DIVISIÓN ALGEBRAICA

VEREMOS LOS CASOS:

1 Monomio entre monomio

Para dividir dos monomios solo dividimos parte constante entre parte constante y parte variable entre parte variable.

Así:

Ejemplo 1

Efectuar: 15x4y5 2x2y

15 x4 y5

2x2 y=152.x4 y5

x2 y

= 7 . 5 x2y4

Obs.:

i)

x4

x2=x 4−2=x2

ii)

y5

y= y5−1= y 4

Ejemplo 2

Calcular:

39 x p y8 n z4 k+3

13 x2 y2n z2 k−5

3913

.x p

x2.y8 n

y2 n.z4 k+3

z2 k−5

p – 2 8n – 2n (4k + 3) – (2k + 5)

p – 2 6n 4k + 3 – 2k +

5

p – 2 6n 2k + 8

exp. “x” exp. ”y” exp. ”z”

39 x p y8 n z4 k+3

13 x2 y2n z2 k−5=13 x p−2 y6 n z2 k+8

2 Polinomio entre monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio. Así:

Ejemplo 1

Efectuar:

15 x3 y4 z2−25 x7 y3+18 x5 z3

5 x4 y3 z2

Cada:

i)

15 x3 y4 z2

5x 4 y3 z2=3 x−1 y

ii)

−25 x7 y35 x4 y3 z2 = -5x3z-2

iii)

18 x5 z3

5x 4 y3 z2=185xy−3 z

Luego:

La Rpta. será: 3 x−1 y−5 x3 z−2+18

5xy−3 z

Ejemplo 1

Calcular:

21 x p yn zq+18 x3 p y 4 n z5−3 x p+3 y2 n+5 z3q−1

−3x p−4 y2n z2 q−3

i)

21 x p yn zq

−3x p−4 y2n z2 q−3=−7 x4 y−n z3−q

Los exponen- tes

quedarían

Observa que se divide

cada término del polinomio

entre el monomio.

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº TERCER AÑO

Recuerda:xm

xn=xm−n

ii)

18 x3 p y4 n z5

−3x p−4 y2n z2 q−3=−6 x4−2 p y2n z8−2q

iii)

−3x p+3 y2n+5 z3 q−1

−3 x p−4 y2 n z2q−3=x7 y5 zq+2

Luego:

La Rpta. será:

-7x4y-nz3-q – 6x4-2py2nz8-2q + x7y5zq+2

3 POLINOMIO ENTRE POLINOMIO

Para poder dividir un polinomio entre polinomio. Generalmente de una variable (División Euclidiana) se utilizan métodos prácticos como Horner, Ruffini con la finalidad que verifique la siguiente identidad.

D(x) d(x) . q(x) + R(x)

Grado D(x) > Grado d(x)

Donde:

D(x) : Dividendo

d(x) : Divisor

q(x) : Cociente

R(x) : Residuo o Resto

Nota:

R(x) = 0 División Exacta

R(x) 0 División Inexacta

MÉTODO DE HORNER

Se sigue los siguientes pasos:a) Se completan y ordenan los polinomios

dividendo y divisor.b) Si dibujas dos líneas. Una horizontal, otra

vertical que se corten a un extremo.c) Sobre la línea horizontal se colocan los

coeficientes del dividendo con todo su

signo (obviar el +).

d) En el casillero intersección se coloca el

primer coeficiente del divisor.

e) El lado de la línea vertical se colocan los

demás coeficientes del divisor, pero

cambiado de signo.

f) Se cierra el diagrama con una línea

horizontal.

ESQUELETO

Ejemplo 1

Dividir:

9 x4+2x2+6 x−83x2+ x−2

D(x) = 9x4 + 0x3 + 2x2 + 6x – 8

d(x) = 3x2 + x – 2

q(x) = 3x2 – x + 3 R(x) = x – 2

Se conoce

Se desea calcular

Ojo: Para poder dividir los polinomios dividendo (D(x)) y divisor (d(x))

deben estar completos y ordenados y si falta algún término

se completa con ceros.

(-1)

ResiduoCociente

Nota: La cantidad de lugares que tiene el residuo es igual al grado del divisor contar de derecha a izquierda.

Divisor

Dividendo

T.IxT.Ixx2

-213-13

6-3

-212

6-3-1

-862093

2 lugares porque el grado del divisor es 2

DIVISIÓN D(x) y d(x)

5x 4−2x2+3−5 x5+2x2−x

D(x) =

d(x) =

5x 4−3+4 x3−2 x2

x2+2−xD(x) =

d(x) =

3x 4−5x2+23+ x3

D(x) =

d(x) =

2x4−5 x3+32 x2−2x

D(x) =

d(x) =

Completar y Ordenar los Polinomios

I. En los siguientes casos dividir e indicar el coeficiente resultante:

1.

14 x7 y 4 z7

2x5 yn z p

Rpta.: ………………………………………

2.

−5x2 n+ p y3m+q z2 n−5

3 x5 p−n y4 q+2m zn−7

Rpta.: ………………………………………

3.

12 x5 y−2 z2q

7 x p+4 y−5 z3 q−5

Rpta.: ………………………………………

4.

2x2m+3 n−5 y5m−2 p+4 z5 p+ 4

3x2 n−7+m y3m+2−p z3 p−4

Rpta.: ………………………………………

5.

5 x3m−2 p+4 q−n y5m+2 q−3 p+5 n

−3x2m+3 p−2 q+n y3m+2 q−5 p+n

Rpta.: ………………………………………

II. En los siguientes casos dividir e indicar la suma de coeficientes:

6.

5xm−n y2m−3+7 xn−m y2 n−7

3xm yn

Rpta.: ………………………………………

7.

5+4 x5 y2−3 x4 y5+2 xy5 x4 y3

Rpta.: ………………………………………

8.

−2+3 x5+4 x8−3 x7

3 x6

Rpta.: ………………………………………

9.

3xm+n+ p−4 xn−m−p+5 x2m−2 n−3 q+5 x p

3 xm+n+ p+q

Rpta.: ………………………………………

10. Dividir: 3x2m+3n+4py2q+3p-

4+5x2m+4n-3py5p+4q

Entre: 5xm+2yp+q+3

Rpta.: ………………………………………

III. Dividir (utilizando Método de Horner) indicar el cociente [q(x)] y el resto [R(x)]

11.

x4−2x3−15 x2+28 x−72 x2−4 x+3

q(x) =

………………………………………

R(x) =

………………………………………

12.

10 x5−13 x3+4 x2+4 x+32x2−1

q(x) =

………………………………………

R(x) =

………………………………………

13.

9 x7−15 x5−6 x3+12 x4−20 x2−83 x4−5 x2−2

q(x) =

………………………………………

R(x) =

………………………………………

14.

6 x5−8 x4+3 x3+16 x2+63 x3−4 x2+5

q(x) =

………………………………………

R(x) =

………………………………………

15.

15 x4−17 x2+20 x3−18x+53 x2+4 x−1

q(x) =

………………………………………

R(x) =

………………………………………

TAREA DOMICILIARIA Nº 4

I. Dividir los siguientes monomios:

1.

25 x5 y3 z4

−5x2 y8 z5

Rpta.: ………………………………………

2.

−15x2m+ p y3n+2 z2 p−3

3 x p−2m y2 n−4 z4−p

Rpta.: ………………………………………

3.

1215 x4 y7 z−a

81 x5 y8 z−3

Rpta.: ………………………………………

4.

3x2 p+3 q+5 y25+3 p−q z p+q+3

2 x p+3q+5 y5−q+2 p z3−q−p

Rpta.: ………………………………………

5.

a2 x+3 y−4 z+2wb5 y+3 x−z−wc5 x+ y+ z−w

2ax+2 y−z+w b2 y− x−z +wc x+ y−z−w

Rpta.: ………………………………………

II. Hallar el cociente en cada uno de los siguientes casos:

6.

3xm+n y2m−n+7 xn−m y7−2 n

5 xn ym

Rpta.: ………………………………………

7.

3+2x5 y7−4 x3 y4+2 xy7 x5 y4

Rpta.: ………………………………………

8.

−2+x3−x8+3 x2−4 x2 x5

Rpta.: ………………………………………

9.

8 xa+b+c−4 xa−b−c+5 x2 a+2b−3c+5xa

7 xa+b+c

Rpta.: ………………………………………

10.

14 xa−b−c−d+21 x2 a+2b+c+d−3 x3 a+2b−3 c+d+4 x5a+3 b−4 c+2 d

2x a+b+c+d

Rpta.: ………………………………………

III. Dividir utilizando Método de Horner e indicar el cociente y el residuo.

11.

2x5−14 x3+x2+28x−15x2−5

q(x) =

………………………………………

R(x) =

………………………………………

12.

x4−10 x3+31 x2−30 x+18

q(x) =

………………………………………

R(x) =

………………………………………

13.

15 x4−6 x2+15x2−1

q(x) =

………………………………………

R(x) =

………………………………………

14.

27 x3+89 x2+6 x+4

q(x) =

………………………………………

R(x) =

………………………………………

15.

x7−x6−x5−4 x 4+4 x3−3x2−x+1x2−x+1

q(x) =

………………………………………

R(x) =

………………………………………