VI PRESENTO LE EQUAZIONI FRATTE

Fornisco alcune diapositive introduttive a cui farete seguire il vostro lavoro

Quali difficoltà pone un’equazione fratta

Nella prima parte eravamo arrivati a dire che:

Un’equazione fratta pone due ordini di difficoltà:

1. Difficoltà di tipo teorico

2. Difficoltà di tipo operativo

Difficoltà teoriche: denominatore nullo = assurdità

A questo proposito avevamo chiarito che le difficoltà di tipo teorico sono quelle che riguardano la gestione dei denominatori.

Siccome ci è ormai chiara l’idea che un denominatore nullo rende priva di significato la sua stessa frazione (e con essa l’equazione che la contiene), ci siamo allenati a riconoscere quei valori di x che producono uno o più denominatori nulli e li abbiamo sistematicamente esclusi dall’insieme delle soluzioni che consideriamo accettabili.

Cercare i denominatori in pericolo di assurdo

Ad esempio, quando ci capitano casi come il seguente:

xx

x

23

5

3

4

12

3

Ci affanniamo a dire che, assolutamente, non

possiamo accettare che o

siano uguali a zero.

N.B.: trascuriamo il denominatore 3 che non corre pericoli. In effetti: come potrebbe il 3 diventare 0 se non per magia?

12 x x23

Discutere i denominatori

Escludere l’idea che i denominatori che contengono l’incognita possano diventare zero non basta. Bisogna portare il ragionamento fino alle sue ultime conseguenze risolvendo le relative disequazioni e individuando i valori inaccettabili di x (per farlo si sfruttando gli stessi principi di equivalenza che si usano nelle equazioni):

2

1

2

1

2

212012 xxxx

2

3

2

3

2

232023

xxxx

Evidenziare le condizioni

Così la nostra equazione fratta:

xx

x

23

5

3

4

12

3

Diventa un’equazione condizionata:

conxx

x

23

5

3

4

12

3

2

3;

2

1 xx

Difficoltà di tipo operativoA questo punto cominciano le difficoltà operative: è raro infatti che un’equazione fratta sia composta di frazioni che abbiano tutte lo stesso denominatore. La nostra equazione, ad esempio, consiste di tre termini, ognuno con un denominatore diverso.

xx

x

23

5

3

4

12

3

Ma la diversità tra i denominatori inibisce sia la somma algebrica sia il confronto fra frazioni.

La prossima mossa in questi casi è quella di individuare un denominatore comune per trasformare le frazioni date nelle loro equivalenti che abbiano tutte, come denominatore, il denominatore comune selezionato.

Individuare il denominatore comune

Il denominatore comune si calcola trovando il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori da omogeneizzare.

Ciò si ottiene scomponendo in fattori i denominatori dell’equazione ed effettuando la moltiplicazione tra tutti i diversi fattori trovati (presi una volta sola, ma con il massimo esponente disponibile)

I fattori di una scomposizioneOccorre una precisazione: i fattori sono termini di una moltiplicazione, perciò scomporre in fattori significa trovare quei fattori che moltiplicati fra loro danno come risultato l’oggetto matematico che si sta cercando di scomporre, numero, monomio o polinomio che sia.

Ad esempio: si può scomporre nel prodotto dix3 x3

Al contrario: non si può scomporre nel prodotto di perché questo farebbe

Insomma, scomporre un polinomio (binomio, trinomio, eccetera) non è affatto una faccenda banale: meglio procedere con i piedi di piombo.

12 x 12 x 122 xx

Se non si riesce a scomporre

Se dunque non si sanno o non si riescono a scomporre i denominatori polinomiali, il denominatore comune si individua moltiplicando fra loro i diversi denominatori: dopotutto è facile.

Nel nostro caso:

xx

x

23

5

3

4

12

3

xx 23123

Sceglieremo come denominatore comune il seguente prodotto (che gode della proprietà commutativa e dunque posso scrivere nell’ordine che preferisco):

Denominatore comune dappertutto

Così possiamo riscrivere la nostra vecchia equazione:

xx

x

23

5

3

4

12

3

xxxxxx 23123

?

23123

?

23123

?

usando dappertutto il denominatore comune.

Ma che fare dei numeratori? Lasciarli come stanno o adattarli?

E se sì, come?

Frazioni equivalenti

Scavando nei meandri delle possibilità che abbiamo, ci sovviene che la proprietà invariantiva della divisione garantisce che, se moltiplichiamo il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso valore, la nostra frazione cambierà aspetto ma non valore.

Dunque questa è la proprietà che dobbiamo sfruttare per omogeneizzare i denominatori senza che ciò faccia cambiare il valore delle frazioni date.

Mettiamoci dunque all’opera.

Ricalcolare i numeratori 1

Confrontiamo la versione originale dell’equazione con quella in cui i denominatori sono tutti uguali :

xx

x

23

5

3

4

12

3

xxxxxx 23123

?

23123

?

23123

?

Per trasformare ciascun denominatore nel denominatore comune è stato necessario eseguire una moltiplicazione. Segnaliamo qui sotto i fattori utilizzati:

Ricalcolare i numeratori 2

xx

x

23

5

3

4

12

3

xxxxxx

x

23123

?5

23123

?4

23123

?3

Per i numeratori sarà sufficiente che ciascuno di loro affronti la stessa moltiplicazione del suo denominatore: avremo prodotto le frazioni equivalenti che cercavamo.

Ricalcolare i numeratori 3

xx

x

23

5

3

4

12

3

xx

x

xx

xx

xx

xx

23123

1235

23123

23124

23123

2333

Ecco come:

Ricalcolare i numeratori 4

xx

x

xx

xxxx

23123

1235

23123

231242333

Tutto questo si potrebbe subito scrivere anche così:

Infatti la somma di frazioni con lo stesso denominatore è una frazione che ha come denominatore lo stesso denominatore…

xx 23123

… e come numeratore la somma dei numeratori

xxxx 231242333

Eliminare i denominatoriInoltre, applicando il secondo principio di equivalenza delle equazioni, è possibile moltiplicare primo e secondo membro dell’equazione per la stessa quantità (pari al denominatore comune) ottenendo come risultato la possibilità di eliminare i denominatori tramite semplificazione delle frazioni prodotto.

xx

xx

x

xx

xxxxxx 23123

23123

1235

23123

23124233323123

N.B. Questa possibilità di semplificare è un’altra conseguenza benefica della proprietà invariantiva della divisione che in effetti garantisce che, se moltiplichiamo o dividiamo il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso valore, la nostra frazione cambierà aspetto ma non valore.

Eseguire le operazioni richieste 1Quel che resta ora della nostra equazione fratta è una “domestica” equazione intera, di facile risoluzione (per noi: gli antichi greci, con tutta la loro astuzia e cultura, non se la cavavano altrettanto bene)

1235231242333 xxxxx

Cominciamo con l’eseguire le moltiplicazioni richieste. Siccome si tratta di calcolare tre prodotti di tre termini, saremo tenuti ad applicare la proprietà associativa della moltiplicazione. Cioè dovremo eseguire il prodotto di due dei tre fattori e poi moltiplicare tale risultato parziale per il terzo fattore.

Eseguire le operazioni richieste 2Quindi la nostra:

1235231242333 xxxxx

E poi:

12152348239 xxxxx

Diventa dapprima:

153081216241827 22 xxxxxx

Trasportare i termini similiSiccome il nostro obiettivo è quello di isolare la x per scoprirne il valore, portiamo tutti i termini che la contengono al primo membro e tutti quelli che non la contengono (termini noti) al secondo membro. Quindi sommiamo ad ogni membro l’opposto dei termini che vogliamo spostare all’altro membro (regola del trasporto). Quindi la nostra:

Diventa:

153081216241827 22 xxxxxx

151283016241827 22 xxxxxx

Sommare i termini similiE sempre perché vogliamo isolare la x, sommiamo ora i termini fra loro simili. Quindi la nostra:

Diventa:

32934 2 xx

151283016241827 22 xxxxxx

Accidenti! Questa è un’equazione di secondo grado che non siamo capaci di risolvere. Per noi questo problema è, al momento, impossibile.

Proviamo con un’altra equazione.

Nuovo caso propostoEcco qui un’equazione interessante:

Ma, alt un attimo: questi denominatori sappiamo scomporli con il raccoglimento a fattor comune!

Nei termini del primo è sempre presente il 3, mentre in quelli del secondo è sempre presente il 2!

22

2

33

1

x

x

x

x

Consegna

Fate una diapositiva diversa per ogni cosa che vi ho chiesto di fare (sfruttando la funzione “duplica diapositiva”). E scrivete quello che fate, oltre a farlo. Buon lavoro!

22

2

33

1

x

x

x

x

Allora adesso continuate voi: prendete questa equazione e scomponete i polinomi al denominatore, dite quali valori di x sono da scartare, calcolate i denominatori comuni, ricalcolate i numeratori, eliminate i denominatori e risolvete l’equazione intera verificando l’accettabilità del risultato trovato.