Vektorbündel || Adams-Vermutung und Berechnung von J(X)

Kapitel 7

Adams-Vermutung und Berechnung von J(X)

Erstes Ziel dieses Kapitels ist das Kennenlernen von Methoden, die der Berechnung derGruppe J(X) - der stabilen Faserhomotopieäquivalenzklassen von orthogonalen Sphären-bündeln - dienen. Die Frage, wie die zusätzlichen nichtlinearen Identifikationen aussehen,die beim Vergessen der linearen Struktur hinzukommen, hat zur Adams-Vermutung ge-führt. Diese beschreibt die zusätzlich nötigen Relationenmit Hilfe der Adams-Operationender K-Theorie. Durch die Lösung der Adams-Vermutung ist nun eine rein K-theoretischeBerechnung der Gruppen J(X)möglich geworden. Die im vorhergehenden Kapitel behan-delten zwei Hauptaspekte der J-Theorie, nämlich die Frage wann ein Vektorbündel für diestabile Homotopie orientierbar ist und die Berechnung des Bildes des J-HomomorphismusJ ∶ +SVektR(ΣX) → π0

S(X), die für viele geometrische Fragen vonWichtigkeit ist, besitzendamit rein K-theoretische Lösungen.

Nach Einführung der Adams-Operationen und der Berechnung der Gruppe J(Pn(R))wird die Adams-Vermutung ausführlich diskutiert, für einen Beweis verweisen wir aller-dings auf die umfangreiche Literatur. Stattdessen werden einige Anwendungen der Adams-Vermutung, von denen eine eine Aushängungsmethode für Bild(J)-Klassen ist, besprochen.Wichtige Hilfsmittel, wie die Konstruktion von Periodizitätsoperatoren und die Bestim-mung der stabilen Einhängungsordnung von projektiven Räumen findet man im letztenAbschnitt.

7.1 Adams-Operationen

Die Adams-Operationen sind nötig zur Formulierung der Adams-Vermutung und zum Be-weis des Vektorfeldsatzes. Wir besprechen als erstes den Standardzugang zu diesen Ope-rationen. Alternative Konstruktionen - etwa über Darstellungstheorie - findet man in derLiteratur, siehe etwa [Ati67, Anhang]. Die mittels der Adams-Operationen konstruiertenρk-Operationen liefern dann Hindernisse für die Faserhomotopietrivialität eines Sphären-bündels. Als Beispiel wird die Gruppe J(Pn(R)) behandelt.

7.1.1 Adams-Operationen

Eleganter als eine direkte Einführung der Adams-Operationen über SVektK ist der Wegüber die K-Gruppen, den wir deshalb auch wählen. Ausgangspunkt sind die äußeren Po-

K. Knapp, Vektorbündel, DOI 10.1007/978-3-658-03114-5_7, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2013

410 7 Adams-Vermutung und Berechnung von J(X)

tenzen Λ i(ξ) einesK-Vektorbündels, für die nach Abschnitt 1.4 die Beziehungen

f ∗(Λ i(ξ)) ≅ Λ i( f ∗(ξ)) und Λn(ξ ⊕ η) ≅⊕i+ j=n Λi(ξ) ⊗ Λ j(η)

gelten.Umdie Zuordnung ξ �→ Λ i(ξ) vonVektK(X) auf K0K(X) und dann auf SVektK(X)

zu übertragen, definiert man folgende Potenzreihe

λt([ξ]) ∶= ∑i≥0 [Λi(ξ)]K ⋅ t

i ∈ K0K(X) [[t]]

für [ξ] ∈ VektK(X). Die Formel für Λn(ξ ⊕ η) impliziert dann

λt([ξ ⊕ η]) = λt([ξ]) ⋅ λt([η]).

Da außerdem λt([ξ])mit 1 beginnt, erhält man einen Homomorphismus

λt ∶ VektK(X) → 1 + t ⋅K0K(X) [[t]]

von der Halbgruppe VektK(X) in die multiplikative Gruppe der Potenzreihen mit konstan-tem Term 1. Das Inverse von 1 + y ist durch 1 − y + y2 − y3 ... gegeben. Nach der univer-sellen Eigenschaft der Grothendieck-Konstruktion (Abschnitt 4.4) erweitert λt zu einemGruppenhomomorphismus von K0

K(X) in diese Gruppe, wobei wir die Bezeichnung λtbeibehalten:

λt ∶ K0K(X) → 1 + t ⋅K0

K(X) [[t]]

Nach Definition gilt dann für eine formale Differenz

λt([ξ]K − [η]K) = λt([ξ])/λt([η])

sodaß hier echte Potenzreihen auftreten können. Durch Entwicklung nach den Koeffizien-ten von t definiert man dann die Operationen x �→ λi(x) für x ∈ K0

K(X), d.h. erklärtman λi(x) durch: λt(x) = ∑i≥0 λi(x)t i , so erhält man natürliche Transformationen λi ∶

K0K(X) → K0

K(X). Für ein n-dimensionales Vektorbündel ξ gilt dann λi([ξ]K) = [Λ i(ξ)]Kund für ein Linienbündel L folgt λt([L]K) = 1+ [L]K ⋅ t, aber für x = [L]K − [K]K hat manz.B. eine Potenzreihe

λt([L]K − [K]K) = (1 + [L]K ⋅ t)/(1 + t).

Die Operationen λi sind nicht additiv, es gilt vielmehr in K0K(X):

λn(x + y) = ∑i+ j=n λi(x) ⊗ λ j(y)

Additive Operationen erhält man dann aus den λi wie folgt: Man setzt ψ0(x) ∶= Rg(x) ∈K0

K(X) mit dem Rangbündel Rg(x) aus (3.4.25) und definiert eine Potenzreihe ψt(x) =∑i≥0 ψi(x) ⋅ t i ∈ K0

K(X) [[t]] durch die Gleichung

ψt(x) = Rg(x) − t ⋅ ddt

log(λ−t(x)) = ψ0(x) − tλ−t(x)

ddt

λ−t(x).

7.1 Adams-Operationen 411

Definition 7.1.1. Die Koeffizienten der Potenzreihe ψt(x) = ∑i≥0 ψi(x) ⋅ t i definie-ren durch x �→ ψk(x) natürliche Transformationen, die Adams-Operationen ψk ∶

K0K(X) → K0

K(X).

Die k-te Adams-Operation ψk hat folgende Eigenschaften:

Satz 7.1.2. Für einen kompakten Raum X und x , y ∈ K0K(X) gilt

(a) ψk(x + y) = ψk(x) + ψk(y) und(b) ψk([L]K) = [L⊗k]K für ein Linienbündel L.

Beweis. a) Aus λ−t(x + y) = λ−t(x) ⋅ λ−t(y) und ddt (λ−t(x + y)) = d

dt (λ−t(x)) ⋅ λ−t(y) +λ−t(x) ⋅ d

dt λ−t(y) folgt sofort ψk(x + y) = ψk(x) +ψk(y), indemman d

dt λ−t(x + y) durchλ−t(x + y) = λ−t(x) ⋅ λ−t(y) teilt und mit −t multipliziert.b) Für ein Linienbündel L erhält manmit x = [L]K aus λ−t(x) = 1−x ⋅ t einfach

ddt λ−t(x) =

−x und damit

ψt(x) = 1 −t

1 − xt(−x) = 1 + xt

1 − tx= 1 + xt + x2 t2 + x3 t3 ........

Weitere Eigenschaften der Adams-Operationen auf kompakten Räumen in komplexer K-Theorie sind:

Satz 7.1.3. (c) ψk(a ⊗ b) = ψk(a) ⊗ ψk(b)und für das reduzierte Produkt in SVektC ∶ ψk(a ∧ b) = ψk(a) ∧ ψk(b).(d) ψk ○ ψm = ψk⋅m

(e) ψk(un) = knun in K0(S2n) für das Erzeugende un = u1∧ ...∧u1 und u1 = [λC1 ]K−1.

Diese Eigenschaften werden üblicherweise mit Hilfe des Spaltungsprinzips für komple-xe K-Theorie nachgewiesen (siehe [Ati67]). Dies soll hier jedoch nicht hergeleitet werden,stattdessen behelfen wir uns mit dem Spaltungsprinzip für Kohomologie (4.5.5) und demChern-Charakter. Zuvor tragen wir dessen Multiplikativität nach.

Einschub:

Der in (4.6.1) definierte Chern-Charakter ist nicht nur additiv, sondern respektiert auchProdukte. Der totale Chern-Charakter

ch(E) ∶= ∑n≥0 ch2n(E) ∈ ∏n≥0 H2n(X;Q) =∶ H2∗∗(X) (7.1.4)

bildet K0(X) ab in den graduierten RingH2∗∗(X). Für einen endlichenKomplex X, wovonwir im Folgenden auch ausgehen wollen, reduziert sich das Produkt in (7.1.4) natürlich zur


direkten Summe. Das Produkt der Klassen y = (y0, y2 , ...), z = (z0, z2 , ...) aus H2∗∗(X)ist dabei durch y ⋅ z = (c0, c2 , ...) mit c2m = ∑i+ j=m y2i ⋅ z2 j gegeben. Wir setzen nochch0(x) = Rg(x) in H0(X ,Z) = [X ,Z] ⊂ H0(X ,Q)

Lemma 7.1.5. Es gilt ch(x ⊗ y) = ch(x) ⋅ ch(y).

Beweis. Für das Tensorprodukt zweier komplexer Linienbündel L1 , L2 , erhält man mit(4.1.7) und der Formel für den Chern-Charakter der Summe zweier Linienbündel (4.6.2):

ch(L1 ⊗ L2) = ec1(L1⊗L2) = ec1(L1)+c1(L2) = ec1(L1) ⋅ ec1(L2) = ch(L1) ⋅ ch(L2).

Mit der Additivität des Chern-Charakters überträgt sich das zu

ch(E ⊗ F) = ch(E) ⋅ ch(F),

falls E , F Summen von Linienbündeln sind. Aus dem Spaltungsprinzip für Kohomologie(4.5.5) mit rationalen Koeffizienten folgt die Gültigkeit dieser Formel für beliebige Bündelund damit auch für Elemente in K0(X).

Beweis von (7.1.3):(c): Sind L, L′ komplexe Linienbündel, so folgt

ψk(L ⊗ L′) = (L ⊗ L′)k = Lk ⊗ L′k = ψk(L) ⊗ ψk(L′)

und die Produktformel (c) gilt für Summen von Linienbündeln, wie man durch Ausmulti-plizieren sieht. Damit ist die natürliche Transformation E → ch ○ ψk(E) multiplikativ aufSummen von Linienbündeln und mit dem Kohomologiespaltungsprinzip folgt dies dannfür beliebige Bündel E. Für Räume X, für die der Chern-Charakter ch ∶ K0(X) → H2∗∗(X)injektiv ist, gilt dann ψk(a ⊗ b) = ψk(a) ⋅ ψk(b). Nun hat die komplexe Graßmann-Mannigfaltigkeit Gm ∶= Gm(C

m+s) eine CW-Struktur mit nur gerade dimensionalen Zel-len, woraus sofort die Torsionsfreiheit von H∗(Gm ;Z) (und von K0(Gm)) folgt. Alterna-tiv kann man die Kohomologiegruppen von Gm induktiv wie in [MiS74] berechnen. Nach(6.1.39) gilt dann (c) für X = Gm . Indemman das externe Produkt⊗ über die Projektionenauf das interne zurückführt, gelangt man zur Formel

ψk(γm⊗γm) = ψk(γm)⊗ψk(γm)

in K0(Gm ×Gm)mit dem universellen Bündel γm . Hieraus folgt (c)mit Natürlichkeit. Ge-nauso zeigt man (b).

Für (e) hat man

ψk(u1) = ψk([L]K − 1) = [Lk]K − 1 = (u1 + 1)

k − 1 = ku1 ,

da u21 = 0 in K0(S2) gilt. Die Gleichung ψk(un) = knun folgt dann mit Hilfe von (c).

Bemerkungen.


1. Mit dem Newton-Polynom Qk aus (4.5.2) gilt die Formel

ψk(E) = Qk(Λ1(E), Λ2(E), .., Λk(E))

die man auf die gleiche Weise wie (7.1.3) herleiten kann. Beispielsweise ist

ψ2(E) = [E ⊗ E]s − 2 ⋅ [Λ2(E)]s ,

woran man sieht, daß unsere Definition der Adams-Operationen nur eine Klasse inSVektK(X), also im Allgemeinen nicht direkt ein Bündel liefert.

2. Für eine Herleitung von (7.1.3) für die Adams-Operationen in reeller K-Theorie siehe[Kar78].

7.1.2 K-Theorie Hindernisse für Faserhomotopietrivialität

Die mit Hilfe der Adams-Operationen definierten ρk-Operationen liefern notwendige Be-dingungen für J(ξ) = 0. Wir betrachten hier nur den einfacheren Fall komplexer Vek-torbündel, der allgemeine Fall ist etwas aufwendiger, folgt aber dem gleichen Muster. DieGrundidee ist wie folgt: Ein n-dimensionales komplexes Vektorbündel ξ besitzt eineThom-Klasse uK(ξ) in SVektC(M(ξ)). Gilt J(ξ) = 0, so besitzt ξ auch eine Thom-Klasse tξin stabiler Kohomotopie tξ ∈ πm

S (M(ξ)), die über den Hurewicz-Homomorphismus h ∶πmS (M(ξ)) → SVektC(M(ξ)) eine weitere Thom-Klasse h(tξ) ∈ SVektC(M(ξ)) definiert.

Ein Vergleich derWirkung der Adams-Operationen auf beidenThom-Klassen liefert danndie gesuchten notwendigen Bedingungen.

Wir besprechen zuvor kurz Thom-Klassen und Thom-Isomorphismus in komplexerK-Theorie, definieren dann die ρk-Operationen und berechnen diese für die Bündel ausSVektC(P2n(R)). Die Definition von Thom-Klassen ist analog zu den schon betrachtetenFällen:

Definition 7.1.6. Eine Klasse u(ξ) ∈ SVektC(M(ξ)) heißt Thom-Klasse für das n-dimensionale komplexe Vektorbündel ξ = (E , p, B), wenn u(ξ) unter dem vonM(ix) ∶ M(ξx) → M(ξ) induzierten Homomorphismus auf ein Erzeugendes inSVektC(M(ξx)) = SVektC(S2n) = Z abgebildet wird.

Nach Wahl einer Metrik erhält man aus dem Vektorbündel-Homomorphismus

E △�→ 0 × E↓ ↓

B △�→ B × B

eineAbbildungM(△) ∶ M(ξ) → B+∧M(ξ) zwischenThom-Räumen, wobei wir die Identi-fikationM(ξ×η) = M(ξ)∧M(η) (siehe Abschnitt 3.6) verwendet haben. Die Komposition


von M(△)mit dem reduzierten Produkt

SVektC(B+) × SVektC(M(ξ))∧

�→ SVektC(B+ ∧M(ξ))M(△)∗�→ SVektC(M(ξ)) (7.1.7)

definiert dann denThom-“Isomorphismus”

Φξ ∶ SVektC(B+) → SVektC(M(ξ))Φξ(x) ∶= M(△)∗(x ∧ u(ξ)).

Wie für gewöhnliche Kohomologie zeigt manmit dem üblichenMayer-Vietoris-Argument:

Satz 7.1.8. Für ein komplexes Vektorbündel ξ über dem kompakten Raum B mit Thom-Klasse u(ξ) ist Φξ ein Isomorphismus.

Bemerkung. Die Komposition (7.1.7) definiert ein Produkt

◇ ∶ SVektC(B+) × SVektC(M(ξ)) �→ SVektC(M(ξ)). (7.1.9)

Wegen(1B

+

∧ △) ○ △ = (1B+

∧ 1M(ξ)) ○ △ (7.1.10)

gilt (a⊗b)◇z = a◇(b◇z) für a, b ∈ SVekt(B+) und z ∈ SVektC(M(ξ), d.h. SVektC(M(ξ))wird mit zu einem SVektC(B+)-Modul. DerThom-Isomorphismus Φξ schreibt sich dannals

Φξ(a) = a ◇ uK(ξ) (7.1.11)

und der letzte Satz besagt, daß SVektC(M(ξ)) ein freier SVektC(B+)-Modul vom Rang 1ist.

Später benötigen wir

Lemma 7.1.12. Je zwei Thom-Klassen u1 , u2 für ein Bündel ξ über einem kompaktenRaum B unterscheiden sich um Einheit a ∈ K0(B), d.h.es gibt ein Element b ∈ K0(B)mitu1 = a ◇ u2 und a ⊗ b = 1.

Beweis. Da K0(M(ξ)) ein freier K0(B)-Modul ist, muß es Elemente a, b ∈ K0(B) gebenmit u1 = a◇u2 und u2 = b◇u1, also u1 = a◇(b◇u1) = (a⊗b)◇u1 und damit a⊗b = 1.

Ist ξ = (E , p, B) ein Vektorbündel mit Thom-Klasse u(ξ) ∈ SVektC(M(ξ)) und istf ∶ X → B stetig, so ist u( f ∗(ξ)) ∶= M( f )∗(u(ξ)) ∈ SVektC(M( f ∗ξ)) eine Thom-Klasse


für f ∗(ξ). Verwendet man dieseThom-Klassen, so ist derThom-Isomorphismus natürlich,d.h. es kommutiert

SVektC(B+) SVektC(Bξ)

SVektC(X+) SVektC(X f ∗(ξ))

��Φ ξ

��

f ∗

��

M( f )∗

��Φ f∗(ξ)

(7.1.13)

Besitzen die Bündel ξ = (E , p, x), η = (E′ , p′ ,Y) Thom-Klassen u(ξ), u(η), so ist dasreduzierte Produkt

u(ξ × η) ∶= u(ξ) ∧ u(η) ∈ SVektC(M(ξ) ∧M(η)) = SVektC(M(ξ × η)) (7.1.14)

eine Thom-Klasse für ξ × η, wobei der Homöomorphismus Xξ ∧ Yη ≅ (X × Y)ξxη (sieheAbschnitt 3.6) verwendet wurde. Für X = Y ist dann u(ξ ⊕ η) = △∗u(ξ × η) eine Thom-Klasse für die Whitney-Summe. Mit diesen Thom-Klassen ist der Thom Isomorphismusmit Produkten verträglich, d.h. es kommutiert

SVektC((X × Y)+) SVektC((X × Y)ξ×η)

SVektC(X+ ∧ Y+) SVektC(Xξ ∧ Yη)

SVektC(X+) × SVektC(Y+) SVektC(Xξ) × SVektC(Yη)

��Φ ξ×η

��

��Φ ξ×Φη

∧

∧

(7.1.15)

Wir konstruieren als nächstesThom-Klassen für Summen von Linienbündeln. Es sei λ = λCkdas kanonische Linienbündel über Pk(C). Der in Abschnitt 3.6 definierte Homöomorphis-mus

Pk(C)nλ ≅ Pn+k(C)/Pn−1(C)

für n = 1 liefert Pk(C)λ ≅ Pk+1(C). Da dieser mit Einschränkungen verträglich ist, folgt

leicht, daßM(iP0(C)) ∶ P0(C)λ → Pk(C)λ homotop zur üblichen Inklusion i ∶ S2 = P1(C) =

P0(C)λ → Pk(C)λ = Pk+1(C) ist.

Die Klasse±[λCk+1]s ∈ SVektC(Pk+1(C)) = SVektC(Pk(C)λ) schränkt sich unter i∗ nach

Definition ein zum Erzeugenden ±un ∈ SVektC(S2), ist also eine Thom-Klasse für λ. For-muliert man dies in K-Theorie, so schreibt sich [λ]s als [λ]K − 1 und wir setzen

uK(λ) ∶= 1 − [λ]K = − [λ]s in K0(Pk(C)

λ) = K0(Pk+1(C)).

Über Natürlichkeit und reduzierte Produkte (7.1.14) erhalten wir eine Thom-Klasse uK(ξ)für jede Whitney-Summe von Linienbündeln ξ = L1 ⊕ ... ⊕ Ln . Allgemein besitzt jedeskomplexe Vektorbündel ξ eine Thom-Klasse in SVektC(M(ξ)). Die Konstruktion einer


Thom-Klasse uK(ξ), die für Summen von Linienbündelnmit der oben beschriebenen Klas-se übereinstimmt, findet man in [Ati67]. Im Folgenden rechnen wir in den K-GruppenK0(X) = SVektC(X+), uK(ξ) sei die Thom-Klasse aus [Ati67] mit Thom-IsomorphismusΦξ . Wir formulieren einfachheitshalber die folgenden Aussagen für alle komplexen Bündelunter Verwendung dieserThom-Klasse, sodaß diese Aussagen eigentlich nur für Linienbün-delsummen vollständig bewiesen sind. Für unsere Anwendung auf J(Pn(R)) benötigen wirnur den Linienbündel-Fall.

Definition 7.1.16. Die Klasse ρk(ξ) ∈ K0(X) wird definiert durch

ρk(ξ) ∶= Φ−1ξ (ψkuK(ξ)) (7.1.17)

Mit der Modulstruktur (7.1.9) formuliert sich dies als ψk(uK(ξ)) = ρk(ξ) ◇ uK(ξ). Diesecharakteristische Klasse hat folgende Eigenschaften:

Proposition 7.1.18. Es seien ξ und η komplexe Vektorbündel und L ein Linienbündelüber X sowie f ∶ Y → X eine stetige Abbildung. Dann gilt:a) f ∗ρk(ξ) = ρk( f ∗(ξ))b) ρk(ξ ⊕ η) = ρk(ξ) ⋅ ρk(η)c) ρk(L) = 1 + [L]K + [L2]K + .. + [L

k−1]K .

Beweis. a) Aus uK( f ∗(ξ)) = M( f )∗uK(ξ) und (7.1.13) erhält man

Φ f ∗ ξ(ρk( f ∗(ξ))) = ψk(uK( f ∗ξ)) = M( f )∗ψk(uK(ξ)) = M( f )∗(Φξ(ρk(ξ)))

= Φ f ∗ ξ( f ∗ρk(ξ)).

b) Es ist Φξ×η(ρk(ξ × η)) = ψk(uK(ξ × η)) = ψk(uK(ξ) ∧ uK(η)) = ψk(uK(ξ)) ∧ψk(uK(η)) = Φξ(ρk(ξ)) ∧ Φη(ρk(η)) = Φξ×η(ρk(ξ) ∧ ρk(η)) nach (7.1.15) und (7.1.3).Mit ξ ⊕ η = △∗(ξ × η) und a) folgt b).c) Aus dem Nullschnitt s0 des Bündels λ = λCn wird unter der Identifikation Pn(C)λ ≅Pn+1(C) die Inklusion i ∶ Pn(C) → Pn+1(C). Wegen s0 ○ △ ≃ △ ist die Komposition

K0(Pn(C))Φλ�→ K0(Pn(C)λ) ≅ K0(Pn+1(C))

i∗�→ K0(Pn(C))

dieMultiplikationmit s∗0(uK(λ)) = 1−[λ]K =∶ x . Aus (5.5.1) habenwir den IsomorphismusK0(Pn(C)) ≅ Z[x]/(xn+1), sodaß die Multiplikation mit x den Kern Z ⋅ xn besitzt. Damitgilt:

i∗ ○Φλ(ρk(λ)) = i∗ψk(uK(λ)) = i∗ψk(1 − [λ]K) = i∗(1 − [λk]K)

= i∗((1 + [λ]K + [λ2]K + ... + [λ

k−1]K) ⋅ (1 − [λ]K))

= i∗ ○Φλ(1 + [λ]K + [λ2]K + ... + [λ

k−1]K)


Hieraus folgt ρk(λ) = 1+[λ]K +[λ2]K + ...+[λk−1]K modulo xn . Indemman in der nächst

höheren Dimension rechnet und dann einschränkt, folgt die Behauptung für λCn und mitNatürlichkeit für beliebige Linienbündel L.

Mit Hilfe der ρk-Klassen läßt sich die Abweichung von der Linearität einer fasererhal-tenden Abbildung f ∶ S(ξ) → S(η) zwischen zwei Sphärenbündeln in einem bestimmtenUmfang messen. Dazu seien ξ, η zwei n-dimensionale komplexe Vektorbündel über demkompakten Raum B und f ∶ S(ξ) → S(η) eine fasererhaltende Abbildung von Grad 1 aufden Fasern. Wie im Beweis zu (6.3.9) liefert radiale Erweiterung eine Abbildung

M( f ) ∶ M(ξ) → M(η)

für die die Einschränkung M( f )x ∶ M(ξx) → M(ηx) ebenfalls vom Grad 1 ist. Deshalb istM( f )∗(uK(η)) ebenfalls eine Thom-Klasse für ξ, die sich nach (7.1.12) als

M( f )∗(uK(η)) = a ◇ uK(ξ)

mit einer Einheit a ∈ K0(B) schreibt. Wendet man nun ψk an, erhält man links

ψk(M( f )∗(uK(η))) = M( f )∗(ρk(η) ◇ uK(η)) = ρk(η) ◇M( f )∗(uK(η)) = ρk(η) ⊗ a ◇ uK(ξ)

und rechtsψk(a ◇ uK(ξ)) = ψk(a) ⊗ ρk(ξ) ◇ uK(ξ)

alsoρk(η) ⋅ a

ψk(a)= ρk(ξ)

Proposition 7.1.19. Gibt es zwischen den Sphärenbündeln S(ξ), S(η) der n-dimensionalen komplexenVektorbündel ξ, η eine fasererhaltende Abbildung f vomGrad1 auf den Fasern, so gibt es eine Einheit a ∈ K0(B)mit ρk(η) ⋅ a

ψk(a) = ρk(ξ).

Bemerkung. Wäre f von einem Vektorbündelisomorphismus induziert, so hätte man na-türlich ρk(η) = ρk(ξ).

Korollar 7.1.20. Ist das n-dimensionale komplexe Bündel ξ faserhomotopietrivial, so gibtes eine Einheit a ∈ K0(B)mit ρk(ξ) = kn ⋅ a

ψk(a) .

Beweis. Man setzt η = Cn , mit ρn(Cn) = kn folgt die Behauptung.

Beispiel. Für B = Pm(R) und k ungerade gilt ψk = id auf K0(Pm(R)) und für ein faserho-motopietriviales Bündel ξ über Pm(R) gilt ρk(ξ) = ρk(Cdim ξ) = kdim ξ .


Um zu einer stabilen Version zu gelangen, muß man die Zahl k invertierbar machenund in

K0(B) ⊗Z Z [1/k] =∶ K0(B) [1/k]rechnen. Hier ist Z [1/k] = {a/ks ∣ a ∈ Z, ρ ∈ N} ⊂ Q der Unterring der rationalen Zahlen,derenNenner eine Potenz von k ist. Setze ρk(ξn) ∶= ρk(ξn)/kn für n = dim ξ (und B zusam-menhängend). Dann hängt ρk(ξn) nur von [ξ]s ab und definiert einen Homomorphismus

ρk ∶ SVektC(B) → (K0(B) [1/k])⋅

wobei R⋅ die multiplikative Gruppe der Einheiten in einem kommutativen Ring R mit 1bezeichnet.

Korollar 7.1.21. Ist das komplexe Bündel ξ stabil faserhomotopietrivial, d.h. gilt J(ξ) =0, so ist ρk(ξ) von der Form a

ψk(a) mit einer Einheit a ∈ K0(B).

7.1.3 Berechnung von J(Pn(R))

Die bisher entwickelte Theorie erlaubt eine einfache Berechnung von J(Pn(R)) für n ≡6, 7, 8 mod 8. Für die restlichen Dimensionen besprechen wir einen etwas längeren aberelementaren Zugang, der die Einführung der sonst benötigten reellen ρk-Klassen vermei-det.

Nach (5.5.5) ist der Ring K0(Pn(R)) isomorph zuZ/2[ n2 ]mit Erzeugendem y, das durchy ∶= [L]s = [L]K − 1 mit L = λRn ⊗ C gegeben ist. Wegen L ⊗ L = 1 hat man die Relationy2 = −2y. Wir wählen k = 3 und berechnen ρ3(mL) ∶

Lemma 7.1.22. ρ3(mL) = 1 + ( 3m−1

2⋅3m )y

Beweis.

ρ3(mL) = ρ3(L)m = 3−m(1 + [L]K + [L]2K)

m = (1 + y3 )

m

= 1 +m∑i=1(−1)i2i−1(mi ) ⋅ y ⋅ 3

−i (wegen y2 = −2y)

= 1 + 12 (1 − (1 −

23 )

m) ⋅ y= 1 + ( 3

m−1

2⋅3m ) ⋅ y

Ist jetzt J(mL) = 0, so gilt ρ3(mL) = 1, und es folgt ( 3m−1

2⋅3m ) ⋅ y = 0. WegenK0(P2n+1(R)) ≅ K0(P2n(R)) reicht es, den Fall P2m(R) zu betrachten. Wir verwenden dieleicht mit elementarer Zahlentheorie herzuleitende Formel

ν2(3m − 1) = {1, m /≡ 0 mod 22 + ν2(m), m ≡ 0 mod 2 , (7.1.23)


wobei ν2(l) der Exponent von 2 in der Primfaktorzerlegung von l ist. Aus J(mL) = 0auf P2n(R) folgt, daß (3m − 1)/2 durch 2n teilbar ist und mit obiger Formel gilt dies nur,wenn m selbst durch 2n−1 teilbar ist. Bis auf möglicherweise das Element der Ordnung 2sind also alle Elemente in K0(P2n(R)) nicht stabil faserhomotopietrivial. Nach (5.5.8) giltKO0

(Pn(R)) = Z/2ϕ(n) mit x = [λRn]K − 1 als Erzeugendem. Wegen r(L) = 2λRn oderr(y) = 2x folgt J(2[ n2 ] ⋅ λRn) ≠ 0. Damit ist gezeigt:

Korollar 7.1.24. Für n ≡ 6, 7, 8mod 8 gilt KO0(Pn(R)) ≅ J(Pn(R)).

Beweis. Für diese Dimensionen hat man ϕ(n) = [ n2 ].

In den anderen Dimensionen reicht das Argument nicht aus, einen Kern der Ordnung2 auszuschließen. Es gilt jedoch immer:

Satz 7.1.25. KO0(Pn(R)) ≅ J(Pn(R))

Einen vollständigen und konzeptuellen Beweis erhält man durch Übertragung obigerMethode in die reelle K-Theorie. Die Bündel 4l ⋅ λRn besitzen eine KO-Theorie-Thom-KlasseunddurchVerwendungdesThom-Isomorphismus in reellerK-Theorie ist eine entsprechen-de ρk

R-Klasse definiert. Die Berechnung ergibt jetzt

ρ3R(4l ⋅ λRn) = 1 + (32 l − 12 ⋅ 32 l

) ⋅ x . (7.1.26)

Gilt J(4l ⋅ λRn) = 0 so folgt mit (7.1.23) die Gleichung 4l ⋅ y = 0 und man erhält einen Beweisfür (7.1.25), siehe etwa [Kar78], [Ada65, (5.16)].

Die Fälle m [λ]s mit m /≡ 0 mod 4 führt man auf die Dimensionen n ≤ 5 zurück, dieman gesondert - etwa mit Hilfe von Stiefel-Whitney-Klassen - behandeln kann.

Wir wollen die allgemeineTheorie wegen der nicht ganz einfachen Details jedoch nichtweiter ausbauen. Stattdessen wählen wir ein direktes elementares Argument, das die spe-ziellen Eigenschaften der projektiven Räume ausnutzt und die allgemeine Theorie nur alsPrinzip im Hintergrund verwendet. Wir stellen zunächst die benötigte Information überKO0

(Pn(R)/Pm(R)) zusammen und kürzen Pn(R) im Folgenden mit Pn ab.

Lemma 7.1.27. Für m /≡ 3mod 4 ist die Sequenz

0→ KO0(Pn+m/Pm)

j∗�→ KO0

(Pn+m)i∗�→ KO0

(Pm) → 0 (7.1.28)

kurz exakt und es folgt KO0(Pn+m/Pm) ≅ Z/2ϕ(n+m)−ϕ(m) .


Beweis. In der zu i ∶ Pm → Pn+m gehörenden langen exakten Sequenz ist i∗ ∶KO−1(Pn+m) �→ KO−1(Pm) ≅ Z/2 ⋅ [Rm+1]s surjektiv, da die SpiegelungsabbildungRm+1 auf Pn+m erweiterbar ist. Damit ist δ ∶ KO−1(Pm) �→ KO0

(Pn+m/Pm) trivial und j∗ist injektiv.

Satz 7.1.29. Das Bündel m ⋅ λRn besitzt für m ≡ 0mod 8 eine KO-Theorie-Thom-Klasse.

Beweis. Mit Pmλn ≅ Pn+m/Pm−1 folgt dies aus der Surjektivität der Abbildung i∗ im kommu-

tativen Diagramm

KO0(Pn+m/Pm−1)

i∗�→ KO0

(Pm/Pm−1) ≅ Z → KO1(Pn+m/Pm)

↓ j1∗ ↓ j2∗

KO0(Pn+m/Pm−2)

i∗1�→ KO0

(Pm/Pm−2) ≅ Z/2↓ ↓

KO0(Pm−1/Pm−2) = KO0

(Pm−1/Pm−2) = 0

Wegen KO0(Pm−1/Pm−2) = KO

0(Sm−1) = 0 sind j1∗ und j2∗ surjektiv. Die Surjektivität von

i1∗ folgt leicht mit Hilfe des letzten Lemmas und die Gruppe KO0(Pm/Pm−2) berechnet

man mit 2 ⋅ λR1 ≅ R2 und der Kofasersequenz S1 2�→ S1 → P2 → S2 → über

KO0(Pm/Pm−2) ≅ KO

0(P(m−1)λ1 ) ≅ KO0

(Σm−2Pλ1 ) ≅ KO

2(P2) ≅ KO

2(S1 ∪2 e2) ≅ Z/2.

Aus dem Diagramm folgt dann (2a + 1) ⋅ Z ⊂ Bild(i∗) und da, wie leicht zu sehen ist,KO1

(Pn+m/Pm) aus 2-Torsion besteht (man verwende etwa r ○ c = 2), folgt Z = Bild(i∗).

Nachdemman die Existenz einer KO-Theorie-Thom-Klasse fürm⋅λRn nachgewiesen hat,kann man diese durch den folgenden Umweg über komplexe K-Theorie genauer festlegenund dann die Adams-Operationen darauf berechnen.

Lemma 7.1.30. Für m ≡ 0mod 8 und n +m ≡ 6, 7, 8mod 8 ist die Komplexifizierung

c ∶ KO0(Pn+m/Pm) �→ K0(Pn+m/Pm)

ein Isomorphismus.

Beweis. Man bildet die Sequenz (7.1.28)mit c ab in die entsprechende kurze exakte Sequenzin komplexer K-Theorie und vergleicht. Da c ∶ KO0

(Pa) �→ K0(Pa) für a ≡ 6, 7, 8 mod 8bijektiv ist, folgt die Behauptung.


Lemma 7.1.31. Für m ≡ 0mod 8 und n +m ≡ 6, 7, 8mod 8 ist die Komplexifizierung

c ∶ KO0(Pn+m/Pm−1) �→ K0(Pn+m/Pm−1)

ein Isomorphismus, insbesondere gilt

KO0(Pn+m/Pm−1) ≅ Z⊕ KO0

(Pn+m/Pm) ≅ Z⊕Z/2ϕ(n+m)−ϕ(m)

und die Adams-Operation ψk operiert als Identität auf der Torsionsuntergruppe für k /≡ 0mod 2.

Beweis. Mit den zu Pm/Pm−1 → Pn+m/Pm−1 → Pn+m/Pm gehörenden Kofasersequenz folgtdies aus (7.1.30) und (7.1.29).

Lemma 7.1.32. Es sei m = 2t ≡ 0mod 8 und L = λ ⊗ C. Dann gibt es eine Thom-KlasseuK(tL) von t ⋅ L in K0(Pmλ

n )mit

ψ3(uK(tL)) = 3t ⋅ uK(tL) +(3t − 1)

2⋅ κ,

wo κ ein Erzeugendes der Torsionsuntergruppe von K0(Pmλn ) ist.

Beweis. Für uK(tL)wählen wir die oben konstruierteThom-Klasse, dann gilt nach (7.1.22)mit y = [L]K − 1 und demThom-Isomorphismus ΦtL(a) = a ◇ uK(tL)

ψ3(uC(tL)) = ρ3(t ⋅ L) ◇ uC(tL) = (3t +(3t − 1)

2y) ◇ uC(tL).

Da y ein Erzeugendes der Torsionsuntergruppe in K0(Pn) ist, gilt dies auch für κ = y ◇uC(tL).

ZurAbkürzung setzenwir εt ∶= (3t−1)/2.Mankannψ3(uC(tL)) auch direkt berechnen,also ohne Verwendung vonThom-Isomorphismus und der ρ3-Klasse.

Satz 7.1.33. Für m = 2t ≡ 0mod 8 gibt es eine Thom-Klasse uR von mλn und ein Erzeu-gendes τ der Torsionsuntergruppe von KO0

(Pmλn )mit

ψ3(uR) = 3t ⋅ uR + εt ⋅ τ, ψ3(τ) = τ.

Beweis. Zunächst gelte n ≡ 6, 7, 8 mod 8, dann ist c bijektiv und wir definieren uR undτ durch c(uR) = uC(tL) und c(τ) = κ. Dann gelten die Formeln. Für ein beliebiges nerhält man uR und τ aus einer Dimension n′ mit n′ ≡ 6, 7, 8 mod 8 durch Einschränkung.Die Eigenschaft Thom-Klasse zu sein bleibt erhalten, ebenso die Formeln für ψ3 und dieAussage zu τ.


Satz 7.1.34. Es gelte m = 2t ≡ 0mod 8 und J(mλRn) = 0, dann folgt [mλRn]s = 0.

Beweis. Aus J(mλRn) = 0 erhält man eine stabile Homotopieäquivalenz θ ∶ Pmλn → PmR

n ≅

Σm(Pn(R)+) zwischen Thom-Räumen. Das kanonische Erzeugende u in KO0(PmR

n ) ≅

KO0(Σm(Pn(R)+)) = KO0

(Sm) ⊕ KO0(ΣmPn), das zum Erzeugenden von KO0

(Sm) ge-hört, erfüllt ψk(u) = kt ⋅ u und durch v ∶= θ !(u) erhält man eine zweite Thom-Klasse fürmλRn in KO

0(Pmλ

n ), für die dann ψk(v) = kt ⋅ v ebenfalls gilt. Der additive Vergleich beiderThom-Klassen ist etwas umständlicher als der oben verwendete multiplikative, vermeidetaber denThom-Isomorphismus. Mit einer Konstanten d können wir also schreiben:

v = uR + d ⋅ τ

und dann die Wirkung von ψ3 untersuchen. Aus

ψ3(v) = ψ3(uR + d ⋅ τ) = 3t ⋅ uR + εt ⋅ τ + d ⋅ τψ3(v) = 3t ⋅ v = 3t ⋅ (uR + d ⋅ τ)

erhält man εt ⋅τ+d ⋅τ = 3td ⋅τ. Umformen ergibt εt ⋅τ−(3t−1)d ⋅τ = 0 oder εt ⋅(1−2d)⋅τ = 0.Da (1− 2d) hier eine Einheit ist, folgt εt ⋅ τ = 0. Die 2-er Potenz ν2(εt) in εt ist nach (7.1.23)gerade ν2(εt) = ν2((3t−1)/2) = 2+ν2(t)−1 = ν2(m) und die in der Ordnung von τ geradeϕ(n + m) − ϕ(m) = ϕ(n), da m als durch 8 teilbar vorausgesetzt war. Aus εt ⋅ τ = 0 folgtalso ν2(m) ≥ ϕ(n) oder [mλRn]s = 0.

Die Fälle m ⋅ λRn mit m /≡ 0 mod 8 behandelt man wie oben angedeutet, dann ist (7.1.25)bewiesen.

Bemerkungen.

1. Zur Berechnung von J(Pn(R)) ist keine Lösung der Adams-Vermutung nötig.

2. Daß die Adams-Operation ψ3 auf KO0(Pn(R)) als Identität operiert, impliziert, daß

für zwei faserhomotopieäquivalente Bündel ξ, η die Gleichung ρ3(ξ) = ρ3(η) gilt. Dieskann man dahingehend interpretieren, daß kaum ein Unterschied zwischen linearenund nichtlinearenÄquivalenzen besteht, was durch (7.1.25) dann auch belegt wird. Emp-fohlen sei dieDiskussion in [Eck99], wo solche Zusammenhänge allgemeiner problema-tisiert werden.

3. Die Gleichung ρk([ξ]s) = a/ψk(a) mit einer Einheit a ∈ K0(B) [1/k] für ein stabilfaserhomotopietriviales Bündel ξ kann man als mutiplikative Version der Aussage derAdams-Vermutung interpretieren, vergleiche etwa (7.2.8).

7.2 Adams-Vermutung

Die Adams-Vermutung war Anstoß für viele Entwicklungen und neue Ideen. Die verschie-denen Beweise wurden merklich vereinfacht und sind mittlerweile gut zugänglich, sind

7.2 Adams-Vermutung 423

aber doch noch zu umfangreich und führen zu weit ab für eineWiedergabe an dieser Stelle.Wir besprechen hier zwei Formulierungen der Adams-Vermutung, eine direkte und eineauf dem Niveau klassifizierender Räume.

7.2.1 Die Adams-Vermutung und der Kograd von Vektorbündeln

Ein Ausgangspunkt für die Adams-Vermutung war die k-te Potenzabbildung (6.3.6)

mk ∶ S(L) → S(L⊗k), mk(z) = z⊗k

für ein komplexes Linienbündel L. Diese ist für ∣k∣ ≠ 0, 1 nichtlinear und vom Fasergradk. Der folgende Satz aus [Ada63] beschreibt einen ersten groben Zusammenhang zwischenFasergrad und J-Ordnung. Dieser verallgemeinert das Kriterium vonDold (6.3.10), das denFall ∣k∣ = 1 behandelt.

Satz 7.2.1. Gegeben sei eine fasererhaltende Abbildung f ∶ S(ξ) → S(η) für zwei Vek-torbündel ξ, η über einem endlichen Komplex X, die auf jeder Faser vom Grad k ∈ N ist.Dann sind für ein genügend großes e die Bündel S(ke ⋅ ξ) und S(ke ⋅ η) faserhomotopie-äquivalent.

Bevor wir weiter auf diesen Satz eingehen, zeigen wir, wie er zur Formulierung der Adams-Vermutung führt. Im Beispiel der k-ten Potenzabbildung mk folgt mit (7.2.1), daß für eingenügend großes e die Sphärenbündel S(keL) und S(keL⊗k) faserhomotopieäquivalentsind, d.h. es gilt J(ke [L]s) = J(ke [L⊗k]s) oder

J(ke([L⊗k]s − [L]s)) = 0 in J(B) (7.2.2)

Mit Hilfe der Adams-Operation ψk schreibt sich dies als

J(ke(ψk [L]s − [L]s)) = 0.

Die Adams-Vermutung ist nun die unmittelbare Verallgemeinerung hiervon auf beliebigeBündel:

Adams-Vermutung: Für jedes Vektorbündel ξ über einem endlichen CW-Komplex X istzu jedem k ∈ N für ein genügend großes e ∈ N die Klasse ke ⋅ (ψk([ξ]s) − [ξ]s) im Kernvon J ∶ SVektR(X) → J(X), also stabil faserhomotopietrivial.

Für Räume X mit der Eigenschaft, daß die Gruppe SVektR(X) von Linienbündeln er-zeugt wird, ist die Adams-Vermutung mittels (7.2.2) leicht zu beweisen. (siehe [Ada63]).Dies ist z. B. für die projektiven Räume Pn(R) und Pn(C) richtig.

Bewiesen wurde die Adams-Vermutung dann später für alle X durch Quillen [Qui71],Sullivan [Sul05] mit Vereinfachungen durch Becker und Gottlieb [BeG75] und anderen.


Auch die anfänglich verwendete, nicht ganz elementar zu beweisende Aussage, daß diesphärischen Faserungen eine Kohomologietheorie bilden, läßt sich mittlerweile umgehen.

Wir gehen nun noch etwas näher auf den Zusammenhang zwischen Fasergrad und J-Ordnung ein und beweisen (7.2.1) im Spezialfall einer doppelten Einhängung B = Σ2B′ . Füreinen vollständigen Beweis von (7.2.1) sei auf [Ada63] verwiesen, siehe auch [BrM76, §4]und die Skizze weiter unten.

Wir betrachten q-dimensionale Vektorbündel ξ, η und fasererhaltende Abbildungeng ∶ S(ξ) �→ S(η) über einem zusammenhängenden Komplex B und nennen ein solchesTripel τ = (ξ, g , η) kurz f -Abbildung. Der Fasergrad von gb ∶ S(ξb) �→ S(ηb) ist dannkonstant für alle b ∈ B und heißt Grad von τ. Die Whitney-Summe zweier f -Abbildungen(ξ1 ⊕ ξ2 , g1 ∗ g2 , η1 ⊕ η2) hat dann als Grad das Produkt der beiden Grade (6.3.2). Damitlassen sich dann f -Abbildungen stabilisieren. Ist man nur an der Situation stabiler Bündelinteressiert, so kannman immer auf den Fall, in dem η trivial ist, reduzieren indemman zu(ξ, g , η) das Tripel (η′ , id , η′) mit einem Negativ η′ von η hinzu addiert, ohne den Gradzu ändern. Für eine f -Abbildung τ = (ξ, g ,Rq) vom Grad k läßt sich dieser wie folgt auchüber denThom-Raum M(ξ) von ξ kennzeichnen.

Zu einer f -Abbildung τ = (ξ, g ,Rm) über dem zusammenhängenden Komplex B be-trachten wir die radiale Erweiterung von g auf die Scheibenbündel g ∶ D(ξ) �→ D(Rm)

und die hierdurch induzierte Quotientenabbildung g ∶ M(ξ) �→ M(Rm) zwischen denThom-Räumen. Komponiert man g mit der von der Projektion pr ∶ B �→ ∗ induziertenAbbildung M(pr) ∶ M(Rm) �→ Sm erhält man durch

M(pr) ○ g ∶ M(ξ) �→ Sm (7.2.3)

ein Element in πms (M(ξ)), das wir mit u(τ) = u(ξ, g ,Rm) bezeichnen werden. Ist ib ∶

{b} ↪ B die Inklusion, so folgt M(ib)∗(u(τ)) = ±Grad(τ) in πms (Sm) ≅ Z. Indem man

nun wie im Beweis der Aussage (6.3.9), daß die π∗s -Orientierbarkeit von ξ äquivalent zuJ(ξ) = 0 ist, vorgeht, erhält man für m ≫ dimB auch eine Umkehrung, d. h. ein Elementu in πm

s (M(ξ)) mit M(ib)∗(u) = k liefert eine f -Abbildung (ξ, g ,Rm) vom Grad k. EinElement u in πm

s (M(ξ)) mit M(ib)∗(u) = ±1 ist eine π∗s -Thom-Klasse. Als Variante von(6.3.9) halten wir fest:

Korollar 7.2.4. Ein m-dimensionales Vektorbündel ξ über dem zusammenhängendenendlichen Komplex B besitzt eine π∗s -Thom-Klasse, genau dann, wenn es für genügendgroßes k eine f -Abbildung τ = (ξ ⊕ Rk , g ,Rm+k) vom Grad ±1 gibt.

Die Beziehungen zwischen dem Grad einer f -Abbildung τ und der zugehörigen Klasseu(τ) führt zu folgender Definition:

Definition 7.2.5. Es sei ξ ein q-dimensionales orientierbares Vektorbündel über demendlichen zusammenhängenden Komplex B mit q ≫ dimB. Der Kograd cd(ξ) von ξ


wird definiert als die kleinste nichtnegative Zahl k, sodaß das k-fache des Erzeugendenvon πq

s (Sq) im Bild von M(ix)∗ ∶ πqs (Bξ) → πq

s (Sq) liegt.

Für stabile Bündel beschreibt der Kograd also den minimalen positiven Fasergrad,den eine fasererhaltende Abbildung f ∶ S(ξq) → S(Rq) annehmen kann. Die Gleichungcd(ξ) = 1 ist somit äquivalent zur Existenz einer π∗s -Thom-Klasse und damit zu J(ξ) = 0(6.3.9). Sowohl der Kograd cd(ξ) wie auch die J-Ordnung ∣J(ξ)∣messen somit die Abwei-chung von der π∗s -Orientierbarkeit eines Bündels ξ. Für stabile Bündel über einer doppeltenEinhängung ist der Zusammenhang zwischen Kograd und J-Ordnung besonders einfach:

Satz 7.2.6. Ist ξ ein m-dimensionales Vektorbündel über dem endlichen Komplex Σ2Bmit m ≫ dimB, so gilt ∣J(ξ)∣ = cd(ξ), d.h. der minimale positive Fasergrad für faserer-haltende Abbildungen g ∶ S(ξ) → S(Rm) gleicht der Ordnung von J(ξ) in J(Σ2B).

Beweis. Aus der Kofasersequenz (6.3.37) folgt unmittelbar cd(ξ) = ∣J(cξ)∣ , wobei cξ ∶ΣB → SO(m) die Klebeabbildung von ξ und ∣J(cξ)∣ die Ordnung von J(cξ) in π0

S(ΣB)ist. Auf Einhängungen ist der J-Homomorphismus J ∶ SVektR(Σ2B) → π0

s (ΣB) aber addi-tiv, sodaß ∣J(ξ)∣ = ∣J(cξ)∣mit (6.3.34) folgt.

Korollar 7.2.7. Ist B = Σ2B′ eine doppelte Einhängung, so gilt die Aussage von (7.2.1).

Ist B nur eine einfache Einhängung, kann man (6.3.30) verwenden und noch auscd(ξ) = k, also k⋅J(cξ) = 0, dieAussage J(ke ξ) = 0 für genügend großes e folgern. Beispielewie das Spiegelungsbündel über ΣPm(R) oder H−H⊗k über Pm(C) jedoch zeigen, daß dieInvarianten cd(ξ) und ∣J(ξ)∣ i.A. verschieden ausfallen. Es gilt aber allgemein, daß cd(ξ)und ∣J(ξ)∣ die gleichen Primzahlen, jedoch i.A. zu verschiedenen Potenzen enthalten.

Dies bedeutet, daß man (7.2.1) am besten als Lokalisierungsresultat auffaßt. Dies zeigtsich sehr schön in der in [BrM76, §4] gegebenen Herleitung von (7.2.1), die ganz auf demNiveau klassifizierender Räume verläuft: Dort wird auf der Menge der f -Abbildungen einegeeignete Äquivalenzrelation “stabil homotop” eingeführt.Man erhält so einen halbexaktenHomotopiefunktor, der nach dem Satz von Brown [Dol66], [Bro62] durch einen klassifizie-renden Raum mit der Bezeichnung Q(S0)/O dargestellt wird. Seine Wegekomponenten(Q(S0)/O)d , d ∈ N, klassifizieren gerade f -Abbildungen vom Fasergrad d. Die Whitney-Summenmit der festen f -Abbildung τ0 = (Rq , d ,Rq) vomGrad d induziert eineAbbildung∗τ0 ∶ [Si , (Q(S0)/O)1] �→ [Si , (Q(S0)/O)d], deren Kern und Kokern nach dem letztenKorollar Torsionsgruppen sind, deren Ordnungen Potenzen von d sind. Hieraus werdenwir dann weiter unten (7.2.1) folgern.

Für eine algebraischere Fassung der Adams-Vermutung erinnern wir zunächst an dasLokalisieren abelscher Gruppen. Es sei p eine feste Primzahl und

Z(p) ∶= {a/b ∈ Q ∣ b ist prim zu p} ⊂ Q


sei der Unterring der rationalen Zahlen, deren Nenner nicht durch p teilbar sind. Für ei-ne abelsche Gruppe A setzt man A

(p) ∶= A ⊗Z Z(p) und nennt den Übergang A ↦ A

(p)Lokalisieren bei p. Hierdurch wird die Multiplikation mit einer Zahl, die zu p prim ist,auf A(p) zu einem Isomorphismus, insbesondere sind in A

(p) die Elemente endlicher Ord-nung immer p-Torsion. Ein Homomorphismus g ∶ H → G induziert offensichtlich einenHomomorphismus g ∶ H

(p) → G(p) .

Die Adams-Vermutung läßt sich dann wie folgt in eine p-lokale Version umformulieren:

Adams-Vermutung: Für eine Primzahl p ist für jedes k mit (k, p) = 1 die Komposition

SVektR(X)(p)ψk−1

�→ SVektR(X)(p)J�→ J(X)

(p) (7.2.8)

die Nullabbildung.

Dies bedeutet, daß für Räume X, für die die Adams-Vermutung richtig ist, die Abbil-dung J über die Quotientengruppe Koker(ψk − 1) faktorisiert, diese also eine obere Schran-ke für J(X)

(p) darstellt. Man wählt jetzt zu festem p ein k, dessen Restklasse (Z/p2)∗ er-zeugt (k = 3 für p = 2). Mit dieserWahl wird der Kokern von ψk − 1 bei p nämlich minimal(siehe [Ada65] oder die Beispiele weiter unten) undman kann dann sogar eine vollständigeBeschreibung von J(X)

(p) erhalten. In [Ada65, Teil III] hat Adams gezeigt, daß für RäumeX, für die Adams-Vermutung gilt, der Kern von J ∶ SVektR(X) → J(X) von Elementen derForm ke(ψk(x)−x), e = e(k, x) genügend groß, auch erzeugt wird, d.h. die Sequenz (7.2.8)ist sogar exakt. Genauer, durch Verwendung der ρk-Klassen wie in (7.1.19) konstruiert maneinen weitererenQuotienten J′(X)

(p) von SVektR(X)(p) unabhängig von (7.2.8), sodaß dieQuotientenabbildung J′ ∶ SVektR(X) → J′(X) p-lokal über J(X)

(p) faktorisiert:

SVektR(X)(p) J(X)(p)

J′(X)(p)

��

��

��

��

��

J′��

DieGruppe J′

(X)(p) ist also eine untere Schranke für J(X)(p). Außerdem gilt J′○(ψk−1) =

0, sodaß man eine induzierte Abbildung Koker(ψk − 1) → J′(X)(p) zwischen oberer und

unterer Schranke erhält. Bemerkenswert ist nun, daßman rein algebraisch zeigen kann, daßfür p und k wie oben diese Quotientenabbildung bijektiv ist, unabhängig von der Adams-Vermutung. Untere und obere Schranke stimmen also immer überein. Für Räume X, fürdie die Adams-Vermutung gilt, liegt J(X)

(p) zwischen beiden Schranken und man hat alsFolgerung:

Koker(ψk − 1) ≅ J(X)(p) ≅ J′(X)

(p)


Satz 7.2.9. Gilt die Adams-Vermutung für X, so ist mit k und p wie oben die Sequenz

SVektR(X)(p)ψk−1

�→ SVektR(X)(p)J�→ J(X)

(p)

exakt.

Für einen Beweis sei auf [Ada65] verwiesen, für p ≠ 2 ist ein Beweis in [CrK85] ausge-führt. Mit dem letzten Satz ist die Berechnung von J(X) auf rein K-theoretische Problemereduziert worden. Man muß eine der beiden Schranken, d.h. im Wesentlichen ψk oder ρk

berechnen. Allerdings kann eine solche Berechnung numerisch manchmal relativ kompli-ziert werden.

Beispiele.

1. Für die Berechnung von J(Sn)(p) und damit die Berechnung des Bildes des J-

Homomorphismus J ∶ πn−1(SO) → πSn−1(S0) muß man nur noch die Wirkung von

ψk − 1 auf SVektR(Sn)(p) berechnen. Dazu reicht es ψk auf K0(S2m)

(p) zu bestimmen.Nach (7.1.3) operiert ψk dort als Multiplikation mit km . Für eine Primzahl p bezeichnevp(n) den Exponenten von p in der Darstellung von n als Produkt von Primzahlpoten-zen. Mit den zahlentheoretischen Formeln

νp(km − 1) = {0 m /≡ 0 mod p − 1

1 + νp(m) m ≡ 0 mod p − 1 für p ≠ 2

ν2(3m − 1) = {1 m /≡ 0 mod 2

2 + ν2(m) m ≡ 0 mod 2 für p = 2, (7.2.10)

deren Beweis man ebenfalls in [Ada65] findet, erhält man

νp(∣J(S4m)∣) = {νp(k2m − 1) für p ≠ 23 + ν2(m)

und J(S8m+1)(2) ≅ J(S8m+2)

(2) = Z/2.Wir definieren eine Funktion t ↦ m(t) durch Angabe ihrer Primfaktorzerlegung:

νp(m(t)) ∶= {1 + νp(t) für t ≡ 0 mod (p − 1)0 sonst für p /= 2 und

ν2(m(t)) ∶= {2 + ν2(t) für t ≡ 0 mod 21 sonst

Satz 7.2.11. Die Gruppe J(Si+1) und damit das Bild des J-Homomorphismus J ∶πi(SO) → πs

i(S0) ist gegeben durch

J(π8k(SO)) = Z/2, J(π8k+1(SO)) = Z/2 und J(π4k−1(SO)) = Z/m(2k)Z.


2. Die Operation von ψk auf K0(Pn(C)) und KO0(Pn(C)) ist nach (7.1.2) bekannt.Durch Berechnung der Determinante einer geeignetenMatrixdarstellung für ψk − 1 aufK0(Pn(C))(p) erhält man leicht die Ordnung der Gruppe J(Pn(C))(p) ∶

νp ∣J(Pn(C))∣ = νp((p ⋅ [n/(p − 1)])!) für p ≠ 2

([m] bezeichnet die größte ganze Zahl ≤ m). Wir zitieren noch die Ordnung bn ∶=∣J(λCn)∣ des kanonischen Linienbündels λCn in J(Pn(C)) ∶

νp(bn) = νp ∣J(λCn)∣ =max{r + νp(r) ∣0 ≤ r ≤ [n/(p − 1)]} (7.2.12)

(siehe etwa [Lam72] und [MPS80]).

3. Für die Beziehung vonψk zumChern-Charakter findet man ch2m(ψkx) = kmch2m(x).Dies gilt für Linienbündel und mit dem Spaltungsprinzip dann allgemein. Damit kom-mutiert folgendes Diagramm

KO0(X)(p) KO0(X)

(p) J(X)(p)

⊕j>0

H4 j(X;Q) ⊕j>0

H4 j(X;Q)

��ψk−1

��

ch ○ r

��

��

ch ○ r

��⊕(k2 j−1)

Für einen zusammenhängenden endlichen Komplex X ist die Abbildung⊕(k2 j − 1) auf⊕ j>0 H4 j(X;Q) bijektiv und damit Koker(ψk − 1 ∶ KO0

(X)(p) → KO0

(X)(p)) endlich.

Für Räume für die die Adams-Vermutung gilt, folgt hieraus die Endlichkeit von J(X).

7.2.2 Die klassifizierende RaumVersion der Adams-Vermutung

Das Arbeiten mit J-Homomorphismus und J(X)-Gruppen wird dadurch erschwert, daßder Funktor X ↦ J(X) i.A. nicht exakt ist. Die bewiesene Adams-Vermutung erlaubt nundie Konstruktion einer Erweiterung des J-Homomorphismus, die diesen Nachteil vermei-det. Der Faktor ke in der Adams-Vermutung macht es allerdings nötig, mit invertierbaremk zu arbeiten, d.h. zu lokalisieren. Die Formulierung wird besonders einfach, wenn manbei einer festen Primzahl p lokalisiert und k als Erzeugendes von (Z/p2)∗ wählt (k = 3 beip = 2).

Das stabile Vektorbündel (ψk − 1)([γm]s) ∈+SVektR(Gm(R

∞)) wird repräsentiertdurch eine Abbildung ψk ,m ∶ Gm(R

∞) → BSO . Diese Abbildung läßt sich zu ψk ∶ BSO →BSO erweitern. Das Problem hierbei ist, daß ψk ,m nur bis auf Homotopie gegeben ist. Fürdie Technik, wie man hiermit umgeht, sei etwa auf [Swi75, 7.66] verwiesen.

Wir wählen eine solche Erweiterung ψk und definieren einen Raum JmJSOp als Homoto-piefaser von ψk . Die resultierende Fasersequenz

�→ SO �→ SO △�→ JmJSOpD�→ BSO

ψk�→ BSO (7.2.13)


induziert eine lange exakte Sequenz

→ +SVektR(ΣX)ψk∗�→ +SVektR(ΣX)

△

�→ [X , JmJSOp ]D�→ +SVektR(X)

ψk∗�→ +SVektR(X)

in der (ψk)∗ durch ψk − 1 beschrieben wird.Tensoriert man jetzt alle Terme dieser Sequenz mit Z

(p) , so bleibt sie exakt und für

die auf +SVektR(ΣX)(p) definierte J-Abbildung JF∗ ∶ +SVektR(ΣX)(p)J�→ J(ΣX)

(p)j2⊂

[X , SF](p) gilt jetzt mit (7.2.8) JF∗ ○ (ψk − 1) = 0. Man erwartet eine Faktorisierung von

JF∗ über△. Um eine solche zu konstruieren, muß man zur entsprechenden Sequenz vonklassifizierenden Räumen zurückgehen und diese zunächst bei p lokalisieren.

Einschub. Lokalisieren von H-Räumen.Unter bestimmten Voraussetzungen läßt sich ein Raum ähnlich wie ein Z-Modul bei einerPrimzahl p lokalisieren. Für einen H-Raum X ist dies relativ einfach. Für r ∈ N bezeichnenwir die r-fache H-Raum Summe von idX ebenfalls mit r ∶ X → X . Man bildet dann zurSequenz

X1r1�→ X2

r2�→ X3

r3�→ .....

mit Xi = X und (ri)i∈N einer Folge aller Zahlen ausN, die zu p prim, sind das Abbildungs-teleskop

T(X) = (∪nXn × I)/ ∼

wobei die Äquivalenzrelation ∼ durch (xn , 1) ∼ (rn [xn] , 0) und (∗, t) ∼ ∗ erzeugt wird(siehe etwa [Swi75, 7.66]). Setze X

(p) ∶= T(X), dann heißt X(p) die p-Lokalisierung von

X und es gilt π j(X(p)) ≅ π j(X)(p). Für die allgemeine Lokalisierungstheorie sei auf dieLiteratur , etwa [HMR75], verwiesen.

Zwei Beispiele, die uns bereits begegnet sind, sollen die Nützlichkeit dieserTheorie ver-deutlichen. Statt bei einer Primzahl zu lokalisieren, kann man auch alle Primzahlen inver-tierbar machen. Die resultierende Lokalisierung X �→ XQ nennt man Rationalisierung.Bildet man etwa SO(2n + 1)Q , so bedeutet (3.3.28) nichts anderes als

SO(2n + 1)Q ≃ S3Q × S7Q × ... × S4n−1Q ≃ K(Q, 3) × K(Q, 7) × ... × K(Q, 4n − 1)

mit rationalen Sphären SiQ und Eilenberg-MacLane Räumen K(Q, i).

Ähnlich kann man von X �→ X[1/d] reden. Für die nach (7.2.7) betrachteten klassifi-zierenden Räume (Q(S0)/O)i erhält man aus der dort gemachten Aussage über ∗τ0 eineÄquivalenz

∗τ0 ∶ (Q(S0)/O)1[1/d] ≃ (Q(S0)/O)d[1/d]. (7.2.14)

Es sei q ∶ (Q(S0)/O) → BO dieAbbildung, die einer f -Abbildung μ = (ξ, g , η)das Elementq∗(μ) ∶= [ξ]s−[η]s ∈ +SVektR(X) zuordnet. Dann bedeutet die Existenz einer f -Abbildungμ vomGrad d > 0, daß x = q∗(μ) im Bild von q∗ ∶ [X , (Q(S0)/O)d] �→ +SVektR(X) liegt.Mit (7.2.14) liegt x im Bild von

q∗ ∶ [X , (Q(S0)/O)1][1/d] �→ +SVektR(X)[1/d]


und damit für ein genügend großes e ein de-faches von x auch im Bild vonq∗ ∶ [X , (Q(S0)/O)1] �→ +SVektR(X). Die Komposition [X , (Q(S0)/O)1]

q∗

�→+SVektR(X)

J�→ J(X) ist aber nach dem Dold-Kriterium (6.3.10) die Nullabbildung,

es folgt J(dex) = 0. Dies ist eine Skizze für den Beweis von (7.2.1) aus [BrM76, §4].

Wir gehen jetzt ähnlich vor wie im Abschnitt 6.4 und verwenden die klassifizieren-den Räume BSF(n) wieder ohne auf deren Konstruktion eingegangen zu sein. Es geltendie dort in der Einleitung gemachten Bemerkungen zur Vermeidung von BSF(n). DerRaum BSF wird über die oben beschriebene Teleskop-Konstruktion aus der Abbildungs-folge .. → BSF(n) → BSF(n + 1) → BSF(n + 2) → .. konstruiert. Entspechend erhält manBSO und als Abbildung zwischen den Teleskopen die J-Abbildung J ∶ BSO �→ BSF . DieHomotopiefaser (siehe Abschnitt 3.6) von J bezeichnen wir mit SF/SO . Damit läßt sichzusammen mit (7.2.13) folgendes homotopiekommutative Diagramm von iterierten Faser-sequenzen, in dem alle Räume bei p lokalisiert sein sollen, aufstellen:

SO Im J pSO BSO BSO

SO SF SF/SO BSO BSF

��Δ

� ��

� ��

��

jA

��D

��

α

��ψk

� ��

� ��

��J

�� J

(7.2.15)

Einfachheitshalber lokalisiert man zuerst ψk und J und nimmt dann die Homotopiefasern.Wie man eine H-Raum Abbildung zwischen zwei H-Räumen mit lokalisiert, ist mit derTeleskop-Konstruktion klar, für den allgemeinen Fall verweisen wir wieder auf [HMR75].Aus der Adams-Vermutung kann man jetzt herleiten, daß die Komposition J ○ ψk nullho-motop ist, sodaß es einen Lift α ∶ BSO → SF/SO von ψk gibt. Jede solche Abbildung nenntman Lösung der Adams-Vermutung. Es gibt mehrere direkte Konstruktionen von α (z.B.[BrM76]). Die für uns wichtige Abbildung jA wird dann als Leiterergänzung (3.6) definiert.Sie liefert dann das kommutative Diagramm

+ SVektR(ΣX)(p) [X , Im J pSO] + SVektR(X)(p)

[X , SF](p)

��

��

��

��

JF∗

��Δ

��

jA

��D

��

(7.2.16)Setzen wir jetzt noch zusätzlich voraus, daß X = ΣY eine Einhängung ist, so ist der klas-sische J-Homomorphismus J ∶ [X , SO] → π0

s (X) additiv und das Lokalisieren bei pist auch algebraisch problemlos möglich. Mittels der Identifikation Θ∗ aus (6.3.19) erhältman dann aus dem letzten Diagramm die gesuchte Faktorisierung oder Erweiterung des


J-Homomorphismus

+ SVektR(Σ2Y)(p) [ΣY , Im J pSO] + SVektR(ΣY)(p)

π0S(ΣY)(p)

��ψk−1

��

��

��

��

J

��Δ

��

jA

��D

��ψk−1

(7.2.17)

Bemerkungen.

1. Mit etwas mehr Arbeit läßt sich die Voraussetzung X = ΣY vermeiden.

2. Bild( jA) ist i.A. größer als Bild(J), für Sphären besteht allerdings nur bei p = 2 einUnterschied, die μr , ημr-Familie von Adams [Ada66] liegt zusätzlich in Bild( jA).

3. Obige Wahl des Raumes ImJSOp ist bei der Primzahl p = 2 nicht optimal (siehe etwa[MiR93, 4.1]). Anstelle der Faser von ψ3 − 1 auf BSO verwendet man besser einen LiftΨ von ψ3 − 1 von BO auf Bspin. Hier ist Bspin als Homotopiefaser der 2-ten Stiefel-Whitney-Klasse w2 ∶ BSO → K(Z/2, 2) definiert. Wegen (ψ3 − 1)∗ = 0 auf πi(BSO)für i = 1, 2 erhält man leicht einen Lift Ψ ∶ BO → Bspin von ψ3 − 1 ∶ BO Ψ

�→ BSpin →BSO → BO und definiert den Raum ImJ2 als Homotopiefaser von Ψ. Die Homoto-piegruppen von ImJSO2 und ImJ2 sind zwar isomorph, aber die Multiplikation mit derHopf-Abbildung η ist verschieden. Bezeichnet man mit J′ die “Restriktion” von J aufSpin = ΩBspin, erhält man anstelle von (7.2.15) das Diagramm

Spin Im J2 BO BSpin

Spin SF SF/Spin BSpin BSF

��Δ

��

jA

��D

��

α

��Ψ

��J′

�� J′

(7.2.18)

Für Räume X mit πi(X) = 0 für i = 0, 1, 2 gilt [X , ImJSO2 ] ≅ [X , ImJ2]. Da wir die Er-weiterung jA nur für solche Räume verwenden werden, kommen wir mit der einfachenVersion aus.

7.2.3 Bild(J)-Theorie und e-Invariante, ein Ausblick

Eine Behandlung des J-Homomorphismus und der Adams-Vermutung wäre unvollständigohne einen Einbezug der e-Invarianten und der Bild(J)-Theorie. Der Raum ImJp liefertnämlich nicht nur über die Abbildung jAMethoden zur Konstruktion von Elementen in sta-biler Kohomotopie, sondern auch über die Umformulierung der e-Invarianten einen kon-zeptuellenWeg zum“Entdecken” solcherKlassen.Allerdings erfordert dies einenAusflug in


das Gebiet der verallgemeinerten Kohomologietheorien und Spektren, dessen Grundlagenbisher hier nicht bereit gestellt wurden. Die einfachste Version genügt für unsere Zwecke,die nötigen Details lassen sich sehr leicht aus der umfangreichen Literatur, auf die deshalbverwiesen werden soll, ergänzen. Nur im letzten Kapitel soll an wenigen Stellen auf den hiergegebenen Ausblick zurückgegriffen werden.

In diesem Abschnitt sei p eine feste Primzahl und k wie oben passend dazu ge-wählt. Zunächst erweitert man die bereits eingeführten K-Gruppen KO0(X) mittels Bott-Periodizität zu einer verallgemeinerten Kohomologietheorie KO∗(X) (siehe etwa [Ati67],[Kar78],[Swi75]). Es gilt dann KOn+8

(X) ≅ KOn(X) für n ∈ Z und es gelten die Eilenberg-

Steenrod Axiome bis auf das Dimensionsaxiom. Die stabile Adams-Operation

ψk(n) ∶ KO

n(X)(p) �→ KOn

(X)(p)

definiert man dann durch ψk(0) ∶= ψ

k auf KO0(X)(p) , sowie

ψk(8n) auf KO8n

(X)(p) durch k−4n ⋅ ψk

(0) auf KO0(X)(p) und

ψk(8n− j) auf KO8n− j

(X)(p) durch ψk

(8n) auf KO8n(Σ jX)(p) , 0 < j < 8.

Hierdurch erhält man eine stabile Kohomologieoperation, d.h. sie vertauscht mit dem Ein-hängungsisomorphismus. Sie operiert auf stabil sphärischen Klassen als Idendität . Wir hal-ten fest:

Lemma 7.2.19. Für x ∈ Bild(hKO ∶ πns (X)(p) �→ KOn

(X)(p)) gilt (ψk

(n) − 1)(x) = 0.

Beweis. Das Element x wird durch eine stabile Abbildung f ∶ X → Sn repräsentiert. Daf ! ∶ KOn

(Sn)(p) �→ KOn

(X)(p) mit ψk

(n) vertauschbar ist, reicht es, ψk(n) − 1 = 0 auf

KOn(Sn)(p) nachzuweisen, was aber direkt aus der Definition von ψk

(n) und ψk(0)(1) = 1 in

KO0(S0)(p) folgt. Das Erzeugende von KO

n(Sn) liefert unter f ! aber gerade hKO(x).

Als nächstes repräsentiertman p-lokale reelle K-Theorie - die Lokalisation nach p unter-drücken wir in der Notation für den Rest des Abschnitts - durch ein Ω-Spektrum {KOn}

und die stabile Adams-Operation durch eine Spektrenabbildung ψn∶ KOn → KOn . Die

nichtzusammenhängende Bild(J)-TheorieAd∗ wird dann durch das Faserspektrum {Adn}

von {ψn− 1} definiert. Die zugehörige Fasersequenz liefert eine lange exakte Sequenz von

Kohomologietheorien

→ KOn(X)

ψk(n)−1�→ KOn

(X) △�→ Adn+1(X) D�→ KOn+1

(X) → (7.2.20)

und fast nur diese wird im Folgenden benötigt. Aus dieser exakten Sequenz erhält man mit(7.2.10) sofort die Koeffizientengruppen Adn(S0), insbesondere gilt

Ad0(S0) ≅ Z(2) ⊕Z/2 bei p = 2 und Ad0(S0) ≅ Z

(p) bei p ≠ 2.


Wir wählen ein festes Urbild 1 ∈ Ad0(S0) ≅ Adn(Sn) von 1 ∈ KO0(S0) unter D und definie-

ren die Ad-Theorie Hurewicz-Abbildung

hAd ∶ πns (X) �→ Adn(X) (7.2.21)

wie üblich durch hAd([ f ]) ∶= f !(1) für eine stabile Abbildung f ∶ X → Sn . Bei p = 2gibt es zwei Wahlen für 1, aber für stabile Abbildungen f mit hKO([ f ]) = 0 ist hAd([ f ])unabhängig von der Auswahl, da die Differenz zweier Wahlen im Bild von △ liegt undfolgendes Diagramm kommutiert

KOn−1(Sn)

f !�→ KOn−1

(X)↓ △ ↓ △

Adn(Sn)f !�→ Adn(X)

Die für uns passende Definition der e-Invarianten ([Ada66], [Tod73]) ist wie folgt: Ge-geben sei eine stabile Abbildung f ∶ Y → Sn mit Repräsentanten f ′ ∶ ΣdY �→ Sd+n .Vorausgesetzt sei hKO([ f ]) = 0, d.h. f ! ∶ KO

n(Sn) �→ KOn

(Y) ist die Nullabbildung. Die

Kofasersequenz→ ΣdYf ′�→ Sd+n i

�→ C f ′j�→ Σd+1Y → von f ′ induziert dann eine kurze

exakte Sequenz

0�→ KOn+d(Σd+1Y)

j∗�→ KOn+d

(C f ′)i∗�→ KOn+d

(Sn+d) �→ 0 (7.2.22)

Additiv spaltet diese Sequenz, jedoch i.A. nicht unter Einbeziehung der stabilen Adams-Operation, die wir ab jetzt auch einfach als ψk schreiben. Zum kanonischen Erzeugen-den 1 ∈ KO0

(S0) ≅ KOn+d(Sn+d) sei u ∈ KOn+d

(C f ′) ein Urbild unter i∗. Wegen(ψk − 1)(1) = 0 liegt (ψk − 1)(u) in ker(i∗) = Bild( j∗), kann also als j∗(ak) für einak aus KO

n+d(Σd+1Y) ≅ KOn

(ΣY) geschrieben werden. Ersetzt man u durch eine ande-re Wahl u + j∗(y), so gilt (ψk − 1)(u + j∗(y)) = j∗(ak) + j∗((ψk − 1)(y)), mit anderenWorten, die Restklasse [ak] von ak in KO

n(ΣY)/(ψk − 1)(KOn

(ΣY)) ist unabhängig vonder Auswahl von u. Da die stabile Adams-Operationmit dem Einhängungsisomorphismusvertauschbar ist, hängt darüber hinaus [ak] nur von der stabilen Homotopieklasse von fab und man erhält durch eR([ f ]) ∶= [ak] einen Homomorphismus

eR ∶ ker(hKO) (⊂ πns (Y)) �→ KOn

(ΣY)/(ψk − 1)(KOn(ΣY)),

die reelle e-Invariante. Für Eigenschaften und alternative Definitionsmöglichkeiten der e-Invarianten siehe [Ada66] oder auch [CrK95].

Die enge Beziehung der e-Invarianten zum J-Homomorphismus wird durch die Be-rechnung von eR auf Bild(J) ⊂ πn

s (S0) bereits angedeutet. Es gilt (für einen Beweis siehe[Ada66] oder auch [Swi75]):


Satz 7.2.23. ∣eR(J(ωn))∣ = ∣J(ωn)∣

d.h. die e-Invariante “entdeckt” die Bild(J)-Elemente auf Sphären. Bevorwir sehen, wie sichdies auf einen endlichen Komplex Y verallgemeinern läßt, formulieren wir die e-Invariantemittels der Bild(J)-Theorie wie folgt um:

Proposition 7.2.24. Folgendes Diagramm kommutiert

Kern(hKO) ⊂ πns (Y)

↓ eR ↓ hAd

KOn(ΣY)/(ψk − 1)(KOn

(ΣY)) △

�→ Adn(Y)

Wegen (ψk−1)(KOn(ΣY)) = ker(△) beschreibt hAd die e-Invariante damit vollständig.

Da außerdem D ○ hAd = hKO gilt, ist hAd eine Zusammenfassung der beiden InvariantenhKO und eR. Einen Beweis von (7.2.24) findet man etwa in [CrK95, 1.4]. Aus (7.2.24) und(7.2.23) erhält man folgendes Korollar, das im letzten Abschnitt angewendet werden soll:

Korollar 7.2.25. Für m > 1 haben die Komposition KO−1(Sm)(2)

J�→ π0

s (Sm)(2)

hAd�→

Ad0(Sm) und die kanonische Abbildung△ ∶ KO−1(Sm)(2) → Ad0(Sm) gleiches Bild, d.h.

für das Erzeugende ωm−1 ∈ [Sm−1 , SO] = KO−1(Sm) gilt△(ωm−1) = c ⋅ hAd ○ J(ωm−1)

mit einer Konstante c /≡ 0mod 2.

Bezeichnet man mit Ad0 den 0-ten Term des Ω-Spektrums der Bild(J)-Theorie Ad , soschreibt sich die exakte Sequenz (7.2.20) für einen zusammenhängenden endlichen Kom-plex als

�→ [X ,Ad0]D�→ [X , BO]

ψk−1

�→ [X , BO] △�→

Vergleicht man nun diese Sequenz mit der von (7.2.13) induzierten, so folgt für einen RaumX mit πi(X) = 0, i = 0, 1, 2,

Ad0(X) = [X ,Ad0] ≅ [X , ImJSOp ] (7.2.26)

und die Erweiterung jA des J-Homomorphismus ist für Räume X = ΣY mit πi(X) = 0,i ≤ 2, auf Ad0(X) definiert.

Für Sphären X = Sm enthält Ad0(Sm) neben Bild(△) noch weitere Elemente zm−1mitD(zm−1) = ωm−1 ,m ≡ 1, 2mod 8, diemanwie folgt erhält. In [Ada66]wirdmittels Periodizi-tätsoperatoren die μr-Familie μ8m+1 ∈ πs

8m+1(S0),m ≥ 1, konstruiert. Zusammenmit η, η2 ,η ⋅ μ8m+1 erzeugen diese das Bild von hKO auf πs

∗(S0) in positiven Dimensionen. Aus ihrer

Konstruktion läßt sich herleiten, daß μ8m+1 und η ⋅ μ8m+1 im Bild von jA liegen. Zusammenmit (7.2.23) hatman damit imWesentlichen die Komposition hAd○ jA ∶ Ad0(St) → Ad0(St)

7.3 Anwendungen der Adams-Vermutung 435

bestimmt. Für t > 2 erhält man einen Isomorphismus. Für Räume X = ΣY wie oben erlaubtder Vergleichssatz eine Übertragung von Sphären zu

Korollar 7.2.27. Die Komposition Ad0(ΣY)jA�→ π0

s (ΣY)(p)hAd�→ Ad0(ΣY) ist für Räu-

me Y mit π1(Y) = 0 ein Isomorphismus.

Genauso wie der Raum ImJSO2 nicht die optimale Wahl für jA ist, ist Ad∗ nicht die op-timale Wahl für eine Bild(J)-Theorie bei p = 2. Wir verweisen wieder auf die Darstellungin [MiR93]. Man kann eine zusammenhängende Version A∗ einer Bild(J)-Theorie definie-ren, die als 0-ten Term ihres Ω-Spektrums gerade Z

(2) × ImJ2 hat und darüber hinaus dieEigenschaft hat, daß die ebenfalls definierte Komposition

A0(X)jA�→ π0

s (X)(p)hAd�→ A0(X)

ohne Einschränkungen an X bijektiv wird. Erweitert man also den “linearen” Anteil inπ0s (X)(p), gegeben durch das Bild des J-Homomorphismus, um die anderen Klassen in

Bild( jA), erhält man eine Aufspaltung von π0s (X)(p). In dieser Formulierung läßt sich mit

dem J-Homomorphismus und der e-Invarianten sehr effektiv und konzeptuell arbeiten.

7.3 Anwendungen der Adams-Vermutung

In diesem Abschnitt gehen wir auf einige Anwendungen der Adams-Vermutung bzw. derBerechnung von J-Gruppen ein. Das erste Thema, der Vektorfeldsatz von Adams, ist ei-gentlich keine echte Anwendung der Adams-Vermutung, wohl aber der Methoden, die indiesem Zusammenhang entwickelt wurden und zum großen Teil erst durch diesen ange-stoßen wurden. Deshalb soll eine Beweisvariante, die sich auf eine auf Woodward [Woo73]zurückgehende, das Argument erheblich verkürzende Vereinfachung stützt, an dieser Stellebesprochenwerden.Danachwird dasVektorfeld-Problem für fast-parallelisierbareMannig-faltigkeiten weitergeführt. Die beiden anderen Anwendungen, nämlich Periodizitätsopera-toren und das Aushängen von Bild(J)-Klassen werden im letzten Kapitel benötigt und an-gewendet.

7.3.1 Der Vektorfeldsatz

Wir gehen zunächst so vor, wie im Abschnitt 6.2.4 über Schnitte in stabil trivialen Vektor-bündeln. Gegeben seien r punktweise orthonormale Vektorfelder s1 , s2 , . . . , sr auf Sn , dieeine Aufspaltung τSn ≅ Rr ⊕ ξn−r induzieren. Faßt man die Vektorfelder als Funktionensi ∶ Sn → Rn+1 auf, so erhält man durch gξ(x) ∶= (s1(x), s2(x), . . . , sr(x), x) ein orthonor-males (r + 1)-Bein im Rn+1 und die hierdurch definierte Abbildung gξ ∶ Sn �→ Vr+1(R

n+1)

ist eine Gauß-Abbildung für ξn−r . Die zweite Komponente des zu gξ gehörenden, durch


lineare Fortsetzung definierten Vektorbündel Monomorphismus gξ

0�→ Sn × Rr+1 g ξ�→ Sn × Rn+1 �→ ξn−r �→ 0

mit gξ(x; v1 , v2 , ..., vr+1) = (x; v1 ⋅ s1(x), v2 ⋅ s2(x), ..., vr+1 ⋅ x) bezeichnen wir kurz mit s,also gξ(x; v) = (x; s(x)v). Wegen der vorausgesetzten Orthonormalität der si bildet s(x)die Sphäre Sr ⊂ Rr+1 in Sn ⊂ Rn+1 ab. Jetzt verwenden wir jedoch nicht den VektorbündelMonomorphismus gξ , sondern vertauschen die Rolle von Basis und Faser und arbeiten mit

θs ∶ Sr × Sn → Sr × Sn

(w , x) ↦ (w , s(x)(w)).Identifiziert man w mit −w und geht auf beide Seiten zu den Quotienten über, so induziertθs eine fasererhaltende (i.A. nichtlineare) Abbildung

θs ∶ S(Rn+1) = (Sr/(Z/2)) × Sn → Sr ×Z/2 Sn = S((n + 1)λRr ) (7.3.1)

von Sphärenbündeln über Pr(R). Für jedes [w] ∈ Pr(R) ist die Einschränkung von θs aufdie Faser über [w] vom Grad 1, denn dies gilt trivialerweise für w = er+1. Variiert manw, muß der Grad als stetige Funktion von einem zusammenhängenden in einen diskretenRaum, konstant bleiben. Damit ist gezeigt:

Satz 7.3.2. Durch r punktweise orthonormale Vektorfelder auf der n-Sphäre Sn erhältman eine fasererhaltende Abbildung

θs ∶ Pr(R) × Sn → S((n + 1)λRr )

von Sphärenbündeln vom Grad 1 in jeder Faser.

Jetzt hat man zwei Möglichkeiten, den Beweis weiterzuführen:a) Nach dem Kriterium von Dold (6.3.10) ist θs ist eine Faserhomotopieäquivalenz. Es

folgt J((n + 1)λRr ) = 0 und mit SVektR(Pr(R)) ≅ J(Pr(R)) daraus (n + 1) ⋅ [λRr ]s = 0. Mitder Funktion ϕ aus (5.5.7), die die Ordnung von [λRr ]s in SVektR(Pr(R)) beschreibt, gelangtman zur numerischen Bedingung

n + 1 ≡ 0 mod 2ϕ(r) (7.3.3)

b)Die imBeweis von SVektR(Pr(R)) ≅ J(Pr(R)) eingehendenArgumente kannman ineinen direkten Beweis einbauen und so die Verwendung des Dold-Kriteriums und die Ein-führung der J-Gruppen ganz umgehen. Auf dieseWeise wird der Vektorfeldsatz in [Kar78]kurz und prägnant bewiesen:Man geht wieder von der Abbildung θs aus und setzt zunächstn+1 = 0mod 4 voraus, damit ρ3R((n+1) [λRr ]s) definiert ist. Dann verwendetman das reelleAnalogon von (7.1.19) und schließt aus der Existenz von θs auf ρ3R((n + 1) [λRr ]s) = 1. Fürn + 1 = 4l liefert die Berechnung (7.1.26)

ρ3R(4l [λRr ]s) = 1 + (32 l − 12 ⋅ 32 l

) ⋅ x


mit x = [λRr ]s − 1 als Erzeugendem von SVektR(Pr(R)) ≅ Z/2ϕ(r) . Mit den Formeln (7.1.23)rechnet man dies wieder um in die Bedingung n + 1 ≡ 0 mod 2ϕ(r) . Die Fälle n + 1 /≡ 0 mod4 lassen sich mit Stiefel-Whitney-Klassen behandeln.

Sucht man jetzt das größte r mit (7.3.3), so stößt man auf die Funktion ρ aus (2.1.10), esgilt nämlich

n + 1 ≡ 0 mod 2ϕ(r)⇔ r ≤ ρ(n + 1) − 1 (7.3.4)

was wir hier noch kurz nachtragen wollen. Die numerische Bedingung (7.3.3) ist äquivalentzu ν2(n + 1) ≥ ϕ(r). Schreibt man r = γ(ν2(n + 1)) − 1 als Funktion von ν2(n + 1), solautet diese Bedingung ϕ(γ(ν2(n + 1)) − 1) ≤ ν2(n + 1) oder ϕ(γ(d) − 1) ≤ d. Da ϕ dieSumme einermonoton steigendenund einer periodischen Funktion ist, versuchtman einenanalogen Ansatz auch für γ. Setzt man

γ(d) ∶=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

2d , d ≡ 1, 2 mod 42d + 1, d ≡ 0 mod 42d + 2, d ≡ 3 mod 4

, (7.3.5)

so gilt γ(d+4) = γ(d)+8 undmit einerÜberprüfung der 8 Startwerte für ϕ zeigtman sofortϕ(γ(d)− 1) = d . Die Funktion ρ erfüllt ρ(16t) = ρ(t)+8 und wiederum eine Überprüfungder Anfangswerte zeigt ρ(t) = γ(ν2(t)).Damit ist der Vektorfeldsatz von Adams bewiesen:

Satz 7.3.6. Die Maximalzahl linear unabhängiger Vektorfelder auf der Sphäre Sn−1 be-trägt ρ(n) − 1.

Zusammenfassung und Bemerkungen

Wir halten den Zusammenhang zwischen r orthonormalenVektorfeldern auf Sn , der Gauß-Abbildung gξ des Bündels ξ, das zu dem von diesenVektorfeldern aufgespanntenUnterbün-del orthogonal ist, und der π∗s -Thom-Klasse von (n + 1)λRr noch einmal explizit fest.

Die Gauß-Abbildung gξ liefert über die Konstruktion (7.3.1) die f -Abbildung τs ∶=(Rn+1 , θs , (n + 1)λRr ) vom Grad 1 (siehe Abschnitt 7.2.1), deren Richtung man mit Hilfe desDold-Kriteriums (6.3.10) umkehrt. Über eine radiale Erweiterung erhält man hieraus nach(7.2.3) dann eineThom-Klasse für (n + 1)λRr in stabiler Homotopie.

Es sei η ein m-dimensionales Negativ von (n + 1)λRr , d.h. (n + 1)λRr ⊕ η ≅ Rn+1+m . DieWhitney-Summe der beiden f -Abbildungen θs und id

(Rn+1 ⊕ η, θs ⊕ id , (n + 1)λRr ⊕ η)

liefert wieder wie in (7.2.3) ausgeführt eine π∗s -Thom-Klasse, diesmal für das stabile Bündel[η]s = −(n + 1)[λRr ]s .

Im letzten Abschnitt, in dem noch einmal ausführlich auf das Vektorfeld-Problem ein-gegangen wird, werden wir einen zweiten Weg kennenlernen, wie die Gauß-Abbildung gξ


eine π∗s -Thom-Klasse von −(n + 1)[λRr ]s induziert. Dieser Weg folgt eher der älteren län-geren Beweismethode für den Vektorfeldsatz, hat aber den Vorteil, auch in der anderenRichtung zu funktionieren und aus einer π∗s -Thom-Klasse von −(n + 1)[λRr ]s , also der Be-dingung J((n + 1)λRr ) = 0, die Existenz von r Vektorfeldern herzuleiten. Zudem erlaubtdieser Zugang eine Reihe von interessanten Anwendungen.

7.3.2 Fast-parallelisierbare Mannigfaltigkeiten

Das Tangentialbündel τM einer m-dimensionalen fast-parallelisierbaren geschlossenenMannigfaltigkeit Mm ist nach Definition von fast-parallelisierbar auf dem Komplement ei-nes Punktes trivial. Im Beispiel (2.5.16) haben wir bereits gesehen, daß sich τM über dieAbbildung q ∶ M → M/(M − D) ≅ Sm aus einem Bündel ξ über Sm induzieren läßt. Dadie Gruppe +VektmR (Sm) von [τSm] und [ω′m−1], einem geeigneten m-dimensionalen Re-präsentanten des stabilen Bündels ωm−1 , erzeugt wird (siehe (3.3.19)), können wir τM wiefolgt darstellen

τM ≅ q∗(a ⋅ τSm + b ⋅ ω′m−1) = q∗(ξ).

Es ist b = 0 genau dann, wenn τM stabil trivial ist. Aus der Tatsache, daß q∗(ξ) das Tangen-tialbündel einer fast-parallelisierbaren Mannigfaltigkeit ist, ergeben sich Einschränkungenfür die Werte von a und b. Dazu sei i ∶ M ↪ Rm+k eine Einbettung mit Normalenbündelνk . Wie τM ist νk aufM −{pt} trivial und läßt sich als q∗(γ)mit einem Bündel γ über Sm

und Klebeabbildung cγ ∶ Sm−1 → SO(k) darstellen. Mit der über q ∶ M → Sm liegendenBündelabbildung q ∶ E(νk) → E(γ) erhält man folgendes kommutative Diagramm vonThom-Räumen:

Sk M(νk) M(νk)/Sk Sk+1

Sk M(γ) Sk+m Sk+1

��

��

M(q)

��

��

�� j

��Σ J(cγ)

��

c

wobei die untere Zeile die Kofasersequenz aus (6.3.37) zum Bündel γ ist. Da νk dasNormalenbündel einer Einbettung ist, hat man eine Thom-Pontrjagin Kollabierabbildungc ∶ Sm+k �→ M(νk) (siehe (6.1.32)). Es ist leicht nachzurechnen, daß die Kompositionj ○ M(q)○c ∶Sm+k �→ Sm+k vom Grad 1 ist, somit ist M(q) ○ c ein Schnitt für j und esfolgt ΣJ(cγ) ≃ 0. Die Bündel γ, ξ, νk , und τM sind also alle stabil faserhomotopietrivial.Die Klebeabbildung cξ von ξ liegt folglich im Kern des J-Homomorphismus

J ∶ πm−1(SO) → πsm−1(S0).

Fürm = 8t+1, 8t+2 ist J aber injektiv (7.2.11), es folgt b = 0 in diesenDimensionen. Fürm =8t, 8t+4 folgt nur, daß b von der Ordnung der endlichen Gruppe J(πm−1(SO)) geteilt wird.Nur für m ≡ 4k besteht also die Möglichkeit für [τM]s /= 0 (b /= 0). Da die k-te Pontrjagin-Klasse pk ∶ SVektR(S4k) → Z injektiv ist, hat man damit als einfaches notwendiges und


hinreichendes Kriterium für [τM]s = 0 in SVektR(M) das Verschwinden von pk(τM).Damit ist auch das Vektorfeld-Problem für τM (fast vollständig) gelöst. Ist τM stabil trivial(b = 0), so hatM so viele Vektorfelder wie Sm (siehe (5.1.10) und weiter unten). Ist [τM]s /=0, so ist m = 4k und pk(τM) /= 0. Falls die Euler-Klasse e(τM) nicht verschwindet, hatτM keinen nullstellenfreien Schnitt. Für e(τM) = 0 undm > 16 gibt es eineWahl für ω′m−1mit 2k − 1 linear unabhängigen Schnitten (siehe (3.3.23)). Wegen a = 0 hat also auch τMmindestens 2k−1 Schnitte.Mehr als 2k linear unabhängige Schnitte sind aber nichtmöglich,wie leicht aus pk(τM) /= 0 folgt. Welcher Fall unter welchen Bedingungen vorliegt, scheintnicht bekannt zu sein.

Für eine Homotopiesphäre Σ4k folgt pk(τΣ4k) = 0 aus dem Signatursatz ([MiS74]),sodaß eine Homotopiesphäre Σm immer stabil parallelisierbar ist.

7.3.3 Periodizitätsoperatoren

Eine überraschende und wichtige Entdeckung war, daß sich “Reste” der Bott-Periodizität -manifestiert durch sogenannte Periodizitätsoperatoren - in der stabilen Homotopie wieder-finden lassen. Wir betrachten hier zwei Typen solcher Operatoren und verwenden diese,um Aushängungen und Bündelreduktionen zu konstruieren.

Die erste Variante operiert auf Einhängungen von Moore-Räumen: Es sei

M(n)a ∶= Sn ∪2a en+1 = Σn−1M(1)a

der mod-2a-Moore Raum zur Gruppe Z/2a , a ≥ 1, der als Kofaser der Grad-2a- Abbildungauf Sn definiert wird

Sn 2a�→ Sn i

�→ M(n)aj�→ Sn+1 �→ (7.3.7)

Ein Adams-Periodizitätsoperator

Ba ∶ Σs(a)M(1)a → M(1)a (7.3.8)

ist eine stabile Abbildung aus {Σs(a)M(1)a ,M(1)a } mit s(a) ∶= max{8, 2a−1}, die dadurchgekennzeichnet ist, daß der induzierte Homomorphismus

(1 ∧ Ba)! ∶ KOi

(X ∧M(1)a ) → KOi(X ∧ Σs(a)M(1)a ) (7.3.9)

mit der Bott-Periodizität übereinstimmt, also insbesondere bijektiv ist. Man beachte, daßBa aus Dimensionsgründen die Nullabbildung in gewöhnlicher reduzierter Kohomologieinduziert. Es gibt verschiedene Methoden zur Konstruktion der Operatoren Ba . Als ersteAnwendung der Erweiterung des J-Homomorphismus zu jA skizzieren wir eine Konstruk-tion von Ba als Bild( jA)-Element.

Für das S-Dual von M(1)a gilt Σ3D(M(1)a ) ≃ M(1)a und damit (siehe Beispiel (6.1.29)):

{Σs(a)M(1)a ,M(1)a } ≅ {Σs(a)−3M(1)a ∧M(1)a , S0} .


Da M ∶= Σs(a)−3M(1)a ∧M(1)a die Einhängung eines Raumes ist, ist

jA ∶ Ad0(M) → {M , S0} ≅ {Σs(a)M(1)a ,M(1)a }

definiert. Man berechnet jetzt Ad0(M) über (7.3.7). Es stellt sich dann heraus, daß es eineKlasse ba ∈ Ad0(M) gibt, sodaß die zu jA(ba) S-duale Klasse in {Σs(a)M(1)a ,M(1)a } wiegefordert die Bott-Periodizität induziert. Für Details siehe [CrK85].

Wie man nun mit Hilfe von Periodizitätsoperatoren aus gegebenen Aushängungen wei-tere herstellen und damit Bündelreduktionen ableiten kann, illustrieren wir an einem einfa-chen Beispiel, das als Muster für die Methode dienen kann. Betrachte folgendes Diagramm(mit M ∶= M(1)3 = S1 ∪8 e2)

[S12+b , Sb](2) [Σ10+bM , Sb]

(2) [Σ10+b+8tM , Sb](2) [S11+b+8t , Sb]

(2)

Z/8 ≅ {S11 , S0}(2) {Σ10M , S0}

(2) {Σ10+8tM , S0}(2) {S11+8t , S0}

(2)

Ad0(S11) Ad0(Σ10M) Ad0(Σ10+8tM) Ad0(S11+8t)

��

σ(1)∞

��i∗1

��

σ(2)∞

��(Bt

3)∗

��

��j∗

��

σ(3)∞

��i∗2

��(Bt

3)∗

��j∗

� � �� ≅ jA

��i∗3≅

� � � � �� jA

��(Bt

3)∗

≅

� �� jA

��j∗

� � � �� jA

(7.3.10)Mit Bt

3 ist hier die Komposition geeigneter Einhängungen von B3 gemeint. Nach (6.1.5)läßt sich die stabile Abbildung B3 durch eine echte Abbildung B3 ∶ Σ18M → Σ10M indu-zieren. Damit kommutiert das ganze Diagramm. Wegen πS

12(S0)(2) = 0 ist {S11 , S0}(2)

isomorph zu {Σ10M , S0} . Aus [Tod62] entnimmt man, daß für b ≥ 5 das Erzeugendeaus πS

11(S0)(2) = Z/8 ein Urbild zb unter σ(1)∞ ○ i∗1 in [Σ10+bM , Sb](2) hat. Für b ≥ 13 reicht

der Freudenthalsche Einhängungssatz (6.1.5). Aus der Kommutativität desDiagramms folgtdann, daß die Komposition

γb ,t ∶ S11+b+8tj�→ Σ10+b+8tM B3

�→ ...... �→ Σ18+bM B3�→ Σ10M zb

�→ Sb (7.3.11)

eine Aushängung des Erzeugenden in Z/8 =Bild(J) =Bild( jA) ⊂ πS8t+11(S0)(2) ist. Hier

wird die jA-Abbildung nur zur Kontrolle, zu welchem Element γb ,t stabilisiert, benötigt.Ein weiteres Beispiel findet man im Beweis zu (9.1.1) weiter unten.

Mit (6.4.21) erhält man aus diesem Aushängungsresultat folgende Bündelreduktionen

Korollar 7.3.12. Das stabile Bündel ω8k+3 ∈+SVektR(S8k+4) = Z besitzt für k > 0 ein

(4k + 3)-dimensionales Vektorbündel als Repräsentanten, d.h. die von der Inklusion in-duzierte Abbildung

i∗ ∶ π8k+3(SO(4k + 3)) → π8k+3(SO)

ist surjektiv.


Der zweite Typ Periodizitätsoperatoren operiert auf Quotienten oder Thom-Räumenprojektiver Räume. Für i ≥ 0 gibt es stabile Abbildungen (λ = λR2s−1)

F ∶ P2s−1(R)(8i+9)λ → P2s−1(R)(8i+1)λ (7.3.13)die ebenfalls Isomorphismen in reeller K-Theorie induzieren. Diese werden im nächstenAbschnitt zur Konstruktion von Aushängungen von Bild(J)-Klassen eingesetzt. Eine Kon-struktion solcher Operatoren wird in Abschnitt 7.4 besprochen.

7.3.4 Aushängen von Bild(J)-Klassen

Als weitere Anwendung der Adams-Vermutung behandeln wir die Aushängungsmethodefür Bild(J)-Klassen aus [Cra84] bei p = 2. Der ungerade-primäre Fall ist etwas einfacherund wird ausführlich und vollständig in [CrK95] dargestellt. Die Methode ist anwendbarauf Klassen in Bild( jA) ⊂ π0

s (X)(p), wobei X als ausreichend große Einhängung voraus-gesetzt wird und bestimmte numerische Bedingungen erfüllt sein müssen. Die maximalmöglichen Aushängungen für die Bild(J)-Elemente in π0

s (Sn)(2) wurden zuerst von Ma-

howald bestimmt ([Mah82], [DMa89]), eine Tabelle befindet sich am Abschnittsende. DieGrundidee ist in beiden Fällen ähnlich,man verwendet Periodizitätsoperatoren zurAushän-gung, die Kontrolle über den Aushängungsprozess ist jedoch verschieden. Dies geschiehtin ([DMa89]) mittels bo-Auflösungen und in [Cra84] durch Verwendung der Erweiterungdes J-Homomorphismus jA, also beide Male durch K-Theorie. Diese Erweiterung jA

[Z , SO](2) [Z , ImJSO2 ]

{Z , S0}(2)

��Δ

��

��

��

��

J��

jA (7.3.14)

aus (7.2.17) verwenden wir nur für Räume, die mindestens doppelte Einhängungen sind,sodaß die genaue Auswahl des Raumes ImJ2 unerheblich ist und wir [X , ImJ2] immer mitAd0(X) abkürzen können und jA auf Ad0(X) definiert ist.

Wir leiten hier jedoch nicht die maximal möglichen Aushängungen der Bild(J)-Elemente in π0

s (Sn)(2) her, sondern nur soweit wie diese für Vektorbündel relevant sind

und später zum Beweis von (9.1.1) und (9.1.11) benötigt werden. Ziel ist die Herleitung von

Satz 7.3.15. Die Elemente im Bild des J-Homomorphismus J ∶ π4t−1(SO)(2) →π0s (S4t−1)(2) sind ab 4t − 1 > 15 Einhängungen von Abbildungen aus [S6t−2 , S2t−1] .

Aus Platzgründen beschränken wir uns im Beweis außerdem auf 4t − 1 > 47, die fehlen-den Fälle 15 < 4t − 1 ≤ 47 können wie im Beispiel (7.3.10) hergeleitet werden, lediglich fürdie Dimension 4t − 1 = 31 und das Erzeugende der Ordnung 26 ⋅ (2b + 1) muß auf andereMethoden zurückgegriffen werden. Wir verwenden folgende Bezeichnungen:


Bezeichnungen. Y sei ein endlicher Komplex mit dimY ≤ m, X = ΣnY , s = 2s + 1 ≥ 5,λ = λR2s−1 , P = P2s−1(R), P2s−1(R)λ ≅ P2s(R). Weiter sei tr = J([R2s+1]) ∈ π0

S(P2s(R)) =π0S(Pλ) die stabile Abbildung aus dem zu (6.3.36) gehörenden Beispiel. Nach Konstruktion

läßt sich tr durch eine echte Abbildung tr′ ∶ Σ2s+1Pλ → S2s+1 repräsentieren.

Die Aushängungen werden mit Hilfe der im letzten Abschnitt eingeführten Periodizi-tätsoperatoren F ∶ P(8i+9)λ → P(8i+1)λ konstruiert. Wir verwenden, daß sich F für s ≥ 2durch eine echte Abbildung

F′ ∶ ΣrP2s−1(R)(8i+9)λ → ΣrP2s−1(R)(8i+1)λ

mit r ≥ 5 realisieren läßt und daß sowohl F wie auch die S-duale Abbildung D(F) Iso-morphismen in reeller K-Theorie induzieren. Solche Operatoren werden in [Cra80] oder[Cra89] konstruiert. Die in Abschnitt 7.4 besprochene Konstruktion liefert nur eine schwä-chere Version mit r ≥ 7 und s ≥ 5. Diese würde jedoch auch - allerdings mit mehr niedrig-dimensionalen Ausnahmen und etwas mehr Aufwand - für unsere Zwecke ausreichen, wirformulieren aber alle Aussagen mit den Werten r ≥ 5 und s ≥ 2 wie in [Cra84], da dies invielen Fällen auch die maximalen Aushängungen liefert.

Das Vorgehen ist jetzt wie folgt: Es sei y ∈ π0S(X) ein Element in Bild(J). Im kommuta-

tiven Diagramm

[Σ s X , Σ s P(8k+1)λ](2) [Σ s X , Σ s P(8k−7)λ]

(2) ⋯ [Σ s X , Σ s Pλ](2) [Σ s X , Ss]

(2)

{X , P(8k+1)λ}(2) {X , P(8k−7)λ}

(2) ⋯ {X , Pλ}(2) {X , S0}

(2)

��

σ(1)∞

��F′∗

��

��

��

��tr′∗

��

σ(2)∞

��F!

�� tr !

(7.3.16)versucht man y nach {X , Pλ} zu liften, d.h. sucht ein y0 mit tr!(y0) = y mit möglichstkleinemWert von s. Dann bestimmt man Urbilder yi von y0unter Iterationen des Periodi-zitätsoperators F! . Gibt es jetzt ein Urbild yk ∈ {X , P(8k+1)λ} mit genügend großem k (esreichen m + n − 2s − 2 ≤ 16k nach dem Einhängungssatz), so ist σ(1)∞ jetzt surjektiv undman erhält eine Aushängung von y, indemmanmit einemUrbild von yk unter σ(1)∞ imDia-gramm den Weg über die obere Zeile zurückläuft. Die Konstruktion der Urbilder yi , dienatürlich für beliebige Klassen in {X , S0} i.A. außer Reichweite ist, ist für Bild(J)-ElementedurchVorabkonstruktion inAd∗( ) und dannAnwenden von jA unter einfachen Bedingun-gen möglich. Die so konstruierten Elemente yi liegen jedoch i.A. nicht mehr im Bild desklassischen J-Homomorphismus.

Um jA anwenden zu können, bringt man den Raum P(8i+1)λ mittels S-Dualität auf die


andere Seite, siehe (6.1.25). Damit kommutieren die oberen drei Quadrate in

{X , P(8k+1)λ}(2) {X , P(8k−7)λ}

(2) ⋯ {X , Pλ}(2) {X , S0}

(2)

{X ∧ D(P(8k+1)λ), S0}(2) {X ∧ D(P(8k−7)λ), S0}

(2) ⋯ {X ∧ D(Pλ), S0}(2) {X , S0}

(2)

Ad0(X ∧ D(P(8k+1)λ)) Ad0(X ∧ D(P(8k−7)λ)) ⋯ Ad0(X ∧ D(Pλ)) Ad0(X)

��F!

�� tr !

��1∧D(F)!

≅

��

≅

��1∧D(tr)!

≅

≅

jA

��1∧D(F)!

jA

��

jA

��1∧D(tr)!

jA

(7.3.17)Damit der untere Teil dieses Diagramms überhaupt Sinn macht, muß X ∧ D(P(8i+1)λ) einRaum sein und die stabilen Abbildungen 1 ∧ D(F) und 1 ∧ D(tr)müssen sich durch echteAbbildungen auf diesen Räumen induzieren lassen. Die n-fache Einhängung des S-Dualsvon P(8i+1)λ ist

ΣnD(P(8i+1)λ) = PRn+1−(2s+8i+1)λ

Sobald 2s − 1 ≤ n + 1− (2s + 8i + 1) gilt, ist Rn+1 − (2s + 8i + 1)λ durch ein Vektorbündel ξider Dimension n − 2s − 8i repräsentierbar und X ∧ D(P(8i+1)λ) = Y ∧ Pξi ein Raum. Dieuntere Zeile des letzten Diagramms schreibt sich dann als

Ad0(Y ∧ Pξk)1∧D(F)∗�→ ...

1∧D(F)∗�→ Ad(Y ∧ Pξ0)

1∧D(tr)∗�→ Ad0(Y ∧ Sn) (7.3.18)

Wir realisieren die stabilen Abbildungen D(F) ∶ Pξi−1 → Pξi einzeln durch echte Abbil-dungen und bilden dann die Komposition. Für dim(Pξi−1) = 2s − 1 + (n − 2s − 8i + 8) ≤2(n−2s−8i)− 1, d.h. für 8i ≤ n−4s−8 liegt D(F) im Bild des Einhängungshomomorphis-mus σ∞ ∶ [Pξi−1 , Pξi ] → {Pξi−1 , Pξi} . Somit sind für 8k ≤ n−4s−8 alle diese Ungleichungenerfüllt. Um schließlich D(tr) ∶ Sn → Pξ0 durch eine echte Abbildung zu realisieren, brauchtman n ≤ 2 ⋅ dim ξ0 − 1 = 2(n − 2s) − 1, also n ≥ 4s + 1.

Sind alle diese zum Teil gegenläufigen Ungleichungen erfüllt, ist das Diagramm (7.3.17)definiert und kommutativ. Zusammen mit der Surjektivitätsbedingung für σ(1)∞ benötigtman ein k mit

n +m − 2s − 2 ≤ 16k ≤ 2n − 8s − 16 (7.3.19)

was immer möglich ist, sobald n −m ≥ 6s + 29 gilt.Wir halten die Bezeichnung ξ0 für ein (n − 2s)-dimensionales Vektorbündel über P

mit [ξ0]S = [Rn+1 − (2s + 1)λ]S fest und bezeichnen eine Abbildung, die für n ≥ 4s + 1 die

stabile Abbildung D(tr) ∶ Sn → Pξ0 repräsentiert mit tr. Die von s abhängige Bedingung

z ∈ Bild((1 ∧ tr)∗ ∶ Ad0(Y ∧ Pξ0) → Ad0(Y ∧ Sn)) (7.3.20)

nennen wir im Folgenden kurz “Transferbedingung für z”. Zusammengefaßt:


Satz 7.3.21. Gegeben seien X = ΣnY mit dimY ≤ m und x aus SVektR(ΣX)(2) . Sinddie numerischen Bedingungen

2s + 1 ≥ 5, n −m ≥ 6s + 29 (7.3.22)

und die Transferbedingung (7.3.20) für △(x) ∈ Ad0(X) erfüllt, so besitzt J(x) ∈π0S(X)(2) eine Aushängung aus [Σ2s+1X , S2s+1]

(2) .

Beweis. Die vorausgesetzten numerischen Bedingungen sichern, daß das Diagramm(7.3.17) definiert ist und kommutiert. Es sei z0 ∈ Ad0(Y ∧ Pξ0) ein Element mit(1∧ tr)∗(z0) = △(x). Wir benötigen noch Urbilder zi unter (1∧D(F))∗ aus Ad0(Y ∧Pξi )

für i ≤ k, wobei k wie in (7.3.19) gewählt ist. Nach Voraussetzung induzieren F und D(F)Isomorphismen in reeller K-Theorie. Mit Induktion über den Zellenaufbau von Y ist(1∧D(F))∗ ∶ KO j

(Y ∧ Pξi ) �→ KO j(Y ∧ Pξi−1) ein Isomorphismus. Mit dem 5er-Lemma

folgt dann, daß auch

(1 ∧ D(F))∗ ∶ Ad0(Y ∧ Pξi ) �→ Ad0(Y ∧ Pξi−1)

bijektiv ist. Die numerischen Bedingungen an n, k und s implizieren außerdem, daß Y∧Pξi

nicht nur ein Raum, sondern eine mehrfache Einhängung ist, sodaß jA auf allen Ad0(Y ∧Pξi ) definiert ist. Damit können wir zi ∈ Ad0(Y ∧ Pξi )mit (1 ∧ D(F))∗(zi) = zi−1 wählenund yk = jA(zk) in {X ∧ D(P(8k+1)λ), S0} ≅ {X , P(8k+1)λ}

(2) setzen. Mit (7.3.16) erhältman dann die Aushängung von J(x) = jA(△(x)).

Durch diesen Satz ist das Aushängungsproblem für Bild(J)-Elemente auf eine K-Theorie Berechnung, nämlich den Nachweis der Transferbedingung, zurückgeführt. Über-raschenderweise läßt sich diese zu einer Bedingung lediglich an die Ordnung von△(x) ∈Ad0(X) reduzieren.

Satz 7.3.23. Es sei Y ein endlicher Komplex, ξ0 ein (n − 2s)-dimensionaler Bündelreprä-sentant für Rn+1 − (2s + 1)λ, tr ∶ Sn → Pξ0 eine Abbildung, die D(tr) induziert und esgelte n ≥ 4s + 2 und s ≡ 0, 3mod 4. Dann gilt

Bild((1 ∧ tr)∗ ∶ Ad0(Y ∧ Pξ0) → Ad0(Y ∧ Sn)) = {x ∈ Ad0(Y ∧ Sn) ∣ 2s ⋅ x = 0} .

Zum Beweis - der den Rest des Abschnitts einnimmt - untersuchen wir die Kofaser vontr ∶ Sn → Pξ0 . Wir beginnen mit tr ∶ Pλ → S0 und dualisieren dann. Die Kofaser vontr′ ∶ Σ2s+1P2s(R) → S2s+1 kennen wir, diese erhalten wir wegen tr = J([R2s+1]) aus derKofasersequenz für Thom-Räume über Einhängungen (6.3.37), die hier

Σ2s+1P2s(R)J([R2s+1])�→ S2s+1 i

�→ (ΣP2s(R))Ej�→ Σ2s+2P2s(R) �→ (7.3.24)


lautet. Dabei ist Ms ∶= (ΣP2s(R))E der Thom-Raum des mit der SpiegelungsabbildungR2s+1 ∶ P2s(R) → SO(2s + 1) als Klebeabbildung definierten Bündels E ∶= ERs+1 . Wir unter-suchen zunächst diesenThom-Raum.

Wir verwenden jetzt aus (7.4.8), daß die Transferabbildung tr = J([R2s+1]) die Ord-nung 2ϕ(2s) hat, d.h. der Kograd cd(E) von E ist 2ϕ(2s). Dann liegt das Element 2ϕ(2s) ⋅ 1 ∈π2s+1s (S2s+1) im Bild der Restriktion auf eine Faser i∗ ∶ π2s+1

s (Ms) → π2s+1s (S2s+1) (siehe

(6.3.37)). Wir wählen eine stabile Abbildung ϕ ∶ Ms → S2s+1 mit i∗(ϕ) = 2ϕ(2s) , es kommu-tiert also bis auf Homotopie

Σ2s+1P2s(R) S2s+1 Ms

S2s+1

��tr

��

��

��

��

2ϕ(2s)

��

��

ϕ

��

(7.3.25)

Lemma 7.3.26. Für s ≡ 0, 3mod 4 induziert ϕ Isomorphismen(a) ϕ∗ ∶ Ki(S2s+1)

(2) → Ki(Ms)(2) , (b) ϕ∗ ∶ KOi(S2s+1)(2) → KOi

(Ms)(2)

Beweis. Für s ≡ 0, 3 mod 4 gilt ϕ(2s) = s und aus einfachen Gradbetrachtungen in derSequenz

0 K0(Ms)(2) K−1(Σ2s+1P2s(R)) K−1(S2s+1) K−1(Ms) 0

K−1(S2s+1)

�� tr∗

��i∗

��

��2s

ϕ∗

(7.3.27)folgt mit tr∗(1) = c ⋅ [λR2s]s , c /≡ 0 mod 2, in K0(P2s(R)) ≅ KO0

(P2s(R)) ≅ Z/2s (siehe(6.3.36)), daß ϕ∗ ein Isomorphismus sein muß. Dies zeigt (a), die Aussage (b) folgt dannaus (4.4.26).

Bemerkungen.

1. Ersetzt manMs durch S2s+1 und i durch dieMultiplikationmit 2s in (7.3.25) erhält maneine leichte Berechnung von KO∗(P2s(R)) als KO

∗

(S0)-Modul (für s ≡ 0, 3 mod 4).

2. Der RaumMs ist ein einfaches Beispiel für das unterschiedliche Torsionsverhalten vonK-Theorie und gewöhnlicher Kohomologie. Während K∗(Ms) torsionsfrei ist, enthältH∗(Ms) so ebensoviel Torsion wie H∗(P2s(R)).

3. Für s /≡ 0, 3 mod 4 ist die Struktur von K∗(Ms) etwas komplizierter (siehe [MaM76]).


Wir benötigen noch folgende allgemeine Eigenschaft der K-Theorie.

Lemma 7.3.28. Es sei f ∶ X → Y eine Abbildung zwischen endlichen Komplexen undD f ∶ D(Y) → D(X) ihr S-Dual. Dann induziert D( f ) einen Isomorphismus in reellerK-Theorie, wenn dies für f gilt.

Beweis. Wir besprechen den Standardbeweis hierzu, der allerdings die zur K-Theorie ge-hörende K-Homologietheorie K∗(X) verwendet. Dieser zeigt klar die Gründe für dieGültigkeit der Aussage, sodaß es wenig Sinn macht, diesen in einem elementareren, dieVerwendung von K-Homologie vermeidenden, nur auf die Situation zugeschnittenen Be-weis umzuschreiben. Nach (4.4.26) reicht es, komplexe K-Theorie zu betrachten und dasVerschwinden der K-Gruppen der Kofaser CD f von D f nachzuweisen, da dann D f ∗ bi-jektiv sein muß. Da CD f bis auf Einhängungen äquivalent zu D(C f ) ist, folgt dies ausK∗(D(C f )) = 0. Fast nach Definition von S-Dualität gilt H∗(D(Z)) ≅ H∗(Z) für einenendlichen Komplex Z. Dies gilt auch für K-Theorie (siehe etwa [Swi75, 14.19, 14.22]), alsogilt K∗(D(C f )) ≅ K∗(C f ) und die Behauptung folgt dann aus der universellen Koeffizien-tenformel

0�→ Ext1Z(Kn+1(C f ),Z) �→ Kn(C f ) �→ HomZ(Kn(C f ),Z) �→ 0

und der Voraussetzung K∗(C f ) = 0. Für eine Einführung der K-Homologie sowie auf dieHerleitung der universellenKoeffizientenformel soll auf die Literatur verwiesenwerden (sie-he etwa [Swi75, Ch. 8], [Kna98, 11.4.1]).

Wir bilden jetzt das S-Dual des Diagramms (7.3.25), wobei Ms eine geeignete Einhän-gung des S-Duals von Ms ist

Pζ0 Sn Ms Pζ0−R Sn−1

Sn

��D(tr)

��D(i)

�� D(tr)

��

2s

D(ϕ) (7.3.29)

Nach (7.3.28) induziert mit ϕ auch D(ϕ) einen Isomorphismus in reeller K-Theorie. Außer-dem ist die obere Sequenz in (7.3.29) als duale Sequenz zu einer Kofasersequenz wieder eineKofasersequenz (6.1.28). Wir setzen n ≥ 4s+2 voraus, dann ist D(tr) ∶ Sn−1 → Pξ0−R durcheine Abbildung repräsentierbar und deren Kofaser, also Ms , äquivalent zu einem Raum.Die stabile Abbildung D(i)wird dann ebenfalls durch eine echte Abbildung induziert. Aus


(7.3.29) erhalten wir das kommutative Diagramm

Ad0(Y ∧ Pζ0) Ad0(Y ∧ Sn) Ad0(Y ∧Ms)

Ad0(Y ∧ Sn)

��1∧D(tr)∗

��

��

��

��

�

2s

��1∧D(i)∗

��

≅ 1∧D(ϕ)∗

��

wobei (1∧D(ϕ))∗ nach dem 5er-Lemma ein Isomorphismus ist. Dies beendet den Beweisvon (7.3.23).

Die beiden Sätze (7.3.21) und (7.3.23) erlauben die Bestimmung der Ursprungssphä-ren der Bild(J) Elemente von 2-primärer Ordnung auf Sphären bis auf wenige niedrig-dimensionale Ausnahmen, siehe [Cra84], wo auch der Zusammenhang mit der Hopf-Invarianten hergestellt wird. Für s ≡ 0, 3 mod 4 (und s ≥ 8) erhält man mit (7.3.21) und(7.3.23) bereits die richtige Ursprungssphären (vergl. [DMa89]), für s ≡ 1, 2 mod 4 sindzusätzliche Überlegungen nötig.

Unser Ziel, nämlich die Herleitung von (7.3.15) ist etwas einfacher und nur noch eineRechenaufgabe mit den numerischen Bedingungen (7.3.22) bzw.(7.3.19):

Satz 7.3.30. Die Elemente im Bild des J-Homomorphismus J ∶ πs4t−1(SO)(2) →

π0s (S4t−1)(2) sind ab 4t − 1 > 47 Einhängungen von Abbildungen aus [S6t−2 , S2t−1]

(2) .

Beweis. Damit der Aushängungssatz (7.3.21) für eine Aushängung nach [S4t+2s , S2s+1](2)

anwendbar ist, muß mit Y = S0, n = 4t − 1

n = 4t − 1 ≥ 6s + 29 (7.3.31)

gelten. Dann ist automatisch 2t − 1 ≥ 2s + 1 erfüllt.Es reicht das Erzeugende J(ω4t−1) zu betrachten. Dessen Ordnung ist bis auf einen unge-raden Faktor 23+v2(t). Setzt man s = 3 + v2(t) und verlangt zunächst 3 + v2(t) ≡ 0, 3 mod4, so kann man (7.3.23) anwenden und erhält mit t = 2v2(t) ⋅ β aus (7.3.31) die Ungleichung4t = 4(2v2(t) ⋅ β) ≥ 6(3 + v2(t)) + 30 oder 2 ⋅ 2v2(t) ⋅ β ≥ 3 ⋅ v2(t) + 24. Alle anderengeforderten numerischen Bedingungen werden bereits durch (7.3.31) impliziert. Ab a ≥ 5ist 2a+1β ≥ 3a + 24 immer erfüllt. Der Fall 4t − 1 = 63 mit v2(t) = 4 ist, da (7.3.19) nochgilt, ebenfalls abgedeckt. Direktes Auswerten von (7.3.31) liefert die noch fehlenden Fälle4t − 1 > 47. Hat man v2(t) + 3 /≡ 0, 3 mod 4, wählt man s um 1 oder 2 größer damit (7.3.23)greift und geht ähnlich vor.

Bemerkungen.

1. Auch wenn man für (9.1.1) nur eine Aushängung aus [S6t , S2t+1] für J(ω4t−1) benötigt,muß man den Wert von s in (7.3.21) zunächst kleiner als t wählen damit (7.3.22) greift.


Beispielsweise würde für 4t − 1 = 63 der Wert s = 16 reichen, aber erst mit s = 7 undk = 3 ist (7.3.22) erfüllt und der Beweis von (7.3.21) gerade noch anwendbar.

2. Die Ursprungssphären der Bild(J)-Erzeugenden bei p = 2 nach ([DMa89]), wobei aund b durch ν2( j) + 6 = 4a + b mit 0 ≤ b ≤ 3 festgelegt werden sind wie folgt:

Erzeugendes Ordnung UrsprungssphäreJ(ω8 j) 2 S3J(ω8 j+1) 2 S2J(ω8 j+3) 8 S5

J(ω8 j−1) 24+ν2( j) S8a+2b−3

(7.3.32)

7.4 Ergänzungen

7.4.1 Die stabile Einhängungsordnung von P2n(R)

Wir besprechen einen kurzen Beweis für den Satz von Toda [Tod63] über die stabile Einhän-gungsordnung von P2n(R) aus [Muk88], der bis auf eine niedrigdimensionale Berechnungsehr einfach ist.

Definition 7.4.1. Für einen endlichen Komplex X ist die stabile Einhängungsordnung∥X∥ ∈ N ∪ {∞} von X definiert als die Ordnung der Identität idΣmX in der Gruppe{X , X} (≅ [ΣmX , ΣmX] für m genügend groß). Analog dazu bezeichnen wir die Ord-nung einer stabilen Abbildung x ∈ {X ,Y}mit ∥x∥ .

Unter der Voraussetzung H∗(X;Q) = 0 ist ∥X∥ endlich und offensichtlich eine obe-re Schranke für die Ordnung eines Elements aus π∗s (X), H∗(X;Z) oder KO

∗

(X). Dadie Ordnung von [λR2n]KO ∈ KO

0(P2n(R)) ≅ SVektR(P2n(R)) den Wert 2ϕ(2n) hat, folgt,

ν2(∥P2n(R)∥) ≥ ϕ(2n). Der Satz von Toda besagt:

Satz 7.4.2. Die stabile Einhängungsordnung ∥P2n(R)∥ von P2n(R) ist 2ϕ(2n) .

Der Beweis von ν2(∥P2n(R)∥) ≤ ϕ(2n) ist eine Induktion über n und wird von den folgen-den Hilfssätzen vorbereitet.

Lemma 7.4.3. Für einen endlichen Komplex X mit Unterkomplex A und den kanoni-schen Abbildungen i ∶ A→ X und p ∶ X → X/A gilt:

∥X∥ teilt ∥i∥ ⋅ ∥p∥ und ∥A∥ ⋅ ∥X/A∥ .

7.4 Ergänzungen 449

Beweis. In der exakten Sequenz {A, X} i∗←� {X , X}

p∗←� {X/A, X} hat man ∥i∥ ⋅ [idX] =

p∗(z) für ein Element z ∈ {X/A, X}, woraus ∥i∥ ⋅ ∥p∥ ⋅ [idX] = 0 folgt.

Die Kofasersequenz S1 2�→ S1 i

�→ P2(R)p�→ S2 zeigt jetzt :

∥P2(R)∥ teilt 4 = 2ϕ(2) , es gilt also ∥P2(R)∥ = 2ϕ(2) ,

denn wegen ∥i∥ = 2 faktorisiert 2 ⋅ idP2(R) über p und die Ordnung einer stabilen AbbildungS2 → S1 ist ein Teiler von 2.

Wir betrachten jetzt das Paar (P2n+2(R), P2n(R)) ∶

P2n(R)i�→ P2n+2(R)

p�→ P2n+2(R)/P2n(R) ≅ P1(R)(2n+1)λ1 ≅ Σ2nP1(R)λ1 ≅ Σ2nP2(R).

(7.4.4)Für die Komposition j ∶ P2n+2(R)

p�→ Σ2nP2(R) �→ Σ2nS2 gilt nach (3.6.24)

{P2n+2(R), S2n+2} ≅ Z/2[ j]

und aus (5.2.2) folgt leicht

{P2n+2(R), S2n+1} ≅ {0, n ≡ 1 mod 2

Z/2, n ≡ 0 mod 2 . (7.4.5)

Wir wenden diese Berechnungen wie folgt an: Im kommutativen Diagramm

S2n+1

P2n(R) P2n+2(R) Σ2nP2(R)

S2n+2

��

��i

��

p

��

��

��

�

j��

faktorisiert die stabile Abbildung 2 ⋅ p über S2n+1, ist also nullhomotop für n ≡ 1 mod 2 oderhat für n ≡ 0 mod 2 möglicherweise die Ordnung 2. Zusammengefaßt:

Lemma 7.4.6. Für die Abbildung p ∶ P2n+2(R) → Σ2nP2(R) gilt:

a) Für n ≡ 1mod 2 ist ∥p∥ = 2b) Für n ≡ 0mod 2 ist ∥p∥ ein Teiler von 4.

Eine unmittelbare Folgerung ist

∥P4(R)∥ = ∥p∥ ⋅ ∥P2(R)∥ = 2 ⋅ 4 = 2ϕ(4)


Der nächste Fall ist die eingangs erwähnte wichtige, aber etwas umfangreichere, niedrigdi-mensionale Berechnung, die hier nicht ausgeführt werden soll, nämlich

Lemma 7.4.7. Die stabile Einhängungsordnung von P6(R) ist ∥P6(R)∥ = 8 = 2ϕ(6) .

Einen Beweis findet man in [Tod63, 2.5] oder [Lam79, 2.4 mit m=9]. In [Tod63, 2.5]werden zur Herleitung Steenrod-Operationen zum “Entdecken” der Hopf-Abbildung η ∈πs1(S0) verwendet, da η∗ ≠ 0 in reeller K-Theorie gilt, lassen sich diese durch K-Theorie

ersetzen. Damit läßt sich ein Beweis relativ elementar ausführen.Der Beweis des Satzes von Toda ist jetzt eine einfache Induktion über n. Für n ≤ 3

betrachten wir die Behauptung als bewiesen an. Für den Induktionsschritt verwenden wirdie Sequenz P2n(R)

i�→ P2n+2(R)

p�→ Σ2nP2(R) (7.4.4), (7.4.3) und (7.4.6) und erhalten

die Tabelle

n = 4m + i ν2(∥P2n(R)∥) ν2(∥p∥) ν2(∥P2n(R)∥) + ν2(∥p∥) ϕ(2n + 2)i = 0 4m 2 4m + 2 4m + 2i = 1 4m + 2 1 4m + 3 4m + 3i = 2 4m + 3 2 4m + 5 4m + 3i = 3 4m + 3 1 4m + 4 4m + 4

Es folgt ν2(∥P2n+2(R)∥) ≤ ν2(∥P2n(R)∥) + ν2 ∥p∥ = ϕ(2n + 2) außer für m = 4m + 2. Hiermodifiziert man das Argument wie folgt: Mit Hilfe der Kofasersequenz

P8m(R)i�→ P8m+6(R)

p�→ P8m+6(R)/P8m(R) �→

undP8m+6(R)/P8m(R) ≅ P5(R)(8m+1)λ5 ≅ Σ8mP5(R)λ1 ≅ Σ8mP6(R)

schließt man

ν2(∥P8m+6(R)∥) ≤ ν2(∥P8m(R)∥) + ν2(∥P6(R)∥) = 4m + 3 = ϕ(8m + 6).

Damit ist der Beweis des Satzes von Toda vollständig.

Eine direkte Anwendung zusammen mit der Abschätzung aus (6.3.36) nach unten ist:

Korollar 7.4.8. Die Transferabbildung tr = J([Rn+1]) ∈ {Pn(R), S0} hat für gerades ndie Ordnung 2ϕ(n) .

Bemerkung. Für n ≡ 1 mod 4 hat tr ebenfalls die Ordnung 2ϕ(n), während für n ≡ 3 mod4 die Ordnung 21+ϕ(n) ist, siehe [Cra80, 7.12], [Muk88] oder den Beweis von (9.5.14).


Für die Anwendungen auf Periodizitätsoperatoren und Bündelordnungen ergänzen undvertiefen wir im Folgenden diesen Satz noch etwas.

Zur Konstruktion von Periodizitätsoperatoren benötigen wir die Ordnung der Identi-tät der Thom-Räume ΣtP7(R)(1+2s)λ , die sich aber im Wesentlichen aus dem Beweis für∥P6(R)∥ = 8 ableiten lassen. Zunächst formulieren wir (7.4.7) etwas genauer:

Lemma 7.4.9. a) Für X = Σ6P5(R)λ ≅ Σ6P6(R) ist 8 ⋅ idX nullhomotop in [X , X].b) Für X = ΣP5(R)5⋅λ ist 8 ⋅ idX nullhomotop in [X , X].

Bemerkungen (zum Beweis des Satzes von Toda). Der Freudenthalsche Einhängungssatz(6.1.5) zeigt, daß beide Homotopiegruppen bereits stabil sind, sodaß es sich einfach um diestabilen Einhängungsordnungen handelt. Der in [Tod63, 2.5] geführte Beweis ist für a) undb) identisch. Ebenso der zwar kurze, aber nichtelementare Beweis aus [Lam79, 2.4 ] über dieVerschwindungslinie der Adams-Spektralsequenz. Der Beweis in [Tod63, 2.5] ergibt ohnezusätzliche Mühe 8 ⋅ idΣ5P6(R) ≃ 0, in [Muk03] wird das bestmögliche Resultat, nämlich8 ⋅ idΣP6(R) ≃ 0, hergeleitet. Verwendet man diese Ergebnisse, kann man die benötigtenEinhängungen weiter unten reduzieren.

Korollar 7.4.10. a) Für die stabilen Einhängungsordnungen der Thom-RäumeP7(R)(1+2s)λ gilt:

∥P7(R)(1+2s)λ∥ = 16 für s = 0, 1, 2...

b) Für X = Σ6P8(R) ist 16 ⋅ idX nullhomotop in [X , X].

Beweis. Die Aussage b) ist eine instabile Version von ∥P8(R)∥ = 16 , die man mit einerinstabilen Version von (7.4.6), a) aus (7.4.9), a) erhält. Ebenfalls mit (7.4.6), a), geeignet fürQuotienten projektiver Räume modifiziert, erhält man die Aussage ∥P7(R)5⋅λ∥ = 16 aus∥P5(R)5⋅λ∥ = 8, indem man Pm(R)5⋅λ mit Pm+5(R)/P4(R) identifiziert. Der Thom-RaumP7(R)7⋅λ ist S-dual zu P7(R)λ ≅ P8(R)und P7(R)3⋅λ ist S-dual zu P7(R)5⋅λ . Unter S-Dualitätbleibt die stabile Einhängungsordnung erhalten, damit folgt ∥P7(R)7⋅λ∥ = ∥P7(R)3⋅λ∥ = 16.Wegen SVektR(P7(R)) ≅ Z/8 ⋅ [λ]s sind die stabilen Homotopietypen P7(R)nλ periodischmit Periode 8 und damit sind alle Fälle erledigt.

Bemerkung. Hat man einmal ∥P7(R)(1+2s)λ∥ = 16 hergeleitet, läßt sich der Induktions-schritt im Beweis zum Satz von Toda vereinfachen. Die Kofasersequenz

P2k(R) �→ P2k+8(R) �→ P2k+8(R)/P2k(R) ≅ P7(R)(1+2k)λ

zeigt dann direkt ν2(∥P2k+8(R)∥) ≤ ν2(∥P2k(R)∥) + 4 und zusammen mit den Startwertenzu ∥P2k(R)∥ , k = 0, 1, 2, 3 erhält man den Beweis des Satzes von Toda.


Mit dieser Methode lassen sich leicht die Suspensionsordnungen der Thom-RäumeP2k(R)β für bestimmte Bündel β, also Verallgemeinerungen des Satzes von Toda, ableiten.In (9.5.14) benötigen wir:

Satz 7.4.11. Es sei β ein Negativ von (8m + 1)λ2k+1. Dann gilt

ν2(∥P2k+1(R)β∥) = 1 + ϕ(2k).

Beweis. Für ausreichend große s und f ist ξ ∶= (2s − 8m − 1)λ f ein Repräsentant für β, bisauf Einhängungen ist also P2k+1(R)β homotopieäquivalent zum Thom-Raum P2k+1(R)ξ ,der sich wie folgt als Quotient projektiver Räume schreiben läßt: Mit d ∶= 2s − 8m giltP2k+1(R)ξ ≅ Pd+2k(R)/Pd−2(R). Die Kofasersequenz

P2k+1(R)ξ �→ P2k+9(R)ξ �→ Pd+2k+8(R)/Pd+2k(R) ≅ ΣdP7(R)(1+2k)λ

zeigt dann zusammen mit ∥P7(R)(1+2k)λ∥ = 16 wieder

ν2(∥P2k+9(R)β∥) ≤ 4 + ν2(∥P2k+1(R)β∥).

Da k = 0 einen Sonderfall darstellt, wählt man k = 1, 2, 3, 4 als Startwerte einer Induktion.Die nötigen Werte

ν2(∥P3(R)β∥) = 3, ν2(∥P5(R)β∥) = 4, ν2(∥P7(R)β∥) = 4, ν2(∥P9(R)β∥) = 5

wurden entweder bereits bestimmt oder sind leicht mit den bisher eingesetzten Methodenherzuleiten. In allen Fällen gilt ν2(∥P2k+1(R)β∥) = 1 + ϕ(2k), woraus mit Induktion dann

ν2(∥P2k+9(R)β∥) ≤ 4 + (1 + ϕ(2k)) = 1 + ϕ(2k + 8)

folgt. Die Abschätzung nach unten erhält man aus der in (9.5.5) durchgeführten Berech-nung

ν2(∣KO0(P2k+1(R)ξ)∣) = 1 + ϕ(2k).

7.4.2 Periodizitätsoperatoren auf Quotienten projektiver Räume

Periodizitätsoperatoren auf Quotienten projektiver Räume lassen sich für eine Reihe vonAnwendungen wie etwa Konstruktion von Bündelreduktionen, Aushängungen oder Be-stimmung der geometrischen Dimension von Vektorbündeln einsetzen. Es gibt mehrereMethoden zur Konstruktion solcher Operatoren, wir besprechen hier einen eher elementa-ren Zugang wie in [Lam79], der auf dem Satz von Toda beruht, aber nicht ganz die optima-len Varianten liefert. Ziel ist die Herleitung von:


Satz 7.4.12. Für s ≥ 5, r ≥ 7, t = 0mod 4 gibt es stabile Abbildungen

F ∶ P2s−1(R)(2t+9)λ → P2s−1(R)(2t+1)λ

sodaß ΣrF durch eine echte Abbildung induziert wird und sowohl F wie auch die zu FS-duale Abbildung D(F) Isomorphismen in reeller K-Theorie induzieren.

Bemerkungen.

1. Einen eleganten Zugang mit s ≥ 2, r ≥ 5 über äquivariante stabile Kohomotopie findetman in [Cra80], [Cra89]. Diese Konstruktionsmethode liefert darüber hinaus Operato-ren mit guten Natürlichkeitseigenschaften.

2. Für t = 1, 2, 3 mod 4 gibt es entsprechende Operatoren, siehe etwa [Lam79], [DMa89].Wir benötigen die instabile Version nur für t ≡ 0 mod 4, die Konstruktion für die stabi-len Operatoren in den anderen Fällen verläuft ganz ähnlich, mit etwas anderenWerten.

Die stabile Einhängungsordnung von X = P2s−1(R)(8t+9)λ ist endlich, deshalb läßt sichein Periodizitätsoperator wie F durch Faktorisieren eines geeignetenVielfachen von ΣmidXdurch den Unterraum A = P2s−1(R)(8t+1)λ konstruieren. Die Konstruktion von F als stabileAbbildung ist relativ einfach, wir benötigen jedoch auch eine “instabile” Version. Dazu istfolgendes elementare Lemma aus der Homotopietheorie nötig :

Lemma 7.4.13. Gegeben sei eine Kofaserung A i↪ X

f�→ Y = X/A

j�→ C f ≃ ΣA

pX�→

ΣX und eine Abbildung α ∶ Z → X mit f ○α ≃ 0. Dann gibt es eine Abbildung β ∶ ΣZ �→C f ≃ ΣAmit pX ○ β ≃ Σα.

Da eine Kofasersequenz unter [Z , ] im Allgemeinen keine exakte Sequenz induziert(im Gegensatz zur stabilen Situation mit {Z , }), braucht α nicht über A zu faktorisieren,das Lemma besagt, daß dies nach einer Einhängung jedoch richtig ist.Beweis des Lemmas:

Es sei H eine Nullhomotopie von f ○ α, die wir als Abbildung auf dem unteren KegelC−Z ⊂ ΣZ nach Y auffassen. Auf dem oberen Kegel C+Z nehmen wir C+α ∶ C+Z �→ CX.Beide Abbildungen setzen sich zusammen zu dem gesuchten β

β ∶ C−Z ∪ C+ZH∪C

+

α�→ Y ∪ CX �→ Y ∪ f CX = C f

Identifiziert man C f /Y ≃ CX/X mit ΣX folgt pX ○ β ≃ Σα.


C+Z

Z

ΣZ

H

C+α

f

CXXY

C f /Y

C f ΣXβ pX

Abb. 7.1. Die Abbildungen zum letzten Beweis

Beweis von (7.4.12):Wir verwenden hier als Abkürzung eine gängige Notation für Quotienten projektiver Räu-me, die die Dimension der untersten und obersten Zelle angibt :

Pba ∶= Pb(R)/Pa−1(R) (7.4.14)

Dann schreibt sich F ∶ P2s−1(R)(8t+9)λ → P2s−1(R)(8t+1)λ als F ∶ Pn+8m+8 �→ Pn

m mit n =8t + 2s, m = 8t + 1, t ≥ 0, s ≥ 2. Aus den beiden Kofasersequenzen

Pnm

i1�→ Pn+8

mc1�→ Pn+8

n+1

Pm+7m

i2�→ Pn+8

mc2�→ Pn+8

m+8

erhält man folgendes kommutative Diagramm:

[Σk+1Pm+7m , ΣkPn+8

n+1 ]

↓ δ

[ΣkPn+8m+8 , ΣkPn

m]i1∗�→ [ΣkPn+8

m+8 , ΣkPn+8m ] �→ [ΣkPn+8

m+8 , ΣkPn+8n+1 ]

↓ c∗2 ↓ ↓ c∗2

[ΣkPn+8m , ΣkPn

m] �→ [ΣkPn+8m , ΣkPn+8

m ]c1∗�→ [ΣkPn+8

m , ΣkPn+8n+1 ]

↓ ↓ i∗2 ↓

[ΣkPm+7m , ΣkPn

m] �→ [ΣkPm+7m , ΣkPn+8

m ] �→ [ΣkPm+7m , ΣkPn+8

n+1 ]

Die Spalten sind immer exakt, die Zeilen nicht unbedingt, da die Kofasersequenzen an derfalschen Stelle stehen. Für genügend großes k sind jedoch alle Gruppen stabil und damitauch die Zeilen exakt. Es sei dk die Ordnung der Identität in [ΣkPm+7

m , ΣkPm+7m ]. Für die

betrachteten Werte von m gilt ΣkPm+7m ≃ Σk+8tP8(R) und aus (7.4.9), b) folgt dk = 16 für

k ≥ 6. Mit ΣkPn+8n+1 ≃ Σk+8tP7(R)(1+2s)λ ist [ΣkPn+8

n+1 , ΣkPn+8n+1 ] für s ≥ 5 bereits stabil und

die Ordnung der Identität ist 16 nach (7.4.9), a). Unter der Voraussetzung s ≥ 5 gilt m +

8 < n + 1 und der zelluläre Approximationssatz impliziert das Verschwinden der Gruppe[Σk+1Pm+7

m , ΣkPn+8n+1 ], sodaß c∗2 ∶ [ΣkPn+8

m+8 , ΣkPn+8n+1 ] �→ [ΣkPn+8

m , ΣkPn+8n+1 ] injektiv ist.

Mit diesen Vorbereitungen ist die Konstruktion der stabilen Abbildung F - also genü-gend großem k - jetzt eine simple Diagrammjagd: Das Element 16 ⋅ [id] ∈ {Pn+8

m ,Pn+8m }

wird wegen der gerade aufgeführten stabilen Einhängungsordnungen unter c1∗ und i∗2 auf0 abgebildet und weil c∗2 injektiv ist, gibt es ein F ∶ Pn+8

m+8 �→ Pnm mit c∗2 ○ i1∗([F]) = 16 ⋅ [id].

Die Konstruktion der (echten) Abbildung Σ7F verläuft analog, die fehlende Exaktheitder Zeilen wird durch das letzte Lemma ersetzt. Man beginnt mit k = 6 und g0 = 16 ⋅


idΣ6Pn+8m

damit i∗2 ([g0]) = 0 gilt (wegen d6 = 16) und verfährt dannwie oben.Manmuß einezusätzliche Einhängung beim Nehmen eines Urbildes unter i∗1 hinzunehmen und erhält[Σ7F] in [Σ7Pn+8

m+8 , Σ7Pnm].

Zum Nachweis, daß F∗ ein K-Theorie Isomorphismus ist, können wir stabil arbeiten.Aus der Faktorisierung von 16 ⋅ idPn+8

mals

Pn+8m

c2�→ Pn+8

m+8F�→ Pn

mi1�→ Pn+8

m

und den oben verwendeten Kofasersequenzen zu c2 und i1 erhält man in komplexer K-Theorie folgendes kommutative Diagramm (mit s wie oben):

Z/2s ≅ K0(Pn+8m+8)

F !

←� K0(Pnm) ≅ Z/2s

↓ c∗2 ↑ i∗1

Z/2s+4 ≅ K0(Pn+8m )

24←� K0(Pn+8

m ) ≅ Z/2s+4↓ i∗2 ↑ c∗1

Z/24 ≅ K0(Pm+7m ) K0(Pn+8

n+1 ) ≅ Z/24

(7.4.15)

Da c∗1 und c∗2 injektiv sind,muß F ! surjektiv und damit ein Isomorphismus sein. ZumNach-weis, daß auch die zu F S-duale stabile Abbildung D(F) einen K-Theorie Isomorphismusinduziert, verwendet man, daß D(F) ebenfalls eine Faktorisierung von 16 ⋅ id ist, d.h. dieKomposition

D(Pn+8m )

D(i1)�→ D(Pn

m)D(F)�→ D(Pn+8

m+8)D(c2)�→ D(Pn+8

m )

ist die Multiplikation mit 16. Dies ergibt ein zu (7.4.15) entsprechendes Diagramm und dieübliche, bereits mehrfach durchgeführte Umrechnung von D(Pb

a) in Quotienten projekti-ver Räume liefert die zugehörigen Werte der Gruppen. Die Behauptung folgt dann genauwie oben. (Eleganter ist hier die Verwendung von K-Homologie und der universellen Koef-fizientenformel für K-Theorie wie in (7.3.28).) Da F !und D(F)! Isomorphismen in komple-xer K-Theorie induzieren, muß dies nach (4.4.26) auch für reelle K-Theorie gelten. Damitist der Beweis von (7.4.12) beendet.

Bemerkung. Für ungerades b und gerades t ist Ptb aus Einhängungen von Z/2-

Moore-Räumen, also projektiven Ebenen P2(R), aufgebaut. Folgendes Bild vermittelteine Vorstellung zum Zusammenhang zwischen dem Operator F und dem Adams-Periodizitätsoperator A ∶ Σ8+rP2(R) �→ ΣrP2(R) aus (7.3.8). Die Abbildung F operiert aufden Moore-Teilen wie A.


222

A

A

Pt+8b+8 Pt

bF ∶

Abb. 7.2. Der Zusammenhang zwischen den Periodizitätsoperatoren

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Vektorbündel || Adams-Vermutung und Berechnung von J(X)