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I numeri naturali
Veronica Gavagna
NOTA BENE: Queste slide offrono una sintesi di alcuni temi trattati a lezione (peraltro secondo un approccio lievemente diverso). Vengono messe a disposizione degli studenti come supporto allo studio, ma non sostituiscono in nessun modo i testi indicati in bibliografia
Approcci al concetto di numero naturale
• Cardinale
• Ordinale
• Ricorsivo
• Geometrico
Alcune considerazioni didattiche si trovano in
B. di Paola, Gli approcci al numero naturale
http://math.unipa.it/~grim/dipaola2001.pdf
Addizione in ℕ
(A1) L’addizione è un’operazione binaria e interna in N
Proprietà associativa (A2)
Dati a, b, c ∈ 𝑵 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
Nota bene: non esiste la «proprietà
dissociativa»!
17+3 = (10+7)+3=10+(7+3)
Addizione in ℕ
Proprietà commutativa (A3)
Dati 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐍 a + b = b + a
Nota bene: la proprietà commutativa
non è una «verifica» dell’addizione!!
Esiste un elemento neutro (zero) (A4)
Per ogni 𝑎 ∈ 𝐍
a= a + 0 = 0 + a
Addizione in ℕ
(A5) Legge di cancellazione
a + c = b + c
a = b
La tavola dell’addizione
Riuscite a «vedere» in questo grafico alcune delle proprietà prima elencate?
Problemi
1. Trovare un modo semplice e veloce per sommare tutti i numeri naturali da 1 a 100.
2. Generalizzare il risultato precedente calcolando 1+2+3+…+n dove n è un numero naturale qualsiasi.
3. Si hanno a disposizione pesi da 1, 2, 4, 8 grammi (uno per sorta). Si possono pesare tutti gli oggetti il cui peso varia da 1 a 15 grammi?
Problemi
Al termine di un torneo di 5 squadre, con partite di andata e ritorno, l’organizzatore espone il seguente tabellone.
Non è stato commesso alcun errore?
Problemi http://www.ermydesign.it/Pagine/curiosita/quadrati/quadrati.htm
Trovare i numeri che completano il seguente quadrato magico
In modo che la somma delle righe, delle colonne e delle diagonali sia sempre 15.
5
Moltiplicazione in ℕ
(A6) La moltiplicazione è un’operazione in N binaria e interna
(A7) Proprietà associativa: Dati tre numeri naturali qualunque a,b,c
𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐)
(A8) Proprietà commutativa: dati due numeri naturali qualunque a,b
𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎
Moltiplicazione in ℕ
(A9) Elemento neutro: Dato un numero naturale a, si verifica che
𝑎 × 1 = 1 × 𝑎 = 𝑎
(A10) Legge di cancellazione: dati a, b, c numeri naturali, con c≠ 0, se
𝑎 × 𝑐 = 𝑏 × 𝑐
Allora 𝑎 = 𝑏
Collegamenti fra addizione e moltiplicazione
(A11) Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma
Dati tre numeri naturali qualunque a, b, c si ha 𝑎 × 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 + (𝑎 × 𝑐)
Si noti che non vale la distributività della somma rispetto al prodotto
𝒂 + 𝒃 × 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 × 𝒂 + 𝒄
Le parentesi sono importanti!! 𝒂 × 𝒃 + 𝒄 ≠ 𝒂 × 𝒃 + 𝒂 × 𝒄
Teorema: Qualunque sia il numero a vale 𝒂 × 𝟎 = 𝟎 Ipotesi: esistenza di un numero a naturale e dello 0 Tesi: 𝑎 × 0 = 0 𝒂 × 𝟏 + 𝒂 × 𝟎 = 𝒂 × (𝟏 + 𝟎) Perché?
Per A11
𝒂 × 𝟏 + 𝟎 = 𝒂 × 𝟏 Perché? Per A4
𝒂 × 𝟏 = 𝒂 × 𝟏 + 𝟎 Perché? Per A4
Per la proprietà transitiva dell’uguaglianza 𝒂 × 𝟏 + 𝒂 × 𝟎 = 𝒂 × 𝟏 + 𝟎
Da cui 𝒂 × 𝟎 = 𝟎 Perché?
Per A5
Problemi(ni)
• Sapendo che 37x3=111, calcolare rapidamente i prodotti di 37 per i multipli di 3 fino a 27. Quale proprietà si applica?
La tavola pitagorica
Riuscite a «vedere»
alcune delle proprietà
della moltiplicazione?
Aritmetica di Treviso, 1478
Pacioli, Summa, 1523
Pacioli, Summa, 1523
Pacioli, Summa, 1523
Pacioli, Summa, 1523
TECNICHE DI MOLTIPLICAZIONE
(approfondite nella lezione del 18/4/2013
(Video)giochi didattici interattivi
Home page>documentazione>giochi didattici (italiano, matematica, geografia, ed. musicale, fisica)
56 giochi matematici scaricabili gratuitamente
Il download (matematici per le elementari e per le medie) funziona meglio dal sito
http://www.iprase.tn.it/iprase/content?noderef=workspace://SpacesStore/9d8ad086-4027-47e3-abf9-6761ad4c68c6&type=documentazione&contentType=attivita&lan=IT
Le relazioni (matematiche) Definizioni formali
Dati due insiemi A e B non vuoti, si dice prodotto cartesiano e si indica AxB l’insieme delle coppie ordinate (a,b) dove a e b sono rispettivamente elementi di A e B.
Dati due insiemi A e B si chiama relazione (e si indica con R) ogni sottoinsieme di AxB
Se 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵sono in relazione, allora si scrive aRb
Se A=B la relazione si dice binaria.
Relazione d’equivalenza
Proprietà riflessiva (ogni elemento di A è in relazione con se stesso)
aRa
Proprietà simmetrica (Se a è in relazione con b, anche b è in relazione con a)
Se aRb allora bRa
Proprietà transitiva (Se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora a è in relazione con c)
Se aRb e bRc, allora aRc
Esempi di relazioni di equivalenza
Verificare se le seguenti sono relazioni d’equivalenza
essere padre di
essere fratello (o sorella) di
aver lo stesso peso di
essere perpendicolare
essere uguale
Relazione d’ordine (largo)
Proprietà riflessiva (ogni elemento di A è in relazione con se stesso)
aRa
Proprietà antisimmetrica (Se a è in relazione con b e b è in relazione con a, allora a e b sono uguali)
Se aRb e bRa allora b=a
Proprietà transitiva (Se a è in relazione con b e b è in relazione con c, allora a è in relazione con c)
Se aRb e bRc, allora aRc
Esempi di relazioni di ordine
Verificare se le seguenti sono relazioni d’equivalenza
essere padre di
essere maggiore di
essere minore o uguale di
essere perpendicolare
essere uguale
Maggiore/ Maggiore o uguale Una precisazione
Come possiamo definire in maniera precisa quando un numero a è maggiore di un altro numero b?
Diciamo che a è maggiore di b (e scriviamo a>b) se e soltanto se esiste un numero c non nullo, tale che a = b + c
Diciamo che a è maggiore o uguale di b (e scriviamo a≥b) se e soltanto se esiste un numero c, tale che a = b + c
Ordinamento di ℕ
Se consideriamo la relazione «maggiore o uguale» ( ≥ ) all’interno dell’insieme dei numeri naturali, possiamo dire che è ordinato rispetto a questa relazione.
E’ l’unica relazione d’ordine possibile in ℕ?
Consideriamo ℕ senza il numero 0 (ℕ ∖ 0 ) e prendiamo in esame la relazione «essere multiplo».
E’ una relazione di ordine? «Mette in ordine» i numeri naturali nello stesso modo?
Ordinamento di ℕ
La relazione ≥ si dice relazione d’ordine totale perché, dati due qualsiasi numeri naturali a e b è possibile dire se 𝑎 ≥ 𝑏 o 𝑏 ≥ 𝑎 La relazione > si dice relazione d’ordine totale e stretto perché, dati due qualsiasi numeri naturali a e b è possibile dire se 𝑎 ≥ 𝑏 o 𝑏 ≥ 𝑎 supponendo inoltre 𝑎 ≠ 𝑏 (Attenzione! La relazione d’ordine stretto non è più riflessiva, ma antiriflessiva) Possiamo dire che la relazione d’ordine «essere multiplo» è una relazione d’ordine totale? Rappresentazione grafica dell’ordinamento dei numeri naturali: la linea dei numeri
La sottrazione in ℕ
Dati due numeri naturali a e b esiste un numero c tale che a=b+c?
Esiste sempre una soluzione? Non esiste mai? Esiste qualche volta? A quali condizioni? Quante sono le soluzioni?
Prima osservazione: se il problema ammette una soluzione questa è unica. Infatti….
Teorema: Se a=b+c e a=b+c’ allora c=c’
Possiamo dire che
b+c = b+c’
Per la proprietà simmetrica e transitiva di =
e quindi
c=c’
Per la legge di cancellazione A5
La sottrazione in ℕ
Il problema della sottrazione ammette soluzione quando a ≥ 𝑏.
Il numero c tale che a = b+c si chiama differenza tra a e b e si scrive c=a-b.
L’operazione che ad ogni coppia di numeri (a,b) con 𝒂 ≥ 𝒃 associa c=a-b si chiama sottrazione.
Possiamo considerare la sottrazione un’operazione in ℕ?
A rigore no, perché l’operazione non è definita per tutte le coppie (a,b), ma per abuso di linguaggio la si considera tale.
Proprietà della sottrazione in ℕ
Proprietà invariantiva
Dati tre numeri a, b, h (con 𝑎 ≥ 𝑏) si ha 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + ℎ − (𝑏 + ℎ)
Lo zero è un elemento neutro?
E’ vero che a-0=a ma non il viceversa (se 𝑎 ≠ 0)
Quindi si dice che lo zero è un elemento neutro solo a destra.
Tavola della sottrazione (e del ≥)
Problema
Da un secchio pieno d’acqua un bambino vuole estrarre 3 litri d’acqua, poi 2, poi 1, però dispone solo di un recipiente da 8 litri e di uno da 5 litri.
Può farcela?
Vedi anche il gioco Acquamatica (sito Iprase)
Il problema della divisibilità
Data una coppia di numeri naturali a e b con b>0, esiste una coppia di numeri naturali q ed r con 0≤r<b tali che
a= bq + r?
Es. a=15, b=2
15=2x7 + 1 (q=7, r=1)
Senza la limitazione (0≤r<b, cioè 0≤r<2) si avrebbero molte possibilità e non una sola
15=2x1+13, 15=2x4+7, 15=2x5+5, 15= 2x6+3….
Esempi da risolvere solo con moltiplicazioni e sottrazioni
Coppia dividendo-divisore (a,b)
(32,5)
(83,11)
(115,7)
Coppia quoziente-resto (q,r)
(6,2) perché 32=5x6+2
(7,6) perché 83=11x7+6
(16,3) perché 115=7x16+3
La strategia
Consideriamo (115,7)
1. Si cercano i multipli di 7 fino a che non si supera 115:
7, 14, 21, 28,…70, …, 98, 105, 112,119
2. Il multiplo richiesto è 112, cioè 7x16
3. La differenza 115-112=3
4. 115=7x16+3
Alcuni risultati preliminari che ci serviranno tra poco
(A14) Se A è un sottoinsieme non vuoto di N, allora esiste in A un elemento minimo, cioè un numero che è più piccolo di tutti gli altri numeri dell’insieme A (principio del buon ordinamento)
(A15) Dati due numeri naturali a e b con b>0, esiste un numero naturale n tale che nb>a
(proprietà nota come Postulato di Eudosso-Archimede)
Teorema: Per ogni coppia ordinata (a,b) di numeri naturali con b>0, esiste una e una sola coppia ordinata (q,r) di numeri naturali, con 0≤r<b tali che a=bq+r
Dimostrazione dell’esistenza di (q,r)
Poiché b>0, per A15 esiste un numero n tale che
nb>a [nell’esempio di prima, n può essere 17, dato che
17x7>115 ma anche 20, 20x7>115]
Consideriamo il sottoinsieme B dei numeri naturali n che verificano la relazione nb>a; per A14 il sottoinsieme B ha un minimo, che chiamiamo m.
Dunque m è il numero naturale più piccolo che verifica la relazione mb≥a
[nell’esempio m=17]
Questo significa che mb ≥ a e che (m-1)b≤a [nell’esempio 17x7>115 e 17x6<115]
Essendo (m-1)b≤a, possono aversi solo 2 possibilità
1. (m-1)b=a
Allora a=qb+r con q=m-1 e r=0
2. (m-1)b<a Ma se il numero a è maggiore del numero (m-1)b significa (per la definizione di numero maggiore vista prima) che esiste un numero r>0 tale che
a=(m-1)b+r
Se q=m-1 otteniamo proprio a=qb+r.
Resta da far vedere che r<b.
Se fosse r=b, allora a=(m-1)b+b=mb mentre è mb>a
Se fosse r>b avremmo addirittura a>mb.
Quindi deve essere r<b.
Dimostrazione dell’unicità di (q,r)
Si ragiona per assurdo. Si suppone, cioè, che
Oltre a (q,r) esista una coppia diversa (q’,r’) con le stesse caratteristiche, cioè
a=bq+r
a=bq’+r’
con 0≤r<b e 0≤r’<b.
Dato che q≠q’, deve esse q>q’ oppure q<q’. Supponiamo che sia q>q’: deve esistere h>0 tale che q= q’+h
Allora a=bq+r diventa a=b(q’+h)+r= bq’ + bh + r
Sappiamo che a=bq’+r’, quindi
bq’+bh+r=bq’+r’
bh+r=r’
Cioè
r’≥bh
Poiché h è un numero naturale >0, sarà h ≥1 e quindi bh ≥ b, cioè r’≥bh ≥b ovvero r’≥b. Ma questo è contrario a quanto avevamo supposto.
Ne dobbiamo dedurre che la coppia (q,r) non può essere distinta dalla coppia (q’,r’)
Si può vedere che anche supponendo q<q’ si arriva a una contraddizione.
In conclusione Per ogni coppia ordinata (a,b) di numeri
naturali con b>0, esiste una e una sola coppia
ordinata (q,r) di numeri naturali, con 0≤r<b tali che a=bq+r
Osservazioni
Se in
a=bq+r
si ha r=0, cioè a=bq, allora si dice che a è divisibile per b e che b è divisore di a (a multiplo di b).
In generale q si dice quoziente (quoto se r=0) tra a e b, mentre l’operazione che alla coppia (a,b) con b>0, associa q si chiama divisione. Possiamo dire che la divisione sia veramente un’operazione binaria e interna?
Osservazione
La relazione b divide a (il che succede quando esiste q tale che a=bq) che si scrive b|a è una relazione d’ordine?
E’ riflessiva (a|a)
E’ antisimmetrica (a|b e b|a solo quando a=b)
E’ transitiva (se a|b e b|c allora a|c)
La divisibilità è una relazione d’ordine in N
E’ una relazione d’ordine totale?
I numeri 0 e 1
Il numero 0 è divisore di un numero non nullo a?
No. Se così fosse, esisterebbe q tale che a=q0!
Il numero 1 è divisore di un numero non nullo a?
Sì, perché a=1.
Il numero 0 è divisibile per un numero a?
Sì, perché 0=a0.
Proprietà della divisione
Proprietà invariantiva
Se a, b, m sono numeri naturali con m≠0 e se b|a, allora
a:b = (a x m): (b x m)
Se poi m|a e m|b, si ha anche
a:b = (a:m) : (b:m)
L’algoritmo della divisione http://progettomatematica.dm.unibo.it/Basi/node4.html
Esaminiamo ora l'algoritmo in dettaglio, anche in questo caso direttamente in un caso concreto. Cosa facciamo in realtà quando dividiamo, ad esempio, 3073 per 37 ?
Cominciamo con il selezionare, nel numero 3037, gruppi di cifre a partire da sinistra. Otteniamo: 3, 30, 307.
I primi due gruppi selezionati danno un numero minore di 37, il terzo dà invece 307, che è maggiore di 37.
A questo punto, ci fermiamo, e osserviamo che
307=8x37+11
3073= 10x307+3
Allora possiamo ragionare nel modo seguente: 3073= 307 x 10 +3 = (8 x 37 + 11) x 10 +3 = = 80 x 37 + 110 + 3 = 80 x 37 + 113
che ci darebbe quoziente 80 e resto 113.
Ma 113>37, per cui proseguiamo osservando che
113 = 3 x 37 + 2
E quindi abbiamo
3037 = 80 x 37 + 3x 37 + 2 = 83 x 37 +2
Abbiamo così ottenuto che 3037 diviso per 37 ha quoziente 83 e resto 2.
L'algoritmo solito per la divisione è proprio una codifica di questo ragionamento. Cominciamo selezionando il più piccolo gruppo di
cifre del dividendo, cominciando da sinistra, in modo tale da avere un numero maggiore o uguale del divisore. Nel nostro caso otteniamo 307.
Dividiamo ora 307 per 37, ottenendo quoziente 8 e resto 11.
Come facciamo a trovarli ? Possiamo "indovinare" il quoziente 8, procedendo per tentativi, e calcolare il resto moltiplicando 37 per 8 e sottraendo il prodotto da 307.
In questo modo abbiamo ottenuto la prima cifra del quoziente finale, cioè 8.
A questo punto "abbassiamo" la cifra del divisore, il che significa proprio moltiplicare per 10 il resto precedente e sommare 3, ottenendo 113.
Dividiamo poi 113 per 37, come prima, ottenendo sempre un quoziente a una sola cifra, che è l'ultima cifra del quoziente finale, e un resto, che dà il resto finale.
Il procedimento che abbiamo appena visto si riassume di solito in forma grafica, ad esempio così:
Questo è uno schema «a danda lunga». Spesso si usa lo schema «a danda corta» in cui non compaiono i prodotti parziali come 296 e 111.
Tavola della divisione
Il Massimo Comun Divisore (MCD) La definizione
Dati due numeri naturali a e b non ambedue nulli, si definisce Massimo Comun Divisore di a e b il numero d che possiede le proprietà
(1) d|a e d|b
(2) se un numero naturale n divide a e b allora divide anche d
Si indica con
MCD(a,b)=d o anche solo con (a,b)=d
Esempio
Il MCD di 60 e 40, si può indicare con (60,40)
Divisori 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Divisori 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Divisori comuni: 1, 2, 4, 5, 10, 20
(60, 40)= 20
sia secondo la definizione data, sia secondo quella più comune (sono equivalenti)
Es. (15,0)=? (12, 12)=?
Il Massimo Comun Divisore (MCD) L’algoritmo euclideo – Un esempio
Trovare MCD(1800,326)
Per il teorema di divisibilità posso scrivere:
1800 = 326 x 5 + 170
Se un numero divide 326 divide anche 326x5. Se un numero divide 1800 e 326 divide anche 1800 e 326x5 e divide pure la loro differenze
1800-326x5= 170
Quindi ogni numero che divide 1800 e 326 divide anche 326 e 170.
Il Massimo Comun Divisore (MCD) L’algoritmo euclideo – Un esempio
Quindi MCD(1800, 326)=MCD(326,170)
326= 170x 1 + 156
Quindi
MCD(326,170)=MCD(170, 156)
170=156x1+14
MCD(170, 156)=MCD(156,14)
156= 14 x 11 + 2
MCD(156,14)=MCD(14,2)
14= 7x2 + 0
MCD(14,2)=MCD(2,0)=2
Il Massimo Comun Divisore (MCD) L’algoritmo euclideo – In simboli
Dati a e b con a>b e b>0
a=bq+r con 0≤r<b
b=rq1+r1 con 0≤r1<r
r=r1q2+r2 con 0≤r2<r1
….
rn-2=rn-1qn+rn con 0≤rn<rn-1
rn-1=rnqn+1+0
Allora MCD(a,b)=rn
Nota bene
Se si applica l’algoritmo euclideo (Elementi VII.2)
l’ultimo resto diverso da zero è il Massimo Comun Divisore.
L’algoritmo euclideo si basa solo sulla nozione di divisibilità. A differenza dell’algoritmo più comune, non richiede la conoscenza della fattorizzazione in primi, la cui esistenza e unicità si basa sul Teorema fondamentale dell’Aritmetica
Il teorema fondamentale dell’aritmetica
Ogni numero naturale maggiore o uguale a 2 si scompone, in maniera unica, in un prodotto di potenze di numeri primi.
I numeri primi La definizione formale
Un numero naturale p>1 si dice primo se ha due soli divisori: 1 e p; altrimenti si dice composto.
Questa definizione divide i numeri in tre insiemi
1. I numeri 0 e 1
2. I numeri primi
3. I numeri composti
Quanti sono i numeri primi?
La proposizione IX.20 degli Elementi di Euclide
afferma che «i numeri primi sono più di qualsiasi moltitudine assegnata», cioè dato un insieme di numeri primi è sempre possibile trovare un numero primo che non appartiene a quell’insieme.
Spesso oggi questo teorema, che si dimostra per assurdo, si formula così
Teorema: L’insieme dei numeri primi è infinito Un esempio
Sia A = 2, 3, 5
Considero n = 2 x 3 x 5 + 1 = 31
31 è un numero primo che non sta in A
Teorema: L’insieme dei numeri primi è infinito http://web.math.unifi.it/users/dolcetti/ComplDivNumPrim.pdf
Sia A un insieme che contiene un numero finito di numeri primi A= 2, 3, 5, 7, 11 … . 𝑝 dove p è il più grande dei numeri primi. Consideriamo un nuovo numero n= 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x ... x p + 1 Sicuramente n>p ed è un numero diverso da quelli contenuti in A. Se n è un numero primo siamo giunti a una contraddizione perché avevamo supposto che p fosse il numero primo più grande.
Teorema: L’insieme dei numeri primi è infinito
Se n non è un numero primo, allora è un numero composto. Se n è un numero composto, ammetterà tra i suoi divisori almeno uno dei numeri primi contenuti in A. Supponiamo che questo divisore primo sia h. Dunque h|n e
h|2 x 3 x 5 x 7 x 11 x ... x p
Essendo
n= 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x ... x p + 1
n – (2 x 3 x 5 x 7 x 11 x ... x p) = 1
Teorema: L’insieme dei numeri primi è infinito
si deve necessariamente concludere che h|1, il che è impossibile.
La conclusione a cui siamo arrivati partiva dall’ipotesi che l’insieme A contenesse un numero finito di elementi. Dal momento che la conclusione è «assurda» si deduce che siamo partiti da un’ipotesi sbagliata e dunque l’insieme A deve contenere un numero infinito di elementi.
Come si trovano i numeri primi? http://web.math.unifi.it/users/dolcetti/crivello.pdf
Scheda Prof.Dolcetti Consigli di lettura: H.M. Enzensberger, Il mago dei numeri, pp.51-60 La voce «crivello di Eratostene» su Wikipedia fornisce una rappresentazione dinamica del funzionamento.
Materiali
Parte di questa presentazione è tratta da L.Bazzini, M.Ferrari, Il mondo dei numeri naturali, Torino, SEI 1987. Gli argomenti della presentazione sono trattati in maniera molto simile (ma più concisa) anche in L.Bazzini, A.Scimone, F.Spagnolo, Il mondo dei numeri. Teoria e didattica, Palumbo 2006, Capitolo 1 Oppure F.Speranza, D. Medici Cafarra, P. Quattrocchi, Insegnare la Matematica nella scuola elementare, Zanichelli, Bologna, 1986, Capitolo 3 Aritmetica razionale (in parte)
Materiali
Dal sito del Liceo Scientifico Vallisneri è scaricabile gratuitamente:
Aritmetica, Quaderno UMI n.23, 1996-97
http://www.liceovallisneri.it/pubblicazioni/23_aritm.PDF
M.Ferrari, Aritmetica, pp. 11-33
L.Cannizzaro, Introduzione al concetto di numero, pp.34-66
Materiali per la didattica
Sito dell’Unione Matematica Italiana (UMI)
http://umi.dm.unibo.it/area_download--37.html
In fondo, nella sezione Materiali per la Scuola,
scaricare il file pdf corrispondente a Matematica 2002. Contiene proposte didattiche relative a «numero, spazio e figure, relazioni, dati e previsioni, argomentare, misurare, problemi»
