en el tiempo
de clculo es aproximadamente 2000, visto lo cual no es preciso
hacer muchos ms comentarios. La FFT necesita que el nmero de puntos
N sea una potencia de 2. Si el nmero de puntos de que se dispone no
cumple esta condicin, caben dos posibilidades: truncar la serie de
puntos hasta la potencia de 2 inferior, o completar con ceros hasta
la potencia de 2 inmediatamente superior. Esta segunda alternativa
es preferible, porque as no se pierde ninguna informacin.
