E’ importante scrivere e disegnare tutto quello che avete fatto (misure, accorgimenti, ...) in un

‘quaderno di laboratorio’ o ‘log book’.

Ogni dettaglio sulla procedura sperimentale applicata, se correttamente documentato, può

essere di fondamentale importanza per capire ed interpretare i dati sperimentali che avete

ottenuto.

Premessa Generale

Esperimento col Pendolo

MATERIALE:

Colonna, aste, morsetti, filo per il pendolo

Metro (sensibilità 1 mm)

Cronometro a fotocellula (sensibilità - vedi dopo)

Bilancia (sensibilità 0.1 g)

PC con sistema Windows

………altro……………

Finalità dell’esperimento:

determinazione del valore dell’accelerazione

di gravità (g)

con valutazione dell’incertezza associata

e analisi dei parametri critici

Il pendolo semplice (richiami di teoria)

Per i dettagli sulla teoria riguardate bene la lezione n.10

del corso A di Meccanica - Prof. Bersanelli !!!

NOTA

L’approssimazione delle piccole oscillazioni cambia l’equazione differenziale e la sua soluzione generale.

Si passa da equazione corretta ma non risolvibile analiticamente

a con soluzione

Il fatto che in laboratorio si scelga una condizione sperimentale favorevole all’approssimazione

NON significa che l’errore nella misura dell’accelerazione di gravità indotto dall’approssimazione matematica

sia della stessa entità. In altre parole non si può dire, in generale, che se vale DT/T < 0.1% allora deve valere

Dg/g < 0.1%.

Possono poi entrare in gioco altri elementi tipici di un esperimento, come ad esempio la misura di angoli piccoli,

oscillazioni fuori piano, vibrazioni, basse velocità (che implica una più scarsa precisione nella misura del

periodo, come vedremo nel nostro caso) che possono influenzare (talora in maniera dominante) l’errore

sperimentale.

Attenzione

La trattazione teorica elementare ha alla base alcune ipotesi

‘semplificative’ che non necessariamente si riscontrano in un pendolo

reale.

In particolare: Filo inestensibile e senza massa

Assenza di attrito o di eventuali altre influenze esterne

Massa puntiforme

Moto planare ed assenza di torsioni e/o rotazioni

Piccole oscillazioni (sen(q) ~ q)

….

T T0 11

22sin

2 q

21

223

4

2

sin4 q

2...

Correzione del periodo

alle piccole oscillazioni

• T0 rappresenta il periodo che si dovrebbe misurare nel caso di un pendolo ideale

• T rappresenta il periodo che effettivamente si misura quando l’ampiezza di oscillazione è pari a q

1.000

1.005

1.010

1.015

1.020

1.025

1.030

0 10 20 30 40

Ampiezza di Oscillazione

Fa

tto

re d

i c

orr

ezio

ne

de

l p

eri

od

o

Fattore di correzione = T/T0

N.B.: ricordatevi di usare gli angoli espressi in radianti quando fate i conti!

Nei casi reali (non ideali) ci si aspetta di osservare trovare una dipendenza del periodo con l’angolo

di oscillazione poiché non è vera l’approssimazione sen(q) = q in quanto q non può essere

infinitesimo

PRIMA DI INIZIARE L’ESPERIMENTO

• Procuratevi 1 quaderno di laboratorio/log-book dove riportare tutte le informazioni relative al vostro apparato

sperimentale. Può essere utile avere a disposizione anche 1 USB-pen drive su cui fare una copia dei dati che

acquisirete in laboratorio

• Progettate l’esperimento sia pensando ai parametri sperimentali da usare (ad es. lunghezza pendolo, angolo di

partenza, …) sia riguardando le formule che vi serviranno durante l’esperimento (per es. calcolo del centro di

massa)

• Individuate quali sono i parametri sperimentali che minimizzano l’errore sulla grandezza da misurare (g)

Come si fa? Usate la propagazione degli errori!

da fare a casa

• Preparate una directory sul PC e nominatela con l’identificativo del vostro turno-gruppo (in modo che sia

univocamente associabile al vostro gruppo): qui dovrete sempre salvare tutte le acquisizioni e le elaborazioni (è

comunque buona norma averne anche una copia su USB-pen drive)

• Annotate le sensibilità strumentali degli strumenti utilizzati per l’esperimento

• Annotate come avete realizzato costruttivamente il vostro pendolo (una foto può essere d’aiuto)

da fare in laboratorio

• NOTA di SICUREZZA: *non* mettete ad altezza occhi la sbarra orizzontale che sorregge il pendolo

• IMPORTANTE: *non* costruite un pendolo composto

PROCEDURA SPERIMENTALE

Si procederà in due fasi successive. • Nella prima fase si cercherà di valutare:

- L’affidabilità della strumentazione

- Se il pendolo è stato realizzato correttamente

- Evidenti o possibili non idealità

E’ questo il primo passo di ogni attività di laboratorio: stimare l’osservabile (anche in modo grossolano) e le

possibili sorgenti di errore casuale o sistematico con l’obiettivo di ottimizzare l’apparato sperimentale

• Nella seconda fase si svolgeranno misure accurate sul sistema al fine di:

- Meglio comprendere il nostro apparato strumentale

- Verificare o meno la validità della legge sperimentale g=4p2L/T2

- Fornire un valore accurato per l’accelerazione di gravità

Dovrete realizzare uno strumento, il pendolo, adatto alla misura dell’accelerazione di gravità (g).

L’accelerazione di gravità può essere ricavata a partire dalla misura del periodo di oscillazione e

dalla lunghezza del pendolo secondo la relazione:

L’esperienza quindi richiede di eseguire la misura della lunghezza del pendolo e del suo periodo.

2

24T

Lg p

FINALITA’ DELL’ESPERIMENTO

Montaggio pendolo

Pendolo – massa costante – angolo fissato – lunghezza fissata

Dataset-1 almeno15 oscillazioni

Come già anticipato, questa prima parte serve per verificare che non ci sia un errore grossolano nel montaggio

dell’apparato sperimentale e/o nella misura delle osservabili e quindi per valutare se si ottiene un valore

dell’accelerazione di gravità ‘ragionevole’ (9.6 < g < 10 m/s2). Cosa bisogna fare:

a) Misurare la lunghezza del pendolo.

Potete procedere o attraverso una prima stima grossolana (misurate il filo direttamente e stimate la

distanza del centro di massa del peso rispetto al suo punto d’attacco al filo) o facendo il calcolo

corretto del centro di massa (farete questo in ogni caso la settimana prossima)

b) Registrare l’angolo di oscillazione di partenza

c) Stimare l’errore sulla misura della lunghezza del pendolo e sulla misura del periodo

d) Determinare il valore dell’accelerazione di gravità con i dati sperimentali acquisiti

e) Stimare l’errore sul valore dell’accelerazione di gravità

Quale valore dell’accelerazione di gravità avete ottenuto?

Se g è non compresa tra 9.6 e 10 m/s2 c’è qualcosa di anomalo nel vostro esperimento, rivedete tutti i passaggi

e i dati acquisiti per escludere un errore ‘banale’ e, nel caso non troviate alcun errore nei vostri dati/procedure,

consultate il docente.

Se il valore di g è nel range 9.6 < g < 10 m/s2 procedete con la seconda fase.

Prima Fase

Calcolo del centro di massa

La massa non è puntiforme

Va identificato un punto (centro di massa) in cui si possa

immaginare - in prima approssimazione - che tutta la massa sia

concentrata per poter stimare la lunghezza del pendolo

21

2211pendolo

MM

LMLMLL

Esempio di

“massa appesa”

Nota:

Le distanze L1 ed L2 devono avere la medesima origine, nel caso specifico del pendolo dal nodo sul gancio

Verificate la posizione del centro di massa mettendo la massa appesa in equilibrio

Verificate la congruenza fra la lunghezza del pendolo stimata e quella misurata (anche grossolanamente)

21

2211pendolo

MM

LMLMLL

Informazioni importanti da segnare sul log-book:

Avete evidenza di un allungamento del filo quando appendete una massa ?

Avete evidenza che il filo possa muoversi sulla barra di acciaio ? Lo avete fissato con lo scotch ?

Avete evidenza che il nodo del filo abbia una dimensione 'misurabile' ?

Avete evidenza che il pendolo, oscillando, trovi ostacoli ? (anche il lembo del filo tagliato è un ostacolo! )

Avete evidenza che la massa appesa vibri/oscilli/ruoti ?

…nel caso realizzaste un pendolo bifilare….

Quali sono i vantaggi nella realizzazione di un pendolo bifilare?

Oscillazione sul piano !

Nota bene:

La lunghezza del pendolo in questo caso *non* è pari alla lunghezza del filo di sostegno ma è

data dalla distanza L fra la massa oscillante e l’asta di sostegno.

Il valore della lunghezza del pendolo potrebbe essere meno preciso poiché è ottenuto

attraverso una operazione di calcolo.

1) La1 Lunghezza della base (la distanza tra i due punti di attacco del filo alla barra di acciaio)

2) La2 Lunghezza del filo dal punto di attacco alla barra al punto di attacco della massa appesa

3) α Angolo sotteso (vertice sul punto di attacco della massa appesa, vedi disegno)

4) β Angolo sotteso (vertice sulla barra di acciaio, vedi disegno)

Come procedere per la misura della lunghezza L del pendolo ?

Si possono usare base e angolo .. è conveniente ?

La misura del periodo e della velocità del pendolo

col cronometro a fotocellula (photogate)

In “Pendulum mode” il timer misura il periodo di un’oscillazione completa.

Lo start della misura di tempo avviene quando il pendolo attraversa per la prima volta la linea LED-detector

(vedi figura) interrompendo il fascio di luce infrarossa.

Il timer ignora la seconda interruzione del fascio (che avviene durante l’oscillazione “di ritorno”).

Lo stop della misura di tempo avviene in concomitanza della terza interruzione, cioè esattamente in

corrispondenza di un’oscillazione completa.

Cronometro a fotocellula

Precisione del cronometro a fotocellula: dipende dalle condizioni sperimentali

Usate i vostri dati sperimentali

per stimare la velocità attraverso

la relazione

Stima della velocità (in m/s)

[m/s]

sT = 0.001[m]/velocità [m/s]

sT è misurato in secondi

Incertezza sulla misura del periodo (in s)

Usate l’incertezza derivante

dal “parallax error” e la

velocità calcolata sopra

Esempio di stima dell’errore sulla misura di T

Pendolo – massa costante – lunghezza fissata

Dataset-2 periodo in funzione dell’angolo misure ogni 5° (fino a circa 50°)

Pendolo – massa costante – angolo fissato

Dataset-3 almeno 4 lunghezze (ΔL > 15 cm) – 15 oscillazioni

Pendolo – lunghezza costante – angolo fissato

Dataset-4 almeno 2 masse differenti (non di poco) – 15 oscillazioni

Seconda Fase

E’ necessario modificare tutti i parametri sperimentali a disposizione (angolo di oscillazione,

lunghezza del filo, massa appesa) per verificare se la legge fisica usata sia corretta o adeguata

alla tipologia di misura che si sta eseguendo e alla precisione con cui si vuole determinare

l’osservabile di interesse.

Dataset – 2

Misure al variare dell’angolo

Misurate il periodo per diversi angoli (ogni 5° fino a 50° circa)

Effettuate più misure (almeno 10) di periodo a pari ampiezza di oscillazione per poter calcolare

un periodo medio, con deviazione standard e deviazione dalla media.

Come potete misurare l’angolo ?

- Usate il goniometro ?

- Usate la conservazione dell’energia meccanica misurando l’altezza della massa ?

Spunto di riflessione: come si potrebbe verificare l’ipotesi di piccole oscillazioni?

Se si usa un angolo piccolo è più corretta l’approssimazione sen(q)=q

Se si usa un angolo piccolo si ha un errore maggiore sul periodo

Se si usa un angolo piccolo la misura è più sensibile ad oscillazioni spurie

Quale è l’angolo massimo che si può usare?

Dipende dall’accuratezza che si vuole ottenere nella misura del periodo (per fare una stima si può

utilizzare la tabella riportata nelle slides precedenti).

calcolate il periodo T0 corretto (utilizzando la formula appropriata)

Conservazione dell’energia (richiami di teoria)

Per i dettagli sulla teoria riguardate bene la lezione n.11

del corso A di Meccanica - Prof. Bersanelli !!!

Dataset – 3

Misure al variare di L

Misurate il periodo per diverse lunghezze del pendolo

Usate almeno 4 lunghezze del pendolo (L) e almeno 10 cm di differenza tra una lunghezza e l’altra

Come analizzare i dati ?

a. Potete estrarre 4 valori di g e poi fare una media o media pesata

b. Potete fare una regressione lineare semplice

c. Potete applicare una regressione lineare pesata

N.B: per ogni configurazione va (ovviamente) ricalcolata la lunghezza del pendolo!

ATTENZIONE:

- Non necessariamente i tre metodi sono corretti e/o equivalenti

- Non necessariamente i valori di g ottenuti nei vari modi sono indipendenti

Dataset – 4

Misure al variare della massa del pendolo

Misurate il periodo per almeno 2 masse differenti

(per es. Dm = 40 g di differenza tra una massa e l’altra)

Notate che cambiando la massa appesa cambierà la posizione del centro di massa.

La variazione nella lunghezza del pendolo associata alla variazione della posizione del centro

di massa non può essere trascurata -> va ricalcolata !

La presa dati è finita

Il tempo che avete a disposizione è sufficiente se

- Arrivate preparati all’esperienza

- Sapete cosa dovete fare in laboratorio

- Mantenete una tabella di marcia

Il tempo che avete a disposizione probabilmente NON sarà sufficiente se non

arrivate preparati all’esperienza!

Cosa bisogna fare: a) Trasformare la massa appesa al filo in una ‘massa puntiforme’

- Calcolo del centro di massa

b) Stimare l’errore ‘strumentale e/o sistematico’ sulla misura della lunghezza del pendolo L

- Calcolo dell’errore su L utilizzando la propagazione degli errori

c) Stimare l’errore strumentale sulla misura del periodo del pendolo T

A partire dalla velocità di passaggio del pendolo, valutare l’errore sulla misura di tempo effettuata dal

photogate.

La velocità di passaggio del pendolo si può stimare noti l’angolo di partenza dell’oscillazione e la

lunghezza del pendolo…e ovviamente usando un valore definito per g….

(ad es. per Milano potreste usare g=9.806 m/s2)

Considerare che il ‘reference sheet’ del photogate dice:

- Detector rise time: < 500 ns Detector fall time: < 50 ns Ciò significa che il segnale elettrico prodotto al passaggio del pendolo non può essere istantaneo: ha 500 ns di fronte di

salita e 50 ns di fronte di discesa.

Quindi l’incertezza prodotta è al massimo 550 ns = 0.55 10-6 s < 10-6 s

- Parallax error: For an object passing within 1 cm of the detector, with a velocity less than 10 m/s, the difference

between the true and effective length is less than 1 mm.

E’ l’incertezza prodotta dal fatto che l’oscillazione potrebbe non essere planare o il photogate potrebbe non essere

perpendicolare al piano di oscillazione del pendolo.

d) Stimare l’errore minimo sulla misura dell’accelerazione di gravità g

L’errore minimo è unicamente dovuto alla strumentazione usata e non tiene conto di possibili ‘errori’ indotti

dalla presa dati, non dipende dalla metodologia sperimentale usata o dalle deviazioni rispetto alle

condizioni ideali che richiederebbe dell’esperimento.

GUIDA ALL’ANALISI DATI

Come è possibile verificare se il periodo T dipende dalla oscillazione considerata ?

1) Si possono ad esempio calcolare le differenze tra due periodi consecutivi:

• Se la loro media è compatibile con zero allora le fluttuazioni sono casuali

• Se l’istogramma è simmetrico intorno a zero allora le fluttuazioni sono casuali

• Se l’errore strumentale è confrontabile o superiore a queste differenze allora la loro

origine potrebbe essere strumentale e non fisica

2) Si può fare un grafico con l’andamento del periodo in funzione del tempo, ovviamente ci si

aspetta una retta parallela all’asse delle ascisse. Se questo non fosse vero allora le misure

di tempo non sarebbero né ripetibili né indipendenti.

A voi la scelta di quali e quanti test fare.

Se trovate altri modi o tecniche aggiuntivi/e per rispondere alla domanda ancora meglio

T dipende dall’oscillazione considerata ?

La misura del periodo è indipendente e ripetibile ?

DATASET 1

Se la misura del periodo risulta essere indipendente e ripetibile

Dai dati del Dataset-1 calcolate: Valor medio

Deviazione standard

Deviazione dalla Media

del periodo misurato e dell’accelerazione di gravità stimata (vedi la discussione nei lucidi successivi)

Rappresentare i risultati in una Tabella come quella data di seguito:

T = xxx s sT = xx s sTm = xx s

g = xxx m/s2 sg = xx m/s2 sgm = xx m/s2

Se la misura del periodo risulta NON essere indipendente e ripetibile non è corretto utilizzare la media dei 15

periodi misurati.

Evidentemente esiste un effetto legato all’ampiezza di oscillazione (che diminuisce con il numero di

oscillazioni a causa dell’attrito). In questo caso è necessario usare una sola misura di periodo ove è noto

l’ampiezza di oscillazione (una delle prime). Quindi va considerato solo uno dei primi periodi misurati e stimata l’accelerazione di gravità con il suo errore.

Rappresentare i risultati in una Tabella come quella data di seguito:

L = xxx m errore = xx m

T = xxx s errore = xx s

g = xxx m/s2 errore = xx m/s2

- I dati sperimentali ottenuti possono aver mostrato che:

• Le misure di periodo NON SONO ripetibili ed indipendenti tra loro in quanto dipendono dall’ampiezza di

oscillazione del pendolo stesso

Oppure

• Le misure di periodo SONO ripetibili ed indipendenti. Questo è ovviamente possibile ma bisogna mettersi in

particolari condizioni sperimentali

Nel primo caso si è costretti a:

• Utilizzare solo la prima o seconda oscillazione (perché è l’unica in cui l’ampiezza di oscillazione sia nota).

• Correggere il periodo misurato (noto q) secondo la relazione vista in precedenza.

• Stimare il valore dell’accelerazione di gravità utilizzando una sola misura di periodo.

• Usare la propagazione degli errori per valutare l’errore su g.

Ricordate che:

• In linea teorica, rifacendo più misure di periodo a pari ampiezza di oscillazione sarebbe possibile calcolare

un periodo medio, con deviazione standard e deviazione dalla media.

• L’errore strumentale intrinseco (sensibilità) non necessariamente coincide con l’errore associato alla

vostra misura del periodo poiché non tiene conto della presa dati.

Nel secondo caso si potrebbe calcolare il valore dell’accelerazione di gravità in tre modi differenti. Le tre

tecniche sulla carta sembrano equivalenti ma, analizzate con cura, non lo sono.

1. Per ciascuna coppia di valori di L e T calcolare il corrispondente valore di g e poi stimare il valore di g finale

attraverso l’operazione di media effettuata su tutti i valori di g ottenuti. Da questi valori di g calcolare anche

la deviazione standard e la deviazione della media.

N.B.: in questo caso si ‘trascura’ l’errore strumentale su L e su T poiché si calcola l’errore su g dalla serie

dei valori di g ottenuti. Il metodo quindi potrebbe fornire un errore più piccolo dell’errore strumentale

intrinseco. Idealmente se ottenessi sempre lo stesso valore di g in ogni misura avrei una deviazione

standard e deviazione standard della media pari a zero (errato)! In questo caso esiste un metodo

alternativo per estrarre sigma.

2. Calcolare il valor medio di T di L e con questi stimare il valore medio dell’accelerazione di gravità.

Deviazione standard e deviazione dalla media si ottengono dalla propagazione degli errori a partire da di sL

e sT. N.B.: questo approccio è possibile solo se le misure di T e di L sono indipendenti e ripetibili.

3. Per ciascuna coppia di valori L e T calcolare il corrispondente valore di g e, attraverso la propagazione degli

errori strumentali sul tempo sT e sulla lunghezza sL, l'errore strumentale su ogni singolo valore di g. Il

valore finale di g si ottiene attraverso la media pesata di tutti i valori di g ottenuti.

N.B. :

- la media pesata può essere fatta solo tra misure indipendenti della medesima osservabile e quindi i

diversi valori di g devono essere tra loro compatibili (questa è una condizione necessaria ma non

sufficiente).

Quindi si può applicare questo metodo solo se si ha compatibilità fra tutte le misure di periodo entro un

certo ‘confidence level’

- L’errore della media pesata dipende solo dagli errori delle singole osservabili e non da come sono

distribuite le osservabili stesse. Questo metodo quindi non tiene in considerazione delle possibili

fluttuazioni statistiche che possono originarsi dalla modalità di misura di T e di L (ad esempio oscillazioni

della massa, vibrazioni del supporto, ….. ).

Che metodo scegliere ?

- Nel caso in cui le condizioni sperimentali siano rimaste costanti (le misure di T ed L sono ripetibili e

indipendenti) il secondo metodo è il più corretto.

- Nel caso in cui le condizioni siano variate allora non si ha più l’indipendenza e la ripetibilità per L e T allora il

terzo metodo è il più corretto ma va verificata la compatibilità delle misure per poter fare la media pesata.

In altre parole, si ottiene un dataset in cui le accelerazioni di gravità sono ‘identiche’ tra loro a meno

dell’incertezza strumentale intrinseca che quindi risulta essere la sorgente dominante di errore e ne va

considerato il peso.

- Il primo metodo è quasi equivalente al terzo ma non viene chiesta la compatibilità statistica tra tutte le

misure). In altre parole non è l’incertezza strumentale che caratterizza le fluttuazioni statistiche osservate ma

piuttosto la metodologia di misura.

E’ una cosa che non dovrebbe accadere ma se la misura su ‘g’ è fatta in maniera poco accurata o se sono

presenti fattori fuori dal controllo dello sperimentatore (vibrazioni della massa appesa, allungamento del filo per

l’accelerazione centrifuga,…) potrebbe rappresentare la realtà dei dati acquisiti. Sicuramente è indice del fatto

che è possibile migliorare la misura (ma non necessariamente si hanno il tempo o i mezzi per farlo).

Cosa fare alla fine della survey

Ricordatevi di scrivere qualcosa qui

Non stampate il PDF dell’indagine (e’ enorme)

Vi verrà richiesto di effettuare l’analisi dei dati compilando delle schede (appositamente predisposte in rete)

durante la seconda sessione di laboratorio (prima si effettua la sessione di presa dati poi la sessione di analisi) - Ad ogni gruppo verrà assegnata una password che rende unico l’identificativo

- Il sondaggio non sarà accessibile dopo il laboratorio

Vi forniremo il contenuto delle schede *prima* della sessione di laboratorio in modo tale che possiate rifletterci

su ed eventualmente potrete effettuare delle pre-elaborazioni dei dati e una pre-compilazione delle schede in

modo da velocizzare la fase di analisi in laboratorio.

Sono 41 domande – si richiede una analisi dei dati che potrebbe essere complessa. Quindi è fortemente

consigliato , se possibile, pre-compilare la survey in laboratorio o a casa (scrivendo sulle schede stampate) .

Esempio

Esempio

Nella seconda sessione di laboratorio (quella con l’analisi dati) dovrete preparare un documento Word che

deve essere consegnato alla fine della sessione di laboratorio.

Questo documento Word conterrà i grafici che vi sono stati chiesti e le tabelle con i risultati dell’analisi e sarà

un elemento di valutazione dell’attività di laboratorio all’esame .

Dovete salvare la survey in formato pdf e mandarla al vostro account di posta.

- Usate un nome sensato (i.e. turno-1-gruppo-A)

Dovete salvare il documento in formato Word e mandarlo al vostro account di posta.

- Usate un nome sensato (i.e. turno-1-gruppo-A)

Dovete salvare il documento Word anche in formato pdf seguendo le istruzioni date di seguito:

-Nominate il file pdf come turno-X-gruppo-Y.pdf (X=1,2,3,4 Y=A,B,C,D,….)

- Caricate il file pdf sul sito ARIEL a vostro nome

- Quando accedete al sito ARIEL, andate alla cartella “Portfolio” per vedere il vostro spazio per caricare.

Lì potete caricare i files (una copia del documento Word in formato pdf per studente)

- Inviare il file pdf anche a franco.camera@mi.infn.it dal pc su cui avete fatto l’analisi

Nota bene:

files con nomi comuni come pendolo, relazione, template, ecc….non verranno accettati !