VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

8/15/2019 VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

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VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DEPROBABILIDADES

HAMLET MATA MATA PROF. DE LA UNIVERSIDADPOLITÉCNICA DE EL TIGRE-VENEZUELA

http://hamletyestadisticaspss.jimdo.com/

Variable Aleatoria es una función que asocia un número real, perfectamentedefinido, a cada punto muestral. A veces las variables aleatorias (va) están yaimplícitas en los puntos muestrales.

EJEMPLO 1: Sea el evento, la experiencia relacionada con la medición de laestatura de 100 individuos. Un punto muestral (resultado de un experimento) esya un número (estatura). La va está implícita.

EJEMPLO 2: Sea el evento, lanzar una moneda 3 veces al aire. Si se representala cara con c y el sello con s, entonces el espacio muestral será:

Espacio Muestral = { ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss }

La probabilidad de cada suceso elemental es 1/8. Por ejemplo p( ccc ) = 1/8, yaque la probabilidad de sacar cara en una tirada es 1/2 según la definición clásica ylas tiradas son independientes.

DEFINIMOS LA VARIABLE ALEATORIA X: número de caras, que puede tomarlos valores {0, 1, 2, 3}. Se buscan todos los puntos muestrales que dan lugar acada valor de la variable y a ese valor se le asigna la probabilidad del sucesocorrespondiente.

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x Sucesos p x

0 {zzz} 1/8

1 {czz, zcz,zzc}

3/8

2 {ccz, czc,zcc}

3/8

3 {ccc} 1/8

En el caso de las variables discretas, como en el ejemplo, es una función que para

cada valor de la variable da su probabilidad.EJEMPLO 3. Sea el evento experimental, lanzar al aire 2 monedas. Se sabe que elespacio muestral de este experimento contiene 4 puntos muestra les.

S = {(c, c), (c, s), (s, c), (s, s)}, donde el primer elemento de cada par indica sise obtuvo cara (c) o sello (s) en la primera moneda, y el segundo lo mismo conrespecto a la segunda moneda. La probabilidad de cada punto muestral esentonces 1/4. Ahora bien, normalmente no estamos interesados en los puntosmuestrales, sino en cierta magnitud asociada con los puntos muestrales. Por Ej.Se podría estar interesado en el número de caras que hay en cada puntomuestral. Si definimos una variable X i como el número de caras en el puntomuestral si, X i tomará los valores X 1 = 2, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 0. Por lo tanto,Xi es una variable aleatoria.

Una variable X es una variable aleatoria si es una magnitud susceptible de tomardiversos valores con determinadas probabilidades. Es una regla que asocia unnúmero con cada evento simple en el espacio muestra de un experimento. Por logeneral, esta regla se simboliza por medio de las mayúsculas X, Yo Z.

DEFINICIÓN: Una variable aleatoria es una función que asocia un número

real a cada elemento del espacio muestral. O también, Una Variable Aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado enel espacio muestral de un experimento aleatorio.

Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de unexperimento aleatorio. Esta variable aleatoria puede ser discreta o continua. Sipuede tomar sólo un número limitado de valores, entonces es una variablealeatoria discreta. En el otro extremo, si puede tomar cualquier valor dentro de unintervalo dado, entonces se trata de una variable aleatoria continua.

La distribución de probabilidad X se describe por una fórmula que enuncia laprobabilidad como una función de x . Es decir, la distribución de X está especificadapor la función )()( x X P x f x . El subíndice de )( x f x revela la variable aleatoria deinterés. El subíndice se omitirá cuando no halla ninguna confusión sobre laprobabilidad del resultado. Puesto que )( x f x está definida como una probabilidad,

)( x f x es una función que va del conjunto de valores posibles de la variablealeatoria al intervalo [0, 1].

DEFINICIÓN: La función ,...3,2,1k ),xX(P)x(f k k x que va del conjuntode los valores posibles de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0, 1 ]


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recibe el nombre de función de probabilidad. Para una variable aleatoria)(, x f X x satisface las siguientes propiedades:

x

k x

k x

k k x

1)x(f ....3

,...0)x(f ....2

)xX(P)x(f .....1

Para todo x.

Se ha esgrimido el término experimento estadístico para representar cualquierproceso a través del cual se generan diversas observaciones al azar. Confrecuencia no interesan los detalles asociados con cada punto muestral, sino

simplemente alguna descripción numérica del resultado. Por ejemplo, el espaciomuestral que da una descripción detallada de cada uno de los resultados posiblesde los alumbramientos de una mujer en 3 ocasiones, pueden escribirse así:S = (Espacio Muestral) = {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}

Si lo que interesa es sólo el número de hembras que alumbra la mujer, entoncesse podría asignar un valor numérico de 0, 1, 2 ó 3 a cada uno de los puntosmuestrales.

Los números 0, 1, 2 y 3 son cantidades aleatorias que se determinan a través delresultado del experimento. Se podría pensar como los valores que toma algunavariable aleatoria X , que en este caso representa el número hembras que nacencuando la mujer tiene 3 alumbramientos.

DEFINICIÓN: Si un espacio muestral contiene un número finito de posibilidades ouna secuencia sin final con igual número de elementos que números enteros, sele denomina variable aleatoria discreta (espacio muestral discreto). A unavariable aleatoria se le denomina variable aleatoria discreta si su conjunto de

posibles resultados es contable. Las distribuciones discretas son aquellas enlas que la variable puede pude tomar un número determinado de valores.

Las variables aleatorias discretas representan datos que se refieren, talescomo el número de artículos defectuosos en una muestra de m de ellos o elnúmero de accidentes en carreteras por año en un estado determinado.

EJEMPLO: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira undado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar unvalor del 1 al 32.

El resultado de un experimento estadístico que puede no ser finito ni contable. Unejemplo de este paradigma ocurre cuando se produce una investigación paramedir las distancias que recorre cierta marca de automóvil en una distancia deprueba especificado con 5 litros de gasolina. Asumiendo que el trayecto es unavariable que se puede medir con cualquier grado de precisión, entonces resultaclaro que se tiene un número infinito de distancias posibles en el espacio muestraly que no puede igualarse al número de números enteros. Si se registrara tambiénla cantidad de tiempo en que se efectúa el recorrido de la diferentes marcas, danueva cuenta de los intervalos de tiempos posibles que conforman el espaciomuestral serian infinitos en número e incontables. Se observa con esto que notodos los espacios muestrales son necesariamente discretos.

DEFINICIÓN: Si un espacio muestral contiene un número infinito de posibilidades iguales al número de puntos que se encuentran en un segmento de


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línea, se le denomina variable aleatoria continua (espacio muestralcontinuo) . Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un númeroinfinito de posibles soluciones. Cuando una variable aleatoria puede tomar valoresen una escala continua, se le denomina variable aleatoria continua.

EJEMPLO: El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitosvalores dentro de cierto intervalo (42,37 kg, 42,3764 kg, 42, 376541kg, etc); laesperanza media de vida de una población (72,5 años, 7,513 años, 72, 51234años).

Con frecuencia, los valores posibles de una variable aleatoria continua sonprecisamente los mismos valores contenidos en el espacio muestral continuo. Tales el caso de aquella variable aleatoria que representa la distancia que ciertamarca de automóvil puede recorrer, en un camino de prueba, con 5 litros degasolina. En la mayoría de l os problemas prácticos, las variables aleatoriascontinuas representan datos medidos, tales como alturas, pesos, temperaturas,distancias o períodos de vida posibles.

Se puede especular en una variable aleatoria como un valor o una magnitud quecambia de un desarrollo a otra, sin seguir una secuencia predecible. Por ejemplo,en un hospital para tratamiento del cáncer de pulmón no se tiene manera desaber con exactitud cuántos hombres van a ser atendidas en un día cualquiera. Silos registros diarios del hospital indican que los valores de la variable aleatoria vandesde 100 hasta 115 pacientes diarios, entonces ésta es una variable aleatoriadiscreta.

Una variable aleatoria es discreta cuando únicamente puede tomar undeterminado número de valores en un intervalo. Por ejemplo, la variable aleatoriaN° de caras obtenidas al lanzar 2 monedas, es una variable aleatoria discreta enel intervalo (0,2). Solo puede tomar los valores 0, 1 y 2. Si el espacio muestralconsiste en un Conjunto discontinuo de sucesos, entonces una variable asociadacon ese conjunto se le llama discreta; de otra manera, se le llama continua. Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en unintervalo. Supongamos el experimento de lanzar una moneda hacia una líneamarcada en el suelo. Supongamos que la distancia máxima a que puede caer lamoneda de la marca es 1 metro (entendiendo como distancia la del centro de la

moneda a la línea). Si definimos una variable aleatoria X que represente esadistancia, X puede tomar cualquier valor en el intervalo [0,1].

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLESALEATORIAS

Una variable aleatoria es un evento numérico cuyo valor se determinamediante un proceso al azar. Cuando se asignan valores de probabilidad a todoslos datos numéricos posibles de una variable aleatoria X, ya sea mediante unlistado o a través de una función matemática, se obtiene como resultado unadistribución de probabilidad. La suma de las probabilidades para todos losresultados numéricos posibles debe ser Igual a 1.0. Pueden denotarse los valoresde probabilidad individuales mediante el símbolo f(x), lo cual implica que hayimplícita una función matemática; mediante P(x = X), lo cual implica que lavariable aleatoria puede asumir diversos valores específicos, o simplementemediante P(X).

Para una variable aleatoria discreta, se pueden enumerar todos los valoresnuméricos posibles de la variable en una tabla con las probabilidadescorrespondientes. Existen diversas distribuciones estándar de probabilidad quepueden utilizarse como modelos para una amplia gama de variables aleatorias

discretas en aplicaciones de negocios.


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Para una variable aleatoria continua no es posible enumerar todos los posiblesvalores fraccionarios de la variable y, por lo tanto, las probabilidades que sedeterminan a través de una función matemática se ilustran en forma gráficamediante una función de densidad de probabilidad o curva de probabilidad .EJEMPLO 1. En la Tabla A se muestra el número de camionetas que se hansolicitado para rentar en una arrendadora de automóviles, en un periodo de 50días. En la última columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas eneste periodo de 50 días. En la última columna de la tabla se incluyen lasfrecuencias observadas en ese periodo de 50 días, convertidas en probabilidad.Así, puede observarse que la probabilidad de que se hayan solicitado exactamentesiete camionetas en un día elegido al azar en ese periodo es de 0.20, y que laprobabilidad de que se hayan solicitado seis o más es de 0.28 + 0.20 + 0.08 =0.56.

Tabla B. Demanda diarios de arrendamiento de camionetasDurante un periodo de 50 días.

DemandasPosibles X

Número deDías

Probabilidad )( X P ValorPonderado )(. X P X

3 3 0.06 0.184 7 0.14 0.565 12 0.24 1.206 14 0.28 1.687 10 0.20 1.408 4 0.08 0.64

TOTALES 50 1.00 66.5)( X E

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLESDISCRETAS

Las variables aleatorias, son aquellas que se relacionan con la ocurrencia de un

fenómeno aleatorio. Cuando una de esas variables aleatorias toma diversosvalores, la probabilidad asociada a cada uno de tales valores puede ser organizadacomo una distribución de probabilidad , lo que se denomina distribución de lasprobabilidades asociadas a cada uno de los valores de la variable aleatoria. Lasdistribuciones de probabilidad logran representarse a través de una tabla, unagráfica o una fórmula, en cuyo caso tal regla de correspondencia se le denominafunción de probabilidad .

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETA: La variable aleatoria X se dice que esdiscreta si los números asignados a los sucesos elementales de E son puntosaislados. Sus posibles valores constituyen un conjunto finito o infinito numerable.Por ejemplo, supongamos el experimento consistente en lanzar tres veces unamoneda no trucada; si consideramos la variable aleatoria X = ”número de carasobtenidas en los tres lanzamientos”, los valores que puede tomar esta variablealeatoria son finitos (0,1,2,3).

Entonces, una variable aleatoria discreta adquiere cada uno de sus valores concierta probabilidad. En el proceso del lanzamiento de una moneda 3 veces, lavariable X, que representa el número de sellos, toma el valor 2 con unaprobabilidad de 3/8, puesto que 3 de los puntos muestrales igualmente probables

dan como resultado 2 sellos y 1 cara. Si se suponen arreglos iguales para loseventos simples del siguiente ejemplo:

http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu4-5.html#var_aleatoria#var_aleatoriahttp://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu4-5.html#var_aleatoria#var_aleatoria


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Un empleado de un depósito le regresa, en forma aleatoria, tres herramientas deseguridad, previamente revisados, a tres obreros de un taller. Si Saúl (S), Jesús(J) y Boris (B), en ese orden, reciben una de las tres herramientas, enumere lospuntos muestrales para los órdenes posibles de devolución de las herramientas ycalcule los valores b de la variable aleatoria B que representa el número deagrupaciones correctas.

SOLUCIÓN.- Si S, J y B representan las herramientas de Saul, Jesús y Borisrespectivamente, luego los arreglos posibles en los que podrían devolverse lasherramientas y el número de agrupaciones correctas serán:

b 3 1 1 0 0 1Espacio Muestral SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS

La probabilidad de que ningún obrero reciba de nuevo la herramienta que tenía,es decir, la probabilidad de que B tome el valor de cero, es 1/3. Los posiblesvalores b de B y sus probabilidades están dados por

b 0 1 3

P(B = b) 31

21

61

Obsérvese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello lasprobabilidades suman 1.

Con frecuencia, resulta conveniente representar todas las probabilidades de unavariable aleatoria X a través de una fórmula. Esta fórmula seria necesariamentefunción de los valores numéricos x, que se denotarán por f(x), g(x), r(x) y asísucesivamente. Por lo tanto, se escribe f(x) = P(X= x); es decir )3X(P)3(f . Alconjunto de pares ordenados (x, f(x)) se le denomina función de probabilidad odistribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.

DEFINICIÓN: El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una función deprobabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta Xsi, para cada posible resultado x,

.0)(.1 x f

.1)(.2 x f

).()(.3 x f x X P

EJEMPLO.- Un envió de ocho computadoras similares para un distribuidorcontiene tres defectuosas. Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos deesas computadoras, localice la distribución de probabilidad para el número decomputadoras imperfectas.

SOLUCIÓN.- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los númerosposibles de computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante. Luego, xpuede se cualquiera de los números 0, 1 y 2. Entonces:


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283

)2X(P)2(f .

,..2815

)1X(P)1(f ,..2810

)0X(P)0(f

8

2

5

0

3

2

8

2

5

1

3

1

8

2

5

2

3

0

Por lo tanto, la distribución de probabilidad de X es:

x 0 1 2f(x)

2810

2815

283

EJEMPLO: Analice la variable aleatoria X, como la cantidad de caras observadascuando se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral es el conjunto { CC , CS,SC , SS} y se puede observar que la variable X puede tomar como valores 0, 1 y 2.Calculando las probabilidades tenemos:

P (de no observar caras) = P (SS ) = P ( X =0) = ¼

P (de observar una cara) = P (SC o CS ) = P ( X =1) = 2/ 4

P (de observar dos caras) = P (CC ) = P ( X =2) = ¼

Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro:

Se alcanzará explicar por qué se usa el nombre "distribución de probabilidad". Conesta información se puede construir un histograma como el siguiente:

PROBLEMA

X 0 1 2P ( X = x ) ¼ 2/ 4 ¼


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Se Lanzan dos dados al aire. ¿Cuál es probabilidad de que la suma de los puntosen los dados sea menor que 8?

SOLUCIÓN: Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dosdados son equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienenla misma probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento, con treintay seis posibles resultados, se presentan a continuación:

Tabla 1. Espacio muestralresultante al lanzar dos dados

Como nos interesa la suma de los puntos observados, si obtenemos el resultado(3, 5) le asignamos el valor 8, correspondiente a la suma de 3 y 5. Podemoscalcular la probabilidad de que la suma sea igual a 8, contando todos losresultados donde la suma es ocho. El evento de que la suma es ocho contiene 5resultados: {(2,6), (3,5), (4,4), (5, 3), (6,2)}; por lo tanto la probabilidaddeseada es 5/36. Podemos repetir este proceso con cada uno de los resultadospara obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con latabla 2.

Tabla 2. Distribución de probabilidad del total delas sumas observadas al lanzar dos dados

Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Probabilidades 36

1 36

2 36

3 36

4 36

5 36

6 36

5 36

4 36

3 36

2 36

1

Hemos encontrado la distribución de probabilidad de los valores posibles de lasuma al tirar dos dados. Si R representa el resultado observado en el dado rojo yV el resultado que se observará en el dado verde, podemos expresar el valor quenos interesa así: X = R + V. Antes de lanzar los dados no sabemos qué valoresobservaremos para R y V, por lo tanto tampoco lo sabemos para X.

El valor que asumirá X puede variar de lanzada en lanzada, sujeto a la distribuciónespecificada en la tabla de arriba. Así X es una variable, que asume un númerofinito de valores sujeto a una distribución de probabilidad. Este es un ejemplo deuna variable aleatoria discreta. Otros ejemplos son las variables R y V. En general,si S es un espacio muestral con una medida de probabilidad P, definimos unavariable aleatoria como una función que asigna un número real a cada uno delos elementos de S.

Interpretamos, por ejemplo X = 8 como el evento de que se observó el resultado 8al lanzar los dos dados, es decir el evento {(2,6), (3,5), (4,4), (5, 3), (6,2)}ocurrió. También asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento. Así vemos queP(X=8) = P({ (2,6), (3,5), (4,4), (5, 3), (6,2)}) = 5/36= 0.14. Es usual denotarlas variables aleatorias por letras mayúsculas y los valores que puede asumir porletras minúsculas.

1 2 3 4 5 61 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,12 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,23 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,34 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,45 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,56 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6


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En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito devalores posibles. Cualquier variable que pueda asumir un número finito de valoresdecimos es una variable aleatoria discret a. También son variables aleatoriasdiscretas aquellas que pueden asumir un número muy grande o infinito de valoresque potencialmente podrían ser contados, tal como el número de habitantes delplaneta, el número de granos de maíz producidos en el planeta en una fechadeterminada, el número de los árboles de un país.

En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X, le asignamos un númerocorrespondiente a su probabilidad. Así podemos definir otra función:f(x) = P(X = x) , para cada número x en el campo de valores de la variable X. Esta

función se llama la función de probabilidad o distribución de probabilidad dela variable X. Para el ejemplo de la suma de los puntos al tirar dos dados, losvalores de esta función están dados en la Tabla 2, la cual se puede reescribirusando los conceptos estudiados.

Tabla 3. Distribución de probabilidad del totalde las sumas observadas al lanzar dos dados.

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

) x( f 361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero. Esto se debe a que f(x) representa una probabilidad, la cual nunca puede ser menor de cero. De igualmanera f(x) nunca puede ser menor de 1. Si sumamos todos los valores quepuede tener f(x) obtenemos 1, debido a que estamos sumando las probabilidadesde que la variable aleatoria asuma uno de los valores establecidos. Por sudefinición, la función de probabilidad tiene las siguientes características:1. 0 ) x( f para todo valor x en su dominio.

2. x

) x( f 1 ( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en

el dominio de f .

Los valores de la función de probabilidad se pueden representar en una gráficacomo la siguiente:


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Diagrama de la distribucion de probabilidadde la suma de dos dados

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Sumas de dos dados

P r o

b a

b i l i d a

d e s

La probabilidad de observar (En la grafica) un valor particular de la variablealeatoria, digamos X = 3 está dado por la altura de la barra sobre el 3, es decir,P(X = 3) = 2/36 = 0.056. De igual manera, en vez de asociar la altura de la barracon la probabilidad, podemos ver que el área de la barra sobre el 3 es 2/36 1= 2/36 = 0.056 ya que la altura de la barra es 2/36 y su ancho es 1. Usar el áreade las barras para representar la probabilidad es muy útil para extender la nociónde probabilidad a otras variables.

Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal comoP(X 4). Vemos que P(X 4) = P(X =2 ó X =3 ó X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) +P(X = 4) , ya que los eventos donde X = 2, X = 3 y X = 4 son disjuntos. EntoncesP(X 4) = 1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36, sumando las áreas de la barras que estánsobre el 4 y a su izquierda. Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades,ya que P(X 4) = 6/36, mientras que P(X< 4) = 3/26.

Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas, podemos definir otrafunción partiendo de la distribución de probabilidad. Si X es una variable aleatoriadiscreta, definimos la función de distribución de X o función de distribuciónacumulativa de X de la siguiente manera:

i x

i Para x f x X p x f ....),..()()(


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MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNADISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES

DISCRETAS

En una distribución de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media,utilizando la fórmula,

n

xf , donde, ( ) es la media de la población, la cual

puede expresarse comon

f X .

Considerando la definición de probabilidad de un evento, P ( X ) es el cociente de lafrecuencia entre el número total de eventos (probabilidad frecuencial deocurrencia), por lo que la media de una distribución de probabilidad de unavariable discreta es:

) x( P . x

POR EJEMPLO: Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas endos lanzamientos de monedas. Es decir, X tal que su distribución de probabilidadsea:

Entonces, para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operación:

141

.221

.141

.0)(2

0 x

x xP

Análogamente, la varianza se definió comon

x f 22 )( , y haciendo un

procedimiento semejante al anterior se tiene:

n f

) x( 22

Finalmente, la varianza de una distribución de probabilidad de unavariable discreta será:

Entonces, la desviación estándar de una distribución de probabilidad deuna variable discreta es:

) x( P ) x( 2

POR EJEMPLO: Considerando la misma distribución de probabilidad del ejemploanterior, su desviación estándar se calcula:

.... )( )( )( 2

2

2

1

4

1

4

1

4

11

2

10

4

11

4

112

2

111

4

110 222

X 0 1 2P ( X = x ) ¼ 2/ 4 ¼


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MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIASi se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el número de caras queocurren por lanzamiento, entonces los valores de X pueden ser 0, 1 y 2.Supóngase que en el experimento se obtienen cero caras 4 veces, una cara 7veces y dos caras 5 veces. El promedio de caras por lanzamiento de las dosmonedas es entonces

.06.116

)5)(2()7)(1()4)(0(

Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible delexperimento. Por ejemplo, el ingreso mensual promedio de un vendedor no esprobable que sea igual a alguno de sus cheques de pago mensuales.Reestructúrese ahora el cálculo para el número promedio de caras resultantes, demodo que tenga la siguiente forma equivalente

.06.1165

2167

1164

0

Los números 4/16, 7/16 y 5/16 son las fracciones del total de lanzamientos queresulta en 0, 1 y 2 caras, respectivamente. Estas fracciones son también lasfrecuencias relativas que corresponden a los diferentes valores de X en elexperimento. En efecto, se puede calcular entonces la media o el promedio de unconjunto de datos, si se conocen los distintos valores que intervienen y susfrecuencias relativas, sin conocimiento alguno del número total de observacionesen el conjunto de datos. Por consiguiente, si 4/16 ó 1/4 de los lanzamientosresultan 0 caras; 7/16, una cara; y 5/16, dos caras, el número medio de caras porlanzamiento seria 1.06, sin importar que el número total de lanzamientos sea de16, 1 000 o aun de 10 000.

Utilícese ahora este método de las frecuencias relativas para calcular a la larga elnúmero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podría esperarse.Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o mediade la distribución de probabilidad de X , y se representa como x , o

simplemente como , cuando esté claro de que variable aleatoria se trata.También es común entre los estadísticos designar a este valor como Esperanza oExpectativa Matemática , o bien como valor esperado de la variable X, yrepresentarla como E(X).

Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales, se tiene que el espaciomuestra1 para el experimento es

S = {CC, CS, SC, SS} Donde es C cara y S sello.

Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables, se deduce queP(X = 0) = P(SS) = .41

P(X = l) = P(SC) + P(CS) = .41

P(X = 2) = P(HH) = .41

Donde un elemento, por ejemplo, SC , indica que de la primera tirada resultó Sello,seguida de una cara en la segunda tirada. Ahora bien, estas probabilidades son

justamente las frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventosdados. Por consiguiente,


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.0.141

221

141

0)(

X E

Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez, lograráen promedio 1 cara por tirada.

EL método descrito para calcular el número esperado de caras en cada tirada de 2monedas, indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discretapuede obtenerse multiplicando cada uno de los valores n x x x ,...,, 21 , de la variable

aleatoria X por su probabilidad correspondiente ),(),.....,(),( 21 n x f x f x f y sumandoluego los resultados. Sin embargo, esto se verifica sólo si la variable aleatoria esdiscreta. En el caso de variables aleatorias continuas, la definición del valoresperado es en esencia la misma, sólo que las sumatorias se reemplazan por in-tegrales.

EJEMPLO. Determine el número esperado de químicos en un comité de trespersonas seleccionado al azar de un grupo de 4 químicos y 3 biólogos.SOLUCIÓN. Se considera que X representa el número de químicos en el comité.La distribución de probabilidad de X está dada por

, ) x( f x x

7

3

3

3

4

para x = 0, 1, 2, 3.

Aplicando la formula se calculan los diferentes )( i x f así:

354

)3(,..3518

)2(;..3512

)1(;..351

)0(7

3

3

33

4

3

7

3

3

23

4

2

7

3

3

13

4

1

7

3

3

03

4

0

f f f f

Los cálculos obtenidos son:

f(0) = 1/35, f(l) = 12/35, f(2) = 18/35, y f(3) = 4/35. Entonces,

.70.17

123560

354

33518

23512

1351

0)(

X E

Por lo tanto, si se selecciona al azar una y otra vez un comité de 3 miembros apartir de un grupo de 4 químicos y 3 biólogos, el mismo contendría en promedio1.7 químicos.

EJEMPLO. En un juego de azar de un casino, se le paga a una persona 5dólares si al tirar a aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos, mientras que estapersona deberá pagar 3 dólares si obtiene sólo una o dos caras. ¿Cuál es laganancia esperada de jugador?

SOLUCIÓN. El espacio muestral formado por todos los posibles resultados quepueden obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultánea, o en formaequivalente si la moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara, S = sello),es


16/64

S = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS }. Se puede argumentar quecada una de estas posibilidades es igualmente posibles y ocurre con unaprobabilidad igual a 1/8. Un enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativade probabilidad para sucesos independientes con cada uno de los elementos delespacio muestral (S), así:

.81

21

21

21

)()()()(

S P C P C P CCS P Recuerde que la probabilidad de salir cara es

igual a la de salir sello, es decir, ½.

La variable aleatoria de interés es X, que es la cantidad que el jugador puedeganar; y los valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSS CCC E ,1 y - 3$ si ocurre el evento SSC SCS CSS SCC CSC CCS E ,,;,,2 .Si se observa que E1 y E2 sepresentan con probabilidad de ¼ y ¾ , respectivamente, se concluye que

.143

341

5)(

X E

Por lo tanto en este juego el apostador, en promedio, perderá 1 $ al lanzar las 3monedas.

Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sinpérdida o ganancia. Por lo tanto, un juego justo se define como aquel donde hayuna ganancia esperada de cero, es decir, 0 .

Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud quecambia de una presentación a otra, sin seguir una secuencia predecible. Porejemplo, en una clínica para tratamiento del cáncer de mamas no se tiene manerade saber con exactitud cuántas mujeres van a ser atendidas en un día cualquiera.De modo que el número de pacientes del día siguiente es una variable aleatoria.Los valores de una variable aleatoria son los valores numéricos correspondientes acada posible resultado del experimento aleatorio. Si los registros diarios de laclínica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115pacientes diarios, entonces ésta es una variable aleatoria discreta.

En la tabla B se ilustra el número de veces que se ha alcanzado cada nivel durantelos últimos l00 días. Observe que en la tabla aparece una distribución defrecuencias. Hasta donde creamos que la experiencia de los pasados 100 días esun comportamiento típico, podemos utilizar este registro para asignar unaprobabilidad a cada número posible de pacientes y encontrar una distribución deprobabilidad. Hemos hecho esto en la tabla B mediante la normalización de ladistribución de frecuencias observadas (en este caso, dividimos cada valor queaparece en la columna de las frecuencias ( fi ) de la tabla B , el número total de díasen que se tomaron los registros (número atendido). La distribución de probabilidadpara la variable aleatoria “número de atenciones diarias” se presenta de maneragráfica en la figura I. Note que la distribución de probabilidad para una variablealeatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estasprobabilidades deben sumar 1. De la misma forma en esa tabla se registra el valoresperado o esperanza matemática que es simplemente la multiplicación de losvalores posibles de la variable aleatoria por la probabilidad de que la variablealeatoria tome esos valores. En la tabla B mostramos que ambos requisitos secumplen. Además, tanto la tabla B como la figura I nos dan información acerca dela frecuencia de presentación a la larga del número de pacientes atendidosdiariamente que esperaríamos observar si este “experimento” aleatorio seefectuara de nuevo.


17/64

TABLA BNÚMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100DÍAS EN UNA CLÍNICA PARA LA ATENCIÓN DE CÁNCER DE MAMA.

Valoresposibles de laVariable

Aleatoria.(1)

Número dedías que seobserva este

nivel ( fi ).(2)

Probabilidad de quela variable aleatoriatome estos valores.

(3)

EsperanzaMatemática.(1)x(3)

100 1 0.01 1.00101 2 0.02 2.02102 3 0.03 3.06103 5 0.05 5.15104 6 0.06 6.24

105 7 0.07 7.35106 9 0.09 9.54107 10 0.10 10.70108 12 0.12 12.96109 11 0.11 11.99110 9 0.09 9.90110 8 0.08 8.88112 6 0.06 6.72113 5 0.05 5.65114 4 0.04 4.56

115 2 0.02 2.30TOTALES 100 108.02

El valor esperado de la variable aleatoria “número diario de mujeres atendidas enuna clinica”, es igual 108.02 .

Grafica correspondiente a la distribucion deprobabilidad para la variable aleatoria discreta,

"número diario de pacientes atendidos en una clinica"

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

1 0 1 0 0

1 0 1

1 0 2

1 0 3

1 0 4

1 0 5

1 0 6

1 0 7

1 0 8

1 0 9

1 1 0

1 1 1

1 1 2

1 1 3

1 1 4

1 1 5

Números diarios de mujeres atendidas

P R O B A B I L I D A D

Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 añosde edad viva otros 33 años, esto no significa que cualquier persona espere real-


18/64

mente que una mujer de 45 años siga viviendo hasta cumplir los 78 años y mueraal día siguiente. En lo concerniente a esa afirmación, ciertas mujeres de 45 añosvivirán 12 años más, otras sobrevivirán 25 años, otras vivirán 38 años más, . . . ,y la expectativa de vida de “33 años más” se debe interpretar como una especiede promedio particular, llamado valor esperado o esperanza matemática. Originalmente, el concepto de la esperanza matemática apareció en relación con juegos de azar y, en su forma más simple, se determina con el producto de lacantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dichacantidad.

EJEMPLO ¿Cuál es nuestra esperanza matemática, si apostamos para ganar 500bolívares, si y sólo si sale cara, al lanzar al aire una moneda equilibrada? SOLUCIÓN: La moneda está equilibrada, de manera que la probabilidad de quesalga cara es ½, entonces nuestra esperanza matemática es 500x0.5 = 250bolívares.

EJEMPLO ¿Cuál es nuestra esperanza matemática, si compramos uno de los 1000boletos de una rifa, en la que se ofrece como premio un televisor a color, que vale480000 bolívares? SOLUCIÓN: La probabilidad de que nos ganemos el televisor es

10001 , entonces

nuestra esperanza matemática es480000x 480

1000480000

10001 , es decir, 480 bolívares. Por lo tanto, en un sentido

estrictamente monetario, seria irracional pagar más de 480 bolívares por elboleto.

PROBLEMA. Sean 0.24, 0.35, 0.29 y 0.12 las probabilidades de que un usureropueda vender en un año un lote subdividido, con las respectivas ganancias deBs.1250000, Bs. 800000 o de Bs. 100000 o con una pérdida de Bs. 250000.¿Cuál es la utilidad o ganancia esperada?

SOLUCIÓN: Si se sustituye

12.0....25.0,..35.0,..24.0

,..250000,..100000,..800000,...1250000

4321

4321

P y P P P

x x x x

.

Si ahora se aplica la fórmula matemática para la obtención de la EsperanzaMatemática se tiene :

)()(1

i

N

ii x X P X X E .

579000.)12.0(25000)29.0(10000)35.0(8000024.0(125000 Bs E . Este resultado indica

que el usurero espera ganar 579000 Bs. Con su usura.PROBLEMA. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es

0,43

41

)(33

x x f

x x

x

,1, 2, 3. Encuentre la esperanza matemática.


19/64

SOLUCIÓN:

641

43

41)3(

649

43

41

)2(,..6427

43

41

)1(,...6427

43

41

)0(

033

3

23

2

23

1

303

0

f

f f f

Con estos datos se puede formar la siguiente distribución de probabilidad:

x 0 1 2 3)( x f

6427

6427 64

9 641

Aplicando la siguiente formula : )()(1

i

N

ii x X P X X E . Se tiene:

.75.043

6448

641)3(9)2(27

641

3649

26427

16427

0

E

Luego la esperanza matemática buscada es de 0.75.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADAEn la teoría de probabilidades y estadísticas, la función de distribuciónacumulativa (FDA) , o simplemente función de distribución , describe laprobabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinadadistribución de probabilidad se encontrará en un valor menor o igual que x. Lasfunciones de distribución acumulativa también se utilizan para especificar ladistribución de múltiples variables aleatorias. Diremos que F es la Función dedistribución acumulada de probabilidad de X.

Si X es una variable aleatoria, entonces para cualquier número real x 0, existe laprobabilidad )( 0 x X P del evento 0 x X ( X toma cualquier valor menor o igual a

x 0). La probabilidad )( 0 x X P que depende de la elección de x 0 es la probabilidadacumulada hasta x 0 que es la función distribución o distribución acumulada yse denota por F(x 0 ). Entonces, )( 0 x F es igual a:

)()( 000 i x X

x p x X P x F

OBSERVACIONES

1. F(xo) = P[X ≤ xo] = p(x 1) + p(x 2) + ... + p(x o)2. Si X: 0, 1, 2, 3, 4 entonces

F(0) = P[X ≤ 0] = P(X < 0 ) + P(X = 0) = 0 + p(0) = p(0) F(1) = P[X ≤ 1] = P(X ≤ 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1)

F(2) = P[X ≤ 2] = P(X ≤ 1) + P(X = 2) = p(0) + p(1) + p(2)F(3) = P[X ≤ 3] = P(X ≤ 2) + P(X = 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3)

etc.En general:


20/64


21/64

SOLUCIÓN

a) Recordemos que para todo valor de X menor que el mínimo valor implica que:

F(x) = 0

Del mismo modo, para X mayor o igual que el máximo valor de X, se tendrá

F(x) = 1

Tomando en cuenta estos criterios, la función acumulada viene dada por:

b)Puesto que F(a) = P(X ≤ a), entonces:

P(X ≤ 2) = F(2) = 7/8 Usando complemento: P(X > 2) = 1 . P(X >2) = 1 - F(2) = 1 - 7/8 = 1/8

Usando propiedades: P (1 ≤ X ≤ 2) = F(2) - F(1) + P(X = 1) = 7/8 - 4/8 +3/8 = 6/8

Del mismo modo, P(1 < X ≤ 2) = F(2) - F(1) = 7/8 - 4/8 = 3/8

Si X es una variable aleatoria, entonces para cualquier número real x 0, existe laprobabilidad )(

0 x X P del evento

0 x X ( X toma cualquier valor menor o igual a

x 0).

La probabilidad )( 0 x X P que depende de la elección de x 0 es la probabilidadacumulada hasta x 0 que es la función distribución o distribución acumulada yse denota por F(x 0 ). )()( 00 x X P x F

Ejemplo 7: Encuentre los valores de la función distribución acumulada F(X) de lavariable aleatoria X descrita en el ejemplo 3.

X f(X) F(X) 2 1/36 1/36

3 2/36 3/36

4 3/36 6/36

5 4/36 10/36

6 5/36 15/36


22/64

7 6/36 21/36

8 5/36 26/36

9 4/36 30/36

10 3/36 33/36

11 2/36 35/36

12 1/36 36/36

Obsérvese que F(X=5) = f(X=2) + f(X=3) + f(X=4) + f(X=5) =

La gráfica de la función distribución acumulada de una variable discreta es siempreuna gráfica escalonada.

Fig. 6 Función distribución para la variable aleatoria del ejemplo 4.3

EJEMPLO 8: Halle los valores de la función distribución acumulada, F(X), de lavariable aleatoria X del ejemplo 5.

X f(X) F(X)

0 15/45 15/45

1 24/45 39/45

2 6/45 45/45

Ahora demostraremos que la probabilidad de un evento sepuede expresar en términos de la función distribución acumulada F(X), donde x 1 y

x 2 son dos de los valores cualesquiera .

Obsérvese que y son eventos mutuamente exclusivos, su unión esel evento .

Por el axioma 3 de probabilidad, obtenemos


23/64

P ( ) = P ( ) + P ( )

Despejando P se tiene

P = P ( ) - P ( ) = F(x 2 ) - F(x 1 ) En consecuencia, F(x) determina en forma única la distribución de probabilidadesde la variable aleatoria correspondiente.

FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN PARA VARIABLES ALEATORIASCONTINUAS:

Si X es una variable aleatoria continua, entonces la regla de la correspondenciaque define la función distribución acumulada F(X) es:

Hemos usado v para representar la variable de integración, ya que x se usa pararepresentar al límite superior de la integración. El integrando f es la funcióndensidad de probabilidad, y al derivar la expresión anterior (Teorema Fundamentaldel Cálculo) se tiene que

La función distribución acumulada es

F(x 0 ) =

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

2. , si X es discreta

, si X es continua.


24/64

Fig. 4.7 Función distribución

3. , si X es continua.

4. Si X es continua

EJEMPLO 4.9: Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina unafunción densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia dela función de distribución acumulada correspondiente.

a. ,

b. ,

SOLUCIÓN: La integral sobre todo el intervalo es la probabilidad del espaciomuestral, que es igual a 1. Una vez evaluada la integral definida se despeja laconstante c, lo cual garantizará que la función obtenida es una función densidadde probabilidad.

a. b.

Sustituyendo el valor de c se obtiene la función densidad

La función distribución es entonces la integral de la función densidad paracualquier intervalo (0,x), la cual permitirá calcular probabilidades paracualquier intervalo.


25/64

c. Para el segundo caso se hará lo mismo que para el anterior con la diferenciaque tenemos una integral impropia.

La función densidad es entonces

Las propiedades de la función distribución acumulada son:

2. , si X es discreta

, si X es continua.

3. , si X es continua.

4. Si X es continua,


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DISTRIBUCIONES DE VARIABLE DISCRETAS MÁSIMPORTANTES

DISTRIBUCIÓN POISSON: La Distribución de Poisson es una distribución deprobabilidad discreta que enuncia, a partir de una frecuencia de ocurrencia media,la probabilidad de ocurrencia de un determinado número de eventos durante ciertoperiodo de tiempo. La función de masa de la distribución de Poisson es

Dónde: k es el número de ocurrencias del evento ofenómeno (la función origina la probabilidad de que el evento suceda precisamentek veces). λ es un parámetro positivo que significa el número de veces que seespera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si elsuceso analizado ocurre en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados enla probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos,usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40. e es la basede los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA: La distribución geométrica es cualquiera de lasdos distribuciones de probabilidad discretas siguientes: la distribución deprobabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener unéxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o la distribución de probabilidad delnúmero Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1,

2, 3,... }. Cuál de éstas es la que uno llama "la distribución geométrica” , esuna cuestión de convención y conveniencia. Si la probabilidad de éxito en cadaensayo es p , entonces la probabilidad de que x ensayos sean necesarios paraobtener un éxito es , para x = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer éxito es

para x = 0, 1, 2, 3,....

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA: La distribución hipergeométrica es

una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y sin reemplazo.Imagínese que se posee una población de N elementos de los cuales, d pertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide laprobabilidad de obtener x ( ) elementos de la categoría A en unamuestra de n elementos de la población original. La función de probabilidad deuna variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a travésde razonamientos combinatorios y es igual a

donde N es el tamaño de población, n es el tamañode la muestra extraída, d es el número de elementos en la población originalque pertenecen a la categoría deseada y x es el número de elementos en

la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación

N

n hace

referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinacionesposibles al seleccionar n elementos de un total N .


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DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA: En teoría de la probabilidad, unadistribución uniforme discreta es una distribución de probabilidad que toma unnúmero finito de valores con la misma probabilidad, donde los elementos de unconjunto finito son equiprobables. Si la distribución asume los valores reales

, su función de probabilidad es:

y su función de distribución la función escalonada

Su media estadística es

y su varianza

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL es una distribución de probabilidad discreta quemide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulliindependientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entrelos ensayos. Estos experimento de Bernoulli se caracterizan por ser dicotómico,vale decir, que únicamente son posibles dos resultados. A uno se le designa comoéxito y presenta una probabilidad de ocurrencia p y al otro se le llama fracaso ,con una probabilidad q = 1 - p . En la distribución binomial el anterior experimentose repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad deun determinado número de éxitos. Para n = 1 , la binomial se convierte, de hecho,en una distribución de Bernoulli. Para representar que una variable aleatoria Xsigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

La función de probabilidad es

Donde y Siendo las combinacionesde en ( elementos tomados de en ).

El nombre que recibe esta distribución se debe a la similitud existente entre ladistribución de las probabilidades de obtener 0, 1, 2, 3,…..el ementosconsiderados como “éxito” de una muestra de tamaño n, y los términossucesivos del desarrollo binomial n )q p( , donde p expresa la probabilidad deéxito de un solo ensayo (situación experimental), y q es la probabilidad de“fracaso” (tal que, p + q = 1). En este caso, éxito significa encontrarse concierta clase de evento, mientras que fracaso significa no encontrarse con dichoevento. En esta guía se hará un breve reposo del Teorema del binomio oBinomio de Newton . El teorema del binomio, o Binomio de Newton por habersido éste quien propuso el método general para su desarrollo, es un binomio

elevado a una potencia n, que en su caso más simple es un número natural.


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En términos generales, el teorema del binomio estableceque:

.babab....baa )ba( iin

n

i

n

i

nn

n

nn

n

nn

nn

n

1

1

1

1

10

Para el caso concreto de esta guía, se cambiará la notación y se utilizará lapropiedad de conmutatividad de los números reales:

La probabilidad x P de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n

intentos esta dada por la ecuación:

xnq x p.n

x x P

.

La probabilidad x P de que un evento se presente POR LO MENOS x vecesen n intentos esta expresada por la ecuación:

xn x x x

x x

n

x

n x

x x x q p. P

.

TRIÁNGULO DE PASCAL

Los coeficientes de los términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomiose pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triángulo dePascal. Los coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los

números que se hallan en la fila horizontal en donde después del 1 esta elexponente del binomio. Ejemplo: Los coeficientes del desarrollo del binomio5 )ba( son aquellos números que se encuentran en la fila horizontal, del triángulo

de Pascal, en donde después del 1 esta el 5, es decir, 1, 5, 10, 10, 5, 1. De igualmanera se procede para ubicar los coeficientes de cualquier binomio.

El triángulo se forma de la siguiente manera: En la primera fila horizontal secoloca 1. En la segunda fila se coloca 1 y 1. Desde la tercera fila en adelante secomienza por 1 y cada número posterior al 1 se obtiene sumando en la filaanterior el primer número con el segundo, el segundo con el tercero, el tercero

con el cuarto, cuarto con el quinto, el quinto con el sexto y así sucesivamentehasta obtener los coeficientes de la potencia buscada, recuerde que el últimonúmero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triángulo).

11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1


29/64

1 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Ejemplo: Sean los binomios 532 ) y x( y 5 ) y x( , desarrolle los mismos aplicandoel triángulo de Pascal:

. y xy y x y x y x x ) y x(

) y( ) y )( x( ) y( ) x( ) y( ) x( y ) x( ) x( ) y x( 543223455

543223455

24381010807202403232

332532103210325232

. y xy y x y x y x y x x ) y x( 65423324566 51520156

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1.- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos.2.- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como éxito ofracaso. Cuando es éxito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso tomael valor 0. 3.- La probabilidad de éxito, designada por p, permanece constante de un ensayoa otro.4.- Los ensayos son independientes.

EJEMPLOS 1: La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale carao no sale); la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o note admiten); la probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas).Al haber únicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios :A la probabilidad de éxito se le denomina "p" A la probabilidad de fracaso se le denomina "q" Verificándose que:

p + q = 1. EJEMPLOS 2: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire:Probabilidad de que salga cara: p = 0,5.

Probabilidad de que no salga cara: q = 0,5.

p + q = 0,5 + 0,5 = 1.

EJEMPLO 3: Probabilidad de ser admitido en la universidad:

Probabilidad de ser admitido: p = 0,25.

Probabilidad de no ser admitido: q = 0,75.

p + q = 0,25 + 0,75 = 1.Ejemplo 4 : Probabilidad de acertar un número de lotería de 100000:Probabilidad de acertar: p = 0,00001.

Probabilidad de no acertar: q = 0,99999.

p + q = 0,00001 + 0,99999 = 1.

Considérense los siguientes experimentos y variables aleatorias

1. Lanzar una moneda diez veces. Sea X = número de caras obtenidas.


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2. IJna máquina herramienta desgastada produce 1 % ¡de partes defectuosas.Sea X = número de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan.3. La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una molécula rara es10%. Sea X = número de muestras de aire que contienen la molécula rara en lassiguientes 18 muestras por analizar.

4. De todos los bits transmitidos por un canal de transmisión digital, el 10 % sereciben con error. Sea X = número de bits con error en los siguientes cinco portransmitir.

5. Un examen de opción múltiple contiene diez preguntas, cada una con cuatroopciones, y se pide a una persona que adivine las respuestas. Sea X = número derespuestas contestadas de manera correcta.6. De los siguientes 20 nacimientos en un hospital, sea X = número deniñas.7. De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular, el 35 %experimenta una mejora con cierto medicamento. Para los siguientes 30pacientes a los que se les administrará el medicamento, sea X = número depacientes que experimentan mejoría.Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad generalque incluya estos experimentos como casos particulares.

Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formadopor una serie de ensayos repetidos; 10 lanzamientos de la moneda en elexperimento (1), la producción de 25 partes en el experimento (2) y asísucesivamente. En cada caso, la variable aleatoria es el conteo del número deensayos que cumplen con un criterio específico. Con esto, el resultado de cadaensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o no; en consecuencia, cadaensayo puede resumirse como un éxito o un fracaso, respectivamente. Porejemplo, en el experimento de opción múltiple, para cada una de las preguntas,sólo la opción que es correcta es la que se considera como un éxito. La selecciónde cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayoque puede resumirse como un fracaso.

Los términos éxito y fracaso son solo etiquetas. También pueden utilizarse paraeste fin “A” “B” o “0” y "1". Por desgracia, en ocasiones las etiquetas usuales

pueden ser engañosas. En el experimento (2), dado que X es el número departes defectuosas, la producción de éstas es un éxito.

A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimentoaleatorio son independientes. Esto implica que el resultado de uno de los ensayosno tiene ningún efecto sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo.En el experimento (2), la hipótesis de ensayos independientes implica saber quela parte número 5 es defectuosa, no tiene ningún efecto sobre la probabilidad deque cualquiera de las demás partes sea defectuosa. Asimismo, a menudo esrazonable suponer que la probabilidad de éxito en cada ensayo es constante. En elexperimento de opción múltiple [experimento (5)], si se supone que el sujeto quelleva a cabo la prueba no tiene ningún conocimiento del tema y sólo adivina larespuesta de cada pregunta, entonces puede considerarse que la probabilidad deuna respuesta correcta para cada pregunta es 1/4.

PROBLEMA VA : Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar3 artículos de un proceso manufacturado, si se examinan y se clasifican comodefectuosos (D) o sin defectos, es decir, normales(N). Un artículo defectuoso seconsiderara como un éxito. El número de éxitos es una variable aleatoria x quetoma valores enteros desde cero hasta 3. Los 8 posibles resultados y los

correspondientes valores de x son:


31/64

Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD

x 0 1 1 1 2 2 2 3

Los artículos se seleccionan en forma independiente de un proceso que producesupuestamente 25 % de artículos defectuosos, entonces la probabilidad deselección es

El número X de éxitos en n ensayo de un experimento binomial se llamavariable aleatoria binomial . La distribución de probabilidad de esta variablealeatoria se le denomina distribución binomial y sus valores serán designadospor b( x , n, p), ya que dependen del número de ensayos y de la probabilidad de

éxitos en un ensayo determinado. Por lo tanto, para la distribución deprobabilidad de X, el número de defectos en el problema antes planteado es

), p;..n.;.. x( b ) x( f ) x X ( P

Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formulamatemática para b(x, n, p), que proporcione la probabilidad de x éxitos en n ensayos en el caso de un experimento binomial. Primeramente se considerará laprobabilidad de x éxitos y de n – x fracasos en un orden especificado. Tomandoen cuenta que los ensayos son independientes, se pueden multiplicar todas lasprobabilidades correspondientes a los diferentes resultados. Cada éxito ocurre conuna probabilidad p y cada fracaso, con una probabilidad q = 1 – p. Enconsecuencia, la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior)es xn xq p . Se debe determinar ahora el número total de puntos maestrales en elexperimento que tiene x éxitos y n – x fracasos. Este número es igual al númerode particiones de n resultados en dos grupos, con x en un grupo y n – x en el

otro, el cual esta determinado por n x ) x ,n( n

xC C

= )! xn( ! x

!n(n! se lee factorial

de n, donde por definición factorial de cero es igual 1). Como esas particiones sonmutuamente excluyentes, se suman las probabilidades de todas las particiones

diferentes para obtener la formula general o se multiplica xn xq p por .n

x

DEFINICIÓN DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Si un ensayo binomial puede resultar en un éxito con probabilidad p y en unfracaso con probabilidad q = 1 – p, entonces en la distribución de probabilidad dela variable aleatoria binomial X, el número de éxitos en n ensayosindependientes, es

n......, , , , x ,....q p. ) x( f ) p ,n , x( b xn xn

x3210

Esta es la fórmula de la distribución de probabilidad para eventosbinomiales.

Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =1/4, la distribución deprobabilidad de X, el número de defectos, se puede expresar así:

. ) N ( P ) D( P ) N ( P ) NDN ( P 649434143


32/64

. , , , x , ) x( f , , xb x x

x3210

43

41

41

333

Aplicando Esta fórmula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cadaevento así:

641

43

41

3649

43

41

2

6427

43

41

16427

43

41

0

033

3

123

2

213

1

303

0

)( f ..., )( f

)( f ..., )( f

La distribución de probabilidad del problema Va es:

x 0 1 2 3 ) x( f

6427 ) x( f 64

27 649 64

1

EJEMPLO: La posibilidad de recibir de manera errónea un bit transmitido por uncanal de transmisión digital, es 0,1. Además, supóngase que los ensayos de

transmisión son independientes. Sea X = número de bits recibidos con error enlos próximos cuatro que serán transmitidos.

Calcule el espacio muestral de este experimento e indíquese el valor de X en cadaresultado. Calcúlese también, P(X = 2).

En este experimento se indica con E un bit erróneo, y con C un bit sin error, estoes, recibido correctamente. Con esto, el espacio muestral de este experimentopuede describirse como una lista de cuatro letras que indican qué bits fueronrecibidos con y sin error. Por ejemplo, el resultado CECE indica que el segundo y elcuarto bit son erróneos, y los otros dos se recibieron correctamente. Porconsiguiente, el espacio muestral es:

Resultado x Resultado xCCCC 0 ECCC 1CCCE 1 ECCE 2CCEC 1 ECEC 2CCEE 2 ECEE 3

CECC 1 EECC 2CECE 2 EECE 3CEEC 2 EEEC 3CEEE 3 EEEE 4

El evento en que X = 2 está formado por seis resultados:

S = {EECC, ECEC, ECCE, CEEC, CECE, CCEE}

Si se hace uso de la hipótesis de que los ensayos son independientes, entonces laprobabilidad de {EECC} es


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P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (0.1) 2(0.9) 2 = 0.0081

Por otra parte, la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultadosmutuamente excluyentes para los que X = 2, es la misma. Por consiguiente:

P(X = 2) = 6(0.0081) = 0.0486

En general,

P(X = x) =f(x)= ( número de resultados con x errores) multiplicados por (0.1 ) x (0.9) 4-x C\IlOs

Para ultimar una fórmula general de probabilidad, únicamente es preciso unaexpresión para el número de resultados que contienen x errores. Puedeconstruirse un resultado que contiene x errores separando los cuatro ensayos endos grupos. El tamaño de uno de los grupos es x y contiene los errores, mientrasque el tamaño del otro grupo es n-x y está formado por los ensayos donde no hayerrores. Tomando en cuenta la ecuación de Combinación, el número de manerasde separar cuatro objetos en dos grupos, uno de los cuales tiene tamaño x, es:

)! xn( ! x!

x

44 . Por tanto, en este ejemplo,

.. )( f ) X ( P

.. ). )( .( )( f ) X ( P

).( ).( )( f ) X ( P ).( ).( ) x( f ) x X ( P x x x

0486022

04860810010622

9010229010 2424

2

44

OTROS EJEMPLO

Los siguientes son ensayos Binomiales:

Un tornillo, puede estar defectuoso o no defectuoso.

El sexo de un bebé al nacer puede ser: niño o niña.

Las respuestas en una prueba determinada puden ser: correcta o incorrecta.Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como características:1. La probabilidad de éxito permanece constante, ensayo tras ensayo; y

2. Los ensayos son independientes entre sí;3.

Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial , donde el númerode ensayos se denota con n, la probabilidad de éxito con p y la de fracaso con q.

Hay que notar que las probabilidades de éxito y de fracaso están relacionadas dela siguiente manera: p + q =1.

POR EJEMPLO: Consideremos un examen con tres preguntas de opción múltiple,con cuatro opciones, y que será contestado al azar.

Podemos utilizar el siguiente ejemplo:

1.- Las flores de la cayena son de color:a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas


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2.- Don Cristóbal Colon descubrió a Venezuela en:

a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792

3.- El significado de la palabra planta es:a) hoja b) árbol c) flor d) fruto

Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial, ya que laprobabilidad de éxito permanece constante en las tres preguntas ( p = ¼) y lasrespuestas de una a otra pregunta son independientes entre sí. Se cuenta con unacantidad n = 3 de ensayos y q =1 – p = 3 / 4.

Hay que decir que n y p son los llamados parámetros de la distribución .

Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representará elnúmero de respuestas correctas, siendo sus posibles valores: 0, 1, 2, y 3.

Para calcular la distribución de probabilidad correspondiente, consideraremoscomo E los éxitos y como F los fracasos (el subíndice indica el número depregunta). Así pues, se tiene que:

P ( X =0)

= P (F1 F2 F3) = P (F1)· P (F2)· P (F3)

= ( 3/ 4) 3 =27 / 64

= 1·( 3/ 4) 3·( 1/ 4) 0

P ( X =1)

= P [(E 1 F2 F3) (F1 E2F3) (F1 F2 E3)]

= 81 / 256

= 3·( 3/ 4) 2·( 1/ 4) 1

P ( X =2)

= P [(E 1 E2 F3) (E1 F2E3) (F1 E2 E3)]

= 9/ 64 = 3·( 3/ 4) 1·( 1/ 4) 2

P ( X =3)

= P (E1 E2 E3) = P (E1)· P (E2)· P (E3)

= ( 1/ 4) 3 =1/ 64

= 1·( 3/ 4) 0·( 1

/ 4) 3

Al presentar esta información como tabla, su respectivo histograma seria elsiguiente:

EJEMPLO: Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en laspolíticas familiares de consumo, establece que el marido ejerce una influencia

X P ( X = x ) 0 0.4221 0.4222 0.1413 0.016


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decisiva en la compra de un automóvil nuevo, en lo referente a la marca, en 70 %de las familias. Suponga que 4 familias han decidido comprar un automóvil nuevo.a .- ¿Cuál es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridosejerza una influencia decisiva en la selección de la marca del automóvil a comprar?b.- ¿Cuál es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva enla selección de la marca del automóvil en por lo menos 2 de las 4 familias?c.- ¿Cuál es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automóvilen las 4 familias?

SOLUCIÓN: Se supone que las decisiones de compras de las familias sonindependiente y que p permanece constante de una familia a otra, por lo tanto, n = 4, y p = 0.7. Sea x el número de familias en las cuales los maridos ejercen unainfluencia decisiva en la selección de un automóvil nuevo. Por consiguiente, x = 0,1, 2, 3 y 4, entonces se tiene que:

2646009049022

4

30070022

43210300700704

224

2

4

. ). )( .( !!.

!

).( )..( )( f ) x( P )dos..eexactament ( P ).a

..,..,..,.., x ,..... ) x( f ). , , x( b xn x x

Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos

ejerzan una influencia decisiva en la selección de la marca de auto a comprar esde 26.46 %.

b).- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber:

91630083701

08370107560008101

307030701

10122

43221

3141

4040

..

...

).( ).( C ).( ).( C

)( p )( p ) x( P ).

tambien..o ),...( p )( p )( p ) x( P ).

Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el maridoseleccione la marca del automóvil nuevo es de 0.9163 = 91.63 %. La solución 1 sele deja al estudiante para que la realice.

c).- P(4 familias) = 2401017004

43070 40444 . )( ).( !!.

! ).( ).( C .

La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca delautomóvil es de 0.2401 = 24.01 %.

PROBLEMA: Con el propósito de decidir si se aceptan los lotes de mercancía queenvía la fabrica RANICA a un comerciante, se lleva a cabo un procedimiento queconsiste en seleccionar 10 artículos al azar de cada lote y determinar el númeroque presenta defectos. Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o másartículos defectuosos entre los 10 seleccionados. Se supone que el número deartículos en cada lote es grande y que cada lote contiene un 5 % de artículosdefectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote de artículos? ¿Cuál es laprobabilidad de rechazarlo?


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SOLUCIÓN: Sea x el número de artículos defectuosos observados; 10n , y laprobabilidad de observar un articulo defectuoso en un ensayo es p = 0.05,entonces:

x x

x ).( )..( ) x( f ) x( p

1010

950050 , entonces las probabilidades de aceptar un lotees:

x x

x x

) ,( ) ,(

x x

x x

).( )..( )rechazar ( P ).b

: ser .. puede..tambien%......aceptar ( P )rechazar ( P ).a

%... )aceptar ( P

.. ). )( . )( ( ). )( )( ( )aceptar ( P

).( ).( C ).( ).( C )( p )( p )aceptar ( P ).

).( )..( )aceptar ( P ..

)( p )( p )aceptar ( P ..

1010

2

10

91110

100010

1010

2

10

950050

6080860914011

40919140

315059906302005010599011

950050950050101

95005012

101

El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar ( P y el resultado tiene que serigual al obtenido en la parte 1, (0.914). De la misma forma debe realizar loscálculos de la parte b y el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0.086).

LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIABINOMIAL

El cálculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muygrandes. Por tal razón, es conveniente describir la distribución de probabilidadbinomial mediante se media y su desviación estándar. Esto permitirá identificarvalores de x que son altamente improbables, usando el conocimiento sobre elteorema de Tchebysheff y la regla empírica. Por lo tanto, es de gran importanciaconocer el valor esperado o esperanza matemática y la varianza de la variablealeatoria binomial x .

La Media, la Varianza y la Desviación Estándar de una variable aleatoria Binomialson:

npq

npq

np ) x( E 2

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Una variable numérica puede clasificarse como discreta o continua. Las variablesdiscretas se miden utilizando números enteros y es posible asociarlas con la ideade "contar". Las variables continuas se pueden asociar con la idea de "medir"utilizando fracciones y decimales. Cuando la variable es continua el modeloprobabilístico que más se usa es la distribución normal. Las variables aleatoriasque hemos estudiado hasta ahora tienen la propiedad de que son el resultado decontar ; sus valores posibles varían en forma discreta (a saltos). Hay otro tipo de

variables aleatorias, las que son el resultado de un proceso de medir ; sus valoresposibles cubren todo un intervalo en los números reales reales.


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Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimosque la variable es continua. La matemática que utilizamos para las variablescontinuas es diferente a la de las discretas aunque los conceptos probabilísticossean los mismos de manera que en nuestro estudio de las continuas utilizaremoseste paralelo con las discretas.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES CONTINUAS: La variable aleatoria Xserá continua si los valores asignados pueden ser cualesquiera, dentro de ciertosintervalos, es decir, puede tomar cualquier valor de R. Por ejemplo, siconsideramos el experimento aleatoria consistente en medir el peso de losestudiantes de una universidad y tomamos la variable aleatoria X=” peso de losestudiantes de una universidad ”, esta puede tomar valores entre 30 y másinfinito. Entonces, Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumircualquier valor dentro de determinados límites; por ejemplo, la estatura de unestudiante.

DISTRIBUCIÓN UNIFORME: Se dice que una variable aleatoria continua X, quetoma todos los valores del intervalo [a, b] real, sigue una distribución uniforme deparámetros a y b, si su función de densidad de probabilidad es:

......1;..........0,.........)()(

.........1

)(

xb sia sib xa siaba x x X P x F

b xa siab

x f

DISTRIBUCIÓN NORMAL: Se dice que una variable aleatoria continua X , tieneuna distribución normal o de Gauss de parámetros μ y σ, si su función dedensidad de probabilidad es:

La representación gráfica así cómo los significados de la esperanza y varianza son:

http://i657.photobucket.com/albums/uu300/BlogAqueronte/Gif/campana_gauss1.gif


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DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL: Se dice que una variable aleatoria continua X ,tiene una distribución exponencial de parámetro β, si su función de densidadde probabilidad es:

DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINÚA

FUNCIÓN DE DENSIDAD

Una función y=f(x) es una función de densidad de una variable aleatoria continuasi cumple las siguientes condiciones:

El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continúa tieneprobabilidad cero de tomar un valor específico, sólo tiene valores positivos paraintervalos :

P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a

Para calcular la probabilidad de que X esté en un intervalo (a, b) o (a, b] o [a, b) o

[a, b] o cualquier otro intervalo, debemos hacer uso de una función asociada a lavariable aleatoria, la función de densidad de X. Las variables aleatorias discretastienen la función de probabilidad, las continuas tienen función de densidad.Además, como en el caso discreto, la función de densidad está ligada a la va X demodo que cuando sea necesario aclarar a cuál densidad nos referimos podemosusar la notación x f (x), poniéndole el subíndice X a la f.

PARÁMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Por analogía con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias

discretas, se definen la esperanza matemática o media , la varianza2

y ladesviación típica de una variable aleatoria continua de la siguiente forma:


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imposible; pero Gauss demostró que tenía la razón. El profesor, no pudiendonegar lo evidente, afirmó que también él procedió de la misma manera. Sinembargo, se reconoció el mérito de Gauss, y la fecha de su descubrimiento, 30 deMarzo de 1796, fue importante en la historia de las matemáticas. Posteriormente,Gauss encontró la fórmula para construir los demás polígonos regulares con laregla y el compás.A la edad de setenta y siete años, Gauss falleció. Se ha dicho que la lápida que

señala su tumba fue escrita con un diagrama, que construyó el mismo Gauss, deun polígono de diecisiete lados. Durante su vida, se reconoció que era elmatemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Su obra en las matemáticascontribuyó a formar una base para encontrar la solución de problemascomplicadísimos de las ciencias físicas y naturales.La distribución normal es en forma de campana, habitualmente llamada

distribución de Gauss. Es simétrica en torno a su media ( ); la media, mediana y

modo son iguales; el área total de la curva por encima del eje basal x es la unidaddel área = 1, por lo tanto cada sector de derecha e izquierda tiene un valor de 0,5.Si se trazan líneas perpendiculares a un desvío estándar ( ) de distancia de lamedia, se obtiene un 68% del área de la curva. Dos desvíos estándar encierran un95% y tres un 99,7% de la curva. La mayoría de las variables aleatorias que sepresentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales, Administración,físicas y biológicas, por ejemplo, el peso de niños recién nacidos, talla de jóvenesde 18 años en una determinada región, son continuas y se distribuyen según unafunción de densidad.

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Espropio que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a estadistribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función dedensidad cuya gráfica tiene forma de campana.

En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n, p), para unmismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos defrecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a quehay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de lanormal.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) deuna especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,... Caracteres fisiológicos , por ejemplo: efecto de una misma dosis de un

fármaco, o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociológicos , por ejemplo: consumo de cierto producto por un

mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. Caracteres psicológicos , por ejemplo: cociente intelectual, grado de

adaptación a un medio,... Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones

normales, ...

Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos

factores.

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tprobespcontinuos.htm#funciondedensidadhttp://www.terra.es/personal2/jpb00000/tprobespcontinuos.htm#funciondedensidad


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En el gráfico se observa la campana de Gauss, representante de la distribuciónnormal y sus desvíos estándares.

Sir Francis Galton construyó un ingenioso dispositivo que permitía obtener deforma experimental la curva de distribución normal. La mayoría de lasmagnitudes, incluida la inteligencia, se distribuyen siguiendo esta ley normal, quematemáticamente viene expresada por la función:

Donde:

e es la constante 2,7182…(base de los logaritmos neperianos). es 3,1415… (Relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro).

x es la abscisa, cualquier punto del intervalo.

es la media de la variable aleatoria.

es la desviación tipo de la variable aleatoria,

2

es la varianza de la variable aleatoriaf ( x ) la ordenada de la curva.

Dicha curva y tal como vemos en la gráfica, presenta un apiñamiento defrecuencias altas en torno a la media, que se alejan de la misma a medida queganan en singularidad.La medida de la distancia al valor central es indicado por ladesviación tipo o estándar.


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Ejemplos de distribuciones normales con diferentes parámetros


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Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal deparámetros μ y σ y se denota X~N (μ, σ) si su función de densidad está dadapor:

Donde μ ( mu ) es la media y σ ( sigma ) es la desviación estándar ( σ 2 es lavarianza ). Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que susparámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1.

Como e y π son constantes, la forma de la curva normal dep ende solamente de losdos parámetros de la distribución normal, la media μ x y la desviación estándar σ x.Las diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos parámetros.

En matemáticas, la ecuación de la distribución normal se puede representarvisualmente como una curva en forma de campana. El área debajo de esta curvase halla por medio del integral de la función y corresponde al porciento o laproporción de puntuaciones que se encuentran en el intervalo dado.

La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y sudesviación típica y la representamos así ) ,( N . Para cada valor de y setendrá una función de densidad diferente, por lo tanto la expresión ) ,( N representa una familia de distribuciones normales.

Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviación típica. Este tipo

de variables se dice que se distribuye normalmente. El área bajo la función de

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria#Tipos_de_variables_aleatoriashttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria#Tipos_de_variables_aleatoriashttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria#Tipos_de_variables_aleatorias


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densidad es 1. La función de densidad, en el caso de la distribución Normal, tieneforma de campana:

Para una variable aleatoria X , que se distribuya normalmente con media: μ ydesviación típica: σ , la probabilidad de que la variable X esté comprendida entrelos valores a y b es el área teñida de rojo en la siguiente figura:

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

1.- Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.

2.- La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre y es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, iguala 1.3.- Es simétrica con respecto a su media . Según esto, para este tipo devariables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que lamedia, y un 50% de observar un dato menor.

4.- La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de lacurva es igual a una desviación típica ( ). Cuanto mayor sea , más aplanadaserá la curva de la densidad.

5.- El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamentea dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961 .;. .

6.- La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros y . Lamedia indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviaciónestándar determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea elvalor de , más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más


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plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una granprobabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.

7.- Como se deduce de este último apartado, no existe una única distribuciónnormal, sino una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas porlos valores de su media y su varianza. De entre todas ellas, la más utilizada es ladistribución normal estándar , que corresponde a una distribución de media 0 yvarianza 1.

8.- Q l y Q3 están situados a 2/3 de una desviación estándar. El 68 % del área de lacurva (probabilidad) se encuentra a una desviación estándar de la media.9.- La variable tiene un alcance infinito, pero la mayor parte del área bajo la curvase encuentra a tres desviaciones estándar de la media.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Puede tomar cualquier valor (- , + )

Son más probables los valores cercanos a uno central que llamamos media

Conforme nos separamos de ese valor , la probabilidad va decreciendo de igualforma a derecha e izquierda (es simétrica).

F(x) es el área sombreada de esta gráfica


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A la variable Z se la denomina variable tipificada de X , y a la curva de su funciónde densidad curva normal tipificada .

CARACTERÍSTICA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA(REDUCIDA O ESTÁNDAR)

No depende de ningún parámetro Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. La curva f(x) es simétrica respecto del eje 0Y Tiene un máximo en el eje Y Tiene dos puntos de inflexión en z =1 y z = -1

La curva normal estándar tiene = 0 y = 1. Recordamos que la probabilidadequivale al área bajo la curva, que el área bajo toda la curva es 1 y que el áreabajo cada mitad de la curva es 0.5. Para calcular probabilidades en una curvanormal no estándar, usamos la fórmula de conversión z . Cuando la media de ladistribución normal es 0 y la varianza es 1 se denomina "normal tipificada ", y suventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada paracada punto de la curva de esta distribución.

Ejemplo:

Consideremos que el peso de los niños varones venezolanos en el momento delnacimiento se distribuyen normalmente. Si sabemos que el peso medio en elmomento de nacer son 3,25 Kg. y la desviación típica es de 0,82 Kg. , ¿cuál es laprobabilidad de que el peso de un niño varón al nacer sea superior a 4 Kg?

91460820

2534.

.. X

Z

Tipificamos la

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VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES