T.C SAKARYA ÜNĐVERSĐTESĐ

FEN EDEBĐYAT FAKÜLTESĐ MATEMATĐK BÖLÜMÜ

VEKTÖR TEORĐSĐNE GĐRĐŞ

BĐTĐRME ÖDEVĐ

HAZIRLAYAN Fatih KOÇER G0602.00030

DANIŞMAN Yrd. Doç. Dr. Murat SARDUVAN

Bu ödev ……/……/201.. tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Oybirliği / Oyçokluğu ile kabul / red edilmiştir.

Prof. Dr. Halim Özdemir Yrd. Doç. Dr. Murat Sarduvan Yrd. Doç. Dr. Mehmet Güner

Jüri Başkanı Üye Üye

ii

TEŞEKKÜR

Bu çalışmayı hazırlamamda bana yardımcı olan başta hocam Yrd. Doç. Dr.

Murat SARDUVAN’a, ev ve okul arkadaşlarıma ve her zaman yanımda olan, maddi ve

manevi tüm desteklerini benden esirgemeyen sevgili aileme sonsuz teşekkürlerimi

sunarım.

SAYGILARIMLA

Fatih KOÇER

iii

ĐÇĐNDEKĐLER

TEŞEKKÜR…................................................................................................... ii

ĐÇĐNDEKĐLER….............................................................................................. iii

BÖLÜM 1.

GĐRĐŞ ve TANIMLAR….................................................................................. 1

BÖLÜM 2.

VEKTÖR UZAYLARI..................................................................................... 3

BÖLÜM 3.

ALT VEKTÖR UZAYLARI………………………………………………..... 5

BÖLÜM 4.

LĐNEER BAĞIMLILIK VE BAĞIMSIZLIK .................................................. 7

BÖLÜM 5.

VEKTÖR UZAYININ TABANLARI………………………………………. 11

BÖLÜM 6.

VEKTÖRLERĐN ĐÇ ÇARPIMI VE ORTOGONALLĐĞĐ………………….. 16

BÖLÜM 7.

PROBLEM ÇÖZÜMLERĐ………………….………………………………... 20

KAYNAKLAR……………………………………………………………….. 32

BÖLÜM 1. GİRİŞ ve TANIMLAR

Vektörler matematiğin bir çok dalında özellikle de istatistikte önemli bir rol oynar.

Bu bölümde vektörleri, vektör uzaylarını, alt uzayların tanımlarını ve lineer cebirin

genelde başında değinilen bazı teoremleri ispatsız vereceğiz. En genel tanım

olmamasına rağmen bu kitapta aşağıdaki tanımı kullanacağız.

Tanım 1.1

( n -bileşenli) Vektör: n bir pozitif tamsayı ve 1 2, ,...,

na a a ler F kümesinin elemanı

olsun. Verilen

1

n

a

a

=

a ⋮

n -lisine bir n -boyutlu vektör denir. Bazen de 1n× lik vektör olarak adlandırılır. Biz

vektörleri küçük kalın harflerle göstereceğiz. Aksi belirtilmediği sürece F kümesi

reel sayılar kümesi olacak. Açıkçası a bir sütun vektör olacak, fakat biz sütun

kelimesini kullanmayacağız. a' (a nın transpozesi) matrisi ise satır vektörü ifade

edecek. 1n× lik vektör özel bir matris biçimidir, dikkat edelim ki matrisler için

geçerli olan tüm toplama, çıkarma, çarpma ve transpoze işlemleri aynı zamanda

vektörler içinde geçerlidir. Bir vektörün skalerle çarpımı bir matrisin skalerle

çarpımıyla aynıdır. (Aksi belirtilmediği sürece skalerle çarpma işlemi bir reel sayıyla

çarpma işlemi anlamına gelecek). Herhangi iki a ve b 1n× lik vektör olmak üzere,

iki a ve b skalerleri için çarpma işlemi şöyledir;

2

1 1

2 2

n n

aa bb

aa bba b

aa bb

+ + + =

+

a b⋮

Aslında, m n× lik vektörler için geçerli herhangi önerme ve teorem, 1m = iken 1n×

lik vektörler içinde geçerlidir.

BÖLÜM 2. VEKTÖR UZAYLARI

Sadece vektörden değil, vektörlerin vektör uzayları olarak adlandırılan belli bir

koleksiyonundan veya kümelerinden de bahsedeceğiz.

Tanım 2.1

Vektör Uzayı: nV n -bileşenli vektörlerin bir kümesi olsun, öyle ki

nV den alınan

herhangi iki vektörün toplamı yine nV de, ve

nV deki her vektörün bir skalerle

çarpımı da yine nV de oluyorsa, bu

nV bir vektör uzayı denir.

Not: Bu tanım gösteriyor ki, eğer 1n× lik vektörlerin kümesi toplama ve skalerle

çarpma işlemine göre bu nV kümesi vektör uzayıdır.

Teorem 2.1

n sabit bir pozitif tamsayı olmak üzere, nR 1n× lik vektörlerin kümesi olsun. Bu

durumda

[ ]{ }1 2: ' , , , ; , 1,2, ,

n n iR a a a a i n= = −∞ < < ∞ =a a … … ;

olarak tanımlanan nR bir vektör uzayıdır. Dolayısıyla reel sayıların tüm sıralı n -

lilerinin kümesi bir vektör uzayıdır. Geometrik olarak 1n× lik a vektörüne n -

boyutlu uzayda bir nokta ya da [ ]' 0,0, ,0=0 … orijin noktasını a noktasına

birleştiren bir doğru parçası olarak bakılabilir. Eğer 3n = ise, 3R genellikle 3 -

boyutlu geometrik uzay olarak düşünülür. İstatistikte genellikle nR deki alt uzaylarla

ilgileneceğiz. Ancak bu alt uzayların belli koşulları sağlamasını istiyoruz. Örneğin; 3R

te [ ]' 1, 1,0= −a olacak şekilde 0 ve a noktalarını birleştiren doğruyu ele alalım.

4

Sezgisel olarak, her λ reel sayısı için λa noktası bu doğru üzerindedir ve doğru

üzerindeki her nokta λ reel sayı olmak üzere λa tarafından temsil edilir. Bu

durumda doğru L kümesi olarak tanımlanır, şöyle ki;

( ){ }1 2 3, , : ;x x x Rλ λ= = ∈x aL

Aynı zamanda [ ]' 0,1,1=a , [ ]' 1, 2,1=b , [ ]' 0,0,0=0 noktalarının oluşturduğu

düzlem P kümesi olarak tanımlanır, şöyle ki;

( ){ }1 2 3 1 2 1 2, , : ; ,x x x R Rλ λ λ λ= = + ∈ ∈x a bP

Herhangi iki 0

1λ ve 0

2λ reel sayıları için 0

x noktası, 0 0

1 2λ λ= +0

x a b olacak şekilde a ,

b ve0 ın oluşturduğu P düzlemi üzerindedir. Dolayısıyla doğru ve düzlem 3R teki

belli vektörlerin lineer kombinasyonu şeklinde gösterilebilir. Vektörlerin lineer

kombinasyonlarının önemli olduğu başka birçok durum vardır, öyleyse önümüzdeki

birkaç konuyu bu durumlara ayıralım.

Not : 3n = için

0

1

1

=

a ,

0

1

1

= −

b

vektörlerinden Tanım 2.1’e göre

1

0

0

=

c

vektörünü içermeyen bir vektör uzayı oluşturulabilir. Ancak her 3 1× lik vektörü

içeren 3R vektör uzayı kuşkusuz 3n = için vektör uzayı değildir.

BÖLÜM 3. ALT VEKTÖR UZAYLARI

İstatistikte genellikle n pozitif tamsayısı için nR i bir temel vektör uzayı ve her n -

bileşenli vektör bu kümenin elemanı olacak şekilde ele alacağız. Bundan sonra nR

dediğimizde Teorem 2.1’ de tanımlanan vektör uzayını kastedeceğiz. Ancak n -

bileşenli vektörlerin oluşturduğu temel vektör uzayı nR ile değil, bunun yerine

nV ,

nS gibi sembollerle gösterilecek.

Genellikle alt kümesi vektör uzayı olan, nV vektör uzayının bir altkümesini ele

alacağız.

Tanım 3.1

Alt Uzay: nS ,

nV vektör uzayında bir alt vektör kümesi olsun.

nS kümesi bir vektör

uzayı ise, nS ye

nV (vektör) uzayında bir alt (vektör) uzayı denir.

nV vektör bir alt vektör kümesi

nS in bir vektör uzayı olup olmadığını

belirlemek için aşağıdaki teorem kullanılabilir.

Teorem 3.1

nS ,

nV vektör uzayında bir alt vektör kümesi , öyle ki

nS den alınan her

1s ve

2s

vektörleri için 1 1 2 2a a+s s her

1a , 2a reel sayıları için

nS

de bir vektör ise,

nS

altvektör kümesi nV in bir altvektör uzayıdır.

Örnek 3.1

[ ]' 1, 1,1= −a ve her a reel sayısı için 'aa tarafından tanımlanan vektörlerin kümesi

3R ün bir alt uzayıdır. Her 1a ,

2a reel sayıları için [ ]1 2' , ,0a a=a vektörlerinin kümesi

6

de 3R ün bir alt uzayıdır. Fakat [ ]' 1,2=b ve her b reel sayısı için 'bb ile tanımlanan

vektörlerin kümesi 3R ün bir alt uzayı değildir, çünkü 'b , 3R ün elemanı değildir;

dolayısıyla 2R nin bir alt uzayıdır.

Not: [ ]3 1 2{ : ' , ,0 ; }i

V a a a R= = ∈v v vektör kümesi bir vektör uzayıdır ve 3 3V R⊂ tür;

bu da demektir ki 3V , 3R ün bir alt uzayıdır. Aynı zamanda

[ ]3 { : ' 0, ,0 ; }S a a R= = ∈s s

vektör kümesi bir vektör uzayıdır ve 3 3S V⊂ tür ; böylece 3S , 3V ün bir alt uzayıdır.

Aynı zamandan 0 vektörü de kendi başına bir vektör uzayıdır. Bu nedenle

{ } 3 3 3S V R⊂ ⊂ ⊂0 tür.

[ ]3* { *: * ' ,0,0 ; }S a a R= = ∈s s de bir vektör uzayıdır ve 3V ve 3R ün bir alt uzayıdır,

fakat 3 *S , 3S ün bir alt uzayı değildir. [ ]1 0,1,2=u ve [ ]2 0,2,0=u vektörlerinin

oluşturduğu { }1 2,U = u u kümesi 3V , 3S , 3R ün bir alt kümesidir, ancak bir alt uzayı

değildir.

Teorem 3.2

{ }0 kümesi, 0 1n× lik vektör iken tüm nV vektör uzaylarının bir alt vektör uzayıdır.

Her nV uzayı da kendisinin bir alt vektör uzayıdır.

BÖLÜM 4. LİNEER BAĞIMLILIK ve BAĞIMSIZLIK

n -bileşenli vektörlerin kümesinde çalışırken, bazı vektörlerin diğer vektörlerin

lineer kombinasyonu şeklinde olup olmadığına karar vermek önemlidir. Bunu

yapabilmek için vektör kümesinin lineer bağımlılığı ve bağımsızlığı hakkında tanım

ve teoremler gereklidir.

Tanım 4.1

Lineer Bağımlılık ve Bağımsızlık: ; 1,2,...,i nR i m∈ =v olmak üzere { }1 2

, ,...,m

v v v her

biri n -bileşenli m -vektörlerin bir kümesi olsun. Bu m -vektörlerin kümesinin lineer

bağımlı olması için gerek ve yeter şart { }1 2, ,...,

mc c c bir skalerler kümesi olmak üzere

1

0m

i i

i

c

=

=∑ v

iken, ic lerden en az birinin sıfırdan farklı olmasıdır. Ancak

ic lerin tümü sıfır ise,

vektör kümesi lineer bağımsız olarak tanımlanır.

Örnek 4.1

[ ]1' 1, 1,3= −v , [ ]2

' 1,1,1=v vektörlerinin kümesini ele alalım. 1 1 2 2c c+ =v v 0 olacak

şekilde 1c ve

2c skalerlerini seçelim.

1 2

1 1 0

1 1 0

3 1 0

c c

− + =

denkleminden

8

1 2

1 2

1 2

0

0

3 0

c c

c c

c c

+ =

− + =

− + =

denklemleri elde edilir ve tek çözüm 1 2

0c c= = dır. O halde 1v ve

2v vektörleri

lineer bağımsızdır. Fakat, [ ]1' 1,1,3=v ve [ ]2

4,4,12=v vektörleri1 2

4− + =v v 0

olduğundan lineer bağımlıdır. Aşağıdaki teoremlerde her bir vektörün n -bileşenli

olduğunu kabul edelim.

Teorem 4.1

n -bileşenli vektörlerin kümesi 0 vektörünü içeriyorsa, küme lineer bağımlıdır.

Teorem 4.2

m -vektör lineer bağımlı ise vektörlerden en az biri her zaman diğerlerinin lineer

kombinasyonu şeklindedir.

Teorem 4.3

{ }1 2, ,...,

mv v v vektör kümesinde, s m≤ olacak şekilde s -vektör lineer bağımlı ise m

-vektör kümesi de lineer bağımlıdır.

Teorem 4.4

{ }1 2 1, ,..., ,

m m+v v v v 1m + -vektör kümesi lineer bağımlı iken { }1 2, ,...,

mv v v m -

vektör kümesi lineer bağımsız ise 1m+v vektörü

1 2, ,...,

mv v v lerin bir lineer

kombinasyonu şeklindedir.

m -vektör aşağıdaki şekilde ifade edilir;

[ ]

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

, ,...,

m

m

m

n n nm

v v v

v v v

v v v

= =

V v v v ⋯⋮ ⋮ ⋮

fakat aşağıdaki şekilde de kullanılır;

9

11 12 1

21 22 2

1 2

.

m

m

n n nm

v v v

v v v

v v v

=

V ⋯⋮ ⋮ ⋮

O halde n m× boyutlu matrisin sütunları her biri n -bileşenli m -vektörden oluşur.

Diğer bir deyişle 'V matrisini sütunlarının her biri m -bileşenli n -vektörden oluşan

matris olarak ta gösterebiliriz. V ye n -bileşenli m -sütun vektörlü bir matris ya da

bir vektör matrisi diyeceğiz.

Not: Bu kitapta bir vektör matrisinden bahsettiğimizde aksi belirtilmediği sürece

matrisin sütunları tarafından oluşturulan vektör kümesini kastedeceğiz.

Teorem 4.5

1n× lik { }1 2, ,...,

mv v v vektörlerinin kümesinin lineer bağımlı bir küme olması için

gerek ve yeter şart vektör matrisinin rankının m -vektörlerin sayısından daha az

olmasıdır; yani r m< olmasıdır.

Teorem 4.6

1n× lik { }1 2, ,...,

mv v v vektörlerinin matrisinin rankı r ise, o zaman r , m den

küçük ya da eşit olmalıdır ve 0r > ise, kesinlikle bu vektörlerden r tanesi lineer

bağımsız olacak şekilde vardır ve bunların dışındaki her bir m r− vektör diğerlerinin

lineer kombinasyonu şeklindedir.

Teorem 4.7

1n× lik vektörlerinin kümesi { }1 2, ,...,

mv v v iken, m n> ise { }1 2

, ,...,m

v v v kümesi

her zaman lineer bağımlıdır.

Örnek 4.2

Aşağıdaki 1v ,

2v ,

3v vektörlerinin lineer bağımsız olup olmadığını gösteriniz.

10

1

1

1

0

1

= −

v ; 2

2

0

1

1

= −

v ; 3

0

2

1

1

− =

v

Teorem 4.5 ‘i kullanarak

1 2 0

1 0 2

0 1 1

1 1 1

− = − −

V

matrisinin rankının iki olduğu açıktır, dolayısıyla üç tane vektör olduğundan bu

vektörler lineer bağımlıdır; Teorem 4.6’dan dolayı iki tane lineer bağımsız vektör

vardır. Bu üç vektörden herhangi ikisi lineer bağımsızdır.

BÖLÜM 5. VEKTÖR UZAYININ TABANLARI

Bir nV vektör uzayında öyle bir alt küme belirlensin ki,

nV deki her bir vektör bu alt

kümedeki vektörlerin bir lineer kombinasyonu şeklinde yazılabilsin. Bu kümeye nV

vektör uzayını üretiyor veya geriyor denir.

Teorem 5.1

{ }1 2, ,...,

mv v v ,

nV de bir vektör kümesi olsun ve bu vektör kümesi V

1

: ;m

i i i

i

V c c R=

= = ∈

∑v v v

şeklinde tanımlanmış olsun. O zaman V , nV nin bir alt uzayıdır.

Bu teorem gösterir ki, nV deki vektörlerin herhangi bir kümesinden hareket

edersek V kümesini bu vektörlerin her olası kombinasyonu ile elde edilebilir ve V

kümesi, nV nin bir alt uzayı, kendisinin de bir vektör uzayıdır.

Tanım 5.1

Üreteç Vektörler: nV bir vektör uzayı olsun. eğer

nV deki her bir vektör,

{ }1 2, ,...,

mv v v kümesindeki vektörlerin bir lineer kombinasyonu ile elde

edilebiliyorsa bu { }1 2, ,...,

mv v v kümesinin

nV i ürettiği (veya gerdiği) söylenir.

nV uzayı 1 2, ,..., mv v v vektörleri tarafından (ve ya { }1 2

, ,...,m

v v v vektör

kümesi tarafından) üretilmiştir veya gerilmiştir denir. Dikkat edelim ki { }0 kümesi

(sadece sıfır vektöründen oluşan küme) bir vektör uzayıdır. Ayrıca her vektör uzayı

bir sıfır vektörü içerir ve sadece sıfırdan oluşan uzay dışındaki herhangi bir V vektör

12

uzayı için, bu V vektör uzayını geren bir çok küme vardır. Bu kümelerden lineer

bağımsız olanlara bir taban (kümesi) denir.

Tanım 5.2

Taban: nV uzayını geren { }1 2

, ,...,m

v v v kümesi nV içerisindeki lineer bağımsız

vektörlerin bir kümesi olsun, zaman bu kümeye nV in bir tabanı denir.{ }0 özel

vektör uzayı için 0 (lineer bağımsız olmasa bile) bir tabandır.

Genel olarak bir nV vektör uzayının tabanı tek değildir ve bundan dolayı

nV

için bir çok farklı taban mevcuttur. Ancak nV in herhangi bir tabanındaki

vektörlerinin sayısı tektir.

Teorem 5.2

{ }1 2, ,...,

mv v v , { }1 2

, ,...,q

u u u , nV in iki tabanı ise o zaman m q= dur, yani verilen bir

vektör uzayının herhangi iki tabanı aynı sayıda vektör içerir.

Ayrıca taban tek bir vektörden oluşmadıkça hiçbir taban 0 vektörünü

içermez bu durumda vektör uzayı tek bir vektörden oluşuyor ise sadece 0

vektörünün oluşturduğu vektör uzayıdır.

Tabandaki vektörlerin sayısına özel olarak boyut denir.

Tanım 5.3

Boyut: { }nV ≠ 0 bir vektör uzayı olsun.

nV in bir tabanındaki vektörlerin sayısı m

olsun. O zaman m , nV in boyutudur. { }0 vektör uzayının boyutu sıfır olarak

tanımlanır.

Not: Burada m n= olması şart değildir ama olabilir. Ancak m sayısı Teorem 4.7’den

dolayın den büyük olamaz .

13

Örnek 5.1

1

1

1

0

=

v ; 2

1

1

0

= −

v ; 3

1

0

0

=

v ;4

2

0

0

=

v

vektörleri tarafından gerilen vektör uzayı 3V olsun.

[ ]1 2 3 4, , ,=V v v v v matrisinin rankı iki olduğundan bu vektör uzayının boyutu ikidir.

Teorem 4.6’dan bu vektörlerden ikisinin oluşturduğu küme lineer bağımsızdır ve

diğer iki vektör bu iki vektörün lineer kombinasyonudur. Bu nedenle bu iki vektör 3V

vektör uzayı için bir taban oluşturur. Ancak her iki vektör lineer bağımsız değildir ve

bu nedenle her herhangi iki vektör 3V uzayını germez. Örneğin;

3v ve

4v ,

3V uzayını

germez, fakat { }1 2,v v ; { }1 3

,v v ; { }1 4,v v ;{ }2 3

,v v ;{ }2 4,v v kümelerinin her biri

3V

ün bir tabanıdır. Dikkat edelim ki; 1v ,

2v ,

3v vektörleri de

3V uzayını gerer, fakat

lineer bağımsız olmadıkları için bir taban oluşturmazlar.

nV vektör uzayındaki her vektör herhangi bir taban kümesindeki vektörlerin

lineer kombinasyonu şeklinde yazılabilir, bu vektörlerin tektürlü olup olmadığı

önemlidir. Bir sonraki teorem bu bağlamdadır.

Teorem 5.3

{ }1 2, ,...,

mv v v vektör kümesi

nV ( { }nV ≠ 0 ) vektör uzayının bir tabanı olsun ve v ,

nV

’deki herhangi bir vektör olsun.

1

m

i i

i

c=

=∑v v

şeklinde yalnızca bir tek { }1 2, ,...,

mc c c skalerler kümesi vardır. Diğer bir deyişle v

verilen taban için tek türlüdür.

14

Teorem 5.4

0r > , nV vektör uzayını geren

1 2, ,..., mv v v vektörlerinin matrisinin rankı ise, o

halde kesinlikle kümede r lineer bağımsız vektör vardır ve nV deki her vektör bu r

vektör tarafından tek türlü olarak ifade edilir.

Teorem 5.5

nV vektör uzayı m -vektörlerin kümesi tarafından geriliyorsa ve bu vektörlerin

matrisinin rankı r ise, o halde nV deki herhangi 1r + vektörün kümesi lineer

bağımlıdır.

Önceki konularda değindiğimiz gibi, bir nV vektör uzayı için genellikle birden

fazla taban vardır. Tabi ki 1B ve

2B ,

nV in iki tabanı ise 1B deki her vektör

2B deki

vektörlerin bir lineer kombinasyonu şeklinde olmak zorundadır ve aynı şekilde tam

terside olmak zorundadır. Şimdi bunu nV deki tabanların ilişkileriyle ilgili bir

teoremle açıklayalım.

Teorem 5.6

[ ]1 2, ,...,

m=V v v v bir matris ve bu vektörlerin bir kümesi

nV in bir tabanı olsun ve

1 2, ,...,

q = U u u u da

nV de herhangi bir vektör kümesinin oluşturduğu bir matris

olsun. U daki vektörlerin nV in bir tabanı olması için gerek ve yeter şart m q= ve

=U VA olacak şekilde bir nonsingüler m m× A matrisinin var olmasıdır.

Bu nedenle elimizde 1 2, ,..., mv v v leri içeren

nV in bir tabanı varsa, =U VA

formülü yardımıyla bunu { }1 2, ,...,

qu u u tabanına dönüştürebiliriz.

Teorem 5.7

1m > , { }1 2, ,...,

mv v v ,

nV vektör uzayının bir tabanı olsun ve v , nV de herhangi bir

vektör 1

m

i iic

==∑v v olacak şekilde mevcut olsun. Eğer bazı t ler için 0tc ≠ ise o

halde { }1 2 1 1, ,..., , , ,...,

t t m− +v v v v v v kümesi de nV in bir tabanı olur. Ancak 0tc = ise o

15

zaman { }1 2 1 1, ,..., , , ,...,

t t m− +v v v v v v lineer bağımlı olur ve bu nedenle nV in bir

tabanı değildir.

Not: Bu teoremi kullanarak tabandaki bir tv vektörünü v vektörüyle değiştirmek

mümkündür, fakat herhangi bir vektörle değiştirmek her zaman mümkün değildir.

Teorem 5.8

{ }1 2, ,...,

qv v v ,

nV ’deki lineer bağımsız vektörlerin bir kümesi olsun. O halde bu

küme nV ’in tabanının bir alt kümesidir.

BÖLÜM 6. VEKTÖRLERİN İÇ ÇARPIMI VE ORTOGONALLİĞİ

İki vektörün iç çarpımı ve ortagonallik’i vektör uzayı konusunda özellikle de istatistik

uygulamalarında önemli bir yere sahiptir.

Tanım 6.1

İç çarpım: x ve y , nV vektör uzayında iki vektör olsun. ⋅x y ile gösterdiğimiz x ve

y nin iç çarpımı 1

n

i iix y

=∑ olarak tanımlanır.

Not: İç çarpım ⋅ = ⋅x y y x olacak şekildedir. Aslında x ve y vektörlerini 1n×

matrisler şeklinde gösterirsek, o zaman 'x y 1 1× matris şeklindedir ve aşağıdaki

gibidir;

[ ]1

n

i i

i

x y=

= ⋅

∑ x y .

Dolayısıyla iç çarpım 1 1× lik 'x y matrisinin skaler elemanı olarak tanımlanır.

Tanım 6.2

Ortogonal Vektörler: x ve y , nV vektör uzayında iki vektör olsun. x ve y

vektörlerinin ortogonal vektörler olarak tanımlanması için gerek ve yeter şart iç

çarpımlarının sıfıra eşit olmasıdır.

Not: nV deki sıfır vektörüyle

nV deki her bir vektör ortogonaldir.

17

Tanım 6.3

Normal Vektörler: nV ’deki bir x vektörünün bir normal vektör olarak tanımlanması

için gerek ve yeter şart x ’in kendisiyle iç çarpımının bir skalerine eşit(yani [ ]' 1=x x )

olmasıdır.

Not: Genellikle ' =x y a yada [ ]' a=x y yerine ' a=x y şeklinde gösterimi

kullanacağız.

Aksi belirtilmediği sürece vektörün bileşenlerini reel sayı olarak kabul

edeceğiz ve 'x x ancak ve ancak =x 0 iken sıfır vektörüne eşit olacak.

nV in bir tabanında vektörlerin ikili ortogonal olması istenebilir. Bu her zaman

yapılabilir ve bu taban bir ortogonal taban olarak adlandırılır. Eğer buna ek olarak

tabandaki vektörler normal vektör ise, taban bir ortonormal taban olarak

adlandırılır.

Tanım 6.4

Ortogonal ve Ortonormal Tabanlar: Eğer { }1 2, ,...,

mv v v , 1,2,...,i j m≠ = için

' 0i j

=v v olacak şekilde nV

in bir tabanı ise, o zaman bu taban nV in bir ortogonal

tabanı olarak tanımlanır. Eğer, ek olarak 1,2,...,i m= için ' 1i i =v v ise taban

ortonormal taban olarak adlandırılır.

Teorem 6.1

Her vektör uzayı bir ortogonal tabana sahiptir.

Not: Bir vektör uzayının tabanı tek bir vektör içeriyorsa o zaman ona bir ortogonal

taban demeliyiz.

Teorem 6.2

{ }0 hariç her nV vektör uzayı bir ortonormal tabana sahiptir.

18

Teorem 6.3

{ }1 2, ,...,

mv v v ,

nV de bir vektör kümesi ve her bir farklı vektör ikilisi için ortogonal

olsun; yani i j≠ için ' 0i j

=v v olsun. Eğer vektörlerin hiç biri sıfır vektörü değil ise,

o zaman bu vektörlerin kümesi lineer bağımsız bir kümedir.

Teorem 6.4

nV ’deki q tane sıfır olmayan ikili ortogonal vektörlerin herhangi kümesi, nV ’in

tabanının bir alt kümesidir.

Teorem 6.5

{ }1 2, ,...,

qv v v , { }n

V ≠ 0 vektör uzayının bir tabanı olsun. O zaman { }1 2, ,...,

qz z z q -

vektörlerinin kümesi de nV in bir tabanıdır ve bir ortonormal küme oluştururlar.

iz ler aşağıdaki şekilde tanımlanır;

1

1 1 1

1 1

1 2 2

2 2 1 2

1 1 2 2

1 2 1

1 2 1

1 1 2 2 1 1

;'

';

' '

' ' ';

' ' ' '

q q q q q

q q q q

q q q q

−−

− −

= =

= − =

= − − − − =

yy v z

y y

y v yy v y z

y y y y

y v y v y v yy v y y y z

y y y y y y y y

⋮ ⋮

⋯

Örnek 6.1

Aşağıdaki 1v ve

2v vektörleri tarafından gerilen vektör uzayının bir ortonormal bir

tabanını bulunuz.

1

1

0

2

=

v ; 2

1

1

1

= −

v

19

[ ]1 2

1 1

, 0 1

2 1

= = −

V v v

matrisinin rankı ikiye eşit olduğundan, bu iki vektör lineer bağımsızdır ve dolayısıyla

bir tabandır. Bir ortonormal taban bulmak için Teorem 6.5’i kullanalım.

1

2

1

2

1

0

2

1 1 23 1

1 0 55 5

1 2 1

110

52

21

530

1

=

= − − = − −

=

= − −

y

y

z

z

1 2' 0=z z ,

1 1' 1=z z ,

2 2' 1=z z olduğu kolayca görülür ve dolayısıyla { }1 2

,z z iki

ortonormal vektörün kümesi olur. 1z ve

2z nin gerdiği vektör uzayının,

1v ve

2v nin

gerdiği vektör uzayıyla aynı vektör uzayı olduğunu göstermek için, 1v ve

2v nin her

birinin 1z ve

2z nin lineer kombinasyonu şeklinde olduğunu göstermeliyiz.

1 1

2 1 2

5

3 30

55

=

= +

v z

v z z

1z ve

2z ,

1v ve

2v nin gerdiği vektör uzayını gerdiğinden ve

1z ve

2z ortonormal

olduğundan lineer bağımsızdır ve bir tabandır.

BÖLÜM 7. PROBLEM ÇÖZÜMLERİ

1) 1

1

0

0

=

e ; 2

0

1

0

=

e ; 3

0

0

1

=

e

vektörlerinin 3R ’ün bir tabanı olduğunu

gösteriniz.

Çözüm: Bu vektörlerin bir taban olduğunu göstermek için lineer bağımsız

olduklarını ve 3R vektör uzayındaki her vektörün bu vektörlerin bir lineer

kombinasyonu olduğunu göstermemiz yeterlidir. Önce 1e ,

2e ,

3e vektörlerinin

lineer bağımsız olduğunu gösterelim.

3

1

1 1 2 2 3 3

0

0

0

i i

i

c

c c c

=

=

+ + =

∑ e 0

e e e

denklemini çözüldüğünde

1

2

3

0

0

0

c

c

c

=

=

=

elde edilir. Dolayısıyla 1e ,

2e ,

3e vektörleri lineer bağımsızdır. Şimdi de

3R ’teki

her x vektörünün 1e ,

2e ,

3e ’lerin lineer kombinasyonu biçiminde olduğunu

gösterelim.

1

2

3

x

x

x

=

x

21

vektörü

1

1 1 2 2 3 3 2

3

x

x x x x

x

= + + =

x e e e

şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla 1e ,

2e ,

3e vektörleri

3R ’ün bir tabanıdır.

2) Problem 1’i nR için genelleyiniz.

Çözüm:

1

1 1 2 2

0

0

0

n

i i

i

n n

c

c c c

=

=

+ + + =

∑ e 0

e e e⋯⋮

denklemi çözüldüğünde

1

2

0

0

0n

c

c

c

=

=

=

⋮

elde edilir. Dolayısıyla 1e ,

2e ,…, ne vektörleri lineer bağımsızdır. Şimdi de nR

teki her x vektörünün 1e ,

2e ,…,

3e lerin lineer kombinasyonu biçiminde

olduğunu gösterelim.

1

2

n

x

x

x

=

x⋮

vektörü

22

1

2

1 1 2 2 n n

n

x

xx x x

x

= + + + =

x e e e⋯⋮

şeklinde yazılabilir. Dolayısıyla 1e ,

2e , …, ne vektörleri nR in bir tabanıdır.

3) 3R ki herhangi bir [ ]1 2 3

' , ,x x x=x vektörü için 3

1 i iic

==∑x e olacak şekilde

1c

2c ,

3c skalerlerini bulunuz.

Çözüm:

1 1 2 2 3 3c c c= + +x e e e

ve

3

1

i i

i

c=

=∑x e

eşitliklerinden

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3x x x c c c+ + = + +e e e e e e

elde edilir. Bu durumda vektörlerin eşitliğinden

1 1

2 2

3 3

c x

c x

c x

=

=

=

olduğu görülür.

4) Problem 3’ü nR için genelleyiniz.

23

Çözüm:

1 1 2 2 n nc c c= + + +x e e e⋯

Ve

1

n

i i

i

c=

=∑x e

Eşitliklerinden

1 1 2 2 1 1 2 2n n n nx x x c c c+ + + = + + +e e e e e e⋯ ⋯

elde edilir. Bu durumda vektörlerin eşitliğinden

1 1

2 2

n n

c x

c x

c x

=

=

=

⋮

olduğu görülür.

5) 1 2

1 1 5

1 1 1; ;

0 1 2

1 0 3

− = = = −

v v v vektörleri verilsin. v vektörünün 1v ve

2v

vektörlerinin gerdiği uzayda olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

1 2

1 1 5

1 1 13 2 3 2

0 1 2

1 0 3

− − = − = = −

v v v

v vektörü 1v ve

2v nin lineer kombinasyonu olarak yazılabildiğinden

1v ve

2v

vektörlerinin gerdiği vektör uzayındadır.

24

6) 1 2 3 4

1 2 0 0

1 1 6 3; ; ;

1 1 2 1

0 0 0 0

− − − = = = =

v v v v

vektörlerinin lineer bağımlı olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

[ ]1 2 3 4

1 2 0 0

1 1 6 3, , ,

1 1 2 1

0 0 0 0

− − − = =

V v v v v matrisinin rankı 3 olduğundan bu dört

vektör lineer bağımlıdır.

7) Problem 6’daki vektörlerden iki lineer bağımsız vektörün bir kümesini

bulunuz.

Çözüm:

1 1 2 2

1 2

1 2 0

1 1 0

1 1 0

0 0 0

c c

c c

+ =

− + =

v v 0

Eşitliği sadece 1 2

0c c= = olduğunda sağlanır. O halde { }1 2,v v lineer bağımsız

bir vektör kümesidir.

8) [ ]' 1,1,0,1=v vektörünün Problem 6’daki dört vektörün gerdiği uzayda olup

olmadığını gösteriniz.

25

Çözüm: 1 1 2 2 3 3 4 4c c c c= + + +v v v v v eşitliğini sağlayan

1 2 3 4, , ,c c c c reel sayıları

yoktur. O halde v vektörü bu dört vektörün gerdiği uzayda değildir.

9) Problem 6 ‘daki 2v vektörünün diğer üç vektörün lineer kombinasyonu

olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

2 1 3 4

1 0 0 2

1 6 3 12 0 2 0

1 2 1 1

0 0 0 0

− − − = + − = + − =

v v v v

10) Problem 6’daki dört vektörün gerdiği uzayı geren iki taban bulunuz.

Çözüm:

[ ] [ ]1 1 4 2 2 3

1 0 2 0

1 3 1 6, ; ,

1 1 1 2

0 0 0 0

− − − = = = =

V v v V v v

Matrislerinin rankı iki ve [ ]1 2 3 4, , ,v v v v matrisinin rankına eşit oluğundan

{ }1 4,v v ve { }2 3

,v v kümeleri bu dört vektörün gerdiği uzayın iki farklı tabanıdır.

11) Problem 10’daki iki taban arasında geçişi sağlayan nonsingüler 2 2× lik A

matrisini bulunuz.

26

Çözüm:

[ ] [ ]1 1 4 2 2 3

1 0 2 0

1 3 1 6, ; ,

1 1 1 2

0 0 0 0

− − − = = = =

V v v V v v

2 1=V VA

denklemi çözüldüğünde 2 0

1 2

= −

A bulunur.

12)

1 2 3

1 2 3

1 ; 1 2

1 0 0

= = = −

v v v

vektörlerinin gerdiği uzayın bir ortonormal tabanını bulunuz.

Çözüm:

1

1 2

2

1 1

1 3 2 3

3

1 1 2 2

1

1

1

2 1 1'

1 1 0'

0 1 1

1

63 1 1' ' 1

2 1 0' ' 3

0 1 11

6

= −

= − = −

− = − − = − −

y

y vy

y y

y v y vy

y y y y

27

1

1

1 1

2

2

2 2

3

3

3 3

11

1' 3

1

110

' 21

1

6

1 1

3' 6

1

6

= = − −

= =

− = =

yz

y y

yz

y y

yz

y y

vektörleri ortonormal bir tabandır.

13) [ ]{ }4, 3 :S t t t R= + − ∈ olduğuna göre S kümesinin bir alt vektör uzayı olup

olmadığını gösteriniz.

Çözüm: S kümesi, 2R vektör uzayının boş kümeden farklı bir alt kümesidir. Bu

kümenin alt vektör uzayı olması için 2R nin sıfır vektörünü kapsaması gerekir.

Burada verilen küme sıfır elemanını içermez. Çünkü [ ] [ ]4, 3 0,0t t+ − = olacak

biçimde bir t reel sayısı bulunamaz. Bu nedenle S kümesi bir alt vektör uzayı

değildir.

14) Teorem 5.3’ün ispatını yapınız.

Çözüm: nV sıfır vektör uzayından farklı bir vektör uzayı ve { }1 2

, , , mv v v… de nV

vektör uzayının bir tabanı olsun. v nV de herhangi bir vektör iken

1

m

i i

i

c=

=∑v v

olacak şekilde yalnız bir tek { }1 2 2, ,c c c… skaler kümesi olduğunu gösterelim.

28

Aksine v vektörü 1

m

i i

i

c=

=∑v v ve 1

m

i i

i

k=

=∑v v şeklinde yazılabilsin.

O halde yukarıdaki eşitliklerden

1 1

1 1 2 2 1 1 2 2

m m

i i i i

i i

m m m m

c k

c c c k k k

= =

=

+ + + = + + +

∑ ∑v v

v v v v v v⋯ ⋯

elde edilir.

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 m m mc k c k c k− + − + + − =v v v 0⋯

ve { }1 2, , , mv v v… kümesi bir taban olduğundan lineer bağımsızdır. O halde

1 1

2 2

0

0

0m m

c k

c k

c k

− =

− =

− =

⋮

olması gerekir. Bu durumda bu denklemler çözüldüğünde

1 1

2 2

m m

c k

c k

c k

=

=

=

⋮

elde edilir. Böylece 1

m

i i

i

c=

=∑v v olacak şekilde yalnız bir tek { }1 2 2, ,c c c…

skalerler kümesi olduğu ispatlanmış olur.

15) [ ]{ }, 2 ,3 2 : ,S t s t s t s t s R= − − + − ∈ olduğuna göre S nin bir altvektör uzayı

olup olmadığını gösteriniz.

29

Çözüm: S kümesi 3R vektör uzayının bir alt kümesidir. c R∈ , S∈u , S∈v

olsun. [ ]1 1 1 1 1 1, 2 ,3 2t s t s t s= − − + −u ve [ ]2 2 2 2 2 2

, 2 ,3 2t s t s t s= − − + −v

biçimindedir. Böylece,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2, 2 ,3 2c t ct s cs t ct s cs t ct s cs+ = + − + − + + + + − + u v

olur. 1 2t ct k+ = ve

1 2s cs λ+ = diyelim. Buna göre

[ ], 2 ,3 2c k k kλ λ λ+ = − − + −u v bulunur. k ve λ birer reel sayı olduğundan

c S+ ∈u v olduğu apaçıktır. Bu durumda S bir alt vektör uzayıdır.

16) a ve b belirli reel sayılar olsun. 1p ile

2p reel sayılar cisminde değişkenler

olmak üzere 1 2

0ap bp+ = denkleminin çözümü olan [ ]1 2,p p ikililerinin

kümesi S ile gösteriliyor. S kümesinin 2R nin bir alt uzayı olup olmadığını

gösteriniz.

Çözüm: [ ]{ }1 2 2 1 2, : 0S p p R ap bp= ∈ + = yazabiliriz. S kümesinin herhangi iki u

ve v elemanını göz önüne alalım.

[ ]1 2,u u=u ve [ ]1 2

,v v=v biçimindedir. c R∈ için [ ]1 1 2 2,c u cv u cv+ = + +u v

olur.

( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

[ ]

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

ve , , 0 ve 0

0 ve 0

0

0

,

c R S c R au bu av bv

au bu c av bv

au bu cav cbv

a u cv b u cv

u cv u cv S

c S

∈ ∈ ⇒ ∈ + = + =

⇒ + = + =

⇒ + + + =

⇒ + + + =

⇒ + + ∈

⇒ + ∈

u v

u v

30

olur. Her c R∈ , her , S∈u v için c S+ ∈u v olduğundan S kümesi bir alt vektör

uzayıdır.

17) 1 2, , , na a a… belirli reel sayılar olduğuna göre

1 1 2 20n na p a p a p+ + + =⋯

denkleminin çözüm kümesinin nR in bir alt vektör uzayı olup olmadığını

gösteriniz.

Çözüm: Verilen denklemin çözüm kümesi S olsun.

[ ]{ }1 2 1 1 2 2, , : 0n n n nS p p p R a p a p a p= ∈ + + + =… ⋯ yazılabilir. S kümesinin

herhangi iki u ve v elemanını göz önüne alalım.

[ ]1 2, , , nu u u=u … ve [ ]1 2

, , , nv v v=v … biçimindedir.

c R∈ için [ ]1 1 2 2, , , n nc u cv u cv u cv+ = + + +u v … olur.

c+u v vektörünün 1 1 2 2

0n na p a p a p+ + + =⋯ denkleminin bir çözümü olduğu

gösterilirse c S+ ∈u v olduğu gösterilmiş olur. Gerçekten

( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 n n na u cv a u cv a u cv+ + + + + +⋯

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 20

0

n n n n

n n n n

n n

a u ca v a u ca v a u ca v

a u a u a u ca v ca v ca v

c a v a v a v

= + + + + + +

= + + + + + + +

= + + + +

=

⋯

⋯ ⋯

⋯

olur. Her c R∈ , her , S∈u v için c S+ ∈u v olduğundan S kümesi nR in bir alt

vektör uzayıdır.

18) 1 2

1 2;

1 1

− = = −

v v

vektörlerinin gerdiği uzayın bir ortonormal tabanını bulunuz.

Çözüm:

31

1

1 2

2

1 1

1

1

1 1

2

2

2 2

1

1

1

2 1 2 1' 3 2

1 1 1 1 1' 2

2

11

1' 2

1

221'

2

− =

− − − −

= − = − = − −

− = =

−

= =

y

y vy

y y

yz

y y

yz

y y

vektörleri ortonormal bir tabandır.

32

KAYNAKLAR

[1] ÇALIŞKAN, F., Lineer Cebir ve Uygulamaları, Birsen Yayınevi, İstanbul,

2011.

[2] GRAYBILL, F. A., Introduction to Matrices with Aplications in Statistics,

Wadsworth Publishing Company inc., California, 1969.

[3] HACISALİHOĞLU, H. H., Lineer Cebir I, Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi,

Beşevler, Ankara, 1996.

[4] SABUNCUOĞLU, A., Lineer Cebir, Nobel Yayınları, Ankara, 2004.

[5] TAŞÇI, D., Lineer Cebir, Gazi Kitapevi, Ankara, 2006.