UvodVeliinaOdnosProporcijaZlatni presekZlatni presek linijaZlatni presek povrina Zlatni pravougaonikZlatna spiralaZlatni presek u umetnostiZlatni presek u arhitekturiZlatni presek u prirodiProporcije ljudskog tela i Zlatni presek

Do sada smo nauili: Prostor je sve ono to nas okruuje.Likovni prostor ili prostor umetnikog dela moe biti dvodimenzionalan (papir, platno) i trodimenzionalan (skulptura, arhitektura...).Prostor slike je dvodimenzionalna povrina na kojoj se moe stvoriti iluzija trodimenzionalnosti (perspektiva).

Linija je likovni element, odnosno element kompozicije koji ima samo jednu dimenziju duinu.Konturna linija gradi povrinu i oblik. Povrine su dvodimenzionalne jer imaju samo duinu i irinuOblici mogu biti dvodimenzionalni i trodimenzionalni.Tela su trodimenzionalni oblici jer pored duine i irine imaju i visinu.I linije i povrine i oblici zauzimaju neki prostor.Mera koju linije, povrine i oblici zauzimaju u prostoru naziva se veliina.

Veliina je prostorni element koji se odreuje merenjem.Veliina odreuje prostorni intenzitet linije, povrine ili oblika u odnosu na druge linije, povrine ili oblike i apsolutni prostor.Veliina neke linije, povrine ili oblika je relativna u odnosu na drugu liniju, povrinu ili oblik.

Odnos je poreenje dve nejednake mere, veliine, koliine ili dva svojstva. Odnos predstavlja meru razliitosti - nejednakosti. Izraava se sa: a:b i ita se a prema b, ili a u odnosu na b. To mogu biti odnosi jednog dela prema celini, ili odnos dva dela jedan prema drugom.

Proporcija je poreenje jednakosti dva odnosa i izraava se: a:b=c:d

to znai da se a:b (a prema b) odnosi jednako kao i c:d (c prema d).

Proporcionalan znai biti jednakog odnosa.

U umetnosti proporcije su odnosi veliina (linija, povrina, oblika) unutar jedne forme, tj. kompozicije. Proporcije razvijaju i afirmiu jedinstvo celine. Dobra proporcija znai da se svaki element kompozicije nalazi u harmoninom odnosu.

Posmatrajui oblike u prirodi, ovek je od davnina shvatio da, kako u biljnom tako i u ivotinjskom svetu, postoje odreeni pravilni odnosi delova i sklad oblika i da se oni nalaze, kako se smatralo, u prirodom, odnosno Bogom danom savrenom idealnom odnosu i proporcijama, koji su zbog toga nazvani Boanski. Leonardo da Vini je nazvao Zlatni odnos i proporcija, a presek koji odvaja celinu na idealne delove Zlatni presek.

Zlatni (boanski) presek je odnos veliina gde se manji deo odnosi prema veem, kao vei prema celini, ili obrnuto gde se vei deo odnosi prema manjem kao i celina prema veem delu.

Zlatni presek se moe matematiki izraziti kao:Ako je a= 1.0 onda je b=0.618 tj. a+b= 1.618

Manji deo naziva se minor (m), a vei Major (M).

Rezultat ove proporcije je zlatni broj fi - phi (zlatna sredina ili zlatni presek) tako nazvan po grkom vajaru i arhitekti Fidiji (Phidia). Njegova numerika vrednost priblino iznosi =1.6180339887499ili zaokrueno 1,618.To znai da je odnos majora (veeg dela) prema minoru (manjem delu) priblino 1,618 i obrnuto odnos minora prema majoru 0,618.

2/1 =23/2=1.55/3=1.6668/5=1.613/8=1.62521/13 =1.615384634/21 =1.61904...Moe se uoiti da je, sem za nekoliko prvih brojeva, kolinik konstantan i da oscilira oko 1,6.... Za odnos brojeva 89:55

Italijanski matematiar Fibonai je jo u XIII veku utvrdio da je u nizu brojeva (koji je po njemu i dobio ime) 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,. - svaki broj iz niza jednak zbiru dva prethodna broja: 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5. 3+5=8... , kao i - da, ako svaki broj iz niza podelimo sa svojim prethodnikom dobiemo sledee kolinike:

= 1.6180339887498948482045 ili zaokrueno = 1,618

Zlatni presek linije moemo dobiti raunski tako to emo vrednost duine linije podeliti sa 1,618. Dobijena vrednost predstavlja vei deo major.Kako neku liniju kao celinu podelili na dva idealna dela koji se nalaze u zlatnom preseku geometrijski pokazuje sledei primer.Najpre liniju AB podeliti na dva jednaka dela koristei se estarom, a zatim:1. Iz take B povui vertikalu BC polovine duine AB, pa taku C spojiti sa takom A.2. Iz take C povui luk poluprenika CB iz take B do preseka sa AC u taki D.3. Iz take A povui luk poluprenika AD sa poetkom u taki D do preseka sa AB u taki S. Taka S deli zadatu du AB na dva dela AS (major M) i SB (minor m), ije duine se nalaze u Zlatnom preseku.

Idealna pravougaona povrina je ona kod koje je odnos duine prema irini jednak = 1,618. To je najskladniji oblik pravougaonika koji se najee koristi i sree i naziva se Zlatni pravougaonik ili Auron.Zlatni pravougaonik se konstruie iz kvadrata na sledei nain prikazan na primeru: 1. Konstruisati jedinini kvadrat (crveno). 2. Povui liniju dijagonalu od sredine jedne stranice u suprotan ugao. 3. Iskoristite tu liniju kao radijus i nacrtati luk koji definie duu dimenziju pravougaonika. 4. Konstruisati pravougaonik.

Konstrukcija Zlatnog pravougaonika iz kvadrata.

Ako se odstrani kvadrat iz kojeg je nastao Zlatni pravougaonik, pravougaonik koji ostane takoe e biti Zlatni pravougaonik.

Zasnovana je na Fibonaijevom nizu brojeva i est je oblik u prirodi (puevi, raspored semenki kod biljaka...).

Konstrukcija Zlatne spirale

Odnos Zlatne spirale i Zlatnog pravougaonika: Zlatna spirala je upisana u Zlatnom pravougaoniku.

Proporcionalnost je od izuzetne vanosti pri konstruisanju kompozicija u slikarstvu. Slikari koriste formate - povrine ije dimenzije ne moraju biti u odnosu zlatnog preseka, ve mogu imati razliite irine i duine.Svaka povrina kao celina se moe podeliti na dve manje povrine koje se nalaze u zlatnom preseku.Teorija, praksa i eksperimenti su dokazali, ako se slikarsko platno kao celina vizuelno podeli na manje povrine koje se nalaze u zlatnom preseku, da je poloaj gde se seku dva zlatna preseka idealan i estetski najbolji poloaj objekta na slici, nezavisno od oblika - formata slike i broja objekata na njoj.

Svaki format ima 4 take zlatnog preseka (desno gore, desno dole, levo gore i levo dole) koje se jednostavno konstruiu povlaenjem dijagonala i normala na njih.

Kada je na slici samo jedan objekat kao glavni fokus onda on treba da bude smeten u gornji desni poloaj zlatnog preseka.Ako su na slici dva objekta onda se drugi nalazi na levoj strani i simetrino sa prvim, zbog postizanja ravnotee.

Od Renesanse i povratka prirodi brojni umetnici su u svojim delima koristili Zlatni presek: Mikelanelo, Rafael, Rembrant, Sera, Dali, Mondrian...

Leonardo da Vini, Mona Liza

Leonardo da Vini, Tajna veera

Pietro Vannuci: Predaja kljueva

or Sera, Kupanje u Anijeru

Pit Mondrian, Crveno, uto, plavo

Salvador Dali, Sveta tajna poslednje veere

Nema pisanih tragova da su stari Egipani znali za Zlatni presek, ali je injenica da se u izgraenim piramidama jasno prepoznaju elementi Zlatnog preseka.

Zlatni presek su stari Grci masovno koristili u arhitekturi i pri izgradnji najlepih grkih hramova, posebno dorskih, kao to to pokazuje Partenon na Akropolju.

Partenon

Srednjovekovne graevine potovale su Zlatni presek - Katedrala Notr Dam u Parizu.

Savremena arhitektura takoe je u znaku Zlatnog preseka - Zgrada UN u Njujorku

Ljudi su od uvek pokuavali da utvrde odnose delova tela.Stari Egipani su koristili irinu dlana kao mernu jedinicu za prikazivanje proporcija ljudskog telaTelo sadri ukupno 24 dlana.Glava sadri 3 dlana.Do polovine tela je ukupno 12 dlanova itd.

Traganje za savrenim proporcijama dovelo je umetnike stare Grke do uspostavljanja kanona, odnosno modula osnovnih mera proporcionalnih pravila za prikaz idealnih mera ljudskog tela.

Antiki Grci su koristili odnos veliine glave i tela. Polikletov kopljonoa imao je 7 glava.

Posejdon ili Zevs

Najpoznatije proporcionalno obeleavanje oveka izvedeno je na crteu italijanskog slikara, skulptora i istraivaa Leonarda da Vinija (1452 1519.). Na tom crteu ljudsko telo je ucrtano u krunicu i kvadrat. Visina oveka jednaka je rini rastvorenih ruku. Postavljanjem ruku i nogu u dijagonalu ovek postaje centar krunice. Meutim, do tih zakljuaka Leonardo nije sam doao.

Crte je zapravo interpretacija dotadanjih antikih saznanja o proporcijama ljudskog tela, a koje je rimski arhitekta Vitruvije (I vek p.n.e.) objedinio. Vitruvije je bio prvi koji je ucrtao ljudsko telo u krunicu iji se centar nalazi u pupku, dok su ruke i noge rairene. Leonardo je ovaj postupak izmenio na taj nain to je ruke rairio u pravoj liniji, a noge skupio, tako da je kvadrat opisan oko tela imao presek dijagonala neto iznad pubisa, odnosno neto nie od pupka.

Leonardo da Vini

U Renesansi je, pored Leonarda, proporciju ljudskog tela razraivao je i nemaki slikar Albrecht Durer (1471 1528.). U 20. veku francuski arhitekta Le Corbusier, 1945. godine uvodi u teoriju i praksu sistem proporcija zasnovan na zlatnom preseku, primenjen na oveku, kao i modularni sistem modulor.

Muka figura 8 glava

Proporcije enskog tela visine 8 glava

Ako visinu ljudskog tela (M) uporedimo sa udaljenou izmeu pupka i stopala (m) dobiemo odnos 1,618. Istu proporciju u prosenom ljudskom telu ima i:Udaljenost izmeu vrha prsta i lakta / udaljenost izmee runog zgloba i lakta,Udaljenost izmeu linije ramena i vrha glave / duina glave,Udaljenost izmeu pupka i vrha glave / udaljenost izmeu linije ramena i vrha glave,Udaljenost izmeu pupka i kolena / udaljenost izmeu kolena i kraja stopala.

Na licu:Udaljenost izmeu usana i mesta gde se obrve sastaju / duina nosa, Duina lica / udaljenost izmeu vrha vilice i mesta gde se obrve sastaju,Duina usta / irina nosa,irina nosa / udaljenost izmeu nozdrva,Udaljenost izmeu zenica / udaljenost izmeu obrva.Na ruci:Odnos ake / prstiSrednji prst / mali prst,Puna duina prsta / dva dela prsta (osim palca koji ima samo dva dela).Na nozi:Odnos butine / potkolenice i dr.

Zlatni presek ne treba shvatiti kao kanon, ali e njegovo poznavanje uvek moi najirem krugu korisnika da olaka nedoumice u zasnivanju i reavanju proporcijskih problema, a mogua lutanja svesti na minimum.