Rueckert_Wolfgang_pdfa Variable Linse Berechnung

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Wolfgang Rckert

Beitrag zur Entwicklung einer elastischen Linse variabler Brennweite fr den Einsatz in einem knstlichen Akkommodationssystem

Wolfgang Rckert Beitrag zur Entwicklung einer elastischen Linse variabler Brennweite fr den Einsatz in einem knstlichen Akkommodationssystem

Beitrag zur Entwicklung einer elastischen Linse variabler Brennweite fr den Einsatz in einem knstlichen Akkommodationssystemvon Wolfgang Rckert

Dissertation, Universitt Karlsruhe (TH), Fakultt fr Maschinenbau, Tag der mndlichen Prfung: 16.06.2009 Referenten: Prof. Dr. G. Bretthauer, Prof. Dr. V. Saile, Prof. Dr. R. Guthoff

Impressum Universittsverlag Karlsruhe c/o Universittsbibliothek Strae am Forum 2 D-76131 Karlsruhe www.uvka.de

Dieses Werk ist unter folgender Creative Commons-Lizenz lizenziert: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/de/

Universittsverlag Karlsruhe 2009 Print on Demand ISBN: 978-3-86644-391-4

Beitrag zur Entwicklung einer elastischen Linse variabler Brennweite fr den Einsatz in einem knstlichen AkkommodationssystemZur Erlangung des akademischen Grades Doktor der Ingenieurwissenschaften der Fakultt fr Maschinenbau Universitt Karlsruhe (TH)

Eingereichte Dissertation

von Dipl.-Ing. Wolfgang Rckert aus Heidelberg

Tag der mndlichen Prfung: Hauptreferent: Korreferenten:

19.06.2009 Prof. Dr. G. Bretthauer Prof. Dr. V. Saile Prof. Dr. R. Guthoff

Fr meine Frau

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand in den Jahren 2004 bis 2007 am Institut fr Angewandte Informatik des Forschungszentrums Karlsruhe. Die Arbeiten liefen als Teil des Projektes knstliches Akkommodationssystem . Professor Bretthauer danke ich fr die Mglichkeit, am Institut zu promovieren, und fr die bernahme des Hauptreferates. Er legte zusammen mit Professor Guthoff von der Universittsaugenklinik in Rostock den Grundstein fr das interessante und vielseitige Thema und untersttzte mich durch wertvolle Diskussionen und hilfreiche Hinweise. Bei Herrn Prof. Saile und Herrn Prof. Guthoff bedanke ich mich fr die bernahme des Korreferates. An Herrn Gengenbach, Herrn Guth und Herrn Sieber geht mein Dank fr intensive Diskussionen und fr das Korrekturlesen der Arbeit. Herrn Khler, Herrn Scherer, Herrn Stiller, Frau Maier, Herrn Skupin, Herrn Hummel, Herrn Scharnowell, Herrn Pylatiuk, Herrn Eberle und Herrn Maass gilt mein Dank fr ihre Untersttzung in praktischen Aspekten der Arbeit. Herrn Klink, Frau Gspann, Herrn Koker und Herrn Grube danke ich fr die angenehmen und kreativen Diskussionen. Herrn Rabus (ehem. IMT), Herrn Henzi (ehem. IMT), Herrn Last (IMT), Frau Torge (IMF I), Herrn Thelen (IMT), Frau Baur (IKET), Herrn Aktaa (IMF II), Herrn Klotz (IMF II), Herrn Beiser (IMF I) und Frau Dambrowski (IMT) danke ich fr die Bereitstellung von Messgerten. Ein herzlicher Dank geht an die Bibliothek des Forschungszentrums Karlsruhe und insbesondere an Frau Stern, die Unglaubliches bei der Beschaffung von Literaturstellen und bei der Akzeptanz zu spter Rckgaben leistete. Ganz besonders danke ich unseren Projektpartnern von Augenklinik und Universitt Rostock fr die fachliche Untersttzung und die Erluterungen, Herrn Prof. Guthoff, Herrn Prof. Schmitz, Herrn Prof. Stave, Herrn Stachs und Herrn Martin. Ebenfalls danken mchte ich Herrn Dr. Grer von der Wacker-Chemie GmbH fr wertvolle Hinweise zum Thema Silikonkautschuk und fr die Bereitstellung von Testmaterial. Durch die ber das Normalma hinausgehenden Bemhungen der Firma Wacker wurde die Erstellung von Testmustern erst mglich. Vielen Dank an Prof. Dr.-Ing. Friedrich U. Mathiak von der Fachhochschule Neubrandenburg fr die kostenlose Bereitstellung seines sehr hilfreichen Vorlesungsskripts. Ein besonderer Dank geht an meinen Vater sowie meinen Bruder Frank fr das Korrekturlesen. Meinem Bruder Felix danke ich fr Hinweise betreffend die Anatomie des menschlichen Auges. Meiner Frau Nathalie, meinem kleinen Sohn Clemens und meiner kleinen Tochter Elodie danke ich fr ihr Verstndnis und Ihre Geduld sowie fr die moralische Untersttzung.

KurzfassungBei einer Kataraktoperation wird die trbe menschliche Augenlinse durch ein Implantat ersetzt. Da der Eingriff zu den hufigsten Operationen gehrt, ist der groe Nutzen einer Wiederherstellung der Akkommodationsfhigkeit durch das Linsenimplantat unbestritten und es werden bedeutende Anstrengungen bei der Entwicklung unternommen. Am Institut fr Angewandte Informatik wurden verschiedene Lsungsanstze analysiert und ein neues Konzept zur Wiederherstellung der menschlichen Akkommodationsfhigkeit durch ein mechatronisches System vorgestellt. Herzstck eines solchen Systems ist eine Optik mit variabler Brennweite, durch welche die Bildschrfe nachgeregelt werden kann. Die menschliche Augenlinse ndert ihre Brechkraft ber die Deformation des elastischen Linsenkrpers, deshalb soll in der Arbeit ein Konzept fr die Nutzbarmachung dieses Prinzips fr ein mechatronisches System entwickelt werden. Anhand von skalierten Labormustern soll die Leistungsfhigkeit demonstriert werden. Die untersuchte elastische Linse hat sphrenfrmige Oberflchen, die fr einen Einsatz in einem knstlichen Akkommodationssystem fr das menschliche Auge geeignet sind. Die Verformung erfolgt ber eine radiale Belastung des Linsenquators. Basierend auf der Analyse eines mechanischen Modells wird gezeigt, dass fr eine Erhaltung der Sphrenform bei Verformung die Festigkeit lokal angepasst werden muss. Es ergibt sich aus der analytischen Untersuchung das Konzept einer elastischen Linse mit einem weichen Kern ( Kompositlinse ber die Geometrie de s Linsenkerns und dessen Materialfestigkeit kann die ). Steifigkeit des Linsenkrpers angepasst werden. Eine Finite-Elemente-Optimierung der Kernparameter minimiert die Abweichungen von der Sphrenform. Im Vergleich mit einer elastischen Linse ohne lokal angepasste Festigkeit ( Monolithische Linse konnte bei der Kompositlinse in der ) Simulation die mittlere Abweichung von der Sphrenform von 33,6 m auf weniger als 3,5 m gesenkt werden (maximal verformter Zustand). Die optimierten Kompositlinsen erreichen in der Simulation auf dem ganzen abgedeckten Brechkraftbereich (15,72dpt bis 29,72dpt) die optischen Eigenschaften von sphrischen Referenzlinsen. Die optische Qualitt einer monolithischen Linse ist fr ein knstliches Akkommodationssystem nicht ausreichend. Die untersuchten Kompositlinsen erreichen eine wesentlich strkere Brechkraftnderung als die monolithische Linse. Es werden Labormuster einer elastischen Linse in einer in der Arbeit entworfenen Mehrkomponentengussform realisiert. Hierfr wird Silikonkautschuk als geeignetes Material identifiziert. Zur experimentellen Ermittlung von Materialparametern und zur Vermessung von Labormustern werden in der Arbeit entsprechende Versuchsaufbauten realisiert. Mit einer in der Arbeit entwickelten modifizierten technischen Lsung fr einen miniaturisierbaren Aktor mit Hydraulikeinheit kann die elastische Linse verformt werden. Durch eine experimentelle Geometrievermessung der Labormuster knnen die Simulationsergebnisse besttigt werden.

I

InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis ............................................................................................................................... I Symbolverzeichnis .............................................................................................................................V Abkrzungen .................................................................................................................................. VII Indices ............................................................................................................................................ VII 1 Einleitung .................................................................................................................................. 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 Elastische Linsen fr ein knstliches Akkommodationssystem........................................... 1 Stand der Technik elastischer Linsen variabler Fokuslnge ................................................ 1 Offene Fragen ................................................................................................................... 3 Ziele und Aufgaben ........................................................................................................... 3

Grundlagen................................................................................................................................ 8 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.4 2.4.1 2.4.2 Optik................................................................................................................................. 8 Modelle der optischen Abbildung.................................................................................. 8 Raytracing zur Strahlengangsberechnung .................................................................... 12 Mglichkeiten zur Bewertung einer optischen Qualitt ................................................ 13 Sphrische und asphrische Linsen fr Augenimplantate ............................................. 15 Parameteridentifikation fr mathematische Flchen ......................................................... 17 Methoden der Parameteridentifikation ......................................................................... 18 Sphren....................................................................................................................... 18 Zernikepolynome ........................................................................................................ 20 Mechanik gummielastischer Krper................................................................................. 21 Deformations- und Spannungszustand ......................................................................... 22 Materialmodell fr Gummielastizitt ........................................................................... 23 Hrte, Festigkeit und Steifigkeit .................................................................................. 25 Freiheitsgrade mit Einfluss auf das Deformationsverhalten .......................................... 27 Finite-Elemente-Methode zur Berechnung von Deformationen.................................... 29 Instabilitt durch Zeitabhngigkeit der mechanischen Eigenschaften............................ 30 Instabilitt durch Beulen.............................................................................................. 31 Silikongummi als Material fr Labormuster der elastischen Linse.................................... 32 Chemisch-physikalische Eigenschaften von Silikonkautschuk ..................................... 32 Test verschiedener Silikone fr die Linsenfertigung..................................................... 36

II

2.4.3 3

Auswahl eines Weichmachers ..................................................................................... 38

Modellierung, Simulation und Bewertung von elastischen Linsen ............................................ 40 3.1 3.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.6 3.7 3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.7.4 3.8 3.8.1 3.8.2 3.8.3 3.8.4 3.8.5 3.9 3.9.1 3.9.2 Modifiziertes Verformungskonzept fr eine elastische Linse............................................ 40 uere Geometrie der untersuchten elastischen Linse...................................................... 42 Analytisches Modell der Mechanik sphrischer elastischer Linsen ................................... 43 Geometrieparameter und Verformungszustand ............................................................ 44 Einfhrung eines Brechmoduls .................................................................................... 46 Ableitung einer analytischen Darstellung des Deformationszustandes ............................. 48 Ableitung einer analytischen Darstellung des Festigkeitsverlaufes ............................... 51 Systematik bei Bewertung von Finite-Elemente-Modellen der Linse................................ 53 Methodiken zur bertragung von Oberflchen ............................................................ 53 Optisches Modell ........................................................................................................ 55 Brechmodul der Finiten-Elemente-Modelle der elastischen Linsen .............................. 56 Formtreue ................................................................................................................... 56 Erstmalige Charakterisierung einer monolithischen Linse ................................................ 57 Elastische Linse mit monolithischem Aufbau .............................................................. 57 Ergebnisse aus der Simulation der Linsendeformation ................................................. 58 Bewertung des Prinzips der monolithischen Linse ....................................................... 61 Modifizierte Lsung fr eine elastische Kompositlinse mit Kern...................................... 62 Methodik zur Optimierung der mechanischen Linseneigenschaften.................................. 63 Ausarbeitung einer Vorgehensweise zur Optimierung.................................................. 64 Zielfunktion zur Minimierung von Formabweichungen ............................................... 66 Strategie zur Ermittlung der optimalen Kerngeometrie................................................. 71 Festlegung der Optimierungsfreiheitsgrade.................................................................. 71 Leistungsfhigkeit der optimierten elastischen Kompositlinsen........................................ 72 Kompositlinse ohne Einschrnkungen ......................................................................... 72 Einfluss der verbesserten Formtreue auf die optischen Eigenschaften .......................... 74 Vergleich von analytischer Lsung und Optimierung................................................... 79 Kompositlinse als Labormuster ................................................................................... 79 Optische Eigenschaften des Linsenkerns...................................................................... 80 Erstmalige Untersuchung uerer Einflsse auf die Linsenform....................................... 81 Fertigungstoleranzen ................................................................................................... 81 Sensitivittsanalyse bezglich der Materialfestigkeit.................................................... 83

III

3.9.3 4

Folgerungen aus der Sensitivittsanalyse bezglich Kriechen ...................................... 85

Fertigung und Charakterisierung einer elastischen Linse variabler Brennweite ......................... 89 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.4.4 Entwurf einer Mehrkomponentengussform fr Labormuster ............................................ 89 Experimentelle Bestimmung von Materialeigenschaften .................................................. 90 Bestimmung der Brechzahl.......................................................................................... 90 Bestimmung der Festigkeit .......................................................................................... 90 Bestimmung von Zeitstand-Diagrammen..................................................................... 96 Bestimmung des Ausschwitzverhaltens von Silikonl.................................................. 98 Geometrievermessung zur Validierung der Simulationen ............................................... 101 Spannrahmen als statisches Aktorprinzip................................................................... 101 Methode zum Vermessen der Linsengeometrie.......................................................... 102 Messplan zum Vermessen von Labormustern der elastischen Linse ........................... 103 Ergebnis und Bewertung der Geometrievermessung fr den unverformten Zustand ... 104 Ergebnis und Bewertung der Geometrievermessung fr den verformten Zustand ....... 105 Modifizierte technische Lsung fr einen miniaturisierbaren Aktor................................ 107 Konzept der modifizierten technischen Lsung.......................................................... 107 Simulation des Einflusses einer Linsenfhrung.......................................................... 109 Berechnung einer Kennlinie zur Steuerung des Ringaktors ........................................ 112 Technische Lsung fr Hydraulikeinheit und Druckkammer...................................... 113

5 6 7

Zusammenfassung und Ausblick............................................................................................ 116 Literaturverzeichnis ............................................................................................................... 116 Anhang.................................................................................................................................. 120

V

SymbolverzeichnisDie wichtigsten Formelzeichen und ihre Bedeutung sind im Folgenden zusammengestellt. Formelzeichen A a AK AM AP BD C C10 C10,K C10,M cc CK CM D E EC ei EL EL ER f F H h i K k Bedeutung quatorialradius einer unverformten Linse quatorialradius einer verformten Linse Basisdurchmesser der Sphrenkappe des Kerns der elastischen Kompositlinse quatorialradius der elastischen Kompositlinse Unverformte Querschnittsflche einer Materialprobe Brechmodul Randhhe der untersuchten elastischen Linse Materialparameter der Neo-Hookeschen Verzerrungsenergiefunktion Materialparameter des Kerns der elastischen Kompositlinse Materialparameter des Mantels der elastischen Kompositlinse Kriechbestndigkeit Hhe des zylindrischen Kerns der elastischen Kompositlinse Randhhe der elastischen Kompositlinse Paraxiale Linsenbrechkraft oder Brechwert Elastizittsmodul Kriechmodul Basisvektor eines kartesischen oder zylindrischen Koordinatensystems Aspektverhltnis von Randhhe der Linse zum quatorialradius Aspektverhltnis von Krmmungsradius der Linse zum quatorialradius Relaxationsmodul Paraxiale Brennweite Kraft Axiale Hhe Axiale Hhe im verformten Zustand Zhlvariable i=1..N Sphre bzw. Kugelkappe mit Krmmungsradius K Krmmungsradius der lichtbrechenden Grenzflche einer verformten elastischen Linse Krmmungsradius der Sphrenkappe des Linsenkerns

KK

VI

KM n PK PL PZ pU qAiry S si t t U u

Krmmungsradius der Mantelflche der elastischen Kompositlinse Brechungsindex oder Brechzahl eines Mediums Krperfester Punkt auf der Oberflche einer perfekten Sphre Krperfester Punkt auf der Oberflche einer elastischen Linse Durch Zernikepolynome beschriebener Oberflchenpunkt Zur Verformung der elastischen Linse auf den Umfang aufgebrachter Druck Durchmesser der Airyscheibe Spannungstensor(-feld) der nominellen Spannung Komponenten des Spannungstensors entlang der Hauptachsen Zeitvariable Zeit, nach der im Zeitstandversuch eine konstante Spannung erreicht wird Zentrum einer Sphre Radiale Verschiebungsfunktion einer perfekt sphrisch verformenden elastischen Linse Erweiterte Form des Sphrenzentrums Volumen Volumen der untersuchten elastischen Linse, nicht deformierter Zustand Volumen der untersuchten elastischen Linse, deformierter Zustand Volumen einer elastischen Linse Verzerrungsenergie(-dichte) Gewichtungsfunktion Ortskoordinate Ortskoordinate fr einen deformierten Krper Erweiterter Radius der Apertur einer elastischen Linse Geometrisch feste Apertur, auf der die optischen Eigenschaften der elastischen Linsen ausgewertet werden Menge der ganzen Zahlen

U* V VKAC VkaC V W w X x X*AP XAP

Zj j K,ax K,r M

Zernikepolynom mit Einzelindizierung j nach [NOL76] quatorialradius einer elastischen Linse Koeffizient einer Zernikeentwicklung Axiale Differenz der tatschlichen Linsenform zur Best-Fit-Sphre Radiale Differenz der tatschlichen Linsenform zur Best-Fit-Sphre Mittelwert der Differenzen der tatschlichen Linsenform zur Best-Fit-Sphre

VII

Z i SS K K, K,w A

Axiale Dehnung Hhe des zylindrischen Rands einer elastischen Linse Sphrenradius einer elastischen Linse Deformationstensor(-feld) eines Krpers Streckung entlang der Hauptachsenrichtung i Deformationstensor(-feld) eines Krpers im Teilschritt SS einer Finite-ElementeSimulation Querkontraktionszahl Normierte radiale Ortsvariable Mittlere quadratische Formabweichung von der Best-Fit-Sphre Integrale, gewichtete, mittlere quadratische Abweichung von der Best-Fit-Sphre Gewichtete, mittlere quadratische Abweichung von der Best-Fit-Sphre Zeitkonstante eines exponentiellen Abfalls Zeitkonstante fr die maximale Deformation der elastischen Linse durch den Aktor

AbkrzungenFE(M) RMS LS WFA PSF MTF IOL Finite-Elemente(-Methode) Root Mean Square, Quadratischer Mittelwert Methode der kleinsten Fehlerquadrate (Least Squares) Wellenfrontaberration Punktspreizfunktion Modulationstransferfunktion Intraokularlinse, Implantat der menschlichen Augenlinse

Indices1,2,3 i R,T,Z SS Richtungen im kartesischen Koordinatensystem Komponente i eines Vektors entlang ei Richtungen im Zylinderkoordinatensystem Teillsung (engl. Substep) einer Finite-Elemente-Simulation

1 Einleitung1.1 Elastische Linsen fr ein knstliches AkkommodationssystemIn einem gesunden Auge wird durch eine muskelaktivierte Deformation der elastischen Augenlinse eine Brennweitennderung erreicht (Akkommodation). Das optische System Auge kann so Objekte in unterschiedlichen Entfernungen scharf abbilden. Bei lteren Menschen stellt sich durch natrliche Prozesse eine mehr oder weniger ausgeprgte Trbung der Augenlinse ein. Das hierdurch verursachte Krankheitsbild mit verschlechterter Sehfhigkeit wird als Katarakt (grauer Star) bezeichnet. Einzige Mglichkeit zur Wiederherstellung der Sehfhigkeit ist eine Operation, bei der die degenerierte Augenlinse herausgenommen und eine Kunstlinse (Intraokularlinse, IOL) implantiert wird. Ist das optische System Auge mit einem herkmmlichen, starren Linsenimplantat auf Fernsicht eingestellt, sind nahe Objekte nicht mehr klar zu erkennen. Eine Akkommodation ist mangels Elastizitt des Implantats nicht mehr mglich, deshalb behilft sich der Patient mit einer Sehhilfe (z.B. Gleitsichtbrille). Anstze zur Wiederherstellung der Akkommodationsfhigkeit mit speziellen Implantaten basieren auf der Nutzung der Muskelaktivitt zur nderung der Brechkraft. Eine solche Herangehensweise ist jedoch umstritten, Messungen konnten die Funktionsfhigkeit existierender Lsungen nicht belegen ([SCH06]). Da die Kataraktoperation zu den hufigsten Operationen gehrt, ist der groe Nutzen einer Wiederherstellung der Akkommodationsfhigkeit unbestritten und es werden bedeutende Anstrengungen zur Entwicklung entsprechender Implantate unternommen ([CHA04]). In [BER07], [GEN05] und [PAT06] werden verschiedene Lsungsanstze analysiert und ein neues Konzept zur Wiederherstellung der menschlichen Akkommodationsfhigkeit durch ein mechatronisches System vorgestellt. Herzstck eines solchen Systems ist eine Optik mit variabler Brennweite, durch welche die Bildschrfe nachgeregelt werden kann. Hierzu werden u. a. verschiedene Linsen variabler Fokuslnge vorgestellt und ihre Eignung fr ein knstliches Akkommodationssystem untersucht. Die wichtigsten Anforderungen an eine Linse variabler Brennweite fr ein knstliches Akkommodationssystem gelten fr die Strke der Brennweitennderung und die Abbildungseigenschaften. Auerdem muss die Stabilitt des Systems gewhrleistet sein. Die menschliche Augenlinse ndert Ihre Breckraft ber die Deformation des elastischen Linsenkrpers, deshalb soll in der Arbeit ein Konzept fr die Nutzbarmachung dieses Prinzips fr ein mechatronisches System entwickelt werden und anhand von skalierten Labormustern die Leistungsfhigkeit demonstriert werden. Elastische Linsen knnen mit sphrischen, asphrischen oder auch mit asymmetrischen Geometrien gefertigt werden. Derartige Oberflchengeometrien knnen in speziellen optischen Systemen notwendig sein. Mit modernen Fertigungsverfahren knnen Linsen aus Kunststoffen kostengnstig hergestellt werden. Spritzguss und Spritzprgen erlauben die Fertigung mit guten optischen Eigenschaften ([FOR06], [BR06]).

1.2 Stand der Technik elastischer Linsen variabler Fokuslnge[CLA77] stellt zwei Konfigurationen fr elastische Linsen vor. Die erste Konfiguration (Abb. 1, links) stellt einen massiven, zylindrischen Block aus transparentem Silikongummi dar, der von einer

1.2 Stand der Technik elastischer Linsen variabler Fokuslnge

2

Druckkammer umgeben ist. Die Stirnseiten des Zylinders werden von der Druckkammer dicht umschlossen. Durch eine Druckbelastung der Zylinderauenflche krmmen sich die Stirnseiten und ndern so ihre Brennweite. Die zweite Konfiguration (Abb. 1, rechts) kann als Membranlsung bezeichnet werden. Die Druckkammer wird beidseitig mit Membranen verschlossen, indem der Zylinder auf seine Stirnflchen reduziert wird. Experimentell wird eine Messung der Brennweite in Funktion eines aufgebrachten Drucks gemessen. Es wird in [CLA77] keine Aussage ber die optische Abbildungsqualitt gemacht.

Inkompressibles Fluid unter Druck

Inkompressibles Fluid unter Druck (Brechungsindex wie Gummi)

Silikongummi Abb. 1: Zwei Konfigurationen einer aktiven Optik . [CLA77]

Die Firma Canon verffentlichte in den Jahren 1985 bis 1989 eine Serie von Patenten zu einer elastischen Linse ([PAT85], [PAT89], [PAT89b], [PAT89c]). In [PAT89c] wird ein elastischer Krper angemeldet, welcher in einer schmalen Zone am Linsenrand axial gestaucht bzw. gedehnt wird. Die axiale Stauchung erfolgt durch Teil 4 in Abb. 2. Es ergibt sich eine Krmmungsnderung des elastischen Krpers 11, was eine Brechkraftnderung mit sich bringt. Der (konkave) elastische Linsenkrper besteht aus laminierten Teilkrpern unterschiedlicher Festigkeit, hierdurch soll die Linse im vollstndig verformten Zustand eine sphrische Form behalten. Der innen gelegene Krper 11b ist beschrnkt auf sehr weiche, gelartige Materialien. Eine andere Linse besitzt einen durch Lsungsmittel verursachten graduellen Festigkeitsverlauf ([Pat89b]).Stauchung in Pfeilrichtung Stauchung in Pfeilrichtung

Abb. 2: Elastische Linse. [PAT89c]

Im Patent [PAT89c] wird eine Angabe zur Formtreue gemacht. Bei einer Krmmungsnderung einer symmetrisch bikonkaven Linse von 51,98 mm bis 27,23 mm wird auf einer Zone mit 18 mm Durchmesser eine mittlere Abweichung von 1,3 m von der Sphrenform gemessen. Abweichungen

3

1.3 Offene Fragen

fr andere Krmmungsradien werden nicht gegeben. Eine Aussage ber die Abbildungseigenschaften erfolgt ebenso wenig. Dem Autor sind nur vorliegende Verffentlichungen zum Thema elastische Linse bekannt.

1.3 Offene FragenEine elastische Linse wie in Abb. 2 kann nicht ohne weiteres Akkommodationssystem integriert werden, da zentrale Fragen noch offen sind. in ein knstliches

Insbesondere die Arbeiten von Canon zeigen, dass einige Probleme, wie z.B. eine Anpassung der mechanischen Eigenschaften (Festigkeit) der Linse, bereits erkannt wurden. Die Anpassung wird in [PAT85], [PAT89], [PAT89b] und [PAT89c] als notwendig erachtet, um die vorgegebene Linsengeometrie im verformten Zustand einzuhalten, ohne hierfr eine Erklrung zu liefern. Systematische Untersuchungen, wie die mechanischen Eigenschaften einer Linse aussehen mssen, bzw. eine Modellierung der mechanischen Eigenschaften wurden bisher in der Literatur nicht beschrieben. Durch die Analyse eines mechanischen Modells kann ein Konzept zur Auslegung der mechanischen Eigenschaften fr den Einsatz in einem knstlichen Akkommodationssystem abgeleitet werden. In einem zweiten Schritt kann basierend auf einem Modell eine Charakterisierung und Bewertung des Deformationsverhaltens erfolgen. Da Labormuster der elastischen Linse gefertigt werden sollen, Herstellungsverfahren sowie geeignete Materialien bestimmt werden. mssen ein geeignetes

Zur Abbildungsqualitt von elastischen Linsen gibt es keine Verffentlichungen. Damit eine elastische Linse fr das menschliche Auge einsetzbar ist, mssen die optischen Eigenschaften in allen Deformationszustnden erhalten bleiben, nicht ausschlielich im maximal verformten Zustand. Eine solche Anforderung wurde bisher nicht formuliert. Die deformierten Zustnde der Linsenoberflche mssen auf ihre Abbildungseigenschaften hin untersucht werden, da ein direkter Schluss von der Oberflchenform auf die optischen Eigenschaften nicht mglich ist. Die in der Literatur dargestellten elastischen Linsen sind zumindest im Ausgangszustand sphrisch. Die Geometrie der lichtbrechenden Linsenoberflche muss auf das System Auge abgestimmt sein. Es ist nicht klar, ob die sphrische Linsengeometrie fr einen Einsatz in einem knstlichen Akkommodationssystem annehmbare Abbildungseigenschaften aufweist. Fr optische Linsen sind andere Formen (so genannte asphrische Linsen) Stand der Technik, insbesondere bei Kunststofflinsen fr Groserien (vgl. [FOR06]). ber die Stabilitt (z.B. Beulen, Zeitstandverhalten) von elastischen Linsen existieren keine Erkenntnisse. In der Literatur sind Verformungsprinzipien fr elastische Linsen beschrieben ([PAT85], [PAT89], [PAT89b], [PAT89c], [MAR06], [KAR06]). Die Eignung der Prinzipien zur Verformung der elastischen Linse bezglich Stabilitt, Energieeinsatz und Geometrieerhalt, welche ber den Einsatz nicht nur in einem knstlichen Akkommodationssystem entscheiden, wurde nicht untersucht. Umsetzungen eines miniaturisierbaren Aktors fr eine elastische Linse existieren noch nicht.

1.4 Ziele und AufgabenZiel der Arbeit ist die Nutzbarmachung der Prinzips der elastischen Linse fr ein knstliches Akkommmodationssystem. Bei der elastischen Linse wird die Brennweite durch Verformung eines elastischen Festkrpers angepasst, nach dem Prinzip des menschlichen Auges. Die Stabilitt der

1.4 Ziele und Aufgaben

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Verformung soll dabei gewhrleistet sein. Die Leistungsfhigkeit des Prinzips der elastischen Linse fr das knstliche Akkommmodationssystem soll am Beispiel eines skalierten Labormusters im Medium Luft gezeigt werden. Die Anforderungen an die optischen Eigenschaften sollen in allen verformten Zustnden erfllt sein. Der Begriff optische Eigenschaften beinhaltet die berdeckten Brennweiten und die Form der Linsenoberflche, welche eine gegebene Geometrie einhalten soll. Die Geometrieparameter sollen sich bei der Deformation ndern. Am Beispiel einer Kugel bedeutet das, dass sich der Radius bei der Verformung ndert, nicht aber die Kugelform. Zustzlich beinhaltet der Begriff optische Eigenschaftendie Abbildungseigenschaften der isolierten Linse. Da zu dem Thema wenige Verffentlichungen existieren und zentrale Fragestellungen noch unbeantwortet sind, mssen insbesondere die Grundlagen fr eine Auslegung der elastischen Linse, hin auf die gewnschten Eigenschaften, erarbeitet werden. Die Bearbeitung des Themas ist fcherbergreifend, da bei der elastischen Linse strukturmechanische und optische Eigenschaften ber die Geometrie der lichtbrechenden Linsenoberflchen miteinander verknpft sind. Es wird in der Arbeit gezeigt, dass Linsen aus einem elastischen Material homogener Festigkeit (monolithische Linsen) keine ausreichenden optischen Eigenschaften aufweisen. Bei der Konzeption der elastischen Linse fr ein knstliches Akkommodationssystem wird deshalb der Ansatz verfolgt, an den mechanischen Freiheitsgraden des Linsenkrpers einzugreifen, um die optischen Eigenschaften ber die Deformationseigenschaften vorteilhaft zu beeinflussen. Wie die mechanischen Freiheitsgrade beeinflusst werden mssen, wird anhand einer genauen Analyse der Linsenmechanik erarbeitet. Fr die Optimierung der Eigenschaften werden Finite-Elemente-Rechnungen vorgeschlagen. ber die Leistungsfhigkeit des Linsenprinzips entscheiden die optischen Eigenschaften. Das in der Arbeit erstellte Konzept zur Auslegung der mechanischen Eigenschaften der Linse fr ein knstliches Akkommodationssytem ber Finite-Elemente-Rechnungen und die programmiertechnische Umsetzung der aus der Zielsetzung entstandenen Aufgabenstellungen stellen insgesamt einen Neuwert dar. Der Aufbau der Fertigungseinrichtung, die Materialauswahl und die Fertigung und Charakterisierung von Labormustern der elastischen Linse stellen weitere zentrale Ergebnisse der Arbeit dar. Zur Charakterisierung der Materialien fr die elastische Linse werden in der Arbeit existierende Versuchsaufbauten modifiziert und entsprechende Experimente durchgefhrt. Die Fragestellungen lassen sich sechs verschiedenen Kategorien zuordnen. Optik Kopplung Optik-Mechanik Mechanik Material Aktorik Fertigung.

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1.4 Ziele und Aufgaben

Optik Die optische Funktionalitt des Systems Auge und elastische Linse muss bei Brennweitennderung erhalten bleiben. Die elastische Linse hat deshalb Mindestanforderungen zu erfllen. Die Teilziele sind im Einzelnen: Identifikation geeigneter optischer Eigenschaften (Brechkraftnderung, Form der lichtbrechenden Linsenoberflchen) fr den Einsatz einer elastischen Linse im menschlichen Auge Identifikation geeigneter Kennzahlen zur Bewertung der Abbildungsqualitt sowie der Brechkraftnderung.

Kopplung Optik-Mechanik Die Oberflchengeometrie der Linse in allen Deformationszustnden ist ausschlaggebend fr die optischen Eigenschaften. Abweichungen von der gewnschten geometrischen Referenzform haben einen Einfluss auf das Abbildungsverhalten der elastischen Linse. Fr kleine Abweichungen sind je nach Kriterium der optischen Qualitt Verbesserungen oder auch Verschlechterungen mglich. Es soll untersucht werden, ob eine Verbesserung der Formtreue eine Verbesserung der optischen Eigenschaften mit sich bringt. Zur Beurteilung werden die optischen Eigenschaften von elastischer Linse und sphrischen Referenzlinsen verglichen. Es wird fr alle Brennweiten eine Mindestanforderung an die freie ffnung der elastischen Linse gestellt. Die Teilziele sind im Einzelnen: Aufstellen eines optischen Modells zur Auswertung der optischen Eigenschaften elastischer Linsen Untersuchung und Bewertung der Abbildungseigenschaften der elastischen Linse Bewertung, ob eine Beeinflussung der Deformationseigenschaften bei elastischen Linsen notwendig ist Bewertung, ob eine positive Korrelation zwischen Formtreue und Abbildungseigenschaften besteht Entwurf einer Vorgehensweise zur Koppelung von mechanischem und optischem Modell.

Mechanik Da die Deformationseigenschaften eines elastischen Krpers durch seine mechanischen Eigenschaften determiniert sind, muss die Linsenmechanik modelliert, analysiert, charakterisiert und bewertet sowie gegebenenfalls verbessert werden. Die Teilziele sind: Bestimmen von mechanischen Eigenschaften des elastischen Linsenkrpers mit Relevanz fr ein mechanisches Modell Aufstellen eines Bewertungskriteriums fr die Formtreue unter Bercksichtigung mehrerer Verformungszustnde Bestimmung von Faktoren mit Einfluss auf die Deformationseigenschaften

1.4 Ziele und Aufgaben

6

Entwicklung eines Konzeptes zur Verbesserung der Formtreue im verformten Zustand aus der Analyse des mechanischen Modells Auswahl einer geeigneten Geometrie bezglich Beulen.

Fertigung Der Handverguss ist die einzige am Institut verfgbare Technologie zur Fertigung von elastischen Linsen. Die Gussform fr den Handverguss soll aus Zukaufteilen aufgebaut werden. Das Linsendesign muss fr eine Fertigung von Labormustern und eine Optimierung der Deformationseigenschaften geeignet sein. Der Durchmesser der in der Arbeit untersuchten Linse soll 24 mm betragen. Dieser Wert liegt knapp unter dem Standarddurchmesser kleinerer handelsblicher optischer Linsen von 25 mm und ermglicht den Einsatz der elastischen Linse auf optischen Bnken mit StandardOptikkomponenten. Die Randhhe muss 6 mm betragen, damit die Linse gegossen werden kann. Die Teilziele sind: Auswahl einer, fr die Fertigung im Handverguss, geeigneten Geometrie Entwicklung und Realisierung einer geeigneten Gussform Bestimmung wichtiger Fertigungstoleranzen Bewertung des Handvergusses als Fertigungsverfahren zur Herstellung von elastischen Linsen Fertigung von Labormustern Bewertung der Labormustern. Simulationsergebnisse anhand von Geometrievermessungen von

Material Das Linsenmaterial bestimmt ber die Fertigbarkeit die optischen und die mechanischen Eigenschaften. Die Materialeigenschaften mssen experimentell ermittelt werden. bliche elastische Optiken aus dem Medizintechnikbereich, die in groer Zahl zur Anwendung als Kontaktlinsen oder Intraokularlinsen hergestellt werden, bestehen oft aus hochtransparenten Silikonelastomeren ([NOL99]). Die elastische Linse soll aus einem giebaren Silikonelastomer gefertigt werden. Die Teilziele sind: Auswahl eines geeigneten Silikontyps fr Labormuster der elastischen Linse Aufbau von Testumgebungen und Charakterisieren der Materialeigenschaften.

Aktorik Das Verformungsprinzip muss grundstzlich fr einen Einsatz im Auge geeignet sein und eine stabile Verformung bewirken. Ein miniaturisierbarer Aktor fr die elastische Linse soll eine einfache Ankopplung und eine zuverlssige Zentrierung der Linse gewhrleisten. Die Miniaturisierbarkeit beinhaltet Portabilitt und Betrieb mit Batterien. Die dynamische nderung des Verformungszustandes der elastischen Linse und damit der Brechkraft wird durch das Aktuationsprinzip bestimmt. Eine vollstndige Brechkraftnderung soll mit 1 Hz pro vollstndigem Verformungszyklus der Linse durchlaufen werden. Hierdurch ergibt sich eine Zeitkonstante A von 500s. Die Teilziele sind:

7

1.4 Ziele und Aufgaben

Auswahl eines geeignetes Verformungsprinzips bezglich Zeitstandverhalten der elastischen Linsen Bestimmmung von Mglichkeiten, um den Energiebedarf fr eine Brechkraftnderung der elastischen Linse gering zu halten Aufbau einer technischen Lsung fr einen miniaturisierbaren Aktor.

In Kapitel 2 werden wichtige Ergebnisse der Recherchearbeiten beschrieben. Es werden geeignete Berechnungs- und Bewertungswerkzeuge zur Lsung der optischen und mechanischen Fragestellungen vorgestellt. Ein weiterer Teil des Kapitels fasst Grundlagen fr eine Methodik zur Kopplung von mechanischem und optischem Teil der Arbeit zusammen. Das menschliche Auge wird dargestellt und eine geeignete Linsenform und -brechkraft abgeleitet. Grundlagen des Materialverhaltens von Silikon werden zusammengestellt. Faktoren, die zu einer instabilen Verformung fhren knnen, werden identifiziert und untersucht. Kapitel 3 beinhaltet den konzeptionell-methodischen sowie den simulativen Teil der Arbeit. Ein geeignetes Verformungsprinzip und die genaue Geometrie der Linse werden basierend auf den Grundlagenuntersuchungen in Kapitel 2 festgelegt. Es werden zwei mechanische und ein optisches Modell der elastischen Linse eingefhrt. Fr die Modelle werden Bewertungsmethodiken sowie eine Methodik zur bertragung von Informationen zwischen den Modellen erarbeitet. Aus der Analyse eines analytischen mechanischen Modells folgt ein Konzept einer elastischen Kompositlinse mit einem weichen Kern. Basierend auf einem Finite-Elemente-Modell der elastischen Linse wird eine Vorgehensweise zur Optimierung der Kerneigenschaften hin auf die gewnschten mechanischen Eigenschaften eingefhrt. Die Abbildungseigenschaften der simulierten Linsen werden in einer Raytracingsoftware untersucht. Im Vorgriff auf Kapitel 4 werden Auswirkungen von Fertigungstoleranzen auf die Linseneigenschaften untersucht. Kapitel 4 stellt den experimentellen Teil der Arbeit dar. Es wird ein vollstndiges Konzept fr eine Linsenfertigung im Handverguss vorgestellt und als technische Lsung umgesetzt. Anhand von Labormustern der elastischen Linse werden Simulationsergebnisse berprft. Es wird eine technische Lsung fr ein Aktorprinzip vorgeschlagen. Relevante Materialparameter werden experimentell ermittelt. Kapitel 5 gibt eine Zusammenfassung und Bewertung der erzielten Ergebnisse.

2

Grundlagen

In Kapitel 2 sollen Werkzeuge eingefhrt werden, welche im spteren Teil der Arbeit Verwendung finden. Das Kapitel basiert zum Groteil auf einer Recherche des Standes der Technik. Fr Mechanik und Optik der elastischen Linse sollen Bewertungskriterien und Rechenwerkzeuge identifiziert werden. Werkzeuge fr die bertragung von Informationen zwischen den Berechnungswerkzeugen der Optik und Mechanik werden ausgewhlt. Fr die Auslegung der Linse mssen grundstzliche Fragen geklrt werden. Die geometrische Form einer elastischen Linse, die im Auge Einsatz finden soll, muss bestimmt werden. Auerdem muss geklrt werden, welche Brechkraftnderungen notwendig sind. Fr die Modellierung der Linsenmechanik muss ein Materialmodell fr Gummi ausgewhlt werden. Zur Berechnung von Phnomenen, welche die Stabilitt der Linsenverformung gefhrden, wie Kriechen des Elastomers oder Beulen, werden Rechenmodelle ausgewhlt. Um das Silikon fr die Linsenfertigung beurteilen zu knnen, wurden Untersuchungen im Bereich der Polymerphysik angestellt. Die wichtigen Ergebnisse werden hier zusammengefasst.

2.1 OptikDie Bewertung der optischen Eigenschaften der elastischen Linse erfordert ein Werkzeug zur Berechnung des Linsenverhaltens. Zur objektiven Bewertung der Ergebnisse werden Kriterien vorgestellt. Das menschliche Auge wird in seiner Anatomie dargestellt, um die Anforderungen an die optischen Eigenschaften einer elastischen Linse definieren zu knnen.

2.1.1 Modelle der optischen AbbildungBeugung Die Wellenfront verbindet Punkte gleicher Phase einer elektromagnetischen Welle, die von einer Punktlichtquelle ausgesendet wird. Als Lichtstrahlen werden die orthogonalen Trajektorien der Wellenfront bezeichnet, sie stellen ein Modell der Lichtausbreitung dar. Die Wellennatur des Lichtes fhrt dazu, dass sich Lichtstrahlen nicht immer gerade im Raum ausbreiten. An Hindernissen wird Licht gebeugt, so dass es von seiner geraden Ausbreitung abweicht und sich in den abgeschatteten Raum fortpflanzt. Fr eine kreisfrmige ffnung entsteht auf einem entfernt stehenden Schirm das Muster einer Besselfunktion erster Ordnung. Ein solches Muster ist in Abb. 3 dargestellt. Das zentrale Maximum bis zum ersten Nulldurchgang wird als Airyscheibe bezeichnet ([HEC01]). Fr eine kreisfrmige Linse mit quatorialradius A, die Licht der Wellenlnge auf einen Schirm in der Distanz f abbildet, wird der Durchmesser qAiry der Airyscheibe durch Gleichung (2.1) gegeben, deren Herleitung zum Beispiel in [HEC01] zu finden ist.

q Airy = 1,22l

f A

(2.1)

9

2.1 Optik

Demnach erzeugt selbst eine Linse ohne Abbildungsfehler aufgrund der Beugung keinen Punkt, sondern ein Beugungsmuster. Die Abbildungsqualitt eines bestmglich ausgelegten optischen Systems ist deshalb immer noch durch die Beugung begrenzt.

qAiry

Abb. 3 Beugungsmuster einer kreisfrmigen ffnung.

Geometrische Optik Bei groen Aperturen A knnen Beugungseffekte, je nach Aufgabenstellung, vernachlssigt werden (qAiry 0 fr A ). Unter Vernachlssigung der Beugungseffekte erlaubt die so genannte Geometrische Optik exakte Strahlengangsberechnungen. Der Weg der Lichtausbreitung wird dann in homogenen Medien durch gerade Linien beschrieben. Trifft ein Lichtstrahl lo auf eine Grenzflche, die zwei unterschiedliche optische Medien voneinander trennt, wird ein Teil des Strahls lr reflektiert, der andere Teil lb wird ber die Grenze bertragen (s. Abb. 4). Fr den einfallenden Strahl wird der Index o verwendet, fr den gebrochenen Strahl der Index b. Der reflektierte Strahl bildet mit der Flchennormalen den gleichen Winkel wie der einfallende Strahl. Der bertragene Lichtstrahl weicht von der bisherigen Ausbreitungsrichtung ab. Dieses Phnomen wird als Lichtbrechung oder Refraktion bezeichnet. Fr die Brechung gilt das Snelliussche Gesetz nach Gl. (2.2), es lsst sich auf das Fermatsche Prinzip zurckfhren. Das Gesetz betrachtet die Winkel der Lichtstrahlen lo und lb (s. Abb. 4) zur Flchennormalen. Es beschreibt einen Zusammenhang zwischen den Winkeln und den Brechzahlen n. Die Brechzahl n (auch: Brechungsindex) ist abhngig vom Material und der Wellenlnge des Lichts. Sie gibt die Abnahme der Phasengeschwindigkeit in einem optisch dichten Medium bezglich der Phasengeschwindigkeit im Vakuum wieder. Zur Thematik siehe [HEC01].

sin q o nb = sin q b no

(2.2)

2.1 Optik

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lo

lr

o

r

no

nb b lb

Abb. 4 Brechung und Reflexion an einer optischen Grenzflche.

Linsenschleiferformel zur vereinfachten Berechnung der Brechkraft Mit dem Snelliusschen Gesetz Gl. (2.2) lassen sich die Vorgnge der Lichtbrechung an Linsen mit sphrenfrmigen optischen Grenzflchen beschreiben ([HEC01]).

no lo lb K O U B

nb

so

sb

Abb. 5: Auf eine sphrisch gekrmmte optische Grenzflche einfallender Lichtstrahl lo und gebrochener Strahl lb.

Abb. 5 zeigt eine sphrenfrmige Grenzflche mit Krmmungsradius K zwischen zwei optischen Medien mit Brechungsindex no und nb. Der Krmmungsradius bezeichnet in der Arbeit den Radius der Sphre, welche die Grenzflche zwischen den beiden optischen Medien bildet. Der Rand einer Linse wird als quator bezeichnet. Die Eingangsffnung oder Apertur stellt den Bereich dar, auf den Lichtstrahlen einfallen knnen. Der Schnittpunkt der optischen Grenzflche mit der optischen Achse wird Vortex oder Pol der Linse genannt. Die Strecke so wird Objektweite (auch: Gegenstandsweite) und sb Bildweite genannt. Ein vom Objektpunkt O auf der optischen Achse ausgehender Lichtstrahl lo fllt auf die Linsenoberflche ein. Das Dreieck optische Achse, Krmmungsmittelpunkt U der lichtbrechenden

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2.1 Optik

Grenzflche K und Einfallpunkt auf der Linse bildet den Winkel (s. Abb. 5). Der gebrochene Strahl lb geht durch den Bildpunkt B. Wird in B ein Schirm positioniert, so wird der Objektpunkt O auf dem Schirm abgebildet. Der von Strahlen, die nahe der Achse einfallen, zurckgelegte Weg ist nherungsweise so gro wie die Gegenstands- bzw. Bildweite (lo~so und lb~sb). Fr die so genannten paraxialen Strahlen ist die Linearisierung sin()~ zulssig. Fr eine Linse vernachlssigbarer Dicke mit zwei brechenden Oberflchen K1 und K2 in einem homogenen Medium mit Brechungsindex no gibt Gleichung (2.3) die Relation zwischen Bild- und Gegenstandsweite an. Nach Konvention ist eine Krmmung dann positiv, wenn das Krmmungszentrum rechts der Flche liegt. Fr die Herleitung des Zusammenhangs siehe [HEC01].

1 1 nb - n o + = s o sb n0

1 1 K - K 1 2

(2.3)

Wenn ein Strahl im Objektraum, d. h. vor dem System, parallel zur optischen Achse einfllt, dann wird er scheinbar an der bildseitigen Hauptebene gebrochen und geht von dort im Bildraum durch den bildseitigen Brennpunkt. Entsprechend wird ein Strahl, der durch den objektseitigen Brennpunkt geht, scheinbar an der objektseitigen Hauptebene gebrochen und ist im Bildraum achsparallel. Die Distanz f von der Hauptebene zum Brennpunkt wird als (paraxiale) Brennweite bezeichnet. Die Hauptebenen liegen nach einer Faustregel fr dicke symmetrische Linsen um ein Drittel der Linsendicke auseinander ([HEC01]). Gleichung (2.4) ist fr no=1 als Linsenschleiferformel bekannt.

1 nb - no = f n0

1 1 K - K 1 2

(2.4)

Die dioptrische Wirkung ist die Inverse der paraxialen Brennweite f fr das jeweilige Umgebungsmedium und Licht mit einer Wellenlnge von 546,07 nm. Die Brechkraft (oder auch Brechwert) D ist das Inverse von f (Einheit Dioptrien [dpt]=[1/m]). Die effektive Brennweite ist die an der realen Optik gemessene Brennweite. Sie gibt die Distanz an, in welcher der Brennpunktdurchmesser minimal wird (Definitionen nach [EN11979]). Da nur der erste Term der Sinus-Reihenentwicklung fr die Herleitung verwendet wird, ist dieser Spezialfall der geometrischen Optik als optische Theorie erster Ordnung bekannt. Die Vereinfachung ergibt, dass sich alle von einer Punktlichtquelle ausgehenden Strahlen hinter der Linse wieder in einem Punkt treffen. Es gibt deshalb keine Abbildungsfehler (Ausnahme Defokus, siehe unten). Sphrische Aberration und andere Abbildungsfehler Unter Bercksichtigung des Sinusterms dritter Ordnung ( sin (j ) ~ j -

j3 ) kann Gleichung (2.3) zu 3!

Gleichung (2.5) entwickelt werden ([HEC01]). Nach Gl. (2.5) nimmt die Brennweite fr einfallende Strahlen quadratisch mit der radialen Entfernung h zur optischen Achse zu.

n n o nb nb - n o + = + h2 o s o sb K 2so

1 1 n + + b s 2so o K

2

2 1 1 - K s o

(2.5)

2.1 Optik

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Strahlen, die von der optischen Achse entfernt auf die optische Grenzflche fallen, werden strker gebrochen und kreuzen vor den achsnahen Strahlen die optische Achse (siehe Abb. 6). Das fhrt zu einer charakteristischen kreisfrmigen Aufweitung eines abgebildeten Punktes in der Bildebene. Der so entstandene Abbildungsfehler ist als positive sphrische Aberration bekannt. Die kreisfrmige Aufweitung von Gegenstandspunkten im Bild fhrt zu einer unscharfen Abbildung. Trotz der Tatsache, dass sphrische Linsen sphrische Aberrationen aufweisen, sind die meisten Optiken aus diesen leicht und billig zu fertigenden Linsen aufgebaut. Die aus sphrischen Linsen aufgebauten optischen Systeme werden durch geeignete Anordnungen von Linsen beugungsbegrenzt ausgelegt.

Abb. 6: Sphrische Aberration.

Ein anderer, von Seidel ([SEI57]) erstmals beschriebener, Abbildungsfehler ist der Astigmatismus. Er umfasst Abbildungsfehler von Flchen, deren Krmmung nicht in alle Richtungen gleich ist. Es kommt zu strichfrmigen Aufweitungen des Bildpunktes. Defokus bedeutet, dass der Schirm, auf den abgebildet wird, sich nicht in der Brennebene befindet. Es kommt dann zu einer unscharfen Abbildung, die sich durch Verschieben des Schirms beheben lsst. Fazit Optische Aberrationen knnen bei einzelnen Linsen, je nach Form, grere Effekte haben als die Beugung des Lichtes am Linsenrand. Fr sphrische Linsen ist die sphrische Aberration ein Fehler, der mit der Aperturgre zunimmt. Beugungseffekte sind bei Linsen mit kleinerer Apertur ausgeprgt. In Systemen mit mehreren Linsen knnen die Aberrationen der einzelnen Linse kompensiert werden.

2.1.2 Raytracing zur StrahlengangsberechnungFr die rechentechnische Auswertung der optischen Eigenschaften elastischer Linsen ist ein geeignetes Berechnungswerkzeug notwendig. Abbildende optische Systeme bestehen aus Anordnungen von reflektierenden oder brechenden Flchen ([HEC01]). Sind fr ein optisches System Lage und geometrische Form der optischen Grenzflchen sowie die Brechzahlen der optischen Medien bekannt, knnen die Verlufe der Lichtstrahlen mit den Gesetzmigkeiten der geometrischen Optik (Gl. (2.2)) berechnet werden. Rechenprogramme, welche die Rechnungen automatisch ausfhren, werden als Raytracingsoftware bezeichnet. Oft sind in solchen Softwarepaketen noch zustzliche Werkzeuge wie Optimierungs- oder Analysepakete enthalten. Auch Beugungsberechnungen, die nicht mehr auf Methoden der geometrischen Optik beruhen, knnen in den Softwarepaketen enthalten sein.

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2.1 Optik

Um die Rechnungen ausfhren zu knnen, mssen die optischen Grenzflchen dem Raytracingprogramm als mathematisches Modell bergeben werden. Die optischen Oberflchen sind dabei nicht auf die Sphrenform beschrnkt. Fr eine zu definierende Anzahl von Strahlen werden dann die Verlufe berechnet. In vorliegender Arbeit werden smtliche Optikberechnungen mit dem Softwarepaket ZEMAX ([ZEM04]) ausgefhrt.

2.1.3 Mglichkeiten zur Bewertung einer optischen QualittFr die Bewertung von Intraokularlinsen existiert eine eigene Norm ([EN11979]), welche die optische Abbildungsqualitt ber die Modulationstransferfunktion misst. Es werden dort Mindestanforderungen beschrieben. In dieser Arbeit wird ein skaliertes Labormuster (Mastab 1:2,4) untersucht. Da der Beugungseffekt mit zunehmender Apertur geringer wird, die Aberrationen jedoch zunehmen, hat die fr die signifikant kleineren IOLs ausgelegte Norm in Bezug auf skalierte Labormuster nur eine beschrnkte Aussagekraft. Zustzlich wird fr eine bersichtliche Darstellung fr verschiedene Brennweiten eine skalare Kennzahl bentigt. Deshalb wird ein Bewertungskriterium unter verschiedenen Alternativen ausgewhlt. Die entsprechenden Begriffe werden unten erklrt. Wellenfrontaberration Zur Beschreibung von Abbildungsfehlern an realen Optiken haben sich Wellenfrontaberrationen durchgesetzt. Um eine punktfrmige Abbildung zu erzielen, muss eine Wellenfront in der Ausgangsffnung des optischen Systems eine sphrische Form besitzen. Lokale Phasenverschiebungen der Wellenfront im Bezug auf die Sphrenform werden als Wellenfrontaberrationen bezeichnet. Die Form der Wellenfrontaberration wird in der Austrittspupille des optischen Systems ausgewertet. Wellenfrontaberrationen fhren zu einer endlichen Ausdehnung von abgebildeten Objektpunkten. Im Allgemeinen kann von einer Grenzflchengeometrie nicht direkt auf die resultierenden Wellenfrontaberrationen geschlossen werden. Das ist nur mit Berechnungen ber die Gesetze der geometrischen Optik mglich. Die Gre der Aberrationen wird als rumlicher Weg oder in Vielfachen der Wellenlnge angegeben. Als skalare Kennzahl kann die Angabe der mittleren quadratischen (root mean square, RMS) Wellenfrontaberration oder der maximalen Abweichung dienen. Die Gestalt von Wellenfronten kann z.B. durch eine Entwicklung mit Zernikepolynomen beschrieben werden. Punktspreizfunktion und Transferfunktion Eine perfekte Abbildung durch ein optisches System berfhrt die von einer Punktlichtquelle ausgehenden Strahlen wieder in einen Punkt im Bildraum. Jede endliche Ausdehnung des abgebildeten Punktes im Bildraum fhrt zu einem Verlust an Informationen. Beugungsphnomene und Aberrationen des optischen Systems knnen Ursachen hierfr sein ([HEC01]). Die fr ein System charakteristische Intensittsverteilung einer abgebildeten Punktlichtquelle in der Bildebene (vgl. Abb. 7) wird als Punktspreizfunktion (engl. point spread function, PSF) bezeichnet. Die PSF gibt die Wirkung des Systems auf eine im Gegenstandsraum lokalisierte Punktlichtquelle wieder.

2.1 Optik

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Abb. 7: Punktspreizfunktion. [HEC01]

Die PSF des optischen Systems lsst sich direkt aus Messungen auf einer optischen Bank feststellen oder mit Kenntnis der Wellenfrontaberration und der Transmissionseigenschaft des optischen Systems berechnen (siehe auch [HEC01], [SMI98], [TAM83], [GOO88]). Zwei Punktlichtquellen in der Gegenstandsebene erzeugen in der Bildebene zwei rumlich getrennte PSF. Nhern sich zwei Lichtquellen einander an, so berlagern sich die Intensittsverteilungen der PSF in der Bildebene allmhlich, bis anhand des Bildes nicht mehr feststellbar ist, ob es sich um eine oder zwei Lichtquellen handelt. Der Abstand, unter dem gerade noch ein Unterschied zwischen den Lichtquellen feststellbar ist, wird als die Auflsung des Systems bezeichnet. Es gibt verschiedene Definitionen, jedoch gilt immer: je schmaler die PSF, desto hher die Auflsung ([HEC01]). Als mathematisch exakte Beschreibung der Auflsung wurde die Modulationstransferfunktion eingefhrt (MTF). Gemessen wird die bertragung einer sinuswellenfrmigen Modulation des Objektkontrastes (Raumfrequenz, Einheit oft CPD Cycle per Degree ) in den Bildkontrast. Die relative Abschwchung des Kontrastes im Bildraum gegenber dem Objektraum in Abhngigkeit von der Frequenz wird mit der Modulationstransferfunktion dargestellt. Kontrast bezeichnet das Verhltnis von Modulationsamplitude zu Intensittsmaximum [HEC01]. Die MTF, dargestellt ber der Raumfrequenz, ist ein hufig genutztes Diagramm, um das optische Verhalten eines Systems darzustellen. Aufgrund einer eventuellen Asymmetrie des Systems muss die Orientierung der Linienpaare bercksichtigt werden. Die optische Abbildungsqualitt wird bei IOLs nach der Norm EN ISO 11979 ([EN11979]) ber die Modulationstransferfunktion gemessen. Geometrische Punktspreizfunktion Die durch Methoden der geometrischen Optik ermittelte Verteilung der Durchstopunkte einzelner Lichtstrahlen in der hinteren Brennebene wird geometrische Punktspreizfunktion, oder auch Spot, genannt. Bei ausreichender Strahlendichte stellt er eine Annherung an die Intensittsverteilung der PSF ohne Bercksichtigung von Beugungseffekten dar. Ist die Wirkung der Beugung im optischen System auf die abbildenden Eigenschaften klein gegenber der Wirkung der optischen Aberrationen, kann ber die geometrische PSF eine Beurteilung des optischen Systems erfolgen ([SMI98]).

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2.1 Optik

Als skalare Kennzahl der PSF kann der mittlere quadratische (RMS-)Spotradius verwendet werden. Der RMS Spotradius bezeichnet die gemittelte quadratische Distanz aller Durchstopunkte zu einem Referenzpunkt. Als Referenzpunkt dient in der Arbeit der Durchstopunkt der Geraden, die durch Objektpunkt und Linsenmittelpunkt geht ([ZEM04]). Fazit Ist fr die untersuchte Linse der Einfluss der Abbildungsfehler signifikant grer als der Einfluss der Beugung, sollte die geometrische Punktspreizfunktion verwendet werden. berwiegen Beugungseffekte, wird die PSF verwendet. Um eine bersichtliche Darstellung fr verschiedene Brennweiten zu erhalten, wird als skalare Kennzahl der RMS-Spotradius berechnet. In der Arbeit werden Beugungseinflsse bei der Bewertung der elastischen Linsen nicht bercksichtigt.

2.1.4 Sphrische und asphrische Linsen fr AugenimplantateObwohl in der vorliegenden Arbeit eine einzelne Linse betrachtet wird, muss eine Integration in das System Auge prinzipiell mglich sein. Es soll deshalb ermittelt werden, welche Eigenschaften eine Linse zur Implantation im Auge aufweisen muss. Ermittelt wird, welche geometrische Form der Linse im Auge eingesetzt werden darf und wie stark die Brechkraftnderung sein soll. Hierfr wird das optische System Auge vorgestellt. Die zitierten Daten stammen aus [ZEI00], [GRE03], [BUR02], [HEC01]. Andere Quellen sind an der entsprechenden Stelle explizit angegeben. Aufbau Das menschliche Auge ist, wie in Abb. 8 zu ersehen, aufgebaut. An der Hornhaut (Cornea) findet die strkste Brechung von Lichtstrahlen statt, sie hat eine Brechkraft von 43 dpt. Nach Passage der Cornea wird der Strahlengang zunchst durch die Iris als natrliche Blende begrenzt. Der Durchmesser der lichtdurchlssigen ffnung der Iris (Pupille) kann von 2-9 mm variieren, abhngig von Alter, einfallender Lichtintensitt und Abstand des betrachteten Objektes. Durch die Linse werden die Strahlen auf die Retina (Netzhaut) gebndelt, in der die Sinneszellen zur Aufnahme des Lichtreizes liegen. Da das Auge ein natrlich gewachsenes Gebilde ist, weist es in Dimensionen und optischen Aberrationen eine ausgeprgte Abhngigkeit vom Individuum auf. Hieraus resultieren unterschiedliche Schwankungsbreiten der Dimensionen in den Literaturstellen.

Abb. 8: Aufbau des menschlichen Auges. [aug07]

2.1 Optik

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Auflsungsvermgen Die Empfindlichkeit des Auges wird nicht ausschlielich durch das optische System determiniert, sondern auch durch die Rezeptordichte auf der Netzhaut. Die Nerven, welche die Retina durchwachsen, gehren zum zentralen Nervensystem und stellen einen Teil des Gehirns dar. Zwar ist die ganze Netzhaut mit Sinneszellen bedeckt, die hchste Dichte konzentriert sich jedoch beim Menschen auf nur 0,02 Prozent der Netzhautflche und einen Durchmesser von 0,5 mm, die so genannte Fovea Centralis innerhalb der Makula (Gelber Fleck). Das entspricht etwa 2 Grad unseres rund 200 Grad umfassenden horizontalen Blickfeldes, auf denen am schrfsten gesehen wird. Durch die Augenbewegung werden immer andere Bereiche der Umgebung scharf abgetastet, das Gehirn setzt einzelne Bilder dann zu einem insgesamt scharfen Gesamtbild zusammen. Die Position der Fovea weicht um 5 von der optischen Achse ab. Die fr das Sehen zustndigen Sinneszellen haben in der Fovea eine Dichte von 157000 Sinneszellen pro mm, was einem mittleren Abstand von 2,49 m entspricht. Die Grenze der wahrnehmbaren Raumfrequenz liegt nach dem Nyquist-Theorem damit bei 58,8 CPD (Cycles per Degree). Durch die Abbildungsfehler des Auges wird diese Raumfrequenz bei normaler Abbildung so unscharf abgebildet, dass nur noch eine graue Flche wahrnehmbar ist. Ein realistischer Wert fr die Auflsung des menschlichen Auges liegt bei 37 CPD. Nach der Gl. (2.1) (mit =550nm, A=9 mm) wren 234 CPD beugungsbegrenzt mglich. Weitere die Auflsung limitierende Faktoren sind Streuung an kleinsten Teilchen im Auge, Beugung an der zusammengezogenen Iris sowie das Alter des Individuums und die Umgebungsbedingungen (v.a. Lichtintensitt). Siehe hierzu auch ([MAC01], [APP00]). Akkommodation Die Krmmung der im Kapselsack gelegenen Linse kann durch den Ziliarmuskel und die Zonulafasern, die ihn mit dem Kapselsack verbinden, gendert werden, so dass die Gesamtbrennweite des Auges auf unterschiedliche Gegenstandsweiten einstellbar ist. Die Brennweitenanpassung wird als Akkommodation bezeichnet und beseitigt den Defokusfehler, der durch eine nderung der Gegenstandsweite entsteht. Die Augenlinse weist einen inhomogenen Brechungsindex auf. Sie ist aus ca. 22.000 Schichten aufgebaut, deren Brechzahl vom Kern zu Mantel fllt (n=1.406..1.386). Die Brechkraft der Linse im Medium Kammerwasser ndert sich von 20 bis maximal 33 dpt. Da sich die Linse im Kammerwasser (n=1,336) befindet, ist sie relativ stark gekrmmt, wobei Vorder- und Rckseite nicht die gleiche Krmmung aufweisen. Die Augenlinse ist aufgrund ihres Wirkprinzips eine elastische Linse variabler Fokuslnge. Die in der vorliegenden Arbeit entwickelte Linse hat bezglich der mechanischen Eigenschaften nicht die Augenlinse als Vorbild, sondern wird, basierend auf einer Analyse eines mechanischen Modells, konzipiert. Aberrationen Das natrlich gewachsene menschliche Auge ist in seiner Abbildungsqualitt eingeschrnkt. Hermann von Helmholtz sagte zur optischen Qualitt des menschlichen Auges (z.B. in [HEC01]): "Wollte mir jemand ein optisches Gert mit solchen Fehlern anbieten, wrde ich es in aller Deutlichkeit zurckweisen. Eine solche Behauptung mag bertrieben erscheinen, da trotz der optischen Aberrationen des Auges das Sehen der wichtigste Sinn des Menschen bleibt. Viele Fehlsichtigkeiten knnen durch Sehhilfen korrigiert werden.

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2.2 Parameteridentifikation fr mathematische Flchen

Eine Aussage ber eine Linsenform fr ein Implantat muss die Aberrationen im menschlichen Auge bercksichtigen. Fr die Fertigung von Labormustern mit verfgbaren Mitteln ist eine sphrische Form wnschenswert. Es stellt sich die Frage, welche Aberrationen im Auge vorkommen und ob ein sphrisches Linsenimplantat ein ausreichendes Sehen ermglicht. Bei den blichen subjektiven ophtalmologischen Prozeduren kann der Grad des Defokus und des Astigmatismus subjektiv auf 0,25 dpt ermittelt werden. Das ist fr eine gute Sehfhigkeit ausreichend. Da die Augenlinse ersetzt werden soll, beschrnkt sich die Betrachtung in der Arbeit auf Aberrationen, welche durch die Cornea verursacht werden. Die isolierte Cornea weist fr den Groteil der Individuen einen schwcher gekrmmten Pol auf ([SAL99]). Deshalb fokussieren marginale (Rand-) Strahlen vor achsnahen Strahlen, die Cornea hat eine positive sphrische Aberration. Die Augenlinse kompensiert die sphrische Aberration teilweise ([ART98], [ART02]). Es wurden Konzepte vorgeschlagen, durch eine asphrische Formgebung von Intraokularlinsen die sphrische Aberration der Cornea zu korrigieren [PIE04].In der Norm EN ISO 11979 ([EN11979]) sind Anforderungen an die optische Qualitt von Linsenimplantaten fr das menschliche Auge definiert, die von sphrischen Linsenimplantaten erfllt werden (vgl. [iol07]). Es gibt im brigen durchaus auch kritische Stimmen, die vor einer Verschlechterung des Gesichtssinns durch asphrische Implantate warnen. Durch eine Verkippung des Implantates, welche durch den postoperativen Heilungsprozess oder durch eine ungengende Positionierung des Implantates verursacht werden kann, knnen sich die Eigenschaften gegenber sphrischen Linsen verschlechtern ([ALT04]). Bei der Auslegung der Linsengeometrie mssen ebenfalls die Schwankungen in der Augengeometrie (Krmmung der Cornea, Lnge des Augapfels) bercksichtigt werden, die heute durch Auswahl einer geeigneten Brechkraft des Linsenimplantates korrigiert werden. In [POR01] werden die Wellenfrontaberrationen des Gesamtauges von 109 Patienten ausgewertet. Die Auswertung zeigt, dass der Defokusterm fr 80 % der Wellenfrontaberrationen des Gesamtauges verantwortlich ist. Durch Nachregeln der Linsenbrechkraft mit einer sphrischen elastischen Linse liee sich also ein Groteil der Sehkraft wiederherstellen. Elastische Linsen fr Implantate knnten in verschiedenen (Ausgangs)Brechkrften realisiert werden. Fazit Ein Labormuster fr eine elastische Linse wird mit einer sphrischen Geometrie gefertigt. Das Gros der Intraokularlinsen besitzt eine solche Geometrie. Fr einen Einsatz im Auge soll eine Brechkraftnderung von 14 dpt erzielt werden. Die Brechkraft der menschlichen Augenlinse ndert sich von 20 bis maximal 33 dpt. Da das Labormuster gegenber dem Implantat skaliert ist und an Luft verwendet wird, ist dieselbe Oberflchenkrmmung wie im Auge nicht mglich. Die Ausgangsbrechkraft des Labormusters (an Luft) kann aber in derselben Grenordnung wie die der Augenlinse (in Kammerwasser) gewhlt werden. Im Gegensatz zu der elastischen Linse aus [PAT89c], das eine Konkavlinse vorstellt, werden in der Arbeit Konvexlinsen untersucht.

2.2 Parameteridentifikation fr mathematische FlchenEinerseits ist bei der rechnerischen Untersuchung der Eigenschaften von elastischen Linsen eine bertragung von Daten bezglich der Oberflchengeometrien aus dem mechanischen Modell in das optische Modell notwendig. Andererseits sollen Geometrien von am Institut gefertigten elastischen Linsen mit Simulationsergebnissen der Linsendeformation verglichen werden, auch hier ist mssen Informationen bezglich der optischen Oberflchen bertragen werden.

2.2 Parameteridentifikation fr mathematische Flchen

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In der Arbeit werden die Informationen ber die Oberflchengeometrien anhand von mathematischen Flchen transportiert. Der Informationsgehalt liegt dabei in den Parameterwerten der mathematischen Modelle von Flchen. In der Folge werden Werkzeuge vorgestellt, die bei der bertragung der Informationen verwendet werden.

2.2.1 Methoden der ParameteridentifikationUnter Parameteridentifikation (auch: Ausgleichsrechnung, Regression) wird in der Arbeit der Vorgang verstanden, die Parameter mathematischer Flchenmodelle aus gegebenen (Geometrie-)daten zu errechnen. Die Mathematik des Vorgangs stellt die Lsung eines berbestimmten linearen Gleichungssystems dar. In der Regel wird das Gleichungssystem ber ein Orthogonalisierungsverfahren (Gram-Schmidt, QR-Zerlegung) in ein bestimmtes lineares Gleichungssystem berfhrt und anschlieend mit den bekannten Verfahren (z.B. Gau-Seidel) gelst. Sehr bekannt ist die Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Hierbei wird die Lsung ber Nullsetzen der partiellen Ableitungen (sog. Normalengleichungen) erreicht. Es entsteht ein orthogonalisiertes Gleichungssystem. Wie unten anhand der Kugelgleichung gezeigt wird, kann oft durch geeignete Umformung ein nichtlineares in ein lineares Gleichungssystem berfhrt werden. Bei Geometriedaten, die fehlerhafte Werte enthalten knnen, ist es sinnvoll, in zwei Schritten vorzugehen. Erst erfolgt eine Elimination von unplausiblen Datenwerten (sog. Ausreier), dann in einem zweiten Schritt die Parameteridentifikation. Wichtige Parameter und verschiedene Verfahren der Identifikation wurden in [SHE06] fr die Arbeit ausgewertet. Fr die Einarbeitung in die Theorie und die Programmiertechnik wird [PRE92] empfohlen. Fazit Fr die Parameteridentifikation von mathematischen Flchen werden in der Arbeit Werkzeuge der Mathematik-Software Matlab verwendet. Die Orthogonalisierung erfolgt bei Matlab ber eine QRZerlegung ([MAT99]).

2.2.2 SphrenDie Berechnung von Ausgleichssphren ist zur Quantifizierung von Formabweichungen der elastischen Linse von der Sphrenform notwendig. Zur Bestimmung der Ausgleichssphre fr eine gegebene Menge von Geometriepunkten wird folgende in der Arbeit entwickelte Vorgehensweise vorgeschlagen. Gleichung (2.6) ist das dreidimensionale mathematische Modell einer Kugel mit Radius |K|=K und Zentrum U (wie in Abb. 9). Die Geometriepunkte PK liegen auf der Oberflche der Sphre.

PK - = UOder ausgeschrieben in Komponenten

(2.6)

PK ,1 K 1 U 1 PK , 2 - K 2 = U 2 P K U K ,3 3 3

(2.7)

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2.2 Parameteridentifikation fr mathematische Flchen

K e1 PK

U e3

e2

Abb. 9: Kugel mit Radius K und Zentrum U.

Wird die quadrierte Euklidische Vektornorm von Gl. (2.7) gebildet, fhrt das nach Umstellen auf die Gl. (2.9). So entsteht ein linearer Zusammenhang in U*. Die zu identifizierenden Parameter sind die Komponenten von U*.2

PK ,1 - K 1 PK , 2 - K 2 P - K 3 K ,3

U1 = U 2 U 32

2

(P

K ,1

2 - K 1 ) + (PK , 2 - K 2 ) + (PK ,3 - K 3 ) = U 12 + U 2 + U 32

2

2

(2.8)

2 PK2,1 + PK2, 2 + PK ,3

PK ,1 PK ,1 2 2 = 2U 1 2U 2 2U 3 K - U 12 - U 2 - U 32 14444444 244444444 PK ,1 4 3 U* 1

[

(

)]

(2.9)

Fr gegebene Geometriepunkte PL=[PL,1 PL,2 PL,3], die von der perfekten Sphrenform abweichen knnen, wird ber eine Parameteridentifikation U* so bestimmt, dass der mittlere quadratische Abstand zwischen Geometriedaten PL und der Ausgleichssphre minimal wird. Dazu werden in Gl. (2.9) statt PK die Geometriedaten PL eingesetzt. Fr N Punkte ergibt sich ein Gleichungssystem mit N Gleichungen. Mit Methoden der Parameteridentifikation kann das lineare Gleichungssystem gelst werden. Mit der vorgeschlagenen Vorgehensweise knnen die vier Komponenten von U* bestimmt werden. ber U* kann auf |K| und die drei Komponenten Ui der Kugelgleichung (2.7) zurckgerechnet werden. In der Arbeit wurden fr die Bestimmung von Ausgleichssphren fr Geometriedaten aus Messungen und Simulationen in Matlab entsprechende Skripte programmiert ( Spher efit$). Die Programmiertechnik ist ein Ergebnis der Arbeit.

2.2 Parameteridentifikation fr mathematische Flchen

20

2.2.3 ZernikepolynomeFr eine optische Beschreibung der elastischen Linsen im Raytracingprogramm ZEMAX wird ein Flchenmodell PZ, basierend auf Zernikepolynomen, verwendet. Zernikepolynome beschreiben eine nicht perfekte Linsenoberflche wesentlich genauer (d.h. mit mehr Parametern) als eine Ausgleichssphre. Zernike entwickelte in den 1940er Jahren ein Funktionensystem, um die Deformation von Wellenfronten mathematisch zu beschreiben. Die einzelnen Terme wurden ursprnglich Einheitskreispolynome genannt, weil sie ber einer normierten Kreisflche in Polarkoordinaten definiert sind. Es gibt mehrere Definitionen fr Zernikepolynome, die sich in Normierungsfaktoren und in der Indizierung unterscheiden. In der vorliegenden Arbeit wird die in [NOL76] eingefhrte Norm der University of Arizona verwendet. Das in der Arbeit verwendeten Raytracingprogramm ZEMAX ([ZEM04]) nutzt diese Norm. Eine Eigenheit der Norm ist die Einzelindizierung, an anderen Stellen sind Doppelindizierungen blich. Die Zernikepoynome Zi ber dem Einheitskreis ! [0..1] sind linear unabhngig ([NOL76]). Das macht sie fr eine Reihenentwicklung einer mathematischen Flche PZ besonders interessant. Zernikepolynome werden durch das Produkt eines radiusabhngigen Teils Z und eines winkelabhngigen Teils Z dargestellt. ist der azimutale Winkel im Bogenma. Der winkelabhngige Teil besteht fr ein gegebenes m und n aus geometrisch identischen Flchen, die jeweils um /2 um die Z-Achse verdreht sind ( geradeund ungeradePolynome , m0). Auerdem gibt es Zernikepolynome ohne winkelabhnigen Term (m=0). Die Zahl n gibt die Ordnung des radiusabhngigen Zernikepolynoms in an. m ist ein Parameter fr die Winkelfunktion und gibt die Anzahl der Perioden bei einem Umlauf an.

Z gerade,i (r ,q ) = 2 (n + 1) Z r ( r ) cos(mq ) m0 Z ungerade,i (r , q ) = 2 (n + 1) Z r ( r ) sin (mq ) m = 0 Z i (r ) = n + 1 Z r ( r )(2.10)

Die Radialpolynome Z in Gl. (2.10) werden ber dem normierten Radius aus Jacobipolynomen vom Grad n entwickelt (siehe [LIN99]). Der normierte Radius ist das Verhltnis Radialkoordinate XR ber maximal zugelassener radialer Koordinate Xmax.n-m 2

Z r (r ) =

( -1) k ( n - k )! r n- 2 k n+m n-m k =0 k! ( - k )! ( - k )! 2 2

(2.11)

r=

X X max

21

2.3 Mechanik gummielastischer Krper

Es gilt n, m nm0 (n-|m|)/2 .

Die Indizierung der Zernikepolynome erfolgt so, dass gerade Indices j mit geraden Winkelfunktionen Z und ungerade Indices j mit ungeraden Winkelfunktionen Z korrespondieren. Die Polynome werden nach aufsteigendem n sortiert und fr ein gegebenes n nach aufsteigendem m ([NOL76]). Das Flchenmodell PZ wird durch Summierung der Terme iZi gebildet, wobei die Zernikepolynome Zi mit einem so genannten Zernikeparameter i gewichtet sind.N

PZ = a i Z i (r , q )i =1

(2.12)

Oder in Vektorschreibweise

PZ = Z (r ,q )

(2.13)

Fr im Zylinderkoordinatensystem gegebene Geometriepunkte PL=[PL,R PL,T PL,Z], kann die Gleichung (2.14) ber eine Methode der Parameteridentifikation nach den Zernikeparametern i aufgelst werden.

PL , Z = Z(PL , R , PL ,T )

(2.14)

Fr die Arbeit wurden zur Identifikation von Zernikeparametern entsprechende Programme in Matlab entwickelt ( Punkte2Zernike2D , Punkte2Zernike3D , read_ANS$ ). Die Programmiertechnik ist ein Ergebnis der Arbeit.

2.3 Mechanik gummielastischer KrperZur Auslegung von elastischen Linsen, welche den geometrischen Anforderungen auch im verformten Zustand gengen, ist Wissen um die Mechanik elastischer Krper unumgnglich. Es sollen hier die Grundlagen vorgestellt werden, mit denen in Kapitel 3 ein mechanisches Modell der elastischen Linse erstellt wird. Die Phnomene des Beulens und Kriechens, welche beide die Stabilitt einer elastischen Linse beeinflussen, werden hier ebenfalls eingefhrt und mathematische Modelle zur Berechnung vorgestellt. Elastomere sind polymere Werkstoffe, die sich im Gebrauchstemperaturbereich entropieelastisch (gummielastisch) verhalten. Sie sind charakterisiert durch ein isotropes nichtlineares Verformungsverhalten mit Hystereseanteilen, welches je nach Elastomerart, Zustzen und Compoundierung stark unterschiedlich ist ([MOH92]). Im Sprachgebrauch sind fr Elastomer auch die Bezeichnungen Gummi oder Vulkanisat blich. Kautschuk ist ein Rohstoff, der durch hauptvalenzmige, weitmaschige Vernetzung zum Elastomer wird (Definitionen nach [DIN7724]).

2.3 Mechanik gummielastischer Krper

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2.3.1 Deformations- und SpannungszustandBevor ein Materialgesetz fr Elastomere vorgestellt wird, das einen Zusammenhang zwischen Spannungs- und Verformungszustand herstellt, soll eine mathematische Beschreibung von Spannungsund Deformationszustand eingefhrt werden. Als Verzerrung oder Deformation wird in der Physik die Vernderung der Lagebeziehungen von benachbarten krperfesten Punkten bezeichnet. Der Deformationszustand wird mit Hilfe des Streckungstensor(-feldes) (X) angegeben. Der Streckungstensor gibt an, wie sich fr ein kleines vektorielles Streckenelement dX bei einer Verformung Orientierung und Lnge ndern. Fr das verformte vektorielle Streckenelement dx nach Verformung gilt

dx = (X ) dX

(2.15)

bezeichnet einen definierten Deformationszustand. ber eine Diagonalisierung kann das Koordinatensystem entlang der grten Dehnungen orientiert werden. hat dann die Form

l1 = 0 0

0

l2 0

0 0 l3

(2.16)

Kartesische Koordinaten werden mit den Indices 1,2,3 in die drei Raumrichtungen bezeichnet. Zylinderkoordinatensysteme werden mit den Indices R, T, Z in die drei Raumrichtungen bezeichnet. Die Komponenten i (Streckungen) des Streckungstensors sind definiert als das Verhltnis der i-ten Komponente des vektoriellen Streckenelementes dX im verformten Zustand (dXi) und im unverformten Zustand (dxi)

li =

xi Xi

(2.17)

Das Materialverhalten von Silikongummi wird im technisch zulssigen Verformungsbereich als vollstndig inkompressibel angegeben ([TRE75], [KH00]). Insbesondere Elastomere ohne feste Fllstoffe gehren zur Teilgruppe inkompressibler Elastomere ([MSC00]). Die Determinante von fr inkompressible Materialien betrgt immer Eins.

l1l 2 l3 = 1

(2.18)

Der Spannungszustand im verformten Krper wird mit dem Spannungstensor(-feld) T(X) der wahren Spannung beschrieben. Da in den meisten Fllen nur die Ausgangsgeometrie eines Krpers bekannt ist, wird die Spannung auf den unverformten Krper bezogen und dann als nominelle oder technische Spannung bezeichnet. Wird die verformte Krpergeometrie als Basis zur Berechnung der Spannungen herangezogen, wird von den wahren Spannungen gesprochen. Mit Kenntnis des Deformationszustandes kann von der wahren zur nominellen Spannung umgerechnet werden. Der nominelle Spannungszustand wird mit dem Nominalspannungstensor(-feld) S(X) angegeben. Fr inkompressible Materialien gilt

S = -1 T

(2.19)

23

2.3 Mechanik gummielastischer Krper

Die Spannungen in Richtung der Hauptachsen werden mit si bezeichnet. In der Strukturmechanik, wo oft mit sehr harten Materialien (Stahl, Keramik, Beton) gearbeitet wird, sind die Dehnungen klein. Der Unterschied zwischen nomineller und wahrer Spannung spielt deswegen in der Auslegung nur eine untergeordnete Rolle. Einige Gummimaterialien knnen um mehr als 600 % gedehnt werden, der Unterschied zwischen nominaler und wahrer Spannung ist bei greren Verformungen signifikant. Deshalb muss bei Gummimaterialien zwischen tatschlicher und nomineller Spannung unterschieden werden. uere Krfte fhren nur dann zu einer Deformation und nicht zu einer Beschleunigung eines Krpers, wenn sie im Gleichgewicht stehen. Der Gleichgewichtszustand wird nach [OGD84] ber die kinematischen Euler-Gleichungen fr lineare Bewegungen beschrieben. Ist der Krper unbeschleunigt und greifen keine Volumenkrfte an, so gilt fr den Nominalspannungstensor S in einem rotationssymmetrischen Koordinatensystem

divS = 0

(2.20)

In einem rotationssymmetrischen, gleichfrmig belasteten Krper sind Terme auerhalb der Diagonalen von S Null ([OGD84]). Mit XR als radialer Ortskoordinate im unverformten Zustand ergibt sich fr Gl. (2.20) in einem Zylinderkoordinatensystem

dS R 1 + (sR - sT ) = 0 dX R X R

(2.21)

Das Erfllen der Gleichgewichtsgleichungen stellt eine notwendige Bedingung fr zulssige Spannungszustnde dar. Die hinreichende Bedingung ist die Fixierung des Krpers im Raum (keine Starrkrperbewegung). Formeln und Konventionen wurden aus [OGD84] bernommen.

2.3.2 Materialmodell fr GummielastizittFr die Modellierung der elastischen Linse wird ein Materialmodell der Gummielastizitt bentigt. Aus dem Materialmodell lassen sich zustzlich Aussagen ableiten bezglich der Senkung des Energieverbrauchs eines Aktors zur Linsenverformung. Fr Betrachtungen zum Thema Beulen und Zeitstandverhalten wird ein Bezug des in der Arbeit verwendeten Materialparameters zum Elastizittsmodul hergestellt. Hyperelastische Materialien Das Konstitutivgesetz als Modell fr das Materialverhalten stellt einen Zusammenhang zwischen Verzerrungs- und Spannungszustand dar. Der Spannungszustand S ist abhngig vom Deformationszustand

S = S( )

(2.22)

Elastizitt ist dann gegeben, wenn Deformationen reversibel ablaufen. Das kann fr lineare und nichtlineare Spannungs-Dehnungsverlufe der Fall sein. Elastomere, fr die ein reversibles nichtlineares Verformungsverhalten angenommen werden kann, werden als hyperelastische Materialien bezeichnet. Mit einem Modell, welches Spannungen direkt aus den Deformationen ableitet (Cauchysche Materialien), kann ein inkompressibles Material bei finiten Verformungen nicht modelliert werden (vgl. [SZA58], [ANS04]; [MSC00], [CRO99]). Es kommt bei einer Poissonzahl v nahe 0,5 zur

2.3 Mechanik gummielastischer Krper

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Division mit sehr kleinen Zahlen. Siehe zur Poissonzahl (auch: Querkontraktionszahl) in Anhang H und unten. Greensche Materialien bercksichtigen Inkompressibilitt explizit und knnen das Materialverhalten von hyperelastischen Materialien deshalb modellieren. Fr Greensche Materialien kann eine Verzerrungsenergie(-dichte) W() angegeben werden, welche nichtlinear vom Deformationszustand abhngig ist. Der Spannungszustand wird als Gradient der Energiedichte bezglich der Dehnungen ermittelt.

S=

dW ( ) dW ( ) = Sd d

(2.23)

Die Gleichung (2.23) muss nach [OGD84] um einen Term erweitert werden, wenn das Material einer Beschrnkung der Deformation unterliegt, z.B. bei Anisotropie oder inkompressiblem Materialverhalten. Im Fall eines inkompressiblen Materials wird ein konstanter Term zu Gl. (2.23) addiert. Hydrostatische Anteile p an der Spannung, welche die Verzerrungsenergie nicht vergrern, werden so bercksichtigt.

S=

W ( ) - p -1

(2.24)

Fr die Form der Verzerrungsenergiefunktion wurden verschiedene Anstze vorgeschlagen, einige der bekanntesten stammen von Mooney [MOO40], Rivlin [RIV48], Arruda und Boyce [ARR93], Killian [KIL81] und Yeoh [YEO90]. Gegenberstellungen und Tests finden sich in [JOH99] oder [MOH92]. Mooney und Rivlin benutzen die Invarianten des Verzerrungstensors zur Modellierung der Verzerrungsenergie. Rivlin schlgt das so genannte Neo-Hookesche Modell vor, welches eine Proportionalitt der ersten Invarianten des Streckungstensors und der Verzerrungsenergie vorsieht. Das Modell kann auch aus thermodynamischen Betrachtungen der Polymere analytisch abgeleitet werden. Durch die Form der Verzerrungsenergiefunktion knnen viele grundlegende Aspekte des nichtlinearen Verhaltens von hyperelastischen Materialien erklrt werden. [TRE75] ist eine vielzitierte Quelle zu Grundlagenuntersuchungen. In [JOH99] wird eine Reihenentwicklung der Verzerrungsenergie in Potenzen der ersten und zweiten Invarianten vorgeschlagen. In der vorliegenden Arbeit wird die dortige Nomenklatur bernommen, so dass der Materialparameter des Neo-Hookeschen Modells fr die erste Invariante erster Ordnung mit C10 benannt wird. Zur Auslegung der elastischen Linse fr ein knstliches Akkomodationssystem wird als Materialmodell eine Neo-Hookesche Verzerrungsenergiefunktion fr inkompressibles Material verwendet. Die Beziehung ist auch als einparametriges Mooney-Rivlin-Materialmodell bekannt.2 W = C10 (l2 + lT + l 2 - 3) R Z

(2.25)

Da es sich bei W um eine Energiedichte handelt und die Streckungen i dimensionslos sind, hat der Materialparameter C10 die Einheit [J/m] oder [N/mm]. Zur Identifizierung des Materialparameters sind Daten aus einem Zug- oder Druckversuch notwendig. Beim Wechsel auf ein Materialmodell mit mehreren Parametern muss fr jeden weiteren Parameter ein zustzlicher Belastungsfall getestet werden, vgl. z.B. [ANS04].

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2.3 Mechanik gummielastischer Krper

Der Parameter der Verzerrungsenergiefunktion C10 ist eine charakteristische Kenngre fr den Verformungswiderstand eines Materials und wird daher in der Arbeit als Festigkeit interpretiert. Mit dem Mooney-Rivlinschen Materialmodell kann ein mechanisches Modell der Linse aufgebaut werden. Ableitung von Aussagen bezglich des Energieverbrauchs eines Aktors Aus der Definition der Verzerrungsenergiefunktion Gl. (2.25) lassen sich bezglich der Anforderung eines geringen Energieverbrauchs des Aktors zwei Aussagen ableiten. Fr eine gegebene Deformation ist die aufzubringende Energie umso niedriger, je kleiner der Materialparameter C10 ist. Der Wert des Materialparameters C10 sollte deshalb mglichst niedrig sein. Fr einen gegebenen Materialparameter ist die aufzubringende Energie umso niedriger, je geringer die Deformation ist. Fr die notwendige Brechkraftnderung muss deshalb die Deformation minimal sein. Aus der ersten Aussage leitet sich die Forderung nach einem mglichst weichen Material ab. Aus letzterer Aussage leitet sich die spter formulierte Forderung nach einer mglichst groen Brechkraftnderung pro Verformung ab. Zusammenhang zwischen Elastizittsmodul und Mooney-Rivlin-Materialparameter In [LOV34] wird eine Proportionalitt zwischen dem Widerstand gegen Scherung (Schubmodul G) und dem Materialparameter C10 hergeleitet.

C10 = 1 G 2

(2.26)

Da Scherungen per Definition bei konstantem Volumen ablaufen, ist der Zusammenhang in Gl. (2.26) fr inkompressible Materialien zulssig. In der technischen Mechanik wird der Zusammenhang zwischen Schubmodul und Widerstand gegen Zug/Druck (Elastizittsmodul E) folgendermaen angegeben (z.B. in [SZA59]):

E = 2(1 + n ) G

(2.27)

Die Querkontraktionszahl v ist eine Materialkonstante. Sie beschreibt relative Dimensionsnderungen bei Deformation eines Krpers und dient als Mazahl fr Volumennderungen. Fr die in der Arbeit betrachteten inkompressiblen Elastomere ist die Querkontraktionszahl v gleich 0,5. Mit Gl. (2.26) und (2.27) ergibt sich fr den Elastizittsmodul E

E = 3 G = 6 C10

(2.28)

Der Zusammenhang zwischen Elastizittsmodul und Schubmodul ist nur eine Nherung, da fr die Querkontraktionszahl die Inkompressibilitt nur fr infinitesimale Verformungen gewahrt bleibt (vgl. Anhang H). Fr den Bereich kleiner Verformungen ist Gl. (2.28) jedoch als Annherung zulssig. Fazit Der Parameter der Verzerrungsenergiefunktion C10 charakterisiert die Festigkeit des Materials. Mit dem Mooney-Rivlinschen Materialmodell kann ein mechanisches Modell der Linse aufgebaut werden. Fr eine gegebene Deformation ist die aufzubringende Energie umso niedriger, je kleiner der Materialparameter C10 und je geringer die notwendige Deformation ist.

2.3.3 Hrte, Festigkeit und SteifigkeitElastomere werden im industriellen Einsatz oft nach ihrer Hrte, nicht nach der Festigkeit beurteilt, da die Hrteprfung eine einfache und schnelle Kontrolle des Materials erlaubt. Zur Beurteilung der

2.3 Mechanik gummielastischer Krper

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Festigkeit ist ein experimenteller Aufbau notwendig. Gerade bei Elastomeren mssen whrend der Herstellung des Materials aus den Ausgangsprodukten hufig die Eigenschaften kontrolliert werden, da chargenweise auch grere Unterschiede auftreten knnen. Auch in technischen Datenblttern wird ausschlielich die Hrte angegeben. Die Auswahl eines Materials muss deshalb anhand der Hrte getroffen werden. Nicht zu verwechseln sind Steifigkeit eines Krpers und Festigkeit des Materials. In der Arbeit wird unter Festigkeit eine Eigenschaft des Materials verstanden. Die Steifigkeit gibt an, wie ein Krper auf eine aufgeprgte Belastung mit Verformungen reagiert, es kommt hier der Aspekt der Krpergeometrie zur Festigkeit hinzu. Die Steifigkeit kann also ber die Geometrie und ber die lokale Festigkeit angepasst werden. Ist die Geometrie gegeben, stellt eine Variation der lokalen Festigkeit den einzigen Ansatz dar fr eine Anpassung der Steifigkeit. Zwischen Festigkeit (Schubmodul) und Hrte besteht nach [GOH03] ein qualitativer Zusammenhang. Mit zunehmender Hrte steigt die Festigkeit exponentiell an. Kennlinien zur Umrechnung der Hrte in eine Materialfestigkeit (wie z.B. in Abb. 10) geben einen Anhaltspunkt zur Einschtzung der Eigenschaften. Die Hrte kann das Materialverhalten qualitativ beschreiben, als Kennzahl wird sie fr viele technische Materialien verwendet. Die Verwendung einer aus Kurven (z.B. nach Abb. 10) abgeleiteten Festigkeit fr Berechnungen ist nicht zulssig. ber die Hrte kann eine Vorabschtzung der Festigkeit vorgenommen werden, die dann in Materialtests exakt ermittelt werden muss (vgl. Abschnitt 4.2.2).

Abb. 10: Schubmodul G in Abhngigkeit von der Hrte fr hochelastische Mischungen. [GOH03]

Die Shore-Hrte ist ein Werkstoffkennwert fr Elastomere und Kunststoffe und ist in den Normen DIN 53504 ([DIN53504]) und DIN 7868 ([DIN7868]) festgelegt. Das Kernstck des Shore-HrtePrfers besteht aus einem federbelasteten Stift aus gehrtetem Stahl. Dessen Eindringtiefe in das zu prfende Material ist ein Ma fr die entsprechende Shore-Hrte, die auf einer Skala von 0 Shore (2,5 Millimeter Eindringtiefe) bis 100 Shore (0 Millimeter Eindringtiefe) gemessen wird. Eine hohe Zahl bedeutet eine groe Hrte. Bei Weich-Elastomeren wird die Hrteprfung Shore A verwendet, der kegelfrmige Stahlstift hat eine abgerundete Spitze ([BOS03]). Bei der Bestimmung der Shore-Hrte

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2.3 Mechanik gummielastischer Krper

spielt die Temperatur eine hhere Rolle als bei der Hrtebestimmung metallischer Werkstoffe. Deshalb wird hier die Solltemperatur von 23 C auf das Temperaturintervall von 2 K beschrnkt. Die Materialdicke sollte im Bereich von 0 bis 50 Shore mindestens 9 Millimeter, bei hrteren Substanzen mindestens 6 Millimeter betragen. Optisch transparente Silikonelastomere sind verfgbar im Hrtebereich von 10 bis 80 Shore A ([WAC04b]), fr Kontaktlinsen werden Materialien von 35 bis 60 Shore A verwendet [POL05].

2.3.4 Freiheitsgrade mit Einfluss auf das DeformationsverhaltenWie in der Arbeit noch gezeigt wird (vgl. Abschnitt 3.3.4), ist es notwendig, in die Linsenmechanik einzugreifen, um das Deformationsverhalten der Linse positiv zu beeinflussen, d.h. die Formtreue bei der verformten Linse zu verbessern. Es werden im Folgenden Mglichkeiten aufgezeigt, wie sich die mechanischen Eigenschaften des elastischen Linsenkrpers manipulieren lassen. Fr die Argumentation werden noch einmal drei der obigen Gleichungen notiert.

dx = L ( X ) dXS= W ( L ) - pL-1 L

(2.15)

(2.23) (2.25)

2 W = C10 (l2 + lT + l 2 - 3) R Z

Wie in der Beziehung (2.15) zu sehen ist, ist die Geometrie des deformierten Krpers x bestimmt durch die Ausgangsgeometrie X und den aufgebrach