Embed Size (px)
Citation preview
Målet er at give indsigt i
vektorregning, så eleven kan
illustrere og beskrive punktmængder
i rummet, samt anvende regneregler
for vektorer i rummet til løsning af
teoretiske og praktiske problemer.
Opgaver til hæftet kan hentes her
Facit til opgaverne hente her. PDF
Version 5.0
Henrik S. Hansen
Sct. Knuds Gymnasium
Vektorer i rummet
Indhold Vektorer i rummet ............................................................................................................................................. 1
Regning med vektorer i rummet ....................................................................................................................... 2
Definition: Sum og differens af vektorer i rummet. ...................................................................................... 2
Definition: Gange en vektor med et tal ......................................................................................................... 2
Sætning: Regneregler .................................................................................................................................... 3
Længde og afstande i rummet .......................................................................................................................... 3
Sætning: Længde af en vektor i rummet ................................................................................................... 3
Skalarprodukt .................................................................................................................................................... 5
Definition: Skalarprodukt .............................................................................................................................. 5
Sætning: Regneregler for skalarprodukt ....................................................................................................... 5
Vinkel mellem vektorer ..................................................................................................................................... 7
Sætning: Vinkel mellem vektorer .................................................................................................................. 7
Projektion .......................................................................................................................................................... 9
Sætning: Projektionsformlen ..................................................................................................................... 9
Vektorprodukt ................................................................................................................................................. 11
Definition: Vektorprodukt/krydsprodukt .................................................................................................... 11
Sætning: Egenskaber ved krydsprodukt ...................................................................................................... 12
Linjer i rummet ................................................................................................................................................ 14
Skæring mellem linjer .................................................................................................................................. 14
Afstand fra punkt til linje ............................................................................................................................. 17
Sætning: Afstand fra punkt til linje .......................................................................................................... 17
Projektion af punkt på linje ......................................................................................................................... 19
Planer i rummet ............................................................................................................................................... 19
Sætning: Planens ligning .............................................................................................................................. 20
Parameterfremstilling for en plan ............................................................................................................... 20
Afstand fra punkt til plan ............................................................................................................................. 21
Sætning: Afstanden fra punkt til plan...................................................................................................... 22
Skæring mellem linje og plan ...................................................................................................................... 24
Vinkel mellem linje og plan ......................................................................................................................... 25
Vinkel mellem to planer .............................................................................................................................. 26
Kugler ............................................................................................................................................................... 27
Sætning: Kuglens ligning ............................................................................................................................ 27
Skæring mellem linje og kugle ..................................................................................................................... 28
Plan og kugle ................................................................................................................................................ 29
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 1
Vektorer i rummet En vektor er i geometrien et objekt, der er karakteriseret ved at have en størrelse og en retning.
Normale tal kaldes skalarer, disse består kun af en størrelse, dette er imidlertid ikke beskrivende
nok for mange fænomener - f.eks. en hastighed. Når man snakker om en hastighed har den både en
størrelse (kaldet farten) og en retning. Ud over hastighed anvendes geometriske vektorer inden for
fysikken også til at beskrive eksempelvis kræfter, acceleration og meget andet. Vektorer bruges ofte
i planen, dvs. i to dimensioner, i form af linjer, cirkler og trekanter. Nu går vi skridtet videre og
kigger på rumlige figurer, vi kigger med andre ord på objekter i et tredimensionelt rum.
Det første vi skal kigge på er det nye rum. Forestil dig at du
kigger ind i en plan (vores almindelige koordinatsystem).
Her løber den nye z-akse lige ud i os fra Origo.
Det er lidt svært at se den ☺. Forestil dig nu at du puffer til
planen så den vælter og ligger ned. Nu peger z-aksen op af
papiret. (video)
Det er RIGTIG svært at lave rumlige figurer på et
almindeligt papir, da det jo er plant….
En vektor i rummet, er en vektor der i modsætning til en
vektor i planen, også har z-koordinatet. En rummelig
vektor noteres som: �⃗� = (
𝑎1𝑎2𝑎3)
Se billedet til højre for eksempler på afsætning af
punkter i et tredimensionelt system.
”Tommelfinger”-reglen: Læg højre hånd med håndroden i Origo, og lad fingrene pege i positiv
retning samt håndfladen vendende mod de positive y-værdier. Nu peger z-aksen den retning som
tommefingeren peger.
Lav opgaver i hæftet
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 2
Regning med vektorer i rummet
Vi så i noterne om vektorer i planen, at de fleste af de regneregler, som vi kender fra regning med
tal, kan overføres til vektorer. Nu skal vi se at de også gælder i rummet. (video)
Definition: Sum og differens af vektorer i rummet.
Ved en sum og differens af to vektorer �⃗� = (
𝑎1𝑎2𝑎3) og �⃗⃗� = (
𝑏1𝑏2𝑏3
)
forstår man vektorerne �⃗� + �⃗⃗� = (
𝑎1𝑎2𝑎3
+𝑏1+𝑏2+𝑏3
) og �⃗� − �⃗⃗� = (
𝑎1𝑎2𝑎3
−𝑏1−𝑏2−𝑏3
)
Definition: Gange en vektor med et tal
Hvis t er et tal og �⃗� = (
𝑎1𝑎2𝑎3), forstår man ved 𝑡�⃗� vektoren
𝑡�⃗� = (
𝑡𝑎1𝑡𝑎2𝑡𝑎3
)
Hvis specielt 𝑡 = −1 så får man den modsatte vektor til �⃗�.
Længden af en vektor 𝑡�⃗� er den numeriske værdi af t ganget med længden af �⃗�
|𝑡�⃗�| = |𝑡| ∙ |�⃗�|
En vektor mellem to punkter beregnes som i planen. Så hvis to punkter er givet ved 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) og
𝐵(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2).
Da vil de to stedvektorer være
�⃗� = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (
𝑥1𝑦1𝑧1) og �⃗⃗� = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (
𝑥2𝑦2𝑧2).
Vektoren fås da til
𝑐 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (
𝑥2𝑦2𝑧2) − (
𝑥1𝑦1𝑧1) = (
𝑥2 − 𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑧2 − 𝑧1
)
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 3
Sætning: Regneregler
For regning med vektorer og tal gælder følgende regneregler:
1. �⃗� + �⃗⃗� = �⃗⃗� + �⃗� Kommutative lov
2. �⃗� + (�⃗⃗� + 𝑐) = (�⃗� + �⃗⃗�) + 𝑐 Associative lov
3. 𝑡(�⃗� + �⃗⃗�) = 𝑡�⃗� + 𝑡�⃗⃗� Distributive lov 1
4. (𝑠 + 𝑡)�⃗� = 𝑠�⃗� + 𝑡�⃗� Distributive lov 2
5. 𝑡(𝑠(�⃗�)) = (𝑡𝑠)�⃗�
Bevis:
Forløber som ved vektorer i planen, blot med indskydelse at et ekstra koordinat.
Evt. som øvelse i klassen
Længde og afstande i rummet Længden af en vektor i rummet beregnes stort set som ved vektorer i planen. (video)
Sætning: Længde af en vektor i rummet
Længden af en egentlig vektor �⃗� = (
𝑎1𝑎2𝑎3) bestemmes ved
|�⃗�| = √𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32
Bevis: (video)
Vi har �⃗� = (
𝑎1𝑎2𝑎3), og kan derfor tegne stedvektoren |𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |.
Stedvektoren kan nu ses, som diagonalen i en kasse.
|𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |2= |𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ |2 + |𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2
|𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |2= |𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2 + |𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ |2 + |𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2
|�⃗�|2 = 𝑎12 + 𝑎2
2 + 𝑎32
|�⃗�| = √𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32
Hermed bevist.
P
Q
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 4
Eksempelvis:
Længden af vektoren �⃗� = (−246)
|�⃗�| = √(−2)2 + 42 + 62 = √4 + 16 + 36 = √56 ≈ 7.483
Afstanden mellem to punkter 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) og 𝐵(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) er givet ved |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | (som vi lige har kigget
på). Vektoren 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (
𝑥2 − 𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑧2 − 𝑧1
)
Derfor kommer afstandsformlen til at se således ud
|𝐴𝐵| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2
Eksempelvis: Bestem længden af vektoren mellem 𝐴(2,−3,1) og 𝐵(4,−2, −1)
Den kan bestemmes manuelt ved
|𝐴𝐵| = √(4 − 2)2 + (−2 − (−3))2 + (−1 − 1)2 = √4 + 1 + 4 = √9 = 3
Eller via Nspire ved at:
1. Definere de to vektorer og
skrive kommandoen som
vist.
2. Normen kan også vælges
fra menuen, som vist på
billedet.
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 5
Skalarprodukt
Definition: Skalarprodukt
Ved skalarproduktet (prikproduktet) �⃗� ∙ �⃗⃗� af to egentlige vektorer �⃗� = (
𝑎1𝑎2𝑎3) og �⃗⃗� = (
𝑏1𝑏2𝑏3
)
forstår man tallet
�⃗� ∙ �⃗⃗� = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3
Der er altså ikke den store forskel fra planen til rummet, hvad angår prikproduktet. Regnereglerne
er da også uændret. (video)
Eksempelvis:
Bestem prikproduktet/skalarproduktet af følgende vektorer �⃗� = (214) og �⃗⃗� = (
−32−1)
Jeg bestemmer prikproduktet ved
�⃗� ∙ �⃗⃗� = (214) ∙ (
−32−1) = 2 ∙ (−3) + 1 ∙ 2 + 4 ∙ (−1) = −6 + 2 − 4 = −8
Hermed er prikproduktet fundet til �⃗� ∙ �⃗⃗� = −8
I Nspire blot ved
Sætning: Regneregler for skalarprodukt
Der gælder følgende regneregler for skalarproduktet: (her er
�⃗�, �⃗⃗� og 𝑐 vektorer og t er et tal (en skalar)
1. �⃗� ∙ �⃗⃗� = �⃗⃗� ∙ �⃗�
2. (𝑡�⃗�) ∙ �⃗⃗� = �⃗� ∙ (𝑡�⃗⃗�) = 𝑡(�⃗� ∙ �⃗⃗�)
3. �⃗� ∙ (�⃗⃗� + 𝑐) = �⃗� ∙ �⃗⃗� + �⃗� ∙ 𝑐
4. �⃗� ∙ �⃗� = �⃗�2 = |�⃗�|2
Bevis: (video)
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 6
1. �⃗� ∙ �⃗⃗� = (
𝑎1𝑎2𝑎3) ∙ (
𝑏1𝑏2𝑏3
) = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3 = 𝑏1𝑎1 + 𝑏2𝑎2 + 𝑏3𝑎3 = (
𝑏1𝑏2𝑏3
) ∙ (
𝑎1𝑎2𝑎3) = �⃗⃗� ∙ �⃗�
Hermed bevist.
2a. (𝑡�⃗�) ∙ �⃗⃗� = (
𝑡𝑎1𝑡𝑎2𝑡𝑎3
) ∙ (
𝑏1𝑏2𝑏3
) = 𝑡𝑎1𝑏1 + 𝑡𝑎2𝑏2 + 𝑡𝑎3𝑏3 = 𝑡𝑏1𝑎1 + 𝑡𝑏2𝑎2 + 𝑡𝑏3𝑎3 =
(
𝑡𝑏1𝑡𝑏2𝑡𝑏3
) ∙ (
𝑎1𝑎2𝑎3) = (𝑡�⃗⃗�) ∙ �⃗�
Hermed bevist.
2b. (𝑡�⃗�) ∙ �⃗⃗� = (
𝑡𝑎1𝑡𝑎2𝑡𝑎3
) ∙ (
𝑏1𝑏2𝑏3
) = 𝑡𝑎1𝑏1 + 𝑡𝑎2𝑏2 + 𝑡𝑎3𝑏3 = 𝑡(𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3) =
𝑡 ((
𝑎1𝑎2𝑎3) ∙ (
𝑏1𝑏2𝑏3
)) = 𝑡(�⃗� ∙ �⃗⃗�)
Hermed bevist.
3. �⃗� ∙ (�⃗⃗� + 𝑐) = (
𝑎1𝑎2𝑎3) ∙ (
𝑏1 + 𝑐1𝑏2 + 𝑐2𝑏3 + 𝑐3
) = 𝑎1(𝑏1 + 𝑐1) + 𝑎2(𝑏2 + 𝑐2) + 𝑎3(𝑏3 + 𝑐3) = 𝑎1𝑏1 + 𝑎1𝑐1 +
𝑎2𝑏2 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎3𝑏3 + 𝑎3𝑐3 = (𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3) + (𝑎1𝑐1 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎3𝑐3) = (
𝑎1𝑎2𝑎3) ∙ (
𝑏1𝑏2𝑏3
) +
(
𝑎1𝑎2𝑎3) ∙ (
𝑐1𝑐2𝑐3) = �⃗� ∙ �⃗⃗� + �⃗� ∙ 𝑐
Hermed bevist.
4. �⃗� ∙ �⃗� = (
𝑎1𝑎2𝑎3) ∙ (
𝑎1𝑎2𝑎3) = 𝑎1 ∙ 𝑎1 + 𝑎2 ∙ 𝑎2 + 𝑎3 ∙ 𝑎3 = 𝑎1
2 + 𝑎22 + 𝑎3
2 = �⃗�2 = |�⃗�|2
Hermed bevist
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 7
Vinkel mellem vektorer Da vi arbejdede med vektorer i planen, så vi, at vi kunne bestemme vinklen mellem to vektorer ud
fra cosinusrelationen. Dette adskiller sig ikke i rummet. Uanset hvorledes vi tegner to vektorer i
rummet, så vil disse altid kunne indfanges af et plan, og dermed har vi samme set up som i planen,
blot med tre koordinater. (video)
Sætning: Vinkel mellem vektorer
Om vinklen v mellem to vektorer �⃗� og �⃗⃗� gælder:
cos(𝑣) =�⃗⃗�∙�⃗⃗�
|�⃗⃗�|∙|�⃗⃗�|
eller i praksis blot v = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (�⃗⃗�∙�⃗⃗�
|�⃗⃗�|∙|�⃗⃗�|) = cos−1 (
�⃗⃗�∙�⃗⃗�
|�⃗⃗�|∙|�⃗⃗�|)
Bevis: (video)
Hvis vi tegner de to vektorer �⃗� og �⃗⃗�, kan vi se at vi har
en trekant i rummet, som ligger i sin egen plan. Vi kan
tage planen ud og se på det oppe fra.
Her kan vi se vi kender tre længder og ingen vinkler. Vi
skal altså benytte cosinusrelationerne til at bestemme
vinklen.
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠(𝐶)
Omskrevet giver dette os
|𝑐|2 = |�⃗�|2 + |�⃗⃗�|2 − 2|�⃗�||�⃗⃗�| cos(𝑣)
cos (𝑣) =|𝑐|2 − |�⃗�|2 − |�⃗⃗�|
2
−2|�⃗�||�⃗⃗�|=|�⃗�|2 + |�⃗⃗�|
2− |𝑐|2
2|�⃗�||�⃗⃗�|=|�⃗�|2 + |�⃗⃗�|
2− |�⃗� − �⃗⃗�|
2
2|�⃗�||�⃗⃗�|
=𝑎1
2 + 𝑎22 + 𝑎3
2 + 𝑏12 + 𝑏2
2 + 𝑏32 − ((𝑎1 − 𝑏1)
2 + (𝑎2 − 𝑏2)2 + (𝑎3 − 𝑏3)
2)
2|�⃗�||�⃗⃗�|
=𝑎1
2 + 𝑎22 + 𝑎3
2 + 𝑏12 + 𝑏2
2 + 𝑏32 − (𝑎1
2 + 𝑏12 − 2𝑎1𝑏1 + 𝑎2
2 + 𝑏22 − 2𝑎2𝑏2 + 𝑎3
2 + 𝑏32 − 2𝑎3𝑏3)
2|�⃗�||�⃗⃗�|
=𝑎1
2 + 𝑎22 + 𝑎3
2 + 𝑏12 + 𝑏2
2 + 𝑏32 − 𝑎1
2 − 𝑏12 + 2𝑎1𝑏1 − 𝑎2
2 − 𝑏22 + 2𝑎2𝑏2 − 𝑎3
2 − 𝑏32 + 2𝑎3𝑏3
2|�⃗�||�⃗⃗�|
=2𝑎1𝑏1 + 2𝑎2𝑏2 + 2𝑎3𝑏3
2|�⃗�||�⃗⃗�|=2(𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3)
2|�⃗�||�⃗⃗�|=𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3
|�⃗�||�⃗⃗�|=
�⃗� ∙ �⃗⃗�
|�⃗�| ∙ |�⃗⃗�|
vC
A
B�⃗�
�⃗⃗�
𝑐 = �⃗� − �⃗⃗�
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 8
Nu har vi at cos(𝑣) =�⃗⃗�∙�⃗⃗�
|�⃗⃗�|∙|�⃗⃗�| når vi isolerer v får vi 𝑣 = cos−1 (
�⃗⃗�∙�⃗⃗�
|�⃗⃗�|∙|�⃗⃗�|)
Hermed bevist
Vi kan se at:
1. vektorerne er ortogonale/vinkelrette, hvis prikproduktet giver 0.
2. vinklen er stump hvis prikproduktet er negativt
3. vinklen er spids hvis prikproduktet er positivt
Eksempelvis:
Bestem vinklen mellem �⃗� = (213) og �⃗⃗� = (
−131)
Til at bestemme vinklen benytter vi blot 𝑣 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (�⃗⃗�∙�⃗⃗�
|�⃗⃗�|∙|�⃗⃗�|) = cos−1(
(213)∙(
−131)
√22+12+32∙√(−1)2+32+12) =
cos−1 (2∙(−1)+1∙3+3∙1
√14∙√11) = cos−1 (
4
√154) ≈ 71,2
I Nspire kunne vi have løst det ved
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 9
Projektion Projektion er i bund og grund den skygge, som en kraftig
vinkelret lyskilde efterlader på en overflade. Det kan være en
vektor på en vektor, punkt på en linje eller plan mm.
Grafisk: Projektionen af vektor b på vektor a vil blive en vektor,
der har samme startpunkt som vektor a og b og som løber langs
vektor a. Man kan forestille sig, at det er skyggen af vektor �⃗� ned
på vektor �⃗⃗�. (video)
Sætning: Projektionsformlen
Projektionen 𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ af en vekor �⃗� på en vektor �⃗⃗� kan beregnes ved:
𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ =�⃗� ∙ �⃗⃗�
|�⃗⃗�|2∙ �⃗⃗�
Bevis: (video)
Gennemføres som i planen, da vi blot kan indskyde en plan
indeholdende de to vektorer, og dermed også projektionen.
Projektions vektoren 𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ ved vi, at den er parallel med �⃗⃗�. Der
findes derfor et tal 𝑡 således at 𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡�⃗⃗�.
Vi skal vise, at tallet 𝑡 er givet ved
𝑡 =�⃗� ∙ �⃗⃗�
|�⃗⃗�|2
Vi tager udgangspunkt i formlen 𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡�⃗⃗� og starter med at danne prikproduktet med vektoren �⃗⃗� på
begge sider af lighedstegnet.
𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗� = 𝑡�⃗⃗� ∙ �⃗⃗� ⇔ 𝑡 =𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗�
�⃗⃗� ∙ �⃗⃗�=
𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗�
𝑏12 + 𝑏2
2 + 𝑏32 =
𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗�
|�⃗⃗�|2
Vi har nu fundet et udtryk for 𝑡. Desværre indeholder udtrykket vektoren 𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ , som vi jo ikke kender.
På figuren er der indtegnet en vektor 𝑐 og det er tydeligt, at der gælder �⃗� = 𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑐. Dette giver os
�⃗� − 𝑐 = 𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗.
Dermed fås følgende udregning:
𝑡 =𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ �⃗⃗�
|�⃗⃗�|2 =
(�⃗� − 𝑐) ∙ �⃗⃗�
|�⃗⃗�|2 =
�⃗� ∙ �⃗⃗� − 𝑐 ∙ �⃗⃗�
|�⃗⃗�|2 =
�⃗� ∙ �⃗⃗�
|�⃗⃗�|2
𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗
�⃗�
�⃗⃗�
𝑐
𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗
�⃗�
�⃗⃗�
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 10
I udregningen ovenfor er 𝑐 ∙ �⃗⃗� = 0, fordi de to vektorer er ortogonale. Vi får dermed
𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑡 ∙ �⃗⃗� =�⃗� ∙ �⃗⃗�
|�⃗⃗�|2∙ �⃗⃗�
Hermed bevist.
Eksempelvis:
Givet er �⃗� = (2−31) og �⃗⃗� = (
4−2−1)
Skalarproduktet bliver: �⃗� ∙ �⃗⃗� = 2 ∙ 4 + (−3) ∙ (−2) + 1 ∙ (−1) = 8 + 6 − 1 = 13
Vinklen mellem dem bliver: 𝑣 = arccos (�⃗⃗�∙�⃗⃗�
|�⃗⃗�|∙|�⃗⃗�|) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
13
√13∙√21) = 40.7°
Projektionen af a på b bliver: 𝑎𝑏⃗⃗⃗⃗⃗ =�⃗⃗�∙�⃗⃗�
|�⃗⃗�|2 ∙ �⃗⃗� =
13
21∙ (
4−2−1) = (
2.476−1.238−0.619
)
I Nspire kan det løses ved ligningsløsning. Se
billede til højre
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 11
Vektorprodukt Indtil nu har vi ikke introduceret noget egentlig nyt fra planen til rummet. Men med vektorproduktet
får vi noget nyt. (video)
Dette produkt a⃗⃗×b⃗⃗ kaldes et vektorprodukt eller et krydsprodukt (det sidste er nok mest brugt).
Vektoren �⃗⃗⃗�×�⃗⃗⃗� står vinkelret på den plan, som �⃗⃗⃗� og �⃗⃗⃗� ligger i dvs. vinkelret på dem begge.
Definition: Vektorprodukt/krydsprodukt
Ved krydsproduktet �⃗�×�⃗⃗� af to vektorer �⃗� = (
𝑎1𝑎2𝑎3) og �⃗⃗� = (
𝑏1𝑏2𝑏3
)
forstår man vektoren �⃗�×�⃗⃗� = (
𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1
)
Eksempelvis:
Givet er �⃗� = (2−31) og �⃗⃗� = (
4−2−1)
�⃗�×�⃗⃗� = (2−31)×(
4−2−1) = (
(−3) ∙ (−1) − 1 ∙ (−2)1 ∙ 4 − 2 ∙ (−1)
2 ∙ (−2) − (−3) ∙ 4
) = (568)
I Nspire kan krydsproduktet bestemmes på følgende måde:
1. Vi kan blot skrive
kommandoen som vist
øverst, hvor de to
firkantede paranteser er
de to vektorers
koordinater.
2. Deffinere de to
vektorere og vælge
udfra stien som vist på
billedet.
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 12
Sætning: Egenskaber ved krydsprodukt
For egentlige vektorer �⃗� = (
𝑎1𝑎2𝑎3) og �⃗⃗� = (
𝑏1𝑏2𝑏3
) gælder:
1. �⃗�×�⃗⃗� er vinkelret på både �⃗� og �⃗⃗�.
2. |�⃗�×�⃗⃗�| = |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| ∙ sin(𝑣), hvor v er vinklen mellem �⃗� og �⃗⃗� .
3. |�⃗�×�⃗⃗�| angiver arealet af det udspændte parallelogram mellem �⃗� og �⃗⃗�.
4. �⃗� er parallel med �⃗⃗�, hvis og kun hvis �⃗�×�⃗⃗� = 0⃗⃗
Bevis: (video)
1. �⃗�×�⃗⃗� er vinkelret på både �⃗� og �⃗⃗�, hvis (�⃗�×�⃗⃗�) ∙ �⃗� = 0 og (�⃗�×�⃗⃗�) ∙ �⃗⃗� = 0
(�⃗�×�⃗⃗�) ∙ �⃗� = (
𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1
) ∙ (
𝑎1𝑎2𝑎3)
= (𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2)𝑎1 + (𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3)𝑎2 + (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)𝑎3
= 𝑎1𝑎2𝑏3 − 𝑎1𝑎3𝑏2 + 𝑎2𝑎3𝑏1 − 𝑎2𝑎1𝑏3 + 𝑎3𝑎1𝑏2 − 𝑎3𝑎2𝑏1 = 0
Tilsvarende for (�⃗�×�⃗⃗�) ∙ �⃗⃗� = 0. Hermed bevist
2. Dette bevis kræver meget bogstavregning, så det springes over lige nu.
3. Vi ved fra tidligere at arealet af parallelogrammet som udspændes af �⃗� og �⃗⃗�, kan
bestemmes ved |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| ∙ sin(𝑣). Der følger af punkt 2, at |�⃗�×�⃗⃗�| = |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| ∙ sin(𝑣)
dermed er |�⃗�×�⃗⃗�| et udtryk for arealet. Hermed bevist
4. Hvis �⃗� er parallel med �⃗⃗�, er vinklen mellem dem er 𝑣 = 0°, og derfor er sin(𝑣) = 0.
Dermed er |�⃗�×�⃗⃗�| = |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| ∙ sin(𝑣) = 0.
Hvis omvendt �⃗�×�⃗⃗� = 0⃗⃗, da er |�⃗�×�⃗⃗�| = |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| ∙ sin(𝑣) = 0, heraf følger at
sin(𝑣) = 0 da |�⃗�| ∙ |�⃗⃗�| > 0, dvs. 𝑣 = 0° 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑣 = 180°. Dermed er �⃗� parallel med �⃗⃗�.
Hermed bevist
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 13
Eksempelvis:
Givet er �⃗� = (2−31) og �⃗⃗� = (
4−2−1)
�⃗�×�⃗⃗� = (568)
Arealet af det udspændte areal bliver 𝐴 = |�⃗�×�⃗⃗�| = √52 + 62 + 82 = 11.18
I Nspire kunne det løses ved at:
Vinklen mellem vektorerne kan bestemmes ved sin(𝑣) =|�⃗⃗�×�⃗⃗�|
|�⃗⃗�|∙|�⃗⃗�|=
11.18
3.74∙4.58= 0.652
Dette giver to løsninger 𝑣 = sin−1 0.652 = 139.3° eller 𝑣 = 180 − sin−1 0.652 = 40.7°
I Nspire kunne det løses ved:
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 14
Linjer i rummet I rummet kan man ikke som i planen beskrive en linje ved en ligning, men må benytte sig af en
parameterfremstilling. Det heldige er, at en parameterfremstilling i rummet kræver det ”samme”
som i planen, nemlig et kendt punkt 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) og en retningsvektor 𝑟 = (
𝑟1𝑟2𝑟3).
Hvis vi igen lader 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) være et kendt punkt på linjen og
𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧) være et ukendt/løbende punkt på linje, vil vi få vektoren
𝑃𝑆⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ kun vil adskille sig fra 𝑟 med en skalar, altså 𝑃𝑆⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑡𝑟. (video)
Vi har nu et kendt punkt 𝑃 så lad og kigge nærmere på det ukendte
punkt S.
Stedvektoren til S kan nu ud fra indskudssætningen, skrives som
𝑂𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑃𝑆⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑡𝑟
Hvis vi skriver dette ud i koordinater får vi:
(𝑥𝑦𝑧) = (
𝑥0𝑦0𝑧0) + 𝑡 (
𝑟1𝑟2𝑟3)
Der er i parameterfremstillingen tale om tre ligninger, én for hvert koordinat. Vi skriver derfor ofte
fremstillingen som tre koordinatligninger:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑟1
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑟2
𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑟3
Eksempelvis
Der er givet to punkter 𝑃(4,6,8) og 𝑄(10,−2,4)
a) For at finde parameterfremstillingen for linjen gennem P og Q finder vi først retningsvektoren.
𝑟 = 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (10 − 4−2 − 64 − 8
) = (6−8−4)
Parameterfremstillingen ser nu således ud i vektorformat
(𝑥𝑦𝑧) = (
468) + 𝑡 (
6−8−4)
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 15
Skæring mellem linjer
I rummet tilføjer vi en ekstra dimension, hvilket resulterer i følgende muligheder for linjer. (video)
1. Linjerne er parallelle
a) Sammenfaldende. Uendelig mange
skæringspunkter
b) Ikke sammenfaldende. Ingen
skæringspunkter
2. Linjerne er ikke parallelle
a) Skærer hinanden i ét punkt
b) Skærer ikke hinanden. Dette kaldes
at de er vindskæve. Som på figuren.
Eksempelvis
L: (𝑥𝑦𝑧) = (
124) + 𝑡 (
3−4−3) og m: (
𝑥𝑦𝑧) = (
−204) + 𝑠 (
3−2−2)
Vi kan se ud fra retningsvektorerne, at de givetvis ikke er parallelle.
Hvis de har ét skæringspunkt, så vil der være en t og s værdi som giver samme parameterværdi i de
to linjers parameterfremstilling.
Vi opstiller de tre koordinatligninger og stiller dem lig med hinanden
1 + 3𝑡 = −2 + 3𝑠
2 + (−4)𝑡 = 0 + (−2)𝑠
4 + (−3)𝑡 = 4 + (−2)𝑠
Vi kan løse de to øverste ved bl.a. substitution.
Først isoleret t i den første ligning 1 + 3𝑡 = −2 + 3𝑠
3𝑡 = −3 + 3𝑠
𝑡 = −1 + 𝑠
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 16
Så indsættes t i den anden ligning og s isoleres
2 + (−1 + 𝑠)(−4) = 0 + (−2)𝑠
2 + 4 − 4𝑠 = 0 − 2𝑠
−2𝑠 = −6
𝑠 = 3
Den fundne s værdi indsættes i den tidligere isolerede ligning
𝑡 = −1 + 3 = 2
Dette giver os 𝑡 = 2 og 𝑠 = 3.
Hvis disse værdier også løser den sidste ligning, er der et skæringspunkt, hvis ikke så er de
vindskæve.
4 + (−3)𝑡 = 4 + (−2)𝑠
4 + (−3)2 = 4 + (−2)3
4 − 6 = 4 − 6
0 = 0
Her løser de fundne værdier for s og t også den sidste ligning, så der er et skæringspunkt.
Skæringspunkter kan så findes ved at indsætte de fundne værdier i parameterfremstillingen
(𝑥𝑦𝑧) = (
124) + 2(
3−4−3) = (
7−6−2) , altså punktet 𝐴(7,−6,−2)
I Nspire kan vi hurtigt finde t og s
ved:
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 17
Afstand fra punkt til linje Lige som i planen, så kan afstanden fra et punkt til en linje bestemmes. Udfordringen i rummet er,
at linjen ikke kan skrives som en ligning, men kun som en parameterfremstilling. Vi kan dog stadig
bestemme den, vi skal blot benytte vores viden om krydsprodukter og arealer. (video)
Sætning: Afstand fra punkt til linje
Hvis 𝑃0 er et vilkårligt punkt på linjen l med retningsvektoren 𝑟, så er afstanden fra et punktet P i
rummet til linjen l bestemt ved
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃, 𝑙) =|𝑟𝑥𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|𝑟|
Bevis: (video)
Vi tegner en linje l og lader 𝑃0 være et vilkårligt punkt på
linjen l. Så tegner vi punktet P i rummet. Nu indlægger vi en
plan 𝛼 som indeholder både l og P. Det er nu logisk at både
retningsvektoren for l og vektoren 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ligger i planen 𝛼.
Hvis vi projektere P ned på l, så får vi punktet Q. Linjestykket
PQ står nu vinkelret på l, og er den længde vi er interesseret i
at finde.
Nu benytter vi vores viden om areal af trekanter. Vi indlægger
nu retningsvektoren 𝑟 i forlængelse af P (valgt af t er lige
meget), og får nu punktet S.
Arealet af trekant 𝑃0𝑃𝑆 kan nu bestemmes på to måder:
𝑇 =1
2∙ |𝑟𝑥𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | og 𝑇 =
1
2∙ |𝑟| ∙ |𝑃𝑄|, da arealet er det samme uanset fremgangsmåde så kan vi
isolere PQ i følgende:
1
2∙ |𝑟𝑥𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =
1
2∙ |𝑟| ∙ |𝑃𝑄|
|𝑟𝑥𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |𝑟| ∙ |𝑃𝑄|
|𝑟𝑥𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|𝑟|= |𝑃𝑄|
Hermed er afstanden fra P og vinkelret ind til linjen l bestemt som 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃, l) =|𝑟𝑥𝑃0𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |
|𝑟|
𝑃
𝑃0
𝑄
𝑆
𝑟
𝑙
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 18
Så er der to sær tilfælde hvor vores konstruktion udfordres (ingen trekant):
1. Hvis 𝑃 = 𝑃0. I så fald er 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗, og det giver |𝑟𝑥𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 0. Så bliver afstanden stadig 0
som den skal.
2. Hvis P ligger på l, men ikke i 𝑃0. så er 𝑟 || 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , og det giver |𝑟𝑥𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = 0. Så bliver
afstanden stadig 0 som den skal.
Hermed bevist
Eksempelvis:
Bestem afstanden fra punktet 𝑃(2,4,3) til linjen 𝑙: (𝑥𝑦𝑧) = (
124) + 𝑡 (
3−4−3)
Til at bestemme afstanden indsætter vi blot i formlen |𝑟𝑥𝑃0𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |
|𝑟|=
|(3−4−3)𝑥(
2−14−23−4
)|
√32+(−4)2+(−3)2 =
|(−4∙(−1)−(−3)∙2
−3∙1−3∙13∙2−(−4)∙1
)|
√9+16+9=
|(10010)|
√34=
√102+02+102
√34=
√200
√34= √
200
34= √
100
17≈ 2.43
I Nspire kan vi blot taste det som
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 19
Projektion af punkt på linje
Som vi så tidligere, så kunne projektionen af en vektor på en vektor nemt bestemmes ud fra en
formel. Når vi snakker om et punkt projekteret ned på en linje, så kan vi bl.a. bruge vores viden om
projektion.
Sætning: Projektion af punkt på linje
Projektionen af punktet 𝑃(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ned på linjen 𝑙: (𝑥
𝑦
𝑧) = (
𝑥0𝑦0𝑧0
) + 𝑡(
𝑟1𝑟2𝑟3
) , hvor punktet
𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ligger på linjen, kan bestemmes ved
(𝑥𝑦𝑧) = (
𝑥0𝑦0𝑧0) +
𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ · 𝑟
|𝑟|2· 𝑟
Bevis:
Vi skaber projektionen af 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ned på 𝑟 for linjen. Denne
projektion (vektor) ligges nu i forlængelse af punktet 𝑃0 fra
parameterfremstillingen. Hermed nås punktet Q
(𝑥𝑦𝑧) = 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑃0𝑃⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗
𝑟 = (
𝑥0𝑦0𝑧0) +
𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ·𝑟
𝑟· 𝑟
Hermed bevist
Eksempelvis:
Bestem projektionen af 𝑃(5,5,8) ned på linjen 𝑙: (𝑥𝑦𝑧) = (
121) + 𝑡 (
−215)
Ved at indsætte fås Q ved 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (121)+
(5−15−28−1
)·(−215)
|(−215)|
2 (−215) = (
−136), så 𝑄(−1,3,6)
I Nspire 𝑂𝑄 = [121]+
𝑑𝑜𝑡𝑝([5−15−28−1
],[−215])
𝑛𝑜𝑟𝑚([−215])
2 · [−215]
Eller på billedet lidt mere optimeret
Lav opgaver i hæftet
𝑝
𝑝0
𝑄
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 20
Planer i rummet I rummet kan vi angive en plan på to måder (video)
1. Ved en parameterfremstilling via et kendt punkt i planen samt
to vektorer i planen som ikke er parallelle
2. Ved en ligning hvor normalvektoren til planen samt et kendt
punkt indgår.
Sætning: Planens ligning
Hvis der er givet et punkt 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) i planen samt en normalvektor �⃗⃗� = (
𝑛1𝑛2𝑛3) til planen, da kan
planens ligning skrives som 𝑛1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑛2(𝑦 − 𝑦0) + 𝑛3(𝑧 − 𝑧0) = 0
Bevis: (video)
Lad 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) være et ukendt punkt i planen og 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) være et kendt, da vil
𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (
𝑥 − 𝑥0𝑦 − 𝑦0𝑧 − 𝑧0
) være en vektor i planen.
Da �⃗⃗� er konstrueret til at være vinkelret på 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ må der gælde at �⃗⃗� ∙ 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
Vi har dermed �⃗⃗� ∙ 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑛1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑛2(𝑦 − 𝑦0) + 𝑛3(𝑧 − 𝑧0) = 0
Vi har med sætningen vist at alle punkter der ligger i planen opfylder ligningen
𝑛1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑛2(𝑦 − 𝑦0) + 𝑛3(𝑧 − 𝑧0) = 0
Hermed bevist
Eksempelvis:
Punktet 𝑃(2,0,1) ligger i planen. En normalvektor kunne være givet som �⃗⃗� = (312)
Planen vil hermed være givet som 3(𝑥 − 2) + 1(𝑦 − 0) + 2(𝑧 − 1) = 0
Eller skrevet som 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 8 = 0
I Nspire kunne det gøres ved
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 21
Parameterfremstilling for en plan
En plan kan som en linje beskrives ved en
parameterfremstilling. Det kræver dog blot to parametre. En
linje indeholder blot en retningsvektor, men i planen skal
vi ”udvide” linjen. Dette gør vi ved at tilføje en
retningsvektor mere. På denne måde vil vi kunne ramme
samtlige punkter i planen ved simpel addition af de to
vektorer ud fra et kendt punkt (hvor t og s gennemløber alle
reelle tal). (video)
Stedvektoren til P bestemmes som tidligere ved brug af
indskudsreglen.
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑂𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑃0𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑡�⃗⃗� + 𝑠�⃗⃗�
Hvis vi skriver dette ud i koordinater får vi:
(𝑥𝑦𝑧) = (
𝑥0𝑦0𝑧0) + 𝑡 (
𝑎1𝑎2𝑎3) + 𝑠 (
𝑏1𝑏2𝑏3
)
• Ud fra ovenstående er det hurtigt at se, at tre punkter i rummet fastlægger en plan.
• Vi kan også se, at en linje og et punkt (som ikke ligger på linjen) fastlægger en plan.
Eksempelvis:
Punkterne 𝐴(1,2,3) og 𝐵(−2,0,3) og 𝐶(4,5,7) ligger i planen, bestem en parameterfremstilling og
en ligning for planen.
Planens parameterfremstilling bliver
(𝑥𝑦𝑧) = (
𝑥0𝑦0𝑧0) + 𝑡𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑠𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (
123) + 𝑡 (
−2 − 10 − 23 − 3
) + 𝑠 (4 − 15 − 27 − 3
) = (123) + 𝑡 (
−3−20) + 𝑠 (
334)
Planens ligning kan bestemmes ved at bruge et kendt punkt 𝐴(1,2,3) og normalvektoren
�⃗⃗� = (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ×𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (−3−20)×(
334) = (
−2 ∙ 4 − 0 ∙ 30 ∙ 3 − (−3) ∙ 4−3 ∙ 3 − (−2) ∙ 3
) = (−812−3)
Planens ligning bliver dermed −8(𝑥 − 1) + 12(𝑦 − 2) − 3(𝑧 − 3) = 0
−8𝑥 + 12𝑦 − 3𝑧 − 7 = 0
Lav opgaver i hæftet
𝑡�⃗�
𝑠�⃗⃗�
𝑃0
P
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 22
Afstand fra punkt til plan
Både formlen for afstanden fra et punkt til en plan, og beviset for den, minder meget om den
tilsvarende for afstanden fra et punkt til linje i planen. (video)
Sætning: Afstanden fra punkt til plan
Afstanden, fra et punkt 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) til en plan 𝛼 med ligningen 𝑛1𝑥 + 𝑛2𝑦 + 𝑛3𝑧 + 𝑑 = 0,
er givet ved
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃, 𝛼) =|𝑛1𝑥0 + 𝑛2𝑦0 + 𝑛3𝑧0 + 𝑑|
√𝑛12 + 𝑛22 + 𝑛32
Bevis: (video)
På tegningen har vi en plan 𝛼 og et punkt 𝑃0.
Da det er den vinkelrette afstand fra 𝑃0 og
ned til 𝛼, kan vi indlægge en ny plan, som
indeholder 𝑃0, og står vinkelret på 𝛼
Da afstanden d må være det samme som
længden af projektionen 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ind på �⃗⃗�, så
finder vi
𝑑 = 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∙ �⃗⃗�
|�⃗⃗�|2∙ �⃗⃗�
Da 𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∙�⃗⃗�
|�⃗⃗�|2 blot er en skalar, da bliver længden af projektionen givet ved den numeriske værdi af
skalaren ganget med længden af normalvektoren.
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑃, 𝛼) = |𝑑| = |𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∙ �⃗⃗�|
|�⃗⃗�|2∙ |�⃗⃗�| =
|𝑃𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∙ �⃗⃗�|
|�⃗⃗�|
=
|(
𝑥0 − 𝑥𝑦0 − 𝑦𝑧0 − 𝑧
) ∙ (
𝑛1𝑛2𝑛3)|
|�⃗⃗�| =
|𝑛1(𝑥0 − 𝑥) + 𝑛2(𝑦0 − 𝑦) + 𝑛3(𝑧0 − 𝑧)|
|�⃗⃗�|
=|𝑛1𝑥0 − 𝑛1𝑥 + 𝑛2𝑦0 − 𝑛2𝑦 + 𝑛3𝑧0 − 𝑛3𝑧|
|�⃗⃗�|
=|𝑛1𝑥0 + 𝑛2𝑦0 + 𝑛3𝑧0 + (−𝑛1𝑥 − 𝑛2𝑦 − 𝑛3𝑧)|
|�⃗⃗�|
l
�⃗⃗�
𝑑
𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝒅 𝛼
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 23
Da 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ligger i planen, må det opfylde at 𝑛1𝑥 + 𝑛2𝑦 + 𝑛3𝑧 + 𝑑 = 0, som giver
𝑑 = −𝑛1𝑥 − 𝑛2𝑦 − 𝑛3𝑧
=|𝑛1𝑥0 + 𝑛2𝑦0 + 𝑛3𝑧0 + 𝑑|
|�⃗⃗�|=|𝑛1𝑥0 + 𝑛2𝑦0 + 𝑛3𝑧0 + 𝑑|
√𝑛12 + 𝑛22 + 𝑛32
Hermed bevist
Eksempelvis:
Lad en plan 𝛼 være givet ved 3(𝑥 − 2) + 1(𝑦 − 0) + 2(𝑧 − 1) = 0 og et punkt ved 𝑄(1,2,3).
For at bestemme 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑄, 𝛼) omskriver vi lige planens ligning 3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 8 = 0
Nu bliver afstanden
𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑄, 𝛼) =|3 ∙ 1 + 2 + 2 ∙ 3 − 8|
√32 + 12 + 22=
3
√14
Husk når denne udregning skrives i Nspire, så skal I benytte de numeriske
tegn fra skabelonerne. Se billedet til højre
I Nspire kunne det se således ud
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 24
Skæring mellem linje og plan
Vi har tre tilfælde at kigge på
• Når en linje og en plan er parallelle med hinanden, men
ikke sammenfaldende, så skærer de aldrig hinanden.
• Hvis en linje ligger i planen, vil der være uendeligt mange
skæringspunkter.
• Hvis en linje ikke er parallelle med planen og ikke ligger i
planen, så vil de have ét skæringspunkt.
For at kunne finde skæringspunktet mellem planen og linjen, så
skal der forefindes en parameterfremstilling for linjen og en
ligning for planen. (video)
(Hvis planen er opskrevet som parameterfremstilling, skal den omskrives som en ligning).
Eksempel:
En plan 𝛽 er givet ved
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 20 = 0
og en linje m ved
(𝑥𝑦𝑧) = (
1−22) + 𝑡 (
1−24)
Som koordinatligninger
𝑥 = 1 + 1𝑡 og 𝑦 = −2 − 2𝑡 og 𝑧 = 2 + 4𝑡
Dette indsættes nu i planen og der løses for t
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 20
= 3(1 + 1𝑡) − 2(−2 − 2𝑡)
+ (2 + 4𝑡) − 20
= 11𝑡 − 11
Da det skal give 0 så må 𝑡 = 1
Parameterværdien bliver nu
(𝑥𝑦𝑧) = (
1−22) + 1(
1−24) = (
2−46)
Skæringspunktet blev altså 𝑄(2,−4,6)
Eksempler er regnet i Npsire (se til højre)
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 25
Vinkel mellem linje og plan
Når man skal bestemme en vinkel mellem en linje og en plan, er det
vigtigt at gøre sig klart præcist hvilken vinkel det drejer sig om.
(video)
Med mindre andet er angivet, så er det pr. definition altid den spidse
vinkel vi er interesseret i. Vi skal stadig forestille os at vi kigger ind
på situationen fra siden, således at vi kigger ind på den plan som er
vinkelret på 𝛼, og dermed indeholder �⃗⃗� og som indeholder l.
Det nemmeste vil være at kigge på vinklen mellem normalvektoren
til 𝛼 og retningsvektoren for linje l (på tegningen 𝑢). Derefter fås
𝑣 = 90° − 𝑢.
Hvis normalvektoren vender modsat gøres det samme, undtagen til
sidst hvor vi da bestemmer 𝑣 = 𝑢 − 90°.
En tommelfingerregel er (her er u vinklen mellem 𝑟 og �⃗⃗�):
Hvis 𝑢 < 90 så bruges 𝑣 = 90° − 𝑢, hvis 𝑢 > 90 så bruges 𝑣 = 𝑢 − 90
Eksempelvis:
En linje er givet ved parameterfremstillingen (𝑥𝑦𝑧) = (
12−3) + 𝑡 (
2−13), og en plan 𝛼 er givet ved
−6𝑧 + 2 = 0. Bestem den stumpe vinkel mellem linjen og planen.
Vi har en retningsvektor 𝑟 = (2−13) for linjen, og en normalvektor �⃗⃗� = (
00−6)
Vi bestemmer nu vinklen mellem disse ved 𝑣 = arccos (𝑟∙�⃗⃗�
|𝑟|∙|�⃗⃗�|) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
−18
√14√36) = 143.3°
I dette tilfælde kan vi se at normalvektoren vender modsat retningsvektoren, så det skal vi korrigere
for ved 𝑣 = 143.3° − 90° = 53.3°
Det vi har fundet nu er den spidsevinkel mellem linje og plan. Men vi skulle finde den stumpe. Den
stumpe må da blive 180° − 53.3° = 126.7°
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 26
Vinkel mellem to planer
Når vi skal bestemme vinklen mellem to planer, så bestemmer vi
vinklen mellem deres normalvektorer. (video)
Så er 𝑣 = arccos (𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ∙𝑛𝛽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
|𝑛𝛼⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |∙|𝑛𝛽⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ |)
Som udgangspunkt skal vi finde den spidsevinkel.
Eksempelvis:
Bestem den spidse vinkel mellem følgende to planer
𝛼: 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 + 5 = 0 og 𝛽: − 4𝑥 + 𝑦 = 8
Normalvektorerne kan aflæses til 𝑛𝛼 = (2−31) og 𝑛𝛽 = (
−410)
Vinklen bestemmes til 𝑣 = arccos ((2−31)∙(
−410)
√14∙√17) = 135.5°
Dermed bliver den spidse vinkel mellem de to planer 𝑣 = 180° − 135.5° = 44.5°
Lav opgaver i hæftet
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 27
Kugler En kugle er fastlagt ved et centrum og en radius. Ligesom en cirkel i planen er mængden af de
punkter i planen, der har en bestemt afstand r fra centrum, er en kugleflade i rummet mængden af de
punkter som ligger r fra centrum. (video)
Sætning: Kuglens ligning
Kuglen med centrum i 𝐶(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) og radius r har ligningen:
(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 + (𝑧 − 𝑧0)2 = 𝑟2
Bevis: (video)
Tegningen viser en kugle med centrum 𝐶(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) og en radius r. Vi
lader 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) være et punkt på kuglefladen.
Afstanden |CP| kan via afstandsformlen bestemmes ved
|𝐶𝑃| = 𝑟 = √(𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 + (𝑧 − 𝑧0)2 <=>
𝑟2 = (𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)
2 + (𝑧 − 𝑧0)2
Da P hele tiden ligger på kuglefladen, må et hvert punkt på cirkelfladen opfylde denne ligning.
Hermed bevist
Eksempelvis:
Kuglen med ligningen 36 = (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 3)2 + (𝑧 − 1)2 er en kugle med centrum i
𝐶(2,−3,1) og radius 6.
Lav opgaver i hæftet
𝑪(𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎)
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 28
Skæring mellem linje og kugle
Når vi kigger på skæring mellem en linje 𝑙 og en kugle med centrum
𝐶 i rummet, så er der tre muligheder for skæringer: (video)
• Linjen skærer ikke kuglen. Her er 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑙, 𝐶) > 𝑟
• Linjen skærer (tangerer) i et punkt. Her er 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑙, 𝐶) = 𝑟
• Linjen skærer i to punkter. Her er 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝑙, 𝐶) < 𝑟
Fremgangsmåden er:
1. Få skrevet kuglens ligning op.
2. Indsætte linjens koordinatligninger i kuglens ligning.
3. Reducerer kuglens ligning så den er på formen som en andengradsligning og så løse denne.
Løsningerne er t-værdierne til linjens parameterfremstilling.
Tip: Hvis man skal vise at en linje tangere en kugle, så er det blot at vise at diskriminanten i
ovenstående giver 0.
Eksempelvis:
Bestem skæring mellem kuglen (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 + (𝑧 − 5)2 = 16
og linjen l givet ved
(𝑥𝑦𝑧) = (
214) + 𝑡 (
1−12)
Linjen som koordinatligninger
𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 1 − 𝑡
𝑧 = 4 + 2𝑡
Indsat i kuglen giver det
(2 + 𝑡 − 3)2 + (1 − 𝑡 + 1)2 + (4 + 2𝑡 − 5)2 − 16 = 0
6𝑡2 − 10𝑡 − 10 = 0
Løses som en andengradsligning
𝑑 = (−10)2 − 4 ∙ 6 ∙ (−10) = 100 + 240 = 340
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 29
Der er to løsninger, som er givet ved
𝑡 =−(−10) ± √340
2 ∙ 6=
{
5 + √85
6≈ 2.37
5 − √85
6≈ 0.70
Dette giver nu følgende parameterværdier
(𝑥𝑦𝑧) = (
214) +
5 + √85
6(1−12) ≈ (
4.37−1.378.74
)
(𝑥𝑦𝑧) = (
214) +
5 − √85
6(1−12) ≈ (
2.700.305.41
)
Dette er følgende skæringspunkter 𝑃(4.37,−1.37,8.74) og (2.70,0.30,5.4𝑣1)
Lav opgaver i hæftet
Plan og kugle
Hvis man har en plan 𝛼 og en kugle med centrum C i rummet, så vil der være tre muligheder for
skæringer: (video)
• Planen skærer ikke kuglen. Her er 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐶, 𝛼) > 𝑟
• Planen skærer (tangerer) i et punkt. Her er 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐶, 𝛼) = 𝑟
• Planen skærer kuglen i en cirkel. Her er 𝑑𝑖𝑠𝑡(𝐶, 𝛼) < 𝑟
Eksempelvis:
En kugle har ligningen (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 4)2 + (𝑧 + 2)2 = 9
Punktet 𝑄(3,2, −1) ligger på kuglen.
Tangentplanen til kuglen gennem Q bestemmes ved at lave vektoren 𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ da denne vil fungere som
en normalvektor til planen.
𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (3 − 12 − 4−1 + 2
) = (2−21)
Tangentplanen kan nu bestemmes ved at indsætte normalvektoren og punktet Q i ligningen for
planen som tidligere vist og reducere.
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 30
2(𝑥 − 3) − 2(𝑦 − 2) + (𝑧 + 1) = 0
2𝑥 − 6 − 2𝑦 + 4 + 𝑧 + 1 = 0
2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
Men vi kan også gøre det ved at bruge: 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑑 = 0
Nu indsætter vi Q og isolerer d
𝑑 = −2 ∙ 3 + 2 ∙ 2 − 1 · (−1) = −6 + 4 + 1 = −1
Dermed fås planen til
2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
Et andet eksempel på brug af kugle og plan kunne være
at vi havde givet en plan 𝛼 som har følgende ligning
3𝑥 + 6𝑦 − 6𝑧 + 3 = 0
og som tangerer kuglen med ligningen
𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 5)2 = 9
Bestem røringspunktet Q mellem kugle og plan.
Eftersom at planen tangerer kuglen, så må 𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ stå vinkelret
på 𝛼.
Endvidere kan vi se at normalvektoren til planen er
�⃗⃗� = (36−6)
Der må altså gælde at hvis vi bruger normalvektoren som retningsvektor for linjen gennem C og Q, så kan vi
skrive linjen som
(𝑥𝑦𝑧) = (
005) + 𝑡 (
36−6)
Der må altså findes en skalar t som bringer os fra centrum til Q. Med andre ord så nedskalerer vi
normalvektoren for planen til at have samme længde som 𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , og hvis t er negativ så vender normalvektoren
i retning Q til C.
Henrik Søgaard Hansen, Sct. Knuds Gymnasium 31
Nu kan vi blot indsætte koordinatligningerne fra linjen i planens ligning for at finde t.
3(0 + 3𝑡) + 6(0 + 6𝑡) − 6(5 − 6𝑡) + 3 = 0
9𝑡 + 36𝑡 − 30 + 36𝑡 + 3 = 0
81𝑡 − 27 = 0
81𝑡 = 27
𝑡 =1
3
Denne t værdi er den samme som forholdet mellem radius i cirklen (altså længden af 𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ) og længden af
normalvektoren.
Nu kan vi finde Q ved at indsætte t i parameterfremstillingen for linjen
(𝑥𝑦𝑧) = (
005) +
1
3(36−6) = (
123)
Altså blev punktet fundet til 𝑄(1,2,3)
Havde jeg valgt at indsætte koordinatligningerne i kuglen i stedet, så vil jeg have fået
(0 + 3𝑡)2 + (0 + 6𝑡)2 + (5 − 6𝑡 − 5)2 = 9
(3𝑡)2 + (6𝑡)2 + (−6𝑡 )2 = 9
9𝑡2 + 36𝑡2 + 36𝑡2 = 9
81𝑡2 = 9
𝑡 = ±1
3
Linjen skærer altså kuglen to steder, nemlig
(𝑥𝑦𝑧) = (
005) +
1
3(36−6) = (
123)
Eller
(𝑥𝑦𝑧) = (
005) −
1
3(36−6) = (
−1−27)
Så skal jeg kontrollere hvilket punkt som opfylder planens ligning. Her er det kun (1,2,3) som opfylder
ligningen (kontroller selv).
Lav opgaver i hæftet
![Calculus Vektor & Integral Fungsi Vektor [Compatibility Mode]](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/557200d54979599169a02d3a/calculus-vektor-integral-fungsi-vektor-compatibility-mode.jpg)
