Variable+Aleatoria+Bidimensional+Continua

Variables aleatorias multidimensionales

X: variable aleatoria discreta

P(X=x) = p(x); xRX

X, Y variables aleatorias discretas asociadas con el mismo experimento

PXY(x, y)=P(X=x,Y=y); (x,y)RXY Distribución de probabilidad conjunta

X: variable aleatoria continua X, Y variables aleatorias continuas asociadas con el mismo experimento

f(x); xR Función densidad de probabilidad

P(aXb) = a f(x)dx b

fXY(x,y); (x,y)R2 Función densidad de probabilidad conjunta

Probabilidad del evento A RA RXY P (A)=PXY(x, y) (x,y)RA

Probabilidad del evento A RA R2 P (A)= fXY(x, y) dx

dy (x,y)RA

• PXY(x, y) 0; (x,y)RXY

• PXY(x, y) = 1 (x,y)RXY

• fXY(x,y) 0; (x,y)R2

• fXY(x,y) = 1 (x,y)R2

(X, Y ) Vector Aleatorio

1


X: v.a.d.

P(X=x)=p(x); xRX

X, Y v.a.d. bidimensional PXY(x, y)=P(X=x,Y=y); (x,y)RXY

PX(x)=PXY(x,Y=y); xRX

yRY

PY(y)=PXY(X=x, y); yRY

xRX

Funciones de probabilidad marginal

X: v.a.c. (X, Y) vector aleatorio bidimensional

f(x); xR

fXY(x,y); (x,y)R2

PXY(x, y) = PX(x)PY/X(y/x) = PY(y)PX/Y(x/y) ; (x,y)RXY

Si PXY(x, y)=PX(x)PY(y); (x,y)RXY X,Y son independientes

Funciones de probabilidad condicional

fX (x) = fXY(x, y) dy yR

Funciones de densidad de probabilidad marginal

fY (y) = fXY(x, y) dx xR

Funciones de densidad de probabilidad condicional

fXY(x, y) = fX (x) fY/X(y/x) = fY(y) fX/Y(x/y); (x,y)R2

Si fXY(x, y) = fX (x) fY(y); (x,y)R2 X,Y son independientes2


X: v.a.d

P(X=x) = p(x); xRX

E(h(X,Y)) = h(x, y)PXY(x,y) (x,y)RXY

X: v.a.c

f(x); xR

E(h(X)) =

h(x)f(x)dx

E (h(X,Y) = h(x,y)fXY(x, y)dx dy (x,y)R2

E(h(X)) = h(x)p(x) xRX

X, Y v.a.d. bidimensional PXY(x, y)=P(X=x,Y=y); (x,y)RXY

Valores esperados

E(X) = X = xPXY(x,y) (x,y)RXY

E(Y) = Y = yPXY(x,y) (x,y)RXY

E(X2) = x2PXY(x,y) (x,y)RXY

E(Y2) = y2PXY(x,y) (x,y)RXY

E[(XX)2] =V(X)

E[(YY)2] =V(Y)

COV(X,Y) = E[(XX)(YY)] = E(XY) E(X)E(Y)

X, Y v.a.c. bidimensional

Valores esperados

E (X) = X = xfXY(x, y)dx dy (x,y)R2

E (Y) = Y = yfXY(x, y)dx dy (x,y)R2

COV(X,Y) = E[(XX)(YY)] = E(XY) E(X)E(Y)

COV(X,Y) = (xx)(y-y)fXY(x, y)dx dy (x,y)R2

3

fXY(x,y); (x,y)R2

La cantidad de combustible, en miles de litros, en un tanque al principio del día es una magnitud aleatoria Y, de la cual una cantidad aleatoria X se vende durante el día. El tanque no se rellena durante el día, de forma tal que es X<Y. La función de densidad de probabilidad conjunta de estas variables es

caso otroen 0

10,02),(

yyxyxf XY

a) Calcular las funciones de densidad de probabilidad marginales fX(x) y fY(y).

b) Determinar si X y Y son independientes. c) ¿Cuál la cantidad esperada de combustible que se vende en un día?d) ¿Cuál es la cantidad esperada de combustible que se vende en un día en el que se comienza con la mitad del tanque lleno?e) ¿Cuál es la cantidad esperada de combustible al comenzar el día?f) Hallar la cantidad promedio de combustible que queda en el tanque al final del día.g) Si se sabe que al iniciar el día el tanque está lleno hasta la mitad, ¿cuál es la probabilidad de que se venda entre 1/4 y 1/2 tanque?h) ¿Cuál es la probabilidad de que al comienzo del día el tanque esté más de la mitad lleno y se venda menos de un cuarto de tanque?i) ¿Cuál es la probabilidad de que si al comienzo del día el tanque está llena más de la mitad, se venda menos de un cuarto de tanque?j) Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación de X y Y.

Variables aleatorias multidimensionales. TPNº 5. Ejercicio 10Combustible y venta

4

X: Combustible, en miles de litros, que se vende durante el día

Y: Combustible, en miles de litros, en el tanque al principio del día

No se rellena

X < Y

x

y

1

1 y = x

y

x

fXY(x,y)

1

1

2

caso otroen 0

10,02),(

yyxyxf XY

Función densidad de probabilidad conjunta

Visión del dominio donde fXY(x,y) es no nula

2R ),(0),( yxyxf XY

1112

12),(

dxdyyxf XY

5

Combustible y venta

x

y

1

1

y = x

y = 1

y

x

fXY(x,y)

1

1

2

fX (x) = fXY(x, y) dy yR

Función de densidad de probabilidad marginal de X

6

x <0 0 x 1

x >1

00),()(

dydyyxfxf XYX

00),()(

dydyyxfxf XYX

)1(2020020),()(1

1

1xydydydydyyxfxf

y

xyy

y

xy

xy

XYX

10

10)1(2

00

)(

x

xx

x

xf X

Si x < 0,

Si x > 1,

Si 0 x 1, .

)1()()1(2)( xuxuxxf X

Combustible y venta

x

y

1

1

y = x

y = 1

y

x

fXY(x,y)

1

1

2

fY (y) = fXY(x, y) dx xR

Función de densidad de probabilidad marginal de Y

7

y<0

0 y 1

y >1

00),()(

dxdxyxfyf XYY

00),()(

dxdxyxfyf XYY

Si y < 0,

Si y > 1,

Si 0 y 1,

.

)1()(2)( yuyuyyfY

yxdxdxdxdxyxfyfyx

xyx

yx

x

x

XYY 2020020),()(00

0

10

102

00

)(

y

yy

y

yfY

Combustible y venta

y

x

fXY(x,y)

1

1

2

¿Son independientes X, Y?

8

.

10

102

00

)(

y

yy

y

yfY

Para serlo fXY(x, y) = fX (x) fY(y); (x,y)R2

4.01)8.0()5.0(2)8.0,5.0( yfxfyxf YXXY

Pero, por ejemplo,

10

10)1(2

00

)(

x

xx

x

xf X

No son independientes

3

1

6

12

3

1

2

12

3220)1(20)()(

1

0

32

1

1

0

0

x

xx

x

x

x

X

xxdxxdxxxdxxdxxxfXE

.

¿Qué representa? Cantidad esperada, en miles de litros, de combustible que se vende en un día

3

2

3

12

32020)()(

1

0

3

1

1

0

0

y

yy

y

y

y

Y

ydyyydyydyydyyyfYE

¿Qué representa? Cantidad esperada, en miles de litros, de combustible al comenzar el día

Combustible y venta

9

.

10

102

00

)(

y

yy

y

yfY

¿Y si la pregunta es la cantidad esperada (en miles de litros) de combustible que se vende en un día en el que se comienza con la mitad del tanque lleno?

dxyxxfE YXYX )/(// )(

),()/(/ yf

yxfyxf

Y

XYYX

Esta pregunta corresponde a un valor esperado de la variable aleatoria X, condicionada por el conocimiento del valor de Y=1/2.

donde

x

y

1

1

y = x

y=0.5

caso otroen 0

10,02),(

yyxyxf XY

caso otroen 1

0

5.001

2

)5.0(

),()5.0/(5.0/

x

yf

yxfyxf

Y

XYYX

4

1

2

1

22020)5.0/(

25.0

0

2

5.0

5.0

0

0

5.0/5.0/

x

xx

x

x

x

YXYX

xdxxdxxdxxdxyxxfE

Combustible y venta

Si se sabe que al iniciar el día el tanque está lleno hasta las 1/2 partes, ¿cuál es la probabilidad de que se venda entre 1/4 y 1/2 tanque?

caso otroen 0

5.002

)5.0(

),()5.0/(5.0/

x

yf

yxfyxf

Y

XYYX

x

y

1

1

y = x

y=1/2

x=1/4 x=1/2

5.0

25.0

50.0

25.05.0/5.0/ 22)5.0/5.025.0()2/1/2/14/1( xdxdxyxfYXPx

xYXYX

5.0)2/1/2/14/1(5.0/ YXP YX

10

Combustible y venta

¿Cuál es la probabilidad de que al comienzo del día el tanque esté más de la mitad lleno y se venda menos de un cuarto de tanque?

2/1,4/1,10/),( yxyxyxRA2R

y=1/2

x

y

1

1

y = x

x=1/4

RA .

Evento A : el tanque esté lleno más de la mitad al comenzar el día (Y>1/2) y se vende menos de un cuarto de tanque (X<1/4) – Ambas condiciones en simultáneo

ARyx

XY dxdyyxfYXPAP),(

),()2/14/1()(

4

1

2

1

2

122)(

1

2/1

1

2/1

1

2/1

4/1

0

1

2/1

4/1

0

y

y

y

y

y

y

x

x

y

y

x

xydydyxdydxAP

11

Observación: en este problema se puede calcular muy fácilmente por el volumen del paralelepípedo 4

12

4

1

2

1

Superficie de la base x altura

Combustible y venta

¿Cuál es la probabilidad de que al comienzo del día el tanque esté más de la mitad lleno y se venda más de tres cuartos de tanque?

.

Evento B : el tanque esté lleno más de la mitad al comenzar el día (Y>1/2) y se vende menos de un cuarto de tanque (X>3/4) – Ambas condiciones en simultáneo

12

2/1,4/3,10/),( yxyxyxRB2R

y=1/2

x

y

1

1

y = x

x=3/4

RB

16

1

8

9

16

9

2

31

2

3

4

3222)(

1

4/3

21

4/3

1

4/3 4/3

1

4/3 4/3

y

y

y

y

y

y

yx

x

y

y

yx

xyydyydyxdydxBP

Observación: en este problema se puede calcular muy fácilmente por el volumen del paralelepípedo 16

12

4

1

4

1

2

1

Superficie de la base x altura

BRyx

XY dxdyyxfYXPBP),(

),()2/14/3()(

Combustible y venta

Pregunta anterior: ¿Cuál es la probabilidad de que al comienzo del día el tanque esté más de la mitad lleno y se venda menos de un cuarto de tanque?

.

13

¿Cuál es la probabilidad de se venda menos de un cuarto de tanque si sabe que al comienzo del día el tanque está lleno más de la mitad?

¿En qué se diferencian?

1

2/1

/

)(

),(

)2/1(

)2/1,4/1()2/1/4/1(

y

y Y

R

XY

XYYX

dyyf

dxdyyxf

YP

YXPYXP A

y=1/2

x

y

1

1

y = x

x=1/4

4

32)2/1(

1

2/1

22/1

1

y

y

y

yyydyYP

3

1

4/3

4/1)2/1/4/1(/ YXP YX

ARyx

XY dxdyyxfYXPAP),(

),()2/14/1()(

Combustible y venta

Una persona tiene dos bombillas para una lámpara en particular. Sea X la variable aleatoria que corresponde a la duración de la primera bombilla y Y la correspondiente a la duración de la segunda bombilla, ambas en miles de horas (Por ejemplo, X=1, significa que la primer bombilla funciona 1000 horas). Suponiendo que X y Y son independientes y que cada una de ellas tiene una distribución exponencial de parámetro =1, responder las siguientes cuestiones.

a) ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad conjunta de X y Y, fX,Y(x,y)?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que cada bombilla (por separado) dure a lo sumo 1000 horas, esto es P(X1) y P(Y1)?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración total de funcionamiento de la lámpara sea a lo sumo 2000 horas, supuesto que cuando se quema la primera se reemplaza por la segunda? Sugerencia: tener presente que el evento detallado está vinculado con los pares de valores del conjunto

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración total de funcionamiento de la lámpara esté entre 1000 y 2000 horas?

b) Sea la variable aleatoria suma T=X+Y. Hallar la función de densidad y la función de distribución de probabilidad de T.

Variables aleatorias multidimensionales. TPNº 5. Ejercicio 16Lámpara con bombilla de repuesto

2,0,0/),( yxyxyx

14

15

X: Vida útil, en miles de horas, de la primera bombilla; X ~ Exp()

Y: Vida útil, en miles de horas, de la segunda bombilla; Y ~ Exp()

X, YIndependientes

0

0.5

1

1.5

2

2.50

0.51

1.52

2.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

y

x

f(x,y)

f(x,y)=exp(-x-y) x>0, y>0

)()(),( )(2, yuxueyxf yxYX

Representación de la función de densidad conjunta para = 1

fXY(x, y) = fX (x) fY(y)

Lámpara con bombilla de repuesto

16

Por las características del problema, sería conveniente trabajar con la variable aleatoria suma

T = X + Y : Vida útil, en miles de horas, del sistema ¿Qué distribución tiene T ?

)()( tTPtFT

0)()( tTPtFT

tx

x

xty

y

XYT dxdyyxftYXPtTPtF0 0

),()()()(

x

y

x + y = t

t

t

t > 0

Si t < 0,

Si t 0,

Los límites de integración se deducen de la figura del dominio

dxdyeedxdyeetYXPtTPtFtx

x

xty

y

yxtx

x

xty

y

yxT

0 00 0

2)()()(

tx

x

txtx

x

xtxtx

x

xty

y

yxT dxeedxeedxeetF

00

)(

00

1)(

tttttx

x

txT teeteexeetF

101)(0

.

01

00)(

ttee

ttF ttT

0

00)( 2 tte

ttf tT

tttT

eteet

t

dt

tdF

)()(0

00)(

t < 0


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x,t

f(x)=exp(-x)

f(t)=t exp(-t)

f

Función densidad de probabilidad de la vida útil de una bombilla; fX(x) con =1

Función densidad de probabilidad de la suma de la vida útil de dos bombillas independientes e idénticasT = X + Y; fT(t)

17


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x,t

F

f(x)=1-exp(-x)

f(t)=1-exp(-x)-t exp(-t)

Función de probabilidad acumulada de la vida útil de una bombilla; FX(x) = P(X x) con =1

Función de probabilidad acumulada de la suma de la vida útil de dos bombillas independientes e idénticasT = X + Y; FT(t) = P(T t)

18


En general la suma de variables aleatorias, aún cuando las mismas sean idénticas e independientes, no mantiene la distribución de las variables sumadas

No obstante

La combinación lineal de un número finito de variables aleatorias normales independientes, aún cuando las mismas no sean idénticas, da por resultado una

variable aleatoria normal

Propiedad reproductiva de la variable aleatoria normal

19

¿Cómo se suman? ¡Artesanalmente!

iX Normales Independientes ni ,,2,1

n

iii XaY

1

Normal

)()()()()( 332211 nn XEaXEaXEaXEaYE

)()()()( 22

221

21 nn XVaXVaXVaYV

Propiedad reproductiva

22 7;170 XXNX

22 5;50 YYNY

22 40;300 WWNW

Hay unas zapatillas económicas que se expiden en cajas de cartón corrugado de 6 pares, cada par contenido en su caja individual. Frecuentemente los clientes reciben cajas con unidades faltantes, es decir que se encuentran 11 (o menos) zapatillas y reclaman furiosamente al vendedor. Para solucionar el problema, se ha decidido efectuar un control al final de la línea de empaques, pero como obviamente sería ilógico abrir cada caja para verificarla, se aplicará el siguiente procedimiento: se colocará una balanza al final de la línea y se pesarán todas las cajas, abriendo luego aquellas cuyo peso sea sospechoso. Ahora, para implementar este control debe fijarse un peso crítico C, tal que si una caja pesa menos, se la abrirá. A efectos de calcular el valor de C, se establece la condición de detectar al menos el 99% de las cajas con 11 zapatillas, y se sabe que los pesos de las zapatillas y las cajas son variables normales con los siguientes parámetros:

peso de las cajas de cartón corrugado en gramos,

Calcular: i. el valor de C; ii. el porcentaje de las cajas completas que se revisa inútilmente.

Variables aleatorias multidimensionales. TPNº 5. Ejercicio 17.dZapatillas económicas

peso individual de las zapatillas en gramos,

peso de las cajas individuales en gramos,

20

Zapatillas económicas

22 7;170 XXNX

22 5;50 YYNY

22 40;300 WWNW

WYYYXXXT kk 62121

kjX j ,,1,

6,,1, iYi

T: peso total de un empaque con k zapatillas, para k=1, 2, , 12

peso individual de cada una de las zapatillas

Suponemos que el error está en el embalaje de los pares de zapatillas pero no hay error en

el número de cajas individuales dentro del empaque de cartón

Todos los pesos están en gramospeso de cada caja individual

W peso del empaque de cartónV.A. Normales independientes

WYXkkTk kWEYEYEYEXEXEXETE 6)()()()()()()()( 62121

600170300506170 kkTk

22262121

2 6)()()()()()()()( WYXkkTk kWVYVYVYVXVXVXVTV

175049160025649 kkTk

)175049;600170( 2 kkNT TkTkk

Propiedad reproductiva: T tiene distribución normal

21

Representación de las funciones de densidad de probabilidad de Tk para valores k=12, 11, 10(El valor medio T y la dispersión T van disminuyendo da acuerdo a las leyes halladas)


)175049;600170( 2 kkNT TkTkk

T: peso total de un empaque con k zapatillas, para k=1, 2, , 12

2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 28000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 28000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 28000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

T12E(T12)=2640V(T12)=48.35

T10E(T10)=2300V(T10)=47.33

T11E(T11)=2470V(T11)=47.84

C

¿C?

Control: toda caja de peso inferior a C va a revisión

Criterio para hallar C: asegurar que el 99% de los embalajes con 11 zapatillas vaya a revisión

22

0.99

¿?

Vinculado al porcentaje de embalajes en buenascondiciones que van innecesariamente a revisión

Cálculos

)2289;2470( 21111 TkNT

99.0)( 11 CTP 99.084,47

2470

84,47

2470

11

1111

C

ZPCT

PT

T

33.284.47

2470

Cgramos)(en 5.2581C

)2338;2600( 2121212 TNT

1131.021.135,48

26405.2581)(

12

121212

ZPT

PCTPT

T

1131.0)( 12 CTP

Con este valor de C, para se verifica:

.

El 11.31% de los embalajes en buenas condiciones va a revisión


23

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Variable+Aleatoria+Bidimensional+Continua