Vanskeligheder ved ligningsløsning - i folkeskolens ældste ... · Vanskeligheder ved ligningsløsning - i folkeskolens ældste klasser Title: Difficulties in equation solving in

Vanskeligheder ved ligningsløsning -

i folkeskolens ældste klasser

Title: Difficulties in equation solving in lower secondary school.

Speciale med mundtligt forsvar på kandidatuddannelsen ”Didaktik - matematik”

Navn: Lars Busch Johnsen

Studienummer: 20025261

Anslag: 191.673 af tilladte 192.000

Vejleder: Uffe Thomas Jankvist

Dato: 5. juli 2016

Underskrift: _____________________________________________

Lars Johnsen Kandidatuddannelsen i didaktik (matematik) Speciale 2016

Side 2 af 126

1. Abstract

Title: Difficulties in equation solving in lower secondary school.

In this thesis I will examine the errors and misconceptions regarding equations that are typical in lower

secondary school. The focus is on how these misperceptions are detected, and how pupils are scaffolded in

their understanding and conceptualization of equations.

Methodically, the survey is designed with inspiration from the education of “maths counsellors” for Danish

upper secondary school (Niss & Jankvist, 2015). In this program potential learning difficulties are addressed

by means of a 3-phase model based on detection, diagnosis and intervention. Especially, I tested 50 pupils

in 8th grade at Præstø School in relation to their comprehension of equations. Subsequently, three pupils,

who showed particular signs of operational and conceptual difficulties, were interviewed to provide a more

accurate diagnosis. Based on this diagnosis, the pupils have received five lessons of instruction and

guidance so that future difficulties related to equations may be prevented as much as possible.

A focal point in my work has been to look at the importance of diverse representations of equations. I

therefore have focused on how the pupils’ learning is affected if they have been subject to equations with

intentional transformations between registers (Duval, 2006). I have also described the advantages and

disadvantages of using concrete models, such as the balance model (Vlassis, 2002), when teaching

equations. Moreover the uses of particular computer programs that possibly enhance a solid equation

conception are analyzed.

Furthermore, I have studied how the textbook systems, which are used by the pupils from 4th to 8th grade at

Præstø School, present equations. My analysis suggests that the books have a very monotonous way to

display equations, and that this can maintain pupils in an operational understanding. Many pupils interpret

the equal sign in an equation as an indicator to calculate a result, and this inadequate understanding seems

to be cemented by the textbooks used at Præstø School. The results are analyzed and discussed in relation

to international studies.

In the last part of my thesis I discuss whether the conceptual understanding of equations shall precede the

operational understanding or vice versa. In addition, it is argued that math teachers shall not be afraid to

use concrete models to support the task of constructing a concept of equation - even if the models fall

short when the equations include rational numbers in the solution and in the coefficients.


Side 3 af 126

2. Indholdsfortegnelse

1. Abstract ......................................................................................................................................................... 2

2. Indholdsfortegnelse ....................................................................................................................................... 3

3. Indledning ...................................................................................................................................................... 5

4. Struktur for speciale ...................................................................................................................................... 7

5. Begrebsafklaring ............................................................................................................................................ 8

5.1. Hvad er en ligning? ................................................................................................................................. 8

5.2. Hvad forstås ved en ubekendt? .............................................................................................................. 9

5.3. Matematikvanskeligheder i forhold til ligninger? ................................................................................ 10

5.4. Diagnostisk test og detektionstest ....................................................................................................... 10

6. Teori: ............................................................................................................................................................ 12

6.1. Matematiske kompetencer .................................................................................................................. 12

6.2. Forenklede Fælles Mål 2014 og ligninger ............................................................................................. 14

6.3. Skemps instrumentale og relationelle forståelse ................................................................................. 14

6.4. Begrebsbilleder og begrebsdefinitioner jf. Tall og Vinner. ................................................................... 15

6.5. Begrebsdannelsens duale struktur jf. Sfard. ........................................................................................ 16

6.6. Repræsentationer og registerskift ifølge Duval .................................................................................... 19

6.7. Introduktion til ligninger i folkeskolen ................................................................................................. 21

6.8. Lighedstegnets rolle i ligninger ............................................................................................................. 22

6.9. Kategorisering af ligningstyper ............................................................................................................. 26

6.10. Modeller som repræsentation for ligninger ....................................................................................... 28

6.11. Minustegnet og negativitet ................................................................................................................ 31

6.12. IT-værktøjer og ligninger .................................................................................................................... 32

7. Metode ........................................................................................................................................................ 34

7.1. Empiriindsamlingens fire faser ............................................................................................................. 34

7.2. Fase 1: Detektionstesten ...................................................................................................................... 35

7.3. Fase 2: Interview af tre elever på baggrund af detektionstest ............................................................ 35

7.4. Fase 3: Intervention overfor 3 elever på baggrund af diagnose .......................................................... 36

7.5. Fase 4: Lærebogsanalyse (Kontext og Faktor) ...................................................................................... 40

8. Analyse - del 1 (Detektionstesten) .............................................................................................................. 42


Side 4 af 126

8.1. Detektionstesten .................................................................................................................................. 42

8.2. Brug af detektionstest til udvælgelse af elever til interview ................................................................ 52

9. Analyse - del 2 (Interview og diagnose) ....................................................................................................... 56

9.1. Interview af ”Elev A” (Varighed: 18 min 22 sek.) ................................................................................. 56

9.2. Interview af ”Elev B” (Varighed: 19 min 45 sek.) .................................................................................. 58

9.3. Interview af ”Elev C” (Varighed: 34 min 48 sek.) .................................................................................. 60

10. Analyse - del 3 (Intervention) .................................................................................................................... 64

10.1. Faglig progression for ”Elev A” og ”Elev B” ........................................................................................ 64

10.2. Konklusion på intervention med ”Elev A” og ”Elev B” ....................................................................... 68

10.3. Faglig progression for ”Elev C” ........................................................................................................... 69

10.4. Konklusion på intervention med ”Elev C” .......................................................................................... 71

11. Analyse - del 4 (Lærebogssystemer) .......................................................................................................... 73

12. Samlet diskussion af de 4 analyseområder ............................................................................................... 76

13. Konklusion ................................................................................................................................................. 80

14. Perspektivering .......................................................................................................................................... 81

15. Litteraturliste: ............................................................................................................................................ 83

16. Bilagsoversigt: ............................................................................................................................................ 86


Side 5 af 126

3. Indledning

I løbet af 17 år som matematiklærer i den danske folkeskole og 3 år som underviser i matematik på

læreruddannelsen, har jeg gang på gang konstateret, at ligninger er et vanskeligt emne for både elever og

studerende. Jeg er derfor drevet af en nysgerrighed for at trænge dybere ind i, hvorfor disse vanskeligheder

opstår.

Helt konkret blev jeg ansporet af det arbejde Mogens Niss og Uffe Jankvist har udført i forbindelse med

oprettelsen af en vejlederuddannelse for matematiklærere i gymnasiet (Jankvist & Niss, 2015). Til dette

formål har de udarbejdet tre detektionstests, som forsøger at kortlægge gymnasieelevers vanskeligheder

indenfor vejlederuddannelsens tre hovedområder (Jankvist & Niss, 2015, s. 273). Det drejer sig helt

kortfattet om henholdsvis:

- begrebsdannelse/symbolbehandling

- ræsonnement/beviser

- modellering.

Særligt den første af de tre test sætter fokus på ligningsløsning (Se bilag A). Morten E. Hansen har i sit

speciale om matematikvanskeligheder i gymnasiet analyseret 676 gymnasielevers besvarelser af udvalgte

spørgsmål fra detektionstest nr. 1 (Hansen, 2016, s. 37). Da mit interessefelt primært er folkeskolen og ikke

gymnasiet, ønsker jeg inspireret af både Hansen (2016) og Jankvist og Niss (2015) at udforme min egen

undersøgelse for at dykke dybere ned i de generelle tendenser af fejltyper og misopfattelser, der kan

observeres indenfor ligningsløsning i folkeskolens ældste klasser.

Mit empirigrundlag bygger på tre 8. klasser på Præstø Skole. I mit arbejde med at udforme en

detektionstest, der kan spotte potentielle læringsvanskeligheder i forhold til ligninger hos eleverne i 8.

klasse på Præstø Skole, er jeg havnet i et aktuelt spændingsfelt omkring testning i folkeskolen. Med

indførelsen af de ”Nationale Test” i Danmark i 2010 er testkulturen vundet frem de senere år, men

spørgsmålet er om de ”Nationale Test” og andre tilgængelig testformer er i stand til at give præcise

brugbare resultater i forhold til at stille en diagnose om en elevs vanskeligheder ved at arbejde med

ligninger. Jeppe Bundsgaard er en af flere forskere, der sætter spørgsmålstegn ved både reliabilitet og

validitet af de ”Nationale Test” (Bundsgaard, 2016). Jeg mener, at en test skal følges op af andre og mere

individuelle tiltag i forhold til at give en brugbar beskrivelse af en elevs læringsvanskeligheder.

I den forbindelse har jeg på baggrund af den kvantitative del af min empiriindsamling udvalgt tre elever fra

de tre 8. klasser, som indgår i en mere kvalitativ fase i form af interview og intervention. Her er fokus rettet

mod at bringe eleverne videre i deres begrebsdannelse i forhold til ligninger og brugen af disse.

Jeg arbejder i interventionsfasen målrettet med elevernes repræsentationskompetence og med deres

symbol- og formalismekompetence i den betydning af kompetencerne, som er beskrevet i KOM-rapporten

(Niss & Jensen, 2002). Her inddrager jeg desuden en kritisk tilgang til, hvordan IT-værktøjer kan indtænkes

konstruktivt i begrebsdannelsen.


Side 6 af 126

Ovenstående indledning danner baggrund for følgende problemformulering:

”Hvilke fejl og misopfattelser indenfor ligningsløsning er typiske i folkeskolens ældste klasser? Hvordan

detekteres disse misopfattelser, og hvordan bringes eleverne videre i deres forståelse og

begrebsdannelse af ligninger?”


Side 7 af 126

4. Struktur for speciale

Jeg vil i dette speciale efter en kort begrebsafklaring begynde med et teoriafsnit, hvor jeg fremhæver

relevant forskning indenfor emnet om ligningsløsning. Afsnittet vil være underopdelt, så jeg først

klarlægger mit teorigrundlag i forhold til generel matematisk begrebsdannelse ud fra Sfard (1991) og Tall &

Vinner (1981). Desuden benytter jeg Duval (2006) til at se nærmere på repræsentationers sammenhæng

med matematikvanskeligheder. Disse generelle teorier vil blive forsøgt vinklet til elevers læring tilknyttet

ligninger

Efterfølgende skitserer jeg teorier, der omhandler elevers specifikke vanskeligheder med ligninger i forhold

til:

- aritmetiske og algebraiske ligninger.

- lighedstegnets betydning.

- negative tal.

- lærerens brug af konkrete modeller - bl.a. ved hjælp af IT-værktøjer.

I metodeafsnittet bygger jeg min empiriindsamling op omkring en detektionstest om ligninger til 50 elever i

8. klasse. På baggrund af denne test udvælges tre elever til interview for at komme tættere på en mulig

diagnosticering af deres vanskeligheder med arbejdet med ligninger. Herefter begrundes den udførte

intervention overfor de tre interviewede elever fra 8. klasse med afsæt i den udvalgte teori. Her er fokus på

den fremadrettede proces, hvor det ønskes, at der tages hånd om elevernes vanskeligheder med

ligningsløsning og den tilknyttede begrebsdannelse. Ligeledes ser jeg nærmere på, hvordan de tre

implicerede 8. klassers lærebøger præsenterer ligninger. Det drejer sig om KonteXt fra 4.-6. klasse og Faktor

fra 7.-8. klasse. Her vil jeg rubricere alle ligninger, der er benyttet i disse bogsystemer, efter en skabelon

anvendt i en lignende undersøgelse (Rittle-Johnson et al., 2011, s. 96). Desuden vil Duval (2006) og Vlassis

(2002) danne teoretisk baggrund for yderligere kategorisering.

I analysedelen går jeg tæt på indholdet og udbyttet af både min kvantitative empiri (detektionstesten og

lærebogsundersøgelsen) og min kvalitative empiri (interventionsfasen inkl. interview af elever). Særlige

fokus- og interessepunkter fra analysens fire dele holdes op mod hinanden i en fælles diskussion.

Endeligt konkluderer og perspektiverer jeg på min analyse og forsøger at kridte banen op for yderligere

undersøgelser og tiltag omkring ligningsløsning i folkeskolens ældste klasser.


Side 8 af 126

5. Begrebsafklaring

5.1. Hvad er en ligning? Der findes ikke en præcis velbeskrevet definition af, hvad en ligning er, som der er enighed om i det

matematiske samfund. Lighedstegnet er dog en central komponent i enhver ligning, som ikke er til at

komme uden om. Spørgsmålet er, om vi kan acceptere at kalde et matematisk udtryk for en ligning, hvis

udtrykket på højre og venstre side af lighedstegnet aldrig kan blive ens, og om vi kan kalde et udtryk uden

ubekendt for en ligning?

Skal 4x + 2 = 4x - 1 accepteres? Og hvad med 34 + 2 = 9 4?

I diverse artikler og på internettet1 omtales en ligning ofte som en identitet, hvor to størrelser på hver sin

side af lighedstegnet er ens. Jeg tager afstand fra denne definition af en ligning, da den ikke indfanger de

ligninger, der ikke har nogen løsning. Der kan dog være didaktiske årsager til at tage udgangspunkt i denne

særlige opfattelse af balance, når vi taler begynderundervisning på folkeskoleniveau, så

abstraktionsniveauet holdes nede. Herscovics og Kieran (1980) fanger denne didaktiske problematik ved i

at benytte følgende startdefinition med fokus på en ubekendt:

”We define an equation as an arithmetic identity with a hidden number”

(Herscovics & Kieran, 1980, s. 575)

For senere i undervisningen at udvide definitionen til:

“At this stage, the student can be made aware that the initial definition of equation ("an arithmetic identity with a hidden number") needs to be qualified since it applies only to the class of "equations that have a solution." For indeed, other equations can be invented, such as 2x + 3 = 2x + 4, which do not have a solution. This leads to a general definition of equation: any algebraic expression of equality containing a letter (or letters)”. (Herscovics & Kieran, 1980, s. 576-577) I forhold til identiteter kan det diskuteres om et altid sandt udsagn, fx 4x = 2x + 2x er en ligning. Jeg vil læne mig op af den definition, som viderebringes af Godfrey & Thomas (2008): ”Equation, that asserts that two expressions have the same value; it is either an identical equation (usually

called an IDENTITY), which is true for any values of the variables, or a conditional equation, which is only

true for certain values of the variables (the ROOTS of the equation).”

(Godfrey & Thomas, 2008, s. 74)

Hermed godtages identiteter med ubekendte, da en ligning selvfølgelig kan have uendelig mange løsninger.

1 Se fx:

http://denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Regning,_algebra_og_talteori/ligning (Lokaliseret d. 15. maj 2016)

http://denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Regning,_algebra_og_talteori/ligning

http://denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Regning,_algebra_og_talteori/ligning


Side 9 af 126

Jeg kan nu definere en ligning som et matematisk udtryk, hvor et lighedstegn adskiller en højre og en

venstre side, hvoraf mindst en af siderne indeholder en ubekendt. Det giver anledning til tre typer af

ligninger:

1) Absurditeter: Ligninger uden løsning (4x + 2 = 4x - 1)

2) Identiteter: Ligninger med uendelig mange løsninger (7x + 4 = 3x + 4x - 9 + 13)

3) Bestemmelsesligninger: Ligninger med et specifikt antal løsninger (4x + 3 = 7x - 9)

Det skal understreges, at en ligning ikke nødvendigvis har tal som løsning. En differentialligning har fx

funktioner som løsning.

I dette speciale, der fokuserer på folkeskoleelevers vanskeligheder med ligninger, vil vægten være lagt på

bestemmelsesligninger af 1. grad - altså med en løsning.

5.2. Hvad forstås ved en ubekendt? Jeg har ovenfor redegjort for, at der indgår minimum en ubekendt i min definition af en ligning. Det kræver

en uddybning af, hvad der forstås ved en ubekendt. Pointen med en ligning er at undersøge, om der findes

løsninger til den givne ligning. Det vil sige, at vi er interesserede i at finde løsninger, der om muligt

tilfredsstiller lighedstegnets krav om ækvivalens, ved at erstatte den eller de ubekendte, der optræder i

ligningen, med fx tal eller funktioner.

Opfattelsen af den ubekendte kan opdeles i tre kategorier (Schou et al., 2013, s. 207):

- Som ”pladsholder” for et eller flere ukendte tal. Her er der tale om en opfattelse af den ubekendte

som en stedfortræder for det eller de tal, der gør ligningen sand.

- Som ”generel identitet”. Her tænkes på to forskellige udtryk, der hele tiden udtrykker det samme,

og som altid er sandt uafhængigt af den værdi, der indsættes på den ubekendtes plads. Det kunne

fx være to forskellige måder at opskrive samme formel på.

- Som ”sammenhæng mellem afhængig og uafhængig variabel”. Her er tale om en opfattelse, der er

nært beslægtet med funktioner. Der kunne fx være tale om sammenhæng mellem radius og

omkreds i en cirkel.

Vægten er i mit speciale lagt på opfattelsen af den ubekendte som pladsholder. På grund af målgruppen,

der er elever i folkeskolens ældste klasser, vil den ubekendte i de ligninger, som disse elever beskæftiger sig

med, oftest være pladsholder for kun et enkelt tal. I min empiri og i min analyse kommer jeg kort ind på

eksempler, hvor den eller de ubekendte i ligningen optræder som henholdsvis generel identitet og som

sammenhæng mellem to variable størrelser. Jeg ønsker ikke at bevæge mig ind på funktionsbegrebets

didaktik, som har stof i sig til et selvstændigt speciale. Derfor medtager jeg kun ligninger med flere

forskellige ubekendte, når der er fokus på en specifik løsning af fx to ligninger med to ubekendte. Jeg går i

denne tekst ikke ind i sammenhængsdiskussionen mellem afhængige og uafhængige variable, som er et

væsentligt og vigtigt område, der må belyses på et andet tidspunkt.


Side 10 af 126

5.3. Matematikvanskeligheder i forhold til ligninger? Dette speciale har ikke fokus på elever i generelle matematikvanskeligheder, men fokuserer på elevers

specifikke vanskeligheder ved ligningsløsning og forståelse af ligningsbegrebet. Jankvist og Niss (2015, s.

276) opdeler disse vanskeligheder i to overordnede kategorier, som jeg vil benytte videre i mit arbejde:

1) Vanskeligheder ved ligningsmæssige transformationer (Operationel kategori). Denne kategori,

som omtales som den mest kendte og undersøgte, handler om elevers vanskeligheder ved dels at

omsætte et problem til en ligning og dels at udføre tilladte algebraske operationer på disse. Med

andre ord er der tale om vanskeligheder relateret til problembehandlings- samt symbol- og

formalismekompetencen (Ibid, s. 276). Jeg tillader mig at uddybe med repræsentations-

kompetence, da omskrivninger mellem fx en ligningshistorie og en symbolsk opstillet ligning

vedrører evnen til at benytte alsidige repræsentationer (læs mere om kompetencer i afsnit 6.1).

2) Vanskeligheder ved begrebsdannelse i forhold til ligninger (Begrebskategori). Denne kategori

omhandler helt overordnet vanskeligheder ved at forstå og tale om, hvad en ligning og en løsning

til en ligning er (Ibid, s. 276). Manglende begrebsforståelse for ligninger vil på dette område kunne

afsløres i svag beherskelse af tankegangs- og kommunikationskompetencen, men det vil ligeledes

kunne resultere i lavt teknisk niveau i de samme kompetencer, som er i spil i den operationelle

kategori.

Ligningsmæssige vanskeligheder relateret til en af de to nævnte kategorier kan opstå af forskellige årsager -

lige så vel som alle andre matematiske delområder, der kan volde elever problemer. Engström (2003, s. 32)

opdeler årsager til læringsvanskeligheder i matematik i fire forklaringsmodeller:

- Medicinsk/neurologiske

- Psykologiske

- Sociologiske

- Didaktiske

Jeg anerkender, at alle fire forklaringsrammer er gældende og vigtige for at forstå en elevs mulige

vanskeligheder i matematik. I dette speciale har jeg dog primær fokus på de didaktiske årsager, da det er

dem, jeg direkte via min faglige undervisning som matematiklærer kan forandre. Der er helt andre ting på

spil, hvis jeg som underviser vil imødegå matematikangst, social understimulering, koncentrationssvigt eller

medfødte kognitive dysfunktioner, som i forhold til ligningsløsning må diskuteres på et andet tidspunkt end

i denne tekst. Det er dog et udgangspunkt for læring - i henhold til mit læringssyn - at eleverne rent

kognitivt har individuelle måder at tilegne sig viden på, og at de befinder sig på hver deres

abstraktionsniveau. Derfor vil de didaktiske vanskeligheder udfolde sig forskelligt indenfor ethvert

klasserum - også påvirket af sociale praksisser.

5.4. Diagnostisk test og detektionstest Der skal skelnes mellem en diagnostisk test og en detektionstest. Jeg benytter mig af en skriftlig

detektionstest, der med sine bevidst udvalgte spørgsmål indenfor et matematisk emne giver mig mulighed

for efterfølgende at rette søgelyset mod enkelte elever med potentielle vanskeligheder i forhold til fx

ligninger. Selve detektionstesten kan ikke stille en diagnose alene. Testen skal følges op af en kvalitativ

indsats, som fx et interview, en samtale eller en undervisningssituation, før man kan nærme sig en


Side 11 af 126

diagnose. Flere forlag udgiver testmateriale, der betegnes som diagnosticerende og som henvender sig til

testning af en hel klasse ad gangen2. Jeg er skeptisk over for dette materiale, da jeg mener, at der er mange

parametre omkring en summativ testform, der ikke gør det muligt at stille en diagnose blot på baggrund af

kvantitative data. Jeg vil reservere betegnelsen diagnostisk test til individuelle testformer, hvor en lærer og

en elev gennem formativ evaluering - evt. efter forudgående skriftlig test - arbejder sig frem mod at

lokalisere særlige matematiske vanskeligheder. Olav Lunde (2002) har bl.a. udgivet materiale til dette

formål.

2 Se fx MG- og Mat-testene fra Hogrefe Forlag: https://www.hogrefe.dk/shop/tests/skoler/matematik.html

https://www.hogrefe.dk/shop/tests/skoler/matematik.html


Side 12 af 126

6. Teori:

6.1. Matematiske kompetencer Kompetencebegrebet har fyldt meget i dansk matematikdidaktik siden KOM-rapporten så dagens lys (Niss & Jensen, 2002). Jeg benyttet i dette speciale samme definition af en matematisk kompetence, som anvendes i KOM-rapporten: ”en matematisk kompetence er indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematiske udfordringer” (Ibid, s. 43) Jeg vil som matematikunderviser arbejde hen imod, at eleverne bliver i stand til at anvende hensigtsmæssige strategier til at bearbejde og løse ligninger afhængig af den kontekst, de møder ligningerne i. I den forbindelse er det centralt, at eleverne for at kunne udvise indsigtsfuld parathed både kan håndtere en ligning skrevet på symbolsk form og angivet i andre repræsentationer, som fx en ligningshistorie. Her vil jeg ikke mindst lægge vægt på skiftet mellem disse repræsentationer. Af samme grund vil jeg fremhæve to af de i alt otte matematiske kompetencer, som identificeres i KOM-rapporten (se figur 1). Det drejer sig om ”symbol- og formalismekompetence” og ”repræsentationskompetence”. De befinder sig begge i den halvdel af kompetencerne, som er karakteriseret ved, at de handler om ”at omgås sprog og redskaber i matematik”. De to kompetencer er omtalt som nært beslægtede dog med tydelige individuelle karakteristika. Symbol- og formalismekompetence handler i forbindelse med ligninger om notationsformen - altså måden at opstille og notere en ligning på med de dertil vedtagne matematiske spilleregler. Repræsentations-kompetence drejer sig i en ligningskontekst om, hvordan en ligning kan forstås og omdannes fra en repræsentation til en anden. Kort sagt kan man sige, at symbol- og formalismekompetence handler om ligningens syntaks, mens repræsentationskompetence handler om ligningens semantik (Ibid, s. 63).

Figur 1

Kompetenceblomsten med de otte

matematiske kompetencer (Niss &

Jensen, 2002, s. 45)


Side 13 af 126

Jeg kunne have valgt at inddrage problembehandlingskompetence som en tredje væsentlig kompetence i forbindelse med ligningsløsning, men da den for mig at se i dette tilfælde bygger videre på et fundament af solid syntaktisk og begrebslig forståelse af de to øvrige kompetencer, så vil jeg prioritere disse kompetencer i forhold til min målgruppe. Det giver ikke mening at arbejde med ligningsmæssig problemløsning, hvis eleverne har store vanskeligheder fx med brug af lighedstegn, ubekendte, negative tal og omdannelse mellem hverdagssprog og symbolsprog. Repræsentationskompetence i forhold til ligninger:

Den passive side af kompetencen består i at være i stand til at læse og fortolke andres ligninger

repræsenteret på varierede måder, mens den aktive side består i, at man selv er i stand til at opstille en

ligning ved en eller flere repræsentationer (Ibid, s. 56). Jo større dækningsgrad af kompetencen, desto flere

forskellige repræsentationer kan man sætte i spil og forbinde med hinanden. Ligeledes vil en høj

aktionsradius bidrage til, at kompetencen kommer i anvendelse ikke bare i skolematematikken, men også i

hverdagsmatematikken (Ibid, s. 65).

John Schou med flere opdeler ligningsrepræsentationer i fem overordnede kategorier (Schou et al., 2013, s.

220). Jo flere af disse fem repræsentationsformer, der kan komme i anvendelse enkeltvis og/eller i

forbindelse med hinanden, desto mere vil den samlede volumen af kompetencen forøges.

1) Manipulative, fysiske repræsentationer. Herunder ligger fx en virkelig balancevægt.

2) Verbal repræsentation. Her tænkes på en ligningshistorie, som kan være enten skriftlig eller

mundtlig.

3) Numerisk ræsonnerende repræsentation. Denne type er beslægtet med den verbale

repræsentation, men indtænker både tekst og talmæssige løsningsstrategier i en samlet tekst.

4) Symbolsk repræsentation. Her finder man den traditionelle ligning opstillet på symbolsprog.

5) Billedlig repræsentation. Denne karakteriseres ved at forbinde skitser, tal og tekst. Fx kan

rektanglers størrelse repræsentere tal og ubekendte fra ligningen rent forholdsmæssigt. Her kan en

tegning af en balancevægt ligeledes optræde.

Symbol- og formalismekompetence i forhold til ligninger:

Denne kompetence har også en aktiv og en passiv del. Man skal kunne arbejde med allerede opstillede

ligninger på symbolsk form. Lige som man selv skal kunne opstille ligninger med korrekt notation. Der er i

beskrivelsen af kompetencen specifikt lagt vægt på forståelsen af de enkelte symbolers betydning i

ligningen og den rigtige anvendelse af disse. Herunder tænkes bl.a. på diverse regneregler knyttet til

symbolmanipulation ved ligningsløsning. Oversættelse frem og tilbage mellem symbolsprog og

hverdagssprog er ligeledes en del af kompetencen (Niss & Jensen, 2002, s. 59), der knytter den tæt til

repræsentationskompetencen.

Elever kan have flere forskellige vanskeligheder med ligninger, som alle bunder i et lavt teknisk niveau af

symbol- og formalismekompetence. Jeg vil i såvel teori- som analyseafsnit redegøre for, hvordan problemer

med brugen af lighedstegnet, opfattelsen af de(n) ubekendte, forståelsen af negative tal, decimaltal og

brøker samt brugen af de fire regnearter kan resultere i vanskeligheder ved at løse og forstå ligninger. Alt

sammen på baggrund af årsager, der relaterer til svag beherskelse af denne kompetence.


Side 14 af 126

6.2. Forenklede Fælles Mål 2014 og ligninger Når jeg vælger at have fokus på elevers tilegnelse og forståelse af ligninger i folkeskolens ældste klasser, er

det naturligt at se nærmere på, hvad den eksisterende danske curriculumbeskrivelse for faget matematik i

folkeskolen (UVM, 2014) stiller af krav til undervisningen i forhold til ligninger. I læseplanen uddybes og

forklares de kompetence- og videns/færdighedsmål, som opstilles i Forenklede Fælles Mål 2014.

På mellemtrinnet (4.-6. klasse)fremhæves følgende:

”I starten af trinforløbet arbejdes med enkel ligningsløsning på grundlag af elevernes intuitive tænkning og

med uformelle metoder, som bygger på anvendelsen af konkrete materialer, tegninger og egne noter, ”gæt

og prøv efter” samt sproglige forklaringer. Der indgår problemstillinger og beregninger fra hverdagen, som

kan beskrives med ligninger.” (Ibid, s. 13).

Der er dermed fokus på en eksperimenterende tilgang, hvor eleverne via forskellige repræsentationer

tilegner sig forståelse for ligninger uden vægtning af specifikke ligningsregler. I samme afsnit i læseplanen

uddybes med:

”Det er centralt i arbejdet med ligninger, at eleverne udvikler deres forståelse af, at lighedstegnet kan have

forskellige roller i matematiske udtryk.” (Ibid, s. 13)

Disse forskellige roller af lighedstegnet eksemplificeres dog ikke yderligere, og der er ikke eksplicit

fokuseret på forståelsen af lighedstegnet som en ligevægtsmetafor.

På mellemtrinnet skal eleverne i ligninger anvende variabelbegrebet som en pladsholder for et ukendt tal,

mens de skal forstå variable som udtryk for sammenhæng i forbindelse med identiteter og formler (Ibid, s.

13).

I overbygningen (7.-9. klasse) stiger de formelle krav til arbejdet med ligninger:

”I løsningen af ligninger og senere uligheder skal eleverne have mulighed for at udvikle og benytte

forskellige strategier og alsidige metoder, herunder ligningsløsning med støtte i konkrete og visuelle

repræsentationer, skriftlige noter, ligningsløsning ved inspektion, grafisk ligningsløsning samt

ligningsløsning med digitale værktøjer. I forbindelse med ligningsløsning udgør digitale værktøjer både et

redskab til løsninger af problemer og et redskab til at udvikle elevernes forståelse for opstilling, løsning og

anvendelse af ligninger.” (Ibid, s. 19).

Der er dermed angivet specifikke krav til forskelligartede løsningsmetoder og til brug af alsidige

repræsentationsformer. Det er værd at notere, at IT-værktøjer indgår som en naturlig del af arbejdet med

ligninger og har en todelt funktion. For det første skal IT-værktøjer, som fx regneark, geometriprogrammer

og CAS-programmer benyttes til at løse ligninger, og for det andet skal brugen af IT understøtte elevernes

forståelse af ligninger som begreb.

6.3. Skemps instrumentale og relationelle forståelse Richard Skemp opdeler matematisk forståelse i to væsensforskellige tilgange (1976). Det drejer sig

henholdsvis om en instrumental og en relationel forståelse, som Skemp bl.a. er blevet opmærksom på via

arbejde af Stieg Mallin-Olsen (Skemp, 1976, s. 153). Disse to perspektiver på matematisk forståelse kan


Side 15 af 126

både tillægges undervisere i faget, elever/studerende og lærebogsmateriale. En instrumental forståelse

dækker over fokus på regler og procedurer, der tilegnes eller videregives uden at lægge vægt på de

bagvedliggende sammenhænge. En relationel forståelse er derimod karakteriseret ved, at forståelsen er

båret af det meningsgivende.

Skemp stiller to spørgsmål i sin artikel (Ibid, s. 153). For det første spørger han, om det gør noget, at der er

to forståelsesrammer på spil. For det andet ønsker han at vide, om den ene forståelse er bedre end den

anden. Hans pointe er, at en udelukkende instrumental forståelsestilgang kan risikere at ende i

afstandtagen fra matematik (Ibid, s. 157). Elever vil få dårlige oplevelser, fordi matematikken bliver et

spørgsmål om at huske formler og regler i stedet for at søge efter mening. Det er dog værd at bemærke, at

der er flere argumenter for, hvorfor mange lærere alligevel vælger en instrumental tilgang, selv om:

”nothing else but relational understanding can ever be adequate for a teacher” (Ibid, s. 160).

Skemp peger på, at disse faktorer har betydning for læreres fravalg af en relationel forståelsestilgang (Ibid,

s. 160):

- Det tager for lang tid for eleverne at opnå relationel forståelse.

- Det er sværere at skabe den relationelle forståelse end den instrumentale.

- De andre (ældre) lærere på skolen underviser instrumentalt.

- Først når matematikken kommer i anvendelse i andre fag, kan der opnås en relationel forståelse.

- Backwash-effekt fra eksamen, der ikke prioriterer det relationelle.

- Overbebyrdede læreplaner levner ikke plads og tid til relationel fordybelse.

- Lærernes vanskelighed ved at ændre de mentale skemaer, der er opbygget gennem egen erfaring

med matematikken som instrumental.

For Skemp er ovenstående punkter gode forklaringer, men de er ikke acceptable, hvis man vel at mærke

forbliver i en instrumental forståelse. Han understreger, at den relationelle forståelse skaber en

synergieffekt fra et matematisk område til et andet. Jo større relationel forståelse desto mere selvtillid får

eleven til at kunne gå nye veje. Når først den relationelle forståelse er opbygget, er den hurtigere at

fremkalde igen, fordi de bagvedliggende meningsdannende relationer kan sættes i spil. Derimod er det

vanskeligt for en elev med instrumental forståelse, hvis denne fx glemmer en konkret formel, da der ikke er

kognitive skemaer, der understøtter denne viden (Ibid, s. 159 + 163).

Med andre ord, mener Skemp, at den relationelle forståelse er overlegen i forhold til den instrumentale.

Det skal dog understreges, at der intet er i vejen med momentvist at arbejde med en tilgang, der er mere

instrumentalt baseret. Den kan være tidsbesparende og effektiv, men bør sættes i spil på baggrund af en

sideløbende relationel forståelse (Ibid, s. 158).

I forhold til ligningsløsning giver Skemps artikel (1976) en god analyseramme i forhold til de elever fra

Præstø Skole, der indgår i min empiriindsamling. Jeg vil i mit analyseafsnit give et bud på, hvordan en

henholdsvis relationel og instrumental forståelse af ligninger kommer til udtryk i elevernes test- og

interviewsvar.

6.4. Begrebsbilleder og begrebsdefinitioner jf. Tall og Vinner. Betydningen er ikke altid entydigt specificeret, når fx to elever eller en lærer og en elev diskuterer et


Side 16 af 126

matematisk begreb. Tall og Vinner (1981) skelner mellem en personlig opfattelse og en formel matematisk

definition af et begreb:

”To understand how these processes occur, both successfully and erroneously, we must formulate a

distinction between the mathematical concepts as formally defined and the cognitive processes by which

they are conceived.” (Tall & Vinner, 1981, s. 151).

En elev vil ofte møde et matematisk begreb første gang i en konkret og eksperimentel sammenhæng.

Forståelsen af begrebet vil være tæt forbundet med de praktiske erfaringer, eleven har med begrebet.

Senere møder eleven måske begrebet via andre repræsentationsformer, der er med til at forme og skabe

kognitive billeder af karakteristika ved begrebet uden, at eleven nødvendigvis er blevet præsenteret for en

formel matematisk definition (Ibid, s. 151-152). Vi taler her om, at eleven skaber sit eget begrebsbillede,

som er i stadig udvikling. Med tiden har dette begrebsbillede mulighed for at udvikle sig til en personlig

begrebsdefinition, der er en del af elevens begrebsbillede. Ikke alle når nødvendigvis til at opbygge en

sådan personlig begrebsdefinition.

En elev kan fx i en diskussion fremkalde sin aktuelle begrebsdefinition, der signalerer elevens nuværende

opfattelse af begrebet. Det kan vel at mærke være en begrebsdefinition, der ikke er i overensstemmelse

med andre elevers personlige begrebsdefinitioner og slet ikke med matematiksamfundets formelle

begrebsdefinition (ibid, s. 152). I mange tilfælde kan forkerte eller unuancerede begrebsbilleder og

personlige begrebsdefinitioner leve i bedste velgående, hvis de ikke udfordres. En sådan udfordring kan ske

i konkrete situationer, hvor det bliver tydeligt, at der er forskel på elevens begrebsdefinition og den

formelle begrebsdefinition, som læreren eller lærebogen eventuelt repræsenterer. Det kræver at begge

begrebsdefinitioner aktiveres samtidigt, så modsætningerne blive tydelige. Der vil her være tale om det,

som Tall og Vinner kalder en kognitiv konflikt, som kan være med til at ændre en persons fejlagtige eller

måske primitive personlige begrebsdefinition (Ibid, s. 154).

I en ligningssammenhæng kan en elev eventuelt have en begrebsdefinition, der inkluderer en opfattelse af,

at en ligning altid har et ”x” på venstre side af lighedstegnet. Hvis elevens matematikbøger og lærerens

eksempler altid cementerer og fastholder denne opfattelse ved kun at præsentere denne type ligninger for

eleven, så vil der aldrig opstå en kognitiv konflikt hos eleven, der kan udvide og kvalificere hendes mentale

billeder af ligningsbegrebet.

Lige netop det didaktiske arbejde med bevidst at skabe mulige kognitive konflikter hos eleverne, finder jeg

meget spændende. Jeg vil i min analyse af min empiri benytte Tall og Vinners terminologi (1981) ved at

vurdere elevernes personlige begrebsdefinitioner og begrebsbilleder i forhold til ligninger. Ligeledes vil jeg

undersøge om de udvalgte bogsystemer arbejder alsidigt med ligningsbegrebet med deraf følgende

mulighed for at skabe frugtbare kognitive konflikter. Jeg håber desuden, at jeg i min interventionsfase med

de tre udvalgte elever fra Præstø Skole kan give konkrete eksempler på, hvordan en kognitiv konflikt har

ført til en ændring af elevens personlige begrebsdefinition.

6.5. Begrebsdannelsens duale struktur jf. Sfard. Anna Sfard har i sin artikel fra 1991 fokus på, hvorfor mange mennesker har svært ved at lære matematik

(Sfard, 1991, s. 1). Hun forfølger denne indfaldsvinkel og beskriver mulige matematikvanskeligheder ud fra


Side 17 af 126

en hierarkisk forståelse for, hvordan matematiske begreber dannes. Hermed adskiller hun sig fra Tall og

Vinners mere dynamiske syn på matematisk begrebsdannelse (1981). Der er dog også lighedspunkter

mellem de to artikler. Sfard redegør for sit bevidste brug af ordene ”Concept” og ”Conception” (Sfard,

1991, s. 3):

Concept: Jeg oversætter ordet med ”begreb”. Sfard anvender ordet i forbindelse med en matematisk ide,

der beskrives i sin officielle form, som en teoretisk konstruktion.

Conception: Jeg oversætter ordet med ”forestilling”. Sfard anvender ordet i forbindelse med en persons

indre, subjektive tanker om et matematisk objekt eller genstandsfelt. Jeg gør opmærksom på, at

”conception” andre steder i litteraturen er oversat med forståelse, men jeg vælger bevidst et andet ord for

at skelne mellem Sfards (1991) og Skemps (1976) udlægning af forståelse.

Derved minder brugen af de to ord, om Tall og Vinners (1981) skelnen mellem personlige begrebsbilleder

(conception) og formelle begrebsdefinitioner (concept). Sfard går dog videre og opdeler forståelsen af et

begreb i en strukturel og en operationel ”forestilling”. Sidstnævnte er knyttet til en ”forestilling”, der tager

sit afsæt i processer og operationer. Et matematisk begreb eksisterer dermed kun i kraft af handlingen og

processen. En strukturel ”forestilling” gør matematiske begreber til selvstændige objekter, der kan tales

selvstændigt om uden at interagere med dem. Det er ikke nødvendigt at fokusere på særlige detaljer ved

begrebet i en konkret udgave. Man kan tale abstrakt om begrebet, uden at det er fysisk til stede (Sfard,

1991, s. 4). Samlet givet dette anledning til at tale om et begrebs duale natur, som er nævnt i artiklens

overskrift.

Det er centralt for Sfard at pointere, at den operationelle og den strukturelle forestilling om matematiske

begreber går hånd i hånd. Selv om de er væsensforskellige, så supplerer de to forestillinger hinanden, da et

begreb netop har en abstrakt og en processuel side (Ibid, s. 23). Sfard ser de matematiske begreber i en

hierarkisk progression, hvor visse lavereordens-begreber går forud for højereordens-begreber. I forhold til

ligningsløsning vil det betyde, at elever skal have styr på lavereordens-begreber som fx negative tal, brøker

og de fire regnearter, før ligningsbegrebet kan sættes i spil. Omvendt vil funktioner være et højereordens-

begreb i forhold til ligningsløsning (Ibid, s. 13).

Selve begrebsdannelsen foregår ifølge Sfard som en gentaget tre-faset udvikling (se figur 2). Hvert begreb

udvikles ved at gennemløbe en internaliserings-, en kondenserings- og en reificeringsfase i nævnte

rækkefølge. Det skal nævnes, at Sfard gør opmærksom på, at denne rækkefølge i sjældne tilfælde kan ske i

en anden rækkefølge (Ibid, s. 22), fx for professionelle matematikere.

Ifølge modellen (se figur 2) er første del en operationel fase, hvor de processer, der senere er med til at

danne begrebet, internaliseres (Ibid s. 18). Der er ofte tale om konkrete operationer, der inddrager fysiske

repræsentationer. For ligninger kan der være tale om konkret brug af en balancevægt og om specifikke

løsninger af ligninger på papir eller computer.


Side 18 af 126

Fase to er ligeledes en operationel fase, hvor processerne nu optimeres og kædes sammen. Processerne

kondenseres og ofte vil personen på dette tidspunkt kunne udføre de pågældende operationer mentalt

uden brug af hjælpemidler (Ibid, s. 19). De forskellige repræsentationer tilgås med hurtige skift, og der

fokuseres mere på en input-output tankegang af processen end på selve operationen. Det er her begrebet,

ifølge Sfard, officielt fødes. I forbindelse med ligninger vil der fx være tale om kondensering, hvis en elev

kan løse en ligning i hovedet uden at skrive den ned, eller problemfrit kan skifte mellem ligningshistorier og

ligninger på symbolsk form.

Den fulde begrebsdannelse sker, når reificeringen indtræffer som fase nr. tre. Der er her tale om en

strukturel tilgang til begrebet, som pludselig kan tilgås som et abstrakt objekt. Det er ikke længere

nødvendigt med handlen i forhold til begrebet. På dette tidspunkt kan der tales på et metaplan om selve

objektet. Problemet er blot, at reificeringen ikke komme af sig selv efter et vist antal timers arbejde. Der er

tale om et ontologisk spring, der skal forstås som en slags aha-oplevelse (Ibid, s. 30). I ligningssammenhæng

skal en elev for at reificere begrebet fx kunne tale om generelle kendetegn ved en ligning, om den

ubekendtes rolle, om lighedstegnets betydning og om antallet af løsninger helt frigjort fra konkrete

eksempler. Dette pludselige kvalitative skift i forestillingsevne er vanskeligt, og det er her, at årsagen til

mange personers matematikvanskeligheder skal findes. Sfard uddyber dette med, at reificering sker

simultant med internalisering af højereordens-begreber. Der er ofte tale om en ond cirkel (Ibid, s. 31), hvis

lavere-ordens reificering og højereordens internalisering ikke gensidigt kan støtte hinanden. Et begreb skal

dermed sættes i spil i forhold til et andet begreb på et højere niveau for, at en endelig begrebsdannelse kan

finde sted. For ligningsbegrebet kan det fx være afgørende for reificering, at man begynde at arbejde med

internalisering af processer knyttet til funktioner. Vigtigheden er ikke til at tage fejl af:

Figur 2:

Generel model til begrebsudvikling

(Sfard, 1991, s. 22)


Side 19 af 126

“The ability of orchestrating lower-level reification with higher-level interiorization in a subtle, painless

manner may be one of the most important features which make a person capable of coping with

mathematics” (Sfard, 1991, s. 33).

I mit analyseafsnit vil jeg bl.a. anvende Sfards (1991) forståelse af matematisk begrebsdannelse til at

udforme en mulig diagnose for de matematikvanskeligheder indenfor ligningsområdet, som de tre

interviewede elever på Præstø Skole oplever.

6.6. Repræsentationer og registerskift ifølge Duval Jeg har tidligere fremhævet, at jeg i dette speciale har særlig fokus på to af de otte matematiske

kompetencer. Det drejer sig om henholdsvis repræsentationskompetence samt symbol- og

formalismekompetence. Duval (2006) opstiller en teori om semiotiske systemer, der netop beskæftiger sig

med de to nævnte kompetencer. Teorien handler om, hvordan semiotiske tegn er menneskets eneste vej til

at nå de matematiske objekter, som vi aldrig kan komme direkte i nærheden af. Tegnene bliver derfor

afgørende som repræsentationer for de objekter, der er grundlag for al matematisk aktivitet (Duval, 2006,

s. 106). De semiotiske tegn har med symbol- og formalismekompetence at gøre, og skiftet mellem

forskellige måder at udtrykke de samme tegn på har med repræsentationskompetence at gøre.

Duval opstiller en model (Se figur 3), hvor han opdeler de semiotiske repræsentationer, der er

kendetegnene for matematisk aktivitet, i fire forskellige registre.

Figur 3: Klassifikation af registre, som kan mobiliseres i matematisk aktivitet

(Duval, 2006, s. 110)


Side 20 af 126

Registrene er opdelt efter, om de er diskursive eller ikke-diskursive og om de er mono- eller

multifunktionelle, hvilket giver fire kombinationsmuligheder. De monofunktionelle registre er kendetegnet

ved, at de iboende processer oftest kan gøres algoritmiske i modsætning til de multifunktionelle registre.

De diskursive repræsentationer indeholder forenklet sagt det talte og skrevne sprog inkl. symbolsprog,

mens de ikke-diskursive repræsentationer indeholder matematiske figurer, tegninger og diagrammer (Ibid,

s. 109):

Jeg vil herunder give et bud på, hvordan de fire registrer kan være i brug forhold til ligninger

a) Multifunktionel og diskursiv: Her findes ligningshistorier (skriftlige og mundtlige).

b) Multifunktionel og ikke-diskursiv: Her findes tegninger eller konkrete udgaver af en balancevægt.

c) Monofunktionel og diskursiv: Her findes de symbolsk opstillede ligninger.

d) Monofunktionel og ikke-diskursiv: Her findes det grafiske udtryk af to ligninger med to ubekendte.

Vægten i Duvals artikel (2006) ligger på de transformationer, som sker indenfor eller mellem de fire

registre. Disse transformationer er ifølge Duval kernen i matematisk aktivitet. Transformationer kan enten

være en treatment (buet pil i figur 3), hvis omdannelsen til en ny repræsentation forbliver i samme register,

eller en conversion (lige pil i figur 3), hvis repræsentationen oversættes til et nyt register (Ibid, s. 111). Hvis

vi bliver i ligningssammenhæng, så vil følgende være en treatment, da vi forbliver i det monofunktionelle,

diskursive register:

3x + 2 = 2x + 4 x = 2

Hvis vi oversætter en ligningshistorie til en symbolsk opstillet ligning, så vil der derimod være tale om en

conversion, da vi går fra det multifunktionelle til det monofunktionelle i de diskursive registre. Man kan

sige, at kilde- og målregister er det samme ved treatments, men forskellige ved conversions.

Ved særlige registerskift kan der blive brugt såkaldte hjælpeovergangs-repræsentationer, der er en form for

katalysator for oversættelsen. Det vil sige, at hjælpeovergangs-repræsentationen hjælper oversættelsen på

vej uden at være en selvstændig repræsentation. Det er op til den pågældende at tillægge

hjælpeovergangs-repræsentationen værdi, så den passer ind i den ønskede matematiske proces (Ibid, s.

111).

Duval argumenterer desuden for, at conversions kan være kongruente (fuldt optrukne lige pile figur 3) eller

ikke-kongruente (stiplede lige pile i figur 3). En kongruent conversion er et registerskift, der foregår 1-1,

hvilket vi sige, at en særlig repræsentation kun lader sig udtrykke på en måde i et nyt register, mens en

ikke-kongruent conversion kan give anledning til uendelig mange forskellige oversættelser (Ibid, s. 113). Fx

kan en ligningshistorie kun oversættes til én symbolsk opstillet ligning (kongruent conversion), mens en

symbolsk opstillet ligning kan give anledning til mange forskellige ligningshistorier (ikke kongruent

conversion).

Duval konkluderer, at arbejdet med conversions generelt er vanskeligt men dog vigtigt for at undgå

matematikvanskeligheder, og særligt siger han, at ikke-kongruente registerskift er meget udfordrende for

elever:


Side 21 af 126

“In fact, whatever the level and whatever the area, the non-congruent conversions are for many students an

impassable barrier in their mathematics comprehension and therefore for their learning”

(Duval, 2006, s. 123).

Her peger Duval på, at muligheden for flere forskellige ikke-kongruente conversions af samme

repræsentation, kan få eleverne til at associere disse semiotiske tegn med forskellige objekter, selv om det i

bund og grund er samme objekt, der beskrives.

Jeg vil anvende Duval (2006) i min detektionstest til eleverne på Præstø Skole, ved at udforme specifikke

opgaver, der tester elevernes evne til at udføre henholdsvis treatments og conversions i forhold til

ligninger. Ligeledes vil jeg bevidst arbejde med kongruente og ikke-kongruente registerskift i

interventionsfasen. Endelig vil jeg benytte mig af Duval til at analysere Præstø Skoles bogssystemer med

henblik på alsidigheden af de præsenterede semiotiske registre i forhold til ligninger.

6.7. Introduktion til ligninger i folkeskolen I artiklen ”Constructing meaning for the concept of equation” giver Herscovics og Kieran (1980) et didaktisk

bud på en begynderintroduktion til ligninger. Artiklen tager udgangspunkt i empiriske undersøgelser af

elevers tilgang til ligningsløsning og ligningsforståelse på 7. og 8. klassetrin, hvilket harmonerer fint med

min målgruppe.

Forfatterne er kritiske overfor nogle af de gængse metoder, der benyttes til at introducere ligninger med i

lærebogssystemer. Brugen af vægte til at repræsentere ligevægt kritiseres for ikke at kunne håndtere andet

end operationer med naturlige tal (Herscovics & Kieran, 1980, s. 577). Ligeledes anfægtes en

problemorienteret tilgang med udgangspunkt i ligninger gemt i tekststykker, da mange elever måske nok

forstår sammenhængen mellem tekst og algebra, men ikke kan videreføre den til en ligning (Ibid, s. 572). I

stedet anbefales en 4-trinsraket i ligningsintroduktionen, hvor vægten er lagt på aritmetiske identiteter

(Ibid, s. 573-574):

1) Arbejd specifikt med manipulation af aritmetiske identiteter. Dette skal styrke elevernes forståelse

af lighedstegnet som symbol for ækvivalens fremfor en ”regn-mig-ud” forståelse. Eleverne arbejder

med diverse identiteter uden ubekendte. Identiteterne ændres og omformes. Hele tiden med fokus

på ækvivalens.

2) Udbyg de aritmetiske identiteter til egentlige ligninger ved at holde en finger over et af tallene.

Undersøg hvilket tal, der gemmer sig under fingeren for at komme tilbage til en sand identitet. Her

er der fokus på at forstå den ubekendte som pladsholder for et tal. Senere skiftes fingeren ud med

en kasse, der repræsenterer den ubekendte. Til sidst indføres et bogstav for den ubekendte. Der

arbejdes eventuelt med, at den samme ubekendte kan optræde flere gange i ligningen.

3) Med udgangspunkt i en aritmetisk identitet bedes eleverne lægge fx 7 til på den ene side af

lighedstegnet. Nu spørges til, hvordan vi kan komme tilbage til et sandt udsagn, hvis vi kun må

addere. Der udføres samme slags opgaver med de tre andre regnearter. Trækkes der fx noget fra

på den ene side, må ækvivalensen kun genoprettes ved subtraktion. Hensigten er, at eleverne selv

finder frem til reglen om, at hvad man gør på den ene side af lighedstegnet, skal man også gøre på

den anden side. Herved undgås at eleverne tilegner sig mekaniske regler uden forståelse som fx:

”minus bliver til plus, når det flyttes til den anden side af lighedstegnet”


Side 22 af 126

4) Indfør en mere formel lodret opstilling til ligningsløsning, hvor man sidestiller udregningen af en

aritmetisk identitet med dens tilsvarende ligning (se figur 4). Herved bevares fokus på den

ubekendte som pladsholder for et tal.

Artiklen påpeger, at forfatterne har haft positive resultater med ovenstående tilgang. I en posttest 6 uger

efter deres arbejde med de pågældende elever, havde eleverne stadig en forståelse af sammenhængen

mellem aritmetiske identiteter og algebraiske ligninger (Ibid, s. 579). Herscovics og Kieran fremhæver selv,

at deres tilgang bygger på en prioritering af matematisk indhold fremfor form:

”General approaches tend to be more formal and as such reach fewer students, whereas restricted approaches are relatively more concrete and thus accessible to more students.” (Ibid, s. 579). Desuden fremhæver forfatterne, at en mulig succes med deres udvikling af aritmetiske identiteter måske

hænger sammen med en progression i brug af repræsentationer, der harmonerer med Bruners opdeling i

enaktive, ikoniske og symbolske repræsentationer (Ibid, s. 575). Herscovics og Kieran forklarer, at Bruners

tre nævnte repræsentationsformer kommer i spil i forhold til de aritmetiske ligninger på følgende måde:

Enaktiv repræsentation: Fingeren holdes over et tal, hvorved identiteten bliver en algebraisk ligning.

Ikonisk repræsentation: Et lille tomt rektangel afløser fingeren og indikerer nu pladsholder for et tal.

Symbolsk repræsentation: Rektanglet erstattes af et bogstav, der repræsenterer en ubekendt i symbolsk

forstand.

6.8. Lighedstegnets rolle i ligninger Forståelsen for lighedstegnets betydning i en ligning er central og har betydning for det videre arbejde med

ligningsløsning. Generelt skelnes mellem en operationel og en relationel opfattelse. Kieran (1981)

understreger det problematiske i, at mange elever langt op i skolesystemet tolker lighedstegnet som et

symbol for at finde resultatet af en regneoperation:

”……there was no evidence to suggest that children changed in their thinking about equality as they

progressed to upper grades; in fact, even sixth graders seemed to view the equal sign as a "'do something

signal" (Kieran, 1981, s. 319).

Figur 4:

Formel lodret opstilling og løsning

af ligning sammenlignet med

aritmetisk identitet. (Herscovics &

Kieran, 1980, s. 578)


Side 23 af 126

Denne meget operationelle tilgang til forståelsen af lighedstegnet, resulterer ofte i fejlnotationer, som fx:

42 + 5 = 47 - 10 = 37

eller i fejlløsninger af ligninger:

24 + 6 = x - 2

x = 30

hvor der tydeligvis ikke er tale om forståelse for den ækvivalente relation. Eleverne tænker i stedet for på

lighedstegnet som et skel mellem en udregning og et resultat. Kieran angiver, at børn under 10 år rent

udviklingsmæssigt ikke er i stand til at håndtere ækvivalensudtryk rent relationelt. Udtryk som 4+5 = 3+6

giver først mening, når hver side af lighedstegnet regnes ud, og barnet rent fysisk kan se, at der er tale om

to 9-taller (Ibid, s. 320).

Godfrey & Thomas (2008, s. 76) beskriver på baggrund af en undersøgelse af ca. 300 studerende (14 til 18

år) en kategorisering af tre typiske opfattelser af, hvad en ligning er. Her spiller betydningen af

lighedstegnet en væsentlig rolle

a) En ligning kræver et lighedstegn og ikke nødvendigvis en operation.

b) En ligning kræver en operation og ikke nødvendigvis et lighedstegn.

c) En ligning kræver et lighedstegn og en operation.

Forfatterne gør opmærksom på, at ikke alle elevers forståelse kan kategoriseres efter disse tre typer, da

mange vil være i en overgangsfase mellem de enkelte kategorier (Ibid, s. 78). Jeg vil i analysen af min

indsamlede empiri undersøge, om jeg kan genfinde denne tredeling blandt eleverne i 8. klasse.

Knuth et al. (2008) udfører en undersøgelse, hvor de helt specifikt spørger 375 elever i 6th til 8th grade til,

hvad lighedstegnet betyder i ligningen 3 + 4 = 7. De opdeler hovedsageligt svarene i operationel og

relationel forståelse. En kategorisering som ”operationel forståelse” gives til de svar, der handler om

summen af 3 + 4 eller omtaler resultatet af regnestykket (3 + 4). Den ”relationelle forståelse” tildeles de

svar, der angiver betydningen i forhold til ækvivalens - altså samme størrelser på begge sider af

lighedstegnet. Resultatet (se figur 5) viser en markant overvægt af operationel forståelse, der dog bliver

udlignet i 8th grade.

Figur 5:

Opgørelse af undersøgelse af elevers opfattelse af lighedstegnes betydning. (Knuth et al., 2008, s. 516)


Side 24 af 126

Efterfølgende bliver de 375 elever bedt om at udregne to forskellige lineære ligninger, hvoraf 177 af

eleverne svarer korrekt. Disse rigtige besvarelser sammenlignes med de samme elevers svar på

lighedstegnets betydning (se figur 6). Resultatet indikerer, at enten har de dygtigste elever lettere ved at

opnå en relationel forståelse for lighedstegnet, eller også forårsager en relationel forståelse en bedre

læringsmæssig tilgang til ligninger.

Ciobanu (2014, s. 15) peger på, at forskning indikerer, at moderne lommeregnere fastholder elever i en

operationel forståelse af lighedstegnet. Knappen med lighedstegnet på lommeregneren er en

tydeliggørelse af den ”regn-mig-ud” opfattelse, der er herskende hos mange elever. Her benyttes

lighedstegnet næsten altid som et middel til at opnå et givet resultat.

Flere artikler ser nærmere på sammenhængen mellem elevernes manglende ækvivalensforståelse af

lighedstegnet i ligninger og på tekstbøgers brug af forskellige ligningstyper (Rittle-Johnson et al., 2011) og

(Powell, 2012). I en amerikansk undersøgelse af otte forskellige matematiske bogmaterialer, ønsker Powell

at finde ud af, om de otte bogsystemer fra 0.-6. klasse benytter sig af ”standard” eller ”ikke-standard”

ligninger (Powell, 2012, s. 627). En standard-ligning karakteriseres ved at være operationel og kun have en

regneoperation på venstre side af lighedstegnet og et svar på højre side. Alle andre ligninger kategoriseres

som ikke-standard. Disse to hovedkategorier underopdeles igen i 12 ligningstyper (se figur 7 på næste side).

I artiklen redegøres for, at eleverne bør udsættes for en variation af ikke-standard ligninger for at opnå en

relation forståelse af lighedstegnet som bærer af ækvivalens. Der gives to grunde til, at prioritere den

relationelle forståelse. For det første vil en udelukkende operationel tilgang resultere i en større mængde

ligningsfejl, når sværhedsgraden øges i ikke-standard ligninger. For det andet argumenteres der for, at

studerende skal have en korrekt relationel forståelse for lighedstegnet for at arbejde med højniveau

matematik, som fx ligninger i tekststykker og algebraiske ligninger (Ibid, s. 629).

Figur 6:

Fordeling af rigtige svar på lineære ligninger i forhold til forståelse for lighedstegnet

(Knuth et al., 2008, s. 517).


Side 25 af 126

Undersøgelsen viser, at alle otte bogsystemer havde en klar overvægt af standardligninger med mellem 80

og 100 %. Kun et af de otte systemer skilte sig ud ved allerede fra børnehaveklassen at introducere

ligninger med udregninger på højre side af lighedstegnet, og ved på alle seks klassetrin at ligge over 10 % i

andelen af ikke-standard ligninger. (Ibid, s. 635-636)

Dette resultat bekræftes af en anden undersøgelse foretaget af Rittle-Johnson et al. (2011). I artiklen

”Assessing knowledge of mathematical equivalence” gennemføres en analyse af, hvordan en skoles

bogsystemer fra 1.-6. klasse håndterer brugen af ækvivalens i ligninger (Rittle-Johnson et al., 2011, s. 92). I

artiklen optælles samtlige ligninger i bøgerne (dog kun på hver anden side), hvorefter de kategoriseres i

undergrupper, der stort set er sammenlignelige med den tidligere omtalte undersøgelse. Fjernes

underkategorien ”No explicit operations” (Ibid), som rummer en del forekomster af identiteter uden

ubekendte, så ses også her en klar overvægt i brugen af standardligninger. Der ses en jævn stigning i

anvendelsen af ikke-standard ligninger fra 1. klasse til 5./6. klasse gående fra 0 % til omkring 30 %. Det er

værd at bemærke, at begge de omtalte undersøgelser indenfor kategorien ”ikke-standard ligningerne” viser

en overrepræsentation af ligninger kun med operationer på højre side af lighedstegnet i forhold til ligninger

med operationer på begge sider (Rittle-Johnson et al., 2011, s. 92) og (Powell, 2011, s. 635). I de to artikler

refereres desuden til andre undersøgelser med lignende konklusioner, bl.a. af McNeil i 2006:

“The middle-school textbook analysis of McNeil et al. (2006) demonstrated that students receive minimal

exposure to nonstandard equation types.” (Ibid, s. 631).

Set i et internationalt perspektiv er det spændende, at Powell fremhæver forskellen på amerikanske og

kinesiske børns resultater i forhold til at løse ikke-standard ligninger med operationer på begge sider af

lighedstegnet. Amerikanske elever i 6. klasse svarede i en undersøgelse fra 2008 korrekt på 28 % af

Figur 7:

Oversigt over 5 standard og 7 ikke-standardligningstyper, som er udgangspunkt for screening af otte

bogsystemer (Powell, 2012, s. 633).


Side 26 af 126

opgaverne, mens de kinesiske svarede rigtigt på 98 % (Powell, 2011, s. 631). Årsagen til den store forskel i

løsningsprocent er ifølge artiklen nært forbundet med skolebøgernes måde at anvende lighedstegnet på i

de to respektive lande. I Kina lægges større vægt på ækvivalens og relationel forståelse (Ibid).

Jeg vil i min analyse og diskussion se nærmere på en eventuel sammenhæng mellem ovenstående

markante forskel på USA og Kina og danske elevers præstationer indenfor problemløsning. Herunder

hvordan danske skolebøger tilgår ligninger og lighedstegnet. I den forbindelse er det interessant, at danske

elever klarer sig dårligst i udførelsesdelen, når man kigger på de tre processer (fortolke, formulere og

udføre), der bliver undersøgt i PISA 2012 (Egelund, 2013, s. 36). I denne del scorer Danmark 495 point,

mens Shanghai (Kina) scorer 613 point. Det rejser spørgsmålet, hvorfor danske elever er dårligere til at

udføre problembehandling herunder beregninger i forhold til at fortolke løsninger og formulere

matematiske spørgsmål (læs mere i afsnit 12).

6.9. Kategorisering af ligningstyper I litteraturen ses ofte en skelnen mellem aritmetiske og ikke aritmetiske ligninger. Filloy og Rojano (1989)

definerer en aritmetisk ligning, som en ligning på formen Ax + B = C. Disse ligninger kan løses rent

aritmetisk et skridt ad gangen. På venstresiden af lighedstegnet ses en sekvens af taloperationer og på

højresiden ses konsekvenserne af disse. En ikke-aritmetisk ligning er på formen Ax + B = Cx + D. Her kan

ligningen ikke løses alene ved aritmetik, da der skal opereres på den ubekendte. Den sidstnævnte type af

ligninger er i matematikdidaktikken traditionelt blevet behandlet med vægt på en streng syntaktisk tilgang.

Denne angrebsvinkel kan opdeles i to forskellige retninger (Filloy & Rojano, 1989, s. 20):

1) En Euler-tilgang:

Løs ligningen ved at arbejde med multiplikative og additive inverse på begge sider af lighedstegnet

samtidigt. Optræder der fx (-7) på venstre side, så lægges der (+7) til på begge sider af

lighedstegnet.

2) En Viete-tilgang:

Løs ligningen ved at ombytte betingelser fra den ene side af lighedstegnet til den anden. Flyttes fx

noget positivt fra den ene side af ligningen, bliver det negativt på den anden side.

I artiklen understreges det, at der er brug for fokus på den vanskelige overgangsfase, kaldet den præ-

algebraiske fase, hvor elever går fra at beskæftige sig med aritmetiske til ikke-aritmetiske ligninger (Ibid, s.

20). Denne fase bør være procesorienteret med fokus på en semantisk og ikke en syntaktisk tilgang. I

afsnittet om ”ligninger og modeller som repræsentation” gennemgår jeg Filloy og Rojanos (1989) bud på,

hvordan en geometrisk model og en balancemodel kan bruges som semantiske repræsentationer i denne

overgangsfase med dertilhørende fordele og ulemper.

Joelle Vlassis (2002) argumenterer for, at Filloy og Rojanos todeling af ligninger er for smal. Både de

aritmetiske og ikke-aritmetiske ligninger er ikke som sådan en homogen gruppe hver for sig. Vlassis udvider

derfor kategoriseringen af ligninger til fire adskilte grupper (Vlassis, 2002, s. 351-352):

1) Konkret-aritmetiske ligninger. Her findes ligninger, der kun består af naturlige tal og med kun en

forekomst af den ubekendte.


Side 27 af 126

2) Abstrakt-aritmetiske ligninger. Her er tale om ligninger med flere forekomster af den samme

ubekendte - men dog på samme side af lighedstegnet. Desuden medregnes ligninger med negative

tal og brøker.

3) Præ-algebraiske ligninger baseret på modeller. Her er tale om ligninger med den ubekendte på

begge sider af lighedstegnet, som er repræsenteret af en konkret model. Ofte er der tale om

ligninger med naturlige tal, men de inkluderer dog også subtraktion.

4) Algebraiske ligninger løsrevet fra modeller. Disse ligninger med ubekendte på begge sider af

lighedstegnet løses rent algebraisk ved symbolmanipulation uden støtte fra konkrete modeller.

De to første tilhører gruppen af aritmetiske ligninger, og de to sidste tilhører de ikke-aritmetiske ligninger.

Som hos Filloy og Rojano, har Vlassis ligeledes fokus på perioden mellem tilegnelsen af de aritmetiske og de

ikke-aritmetiske ligninger. Hun omtaler et såkaldt ”didaktisk cut” (Ibid, s. 357), der mere handler om

abstraktionsniveauet i at skulle håndtere ikke naturlige tal, end det handler om strukturen i ligningen med

ubekendte på begge sider af lighedstegnet. Jeg vender i afsnittet om ”ligninger og modeller som

repræsentation” tilbage til Vlassis’ brug af balancemodellen som middel til at arbejde bevidst med det

”didaktiske cut”.

En tredje opdeling af ligninger er foretaget af Rittle-Johnson et al. (2011). Her opdeles ligninger ligeledes i

fire grupper, men udgangspunktet for kategoriseringen er en helt anden end hos Vlassis (2002) og Filloy &

Rojano (1989). Her lægges vægten nemlig på den forståelse, der knytter sig til succesfuld løsning af

udvalgte ligningstyper med fokus på ækvivalens. Nedenfor er de fire forståelsestilgange relateret til

eksempler på ligninger, der passer til det respektive niveau. De to første niveauer beskæftiger sig med

ligninger, der kan håndteres af elever på et operationelt forståelsesplan i forhold til lighedstegnet, mens de

to sidste niveauer bevæger sig på et relationelt forståelsesplan igen i forhold til lighedstegnet (Rittle-

Johnson et al., 2011, s. 87). Med operationelt menes en forståelse af lighedstegnet som et ”regn mig ud

tegn”, og med relationelt menes en forståelse af lighedstegnet som bærer af ækvivalens.

Niveau 1 (Rigid operationel):

I denne kategori er der kun tale om operationer på venstre side af lighedstegnet. Det kan fx være: ”x + 4=9”

eller ”3 + 6 = 12”, hvor boksen indikerer en pladsholder for en ubekendt.

Niveau 2 (Fleksibel operationel):

Her finder vi ikke-standard ligninger inkl. identiteter med operationer på højre side. Kan fx være ”27 = 9x”

eller ”afgør sandhedsværdien af 23=20+7-4”

Niveau 3 (Basis relationel):

Denne kategori indeholder operationer på begge sider af lighedstegnet, men kun brug af den ubekendte en

gang. Kan fx være ”2x + 2 = 19 +17”

Niveau 4 (Sammenlignelig relationel):

Sidste kategori er dedikeret til operationer på begge sider af lighedstegnet, hvor samme ubekendte bruges

flere gange og/eller med flercifrede tal. Herunder er medtaget vanskeligere opgaver med operationer på

venstre side, der fx er lige med kvadratet på en ubekendt. Kan fx være ”4x - 9 = -2x - 3”, ”45=4x-19” eller

”1+3+5=c2”.


Side 28 af 126

6.10. Modeller som repræsentation for ligninger Overgangsfasen mellem det tidspunkt, hvor eleverne mestrer de aritmetiske ligninger til tidpunktet, hvor

eleverne kan håndtere algebraiske ligninger er ifølge Filloy og Rojano (1989) en kritisk periode rent

læringsmæssigt. Forfatterne har udført en undersøgelse og efterfølgende analyseret elevers brug af en

geometrisk model og en balancemodel, der potentielt kan hjælpe eleverne på vej mod den mere abstrakte

forståelse af algebraiske ligninger. Undersøgelsen og brugen af modellerne tager udgangspunkt i

førstegradsligninger med samme ubekendte på begge sider af lighedstegnet. De to nævnte modeller kan

betragtes som hjælpeovergangs-repræsentationer i en Duval-terminologi (Duval, 2006, s. 111), som er

uddybet i afsnit 6.6.

Balancemodellen er et billede af en klassisk gammeldags balancevægt, hvor de to vægtskåle repræsenterer

hver sin side af lighedstegnet i en ligning (Se figur 8).

Brugen af modellen er beskrevet i fem skridt (Ibid, s. 21):

1) Ligningen Ax + B = CX + D oversættes til brikker/vægte i modellen.

2) Gentaget fjernelse af samme antal brikker/vægte på begge vægtskåle, indtil der kun er et antal

ubekendte på den ene vægtskål og et antal med kendt vægt på den anden.

3) Opskrivning af ny ligning som (A - C)x = D - B

4) Løsning af ligning.

5) Løsningen tjekkes og valideres.

Den geometriske model bygger på sammenligning af arealer af rektangler (se figur 9).

Figur 8:

Balancemodel som ligningsrepræsentation (Filloy & Rojano, 1989, s. 21).

Figur 9:

Geometrisk model som ligningsrepræsentation (Filloy & Rojano, 1989, s. 24).


Side 29 af 126

Denne model er ligeledes beskrevet i fem skridt (Ibid, s. 21):

1) Ligningen Ax + B = CX + D oversættes til geometrisk model af to 2-delte rektangler.

2) Arealer sammenlignes og lige store arealer skraveres.

3) Ny ligning opstilles: B = x(C - A) + D

4) Løsning af ligning, der nu er reduceret til aritmetisk ligning.

5) Løsningen tjekkes og valideres.

Filloy og Rojano (1989) er kritiske overfor brugen af de to modeller. De påpeger, at elever ikke må blive

overladt til sig selv til spontan udvikling af abstraktioner på baggrund af de to modeller (Ibid, s. 24). At gå

fra en semantisk tilgang til ligninger via konkrete modeller til generelle syntaktiske regler er i høj grad et

vigtigt omdrejningspunkt for undervisning med lærerens bevidste medvirken.

Helt konkret har balancemodellen et stort problem, da den i en virkelighedskontekst ikke kan håndtere

negative vægte (både med kendt og ukendt vægt). Det er heller ikke muligt at repræsentere en negativ

løsning via denne model. Endeligt kommer modellen også til kort, når en ligning indeholder koefficienter og

konstante, der ikke er hele tal. Den geometriske model har her enkelte fordele i forhold til

balancemodellen, da den godt kan håndtere længder og bredder på rektangler med rationale koefficienter.

Det er dermed muligt at repræsentere ligninger med negative og ikke heltallige tal, når blot de negative tal

ikke er hæftet på de ubekendte men kun på konstantledet. I ”Figur 10” ses fx en geometrisk

repræsentation af ligningen

23x - 7 = 14x +2

Som efter den geometriske modellering kan omformes til

x(23 - 14) - 7 = 2

Det vil dog heller ikke give mening at tale om negative løsninger i den geometriske model, da negative

arealer ikke er eksisterende (Ibid, s. 24). Ligeledes er det en udfordring i denne model, at konstantledet i

ligningen skal tolkes som et areal, mens koefficienten til den ubekendte skal tolkes som en længde eller en

bredde. Generelt kritiseres modellen for ikke at give anledning til, at eleven skaber redskaber til at

håndtere beregninger på de ubekendte.

Figur 10:

Geometrisk model, der håndterer negativt konstantled (Filloy & Rojano, 1989, s. 23).


Side 30 af 126

Filloy og Rojano konkludere at brugen af modeller har to fundamentale aspekter. Dels handler det om at

kunne oversætte frem og tilbage mellem en abstrakt algebraisk form og en virkelighedskontekst baseret på

konkrete repræsentationer som balancemodellen og den geometriske model. Dels handler det om at kunne

udskille generelle regler fra de konkrete modeller - at gå fra sematik til syntaks (Ibid, s. 24-25). Forfatternes

resultater peger på, at elever, der befinder sig godt indenfor det første aspekt, og som benytter de

konkrete modeller til at skabe mening med et abstrakt matematisk udtryk har svært ved at løssive sig fra

brugen af netop disse modeller. De bliver fixeret til modellen. Omvendt har elever, der fjerner sig fra

modellernes konkrete meningsdannende niveau i et forsøg på at skabe formelle syntaktiske regler, ofte

svært ved generalisere disse regler. De udvikler i stedet personlige koder relateret til specifikke

ligningstyper (Ibid, s. 25). Ifølge Filloy og Rojano har de to tilgange en negativ hæmmende effekt på

hinanden. De fortrænger hver især hinanden i stedet for at berige hinanden. Lærerens tilstedeværelse og

aktive indgriben er altafgørende for den fortsatte proces med at skabe en smertefri overgang fra de

aritmetiske til de algebraiske ligninger (Ibid).

Overordnet findes der i forskningslitteraturen tilhængere og modstandere af brugen af konkrete modeller

til ligningsløsning (Vlassis, 2002, s. 352). Modstanderne fremhæver argumenter som Filloy og Rojano

(1989), og det understreges desuden, at balancemodellen er ude af trit med børns begrebsbilleder, da

digitale vægte i dag har overtaget balancevægtens funktion. Tilhængere anfører, at modellerne er selve

rygraden og motivationen i de matematiske aktiviteter, der sker i klasserummene, når det kommer til

ligningsmæssig begrebsdannelse (Ibid). Vlassis anerkender modellernes vanskeligheder ved at håndtere de

rationale tal og i den forbindelse ikke mindst de negative tal, men fremhæver dog alligevel specielt

balancemodellens fordele (Ibid, s. 355). Denne model er stærk til at fremhæve lighedstegnets betydning af

ækvivalens, og til at fokusere på vigtigheden af altid at fjerne og tilføje det samme på begge sider i en

ligning.

Sammenfattende konkluderer Vlassis (2002, s. 355), at meget af kritikken af balancemodellen bunder i en

misforstået anvendelse og forståelse af denne. Hendes studier indikerer, at for at kunne løse algebraiske

ligninger skal elever og studerende mestrer tre ting:

1) Transformationer i ækvivalente ligninger (at udføre samme operation på begge sider)

2) En udvidet talforståelse, der også indeholder negative tal

3) Forståelse af bogstaver som pladsholdere

Den misforståede anvendelse af balancemodellen handler om, at mange tror, at modellen skal tage hånd

om alle tre ovenstående punkter. Vlassis er af den opfattelse, at modellen er fremragende til at håndtere

det første punkt omkring transformationer:

“An analysis of the students’ drafts shows the effectiveness of this tool in conveying the principles of

transformations. Where scales are used, they provide a mental picture of the manipulations to be carried

out and the associated concepts (the meaning of equality and the expressions, the properties of equality),

but they do not help students in the two other situations. We are therefore of the opinion that the apparent

inefficiency of the models is caused rather by a flawed understanding of their relevance.” (Vlassis, 2002, s.

355).


Side 31 af 126

Med andre ord skal balancemodellen anvendes med et begrænset sigte på at skabe ækvivalensforståelse,

mens andre tiltag må tages i brug for at leve op til punkt to og tre.

6.11. Minustegnet og negativitet I artiklen ” Making sense of the minus sign or becoming flexible in negativity” beskriver Vlassis (2004, s.

472) en 3-deling af brugen af minustegnet i algebra. Elevers forskelligartede brug af minustegnet er et helt

centralt fokuspunkt for at forstå de fejl, der kan dukke op, når de arbejder med negative tal i algebraiske

udregninger. Der er tale om to operationelle og en strukturel tilgang, hvis der tolkes jf. Sfard (1991). Denne

duale begrebstilegnelse, som Sfard beskriver, er gennemgået i afsnit 6.5.

- Symmetrisk - (operationel betydningsbærer). Her ses minustegnet som en operation til at tage det

modsatte eller invertere processen. Som i dette ”røde” minustegn 2x + 5 - (2x - 4 + 5a), der i denne

forståelse indikerer skift af fortegn.

- Binær - (operationel betydningsbærer). I denne tilgang forstås minustegnet som enten en

bevægelse på en tallinje, som at tage noget væk, som at finde en forskel eller som at fylde op. Der

er her tale om de fire klassiske måder at undervise i subtraktion på i indskolingen.

- Unær - (strukturel betydningsbærer). Her ses minustegnet som et fortegn. Tolkningen af

minustegnet indebærer en begrebslig forståelse af negative tal, som en særlig mængde af tal, der fx

kan være løsning til en given ligning. Der kan tales om minustegnet løsrevet fra processen. Tegnet

er dermed reificeret.

Herefter opsummeres i artiklen seks fejltyper (Vlassis, 2004, s. 476), som er blevet identificeret i den

pågældende undersøgelse af elever i 8th grade og deres brug af minustegnet. Jeg vil her fremhæve de fire

fejltyper, som, jeg mener, har generel karakter og ikke blot refererer til en enkelt elevs udregninger. Der er

vel at mærke tale om algebraiske udregninger, som i Vlassis (2004) undersøgelse er uafhængige af

ligninger, men som naturligvis vil indgå som mulig fejlkilde i ligninger med negative tal, hvilket fremgår af

følgende citat:

In this paper, we propose an analysis of students’ difficulties related to negative numbers in reducing

polynomials such as those presented above. This analysis is crucial since these operations can be considered

as basic elementary algebraic operations that are used not only to solve equations, but also in other kinds of

algebraic activities such as the application of the operational properties, factorisation, and the study of

functions. (Vlassis, 2004, s. 470):

De 4 karakteristiske fejltyper ved brug af minustegnet er:

1. fejltype: ”Usynlig parentes”

Fx vil stykket 30 + 9 - 6x - 4x fejlagtigt løses som 30 + 9 - (6x - 4x) = 39 - 2x. Eleverne regner tallene for sig og

de ubekendte for sig. 30+9 = 39 og 6x-4x = 2x. Da der er et minustegn foran 6x, må resultatet dermed blive

39 - 2x


Side 32 af 126

2. fejltype: “Flere minusser giver plus”

Her benytter eleverne fejlagtigt reglen om, at to minusser i træk bliver til plus. Problemet er, at reglen også

anvendes, når de to minustegn ikke står efter hinanden.

Fx løser de stykket, 4 - 2x - 5x, ved at ”udnytte”, at de to minustegn giver plus, altså 4+7x

3. fejltype: ”Regn fra højre mod venstre”

Denne fejltype handler om, at eleverne udregner stykket mod den gængse regneretning. Dermed får de

overført et minustegn til det forkerte led.

Fx udregnes stykket 7 - 8x - 5x ved først at sige 8x - 5x = 3x. Herefter skrives dette delresultat, og

efterfølgende følges op med fortegnet foran 8x og til sidst tallet 7. Resultatet bliver hermed fejlagtigt

3x - 7

4. fejltype: ”Tager det efterfølgende minustegn”

Elever, der anvender denne fejltype, opfatter det bagvedstående minustegn som knyttet til det

foranstående tal. Fx vil eleverne fejlagtigt udregne x’erne i stykket 8x - 13 + 2x som 8x - 2x = 6x, da

minustegnet efter 8x trækkes med i udregningen af ubekendte. Hermed bliver resultatet fejlagtigt enten 13

+ 6x eller - 13 + 6x

Vlassis (2004, s. 481) konkluderer, at ingen elever i undersøgelsen har en opfattelse af minustegnets

dobbelte betydning. Her tænkes på, at minustegnet både kan være en regneoperation (symmetrisk og

binær tilgang) eller et fortegn (unær tilgang). Desuden har rigtig mange af de dygtigste elever i

undersøgelsen svært ved at forstå, at et minustegn midt inde i et algebraisk udtryk kan være et fortegn.

Hvis elevernes begrebsmæssige opfattelse af minustegnet skal ændres mod bedre forståelse, er det ifølge

Vlassis en lang og sej proces, der kræver metakommunikation om negativitet og ikke blot fokus på regler og

procedurer (Ibid, s. 482). Jeg vil i mit analyseafsnit se nærmere på, hvordan eleverne i detektionstesten

samt bogsystemerne på Præstø Skole anvender minustegnet i forhold til ligninger.

6.12. IT-værktøjer og ligninger

Stort set alle elever i den danske folkeskole har både mobiltelefon og tablet eller computer. Dermed har de

lette muligheder for at tilgå IT-hjælp til løsning af endda meget vanskelige ligninger. En gratis app som

”Photomath”3 kan løse de fleste ligninger blot ved at tage et billede med mobilen, og diverse CAS-

programmer klarer både tredjegradsligninger og komplicerede ligningssystemer med få tryk på tastaturet.

Det er klart, at man som underviser må gøre sig nogle overvejelser over potentialer og risici forbundet med

brug af CAS-programmer i matematikundervisningen.

Keith Nabb (2010) er en af de matematikdidaktikere, som har skrevet om fordele og ulemper ved at

anvende CAS-programmer som læringsstøttende IT-værktøjer i matematik. Overordnet kategoriserer Nabb

begrundelsen for brug af CAS-programmer i to synspunkter. Man kan benytte CAS af pragmatiske grunde,

hvis man er interesseret i den beregningsstyrke programmerne besidder. Her udnyttes det effektive

maskin-output, der ligger i programmerne. Programmerne anskues som en tidsbesparer, der overflødiggør

langsommelige manuelle beregninger. Det andet synspunkt vedrører brug af CAS af epistemiske grunde,

der har fokus på en øget læringsværdi og højere forståelse af den matematik, der er i spil (Nabb, 2010, s.

3 Lokaliseret d. 5. juni 2016 på https://photomath.net/en/

https://photomath.net/en/


Side 33 af 126

249). Et tredje synspunkt, som Morten Misfeldt (2013) omtaler, handler om anvendelsen af CAS som

løftestang til at tilgå sværere og vanskeligere områder af matematikken. CAS-programmerne klarer nu

vanskelige og kedelige udregninger i stofområder, som ikke tidligere har været tilgængelige på et givet

klassetrin. Derved løftes matematikken et niveau op, så undervisningen kan bruge tid på at forholde sig til

interessante udregninger og måske anvende resultaterne i andre sammenhænge (Misfeldt, 2013, s. 423).

Nabb (2010, s. 251-254) omtaler fem forskellige måder at anvende CAS-programmer på, som mere eller

mindre kan være indlejret i hinanden. Det drejer sig om brug af CAS som:

1) Black box: Her ses CAS-programmer som en autoritet, der altid spytter det rigtige resultat ud, uden

elever eller lærere behøver at stille spørgsmålstegn ved, hvordan programmet har foretaget

beregningen. Der er tale om en ukritisk brug af CAS-værktøjer med lav epistemisk værdi.

2) White box: Her udnyttes læringspotentialet i, at CAS-programmer kan give øjeblikkelig og ikke

dømmende feedback. Programmet udfører præcis den ordre, som den får besked på, hvorved

eleven måske selv opdager en mulig fejlslutning, som aldrig havde set dagens lys på papir. Der er

mulighed for at skabe, hvad Tall og Vinner (1981) kalder en kognitiv konflikt, som kan hjælpe til at

bedre elevens personlige begrebsdefinition. I ligningssammenhæng giver Nabb et eksempel på en

elev, der fejlagtigt tror, at (3x = 11) kan løses ved at trække 3 fra på begge sider af lighedstegnet.

Programmet leverer øjeblikkeligt det rigtige resultatet (3x - 3 = 8), hvorved eleven har mulighed for

at opdage og korrigere sin fejlopfattelse. Herved tildeles denne brug høj epistemisk værdi.

3) Forstærker: Her benyttes CAS-programmer som redskab til at generalisere regelmæssigheder. Der

kan lynhurtigt afprøves mange eksempler i et CAS-værktøj, hvilket giver eleven mulighed for at

eksperimentere sig frem til regler og generelle egenskaber ved begreber. Denne tilgang har derfor

også mulighed for at skabe høj epistemisk værdi.

4) Diskussionsredskab: Forskning peger på, at brug af CAS-programmer øger elevernes motivation til

at diskutere matematisk indhold. Det kan være få elever om en skærm, eller eventuel bevidst brug

af storskærm i et klasselokale for at fremme fælles diskussioner om resultater og metoder

fremkommet via CAS-værktøjer. Igen vil denne tilgang have stor epistemisk værdi.

5) Katalysator for reform: I yderste konsekvens må det overvejes om brug af CAS-programmer bør

bane vejen for ændring af undervisningen og læreplanernes indhold. Vi ser allerede eksempler på,

hvordan afgangsprøverne i folkeskolen de senere år forsøger at indtænke brug af IT-værktøjer,

hvorved afsmitningen på den daglige undervisning er en kendsgerning. Argumenter for, at

eksistensen af moderne teknologi - herunder CAS-programmer - nødvendiggør en reform af

undervisningen, hører til denne tilgang.

Jeg har ikke anvendt CAS-programmer i forbindelse med min empiriindsamling på Præstø Skole, men jeg vil

alligevel tillade mig at benytte Nabbs (2010) forskellige tilgange til brug af CAS-værktøjer. Jeg tænker

nemlig, at de fem beskrevne måder at anvende CAS-programmer på har generel karakter i et IT-perspektiv,

hvorfor jeg vil benytte mig af de fem tilgange til at analysere elevernes brug af ”Dragon Box” og ”Algebra

Balance Scales” (Den nævnte app og hjemmeside gennemgås i afsnit 7.4).


Side 34 af 126

7. Metode

7.1. Empiriindsamlingens fire faser Jeg har valgt at dele min empiriindsamling op i fire delfaser. De tre første relaterer direkte til eleverne i 8.

klasse på Præstø Skole, mens den fjerde fase tager sit afsæt i en analyse af udvalgte bøger fra 4.-8. klasse

fra grundbogssystemerne, KonteXt og Faktor. I den afsluttende fase er der dermed tale om en indirekte

tilknytning til eleverne på Præstø Skole, da det er deres bogsystemer, der er tale om.

De tre indledende faser er inspireret af det arbejde Jankvist og Niss (2015) har beskrevet i forhold til at

udforme en matematikvejlederuddannelse for danske gymnasielærere. En del af uddannelsen bygger på, at

deltagerne på baggrund af didaktiske og pædagogiske kompetencer skal lære at:

1) Identificere (Detektere og udvælge elever i ægte matematikvanskeligheder)

2) Diagnosticere (Mere præcis kortlægning af vanskelighedernes omfang og art)

3) Intervenere (Foranstalte tiltag som fx undervisning, der tager hånd om den fastlagte diagnose)

Først afdækkes vanskelighederne, hvorefter der undervises for at imødegå de specifikke

matematikvanskeligheder.

“Whilst both the identification and the diagnostic phases rely heavily on the maths counsellor’s competency

of revealing learning, the intervention phase draws on the competencies of teaching and assessment.“

(Jankvist & Niss, 2015, s. 269)

Helt konkret udarbejder jeg en detektionstest om ligninger til eleverne i 8. klasse (fase 1). På baggrund af

denne test udvælger jeg tre elever, som har påkaldt sig særlig interesse i forhold til at have vanskeligheder

med at forstå og løse ligninger i detektionstesten. Disse tre elever interviewes enkeltvist (fase 2). Til sidst

gennemfører jeg en intervention med fem timers undervisning af de tre elever (fase 3).

Metodemæssigt udnytter jeg, at detektionstesten i sig selv ikke giver en færdig elevprofil. Der er mange

ting, der kan påvirke elevernes besvarelser, og som ikke umiddelbart er tydelige i deres skriftlige svar. Det

kan fx handle om nervøsitet, manglende evne til skriftlig kommunikation og misforståede spørgsmål. Dette

er altid risikoen ved en kvantitativ testform. Derfor efterfølges testen af et individuelt interview, så jeg får

mulighed for at spørge ind til særlige elevers mulige misopfattelser.

Hermed anvender jeg et sekventielt design indenfor mixed methods, hvor en kvantitativ undersøgelse

følges op af kvalitative tiltag. (Se figur 11)

Figur 11: Sekventielt design for mixed methods. (Creswell & Clark, 2011, s. 70).


Side 35 af 126

7.2. Fase 1: Detektionstesten Som udgangspunkt for min empiri har jeg valgt at udarbejde en detektionstest om ligninger til elever i 8.

klasse på Præstø Skole. Det er hovedmålet, at denne test skal afdække mulige misopfattelser og fejltyper

omkring ligningsløsning i forhold til de to overordnede tilgange til læringsmæssige vanskeligheder, der er

nævnt i begrebsafklaringen.

I ”Bilag B” vises en oversigt over de 18 spørgsmål, jeg har udarbejdet til detektionstesten til 8. klasse.

Skemaet viser selve spørgsmålene, min intention med de enkelte delspørgsmål samt den teori, jeg vil sætte

i spil i analysedelen. Hele skemaet er bevidst udarbejdet inden empiriindsamlingen, så jeg sikrede mig, at

der blev taget højde for de gennemgåede teorier. Udformningen af min endelige detektionstest kan ses af

”Bilag C”.

Selve testen blev foretaget onsdag d. 6. april 2016 på Præstø Skole. Jeg introducerede selv testen i både

8.a, 8.b og 8.c og var til stede i samtlige 60 minutter, som der var afsat til hver test. Eleverne var på forhånd

blevet adviseret af deres lærer om emne og omfang af testen. Jeg havde aftalt med læreren, at han skulle

holde sig til sin årsplan og ikke ændre på indholdet af timerne op mod testen. Det var vigtigt for mig, at

klasserne ikke havde fået et særligt brush-up kursus om ligninger lige inden testen. Alle tre 8. klasser er

første gang blevet specifikt introduceret til ligninger og ligningsbegrebet i 6. klasse. De har igen arbejdet

med emnet i 7. klasse og i begyndelsen af 8. klasse.

I min introduktion fortalte jeg eleverne om, hvad testen skal bruges til, og jeg bad dem uddybe deres svar

mest muligt både med tal, ord, figurer og tegninger. De måtte bruge deres bøger og lommeregnere, men

de måtte ikke kommunikere undervejs. Det er min oplevelse, at testene forløb planmæssigt med meget

engagerede elever, som alle nåede at blive færdige indenfor de 60 minutter.

Der går 70 elever i de tre 8. klasser, men 4 afrikanske flygtningebørn deltog ikke i testen, da de modtog

særlig undervisning. Herudover var 16 elever fraværende formentlig pga. sygdom. Jeg har dermed

indsamlet empiri fra 50 elever.

7.3. Fase 2: Interview af tre elever på baggrund af detektionstest Jeg har i denne fase valgt at anvende en semistruktureret interviewform. På baggrund af en støttende

interviewguide (Se bilag D), som er fælles for alle tre elevinterviews, stiller jeg uddybende spørgsmål til

elevernes begrebsmæssige og operationelle forståelse af ligninger, som den fremstår i detektionstesten.

Spørgsmålene er vejledende og stilles ikke nødvendigvis i den rækkefølge, som det fremgår af guiden.

Nogle spørgsmål stilles til den ene elev, men ikke til de andre. Denne interviewform tillader intervieweren

at forfølge et spændende svar, som kræver et eller flere ekstra ikke-forberedte spørgsmål (Brinkmann &

Tanggaard, 2010, s. 38). Spørgsmålsguiden er udarbejdet på baggrund af grundige litteraturstudier, som i

dette tilfælde er indarbejdet i den forudgående test.

Et kvalitativt forskningsinterview kan have forskellige mål afhængig af forskerens videnskabsteoretiske

ståsted.:

”Der er dog væsentlige paradigmatiske forskelle mellem kvalitative forskere, hvad angår målet med

interviewforskning. Fænomenologisk orienterede forskere vil søge præcise beskrivelser af, hvordan

bestemte fænomener opleves fra et førstepersons-perspektiv, mens socialkonstruktionister og


Side 36 af 126

diskursanalytikere vil være mere optagede af, hvordan fænomener italesættes og dermed gøres af

mennesker, der trækker på tilgængelige diskursive ressourcer og fortolkningsrepertoirer.”

(Brinkmann & Tanggaard, 2010, s. 31).

Personligt er mit interview forankret i en socialkonstruktivistisk interesse for, hvordan eleverne individuelt

tilegner sig kompetencer indenfor ligningsløsning, set i samspil med klasserummets sociale normer og

praksisser (Cobb & Yackel, 1996, s. 177).

Jeg har i forbindelse med mit arbejde med interviewene forsøgt at komme omkring et kvalitativt interviews

syv delfaser, som de er beskrevet af Kvale og Brinkmann (2009, s. 122):

1) Tematisering: Elevers begrebsmæssige og operationelle vanskeligheder i forhold til ligninger på

baggrund af detektionstest.

2) Design: Jeg udvalgte tre elever, som viste tegn på både operationelle og begrebsmæssige

vanskeligheder. Herefter udarbejdede jeg en interviewguide på baggrund af disse elevers svar i

detektionstesten. (Læs mere om udvælgelsen af de tre elever i afsnit 8.2).

3) Interview: De semistrukturerede interview blev udført på basis af interviewguiden. Interviewene

blev optaget på mobiltelefon og varede fra 18 til 35 minutter.

4) Transskription: Alle tre interview er transskriberet ordret - (se bilag E, F og G).

5) Analyse: På baggrund af analysen af de tre interview opstillede jeg en diagnose for de tre elever.

(Læs mere i afsnit 9).

6) Verifikation: En samlet verifikation af min undersøgelse kan læses i afsnit 14, hvor jeg ser nærmere

på fire perspektiver, der kan højne validiteten af min empiri.

7) Rapportering: Selve specialet udgør rapporteringen af henholdsvis teori, metode, analyse og

resultater, der til en vis grad har været produktet af mine interview.

7.4. Fase 3: Intervention overfor 3 elever på baggrund af diagnose Selve interventionen foregik over fem sessioner, hvor alle tre elever var til stede på samme tid. Det var ikke

praktisk muligt at få lov til at foretage interventionen individuelt, da lærerne på skolen vurderede, at det

ville gribe for meget ind i undervisningen. Jeg havde før interventionen skitseret en rammeplan (se ”Bilag

H”) for indholdet af de fem sessioner på baggrund af de opstillede diagnoser efter interviewene.

Rammeplanen var kun vejledende for den undervisning, der fandt sted, hvilket vil sige, at der ikke var tale

om en minutiøs opskrift for i hvilken rækkefølge de enkelte tiltag skulle udføres. Punkterne i planen var

mere guidelines for vigtige nedslagspunkter med stor mulighed for improvisation undervejs. Denne plan tog

primært udgangspunkt i Herscovics og Kierans tre første af i alt fire faser i introduktionen af ligninger med

et aritmetisk afsæt(1980, s. 573-574). Jeg har tidligere i afsnit 6.7 gennemgået indholdet af de fire faser.

I fase 4 valgte jeg ikke at introducere en standardopstilling, da jeg ønskede, at eleverne opbyggede en

personlig måde at opstille ligninger på indenfor de gængse normer. Det var ikke målet, at eleverne i løbet af

interventionen nåede til en endelig opstilling, da det ville kræve flere timer at nå dertil. Til gengæld

prioriterede jeg at lade eleverne arbejde med forskellige repræsentationer af ligninger og bevidste

registerskift jf. Duval (2006). Til det formål benyttede jeg bl.a. spillekort, ligningshistorier, app’en

”Dragonbox Algebra” og hjemmesiden ”Algebra balance scales - negatives”, som uddybes her:


Side 37 af 126

Spillekort:

Hver elev fik udleveret et sæt spillekort med de 36 kort fra 2’ere til 10’ere samt en række regnetegn (plus,

minus, gange, division, lighedstegn). Billedkort og esser var med vilje sorteret fra for ikke at skabe forvirring

omkring kortenes værdi. Kortene og regnetegnene blev brugt til at opbygge konkrete identiteter på bordet

foran eleven. Med tiden skiftede kortene karakter fra at være synlige til at repræsentere ubekendte

(bagsiden opad). Kortene blev brugt som udgangspunkt for at gennemarbejde Herscovics og Kierans tre

første faser i processen fra identitet til ligning.

Ligningshistorier:

Eleverne blev bragt i situationer, hvor de skulle opstille en ligning til en given ligningshistorie. Dette kunne

enten være med kortene eller symbolsk på papir. Ligeledes blev de bedt om at digte historier til allerede

opstillede ligninger på symbolsk form. Der er dermed tale om både kongruente og ikke-kongruente

conversions mellem de to diskursive registre (Duval, 2006).

Dragonbox algebra 5+ og 12+: http://dragonbox.com/

App’en er udviklet af matematiklærere i det norske firma ”WeWantToKnow” og fungerer på alle gængse

platforme. Det findes i en særlig education -version, hvor læreren kan følge elevernes progression.

Konceptet bag app’en er ”lær gennem leg” med et bevidst sigte på matematiklæring og ikke kun på

underholdning. App’en er nu udviklet i to udgaver - til elever over 5 år og til elever over 12 år. Vi arbejdede

med den oprindelige udgave, som ikke er aldersopdelt.

I løbet af fem kapitler på hver 60 baner leger eleverne sig igennem et algebra-univers, der præsenterer

eleverne for alle de almindelige ligningsregler. Hver bane svarer til en ligning og kan løses ved at isolere ”x”,

som i begyndelses repræsenteres af en lukket kasse. Banen er fuldført, når ”x” er alene på en af de to

banehalvdele. Er banen fuldført på færrest mulige træk opnås en særlig udmærkelse.

Alle funktioner i spillet er udviklet, så man kun kan udføre operationerne matematisk korrekt. Man kan fx

ikke addere en brik til den ene side uden at gøre det samme på den anden side. Hvis man dividerer et led

med ”en mørk sommerfugl”, så kan man kun komme videre, når alle led på begge banehalvdele er divideret

med ”den mørke sommerfugl”. Til gengæld er spillet ikke programmeret til, at operationerne skal udføres i

en særlig rækkefølge. En elev kan derfor godt gøre banen/ligningen meget vanskeligere end

udgangspunktet, men ækvivalensen kan ikke forskydes.

På den tilhørende hjemmeside til app’en findes vejledning, regler og undervisningsmateriale, der med brug

af spillets billedsymboler forsøger at gøre matematikken i spillet mere tydelig.

Se næste side for mere info om app’en, ”Dragon Box”.

http://dragonbox.com/


Side 38 af 126

Forklaring til billede Skærmdump fra udvalgt bane

De første baner er lette og ligner umiddelbart ikke noget, der har med matematik at gøre. Alle symboler har en lys dagsside (positiv) og en mørk natteside (negativ), der ophæver hinanden. Dette symboliseres med en grøn spiral, der svarer til 0. Nye brikker kan trækkes ind på banen og andre brikker kan sættes i forbindelse med hinanden. Når boksen med stjernen (”X’et”) er alene på enten højre eller venstre banehalvdel er banen fuldført og ligningen løst.

Kassen er nu (efter ca. ½ times spil) afløst af et x og lighedstegnet er fremkommet mellem de to banehalvdele. Såvel multiplikation som addition er indført, og der optræder minus som fortegn.

Langsomt afløses billedsymbolerne af mere matematiske symboler. Abstraktionsniveauet stiger og flere og flere regneoperationer sættes i spil.


Side 39 af 126

Algebra balance scales -negatives:

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_324_g_3_t_2.html?open=instructions

Siden er en del af den amerikanske National Science Foundation’s bud på at udarbejde et nationalt

bibliotek af matematiske online-ressourcer, der kan fungere som virtuelle konkrete hjælpemidler i hele

grundskoleforløbet indenfor de gængse matematiske stofområder.

Den pågældende side med algebraiske balancevægte findes i to versioner. En udgave kun med positive tal

og en udgave, der inkluderer negative tal og løsninger. På hjemmesiden er der mulighed for at tilgå både

tekniske instruktioner og forældre/lærer information.

Programmet udmærker sig ved at benytte en samtidig dobbeltrepræsentation af den visuelle balancemodel

og den fortløbende udvikling af den symbolsk algebraiske notation. En anden styrke er, at eleverne kan

udføre lige så mange operationer med de fire regnearter, som de ønsker. Programmet udfører præcis den

operation, der ønskes - igen ved hjælp af begge de nævnte repræsentationer. Elevernes eventuelle

fejlslutninger vil hermed blive synlige for dem selv.

Det er en begrænsning, at programmet kun tillader heltallige operationer og løsninger. Der kommer en

øjeblikkelig meddelelse på skærmen, om at der kun må benyttes hele tal, hvis man ikke lever op til kravet.

Forklaring til billede Balance Repræsentation

Ligningen -3 = -2x + 5 skal løses, hvilket en normal balancevægt ikke kan visualisere, da negative lodder ikke giver mening. Programmet løser problemet ved, at de negative balloner (røde) hiver vægtskålen opad som på billedet.

Balloner og kasser trækkes til henholdsvis højre og venstre side af vippen, indtil ligningens to sider er billedligt repræsenteret på vippen/vægten. Der er nu ligevægt, og der kan trykkes på ”continue”, så selve ligningsløsningen kan gå i gang.

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_324_g_3_t_2.html?open=instructions


Side 40 af 126

Man har nu mulighed for at vælge en af de fire regnearter, hvorefter man i den hvide boks kan skrive et helt tal. Nu udføres den valgte regneoperation på det valgte tal på begge sider af vægten. På billedet ses svaret fra en elev, der har udført følgende operationer:

1) + 3x 2) -x 3) +3 4) : 2 (division)

Ligningen er nu løst, da x er alene på den ene vægtskål

Posttest:

I den sidste session i interventionsfasen har jeg udvalgt nogle af de spørgsmål fra detektionstesten, som

voldte de tre elever problemer. Her får de mulighed for at svare på spørgsmålene igen, så de fungerer som

en form for posttest, som kan bruges til at spore en mulig lærings- og forståelsesmæssig fremgang.

Spørgsmålene til posttesten kan ses i ”Bilag K”

De fem timers intervention er optaget i lydfiler og yderligere dokumenteret i momentvise videooptagelser.

Jeg har ikke transskriberet sessionerne i sin helhed. Centrale brudstykker af dialogen og vigtige

matematiske pointer vil dog fremgå af analysen, hvor det konkrete indhold og resultaterne af

interventionen vil blive udfoldet. Der er adgang til mine videofiler inkl. en kort introduktion via ”Bilag J”.

7.5. Fase 4: Lærebogsanalyse (Kontext og Faktor) For at undersøge i hvor høj grad elevernes lærebøger i matematik er med til at præge elevernes

begrebsmæssige og operationelle forståelse af ligninger, vælger jeg at udføre en lærebogsanalyse

inspireret af Rittle-Johnson et al. (2011). Læs mere i afsnit 6.8 + 6.9. Jeg udfører næsten samme

lærebogsanalyse som Rittle-Johnson et al. (2011). Jeg er tro mod Rittle-Johnsons opdeling i fire

ligningsniveauer. Dog har jeg mere fokus på, hvordan ligninger er repræsenteret end specifikt på brugen af

lighedstegn. Desuden supplerer jeg min undersøgelse med at opdele de samme ligninger efter inspiration

fra Vlassis’ opdeling i to aritmetiske og to algebraiske ligningstyper (2002, s. 351). Denne opdeling er

uddybet i afsnit 6.9. Endelig inddrager jeg Duvals fire registre (2006), så alle ligninger, der er anvendt i de

fem lærebøger yderligere opdeles i mono- og multifunktionelle samt diskursive og ikke-diskursive registre.

(Læs mere om de fire registre i afsnit 6.6.).

Jeg har helt konkret valgt at gennemgå de fem lærebøger, som de tre 8. klasser på Præstø Skole har

anvendt i matematik på mellemtrinnet og i overbygningen. Det drejer sig for alle tre klassers

vedkommende om Kontext-systemet fra 4.-6. klasse og om Faktor-systemet fra 7.-8. klasse. Alle fem bøger

hører i dag under Forlaget Alinea. Det skal bemærkes, at de anvendte bøger er skrevet eller revideret i

perioden mellem 2001 og 2010, hvorved de ikke har indarbejdet Forenklede Fælles Mål 2014 (UVM, 2014).


Side 41 af 126

Denne metode bruger jeg til i afsnit 11 at analysere vægtningen af de nævnte ligningstyper og registre i

forhold til de fem bøger. Desuden vil jeg se nærmere på en mulig sammenhæng mellem elevernes svar fra

detektionstesten, og på Kontext og Faktors anvendelse af forskelligartede ligningstyper og

repræsentationer.


Side 42 af 126

8. Analyse - del 1 (Detektionstesten)

8.1. Detektionstesten I ”Tabel A” ses min opgørelse af besvarelserne på detektionstesten fra eleverne i 8. klasse på Præstø Skole.

Selv testen ses med uddybninger og i sit endelige design af ”Bilag B + C”.

Tabel A

Opgave Rigtige Forkerte Ikke løst Kommentarer til selve opgørelsen

1a 49 1 0 Da der kun skal sættes kryds ved de udtryk, som, eleverne mener, er en ligning, er det ikke muligt at skelne mellem oversprungne svar og elever, der betragter udtrykket som ”ikke en ligning”. Der burde have været et ”ved ikke felt”. Jeg har ikke vurderet nogen svar som oversprunget. Jeg har i min pointgivning lænet mig op ad min definition, der ikke godtager falske og sande identiteter som ligninger, hvis der ikke indgår en eller flere ubekendte, hvilket har betydning for spørgsmål 1g og 1f.

1b 46 4 0

1c 46 4 0

1d 29 21 0

1e 33 17 0

1f 42 8 0

1g 47 3 0

1h 47 3 0

1i 25 25 0

1j 33 17 0

2a 49 1 0 Sidste delspørgsmål giver en identifikation af elevernes ækvivalensforståelse. Oplagt at bede udvalgte elever uddybe deres svar ved interview. Her er ”ved ikke” kategorien indbygget som svarmulighed.

2b 49 0 1

2c 37 7 6

2d 44 4 2

2e 31 9 10

3a 50 0 0 Både” lighedstegn” og alle variationer af ”er lige med” er godtaget

3b Kan ikke opgøres i rigtig/forkert 12 elever tolker lighedstegn som ligevægt, mens 33 tolker det som ”regn mig ud”

4 Kan ikke opgøres i rigtig/forkert

42 elever nævner variable eller ubekendte, mens 18 nævner lighedstegn. 15 elever nævner begge dele. 24 elever nævner regneoperationer som fx de 4 regnearter.

5a 29 21 0 Da der kun skal sættes kryds ved de ligninger, som, eleverne mener, er færdigløst, er det ikke muligt at skelne mellem oversprungne svar og elever, der betragter ligningen som ”ikke færdigløst”. Jeg har ikke vurderet nogen svar som oversprunget.

5b 38 12 0

5c 40 10 0

5d 25 25 0

5e 25 18 7 Her har jeg vurderet alle svar rigtige, der gik på, at ligninger skal være regnet helt færdig (forstået


Side 43 af 126

som ikke flere regneoperationer mulige). Kun 3 elever giver et helt præcist matematisk svar.

6 25 23 2

20 ud af de 23 fejlsvar begrunder svaret med at de 5*3 er 15 og 15+9=24. Derudover giver 3 elever fejlsvar i forhold til ikke at ville acceptere 2 lighedstegn i samme linje.

7 34 16 0

12 ud af de forkerte svar er ”30”. Alle 12 angiver i spørgsmål 3b en operationel forståelse af lighedstegnet (”Regn mig ud”). 13 af de forkerte svar korresponderer med fejlsvar i opgave 6

8 45 5 0 Af de 45 rigtige formår 30 at skrive løsningen som x=14. I de øvrige indgår 14 som en del af et korrekt regneudtryk

9 15 25 10 17 ud af de forkerte svar indikerer problemer med negativitet




13 25 15 10 12 ud af 15 forkerte svar løser blot ligningen uden at opstille den.

14 5 13 32 Mild bedømmelse af korrekte svar

15a 6 6 38 3 af de 6 rigtige svar skriver med korrekt notation

15b 4 5 41 Alle rigtige svar knytter an til grafisk aflæsning

16 28 5 17 De 5 forkerte svar er alle a la: 2x + 3 = 2x

17 4 19 27 12 ud af 19 fejlsvar tolker ligninger, der ikke giver løsninger som heltal, som eksempler på ligninger uden løsning.

18 7 28 15 Kun 1 elev skriver, at alle værdier af x er løsninger. 6 elever giver et konkret antal eksempler (mere end 1 løsning)


Side 44 af 126

Jeg vil i min analyse af elevernes besvarelse kommentere iøjnefaldende resultater fra detektionstesten og

tolke dem i forhold til den gennemgående teori.

Opgave 1a-1j relateret til opgave 4 (Om at genkende en ligning):

Jeg har anvendt Godfrey & Thomas’ (2008, s. 76) 3-deling i forhold til at undersøge, hvordan eleverne i

detektionstesten fordeler sig med hensyn til deres opfattelse af karakteristika ved en ligning. Specielt har

jeg her tolket deres svar på opgave 1i, hvor halvdelen af eleverne afviser, at x=2 er en ligning, hvilket

indikerer, at eleverne forbinder en ligning med en operation. Desuden mener 21 elever, at opgave 1d er en

ligning (44x+33-22x-9), selvom der ikke er noget lighedstegn. Specielt til sidstnævnte udtryk kan der dog

være andre årsager end det manglende lighedstegn til, at elever afviser den som ligning. Fx kom det i et af

de tre interviews frem, at ”elev C” kun ville kalde en ligning for en ligning, hvis hun kunne løse den.

Følgende er fra transskriberingen af interview med elev C linje 178-187 (Se bilag G)

Lars: hvorfor har du så ikke sat kryds ved opgave 1a? Der er jo både et ukendt bogstav og et lighedstegn

Elev C: (tænker længe). Jeg tror, at det er fordi, jeg ikke umiddelbart kunne finde et resultat til ligningen.

Lars: nå, du har simpelthen forsøgt at løse ligningerne, og så sat kryds ved dem du kunne løse. Er det

sådan?

Elev C: ja lidt.

Faktisk har kun 12 elever svaret i forhold til, hvad Godfrey & Thomas (2008) kategoriserer som ”En ligning

kræver et lighedstegn og ikke nødvendigvis en operation”, hvad der må betegnes som den korrekte af de

tre syn på ligninger (scoret som rigtige svar i både 1d og 1i). Dette harmonerer fint med, at der i opgave 4,

hvor eleverne skal svare på, hvad der skal indgå i et udtryk, før man kan kalde det en ligning, kun er 18

elever, der eksplicit nævner lighedstegnet. Der er derimod flere (24 stk.), der forbinder ligninger med de

fire regnearter og dermed noget operationelt.

Det er ligeledes iøjnefaldende, at godt 1/3 af eleverne ikke ser opgave 1e (5a+23=2a) som en ligning.

Formentlig er en del elever forvirrede over, at det pludselig er a og ikke x, der er den ubekendte. Ligeledes

kunne de mange fejlsvar hænge sammen med, at delopgave 1e tilhører en ligningstype, som både Vlassis

(2002, s. 351) og Rittle-Johnson et al. (2011, s. 87) på en 4-skala karakteriserer som den mest abstrakte og

sværest tilgængelige, da der er forekomster af ubekendte på begge sider af lighedstegnet. Denne tolkning

modsiges dog af elevernes svar på opgave 1c (7+9x+12=7x-2x+3), hvor 92 % svarer rigtigt på, at der er tale

om en ligning, som også tilhører samme abstrakte kategori som opgave 1e. Dette leder mig tilbage til at

tolke de mange fejlsvar i opgave 1e på baggrund af, at a er anvendt som symbol for den ubekendte.

Den indsamlede empiri fra opgave 1 i detektionstesten giver dermed ikke grundlag for at påstå, at eleverne

har sværere ved at genkende en ligning, hvis den tilhører de ikke-aritmetiske (Vlassis, 2002, s. 351) eller

relationelle (Rittle-Johnson et al., 2011, s. 87) ligningskategorier.

Den sidste ting jeg vil fremhæve i forhold til opgave 1 er delspørgsmål 1j (1,5x+½=-13), hvor 17 elever ikke

tror, der er tale om en ligning. Der er grundlag for at mene, at eleverne er blevet udfordret på deres

begrebsbillede af en ligning (Tall & Vinner, 1981), da de benyttede tal og koefficienter i ligningen er


Side 45 af 126

rationale tal og ikke som tidligere blot naturlige tal. Hvis elever gennem deres skolegang altid bliver

præsenteret for ligninger bestående af naturlige eller måske hele tal, så vil deres begrebsbilleder af

ligninger potentielt danne en personlig begrebsdefinition, der ikke rummer plads til brøker og decimaltal i

ligninger. At de 17 elever, der svarede forkert i denne detektionstest, præsenteres for en ligning som i

opgave 1j, er ikke nok til at skabe en kognitiv konflikt, da de blot vil afvise den, da den ikke passer ind i

deres mentale billede. Konflikten er dermed undgået, da der ikke er lagt op til, at eleverne skal arbejde

videre med ligningen. Til gengæld kan vi med vores viden fra opgave 4 begrunde, at næsten alle elevernes

begrebsbilleder af ligninger rummer plads til en eller flere ubekendte, idet hele 84 % uden at være blevet

ledt på sporet nævner ubekendte som en vigtig del af enhver ligning.

Opgave 2a-2d (Om lavereordens begreber):

De fire første delspørgsmål i opgave 2 relaterer sig til elevernes forståelse af algebraisk notation og dermed

dækningsgraden af deres symbol- og formalismekompetence. Umiddelbart tyder høje rigtighedsprocenter

på en god forståelse af betydningen af ”8 x = 8x”, ”1x = x” og ”7 + x 7x”. Intentionen med spørgsmålene

var at klarlægge om eleverne har vanskeligheder forbundet med forståelsen af lavereordens begreber

(Sfard, 1991), som kan spænde ben for ligningsløsningen, når symbolske udtryk som fx de tre ovenstående

optræder i en ligning. Dette er væsentligt at kortlægge, når man som underviser vil følge op på elever, der

har vanskeligt ved at løse særlige typer af ligninger. Skyldes vanskelighederne, at elevernes forståelse af

symbolske udtryk, der inkluderer en eller flere ubekendte, endnu kun er i internaliseringsfasen, eller

skyldes vanskelighederne, at det er selve ligningsbegrebet, der som højereordens begreb volder

problemer? Hvor sidstnævnte type af vanskeligheder befinder sig i, hvad jeg jf. Jankvist og Niss (2015) har

valgt at kalde begrebskategorien, så kan de førstnævnte problemfelter vedrørende symbolsk notation både

befinde sig i den begrebslige og den operationelle kategori. Denne skelnen hænger sammen med om

eleverne overordnet har svært ved at forstå, hvad en ubekendt dækker over, og hvad et variabelbegreb

rummer (begrebskategori), eller om de har særlige vanskeligheder ved at operere og regne med de

ubekendte (operationel kategori). En afklaring, der må følges op på kvalitativt via samtale og intervention.

I testen svarer 26 % af eleverne ikke korrekt på spørgsmål 1c i forhold til, om ”0x” er det samme som ”x”.

En fjerdedel af eleverne er dermed i tvivl om, hvorvidt koefficienten ”0” er knyttet til eller løsrevet fra

antallet af de ubekendte. Da næsten alle elever svarer rigtigt på ”8 x = 8x”, ”1x = x” og ”7 + x 7x”, så

finder jeg det overraskende, at fejlprocenten stiger i dette delspørgsmål. Noget kan tyde på, at enkelte

elever har mere grundlæggende misopfattelser forbundet med tallet ”0”.

Opgave 2e + 3a + 3b + 4 + 6 + 7 (Om lighedstegnets betydning):

Disse delspørgsmål forholder sig til elevernes forståelse af lighedstegnet. Fokus er ikke som i opgave 1 på,

om eleverne forbinder en ligning med et lighedstegn, men på deres forståelse af lighedstegnet som enten

bærer af ækvivalens eller som et tegn, der knytter en operation til et resultat. Knuth et al. (2008) betegner

de to tilgange som henholdsvis relationel og operationel. En markant gruppe af eleverne i min

undersøgelser på mellem en tredjedel og halvdelen bekræfter Knuth et al.’s (2008) fund, der vidner om en

næsten fifty-fifty fordeling af de pågældende opfattelser i 8th grade. I opgave 3b, hvor eleverne skal svare

på, hvad lighedstegnet i 7 + x = 11 betyder, er vi endda oppe på 66 %, der tolker lighedstegnet operationelt

ved at pege på en resultat-fiksering. Herunder ses to typiske elevsvar, der indikerer først en operationel og

derefter en relationel forståelse:


Side 46 af 126

”Det er et resultat af et regnestykke. Der står bag ved ligmed tegnet” (Operationel)

”At det er samme værdi på begge sider” (Relationel).

Det er i øvrigt værd at bemærke, at der er en meget nøje sammenhæng mellem elever, der på øverste linje

i opgave 3 betegnet symbolet under pilen som ”lig med” eller ”lige med” og elever med en operationel

forståelse på nederste linje i spørgsmålet. Mens elever med relationel forståelse af symbolet oftest bruger

ordet ”lighedstegn”. Ordvalget er i min optik ikke tilfældigt. Der ligger en tilkendegivelse af en mere

strukturel forståelse i en Sfard-terminologi (1991), når ordet ”tegn” indgår. Her er der gode muligheder for

at tolke tegnet som et objekt, der forholder sig til ækvivalens, mens ”lige med” for mig at se fanger

elevernes forståelse af en proces på vej mod et resultat.

Der er en næsten 100 % korrespondance mellem fejlsvar i opgave 6 og 7 og elever, der viser operationel

forståelse af lighedstegnet i opgave 3. Herunder ses et typisk fejlsvar, som går igen i 25-30 % af

besvarelserne. Det er ikke svært at forstå, hvorfor eleverne skriver 30 på den tomme plads i opgave 7, når

eleverne forbinder lighedstegnet med at skulle finde et resultat.


Side 47 af 126

De elever, der udviser en relationel forståelse af lighedstegnet set i forhold til Skemp (1976) og Knuth et al.

(2008) har ikke nødvendigvis endeligt reificeret ækvivalensbegrebet ifølge Sfard (1991), men mange er

formentlig godt på vej mod en mere strukturel forståelse af lighedstegnets betydning i en ligning som

hævet over konkrete eksempler og udregninger. Derimod er det givet, at elever, der svarer ”30” i opgave 7

og dermed viser en operationel forståelse af lighedstegnet, arbejdet ud fra et begrebsbillede (Tall & Vinner,

1981), der skal udfordres, for at komme videre fra internaliseringsfasen i Sfards begrebshierarki (1991).

Opgave 5a-5e (Om hvornår en ligning er løst helt færdig):

Her bliver eleverne først bedt om at forholde sig, om fire ligninger hver for sig er løst helt færdige. Mest

iøjnefaldende er svarene i 5d, hvor kun halvdelen af eleverne mener, at ”13 = x” er færdigløst, hvorimod 80

% i spørgsmål 5c korrekt tilkendegiver, at ”x=14” er sidste stadie i ligningsløsningen. At 20 % giver et fejlsvar

i 5c, kan hænge sammen med manglende viden om, hvad det generelt vil sige at komme i mål med at løse

en ligning. Denne fejlkategori kan ligeledes rumme en vis del af den halvdel, der svarer forkert på

spørgsmål 5d, men generelt er det forskellen på de 20 % og 50 % forkerte svar i de to delopgaver, der er

interessant.

Powell (2012) betegner en standardligning, som en ligning, der indeholder en operation på venstre side af

lighedstegnet og et svar på højre side. Ikke-standard ligninger er alle andre typer. Ifølge Powell er

standardligninger overrepræsenterede i de tekstbøger, hun analyserede i sin artikel. I min undersøgelse

indeholder hverken ”13 = x” eller ”x = 14” nogen operation, men kun den sidstnævnte ligning har et svar på

højre side. Der kan dermed være velbegrundet mistanke om, at flere af eleverne på Præstø Skole har

opbygget et begrebsbillede af, at en ligning altid har den ubekendte på venstre side og svaret på højre side,

hvilket kan betyde, at ”13 = x” slet ikke er en ligning ifølge deres foreløbige personlige begrebsdefinition

(Tall & Vinner, 1981), eller at ligninger ikke er løst færdige, før x’et står på venstre side. Jeg vil senere i

analysen af elevernes tekstbogssystemer forfølge mistanken om en mulig sammenhæng mellem bøgernes

brug af standard og ikke-standardligninger og elevernes mangelfulde begrebsbilleder i forhold til ligninger.

I sidste delspørgsmål i opgave 5 får eleverne lov til i ord at udtrykke, hvad der skal til, før man kan sige, at

en ligning er løst helt færdig. Halvdelen af eleverne kommer på forskellig vis frem til, at en ligning er løst,

når man har fundet ud af, hvad ”x” er. Det er ikke muligt af svarene at spore forståelser, der peger på

ovenstående misopfattelse i forhold til at x’et altid skal være til venstre for lighedstegnet. Til gengæld skiller

enkelte besvarelser sig positivt ud ved at vise en tydelige forståelse af opgaven med at finde frem til det tal,

som den ubekendte er pladsholder for:


Side 48 af 126

Opgave 8-12 (Om at løse konkrete førsteordens ligninger):

Disse opgaver tester elevernes færdigheder i at finde løsningen til forskellige ligningstyper. Ligninger på alle

fire forståelsesniveauer anvendt af Rittle-Johnson et al. (2011) er repræsenteret, ligesom der er eksempler

på typer af både aritmetiske og algebraiske ligninger (Vlassis, 2002) og (Filloy & Rojano, 1989). Opgave 12

(3x + 14 = x - 6) er det eneste eksempel på en algebraisk ligning, hvorved forstås, at den ubekendte

optræder på begge sider af lighedstegnet. Kun seks elever løser denne opgave korrekt, og 21 elever

forsøger slet ikke at arbejde med opgaven. At så mange elever helt fravælger opgaven kan være en

indikation på, at de identificerer ligningen som værende anderledes end de øvrige opgaver. Her bliver det

for mange en del vanskeligere, særligt hvis de intuitivt vil pusle sig frem til en løsning uden brug af

specifikke regler og metoder. Det er ikke længere muligt blot at operere isoleret på den ubekendte på den

ene side af lighedstegnet. Abstraktionsniveauet er steget, og mange elever mangler tydeligvis redskaber til

at gå i kødet på denne type ligninger.

Jeg kan efterfølgende ærgre mig over, at jeg ikke har suppleret min detektionstest med en algebraisk

ligning uden brug af negative tal i såvel selve ligningen som i løsningen. Det vil have givet mig et større

grundlag for at vurdere, om de store vanskeligheder, som eleverne har haft med opgave 12, skyldes

springet fra aritmetiske til algebraiske ligninger eller mere specifikt problemer med behandling af negative

tal. Med andre ord er det svært at kortlægge, om der er tale om vanskeligheder i den operationelle kategori

eller i begrebskategorien. I sidstnævnte kategori kunne potentielle fejl stamme fra begrebsrelaterede

udfordringer med enten de negative tal eller med, hvad Vlassis kalder det ”didaktiske cut” mellem

aritmetiske og algebraiske ligninger (2002, s. 357). Operationelt kunne fejl og misopfattelser vedrøre

manglende volumen i symbol- og formalismekompetence til at håndtere procedurer i forhold til

operationer på negative tal eller på flere ubekendte. Herunder er vist to eksempler på elever med hver

deres typiske vanskelighed i forbindelse med opgave 12:

Eleven herover finder frem til, at løsningen er x = -4 ved at vise, at både venstre og højre side af

lighedstegnet vil give 2, når x = -4. Bortset fra, at eleven med forkert brug af to lighedstegn i linje 2 viser

manglende forståelse for ækvivalens i notationsformen, så er det tydeligt, at eleven har en begrebsmæssig

god forståelse af, at x’et er pladsholder for samme tal på begge sider af lighedstegnet. I sidste linje springer

det i øjnene, at eleven har vanskeligheder i forhold til negativitet. Fejlen er formentlig mere operationelt

end begrebsligt betinget. Det kunne tyde på sammenblanding af regler og procedurer, når der optræder to

minusser. Der er tale om fejltype 2 i forhold til negative tal, som Vlassis betegner ”flere minusser giver plus”

(2004).


Side 49 af 126

I ovenstående eksempel er der tale om en elev, der befinder sig i begrebsrelaterede vanskeligheder i

forhold til en algebraisk ligning. Begrebsmæssigt har eleven styr på ækvivalens i forhold til lighedstegnet,

men eleven har ikke formået at løfte sin forståelse for løsning af aritmetiske ligninger til også at omfatte

algebraiske ligninger. Eleven søger en løsning hvor to forskellige værdier for x skaber ligevægt mellem højre

og venstre side. Dette løser eleven ved at få x = 2 på venstre side og x = 26 på højre, hvilket giver 20 = 20.

Når jeg ser nærmere på elevernes løsning af de øvrige ligninger, så er det tydeligt, at der i min

detektionstest ikke viser sig en klar sammenhæng mellem ligninger på et særligt niveau ifølge Rittle-

Johnson et al. (2011) og elevernes fejlprocenter. Dette begrunder jeg med, at ligningerne i opgave 8

(x + 2 = 16) og i opgave 9 (2x + 3 = 1) begge er på det rigid-operationelle niveau 1, der er kendetegnet ved

kun at have operationer på venstre side af lighedstegnet. Denne type er også omtalt som standardligninger

(Powell, 2012). Hvis eleverne forståelsesmæssigt befinder sig på et givent stadie i forhold til Rittle-Johnsons

et al.’s (2011) fire progressionsniveauer, så måtte man forvente forholdsvis lave og ens fejlprocenter i

opgave 8 og 9 samt stigende fejlprocenter fra opgave 10-12, da disse ligninger befinder sig på de øvrige 3

forståelsesniveauer. Der viser sig dog en markant forskel på succesraten i opgave 8 og 9. Hvor 90 % af

eleverne svarer rigtigt på opgave 8, så er det kun 30 % der får svaret korrekt på opgave 9. Faktisk er mere

end dobbelt så mange elever i stand til at løse opgave 10 (14 = 5x - 6) i forhold til opgave 9, selv om opgave

10 er en ikke-standard ligning på forståelsesniveau 2, der tilmed har et negativt tal med i selve ligningen.

Problemerne med ligningen (2x + 3 = 1) skyldes den negative løsning. Igen udfordres særligt de elever, der

forsøger at løse ligninger intuitivt ved at skabe ækvivalens uden faste procedurer. Det er nemmere i

hovedet at finde et tal, som giver 14, når der trækkes 6 fra - og så efterfølgende dele med 5, end at finde et

tal, som giver 1, når der lægges 3 til. Her vil specielt elever med en symmetrisk og binær tilgang til

negativitet komme til kort, mens elever, der kan forholde sig strukturelt til negative tal som en talmængde,

har lettere ved at løse ligningen (Vlassis, 2004).

I ”Tabel A” har jeg noteret, hvor mange fejlsvar i opgave 8-12, der relaterer til misopfattelser omkring

negative tal. Udover den allerede nævnte fejltype 2, ”Flere minusser giver plus”, så har jeg haft svært ved i

elevernes svar at genfinde de øvrige tre fejltyper, som jeg har beskrevet i teoriafsnittet om Vlassis (2004).

Det kan hænge sammen med, at jeg ikke har udvalgt de respektive ligninger for potentielt at kunne

fremprovokere disse fejltyper. Til gengæld afspejler følgende elevsvar en typisk fejl:


Side 50 af 126

Eleven løser sådan set ligningen korrekt, men forholder sig ikke til, at (1 - 3 3 - 1). Denne fejltype går igen i

mange elevsvar i flere af opgaverne. Det spændende er for mig at se, at eleverne udover manglende

forståelse for, at subtraktion ikke er kommutativ, på ingen måde viser tegn på behov for at validere deres

løsning ved inspektion. Det tegner et billede af en begrebsmæssig svag forståelse for både

ækvivalensforholdet og løsningens sammenhæng med den oprindelige ligning.

Opgave 13-15 (Om repræsentationer for ligninger):

Fokuspunktet i disse tre opgaver er forskellige måder at repræsentere ligninger på. I stedet for at udføre

flere på hinanden følgende treatments i det monofunktionelle, diskursive register, hvor ligningen på

traditionel vis omformes på symbolsk form, udfordres eleverne til at anvende andre

repræsentationsformer (Duval, 2006). I opgave 13 og 14 skal eleverne udføre conversions (hver sin vej)

mellem de to diskursive registre, mens de i opgave 15 skal sammenligne oplysninger fra de to

monofunktionelle registre.

Eleverne klarer sig bedst i opgave 13 med 50 % rigtige besvarelser. Her bliver de bedt om at udføre en

kongruent conversion fra det multifunktionelle til det monofunktionelle, diskursive register. Derudover er

24 % i stand til at løse den ligning, der gemmer sig bag historien, uden dog at kunne opstille ligningen

symbolsk. Resultatet er et helt andet i opgave 14, hvor den omvendte conversion fra det monofunktionelle

til det multifunktionelle register skal udføres. En såkaldt ikke-kongruent conversion. Her lykkes det kun 10

% af eleverne at skrive en dækkende ligningshistorie, som repræsentation for den oplistede ligning. Dette

er i fin harmoni med Duvals (2006) påstand om, at særligt ikke-kongruente conversions er en barriere for

eleverne. Her findes ikke kun en rigtig omskrivning men uendelig mange. De fleste af de elever, der giver sig

i kast med opgaven, forsøger at indarbejde de respektive tal fra ligningen, men er ikke i stand til at give

deres historie mening i forhold til de algebraiske og aritmetiske krav. Herunder ses et typisk eksempel på et

svar, hvor både ”200”, ”3” og ”20” indgår i historien, men hvor eleven ikke har forståelse for, hvad de

respektive tal repræsenterer i ligningen.


Side 51 af 126

I opgave 15 bliver eleverne bedt om at forholde sig til to ligninger med to ubekendte, der først er

repræsenteret grafisk i det ikke-diskursive, monofunktionelle register og derefter symbolsk i det diskursive

register. Eleverne skal finde løsningen til ligningssystemet og forklare, hvordan de fandt løsningen. Jeg er

her ude efter at teste, hvilken repræsentationsform der bedst guider eleverne på vej mod et rigtigt svar.

Meget få elever kommer igennem med opgaven, hvilket blandt andet skyldes, at de tre 8. klasser på Præstø

Skole kun har arbejdet meget lidt med dette delemne. Mange af eleverne forstod simpelthen ikke opgaven.

De seks elever, der svarer rigtigt på opgaven benytter alle den grafiske repræsentation, og argumenterer ud

fra linjernes skæringspunkt i forhold til at begrunde deres svar. Jeg har pga. sværhedsgraden af opgaven

ikke indarbejdet denne opgavetype i det videre arbejde i interventionsfasen, men jeg tænker, at et oplagt

fokuspunkt for videre arbejde i 9. klasse kunne være brugen af en tabel som hjælpeovergangs-

repræsentation mellem de nævnte registre som stilladsering af elevernes forståelse (Duval, 2006).

Opgave 16-18 (Om antal løsninger til ligninger):

I de sidste tre spørgsmål i detektionstesten er omdrejningspunktet mulige antal løsninger til en ligning.

Opgaverne går på henholdsvis en, ingen og flere løsninger. Jeg er klar over, at jeg ikke i 8. klasse kan

forvente, at eleverne giver præcise matematiske definitioner af, hvad der kendetegner de tre

ligningskategorier. Til gengæld kan opgaverne fortælle noget generelt om elevernes begyndende

begrebsdannelse i forhold til antal løsninger til konkrete ligninger. Næsten alle elever, der giver sig i kast

med opgave 16 formår også at opstille en ligning med netop en løsning. Mere spændende bliver de mange

fejlsvar i de to følgende opgaver. Jeg har fundet frem til to typiske misopfattelser hos eleverne med hensyn

til ligninger uden løsninger. Det drejer sig om:

1) En subjektiv opfattelse af, at en ligning ikke har nogen løsninger, hvis personen ikke selv kan løse

den. Samme ligning kan godt have løsninger for andre, der er mere vidende indenfor matematik.

Og er man dygtig nok, så har alle ligninger en løsning.

2) En opfattelse af, at løsninger til ligninger altid skal være heltal.

Den første opfattelse kom jeg på sporet af, da mange elever i opgave 17 tydeligvis havde opstillet ligninger,

der for dem selv indeholdt vanskelig matematik. Herunder ses et eksempel, hvor eleven har indtænkt

potenser.

Min formodning om den subjektive tilgang til, hvorvidt en persons faglighed afgør om der findes en løsning

til en ligning, blev senere bekræftet i mit interview med ”Elev C”, som udtaler:

Elev C: Ja, en matematikprofessor vil helt sikkert kunne løse den. Men for mig er det ikke en løsning, for jeg

vil ikke kunne løse denne her. (Se bilag G, linje 396)

Den anden opfattelse af, at der kun eksisterer løsninger som heltal, er eksemplificeret af følgende udsagn:


Side 52 af 126

Eleven konkluderer, at en eventuel løsning til ligningen x + 6,6 = 12 vil være forkert, da der aldrig er komma

i en ligning. Over halvdelen af de elever, der svarer på opgave 17, viser tegn på ovenstående misopfattelse.

Jeg vil i min analyse af klassernes bogsystemer forfølge denne misopfattelse, og undersøge i hvor høj grad

bøgerne benytter ligninger med rationale tal og løsninger.

Der er kun meget få elever, der giver sig i kast med opgave 18. Jeg kan bruge opgaven til at spotte nogle

enkelte meget kompetente elever, der er nået langt i deres forståelse af, hvad en løsningsmængde vil sige.

Derudover rettede en enkelt elevbesvarelse af denne opgave min opmærksomhed mod en potentiel

fejltype, som jeg ikke tidligere har skænket en tanke i min lærergerning. Denne fejltype kan muligvis

gemme sig under andre besvarelser, der i opgave 18 peger på netop en løsning til ligningen (4x = 2x + 2x).

Elevens svar, som er vist herunder, indikerer en forståelse af løsninger som metoder og ikke som tal. Så

denne elev har et begrebsbillede af en løsning, som den måde hun arbejder med en ligning på for at

komme frem til et resultat. De to tolkninger af ordet ”løsning” bør italesættes direkte i undervisningen for

at skabe en kognitiv konflikt, der får eleven til at indse, at andre i klassen mener noget andet med begrebet

”løsning”. Dette vil give mulighed for, at eleven ændrer sit begrebsbillede til at være mere i

overensstemmelse med en formel begrebsdefinition (Tall & Vinner, 1981).

8.2. Brug af detektionstest til udvælgelse af elever til interview Efter gennemgang af de 50 elevers detektionstest udvalgte jeg seks elever, der ud fra forskellige kriterier

(mere herom senere) havde påkaldt sig min interesse med henblik på interview og intervention. Planen var,

at de efterfølgende interviews skulle munde ud i en diagnose med deraf følgende intervention for tre af

eleverne. Jeg sendte derfor en besked til de pågældende elever og deres forældre over Præstø Skoles

Forældre-Intra (se bilag I). To forældrepar afviste interviewet, fordi børnene ikke ønskede at deltage, et

forældrepar svarede aldrig tilbage, og de tre sidste forældrepar takkede ja på deres børns vegne. Disse tre

elever vil i det følgende blive benævnt Elev A, Elev B og Elev C.

Kriterierne for den første udvælgelse på baggrund af detektionstesten var følgende:

1) Jeg ønskede at arbejde med elever, der var motiverede for at deltage i det videre projekt.

Vurderingen af deres motivation byggede jeg på mit tidligere kendskab til eleverne og på lærernes

udsagn. Desuden skulle eleverne have arbejdet seriøst med detektionstesten.


Side 53 af 126

2) Minimum en af de udvalgte elever skulle i detektionstesten udvise tegn på svag begrebsforståelse i

forhold til ligninger, hvilket vil sige, at eleven skulle befinde sig i den kategori, jeg i min

begrebsafklaring har kaldt ”begrebskategorien”.

3) Minimum en af de udvalgte elever skulle i detektionstesten udvise tegn på at have vanskeligheder

forbundet med ligninger, i det jeg har kaldt ”den operationelle kategori”. Eleven skulle dermed

have svært ved at udføre tilladte algebraiske operationer i forbindelse med løsning af ligninger.

I forhold til kriterium nummer 2 ledte jeg primært efter iøjnefaldende fejl og misopfattelser i

detektionstesten med henblik på forståelsen af begreberne ækvivalens, løsninger og ubekendte. Her

skelede jeg til opgaverne 1 + 2e + 3-7 + 14 + 16-18.

Med hensyn til at udvælge elever, der havde læringsvanskeligheder forbundet med den operationelle

kategori, havde jeg fokus på beregninger, løsningsmetoder og repræsentationer. Disse dele af

ligningsprocessen bliver primært testet i opgave 2 + 8-15.

Af de tre elever, der endte med at acceptere at deltage i interview og intervention, har jeg ud fra

detektionstesten vurderet, at ”Elev A” og ”Elev B” befinder sig i den operationelle kategori, mens ”Elev C”

befinder sig i begrebskategorien. Begrundelsen for denne vurdering følger herunder for hver af de tre

elever:

Elev A: (får point for rigtigt eller delvist rigtigt svar i 16 ud af 35 delopgaver)

Eleven viser først og fremmest en manglende forståelse for lighedstegnets betydning i forhold til

ækvivalens. Fejlsvar i opgave 2e, 5, 6 og 7 indikerer, at eleven tænker lighedstegnet som en operation, der

foranlediger et specifikt resultat. Det er desuden iøjnefaldende, at eleven anser ligningen ”x = 14” men ikke

”13 = x” for at være løst helt færdig. Noget tyder på, at eleven kun accepterer ligninger, hvor den

ubekendte befinder sig på venstre side af lighedstegnet, hvilket underbygges af svaret i opgave 1b. Senere i

besvarelsen viser svaret fra opgave 17, at eleven kun forbinder løsninger med heltal.

Elev B: (får point for rigtigt eller delvist rigtigt svar i 18 ud af 35 delopgaver)

Denne elev viser nærmest identiske fejlsvar som ”Elev A” i forhold til tolkning af lighedstegnet og

forståelsen af, at den ubekendte skal befinde sig på venstre side af lighedstegnet. I opgave 14 formulerer

eleven nedenstående ligningshistorie (se næste side), der kan pege på flere begrebsmæssige

misopfattelser. Særligt vil jeg her understrege elevens manglende forståelse for den ubekendtes rolle i

ligninger, som i denne historie er helt fraværende.


Side 54 af 126

Derved tegner der sig et billede af, at både ”Elev A” og ”Elev B” har grundlæggende misopfattelser

forbundet med deres begrebsbilleder i forhold til ligninger. Misopfattelser, som der er grundlag for at

spørge yderligere ind til i et kommende interview.

Elev C: (får point for rigtigt eller delvist rigtigt svar i 25 ud af 35 delopgaver)

Denne elev adskiller sig fra de to øvrige ved gennemgående i sin besvarelse at give flere velbegrundede og

refleksive svar. Eleven er tydeligvis sproglig stærk. Følgende svar på opgave 6 viser en begrebsmæssig stærk

forståelse af lighedstegnets betydning for ækvivalens:

Til gengæld illustrerer elevens løsninger af ligningerne i opgave 8-12 mulige instrumentelt tillærte

ligningsregler samt operationelle vanskeligheder i forhold til opstilling, notation, brug af lighedstegn og

negativitet.

I opgaven herover benytter eleven den såkaldte ”Viete-tilgang”, hvor plus bliver til minus, gange til division

osv., når der ”flyttes over på den anden side”. Derved er der noget, der tyder på, at eleven fjerner sig fra


Side 55 af 126

den ligevægtsforståelse, der er antydet i svaret i opgave 6. Eleven mestrer regnereglerne i ligningen ”x + 2 =

16”, men får problemer, når det bliver mere kompliceret i opgave 9 (se herunder).

Denne elev pirrer min nysgerrighed, da vedkommende flere gange viser begrebsmæssigt overblik i forhold

til ligninger, men andre steder ikke formår at omsætte denne forståelse i selve processerne forbundet med

løsning af specifikke ligninger. Dette ønskes uddybet gennem interview og intervention.


Side 56 af 126

9. Analyse - del 2 (Interview og diagnose)

9.1. Interview af ”Elev A” (Varighed: 18 min 22 sek.)

Eleven giver inden interviewet udtryk for, at hun er lidt nervøs, men at hun gerne vil blive bedre til

ligninger. Generelt tager interviewet afsæt i spørgsmål fra interviewguiden (Se bilag D), der fokuserer på en

overordnet forståelse for ligningsbegrebet. Det vil sige, at spørgsmål, der fokuserer på mere præcise

løsningsmetoder og algebraiske udregninger, er udeladt, da jeg vurderer, at der er mere grundlæggende

misopfattelser på spil.

Tidligt i samtalen viser eleven forståelse for, at den ubekendte i en ligning kan være symboliseret ved

ethvert bogstav, men hun viser usikkerhed i forhold til lighedstegnet (Bilag E, linje 138-153):

Lars: Hvad er det, der skal være i sådan et matematik udtryk, før vi må kalde det for en ligning?

Elev: Det skal indeholde bogstaver og tal.

Lars: Og bogstaverne talte du om. Skal de være en særlig slags?

Elev: det kan være X og Y, ja det kan faktisk være alle slags. Og tallene kan også være alle slags.

Lars: Skal der være mere i en ligning?

Elev: Der kunne være parenteser.

Lars: Hvad så hvis der bare stod 3a, er det så en ligning?

Elev A: ja, det tror jeg. For man skal jo huske, at der er et usynligt gange imellem.

Eleven lægger i sit svar i sidste linje mere vægt på finde en mulig regneoperation end at lade sig irritere

over det manglende lighedstegn. Hendes begrebsbillede af en ligning er svært at skelne fra et

begrebsbillede af et algebraisk udtryk, der skal reduceres. Elevens opfattelse af lighedstegnet i en ligning er

i høj grad præget af en tilgang, der tolker lighedstegnet operationelt på vejen mod et specifikt resultat.

Direkte adspurgt om, hvornår man bruger et lighedstegn svarer hun (Bilag E, linje 72-80):

Elev A: Det bruger man, når man skal vise, hvad resultatet bliver.

Lars: Så hvad har du forklaret i opgave tre?

Elev A: Det betyder det, som regnestykket giver.

Da jeg mere konkret spørger ind til opgave 7 i detektionstesten (7 + 23 = ___ + 2), hvor eleven har skrevet

30 på den tomme plads, viser hun igen sin manglende ækvivalensforståelse. Eleven regner frejdigt videre

og skriver 7 + 23 = 30 + 2 = 32. Følgende ordveksling udspiller sig, da jeg udfordrer eleven i forhold til, at der

står en sum på 30 på venstre side og resultatet 32 på højre side af lighedstegnet (Bilag E, linje 195-202):


Side 57 af 126

Lars: Har det nogen betydning, at det du har skrevet i ligningen giver 30 på venstre side og 32 på højre side?

Elev A: Nej det gør ikke noget.

Lars: Tænker du, at man bare kan fortsætte med at regne ud?

Elev A: ja, det gør jeg.

I forhold til Vlassis’ opdeling i ligningstyper (2002), så befinder eleven sig på et niveau, hvor hun kan

håndtere konkret-aritmetiske ligninger, men vel at mærke kun når den ubekendte er placeret på venstre

side af lighedstegnet som en del af en regneoperation. Der danner sig et billede af, at hun mestrer konkret-

aritmetiske ligninger, der samtidig er standardligninger (Powell, 2012). Dette underbygges af hendes svar

på, hvordan ligningen 7 + x = 11 skal løses. Først siger hun, at hun ikke kan gøre det i hovedet og beder

derfor om et stykke papir. Herefter benytter hun en additiv tæl-videre strategi for at komme fra 7 til 11 og

konkluderer rigtigt, at x = 4. Efterfølgende udspiller der sig følgende dialog (Bilag E, linje 123-134)

Lars: OK, men så prøv at skrive den op modsat, så du bytte rundt på højre og venstre side. Altså 11 = 7 + x.

Hvordan skal man så løse den nu?

Elev: Det har jeg ingen anelse om. Jeg bliver forvirret, når de kommer over på den anden side.

Lars: Du kan bedst lide at løse ligninger, når x står på venstre side?

Elev: Ja ellers kan jeg ikke finde ud af det.

Lars: Så den ligning har du ikke lært at løse?

Elev: Nej, den forstår jeg bare ikke.

Her bliver det helt tydeligt for mig, at vi har at gøre med en elev, der kun er ved at internalisere det

samlede ligningsbegreb. Hun har ingen fornemmelse af symmetrien omkring lighedstegnet. Korthuset

vælter, når samme regneoperation pludselig befinder sig på højre side. Eleven viser desuden en meget

instrumentel (Skemp, 1976) tilgang til de få ligninger, hun faktisk kan løse. Hun gør brug af mekaniske regler

uden relationel forståelse. Regler hun har fået overdraget af andre uden selv at have ejerskab. Da hun skal

løse x + 2 = 16, forklarer hun følgende (Bilag E, linje 207-221):

Elev A: Jeg gjorde først det, at jeg vendte det om. Altså 16 og plusset blev så til minus altså -2 og det gav 14.

Lars: Hvorfor bliver et plus til minus? Er det noget du ved, eller noget du kan forklare?

Elev A: Det er noget min matematiklærer har sagt, at sådan skal det være.

Lars: Er det altid sådan? Bliver plus altid til minus?

Elev A: Nej det tror jeg ikke. Det er kun i ligninger.

Lars: Er der andre ting i ligninger, der bliver lavet om? Andre ting der får den modsatte betydning?

Elev A: ja gange kan blive til division.


Side 58 af 126

I løbet af interviewet viser eleven ligeledes tegn på svag begrebsforståelse i forhold til den ubekendte som

pladsholder for et tal. Hun er ikke i stand til at tjekke om en givet tal kan være løsning ved inspektion.

Desuden er der svar, der peger på en misopfattelse omkring, at antallet af x’er er ensbetydende med

værdien af pladsholderen. Da vi taler om ligningen 14 = 5x - 6, siger eleven: (Bilag E, linje 248-256):

Lars: Så hvis din lillebror kom og sagde, at han har løst ligningen. Den giver 1, kan du så undersøge om han

har ret, eller om han har taget fejl?

Elev A: Jeg tror, han vil sige, at svaret er 1, fordi der kun er et x.

Lars: Du har ikke en metode til at tjekke efter for at se om ligningen …….om løsningen på ligningen passer?

Elev A: nej.

Elevens manglende forståelse for pladsholderens funktion i en ligning, kommer også til udtryk, da jeg

fortæller en ligningshistorie om en pige, der spiser 10 stykker slik, hvoraf de 7 er vingummier og resten

lakridser. Eleven bliver bedt om at opstille en ligning, der rummer ovenstående historie, hvorefter hun

skriver 10-7x (Bilag E, linje 267-284).

Samlet diagnose for ”Elev A” i forhold til vanskeligheder med ligninger:

- Grundlæggende svag begrebsforståelse for ækvivalens, ubekendt som pladsholder og løsningsmængde.

Eleven er i den spæde internaliseringsfase, og har brug for papir og konkrete hjælpemidler for at tilgå

ligninger operationelt.

- Elevens talforståelse er udfordret, når der er tale om brug af ikke hele tal. (Se bilag E, linje 306)

- Elevens opfattelse af lighedstegnet som ”regn mig ud”, begrænser hendes forståelse af ligninger til

konkret-aritmetiske standardligninger.

- Eleven gør brug af en instrumentel forståelse til løsning af ovenstående ligningstyper.

9.2. Interview af ”Elev B” (Varighed: 19 min 45 sek.)

Eleven giver inden interviewet udtryk for, at han synes, at ligninger er svære, men at han arbejder for at

blive dygtigere. Ligesom hos ”Elev A” tager interviewet udgangspunkt i de spørgsmål fra spørgeguiden

(Bilag D), som beskæftiger sig med den begrebsmæssige forståelse af ligninger.

Eleven er meget fokuseret på, at der skal være tale om ubekendte (x eller andre bogstaver), de fire

regnearter og eventuelt parenteser, før man kan tale om en ligning. Adspurgt til det manglende lighedstegn

i opgave 1d, svarer han(Bilag F, linje 32-40):

Lars: prøv at se godt på den. Kan du se, at der ikke er et lighedstegn? Det er der i alle de andre. Skal der

være et lighedstegn, for at det er en ligning?

Elev B: nej, det vil jeg ikke sige. Er det ikke ligegyldigt? En ligning er det ikke bare at finde x? Altså man skal

lægge det sammen.

Lars: vil det sige, at hvis der står 2x plus 2x, er det så en ligning for dig?

Elev B: ja, det vil jeg sige er en ligning. Fordi der er nogle x’er man skal lægge sammen.


Side 59 af 126

Dialogen herover vidner om en elev, der har opbygget et begrebsbillede af en ligning, der fint rummer

matematiske udtryk, der evt. skal reduceres, uden at dette giver anledning til en kognitiv konflikt.

Lighedstegnet er ikke en nødvendig del af begrebsbilledet (Tall & Vinner, 1981). På trods af, at eleven er

bevidst om, at der indgår en ubekendt i en ligning, så er denne ubekendte som pladsholder for et tal ikke

funderet begrebsmæssigt. Eleven mener ikke, at x = 1x og uddyber (Bilag F, linje 64-71):

Elev B: ja, det er ikke det samme. Det ene sted er der jo et x - det andet sted er der ligesom mere. Der er

både et ettal og et x. Hvis man fx skriver 4 + x, så skriver man jo heller ikke 5x. For x er jo det samme som et

tal. Hvis man fx har 1x og 1x, så er det 2x. Så jeg vil mene, at den er falsk.

Lars: hvad er så mest? Er det mest at have x, eller at have 1x?

Elev B: der vil jeg sige 1x, fordi der også er et ettal.

Der er selvfølgelig en mulighed for, at det blot drejer sig om svag symbolbehandlingskompetence netop,

når der er tale om x og 1x, og at eleven ellers har en korrekt forståelse af koefficienternes betydning. At

misopfattelsen er mere generel, vidner elevens svar om i forhold til opgave 9, hvor følgende ligning skal

udregnes 2x + 3 = 1 (Bilag F, linje 165-167):

Elev B: her tænker jeg, at det skal give 1. Og hvis jeg plusser dem på venstre side, så giver det 5 og det er jo

for meget. Derfor tænker jeg, at man skal have et minus tal foran. Hvis 2x er -2 så passer det.

og fejlen tydeliggøres af elevens svar til opgave 12 (3x + 14 = x - 6), hvor jeg beder eleven tjekke om

løsningen kan være x= 10 (Bilag F, linje 198-199):

Elev B: ja så vil jeg sætte ti ind der. På højre side vil det give 10 - 6 altså fire, og på den anden side 310 + 14.

Det passer altså ikke med 10.

Eleven viser her fin forståelse af ligevægt, løsningstjek ved inspektion og samme værdi af samme

ubekendte, men eleven har en markant misopfattelse i forhold til at tro, at den ubekendte blot er et

manglende ciffer i et tal, der er påbegyndt ved koefficienten. Hvis x = 10, så er 3x hverken 3 x eller 3 + x,

men simpelthen tallet 310. I det hele taget kommer det frem i interviewet, at eleven ikke er konsekvent i

sin forståelse af x’ets rolle. Det ene øjeblik løser han 14 = 5x - 6 uden problemer for få minutter senere at

have problemer med 7 + x =11 (Bilag F, linje 87-102):

Elev B: Er det ikke sådan, at man skal reducere det. Først er der 7X, og det er så lige med 11.

Lars: har du syv X’er? Eller har du syv og så skal du lægge noget ukendt til?

Elev B: ja, så skal jeg plusse med X.

Lars: så vi kan se X som et hemmeligt tal, vi skal finde? Hvad skal X så være, så du kan lægge syv til og få 11?

Elev B: nå ja ja ja, nu forstår jeg. Så skal X selvfølgelig være fire. Det er indlysende.

Lars: Kan du fortælle, hvordan du tænkte i hovedet, før da det drillede?

Elev B: jeg tænkte at X hang sammen med syvtallet. Jeg havde helt glemt, at X var det tal, man skulle finde.


Side 60 af 126

I øvrigt giver eleven udtryk for en subjektiv oplevelse af, hvad der forstås ved en ligning og en løsning til en

ligning. Hvis man er dygtig nok, så har alle ligninger en løsning (Bilag F, linje 239). Det er også iøjnefaldende,

at der for eleven først er tale om en løsning, når x’et eller den ubekendte er helt væk. Dermed bliver x = 2

ikke en løsning, da x stadig er synligt (Bilag F, linje 127):

Elev B: (skriver 5 + X = 7 og skriver derefter 2 på en linje nedenunder). Nu er jeg færdig, når jeg har skrevet

2, for så er der jo ikke noget X.

Eleven viser i interviewet samme operationelle og resultatorienterede forståelse af lighedstegnets

betydning som ”Elev A”. Han regner videre på opgave 7, og skriver 7 + 23 = 30 +2 = 32 uden at bemærke

den manglende ækvivalens (Bilag F, linje 148). Til gengæld er han ikke i tvivl om symmetrien omkring

lighedstegnet i forbindelse med:

3 + 1 = 4 4 = 3 + 1 (Bilag F, linje 53-60)

Dette betyder, at eleven ikke (som ”Elev A”) er begrænset til at løse standardligninger kun med operationer

på venstre side af lighedstegnet. Han løser fx opgave 10 uden problemer. Til gengæld volder det problemer,

når der skal opereres på flere ubekendte på samme eller begge sider af lighedstegnet, hvilket vidner om, at

eleven samtidig befinder sig på et niveau, hvor han kun kan løse konkret-aritmetiske ligninger.

Samlet diagnose for ”Elev B” i forhold til vanskeligheder med ligninger:

- Grundlæggende begrebsmæssige misopfattelser i forhold til den ubekendtes rolle som pladsholder for et

tal.

- Subjektiv forståelse for, hvad der skal til for, at en ligning har en løsning. Er dog klar over, at en løsning kan

tjekkes ved inspektion.

- Momentvis operationel tilgang til lighedstegnets rolle som resultatformidler og andre gange forståelse for

ækvivalens og symmetri omkring lighedstegn.

- Svagt begrebsbillede af, hvad der kendetegner en ligning. Mener ikke lighedstegnet er nødvendigt.

9.3. Interview af ”Elev C” (Varighed: 34 min 48 sek.)

Denne elev hviler meget i sig selv og har inden interviewet overskud til at udtrykke, at hun er glad for at

kunne hjælpe mig med min undersøgelse. Hun gør dog også opmærksom på, at hun er bevidst om, at hun

bytter rundt på algebra og ligninger. Interviewet kredser om samme spørgsmål fra spørgeguiden (Bilag D),

som jeg stiller til de to øvrige elever, men derudover dykker vi yderligere ned i spørgsmål om

repræsentationer og ligningshistorier.

Eleven har som forventet ud fra detektionstesten et velfungerende begrebsbillede af en ligning, som

inkluderer både ubekendte og lighedstegn. Hun er tydeligvis klar over, at opgaven er at finde frem til det

tal, der ”gemmer” sig bag den ubekendte. I nedenstående dialoguddrag giver eleven i samme sætning

udtryk for, at hun kan tale om ligninger løsrevet fra konkrete eksempler samtidig med, at hun får fortalt, at

hun er meget afhængig af tillærte metoder (Bilag G, linje 138-149).


Side 61 af 126

Lars: Hvad skal en ligning indeholde for, at vi kan tillade os at kalde det for ligning?

Elev C: Der skal være et uvist tal. Når jeg tænker ligning, så tænker jeg det som en gåde, du skal løse. Du

skal finde det tal, som du ikke kender. Du skal også kende nogle metoder, når du løser ligninger. Hvis du for

eksempel fik en ligning og aldrig havde haft om ligninger før, så vil du ikke kunne løse den uden metoder.

De skal sidde i skabet. Ellers kan du ikke regne dem ud.

Lars: og hvor har du så de metoder fra?

Elev C: ja, dem har jeg så lært undervejs. Men det, der så også er svært er, at vi har haft algebra undervejs,

og det blander jeg så sammen med ligninger. Derfor får jeg rod i mine metoder.

Eleven ser algebra og ligninger som to uafhængige størrelser, der griber forstyrrende ind i hinanden. I løbet

af interviewet viser det sig, at elevens opfattelse af den ubekendtes rolle i ligninger ikke er så fasttømret

som først antaget. Min formodning om, at eleven har reificeret sin begrebsmæssige opfattelse af den

ubekendte holder ikke stik. Hun viser bl.a. usikkerhed i forhold til, om x’et betyder gange eller om det er

regnetegnet mellem koefficient og x’et, der betyder gange. Her følger et eksempel, der understreger dette

(Bilag G, linje 51-55)

Lars: Må jeg prøve at skrive en ligning til dig, som du skal løse? (Skriver 8X + 8X = 32)

Elev C: her vil jeg så sige, at det betyder gange. Altså hvad skal jeg gange 8 med plus, hvad skal jeg gange 8

med, så det giver 32. Så vil jeg jo sige 8 × 2 + 8 × 2. Nej, jeg mener 8X*2+ 8X*2 = 32. Det giver 16 X +16 X

……...NEJ…...Det første jeg sagde er rigtigt. Vi skal ikke have X’erne på.

Hun får dog selv rettet sin fejlantagelse, og desuden viser hun i sin forklaring forståelse for, at de to x’er i

den abstrakt-aritmetiske ligning dækker over samme værdi (Vlassis, 2002). Denne forståelse bliver bragt i

tvivl senere i interviewet, da vi diskuterer en ligningshistorie til opgave 14, der kan dække ligningen

200 = x 3 + 20

Eleven har ikke digtet en historie i detektionstesten, men blot skrevet x = 60. I interviewet lykkes det hende

at få sat ord på en historie. Forklaringen rummer flere vigtige informationer om hendes forståelse for

ligninger, hvilket gør, at jeg vælger at bringe et længere uddrag (Bilag G, uddrag fra linje 348-373).

Elev C: Det der er svært her, er at der ikke bare er et svar. Der kan jo være mange rigtige historier. Så det er

nok det, der har tricket min hjerne. Jeg tror, jeg har tænkt, hvad mon det rigtige svar skal være?

Lars: Det lyder spændende. Kan der både være mange rigtige og mange forkerte historier?

Elev C: Ja.

Lars: Hvordan skal det X indgå i historien? Hvad bliver betydningen af det X, som du jo allerede har regnet

ud må være 60?

Elev C: Der skal gemme sig en ukendt enhed under X. Det kan fx være hvor mange cykler Bo har.


Side 62 af 126

Lars: OK. Lad os prøve at holde fast i, at Bo har 60 cykler. Hvordan kan vi så komme videre med historien?

Hvad betyder 3-tallet? Kan vi digte det ind i historien?

Elev C: ja, så vil jeg sige, at der er to andre kammerater, der også har 60 cykler. Man kunne sige, at det var

en klassetur, hvor tre havde 60 cykler, og så kom Lise, der havde 20 cykler. I alt havde de 200 cykler.

Lars. Flot. Ville du så skrive i selve historien til at starte med, at de tre personer har 60 cykler, eller skulle

det være hemmeligt?

Elev C: Ja, vi skulle vide, at Lise har 20, men at vi skal finde ud af, hvor mange de tre andre har. Så kunne

man jo regne videre, at de måtte have 180 tilsammen. Men de behøver jo ikke have 60 hver. Den ene

kunne have 58, og den anden kunne have 62 og den sidste 60

Godt nok åbner eleven op for, at de tre x’er ikke behøver at dække over samme værdi, men det lykkes

hende eksplicit at forklare, at der kan være uendelig mange rigtige og forkerte historier til ligningen. Derved

argumenterer hun på elevsprog for, at ikke-kongruente conversions er vanskelige pga. de mange

repræsentationsmuligheder (Duval, 2006). Overordnet vidner det om et vist matematisk overskud med

relationel forståelse (Skemp 1976), at hun selvstændigt får løst denne opgave, der tilmed er en ikke-

standard ligning, hvor koefficienten ovenikøbet er placeret bag den ubekendte.

Eleven viser i interviewet forståelse for, hvorfor en balancevægt kan bruges som metafor for en ligning

(Bilag G, linje 273). Hun har generelt en opfattelse af lighedstegnets betydning for ækvivalens, og hun er i

stand til at tjekke en potentiel løsning til en ligning ved inspektion. Flere ganger viser eleven dog en tydelig

operationel tilgang med instrumentel forståelse, når hun skal løse ligninger. I nedenstående eksempel er

det ikke balance-opfattelsen, der dominerer, men derimod en metode med udenadlærte regler. Samtalen

handler om, hvorvidt 7 + x = 11 er der samme som 11 = 7 + x (Bilag G, linje 99-112)

Lars: er det så den samme løsning som før, eller er det en anden løsning?

Elev C: x = 4. Så er det den samme løsning. Der er ikke forskel.

Lars: vil det sige, at jeg altid kunne bytte rundt på højre og venstre side og så vil jeg få samme løsning?

Elev C: ja det tror jeg. For i en ligning skal vi altid gør det modsatte.

Lars: det lyder for mig, som om du har lært nogle helt faste regler for, hvad man må i en ligning. Er det

rigtigt?

Elev C: ja, jeg tænker primært på det med lighedstegnet. At man gør det omvendte på lighedstegnet.

Eleven opdager ved udregning på papir, at løsningen til begge ligninger er den samme og konkluderer, at

man kan bytte om på de to sider af lighedstegnet. Dette sker dog ikke ud fra en overvejelse om ligevægt,

men ud fra en tillært regel om at ”gøre det modsatte på lighedstegnet”. Hun benytter dermed en ”Viete-

tilgang” (Filloy & Rojano, 1989), men mener kun den gælder ved addition og subtraktion - ikke ved

multiplikation (Bilag G, linje 117-121)


Side 63 af 126

Samlet diagnose for ”Elev C” i forhold til vanskeligheder med ligninger:

- Eleven viser grundlæggende forståelse for begrebet ligning. Hun kan forholde sig til ækvivalens og løse

abstrakt-aritmetiske ligninger.

- Hendes forståelse for den ubekendte er ikke reificeret. Hun ved, at den ubekendte dækker over et

”hemmeligt tal”, der skal findes, men bliver alligevel i tvivl om, hvorvidt x’et kan betyde gange.

- Eleven er meget afhængig af specifikke metoder til løsning af ligninger. Hun benytter ikke sin relationelle

forståelse, som hun viser, når hun udfører ligningshistorier, men slår over i en instrumentel forståelse, der

bygger på at ”gøre det modsatte på lighedstegnet”.

- Der er tegn på svag talforståelse i forhold til negative tal (Bilag G, linje 301) og rationale tal (Bilag G, linje

410).


Side 64 af 126

10. Analyse - del 3 (Intervention)

Jeg har tidligere i afsnit 7.4 redegjort for mine metodiske overvejelser i forhold til specifikt at inddrage

Herscovics og Kierans (1980) og Duval (2006) i interventionsfasen med fokus på introduktion til aritmetiske

ligninger og bevidste skift mellem ligningsrepræsentationer. Jeg vil nu opstille mål for, hvordan de tre

elever med baggrund i teorierne kan hjælpes videre i forhold til deres respektive diagnoser. Da ”Elev A” og

”Elev B” begge kæmper med at få en grundlæggende begrebsdannelse på plads i forhold til ligninger, vil jeg

betragte dem som en samlet gruppe.

Det er et læringsmål, at Elev A + Elev B efter interventionen kan:

- forklare lighedstegnets betydning for balancen mellem højre og venstre side i en ligning (reifikation).

- opstille og manipulere identiteter med fokus på ækvivalens.

- forstå den ubekendtes betydning som pladsholder for et tal i en aritmetisk ligning (kondensering).

- løse både konkret- og abstrakt aritmetiske ligninger.

- udføre conversions mellem de diskursive registre, når de løser lettere aritmetiske ligninger.

- benytte app’en ”Dragon Box” til at italesætte både treatments i det ikke-diskursive multifunktionelle

register og conversions til det diskursive område.

Det er et læringsmål, at Elev C efter interventionen kan:

- tale om den ubekendte i en ligning løsrevet fra processen (reifikation)

- benytte begyndende angrebsteknikker til algebraiske ligninger (internalisering).

- redegøre for et begrebsbillede af en mulig løsning til en ligning, der indeholder rationale tal.

- udføre conversions mellem de diskursive registre, når der løses aritmetiske ligninger (begge veje).

- benytte hjemmesiden ”Algebra negative scales” til at udføre treatments i det ikke-diskursive

multifunktionelle register og i det diskursive monofunktionelle register samt conversions mellem disse.

- benytte egne udledte ligningsregler, der bygger på en ”Euler-” og ikke en ”Viete-tilgang”.

I ”Bilag H” er det muligt på overskriftsniveau at følge indholdet i de fem sessioner, som interventionen

strækker sig over, og via ”Bilag J” er der adgang til videooptagelser af udvalgte sekvenser. I det følgende

analyseres de tre elevers faglige progression i løbet af interventionen i forhold til de opstillede mål.

10.1. Faglig progression for ”Elev A” og ”Elev B”

Det er kendetegnende for begge elever, at de i løbet af de fem sessioner bliver opmærksomme på, at

lighedstegnet kan have en anden betydning end den operationelle ”regn-mig-ud-forståelse”, hvor

resultatet er på højre side. De viser tydelig relationel forståelse for ækvivalens, når de som på

nedenstående billede (Se næste side) opbygger og manipulerer identiteter ved hjælp af spillekort og

regnetegn.


Side 65 af 126

De er i stand til at skifte fra en konkret udgave af en aritmetisk ligning repræsenteret via spillekort til en

symbolsk repræsentation i det monofunktionelle register. Som oftest kan de også finde en løsning til de

enkleste ligninger med en forståelse af den ukendte (kort med bagsiden opad) som pladsholder for et tal.

De bruger hver gang en ligevægtstilgang, hvor de regner på værdien på begge sider af lighedstegnet,

hvorefter de overvejer, hvad det ukendte kort eller tal skal være for at skabe lighed. Jeg lader dem bevidst

blive i denne forståelse for ikke at presse instrumentelle regler ned over deres løsningsmetoder.

”Elev A”, der i både detektionstest og interview har problemer med at løse ikke-standardligninger med den

ubekendte på højre side, flytter sin forståelse til at kunne håndtere disse ligninger ved hjælp af spillekort

repræsentationen, når der er tale om konkret-aritmetiske ligninger. Men hun sætter selv ord på i session 4,

at begrebsdannelsen af ikke-standard ligninger endnu ikke er kondenseret, når ligningerne skal løses

symbolsk i det monofunktionelle register.

(Nedenstående dialog er taget frit fra mine observationsnoter under session 3)

Elev A: (skal løse 9 - 5 = x - 2). Jeg forstår det simpelthen ikke, når det kommer over på den anden side.

Lars: Hvad tænker du på?

Elev A: Nu kan jeg jo ikke finde resultatet, når x er på den side.

Lars: Så nu har jeg bygget ligningen med kort? Måske hjælper det? Kan du gætte, hvilket tal der gemmer sig

under kortet med bagsiden opad?

Elev A: (Tænker sig lidt om). Det må være en 6’er, hvis det skal være ens.

Hun er ikke i stand til at overføre sin ækvivalensforståelse fra spillekortsrepræsentationen til den mere

abstrakte symbolske repræsentation. Her tager hendes begrebsbillede af lighedstegnet som

resultatformidler igen over.

Det lykkes begge elever og primært ”Elev B” i løbet af de enkelte sessioner at løse både abstrakt-

aritmetiske ligninger og præ-algebraiske ligninger knyttet til spillekortene. Det er dog kendetegnende, at

det kun lykkes, når koefficienten er ”1” foran x’et, hvilket vil sige, at der kun ligger et kort i hver bunke med

bagsiden opad. Selv om vi i interventionsfasen taler meget om betydningen af, at der kan være flere

ukendte kort i samme bunke med samme værdi, så kræver det hver gang hjælp fra min side. Jeg tolker

På billedet ses identiteten:

4 1 + 4 = 6 - 3 + 5


Side 66 af 126

elevernes vanskeligheder i den retning, at de har yderligere behov for at arbejde med deres relationelle

forståelse af pladsholderen, når der er en koefficient forskellig fra ”1” foran den ubekendte. For mig at se er

problematikken ikke, om der er tale om aritmetiske eller algebraiske ligninger, men derimod om der skal

opereres direkte på den ubekendte. Både Filloy og Rojano (1989) og Vlassis (2002) omtaler det ”didaktiske

cut” ved overgang mellem de to ligningsformer, og medregner fx 6x + 8 = 20 til de aritmetiske ligninger. Jeg

har gennem interventionen oplevet, at ”Elev A” og ”Elev B” netop har svært ved en sådan aritmetisk ligning,

da de bliver tvunget til algebraiske betragtninger i forhold til x’et. Så måske ligger det didaktiske cut et helt

andet sted?

Ved at knytte ligningshistorier til både spillekortsrepræsentationen og den symbolske repræsentation

forsøger vi i løbet af sessionerne at skabe en relationel forståelse for, hvad der er på færde i forhold til en

virkelighedskontekst. Ikke mindst ”Elev A” har meget vanskeligt ved at skifte til det multifunktionelle

diskursive register. (Dialog fra videosekvens IMG 0452 ved 1:07 min.)

Lars: Kan en af jer finde på en historie til ligningen 1 + x = 2 + 3? (bygget med spillekort)

Elev A: Ja, jeg tror, jeg har en historie. 3 drenge købte 2 ure, og så mødte de nogle piger, der købte 1 ur.

(Senere efter lidt hjælp)

Elev B: En dreng købte først 3 ure og så 2 mere, og en kammerat ville gerne have lige så mange ure, og han

havde et i forvejen.

Lars: Ja det er godt, hvad skal han så gøre for, at det hele passer? Hvor mange ure mangler han?

Elev C: (hjælper de andre) Så skulle han købe 4 ure.

Både ”Elev A” og ”Elev B” har betydeligt lettere ved at foretage den modsatte conversion fra det

multifunktionelle diskursive til det monofunktionelle diskursive register, hvilket er i overensstemmelse med

Duvals (2006) konklusion om, at non-kongruente conversions er de vanskeligste. Når jeg fortæller en

ligningshistorie kan begge elever oftest opstille den tilhørende ligning.

De to elever arbejder i de sidste to sessioner med app’en, ”Dragon Box”. Først arbejder de frit uden

indblanding fra min side og udfører diverse treatments i det ikke-diskursive multifunktionelle register.

Senere bliver de bedt om at relatere det, de ser på skærmen, til deres viden om ligninger. Her arbejder de

primært epistemisk med det digitale program som ”diskussionsredskab”, ”forstærker” og ”white box”

(Nabb, 2010). Jeg gør her brug af tre begreber hentet fra didaktikken til beskrivelse af læring ved brug af

CAS-værktøjer. Eleverne har glæde af hinanden i processen med som ”diskussionsredskab” at italesætte,

hvad de enkelte tegn i app’en kan symbolisere i forhold til ligninger. Sammen når de frem til korrekte

beskrivelser af repræsentationerne for den ubekendte, for ”0”, for lighedstegnet, for positive og negative

værdier og for brøker. Ligeledes udfører de med succes conversions til det monofunktionelle, diskursive

register ved at omdanne billederne på skærmen til symbolske ligninger.

De bruger programmet som ”white box”, når de efter utallige fejlforsøg til sidst konkluderer, at de bliver

nødt til at tilføje et ”natdyr” (negativt tal) på begge sider, før de kan få ”dagdyret” (positivt tal af numerisk

samme værdi) væk fra banehalvdelen med boksen (repræsentation for x), så boksen står alene tilbage. Jeg

bad eleverne notere reglen med deres egne ord:


Side 67 af 126

Programmet kan kun udføre korrekte kommandoer, der bibeholder ækvivalensen i ligningen, men der er

ikke nødvendigvis tale om, at eleverne benytter de mest hensigtsmæssige træk. Heri ligger ”white box”

effekten. De tvinges til at beholde ækvivalensen, men de skal selv drage de korrekte matematiske

konklusioner og finde de rigtige strategier.

App’en bruges som ”forstærker”, når eleverne ved gentagne forsøg får en god fornemmelse for, hvad det

betyder at dividere med samme tal på begge sider. På billedet herunder ses netop en situation, hvor

eleverne har divideret alle led med ”-b”, for siden at kunne forkorte, så x bliver alene på venstre side.

Programmet hjælper herved eleverne til at opbygge regler, der bygger på en ”Euler-tilgang”, hvor alle

operationer udføres samtidig på begge sider af lighedstegnet. (Billedet er hentet fra video IMG0675 1:07)

Samtale knyttet til særlige momenter af ”Dragon Box” kan være medvirkende til at afsløre potentielle

misopfattelser. I videosekvens IMG0671 (efter ca. 2:30 min), hvor nedenstående billede er hentet fra

foregår følgende dialog:


Side 68 af 126

Elev B: Her er nogle uligheder.

Lars: Du kalder det ulighed?

Elev B: Der er nogle uligheder, for det går ikke op det her (peger på venstre side).

Lars: Nej, der er hele tiden tale om en lighed. Der er lige meget på de to sider.

(lidt senere)

Elev B: Men der er jo langt mere her på venstre side.

Eleven forbinder tydeligvis antallet af symboler med deres værdi. Dette er et af de store problemer med

programmet, der hurtigt bliver alt for avanceret i brugen af symboler. Brugerne af programmet risikerer

kun at kunne beherske regler med instrumentel forståelse uden transferværdi til sammenhængen med

ligninger.

10.2. Konklusion på intervention med ”Elev A” og ”Elev B”

Det er lykkedes at ændre elevernes begrebsbillede, så de begge er ved at opbygge en personlig

begrebsdefinition af en ligning, der både indeholder krav til lighedstegn, løsning og ubekendt. I posttesten

(se Bilag K), der består af udvalgte spørgsmål fra detektionstesten, svarer de begge nu rigtigt på opgave 1, 4

og 5, hvilket netop indikerer en begyndende internalisering af ligningsbegrebet. Deres tilgang er tydeligvis

stadig knyttet til konkrete eksempler og operationer. Elevernes korrekte opfattelse af lighedstegnets

betydning for ækvivalens knytter sig til identiteter og konkret aritmetiske ligninger. Lige så snart

abstraktionsniveauet stiger, falder eleverne tilbage i en resultatorienteret opfattelse af lighedstegnet -

særligt ”Elev A”. Min opfattelse af, at begge elever er blevet bedre til at udføre kongruente conversions

mellem de diskursive registre, bekræftes af posttesten, hvor eleverne nu opstiller en korrekt ligning til

historien i opgave 13. Den omvendte conversion volder stadig problemer. ”Elev B” overrasker og løser i

posttesten - med næsten korrekt notation - både ligning 9 og 12 med fin forståelse for negative tal, hvor

han tilmed udfører inspektion.

Det er min opfattelse, at eleverne skal arbejde meget mere med simple aritmetiske ligninger særligt med

fokus på betydningen af den ubekendte som pladsholder - ikke mindst når der kræves operationer direkte


Side 69 af 126

på den ubekendte. Eleverne vil have gavn af fortsat at støtte sig til fx den konkrete

spillekortrepræsentation. Desuden vil jeg anbefale, at arbejdet med bevidste kongruente og ikke-

kongruente conversions i det diskursive område prioriteres højt, så ligningerne så ofte som muligt placeres i

en virkelighedskontekst.

10.3. Faglig progression for ”Elev C”

Eleven er gennem alle fem sessioner meget præcis i sin sproglige beskrivelse af de anvendte tanker og

metoder. Hun bliver hurtigt fortrolig med balancevægt-metaforen og hjælper ofte de to øvrige elever med

at huske dette mentale billede af en ligning. Flere gange giver hun overordnede ideer videre til ”Elev A + B”

uden at være inde i deres konkrete arbejde. Hun er i stand til at hjælpe de andre på et abstrakt niveau, der

viser, at hun kan tale om ligninger, løsninger og ubekendte som objekter løsrevet fra processen. Der har

fundet en reifikation sted af de grundlæggende dele af ligningsbegrebet i forhold til aritmetiske ligninger. I

interviewet gjorde hun brug af en tydelig ”Viete-tilgang”, når hun løste ligninger og udtalte: ”Man skal gøre

det modsatte på lighedstegnet”. I interventionsfasen bliver hun via manipulation med identiteter og

aritmetiske ligninger flyttet i sin forståelse. Hun benytter ikke længere regler om at gøre det modsatte på

den anden side af lighedstegnet. Jeg fornemmer hendes frustration over at have gjort brug af regler, som

hun ikke havde relationel forståelse af. Eleven er bevidst om, at hun ønsker at ændre sin matematiske

adfærd, så det bliver mere meningsgivende. Undervejs tager hun initiativ til selv at formulere regler, som

støtter hende i processen:

Eleven sætter yderligere ord på ovenstående formulering og forklarer fint, at når hun tidligere kunne lave

minus om til plus på den anden side af lighedstegnet, så er det fordi, man giver den tilsvarende positive

værdi på begge sider for at udligne den negative værdi, man ønsker at fjerne. Hun er hermed som ønsket

begyndt at anvende en ”Euler-tilgang” med fokus på symmetriske operationer på begge sider af

lighedstegnet, når hun løser ligninger.

I session nr. 3 skal eleven forsøge at fortælle en ligningshistorie til ligningen (100 = 4x + 20). Følgende dialog

udspiller sig: (Kan ses i videosekvens IMG0459 i Bilag J).

Elev C: Fem børn har tilsammen 100 kr. Vi ved kun, at Bo, som er et af de fem børn, har 20 kr.

Lars: Ja, og hvad skal vi finde ud af?

Elev C: Så skal vi finde ud af, hvor mange penge de resterende fire børn har.

Lars: Skal vi stille nogle krav til, hvor mange penge de har?

Elev C: Ja, de har alle sammen det samme antal penge.


Side 70 af 126

Eleven viser her et stort overblik. For det første får hun selv rettet sin misopfattelse fra interviewet, hvor

hun i en lignende situation antydede, at det ikke var nødvendigt, at de fire børn havde samme beløb. Hun

viser dermed forståelse for koefficientens rolle i forbindelse med en ubekendt. Ligeledes er hun i stand til

sikkert at udføre en ikke-kongruent conversion mellem de diskursive registre. Jeg fornemmer, at hun både

ønsker og formår at søge mening med den symbolske matematik i forhold til en virkelighedskontekst.

I de sidste to sessioner arbejder eleven med hjemmesiden ”Algebra balance scales”. I den forbindelse

støder hun på et tidspunkt på ligningen 3x + 1 = 10, som hun skal forsøge at repræsentere ved hjælp af den

digitale balancemodel. Hun gennemskuer inden, hun har anvendt hjemmesiden, at løsningen er x=3, og

forsøger herefter at nå frem til samme løsning ved at anvende gyldige ligningsregler, der skridt for skridt

leder frem mod svaret. Igen sidder jeg som observatør med en fornemmelse af, at eleven begrebsmæssigt

har helt styr på, hvad der er på færde, men at hun mangler angrebsteknikker, talforståelse og

symbolbehandlingskompetence, der vil gøre hende i stand til at løse vanskeligere algebraiske ligninger, der

ikke intuitivt kan løses i hovedet. I forhold til den pågældende ligning benytter hun sin før omtalte regel og

trækker ”1” fra på begge sider, og har nu en ligning, der hedder 3x=9. Her går hun i stå. Først forsøger hun

at dividere med 2 på begge sider, hvilket programmet afviser, da det kun kan arbejde med heltal. Vi taler

om, at det er en begrænsning i programmet, og at det faktisk godt kan lade sig gøre at dividere med 2 uden

at det dog er hensigtsmæssigt i dette tilfælde. Her har programmet fungeret som ”white box”, da det ikke

giver eleven mulighed for at arbejde videre med en fejltolkning. På papir havde eleven formentlig fået

resultatet x = 4,5 uden at blive klar over, hvor fejlen lå.

Ved at arbejde med videre med hjemmesiden som ”forstærker” (Nabb, 2010) får eleven generaliseret nogle

regelmæssigheder og får til sidst løst ligningen og formuleret denne generelle regel:

På billedet, der er taget fra

videosekvens IMG0670 efter 00:55 min

ses elevens foreløbige omdannelse af

ligningen 3x + 1 = 10 (Se bilag J)


Side 71 af 126

Vi taler om, at formuleringen ”dividere med det samme antal x” er lidt upræcis, men hendes eksempel

viser, at hun har forstået den overordnede mening. I løbet af en halv time har eleven fået opbygget nogle få

regler, der gør hende i stand til med relationel forståelse at arbejde med algebraiske ligninger via

programmet.

I videosekvens ”IMG0676” (se Bilag J) løser eleven ligningen 2x + 1 = x + 5. Det er interessant at se, at hun

forklarer sin løsningsmetode ved hjælp af treatments i det monofunktionelle, diskursive register og ikke ud

fra balancemodellen. Efter 2:26 min i videoen opstår der en situation, hvor eleven misforstår mit

spørgsmål. Først får vi rettet fejlen, og eleven viser ækvivalensforståelse ved at fastslå, at vi kunne have

byttet om på højre og venstre side af ligningen og alligevel have fået x = 4 eller 4 = x. Efterfølgende får jeg

en ide om en af elevens store udfordringer i forhold til et svagt talbegreb, der påvirker hendes

begrebsbillede af en lignings løsningsmængde. Eleven tror, at jeg har spurgt til, hvad der ville være sket,

hvis x’et på højre side ved en fejl var blevet lagt til på venstre side, så vi havde haft ligningen 3x = 4. Denne

ligning har ifølge eleven ikke nogen løsning. Først efter noget samtale accepterer hun, at brøker også kan

være potentielle løsninger.

Eleven formår at benytte ”Algebra balance scales” til at arbejde med algebraiske ligninger, hvor der skal

opereres på de ubekendte, tilmed når der er tale om negative koefficienter og løsninger. Hun er tydeligvis i

stand til at abstrahere fra det ulogiske i, at negative lodder hiver vægten opad.

10.4. Konklusion på intervention med ”Elev C”

Generelt er eleven kommet langt i forhold til de opstillede mål. Hun har en meget refleksiv tilgang til sin

egen læringsproces og er meget lyttende overfor råd og vejledning. I posttesten løser hun alle de udvalgte

opgaver korrekt. Hendes svar i opgave 14, 17 og 18 fortæller mig, at hun er kommet langt i sin reifikation i

forhold til ligningsbegrebet.


Side 72 af 126

Eleven viser relationel forståelse for, at der kan være andet end blot én løsning til en ligning og kan uden

problemer udføre ikke-kongruente conversions ved opstilling af ligningshistorier.

Ligningerne i opgave 9 og 12, der fordrer en vis talforståelse i forhold til negative tal, løses uden problemer.

Posttesten giver ikke svar på, om disse opgaver som ønsket er løst ved en ”Euler-tilgang” i stedet for en

”Viete-tilgang”, men hendes arbejde i interventionsfasen vidnede om dette skift.

Min anbefaling til ”Elev C’s” videre arbejde med ligninger er yderligere arbejde med algebraiske ligninger,

der både er tilknyttet og løsrevet fra konkrete modeller som fx balancemodellen. Hun skal i gang med at

udbygge sin forståelse for rationale løsninger, hvilket ”Algebra balance scales” ikke kan hjælpe med.

Desuden skal hun blive ved med at arbejde bevidst med ligningshistorier i det diskursive, multifunktionelle

register, der giver hende en vigtig virkelighedstilknytning til den symbolske anvendelse af ligninger.


Side 73 af 126

11. Analyse - del 4 (Lærebogssystemer)

I ”Tabel B” ses en opgørelse af, hvordan alle de ligninger, der benyttes i bogsystemerne KonteXt 4 + 5 + 6

(Andersen et al., 2005, 2008 og 2010) og Faktor 7 + 8 (Holmer & Hessing, 2006), fordeler sig i fire forskellige

kategorier efter inspiration fra henholdsvis:

- Rittle-Johnson et al. (2011). De fire kategorier er uddybet i afsnit 6.9

- Vlassis (2002). De fire kategorier er uddybet i afsnit 6.9

- Duval (2006). De fire kategorier er uddybet i afsnit 6.6

For et overbliks skyld opsummeres hovedtrækkene bag opdelingen af de 3 x 4 anvendte kategorier i ”bilag

L”.

De fem udvalgte bøger er som tidligere nævnt de grundbøger, som de tre 8. klasser på Præstø Skole har

anvendt på mellemtrinnet og i overbygningen. I opgørelsen i ”Tabel B” har jeg medtaget alle de ligninger,

der optræder i selve bøgerne - ikke i supplerende materiale som fx træningshæftet, der findes til KonteXt-

systemet. Hvis en ligning optræder i en ikke symbolsk udgave (fx som en ligningshistorie eller som en

balancevægt), så har jeg oversat den til symbolsk format for at ramme kategoriseringerne inspireret af

Rittle-Johnson et al. (2011) og Vlassis (2002). Dette er naturligvis ikke gjort m.h.t. Duval (2006), da det her

netop er essensen af opdelingen at undersøge de forskellige repræsentationer.

Da rigtig mange problemløsende opgaver vil kunne udtrykkes som en ligning, har jeg kun medregnet

opgaver, hvor hensigten bevidst er at arbejde med ligninger eller formler. Dette betyder, at jeg fx ikke har

medregnet en opgave som ”Arealet på en figur er 12 cm2. Hvordan kan figuren se ud?” (Andersen et al.,

2005, s. 118), da målet her ikke eksplicit er at opstille en ligning. Til gengæld har jeg accepteret alle de

ligninger og formler, hvor den ubekendte er erstattet af en tom boks eller et tomt felt, fx 7 + 13 = __ + 4.

Opgaver med mere end en ubekendt er medtaget, hvis der er fokuseret på en eller få konkrete

virkelighedsnære sammenhænge mellem de variable. Spørgsmål til generelle funktionsforskrifter, der fx

skal tegnes som graf er ikke talt med i statistikken.

Tabel B

Bog Type ligning

Kontext 4 Kontext 5 Kontext 6 Faktor 7 Faktor 8

Niveau 1 Rigid operationel Jf. Rittle-Johnson et al. (2011)

36 29 63 43 57

Niveau 2 Fleksibel operationel Jf. Rittle-Johnson et al. (2011)

3 5 9

Niveau 3 Basis relationel Jf. Rittle-Johnson et al. (2011)

3 7

Niveau 4 Sammenlignelig relationel Jf. Rittle-Johnson et al. (2011)

4 12 6 20


Side 74 af 126


Konkrete aritmetiske Jf. Vlassis (2002)

28 20 39 12 30

Abstrakt aritmetiske Jf. Vlassis (2002)

8 14 36 36 36

Præ-algebraiske (modelbaserede) Jf. Vlassis (2002)

2 3

Algebraiske (løsrevet fra model) Jf. Vlassis (2002)

7 6 20


1) Multifunktionel diskursiv Jf. Duval (2006)

2 (conversion til register 2) 1 (conversion til register 3)

13 (conversion til register 2)

2) Monofunktionel diskursiv Jf. Duval (2006)

36 (treatments)

25 (Treatments) 1 (conversion til register 1)4

56 (treatments) 4 (conversion til register 1) 4 (conversion til register 4)

48 (treatments) 1 (conversion til register 4)

82 (treatments) 4 (conversion til register 1)

3) Multifunktionel ikke-diskursiv Jf. Duval (2006)




4) Monofunktionel ikke-diskursiv Jf. Duval (2006)


I alt møder eleverne 297 opgaver med ligninger i deres grundbøger fra 4.-8. klasse. Under 6 % af disse

ligninger tilhører kategorien ”fleksibel-operationelle”, som Powell (2012) også kalder ikke-standard

ligninger, fordi operationen er på højre side af lighedstegnet. Tilmed er næsten alle forekomster af disse

ligninger placeret i de to bøger fra overbygningen. Lærebogsanalysen tyder på, at der kan være en

sammenhæng mellem den store gruppe af elever, der i detektionstesten viser en operationel ”regn-mig-

ud” forståelse af lighedstegnet, og med vægtningen af ligningstyper i bøgerne. Næsten 80 % af alle

ligningerne er ”rigid-operationelle” standard-ligninger, der lægger op til en simpel operation på den

ubekendte på venstre side af lighedstegnet. Højresiden er i disse ligninger givet på forhånd, og ligningerne

kan derfor opfattes som en proces, der resulterer i et givet facit. Min undersøgelse bekræfter dermed

lignende undersøgelser foretaget af Powell (2012) og Rittle-Johnson et al. (2011), der også finder en andel

på tæt på 80 % standard-ligninger i de undersøgte tekstbøger.

4Læsevejledning til tekst med rødt:

I KonteXt 5 er der i det monofunktionelle diskursive register (register 2) 25 ligninger, der lægger op til treatments, og i samme bog er der én ligning i register 2, der fordrer en conversion til register 1.


Side 75 af 126

Alle fem bøger er skrevet inden de nyeste Forenklede Fælles Mål (UVM, 2014) blev vedtaget. Bøgerne

støtter ikke op om de gældende krav til, at eleverne skal introduceres til ligninger på mellemtrinnet via

konkrete materialer og tegninger, mens eleverne i overbygningen skal anvende varierede

ligningsrepræsentationer - fx konkrete og visuelle. Kun 20 af de knap 300 ligninger i undersøgelsen kan

karakteriseres som ikke-diskursive repræsentationer og af denne del er kun fem ligninger direkte knyttet til

en ligningsmodel (balancemodellen), når der er tale om algebraiske ligninger. I 4., 7. og 8. klasse er disse

varierede repræsentationer nærmest helt fraværende. Elever med en svag symbolbehandlingskompetence

kan derved kun hente lidt hjælp til andre måder at omdanne ligninger på end som treatments i det

monofunktionelle, diskursive register, der i bøgerne er fuldstændig dominerende.

KonteXt for 5. og 6. klassetrin udmærker sig ved at lægge mere vægt på conversions mellem de respektive

registre end de øvrige bøger. Hovedparten af disse er kongruente conversions med målregister i det

monofunktionelle, diskursive register. Igen er den symbolske tilgang prioriteret højt. Ikke-kongruente

conversions til ligningshistorier, der kan give et godt indblik i elevernes begrebsbilleder i forhold til den

ubekendte og lighedstegnet udgør kun 3 % af de samlede ligninger.

Antallet af algebraiske ligninger i bøgerne stiger efterhånden som eleverne bliver ældre. De første år er

denne type ligninger ikke anvendt, mens de udgør knap en fjerdedel af det samlede antal i 8. klasse. På

intet tidspunkt er det i bøgerne eksplicit italesat eller indikeret, at der pludselig skal regnes med flere

forekomster af den samme ubekendte. De algebraiske ligninger dukker blot op blandt de aritmetiske uden

særligt fokus.

Jeg har valgt at kigge lidt nærmere på de 86 ligninger, der optræder i Faktor-bogen fra 8. klasse, da det er

elevernes nuværende bog. Der indgår negative tal, negative koefficienter eller negative løsninger i næsten

halvdelen af ligningerne, men kun to af de 86 ligninger har en løsning, der ikke er et helt tal. Det drejer sig

om 2x = 11 og 2x + 1 = 2 (Holmer & Hessing, 2006, s. 60-61). Der er tale om rigid-operationelle ligninger, der

begge giver en løsning, der inkluderer en halv. Bogen er dermed med til at hjælpe eleverne med at opbygge

et begrebsbillede af en ligning, som noget der højst sandsynligt kun indeholder heltal. Sjældent lægger

bogen op til en mulig kognitiv konflikt, hvor elevernes begrebsbilleder af ligninger bliver udfordret af brøker

eller decimaltal. Denne udlægning bekræftes af detektionstesten, hvor 36 % af eleverne i opgave 1j ikke

mener, at 1,5x + ½ = 13 er en ligning, og yderligere 18 % angiver i opgave 17 en ligning med en rational

løsning, som et eksempel på en ligning uden løsninger.

Det er værd at bemærke, at 8. klassebogens forfattere har valgt at benytte Kapitel 6 udelukkende til

arbejdet med ligninger. Inden da arbejder bogen med algebra og negative tal i henholdsvis kapitel 4 og 5,

som en slags forberedende arbejde med lavereordens begreber i forhold til det kommende kapitel med

ligninger. I kapitlet om negative tal benyttes alle tre betydninger af minustegnet (symmetrisk, binært og

unært), som Vlassis redegør for (2004). Det er kendetegnende for kapitlet om algebra, at der udelukkende

er fokus på regneoperationer med forskellige ubekendte tolket som variable. På intet tidspunkt kommer

der opgaver i spil, hvor eleven får oplyst at a, y, b, z eller x er pladsholder for specifikke tal, hvorefter et

resultat skal udregnes.


Side 76 af 126

12. Samlet diskussion af de 4 analyseomra der

Jeg har i dette speciale haft fokus på to typer af læringsvanskeligheder i forhold til ligninger - nemlig en

operationel kategori og en begrebskategori. Det er centralt at stille sig selv spørgsmålet, om den ene

kategori bør have mere opmærksomhed end den anden, og om der rent undervisningsmæssigt bør være en

tidsmæssig progression i måden at håndtere de to kategorier på. I min intervention udvalgte jeg tre elever,

som bevidst dækkede de to typer af vanskeligheder. ”Elev A” og ”Elev B” kæmpede med fundamentale

begrebsmæssige vanskeligheder i forhold til at forstå, hvad en ligning grundlæggende er (begrebskategori),

mens ”Elev C” som udgangspunkt manglede kompetencer til at problem- og symbolbehandle ligninger

(operationel kategori).

I min optik afhænger svaret på ovenstående spørgsmål af ens syn på matematisk forståelse (Skemp, 1976).

Ønsker man som jeg, at eleverne opnår en relationel forståelse for løsning af ligninger, bliver man nødt til

at bygge denne forståelse på et begrebsmæssigt fundament. Eleverne skal opbygge et solidt begrebsbillede

af lighedstegnet som bærer af ækvivalens, af den ubekendte som pladsholder og af betydningen af

løsningsmængden for at kunne opnå relationel forståelse. Et snævert fokus på en syntaktisk tilgang til at

opbygge et arsenal af regler og strategier til løsning af ligninger, vil skabe instrumentel forståelse uden et

forudgående begrebsligt udgangspunkt.

Ved at benytte en semantisk, forståelsesorienteret tilgang til undervisningen i forhold til ligninger udvider

eleverne løbende deres begrebsbilleder og nærmer sig en personlig begrebsdefinition, der matcher den

formelle. Herefter giver det mening, at den løbende begrebsudvidelse følges op ad en bevidst indsats for,

at eleverne er med til at opbygge egne regler, argumenter og strategier til, hvordan en given ligning bedst

løses. Dette gøres bl.a. ved at udsætte dem for alsidige repræsentationer af ligninger og transformationer

indenfor og mellem disse. Her tænker jeg på bl.a. på ligningshistorier, balancemodellen, geometrisk model,

ligningstegninger og ligninger på symbolsk notation. Det er derfor beskæmmende, at min analyse af de

anvendte bogsystemer på Præstø Skole viser så entydigt et fokus på treatments i det monofunktionelle,

diskursive register. Det kræver derfor en bevidst og kompetent indsats fra lærerens side, når

bogsystemerne skal suppleres med andre repræsentationsformer, som angivet i Forenklede Fælles Mål

(UVM, 2014).

På trods af, at jeg i ovenstående afsnit argumenterer for vigtigheden af at bygge ligningsundervisningen på

en begrebsmæssig indsats, så betyder det ikke, at ligninger som begreb først skal reificeres som helhed, før

der kan igangsættes et arbejde med at opbygge regler og syntaks for, hvad man må gøre, når man løser en

given ligning. Jeg mener, at min analyse af intervention og interview af de tre elever er med til at

dokumentere, at begrebsudviklingen er en løbende proces, der forfines og reificeres i mindre bidder. Jeg er

dermed skeptisk overfor Sfards (1991) brug af termen ”ontologisk spring”, hvor hun beskriver, at

reificeringen sker som en pludselig aha-oplevelse. I interventionsfasen er ”Elev C” fx tidligt i stand til at tale

om sin forståelse for ækvivalens og ubekendte i en ligningssammenhæng, hvilket gør hende i stand til at

anskue særlige aritmetiske ligninger som objekter. Jeg oplever, at ”Elev C” tydeligt har reificeret denne

gruppe af ligninger, mens hun kun er ved at internalisere sin begrebsdannelse i forhold til ligninger med


Side 77 af 126

rationale løsninger. Her giver Tall og Vinners (1981) teori om begrebsdannelse en mere dynamisk

forståelsesramme.

Hvilke tiltag i undervisningen skal der konkret til for at imødegå potentielle vanskeligheder med ligninger?

Jeg mener, at man allerede i indskolingen skal gøre mere ud af arbejdet med manipulering af identiteter for

at sætte fokus på balancen omkring lighedstegnet. En lille ting som konsekvent brug af ordene ”det bliver”

eller ”det er”, når et additionsstykke som 4 +5 skal løses og læses op i klassen kan være med til at stadfæste

en forståelse af lighedstegnet som henholdsvis noget operationelt eller relationelt. Arbejdet med

identiteter udvikles som beskrevet af Herscovics og Kieran (1980) til hurtigt at dreje sig om aritmetiske

ligninger ved at dække et af tallene. Herefter vil det for mig give mening, at arbejde med diverse konkrete

modeller. Selv om der i flere artikler (Filloy & Rojano, 1989) advares mod brug af bl.a. balancemodellen, da

den kun kan håndtere repræsentationer med naturlige tal, så er jeg enig med Vlassis (2002) i, at en korrekt

anvendelse af modellen har store fordele, da den cementerer et vigtigt begrebsbillede af en

ligevægtsopfattelse, hvor udførelsen af samme transformationer på begge sider vedligeholder denne

balance. Jeg oplevede i interventionsfasen, at alle tre elever havde glæde af denne model, og at modellen

kan være med til at grundlægge de dele af ligningsbegrebet, som relaterer til de naturlige tal. Tilmed

formår hjemmesiden ”Algebra balance scales” at indføre en balancerepræsentation for de negative tal, så

det kun er rationale tal og løsninger, der ikke kan rummes af modellen.

Det er centralt for mig, at fordele og ulemper ved brugen af såvel konkrete modeller og de anvendte apps

og hjemmesider fra interventionen italesættes overfor eleverne. Ved at give eleverne et metasprog til at

kommunikere omkring, hvorfor modellen netop er en god beskrivelse af en ligning, eller hvorfor den ikke

kan håndtere en ligning med brøker som løsning, opnår eleven en relationel forståelse for modellens

mulige transferværdi. Uden denne italesættelse vil en app som ”Dragon Box” blot være god underholdning

uden matematisk læring. Af samme årsager mener jeg, at der ligger et stort læringspotentiale i at lade

eleverne eksperimentere sig frem til gyldige syntaktiske regler for ligningsløsning ved fx at benytte CAS-

programmer rent epistemisk som ”white box”, ”diskussionsredskab” eller ”forstærker” (Nabb, 2010). Når

eleverne via konkrete modeller og IT-værktøjer opnår et brugbart sprog til at kommunikere omkring den

mulige overførselsværdi til arbejdet med ligninger i andre situationer, så tvinges eleverne til vigtige

registerskift, der med Duvals ord (2006) er kernen i matematisk virksomhed.

Duval fremhæver i sin artikel (2006) vigtigheden af conversions mellem registre og understreger i den

forbindelse, at eleverne har specielt svært ved ikke-kongruente conversions. Denne påstand er blevet

bekræftet generelt af min detektionstest og specifikt af interventionsfasen, hvor ”Elev A” og ”Elev B” havde

meget svært ved at danne meningsgivende historier til ligninger fra et andet kilderegister. ”Elev C”, der

igennem de fem sessioner tog disse conversions til sig, viste netop gennem sine ligningshistorier, at hun

kunne forbinde den formelle matematik med en tydelig omverdensforståelse. Man kan sige, at hun via et

solidt ligningsbegreb fik adgang til en anvendelsesorienteret brug af ligninger. Det er et kernepunkt for mig,

at matematikundervisningen gennem hele skoleforløbet (og ikke kun i forhold til ligninger) formår at bygge

bro mellem elevernes tilegnelse af matematiske begreber og begrebernes anvendelsesmuligheder i en

virkelighedskontekst. Vi kan ikke nøjes med at lade begreberne leve i matematikkens verden, og vi kan ikke

nøjes med at lade eleverne udføre opgaver fra en pseudo-virkelighed, hvis regler og metoder ikke er

begrebsligt funderet. Derfor bør vekselvirkningen mellem helt simple ligningshistorier og symbolsk


Side 78 af 126

opstillede ligninger gå hånd i hånd, fra eleverne møder ligninger første gang. Det er desværre ikke en

proces, der understøttes, af de bogsystemer jeg har analyseret.

En netop udkommet rapport fra OECD (Schleicher, 2016) tager ved hjælp af data fra PISA-2012 lige præcis

fat i ovenstående problematik angående, om skolematematik skal være let tilgængelig ved kun at være

virkelighedsnær, eller om den skal være formelt og begrebsligt orienteret. Fx har kun 38,8 % af de danske

elever, der er testet i PISA 2012, en solid begrebslig forståelse af en lineær ligning, mens de

toppræsterende lande i Asien ligger på en dobbelt så stor andel af elever med god begrebslig forståelse for

dette område(Ibid, s. 18-19). Generelt konkluderer rapporten:

Greater exposure to pure mathematics tasks and concepts (such as linear and quadratic equations) has a

strong relationship with higher performance in PISA, even after accounting for the fact that better-

performing students may attend schools that offer more mathematics instruction………. This suggests that

simply including some references to the real-world in mathematics instruction does not automatically

transform a routine task into a good problem. Using well-designed, challenging problems in mathematics

classes can have a large impact on students’ performance. (Schleicher, 2016, s. 14).

Måske har vi her forklaringen på, hvorfor danske elever ligger så lavt i udførelsesdelen af problemløsningen

i PISA 2012 i forhold til fx Kina. Muligvis har et anvendelsesaspekt med instrumentel syntaktisk forståelse af

den bagvedliggende matematik taget så meget over i danske bogssystemer i folkeskolen, at matematikken

ikke bliver begrebsligt funderet. Danske elever opnår kompetence i at fortolke problemer i forhold til deres

omverden og formulere nye problemer, men har ikke en begrebslig dybde i deres matematikforståelse, der

sætter dem i stand til at problemløse på linje med elever i lande, der scorer højt i PISA 2012.

Et sted, hvor den didaktiske litteratur (Vlassis, 2002) peger på, at der bør være særlig opmærksomhed i

forhold til arbejdet med ligninger, er ved overgangen mellem de aritmetiske og algebraiske ligninger.

Vlassis kaldet overgangen for det ”didaktiske cut”, og Filloy og Rojano (1989) omtaler en særlig

præalgebraisk forståelse som et udgangspunkt for en sådan overgang. Som beskrevet i analysedelen er der

kun meget få algebraiske ligninger i de fem års bogsystemer, som min empiri bygger på. Ydermere er

overgangen mellem de to typer af ligninger på ingen måde understøttet af bøgerne. Det forekommer mere

eller mindre tilfældigt, når der dukker algebraiske ligninger op ind imellem de aritmetiske. Personligt har jeg

- som tidligere beskrevet - i interventionsfasen oplevet, at det ”didaktiske cut” kan skæres et andet sted,

end når der er ubekendte på begge sider af lighedstegnet. Ud fra mine observationer af ”Elev A”, ”Elev B”

og ”Elev C” har jeg oplevet, at man bør være særlig opmærksom på tre tidspunkter i processen med at

udvikle sværhedsgraden i arbejdet med ligninger:

1) Første gang, når der skal opereres på en ubekendt i en aritmetisk ligning på formen Ax + B = C, hvor

koefficienten, A, er forskellig fra 1. Jeg oplevede flere gange, at ”Elev A” og ”Elev B” ikke skelnede

mellem Ax og x. De havde på trods af støtte i konkrete modeller ikke en tydelig opfattelse af, at de

skulle finde værdien på den pladsholder, som A gange indgik i ligningen. Dette indikerer for mig, at

der ved overgangen til ligninger, hvor A 1, skal arbejdes bevidst med betydningen af at gå fra

additive til multiplikative operationer.

2) Anden gang, når der skal opereres på ubekendte på begge sider af lighedstegnet. Her kommer de

elever til kort, som indtil videre kun har brugt en intuitiv løsningstilgang ved at afprøve nye værdier

af den ubekendte indtil der er ligevægt. Abstraktionsniveauet er steget og mere formelle regler må


Side 79 af 126

opbygges med relationel forståelse. Det må også tages med i betragtning, at enkelte elever har

vanskeligt ved at forstå, at de ubekendte på begge sider af lighedstegnet er pladsholder for en og

samme værdi

3) Tredje gang, når der indføres løsninger med rationale tal. Her skal elevernes begrebsbilleder af

heltallige løsninger udfordres. Både detektionstest og intervention afslørede, at selv de

højstpræsterende elever i testen havde vanskeligheder ved at udvide deres mentale forståelse for,

at ligninger fx kan have brøker som løsning. En overdreven brug af konkrete modeller, hvor

modellens begrænsninger ikke er italesat, kan være årsag til elevernes svage begrebsbillede. Jeg vil

anbefale, at man påbegynder arbejdet med at indføre rationale løsninger allerede i forbindelse

med de aritmetiske ligninger.

Analysen af min empiri afslører, at eleverne i 8. klasse øger fejlprocenten, når de løser ligninger med

negative tal eller løsninger. En bevidst brug af minustegnet via en binær, unær og symmetrisk tilgang, vil

hjælpe eleverne til at begrebsfundere negativitet som et lavereordens begreb, inden det skal sættes i brug i

forbindelse med ligninger. På samme måde vil det give mening, at eleverne møder reduktionsopgaver

indenfor algebra, hvor der skelnes mellem om de ubekendte optræder som pladsholdere for et enkelt eller

få udvalgte tal, eller om de ubekendte er variable og dermed repræsenterer uendelig mange tal. En tidlig

begrebslig forståelse for den ubekendtes forskellige roller er et vigtigt udgangspunkt for det videre arbejde

med ligninger. Hvis man betragter rækkefølgen som en slags begrebshierarki, vil ligninger senere kunne

fungere som lavereordens begreb i forhold til funktioner. Igen er det dog vigtigt at understrege, at

forskellene må italesættes, så eleverne tydeligt kan skelne mellem ligheder og forskelle. Der ligger en

spændende diskussion i at tale med eleverne om, hvorfor vi ikke bare kalder alle funktioner for ligninger,

når funktioner jo også har både lighedstegn og ubekendte.


Side 80 af 126

13. Konklusion

Metoden med at benytte en tretrinsraket med detektionstest, interview og intervention er effektiv i

forhold til at tegne en overordnet profil af tre 8. klassers udfordringer ved ligningsløsning for efterfølgende

at give mulighed for at udvælge specifikke elever, der påkalder sig særlig didaktisk interesse. Analysen af

mit arbejde med de tre udvalgte elever viser, at det er muligt at diagnosticere elever i 8. klasse indenfor to

adskilte kategorier af ligningsvanskeligheder - en såkaldt operationel kategori og en begrebskategori. I

diskussionsafsnittet argumenterer jeg for, at hvis målet er, at eleverne opnår en relationel forståelse for

arbejdet med ligninger, så skal fundamentet bygges på den begrebslige tilgang, der efterhånden udvides

med en symbol- og problembehandlende vinkel, så eleverne selv er med til at opbygge en syntaktisk

forståelse for brugbare regler og strategier til ligningsløsning.

Min undersøgelse peger på, at en stor gruppe af de testede elever opfatter lighedstegnet i en ligning, som

en operationel indikator på at udregne et givet resultat. Det giver eleverne vanskeligheder ved ikke-

standard ligninger, når den ubekendte er placeret på højre side af lighedstegnet - specielt når den

ubekendte indgår i en operation. Det er problematisk, at eleverne fastholdes i denne forståelse af

lighedstegnet via bogsystemer, der har en overrepræsentation af aritmetiske standardligninger.

Undersøgelsen viser endvidere, at elevernes matematikbøger anvender meget få registerskift i forhold til at

støtte eleverne i deres relationelle forståelse af ligninger. Hovedparten af ligningerne i bøgerne er opgaver,

der fordrer treatments i det monofunktionelle, diskursive register.

I interventionsfasen er det via bevidst fokus på lighedstegnet betydning for ækvivalens og via brug af

konkrete ligningsmodeller lykkedes at udfordre og udvide elevernes begrebsbilleder af ligninger. Der er

tegn på, at eleverne har glæde af at benytte tydelige registerskift, så de oplever samme ligninger

repræsenteret både symbolsk, verbalt og ikonisk gennem en model. Det er tydeligt, at de elever, der viser

svagest begrebslig forståelse for ligninger har sværest ved de ikke-kongruente conversions, der fx

omdanner en symbolsk ligning til en dækkende ligningshistorie. Her ligger et vigtigt stykke didaktisk

arbejde, der af læreren bør påbegyndes tidligt i skoleforløbet. Et arbejde der samtidig vil være centreret om

elevernes forståelse for, hvad den ubekendte kan være pladsholder for i en virkelighedskontekst.

De anvendte konkrete ligningsmodeller i form af spillekort, hjemmesiden ”Algebra balance scales” og

app’en ”Dragon Box” har på trods af deres begrænsninger i forhold til de rationale tal, vist sig at støtte de

tre elever fra min undersøgelse på hver deres niveau i deres begrebsdannelse. Jeg konkluderer, at

successen med disse konkrete modeller hænger nøje sammen med den sideløbende samtale, der havde til

hensigt at gøre eleverne i stand til at tale om modellernes fordele og ulemper. Der er stor forskel i

læringspotentialet på at overlade en elev til selv at fordybe sig i en computerprogram, der simulerer at

arbejde med ligninger, og på bevidst undervejs i arbejdet at italesætte den mulige eller manglende

transferværdi fra et givet program til generel ligningsløsning. En italesættelse, som læreren skal facilitere,

men som eleverne sammen i grupper kan have stor gavn af.


Side 81 af 126

14. Perspektivering

Jeg har med inspiration fra Andersen og Boding (2010) valgt at se fremad i forhold til fire forskellige

perspektiver på dette speciale:

Handleperspektiv: Det er centralt, at alle lærere, der underviser i matematik i den danske folkeskole har en

grundlæggende viden om ligninger og en viden om, hvordan elever former deres egne forestillinger om et

ligningsbegreb. I den forbindelse er det positivt, at det er et politisk mål, at 95 % af lærerne i folkeskolen

kun underviser i deres linjefag i 2020. Da matematik og dansk er de højst prioriterede fag m.h.t.

eftervidereuddannelse, ser det realistisk ud at nå dette mål.

Lige så vigtigt er det, at der stilles kvalitetskrav til de bogsystemer, der i dag undervises efter i den danske

folkeskole. Min undersøgelse peger på, at de analyserede bogsystemer ikke lever op til Forenklede Fælles

Mål (UVM, 2014), da Præstø Skole ikke har opdateret sin bogsamling de senere år. Vi bør i Danmark have

en debat om, hvorvidt vi som i fx Finland skal have en national styrelse, der udarbejder, vurderer og giver

anbefalinger til de matematikbøger, som anvendes i folkeskolen5. Herved kunne matematikundervisningen

i Danmark få mere fokus på den formelle, begrebslige tilgang og brobygningen herfra til den lige så vigtige

anvendelsesorienterede tilgang.

Vi må i Danmark spørge os selv om, hvorvidt lærerne er støttet godt nok i processen med at kortlægge og

diagnosticere de elever, der har vanskeligheder i matematik (fx med ligninger). I min begrebsafklaring

skelnede jeg mellem en detektionstest og de kollektive diagnostiske test, der er på markedet. Jeg

argumenterede for, at en test bør følges op af individuelle og kvalitative tiltag, før der kan stilles en

diagnose. De ”Nationale Test” i Danmark er heller ikke et redskab, der præcist spotter elevernes

vanskeligheder i forhold til særlige matematiske emner. Det vil derfor være interessant, hvis vi i Danmark

ser mod Norge og forsøger at lære af nordmændenes store arbejde med at fremstille et alternativ til de

norske nationale test i det såkaldte LIM-projektet (Læringsstøttende prøver i matematikk)6. I dette projekt

er det målet på baggrund af et massivt datamateriale at udforme test og støttemateriale, der direkte kan

diagnosticere typiske misopfattelser og manglende begrebsforståelse indenfor positionssystemet, algebra,

de 4 regnearter og brøk/procent. Det er min opfattelse, at et lignende dansk projekt ville være en

uvurderlig hjælp for matematiklærere i den danske folkeskole.

Evaluerende perspektiv: Pointerne i min analyse kunne have haft mere vægt, hvis det var lykkedes at

gennemføre et interview med de tre 8. klassers matematiklærer. Desværre var han sygemeldt henover

foråret 2016, hvilket umuliggjorde et sådant interview. Jeg ville gerne have spurgt ind til vægtningen af de

anvendte bogsystemer i matematikundervisningen, og til lærerens egen forståelse for vigtige fokuspunkter

i forhold til undervisningen i, om og med ligninger.

At Præstø Skole anvender ældre bogsystemer har naturligvis haft betydning for min kritiske analyse. Jeg

ønskede at undersøge bøgernes potentielt afsmittende effekt på elevernes læring, hvilket bandt mig til

netop at analysere de fem valgte udgaver. Det er klart, at en analyse af nyere bogsystemer, der er

5 http://www.kristeligt-dagblad.dk/danmark/mavefornemmelser-bestemmer-undervisningsmaterialer-i-folkeskolen

6 http://www.matematikksenteret.no/lim-intro/ (lokaliseret d. 3. juli 2016)

http://www.kristeligt-dagblad.dk/danmark/mavefornemmelser-bestemmer-undervisningsmaterialer-i-folkeskolen

http://www.matematikksenteret.no/lim-intro/


Side 82 af 126

udarbejdet til at leve op til målene i Forenklede Fælles Mål (UVM, 2014), ville kunne resultere i et mere

positivt billede af, hvordan bøgerne understøtter læringen i forhold til ligninger.

Teoretisk perspektiv: Mit teoretiske afsæt har været forankret i to typer af tekster. Den ene type er

centreret omkring generel begrebsdannelse, mens den anden type har et mere snævert fokus på

ligningsmæssige vanskeligheder. Jeg kunne rent teoretisk styrke mine anbefalinger og interessepunkter

omkring vigtigheden af at fundere elevernes arbejde med ligninger i en virkelighedskontekst ved fx at

inddrage tekster af Freudenthal og Gravemeijer angående RME (Realistisk Mathematics Education).

Empirisk perspektiv: Både læreplaner og nationale eksamener på folkeskoleniveau lægger mere og mere

vægt på inddragelse af IT-værktøjer. I forhold til yderligere undersøgelser af elevers vanskeligheder

forbundet med ligninger kunne det være spændende at dykke ned i, hvordan CAS-programmer epistemisk

kan understøtte elevernes læring på dette område. Her kunne fokus rettes mod, om CAS-værktøjer både

kan støtte elever med særlige vanskeligheder, den ”gennemsnitlige” elev og elever med særlige

potentialer. Derudover kunne der i forhold til ligninger yderligere følges op på den aktuelle debat, hvor

forskning viser, at drenge på mellemtrinnet oplever en læringsmæssig effekt af CAS (Mogensen et al.,

2016).

”En ligning er som er som en gåde, hvor du skal lege detektiv og finde det hemmelige bogstav. Men du

bliver nødt til at kunne dine regler” (Citat fra ”Elev C”).


Side 83 af 126

15. Litteraturliste:

Andersen, G. & Boding, J. (2010). Professionsbacheloropgaven i læreruddannelsen. Dafolo.

Andersen, M.W, Lindhardt, B., Pedersen, R., Poulsen, M., Weng, P. (2005). KonteXt 4 kernebog. 2. udgave.

Malling Beck.


Malling Beck.


Alinea.

Brinkmann, S. & Tanggaard, L. (2010). Kvalitative studier. Kap. 1 - interviewet, s. 29-55. Hans Reitzels forlag.

Bundsgaard, J. (2016). Nationale test i skolen er ubrugelige. Kronik i Politiken d. 18. januar 2016. Lokaliseret

d. 19. marts 2016 på http://politiken.dk/debat/kroniken/ECE3022757/nationale-tests-i-skolen-er-

ubrugelige/

Ciobanu, M. (2014). In the middle - Misconception about the equal sign in middle school. OAME/AOEM

Gazette s. 14-16

Cobb, P. & Yackel, E. (1996). Constructivist, emergent, and sociocultural perspectives in the context of

developmental research. Educataional Psychologist, 31, s. 175‑190.

Creswell, J. & Clark, V. (2011). Designing and Conducting Mixed Methods Research. 2. udgave.

Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics.

Educational Studies in Mathematics, 61(1), 103-131.

Egelund, N. (red). (2013). PISA 2012 - Danske unge i en international sammenligning. KORA

Ejersbo, R.E. & Mogensen, A. (2001). Faktor 7 - fællesbog. 1. udgave. Malling Beck.

Engström, A (2003). Specialpedagogiska frågeställningar i matematik, en introduktion. Arbetsrapport nr. 8.

vid Pedagogiska institutionen. Örebro universitet.

Filloy, E. & Rojano, T. (1989). Solving equations: The transitions from aritmethic to algebra. For the learning

of mathematics 9, 2 – FLM Publishing Association, Montreal, Quebec, Canada.

Godfrey, D. & Thomas, M. (2008). Student Perspectives on Equation - The Transition from School to

University. Mathematics Education Research Journal 2008, Vol. 20, No. 2, s. 71-92.

Hansen, M.E. (2016). Matematikvanskeligheder i gymnasiet. Speciale fra Institut for Uddannelse og

Pædagogik v. Århus Universitet.

http://politiken.dk/debat/kroniken/ECE3022757/nationale-tests-i-skolen-er-ubrugelige/

http://politiken.dk/debat/kroniken/ECE3022757/nationale-tests-i-skolen-er-ubrugelige/


Side 84 af 126

Herscovics, N. & Kieran, C. (1980). Konstructing meaning for the concept of equation. The Mathematics

Teacher 73, s. 572-580.

Holmer, M. & Hessing, S. (2006). Faktor 8 - arbejdsbog. 4. udgave. Malling Beck.

Jankvist, U. T. & Niss, M. A., (2015). A framework for designing a research-based "mathematics counsellor"

teacher programme. Educational Studies in Mathematics, 90 (3), s. 259-284.

Kieran, C. (1981). Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12, s.

317–326.

Knuth, E., Alibali, M., Hattikudur, S., McNeil, N. og Stephens, A. (2008). The importence of equal sign

understanding in the middle grades. Mathematics teaching in the middle school - Vol. 13.

Kvale, S. & Brinkmann, S. (2009) Interview: Det kvalitative forskningsinterview som håndværk. Kbh.: Hans

Reitzels Forlag.

Lunde, O. (2002). Rummelighed i matematik. Om elevens vanskeligheder i matematik. Malling Beck.

Misfeldt, M. (2013). Mellem læringspotentiale og skuffelse: et bud på en it-didaktik for matematik. I M. W.

Andersen, & P. Weng (red.), Håndbog om matematik i grundskolen: læring, undervisning og vejledning. (1

udg., s. 416-430). Kapitel 26. Dansk Psykologisk Forlag.

Mogensen, A., Bull, A. og Hansen, M. (2016). CAS i folkeskolens matematikundervisning med øget

læringsudbytte for drenge på mellemtrinnet. Mona 2016 nr. 1.

Nabb, K.A. (2010). CAS as a restructuring tool in mathematics education. Proceedings of the 22nd

International Conference on Technology in Collegiate Mathematics. Chicago, IL., s. 247-259

Niss, M. & Jensen, T.H. (red.) (2002). Kompetencer og matematiklæring – Idéer og inspiration til udvikling af

matematikundervisning i Danmark. Nr. 18 i Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie, København:

Undervisningsministeriet.

Powell, S. (2012). Equations and the Equal Sign in Elementary Mathematics Textbooks. The Elementary

School Journal, Vol. 112, No. 4 (June 2012), s. 627-648

Rittle-Johnson, B., Matthews, P., Taylor, R., McEldoon, K. (2011). Assessing knowledge of mathematical equivalence: A construct modeling approach. Journal of Educational Psychology, 103, 85–104. Schleicher, A. (2016). Equation and Inequalities - making mathematics accessible to all. Pisa, OECD

Publishing.

Schou, J., Jess, K., Hansen, H.C., Skott, J. (2013). Matematik for lærerstuderende - tal, algebra og funktioner 4.-10. klasse. Samfundslitteratur. Sfard, Anna (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects

as different sides of the same coin, Educational Studies in Mathematics 22, 1 – 36


Side 85 af 126

Skemp, Richard R. (1976). Relation understanding and instrumental understanding. The psychology of

learning mathematics, 1987, Side 152-163.

Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept Image and Concept Definition in Mathematics wich Particular Refer-

ence to Limits and Continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, s. 151-169

UVM (2014). Læseplan for faget matematik. Ministeriet for børn, undervisning og ligestilling. Lokaliseret på

http://www.emu.dk/sites/default/files/L%C3%A6seplan%20for%20faget%20matematik_0.pdf d. 26. maj

2016

Vlassis, Joelle (2004). Making Sense of the Minus Sign or Becoming Flexible in "Negativity". Learning and

Instruction, v14 n5 s. 469-484

Vlassis, Joelle (2002). The balance model: Hindrance or support for the solving of linear equations with one

unknown. Educational Studies in Mathematics, Volume 49, s. 341-359. 2002 Kluwer Academic Publishers.

Printed in the Netherlands.

http://www.emu.dk/sites/default/files/L%C3%A6seplan%20for%20faget%20matematik_0.pdf

http://link.springer.com/journal/10649


Side 86 af 126

16. Bilagsoversigt:

Bilag A: Detektionstest 1 (57 spørgsmål til professoren). S. 87-90

Bilag B: Hensigt med delspørgsmål i detektionstesten S. 91-94

Bilag C: Detektionstest til 8. klasse på Præstø Skole. S. 95-99

Bilag D: Interviewguide til semistrukturerede interviews. S. 100

Bilag E: Transskription af interview med elev A fra Præstø Skole 8. klasse. S. 101-107

Bilag F: Transskription af interview med elev B fra Præstø Skole 8. klasse. S. 108-112

Bilag G: Transskription af interview med elev C fra Præstø Skole 8. klasse. S. 113-121

Bilag H: Rammeplan for de fem sessioner i interventionsfasen. S. 122

Bilag I: Forældrebrev om tilladelse til interview. S. 123

Bilag J: Link til Google-mappe med video- og lydfiler fra intervention. S. 124

Bilag K: Udvalgte opgaver til posttest. S. 125

Bilag L: De 3 x 4 anvendte kategorier til analyse af KonteXt og Faktor. S. 126


Side 87 af 126

Bilag A - 57 spørgsmål fra professoren

Detektionstest 1 fra Jankvist og Niss (2015)

1) Giv et andet udtryk for 11

2

2) Giv et andet udtryk for 32

3

3) Betyder a2 det samme som 2a? (ja/nej)

4) Er 3a = a3? (Ja/nej)

5) Betyder 4b det samme som 4+b? (ja/nej)

6) Hvad er 𝑎

𝑏·

𝑏

𝑎? (hvor hverken a eller b er 0)

7) Er tallet -a positiv, negativ eller kan det ikke afgøres?

8) Hvor meget er 110 % af 85?

9) En vare koster inkl. 25 % moms 150 kr. Hvor stor en procentdel udgør momsen?

10) Hvad er 3

√2·

√2

3?

11) Hvilket tal er størst: 5

9 eller 0,6 ?

12) Hvad er 𝑐

𝑑⁄

𝑐 ?

13) Hvilket tal er størst: 13

3 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟

13

4 ?

14) Hvad er 0 x ?

15) Hvad er 0 + x ?

16) Hvad er 𝑎5

𝑎5 hvor a ikke er 0 ?

17) Findes der nogle værdier af a, således at a2 = 2a? (Ja/nej)


Side 88 af 126

18) Findes der nogen værdier af b, således at 4b = 4 + b? (Ja/nej)

19) Om tallene s og k ved vi, at 4

5· 𝑘 = 𝑠. Isoler k.

20) Hvad er løsningen/løsningerne til ligningen 3x - x = 2x ?

21) Hvad kan du sige om de to tal c og d, når 7c+22=109 og 7d+22 = 109?

22) Hvad kan du med ord sige om sammenhængen mellem x og y, når y = x + 5 ?

23) Er f(x) = x2-x og g(x)=x(x-1) lig hinanden eller er de forskellige?

24) Hvis f(x) = 5, er det så en funktion? (Ja/nej)

25) Er x=0 en løsning til ligningen 3x - x = 2x ? (Ja/nej)

26) Afrund 148,72 + 51,351 til et helt tal.

27) Hvilke af følgende brøker er lig hinanden: 1

4,

4

16,

4

12,

2

8 ?

28) Opskriv 3

20 som decimaltal.

29) Hvilken er sødest: En blanding af 2 teskefulde sukker og 6 teskefulde citronsaft eller en blanding af

8 teskefulde sukker og 24 teskefulde citronsaft? Den første, den anden eller lige søde?

30) Hvilket tal er størst: 0,32 eller 0,315 ?

31) Hvis P er antal professorer og S er antal studerende, hvad udtrykker følgende ligning da om

sammenhængen mellem antallet af professorer og antallet af studerende: 6 P = S ?

32) Hvornår er de to udtryk a+b-c og a-b+c lig med hinanden?

33) Løs ligningen: (x-3)(x-5)=0

34) Bestem n, når: 4 + n - 2 + 5 = 11 + 3 + 5

35) Løs ligningen: 3x + 20 = x + 64

36) Løs ligningen: -6x = 24

37) For hvilke x gælder : 38x + 72 = 38x?


Side 89 af 126

38) Er 1

10 og 0,1 det samme? (Ja/nej)

39) Er 1

4 og 0,4 det samme? (Ja/nej)

40) Ligger 9

11 mellem 1,0 og 1,2? (Ja/nej)

41) Hvor mange decimaltal er der mellem 2

7 𝑜𝑔

3

7?

42) Hvor mange brøker er der mellem 0,65 og 0,66?

43) Opskriv 1

2⁄

14⁄

𝑜𝑔 2,1

4,1 som sædvanlige brøker.

44) Hvad er arealet af et rektangel med siderne s og 1

𝑠 (med s > 0)? Hvad er omkredsen?

45) I et koordinatsystem er punkterne med koordinaterne (2,-7) og (-7,2) endepunkterne af en

linjestykke. Hvad er koordinaterne for linjestykkets midtpunkt?

46) I et koordinatsystem går der en ret linje gennem punkterne (0,0) og (1,3). Opskriv en forskrift for

denne linje.

47) Hvilke af figurerne A, B, C, D, E og F forestiller figurer?


Side 90 af 126

48) Hvilke hele tal er der mellem -2 og 3,5?

49) Findes der et største tal, a, som opfylder: 2 a < 4? (Ja/nej)

50) Hvis a = b er så b = a ? (Ja/nej)

51) Hvis a <b er så b <a ? (Ja/nej)

52) Hvis a <b er så b >a ? (Ja/nej)

53) Er 𝑎−1

𝑏+1=

𝑎

𝑏− 1? (Ja/nej)

54) Hvad er 𝑎·(−1)

𝑏·(−1)?

55) Er 𝑎+3

𝑎+4=

3

4? (Ja/nej)

56) Er 𝑎−1

𝑏−1=

𝑎

𝑏? (Ja/nej)

57) Hvad er 3𝑥−1

−3𝑥+1?


Side 91 af 126

Bilag B Hensigt med delspørgsmål i detektionstesten brugt på Præstø Skole

Spørgsmål Kendetegn Teori til analysedelen

1) Er dette en ligning (Ja/Nej) a) 4x + 13 = 17 b) 34 = 7x + 2 c) 7 + 9x + 12 = 7x - 2x + 3 d) 44x + 33 - 22x - 9 e) 5a + 23 = 2a f) 3x + 2y = 19 g) 13 = 13 h) 1 = 9 i) x = 2 j) 1,5x + ½ = -13

a) Formentlig vil flest elever mene dette er en ligning. Kun operation og ubekendt på venstre side af lighedstegnet.

b) Her er der operationer på ubekendt på højre side

c) Den ubekendte optræder nu på begge sider af lighedstegnet.

d) Her er et algebraisk udtryk uden lighedstegn

e) Den ubekendte er angivet ved a og ikke x

f) Der optræder to forskellige variable (x og y)

g) Her er der tale om en sand identitet uden ubekendt.

h) Her er tale om et falsk udtryk uden ubekendt

i) Her undersøges om elevere vil anerkende en ligning, der er færdigløst (altså uden operationer)

j) I denne ligning indgår brøker og decimaltal

k)

De 10 delspørgsmål vil blive holdt op imod de to forskellige kategoriseringer af fire ligningstyper som beskrives af henholdsvis Rittle-Johnson et al. (2011, s. 87) og Vlassis (2002, s. 351). Desuden sammenlignes med Godfrey & Thomas (2008), der opdeler studerende i tre typer med hensyn til tolkning af ligninger.

2) Sæt kryds ved sandt/falsk/ved ikke

a) 8x betyder 8 x b) 7x betyder 7 + x c) 0x betyder x d) x betyder 1x e) Hvis 2a = b passer det så at b = 2a

a) Her testes elevernes forståelse af ”det usynlige gangetegn” i 8x.

b) Opgaven tester om eleverne tror, der kan være andre regnearter på spil imellem 2 faktorer end multiplikation.

c) Her testes elevernes forståelse af 0’et. Vil nogen elever tro, at 0x betyder, at der ikke er nogen koefficient foran x, så det blot bliver x?

d) Ved eleverne, at x er det

samme som 1 x? e) Tester elevernes forståelse af

højre-venstre ækvivalens

Generelt undersøger denne opgave elevernes begrebsforståelse af lavere-ordens begreber, jf. Sfards (1991). Her er der tale om grundlæggende algebraisk forståelse, som det ofte tages for givet, at eleverne har på plads, inden de begynder at arbejde med ligninger.


Side 92 af 126

3a) Hvad hedder symbolet mellem x og 11?

7 + x = 11

3b) Hvad betyder symbolet i forbindelse med ligningen?

Intentionen er her at undersøge om eleverne har en operationel eller en relationel forståelse af lighedstegnet. Svarer eleverne i forhold til en regneoperation eller i forhold til ligevægtsforståelse?

En lignende test er udført af Knuth et al. (2008)

4) Hvad skal et udtryk indeholde, før man kan kalde det for en ligning?

Her undersøges elevernes personlige definition af en ligning. Omtaler eleverne lighedstegn, ubekendte, afklaring af sand/falsk eller aritmetiske/algebraiske operationer?

Dette holdes op mod Tall & Vinner (1981) og deres teori om begrebsbilleder og begrebsdefinitioner

5) Hvilke af disse ligninger er regnet helt færdig?

a) 2x = 14 b) x = 19 + 45 c) x = 14 d) 13 = x

e) Hvornår er en ligning løst? Forklar hvordan du har tænkt.

Opgaven forsøger at kortlægge, hvornår en elev mener, at en ligning er løst helt færdig. Skal x stå alene på venstre side, eller kan x også være på højre? Kan man tillade en regneoperation på højre side, hvis x står alene på venstre side.

Som i opgave 4 vil dette spørgsmål give en indikation af elevernes begrebsforståelse - denne gang dog i forhold til selve ligningsbegrebet (Tall & Vinner, 1981).

6) Forklar om denne udregning er rigtig eller forkert:

5 3 = 15 + 9 = 24

Her er det forståelsen af lighedstegnet, der er på spil. Vil eleverne kommentere, at der ikke er tale om ækvivalens mellem alle 3 udtryk?

Denne fejltype er bl.a. beskrevet af Ciobanu (2014, s. 1)

7) Gør denne ligning færdig, så den bliver sand:

7 + 23 = _____ + 2

Opgaven forsøger at fange om eleverne svarer 30 eller 28. Svarer de 30 kan det tyde på en misforstået operationel forståelse af lighedstegnet.

Powell (2012, s. 2) beskriver netop denne typiske fejltype.

8) Løs denne ligning:

x + 2 = 16

Her skal eleverne løse en prototype af en ligning, hvor der kun er en operation på venstre side af lighedstegnet og ikke på den ubekendte

Rittle-Johnson et al. (2011, s. 87) betegner denne ligningstype som niveau 1 (rigid operationel).


2x + 3 = 1

I denne opgave skal eleverne igen løse en ligning kun med operationer på venstre side af lighedstegnet, men ligningen resulterer denne gang i en negativ løsning.

Rittle-Johnson et al. (2011, s. 87) betegner denne ligningstype som niveau 1 (rigid operationel). Vlassis opererer med 6 forskellige fejltyper ved brug af negative tal i ligninger (2004, s. 476).


Side 93 af 126


14 = 5x - 6

Her er operationen henlagt til højre side af ligningen, hvori der også optræder et negativt tal.

Rittle-Johnson et al. (2011, s. 87) betegner denne ligningstype som niveau 2 (fleksibel operationel). Igen analyseres svarene også i forhold til Vlassis 6 fejltyper af negative tal (2004, s. 476)


3x + 14 + 2 = 14 2

Der optræder nu regneoperationer på både venstre og højre side af lighedstegnet, men den ubekendte indgår kun på den ene side.

Rittle-Johnson et al. (2011, s. 87) betegner denne ligningstype som niveau 3 (basis relationel).


3x + 14 = x - 6

Der optræder nu regneoperationer på både venstre og højre side af lighedstegnet, og den ubekendte indgår ligeledes på begge sider.

Rittle-Johnson et al. (2011, s. 87) betegner denne ligningstype som niveau 4 (sammenlignelig relationel). Igen analyseres svarene også i forhold til Vlassis 6 fejltyper af negative tal (2004, s. 476)

13) En mand købte sodavand for 330 kr. Han købte i alt 30 stk. af samme slags. Hver sodavand kostede x kr.? Oversæt historien til en ligning:

Opgaven drejer sig om repræsentationer og tester om eleven er i stand til at omdanne en ligningshistorie til et symbolsk udtryk.

Opgaven kan ses i lyset af Duvals 4 registre (2006, s. 110), hvor der i opgaven sker en conversion mellem kilde- og målregister (diskursivt). Her foregår det kongruent fra det multifunktionelle til det monofunktionelle register.

14) Skriv en historie, der kan fortælle, hvad denne ligning handler om:

200 = 𝑥 · 3 + 20

Her går omdannelsen mellem de to repræsentationsformer den modsatte vej af opgave 13, nemlig fra symbolsk udtryk til ligningshistorie.

Opgaven kan igen ses i lyset af Duvals 4 registre (2006, s. 110). Nu foregår den såkaldte conversion ikke-kongruent fra det monofunktionelle til det multifunktionelle register (stadig diskursivt)

15) Til højre er tegnet 2 rette linjer:

Linjerne kommer fra disse ligninger: y = 4x + 2 og y = -2x - 4 Hvilke værdier for x og y passer til begge ligninger? Hvordan fandt du ud af det?

Her er der igen repræsentationer på spil - denne gang i form af en graf med to rette linjer. Desuden møder eleverne de to linjer udtrykt symbolsk som forskriften for 2 ligninger med 2 ubekendte.

Nu bevæger vi os ifølge Duval (2006, s. 110) over i det ikke-diskursive register (mono-funktionelt), hvor eleverne skal foretage en sammenligning af dette register med det diskursive mono-funktionelle. Hvilket register vil eleverne benytte til at finde løsningen?


Side 94 af 126

16) Skriv en ligning, der har præcis 1 løsning: 17) Skriv en ligning, der ikke har nogen løsning: 18) Hvor mange løsninger kan du finde til denne ligning:

4x = 2x + 2x

Opgaverne skal ses som en helhed. De går ud på at undersøge, om eleverne kan opskrive en ligning med henholdsvis 0, 1 og flere løsninger. Disse 3 opgaver er formentlig på grænsen af elevernes formåen m.h.t. sværhedsgrad.

Opgaverne er medtaget for at teste elevernes samlede ligningsbegreb. Kender de til, at ligninger kan have mere end netop en løsning? Desuden benyttes opgaverne til at sammenligne med den empiri, som Hansen (2016, s. 133) har analyseret om gymnasieelevers forståelse af ligninger.


Side 95 af 126

Bilag C: Opgaver om ligninger i 8. klasse

Opg. 1:

Sæt kryds ved de udtryk, som er en ligning:

Nr. Udtryk Sæt kryds, hvis det er en ligning

A 4x + 13 = 17 B 34 = 7x + 2

C 7 + 9x + 12 = 7x - 2x + 3

D 44x + 33 - 22x - 9 E 5a + 23 = 2a

F 3x + 2y = 19 G 13 = 13

H 1 = 9 I x = 2

J 1,5x + ½ = -13

Opg. 2:

Sæt kryds ved sandt eller falsk

Nr. Opgave Sandt Falsk Ved ikke

A 8x betyder 8 x

B 7x betyder 7 + x C 0x betyder x

D x betyder 1x E Hvis 2a = b passer det så at b = 2a

Opg. 3:

Hvad hedder det symbol, som står lige under pilen:_____________ 7 + x = 11

Hvad betyder symbolet under pilen i forbindelse med ligningen?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


Side 96 af 126

Opg. 4:

Hvad skal et udtryk indeholde, før man kan kalde det for en ligning?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Opg. 5:

Hvilke(n) af disse ligninger er regnet helt færdig (løst)?

Ligning Sæt kryds hvis den er løst helt færdig 2x = 14

x = 19 + 45 x = 14

13 = x

Hvornår er en ligning løst? Forklar hvordan du har tænkt.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Opg. 6:

Forklar om denne udregning er rigtig eller forkert: 5 3 = 15 + 9 = 24

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Opg. 7:

Gør denne ligning færdig, så den bliver sand:

7 + 23 = _____ + 2


Side 97 af 126

Opg. 8:

Løs denne ligning (Husk mellemregninger eller andre forklaringer):

Opg. 9:


Opg. 10:


x + 2 = 16

2x + 3 = 1

14 = 5x - 6


Side 98 af 126

Opg. 11:


Opg. 12:


Opg. 13:

En mand købte sodavand for 330 kr. Han købte i alt 30 stk. af samme

slags. Hver sodavand kostede x kr.?

Oversæt historien til en ligning:

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

3x + 14 + 2 = 14 2

3x + 14 = x - 6

Pris = X


Side 99 af 126

Opg. 14:

Skriv en historie, der kan fortælle, hvad denne ligning handler om:

200 = 𝑥 · 3 + 20

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Opg. 15:

Til højre er tegnet 2 rette linjer:

Linjerne kommer fra disse ligninger:

y = 4x + 2 og y = -2x - 4

Hvilke værdier for x og y passer til begge ligninger:

_____________________________________

_____________________________________

Hvordan fandt du ud af det?

_____________________________________________________________________

Opg. 16:

Skriv en ligning, der har præcis 1 løsning: ___________________________________

Opg. 17:

Skriv en ligning, der ikke har nogen løsning: _________________________________

Opg. 18:

Hvor mange løsninger kan du finde til denne ligning: 4x = 2x + 2x

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


Side 100 af 126

Bilag D:

Semistrukturerede spørgsmål til interview

Fredag d. 29. april 2016 på Præstø Skole

1) Til spørgsmål 1 + 4 i testen: ”Hvad fik dig til at sætte kryds ved netop disse ligninger?” + ”Beskriv

hvad en ligning er med egne ord”

2) Til spørgsmål 2 i testen: Her spørges ind til eventuelle fejl svar + ”Kan du give et eksempel med tal,

der svarer til det, der står i opgave 2E?”

3) Til spørgsmål 3 i testen: ”Kan du give et par eksempler på, hvornår du bruger et lighedstegn?” og

evt. ”Hvad nu hvis der havde stået 11 = 7 + x, havde tegnet så betydet noget andet?”

4) Til spørgsmål 5 i testen. ”Hvornår synes du, at du er færdig med at løse en ligning?”

5) Til spørgsmål 6 og 7 i testen. ”Hvorfor mener du, at der skal stå 30 på linjen i opgave 7?” + ”Hvad

giver højre side, og hvad giver venstre side? ……..ændrer det dit svar” + ”Prøv nu igen at se på

opgave 6 - synes du stadig at stykket er stillet rigtigt op? Hvorfor?”

6) Til spørgsmål 8-12 i testen. ”Fortæl hvordan du tænker, når du løser disse ligninger” + ”Hvad tror

du din matematiklærer gerne vil have dig til at gøre i disse opgaver”

7) Til spørgsmål 8-12 i testen: ”Har du en særlig måde, du altid løser ligninger på? Fx en bestemt

rækkefølge at gøre tingene i?” + ”Er der særlige ting, som du har lært, man må eller ikke må, når

man løser ligninger?”

8) Til spørgsmål 13+14 i testen. ”Hvad går disse opgaver ud på? Hvad er meningen med opgaverne?”

9) Til spørgsmål 15-18 i testen. ”Hvad betyder det, at der er en løsning til en ligning?” + ”Mon der altid

er en løsning til en ligning…kan der være 0 eller flere?”

10) Til spørgsmål 1 - 5 i testen: ”Hvad betyder det at løse en ligning?” + ”Hvad bruges ligninger til?”.

11) Til spørgsmål 8-12 i testen: ”Har du en særlig måde, du altid løser ligninger på? Fx en bestemt

rækkefølge at gøre tingene i?” + ”Er der særlige ting, som du har lært, man må eller ikke må, når

man løser ligninger?”.

12) Til spørgsmål 8-12 i testen: ”Prøv langsomt at forklare mig, hvordan du har løst denne opgave?

(peger på en af opgaverne fra opgave 8-12 - evt. flere hvor der har været fejlsvar)”. ”Kan man

tjekke om ligningen er rigtig?”

13) Til spørgsmål 13+14 i testen. ”Hvad går disse opgaver ud på? Hvad er meningen med opgaverne?

14) Til spørgsmål 15-18 i testen. ”Hvad betyder det, at der er en løsning til en ligning?” + ”Mon der altid

er en løsning til en ligning…kan der være 0 eller flere?”

15) Til spørgsmål 17 i testen: ”Hvorfor synes du ikke denne ligning, du har skrevet, har nogen løsninger”

+ ”Kan en løsning til en ligning godt være 4/13 eller 0,456”

16) Prøv at reducere:

30 + 9 - 6x - 4x og 7 - 8x - 5x og 8x - 13 + 2x

Bilag E: Interview af Elev A på Præstø Skole - fredag d. 29. maj 2016 1

2 Lars: du har sagt ja til mig om at tage en lille snak om den ligningstest, som vi lavede for to tre uger 3 siden. 4 5 Elev A: ja 6 7 Lars: Først kigger vi på opgave et. Der var ti forskellige spørgsmål, og du skulle sætte et kryds, 8 hvis du synes det er en ligning. Du har sat tre krydser. Kan du fortælle, hvorfor du har sat kryds 9 lige præcis de tre steder? Hvad har du tænkt oppe i hovedet? 10 11 Elev A: øhhhhhh. Det ved jeg ikke rigtigt, men jeg synes bare de lignede mest en ligning. Fx en af 12 de nederste der X =2 , den synes jeg ikke ligner en ligning. 13 14 Lars: ok. Er det fordi, at du synes, den er forklaret færdig, så der ikke er mere at regne på. 15 16 Elev A: Ja 17 18 Lars: Så hvad tænker du egentlig inde i hovedet, at der skal gælde, før du kan sige, at der er tale 19 om en ligning? Hvad er vigtigt? 20 21 Elev A: Der skal nok være nogle bogstaver...ja ja det er nok mest bogstaver, jeg synes der skal 22 være der. 23 24 Lars: Hvilken slags bogstaver kan det være? 25 26 Elev A: Det kan være X eller Y eller alt sådan noget. 27 28 Lars: Du har ikke sat kryds, der hvor der er et a med. Er det fordi, at a er et dårligt bogstav? Eller 29 måtte det gerne være et a? 30 31 Elev A: Det kan være alle slags bogstaver. 32 33 Lars: Så hvis du kigger på opgaven igen nede i opgave 1E, der hvor der står noget med nogle a’er, 34 synes du så ikke, at du skulle have sat kryds? 35 36 Elev A: Men jeg forstod bare ikke, hvorfor der stod at det er lige med 2a. (5a+23=2a) 37 38 Lars: ok. Det kunne jeg godt være nysgerrig efter at høre mere om. Er det fordi, at der både er et a 39 på venstre side og på højre side? 40 41 Elev A: Ja 42 43 Lars: Men oppe i opgave 1c, der har du x’er på både højre og venstre side, og der har du ikke sat 44 kryds. Bliver du ikke irriteret der? 45 46 Elev A: nej, for jeg har jo fået vide, at man skal have det over på den anden side, sådan så plus 47 bliver til minus og minus til plus. Den irriterede mig ikke. 48


Side 102 af 126

49 Lars: Så kommer vi ned til opgave 2. Der skulle du skrive om det var rigtigt eller forkert i forhold til 50 de ting, der står i opgaven. I det sidste spørgsmål i opgave 2, der står noget med, at hvis 2a er det 51 samme som b, så skal b være det samme som 2a. Her har du skrevet, at det ikke passer. Hvordan 52 forstår du den opgave? 53 54 Elev A: Jeg synes bare ikke, at det gav mening. Jeg har aldrig hørt, at hvis a er det samme som 55 2b, så skal 2b være det samme som a. Det har jeg aldrig hørt om. 56 57 Lars: Kunne man bytte bogstaverne det ud med nogle tal, så det gav mere mening? 58 59 Elev A: Det tror jeg ikke, at man kan. Jeg forstår det i hvert fald ikke. 60 61 Lars: Så for dig giver det ikke nogen mening, hvad det er, der er ment? 62 63 Elev A: nej 64 65 Lars: Så kigger vi på det tegn under pilen i opgave tre. Hvad kalder du det? 66 67 Elev A: Lighedstegn. 68 69 Lars: Hvor bruger man egentlig lighedstegn henne? 70 71 Elev A: Det bruger man, når man skal vise, hvad resultatet bliver. 72 73 Lars: Er det noget du har brugt i din matematik skolegang altid? 74 75 Elev A: Ja lige fra første klasse. 76 77 Lars: Så hvad har du forklaret i opgave tre? 78 79 Elev A: Det betyder det, som er regnestykket giver. 80 81 Lars: Så du kan helt klart se på højre side, at resultatet bliver 11, eller? 82 83 Elev A: Ja 84 85 Lars: Men hvad så, hvis jeg bytter rundt, så 7 + x kommer på højre side og 11 på venstre side? 86 Ville det så give rod i systemet? 87 88 Elev A : Det ville have været lige så godt. 89 90 Lars: er det en ligning når der står 7+ X =11? 91 92 Elev A: Ja 93 94 Lars: Kan du regne den ud? 95 96 Elev A: nej, ikke i hovedet. 97 98


Side 103 af 126

Lars: Hvad er det faktisk der er din opgave, når jeg beder dig om at løse ligningen? Hvad er det, du 99 skal gøre? 100 101 Elev A: Jeg skal regne den ud. 102 103 Lars: Ja, men hvordan gør man det? Du siger, at du ikke kan gøre det i hovedet, men kan du gøre 104 det på andre måder? 105 106 Elev: Jeg kan skrive det ned på papir. 107 108 Lars: Det må du gerne. Her får du et stykke papir af mig. Nu fortæller du bare, hvad du gør. Ja det 109 er den opgave med 7 + x =11. 110 111 Elev: ( skriver). Jeg tager først syv, og så tæller jeg op til 11……...7 8 9 10 11. Og så ved jeg, at 112 der skal stå fire på x’s plads for tilsammen giver det 11. 113 114 Lars: Ja lige præcis. Prøv at skrive det. Er den færdig nu? (Eleven har skrevet x=4) 115 116 Elev: Ja, den er færdig. 117 118 Lars: Ja flot. Den løste du jo faktisk i hovedet. 119 120 Elev: Nå, men jeg troede, det var den anden du mente. 121 122 Lars:OK, men så prøv at skrive den op modsat, så du bytte rundt på højre og venstre side. Altså 123 11 = 7+ X. Hvordan skal man så løse den nu? 124 125 Elev: Det har jeg ingen anelse om. Jeg bliver forvirret, når de kommer over på den anden side. 126 127 Lars: Du kan bedst lide at løse ligninger, når X står på venstre side? 128 129 Elev: Ja ellers kan jeg ikke finde ud af det. 130 131 Lars: Så den ligning har du ikke lært at løse? 132 133 Elev: Nej, den forstår jeg bare ikke. 134 135 Lars: Det kan jeg godt hjælpe dig med, når jeg vender tilbage. Så skal jeg nok give dig en masse 136 gode ideer til, hvordan du kan løse sådan nogle ligninger. Nu bladrer jeg til opgave fire. Vi har 137 været lidt inde på det. Hvad er det, der skal være i sådan et matematik udtryk, før vi må kalde det 138 for en ligning? 139 140 Elev: Det skal indeholde bogstaver og tal. 141 142 Lars: Og bogstaverne talte du om. Skal de være en særlig slags? 143 144 Elev: det kan være X og Y, ja det kan faktisk være alle slags. Og tallene kan også være alle slags. 145 146 Lars: Skal der være mere i en ligning? 147 148 Elev: Der kunne være parenteser. 149


Side 104 af 126

150 Lars: Hvad så hvis der bare stod 3a, er det så en ligning? 151 152 Elev A: ja, det tror jeg. For man skal jo huske, at der er et usynligt gange imellem. 153 154 Lars: Nu går vi videre til næste opgave. For nu har vi talt om, hvad en ligning er. Nu skal vi tale om, 155 hvornår en ligning er færdig. Det er opgave fem, det handler om. Du skulle sætte kryds, hvis du 156 synes opgaven er færdig. Du har sat kryds ved de to midterste af de fire opgaver. Hvorfor er de 157 færdige? 158 159 Elev A: Altså her hvor der står X = 14, der viser de at X blev 14. Og i den anden, der tænkte jeg, at 160 man skulle plusse 19 og 45, og så var det det, som det gav. (X=19+45). 161 162 Lars: Så den er på vej til at blive færdig? Mangler man bare at lægge de to tal sammen eller hvad? 163 164 Elev A: ja jeg tror bare ikke, den er helt færdigløst alligevel. 165 166 Lars: I det nederste spørgsmål hvor der står 13 = x, der får du pludselig x’et over på højre side 167 igen. Det var det der irriterede dig før. Hvorfor har du ikke sat kryds ved, at den er færdig? 168 169 Elev A: Ja, det ved jeg ikke rigtigt. Jeg plejer at se den færdig når X står alene over på venstre 170 side. 171 172 Lars: Nede i opgave 6, hvor der er et regnestykke, der skriver du, at regnestykket er rigtigt. Prøv at 173 forklare mig, hvorfor du synes, at det er rigtigt. 174 175 Elev A: det er rigtigt fordi 5 × 3 giver 15 og så plusser man med ni og det giver fire 24. 176 177 Lars: Må der gerne være flere lighedstegntegn i den samme linje? Det gør ikke noget eller hvad? 178 179 Elev A: Nej det gør ikke noget. 180 181 Lars: Måtte der være endnu flere lighedstegn? kunne jeg fx have lagt to mere til 24, så der stod 24 182 + 2= 26 183 184 Elev A: Ja det måtte du gerne. 185 186 Lars: Er det samme måde, at du tænker på nede i opgave syv? 187 188 Elev A: Ja 189 190 Lars: Så hvis jeg havde bedt dig om at regne videre nede i opgave 7, hvad havde du så gjort? 191 192 Elev: så havde jeg sagt at 30 plus to giver 32. (7+23=30+2=32) 193 194 Lars: Har det nogen betydning at det du har skrevet i ligningen giver 30 på venstre side og 32 på 195 højre side? 196 197 Elev A: Nej det gør ikke noget. 198 199 Lars: Tænker du, at man bare kan fortsætte med at regne ud? 200


Side 105 af 126

201 Elev A: ja, det gør jeg. 202 203 Lars: Nu bladrer jeg lige en gang. Nu kommer vi til de opgaver, hvor du skal løse nogle ligninger. 204 Prøv at fortælle mig om den første i opgave 8, hvor du fint har regnet den ud til at blive X = 14. 205 206 Elev A: Jeg gjorde først det, at jeg vendte det om. Altså 16 og plusset blev så til minus altså -2 og 207 det gav 14. 208 209 Lars: Hvorfor bliver et plus til minus? Er det noget du ved, eller noget du kan forklare? Eller er det 210 noget din matematiklærer har sagt? 211 212 Elev A: Det er noget min matematiklærer har sagt, at sådan skal det være. 213 214 Lars: Er det altid sådan? Bliver plus altid til minus? 215 216 Elev A: Nej det tror jeg ikke. Det er kun i ligninger. 217 218 Lars: Er der andre ting i ligninger, der bliver lavet om? Andre ting der får den modsatte betydning? 219 220 Elev A: ja gange kan blive til division. 221 222 Lars: Kan division også blive til gange? 223 224 Elev A: ja, det er bare det modsatte. 225 226 Lars: I opgave 10 (14 = 5X -6), skriver du at du ikke kan finde en løsning. Du har været lidt inde på 227 det allerede. Kan du forklare mig, hvad det er, der gør, at du ikke kan løse da? 228 229 Elev A: Jeg er bare forvirret, da jeg skulle vende den om. Skulle jeg nu starte med seks eller hvad. 230 231 Lars: Har det noget med at gøre igen, at X står over på højre side? 232 233 Elev A: Det kan jeg ikke huske. Jeg synes bare den er forvirrende. Jeg kan ikke helt huske, hvad 234 jeg tænkte på det tidspunkt. 235 236 Lars: Tror du det vil hjælpe dig, hvis du måtte bytte det hele rundt? Alt det der står på venstre side 237 kunne komme på højre side, og alt det der står på højre side kan komme på venstre side? 238 239 Elev: Nej, det tror jeg ikke. Jeg er stadigvæk forvirret over det med x 240 241 Lars: Kan du lave et check på om min ligning er løst rigtigt? Hvis jeg fx fortalte dig at X er lig med 242 en. Kan du så undersøge om det er rigtigt eller forkert i opgave 10? Kan man tjekke en ligning, om 243 man har regnet rigtig? 244 245 Elev A: det kan man vel godt, tror jeg. 246 247 Lars: Så hvis din lillebror kom og sagde at han har fundet ud af den. Den giver en, kan du så 248 undersøge om han har ret, eller om han har taget fejl? 249 250 Elev A: Jeg tror, han vil sige, at svaret er 1, fordi der kun er et x. 251


Side 106 af 126

252 Lars: Du har ikke en metode til at tjekke efter for at se om ligningen …….om løsningen på 253 ligningen passer? 254 255 Elev A: nej. 256 257 Lars: Jeg vil senere lære dig en metode, hvor du kan putte det hemmelige tal ind på x’ plads og så 258 regne højre side ud og venstre side ud og se og det giver det samme. På den måde kan du tjekke 259 om ligningen er løst rigtigt. Godt, nu vil jeg lige spørge til opgave 13 og opgave 14. De er lidt 260 anderledes. I opgave 13 er der en historie, og du skal skrive en ligning. I opgave 14 er det 261 omvendt. Der er ligning, og du skal skrive en historie. Er det noget I har arbejdet med i 262 matematiktimerne? 263 264 Elev A: Nej det har vi ikke. Så har det ihvertfald været meget kort. 265 266 Lars: Hvis jeg nu fortæller en historie om en pige, der har spist ti stykker slik. Hun havde spist syv 267 vingummier og så nogle lakridser. Kan du så skrive en ligning på dit papir over den historie, jeg lige 268 har fortalt? 269 270 Elev A: (får historien genfortalt). Jeg bliver forvirret over det med x. For der skal jo være et x i en 271 ligning. Og der er ikke noget X i historien. Så vil jeg mene at det er lakridserne, der må være x. 272 273 Lars: Ja, det er rigtigt. Hvorfor mener du det? 274 275 Elev A: Fordi man ikke få at vide, hvor mange der er. 276 277 Lars: Ja lige præcis. Så du har altså skrevet en ligning på papiret, der hedder...? 278 279 Elev A: 10-7x 280 281 Lars: Hvad er så resultatet? Har ligningen ikke en løsning? 282 283 Elev A: Nej, jeg kan ikke lige finde ud af det. 284 285 Lars: Du har ihvertfald ret i, at vi skal finde ud af, hvor mange lakridser hun har spist. 286 287 Elev A: det kan jeg ikke finde ud af. 288 289 Lars: Hvis du har spist ti stykker slik, hvoraf de 7 er vingummier og de sidste er lakridser, hvor 290 mange lakridser har du så spist? 291 292 Elev A: nå, så har jeg spist tre. 293 294 Lars: Nu kommer sidste spørgsmål. Du har hernede i opgave 17 skrevet, at her er en ligning, der 295 ikke har nogen løsning. Du har skrevet 6X = 13. Hvorfor mener du, at den ikke har nogen løsning? 296 297 Elev A: Den har da en løsning. 298 299 Lars: Nå, har du så lavet en fejl? 300 301 Elev A: Ja, for det er da magen til den i opgave 16, hvor der står 5X = 30. 302


Side 107 af 126

303 Lars: Er det så fordi, du ikke lige kan finde ud af at regne stykket i opgave 17? 304 305 Elev: Ja, nej jeg tror faktisk ikke den har en løsning alligevel. Der findes jo ikke noget tal man kan 306 gange med seks så det giver 13. 307 308 Lars: Tak skal du have. Det var det sidste spørgsmål. Du skal have mange tak for din hjælp.309


Side 108 af 126

Bilag F: Interview af Elev B på Præstø Skole fredag d. 29. maj 2016 1

2 Lars: Jeg vil stille dig nogle spørgsmål i forbindelse med den test, vi lavede for nogle uger siden. Vi 3 starter med opgave 1, hvor der er ti spørgsmål. Du skal her finde ud af, om der er tale om en 4 ligning. Kan du fortælle mig, hvorfor du har sat kryds ved nogen af dem, og så er der andre du ikke 5 er sat kryds ved? 6 7 Elev B: Altså, man skulle sætte kryds, hvis det var en ligning. Jeg har sat kryds ved den første, 8 fordi der er et x, og så tænker jeg, det er en ligning (4x+13=17). Og hernede, jeg ved ikke hvorfor 9 jeg ikke har sat kryds her. Måske er det fordi, at der er noget, der er lige med noget. Der står 34 er 10 lig med. 11 12 Lars: ja, 34 =7x + 2. Så der står ligesom mere her på højre side. Er det det, der driller? 13 14 Elev B: ja, når X står alene på højre side. Men jeg har sat kryds i c’eren for der er der x på begge 15 sider af lighedstegnet. 16 17 Lars: har det nogen betydning at der nogen steder står A i stedet for X fx i spørgsmål nr. 1e? 18 19 Elev B: det tror jeg ikke gør noget. Jeg kan ikke helt huske det. Men jeg tror godt, at man både må 20 bruge a’er og b’er og andre bogstaver. 21 22 Lars: hvad så med spørgsmål d? Kan du se, der er noget der mangler, som ikke er i med i de 23 andre opgaver? 24 25 Elev B: Der er et minus 26 27 Lars: må der godt være minus i ligninger? 28 29 Elev B: ja det må der gerne. 30 31 Lars: prøv at se godt på den. Kan du se, at der ikke er et lighedstegn? Det er der i alle de andre. 32 Skal der være et lighedstegn, for at det er en ligning? 33 34 Elev B: nej, det vil jeg ikke sige. Er det ikke ligegyldigt? En ligning er det ikke bare at finde X? Altså 35 man skal lægge det sammen. 36 37 Lars: vil det sige, at hvis der står 2X plus 2X, er det så en ligning for dig? 38 39 Elev B: ja det vil jeg sige er en ligning. Fordi der er nogle x’er man skal lægge sammen. 40 41 Lars: nu kigger vi på opgave to. I den nederste skriver du, at det er sandt at hvis 2a= B så passer 42 det at B =2a. Det er helt rigtigt. Men kan du forklare, hvad det er faktisk betyder? 43 44 Elev B: (tænker). Om der står 2a= B eller B = 2a er det ikke ligegyldigt? Jeg tror ikke, det betyder 45 noget, om det står på den ene eller på den anden side. Er det ikke rigtigt? 46 47 Lars: Kan du lave et eksempel med tal der fuldstændig svarer til det, du lige har skrevet med 48 bogstaver? Altså en slags regnestykke med tal, hvor man godt må bytte rundt. 49 50 Elev B: (tænker længe). Hmmnnnn, Man kunne sige 3 + 1. Det må være det samme 51


Side 109 af 126

52 Lars: lad os prøve at skrive det ned. Du skriver 3 + 1 er lige med? 53 54 Elev B: ok, 3 + 1 = 4 55 56 Lars: ja helt rigtigt. Så hvis 3 + 1 = 4, så kan man måske vende det om? 57 58 Elev B: nå ja, så kan jeg også skrive 4 = 3 + 1. Så er det jo rigtigt, når man ser det på den måde 59 der. 60 61 Lars: så hvis vi kigger på spørgsmål 2d, så skriver du, at X ikke er det samme som 1X 62 63 Elev B: ja, det er ikke det samme. Det ene sted er der jo et X - det andet sted er der ligesom 64 mere. Der er både et ettal og et X. Hvis man fx skriver 4 + X, så skriver man jo heller ikke 5X. For 65 X er jo det samme som et tal. Hvis man fx har 1X og 1X, så er det 2X. Så jeg vil mene, at den er 66 falsk. 67 68 Lars: hvad er så mest? Er det mest at have X, eller at have 1X? 69 70 Elev B: der vil jeg sige 1X, fordi der også er et ettal. 71 72 Lars: nu springer vi ned til opgave 3. Du skriver at tegnet under pilen er et lighedstegn. Det er helt 73 rigtigt. Og du skriver, at betydningen af tegnet er, at det tal der står bagved er den rigtige løsning til 74 ligningen. Hvad nu hvis jeg havde byttet rundt på højre og venstre side? Så der i stedet for 7 + X = 75 11 havde stået 11 = 7 + X? Du sagde jo tidligere, at vi godt måtte bytte rundt på siderne. Havde 76 lighedstegnet så betydet det samme? 77 78 Elev B: ja, hvis det stod på den anden måde så havde jeg tænkt at 11 var resultatet. 79 80 Lars: godt, men kan du egentlig finde ud af, hvad løsningen til ligningen er? 81 82 Elev B: nej det tror jeg ikke, for det er jo ikke rigtigt, at det giver 11, gør det det? 83 84 Lars: hvad er egentlig din opgave, når du skal løse sådan en ligning? Hvad skal du gøre? 85 86 Elev B: Åhhhhh, det er så lang tid siden jeg har haft det der. Er det ikke sådan, at man skal 87 reducere det. Først er der 7X, og det er så lige med 11. 88 89 Lars: har du syv X’er? Eller har du syv og så skal du lægge noget ukendt til? 90 91 Elev B: ja, så skal jeg plusse med X. 92 93 Lars: så vi kan se X som et hemmeligt tal, vi skal finde? Hvad skal X så være, så du kan lægge syv 94 til og få 11? 95 96 Elev B: nå ja ja ja, nu forstår jeg. Så skal X selvfølgelig være fire. Det er indlysende. 97 98 Lars: Kan du fortælle, hvordan du tænkte i hovedet, før da det drillede? 99 100 Elev B: jeg tænkte at X hang sammen med syvtallet. Jeg havde helt glemt, at X var det tal, man 101 skulle finde. 102


Side 110 af 126

103 Lars: så kigger vi på opgave 4. Vi talte også om det tidligere. Hvad er det, du synes en ligning skal 104 indeholde, før man kan kalde det for en ligning? 105 106 Elev B: en ligning skal indeholde X’er og Y’er og nogle andre bogstaver. Så skal der være 107 parenteser. Der skal også være plus og minus, det har jeg bare ikke skrevet. 108 109 Lars: hvad nu hvis der ikke er parenteser? Er det så ikke ligning 110 111 Elev B: der behøver ikke være parentes. Det er bare en mulighed. 112 113 Lars: det næste vi kommer til, er opgave 5. Her skal vi se på, hvornår en ligning er færdig. Hvornår 114 den er løst. Men du har ikke sat kryds ved nogle af de fire ligninger. Er det fordi, du ikke synes, at 115 nogen af dem er løst, eller kunne du ikke finde ud af at opgaven? 116 117 Elev B: jo, jeg kunne godt finde ud af opgaven, men de er jo ikke løst. Der står jo ikke resultatet. 118 119 Lars: hvad mangler man at gøre? 120 121 Elev B: I den første skal der jo stå 14 i stedet for 2X = 14. Vi skal jo vide, hvad X er. Så der burde 122 stå 14 = 14. 123 124 Sars: så prøv at skrive en ligning her på papiret, som du mener er løst. 125 126 Elev B: ( skriver 5 + X = 7 og skriver derefter 2 på en linje nedenunder). Nu er jeg færdig, når jeg 127 har skrevet 2, for så er der jo ikke noget X. 128 129 Lars: så kigger vi på opgave 6. Der er en lang udregning, og du skriver at udregning er forkert, 130 fordi der ikke må være et lighedstegn i midten. Hvad er det for et lighedstegn, der irriterer dig? 131 132 Elev B :ja, nu hvor jeg kigger på det, kan jeg godt se, at det er rigtigt. 5 × 3 er jo 15 og 15 + 9 er 24. 133 Jeg tror bare, jeg havde fjernet det første = og 15. Så ville jeg have skrevet 5 × 3 + 9 = 24 134 135 Lars: ja, det har du helt ret i. Sådan kunne man godt skrive det op. Men hvis du så skulle løse 136 opgave sex en gang til, hvad vil du så svare nu. Er det rigtigt eller er det forkert? 137 138 Elev B: ja så vil jeg svare, den er rigtig. For det er jo rigtigt, alt det der står. 139 140 Lars: det er lidt det samme nede i opgave 7. Kan du prøve at fortælle mig, hvorfor du har skrevet 141 30 på stregen? 142 143 Elev B: ja, jeg plussede bare syv og 23 144 145 Lars: er den ligning så færdig, når du har skrevet 30? Eller burde du egentlig regne videre? 146 147 Elev B: ja, så havde jeg sagt 30 + 2 = 32 148 149 Lars: så kommer vi til opgave 8 til 12, hvor du skal løse en masse ligninger. Har du lært nogle 150 regler om ligninger af din matematiklærer? Nogle ting man må gøre med ligninger, eller ting man 151 ikke må gøre med ligninger? 152 153


Side 111 af 126

Elev B: ja vi har lært at man skal ophæve parentesen først, og så skal man også huske at gange 154 først. 155 156 Lars: nu er der jo ikke nogen parenteser i de her opgaver. Hvis du kigger på opgave 8, hvor der 157 står X + 2 = 16, hvad er så din opgave? Hvordan løser du ligningen? 158 159 Elev B: jeg tænker, at jeg skal finde et tal, som jeg skal plusse med 2, så det giver 16. 160 161 Lars: ja, og det har du gjort helt rigtigt. Jeg kan se du har skrevet X = 14. Hvad så med opgave 9, 162 hvor der står 2X +3 =1. Hvordan løser du den? 163 164 Elev B: her tænker jeg, at det skal give 1. Og hvis jeg plusser dem på venstre side, så giver det 5 165 og det er jo for meget. Derfor tænker jeg, at man skal have et minus tal foran. Hvis 2X er -2 så 166 passer det. 167 168 Lars: og hvis jeg skal se din løsning i opgaven 9, hvor kan jeg så se den henne? Prøv at tage 169 blyanten og streg under, så jeg kan se hvor løsningen står i opgaven. Hvor står svaret? ( har 170 skrevet -2+3=1). 171 172 Elev B: ja det er lidt svært, men jeg vil mene, at X skal være -2. Det er bare lidt problematisk, at der 173 også står et to-tal foran X. For nu hedder det jo pludselig 2 - 2 + 3 = 1. 174 175 Lars: ja det har du helt ret i. Her er du på vej til at finde en fejl, som du har lavet i opgaven. Når 176 man har løst en ligning, kan man så faktisk tjekke bagefter om løsningen er rigtig? Er der sådan en 177 særlig metode til at kontrollere? 178 179 Elev B: ja her oppe i opgave 8, der kunne man jo lige tjekke, hvor jeg minusser 16 med 2. Så kan 180 jeg dobbelttjekke, om det giver 16. To plus 14 giver 16. 14 er jo det man mangler for at få 16. 181 182 Lars: Kan du så for eksempel bruge denne metode til at tjekke opgave 12, som du skriver, du ikke 183 kan løse. Hvis jeg nu fx tror, at svaret til ligningen er 10. Kan du så kontrollere, om det er rigtigt? 184 185 Elev B: ja hvis der skulle stå 10 der, så skulle jeg plusse med 14 så vil det jo give for meget. For ti 186 ved siden af tretallet, så står der 310 plus 14, og det er jo for meget. 187 188 Lars: X’et på højre side, som du skal trække seks fra, er så et helt andet tal, eller er det det samme 189 X, som står over på venstre side? 190 191 Elev B: det må være det samme. Det X skal også være ti. Derfor giver det slet ikke så meget på 192 højre side som på venstre side. 193 194 Lars: så kan du samle sammen på det og fortælle mig, hvad var det du gjorde med det tal, jeg 195 forærede dig, som du ville tjekke? Altså ti. 196 197 Elev B: ja så vil jeg sætte ti ind der. På højre side vil det give 10 - 6 altså fire, og på den anden side 198 310 + 14. Det passer altså ikke med 10. 199 200 Lars: så kommer der i opgave 13 og 14 nogle historier. Vi kalder dem ligningshistorier. I opgave 13 201 er der en historie, og du skal lave ligningen. I opgave 14 er det omvendt, der er en historie, og du 202 skal lave ligningen. I opgave 14 lyder ligningen sådan her 200 = X × 3 + 20. Prøv at læse højt, 203 hvad du har skrevet. 204


Side 112 af 126

205 Elev B: tre voksne og 20 børn havde 100 is, men de skal have 100 til. 206 207 Lars: kan du prøve at fortælle mig, hvor du fik din idé fra til at lave denne historie? 208 209 Elev B: ja i alt skal det så give 200 is, og jeg har tre voksne og 20 børn. De skal have 100 is hver. 210 Men nu kan jeg godt se, at jeg har glemt det der X. Det har jeg ikke fået gjort noget med. 211 212 Lars: okay, så du synes faktisk, at du har en god historie, bortset fra at du lige har glemt X’et? 213 214 Elev B: ja det kan godt være ret besværligt at få det der X med. For det er jo noget, der ikke er der, 215 og som skal komme til. 216 217 Lars: så hvis du havde haft mere tid til at løse opgaven, tror du så at du kunne have fået X med ind 218 i historien? 219 220 Elev B: ja, det tror jeg faktisk godt, at jeg kunne. 221 222 Lars: nu har jeg et sidste spørgsmål. Jeg hopper ned til opgave 17. Her skal vi kigge på en ligning, 223 der ikke har nogen løsning. Før har vi jo fundet ud af, at din ligning kunne give fx 14 eller ti. Her 224 kommer du med et forslag. Du skriver X *X + 5 = 19 + 2. Hvorfor mener du ikke, at denne ligning 225 har nogen løsning? Er det fordi, at du ikke kan matematik nok til at løse den, eller findes der slet 226 ikke nogen løsning? 227 228 Elev B: det er lidt ligesom opgave 12, som jeg heller ikke kunne finde ud af. 229 230 Lars: tror du så, at jeg ville kunne finde ud af at løse den? 231 232 Elev B: ja, det tror jeg godt, du kunne. Det er nok mig der ikke kan finde ud af den. Jeg ved det 233 faktisk ikke. Måske er den helt umulig. Nej det er nok mig, der ikke kan finde ud af den. 234 235 Lars: tror du, at der findes ligninger, der slet ikke kan løses. Som selv den dygtigste 236 matematiklærer ikke kan finde en løsning til? 237 238 Elev B: nej, jeg tror, at alle ligninger kan løses, hvis man er dygtig nok. 239 240 Lars: jeg vil sige mange tak for hjælpen. 241 242


Side 113 af 126

Bilag G: Interview af Elev C på Præstø Skole fredag d. 29. maj 2016 1

2 Lars: nu er det tre uger siden, at vi har arbejdet med testen, og jeg vil rigtig gerne have lov til at 3 stille dig nogle spørgsmål, så du får mulighed for at forklare nogle af de svar, du har givet. Håber 4 det er ok? 5 6 Elev C: ja det er helt i orden. 7 8 Lars: hvis vi starter med at kigge på opgave 1, hvor der er ti udtryk. Du skal skulle sætte kryds, 9 hvis du synes, at der er tale om en ligning. Kan du fortælle, hvad du har tænkt? 10 11 Elev C: umiddelbart har jeg tænkt meget på X og på X-værdi og på at X betyder gange, når man 12 har en ligning. Vi har haft noget algebra, og jeg tror, det er det, der gør mig forvirret. 13 14 Lars: hvad mener du, når du siger, at X betyder gange? 15 16 Elev C: nu ved jeg ikke, om jeg bytter rundt på det. Men i algebra, der mener jeg, at X betyder 17 gange. Og nu er jeg i tvivl, om det også betyder gange i ligninger. Enten betyder X gange, eller 18 også er X et uvist tal. Et tal du ikke ved, hvad er. Det er lidt en gåde. Du skal finde ud af, hvad det 19 tal er, før du får et resultat. 20 21 Lars: fint, det er sådan, at du tænker det. Så hvis vi nu har en ligning, der hedder X +2 = 4. Har 22 den ligning så en løsning? 23 24 Elev C: ja, den har en løsning. Det er 2. 25 26 Lars: ja, det er rigtigt. Det hemmelige tal er 2.Har det X så en gange betydning, som du talte om 27 før? 28 29 Elev C: nej, det har ikke en gangebetydning. Jeg siger her X +2 = 4, så skal jeg minusse med to 30 på den anden side af lighedstegnet. Det er også sådan, at jeg tænker om ligninger. Man skal gøre 31 det modsatte på lighedstegnet. 32 33 Lars: kan du så prøve at give mig en ligning, hvor X betyder gange? 34 35 Elev C: 4*X +3 = 7 36 37 Lars: synes du så, at det er X’et, der betyder gange, eller har du puttet et gangetegn ind mellem 38 X’et og tallet foran? 39 40 Elev C: ja, så har jeg jo puttet et gangetegn ind. Det kan jeg godt se. For 4X er jo ikke det samme 41 som 4*X. 42 43 Lars: spændende. Vi havde faktisk en opgave i opgave 2a. Her skulle du svare på om 8X betyder 44 8*X. Her har du faktisk svaret sandt. Er du stadigvæk enig i det? 45 46 Elev C: nej, nu kan jeg godt se, jeg har lavet fejl. Jeg tror jeg blander det sammen med algebra 47 igen. Når man skal sige 8X plus 8X så giver det jo 16X. Det har jo ikke noget med gange at gøre. 48 49


Side 114 af 126

Lars: jeg tror, du tænker, at her er det vigtigt, at der er et plustegn. Derfor tænker du ikke på 50 gange. Må jeg prøve at skrive en ligning til dig, som du skal løse? (Skriver 8X + 8X = 32) 51 52 Elev C: her vil jeg så sige, at det betyder gange. Altså hvad skal jeg gange 8 med plus hvad skal 53 jeg gange 8 med, så det giver 32. Så vil jeg jo sige 8 × 2 + 8 × 2. Nej, jeg mener 8X*2+ 8X*2 = 32. 54 Det giver 16 X +16 X ……...NEJ…...Det første jeg sagde er rigtigt. Vi skal ikke have X’erne på. 55 56 Lars: jeg kan godt se, hvad du mener med, at du blander algebra ind i ligningerne. Du er 57 koncentreret om at reducere, og glemmer betydningen af X 58 59 Elev C: ja 60 61 Lars: så hvad er svaret til den ligning, vi har skrevet op? 62 63 Elev C: det kan jeg ikke lige finde et svar på. 64 65 Lars: løsning er faktisk 2. 66 67 Elev C: er det virkelig? 68 69 Lars: ja, prøv at putte 2 ind på X’ernes plads. Så står der jo 16 × 2 + 16 × 2 = 32. Du har altså 70 puttet 2 ind på den hemmelige plads. På X’ernes plads. 71 72 Elev C: så var det altså rigtigt. 73 74 Lars: ja, det var rigtig. Nu springer jeg til opgave 3. Hvad betyder et lighedstegn egentlig for en 75 ligning? 76 77 Elev C: som jeg har skrevet, betyder det resultatet af ligning. Men nogen gange kan der godt stå 78 noget mere på højre side af lighedstegnet for eksempel X plus et tal. 79 80 Lars: vil den så være nem for dig at løse, den ligning der står her: 7+ X = 11? 81 82 Elev C: ja det vil være nemt. For jeg vil sige, at den skal give det modsatte på den anden side af 83 lighedstegnet. Så her vil jeg sige 11 - 7 som giver 4, og så finder jeg ud af at X er fire. 84 85 Lars: vil du synes, at det vil blive sværere, hvis vi byttede om på højre og venstre side af 86 lighedstegnet, så der kom til at stå 11 = 7 +X? 87 88 Elev C: ja det ville jeg synes blev sværere. Jeg ved ikke lige, om jeg kan forklare hvorfor. Men jeg 89 tror, det er svært at gøre det omvendt, hvis man altid har lært at gøre det på en måde. Sådan har 90 jeg det også i gangestykker. Hvis det pludselig står anderledes end jeg er vant til, så synes jeg, at 91 det bliver svært. 92 93 Lars: men vil det ændre resultatet, hvis jeg byttede om på højre og venstre side? 94 95 Elev C: det ved jeg ikke rigtigt. Må jeg prøve at skrive det op. (Skriver 11 = 7 + X og tænker 96 længe). Så bliver det 7 + 4 = 11, ja så bliver det fire. 97 98 Lars: er det så den samme løsning som før, eller er det en anden løsning ? 99 100


Side 115 af 126

Elev C: X = 4. Så er det den samme løsning. Der er ikke forskel. 101 102 Lars: vil det sige, at jeg altid kunne bytte rundt på højre og venstre side og så vil jeg få samme 103 løsning? 104 105 Elev C: ja det tror jeg. For i en ligning skal vi altid gør det modsatte. 106 107 Lars: det lyder for mig, som om du har lært nogle helt faste regler for, hvad man må i en ligning. Er 108 det rigtigt? 109 110 Elev C: ja, jeg tænker primært på det med lighedstegnet. At man gør det omvendte på 111 lighedstegnet. 112 113 Lars: jeg kan forstå, at du tænker, at når du skal regne noget ud med plus, så skal du minusse. Er 114 der andre ting man kan gøre med en ligning, hvor man skal tænke modsat? 115 116 Elev C: ja, minus bliver også til plus. 117 118 Lars: hvad så hvis det havde stået gange? 119 120 Elev C: nej det vil ikke ændre sig. Det vil stadig være gange. 121 122 Lars: ok, så prøv at skrive 8X = 16. Kan du løse den? 123 124 Elev C: ja, det er to. 125 126 Lars: hvordan fandt du ud af det? 127 128 Elev C: det er brugte jeg X’et lidt som et gangetegn. Jeg tænker også, at når der ikke står noget 129 foran 8X, så er det et plus foran 8. Og så kunne jeg rykker det her hen ved siden af lighedstegnet, 130 så der stod 16 - 8. 131 132 Lars: vil det passe med at du først sagde at X skulle være 2? 133 134 Elev C: nej, det passer ikke. Her blander jeg noget sammen. To er den rigtig løsning. 135 136 Lars: nu springer vi til opgave 4 og 5. Det handler om, hvad der skal være i en ligning, og hvornår 137 en ligning er løst færdig. Prøv at tage 4’eren først. Vi har været lidt inde på det. Hvad skal en 138 ligning indeholde for, at vi kan tillade os at kalde det for ligning? 139 140 Elev C: Der skal være et uvist tal. Når jeg tænker ligning, så tænker jeg det som en gåde, du skal 141 løse. Du skal finde det tal, så du ikke kender. Du skal også kende nogle metoder, når du løse 142 ligninger. Hvis du for eksempel fik en ligning og aldrig havde haft om ligninger før, så vil du ikke 143 kunne løse den uden metoder. De skal sidde i skabet. Ellers kan du ikke regne dem ud. 144 145 Lars: og hvor har du så de metoder fra? 146 147 Elev C: ja, dem har jeg så lært undervejs. Men det, der så også er svært er, at vi har haft algebra 148 undervejs og det blander jeg så sammen med ligninger. Derfor får jeg rod i mine metoder. 149 150


Side 116 af 126

Lars: men der skulle altså være nogle ukendte bogstaver i en ligning. Må det være alle slags 151 bogstaver, eller skal det være en særlig slags bogstaver? 152 153 Elev C: det er primært X. Nu ved jeg ikke, om det kun er i algebra, at man bruge a, b og c? Det tror 154 jeg godt man må, for det har jo samme betydning. 155 156 Lars: må jeg så godt bytte alle X’erne ud med s, og så var opgaven bare at finde ud af hvad s var i 157 stedet for? 158 159 Elev C: ja det må du gerne. Det vil være det samme. Man bruger det bare ikke så meget. Der er 160 nogle bogstaver, der er mere hypet end andre. 161 162 Lars: skal der være andet end de her bogstaver en ligning? 163 164 Elev C: Der skal også være et lighedstegn i en ligning. Der kan godt være mange lighedstegn. For 165 det gælder jo om at regne X ud. Så når man skriver alle udregningerne for ligningen, så kommer 166 der hurtigt mange lighedstegn. 167 168 Lars: skriver du altid dine udregninger i ligninger, som en lang række? Eller har du lært at skrive 169 flere og flere udregninger nede under hinanden? 170 171 Elev C: jeg skriver i en lang række, det andet har jeg ikke været så glad for at lære. 172 173 Lars: nu går jeg lige tilbage til opgave 1 igen. Hvorfor har du ikke sat kryds ved spørgsmål 1d? 174 175 Elev C: fordi der ikke er et lighedstegn. 176 177 Lars: hvorfor har du så ikke sat kryds ved opgave 1a? Der er jo både et ukendt bogstav og et 178 lighedstegn 179 180 Elev C: (tænker længe). Jeg tror, at det er fordi, jeg ikke umiddelbart kunne finde et resultat til 181 ligningen. 182 183 Lars: nå, du har simpelthen forsøgt at løse ligningerne, og så sat kryds ved dem du kunne løse. Er 184 det sådan? 185 186 Elev C: ja lidt. 187 188 Lars: men lever spørgsmålet ellers op til de krav, du havde stillet til en ligning? 189 190 Elev C: ja 191 192 Lars: hvad så med sidste spørgsmål i opgave 1? Der har du heller ikke sat noget kryds. Hvorfor? 193 Det er jo ellers både X og lighedstegn? 194 195 Elev C: ja, men det er fordi, jeg ikke lige kan regne den ud. 196 197 Lars: men kan det så godt være en ligning for mig og ikke en ligning for dig? 198 199 Elev C: ja det kan det godt. Det kan det sagtens være. Her tænker jeg i forhold til niveau hvor 200 dygtig man er i matematik. 201


Side 117 af 126

202 Lars: det er spændende at høre om. Gad vide om en ligning altid er en ligning, eller om det 203 afhænger af, hvor dygtig man er til matematik? 204 205 Elev C: Man kan sige, at en ligning vel altid er en ligning, men der må være forskel fra person til 206 person. Altså hvis en elev i anden klasse skal løse en ligning og en professor i matematik skal løse 207 en ligning, så er det nok den samme løsning, men det er nok meget forskelligt, hvordan de tolker 208 den. 209 210 Lars: så hvis du nu skulle svare efter vores lille snak, synes du så, at spørgsmål 1J er en ligning? 211 212 Elev C: ja, det synes jeg det er. Der er både et X og et lighedstegn 213 214 Lars: kan du så sige, hvad det er der har generet dig i den opgave? 215 216 Elev C: det er nok det der med brug af decimaltal og brøker. Sådan nogle ligninger har jeg ikke 217 lært at løse. 218 219 Lars: så går vi til opgave 5. Hvornår er en ligning løst færdig? Du har sat tre krydser ud af fire 220 mulige i opgaven. Kan du forklare det? 221 222 Elev C: hvis man har fundet ud af, hvad X er, så er man færdig. 223 224 Lars: har man fundet ud af hvad X er i den første opgave i opgave fem, hvor der står 2X = 14? 225 226 Elev C: ja, X er 7 227 228 Lars: jeg bliver nødt til at spørge. Har du fundet ud af, at løsningen er 7, eller kan man se, at den er 229 løst? 230 231 Elev C: det har jeg fundet ud af. 232 233 Lars: nå, så det er dig der har fundet ud af det? Er det det, der bliver spurgt om? Altså om du kan 234 finde ud af den? 235 236 Elev C: nå, nu kan jeg se, at den første ikke er løst færdig. Man skulle lige et led dybere ned. Jeg 237 har nok bare tænkt, at det er det samme resultat. 238 239 Lars: så hvis du nu med få ord skal beskrive, hvornår en ligning er løst færdig, hvordan vil du så 240 beskrive det? 241 242 Elev C: når der står X og så et lighedstegn og så det tal som X er lig med. Så kan man se hvad det 243 ukendte tal er. Man kan sætte det ind og så se om det er rigtigt. 244 245 Lars: skal X’et stå på venstre side? 246 247 Elev C: nej det er ligegyldigt. 248 249 Lars: Der er nogle elever som i opgave 7 skriver, at svaret må være 30. Opgaven hedder 7 + 23 er 250 lige med noget ukendt plus 2. Du har skrevet 28 andre har skrevet 30. Hvad mener du om det? 251 252


Side 118 af 126

Elev C: umiddelbart vil jeg ikke mene, at 30 er det rigtige svar. Jeg gør det, at jeg siger 7 + 23 det 253 giver 30 og så i forhold til lighedstegnet trækker jeg 2 fra. Det giver 28. 254 255 Lars: hvad tror du så de elever, der har svaret 30, har tænkt? Du nævnte jo også tallet 30 lige før. 256 257 Elev C: de har nok tænkt, at efter lighedstegnet, der kommer det rigtige resultat, uden at de har 258 tænkt på, at der står to bagved. 259 260 Lars: har du et billede inde i hovedet af, hvordan man kan tegne en ligning? 261 262 Elev C: jeg ved ikke, om du tænker på, om der dukker en historie op ligesom i opgave 13. Det gør 263 der ikke hos mig. Jeg får ikke nogen særlige billeder eller tanker i hovedet, når jeg løser en ligning. 264 265 Lars: Kender du sådan en gammeldags balancevægt, hvor der er to vægtskåle på hver sin side? 266 267 Elev C: ja sådan en vægt kender jeg godt. Men det er ikke et billede jeg tænker på i forhold til 268 ligninger. 269 270 Lars: men kan du forstå, hvorfor jeg pludselig spørger til at sådan et billede af en balancevægt? 271 272 Elev C: ja det kan jeg godt. For i en ligning skal der jo også være det samme på begge sider af 273 lighedstegnet. 274 275 Lars: det viser mig, at du faktisk har den forståelse, at ligninger er som en balancevægt. Dem der 276 svarer 30 i opgave 7 har ikke den forståelse. Nu har du lavet en fin forklaring i opgave 8, hvor jeg 277 tydelig kan følge, hvad det er du tænker. Det har noget at gøre med de metoder, du nævnte 278 tidligere, at man må gøre det modsatte - altså at plus fx bliver til minus på den anden side af 279 lighedstegnet. Kan du prøve skridt for skridt at fortælle mig, hvordan du har regnet ud, at opgave 9 280 giver 1? Du har sat to streger under tallet 1, så jeg regner med, at det er din løsning? (Skriver i 281 sidste linje -2+3=1) 282 283 Elev C: Jeg tror, jeg har ment -1……. måske? Lige umiddelbart tænker jeg, hvad skal jeg gange 284 med 2 og plusse med 3, så det giver 1? 285 286 Lars: Er du ved at tjekke nu, om dit resultat (x=1) faktisk er rigtigt? 287 288 Elev C: Ja, det er jeg. 289 290 Lars: Så man kan altså godt tjekke om et resultat er korrekt? Hvad gjorde du med 1-tallet? 291 292 Elev C: Jeg sagde 2 gange 1 + 3, og det er jo 5, så jeg kan se, at det ikke passer med 1. 293 294 Lars. Kan du så tjekke om 5 kunne være en løsning? 295 296 Elev C: Ja, det kan heller ikke være 5, for 2 gange 5 plus 3 giver heller ikke 1. 297 298 Lars: Så lad os tjekke om det passer med -1, som du antydede for lidt siden. 299 300 Elev C: Jeg er lidt dårlig til at regne med minus, men jeg vil sige 2 gange -1, og det er vist -2 301 ……..er det ikke? Og så vil jeg lægge 3 til, og så giver det 1. Så det passer. Jeg er allerede blevet 302 klogere, end da jeg lavede testen. 303


Side 119 af 126

304 Lars: I opgave 8 skriver du dit resultat som x=14, men i de næste to opgaver gør du noget andet 305 med løsningen. Her sætter du blot en to streger under et tal i et regnestykke, hvor der ikke er noget 306 x. Kan du se forskellen? 307 308 Elev C: Ja 309 310 Lars: I opgave 10 (14 = 5x - 6) har du fx sat to streger under 20 (5 * 4 = 20). Hvordan skal jeg 311 forstå det? 312 313 Elev C: I de to opgaver havde jeg lidt svært ved at forklare, hvad jeg gjorde. 314 315 Lars: Kan du fx teste om 20 er løsningen til ligningen ved at sætte 20 ind på x’ets plads? 316 317 Elev C: Hmmnnn, det giver vist ikke mening. 5 gange 20 er jo hundrede, så det kan ikke komme til 318 at passe. 319 320 Lars: Er der måske et af de andre tal i din nederste linje (5 * 4 = 20), som ville være en bedre 321 løsning? 322 323 Elev C: Ja, jeg skulle have sat 4 ind, og skrevet x=4 324 325 Lars. Ja, havde det været en rigtig måde at angive dit resultat på? 326 327 Elev C: Ja, det havde været rigtigt. 328 329 Lars: Så på en måde, havde du løst ligningen rigtigt, men ikke fået fortalt, hvad det rigtige svar var. 330 Så hvis du nu skal forklare det igen efter vores lille samtale, hvordan angiver man svaret til en 331 ligning? 332 333 Elev C: Man skal finde ud af, hvad X er, og så skrive X =..... 334 335 Lars: Nu springer vi til de sidste sider. I opgave 13 og 14 handler det pludselig om at gøre en 336 historie til en ligning og omvendt om at gøre en ligning til en historie. I opgave 13 viser du en fin 337 forståelse af, at en sodavand må koste 11 kr. og at X = 11. I opgave 14, hvor vi skal vende 338 processen om, skriver du, at du tror, du kunne finde ud af den, hvis du havde mere tid. 339 (200=x*3+20). Du har faktisk allerede skrevet oppe over x, at du mener, at x må være 60. Kan du 340 komme med et bud på, hvad din historie havde handlet om, hvis du havde haft mere tid? 341 342 Elev C: Det er svært for mig. Måske pga. de store tal. 343 344 Lars: Jeg leder efter, om du ville bruge særlige strategier eller metoder. Må man fx sige: “Du spiser 345 200 kager, så spiser du 60 og 3 mere og til sidst 20”. Vil det være en passende historie? 346 347 Elev C: Nej. Jeg tænker, at hvert tal skal have sin egen enhed. Det der er svært her, er at der ikke 348 bare er et svar. Der kan jo være mange rigtige historier. Så det er nok det, der har tricket min 349 hjerne. Jeg tror, jeg har tænkt, hvad mon det rigtige svar skal være? 350 351 Lars: Det lyder spændende. Kan der både være mange rigtige og mange forkerte historier? 352 353 Elev C: Ja. 354


Side 120 af 126

355 Lars: Hvordan skal det X indgå i historien? Hvad bliver betydningen af det X, som du jo allerede 356 har regnet ud må være 60? 357 358 Elev C: Der skal gemme sig en ukendt enhed under X. Det kan fx være hvor mange cykler Bo har. 359 360 Lars: OK. Lad os prøve at holde fast i, at Bo har 60 cykler. hvordan kan vi så komme videre med 361 historien? Hvad betyder 3-tallet? Kan vi digte det ind i historien? 362 363 Elev C: ja, så vil jeg sige, at der er to andre kammerater, der også har 60 cykler. Man kunne sige, 364 at det var en klassetur, hvor tre havde 60 cykler, og så kom Lise, der havde 20 cykler. I alt havde 365 de 200 cykler. 366 367 Lars. Flot. Ville du så skrive i selve historien til at starte med, at de tre personer har 60 cykler, eller 368 skulle det være hemmeligt? 369 370 Elev C: Ja, vi skulle vide, at Lise har 20, men at vi skal finde ud af, hvor mange de tre andre har. 371 Så kunne man jo regne videre, at de måtte have 180 tilsammen. men de behøver jo ikke have 60 372 hver. Den ene kunne have 58, og den anden kunne have 62 og den sidste 60. 373 374 Lars: Ville det være en svaghed ved historien? 375 376 Elev C: Ja, for så ville historien jo blive anderledes fra person til person. 377 378 Lars: Så du tænker, at X’et godt kan gemme på tre forskellige tal på en gang i samme historie? 379 380 Elev C: ja, bare det giver samme resultat - altså 180 i alt. 381 382 Lars. Mit sidste spørgsmål. Du skriver i opgave 16 helt rigtigt, at 3x = 12 har præcis en løsning. 383 Nedenunder i opgave 17, skriver du en ligning, du ikke mener har en løsning (4x = 13). 384 Hvorfor har den ikke nogen løsning? 385 386 Elev C: jeg har igen gået ud fra, at X betyder gange, og der er jo ikke noget tal man kan gange 387 med 4, så man får 13. 388 389 Lars: tror du, at jeg kan løse ligningen? 390 391 Elev C: Ja, det tror jeg godt, du kan. Og lige nu sidder jeg og tænker på, om jeg også kan. 392 393 Lars: er det så det samme igen, at det er en ligning for nogle personer og ikke for andre? 394 395 Elev C: Ja, en matematikprofessor vil helt sikkert kunne løse den. Men for mig er det ikke en 396 løsning, for jeg vil ikke kunne løse denne her. 397 398 Lars: du har i hvert fald ret i, at jeg godt kan løse ligningen. Jeg tænker, at jeg ville bruge brøker. 399 Tænker du, at ligninger kun kan have hele tal som løsning? 400 401 Elev C: Jeg mindes ikke, at vi har lært, at X kan være så mange brøktal. 402 403 Lars: Kan du løse denne ligning: 2x = 3? 404 405


Side 121 af 126

Elev C: Ja, er det ikke 1½? 406 407 Lars Jo. Så vi kan altså godt have løsninger, der ikke er hele tal? Fx decimaltal eller brøker. 408 409 Elev C: Ja, men da 13 er et primtal, så tænkte jeg ikke, at man kunne finde et tal, der ganges med 410 4, som giver 13. 411 412 Lars: Vil du så holde fast i, at det er en ligning for mig, men ikke for dig? 413 414 Elev C: Ja. 415 416 Lars: Mange tak for hjælpen. 417


Side 122 af 126

Bilag H: Rammeplan for intervention på Præstø Skole (maj 2016)

Til stede: Elev A, Elev B, Elev C og Lars Johnsen

Besøg Emne

1. Session - Lighedstegnets betydning i ligningen (billede af balancevægt diskuteres) - Hvad skal der til for, at vi har en ligning? - Eleverne arbejder med spillekort, lighedstegn og regnetegn. De opbygger

identiteter. - Identiteterne manipuleres og ændres med konstant fokus på ligevægt. - Et af kortene vendes om. Samtale om sammenhæng til ligninger, og at

kortet med bagsiden opad repræsenterer en ubekendt. - Eleverne udarbejder opgaver til hinanden med spillekortene

2. Session - Kort opsummering af sidste session - Vi taler om, hvorfor vi må bytte rundt på højre- og venstresiden af en ligning

og stadig bevare ligevægt - Vi udvider spillekorts-repræsentationen til, at der kan være flere kort med

samme værdi i samme bunke med bagsiden op (fx 4x + 2 = 14). - Der kan også være flere bunker med bagsiden opad, hvis kortene vel at

mærke har samme værdi (3 + 2x = x + 8). Hele tiden diskuteres sammenhæng til en symbolsk udgave, som efterfølgende skrives på papir.

- Vi skifter mellem først at opstille ligninger med kort og derefter skrive dem symbolsk og bagefter udføres processen i omvendt rækkefølge.

3. Session - Kort opsummering af forrige sessioner - Vi taler om, hvornår en ligning er løst helt færdig - Hvordan kan vi tjekke om et vilkårligt tal er løsning til en ligning? - Eleverne forsøger at opstille en symbolsk ligning ud fra min historie. - Eleverne forsøger at digte en historie ud fra min symbolske ligning. - Vi vender tilbage til identiteterne og forsøger ved at manipulere med den

ene side at få opbygget regler for, hvad man så også skal gøre med den anden side i en ligning/identitet

4. Session - Eksempler på ligninger med løsninger der ikke tilhører N. - Eksempler på ligninger med 0 eller flere løsninger. - Vi gentager arbejdet med ligningshistorier. - Elev A + B arbejder med Dragon Box - Elev C arbejder med ”Algebra Balance Scales (Negative)”

5. Session - Kort opsummering på de første sessioner - Hvorfor siger I, at ligningen ”gik op”? - Elev A + B arbejder med Dragon Box og forsøger på baggrund af app’en at

opbygge regler for, hvad der er tilladt ved løsning af en ligning - Elev C arbejder med ”Algebra Balance Scales (Negative)” og forsøger på

baggrund af hjemmesiden at opbygge regler for, hvad der er tilladt ved løsning af en ligning

- Alle 3 elever arbejder med udvalgte opgaver i posttest.


Side 123 af 126

Bilag I - Forældrebrev

Kære XX og forældre

Jeg underviser i matematik på læreruddannelsen i Vordingborg. I den forbindelse er jeg ved at færdiggøre

en kandidatuddannelse, der kræver et afsluttende speciale. Her skriver jeg om elevers forståelse af

ligninger. For nogle uger siden var jeg på Præstø Skole i de tre 8. klasser for at indsamle viden om elevers

tilgang til løsning af ligninger. Jeg fortalte eleverne, at jeg ville vende tilbage til skolen for at interviewe 4-6

elever, så de kan uddybe deres svar fra den test, de har udført.

På fredag, d. 29/4, har jeg fået lov af lærerne på årgangen til at tale med enkelte elever i 15-30 minutter. I

den forbindelse vil jeg spørge, om jeg må interviewe XX. Jeg gør opmærksom på, at min interesse for at

interviewe netop XX ikke hænger sammen med, at XX har klaret testen enten rigtig godt eller skidt. Til

gengæld har XX angivet nogle interessante svar, som jeg ønsker mere viden omkring.

Jeg anmoder derfor om lov til at interviewe XX om XX forståelse af ligninger. Efter samtalerne med de 4-6

elever på fredag vil jeg udvælge tre elever, som jeg vil undervise ca. 5 timer, så de forhåbentlig bliver klædt

endnu bedre på til at arbejde med ligninger i matematik.

I forbindelse med interview og undervisning vil jeg optage deres svar og arbejde. De vil forblive anonyme og

eventuelle videobilleder vil kun fokusere på deres hænder og skriftlige arbejde - ikke på deres ansigter.

I bedes svare på denne henvendelse senest torsdag d. 28. april. På forhånd tak for hjælpen.

I er naturligvis velkomne til at kontakte mig for yderligere oplysninger. (Mail [email protected] og tlf: 72482347)

Mvh

Lars Johnsen

Læreruddannelsen i Vordingborg (UCSJ)

mailto:[email protected]


Side 124 af 126

Bilag J: Google-mappe med videofiler fra intervention

Via dette link er der adgang til mine videofiler fra interventionen:

kortlink.dk/mmmp

Filnavn Indhold Img 0447 Video hvor der arbejdes med identiteter vha. kort

Img 0448 Video hvor der manipuleres med identiteter vha. kort

Img 0449 Video hvor der opbygges de første ligninger med kort

Img 0450 Video hvor der arbejdes med ligninger med koefficient foran ubekendt (flere kort i samme bunke). Skrives også symbolsk

Img 0451 Video der fortsætter fra img 0450 + diskussion af ”Elev C’s” vandrette notation

Img 0452 Video hvor der digtes en ligningshistorie til ligning opstillet med kort

Img 0453 Billede af ligning repræsenteret ved kort

Img 0454 Billede af ligning repræsenteret ved kort

Img 0455 Video af øvelser om antal løsninger til ligning (0 løsninger)

Img 0456 Video hvor der diskuteres ækvivalens og lighedstegnets betydning

Img 0457 Video hvor Lars fortæller ligningshistorie og der opstilles ligning på papir

Img 0459 Video hvor ”Elev C” fortæller ligningshistorie til symbolsk opstillet ligning (og løser den)

Img 0470 Video hvor ”Elev C” arbejder med hjemmesiden ”algebra balance scales”

Img 0471 Video hvor ”Elev A + B” arbejder med app’en ”Dragon Box” og fortæller om relation til ligninger (bl.a. om lighedstegn og brøker)

Img 0475 Video hvor ”Elev B” arbejder med app’en ”Dragon Box” og fortæller om relation til ligninger (bl.a. misopfattelse om uligheder)

Img 0476 Video hvor ”Elev C” arbejder med hjemmesiden ”algebra balance scales” (giver anledning til snak om rationale løsninger)

http://kortlink.dk/mmmp


Side 125 af 126

Bilag K: Posttest (Udvalgte opgaver fra detektionstest)

Som en afsluttende posttest blev de tre elever bedt om at genregne udvalgte opgaver fra detektionstesten.

Af skemaet ses, hvilke opgaver eleverne arbejdede med:

I skemaet har jeg sammenlignet antallet af rigtige svar på delspørgsmål i de udvalgte opgaver før

(detektionstest) og efter (posttest)

Elev Opgaver fra detektionstest udvalgt til posttest

Antal rigtige i detektionstest

Antal rigtige i posttest

A Nr. 1 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 10 - 11 - 13 12 ud af 23 16 ud af 23

B Nr. 1 - 2d - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 9 - 12 - 13 13 ud af 24 20 ud af 24 C Nr. 1 - 2a - 3 - 5 - 9 - 12 - 14 - 17 - 18 15 ud af 23 23 ud af 23


Side 126 af 126

Bilag L:

Oversigt over de 3 x 4 udvalgte kategorier til analyse af tekstbogssystemerne KonteXt og Faktor

Niveau 1: Rigid operationel Jf. Rittle-Johnson et al. (2011)

Kun operationer på venstre side af lighedstegnet

Niveau 2: Fleksibel operationel Jf. Rittle-Johnson et al. (2011)

Atypiske ligninger inkl. identiteter og operationer kun på højre side.

Niveau 3: Basis relationel Jf. Rittle-Johnson et al. (2011)

Operationer på begge sider af lighedstegnet

Niveau 4: Sammenlignelig relationel Jf. Rittle-Johnson et al. (2011)

Operationer på begge sider af lighedstegnet, hvor samme ubekendte bruges flere gange. Eller brug af flere ubekendte

Konkrete aritmetiske Jf. Vlassis (2002)

Kun brug af naturlige tal og kun 1 forekomst af den ubekendte

Abstrakt aritmetiske Jf. Vlassis (2002)

Også brug af negative hele tal, decimaltal og brøker eller flere forekomster af den ubekendte - dog på samme side af lighedstegnet

Pre-algebraiske (modelbaserede) Jf. Vlassis (2002)

Den ubekendte optræder på begge sider af lighedstegnet, men ligningen er repræsenteret af en konkret model (fx balance eller geometrisk)

Algebraiske (løsrevet fra model) Jf. Vlassis (2002)

Den ubekendte optræder på begge sider af lighedstegnet. Eller brug af flere ubekendte. Ligningen er udelukkende symbolsk og ikke repræsenteret af en model.

Multifunktionel diskursiv Jf. Duval (2006)

En skriftlig eller mundtlig ligningshistorie med ord

Monofunktionel diskursiv Jf. Duval (2006)

Ligning opskrevet symbolsk (fx 3x+2=16)

Multifunktionel ikke-diskursiv Jf. Duval (2006)

Tegninger og skitser af ligningsmodeller (fx balancemodel eller geometrisk repræsentation)

Monofunktionel ikke-diskursiv Jf. Duval (2006)

Grafer og diagrammer. Fx tabel eller koordinatsystem, der viser 2 ligninger med 2 ubekendte.

Documents

Vanskeligheder ved ligningsløsning - i folkeskolens ældste ... · Vanskeligheder ved ligningsløsning - i folkeskolens ældste klasser Title: Difficulties in equation solving in