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VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIOacuteN DE
PROBABILIDADES
HAMLET MATA MATA
Variable Aleatoria es una funcioacuten que asocia un nuacutemero real perfectamente definido a
cada punto muestral A veces las variables aleatorias (va) estaacuten ya impliacutecitas en los puntos
muestrales
Ejemplo 1 Sea el evento la experiencia relacionada con la medicioacuten de la estatura de 100
individuos Un punto muestral (resultado de un experimento) es ya un nuacutemero (estatura)
La va estaacute impliacutecita
Ejemplo 2 Sea el evento lanzar una moneda 3 veces al aire Si se representa la cara con c
y el sello con s entonces el espacio muestral seraacute
Espacio Muestral = ccc ccs csc scc css scs ssc sss
La probabilidad de cada suceso elemental es 18 Por ejemplo p(ccc) = 18 ya que la
probabilidad de sacar cara en una tirada es 12 seguacuten la definicioacuten claacutesica y las tiradas son
independientes
Definimos la va X nuacutemero de caras que puede tomar los valores 0 1 2 3 Se buscan
todos los puntos muestrales que dan lugar a cada valor de la variable y a ese valor se le
asigna la probabilidad del suceso correspondiente
x Sucesos px
0 zzz 18
1 czz zcz zzc 38
2 ccz czc zcc 38
3 ccc 18
En el caso de las variables discretas como en el ejemplo es una funcioacuten que para cada
valor de la variable da su probabilidad
Ejemplo 3 Sea el evento experimental lanzar al aire 2 monedas Se sabe que el espacio
muestral de este experimento contiene 4 puntos muestra les
S = (c c) (c s) (s c) (s s) donde el primer elemento de cada par indica si se obtuvo
cara (c) o sello (s) en la primera moneda y el segundo lo mismo con respecto a la segunda
moneda La probabilidad de cada punto muestral es entonces 14 Ahora bien normalmente
no estamos interesados en los puntos muestrales sino en cierta magnitud asociada con los
puntos muestrales Por Ej Se podriacutea estar interesado en el nuacutemero de caras que hay en
cada punto muestral Si definimos una variable Xi como el nuacutemero de caras en el punto
muestral si Xi tomaraacute los valores X1 = 2 X2 = 1 X3 = 1 X4 = 0 Por lo tanto Xi es
una variable aleatoria
Una variable X es una variable aleatoria si es una magnitud susceptible de tomar diversos
valores con determinadas probabilidades Es una regla que asocia un nuacutemero con cada
evento simple en el espacio muestra de un experimento Por lo general esta regla se
simboliza por medio de las mayuacutesculas X Y o Z
2
Definicioacuten
Una variable aleatoria es una funcioacuten que asocia un nuacutemero real a cada elemento
del espacio muestral
O tambieacuten
Una Variable Aleatoria es una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada resultado
en el espacio muestral de un experimento aleatorio
Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento
aleatorio Esta variable aleatoria puede ser discreta o continua Si puede tomar soacutelo un
nuacutemero limitado de valores entonces es una variable aleatoria discreta En el otro
extremo si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado entonces se trata de
una variable aleatoria continua
La distribucioacuten de probabilidad X se describe por una foacutermula que enuncia la probabilidad
como una funcioacuten de x Es decir la distribucioacuten de X estaacute especificada por la funcioacuten
)()( xXPxf x El subiacutendice de )(xf x revela la variable aleatoria de intereacutes El
subiacutendice se omitiraacute cuando no haya ninguna confusioacuten sobre la probabilidad del resulta-
do Puesto que )(xf x estaacute definida como una probabilidad )(xf x es una funcioacuten que va
del conjunto de valores posibles de la variable aleatoria al intervalo [0 1]
Definicioacuten
La funcioacuten 321k)xX(P)x(f kkx que va del conjunto de los valores
posibles de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0 1] recibe el nombre de
funcioacuten de probabilidad
Para una variable aleatoria )( xfX x satisface las siguientes propiedades
x
kx
kx
kkx
1)x(f3
0)x(f2
)xX(P)x(f1
Para todo x
Se ha esgrimido el teacutermino experimento estadiacutestico para representar cualquier proceso a
traveacutes del cual se generan diversas observaciones al azar Con frecuencia no interesan los
detalles asociados con cada punto muestral sino simplemente alguna descripcioacuten numeacuterica
del resultado Por ejemplo el espacio muestral que da una descripcioacuten detallada de cada
uno de los resultados posibles de los alumbramientos de una mujer en 3 ocasiones pueden
escribirse asiacute
S = (Espacio Muestral) = HHH HHM HMH MHH HMM MHM MMH MMM
Si lo que interesa es soacutelo el nuacutemero de hembras que alumbra la mujer entonces se podriacutea asignar un valor numeacuterico de 0 1 2 oacute 3 a cada uno de los puntos muestrales Los nuacutemeros 0 1 2 y 3 son cantidades aleatorias que se determinan a traveacutes del resultado del experimento Se podriacutea pensar como los valores que toma alguna variable aleatoria X que en este caso representa el nuacutemero hembras que nacen cuando la mujer tiene 3 alumbramientos
Definicioacuten
Si un espacio muestral contiene un nuacutemero finito de posibilidades o una secuencia
sin final con igual nuacutemero de elementos que nuacutemeros enteros se le denomina
3
variable aleatoria discreta (espacio muestral discreto) A una variable aleatoria
se le denomina variable aleatoria discreta si su conjunto de posibles resultados es
contable Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede
pude tomar un nuacutemero determinado de valores
Las variables aleatorias discretas representan datos que se refieren tales como el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos en una muestra de m de ellos o el nuacutemero de accidentes en carreteras por antildeo en un estado determinado
Ejemplo si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz si se tira un dado puede
salir un nuacutemero de 1 al 6 en una ruleta el nuacutemero puede tomar un valor del 1 al 32
El resultado de un experimento estadiacutestico que puede no ser finito ni contable Un ejemplo
de este paradigma ocurre cuando se produce una investigacioacuten para medir las distancias
que recorre cierta marca de automoacutevil en una distancia de prueba especificado con 5 litros
de gasolina Asumiendo que el trayecto es una variable que se puede medir con cualquier
grado de precisioacuten entonces resulta claro que se tiene un nuacutemero infinito de distancias
posibles en el espacio muestral y que no puede igualarse al nuacutemero de nuacutemeros enteros Si
se registrara tambieacuten la cantidad de tiempo en que se efectuacutea el recorrido de la diferentes
marcas da nueva cuenta de los intervalos de tiempos posibles que conforman el espacio
muestral serian infinitos en nuacutemero e incontables Se observa con esto que no todos los
espacios muestrales son necesariamente discretos
Definicioacuten
Si un espacio muestral contiene un nuacutemero infinito de posibilidades iguales al
nuacutemero de puntos que se encuentran en un segmento de liacutenea se le denomina
variable aleatoria continua (espacio muestral continuo) Las distribuciones
continuas son aquellas que presentan un nuacutemero infinito de posibles soluciones
Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua se le
denomina variable aleatoria continua
Ejemplo El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro
de cierto intervalo (4237 kg 423764 kg 42 376541kg etc) la esperanza media de vida
de una poblacioacuten (725 antildeos 7513 antildeos 72 51234 antildeos)
Con frecuencia los valores posibles de una variable aleatoria continua son precisamente los
mismos valores contenidos en el espacio muestral continuo Tal es el caso de aquella
variable aleatoria que representa la distancia que cierta marca de automoacutevil puede recorrer
en un camino de prueba con 5 litros de gasolina En la mayoriacutea de los problemas praacutecticos
las variables aleatorias continuas representan datos medidos tales como alturas pesos
temperaturas distancias o periacuteodos de vida posibles
Se puede especular en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de
un desarrollo a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en un hospital para
tratamiento del caacutencer de pulmoacuten no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentos
hombres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera Si los registros diarios del hospital
indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 pacientes diarios
entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria es discreta cuando uacutenicamente puede tomar un determinado nuacutemero
de valores en un intervalo Por ejemplo la variable aleatoria Ndeg de caras obtenidas al
lanzar 2 monedas es una variable aleatoria discreta en el intervalo (02) Solo puede tomar
los valores 0 1 y 2 Si el espacio muestral consiste en un Conjunto discontinuo de sucesos
entonces una variable asociada con ese conjunto se le llama discreta de otra manera se le
llama continua
Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo
Supongamos el experimento de lanzar una moneda hacia una liacutenea marcada en el suelo
Supongamos que la distancia maacutexima a que puede caer la moneda de la marca es 1 metro
(entendiendo como distancia la del centro de la moneda a la liacutenea) Si definimos una
variable aleatoria X que represente esa distancia X puede tomar cualquier valor en el
intervalo [01]
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS
Una variable aleatoria es un evento numeacuterico cuyo valor se determina mediante un
proceso al azar Cuando se asignan valores de probabilidad a todos los datos numeacutericos
posibles de una variable aleatoria X ya sea mediante un listado o a traveacutes de una funcioacuten
matemaacutetica se obtiene como resultado una distribucioacuten de probabilidad La suma de las
probabilidades para todos los resultados numeacutericos posibles debe ser Igual a 10 Pueden
denotarse los valores de probabilidad individuales mediante el siacutembolo f(x) lo cual implica
que hay impliacutecita una funcioacuten matemaacutetica mediante P(x = X) lo cual implica que la
variable aleatoria puede asumir diversos valores especiacuteficos o simplemente mediante P(X)
Para una variable aleatoria discreta se pueden enumerar todos los valores numeacutericos
posibles de la variable en una tabla con las probabilidades correspondientes Existen
diversas distribuciones estaacutendar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para
una amplia gama de variables aleatorias discretas en aplicaciones de negocios
Para una variable aleatoria continua no es posible enumerar todos los posibles valores
fraccionarios de la variable y por lo tanto las probabilidades que se determinan a traveacutes de
una funcioacuten matemaacutetica se ilustran en forma graacutefica mediante una funcioacuten de densidad de
probabilidad o curva de probabilidad
EJEMPLO 1 En la Tabla A se muestra el nuacutemero de camionetas que se han solicitado
para rentar en una arrendadora de automoacuteviles en un periodo de 50 diacuteas En la uacuteltima
columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 diacuteas En
la uacuteltima columna de la tabla se incluyen las frecuencias observadas en ese periodo de 50
diacuteas convertidas en probabilidad Asiacute puede observarse que la probabilidad de que se
hayan solicitado exactamente siete camionetas en un diacutea elegido al azar en ese periodo es
de 020 y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o maacutes es de 028 + 020 +
008 = 056
Tabla A Demanda diaria de arrendamiento de camionetas
Durante un periodo de 50 diacuteas
Demandas Posibles
X
Nuacutemero de Diacuteas Probabilidad )(XP
Valor Ponderado )( XPX
3 3 006 018
4 7 014 056
5 12 024 120
6 14 028 168
7 10 020 140
8 4 008 064
TOTALES 50 100 665)( XE
Distribuciones de probabilidad para variables discretas
Las variables aleatorias son aquellas que se relacionan con la ocurrencia de un fenoacutemeno
aleatorio Cuando una de esas variables aleatorias toma diversos valores la probabilidad
asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribucioacuten de
probabilidad lo que se denomina distribucioacuten de las probabilidades asociadas a cada uno
de los valores de la variable aleatoria Las distribuciones de probabilidad logran
representarse a traveacutes de una tabla una graacutefica o una foacutermula en cuyo caso tal regla de
correspondencia se le denomina funcioacuten de probabilidad
Una variable aleatoria discreta adquiere cada uno de sus valores con cierta probabilidad En
el proceso del lanzamiento de una moneda 3 veces la variable X que representa el nuacutemero
de sellos toma el valor 2 con una probabilidad de 38 puesto que 3 de los puntos
muestrales igualmente probables dan como resultado 2 sellos y 1 cara Si se suponen
arreglos iguales para los eventos simples del siguiente ejemplo
Un empleado de un depoacutesito le regresa en forma aleatoria tres herramientas de seguridad
previamente revisados a tres obreros de un taller Si Sauacutel Jesuacutes y Boris en ese orden
reciben una de las tres herramientas enumere los puntos muestrales para los oacuterdenes
5
posibles de devolucioacuten de las herramientas y calcule los valores b de la variable aleatoria
B que representa el nuacutemero de agrupaciones correctas
Solucioacuten- Si S J y B representan las herramientas de Saul Jesuacutes y Boris respectivamente
luego los arreglos posibles en los que podriacutean devolverse las herramientas y el nuacutemero de
agrupaciones correctas seraacuten
b 3 1 1 0 0 1
Espacio Muestral SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS
La probabilidad de que ninguacuten obrero reciba de nuevo la herramienta que teniacutea es decir
la probabilidad de que B tome el valor de cero es 13 Los posibles valores b de B y sus
probabilidades estaacuten dados por
b 0 1 3
P(B = b) 3
1
2
1
6
1
Obseacutervese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades
suman 1
Con frecuencia resulta conveniente representar todas las probabilidades de una variable
aleatoria X a traveacutes de una foacutermula Esta foacutermula seria necesariamente funcioacuten de los
valores numeacutericos x que se denotaraacuten por f(x) g(x) r(x) y asiacute sucesivamente Por lo tanto
se escribe f(x) = P(X= x) es decir )3X(P)3(f Al conjunto de pares ordenados (x
f(x)) se le denomina funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria discreta X
Definicioacuten
El conjunto de pares ordenados (x f(x)) es una funcioacuten de probabilidad o una
distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si para cada posible
resultado x
0)(1 xf
1)(2 xf
)()(3 xfxXP
Ejemplo- Un envioacute de ocho computadoras similares para un distribuidor contiene tres
defectuosas Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras
localice la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de computadoras imperfectas
Solucioacuten- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los nuacutemeros posibles de
computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante Luego x puede se cualquiera de
los nuacutemeros 0 1 y 2 Entonces
28
3)2X(P)2(f
28
15)1X(P)1(f
28
10)0X(P)0(f
8
2
5
0
3
2
8
2
5
1
3
1
8
2
5
2
3
0
6
Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es
x
0
1
2
f(x)
28
10
28
15
28
3
Ejemplo Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se
lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS SC SS y se
puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2
Calculando las probabilidades tenemos
P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14
P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24
P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14
Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro
Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta
informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente
Problema
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son
equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen la misma
probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles
resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le
asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos calcular la probabilidad
de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El
evento de que la suma es ocho contiene 5 resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
7
lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los
resultados para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la
tabla 2 Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de
las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la suma al tirar
dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se
observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que nos interesa asiacute X = R + V
Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto
tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de
valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de una variable
aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio
muestral con una medida de probabilidad P definimos una variable aleatoria como una
funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8 al lanzar
los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62) ocurrioacute Tambieacuten
asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X = 8) = P( (26)
(35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar las variables aleatorias por letras
mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores
posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores decimos es una
variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que
pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores que potencialmente podriacutean ser
contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez
producidos en el planeta en una fecha determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero
correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten f(x) = P(X = x) para
cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de
probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de la variable X Para el ejemplo de la suma
de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la
cual se puede reescribir usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad de las sumas observadas al lanzar dos dados x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x) representa
una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede
ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que puede tener f(x) obtenemos 1 debido a
que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los
valores establecidos Por su definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes
caracteriacutesticas
1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en el dominio
de f
8
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la
siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
ba
bil
ida
de
s
La probabilidad de observar (En la graacutefica) un valor particular de la variable aleatoria
digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 =
0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra con la probabilidad
podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de
la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea de las barras para representar la probabilidad
es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P(X
4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ya
que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236
+ 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten sobre el 4 y a su izquierda
Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que
P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra funcioacuten
partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta
definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten acumulativa de X
de la siguiente manera
ix
i Para)x(f)xX(p)x(f ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de
manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes son
menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es
para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
9
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los eventos posibles
de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se
enuncian suponiendo que conocemos el valor de la probabilidad pero en la realidad esto no
ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con
estimaciones Se puede observar que en ninguacuten caso las combinaciones toma valores
negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten
probabiliacutestica son positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que
estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas
Uniforme Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma
probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores
de x = 1 2 3 4 5 6
Binomial Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad
de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y
con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
Hipergeomeacutetrica Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en
relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un
periodo de tiempo un espacio o un lugar
La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
Media y desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad para
variables discretas
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media utilizando
la foacutermula n
x f donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual puede expresarse
como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo
que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta es
)x(Px
Por ejemplo Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en dos lanzamientos de
monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
10
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta
seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de una variable
discreta es
)x(P)x( 2
Por ejemplo Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo anterior
su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor de X se
repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse
un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para identificar el valor central de
la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la
proporcioacuten de ensayos en los que X = x En consecuencia no es necesario realizar el
experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de
X puede calcularse corno el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al
resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su variable
aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria discreta se puede
considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las
ponderaciones la probabilidad relacionada con cada uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su
probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos resultantes Por
lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE
se puede expresar con la siguiente foacutermula matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X
)( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
11
Tambieacuten se puede decir que
La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria discreta X
expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X
Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la recta real entonces
E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de
probabilidad puede interpretarse mediante esta analogiacutea con la mecaacutenica
Media de una variable aleatoria
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por
lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2 Supoacutengase que en el
experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El
promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del experimento Por
ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a
alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que
tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que resulta en 0
1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las frecuencias relativas que
corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular
entonces la media o el promedio de un conjunto de datos si se conocen los distintos valores
que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de
observaciones en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos
resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o
aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse
Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media de la
distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o simplemente como
cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos
designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor
esperado de la variable X y representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio
muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables
se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
12
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello seguida
de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las
frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en
promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2 monedas
indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse
multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable aleatoria X por su
probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando luego los resultados
Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables
aleatorias continuas la definicioacuten del valor esperado es en esencia la misma soacutelo que las
sumatorias se reemplazan por integrales
Ejemplo Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas
seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
Solucioacuten Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La
distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
Para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a partir de un
grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
Ejemplo En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5 doacutelares si al tirar a
aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3
doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la ganancia esperada de jugador
Solucioacuten El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden
obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma equivalente si la
moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
13
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una
de estas posibilidades es igualmente posible y ocurre con una probabilidad igual a 18 Un
enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos
independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPC C SP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede ganar y los
valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3 $ si ocurre el
evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se presentan con
probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3 monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o
ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia
esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una
presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para
tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentas mujeres
van a ser atendidas en un diacutea cualquiera De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea
siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores
numeacutericos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio Si los
registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100
hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los
uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de frecuencias Hasta
donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico
podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada nuacutemero posible de
pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B
mediante la normalizacioacuten de la distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso
dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el
nuacutemero total de diacuteas en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de
probabilidad para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de
manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades
deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza
matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable
aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores En la tabla B
mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos
dan informacioacuten acerca de la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes
atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
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2
Definicioacuten
Una variable aleatoria es una funcioacuten que asocia un nuacutemero real a cada elemento
del espacio muestral
O tambieacuten
Una Variable Aleatoria es una funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada resultado
en el espacio muestral de un experimento aleatorio
Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento
aleatorio Esta variable aleatoria puede ser discreta o continua Si puede tomar soacutelo un
nuacutemero limitado de valores entonces es una variable aleatoria discreta En el otro
extremo si puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado entonces se trata de
una variable aleatoria continua
La distribucioacuten de probabilidad X se describe por una foacutermula que enuncia la probabilidad
como una funcioacuten de x Es decir la distribucioacuten de X estaacute especificada por la funcioacuten
)()( xXPxf x El subiacutendice de )(xf x revela la variable aleatoria de intereacutes El
subiacutendice se omitiraacute cuando no haya ninguna confusioacuten sobre la probabilidad del resulta-
do Puesto que )(xf x estaacute definida como una probabilidad )(xf x es una funcioacuten que va
del conjunto de valores posibles de la variable aleatoria al intervalo [0 1]
Definicioacuten
La funcioacuten 321k)xX(P)x(f kkx que va del conjunto de los valores
posibles de la variable aleatoria discreta X al intervalo [0 1] recibe el nombre de
funcioacuten de probabilidad
Para una variable aleatoria )( xfX x satisface las siguientes propiedades
x
kx
kx
kkx
1)x(f3
0)x(f2
)xX(P)x(f1
Para todo x
Se ha esgrimido el teacutermino experimento estadiacutestico para representar cualquier proceso a
traveacutes del cual se generan diversas observaciones al azar Con frecuencia no interesan los
detalles asociados con cada punto muestral sino simplemente alguna descripcioacuten numeacuterica
del resultado Por ejemplo el espacio muestral que da una descripcioacuten detallada de cada
uno de los resultados posibles de los alumbramientos de una mujer en 3 ocasiones pueden
escribirse asiacute
S = (Espacio Muestral) = HHH HHM HMH MHH HMM MHM MMH MMM
Si lo que interesa es soacutelo el nuacutemero de hembras que alumbra la mujer entonces se podriacutea asignar un valor numeacuterico de 0 1 2 oacute 3 a cada uno de los puntos muestrales Los nuacutemeros 0 1 2 y 3 son cantidades aleatorias que se determinan a traveacutes del resultado del experimento Se podriacutea pensar como los valores que toma alguna variable aleatoria X que en este caso representa el nuacutemero hembras que nacen cuando la mujer tiene 3 alumbramientos
Definicioacuten
Si un espacio muestral contiene un nuacutemero finito de posibilidades o una secuencia
sin final con igual nuacutemero de elementos que nuacutemeros enteros se le denomina
3
variable aleatoria discreta (espacio muestral discreto) A una variable aleatoria
se le denomina variable aleatoria discreta si su conjunto de posibles resultados es
contable Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede
pude tomar un nuacutemero determinado de valores
Las variables aleatorias discretas representan datos que se refieren tales como el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos en una muestra de m de ellos o el nuacutemero de accidentes en carreteras por antildeo en un estado determinado
Ejemplo si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz si se tira un dado puede
salir un nuacutemero de 1 al 6 en una ruleta el nuacutemero puede tomar un valor del 1 al 32
El resultado de un experimento estadiacutestico que puede no ser finito ni contable Un ejemplo
de este paradigma ocurre cuando se produce una investigacioacuten para medir las distancias
que recorre cierta marca de automoacutevil en una distancia de prueba especificado con 5 litros
de gasolina Asumiendo que el trayecto es una variable que se puede medir con cualquier
grado de precisioacuten entonces resulta claro que se tiene un nuacutemero infinito de distancias
posibles en el espacio muestral y que no puede igualarse al nuacutemero de nuacutemeros enteros Si
se registrara tambieacuten la cantidad de tiempo en que se efectuacutea el recorrido de la diferentes
marcas da nueva cuenta de los intervalos de tiempos posibles que conforman el espacio
muestral serian infinitos en nuacutemero e incontables Se observa con esto que no todos los
espacios muestrales son necesariamente discretos
Definicioacuten
Si un espacio muestral contiene un nuacutemero infinito de posibilidades iguales al
nuacutemero de puntos que se encuentran en un segmento de liacutenea se le denomina
variable aleatoria continua (espacio muestral continuo) Las distribuciones
continuas son aquellas que presentan un nuacutemero infinito de posibles soluciones
Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua se le
denomina variable aleatoria continua
Ejemplo El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro
de cierto intervalo (4237 kg 423764 kg 42 376541kg etc) la esperanza media de vida
de una poblacioacuten (725 antildeos 7513 antildeos 72 51234 antildeos)
Con frecuencia los valores posibles de una variable aleatoria continua son precisamente los
mismos valores contenidos en el espacio muestral continuo Tal es el caso de aquella
variable aleatoria que representa la distancia que cierta marca de automoacutevil puede recorrer
en un camino de prueba con 5 litros de gasolina En la mayoriacutea de los problemas praacutecticos
las variables aleatorias continuas representan datos medidos tales como alturas pesos
temperaturas distancias o periacuteodos de vida posibles
Se puede especular en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de
un desarrollo a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en un hospital para
tratamiento del caacutencer de pulmoacuten no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentos
hombres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera Si los registros diarios del hospital
indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 pacientes diarios
entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria es discreta cuando uacutenicamente puede tomar un determinado nuacutemero
de valores en un intervalo Por ejemplo la variable aleatoria Ndeg de caras obtenidas al
lanzar 2 monedas es una variable aleatoria discreta en el intervalo (02) Solo puede tomar
los valores 0 1 y 2 Si el espacio muestral consiste en un Conjunto discontinuo de sucesos
entonces una variable asociada con ese conjunto se le llama discreta de otra manera se le
llama continua
Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo
Supongamos el experimento de lanzar una moneda hacia una liacutenea marcada en el suelo
Supongamos que la distancia maacutexima a que puede caer la moneda de la marca es 1 metro
(entendiendo como distancia la del centro de la moneda a la liacutenea) Si definimos una
variable aleatoria X que represente esa distancia X puede tomar cualquier valor en el
intervalo [01]
4
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS
Una variable aleatoria es un evento numeacuterico cuyo valor se determina mediante un
proceso al azar Cuando se asignan valores de probabilidad a todos los datos numeacutericos
posibles de una variable aleatoria X ya sea mediante un listado o a traveacutes de una funcioacuten
matemaacutetica se obtiene como resultado una distribucioacuten de probabilidad La suma de las
probabilidades para todos los resultados numeacutericos posibles debe ser Igual a 10 Pueden
denotarse los valores de probabilidad individuales mediante el siacutembolo f(x) lo cual implica
que hay impliacutecita una funcioacuten matemaacutetica mediante P(x = X) lo cual implica que la
variable aleatoria puede asumir diversos valores especiacuteficos o simplemente mediante P(X)
Para una variable aleatoria discreta se pueden enumerar todos los valores numeacutericos
posibles de la variable en una tabla con las probabilidades correspondientes Existen
diversas distribuciones estaacutendar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para
una amplia gama de variables aleatorias discretas en aplicaciones de negocios
Para una variable aleatoria continua no es posible enumerar todos los posibles valores
fraccionarios de la variable y por lo tanto las probabilidades que se determinan a traveacutes de
una funcioacuten matemaacutetica se ilustran en forma graacutefica mediante una funcioacuten de densidad de
probabilidad o curva de probabilidad
EJEMPLO 1 En la Tabla A se muestra el nuacutemero de camionetas que se han solicitado
para rentar en una arrendadora de automoacuteviles en un periodo de 50 diacuteas En la uacuteltima
columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 diacuteas En
la uacuteltima columna de la tabla se incluyen las frecuencias observadas en ese periodo de 50
diacuteas convertidas en probabilidad Asiacute puede observarse que la probabilidad de que se
hayan solicitado exactamente siete camionetas en un diacutea elegido al azar en ese periodo es
de 020 y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o maacutes es de 028 + 020 +
008 = 056
Tabla A Demanda diaria de arrendamiento de camionetas
Durante un periodo de 50 diacuteas
Demandas Posibles
X
Nuacutemero de Diacuteas Probabilidad )(XP
Valor Ponderado )( XPX
3 3 006 018
4 7 014 056
5 12 024 120
6 14 028 168
7 10 020 140
8 4 008 064
TOTALES 50 100 665)( XE
Distribuciones de probabilidad para variables discretas
Las variables aleatorias son aquellas que se relacionan con la ocurrencia de un fenoacutemeno
aleatorio Cuando una de esas variables aleatorias toma diversos valores la probabilidad
asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribucioacuten de
probabilidad lo que se denomina distribucioacuten de las probabilidades asociadas a cada uno
de los valores de la variable aleatoria Las distribuciones de probabilidad logran
representarse a traveacutes de una tabla una graacutefica o una foacutermula en cuyo caso tal regla de
correspondencia se le denomina funcioacuten de probabilidad
Una variable aleatoria discreta adquiere cada uno de sus valores con cierta probabilidad En
el proceso del lanzamiento de una moneda 3 veces la variable X que representa el nuacutemero
de sellos toma el valor 2 con una probabilidad de 38 puesto que 3 de los puntos
muestrales igualmente probables dan como resultado 2 sellos y 1 cara Si se suponen
arreglos iguales para los eventos simples del siguiente ejemplo
Un empleado de un depoacutesito le regresa en forma aleatoria tres herramientas de seguridad
previamente revisados a tres obreros de un taller Si Sauacutel Jesuacutes y Boris en ese orden
reciben una de las tres herramientas enumere los puntos muestrales para los oacuterdenes
5
posibles de devolucioacuten de las herramientas y calcule los valores b de la variable aleatoria
B que representa el nuacutemero de agrupaciones correctas
Solucioacuten- Si S J y B representan las herramientas de Saul Jesuacutes y Boris respectivamente
luego los arreglos posibles en los que podriacutean devolverse las herramientas y el nuacutemero de
agrupaciones correctas seraacuten
b 3 1 1 0 0 1
Espacio Muestral SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS
La probabilidad de que ninguacuten obrero reciba de nuevo la herramienta que teniacutea es decir
la probabilidad de que B tome el valor de cero es 13 Los posibles valores b de B y sus
probabilidades estaacuten dados por
b 0 1 3
P(B = b) 3
1
2
1
6
1
Obseacutervese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades
suman 1
Con frecuencia resulta conveniente representar todas las probabilidades de una variable
aleatoria X a traveacutes de una foacutermula Esta foacutermula seria necesariamente funcioacuten de los
valores numeacutericos x que se denotaraacuten por f(x) g(x) r(x) y asiacute sucesivamente Por lo tanto
se escribe f(x) = P(X= x) es decir )3X(P)3(f Al conjunto de pares ordenados (x
f(x)) se le denomina funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria discreta X
Definicioacuten
El conjunto de pares ordenados (x f(x)) es una funcioacuten de probabilidad o una
distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si para cada posible
resultado x
0)(1 xf
1)(2 xf
)()(3 xfxXP
Ejemplo- Un envioacute de ocho computadoras similares para un distribuidor contiene tres
defectuosas Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras
localice la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de computadoras imperfectas
Solucioacuten- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los nuacutemeros posibles de
computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante Luego x puede se cualquiera de
los nuacutemeros 0 1 y 2 Entonces
28
3)2X(P)2(f
28
15)1X(P)1(f
28
10)0X(P)0(f
8
2
5
0
3
2
8
2
5
1
3
1
8
2
5
2
3
0
6
Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es
x
0
1
2
f(x)
28
10
28
15
28
3
Ejemplo Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se
lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS SC SS y se
puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2
Calculando las probabilidades tenemos
P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14
P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24
P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14
Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro
Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta
informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente
Problema
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son
equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen la misma
probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles
resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le
asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos calcular la probabilidad
de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El
evento de que la suma es ocho contiene 5 resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
7
lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los
resultados para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la
tabla 2 Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de
las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la suma al tirar
dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se
observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que nos interesa asiacute X = R + V
Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto
tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de
valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de una variable
aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio
muestral con una medida de probabilidad P definimos una variable aleatoria como una
funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8 al lanzar
los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62) ocurrioacute Tambieacuten
asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X = 8) = P( (26)
(35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar las variables aleatorias por letras
mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores
posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores decimos es una
variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que
pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores que potencialmente podriacutean ser
contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez
producidos en el planeta en una fecha determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero
correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten f(x) = P(X = x) para
cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de
probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de la variable X Para el ejemplo de la suma
de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la
cual se puede reescribir usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad de las sumas observadas al lanzar dos dados x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x) representa
una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede
ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que puede tener f(x) obtenemos 1 debido a
que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los
valores establecidos Por su definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes
caracteriacutesticas
1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en el dominio
de f
8
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la
siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
ba
bil
ida
de
s
La probabilidad de observar (En la graacutefica) un valor particular de la variable aleatoria
digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 =
0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra con la probabilidad
podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de
la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea de las barras para representar la probabilidad
es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P(X
4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ya
que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236
+ 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten sobre el 4 y a su izquierda
Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que
P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra funcioacuten
partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta
definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten acumulativa de X
de la siguiente manera
ix
i Para)x(f)xX(p)x(f ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de
manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes son
menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es
para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
9
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los eventos posibles
de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se
enuncian suponiendo que conocemos el valor de la probabilidad pero en la realidad esto no
ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con
estimaciones Se puede observar que en ninguacuten caso las combinaciones toma valores
negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten
probabiliacutestica son positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que
estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas
Uniforme Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma
probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores
de x = 1 2 3 4 5 6
Binomial Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad
de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y
con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
Hipergeomeacutetrica Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en
relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un
periodo de tiempo un espacio o un lugar
La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
Media y desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad para
variables discretas
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media utilizando
la foacutermula n
x f donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual puede expresarse
como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo
que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta es
)x(Px
Por ejemplo Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en dos lanzamientos de
monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
10
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta
seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de una variable
discreta es
)x(P)x( 2
Por ejemplo Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo anterior
su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor de X se
repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse
un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para identificar el valor central de
la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la
proporcioacuten de ensayos en los que X = x En consecuencia no es necesario realizar el
experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de
X puede calcularse corno el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al
resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su variable
aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria discreta se puede
considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las
ponderaciones la probabilidad relacionada con cada uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su
probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos resultantes Por
lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE
se puede expresar con la siguiente foacutermula matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X
)( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
11
Tambieacuten se puede decir que
La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria discreta X
expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X
Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la recta real entonces
E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de
probabilidad puede interpretarse mediante esta analogiacutea con la mecaacutenica
Media de una variable aleatoria
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por
lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2 Supoacutengase que en el
experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El
promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del experimento Por
ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a
alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que
tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que resulta en 0
1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las frecuencias relativas que
corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular
entonces la media o el promedio de un conjunto de datos si se conocen los distintos valores
que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de
observaciones en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos
resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o
aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse
Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media de la
distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o simplemente como
cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos
designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor
esperado de la variable X y representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio
muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables
se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
12
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello seguida
de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las
frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en
promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2 monedas
indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse
multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable aleatoria X por su
probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando luego los resultados
Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables
aleatorias continuas la definicioacuten del valor esperado es en esencia la misma soacutelo que las
sumatorias se reemplazan por integrales
Ejemplo Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas
seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
Solucioacuten Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La
distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
Para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a partir de un
grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
Ejemplo En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5 doacutelares si al tirar a
aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3
doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la ganancia esperada de jugador
Solucioacuten El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden
obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma equivalente si la
moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
13
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una
de estas posibilidades es igualmente posible y ocurre con una probabilidad igual a 18 Un
enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos
independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPC C SP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede ganar y los
valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3 $ si ocurre el
evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se presentan con
probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3 monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o
ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia
esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una
presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para
tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentas mujeres
van a ser atendidas en un diacutea cualquiera De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea
siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores
numeacutericos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio Si los
registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100
hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los
uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de frecuencias Hasta
donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico
podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada nuacutemero posible de
pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B
mediante la normalizacioacuten de la distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso
dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el
nuacutemero total de diacuteas en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de
probabilidad para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de
manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades
deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza
matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable
aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores En la tabla B
mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos
dan informacioacuten acerca de la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes
atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
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Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
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Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
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Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
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Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
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Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
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Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
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EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
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La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
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Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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47
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3
variable aleatoria discreta (espacio muestral discreto) A una variable aleatoria
se le denomina variable aleatoria discreta si su conjunto de posibles resultados es
contable Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede
pude tomar un nuacutemero determinado de valores
Las variables aleatorias discretas representan datos que se refieren tales como el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos en una muestra de m de ellos o el nuacutemero de accidentes en carreteras por antildeo en un estado determinado
Ejemplo si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz si se tira un dado puede
salir un nuacutemero de 1 al 6 en una ruleta el nuacutemero puede tomar un valor del 1 al 32
El resultado de un experimento estadiacutestico que puede no ser finito ni contable Un ejemplo
de este paradigma ocurre cuando se produce una investigacioacuten para medir las distancias
que recorre cierta marca de automoacutevil en una distancia de prueba especificado con 5 litros
de gasolina Asumiendo que el trayecto es una variable que se puede medir con cualquier
grado de precisioacuten entonces resulta claro que se tiene un nuacutemero infinito de distancias
posibles en el espacio muestral y que no puede igualarse al nuacutemero de nuacutemeros enteros Si
se registrara tambieacuten la cantidad de tiempo en que se efectuacutea el recorrido de la diferentes
marcas da nueva cuenta de los intervalos de tiempos posibles que conforman el espacio
muestral serian infinitos en nuacutemero e incontables Se observa con esto que no todos los
espacios muestrales son necesariamente discretos
Definicioacuten
Si un espacio muestral contiene un nuacutemero infinito de posibilidades iguales al
nuacutemero de puntos que se encuentran en un segmento de liacutenea se le denomina
variable aleatoria continua (espacio muestral continuo) Las distribuciones
continuas son aquellas que presentan un nuacutemero infinito de posibles soluciones
Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua se le
denomina variable aleatoria continua
Ejemplo El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro
de cierto intervalo (4237 kg 423764 kg 42 376541kg etc) la esperanza media de vida
de una poblacioacuten (725 antildeos 7513 antildeos 72 51234 antildeos)
Con frecuencia los valores posibles de una variable aleatoria continua son precisamente los
mismos valores contenidos en el espacio muestral continuo Tal es el caso de aquella
variable aleatoria que representa la distancia que cierta marca de automoacutevil puede recorrer
en un camino de prueba con 5 litros de gasolina En la mayoriacutea de los problemas praacutecticos
las variables aleatorias continuas representan datos medidos tales como alturas pesos
temperaturas distancias o periacuteodos de vida posibles
Se puede especular en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de
un desarrollo a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en un hospital para
tratamiento del caacutencer de pulmoacuten no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentos
hombres van a ser atendidas en un diacutea cualquiera Si los registros diarios del hospital
indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100 hasta 115 pacientes diarios
entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria es discreta cuando uacutenicamente puede tomar un determinado nuacutemero
de valores en un intervalo Por ejemplo la variable aleatoria Ndeg de caras obtenidas al
lanzar 2 monedas es una variable aleatoria discreta en el intervalo (02) Solo puede tomar
los valores 0 1 y 2 Si el espacio muestral consiste en un Conjunto discontinuo de sucesos
entonces una variable asociada con ese conjunto se le llama discreta de otra manera se le
llama continua
Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo
Supongamos el experimento de lanzar una moneda hacia una liacutenea marcada en el suelo
Supongamos que la distancia maacutexima a que puede caer la moneda de la marca es 1 metro
(entendiendo como distancia la del centro de la moneda a la liacutenea) Si definimos una
variable aleatoria X que represente esa distancia X puede tomar cualquier valor en el
intervalo [01]
4
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS
Una variable aleatoria es un evento numeacuterico cuyo valor se determina mediante un
proceso al azar Cuando se asignan valores de probabilidad a todos los datos numeacutericos
posibles de una variable aleatoria X ya sea mediante un listado o a traveacutes de una funcioacuten
matemaacutetica se obtiene como resultado una distribucioacuten de probabilidad La suma de las
probabilidades para todos los resultados numeacutericos posibles debe ser Igual a 10 Pueden
denotarse los valores de probabilidad individuales mediante el siacutembolo f(x) lo cual implica
que hay impliacutecita una funcioacuten matemaacutetica mediante P(x = X) lo cual implica que la
variable aleatoria puede asumir diversos valores especiacuteficos o simplemente mediante P(X)
Para una variable aleatoria discreta se pueden enumerar todos los valores numeacutericos
posibles de la variable en una tabla con las probabilidades correspondientes Existen
diversas distribuciones estaacutendar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para
una amplia gama de variables aleatorias discretas en aplicaciones de negocios
Para una variable aleatoria continua no es posible enumerar todos los posibles valores
fraccionarios de la variable y por lo tanto las probabilidades que se determinan a traveacutes de
una funcioacuten matemaacutetica se ilustran en forma graacutefica mediante una funcioacuten de densidad de
probabilidad o curva de probabilidad
EJEMPLO 1 En la Tabla A se muestra el nuacutemero de camionetas que se han solicitado
para rentar en una arrendadora de automoacuteviles en un periodo de 50 diacuteas En la uacuteltima
columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 diacuteas En
la uacuteltima columna de la tabla se incluyen las frecuencias observadas en ese periodo de 50
diacuteas convertidas en probabilidad Asiacute puede observarse que la probabilidad de que se
hayan solicitado exactamente siete camionetas en un diacutea elegido al azar en ese periodo es
de 020 y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o maacutes es de 028 + 020 +
008 = 056
Tabla A Demanda diaria de arrendamiento de camionetas
Durante un periodo de 50 diacuteas
Demandas Posibles
X
Nuacutemero de Diacuteas Probabilidad )(XP
Valor Ponderado )( XPX
3 3 006 018
4 7 014 056
5 12 024 120
6 14 028 168
7 10 020 140
8 4 008 064
TOTALES 50 100 665)( XE
Distribuciones de probabilidad para variables discretas
Las variables aleatorias son aquellas que se relacionan con la ocurrencia de un fenoacutemeno
aleatorio Cuando una de esas variables aleatorias toma diversos valores la probabilidad
asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribucioacuten de
probabilidad lo que se denomina distribucioacuten de las probabilidades asociadas a cada uno
de los valores de la variable aleatoria Las distribuciones de probabilidad logran
representarse a traveacutes de una tabla una graacutefica o una foacutermula en cuyo caso tal regla de
correspondencia se le denomina funcioacuten de probabilidad
Una variable aleatoria discreta adquiere cada uno de sus valores con cierta probabilidad En
el proceso del lanzamiento de una moneda 3 veces la variable X que representa el nuacutemero
de sellos toma el valor 2 con una probabilidad de 38 puesto que 3 de los puntos
muestrales igualmente probables dan como resultado 2 sellos y 1 cara Si se suponen
arreglos iguales para los eventos simples del siguiente ejemplo
Un empleado de un depoacutesito le regresa en forma aleatoria tres herramientas de seguridad
previamente revisados a tres obreros de un taller Si Sauacutel Jesuacutes y Boris en ese orden
reciben una de las tres herramientas enumere los puntos muestrales para los oacuterdenes
5
posibles de devolucioacuten de las herramientas y calcule los valores b de la variable aleatoria
B que representa el nuacutemero de agrupaciones correctas
Solucioacuten- Si S J y B representan las herramientas de Saul Jesuacutes y Boris respectivamente
luego los arreglos posibles en los que podriacutean devolverse las herramientas y el nuacutemero de
agrupaciones correctas seraacuten
b 3 1 1 0 0 1
Espacio Muestral SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS
La probabilidad de que ninguacuten obrero reciba de nuevo la herramienta que teniacutea es decir
la probabilidad de que B tome el valor de cero es 13 Los posibles valores b de B y sus
probabilidades estaacuten dados por
b 0 1 3
P(B = b) 3
1
2
1
6
1
Obseacutervese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades
suman 1
Con frecuencia resulta conveniente representar todas las probabilidades de una variable
aleatoria X a traveacutes de una foacutermula Esta foacutermula seria necesariamente funcioacuten de los
valores numeacutericos x que se denotaraacuten por f(x) g(x) r(x) y asiacute sucesivamente Por lo tanto
se escribe f(x) = P(X= x) es decir )3X(P)3(f Al conjunto de pares ordenados (x
f(x)) se le denomina funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria discreta X
Definicioacuten
El conjunto de pares ordenados (x f(x)) es una funcioacuten de probabilidad o una
distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si para cada posible
resultado x
0)(1 xf
1)(2 xf
)()(3 xfxXP
Ejemplo- Un envioacute de ocho computadoras similares para un distribuidor contiene tres
defectuosas Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras
localice la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de computadoras imperfectas
Solucioacuten- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los nuacutemeros posibles de
computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante Luego x puede se cualquiera de
los nuacutemeros 0 1 y 2 Entonces
28
3)2X(P)2(f
28
15)1X(P)1(f
28
10)0X(P)0(f
8
2
5
0
3
2
8
2
5
1
3
1
8
2
5
2
3
0
6
Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es
x
0
1
2
f(x)
28
10
28
15
28
3
Ejemplo Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se
lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS SC SS y se
puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2
Calculando las probabilidades tenemos
P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14
P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24
P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14
Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro
Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta
informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente
Problema
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son
equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen la misma
probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles
resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le
asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos calcular la probabilidad
de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El
evento de que la suma es ocho contiene 5 resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
7
lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los
resultados para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la
tabla 2 Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de
las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la suma al tirar
dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se
observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que nos interesa asiacute X = R + V
Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto
tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de
valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de una variable
aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio
muestral con una medida de probabilidad P definimos una variable aleatoria como una
funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8 al lanzar
los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62) ocurrioacute Tambieacuten
asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X = 8) = P( (26)
(35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar las variables aleatorias por letras
mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores
posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores decimos es una
variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que
pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores que potencialmente podriacutean ser
contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez
producidos en el planeta en una fecha determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero
correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten f(x) = P(X = x) para
cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de
probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de la variable X Para el ejemplo de la suma
de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la
cual se puede reescribir usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad de las sumas observadas al lanzar dos dados x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x) representa
una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede
ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que puede tener f(x) obtenemos 1 debido a
que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los
valores establecidos Por su definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes
caracteriacutesticas
1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en el dominio
de f
8
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la
siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
ba
bil
ida
de
s
La probabilidad de observar (En la graacutefica) un valor particular de la variable aleatoria
digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 =
0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra con la probabilidad
podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de
la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea de las barras para representar la probabilidad
es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P(X
4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ya
que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236
+ 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten sobre el 4 y a su izquierda
Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que
P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra funcioacuten
partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta
definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten acumulativa de X
de la siguiente manera
ix
i Para)x(f)xX(p)x(f ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de
manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes son
menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es
para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
9
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los eventos posibles
de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se
enuncian suponiendo que conocemos el valor de la probabilidad pero en la realidad esto no
ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con
estimaciones Se puede observar que en ninguacuten caso las combinaciones toma valores
negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten
probabiliacutestica son positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que
estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas
Uniforme Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma
probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores
de x = 1 2 3 4 5 6
Binomial Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad
de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y
con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
Hipergeomeacutetrica Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en
relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un
periodo de tiempo un espacio o un lugar
La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
Media y desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad para
variables discretas
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media utilizando
la foacutermula n
x f donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual puede expresarse
como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo
que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta es
)x(Px
Por ejemplo Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en dos lanzamientos de
monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
10
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta
seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de una variable
discreta es
)x(P)x( 2
Por ejemplo Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo anterior
su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor de X se
repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse
un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para identificar el valor central de
la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la
proporcioacuten de ensayos en los que X = x En consecuencia no es necesario realizar el
experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de
X puede calcularse corno el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al
resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su variable
aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria discreta se puede
considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las
ponderaciones la probabilidad relacionada con cada uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su
probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos resultantes Por
lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE
se puede expresar con la siguiente foacutermula matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X
)( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
11
Tambieacuten se puede decir que
La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria discreta X
expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X
Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la recta real entonces
E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de
probabilidad puede interpretarse mediante esta analogiacutea con la mecaacutenica
Media de una variable aleatoria
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por
lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2 Supoacutengase que en el
experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El
promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del experimento Por
ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a
alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que
tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que resulta en 0
1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las frecuencias relativas que
corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular
entonces la media o el promedio de un conjunto de datos si se conocen los distintos valores
que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de
observaciones en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos
resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o
aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse
Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media de la
distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o simplemente como
cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos
designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor
esperado de la variable X y representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio
muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables
se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
12
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello seguida
de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las
frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en
promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2 monedas
indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse
multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable aleatoria X por su
probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando luego los resultados
Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables
aleatorias continuas la definicioacuten del valor esperado es en esencia la misma soacutelo que las
sumatorias se reemplazan por integrales
Ejemplo Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas
seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
Solucioacuten Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La
distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
Para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a partir de un
grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
Ejemplo En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5 doacutelares si al tirar a
aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3
doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la ganancia esperada de jugador
Solucioacuten El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden
obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma equivalente si la
moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
13
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una
de estas posibilidades es igualmente posible y ocurre con una probabilidad igual a 18 Un
enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos
independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPC C SP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede ganar y los
valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3 $ si ocurre el
evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se presentan con
probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3 monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o
ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia
esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una
presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para
tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentas mujeres
van a ser atendidas en un diacutea cualquiera De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea
siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores
numeacutericos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio Si los
registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100
hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los
uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de frecuencias Hasta
donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico
podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada nuacutemero posible de
pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B
mediante la normalizacioacuten de la distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso
dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el
nuacutemero total de diacuteas en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de
probabilidad para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de
manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades
deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza
matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable
aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores En la tabla B
mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos
dan informacioacuten acerca de la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes
atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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4
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS
Una variable aleatoria es un evento numeacuterico cuyo valor se determina mediante un
proceso al azar Cuando se asignan valores de probabilidad a todos los datos numeacutericos
posibles de una variable aleatoria X ya sea mediante un listado o a traveacutes de una funcioacuten
matemaacutetica se obtiene como resultado una distribucioacuten de probabilidad La suma de las
probabilidades para todos los resultados numeacutericos posibles debe ser Igual a 10 Pueden
denotarse los valores de probabilidad individuales mediante el siacutembolo f(x) lo cual implica
que hay impliacutecita una funcioacuten matemaacutetica mediante P(x = X) lo cual implica que la
variable aleatoria puede asumir diversos valores especiacuteficos o simplemente mediante P(X)
Para una variable aleatoria discreta se pueden enumerar todos los valores numeacutericos
posibles de la variable en una tabla con las probabilidades correspondientes Existen
diversas distribuciones estaacutendar de probabilidad que pueden utilizarse como modelos para
una amplia gama de variables aleatorias discretas en aplicaciones de negocios
Para una variable aleatoria continua no es posible enumerar todos los posibles valores
fraccionarios de la variable y por lo tanto las probabilidades que se determinan a traveacutes de
una funcioacuten matemaacutetica se ilustran en forma graacutefica mediante una funcioacuten de densidad de
probabilidad o curva de probabilidad
EJEMPLO 1 En la Tabla A se muestra el nuacutemero de camionetas que se han solicitado
para rentar en una arrendadora de automoacuteviles en un periodo de 50 diacuteas En la uacuteltima
columna de la Tabla se incluyen las frecuencias observadas en este periodo de 50 diacuteas En
la uacuteltima columna de la tabla se incluyen las frecuencias observadas en ese periodo de 50
diacuteas convertidas en probabilidad Asiacute puede observarse que la probabilidad de que se
hayan solicitado exactamente siete camionetas en un diacutea elegido al azar en ese periodo es
de 020 y que la probabilidad de que se hayan solicitado seis o maacutes es de 028 + 020 +
008 = 056
Tabla A Demanda diaria de arrendamiento de camionetas
Durante un periodo de 50 diacuteas
Demandas Posibles
X
Nuacutemero de Diacuteas Probabilidad )(XP
Valor Ponderado )( XPX
3 3 006 018
4 7 014 056
5 12 024 120
6 14 028 168
7 10 020 140
8 4 008 064
TOTALES 50 100 665)( XE
Distribuciones de probabilidad para variables discretas
Las variables aleatorias son aquellas que se relacionan con la ocurrencia de un fenoacutemeno
aleatorio Cuando una de esas variables aleatorias toma diversos valores la probabilidad
asociada a cada uno de tales valores puede ser organizada como una distribucioacuten de
probabilidad lo que se denomina distribucioacuten de las probabilidades asociadas a cada uno
de los valores de la variable aleatoria Las distribuciones de probabilidad logran
representarse a traveacutes de una tabla una graacutefica o una foacutermula en cuyo caso tal regla de
correspondencia se le denomina funcioacuten de probabilidad
Una variable aleatoria discreta adquiere cada uno de sus valores con cierta probabilidad En
el proceso del lanzamiento de una moneda 3 veces la variable X que representa el nuacutemero
de sellos toma el valor 2 con una probabilidad de 38 puesto que 3 de los puntos
muestrales igualmente probables dan como resultado 2 sellos y 1 cara Si se suponen
arreglos iguales para los eventos simples del siguiente ejemplo
Un empleado de un depoacutesito le regresa en forma aleatoria tres herramientas de seguridad
previamente revisados a tres obreros de un taller Si Sauacutel Jesuacutes y Boris en ese orden
reciben una de las tres herramientas enumere los puntos muestrales para los oacuterdenes
5
posibles de devolucioacuten de las herramientas y calcule los valores b de la variable aleatoria
B que representa el nuacutemero de agrupaciones correctas
Solucioacuten- Si S J y B representan las herramientas de Saul Jesuacutes y Boris respectivamente
luego los arreglos posibles en los que podriacutean devolverse las herramientas y el nuacutemero de
agrupaciones correctas seraacuten
b 3 1 1 0 0 1
Espacio Muestral SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS
La probabilidad de que ninguacuten obrero reciba de nuevo la herramienta que teniacutea es decir
la probabilidad de que B tome el valor de cero es 13 Los posibles valores b de B y sus
probabilidades estaacuten dados por
b 0 1 3
P(B = b) 3
1
2
1
6
1
Obseacutervese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades
suman 1
Con frecuencia resulta conveniente representar todas las probabilidades de una variable
aleatoria X a traveacutes de una foacutermula Esta foacutermula seria necesariamente funcioacuten de los
valores numeacutericos x que se denotaraacuten por f(x) g(x) r(x) y asiacute sucesivamente Por lo tanto
se escribe f(x) = P(X= x) es decir )3X(P)3(f Al conjunto de pares ordenados (x
f(x)) se le denomina funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria discreta X
Definicioacuten
El conjunto de pares ordenados (x f(x)) es una funcioacuten de probabilidad o una
distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si para cada posible
resultado x
0)(1 xf
1)(2 xf
)()(3 xfxXP
Ejemplo- Un envioacute de ocho computadoras similares para un distribuidor contiene tres
defectuosas Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras
localice la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de computadoras imperfectas
Solucioacuten- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los nuacutemeros posibles de
computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante Luego x puede se cualquiera de
los nuacutemeros 0 1 y 2 Entonces
28
3)2X(P)2(f
28
15)1X(P)1(f
28
10)0X(P)0(f
8
2
5
0
3
2
8
2
5
1
3
1
8
2
5
2
3
0
6
Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es
x
0
1
2
f(x)
28
10
28
15
28
3
Ejemplo Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se
lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS SC SS y se
puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2
Calculando las probabilidades tenemos
P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14
P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24
P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14
Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro
Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta
informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente
Problema
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son
equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen la misma
probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles
resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le
asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos calcular la probabilidad
de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El
evento de que la suma es ocho contiene 5 resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
7
lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los
resultados para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la
tabla 2 Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de
las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la suma al tirar
dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se
observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que nos interesa asiacute X = R + V
Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto
tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de
valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de una variable
aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio
muestral con una medida de probabilidad P definimos una variable aleatoria como una
funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8 al lanzar
los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62) ocurrioacute Tambieacuten
asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X = 8) = P( (26)
(35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar las variables aleatorias por letras
mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores
posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores decimos es una
variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que
pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores que potencialmente podriacutean ser
contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez
producidos en el planeta en una fecha determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero
correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten f(x) = P(X = x) para
cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de
probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de la variable X Para el ejemplo de la suma
de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la
cual se puede reescribir usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad de las sumas observadas al lanzar dos dados x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x) representa
una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede
ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que puede tener f(x) obtenemos 1 debido a
que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los
valores establecidos Por su definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes
caracteriacutesticas
1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en el dominio
de f
8
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la
siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
ba
bil
ida
de
s
La probabilidad de observar (En la graacutefica) un valor particular de la variable aleatoria
digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 =
0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra con la probabilidad
podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de
la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea de las barras para representar la probabilidad
es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P(X
4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ya
que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236
+ 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten sobre el 4 y a su izquierda
Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que
P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra funcioacuten
partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta
definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten acumulativa de X
de la siguiente manera
ix
i Para)x(f)xX(p)x(f ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de
manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes son
menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es
para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
9
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los eventos posibles
de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se
enuncian suponiendo que conocemos el valor de la probabilidad pero en la realidad esto no
ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con
estimaciones Se puede observar que en ninguacuten caso las combinaciones toma valores
negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten
probabiliacutestica son positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que
estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas
Uniforme Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma
probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores
de x = 1 2 3 4 5 6
Binomial Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad
de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y
con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
Hipergeomeacutetrica Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en
relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un
periodo de tiempo un espacio o un lugar
La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
Media y desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad para
variables discretas
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media utilizando
la foacutermula n
x f donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual puede expresarse
como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo
que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta es
)x(Px
Por ejemplo Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en dos lanzamientos de
monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
10
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta
seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de una variable
discreta es
)x(P)x( 2
Por ejemplo Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo anterior
su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor de X se
repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse
un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para identificar el valor central de
la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la
proporcioacuten de ensayos en los que X = x En consecuencia no es necesario realizar el
experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de
X puede calcularse corno el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al
resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su variable
aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria discreta se puede
considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las
ponderaciones la probabilidad relacionada con cada uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su
probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos resultantes Por
lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE
se puede expresar con la siguiente foacutermula matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X
)( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
11
Tambieacuten se puede decir que
La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria discreta X
expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X
Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la recta real entonces
E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de
probabilidad puede interpretarse mediante esta analogiacutea con la mecaacutenica
Media de una variable aleatoria
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por
lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2 Supoacutengase que en el
experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El
promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del experimento Por
ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a
alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que
tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que resulta en 0
1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las frecuencias relativas que
corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular
entonces la media o el promedio de un conjunto de datos si se conocen los distintos valores
que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de
observaciones en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos
resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o
aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse
Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media de la
distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o simplemente como
cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos
designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor
esperado de la variable X y representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio
muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables
se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
12
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello seguida
de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las
frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en
promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2 monedas
indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse
multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable aleatoria X por su
probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando luego los resultados
Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables
aleatorias continuas la definicioacuten del valor esperado es en esencia la misma soacutelo que las
sumatorias se reemplazan por integrales
Ejemplo Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas
seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
Solucioacuten Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La
distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
Para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a partir de un
grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
Ejemplo En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5 doacutelares si al tirar a
aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3
doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la ganancia esperada de jugador
Solucioacuten El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden
obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma equivalente si la
moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
13
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una
de estas posibilidades es igualmente posible y ocurre con una probabilidad igual a 18 Un
enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos
independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPC C SP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede ganar y los
valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3 $ si ocurre el
evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se presentan con
probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3 monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o
ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia
esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una
presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para
tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentas mujeres
van a ser atendidas en un diacutea cualquiera De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea
siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores
numeacutericos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio Si los
registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100
hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los
uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de frecuencias Hasta
donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico
podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada nuacutemero posible de
pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B
mediante la normalizacioacuten de la distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso
dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el
nuacutemero total de diacuteas en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de
probabilidad para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de
manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades
deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza
matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable
aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores En la tabla B
mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos
dan informacioacuten acerca de la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes
atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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5
posibles de devolucioacuten de las herramientas y calcule los valores b de la variable aleatoria
B que representa el nuacutemero de agrupaciones correctas
Solucioacuten- Si S J y B representan las herramientas de Saul Jesuacutes y Boris respectivamente
luego los arreglos posibles en los que podriacutean devolverse las herramientas y el nuacutemero de
agrupaciones correctas seraacuten
b 3 1 1 0 0 1
Espacio Muestral SJB SBJ JSB JBS BSJ BJS
La probabilidad de que ninguacuten obrero reciba de nuevo la herramienta que teniacutea es decir
la probabilidad de que B tome el valor de cero es 13 Los posibles valores b de B y sus
probabilidades estaacuten dados por
b 0 1 3
P(B = b) 3
1
2
1
6
1
Obseacutervese que los valores de b agotan todos los casos posibles y por ello las probabilidades
suman 1
Con frecuencia resulta conveniente representar todas las probabilidades de una variable
aleatoria X a traveacutes de una foacutermula Esta foacutermula seria necesariamente funcioacuten de los
valores numeacutericos x que se denotaraacuten por f(x) g(x) r(x) y asiacute sucesivamente Por lo tanto
se escribe f(x) = P(X= x) es decir )3X(P)3(f Al conjunto de pares ordenados (x
f(x)) se le denomina funcioacuten de probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria discreta X
Definicioacuten
El conjunto de pares ordenados (x f(x)) es una funcioacuten de probabilidad o una
distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si para cada posible
resultado x
0)(1 xf
1)(2 xf
)()(3 xfxXP
Ejemplo- Un envioacute de ocho computadoras similares para un distribuidor contiene tres
defectuosas Si un comerciante hace una compra aleatoria de dos de esas computadoras
localice la distribucioacuten de probabilidad para el nuacutemero de computadoras imperfectas
Solucioacuten- Sea X una variable aleatoria cuyos valores de x son los nuacutemeros posibles de
computadoras defectuosas adquiridas por el comerciante Luego x puede se cualquiera de
los nuacutemeros 0 1 y 2 Entonces
28
3)2X(P)2(f
28
15)1X(P)1(f
28
10)0X(P)0(f
8
2
5
0
3
2
8
2
5
1
3
1
8
2
5
2
3
0
6
Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es
x
0
1
2
f(x)
28
10
28
15
28
3
Ejemplo Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se
lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS SC SS y se
puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2
Calculando las probabilidades tenemos
P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14
P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24
P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14
Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro
Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta
informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente
Problema
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son
equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen la misma
probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles
resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le
asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos calcular la probabilidad
de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El
evento de que la suma es ocho contiene 5 resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
7
lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los
resultados para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la
tabla 2 Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de
las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la suma al tirar
dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se
observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que nos interesa asiacute X = R + V
Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto
tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de
valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de una variable
aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio
muestral con una medida de probabilidad P definimos una variable aleatoria como una
funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8 al lanzar
los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62) ocurrioacute Tambieacuten
asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X = 8) = P( (26)
(35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar las variables aleatorias por letras
mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores
posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores decimos es una
variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que
pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores que potencialmente podriacutean ser
contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez
producidos en el planeta en una fecha determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero
correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten f(x) = P(X = x) para
cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de
probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de la variable X Para el ejemplo de la suma
de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la
cual se puede reescribir usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad de las sumas observadas al lanzar dos dados x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x) representa
una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede
ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que puede tener f(x) obtenemos 1 debido a
que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los
valores establecidos Por su definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes
caracteriacutesticas
1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en el dominio
de f
8
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la
siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
ba
bil
ida
de
s
La probabilidad de observar (En la graacutefica) un valor particular de la variable aleatoria
digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 =
0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra con la probabilidad
podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de
la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea de las barras para representar la probabilidad
es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P(X
4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ya
que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236
+ 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten sobre el 4 y a su izquierda
Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que
P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra funcioacuten
partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta
definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten acumulativa de X
de la siguiente manera
ix
i Para)x(f)xX(p)x(f ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de
manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes son
menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es
para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
9
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los eventos posibles
de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se
enuncian suponiendo que conocemos el valor de la probabilidad pero en la realidad esto no
ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con
estimaciones Se puede observar que en ninguacuten caso las combinaciones toma valores
negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten
probabiliacutestica son positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que
estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas
Uniforme Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma
probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores
de x = 1 2 3 4 5 6
Binomial Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad
de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y
con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
Hipergeomeacutetrica Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en
relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un
periodo de tiempo un espacio o un lugar
La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
Media y desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad para
variables discretas
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media utilizando
la foacutermula n
x f donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual puede expresarse
como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo
que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta es
)x(Px
Por ejemplo Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en dos lanzamientos de
monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
10
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta
seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de una variable
discreta es
)x(P)x( 2
Por ejemplo Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo anterior
su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor de X se
repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse
un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para identificar el valor central de
la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la
proporcioacuten de ensayos en los que X = x En consecuencia no es necesario realizar el
experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de
X puede calcularse corno el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al
resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su variable
aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria discreta se puede
considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las
ponderaciones la probabilidad relacionada con cada uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su
probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos resultantes Por
lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE
se puede expresar con la siguiente foacutermula matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X
)( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
11
Tambieacuten se puede decir que
La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria discreta X
expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X
Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la recta real entonces
E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de
probabilidad puede interpretarse mediante esta analogiacutea con la mecaacutenica
Media de una variable aleatoria
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por
lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2 Supoacutengase que en el
experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El
promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del experimento Por
ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a
alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que
tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que resulta en 0
1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las frecuencias relativas que
corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular
entonces la media o el promedio de un conjunto de datos si se conocen los distintos valores
que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de
observaciones en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos
resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o
aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse
Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media de la
distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o simplemente como
cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos
designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor
esperado de la variable X y representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio
muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables
se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
12
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello seguida
de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las
frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en
promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2 monedas
indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse
multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable aleatoria X por su
probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando luego los resultados
Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables
aleatorias continuas la definicioacuten del valor esperado es en esencia la misma soacutelo que las
sumatorias se reemplazan por integrales
Ejemplo Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas
seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
Solucioacuten Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La
distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
Para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a partir de un
grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
Ejemplo En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5 doacutelares si al tirar a
aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3
doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la ganancia esperada de jugador
Solucioacuten El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden
obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma equivalente si la
moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
13
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una
de estas posibilidades es igualmente posible y ocurre con una probabilidad igual a 18 Un
enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos
independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPC C SP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede ganar y los
valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3 $ si ocurre el
evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se presentan con
probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3 monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o
ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia
esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una
presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para
tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentas mujeres
van a ser atendidas en un diacutea cualquiera De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea
siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores
numeacutericos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio Si los
registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100
hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los
uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de frecuencias Hasta
donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico
podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada nuacutemero posible de
pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B
mediante la normalizacioacuten de la distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso
dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el
nuacutemero total de diacuteas en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de
probabilidad para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de
manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades
deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza
matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable
aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores En la tabla B
mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos
dan informacioacuten acerca de la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes
atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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6
Por lo tanto la distribucioacuten de probabilidad de X es
x
0
1
2
f(x)
28
10
28
15
28
3
Ejemplo Analice la variable aleatoria X como la cantidad de caras observadas cuando se
lanzan dos monedas al aire El espacio muestral es el conjunto CC CS SC SS y se
puede observar que la variable X puede tomar como valores 0 1 y 2
Calculando las probabilidades tenemos
P(de no observar caras) = P(SS) = P(X=0) = frac14
P(de observar una cara) = P(SC o CS) = P(X=1) = 24
P(de observar dos caras) = P(CC) = P(X=2) = frac14
Si ahora se organizan estos resultados en el siguiente cuadro
Se alcanzaraacute explicar por queacute se usa el nombre distribucioacuten de probabilidad Con esta
informacioacuten se puede construir un histograma como el siguiente
Problema
Se Lanzan dos dados al aire iquestCuaacutel es probabilidad de que la suma de los puntos en los dados sea menor que 8
SOLUCIOacuteN Si asumimos que todos los resultados observados al lanzar los dos dados son
equiprobables (si todos los sucesos elementales que lo integran tienen la misma
probabilidad) entonces el espacio muestral del experimento con treinta y seis posibles
resultados se presentan a continuacioacuten
Tabla 1 Espacio muestral
resultante al lanzar dos dados
Como nos interesa la suma de los puntos observados si obtenemos el resultado (3 5) le
asignamos el valor 8 correspondiente a la suma de 3 y 5 Podemos calcular la probabilidad
de que la suma sea igual a 8 contando todos los resultados donde la suma es ocho El
evento de que la suma es ocho contiene 5 resultados (26) (35) (44) (5 3) (62) por
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
1 2 3 4 5 6
1 11 21 31 41 51 61
2 12 22 32 42 52 62
3 13 23 33 43 53 63
4 14 24 34 44 54 64
5 15 25 35 45 55 65
6 16 26 36 46 56 66
7
lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los
resultados para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la
tabla 2 Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de
las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la suma al tirar
dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se
observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que nos interesa asiacute X = R + V
Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto
tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de
valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de una variable
aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio
muestral con una medida de probabilidad P definimos una variable aleatoria como una
funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8 al lanzar
los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62) ocurrioacute Tambieacuten
asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X = 8) = P( (26)
(35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar las variables aleatorias por letras
mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores
posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores decimos es una
variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que
pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores que potencialmente podriacutean ser
contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez
producidos en el planeta en una fecha determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero
correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten f(x) = P(X = x) para
cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de
probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de la variable X Para el ejemplo de la suma
de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la
cual se puede reescribir usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad de las sumas observadas al lanzar dos dados x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x) representa
una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede
ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que puede tener f(x) obtenemos 1 debido a
que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los
valores establecidos Por su definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes
caracteriacutesticas
1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en el dominio
de f
8
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la
siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
ba
bil
ida
de
s
La probabilidad de observar (En la graacutefica) un valor particular de la variable aleatoria
digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 =
0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra con la probabilidad
podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de
la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea de las barras para representar la probabilidad
es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P(X
4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ya
que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236
+ 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten sobre el 4 y a su izquierda
Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que
P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra funcioacuten
partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta
definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten acumulativa de X
de la siguiente manera
ix
i Para)x(f)xX(p)x(f ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de
manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes son
menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es
para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
9
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los eventos posibles
de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se
enuncian suponiendo que conocemos el valor de la probabilidad pero en la realidad esto no
ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con
estimaciones Se puede observar que en ninguacuten caso las combinaciones toma valores
negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten
probabiliacutestica son positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que
estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas
Uniforme Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma
probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores
de x = 1 2 3 4 5 6
Binomial Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad
de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y
con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
Hipergeomeacutetrica Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en
relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un
periodo de tiempo un espacio o un lugar
La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
Media y desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad para
variables discretas
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media utilizando
la foacutermula n
x f donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual puede expresarse
como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo
que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta es
)x(Px
Por ejemplo Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en dos lanzamientos de
monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
10
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta
seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de una variable
discreta es
)x(P)x( 2
Por ejemplo Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo anterior
su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor de X se
repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse
un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para identificar el valor central de
la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la
proporcioacuten de ensayos en los que X = x En consecuencia no es necesario realizar el
experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de
X puede calcularse corno el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al
resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su variable
aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria discreta se puede
considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las
ponderaciones la probabilidad relacionada con cada uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su
probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos resultantes Por
lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE
se puede expresar con la siguiente foacutermula matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X
)( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
11
Tambieacuten se puede decir que
La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria discreta X
expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X
Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la recta real entonces
E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de
probabilidad puede interpretarse mediante esta analogiacutea con la mecaacutenica
Media de una variable aleatoria
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por
lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2 Supoacutengase que en el
experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El
promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del experimento Por
ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a
alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que
tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que resulta en 0
1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las frecuencias relativas que
corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular
entonces la media o el promedio de un conjunto de datos si se conocen los distintos valores
que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de
observaciones en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos
resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o
aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse
Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media de la
distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o simplemente como
cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos
designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor
esperado de la variable X y representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio
muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables
se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
12
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello seguida
de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las
frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en
promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2 monedas
indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse
multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable aleatoria X por su
probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando luego los resultados
Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables
aleatorias continuas la definicioacuten del valor esperado es en esencia la misma soacutelo que las
sumatorias se reemplazan por integrales
Ejemplo Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas
seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
Solucioacuten Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La
distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
Para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a partir de un
grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
Ejemplo En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5 doacutelares si al tirar a
aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3
doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la ganancia esperada de jugador
Solucioacuten El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden
obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma equivalente si la
moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
13
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una
de estas posibilidades es igualmente posible y ocurre con una probabilidad igual a 18 Un
enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos
independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPC C SP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede ganar y los
valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3 $ si ocurre el
evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se presentan con
probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3 monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o
ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia
esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una
presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para
tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentas mujeres
van a ser atendidas en un diacutea cualquiera De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea
siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores
numeacutericos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio Si los
registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100
hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los
uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de frecuencias Hasta
donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico
podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada nuacutemero posible de
pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B
mediante la normalizacioacuten de la distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso
dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el
nuacutemero total de diacuteas en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de
probabilidad para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de
manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades
deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza
matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable
aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores En la tabla B
mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos
dan informacioacuten acerca de la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes
atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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httpwwwfuentesestadisticascomNumero50paginas9htm
httpciprescecuchilecl~ma34b
httpwwwideamasclcursoProbjavaEstatintro_prob_modelsintro_prob_modelshtml
httpwwwideamasclcursoProbjavaEstatindexhtml
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwibad-laspalmascominferenciaindexhtml Cursa de est Inferencial)
47
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httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf
httpwwwcnicemecdesDescartesEstadisticavariables_continuasnormal0htm
httpwwwunlueduar~mapcoapuntes610mapco610htm
httpwwwtutoriacomarapunteshtm
httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httprrpacuprcluedu9090~amenendexcel8introhtm
7
lo tanto la probabilidad deseada es 536 Podemos repetir este proceso con cada uno de los
resultados para obtener las siguientes sumas probables al lanzar dos de acuerdo con la
tabla 2 Tabla 2 Distribucioacuten de probabilidad del total de
las sumas observadas al lanzar dos dados
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Probabilidades 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Hemos encontrado la distribucioacuten de probabilidad de los valores posibles de la suma al tirar
dos dados Si R representa el resultado observado en el dado rojo y V el resultado que se
observaraacute en el dado verde podemos expresar el valor que nos interesa asiacute X = R + V
Antes de lanzar los dados no sabemos queacute valores observaremos para R y V por lo tanto
tampoco lo sabemos para X
El valor que asumiraacute X puede variar de lanzada en lanzada sujeto a la distribucioacuten
especificada en la tabla de arriba Asiacute X es una variable que asume un nuacutemero finito de
valores sujeto a una distribucioacuten de probabilidad Este es un ejemplo de una variable
aleatoria discreta Otros ejemplos son las variables R y V En general si S es un espacio
muestral con una medida de probabilidad P definimos una variable aleatoria como una
funcioacuten que asigna un nuacutemero real a cada uno de los elementos de S
Interpretamos por ejemplo X = 8 como el evento de que se observoacute el resultado 8 al lanzar
los dos dados es decir el evento (26) (35) (44) (5 3) (62) ocurrioacute Tambieacuten
asignamos a X = 8 la probabilidad de ese evento Asiacute vemos que P(X = 8) = P( (26)
(35) (44) (5 3) (62)) = 536= 014 Es usual denotar las variables aleatorias por letras
mayuacutesculas y los valores que puede asumir por letras minuacutesculas
En este caso la variable X puede asumir un valor entre un conjunto finito de valores
posibles Cualquier variable que pueda asumir un nuacutemero finito de valores decimos es una
variable aleatoria discreta Tambieacuten son variables aleatorias discretas aquellas que
pueden asumir un nuacutemero muy grande o infinito de valores que potencialmente podriacutean ser
contados tal como el nuacutemero de habitantes del planeta el nuacutemero de granos de maiacutez
producidos en el planeta en una fecha determinada el nuacutemero de los aacuterboles de un paiacutes
En la Tabla 2 vemos que a cada valor posible de X le asignamos un nuacutemero
correspondiente a su probabilidad Asiacute podemos definir otra funcioacuten f(x) = P(X = x) para
cada nuacutemero x en el campo de valores de la variable X Esta funcioacuten se llama la funcioacuten de
probabilidad o distribucioacuten de probabilidad de la variable X Para el ejemplo de la suma
de los puntos al tirar dos dados los valores de esta funcioacuten estaacuten dados en la Tabla 2 la
cual se puede reescribir usando los conceptos estudiados
Tabla 3 Distribucioacuten de probabilidad de las sumas observadas al lanzar dos dados x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
)x(f 36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Vemos que f(x) nunca adquiere un valor menor de cero Esto se debe a que f(x) representa
una probabilidad la cual nunca puede ser menor de cero De igual manera f(x) nunca puede
ser menor de 1 Si sumamos todos los valores que puede tener f(x) obtenemos 1 debido a
que estamos sumando las probabilidades de que la variable aleatoria asuma uno de los
valores establecidos Por su definicioacuten la funcioacuten de probabilidad tiene las siguientes
caracteriacutesticas
1 0)x(f para todo valor x en su dominio
2
x
)x(f 1( donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores x en el dominio
de f
8
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la
siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
ba
bil
ida
de
s
La probabilidad de observar (En la graacutefica) un valor particular de la variable aleatoria
digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 =
0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra con la probabilidad
podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de
la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea de las barras para representar la probabilidad
es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P(X
4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ya
que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236
+ 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten sobre el 4 y a su izquierda
Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que
P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra funcioacuten
partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta
definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten acumulativa de X
de la siguiente manera
ix
i Para)x(f)xX(p)x(f ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de
manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes son
menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es
para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
9
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los eventos posibles
de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se
enuncian suponiendo que conocemos el valor de la probabilidad pero en la realidad esto no
ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con
estimaciones Se puede observar que en ninguacuten caso las combinaciones toma valores
negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten
probabiliacutestica son positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que
estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas
Uniforme Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma
probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores
de x = 1 2 3 4 5 6
Binomial Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad
de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y
con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
Hipergeomeacutetrica Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en
relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un
periodo de tiempo un espacio o un lugar
La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
Media y desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad para
variables discretas
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media utilizando
la foacutermula n
x f donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual puede expresarse
como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo
que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta es
)x(Px
Por ejemplo Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en dos lanzamientos de
monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
10
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta
seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de una variable
discreta es
)x(P)x( 2
Por ejemplo Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo anterior
su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor de X se
repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse
un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para identificar el valor central de
la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la
proporcioacuten de ensayos en los que X = x En consecuencia no es necesario realizar el
experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de
X puede calcularse corno el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al
resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su variable
aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria discreta se puede
considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las
ponderaciones la probabilidad relacionada con cada uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su
probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos resultantes Por
lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE
se puede expresar con la siguiente foacutermula matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X
)( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
11
Tambieacuten se puede decir que
La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria discreta X
expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X
Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la recta real entonces
E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de
probabilidad puede interpretarse mediante esta analogiacutea con la mecaacutenica
Media de una variable aleatoria
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por
lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2 Supoacutengase que en el
experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El
promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del experimento Por
ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a
alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que
tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que resulta en 0
1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las frecuencias relativas que
corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular
entonces la media o el promedio de un conjunto de datos si se conocen los distintos valores
que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de
observaciones en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos
resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o
aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse
Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media de la
distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o simplemente como
cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos
designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor
esperado de la variable X y representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio
muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables
se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
12
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello seguida
de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las
frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en
promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2 monedas
indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse
multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable aleatoria X por su
probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando luego los resultados
Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables
aleatorias continuas la definicioacuten del valor esperado es en esencia la misma soacutelo que las
sumatorias se reemplazan por integrales
Ejemplo Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas
seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
Solucioacuten Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La
distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
Para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a partir de un
grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
Ejemplo En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5 doacutelares si al tirar a
aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3
doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la ganancia esperada de jugador
Solucioacuten El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden
obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma equivalente si la
moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
13
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una
de estas posibilidades es igualmente posible y ocurre con una probabilidad igual a 18 Un
enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos
independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPC C SP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede ganar y los
valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3 $ si ocurre el
evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se presentan con
probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3 monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o
ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia
esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una
presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para
tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentas mujeres
van a ser atendidas en un diacutea cualquiera De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea
siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores
numeacutericos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio Si los
registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100
hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los
uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de frecuencias Hasta
donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico
podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada nuacutemero posible de
pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B
mediante la normalizacioacuten de la distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso
dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el
nuacutemero total de diacuteas en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de
probabilidad para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de
manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades
deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza
matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable
aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores En la tabla B
mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos
dan informacioacuten acerca de la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes
atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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httpwwwideamasclcursoProbjavaEstatintro_prob_modelsintro_prob_modelshtml
httpwwwideamasclcursoProbjavaEstatindexhtml
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwibad-laspalmascominferenciaindexhtml Cursa de est Inferencial)
47
httpwwwestadisticautilesfm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf
httpwwwcnicemecdesDescartesEstadisticavariables_continuasnormal0htm
httpwwwunlueduar~mapcoapuntes610mapco610htm
httpwwwtutoriacomarapunteshtm
httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httprrpacuprcluedu9090~amenendexcel8introhtm
8
Los valores de la funcioacuten de probabilidad se pueden representar en una graacutefica como la
siguiente
Diagrama de la distribucion de probabilidad
de la suma de dos dados
0
002
004
006
008
01
012
014
016
018
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sumas de dos dados
Pro
ba
bil
ida
de
s
La probabilidad de observar (En la graacutefica) un valor particular de la variable aleatoria
digamos X = 3 estaacute dado por la altura de la barra sobre el 3 es decir P(X = 3) = 236 =
0056 De igual manera en vez de asociar la altura de la barra con la probabilidad
podemos ver que el aacuterea de la barra sobre el 3 es 236 1 = 236 = 0056 ya que la altura de
la barra es 236 y su ancho es 1 Usar el aacuterea de las barras para representar la probabilidad
es muy uacutetil para extender la nocioacuten de probabilidad a otras variables
Podemos usar el histograma de probabilidad para calcular probabilidades tal como P(X
4) Vemos que P(X 4) = P(X =2 oacute X =3 oacute X =4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ya
que los eventos donde X = 2 X = 3 y X = 4 son disjuntos Entonces P(X 4) = 136 + 236
+ 336 = 636 sumando las aacutereas de la barras que estaacuten sobre el 4 y a su izquierda
Debemos ser muy cuidadosos con las desigualdades ya que P(X 4) = 636 mientras que
P(Xlt 4) = 326
Extendiendo esta idea de probabilidades acumulativas podemos definir otra funcioacuten
partiendo de la distribucioacuten de probabilidad Si X es una variable aleatoria discreta
definimos la funcioacuten de distribucioacuten de X o funcioacuten de distribucioacuten acumulativa de X
de la siguiente manera
ix
i Para)x(f)xX(p)x(f ltxlt
Las propiedades de las distribuciones de variables discretas son dos y que
posteriormente al hablar de las distribuciones de variables continuas se repetiraacuten de
manera muy similar
a) Todos los valores de la distribucioacuten son mayores o iguales que cero y ademaacutes son
menores o iguales que uno
0 le P(X=x) le 1
b) La suma de todas las probabilidades de la distribucioacuten es la unidad Esta demostracioacuten es
para mostrar que la distribucioacuten probabiliacutestica binomial cumple con tales propiedades
)(xf P(X=x) = 1
9
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los eventos posibles
de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se
enuncian suponiendo que conocemos el valor de la probabilidad pero en la realidad esto no
ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con
estimaciones Se puede observar que en ninguacuten caso las combinaciones toma valores
negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten
probabiliacutestica son positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que
estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas
Uniforme Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma
probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores
de x = 1 2 3 4 5 6
Binomial Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad
de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y
con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
Hipergeomeacutetrica Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en
relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un
periodo de tiempo un espacio o un lugar
La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
Media y desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad para
variables discretas
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media utilizando
la foacutermula n
x f donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual puede expresarse
como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo
que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta es
)x(Px
Por ejemplo Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en dos lanzamientos de
monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
10
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta
seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de una variable
discreta es
)x(P)x( 2
Por ejemplo Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo anterior
su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor de X se
repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse
un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para identificar el valor central de
la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la
proporcioacuten de ensayos en los que X = x En consecuencia no es necesario realizar el
experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de
X puede calcularse corno el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al
resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su variable
aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria discreta se puede
considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las
ponderaciones la probabilidad relacionada con cada uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su
probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos resultantes Por
lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE
se puede expresar con la siguiente foacutermula matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X
)( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
11
Tambieacuten se puede decir que
La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria discreta X
expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X
Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la recta real entonces
E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de
probabilidad puede interpretarse mediante esta analogiacutea con la mecaacutenica
Media de una variable aleatoria
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por
lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2 Supoacutengase que en el
experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El
promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del experimento Por
ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a
alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que
tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que resulta en 0
1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las frecuencias relativas que
corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular
entonces la media o el promedio de un conjunto de datos si se conocen los distintos valores
que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de
observaciones en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos
resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o
aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse
Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media de la
distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o simplemente como
cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos
designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor
esperado de la variable X y representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio
muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables
se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
12
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello seguida
de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las
frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en
promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2 monedas
indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse
multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable aleatoria X por su
probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando luego los resultados
Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables
aleatorias continuas la definicioacuten del valor esperado es en esencia la misma soacutelo que las
sumatorias se reemplazan por integrales
Ejemplo Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas
seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
Solucioacuten Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La
distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
Para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a partir de un
grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
Ejemplo En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5 doacutelares si al tirar a
aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3
doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la ganancia esperada de jugador
Solucioacuten El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden
obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma equivalente si la
moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
13
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una
de estas posibilidades es igualmente posible y ocurre con una probabilidad igual a 18 Un
enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos
independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPC C SP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede ganar y los
valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3 $ si ocurre el
evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se presentan con
probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3 monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o
ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia
esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una
presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para
tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentas mujeres
van a ser atendidas en un diacutea cualquiera De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea
siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores
numeacutericos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio Si los
registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100
hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los
uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de frecuencias Hasta
donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico
podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada nuacutemero posible de
pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B
mediante la normalizacioacuten de la distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso
dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el
nuacutemero total de diacuteas en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de
probabilidad para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de
manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades
deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza
matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable
aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores En la tabla B
mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos
dan informacioacuten acerca de la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes
atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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9
De donde se puede afirmar que la suma de todas las probabilidades de los eventos posibles
de una variable aleatoria es igual a la unidad Hay que recalcar que estas propiedades se
enuncian suponiendo que conocemos el valor de la probabilidad pero en la realidad esto no
ocurre es decir que no sabemos la probabilidad y lo que se hace es trabajar con
estimaciones Se puede observar que en ninguacuten caso las combinaciones toma valores
negativos y como p y q son positivos o cero entonces todos los valores de la distribucioacuten
probabiliacutestica son positivos o cero Precisamente esto conlleva a modelos teoacutericos que
estiman los resultados y los principales son los que a continuacioacuten se exhiben
Modelos de distribuciones de probabilidad de variables discretas
Uniforme Es la distribucioacuten donde todos los eventos elementales tienen la misma
probabilidad Por ejemplo tirar un dado donde la funcioacuten P(X=x)= 16 para valores
de x = 1 2 3 4 5 6
Binomial Es la que manipula la distribucioacuten de la probabilidad de obtener cierta cantidad
de eacutexitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de eacutexito constante y
con ensayos independientes
Geomeacutetrica Es la distribucioacuten de la probabilidad de realizar cierto nuacutemero de
experimentos antes de obtener un eacutexito
Hipergeomeacutetrica Es similar a la binomial pero con un tamantildeo de muestra grande en
relacioacuten al tamantildeo de la poblacioacuten
De Poisson Es la distribucioacuten de la probabilidad de que ocurra un evento raro en un
periodo de tiempo un espacio o un lugar
La que maacutes nos interesaraacute de estas seraacute la distribucioacuten binomial que explicaremos
posteriormente
Media y desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad para
variables discretas
En una distribucioacuten de frecuencias para datos agrupados se calculaba la media utilizando
la foacutermula n
x f donde ( ) es la media de la poblacioacuten la cual puede expresarse
como n
fX
Considerando la definicioacuten de probabilidad de un evento P(X) es el cociente de la
frecuencia entre el nuacutemero total de eventos (probabilidad frecuencial de ocurrencia) por lo
que la media de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta es
)x(Px
Por ejemplo Consideremos la variable X del ejemplo de caras observadas en dos lanzamientos de
monedas Es decir X tal que su distribucioacuten de probabilidad sea
Entonces para calcular su media ( ) se realiza la siguiente operacioacuten
14
12
2
11
4
10)(
2
0
x
xxP
Anaacutelogamente la varianza se definioacute como n
xf
2
2)(
y haciendo un
procedimiento semejante al anterior se tiene
X 0 1 2
P(X=x) frac14 24 frac14
10
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta
seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de una variable
discreta es
)x(P)x( 2
Por ejemplo Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo anterior
su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor de X se
repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse
un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para identificar el valor central de
la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la
proporcioacuten de ensayos en los que X = x En consecuencia no es necesario realizar el
experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de
X puede calcularse corno el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al
resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su variable
aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria discreta se puede
considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las
ponderaciones la probabilidad relacionada con cada uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su
probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos resultantes Por
lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE
se puede expresar con la siguiente foacutermula matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X
)( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
11
Tambieacuten se puede decir que
La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria discreta X
expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X
Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la recta real entonces
E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de
probabilidad puede interpretarse mediante esta analogiacutea con la mecaacutenica
Media de una variable aleatoria
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por
lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2 Supoacutengase que en el
experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El
promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del experimento Por
ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a
alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que
tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que resulta en 0
1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las frecuencias relativas que
corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular
entonces la media o el promedio de un conjunto de datos si se conocen los distintos valores
que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de
observaciones en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos
resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o
aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse
Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media de la
distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o simplemente como
cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos
designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor
esperado de la variable X y representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio
muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables
se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
12
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello seguida
de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las
frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en
promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2 monedas
indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse
multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable aleatoria X por su
probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando luego los resultados
Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables
aleatorias continuas la definicioacuten del valor esperado es en esencia la misma soacutelo que las
sumatorias se reemplazan por integrales
Ejemplo Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas
seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
Solucioacuten Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La
distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
Para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a partir de un
grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
Ejemplo En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5 doacutelares si al tirar a
aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3
doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la ganancia esperada de jugador
Solucioacuten El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden
obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma equivalente si la
moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
13
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una
de estas posibilidades es igualmente posible y ocurre con una probabilidad igual a 18 Un
enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos
independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPC C SP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede ganar y los
valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3 $ si ocurre el
evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se presentan con
probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3 monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o
ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia
esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una
presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para
tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentas mujeres
van a ser atendidas en un diacutea cualquiera De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea
siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores
numeacutericos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio Si los
registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100
hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los
uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de frecuencias Hasta
donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico
podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada nuacutemero posible de
pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B
mediante la normalizacioacuten de la distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso
dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el
nuacutemero total de diacuteas en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de
probabilidad para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de
manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades
deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza
matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable
aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores En la tabla B
mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos
dan informacioacuten acerca de la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes
atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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10
n
f)x( 22
Finalmente la varianza de una distribucioacuten de probabilidad de una variable discreta
seraacute
Entonces la desviacioacuten estaacutendar de una distribucioacuten de probabilidad de una variable
discreta es
)x(P)x( 2
Por ejemplo Considerando la misma distribucioacuten de probabilidad del ejemplo anterior
su desviacioacuten estaacutendar se calcula
)()()(2
2
2
1
4
1
4
1
4
11
2
10
4
11
4
112
2
111
4
110 222
ESPERANZA MATEMAacuteTICA O VALOR ESPERADO DE UNA
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Valor esperado de una variable aleatoria discreta
Si X es una variable aleatoria y el experimento aleatorio que determina el valor de X se
repite muchas veces entonces se obtiene una secuencia de valores para X Puede emplearse
un resumen de estos valores tal como el promedio ( x ) para identificar el valor central de
la variable aleatoria La funcioacuten de probabilidad de X puede interpretarse como la
proporcioacuten de ensayos en los que X = x En consecuencia no es necesario realizar el
experimento muchas veces con la finalidad de determinar el valor medio de X La media de
X puede calcularse corno el promedio ponderado de los valores posibles de X asignando al
resultado x un factor de ponderacioacuten )()( xXPxf x
La media )( x de una distribucioacuten de probabilidad es el valor esperado de su variable
aleatoria
El valor esperado o Esperanza Matemaacutetica de una variable aleatoria discreta se puede
considerar como su promedio ponderado sobre todos los resultados posibles siendo las
ponderaciones la probabilidad relacionada con cada uno de los resultados
Esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado posible Xi por su
probabilidad correspondiente )( iXP y despueacutes sumando los productos resultantes Por
lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria discreta X representada como )(XE
se puede expresar con la siguiente foacutermula matemaacutetica
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
donde
X = Variable aleatoria de Intereacutes
Xi = Resultado i de X
)( iXP Probabilidad de ocurrencia del evento i de X
i= 1 2 3 N
11
Tambieacuten se puede decir que
La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria discreta X
expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X
Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la recta real entonces
E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de
probabilidad puede interpretarse mediante esta analogiacutea con la mecaacutenica
Media de una variable aleatoria
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por
lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2 Supoacutengase que en el
experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El
promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del experimento Por
ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a
alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que
tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que resulta en 0
1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las frecuencias relativas que
corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular
entonces la media o el promedio de un conjunto de datos si se conocen los distintos valores
que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de
observaciones en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos
resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o
aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse
Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media de la
distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o simplemente como
cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos
designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor
esperado de la variable X y representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio
muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables
se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
12
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello seguida
de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las
frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en
promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2 monedas
indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse
multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable aleatoria X por su
probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando luego los resultados
Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables
aleatorias continuas la definicioacuten del valor esperado es en esencia la misma soacutelo que las
sumatorias se reemplazan por integrales
Ejemplo Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas
seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
Solucioacuten Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La
distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
Para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a partir de un
grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
Ejemplo En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5 doacutelares si al tirar a
aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3
doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la ganancia esperada de jugador
Solucioacuten El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden
obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma equivalente si la
moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
13
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una
de estas posibilidades es igualmente posible y ocurre con una probabilidad igual a 18 Un
enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos
independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPC C SP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede ganar y los
valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3 $ si ocurre el
evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se presentan con
probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3 monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o
ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia
esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una
presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para
tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentas mujeres
van a ser atendidas en un diacutea cualquiera De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea
siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores
numeacutericos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio Si los
registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100
hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los
uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de frecuencias Hasta
donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico
podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada nuacutemero posible de
pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B
mediante la normalizacioacuten de la distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso
dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el
nuacutemero total de diacuteas en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de
probabilidad para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de
manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades
deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza
matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable
aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores En la tabla B
mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos
dan informacioacuten acerca de la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes
atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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11
Tambieacuten se puede decir que
La media Esperanza Matemaacutetica o valor esperado de una variable aleatoria discreta X
expresada por x o )(XE es
)()( xxfXEx
xx o )()(1
i
N
i
ix XPXXE
La media de X puede interpretarse como el centro de la masa del rango de los valores de X
Esto es si se coloca una masa igual a )(xf x en cada punto x de la recta real entonces
E(X) es el punto donde la recta queda en equilibrio Por consiguiente el teacutermino funcioacuten de
probabilidad puede interpretarse mediante esta analogiacutea con la mecaacutenica
Media de una variable aleatoria
Si se tiran dos monedas al aire 16 veces y X representa el nuacutemero de caras que ocurren por
lanzamiento entonces los valores de X pueden ser 0 1 y 2 Supoacutengase que en el
experimento se obtienen cero caras 4 veces una cara 7 veces y dos caras 5 veces El
promedio de caras por lanzamiento de las dos monedas es entonces
06116
)5)(2()7)(1()4)(0(
Este es un valor promedio y no necesariamente un resultado posible del experimento Por
ejemplo el ingreso mensual promedio de un vendedor no es probable que sea igual a
alguno de sus cheques de pago mensuales
Reestructuacuterese ahora el caacutelculo para el nuacutemero promedio de caras resultantes de modo que
tenga la siguiente forma equivalente
06116
52
16
71
16
40
Los nuacutemeros 416 716 y 516 son las fracciones del total de lanzamientos que resulta en 0
1 y 2 caras respectivamente Estas fracciones son tambieacuten las frecuencias relativas que
corresponden a los diferentes valores de X en el experimento En efecto se puede calcular
entonces la media o el promedio de un conjunto de datos si se conocen los distintos valores
que intervienen y sus frecuencias relativas sin conocimiento alguno del nuacutemero total de
observaciones en el conjunto de datos Por consiguiente si 416 oacute 14 de los lanzamientos
resultan 0 caras 716 una cara y 516 dos caras el nuacutemero medio de caras por
lanzamiento seria 106 sin importar que el nuacutemero total de lanzamientos sea de 16 1 000 o
aun de 10 000
Utiliacutecese ahora este meacutetodo de las frecuencias relativas para calcular a la larga el nuacutemero promedio de caras por lanzamiento de dos monedas que podriacutea esperarse
Este valor promedio se conoce como media de la variable aleatoria X o media de la
distribucioacuten de probabilidad de X y se representa como x o simplemente como
cuando esteacute claro de que variable aleatoria se trata Tambieacuten es comuacuten entre los estadiacutesticos
designar a este valor como Esperanza o Expectativa Matemaacutetica o bien como valor
esperado de la variable X y representarla como E(X)
Suponiendo que se tiran al aire dos monedas normales se tiene que el espacio
muestra1 para el experimento es
S = CC CS SC SS
Donde es C cara y S sello Puesto que los 4 puntos muestrales son igualmente probables
se deduce que
P(X = 0) = P(SS) = 4
1
12
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello seguida
de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las
frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en
promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2 monedas
indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse
multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable aleatoria X por su
probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando luego los resultados
Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables
aleatorias continuas la definicioacuten del valor esperado es en esencia la misma soacutelo que las
sumatorias se reemplazan por integrales
Ejemplo Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas
seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
Solucioacuten Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La
distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
Para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a partir de un
grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
Ejemplo En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5 doacutelares si al tirar a
aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3
doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la ganancia esperada de jugador
Solucioacuten El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden
obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma equivalente si la
moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
13
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una
de estas posibilidades es igualmente posible y ocurre con una probabilidad igual a 18 Un
enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos
independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPC C SP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede ganar y los
valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3 $ si ocurre el
evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se presentan con
probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3 monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o
ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia
esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una
presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para
tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentas mujeres
van a ser atendidas en un diacutea cualquiera De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea
siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores
numeacutericos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio Si los
registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100
hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los
uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de frecuencias Hasta
donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico
podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada nuacutemero posible de
pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B
mediante la normalizacioacuten de la distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso
dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el
nuacutemero total de diacuteas en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de
probabilidad para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de
manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades
deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza
matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable
aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores En la tabla B
mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos
dan informacioacuten acerca de la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes
atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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12
P(X = l) = P(SC) + P(CS) = 4
1
P(X = 2) = P(HH) = 4
1
Donde un elemento por ejemplo SC indica que de la primera tirada resultoacute Sello seguida
de una cara en la segunda tirada Ahora bien estas probabilidades son justamente las
frecuencias relativas que a la larga corresponden a los eventos dados Por consiguiente
014
12
2
11
4
10)(
XE
Esto significa que una persona que tira al aire 2 monedas una y otra vez lograraacute en
promedio 1 cara por tirada
EL meacutetodo descrito para calcular el nuacutemero esperado de caras en cada tirada de 2 monedas
indica que la media o valor esperado de una variable aleatoria discreta puede obtenerse
multiplicando cada uno de los valores nxxx 21 de la variable aleatoria X por su
probabilidad correspondiente )()()( 21 nxfxfxf y sumando luego los resultados
Sin embargo esto se verifica soacutelo si la variable aleatoria es discreta En el caso de variables
aleatorias continuas la definicioacuten del valor esperado es en esencia la misma soacutelo que las
sumatorias se reemplazan por integrales
Ejemplo Determine el nuacutemero esperado de quiacutemicos en un comiteacute de tres personas
seleccionado al azar de un grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos
Solucioacuten Se considera que X representa el nuacutemero de quiacutemicos en el comiteacute La
distribucioacuten de probabilidad de X estaacute dada por
)x(fxx
7
3
3
3
4
Para x = 0 1 2 3
Aplicando la formula se calculan los diferentes )( ixf asiacute
35
4)3(
35
18)2(
35
12)1(
35
1)0(
7
3
3
33
4
3
7
3
3
23
4
2
7
3
3
13
4
1
7
3
3
03
4
0
ffff
Los caacutelculos obtenidos son
f(0) = 135 f(l) = 1235 f(2) = 1835 y f(3) = 435 Entonces
7017
12
35
60
35
43
35
182
35
121
35
10)(
XE
Por lo tanto si se selecciona al azar una y otra vez un comiteacute de 3 miembros a partir de un
grupo de 4 quiacutemicos y 3 bioacutelogos el mismo contendriacutea en promedio 17 quiacutemicos
Ejemplo En un juego de azar de un casino se le paga a una persona 5 doacutelares si al tirar a
aire 3 monedas obtiene solo caras o sellos mientras que esta persona deberaacute pagar 3
doacutelares si obtiene soacutelo una o dos caras iquestCuaacutel es la ganancia esperada de jugador
Solucioacuten El espacio muestral formado por todos los posibles resultados que pueden
obtenerse cuando se lanzan 3 monedas de manera simultaacutenea o en forma equivalente si la
moneda se lanzan 3 veces sucesivamente (C = cara S = sello) es
13
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una
de estas posibilidades es igualmente posible y ocurre con una probabilidad igual a 18 Un
enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos
independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPC C SP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede ganar y los
valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3 $ si ocurre el
evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se presentan con
probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3 monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o
ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia
esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una
presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para
tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentas mujeres
van a ser atendidas en un diacutea cualquiera De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea
siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores
numeacutericos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio Si los
registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100
hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los
uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de frecuencias Hasta
donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico
podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada nuacutemero posible de
pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B
mediante la normalizacioacuten de la distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso
dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el
nuacutemero total de diacuteas en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de
probabilidad para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de
manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades
deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza
matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable
aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores En la tabla B
mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos
dan informacioacuten acerca de la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes
atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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13
S = CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Se puede argumentar que cada una
de estas posibilidades es igualmente posible y ocurre con una probabilidad igual a 18 Un
enfoque alternativo seria aplicar la regla multiplicativa de probabilidad para sucesos
independientes con cada uno de los elementos del espacio muestral (S) asiacute
8
1
2
1
2
1
2
1)()()()(
SPCPCPC C SP Recuerde que la probabilidad de salir cara es
igual a la de salir sello es decir frac12
La variable aleatoria de intereacutes es X que es la cantidad que el jugador puede ganar y los
valores posibles de X 5 $ si ocurre el evento SSSCCCE 1 y - 3 $ si ocurre el
evento SSCSCSCSSSCCCSCCCSE 2 Si se observa que E1 y E2 se presentan con
probabilidad de frac14 y frac34 respectivamente se concluye que
14
33
4
15)(
XE
Por lo tanto en este juego el apostador en promedio perderaacute 1 $ al lanzar las 3 monedas
Un juego de azar se considera justo si en el promedio el jugador termina sin peacuterdida o
ganancia Por lo tanto un juego justo se define como aquel donde hay una ganancia
esperada de cero es decir 0
Se puede pensar en una variable aleatoria como un valor o una magnitud que cambia de una
presentacioacuten a otra sin seguir una secuencia predecible Por ejemplo en una cliacutenica para
tratamiento del caacutencer de mamas no se tiene manera de saber con exactitud cuaacutentas mujeres
van a ser atendidas en un diacutea cualquiera De modo que el nuacutemero de pacientes del diacutea
siguiente es una variable aleatoria Los valores de una variable aleatoria son los valores
numeacutericos correspondientes a cada posible resultado del experimento aleatorio Si los
registros diarios de la cliacutenica indican que los valores de la variable aleatoria van desde 100
hasta 115 pacientes diarios entonces eacutesta es una variable aleatoria discreta
En la tabla B se ilustra el nuacutemero de veces que se ha alcanzado cada nivel durante los
uacuteltimos l00 diacuteas Observe que en la tabla aparece una distribucioacuten de frecuencias Hasta
donde creamos que la experiencia de los pasados 100 diacuteas es un comportamiento tiacutepico
podemos utilizar este registro para asignar una probabilidad a cada nuacutemero posible de
pacientes y encontrar una distribucioacuten de probabilidad Hemos hecho esto en la tabla B
mediante la normalizacioacuten de la distribucioacuten de frecuencias observadas (en este caso
dividimos cada valor que aparece en la columna de las frecuencias (fi) de la tabla B el
nuacutemero total de diacuteas en que se tomaron los registros (nuacutemero atendido) La distribucioacuten de
probabilidad para la variable aleatoria ldquonuacutemero de atenciones diariasrdquo se presenta de
manera graacutefica en la figura I Note que la distribucioacuten de probabilidad para una variable
aleatoria proporciona una probabilidad para cada valor posible y que estas probabilidades
deben sumar 1 De la misma forma en esa tabla se registra el valor esperado o esperanza
matemaacutetica que es simplemente la multiplicacioacuten de los valores posibles de la variable
aleatoria por la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores En la tabla B
mostramos que ambos requisitos se cumplen Ademaacutes tanto la tabla B como la figura I nos
dan informacioacuten acerca de la frecuencia de presentacioacuten a la larga del nuacutemero de pacientes
atendidos diariamente que esperariacuteamos observar si este ldquoexperimentordquo aleatorio se
efectuara de nuevo
14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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14
TABLA B
NUacuteMERO DE MUJERES ATENDIDAS DIARIAMENTE DURANTE 100
DIacuteAS EN UNA CLIacuteNICA PARA LA ATENCIOacuteN DE CAacuteNCER DE MAMA
Valores posibles
de la Variable
Aleatoria
(1)
Nuacutemero de diacuteas que
se observa este nivel
(fi)
(2)
Probabilidad de que la
variable aleatoria tome
estos valores
(3)
Esperanza
Matemaacutetica
(1)x(3)
100 1 001 100
101 2 002 202
102 3 003 306
103 5 005 515
104 6 006 624
105 7 007 735
106 9 009 954
107 10 010 1070
108 12 012 1296
109 11 011 1199
110 9 009 990
110 8 008 888
112 6 006 672
113 5 005 565
114 4 004 456
115 2 002 230
TOTALES 100 10802
El valor esperado de la variable aleatoria ldquonuacutemero diario de mujeres atendidas en una
cliacutenicardquo es igual 10802
Grafica correspondiente a la distribucion de
probabilidad para la variable aleatoria discreta
nuacutemero diario de pacientes atendidos en una clinica
0
002
004
006
008
01
012
014
10 100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
Nuacutemeros diarios de mujeres atendidas
PR
OB
AB
ILID
AD
Si un agente de seguros afirma que puede esperarse que una mujer de 45 antildeos de edad
viva otros 33 antildeos esto no significa que cualquier persona espere realmente que una mujer
de 45 antildeos siga viviendo hasta cumplir los 78 antildeos y muera al diacutea siguiente En lo
concerniente a esa afirmacioacuten ciertas mujeres de 45 antildeos viviraacuten 12 antildeos maacutes otras
sobreviviraacuten 25 antildeos otras viviraacuten 38 antildeos maacutes y la expectativa de vida de ldquo33 antildeos
maacutesrdquo se debe interpretar como una especie de promedio particular llamado valor esperado
o esperanza matemaacutetica Originalmente el concepto de la esperanza matemaacutetica aparecioacute
en relacioacuten con juegos de azar y en su forma maacutes simple se determina con el producto de
la cantidad que un jugador deposita para ganar y la probabilidad de que gane dicha
cantidad
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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httpwwwfuentesestadisticascomNumero50paginas9htm
httpciprescecuchilecl~ma34b
httpwwwideamasclcursoProbjavaEstatintro_prob_modelsintro_prob_modelshtml
httpwwwideamasclcursoProbjavaEstatindexhtml
httpwwwangelfirecomjournal2estadisticaLinkshtm
httpwwwibad-laspalmascominferenciaindexhtml Cursa de est Inferencial)
47
httpwwwestadisticautilesfm
httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf
httpwwwcnicemecdesDescartesEstadisticavariables_continuasnormal0htm
httpwwwunlueduar~mapcoapuntes610mapco610htm
httpwwwtutoriacomarapunteshtm
httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httprrpacuprcluedu9090~amenendexcel8introhtm
15
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si apostamos para ganar 500
boliacutevares si y soacutelo si sale cara al lanzar al aire una moneda equilibrada
SOLUCIOacuteN La moneda estaacute equilibrada de manera que la probabilidad de que salga cara
es frac12 entonces nuestra esperanza matemaacutetica es 500x05 = 250 boliacutevares
EJEMPLO iquestCuaacutel es nuestra esperanza matemaacutetica si compramos uno de los 1000 boletos
de una rifa en la que se ofrece como premio un televisor a color que vale 480000
boliacutevares
Solucioacuten La probabilidad de que nos ganemos el televisor es 1000
1 entonces nuestra
esperanza matemaacutetica es
480000x 4801000
480000
1000
1 es decir 480 boliacutevares Por lo tanto en un sentido
estrictamente monetario seria irracional pagar maacutes de 480 boliacutevares por el boleto
PROBLEMA Sean 024 035 029 y 012 las probabilidades de que un usurero pueda
vender en un antildeo un lote subdividido con las respectivas ganancias de Bs1250000 Bs
800000 o de Bs 100000 o con una peacuterdida de Bs 250000 iquestCuaacutel es la utilidad o ganancia
esperada
SOLUCIOacuteN Si se sustituye
120250350240
2500001000008000001250000
4321
4321
PyPPP
xxxx
Si ahora se aplica la foacutermula matemaacutetica para la obtencioacuten de la Esperanza Matemaacutetica se
tiene
)()(1
i
N
i
ix XPXXE
579000)120(25000)290(10000)350(80000240(125000 BsE Este
resultado indica que el usurero espera ganar 579000 Bs Con su usura
PROBLEMA La distribucioacuten de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es
04
3
4
1)(
33
xxf
xx
x
1 2 3 Encuentre la esperanza matemaacutetica
Solucioacuten
64
1
4
3
4
1)3(
64
9
4
3
4
1)2(
64
27
4
3
4
1)1(
64
27
4
3
4
1)0(
033
3
23
2
23
1
303
0
f
fff
Con estos datos se puede formar la siguiente distribucioacuten de probabilidad
16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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16
x 0 1 2 3
)(xf 6427
6427
649
641
Aplicando la siguiente foacutermula )()(1
i
N
i
ix XPXXE
Se tiene
7504
3
64
48
64
1)3(9)2(27
64
13
64
92
64
271
64
270
E
Luego la esperanza matemaacutetica buscada es de 075
LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
El nombre que recibe esta distribucioacuten se debe a la similitud existente entre la distribucioacuten
de las probabilidades de obtener 0 1 2 3hellipelementos considerados como ldquoeacutexitordquo de
una muestra de tamantildeo n y los teacuterminos sucesivos del desarrollo binomial n)qp(
donde p expresa la probabilidad de eacutexito de un solo ensayo (situacioacuten experimental) y q
es la probabilidad de ldquofracasordquo (tal que p + q = 1) En este caso eacutexito significa
encontrarse con cierta clase de evento mientras que fracaso significa no encontrarse con
dicho evento En esta guiacutea se haraacute un breve reposo del Teorema del binomio o Binomio
de Newton El teorema del binomio o Binomio de Newton por haber sido eacuteste quien
propuso el meacutetodo general para su desarrollo es un binomio elevado a una potencia n que
en su caso maacutes simple es un nuacutemero natural
En teacuterminos generales el teorema del binomio establece que para a bR y nN se
tiene que
bababbaa)ba( iinn
i
n
i
nn
n
nn
n
nn
nn
n
1
1
1
1
10
Para el caso concreto de esta guiacutea se cambiaraacute la notacioacuten y se utilizaraacute la propiedad de
conmutatividad de los nuacutemeros reales
La probabilidad xP de que un evento ocurra EXACTAMENTE x veces en n intentos esta
dada por la ecuacioacuten
xnqxp
n
xxP
La probabilidad xP de que un evento se presente POR LO MENOS x veces en n
intentos esta expresada por la ecuacioacuten
xnx
xx
xx
n
x
nx
xx
x qpP
TRIAacuteNGULO DE PASCAL
Los coeficientes de los teacuterminos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio se
pueden encontrar en forma inmediata utilizando el llamado triaacutengulo de Pascal Los
coeficientes del desarrollo de cualquier potencia de un binomio son los nuacutemeros que se
17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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17
hallan en la fila horizontal en donde despueacutes del 1 estaacute el exponente del binomio Ejemplo
Los coeficientes del desarrollo del binomio 5)ba( son aquellos nuacutemeros que se
encuentran en la fila horizontal del triaacutengulo de Pascal en donde despueacutes del 1 estaacute el 5
es decir 1 5 10 10 5 1 De igual manera se procede para ubicar los coeficientes de
cualquier binomio
El triaacutengulo se forma de la siguiente manera En la primera fila horizontal se coloca 1 En
la segunda fila se coloca 1 y 1 Desde la tercera fila en adelante se comienza por 1 y cada
nuacutemero posterior al 1 se obtiene sumando en la fila anterior el primer nuacutemero con el
segundo el segundo con el tercero el tercero con el cuarto cuarto con el quinto el quinto
con el sexto y asiacute sucesivamente hasta obtener los coeficientes de la potencia buscada
recuerde que el uacuteltimo nuacutemero de la fila horizontal siempre tiene que ser 1 (ver triaacutengulo)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Ejemplo Sean los binomios 532 )yx( y
5)yx( desarrolle los mismos aplicando el
triaacutengulo de Pascal
yxyyxyxyxx)yx(
)y()y)(x()y()x()y()x(y)x()x()yx(
543223455
543223455
24381010807202403232
332532103210325232
yxyyxyxyxyxx)yx( 65423324566 51520156
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
1- El experimento se fundamenta en n ensayos repetidos
2- Cada ensayo proporciona un resultado que puede clasificarse como eacutexito o fracaso
Cuando es eacutexito la variable toma el valor 1 y cuando es fracaso toma el valor 0
3- La probabilidad de eacutexito designada por p permanece constante de un ensayo a otro
4- Los ensayos son independientes
EJEMPLOS 1 La Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire (sale cara o no
sale) la probabilidad de ser admitido en una universidad (o te admiten o no te admiten) la
probabilidad de acertar un Kino (o aciertas o no aciertas)
Al haber uacutenicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios
A la probabilidad de eacutexito se le denomina p
A la probabilidad de fracaso se le denomina q
Verificaacutendose que p + q = 1
18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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18
EJEMPLOS 2 Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire
Probabilidad de que salga cara p = 05
Probabilidad de que no salga cara q = 05
p + q = 05 + 05 = 1
Ejemplo 3 Probabilidad de ser admitido en la universidad
Probabilidad de ser admitido p = 025
Probabilidad de no ser admitido q = 075
p + q = 025 + 075 = 1
Ejemplo 4 Probabilidad de acertar un nuacutemero de loteriacutea de 100000
Probabilidad de acertar p = 000001
Probabilidad de no acertar q = 099999
p + q = 000001 + 099999 = 1
Consideacuterense los siguientes experimentos y variables aleatorias
1 Lanzar una moneda diez veces Sea X = nuacutemero de caras obtenidas
2 Una maacutequina herramienta desgastada produce 1 iexclde partes defectuosas Sea X =
nuacutemero de partes defectuosas en las siguientes 25 que se produzcan
3 La posibilidad de que cada muestra de aire contenga una moleacutecula rara es 10 Sea X
= nuacutemero de muestras de aire que contienen la moleacutecula rara en las siguientes 18 muestras
por analizar
4 De todos los bits transmitidos por un canal de transmisioacuten digital el 10 se reciben
con error Sea X = nuacutemero de bits con error en los siguientes cinco por transmitir
5 Un examen de opcioacuten muacuteltiple contiene diez preguntas cada una con cuatro opciones y
se pide a una persona que adivine las respuestas Sea X = nuacutemero de respuestas
contestadas de manera correcta
6 De los siguientes 20 nacimientos en un hospital sea X = nuacutemero de nintildeas
7 De todos los pacientes que padecen una enfermedad en particular el 35 experimenta
una mejora con cierto medicamento Para los siguientes 30 pacientes a los que se les
administraraacute el medicamento sea X = nuacutemero de pacientes que experimentan mejoriacutea
Estos ejemplos dejan entrever la utilidad de un modelo de probabilidad general que incluya
estos experimentos como casos particulares
Cada uno de estos experimentos aleatorios pueden considerarse corno formado por una
serie de ensayos repetidos 10 lanzamientos de la moneda en el experimento (1) la
produccioacuten de 25 partes en el experimento (2) y asiacute sucesivamente En cada caso la
variable aleatoria es el conteo del nuacutemero de ensayos que cumplen con un criterio
especiacutefico Con esto el resultado de cada ensayo coincide o no con el criterio y X cuenta o
no en consecuencia cada ensayo puede resumirse como un eacutexito o un fracaso
respectivamente Por ejemplo en el experimento de opcioacuten muacuteltiple para cada una de las
preguntas soacutelo la opcioacuten que es correcta es la que se considera como un eacutexito La seleccioacuten
19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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Irwin Segunda edicioacuten Barcelona ndash Espantildea
Weimer Richard C (1996) Estadiacutestica Compantildeiacutea Editorial Continental SA de CV
Meacutexico
Wonnacott T H y Wonnacott R J (1989) Fundamentos de Estadiacutestica para
Administracioacuten y Economiacutea Editorial LIMUSA Meacutexico
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47
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19
de cualquiera de las otras tres opciones incorrectas da como resultado un ensayo que puede
resumirse como un fracaso
Los teacuterminos eacutexito y fracaso son solo etiquetas Tambieacuten pueden utilizarse para este fin
ldquoArdquo ldquoBrdquo o ldquo0rdquo y 1 Por desgracia en ocasiones las etiquetas usuales pueden ser
engantildeosas En el experimento (2) dado que X es el nuacutemero de partes defectuosas la
produccioacuten de eacutestas es un eacutexito
A menudo es razonable suponer que los ensayos que forman el experimento aleatorio son
independientes Esto implica que el resultado de uno de los ensayos no tiene ninguacuten efecto
sobre el resultado que se obtenga en cualquier otro ensayo En el experimento (2) la
hipoacutetesis de ensayos independientes implica saber que la parte nuacutemero 5 es defectuosa no
tiene ninguacuten efecto sobre la probabilidad de que cualquiera de las demaacutes partes sea
defectuosa Asimismo a menudo es razonable suponer que la probabilidad de eacutexito en
cada ensayo es constante En el experimento de opcioacuten muacuteltiple [experimento (5)] si se
supone que el sujeto que lleva a cabo la prueba no tiene ninguacuten conocimiento del tema y
soacutelo adivina la respuesta de cada pregunta entonces puede considerarse que la probabilidad
de una respuesta correcta para cada pregunta es 14
PROBLEMA VA Sea el experimento binomial aquel donde se selecciona al azar 3 artiacuteculos de un proceso manufacturado si se examinan y se clasifican como defectuosos (D) o sin defectos es decir normales(N) Un artiacuteculo defectuoso se considerara como un eacutexito El nuacutemero de eacutexitos es una variable aleatoria x que toma valores enteros desde cero hasta 3 Los 8 posibles resultados y los correspondientes valores de x son
Resultados NNN NDN NND DNN NDD DND DDN DDD x 0 1 1 1 2 2 2 3
Los artiacuteculos se seleccionan en forma independiente de un proceso que produce supuestamente 25 de artiacuteculos defectuosos entonces la probabilidad de seleccioacuten es
El nuacutemero X de eacutexitos en n ensayo de un experimento binomial se llama variable aleatoria binomial La distribucioacuten de probabilidad de esta variable aleatoria se le denomina distribucioacuten binomial y sus valores seraacuten designados por b(x n p) ya que dependen del nuacutemero de ensayos y de la probabilidad de eacutexitos en un ensayo determinado Por lo tanto para la distribucioacuten de probabilidad de X el nuacutemero de defectos en el problema antes planteado es
)pnx(b)x(f)xX(P
Generalizando la igualad anterior con el objeto de obtener una formula matemaacutetica para
b(x n p) que proporcione la probabilidad de x eacutexitos en n ensayos en el caso de un
experimento binomial Primeramente se consideraraacute la probabilidad de x eacutexitos y de n ndash x
fracasos en un orden especificado Tomando en cuenta que los ensayos son independientes
se pueden multiplicar todas las probabilidades correspondientes a los diferentes resultados
Cada eacutexito ocurre con una probabilidad p y cada fracaso con una probabilidad q = 1 ndash p
En consecuencia la probabilidad para un determinado pedido (del problema anterior) es xnxqp
Se debe determinar ahora el nuacutemero total de puntos maestrales en el experimento
que tiene x eacutexitos y n ndash x fracasos Este nuacutemero es igual al nuacutemero de particiones de n
resultados en dos grupos con x en un grupo y n ndash x en el otro el cual estaacute determinado
por nx)xn(
n
x
CC
=
)xn(x
n
(n se lee factorial de n donde por definicioacuten factorial
de cero es igual 1) Como esas particiones son mutuamente excluyentes se suman las
probabilidades de todas las particiones diferentes para obtener la formula general o se
multiplica xnxqp
por n
x
DEFINICIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN BINOMIAL
)N(P)D(P)N(P)NDN(P64
94
34
14
3
20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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20
Si un ensayo binomial puede resultar en un eacutexito con probabilidad p y en un fracaso
con probabilidad q = 1 ndash p entonces en la distribucioacuten de probabilidad de la
variable aleatoria binomial X el nuacutemero de eacutexitos en n ensayos independientes es
nxqp)x(f)pnx(b xnxn
x
3210
Esta es la foacutermula de la distribucioacuten de probabilidad para eventos binomiales
Observe el problema VA que cuando n = 3 y p =14 la distribucioacuten de probabilidad de
X el nuacutemero de defectos se puede expresar asiacute
x)x(fxb
xx
x
32104
3
4
1
4
13
33
Aplicando Esta foacutermula al problema VA se puede calcular la probabilidad de cada evento
asiacute
64
1
4
3
4
13
64
9
4
3
4
12
64
27
4
3
4
11
64
27
4
3
4
10
033
3
123
2
213
1
303
0
)(f)(f
)(f)(f
La distribucioacuten de probabilidad del problema Va es
x 0 1 2 3
)x(f 64
27)x(f 64
27 64
9 64
1
EJEMPLO La posibilidad de recibir de manera erroacutenea un bit transmitido por un canal de
transmisioacuten digital es 01 Ademaacutes supoacutengase que los ensayos de transmisioacuten son
independientes Sea X = nuacutemero de bits recibidos con error en los proacuteximos cuatro que
seraacuten transmitidos
Calcule el espacio muestral de este experimento e indiacutequese el valor de X en cada resultado
Calcuacutelese tambieacuten P(X = 2)
En este experimento se indica con E un bit erroacuteneo y con C un bit sin error esto es
recibido correctamente Con esto el espacio muestral de este experimento puede
describirse como una lista de cuatro letras que indican queacute bits fueron recibidos con y sin
error Por ejemplo el resultado CECE indica que el segundo y el cuarto bit son erroacuteneos y
los otros dos se recibieron correctamente Por consiguiente el espacio muestral es
Resultado x Resultado x
CCCC 0 ECCC 1
CCCE 1 ECCE 2
CCEC 1 ECEC 2
CCEE 2 ECEE 3
CECC 1 EECC 2
CECE 2 EECE 3
CEEC 2 EEEC 3
CEEE 3 EEEE 4
El evento en que X = 2 estaacute formado por seis resultados
S = EECC ECEC ECCE CEEC CECE CCEE
21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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21
Si se hace uso de la hipoacutetesis de que los ensayos son independientes entonces la
probabilidad de EECC es
P(EECC) = P(E)P(E)P(C)P(C) = (01)2(09)
2 = 00081
Por otra parte la probabilidad de que se presente cualquiera de los seis resultados
mutuamente excluyentes para los que X = 2 es la misma Por consiguiente
P(X = 2) = 6(00081) = 00486
En general
P(X = x) =f(x)= (nuacutemero de resultados con x errores) multiplicados por (01)x (09)
4-x CIlOs II i
Para ultimar una foacutermula general de probabilidad uacutenicamente es preciso una expresioacuten
para el nuacutemero de resultados que contienen x errores Puede construirse un resultado que
contiene x errores separando los cuatro ensayos en dos grupos El tamantildeo de uno de los
grupos es x y contiene los errores mientras que el tamantildeo del otro grupo es n-x y estaacute
formado por los ensayos donde no hay errores Tomando en cuenta la ecuacioacuten de
Combinacioacuten el nuacutemero de maneras de separar cuatro objetos en dos grupos uno de los
cuales tiene tamantildeo x es
)xn(x
x
44
Por tanto en este ejemplo
)(f)X(P
))(()(f)X(P
)()()(f)X(P)()()x(f)xX(P xx
x
0486022
04860810010622
9010229010 2424
2
44
Otros ejemplo
Los siguientes son ensayos Binomiales
Un tornillo puede estar defectuoso o no defectuoso
El sexo de un bebeacute al nacer puede ser nintildeo o nintildea
Las respuestas en una prueba determinada pueden ser correcta o incorrecta
Si consideramos que una serie de ensayos Binomiales tiene como caracteriacutesticas
1 La probabilidad de eacutexito permanece constante ensayo tras ensayo y
2 Los ensayos son independientes entre siacute
Entonces se tiene lo que se denomina experimento binomial donde el nuacutemero de ensayos
se denota con n la probabilidad de eacutexito con p y la de fracaso con q Hay que notar que las
probabilidades de eacutexito y de fracaso estaacuten relacionadas de la siguiente manera p + q =1
Por ejemplo Consideremos un examen con tres preguntas de opcioacuten muacuteltiple con cuatro
opciones y que seraacute contestado al azar
Podemos utilizar el siguiente ejemplo
1- Las flores de la cayena son de color
a) rojas b) azules c) amarillas d) naranjas
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
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Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
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Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
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Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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47
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httpwwwtutoriacomarapunteshtm
httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httprrpacuprcluedu9090~amenendexcel8introhtm
22
2- Don Cristoacutebal Colon descubrioacute a Venezuela en
a) 1592 b) 1692 c) 1492 d) 1792
3- El significado de la palabra planta es
a) hoja b) aacuterbol c) flor d) fruto
Con los datos de esta prueba contamos con un experimento binomial ya que la
probabilidad de eacutexito permanece constante en las tres preguntas (p = frac14) y las respuestas de
una a otra pregunta son independientes entre siacute Se cuenta con una cantidad n = 3 de
ensayos y q =1 ndash p = 34
Hay que decir que n y p son los llamados paraacutemetros de la distribucioacuten
Tenemos ahora la variable aleatoria X del ejemplo anterior que representaraacute el nuacutemero de
respuestas correctas siendo sus posibles valores 0 1 2 y 3
Para calcular la distribucioacuten de probabilidad correspondiente consideraremos como E los
eacutexitos y como F los fracasos (el subiacutendice indica el nuacutemero de pregunta) Asiacute pues se tiene
que
P(X=0) = P(F1 F2 F3) = P(F1)middotP(F2)middotP(F3) = (34)
3
= 27
64
= 1middot(34)
3middot(
14)
0
P(X=1)
=
P[(E1 F2F3) (F1 E2 F3)
(F1 F2 E3)]
=
81256
=
3middot(34)
2middot(
14)
1
P(X=2)
=
P[(E1 E2 F3) (E1 F2 E3)
(F1 E2 E3)]
=
964
=
3middot(34)
1middot(
14)
2
P(X=3) = P(E1 E2 E3) = P(E1)middotP(E2)middotP(E3) = (14)
3
= 164
= 1middot(34)
0middot(
14)
3
Al presentar esta informacioacuten como tabla su respectivo histograma seria el siguiente
EJEMPLO Un estudio sobre la influencia relativa de esposos y esposas en las poliacuteticas
familiares de consumo establece que el marido ejerce una influencia decisiva en la compra
de un automoacutevil nuevo en lo referente a la marca en 70 de las familias Suponga que 4
familias han decidido comprar un automoacutevil nuevo
a- iquestCuaacutel es la probabilidad de que en exactamente 2 de las 4 familias los maridos ejerza
una influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca del automoacutevil a comprar
b- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos ejerzan una influencia decisiva en la
seleccioacuten de la marca del automoacutevil en por lo menos 2 de las 4 familias
X P(X=x)
0 0422
1 0422
2 0141
3 0016
23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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23
c- iquestCuaacutel es la probabilidad de que los maridos seleccionen la marca del automoacutevil en las 4
familias
SOLUCIOacuteN Se supone que las decisiones de compras de las familias son independiente
y que p permanece constante de una familia a otra por lo tanto n = 4 y p = 07 Sea x el
nuacutemero de familias en las cuales los maridos ejercen una influencia decisiva en la seleccioacuten
de un automoacutevil nuevo Por consiguiente x = 0 1 2 3 y 4 entonces se tiene que
2646009049022
4
30070022
43210300700704
224
2
4
))((
)()()(f)x(P)doseexactament(P)a
x)x(f)x(bxnx
x
Luego la probabilidad de que en exactamente 2 de las a familias los maridos ejerzan una
influencia decisiva en la seleccioacuten de la marca de auto a comprar es de 2646
b)- P(al menos dos) = tiene 2 soluciones posibles a saber
91630083701
08370107560008101
307030701
10122
43221
3141
4040
)()(C)()(C
)(p)(p)x(P)
tambieno)(p)(p)(p)x(P)
Entonces la probabilidad de que al menos en 2 de las familias el marido seleccione la
marca del automoacutevil nuevo es de 09163 = 9163 La solucioacuten 1 se le deja al
estudiante para que la realice
c)- P(4 familias) = 2401017004
43070 4044
4 )()(
)()(C
La probabilidad de que los maridos de las 4 familias seleccionen la marca del automoacutevil es
de 02401 = 2401
PROBLEMA Con el propoacutesito de decidir si se aceptan los lotes de mercanciacutea que enviacutea
la faacutebrica RANICA a un comerciante se lleva acabo un procedimiento que consiste en
seleccionar 10 artiacuteculos al azar de cada lote y determinar el nuacutemero que presenta defectos
Un lote se rechaza siempre que se encuentren 2 o maacutes artiacuteculos defectuosos entre los 10
seleccionados Se supone que el nuacutemero de artiacuteculos en cada lote es grande y que cada lote
contiene un 5 de artiacuteculos defectuosos iquestCuaacutel es la probabilidad de aceptar un lote de
artiacuteculos iquestCuaacutel es la probabilidad de rechazarlo
SOLUCIOacuteN Sea x el nuacutemero de artiacuteculos defectuosos observados 10n y la
probabilidad de observar un artiacuteculo defectuoso en un ensayo es p = 005 entonces
xx
x
)()()x(f)x(p
1 0
1 0
950050 entonces las probabilidades de aceptar un lote
es
24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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24
xx
x x
)()(
xx
x x
)()()rechazar(P)b
serpuedetambienaceptar(P)rechazar(P)a
)aceptar(P
))()(())()(()aceptar(P
)()(C)()(C)(p)(p)aceptar(P)
)()()aceptar(P
)(p)(p)aceptar(P
1 01 0
2
1 0
9111 0
1 0001 0
1 01 0
2
1 0
950050
6080860914011
40919140
315059906302005010599011
950050950050101
95005012
101
El estudiante debe realizar la parte 2 de la )acetar(P y el resultado tiene que ser igual al
obtenido en la parte 1 (0914) De la misma forma debe realizar los caacutelculos de la parte b y
el resultado tiene que ser igual al de la parte a (0086)
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL
El caacutelculo de p(x) puede ser muy aburrido cuando los valores de n son muy grandes Por
tal razoacuten es conveniente describir la distribucioacuten de probabilidad binomial mediante se
media y su desviacioacuten estaacutendar Esto permitiraacute identificar valores de x que son altamente
improbables usando el conocimiento sobre el teorema de Tchebysheff y la regla empiacuterica
Por lo tanto es de gran importancia conocer el valor esperado o esperanza matemaacutetica y la
varianza de la variable aleatoria binomial x
La Media la Varianza y la Desviacioacuten Estaacutendar de una variable aleatoria Binomial son
npq
npq
np)x(E
2
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Una variable numeacuterica puede clasificarse como discreta o continua Las variables discretas
se miden utilizando nuacutemeros enteros y es posible asociarlas con la idea de contar Las
variables continuas se pueden asociar con la idea de medir utilizando fracciones y
decimales Cuando la variable es continua el modelo probabiliacutestico que maacutes se usa es la
distribucioacuten normal Las variables aleatorias que hemos estudiado hasta ahora tienen la
propiedad de que son el resultado de contar sus valores posibles variacutean en forma discreta
(a saltos) Hay otro tipo de variables aleatorias las que son el resultado de un proceso de
medir sus valores posibles cubren todo un intervalo en los nuacutemeros reales reales
Cuando el espacio muestral de una variable aleatoria es un intervalo real decimos que la
variable es continua La matemaacutetica que utilizamos para las variables continuas es diferente
a la de las discretas aunque los conceptos probabiliacutesticos sean los mismos de manera que en
nuestro estudio de las continuas utilizaremos este paralelo con las discretas
DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUacuteA
FUNCIOacuteN DE DENSIDAD
Una funcioacuten y=f(x) es una funcioacuten de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones
25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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25
El primer hecho de importancia es que una va (variable aleatoria) continuacutea tiene
probabilidad cero de tomar un valor especiacutefico soacutelo tiene valores positivos para intervalos
P( X = a ) = 0 para cualquier valor de a
Para calcular la probabilidad de que X esteacute en un intervalo (a b) o (a b] o [a b) o [a b] o
cualquier otro intervalo debemos hacer uso de una funcioacuten asociada a la variable aleatoria
la funcioacuten de densidad de X Las variables aleatorias discretas tienen la funcioacuten de
probabilidad las continuas tienen funcioacuten de densidad Ademaacutes como en el caso discreto
la funcioacuten de densidad estaacute ligada a la va X de modo que cuando sea necesario aclarar a
cuaacutel densidad nos referimos podemos usar la notacioacuten xf (x) ponieacutendole el subiacutendice X a
la f
PARAacuteMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogiacutea con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas se
definen la esperanza matemaacutetica o media la varianza y la desviacioacuten tiacutepica de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma
TIPIFICACIOacuteN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media y desviacioacuten tiacutepica la variable
XZ
tiene de media 0 y de desviacioacuten tiacutepica 1 y se llama tipificada de X Podemos decir que
mide la desviacioacuten de X respecto de su media tomando como unidad la desviacioacuten tiacutepica
de X
Distribucioacuten normal
Tambieacuten se llama distribucioacuten de Gauss o distribucioacuten de Laplace-Gauss Ello se debe a
que el matemaacutetico franceacutes Pierre Simon de Laplace (v) fue el primero que demostroacute la
siguiente relacioacuten muy importante en el estudio de la distribucioacuten normal
2xe
Sin embargo muchos autores consideran como auteacutentico descubridor de la distribucioacuten
normal a Abraham De Moivre (v) quien publicoacute en 1733 un folleto con el tiacutetulo de
Approximatio ad summan terminorum binomii (a + b)n en el que aparece por primera vez
la curva de la distribucioacuten de errores que pasando el tiempo y con no cierta injusticia se
conoce como distribucioacuten de Gauss
26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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26
El modelo matemaacutetico maacutes importante en estadiacutestica es la distribucioacuten normal ya que
provee una descripcioacuten adecuada para la distribucioacuten de una gran cantidad de variables
continuas
Carl Friedrich Gauss- Nacioacute el 30 de Abril 1777 en Brunswick (Ahora Alemania)
Fallecioacute el 23 de Febrero 1855 en Goumlttingen Hanover (Ahora Alemania)
Cuando Gauss teniacutea diez antildeos de edad su maestro solicitoacute a la clase que encontraraacute la suma
de todos los nuacutemeros comprendidos entre uno y cien El maestro pensando que con ello la
clase estariacutea ocupada alguacuten tiempo quedoacute asombrado cuando Gauss levantoacute en seguida la
mano y dio la respuesta correcta Gauss reveloacute que encontroacute la solucioacuten usando el aacutelgebra
el maestro se dio cuenta de que el nintildeo era una promesa en las matemaacuteticas Hijo de un
humilde albantildeil Gauss dio sentildeales de ser un genio antes de que cumpliera los tres antildeos A
esa edad aprendioacute a leer y hacer caacutelculos aritmeacuteticos mentales con tanta habilidad que
descubrioacute un error en los caacutelculos que hizo su padre para pagar unos sueldos Ingresoacute a la
escuela primaria antes de que cumpliera los siete antildeos Cuando teniacutea doce antildeos criticoacute los
fundamentos de la geometriacutea euclidiana a los trece le interesaba las posibilidades de la
geometriacutea no euclidiana A los quince entendiacutea la convergencia y proboacute el binomio de
Newton El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atencioacuten del duque de Brunswick
quien dispuso cuando el muchacho teniacutea catorce antildeos costear tanto su educacioacuten
secundaria como universitaria Gauss a quien tambieacuten le interesaban los claacutesicos y los
idiomas pensaba que hariacutea de la filosofiacutea la obra de su vida pero las matemaacuteticas
resultaron ser una atraccioacuten irresistible
Cuando estudiaba en Gotinga descubrioacute que podriacutea construirse un poliacutegono regular de
diecisiete lados usando soacutelo la regla y el compaacutes Ensentildeoacute la prueba a su profesor quieacuten se
demostroacute un tanto esceacuteptico y le dijo que lo que sugeriacutea era imposible pero Gauss
demostroacute que teniacutea la razoacuten El profesor no pudiendo negar lo evidente afirmoacute que
tambieacuten eacutel procedioacute de la misma manera Sin embargo se reconocioacute el meacuterito de Gauss y
la fecha de su descubrimiento 30 de Marzo de 1796 fue importante en la historia de las
matemaacuteticas Posteriormente Gauss encontroacute la foacutermula para construir los demaacutes poliacutegonos
regulares con la regla y el compaacutes
A la edad de setenta y siete antildeos Gauss fallecioacute Se ha dicho que la laacutepida que sentildeala su
tumba fue escrita con un diagrama que construyoacute el mismo Gauss de un poliacutegono de
diecisiete lados Durante su vida se reconocioacute que era el matemaacutetico maacutes grande de los
siglos XVIII y XIX Su obra en las matemaacuteticas contribuyoacute a formar una base para
encontrar la solucioacuten de problemas complicadiacutesimos de las ciencias fiacutesicas y naturales
La distribucioacuten normal es en forma de campana habitualmente llamada distribucioacuten de
Gauss Es simeacutetrica en torno a su media ( ) la media mediana y modo son iguales el aacuterea
total de la curva por encima del eje basal x es la unidad del aacuterea = 1 por lo tanto cada
sector de derecha e izquierda tiene un valor de 05 Si se trazan liacuteneas perpendiculares a un
desviacuteo estaacutendar ( ) de distancia de la media se obtiene un 68 del aacuterea de la curva Dos
desviacuteos estaacutendar encierran un 95 y tres un 997 de la curva La mayoriacutea de las variables
aleatorias que se presentan en los estudios relacionados con las ciencias sociales
Administracioacuten fiacutesicas y bioloacutegicas por ejemplo el peso de nintildeos recieacuten nacidos talla de
joacutevenes de 18 antildeos en una determinada regioacuten son continuas y se distribuyen seguacuten una
funcioacuten de densidad
Esta distribucioacuten es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadiacutesticas Es propio
que ciertos fenoacutemenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribucioacuten
Muchas variables aleatorias continuas presentan una funcioacuten de densidad cuya graacutefica tiene
forma de campana
En otras ocasiones al considerar distribuciones binomiales tipo B(n p) para un mismo
valor de p y valores de n cada vez mayores se ve que sus poliacutegonos de frecuencias se
aproximan a una curva en forma de campana
En resumen la importancia de la distribucioacuten normal se debe principalmente a que hay
muchas variables asociadas a fenoacutemenos naturales que siguen el modelo de la normal
27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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27
Caracteres morfoloacutegicos de individuos (personas animales plantas) de una
especie por ejmp tallas pesos envergaduras diaacutemetros periacutemetros
Caracteres fisioloacutegicos por ejemplo efecto de una misma dosis de un faacutermaco o
de una misma cantidad de abono
Caracteres socioloacutegicos por ejemplo consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos puntuaciones de examen
Caracteres psicoloacutegicos por ejemplo cociente intelectual grado de adaptacioacuten a un
medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes
Valores estadiacutesticos muestrales por ejemplo la media
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Y en general cualquier caracteriacutestica que se obtenga como suma de muchos factores
En el graacutefico se observa la campana de Gauss representante de la distribucioacuten normal y sus
desviacuteos estaacutendares
Sir Francis Galton construyoacute un ingenioso dispositivo que permitiacutea obtener de forma
experimental la curva de distribucioacuten normal La mayoriacutea de las magnitudes incluida la
inteligencia se distribuyen siguiendo esta ley normal que matemaacuteticamente viene
expresada por la funcioacuten
Doacutende
e es la constante 27182hellip(base de los logaritmos neperianos)
es 31415hellip (Relacioacuten entre la longitud de la circunferencia y su diaacutemetro)
x es la abscisa cualquier punto del intervalo
es la media de la variable aleatoria
es la desviacioacuten tipo de la variable aleatoria
2 es la varianza de la variable aleatoria
f(x) la ordenada de la curva
Dicha curva y tal como vemos en la graacutefica presenta un apintildeamiento de frecuencias altas
en torno a la media que se alejan de la misma a medida que ganan en singularidad La
medida de la distancia al valor central es indicado por la desviacioacuten tipo o estaacutendar
Ejemplos de distribuciones normales con diferentes paraacutemetros
28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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28
29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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29
Como e y π son constantes la forma de la curva normal depende solamente de los dos
paraacutemetros de la distribucioacuten normal la media μx y la desviacioacuten estaacutendar σx Las
diferentes curvas normales van a variar dependiendo de esos dos paraacutemetros
En matemaacuteticas la ecuacioacuten de la distribucioacuten normal se puede representar visualmente
como una curva en forma de campana El aacuterea debajo de esta curva se halla por medio del
integral de la funcioacuten y corresponde al porciento o la proporcioacuten de puntuaciones que se
encuentran en el intervalo dado
La distribucioacuten normal queda definida por dos paraacutemetros su media y su desviacioacuten tiacutepica
y la representamos asiacute
)(N
Para cada valor de y se tendraacute una funcioacuten de densidad diferente por lo tanto la
expresioacuten )(N representa una familia de distribuciones normales
Donde μ es la media de la variable aleatoria y σ es su desviacioacuten tiacutepica Este tipo de
variables se dice que se distribuye normalmente El aacuterea bajo la funcioacuten de densidad es 1
La funcioacuten de densidad en el caso de la distribucioacuten Normal tiene forma de campana
30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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30
Para una variable aleatoria X que se distribuya normalmente con media μ y desviacioacuten
tiacutepica σ la probabilidad de que la variable X esteacute comprendida entre los valores a y b es el
aacuterea tentildeida de rojo en la siguiente figura
Propiedades de la distribucioacuten normal
1- Tiene una uacutenica moda que coincide con su media y su mediana
2- La curva normal es asintoacutetica al eje de abscisas Por ello cualquier valor entre
y es teoacutericamente posible El aacuterea total bajo la curva es por tanto igual a 1
3- Es simeacutetrica con respecto a su media Seguacuten esto para este tipo de variables
existe una probabilidad de un 50 de observar un dato mayor que la media y un 50
de observar un dato menor
4- La distancia entre la liacutenea trazada en la media y el punto de inflexioacuten de la curva es
igual a una desviacioacuten tiacutepica ( ) Cuanto mayor sea maacutes aplanada seraacute la curva de
la densidad
5- El aacuterea bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos
desviaciones estaacutendar de la media es igual a 095 En concreto existe un 95 de
posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo 961961
6- La forma de la campana de Gauss depende de los paraacutemetros y La media
indica la posicioacuten de la campana de modo que para diferentes valores de la graacutefica
es desplazada a lo largo del eje horizontal Por otra parte la desviacioacuten estaacutendar
determina el grado de apuntamiento de la curva Cuanto mayor sea el valor de maacutes se
dispersaraacuten los datos en torno a la media y la curva seraacute maacutes plana Un valor pequentildeo
de este paraacutemetro indica por tanto una gran probabilidad de obtener datos cercanos al
valor medio de la distribucioacuten
7- Como se deduce de este uacuteltimo apartado no existe una uacutenica distribucioacuten normal
sino una familia de distribuciones con una forma comuacuten diferenciadas por los valores
de su media y su varianza De entre todas ellas la maacutes utilizada es la distribucioacuten
normal estaacutendar que corresponde a una distribucioacuten de media 0 y varianza 1
8- Ql y Q3 estaacuten situados a 23 de una desviacioacuten estaacutendar El 68 del aacuterea de la curva
(probabilidad) se encuentra a una desviacioacuten estaacutendar de la media
9- La variable tiene un alcance infinito pero la mayor parte del aacuterea bajo la curva se
encuentra a tres desviaciones estaacutendar de la media
FUNCIOacuteN DE DISTRIBUCIOacuteN
Puede tomar cualquier valor (- + )
Son maacutes probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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httpwwwedustatsprcomdocumentosprobabilidad31vadiscrpdf
httpwwwcnicemecdesDescartesEstadisticavariables_continuasnormal0htm
httpwwwunlueduar~mapcoapuntes610mapco610htm
httpwwwtutoriacomarapunteshtm
httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httprrpacuprcluedu9090~amenendexcel8introhtm
31
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de igual
forma a derecha e izquierda (es simeacutetrica)
Conforme nos separamos de ese valor la probabilidad va decreciendo de forma
maacutes o menos raacutepida dependiendo de un paraacutemetro que es la desviacioacuten tiacutepica
F(x) es el aacuterea sombreada de esta graacutefica
LA DISTRIBUCIOacuteN NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICACIOacuteN
La Distribucioacuten Normal Estaacutendar es una Distribucioacuten Normal teoacuterica que utiliza
un sistema numeacuterico comuacuten Cuando se estudia la variable de peso de los nintildeos al nacer o
el grueso de tornillos o el nuacutemero de frutos dantildeados en un aacuterbol aun cuando las
distribuciones de datos muestren la misma forma las unidades meacutetricas son variables por
tanto para poderlas comparar con una distribucioacuten patroacuten es necesario referirlas en la
misma unidad de medida Esta unidad de medida es la desviacioacuten estaacutendar (se veraacute maacutes
adelante) de esta manera sean pesos de bebes grueso de tornillos o frutos de aacuterboles
transformados a una unidad estaacutendar estaremos hablando en la misma escala Cuando se
diga por ejemplo entre el punto A y el punto B hay k desviaciones estaacutendar sin importar
las unidades en que fueron medidos los datos kilos micras o unidades para el ejemplo Por
tanto al comparar las magnitudes entre el punto A y el punto B en los tres anaacutelisis con las
unidades de la Distribucioacuten Normal Estaacutendar se podraacute deducir entre otras cosas la
magnitud relativa entre el punto A y el punto B Debe quedar claro que las comparaciones
uacutenicamente son posibles en poblaciones similares nintildeos con nintildeos tornillos con tornillos
etc
Puesto que hay un nuacutemero infinito de combinaciones para los dos paraacutemetros hay un
nuacutemero infinito de curvas normales diferentes Este problema se ha resuelto praacutecticamente
al transformar los valores de todas las distribuciones normales a los valores de una
distribucioacuten normal estandarizada (tipificada) representada por la curva normal
estandarizada
32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
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32
Las puntuaciones estandarizadas (tipificadas) se logran restando la media a cada
observacioacuten y dividiendo entre la desviacioacuten estaacutendar La unidad estaacutendar o tipificada se
llama Z y se obtiene mediante la foacutermula
xZ
Donde μ es la media de la distribucioacuten y σ su desviacioacuten estaacutendar
En muchas ocasiones se quieren comparar puntuaciones que pertenecen a dos
distribuciones normales diferentes La diferencia entre las dos distribuciones radica en que
las medias y las desviaciones estaacutendar no son iguales Sin embargo la comparacioacuten se hace
posible si se convierten las puntuaciones de ambas distribuciones a puntuaciones z que
corresponden a la distribucioacuten normal estandarizada o tipificada
Por tanto su funcioacuten de densidad es
y su funcioacuten de distribucioacuten es
Siendo la representacioacuten graacutefica de esta funcioacuten la siguiente
A la variable Z se la denomina variable tipificada de X y a la curva de su funcioacuten de
densidad curva normal tipificada
Caracteriacutestica de la distribucioacuten normal tipificada (reducida o estaacutendar)
No depende de ninguacuten paraacutemetro
Su media es 0 su varianza es 1 y su desviacioacuten tiacutepica es 1
La curva f(x) es simeacutetrica respecto del eje 0Y
33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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33
Tiene un maacuteximo en el eje Y
Tiene dos puntos de inflexioacuten en z =1 y z = -1
La curva normal estaacutendar tiene = 0 y = 1 Recordamos que la probabilidad equivale
al aacuterea bajo la curva que el aacuterea bajo toda la curva es 1 y que el aacuterea bajo cada mitad de la
curva es 05 Para calcular probabilidades en una curva normal no estaacutendar usamos la
foacutermula de conversioacuten z Cuando la media de la distribucioacuten normal es 0 y la varianza es 1
se denomina normal tipificada y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la
probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribucioacuten
Ejemplo
Consideremos que el peso de los nintildeos varones venezolanos en el momento del nacimiento
se distribuye normalmente Si sabemos que el peso medio en el momento de nacer son 325
Kg y la desviacioacuten tiacutepica es de 082 Kg iquestcuaacutel es la probabilidad de que el peso de un nintildeo
varoacuten al nacer sea superior a 4 Kg
91460820
2534
XZ
Tipificamos la variable aleatoria X peso de los nintildeos al nacer En el proceso de
tipificacioacuten al valor de X = 4 le corresponde el valor t = 09146
En la tabla de la distribucioacuten normal tipificada buscamos el valor de α correspondiente
al valor de t = 09146 la probabilidad de t gt 09146 es seguacuten se puede apreciar en la
figura 2
Luego
Por lo tanto la probabilidad de que un nintildeo al nacer tenga un peso superior a 4 kg es de
180
EJEMPLOS
A) Calcular P (z lt ndash135) y P (z gt ndash135) Solucioacuten abajo se reproduce parte de la tabla
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
ndash13 0968 0951 0934 0918 0901 0885 0869 0853 0838 0823
Recordamos que la tabla proporciona el aacuterea bajo la curva a la izquierda de z Por lo tanto
P (z lt ndash135) = 00885
34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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47
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34
La otra aacuterea se obtiene asiacute P (z gt ndash135) = 1 ndash 00885 = 09115
B) Una distribucioacuten normal tiene = 60 y = 5 Encontrar P(x lt 63) y P(x gt 63)
Solucioacuten Primero transformamos el valor de x a su equivalente en z z = (63ndash60)5 = 06
z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
06 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549
Al consultar la tabla (ver arriba) P(x lt 63) = P(z lt 060) = 07257
Ademaacutes P(x gt 63) = P (z gt 060) = 1 ndash P (z lt 060) = 02743
EJERCICIOS Calcular las siguientes probabilidades
1) P(z gt ndash243)
2) P(z lt ndash096)
3) P(z gt 117)
4) P(z lt 239)
5) Si = 110 y = 4 calcular P(x lt 107) y P(x gt 105)
6) Si = 30 y = 2 calcular P(x lt 312) y P(x gt 323)
Consideremos el siguiente problema
Supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada poblacioacuten sigue
una distribucioacuten aproximadamente normal con una media de 80 Kg y una desviacioacuten
estaacutendar de 10 Kg iquestPodremos saber cuaacutel es la probabilidad de que una persona elegida al
azar tenga un peso superior a 100 Kg
SOLUCIOacuteN Expresando por X a la variable que representa el peso de los individuos en
esa poblacioacuten eacutesta sigue una distribucioacuten N (80 10) Su distribucioacuten no es de la normal
estaacutendar entonces es uacutetil transformar esta caracteriacutestica seguacuten la Ecuacioacuten siguiente
Asiacute la probabilidad que se desea calcular seraacute
Como el aacuterea total bajo la curva es igual a 1 se puede deducir que
Esta uacuteltima probabilidad puede ser faacutecilmente obtenida a partir de la tabla resultando ser
Por lo tanto la probabilidad buscada de que una persona elegida
aleatoriamente de esa poblacioacuten tenga un peso mayor de 100 Kg es de
1ndash09772 = 00228 es decir aproximadamente de un 23
De modo anaacutelogo podemos obtener la probabilidad de que el peso de un sujeto esteacute entre
60 y 100 Kg
35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
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35
Tomando a = -2 y b = 2 podemos deducir que
Por el ejemplo anterior se sabe queacute 977202 )z(P Para la segunda probabilidad sin
embargo encontramos el problema de que las tablas estaacutendar no proporcionan el valor de
)z(P 2 para valores negativos de la variable Sin embargo haciendo uso de la simetriacutea
de la distribucioacuten normal se tiene que
Finalmente la probabilidad buscada de que una persona elegida al azar tenga un peso entre
60 y 100 Kg es de 09772-00228=09544 es decir aproximadamente de un 95 Resulta
interesante comprobar que se obtendriacutea la misma conclusioacuten recurriendo a la propiedad de
la distribucioacuten normal
No obstante es faacutecil observar que este tipo de situaciones no corresponde a lo que
habitualmente nos encontramos en la praacutectica Generalmente no se dispone de informacioacuten
acerca de la distribucioacuten teoacuterica de la poblacioacuten sino que maacutes bien el problema se plantea a
la inversa a partir de una muestra extraiacuteda al azar de la poblacioacuten que se desea estudiar se
realizan una serie de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la
poblacioacuten de origen
Ejemplo Supongamos que se dispone del peso de n =100 individuos de esa misma
poblacioacuten obtenieacutendose una media muestral de 75X Kg y una desviacioacuten estaacutendar
muestral 12S Kg se pretende extraer alguna conclusioacuten acerca del valor medio real de
ese peso en la poblacioacuten original
La solucioacuten a este tipo de cuestiones se basa en un resultado elemental de la teoriacutea
estadiacutestica el llamado teorema central del liacutemite Dicho axioma viene a decirnos que las
medias de muestras aleatorias de cualquier variable siguen ellas mismas una distribucioacuten
normal con igual media que la de la poblacioacuten y desviacioacuten estaacutendar la de la poblacioacuten
dividida por n En nuestro caso podremos entonces considerar la media muestral
n
NX con lo cual a partir de la propiedad de la normal se conoce que
aproximadamente un 95 de los posibles valores de X caeriacutean dentro del intervalo
n
n
961961 Puesto que los valores de y son desconocidos podriacuteamos
pensar en aproximarlos por sus anaacutelogos muestrales resultando
Estaremos por lo tanto un 95 seguros de que el peso medio real en la poblacioacuten de
origen oscila entre 756 Kg y 803 Kg Aunque la teoriacutea estadiacutestica subyacente es mucho
maacutes compleja en liacuteneas generales eacuteste es el modo de construir un intervalo de confianza
para la media de una poblacioacuten
Ejemplo Supongamos que cierto fenoacutemeno pueda ser representado mediante una
va )(NX 8145 y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre 39 y
48 es decir
4839 XP
SOLUCIOacuteN Comenzamos haciendo el cambio de variable
36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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36
9
45
81
45
XXXZ De modo que
XP 803737804839
Tabla de Aacutereas bajo la curva normal estaacutendar Los valores de la tabla que no se
muestran en negrita representan la probabilidad de observar un valor menor o igual a
z La cifra entera y el primer decimal de z se buscan en la primera columna y el
segundo decimal en la cabecera de la tabla
z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359
01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753
02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141
03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517
04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879
05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224
06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549
07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852
08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133
09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389
10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621
11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830
12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015
13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177
14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319
15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441
16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545
17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633
18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706
19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767
20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817
21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857
22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890
23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916
24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936
25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952
26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964
27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974
28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981
29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986
30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990
31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993
32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995
37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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37
33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997
34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998
35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998
36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999
39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
iquestCoacutemo se lee esta tabla
La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer
La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando
Ejemplo queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 275Entonces
buscamos en la columna de la izquierda el valor 27 y en la primera fila el valor 005 La
casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (099702 es decir 997)
Atencioacuten la tabla nos da la probabilidad acumulada es decir la que va desde el inicio de
la curva por la izquierda hasta dicho valor No nos da la probabilidad concreta en ese punto
En una distribucioacuten continua en el que la variable puede tomar infinitos valores la
probabilidad en un punto concreto es praacutecticamente despreciable
Ejemplo Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5 La
probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable ya que podriacutea tomar
infinitos valores por ejemplo 199 1994 19967 19998 1999791 etc
Veamos otros ejemplos
Probabilidad acumulada en el valor 067 la respuesta es 07486
Probabilidad acumulada en el valor 135 la respuesta es 09115
Probabilidad acumulada en el valor 219 la respuesta es 098574
Veamos ahora como podemos utilizar esta tabla con una distribucioacuten normal
Ejemplo el salario medio anual de los empleados de una empresa se distribuye seguacuten una
distribucioacuten normal con media 5 millones de Bs y desviacioacuten tiacutepica 1 milloacuten de Bs
Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de Bs
Lo primero que haremos es transformar esa distribucioacuten en una normal tipificada para ello
se crea una nueva variable (Z) que seraacute igual a la anterior (X) menos su media y dividida
por la desviacioacuten tiacutepica
XZ
En el ejemplo la nueva variable seriacutea
1
5
XZ
Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada La variable Z que
corresponde a una variable X de valor 7 es
21
57
Z
Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a
la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de Bs) Esta probabilidad es 097725
38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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38
Por lo tanto el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de Bs es del
97725
Ejercicio 1ordm La renta media de los habitantes de un pueblo es de 4 millones de Bsantildeo con
una varianza de 15 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal Calcular
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
b) Renta a partir de la cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con mayores ingresos
c) Ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta media
a) Porcentaje de la poblacioacuten con una renta inferior a 3 millones de Bs
SOLUCIOacuteN
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada
221
4
XZ
Recuerde que el denominador es la desviacioacuten tiacutepica (raiacutez cuadrada de la varianza)
El valor de Z equivalente a 3 millones de Bs es ndash 0816
P (X lt 3) = P (Z lt ndash 0816)
Ahora tenemos que ver cuaacutel es la probabilidad acumulada hasta ese valor Tenemos un
problema la tabla de probabilidades soacutelo abarca valores positivos no obstante este
problema tiene faacutecil solucioacuten ya que la distribucioacuten normal es simeacutetrica respecto al valor
medio
Por lo tanto
P (Z lt ndash 0816) = P (Z gt 0816)
Por otra parte la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100) menos la
probabilidad acumulada hasta dicho valor
P (Z gt 0816) = 1 - P (Z lt 0816) = 1 - 07925 (aprox) = 02075
Luego el 2075 de la poblacioacuten tiene una renta inferior a 3 millones Bs
b) Nivel de ingresos a partir del cual se situacutea el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes
elevada
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 09
(90) lo que quiere decir que por encima se situacutea el 10 superior
Ese valor corresponde a Z = 1282 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
XXX)(
X 575457142212821
221
42821
Despejando X su valor es 557 Por lo tanto aquellas personas con ingresos superiores a
557 millones de Bs constituyen el 10 de la poblacioacuten con renta maacutes elevada
c) Nivel de ingresos miacutenimo y maacuteximo que engloba al 60 de la poblacioacuten con renta
media
39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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39
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Z cuya probabilidad acumulada es el
08 (80) Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50 quiere
decir que entre la media y este valor de Z hay un 30 de probabilidad
Por otra parte al ser la distribucioacuten normal simeacutetrica entre -Z y la media hay otro 30 de
probabilidad En definitiva el segmento (-Z Z) engloba al 60 de poblacioacuten con renta
media
El valor de Z que acumula el 80 de la probabilidad es 0842 (aprox) por lo que el
segmento viene definido por (-0842 + 0842) Ahora calculamos los valores de la variable
X correspondientes a estos valores de Z
Los valores de X son 297 y 503 Por lo tanto las personas con ingresos superiores a 297
millones de Bs e inferiores a 503 millones de Bs constituyen el 60 de la poblacioacuten con
un nivel medio de renta
Ejercicio 2ordm La vida media de los habitantes de un paiacutes es de 68 antildeos con una varianza de
25 Se hace un estudio en una pequentildea ciudad de 10000 habitantes
a) iquestCuaacutentas personas superaraacuten posiblemente los 75 antildeos
b) iquestCuaacutentos viviraacuten menos de 60 antildeos
SOLUCIOacuteN
a) Personas que viviraacuten (posiblemente) maacutes de 75 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 antildeos
415
6875Z
Por lo tanto
P (X gt 75) = (Z gt 14) = 1 - P (Z lt 14) = 1 - 09192 = 00808
Luego el 808 de la poblacioacuten (808 habitantes) viviraacuten maacutes de 75 antildeos
b) Personas que viviraacuten (posiblemente) menos de 60 antildeos
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 antildeos
615
6860Z
Por lo tanto P (X lt 60) = (Z lt -16) = P (Z gt 16) = 1 - P (Z lt 16) =
00548
Luego el 548 de la poblacioacuten (548 habitantes) no llegaraacuten probablemente a esta edad
Ejercicio 3 El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una paiacutes es de 59
litros con una varianza de 36 Se supone que se distribuye seguacuten una distribucioacuten normal
a) Si usted presume de buen bebedor iquestcuaacutentos litros de cerveza tendriacutea que beber al antildeo
para pertenecer al 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo y su mujer le califica de borracho iquestqueacute podriacutea
argumentar en su defensa
a) 5 de la poblacioacuten que maacutes bebe
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 095
(95) por lo que por arriba estariacutea el 5 restante
40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
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40
Ese valor corresponde a Z = 1645 (aprox) Ahora calculamos la variable normal X
equivalente a ese valor de la normal tipificada
8767
5887958645166
586451
X
XX)(X
Despejando X su valor es 6787 Por lo tanto tendriacutea usted que beber maacutes de 6787 litros al
antildeo para pertenecer a ese selecto club de grandes bebedores de cerveza
b) Usted bebe 45 litros de cerveza al antildeo iquestEs usted un borracho
Vamos a ver en queacute nivel de la poblacioacuten se situariacutea usted en funcioacuten de los litros de
cerveza consumidos
Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros
226
5845Z
Por lo tanto
P (X lt 45) = (Z lt -22) = P (Zgt 22) = 1 - P (Z lt 22) = 00139
Luego tan soacutelo un 139 de la poblacioacuten bebe menos que usted Parece un argumento de
suficiente peso para que dejen de catalogarle de enamorado de la bebida
Ejercicio 4 A un examen de oposicioacuten se han presentado 2000 aspirantes La nota media
ha sido un 55 con una varianza de 11
a) Tan soacutelo hay 100 plazas Usted ha obtenido un 77 iquestSeriacutea oportuno ir organizando una
fiesta para celebrar su eacutexito
b) Va a haber una 2ordf oportunidad para el 20 de notas maacutes altas que no se hayan
clasificados iquestA partir de que nota se podraacute participar en este Nuevo Ingreso
a) Ha obtenido usted un 77
Vamos a ver con ese 77 en queacute nivel porcentual se ha situado usted para ello vamos a
comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente
120491
5577
Z
A este valor de Z le corresponde una probabilidad acumulada (ver
tablas) de 098214 (98214) lo que quiere decir que por encima de usted tan soacutelo se
encuentra un 1786
Si se han presentado 2000 aspirante ese 1786 equivale a unos 36 aspirantes como hay
100 plazas disponibles tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la
mejor de las fiestas
b) Repesca para el 20 de los candidatos
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80 de la probabilidad
ya que por arriba soacutelo quedariacutea el 20 restante
Este valor de Z corresponde a 0842 (aprox) Ahora calculamos el valor de la normal X
equivalente
386
55883055049184200491
558420
X
)(XX))((
X
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
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httpw3moritesmmx~cmendozama835ma83500html
httprrpacuprcluedu9090~amenendexcel8introhtm
41
Despejamos la X su valor es 638 Por lo tanto esta es la nota a partir de la cual se podraacute
acudir al Nuevo Ingreso
LA DISTRIBUCIOacuteN T DE STUDENT
En la mayoriacutea de casos reales o praacutecticos es frecuente que el tamantildeo de la muestra sea
limitado por el costo y por el tiempo por el cual se requiere de procedimientos un poco
diferentes a los utilizados para muestras grandes o mayores que treinta observaciones que
por lo general se asocian con la distribucioacuten normal Los procedimientos de estimacioacuten y
prueba de hipoacutetesis para muestras pequentildeas como es el caso de este trabajo son tratados
preferencialmente por la distribucioacuten denominada T de student Descubierta por William
S Gosset y publicada en 1908 bajo el seudoacutenimo de student otra caracteriacutestica que
permite utilizar una distribucioacuten T es que la desviacioacuten estaacutendar de tipo poblacional se
desconoce y se debe utilizar una desviacioacuten estaacutendar de tipo muestral eacutesta tambieacuten es una
razoacuten para utilizar la T de Student
Las muestras de tamantildeo Ngt30 se les llamadas grandes muestras las distribuciones de
muestreo de muchos estadiacutesticos son aproximadamente normales siendo la aproximacioacuten
tanto mejor cuanto mayor sea N Para muestras de tamantildeo menor que 30 llamadas
pequentildeas muestras esa aproximacioacuten no es adecuada y empeora al decrecer N de modo
que son precisas ciertas modificaciones El estudio de la distribucioacuten de muestreo de los
estadiacutesticos para pequentildeas muestras se llama teoriacutea de pequentildeas muestras Sin embargo un
nombre maacutes apropiado seriacutea teoriacutea exacta del muestreo pues sus resultados son vaacutelidos
tanto para pequentildeas muestras como para grandes En esta guiacutea analizaremos la
Distribucioacuten de Student la cual se designa con la letra t
Definamos el estadiacutestico NS
)X(
N
S
Xt
que es anaacutelogo al estadiacutestico z dado
por NX
N
XZ
INTERVALOS DE CONFIANZA
Al igual que se hizo con la distribucioacuten normal se pueden definir los intervalos de
confianza 95 99 u otros usando la tabla de la distribucioacuten t De esta forma podemos
estimar la media de la poblacioacuten dentro de los liacutemites especificados
N
StX
2 Donde
NS es la desviacioacuten estaacutendar estimada de X
GRADOS DE LIBERTAD
Para el caacutelculo de un estadiacutestico tal como t y es necesario emplear tanto observaciones de
muestras como propiedades de ciertos paraacutemetros de la poblacioacuten si estos paraacutemetros son
desconocidos hay que estimarlos a partir de la muestra
iquestQueacute son los grados de libertad Se pueden definir como el nuacutemero de valores que se
pueden escoger libremente
Suponiendo que se estaacute trabajando con dos valores de muestra a y b y se sabe que tienen
una media de 18 Simboacutelicamente se puede expresar
36182
baba
iquestCoacutemo se puede encontrar los valores que a y b puedan tomar
en esta situacioacuten La respuesta es que a y b pueden ser cualquiera de dos valores cuya
suma sea 36 ya que 36 entre 2 es 18
42
Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
43
Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
01000 00500 00250 00100 00050 00010 00005
1 3078 6314 12706 31821 63656 318289 636578
2 1886 2920 4303 6965 9925 22328 31600
3 1638 2353 3182 4541 5841 10214 12924
4 1533 2132 2776 3747 4604 7173 8610
5 1476 2015 2571 3365 4032 5894 6869
6 1440 1943 2447 3143 3707 5208 5959
7 1415 1895 2365 2998 3499 4785 5408
8 1397 1860 2306 2896 3355 4501 5041
9 1383 1833 2262 2821 3250 4297 4781
10 1372 1812 2228 2764 3169 4144 4587
11 1363 1796 2201 2718 3106 4025 4437
12 1356 1782 2179 2681 3055 3930 4318
13 1350 1771 2160 2650 3012 3852 4221
14 1345 1761 2145 2624 2977 3787 4140
15 1341 1753 2131 2602 2947 3733 4073
16 1337 1746 2120 2583 2921 3686 4015
17 1333 1740 2110 2567 2898 3646 3965
18 1330 1734 2101 2552 2878 3610 3922
19 1328 1729 2093 2539 2861 3579 3883
20 1325 1725 2086 2528 2845 3552 3850
21 1323 1721 2080 2518 2831 3527 3819
22 1321 1717 2074 2508 2819 3505 3792
23 1319 1714 2069 2500 2807 3485 3768
24 1318 1711 2064 2492 2797 3467 3745
25 1316 1708 2060 2485 2787 3450 3725
26 1315 1706 2056 2479 2779 3435 3707
27 1314 1703 2052 2473 2771 3421 3689
28 1313 1701 2048 2467 2763 3408 3674
29 1311 1699 2045 2462 2756 3396 3660
30 1310 1697 2042 2457 2750 3385 3646
31 1309 1696 2040 2453 2744 3375 3633
44
32 1309 1694 2037 2449 2738 3365 3622
33 1308 1692 2035 2445 2733 3356 3611
34 1307 1691 2032 2441 2728 3348 3601
35 1306 1690 2030 2438 2724 3340 3591
36 1306 1688 2028 2434 2719 3333 3582
37 1305 1687 2026 2431 2715 3326 3574
38 1304 1686 2024 2429 2712 3319 3566
39 1304 1685 2023 2426 2708 3313 3558
40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
inf 1282 1645 1960 2327 2576 3091 3291
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Suponiendo que a tiene un valor de 10 ahora b ya no estaacute libre de tomar cualquier valor
sino que debe tomar solamente el valor 26 puesto que si a = 10 entonces 10 + b = 36
por lo tanto b = 26
Este ejemplo demuestra que cuando existen 2 elementos de una muestra y solo conocemos
la media de la muestra de esos elementos entonces somos libres de especificar solamente
uno de esos elementos puesto que el otro estaraacute determinado por el hecho de que los 2
elementos suman el doble de la mitad de la muestra En teacuterminos estadiacutesticos se dice que
tenemos un grado de libertad
Observemos otro ejemplo Existen 7 elementos en una muestra y se sabe que la media de
estos elementos es 16 Simboacutelicamente se tiene la siguiente situacioacuten
167
gfedcba
En este caso los grados de libertad (GL) o el nuacutemero de variables que se pueden
especificar libremente es 7 ndash 1 = 6 Se tiene la libertad de asignar valores a 6 variables y
luego ya no tenemos libertad de especificar el valor de la seacuteptima variable puesto que esa
queda determinada automaacuteticamente En cada uno de los ejemplo tenemos un grado de
libertad que es igual a n ndash 1 grados de libertad suponiendo que n es el tamantildeo de la
muestra Utilizamos los grados de liberta cuando se elige una distribucioacuten t para estimar
una media de poblacioacuten y se utilizaraacute n ndash 1 GL tomando n igual al tamantildeo de la
muestra
Regiones de aceptacioacuten y rechazo en el contraste de hipoacutetesis
Distribucioacuten t de Student para varios valores
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Valores criacuteticos para la distribucioacuten Students - t alfa = aacuterea a la derecha de t (df alfa)
T~t(df) P(T gt t(dfalfa))
grados
de
libertad
alfa
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40 1303 1684 2021 2423 2704 3307 3551
60 1296 1671 2000 2390 2660 3232 3460
120 1289 1658 1980 2358 2617 3160 3373
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