VEKTÖRLER VE VEKTÖREL IŞLEMLER

1

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

Skaler büyüklük: Sadece şiddeti bulunan büyüklükler (örn: uzunluk, zaman, kütle, hacim, enerji, yoğunluk) Bir harf ile sembolize edilebilir. (örn: kütle: m)

2.1 Tanımlar

2

Şiddeti : V

Doğrultusu : AB

Yönü : A’dan B’ye doğru

Uygulama noktası : A

Yatayla yaptığı açı : θ

2.2 Vektörlerin Sınıflandırılması

3

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

Püf noktası 2-a: Sınıflandırmada esas vektörün etkime veya temsil durumunun değişmemesidir.

1-Serbest vektör (Free vector): Belirli bir şiddeti, doğrultusu ve yönü vardır ama etkime doğrultusu uzayda tek bir noktadan geçmez. Sabit bir hızla doğrusal hareket yapan bir aracın hız vektörü buna bir örnektir.

2- Kayan vektör (Sliding vector): Belirli bir şiddeti, doğrultu ve yönü vardır. Uygulama noktası etkime doğrultusu üzerinde herhangi bir nokta olabilir. Rijit bir cisme etki eden kuvvet, aynı etkiyi etkime çizgisi üzerinde herhangi bir noktadan uygulandığında da gösterir ki bu kuvvet kayan vektöre bir örnektir.

3- Sabit vektör (Fixed vector): Belirli bir şiddeti, doğrultu ve yönü vardır. Etkime doğrultusu uzayda tek bir noktadan geçer. Elastik bir çubuğa uygulanan çekme kuvvetleri buna bir misaldir. Kuvvetlerin aynı etkiyi koruması için etkime doğrultusu ve noktası sabit olmalıdır.

2.3 Kaydırılabilme İlkesi (Principle of transmissibility): Rijit cisim üzerine etkiyen

kuvvetin şiddeti, doğrultusu ve yönü aynı kalmak koşuluyla uygulama noktası

doğrultusu üzerinde herhangi bir noktaya taşınabilir ve bu işlem sonucu cisme etkisi

değişmez.

4

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.4 Kartezyen Koordinatlar : Birbirine dik (ortogonal) eksenlerden oluşan eksen

takımıdır. İki boyutlu (düzlemsel) durumda x ve y eksenlerini, üç boyutlu (uzaysal)

durumda x, y ve z eksenlerini içerir. x-y eksenleri genelde sayfa düzlemi içinde alınır,

yönleri keyfi olarak belirlenebilir; z ekseninin artı yönü ise sağ el kuralına göre belirlenir.

Sağ vida

Vidanın ilerleme yönü

Vidanın dönüş yönü

5

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5 Vektörel İşlemler

2.5.1 Toplama - Çıkarma

Vektörlerin Toplama ve çıkarma işleminde 2 yöntem vardır: a- Paralelkenar kuralı:

b- Üçgen Kuralı:

Toplama:

Çıkarma:

Toplama:

Çıkarma: 6

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5. Vektörel İşlemler

2.5.1 Toplama - Çıkarma

Birden Fazla vektörün toplanması: Üçgen kuralı daha pratiktir. Vektörler uç uca eklenir ve ilk vektörün başlangıcından son vektörün ucuna çizilen vektör bileşkeyi verir. Vektörlerin sırasının önemi yoktur. Çıkarılacak vektörün ise yönü ters çevrilerek eklenir.

7

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5 Vektörel İşlemler

2.5.2 Çarpma

a- Bir vektörün bir skalerle çarpımı:

Çarpılan vektörle aynı doğrultuda bir vektördür. Eğer çarpım katsayısı pozitif ise yönde aynıdır. Sonuçta vektörün şiddeti ile skaler çarpılır.

8

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5 Vektörel İşlemler

2.5.2 Çarpma

b- İki Vektörün Skaler Çarpımı: İki vektörün skaler çarpımı bir skalerdir. Her iki vektörün şiddetleri ve aralarındaki açının cosinüsünün çarpılmasıyla bulunur. Skaler çarpımda « nokta » kullanılır.

9

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5 Vektörel İşlemler 2.5.2 Çarpma

c- İki Vektörün Vektörel Çarpım: Sonuç bir vektördür. Çıkan vektörün şiddeti her iki vektörün şiddetleri ve aralarındaki açının sinüsünün çarpılmasıyla bulunur. Yönü ise çarpılan vektörlerin bulunduğu ortak düzleme diktir ve sağ el kaidesiyle bulunurç Vektörel çarpımda « x » veya «^» kullanılır.

10

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5 Vektörel İşlemler 2.5.2 Çarpma

d- Sağ el kaidesi: İlk çarpılan vektörü (A) 2nci vektörün (B) üzerine sağ elimizle dört parmağımızla kapatırız. Başparmağımızın yönü sonuç vektörünün (C) yönünü verir. Bu yön çarpılan vektörlerin düzlemine dik yöndür. Bu nedenle vektörlerin çarpım sırası önemlidir.

Vektörel Çapımda Dağılma Özelliği 11

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

Buna göre, bir vektör şiddeti ile kendi doğrultusundaki birim vektörün çarpına eşittir. Yani:

Bir doğrultudaki birim vektörü bulmak için (I) formülü, Özellikle kartezyen koordinatlarda Vektörün ifadesi için ise (II) formülü kullanılır. Örnek:

(I)

(II)

Kartezyen koordinatlarda eksenler (x,y,z) doğrultularındaki birim vektörler, özel olarak i, j,k ile sembolize edilir.

2.5 Vektörel İşlemler

12

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5.3.1 Kartezyen birim vektörlerin vektörel çarpımı: Aralarındaki açı 90 olan i, j ve k birim vektörlerinin vektörel çarpımı

Şema yardımı ile birim vektörlerin vektörel çarpımı: i,j,k vektörlerinde herhangi ikisinin çarpımı diğer 3ncü vektörü verir. İşareti ise yandaki şema yardımıyla bulunur. Çarpılan ilk vektörden, çarpılan ikinci vektöre gidiş yolu saat ibresi yönünde ise sonuç pozitif, aksi halde negatiftir.

Şemada j den k ya gidiş saat ibresi yönünde olduğundan çıkan sonuç + i dir.

Örn-1:

Örn-2: Şemada i den k ya gidiş saat ibresi tersi yönündedir. Bu nedenle çıkan sonuç - j dir.

2.5 Vektörel İşlemler /Birim Vektör

13

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

jk i , ijk , kij

jik , ikj , kji , 190sinjiji

0kk , 0jj , 00siniiii

−=×−=×−=×

=×=×=×==×

=⋅=×==×

Birim vektörlerin kendisi ile vektörel çarpımı sıfırdır. Birim vektörlerin kendisi ile scaler çarpımı 1 dir.

Birim vektörlerin diğer birim vektörlerle scaler çarpımı 0 dır. Örn:

2.5 Vektörel İşlemler /Birim Vektör

14

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5.4 Vektörel çarpımın matris formatı: 2.5 Vektörel İşlemler

15

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5.4.1 Karışık Üçlü Çarpım: Bir kuvvetin bir doğruya göre momenti alındığında kullanılır.

( ) ( )

( )zyx

zyx

zyx

zyx

zyxzyx

zyx

zyx

zyx

WWWVVVUUU

WVU

WWWVVVkji

kUjUiUWVU

kWjWiWW

kVjViVV

kUjUiUU

=×⋅

⋅++=×⋅

++=

++=

++=

veya

2.5 Vektörel İşlemler /Vektörel Çarpımın Matris Formatı

16

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5.7 Bileşen: Bir vektörün 2 farklı eksene göre bileşenlerini bulmak için, vektörün ucundan herbir eksene paralel çizgiler çizeriz. Bu çizgilerin eksenleri kestiği noktalar vektörün bileşenlerini verir.

2.5.6 İzdüşüm : Bir vektörün bir eksen üzerindeki izdüşümü vektörün ucundan o eksene inilen dik ile bulunur.

2.5 Vektörel İşlemler

17

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5.7.1 Bileşenle İzdüşüm Arasındaki Fark:

Eksenler birbirine dik olduğunda bileşen ve izdüşümler üst üste çakışır ve aynı olur. Kartezyen koordinat eksenleri (x,y,z) birbirlerine diktir.

18

2.5 Vektörel İşlemler / Bileşen

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5.7.2 Bileşenle İzdüşüm Ne zaman aynı olur?:

2.5.7.2 Bir Vektörün Bir Doğruya Dik ve Paralel Bileşenleri

19 U

b

θ

Şunları da görebilmek gerekir:

: Aynı zamanda b eksenindeki izdüşümdür.

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5 Vektörel İşlemler / Bileşen

2.5.7.3 İki Boyutlu (Düzlemsel) Kartezyen Koordinatlarda Vektör Bileşenleri

2.5.7.4 Üç Boyutlu (Uzay) Kartezyen Koordinatlarda Vektör Bileşenleri

20

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5 Vektörel İşlemler / Bileşen

2.5.7.5 Bileşen Örnekleri:

Düzlemde kartezyen koordinatlara göre bileşenler. Aynı zamanda izdüşümlerdir.

Uzayda kartezyen koordanatlara göre bileşenler. Aynı zamanda izdüşümlerdir.

Kartezyen koordinatlara göre olan bileşenler Dik Bileşenler olarak da isimlendirilir.

Gerçek yaşamdan bir örnek

21

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5 Vektörel İşlemler / Bileşen

2.5.8 Üç boyutlu vektörlerin kartezyen koordinatlarda gösterilmesi:

Birim vektör:

Şiddeti:

22

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.5 Vektörel İşlemler / Bileşen

2.6 Konum Vektörü: Başlangıç ve bitiş noktasının koordinatları belli olan bir vektörün şu şekilde bulunur.

23

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

2.7 Kartezyen Koordinat eksenlerinin yerleştirilmesi: Kartezyen koordinatlardan 2 eksen keyfi olarak yerleştirilir. Ancak 3ncü eksen mutlaka

sağ el kaidesiyle yerleştirilmelidir. Yerleştirilen eksenlerdeki birim vektörler birbirleriyle, sonuç pozitif çıkacak şekilde

(sırada) çarpılır. Sağ el kaidesine göre ilk çarpılan vektörü 2ncisi üzerine sağ elimizin 4 parmağı ile

kapatırız. Baş parmağımız çarpım sonucunun yönünü verir ki bu da 3ncü eksenin pozitif yönüdür.

Soru: Şekle göre +y ekseni ne tarafa olmalıdır.

Cevap: +j çıkması için

24

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler

Çözüm:

25

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler 2.8 Örnekler

Örnek 2.8.2: Bir V vektörünün başlangıcı kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasına yerleştirildiğinde uç noktası A (60,30,20) koordinatlarında ise bu vektörün a) bu koordinat sistemindeki yazılışını, b) şiddetini, c) birim vektörünü, d) koordinat eksenleri ile yaptığı açıları bulunuz.

26

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler 2.8 Örnekler

A(0,1,2) , B(2,0,0)

27

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler 2.8 Örnekler

A(0,1,2) , B(2,0,0), C(2,1.5,0)

28

2- Vektörler ve Vektörel İşlemler 2.8 Örnekler