Valsts pārbaudes darba programma

Matemātika vispārīgajā mācību satura apguves līmenīValsts pārbaudes darba programma

Valsts izglītības satura centrs | ESF projekts Nr. 8.3.1.1/16/I/002 Kompetenču pieeja mācību saturā

Matemātika vispārīgajā mācību satura apguves līmenī Valsts pārbaudes darba programma

Valsts pārbaudes darba programma ir izstrādāta Eiropas Sociālā fonda projektā “Kompetenču pieeja mācību saturā” (turpmāk – Projekts).

Valsts pārbaudes darbu satura, programmu un paraugu izstrādi Projektā vadīja Pāvels Pestovs.

Valsts pārbaudes darba programmas izstrādi un sagatavošanu publicēšanai vadīja Jānis Vilciņš.

Valsts pārbaudes darba programmu izstrādāja Gunta Lāce, Artūrs Ļevikins, Liene Purgaile, Kristīne Ševčenko un Emīls Veide.

Valsts pārbaudes darba programmas izstrādē piedalījās Ieva Freidenfelde.

Valsts pārbaudes darba programmu izvērtēja ārējie eksperti: Ilze France un Līga Čakāne.

Projekts izsaka pateicību visām Latvijas izglītības iestādēm, kas piedalījās valsts pārbaudes darba aprobācijā.

© Valsts izglītības satura centrs | ESF projekts Nr. 8.3.1.1/16/I/002 Kompetenču pieeja mācību saturā© Valsts izglītības satura centrs | ESF projekts Nr.8.3.1.1/16/I/002 Kompetenču pieeja mācību saturā

3© Valsts izglītības satura centrs | ESF projekts Nr. 8.3.1.1/16/I/002 Kompetenču pieeja mācību saturā

Matemātika vispārīgajā mācību satura apguves līmenī. Valsts pārbaudes darba programma

Saturs

Ievads 4

1. Valsts pārbaudes darba mērķis 4

2. Vērtēšanas saturs 4

3. Valsts pārbaudes darba uzbūve 7

4. Vērtēšanas kārtība un kritēriji 8

5. Piekļuves nosacījumi 8

6. Palīglīdzekļi, kurus atļauts izmantot valsts pārbaudes darba laikā 8

7. Rīcības vārdu skaidrojums 9

PIELIKUMI

1. pielikums. Vispārīgu prasmju un prasmju grupu snieguma

līmeņu apraksti 10

2. pielikums. Formulas vispārīgā līmeņa matemātikas

valsts pārbaudes darbam 15

3. pielikums. Valsts pārbaudes darbā lietojamie simboli un

apzīmējumi 17

4. pielikums. Matemātikā plānotie skolēnam sasniedzamie rezultāti

vispārīgajā apguves līmenī 20

5. pielikums. Valsts pārbaudes darba programmā un valsts

pārbaudes darba paraugā lietotie kodi 25



Ievads

Valsts pārbaudes darba programma veidota kā teorētiskais ietvars 2021./2022. mācību gada un nākamo gadu valsts pārbaudes darbu izstrādei, kas nodrošinātu to salīdzināmību, grūtības pakāpes nemainību un pēctecību.

Programmā skaidrots vērtēšanas saturs, pārbaudes darba uzbūve, vērtēšanas kārtība un kritēriji, piekļuves nosacījumi valsts pārbaudes darbam, izmantojamie palīglīdzekļi.

1. Valsts pārbaudes darba mērķis

Valsts pārbaudes darba mērķis ir novērtēt skolēnu sniegumu matemātikā atbilstoši Ministru kabineta 2019. gada 3. septembra noteikumu Nr. 416 “Noteikumi par valsts vispārējās vidējās izglītības standartu un vispārējās vidējās izglītības programmu paraugiem” (turpmāk – standarts) 6. pielikumam “Plānotie skolēnam sasniedzamie rezultāti matemātikas mācību jomā” vispārīgajā mācību satura apguves līmenī un iegūt datus skolēnu snieguma un mācību satura izvērtēšanai, metodisko ieteikumu izstrādei un profesionālās pilnveides plānošanai izglītības iestādes, dibinātāja un valsts līmenī.

Valsts pārbaudes darba adresāts – skolēni, kuri ir apguvuši matemātikas mācību jomas sasniedzamos rezultātus (turp-māk – SR) vispārīgajā mācību satura apguves līmenī (4. pielikums).

2. Vērtēšanas saturs

Matemātikas vispārīgā līmeņa valsts pārbaudes darba (turpmāk – VPD) vērtēšanas saturu raksturo trīs kategorijas:1) sasniedzamo rezultātu veids un grupa;2) satura modulis;3) izziņas darbības līmenis.Tas nozīmē, ka katru VPD testelementu1 raksturo noteikts SR veids un grupa, satura modulis un izziņas darbības līmenis.

2.1. Sasniedzamo rezultātu veids un grupa

Skolēnam plānotie SR ir četru veidu:1) zināšanas un izpratne;2) prasmju grupas;3) vērtībās balstīti ieradumi;4) zināšanu, izpratnes, prasmju un ieradumu kombinācijas.Katram sasniedzamo rezultātu veidam ir norādītas sasniedzamo rezultātu grupas (1. tabula), kuras apkopo standartā

noteikto mācību saturu un tiek pārbaudītas/mērītas VPD.

1 Testelements ir uzdevums (vai uzdevuma daļa), kas veidots, lai vērtētu kādu konkrētu skolēnu darbības aspektu atbilstoši kritērijiem.



Zināšanu un izpratnes pārbaudei VPD iekļauti uzdevumi, kuros skolēni:1) atpazīst un atceras matemātiskus objektus, to attēlojumus, īpašības u. c.;2) skaidro jēdzienu, darbību nozīmi, jaunās situācijās spriež un raksturo matemātisko modeļu īpašības, sakarības starp

lielumiem u. c.Prasmju apguvi raksturo četras SR grupas. Viena no prasmju grupām ir “Lieto priekšmeta specifiskās prasmes un algo-

ritmus”, kas ietver, piemēram, prasmi konstruēt funkcijas grafiku, aprēķināt telpisku ķermeņu nezināmos lielumus. Atbilstoši standartā noteiktajam mācību saturam uzdevumi šo prasmju pārbaudei VPD iekļauti ar lielāko īpatsvaru. Otrai prasmju gru-pai “Lieto prasmes darbā ar informāciju” atbilstošu prasmju pārbaudei VPD iekļauti uzdevumi, kuros skolēni:

1) nolasa, interpretē un izmanto statistiskos datus;2) lasa dotu jaunu informāciju, kuras matemātiskais saturs iespējami vienkāršs, un to lieto, demonstrējot lasītprasmi.Informāciju par vēl divu prasmju grupu – “Lieto matemātikas valodu” un “Organizē risinājumu” – atbilstošo prasmju

apguvi iegūst, apkopojot datus par skolēnu sniegumu darbā kopumā – summējot apliecinājumus (ir/nav) to uzdevumu risinā-jumos, kuru vērtēšanas kritērijos iekļautas šīs prasmes.

Ievērojot to, ka ieradumu vērtēšanai nozīmīgi ir novērot skolēna darbību ilgākā laikposmā, VPD tiešā veidā ieradumi netiek novērtēti. Tajā pašā laikā ieradumi, kas mērķtiecīgi veidoti mācību procesā, nozīmīgi ietekmē skolēnu sniegumu VPD, piemēram, domājot par citiem saprotama teksta/risinājuma veidošanu, izmantojot pašpārbaudes stratēģijas, neapstājoties pie pirmās neveiksmes sarežģītākā situācijā; tādējādi varētu teikt, ka skolēnu ieradumi VPD tiek vērtēti netieši.

VPD iekļauti trīs matemātikas mācību saturam raksturīgi un nozīmīgi zināšanu, izpratnes, prasmju un ieradumu kombi-nāciju veidi (1. tabula). To pārbaudei izmanto uzdevumus, kuri lielākā vai mazākā mērā skolēniem ir jauna situācija, turklāt to matemātiskais saturs var būt no jebkura satura moduļa (2. tabula). Atbilstoši standartā noteiktajam mācību saturam ar nozī-mīgu īpatsvaru VPD iekļauti uzdevumi, kas pārbauda SR grupu “Lieto vai veido matemātisko modeli situācijās ar praktisku un citu jomu kontekstu”, kas no skolēna prasa spēju veidot apgūto zināšanu un prasmju pārnesumu situācijās ar praktisku vai citu jomu kontekstu. SR grupa “Pēta, formulē, vispārina un pamato sakarības” saistīta ar mācību procesā iegūtu skolēnu pieredzi situāciju izpētē, induktīvu spriedumu veidošanā, savu spriedumu pamatošanā. Šīs SR grupas pārbaudei iekļauto uz-devumu matemātiskais saturs ir vienkāršs, pieejams vairumam skolēnu, jo mērķis ir pārbaudīt prasmju komplektu. SR grupas “Pierāda vispārīgu apgalvojumu patiesumu” pārbaudei var būt iekļauti uzdevumi par jebkura satura moduļa kontekstu, kuros skolēni demonstrē prasmi atsaukties uz zināšanām vai veido pretpiemērus, lai pamatotu apgalvojuma patiesumu.

1. tabula. Sasniedzamo rezultātu veidi, grupas un to īpatsvars VPD

Sasniedzamo rezultātu veids un grupa Īpatsvars (%)

Zināšanas un izpratne

Atpazīst un atceras matemātiskus objektus, to attēlojumus, īpašības u. c.24–28

Skaidro nozīmi, raksturo un pamato īpašības, saistību u. c.

Prasmju grupas Lieto priekšmeta specifiskās prasmes un algoritmus. 32–36

Lieto prasmes darbā ar informāciju. 5–9

Lieto matemātikas valodu. 3–4

Organizē risinājumu. 3–4

Zināšanu, izpratnes, prasmju un ieradumu kombinācijas

Pēta, formulē, vispārina un pamato sakarības. 6–10

Pierāda vispārīgu apgalvojumu patiesumu. 4–6

Lieto vai veido matemātisko modeli situācijās ar praktisku un citu jomu kontekstu. 10–15



2.2. Satura moduļi

Satura moduļi VPD strukturēti atbilstoši pieejai Matemātika kursa programmas paraugā, piemēram, satura modulis “Algebra” ietver trīs tematus – “Skaitliskie aprēķini dzīves darbībā”, “Funkcijas kā reālu situāciju matemātiskais modelis” un “Algebrisko modeļu lietojums reālās situācijās”. Satura moduļu īpatsvars VPD darbā (2. tabula) proporcionāls to apguvei no-teiktajam stundu skaitam atbilstošajos satura tematos programmas paraugā.

2. tabula. Satura moduļi un to īpatsvars VPD

Satura modulis Īpatsvars (%)

Algebra 45 ± 2

Ģeometrija 30 ± 2

Varbūtības un statistika 25 ± 2

VPD izstrādes procesā tiek saskaņots un nodrošināts sadaļu procentuālais sadalījums gan SR veidiem un grupām, gan satura moduļiem.

2.3. Izziņas darbības līmenis

VPD iekļautie uzdevumi grupēti pēc izziņas darbības līmeņa, un to līmeņa noteikšanai izmanto SOLO jeb novēroto mācīšanās rezultātu taksonomiju. SOLO taksonomijā skolēna sniegums tiek raksturots, analizējot ideju jeb struktūrelementu skaitu un saišu kvalitāti starp šiem struktūrelementiem. Vispārīgs izziņas darbības līmeņu apraksts, kas piemērots VPD, ap-kopots 3. tabulā.

3. tabula. Izziņas darbības līmeņu raksturojums un to īpatsvars VPD

Izziņas darbības līmenis un tā apraksts Īpatsvars (%)

I Atceras, lieto faktus, īsas procedūras vai atsevišķas idejas. 23–27

II Veic tipiskus algoritmus, lieto formulas, paņēmienus vai prasmes pazīstamās situācijās. 58–62

III Saista, skaidro, lieto zināšanas vai prasmes jaunās situācijās, demonstrējot patiesu izpratni. 11–13

IV Veido un pierāda vispārinājumus, lieto zināšanas un prasmes situācijās ar augstu kompleksuma pakāpi. 2–4

Katram līmenim atbilstošo uzdevumu īpatsvars noteikts, ievērojot VPD mērķi un mērķauditorijas matemātiskā snieguma līmeni. Skolēnu grupai ar zemu un vidēju matemātiskā snieguma līmeni dota iespēja apliecināt savas zināšanas un prasmes pietiekami plašā satura jautājumu lokā atbilstoši I un II izziņas darbības līmenim. SR veidu “Zināšanas un izpratne” un “Pras-mju grupas” vērtēšanai iekļauti atsevišķi testelementi, kas atbilst III izziņas darbības līmenim, tādējādi akcentējot izpratnes veidošanu, spēju rīkoties jaunās situācijās. Vairums SR veida “Zināšanu, izpratnes, prasmju un ieradumu kombinācijas” vēr-tēšanai iekļauto uzdevumu ietver III līmenim atbilstošus testelementus, bet kāds no tiem arī IV izziņas darbības līmenim atbilstošus testelementus.



3. Valsts pārbaudes darba uzbūve

VPD ir divas daļas. Katras daļas ilgums ir 120 minūtes. Starp daļām ir starpbrīdis, kura ilgums – 60 minūtes.1. daļā “Zināšanas, izpratne un prasmes” iekļauti uzdevumi, kuri pārbauda šiem sasniedzamo rezultātu veidiem atbilsto-

šās SR grupas (4. tabula). 1. daļas uzdevumi strukturēti un apkopoti trīs sadaļās pēc atbilstības noteiktam satura modulim, piemēram, “Zināšanas, izpratne un prasmes algebrā”. 1. daļā izmantoti atbilžu izvēles uzdevumi (viena pareizā atbilde), īso atbilžu uzdevumi un izvērsto atbilžu uzdevumi. Katra no uzdevumu sadaļām var saturēt visu šo veidu uzdevumus. Katra veida uzdevumu skaits un īpatsvars daļā un VPD kopumā nav stingri noteikts. Uzdevuma veida izvēli nosaka atbilstība sasniedza-majam rezultātam, ko tas pārbauda.

2. daļā “Kompleksu problēmu risināšana” iekļauti uzdevumi, kas pārbauda trīs matemātikas mācību saturam raksturīgas zināšanu, izpratnes, prasmju un ieradumu kombinācijas. Gadu no gada var mainīties satura modulis, kura ietvaros tiek pār-baudīta katra no šīm SR grupām. 2. daļā izmantoti izvērsto atbilžu uzdevumi.

4. tabula. VPD uzbūve

VPD daļaSatura modulis

SR grupaAlgebra Ģeometrija Varbūtības

un statistika

SR grupu un VPD daļu

īpatsvars (%)

1. Zināšanas, izpratne un prasmes

Atpazīst, atceras matemātiskus objektus, to attēlojumus, īpašības u. c. 24–28

75

Skaidro nozīmi, raksturo un pamato īpašības, saistību u. c.

Lieto priekšmeta specifiskās prasmes un algoritmus. 32–36

Lieto prasmes darbā ar informāciju. 5–9

Lieto matemātikas valodu. 3–4

Organizē risinājumu. 3–4

2. Kompleksu problēmu risināšana

Pēta, formulē, vispārina un pamato sakarības. 6–10

25Pierāda vispārīgu apgalvojumu patiesumu. 4–6

Lieto vai veido matemātisko modeli situācijās ar praktisku un citu jomu kontekstu.

10–15

Satura moduļu īpatsvars (%) 45 30 25 100



4. Vērtēšanas kārtība un kritēriji4.1. Vērtēšanas kārtība

Atbilžu izvēles uzdevumos un īso atbilžu uzdevumos, kuros atbilde un tās pieraksts ir viennozīmīgs, vērtē tikai skolēnu atbildes.

Skolēnu risinājumus, sniegumu un atbildes saskaņā ar izstrādātajiem vērtēšanas kritērijiem vērtē izvērsto atbilžu uzde-vumos un tajos īso atbilžu uzdevumos, kuros pilnīgai un precīzai novērtēšanai nepieciešama vērtētāja iesaiste. Skolēni aiz katra uzdevumu formulējuma raksta risinājumus un atbildes tam paredzētajā vietā.

Skolēna rezultātus VPD – iegūto punktu summu visā darbā, iegūto punktu summu katrā daļā un iegūto punktu summu pret noteiktu SR veidu vai grupu – izsaka procentuālajā novērtējumā.

Kopumā aptuveni 15–20 % VPD iekļauto testelementu reprezentē minimālo prasību kopumu.

4.2. Vērtēšanas kritēriji

Skolēnu sniegumu VPD vērtē atbilstoši vērtēšanas kritērijiem, kas var būt izteikti kā katram punktam atbilstošu darbību, rezultāta apraksts vai kā snieguma līmeņu apraksts, katram līmenim piešķirot noteiktu punktu skaitu.

Snieguma līmeņu aprakstus konkrētu VPD uzdevumu vērtēšanai veido, izmantojot vispārīgu prasmju vai prasmju grupu snieguma līmeņu aprakstus (1. pielikums), tos sašaurinot un konkretizējot, ievērojot konkrētā uzdevuma saturu.

Skolēna snieguma vērtējums par SR grupām “Lieto matemātikas valodu” un “Organizē risinājumu” veidojas, apkopojot datus par viņa sniegumu darbā kopumā – summējot apliecinājumus (ir/nav) to uzdevumu risinājumos, kuru vērtēšanas kri-tērijos iekļautas šīs prasmes. Iegūtais pozitīvo apliecinājumu skaits katrai no šīm divām SR grupām tiek pārveidots punktos no 0 līdz 3, izmantojot piemērotu algoritmu. Lai veidotu skolotāju un skolēnu vienotu izpratni par matemātikas simboliskās valodas lietojumu, izstrādāts simbolu un apzīmējumu saraksts (3. pielikums).

5. Piekļuves nosacījumi

VPD netiek izvirzīti noteikti piekļuves nosacījumi.

6. Palīglīdzekļi, kurus atļauts izmantot valsts pārbaudes darba laikā

VPD laikā skolēniem ir iespēja izmantot zinātnisko kalkulatoru (nav pieļaujama grafiskā kalkulatora izmantošana), lineālu, cirkuli un formulu lapu (2. pielikums).



7. Rīcības vārdu skaidrojums

VPD biežāk lietoto vai mācību procesā nereti dažādi interpretēto rīcības vārdu skaidrojums (5. tabula) ir iekļauts, lai vei-dotu vienotu skolotāju un skolēnu izpratni par šo vārdu nozīmi un tai atbilstošu skolēna sniegumu mācību procesā un VPD.

5. tabula. Biežāk lietotie rīcības vārdi un to skaidrojums

Rīcības vārds Skaidrojums

Atrisini (vienādojumu, nevienādību u. c.)

Iegūsti vienādojuma, nevienādības, to sistēmas atrisinājumu, izvēloties un izmantojot dažādas metodes un parādot nozīmīgus risinājuma soļus.

Aprēķini Iegūsti rezultātu (konkrēti vai vispārīgi uzdotu skaitli), veicot aprēķinus un tos parādot.

Nosaki Iegūsti atbildi uz jautājumu vai rezultātu, spriežot, analizējot, veicot aprēķinus galvā, nolasot informāciju no tabulas, grafika u. tml.

Secini Veido un formulē spriedumu, pamatojoties uz zināmu vai iegūtu informāciju, vērojumiem, iepriekš veiktu analīzi u. tml.

Raksturo Nosaki un apraksti apskatītā objekta būtiskās īpašības, pazīmes, raksturīgos lielumus un saistību starp tiem.

Paskaidro Sniedz pārskatu (vārdisku izklāstu, shēmu, matemātisko modeli u. tml.), padarot saprotamu apskatītā objekta, sakarības, darbības, procesa u. tml. galveno ideju, nozīmi/jēgu, struktūru.

Izvērtē Raksturo un pamato apskatītā objekta (matemātiskais modelis, risinājums, rezultāts u. tml.) atbilstību noteiktām prasībām, ierobežojumus, eksistences nosacījumus, iespējamību, ticamību u. tml.

Pierādi Izveido spriedumu virkni, kas no dotā apgalvojuma patiesuma ļauj secināt par pierādāmā apgalvojuma patiesumu, un parādi nozīmīgus pierādījuma soļus.

Pamato Izveido skaidrojumu, kas rāda, ka apgalvojums ir patiess, atsaucoties uz konkrētu informāciju (definīcija, īpašība, teorēma u. tml.) vai izmantojot loģisku spriešanu.

Vienkāršo(matemātisku izteiksmi)

Izsaki un pieraksti izteiksmi iespējami lakoniski/vienkārši, veicot identiskos pārveidojumus.

Konstruē(plaknes figūru)

Izveido figūras attēlu, izmantojot dotos elementus, parādot un pamatojot konstruēšanas soļus (ar palīglīnijām, zīmējumu, simboliem vai vārdiski).

Konstruē(funkcijas grafiku)

Izveido funkcijas grafika attēlu, parādot un pamatojot katrai funkcijai raksturīgus konstruēšanas soļus (atsevišķu punktu koordinātu aprēķināšana, grafiku pārbīdes, transformācijas u. tml.), precīzi attēlojot funkcijas un tās grafika raksturīgās īpašības.

Uzzīmē Izveido plaknes figūras, telpiska ķermeņa, funkcijas grafika, izvēļu koka, Venna diagrammas u. tml. attēlu ar kontekstam atbilstošu detalizāciju.

Uzskicē Izveido attēlu bez sīkas detalizācijas (skici), uzsverot svarīgākās attēlotā matemātiskā modeļa īpašības un sniedzot vispārīgo priekšstatu par to.

Izsaki Uzraksti izteiksmi noteiktajā formā, lieluma skaitlisko vērtību noteiktās mērvienībās.

Izveido matemātisko modeli

Lieto matemātiku (izteiksmi, vienādojumu, funkciju, ģeometrisku figūru, shematisku zīmējumu, izvēļu koku u. tml.) reālās pasaules situācijas iespējami vienkāršai un precīzai aprakstīšanai, kas tālāk ļauj veidot pamatotu problēmas atrisinājumu.



PIELIKUMI

1. pielikumsVispārīgu prasmju un prasmju grupu snieguma līmeņu apraksti

Snieguma līmeņu apraksti veidoti ar pieeju, ka trešais (III) līmenis kopumā apraksta sniegumu, kas ir labs vai pat ļoti labs mācīšanās rezultāts – pilnvērtīga mācību procesa rezultātā var sagaidīt no katra skolēna. Līdz ar to ceturtais (IV) līmenis raksturojams kā izcils mācīšanās rezultāts – skolēns demonstrē attiecīgās prasmes iespējami precīzi, konsekventi un niansēti. Savu-kārt otrais (II) līmenis kopumā apliecina to, ka skolēns attiecīgās prasmes apguvis daļēji vai formāli – vairumā gadījumu nespēj skaidrot lietoto jēdzienu un veikto darbību nozīmi un saistību, nelieto prasmes jaunās situācijās. Pirmais (I) līmenis kopumā apliecina standartā noteikto prasmju apguves minimumu.

VPD programmā iekļauti snieguma līmeņu apraksti šādām prasmju grupām:• “Skaidro jēdziena, lieluma, darbības galveno ideju, nozīmi, dažādus attēlošanas veidus u. c.”;• “Lieto matemātikas valodu”;• “Organizē risinājumu”;• “Pierāda vispārīga apgalvojuma patiesumu”;• “Pēta, formulē, vispārina un pamato sakarības”;• “Lieto vai veido matemātisko modeli situācijās ar praktisku un citu jomu kontekstu”;• “Lieto prasmes darbā ar informāciju”.

Skaidro jēdziena, lieluma, darbības galveno ideju, nozīmi, dažādus attēlošanas veidus u. c.

LīmenisKritērijs I II III IV

Izpratnes dziļums Formulē atsevišķus un nesaistītus apgalvojumus, kas attiecas uz nozīmi, bet neraksturo būtiskus aspektus. Demonstrē fragmentāras un nesakārtotas zināšanas.

Skaidro, izmantojot konkrētus piemērus, demonstrējot ierobežotu vai daļēju izpratni par nozīmi. Dažkārt cenšas skaidrot teorētiski, bet pieļautās neprecizitātes liecina par zināšanu formālo raksturu.

Skaidro, izmantojot gan konkrētus piemērus, gan teorētiski, demonstrējot izpratni par būtisko, pieļaujot atsevišķas neprecizitātes un neraksturojot vietu plašākā kontekstā.

Precīzi un lakoniski skaidro nozīmi teorētiski, pamatoti izvērtē konkrētu piemēru izmantošanu, demonstrējot dziļu izpratni. Ja nepieciešams, raksturo vietu plašākā kontekstā, iekļauj izņēmuma gadījumu vai ierobežojumu skaidrojumu.



Lieto matemātikas valodu


Simbolu un pieņemto apzīmējumu lietojums

Nekonsekventi lieto atsevišķus pieņemtos apzīmējumus un simbolus. Vairumā gadījumu to lietojums ir nekorekts.

Lieto lielāko daļu pieņemto apzīmējumu un simbolu, bet nekonsekventi vai daļēji korekti.

Kopumā korekti un konsekventi lieto visus pieņemtos apzīmējumus un simbolus, pieļaujot dažas neprecizitātes.

Korekti un konsekventi lieto visus pieņemtos apzīmējumus un simbolus.

Vārdiska teksta veidošana, terminoloģijas lietojums

Veido nesaprotamus teikumus. Vairumu matemātikas terminu lieto kļūdaini vai neatbilstoši. Var izmantot “savus” jēdzienus, kas neatbilst pieņemtajiem.

Daļa teikumu ir veidoti kļūdaini, kas padara neskaidru vēstīto saturu. Parasti matemātikas terminus lieto pareizi, bet dažkārt to lietojums ir neatbilstošs vai pārmērīgs, atsevišķus terminus lieto nepareizi.

Kopumā veido viennozīmīgi saprotamu tekstu, pareizi izmanto terminoloģiju, pieļaujot atsevišķas nepilnības to lietojumā vai liekvārdību. Dažkārt nevajadzīgi formalizē vēstījumu vai – gluži otrādi – simbolisko pierakstu nepiemēroti aizstāj ar sarunvalodas elementiem.

Visi teikumi ir pareizi veidoti un viennozīmīgi saprotami. Precīzi un piemēroti lieto matemātikas terminus, vēstījums ir lakonisks. Izvēlas lietot vai nu formālos simbolus, vai sarunvalodas elementus, nodrošinot iespējami saprotamāku vēstījumu lasītājam.

Organizē risinājumu


Risinājuma strukturēšana

Ir struktūras iezīmes, trūkst būtisku struktūras elementu, vai arī risinājums satur lieku informāciju, kas traucē viennozīmīgi uztvert atsevišķos soļus un to secību.

Risinājums kopumā ir strukturēts, bet var trūkt kāda struktūras elementa (vai arī attēlošanas veids nav izvēlēts veiksmīgi), kā rezultātā lasītājam nepieciešama piepūle, lai skaidri ieraudzītu soļus un to secību.

Risinājums ir piemēroti strukturēts, kas ļauj ieraudzīt atsevišķos soļus un to secību arī tad, ja dažreiz nav izvēlēti piemērotākie attēlošanas veidi vai risinājums satur liekus soļus.

Risinājums ir labi strukturēts, kas ļauj viegli ieraudzīt atsevišķos soļus un to secību.

Risinājuma skaidrošana, soļu loģiska saistīšana

Dažkārt iekļauj formālas vai neprecīzas atsauces pazīstamās situācijās. Neveido saites starp risinājuma elementiem, soļiem, kas neļauj lasītājam uztvert domu gaitu kopumā.

Pazīstamās situācijās vai pēc tiešām norādēm mēģina skaidrot risinājuma soļus, to saistību, iekļaujot nebūtiskas vai liekas atsauces, saturiski neprecīzu vai situācijai neatbilstošu skaidrojumu, kas no lasītāja prasa piepūli, lai saprastu domu gaitu.

Skaidro un pamato darbības, risinājuma soļus kopumā matemātiski korekti, dažkārt pieļaujot neprecizitātes, neskaidrojot būtiskāko vai iekļaujot nebūtisku informāciju, nevajadzīgus pamatojumus u. tml.

Skaidro un pamato risinājuma soļus atbilstoši situācijai, veidojot viegli izlasāmu, loģiski saistītu un lakonisku (neiekļaujot nebūtiskas idejas, liekas atsauces, nevajadzīgus pamatojumus u. tml.) tekstu, kas kopā ar formālo risinājumu veido integrētu veselumu.



Pierāda vispārīga apgalvojuma patiesumu


Korektums un loģika (formulē, pamato un loģiski saista apgalvojumus)

Korekti veic vismaz vienu pierādījuma soli, bet kopumā nepierāda prasīto. Parasti nepamato apgalvojumus vai dara to kļūdaini, neveido atsauces uz zināšanām, iepriekš pierādīto, vai tās ir neatbilstošas situācijai, pretrunīgas kādam apgalvojumam.

Īsteno piemērotu plānu, bet trūkst kāda soļa vai kāds spriedums ir kļūdains. Pamato tikai daļu no apgalvojumiem. Cenšas loģiski saistīt secīgus apgalvojumus, bet atsauces uz zināšanām, iepriekš pierādīto ir daļēji pareizas vai neprecīzas, kas tomēr ļauj saprast pierādījuma ideju. Ne vienmēr ir gala slēdziens.

Kopumā pierāda prasīto, pieļaujot nelielas kļūdas. Saista apgalvojumus, bet loģika vai atsauces uz zināšanām, iepriekš pierādīto var saturēt neprecizitātes, kas netraucē uztvert būtisko. Ir skaidrs gala slēdziens.

Pilnīgi un precīzi pierāda prasīto, veido pamatotus un secīgi saistītus apgalvojumus, izmantojot loģiku vai precīzi un atbilstoši situācijai atsaucoties uz zināšanām, iepriekš pierādīto. Ir precīzs gala slēdziens.

Pēta, formulē, vispārina un pamato sakarības


Risinājuma skaidrojums

Veic atsevišķas, savstarpēji nesaistītas darbības, kas potenciāli ļautu secināt par sakarību.

Saista atsevišķas darbības, kopumā īsteno situācijai atbilstošu plānu, bet kādā no soļiem nozīmīgi kļūdās; nepamato veiktās darbības, apgalvojumus.

Kopumā pareizi apraksta nozīmīgākos soļus sakarības iegūšanai, pieļaujot atsevišķas neprecizitātes vai nepamatojot kādu no soļiem.

Pilnīgi un lakoniski, iekļaujot būtiskus pamatojumus, apraksta, kā ieguva sakarību.

Sakarības formulēšana un vispārināšana

Formulē patiesu apgalvojumu par lielumu konkrētām vērtībām, kas doto situāciju raksturo šauri, nepilnīgi.

Pareizi raksturo sakarību konkrētos piemēros, formulē vispārinājumu nepilnīgi vai kļūdaini. Izpildes nosacījumus, ierobežojumus neapskata.

Sakarību formulē un vispārina pareizi, ne vienmēr ievēro vai nekorekti apraksta izpildes nosacījumus, iespējamos ierobežojumus.

Sakarību formulē un vispārina precīzi, aprakstot izpildes nosacījumus, iespējamos ierobežojumus.

Vispārīgā apgalvojuma pamatošana

– Pārbauda vispārīgā apgalvojuma patiesumu, izmantojot konkrētas lielumu skaitliskās vērtības.

Pamato vispārīgā apgalvojuma patiesumu, pieļaujot neprecizitātes vai veicot to nepilnīgi.

Pamato vispārīgā apgalvojuma patiesumu precīzi un korekti.



Lieto vai veido matemātisko modeli situācijās ar praktisku un citu jomu kontekstu


Matemātiskā instrumentārija izvēle

Izvēlas matemātisko instrumentāriju, kas saturiski atbilst kādam konkrētam problēmas aspektam, bet neļauj to atrisināt kopumā.

Izvēlas matemātisko instrumentāriju, kas problēmu ļauj atrisināt tikai daļēji vai nepilnīgi; to pieraksta vai raksturo daļēji pareizi, demonstrējot ierobežotu izpratni.

Izvēlas matemātisko instrumentāriju, kas ļauj atrisināt problēmu; kopumā korekti to pieraksta vai raksturo, pieļaujot neprecizitātes.

Izvēlas matemātisko instrumentāriju, kas ļauj efektīvi atrisināt problēmu; korekti to pieraksta vai raksturo.

Zināšanu, izpratnes un prasmju lietojums jaunā situācijā

Pareizi izpilda atsevišķas darbības, pārveidojumus vai autonomu risinājuma daļu (kopumā vismaz trešdaļa no pilna risinājuma).

Pareizi izpilda lielāko daļu no darbībām, pārveidojumiem, kādu no soļiem neveic vai pieļauj būtisku kļūdu, veicot pārveidojumus, raksturojot sakarību starp lielumiem, lietojot zināšanas.

Parāda visas nepieciešamās darbības vai citādi demonstrē izpratni par pilna risinājuma soļiem un to saistību, bet pieļauj atsevišķas neprecizitātes spriedumos vai kļūdas pārveidojumos, aprēķinos.

Atrisinājums ir pilnīgs; visi aprēķini, pārveidojumi un attēlojumi veikti pareizi, visi formulētie apgalvojumi ir patiesi.

Lieto prasmes darbā ar informāciju


Datu ticamība Tikai atsevišķos gadījumos izvērtē informācijas avota kvalitāti un datu ticamību, pēc norādēm izmanto citus informācijas avotus.

Dažreiz kritiski izvērtē informācijas avota drošumu, kvalitāti un datu ticamību, kā alternatīvu izvēlas bieži izmantotus avotus, kas, iespējams, ir tikai daļēji piemēroti situācijai.

Parasti kritiski izvērtē informācijas avota drošumu, kvalitāti un datu ticamību. Vairumā gadījumu izmanto vēl kādu avotu, lai iegūtu un salīdzinātu informāciju, bet ne vienmēr avota izvēle ir iespējami labākā.

Vienmēr kritiski izvērtē informācijas avota drošumu, kvalitāti un datu ticamību. Mērķtiecīgi izvēlas citus informācijas avotus un salīdzina iegūto informāciju.

Datu iegūšana Iegūst datus, daļēji korekti tos nolasot atsevišķiem biežāk lietotiem attēlošanas veidiem, bieži neievēro datu veidu, kontekstu, mērogu un mērvienības. Pēc norādēm pazīstamās situācijās saskata liekus datus, novērtē datu pietiekamību.

Iegūst datus, daļēji korekti tos nolasot vairumam attēlošanas veidu. Parasti pazīstamās situācijās ievēro datu veidu, kontekstu, mērogu un mērvienības, pieļaujot atsevišķas kļūdas. Dažreiz pazīstamās situācijās saskata liekus datus un novērtē datu pietiekamību, pēc norādēm izvēlas veidu trūkstošo datu ieguvei.

Iegūst datus, daļēji korekti tos nolasot neatkarīgi no attēlošanas veida; ievēro datu veidu, kontekstu, mērogu un mērvienības pazīstamās un jaunās situācijās, pieļaujot nelielas neprecizitātes. Parasti saskata liekus datus un atlasa uz situāciju attiecināmos, novērtē datu pietiekamību un izvēlas atbilstošu veidu trūkstošo datu ieguvei.

Iegūst datus, korekti tos nolasot neatkarīgi no attēlošanas veida, vienmēr ievērojot datu veidu, atbilstošo kontekstu, mērvienības un mērogu. Vienmēr saskata liekus datus un atlasa uz situāciju attiecināmos, novērtē datu pietiekamību, izvēlas efektīvu veidu trūkstošo datu iegūšanai un pamato savu izvēli.



Lieto prasmes darbā ar informāciju


Datu interpretēšana

Datus interpretē ārpus problēmas konteksta. Apraksta datus vienā veidā, bet nestrukturē tos, savus spriedumus nepamato.

Dažreiz interpretē datus problēmas kontekstā. Apraksta datus vienā vai vairākos veidos, dažkārt tos strukturē, bet savus spriedumus nepamato.

Parasti interpretē datus problēmas kontekstā.Parasti izvēlas pietiekami efektīvus un uzskatāmus matemātikas instrumentus datu aprakstīšanai un strukturēšanai. Pamato savus spriedumus.

Vienmēr interpretē datus problēmas kontekstā. Izvēlas piemērotāko veidu datu aprakstīšanai un strukturēšanai, atlasa atbilstošus matemātikas instrumentus. Pamato savus spriedumus.

Iegūto rezultātu izvērtēšana

Pēc norādēm veic tiešu iegūtā un sagaidāmā rezultāta salīdzināšanu, dažkārt raksturo iegūto rezultātu problēmas kontekstā. Zina tipveida rezultāta ticamības izvērtēšanas paņēmienus, bet neveic pamatotas izvēles.

Dažkārt izvērtē iegūto rezultātu ticamību problēmas kontekstā, parasti reaģējot uz acīmredzamām pretrunām datos un rezultātā. Zina bieži lietotus rezultāta ticamības izvērtēšanas paņēmienus un dažreiz izvēlas efektīvāko no tiem.

Parasti izvērtē iegūto rezultātu ticamību problēmas kontekstā, izvēloties piemērotu rezultāta ticamības izvērtēšanas paņēmienu, nepamatojot izvēli. Dažkārt zina sagaidāmā rezultāta veidu un skaitliskās vērtības robežas.

Vienmēr izvērtē iegūto rezultātu ticamību problēmas kontekstā, izvēloties atbilstošākos paņēmienus izvērtēšanai un pamatojot to izvēli. Zina vai secina par sagaidāmā rezultāta veidu un skaitliskās vērtības robežām.

Datu izmantošana Nepamato savus spriedumus ar iegūto datu palīdzību, dažreiz apzināti izvairās formulēt nepamatotus secinājumus.Nesaprot nepieciešamību izmantot datus izvirzītās hipotēzes apstiprinājumam vai noliegumam.

Dažkārt izvairās formulēt nepamatotus secinājumus un pamato savus spriedumus ar iegūto datu palīdzību.Saprot nepieciešamību izmantot datus izvirzītās hipotēzes apstiprinājumam vai noliegumam, bet dara to nekorekti.

Parasti atšķir faktu no viedokļa un izvairās no nepamatotiem secinājumiem, bet ne vienmēr pilnīgi pamato savus spriedumus ar iegūto datu palīdzību.Daļēji korekti izmanto datus izvirzītās hipotēzes apstiprinājumam vai noliegumam.

Atšķir faktu no viedokļa un korekti izmanto iegūtos datus, lai izvairītos no nepamatotiem secinājumiem. Ar iegūto datu palīdzību pamato savus spriedumus. Korekti izmanto datus izvirzītās hipotēzes apstiprinājumam vai noliegumam.



2. pielikums

Formulas vispārīgā līmeņa matemātikas valsts pārbaudes darbam2. pielikums Formulas vispārīgā līmeņa matemātikas valsts pārbaudes darbam

Saīsinātās reizināšanas formulas, identitātes

(𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏)2 = 𝑎𝑎2 ± 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2

𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 = (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)

𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = −(𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)

(𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)2 = (𝑏𝑏 − 𝑎𝑎)2

Kvadrāttrinoms, kvadrātvienādojums

𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2)

𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0

𝐷𝐷 = 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑥𝑥1;2 = −𝑏𝑏±√𝐷𝐷2𝑎𝑎

𝑥𝑥2 + 𝑝𝑝𝑥𝑥 + 𝑞𝑞 = 0

{𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −𝑝𝑝𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 𝑞𝑞

Aritmētiskā progresija

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1 + (𝑛𝑛 − 1)𝑑𝑑

𝑆𝑆𝑛𝑛 =(𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛) 𝑛𝑛

2

𝑎𝑎𝑘𝑘 = 𝑎𝑎𝑘𝑘−1 + 𝑎𝑎𝑘𝑘+12

Ģeometriskā progresija, salikto procentu formula

𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1 ⋅ 𝑞𝑞𝑛𝑛−1 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1(𝑞𝑞𝑛𝑛 − 1)𝑞𝑞 − 1

𝑏𝑏𝑘𝑘2 = 𝑏𝑏𝑘𝑘−1 ⋅ 𝑏𝑏𝑘𝑘+1

𝐴𝐴 = 𝑆𝑆 ∙ (1 + 𝑟𝑟)𝑛𝑛, kur 𝐴𝐴 – uzkrātā vērtība, 𝑆𝑆 – sākumkapitāls, 𝑟𝑟 – procentu likme,

𝑛𝑛 – laika periods

Pakāpju īpašības

𝑎𝑎0 = 1 (𝑎𝑎 ≠ 0)

𝑎𝑎−𝑛𝑛 = 1𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛 = √𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚+𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑚𝑚

𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚−𝑛𝑛

(𝑎𝑎𝑚𝑚)𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚⋅𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑛𝑛 ⋅ 𝑏𝑏𝑛𝑛 = (𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏)𝑛𝑛

𝑎𝑎𝑛𝑛

𝑏𝑏𝑛𝑛 = (𝑎𝑎𝑏𝑏)

𝑛𝑛

Sakņu īpašības

√𝑎𝑎𝑛𝑛 ⋅ √𝑏𝑏𝑛𝑛 = √𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏𝑛𝑛

√𝑎𝑎𝑛𝑛

√𝑏𝑏𝑛𝑛 = √𝑎𝑎𝑏𝑏

𝑛𝑛

√𝑎𝑎𝑘𝑘⋅𝑚𝑚𝑛𝑛⋅𝑚𝑚 = √𝑎𝑎𝑘𝑘𝑛𝑛

√ √𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛= √𝑎𝑎𝑛𝑛⋅𝑚𝑚

√𝑎𝑎2 = |𝑎𝑎|

Logaritma definīcija un īpašības

log𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐, ja 𝑎𝑎𝑐𝑐 = 𝑏𝑏

𝑎𝑎log𝑎𝑎𝑏𝑏 = 𝑏𝑏

log𝑎𝑎(𝑥𝑥𝑥𝑥) = log𝑎𝑎𝑥𝑥 + log𝑎𝑎𝑥𝑥

log𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥𝑥 = log𝑎𝑎𝑥𝑥 − log𝑎𝑎𝑥𝑥

log𝑎𝑎𝑏𝑏 = log𝑐𝑐 𝑏𝑏log𝑐𝑐 𝑎𝑎

Statistika

𝑠𝑠2 = 1𝑛𝑛 ∑(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥)2,

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

kur 𝑠𝑠2 – dispersija, 𝑠𝑠 – standartnovirze nesagrupētai izlasei

𝜎𝜎2 = 1𝑛𝑛 − 1 ∑(𝑥𝑥𝑖𝑖 − 𝑥𝑥)2

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1,

kur 𝜎𝜎2– dispersija, 𝜎𝜎 – standartnovirze populācijai, aprēķinot tās no izlases



Vektori plaknē

Ja 𝐴𝐴(𝑥𝑥1; 𝑦𝑦1) un 𝐵𝐵(𝑥𝑥2; 𝑦𝑦2), tad

𝐴𝐴𝐵𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1; 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1)

Ja 𝑎𝑎 = (𝑎𝑎𝑥𝑥; 𝑎𝑎𝑦𝑦), �⃗�𝑏 = (𝑏𝑏𝑥𝑥; 𝑏𝑏𝑦𝑦), tad

𝑎𝑎 ± �⃗�𝑏 = (𝑎𝑎𝑥𝑥 ± 𝑏𝑏𝑥𝑥; 𝑎𝑎𝑦𝑦 ± 𝑏𝑏𝑦𝑦)

𝑘𝑘 ⋅ 𝑎𝑎 = (𝑘𝑘 ⋅ 𝑎𝑎𝑥𝑥; 𝑘𝑘 ⋅ 𝑎𝑎𝑦𝑦)

|𝑎𝑎 | = √𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎𝑦𝑦

2

Vektori telpā

Ja 𝐴𝐴(𝑥𝑥1; 𝑦𝑦1; 𝑧𝑧1) un 𝐵𝐵(𝑥𝑥2; 𝑦𝑦2; 𝑧𝑧2), tad

𝐴𝐴𝐵𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1; 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1; 𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1)

Ja 𝑎𝑎 = (𝑎𝑎𝑥𝑥; 𝑎𝑎𝑦𝑦; 𝑎𝑎𝑧𝑧) un �⃗�𝑏 = (𝑏𝑏𝑥𝑥; 𝑏𝑏𝑦𝑦; 𝑏𝑏𝑧𝑧),

tad 𝑎𝑎 ± �⃗�𝑏 = (𝑎𝑎𝑥𝑥 ± 𝑏𝑏𝑥𝑥; 𝑎𝑎𝑦𝑦 ± 𝑏𝑏𝑦𝑦; 𝑎𝑎𝑧𝑧 ± 𝑏𝑏𝑧𝑧)

𝑘𝑘 ⋅ 𝑎𝑎 = (𝑘𝑘 ⋅ 𝑎𝑎𝑥𝑥; 𝑘𝑘 ⋅ 𝑎𝑎𝑦𝑦; 𝑘𝑘 ⋅ 𝑎𝑎𝑧𝑧)

|𝑎𝑎 | = √𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎𝑦𝑦

2 + 𝑎𝑎𝑧𝑧2

Attālums starp punktiem, nogriežņa viduspunkts, taisnes vienādojums

Ja 𝐴𝐴(𝑥𝑥1; 𝑦𝑦1) un 𝐵𝐵(𝑥𝑥2; 𝑦𝑦2), tad

|𝐴𝐴𝐵𝐵| = √(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1)2

[𝐴𝐴𝐵𝐵] viduspunkts ir 𝐶𝐶 (𝑥𝑥1+𝑥𝑥22 ; 𝑦𝑦1+𝑦𝑦2

2 )

Taisne 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 = 𝑘𝑘(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0), kur 𝑘𝑘 – virziena koeficients, 𝑀𝑀(𝑥𝑥0; 𝑦𝑦0) – punkts, caur kuru iet taisne Taisnes 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 virziena koeficients 𝑘𝑘 = ∆𝑦𝑦

∆𝑥𝑥

Trijstūris

𝑎𝑎 – mala, ℎ𝑎𝑎– augstums pret malu 𝑎𝑎

𝑆𝑆 = 𝑎𝑎 ∙ ℎ𝑎𝑎2

Taisnleņķa trijstūris

𝑎𝑎, 𝑏𝑏 – katetes, 𝑐𝑐 – hipotenūza, 𝛼𝛼 – šaurais leņķis

𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐2 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎∙𝑏𝑏2

sin𝛼𝛼 = 𝑎𝑎𝑐𝑐 cos 𝛼𝛼 = 𝑏𝑏

𝑐𝑐 tg 𝛼𝛼 = 𝑎𝑎𝑏𝑏

Līdzīgi trijstūri

∢𝐴𝐴 = ∢𝐴𝐴1

∢𝐵𝐵 = ∢𝐵𝐵1

∢𝐶𝐶 = ∢𝐶𝐶1 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐴𝐴1𝐴𝐴1= 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐴𝐴1𝐴𝐴1= 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐴𝐴1𝐴𝐴1= 𝑘𝑘 𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑆𝑆𝐴𝐴1𝐴𝐴1𝐴𝐴1= 𝑘𝑘2

Paralelograms

𝑎𝑎, 𝑏𝑏 – malas, 𝛼𝛼 – leņķis starp malām, ℎ𝑎𝑎– augstums pret malu 𝑎𝑎

𝑆𝑆 = 𝑎𝑎 ∙ ℎ𝑎𝑎

Rombs

𝑑𝑑1, 𝑑𝑑2 – diagonāles

𝑆𝑆 = 12𝑑𝑑1 ∙ 𝑑𝑑2

Trapece

𝑎𝑎, 𝑏𝑏 – pamati, ℎ – augstums

𝑆𝑆 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2 ∙ ℎ

Riņķis un riņķa līnija

𝑅𝑅 – rādiuss, 𝐶𝐶– riņķa līnijas garums, 𝑙𝑙𝛼𝛼 – garums lokam, kura centra leņķis ir 𝛼𝛼, 𝑆𝑆𝛼𝛼 – laukums sektoram, kura centra leņķis ir 𝛼𝛼

𝐶𝐶 = 2𝜋𝜋𝑅𝑅 𝑆𝑆 = 𝜋𝜋𝑅𝑅2 𝑙𝑙𝛼𝛼 = 𝜋𝜋𝜋𝜋𝛼𝛼180° 𝑆𝑆𝛼𝛼 = 𝜋𝜋𝜋𝜋2𝛼𝛼

360°

Prizma

𝑆𝑆𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝. – pamata laukums, 𝐻𝐻 – augstums

𝑉𝑉 = 𝑆𝑆𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝. ∙ 𝐻𝐻

Piramīda

𝑆𝑆𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝. – pamata laukums, 𝐻𝐻 – augstums

𝑉𝑉 = 13𝑆𝑆𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝. ∙ 𝐻𝐻

Regulāra piramīda

𝑃𝑃 – pamata perimetrs, ℎ𝑠𝑠 – sānu skaldnes augstums, 𝑆𝑆𝑠𝑠ā𝑛𝑛𝑛𝑛– sānu virsmas laukums

𝑆𝑆𝑠𝑠ā𝑛𝑛𝑛𝑛 = 12𝑃𝑃 ∙ ℎ𝑠𝑠

Cilindrs

𝑅𝑅 – rādiuss,𝐻𝐻 – augstums

𝑆𝑆 = 2𝜋𝜋𝑅𝑅𝐻𝐻 + 2𝜋𝜋𝑅𝑅2

𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝑅𝑅2𝐻𝐻

Konuss

𝑅𝑅 – rādiuss, 𝐻𝐻 – augstums, 𝑙𝑙 – veidule

𝑆𝑆 = 𝜋𝜋𝑅𝑅𝑙𝑙 + 𝜋𝜋𝑅𝑅2

𝑉𝑉 = 13𝜋𝜋𝑅𝑅2𝐻𝐻

Lode

𝑅𝑅 – rādiuss

𝑆𝑆 = 4𝜋𝜋𝑅𝑅2

𝑉𝑉 = 43𝜋𝜋𝑅𝑅3

𝑏𝑏

𝑎𝑎

𝑐𝑐𝛼𝛼

𝑎𝑎ℎ𝑎𝑎

𝐴𝐴

𝐵𝐵

𝐶𝐶𝐴𝐴1

𝐵𝐵1

𝐶𝐶1



3. pielikums

Valsts pārbaudes darbā lietojamie simboli un apzīmējumi

Skolēnu darbos pieļaujami alternatīvi apzīmējumi, piemēram, starptautiski pieņemtie, ja tie:• ir saprotami (starptautiski pazīstami vai paskaidroti);• ir matemātiski korekti;• nav pretrunā ar citiem apzīmējumiem (piemēram, ar vienu un to pašu simbolu neapzīmē dažādus jēdzienus; nelieto

(bez paskaidrojuma) labi pazīstamu simbolu citā nozīmē).Starptautiski lietotie apzīmējumi netiek uzsvērti; tie minēti skolotāju, t. sk. eksāmena darbu vērtētāju, zināšanai, ja tas

ir nepieciešams.

Simbols Skaidrojums Piemēri, piezīmes

I. Spriedumi, kopas, intervāli

Loģiski seko

Tad un tikai tad; loģiski seko abos virzienos

Naturālo skaitļu kopa {1, 2, 3, … }

Veselo skaitļu kopa {0, ±1, ±2, ±3, …}

Racionālo skaitļu kopa

Reālo skaitļu kopa

Kopa ar elementiem

Sakārtota kopa

18 © izglītības Kompetenču mācību saturā

3. pielikums


Skolēnu darbos pieļaujami alternatīvi apzīmējumi, piemēram, starptautiski pieņemtie, ja tie: ir saprotami (starptautiski pazīstami vai paskaidroti); ir matemātiski korekti; nav pretrunā ar citiem apzīmējumiem (piemēram, ar vienu un to pašu simbolu neapzīmē dažādus

jēdzienus; nelieto (bez paskaidrojuma) labi pazīstamu simbolu citā nozīmē). Starptautiski lietotie apzīmējumi netiek uzsvērti; tie minēti skolotāju, t. sk. eksāmena darbu vērtētāju, zināšanai, ja tas ir nepieciešams.

Simbols Skaidrojums Piemēri, piezīmes I. Spriedumi, kopas, intervāli

⟹ Loģiski seko ⟺ Tad un tikai tad; loģiski seko abos

virzienos

ℕ Naturālo skaitļu kopa {1, 2, 3, … } ℤ Veselo skaitļu kopa {0, ±1, ±2, ±3, …} ℚ Racionālo skaitļu kopa ℝ Reālo skaitļu kopa

{𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2; … } Kopa ar elementiem 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2; … (𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2; 𝑥𝑥3) Sakārtota kopa (𝑎𝑎; 𝑏𝑏; 𝑐𝑐) atšķiras no (𝑎𝑎; 𝑐𝑐; 𝑏𝑏), piemēram,

punkta koordinātas, vienādojumu sistēmas atrisinājums.

[𝑎𝑎; 𝑏𝑏] Slēgts intervāls 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏 Kreisais galapunkts nav lielāks par labo 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏. (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) Vaļējs intervāls a x b

∈ Pieder kopai 𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴 – 𝑎𝑎 ir kopas 𝐴𝐴 elements. 𝑃𝑃 ∈ 𝑡𝑡 – punkts 𝑃𝑃 atrodas uz taisnes 𝑡𝑡.

∉ Nepieder kopai ⊂ Apakškopa Piemēram, ℕ ⊂ ℤ. ∅ Tukšā kopa ∪ Kopu apvienojums ∩ Kopu šķēlums \ Kopu starpība

{𝐴𝐴1𝐴𝐴2…

Vienādojumu, nevienādību sistēma: vienlaikus izpildās visi nosacījumi

1 2, , ...A A

atšķiras no


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A

, piemēram, punkta koordinātas, vienādojumu sistēmas atrisinājums.

Slēgts intervāls Kreisais galapunkts nav lielāks par labo, t. i.,


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A

.Vaļējs intervāls a x b< <

Pieder kopai


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A

–


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A

ir kopas


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A

elements,


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A

– punkts


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A

atrodas uz taisnes


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A

.

Nepieder kopai

Apakškopa Piemēram,


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A

.

Tukšā kopa

Kopu apvienojums

Kopu šķēlums

Kopu starpība

Vienādojumu, nevienādību sistēma: vienlaikus izpildās visi nosacījumi 1 2, , ...A A

Vienādojumu, nevienādību apvienojums: izpildās vismaz viens no nosacījumiem 1 2, , ...A A Alternatīvi var rakstīt “


[𝐴𝐴1𝐴𝐴2…

Vienādojumu, nevienādību apvienojums: izpildās vismaz viens no nosacījumiem

1 2, , ...A A

Alternatīvi: var rakstīt 𝐴𝐴1 vai 𝐴𝐴2.

II. Skaitliskas izteiksmes, to pieraksts un salīdzināšana |𝑎𝑎| Skaitļa a modulis jeb absolūtā vērtība = Vienāds ≠ Nav vienāds ≈ Aptuveni vienāds > Lielāks nekā ≤ Lielāks nekā vai vienāds ar < Mazāks nekā ≤ Mazāks nekā vai vienāds ar ∞ Bezgalība, neierobežoti lieli skaitļi 𝑎𝑎𝑛𝑛 Skaitlis a pakāpē n

√𝑎𝑎 Skaitļa a aritmētiskā kvadrātsakne

√𝑎𝑎𝑛𝑛 Skaitļa a n-tās pakāpes sakne log𝑎𝑎 𝑏𝑏 Skaitļa 𝑏𝑏 logaritms pie bāzes 𝑎𝑎

lg 𝑏𝑏 Skaitļa 𝑏𝑏 logaritms pie bāzes 10 (decimāllogaritms)

Nav pieļaujams rakstīt 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 bez bāzes.

ln 𝑏𝑏 Skaitļa b logaritms pie bāzes e (naturālais logaritms)


sin 𝛼𝛼 Leņķa 𝛼𝛼 sinuss cos 𝛼𝛼 Leņķa 𝛼𝛼 kosinuss

III. Virknes un funkcijas (𝑎𝑎𝑛𝑛), 𝑛𝑛 ∈ ℕ Virkne 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, 𝑎𝑎3, … Starptautiski lieto {𝑎𝑎𝑛𝑛} .

𝑎𝑎𝑛𝑛 Virknes n-tais (vispārīgais) loceklis d Aritmētiskās progresijas diference q Ģeometriskās progresijas kvocients

𝑆𝑆𝑛𝑛 Virknes pirmo 𝑛𝑛 locekļu summa 𝑓𝑓(𝑥𝑥) Funkcija 𝑓𝑓 , kas definēta argumentam 𝑥𝑥;

funkcijas vērtība, kas atbilst argumentam 𝑥𝑥

∆𝑥𝑥 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0 ; argumenta pieaugums ∆𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) ; funkcijas pieaugums

punktā 𝑥𝑥0

𝐷𝐷(𝑓𝑓) Funkcijas 𝑓𝑓 definīcijas kopa (definīcijas apgabals)

vai




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


”.

II. Skaitliskas izteiksmes, to pieraksts un salīdzināšana

Skaitļa




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


modulis jeb absolūtā vērtība

Vienāds

Nav vienāds

Aptuveni vienāds

Lielāks nekā


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A

3. pielikums


Skolēnu darbos pieļaujami alternatīvi apzīmējumi, piemēram, starptautiski pieņemtie, ja tie: ir saprotami (starptautiski pazīstami vai paskaidroti); ir matemātiski korekti; nav pretrunā ar citiem apzīmējumiem (piemēram, ar vienu un to pašu simbolu neapzīmē

dažādus jēdzienus; nelieto (bez paskaidrojuma) labi pazīstamu simbolu citā nozīmē). Starptautiski lietotie apzīmējumi netiek uzsvērti; tie minēti skolotāju, t. sk. eksāmena darbu vērtētāju, zināšanai, ja tas ir nepieciešams.

Simbols Skaidrojums Piemēri, komentāri I. Spriedumi, kopas, intervāli

⟹ Loģiski seko ⟺ Tad un tikai tad; loģiski seko abos virziens ℕ Naturālo skaitļu kopa {1, 2, 3, … } ℤ Veselo skaitļu kopa {0, ±1, ±2, ±3, …} ℚ Racionālo skaitļu kopa ℝ Reālo skaitļu kopa

{𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2; … } Kopa ar elementiem 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2; … (𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2; 𝑥𝑥3) Sakārtota kopa (𝑎𝑎; 𝑏𝑏; 𝑐𝑐) atšķiras no (𝑎𝑎; 𝑐𝑐; 𝑏𝑏),

piemēram, punkta koordinātas, vienādojumu sistēmas atrisinājums.

[𝑎𝑎; 𝑏𝑏] Slēgts intervāls 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏 Kreisais galapunkts nav lielāks par labo, t. i. 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏. (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) Vaļējs intervāls a x b

∈ Pieder kopai 𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴 – 𝑎𝑎 ir kopas 𝐴𝐴 elements, 𝑃𝑃 ∈ 𝑡𝑡 – punkts 𝑃𝑃 atrodas uz taisnes 𝑡𝑡.



Vienādojumu, nevienādību sistēma: vienlaikus izpildās visi nosacījumi 𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, …


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0



Vienādojumu, nevienādību apvienojums: izpildās vismaz viens no nosacījumiem 𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, …

Alternatīvi var rakstīt "𝐴𝐴1 vai 𝐴𝐴2".

II. Skaitliskas izteiksmes, to pieraksts un salīdzināšana |𝑎𝑎| Skaitļa a modulis jeb absolūtā vērtība = Vienāds ≠ Nav vienāds ≈ Aptuveni vienāds > Lielāks nekā ≥ Lielāks nekā vai vienāds ar < Mazāks nekā ≤ Mazāks nekā vai vienāds ar ∞ Bezgalība, neierobežoti lieli skaitļi 𝑎𝑎𝑛𝑛 Skaitlis a pakāpē n







sin 𝛼𝛼 Leņķa 𝛼𝛼 sinuss cos 𝛼𝛼 Leņķa 𝛼𝛼 kosinuss tg 𝛼𝛼 Leņķa 𝛼𝛼 tangenss Starptautiski lieto apzīmējumu

tan 𝛼𝛼. ctg 𝛼𝛼 Leņķa 𝛼𝛼 kotangenss Starptautiski lieto apzīmējumu

cot 𝛼𝛼. III. Virknes un funkcijas

(𝑎𝑎𝑛𝑛), 𝑛𝑛 ∈ ℕ Virkne 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, 𝑎𝑎3, … Starptautiski lieto apzīmējumu {𝑎𝑎𝑛𝑛}.

𝑎𝑎𝑛𝑛 Virknes n-tais (vispārīgais) loceklis 𝑑𝑑 Aritmētiskās progresijas diference 𝑞𝑞 Ģeometriskās progresijas kvocients 𝑆𝑆𝑛𝑛 Virknes pirmo 𝑛𝑛 locekļu summa

𝑓𝑓(𝑥𝑥) Funkcija 𝑓𝑓 , kas definēta argumentam 𝑥𝑥; funkcijas vērtība, kas atbilst argumentam 𝑥𝑥

∆𝑥𝑥 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0; argumenta pieaugums ∆𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) ; funkcijas pieaugums punktā

𝑥𝑥0 Pieļaujams arī pieraksts ∆𝑦𝑦.


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A






















1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0



3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A


3. pielikums






virzienos









1 2, , ...A A





















Lielāks nekā vai vienāds ar

Mazāks nekā

Mazāks nekā vai vienāds ar

Bezgalība, neierobežoti lieli skaitļi

Skaitlis




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


pakāpē




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


Skaitļa




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


aritmētiskā kvadrātsakne

Skaitļa




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


-tās pakāpes sakne

Skaitļa




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


logaritms pie bāzes




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


Skaitļa




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


logaritms pie bāzes 10 (decimāllogaritms) Nav pieļaujams rakstīt




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


bez bāzes.

Skaitļa




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


logaritms pie bāzes




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


(naturālais logaritms) Nav pieļaujams rakstīt




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


bez bāzes.

Leņķa




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


sinuss

Leņķa




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


kosinuss

Leņķa




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


tangenss Starptautiski lieto apzīmējumu tan




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


.

Leņķa




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


kotangenss Starptautiski lieto apzīmējumu cot




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


.

III. Virknes un funkcijas

Virkne




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


Starptautiski lieto apzīmējumu




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


.

Virknes




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


-tais (vispārīgais) loceklis

Aritmētiskās progresijas diference

Ģeometriskās progresijas kvocients

Virknes pirmo




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


locekļu summa

Funkcija




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


, kas definēta argumentam




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


; funkcijas vērtība, kas atbilst argumentam




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


; argumenta pieaugums




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


; funkcijas pieaugums punktā




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


Pieļaujams arī pieraksts ∆


















𝑥𝑥0 Pieļaujams arī pieraksts ∆𝑦𝑦. .

Funkcijas




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


definīcijas kopa (definīcijas apgabals)

Funkcijas




1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0


vērtību kopa (vērtību apgabals) Starptautiski lieto


𝐸𝐸(𝑓𝑓) Funkcijas 𝑓𝑓 vērtību kopa (vērtību apgabals)

Starptautiski lieto 𝑅𝑅(𝑓𝑓).

IV. Kombinatorika, varbūtības, statistika 𝑛𝑛! Skaitļa 𝑛𝑛 faktoriāls 𝑃𝑃𝑛𝑛 Permutāciju skaits no n elementiem 𝐴𝐴𝑛𝑛

𝑘𝑘 Variāciju skaits pa 𝑘𝑘 elementiem no 𝑛𝑛 Starptautiski lieto arī 𝑃𝑃𝑛𝑛 𝑘𝑘. knC Kombināciju skaits pa 𝑘𝑘 elementiem no 𝑛𝑛 Starptautiski lieto arī 𝐶𝐶𝑛𝑛 𝑘𝑘 ; (𝑛𝑛

𝑘𝑘).

�̅�𝐴 Notikuma 𝐴𝐴 pretējais notikums 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 Notikumu 𝐴𝐴 un 𝐵𝐵 apvienojums, “𝐴𝐴 vai

𝐵𝐵”

𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 , 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 Notikumu 𝐴𝐴 un 𝐵𝐵 šķēlums, “𝐴𝐴 un 𝐵𝐵”, “gan 𝐴𝐴, gan 𝐵𝐵”

𝑛𝑛(𝐴𝐴) Elementu skaits [galīgā] kopā 𝐴𝐴 𝑃𝑃(𝐴𝐴) Notikuma 𝐴𝐴 varbūtība

𝑃𝑃(𝐴𝐴|𝐵𝐵) Nosacītā varbūtība. Notikuma 𝐴𝐴 varbūtība pie nosacījuma, ka notikums 𝐵𝐵 ir īstenojies

�̅�𝑥 Datu kopas vidējais aritmētiskais 𝑀𝑀𝑀𝑀 Datu kopas moda 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 3 𝑀𝑀𝑀𝑀 Datu kopas mediāna 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 4

∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

Elementu 𝑎𝑎𝑖𝑖 summa, sākot ar 𝑖𝑖 = 1 līdz 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛 ∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛

Nepārprotamās situācijās summācijas robežas var nenorādīt: ∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖 .

𝑠𝑠 Izlases standartnovirze Aprakstošā statistika. 𝜎𝜎 Populācijas standartnovirze (iegūta no

izlases) Secinošā statistika.

𝑠𝑠2 Izlases dispersija Aprakstošā statistika. 𝜎𝜎2 Populācijas dispersija (iegūta no izlases) Secinošā statistika. 𝑟𝑟 Pīrsona korelācijas koeficients

V. Ģeometrija plaknē, telpā 𝐴𝐴(𝑥𝑥; 𝑦𝑦); 𝐴𝐴(𝑥𝑥; 𝑦𝑦; 𝑧𝑧) Punkta 𝐴𝐴 koordinātas plaknē, telpā

[𝐴𝐴𝐵𝐵] Nogrieznis 𝐴𝐴𝐵𝐵 Ja lieto AB, risinājumā jābūt nepārprotami skaidram, uz kuru jēdzienu attiecas.

(𝐴𝐴𝐵𝐵) Taisne 𝐴𝐴𝐵𝐵 |𝐴𝐴𝐵𝐵| Attālums starp punktiem 𝐴𝐴 un 𝐵𝐵 ,

nogriežņa garums [𝐴𝐴𝐵𝐵) Stars 𝐴𝐴𝐵𝐵 ar sākumpunktu 𝐴𝐴

.

IV. Kombinatorika, varbūtības, statistika

Skaitļa






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









faktoriāls

Notikuma






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









pretējais notikums

Elementu skaits [galīgā] kopā






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









Notikuma






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









varbūtība

Datu kopas aritmētiskais vidējais

Datu kopas moda

Datu kopas mediāna

Izlases standartnovirze Aprakstošā statistika.

Populācijas standartnovirze (iegūta no izlases) Secinošā statistika.

Izlases dispersija Aprakstošā statistika.

Populācijas dispersija (iegūta no izlases) Secinošā statistika.

Pīrsona korelācijas koeficients


























































1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0









































1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0





1 2, , ...A A















punktā 𝑥𝑥0







𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛











V. Ģeometrija plaknē, telpā

A (x; y); A (x; y; z) Punkta






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









koordinātas plaknē, telpā

Nogrieznis






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









Ja lieto






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









, risinājumā jābūt nepārprotami skaidram, uz kuru jēdzienu attiecas.

Taisne






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









Attālums starp punktiem






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









un






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









, nogriežņa garums

Stars






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









ar sākumpunktu






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









paralēls

perpendikulārs

Punkts


|| paralēls ⊥ perpendikulārs

𝑃𝑃 ∈ 𝑡𝑡; 𝑃𝑃 ∈ 𝛼𝛼, Punkts 𝑃𝑃 atrodas uz taisnes 𝑡𝑡, plaknē 𝛼𝛼

𝑡𝑡 ⊂ 𝛼𝛼 Taisne 𝑡𝑡 atrodas plaknē 𝛼𝛼 Taisne kā punktu kopa ir plaknes kā punktu kopas apakškopa. Punkti ir kopu (taišņu, plakņu u. tml.) elementi.

𝑃𝑃 = 𝑚𝑚 ∩ 𝑛𝑛 Punkts 𝑃𝑃 ir taišņu 𝑚𝑚 un 𝑛𝑛 krustpunkts

∢𝐵𝐵, ∢𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴

Leņķis ar virsotni punktā 𝐵𝐵 [un malām 𝐵𝐵𝐴𝐴, 𝐵𝐵𝐴𝐴]; šī leņķa lielums

∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)

Leņķis starp taisnēm 𝑎𝑎 un 𝑏𝑏; starp taisni 𝑡𝑡 un plakni 𝛼𝛼, starp plaknēm 𝛼𝛼 un 𝛽𝛽

𝐴𝐴𝐵𝐵 Loks 𝐴𝐴𝐵𝐵 (ģeometriska figūra) Loku leņķisko lielumu vienādība un loku kā figūru vienādība nav ekvivalenta. 𝐴𝐴�̆�𝐵 Loka 𝐴𝐴𝐵𝐵 leņķiskais lielums

∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 Trijstūris ar virsotnēm 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐴𝐴

~ Līdzīgs, proporcionāls Piemēram, ∆𝐴𝐴1𝐵𝐵1𝐴𝐴1 ~ ∆𝐴𝐴2𝐵𝐵2𝐴𝐴2.

∆𝐴𝐴1𝐵𝐵1𝐴𝐴1 ~ ∆𝐴𝐴2𝐵𝐵2𝐴𝐴2 Trijstūri 𝐴𝐴1𝐵𝐵1𝐴𝐴1 un 𝐴𝐴2𝐵𝐵2𝐴𝐴2 ir līdzīgi 𝐴𝐴1 un 𝐴𝐴2, 𝐵𝐵1 un 𝐵𝐵2, 𝐴𝐴1 un 𝐴𝐴2 ir atbilstošās virsotnes.

�⃗�𝑎 Vektors 𝐴𝐴𝐵𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ Vektors ar sākumpunktu 𝐴𝐴 un galapunktu

𝐵𝐵

|�⃗�𝑎| , |𝐴𝐴𝐵𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | Vektora garums (modulis)

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑗𝑗𝑥𝑥𝐴𝐴𝐵𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ Vektora 𝐴𝐴𝐵𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ projekcija uz orientētas ass 𝑥𝑥

�⃗�𝑎 = (𝑎𝑎𝑥𝑥; 𝑎𝑎𝑦𝑦), �⃗�𝑎= (𝑎𝑎𝑥𝑥; 𝑎𝑎𝑦𝑦; 𝑎𝑎𝑧𝑧)

Vektora koordinātas plaknē un telpā Starptautiski lieto arī pierakstu

�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (

𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧

).

Pieļaujams ir (𝑥𝑥; 𝑦𝑦)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , bet ne (𝑥𝑥; 𝑦𝑦), jo var sajaukt ar punkta koordinātām.

atrodas uz taisnes








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


, plaknē








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


Taisne








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


atrodas plaknē








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


Taisne kā punktu kopa ir plaknes kā punktu kopas apakškopa. Punkti ir kopu (taišņu, plakņu u. c.) elementi.

Punkts








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


ir taišņu








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


un








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


krustpunkts

Leņķis ar virsotni punktā








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


[un malām








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


,








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


]; šī leņķa lielums

Leņķis starp taisnēm








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


un








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


; starp taisni








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


un plakni








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


, starp plaknēm








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


un








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


Loks






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









(ģeometriska figūra) Loku leņķisko lielumu vienādība un loku kā figūru vienādība nav ekvivalenta. Loka






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









leņķiskais lielums

Trijstūris ar virsotnēm








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


Līdzīgs, proporcionāls Piemēram,








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


.

Trijstūri








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


un








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


ir līdzīgi








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


un








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


,








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


un








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


,








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


un








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


ir atbilstošās virsotnes.

Vektors

Vektors ar sākumpunktu






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛









un galapunktu








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


Vektora garums (modulis)

pr x








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


Vektora








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


projekcija uz orientētas ass








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


Pieļaujams arī proj x








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).


.

Vektora koordinātas plaknē un telpā

Jābūt skaidrai norādei uz vektoru. Starptautiski lieto arī pierakstu

[𝐴𝐴𝐴𝐴) Stars 𝐴𝐴𝐴𝐴 ar sākumpunktu 𝐴𝐴 || paralēls ⊥ perpendikulārs




∢𝐴𝐴, ∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

Leņķis ar virsotni punktā 𝐴𝐴 [un malām 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴]; šī leņķa lielums

∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)


𝐴𝐴𝐴𝐴 Loks 𝐴𝐴𝐴𝐴 (ģeometriska figūra) Loku leņķisko lielumu vienādība un loku kā figūru vienādība nav ekvivalenta. 𝐴𝐴�̆�𝐴 Loka 𝐴𝐴𝐴𝐴 leņķiskais lielums

∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Trijstūris ar virsotnēm 𝐴𝐴, 𝐴𝐴, 𝐴𝐴

~ Līdzīgs, proporcionāls Piemēram, ∆𝐴𝐴1𝐴𝐴1𝐴𝐴1 ~ ∆𝐴𝐴2𝐴𝐴2𝐴𝐴2.

∆𝐴𝐴1𝐴𝐴1𝐴𝐴1 ~ ∆𝐴𝐴2𝐴𝐴2𝐴𝐴2 Trijstūri 𝐴𝐴1𝐴𝐴1𝐴𝐴1 un 𝐴𝐴2𝐴𝐴2𝐴𝐴2 ir līdzīgi 𝐴𝐴1 un 𝐴𝐴2, 𝐴𝐴1 un 𝐴𝐴2, 𝐴𝐴1 un 𝐴𝐴2 ir atbilstošās virsotnes.

�⃗�𝑎 Vektors 𝐴𝐴𝐴𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ Vektors ar sākumpunktu 𝐴𝐴 un galapunktu 𝐴𝐴

|�⃗�𝑎| , |𝐴𝐴𝐴𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | Vektora garums (modulis)

𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑗𝑗𝑥𝑥𝐴𝐴𝐴𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ Vektora 𝐴𝐴𝐴𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ projekcija uz orientētas ass 𝑥𝑥


Vektora koordinātas plaknē un telpā Jābūt skaidrai norādei uz vektoru. Starptautiski lieto arī pierakstu

�⃗�𝑎 = (𝑎𝑎𝑥𝑥𝑎𝑎𝑦𝑦

) , �⃗�𝑎 = (𝑎𝑎𝑥𝑥𝑎𝑎𝑦𝑦𝑎𝑎𝑧𝑧

).

Pieļaujams pieraksts (𝑎𝑎𝑥𝑥; 𝑎𝑎𝑦𝑦)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, piemēram, (3; 2)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ , bet ne (3; 2), jo var interpretēt kā punkta koordinātas.

.

Pieļaujams pieraksts







∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)













).


, piemēram,







∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)













).


, bet ne







∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)













).


, jo var interpretēt kā punkta koordinātas.






𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛














𝑘𝑘).


𝐵𝐵”






𝑛𝑛

𝑖𝑖=1


𝑛𝑛

𝑖𝑖=1= 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛
















∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)













).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).









∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)







𝐵𝐵





�⃗�𝑎 = (𝑥𝑥𝑦𝑦) , �⃗�𝑎 = (


).








∢(𝑎𝑎; 𝑏𝑏), ∢(𝑡𝑡; 𝛼𝛼), ∢(𝛼𝛼; 𝛽𝛽)













).




4. pielikumsMatemātikā plānotie skolēnam sasniedzamie rezultāti vispārīgajā apguves līmenī

Matemātika

60© Valsts izglītības satura centrs | ESF projekts Nr.8.3.1.1/16/I/002 Kompetenču pieeja mācību saturā

2. pielikums

Plānotie skolēnam sasniedzamie rezultāti vispārējā vidējā izglītības standartā, beidzot vispārīgā apguves līmenī

VSK.M.Li.1. Matemātikas valodu izmanto saziņai un zinātniskai jēdzienu, ideju, problēmu risinājumu aprakstīšanai

1.1. Matemātisks teksts, pieņemtie simboli un apzīmējumi

M.V.1.1.1. Lasa īsu vai strukturētu tekstu ar aktuālu matemātisku kontekstu un raksturo tekstā būtisko, saistību starp teksta daļām, demonstrējot izpratni par tajā iekļautajiem jēdzieniem, pieņemto simbolu un apzīmējumu lietojumu.

M.V.1.1.2. Vārdiski un rakstiski veido īsu matemātisku tekstu, kas saprotams citiem, korekti lieto svarīgākos jēdzienus, pieņemtos simbolus un apzīmējumus, lai raksturotu matemātisko objektu īpašības, lielumus un sakarības starp tiem, aprakstītu risinājumus.

1.2. Dažādi attēlošanas veidi (reprezentācijas)

M.V.1.2.1. Lieto situācijai piemērotu matemātisko objektu attēlošanas veidu (izteiksme, grafiks, tabula, skice, grafs (koks), EileraVenna diagramma u. tml.).

M.V.1.2.2. Konkrētos piemēros skaidro matemātisku izteiksmju identiskos pārveidojumus un vienādojumu un nevienādību ekvivalentos pārveidojumus.

M.V.1.2.3. Konkrētos piemēros skaidro taisnes un vektora attēlošanu koordinātu plaknē un analītisko pierakstu, vienkāršākajos gadījumos pāriet no viena attēlošanas veida uz otru.

M.V.1.2.4. Saskata un skaidro saistību starp dažādu matemātikas apakšnozaru apgūtajiem elementiem (vektors un paralēlā pārnese, ģeometriskā progresija un eksponentfunkcija u. tml.) un to attēlošanu.

VSK.M.Li.2. Risināt problēmu matemātikai raksturīgi nozīmē saskatīt struktūras, sistēmas, sakarības, veidot vispārinājumus un tos pierādīt

2.1. Spriešana (pēc analoģijas, induktīva un deduktīva, lietojot matemātiskās loģikas elementus)

M.V.2.1.1. Jaunā situācijā, kuras matemātiskais konteksts ir vienkāršs, raksturo lielumus un saistību starp tiem, spriež un lieto jau apgūtās zināšanas un prasmes.

M.V.2.1.2. Jaunā situācijā spriež un formulē pieņēmumu, pamatojoties uz konkrētiem piemēriem un to pārbaudi, apzinoties, ka pieņēmuma patiesums jāpierāda.



Matemātika I


2. pielikums

2.2. Matemātiskā modelēšana un citi problēmrisināšanas paņēmieni

M.V.2.2.1. Lieto pazīstamu matemātisko modeli, lai atrisinātu problēmu ar praktisku vai ar citu mācību jomu kontekstu. Pēc norādēm izvērtē iespējas lietot konkrētās zināšanas vai matemātisko modeli.

M.V.2.2.2. Lieto pamatskolā apgūtos problēmrisināšanas paņēmienus (spriežu no beigām, sadalu problēmu daļās, pāreju uz līdzīgu, vienkāršāku problēmu u. tml.) situācijās ar vienkāršu matemātisko kontekstu.

2.3. Apgalvojumi un to patiesuma pierādīšana

M.V.2.3.1. Nosaka atsevišķa apgalvojuma par figūrām, matemātiskām izteiksmēm un sakarībām patiesumu. Demonstrē ieradumu atsaukties uz iepriekš pierādītiem apgalvojumiem, formulām.

M.V.2.3.2. Atrod pretpiemēru, lai pierādītu, ka apgalvojums nav patiess.

VSK.M.Li.3. Skaitļus izmanto konkrētu, arī praktisku uzdevumu atrisināšanai. Katrai darbībai ar skaitļiem ir noteikta jēga, un to izpildei ir noteikti likumi/algoritmi.

3.1. Skaitļa pieraksts un skaitļu salīdzināšana

M.V.3.1.1. Konkrētos piemēros skaidro, kas ir ntās pakāpes saknes, logaritma skaitliskā vērtība un kā to iegūt, t. sk. ar digitāliem rīkiem, kā pakāpi ar racionālu kāpinātāju pierakstīt kā sakni un otrādi.

M.V.3.1.2. Nosaka pakāpes ar racionālu kāpinātāju precīzo vai aptuveno vērtību no dota eksponentfunkcijas grafika un izmanto to konkrētu skaitļu salīdzināšanai.

3.2. Darbības ar skaitļiem, to īpašības, algoritmi

M.V.3.2.1. Nosaka, t. sk. ar digitāliem rīkiem, ntās pakāpes saknes, pakāpes ar racionālu kāpinātāju, logaritma precīzo vai aptuveno vērtību, veicot skaitliskos aprēķinus reālos kontekstos.

M.V.3.2.2. Reizina, dala pakāpes ar vienādām bāzēm vai vienādiem kāpinātājiem, lieto skaitļu pierakstu normālformā. Saskaita, atņem līdzīgas pakāpes, piemēram, izteiksmi 310 + 4 · 310 uzraksta kā 5 · 310.

3.3. Darbības ar skaitļiem kā reālu situāciju modeļi

M.V.3.3.1. Saskata iespēju un lieto autentiskās situācijās reālu skaitļu dažādas pieraksta formas, darbības ar tiem un skaitļu attiecību (piemēram, saistības ar finanšu iestādēm, nodokļi, īrēšanas/izīrēšanas nosacījumi, maisījumi pārtikas rūpniecībā, būvniecībā, farmācijā, komplektācija, sadalījumi grupās).

VSK.M.Li.4. Sakarības starp lielumiem apraksta algebriskie modeļi un funkcijas; izmantojot šos modeļus problēmu risināšanai, tos pārveido, nodrošinot ekvivalenci

4.1. Virknes M.V.4.1.1. Aprakstoši raksturo likumsakarību skaitļu virknē, t. sk. ģeometriskajā progresijā, lieto ģeometriskās progresijas vispārīgā locekļa formulu un salikto procentu formulu.



Matemātika I


2. pielikums

4.2. Reāla argumenta funkcijas

M.V.4.2.1. Nosaka, vai grafiski uzdota sakarība ir funkcija.

M.V.4.2.2. Konkrētos piemēros skaidro, kas ir argumenta pieaugums un funkcijas pieaugums, nosaka funkcijas pieaugumu no grafika.

M.V.4.2.3. Uzzīmē daļveida funkcijas , eksponentfunkcijas grafikus, nosakot atsevišķus grafika punktus un spriežot par funkcijas īpašībām.

M.V.4.2.4. Zīmē funkcijas grafiku, izmantojot digitālos rīkus, un spriež par funkcijas īpašībām.

M.O.4.2.5. Raksturo situāciju pēc tās grafiskā attēlojuma (pamatizglītībā apgūtās funkcijas – daļveida funkcija , eksponentfunkcija ), lietojot gan matemātisko terminoloģiju, gan kontekstu.

4.4. Algebriskas izteiksmes M.V.4.4.1. Konkrētos piemēros nosaka racionālas daļveida izteiksmes/algebriskas daļas definīcijas kopu. Aprēķina racionālas daļveida izteiksmes skaitlisko vērtību noteiktai mainīgā skaitliskajai vērtībai.

M.V.4.4.2. Algebrisku daļu lasa, uzraksta pēc vārdiskā apraksta, skaidro algebriskas daļas saīsināšanu, paplašināšanu.

M.V.4.4.3. Reizina, dala algebriskas daļas, kuru skaitītājā un saucējā ir monomi vai pirmās pakāpes polinomi; saskaita un atņem algebriskas daļas, ja saucēji ir pirmās pakāpes polinomi.

4.5. Vienādojumi, nevienādības, to sistēmas

M.V.4.5.1. Atrisina pamatskolā apgūtos vienādojumus, spriežot, lietojot attiecīgo funkciju īpašības un vienādojumu atrisināšanas metodes (sadalot reizinātājos, substitūciju, grafisko paņēmienu).

M.V.4.5.2. Atrisina analītiski vai grafiski daļveida vienādojumu (daļu saucēji ir pirmās pakāpes polinomi, kopsaucēja pakāpe nepārsniedz otro) un eksponentvienādojumu .

M.V.4.5.3. Lieto pamatskolā apgūtos vienādojumus un nevienādības, vienādojumu Ax + By = C kopā , daļveida vienādojumu un eksponentvienādojumu , lai modelētu situāciju ar praktisku un citu mācību jomu kontekstu.



Matemātika I


2. pielikums

VSK.M.Li.5. Datus par objektiem, situācijām, notikumiem, procesiem var matemātiski apstrādāt, analizēt, lai pieņemtu pamatotus lēmumus

5.1. Kopas, darbības ar kopām un kombinatorikas elementi

M.V.5.1.1. Nosaka, vai kopa ir galīga/bezgalīga, ar piemēriem ilustrē galīgu un bezgalīgu kopu. Formulē apgalvojumus, izmantojot jēdzienus kopas elements, apakškopa, tukša kopa; nosaka saistību starp skaitļu kopām , , , .

M.V.5.1.2. Raksturo īpašības, kas piemīt kopas visiem elementiem. Nosaka kopas elementa un apakškopas ar noteiktu īpašību eksistenci; definē/uzdod kopu ar visu elementu sarakstu un ar formulu, piemēram, {a = 3n | n ϵ }.

M.V.5.1.3. Nosaka galīgu un bezgalīgu kopu apvienojumu, šķēlumu un starpību pazīstamās situācijās.

M.V.5.1.4. Elementu/objektu skaitu nosaka, spriežot un veicot pilno pārlasi, skaidrojot saskaitīšanas un reizināšanas lietojumu.

5.2. Varbūtību teorijas elementi

M.V.5.2.1. Skaidro, ilustrē ar piemēriem jēdzienus eksperiments/mēģinājums, iznākumu kopa, notikums, pretējais notikums, drošs notikums, neiespējams notikums; konkrētos piemēros nosaka iznākumu kopu, nosauc droša, neiespējama un pretēja notikuma piemērus.

M.V.5.2.2. Spriež, nosaka notikumam labvēlīgo iznākumu skaitu, visu iznākumu skaitu un aprēķina notikuma varbūtību.

M.V.5.2.3. Konkrētos piemēros skaidro, kas ir notikuma absolūtais biežums, notikuma relatīvais biežums/statistiskā varbūtība; aprēķina statistisko varbūtību, formulē datos balstītus secinājumus.

5.3. Statistikas elementi M.V.5.3.1. Skaidro, kas ir populācija (ģenerālkopa), izlase, nosacījumus reprezentatīvas izlases veidošanai.

M.V.5.3.2. Atšķir kvantitatīvus un kategoriālus (kvalitatīvus) datus; attēlo tos biežuma tabulās vai grafiski vienam vai diviem mainīgiem lielumiem (pazīmēm), izmantojot IT rīkus.

M.V.5.3.3. Atbilstoši datu veidam (diskrēti, nepārtraukti), izmantojot reālu datu piemērus un IT rīkus, nosaka datu kopas vidējos lielumus (aritmētiskais vidējais, mediāna, moda), izkliedes mērus (amplitūda, standartnovirze, vidējā absolūtā novirze, kvartiles, starpkvartiļu amplitūda), veido grafiskos attēlojumus (stabiņu un kastu diagramma, izkliedes diagramma, histogramma) un formulē ar datiem pamatotus secinājumus.

M.V.5.3.4. Raksturo pētījumu/eksperimentu, tā mērķi, piemēram, izlases reprezentativitāti, izvēlētā mainīgā lieluma (pazīmes) atbilstību pētāmai problēmai u. tml.

M.V.5.3.5. Salīdzina divas izlases, izmantojot vidējos lielumus, izkliedes mērus, stabiņu un kastu diagrammu, izkliedes diagrammu.

M.V.5.3.6. Raksturo divu mainīgo lielumu (pazīmju) saistību, izmantojot biežuma tabulu vai izkliedes diagrammu.

M.V.5.3.7. Dotus autentiskus datus apstrādā, attēlo un raksturo, izmantojot aprakstošās statistikas IT rīkus, formulē datos balstītus secinājumus.



Matemātika I


2. pielikums

VSK.M.Li.6. Figūru īpašību, novietojuma, to raksturojošo lielumu izpēte ļauj risināt konkrētas, arī praktiskas, problēmas, formulēt vispārīgus secinājumus par objektiem, telpu, formu

6.1. Plaknes figūras M.V.6.1.1. Praktiskos, autentiskos kontekstos lieto pamatizglītībā apgūtās sakarības starp trijstūra, četrstūra malām, leņķiem un raksturīgo nogriežņu garumiem, plaknes figūru vienādību un līdzību.

M.V.6.1.2. Praktiskos, autentiskos kontekstos plāno un aprēķina trijstūra, četrstūra, daudzstūra, riņķa, riņķa daļu un to kombināciju laukumu, atkarībā no dotiem lielumiem nepieciešamības gadījumā uzziņu literatūrā meklē atbilstošo formulu, skaidro lietotos apzīmējumus un lielumus.

M.V.6.1.3. Ģeometriski modelē praktiskas problēmas risinājumu, lietojot paralēlo pārnesi, aksiālo simetriju vai pagriezienu, t. sk. izmantojot digitālos rīkus.

6.2. Analītiskā ģeometrija M.V.6.2.1. Ģeometriskā formā nosaka vienādi vai pretēji vērstus vektorus, vienādus vektorus, pretējus vektorus, saskaita un atņem vektorus un reizina vektoru ar skaitli. Lieto vektorus ģeometriskā formā citu mācību jomu kontekstā.

M.V.6.2.2. Plaknē un telpā nosaka vektora koordinātas, aprēķina vektora garumu, izpilda darbības ar vektoriem koordinātu formā.

M.V.6.2.3. Nosaka punkta koordinātas Dekarta taisnleņķa koordinātu sistēmā telpā, attēlo zīmējumā; aprēķina attālumu starp diviem punktiem koordinātu plaknē un telpā, lieto sakarību starp nogriežņa galapunktu un viduspunkta koordinātām.

M.V.6.2.4. Attēlo koordinātu plaknē taisni, ja tā uzdota analītiski, t. sk. ja tā paralēla ordinātu asij, un vienkāršās situācijās nosaka taisnes virziena koeficientu un uzraksta taisnes vienādojumu pēc tās attēla koordinātu plaknē, lieto taisnes atklāto vienādojumu, Vienādojumu ar virziena koeficientu.

6.3. Telpiski ķermeņi M.V.6.3.1. Izmantojot daudzskaldņu modeļus vai attēlus, skaidro plaknes novilkšanu, raksturo taisnes un plaknes, divu plakņu paralelitāti un perpendikularitāti.

M.V.6.3.2. Konkrētos piemēros nosaka perpendikulu, slīpni, slīpnes projekciju, leņķi starp taisni un plakni, divplakņu kakta leņķi; praktiskos kontekstos lieto sakarības starp slīpņu un to projekciju garumiem, triju perpendikulu teorēmu.

M.V.6.3.3. Praktiskā darbībā pēta un formulē secinājumus par plaknes figūras un telpiska ķermeņa attēliem paralēlajā projicēšanā.

M.V.6.3.4. Praktiski modelē telpiskus ķermeņus, veido zīmējumu, t. sk. lietojot digitālos rīkus, kas palīdz atrisināt problēmu, – attēlo noteiktas dotā telpiskā ķermeņa virsmas daļas/plaknes, raksturīgos šķēlumus, aprakstoši raksturo tos.

M.V.6.3.5. Praktiskos, citu mācību jomu un vienkāršos matemātiskos kontekstos aprēķina pamatizglītībā apgūto telpisko ķermeņu, piramīdas, nošķeltas piramīdas, konusa, nošķelta konusa, sfēras/lodes, tās daļu un vienkāršāko kombināciju (prizma un cilindrs, prizma un lode) raksturīgos lielumus, virsmas laukumu vai tilpumu. Ja nepieciešams, uzziņu literatūrā meklē atbilstošo formulu, skaidro lietotos apzīmējumus un lielumus.



5. pielikums

Valsts pārbaudes darba programmā un valsts pārbaudes darba paraugā lietotie kodi

Matemātika I


Pielikumi

* Ministru kabineta 2019. gada 3. septembra noteikumi Nr. 416 “Noteikumi par valsts vispārējās vidējās izglītības standartu un vispārējās vidējās izglītības programmu paraugiem”.

1. pielikums

Mācību priekšmetu kursu programmu paraugos lietotie kodi

Atsaucei uz standartu* mācību priekšmetu kursu programmu paraugos izmantoti šādi plānoto skolēnam sasniedzamo rezultātu (SR) un lielo ideju (Li) kodi. (Standarta pielikumi, kuros lietoti šie kodi, atrodami Skola2030 tīmekļa vietnē.)

SR kodiPiemērs: VL.O.2.1.VL. O. 2.1.Mācību joma (visu mācību jomu apzīmējumus sk. tabulā)

Kursa apguves līmenis (visu kursu apguves līmeņu apzīmējumus sk. tabulā)

Mācību jomas SR kārtas numurs standartā

Li kodiPiemērs: VSK.S. Li.6.VSK. S. Li.6.Vispārējās vidējās izglītības pakāpe

Mācību joma Mācību jomas SR kārtas numurs standartā

Kursu apguves līmeņu apzīmējumi

V Vispārīgais līmenis

O Optimālais līmenis

A Augstākais līmenis

Mācību jomu apzīmējumi

V Valodu mācību joma

VL Latviešu valoda

VS Svešvaloda

K Kultūras izpratnes un pašizpausmes mākslā mācību joma

S Sociālā un pilsoniskā mācību joma

D Dabaszinātņu mācību joma

M Matemātikas mācību joma

T Tehnoloģiju mācību joma

F Veselības, drošības un fiziskās aktivitātes mācību joma

2.1. Izvēlas, atlasa un izmanto informāciju no dažādiem avotiem sava teksta izveidei saskaņā ar konkrētajām vajadzībām un mācību mērķiem.

2.1. Lai daudzpusīgi izzinātu noteiktu problēmu, jautājumu vai tematu un veidotu savu tekstu, mērķtiecīgi izvēlas, kārto, analizē un vērtē informāciju, salīdzinot dažādos avotos publicēto tekstu saturu un tajos izmantotos valodas līdzekļus.

2.1. Pēta valodas un literatūras jautājumu atspoguļojumu plašsaziņas līdzekļos, lai pēc noteiktiem kritērijiem izvērtētu informāciju un veidotu spriedumus par šo ziņu kvalitāti, aktualitāti un izmantojamību savu tekstu izveidei.

6. Jebkurš informācijas avots, kas ataino norises sabiedrībā pagātnē un mūsdienās, ir vērtējams kritiski.

Valsts izglītības satura centra īstenotā projekta “Kompetenču pieeja mācību saturā” mērķis ir izstrādāt, aprobēt un pēctecīgi ieviest Latvijā tādu vispārējās izglītības saturu un pieeju mācīšanai, lai skolēni gūtu dzīvei 21. gadsimtā nepieciešamās zināšanas,prasmes un attieksmes.

© Valsts izglītības satura centrs | ESF projekts Nr.8.3.1.1/16/I/002 Kompetenču pieeja mācību saturā





Documents

Valsts pārbaudes darba programma