Valores Propios & Vectores Propios

FACULTAD DE INGENIERA

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CAPITULO 6: VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS

OBJETIVOS:

Al terminar el estudio de este captulo usted podr estar en capacidad de

1. Formular la definicin de Valor propio y de Vector propio. 2. Enunciar e interpretar el significado del teorema sobre la condicin de subespacio

vectorial, de un subconjunto de vectores propios. 3. Enunciar e interpretar el significado del teorema relativo a vectores propios

pertenecientes a subespacios propios diferentes 4. Aplicar los resultados de las definiciones y teoremas estudiados, a la determinacin de

los valores propios y de los subespacios propios. 5. Formular la definicin de base propia. 6. Enunciar e interpretar el significado del teorema sobre la diagonalizacin, en el caso de

que los valores propios sean reales y desiguales. 7. Aplicar los resultados del teorema anterior a la resolucin de ejercicios.

CONTENIDOS:

Valores Propios y Vectores Propios. (Eigenvalores y Eigenvectores) Diagonalizacin. Matrices Simtricas y Diagonalizacin Ortogonal. Aplicaciones: Crecimiento de una Poblacin. Aplicaciones: Formas Cuadrticas.


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INTRODUCCIN

Los valores y vectores propios pertenecen a los temas de mayor utilidad del lgebra lineal. Se usan en varias reas de las matemticas, fsica, mecnica, ingeniera elctrica y nuclear, hidrodinmica, aerodinmica, etc. De hecho, es raro encontrar un rea de la ciencia aplicada donde nunca se hayan usado.

Puede parecer muy extrao, pero los valores propios de las matrices aparecieron publicados antes que las matrices. Esto se debe al hecho inslito de que, parafraseando a Cailey, la teora de las matrices estaba bien desarrollada (a travs de la teora de los determinantes) antes de que siquiera se definieran las matrices. Segn Morris Kline, los valores propios se originaron en el contexto de formas cuadrticas y en la mecnica celeste (el movimiento de los planetas), conocindose como races caractersticas de la ecuacin escalar. Desde aproximadamente 1740, Euler usaba de manera implcita los valores propios para describir geomtricamente las formas cuadrticas en tres variables.

En la dcada de 1760, Lagrange estudi un sistema de seis ecuaciones diferenciales del movimiento de los planetas (slo se conocan seis) y de ah dedujo una ecuacin polinomial de sexto grado, cuyas races eran los valores propios de una matriz 6x6. En 1820, Cauchy se dio cuenta de la importancia de los valores propios para determinar los ejes principales de una forma cuadrtica con n variables. Tambin aplic sus descubrimientos a la teora del movimiento planetario. Fue Cauchy quien, en 1840, us por primera vez los trminos valores caractersticos y ecuacin caracterstica para indicar los valores propios y la ecuacin polinomial bsica que satisfacen.

VALORES PROPIOS Y VECTORES PROPIOS.

El problema del valor propio puede plantearse de la siguiente manera. Si A es una matriz de , Existen vectores x distintos del vector nulo en tales que Ax sea un mltiplo escalar de x? El escalar, (lambda), se llama valor propio de la matriz A, y el vector x diferente de cero

se llama vector caracterstico de A correspondiente a .

Para ayudar a comprender este concepto examinemos los siguientes ejemplos.

A medida que la tierra rota, los vectores en el eje de rotacin permanecen invariantes. Si se considera la transformacin lineal que sufre la tierra tras una hora de rotacin, una flecha que partiera del centro de la tierra al Polo Sur geogrfico sera un vector propio de esta transformacin, pero una flecha que partiera del centro a un punto del ecuador no sera un vector propio. Dado que la flecha que apunta al polo no cambia de longitud por la rotacin, su valor propio es 1.

Una lmina de metal que se expandiera uniformemente a partir de un punto de tal manera que las distancias desde cualquier punto al punto fijo se duplicasen. Esta expansin es una transformacin con valor propio 2. Cada vector desde el punto fijo a cualquier otro es un vector propio, y el espacio propio es el conjunto de todos esos vectores.


3

En una puerta giratoria un vector que va desde el centro del eje de rotacin hasta la base de este seria un vector propio. Y un vector que va desde el mismo punto hasta un extremo de la puerta no es un vector propio ya que vara su direccin.

Los trminos valor propio y vector propio corresponden a los trminos eigenvalor y eigenvector, derivados del trmino alemn Eigenwert que significa valor propio. Al valor propio se lo llama tambin autovalor, valor caracterstico o raz latente. Y al vector propio se lo conoce tambin como autovector o vector caracterstico.

Definicin:

Sea A una matriz n x n. El escalar se denomina valor propio de A si existe un vector x distinto

de cero tal que

= El vector x se llama vector propio de A correspondiente a .

Geomtricamente en 2 y 3el problema se puede plantear de la siguiente manera:

Si es un eigenvalor de A correspondiente a x, entonces Ax = X, de modo que la

multiplicacin por A dilata a x, contrae a x o invierte la direccin de x (grfico), dependiendo del valor de .

Un vector caracterstico debe ser distinto de cero, porque la definicin no tendra sentido, ya que 0 = 0 se cumple para todos los valores reales de . Pero es posible un valor caracterstico de =0.

Ej. Encuentre un valor caracterstico para el vector caracterstico = . En la matriz =

Entonces, multiplicamos

= = =


4

1 = 3 05 1 30 = 90 Aplicando la definicin

1 = 1 90 = 1 3 30 = 1 31 = 1 3 =

Entonces se dice que =3 es un valor propio para el vector propio x1

Espacios Caractersticos.

en la matriz A.

Si A es una matriz n x n con un valor caracterstico y un vector caracterstico x, entonces todo mltiplo escalar de x distinto de cero tambin es un vector caracterstico de A. Si c es un vector escalar distinto de cero, entonces

() = () = () = () Y tambin, si x1 y x2

Estas dos proposiciones son las propiedades de composicin interna y externa de un espacio vectorial. Condiciones suficientes para demostrar que {0} {: }

son vectores caractersticos correspondientes al mismo valor caracterstico , entonces su suma tambin es un vector caracterstico correspondiente a . Debido a que

( + ) = 1 + 2 = 1 + 2 = ( + )

Es un subespacio de . Este subespacio se llama espacio caracterstico de .

Determinacin de Valores Propios y Vectores Propios.

Sea la matriz identidad n x n. Al escribir la ecuacin = de la forma matricial = se obtiene ( ) = Este sistema homogneo tiene soluciones distintas de la solucin trivial si y solo si la matriz de coeficientes ( ) es singular (su determinante es cero). Teorema de Valores Propios y Vectores Propios

Sea A una matriz n x n


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1. Un valor propio de A es un escalar tal que |( )| = 0 2. Los vectores propios de A correspondientes a son las soluciones diferentes de cero

de ( ) = 0 La ecuacin |( )| = 0 Se conoce como ecuacin caracterstica de A; los valores que satisfacen esta ecuacin se llaman valores propios de A. Al desarrollar la ecuacin, se obtiene un polinomio en funcin de , que se llama polinomio caracterstico de A. El grado de este polinomio es n, por lo que A no puede tener ms de n valores caractersticos. Si es un escalar real y el polinomio no tiene races reales, entonces decimos que A no tiene valores propios.

Una vez que encontramos los valores propios de A. Debemos encontrar los vectores propios respectivos para cada valor propio . Esto lo hacemos resolviendo el sistema homogneo ( ) = . Para esto se debe reducir por renglones una matriz n x n. La forma escalonada reducida debe contener por lo menos un rengln de ceros. Hallar los vectores caractersticos es simplemente una aplicacin directa del proceso Gauss- Jordan.

Multiplicidad.

La multiplicidad de un valor propio es el nmero de veces que este se repite como raz de la ecuacin caracterstica.

Teorema Cayley-Hamilton.

Toda matriz satisface su ecuacin caracterstica.

Ej. Si la ecuacin caracterstica de la matriz = 10 94 2. Es 2 8 + 16 = 0. La forma matricial de esta matriz es 2 8 + 16 = . Entonces si reemplazamos A.

10 94 22 8 10 94 2 + 16 1 00 1 = 64 7232 32 80 7232 16 + 16 00 16 =

0 00 0 = Ejemplos.

Encuentre los valores propios y los vectores propios para las siguientes matrices.

1. =

Los valores propios para esta matriz estn dados por la ecuacin.| | = 0


6

Entonces,

10 94 + 2 = 0

Y de esto obtenemos la ecuacin caracterstica ( 10)( + 2) + 36 = 0 2 8 + 16 = 0 ( 4)2 = 0

Entonces la matriz tiene un nico valor propio que es =4. Una vez hallado el valor propio procedemos ha hallar sus vectores propios. Entonces los vectores propios se hallan de la ecuacin: ( ) =

10 94 + 2 12 = 00

Como =4

6 94 6 12 = 00

Entonces resolvemos el sistema homogneo. (Por eliminacin continua)

6 94 6 [0]

De donde, x2=t y -6x1

Conclusiones.

+9t=0. 1 = 32 . Entonces = 12 = 32

= 3 21

El valor propio =4 tiene multiplicidad 2, es decir, k=2. La dimensin del espacio caracterstico es 1, debido a que =4 tiene un solo vector

propio. Ntese que el sistema homogneo tiene un solo parmetro.

2. = 12 3 400 11 150 0 7 | | = 0 12 3 400 + 11 150 0 7 = 0 ( 12)( + 11)( 7) = 0

1 = 12; 2 = 11; 3 = 7


7

Como podemos observar, los valores propios de un matriz triangular son los elementos de su diagonal principal.

Entonces para 1 = 12, hallamos sus vectores propios. ( ) = 12 3 400 + 11 150 0 7 123 = 000

0 3 400 23 150 0 5 123 = 000

Entonces resolvemos el sistema homogneo.

0 3 400 23 150 0 5 ; 1 = ; 2 = 0; 3 = 0;

= 123

= 00 = 100 Entonces para 2 = 11, hallamos sus vectores propios. ( ) =

12 3 400 + 11 150 0 7 123 = 000

22 3 400 0 150 0 18 123 = 000


22 3 400 0 150 0 18 ; 1 = 322 ; 2 = ; 3 = 0;

= 123

= 322 0 =

32210 Entonces para 3 = 7, hallamos sus vectores propios. ( ) =

12 3 400 + 11 150 0 7 123 = 000

5 3 400 18 150 0 0 123 = 000


8


5 3 400 18 150 0 0 ; 1 = 496 ; 2 = 56 ; 3 = ;

=

496 56

=

496561

3. = 3 2 33 4 91 2 5 | | = 0

3 2 33 + 4 91 2 5 = 0 ( 3)( + 4)( 5) + 18 + 18 3( + 4) + 18( 3) + 6( 5) = 0

3 42 + 4 = 0 (2 4 + 4) = 0

( 2)2 = 0 1 = 0; 2 = 2

Buscamos los vectores propios

Para 1 = 0 ( ) = 3 2 33 + 4 91 2 5 123 = 000

3 2 33 4 91 2 5 123 = 000

Resolvemos por eliminacin continua.

3 2 33 4 91 2 5 6 184 12 [0]

3 = 2 = 3

31 = 3 + 6 1 = = 3

= 131

La dimensin del espacio caracterstico es 1.

Para 2 = 2. Su multiplicidad es k=2. ( ) =


9

3 2 33 + 4 91 2 5 123 = 000

1 2 33 6 91 2 3 123 = 000


1 2 33 6 91 2 3 0 00 0

3 = 2 =

1 = 3 2 = 12

3 = 3 2

= 310 + 201

Como =2 tiene 2 vectores propios linealmente independientes (no son mltiplos escalares), entonces S={(3,1,0),(-2,0,1)} es una base del espacio caracterstico para =2. Y por tanto su dimensin es 2.

Adems, ntese que la multiplicidad del valor propio es k=2. Entonces para cualquier caso la multiplicidad de un valor propio es siempre mayor o igual a la dimensin de su valor caracterstico.

4. = 5 6 20 1 81 0 2 | | = 0 5 6 20 + 1 8

1 0 + 2 = 0 ( 5)( + 1)( + 2) + 48 2( + 1) = 0 + =

Esta es la ecuacin caracterstica, de la matriz A. Obsrvese que el trmino independiente de esta ecuacin es -|A|. Esta particularidad se cumple en toda ecuacin caracterstica para toda matriz. El trmino independiente de la ecuacin caracterstica es ||. ( 3)2( + 4) = 0

1 = 3; 2 = 4 Buscamos los vectores propios

Para 1 = 3. Este valor propio tiene multiplicidad k=2 ( ) =


10

5 6 20 + 1 8

1 0 + 2 123 = 000 2 6 20 4 81 0 5 123 = 000


2 6 20 4 81 0 5 4 86 12 [0]

3 = 2 = 2

1 6 + = 0 1 = 5 = 12

3 = 52

= 521

La dimensin del espacio caracterstico de 1 = 3 es 1. Para 2 = 4 ( ) =

5 6 20 + 1 8

1 0 + 2 123 = 000 9 6 20 3 81 0 2 123 = 000


9 6 20 3 81 0 2 3 86 16 [0]

3 = 2 = 83

1 2 = 0 1 = 2 = 12

3 = 283

= 2831 La dimensin del espacio caracterstico de 2 = 4 es 1.


11

5. = 1 3 3 31 4 3 32 0 1 11 0 0 0 | | = 0

1 3 3 31 4 3 32 0 1 11 0 0 0 = 0

Resolvemos por cofactores de la primera columna.

( 1) 4 3 30 1 10 0 0 + 1 3 3 30 1 10 0 0 + 2 3 3 3 4 3 30 0 0 1 3 3 3 4 3 30 1 1 = 0 1 3 3 3 4 3 30 1 1 = 0

9 3( 4)( 1) 9( 1) 3( 4) = 0 2 6 = 0 ( 3)( + 2) = 0

1 = 3; 2 = 2 Para 1 = 3. Este valor propio tiene multiplicidad k=1 ( ) =

1 3 3 31 4 3 32 0 1 11 0 0 0

1234

= 0000

2 3 3 31 1 3 32 0 2 11 0 0 0

1234

= 0000 Resolvemos por eliminacin continua.

2 3 3 31 1 3 32 0 2 11 0 0 0

5 3 96 10 43 3 3 68 3424 12 [0]

4 = 3 = 12


12

52 32 + 9 = 0 2 = 32 1 = 0

= 1234

=

032 12

=

03 21 21

La dimensin del espacio caracterstico de 1 = 3 es 1.

Para 1 = 2. Este valor propio tiene multiplicidad k=1 ( ) =

1 3 3 31 4 3 32 0 1 11 0 0 0

1234

= 0000

3 3 3 31 6 3 32 0 3 11 0 0 0

1234

= 0000 Resolvemos por eliminacin continua.

3 3 3 31 6 3 32 0 3 11 0 0 0

15 12 66 15 93 3 3 297 9981 27 [0]

4 = 3 = 13 152 4 6 = 0 2 = 23

1 = 0 = 123

4

=

023

13

=

02 3 1 31

La dimensin del espacio caracterstico de 2 = 2 es 1.


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DIAGONALIZACIN

El problema de diagonalizacin se plantea de la siguiente forma:

Si A es una matriz cuadrada, Existe una matriz invertible P tal que 1 sea diagonal?

Recordemos, que segn el algebra de matrices, dos matrices A y B son semejantes si existe una matriz invertible P talque

= 1 Las matrices semejantes a las matrices diagonales se llaman diagonalizables.

Definicin formal:

Si A es una matriz cuadrada, entonces esta es diagonalizable si A es semejante a una matriz diagonal. Es decir, A es diagonalizable si existe una matriz no singular P tal que

1 Entonces, se dice que P diagonaliza a A, o A es diagonalizable, o bien A tiene n vectores propios linealmente independientes.

Toda matriz diagonal D es diagonalizable, ya que si = se cumple = 1. Matrices semejantes tienen iguales valores caractersticos.

Consideremos, dos matrices cuadradas, A y B que son semejantes. Entonces existe una matriz invertible P, talque = 1. Los valores propios de B estn dados por | |. Utilizando las propiedades de los determinantes, | | = | 1| = |1( )| = |1| |( )| || = |||1| |( )| = |1| |( )| = |( )| Con lo cual queda demostrado que tanto A y B tienen el mismo polinomio caracterstico, y por ende los mismos valores caractersticos.

Si A y B son matrices semejantes n x n, entonces tienen los mismos valores caractersticos.

CONDICIN PARA DIAGONALIZACIN:

Una matriz cuadrada, n x n, es diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes.


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Consideremos A, una matriz diagonalizable, entonces existe una matriz P invertible:

= 11 12 121 22 2 1 2

Y 1 es diagonal. Entonces digamos que = 1 = 1 0 00 2 0

0 0 Y

1 = 1 = = = 11 12 121 22 2

1 2 1 0 00 2 0 0 0 =

111 212 1121 222 2

11 22

Si expresamos la los vectores columna de P como p1, p2, p3,, pn

Entonces = , lo que significa que los vectores columna de P son vectores propios de A. Y adems sabemos que P es invertible, su determinante es distinto de cero, entonces sus vectores columna son linealmente independientes.

. Entonces los vectores columna de PD serian 11, 22, 33, , . Y los vectores columna de AP son 1, 2, 3, , . Y si AP= PD, entonces [11 22 33 ] = [1 2 3 ]

Ahora, a la inversa, si A tiene n vectores linealmente independientes p1, p2, p3,, pn, con valores propios 1, 2, 3, , . Y tenemos una matriz P, cuyas columnas son estos n vectores propios = [1 2 3 ]. Como todo pi

D es la matriz diagonal que tiene por elementos los valores propios 1, 2, 3, , . Si sabemos que los vectores P son linealmente independientes, entonces P es invertible y se puede escribir la ecuacin AP=PD de la forma 1 = . Lo que quiere decir que A es diagonalizable.

es un vector propio de A, entonces se tiene = y

= 111 212 1121 222 2

11 22 = 11 12 121 22 2

1 2

1 0 00 2 0 0 0 =

Ntese que las columnas de P tienen son los n vectores propios linealmente independientes de A.

De esta demostracin podemos plantear el proceso para diagonalizar una matriz.


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Pasos para diagonalizar una matriz n x n.

1. Hallamos los n valores propios linealmente independientes de A p1, p2, p3,, pn

2. Formar la matriz P, n x n que tenga por columnas los vectores propios de A.

, con sus respectivos valores propios 1, 2, 3, , . Si no existen n valores propios linealmente independientes, entonces A no es diagonalizable.

= [1 2 3 ] 3. Hallar la matriz = 1, que tendr los valores propios 1, 2, 3, , en su

diagonal principal. (El orden de los vectores propios determina el orden de los valores propios en la matriz diagonal)

Condicin suficiente para diagonalizacin.

Si una matriz n x n tiene n valores propios distintos, entonces los vectores propios correspondientes son linealmente independientes y A es diagonalizable.

Demostracin.

Sean 1, 2, 3, , n distintos valores propios de A, cada uno correspondiente a los vectores propios 1, 2, 3, , . Se supone que el conjunto de vectores propios es linealmente independiente. Tambin consideremos que los vectores propios estn ordenados de una manera en la que los m primeros son linealmente independientes y los m+1 primeros son linealmente dependientes, y m


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1(+11)1 + 2(+1 2)2 + + (+1) = 0 (3) Ahora, dado que los m primeros vectores propios son linealmente independientes, entonces todos los coeficientes de esta ecuacin deben ser cero, es decir:

1(+11)1 = 2(+1 2)2 = = (+1) = 0 Y como 1, 2, 3, , son distintos entonces, se deduce que

1, 2, 3, , Y esto contradice la hiptesis que dice que xm+1

Ejercicios.

puede escribirse como una combinacin lineal de los m primeros valores propios. El conjunto de vectores caractersticos es linealmente independiente y concluimos que A es diagonalizable. LQQD.

Encuentre una matriz P que diagonalice las matrices mostradas a continuacin. En caso de que exista

1. = 14 1220 17

Primero hallamos los valores propios de la matriz. Entonces: | | = 0 + 14 1220 17 = 0 ( + 14)( 17) + 240 = 0

2 3 + 2 = 0 ( 2)( 1) = 0 1 = 2; 2 = 1

Entonces como la matriz es 2x2 y tiene 2 valores propios, si es diagonalizable.

Ahora hallamos los vectores propios.

Para 1 = 2 ( ) = + 14 1220 17 12 = 00

16 1220 15 12 = 00 Resolvemos el sistema homogneo.

16 1220 15 [0]


17

2 = 1 = 34

= 12 = 3 4 = 3 41 Para 2 = 1 ( ) =

+ 14 1220 17 12 = 00 15 1220 16 12 = 00

Resolvemos el sistema homogneo.

15 1220 16 [0] 2 =

1 = 45 = 12 = 4 5 = 4 51

Una vez que tenemos los vectores propios de la matriz. Sabemos que la matriz P que diagonaliza a A es aquella que tiene como columnas los vectores propios de A.

= [1 2] = 3 41 4 51

Esta matriz P es invertible, y su inversa es 1 = 11 4 53 4 1 20

= 2020 1615 Entonces = 1 es diagonal.

= 2020 1615 14 1220 17 3 41 4 51 = 40 3220 15 3 41 4 51

= 2 00 1


18

2. = 1 0 11 3 04 13 1

Buscamos los valores propios de la matriz. | | = 0 + 1 0 11 3 04 13 + 1 = 0 ( + 1)( 3)( + 1) + 13 + 4( 3) = 0

3 2 2 = 0 ( 2)(2 + + 1) = 0 La ecuacin caracterstica tiene solo una raz real, un solo valor propio que es =2.

Como el nmero de valores propios es menor que la dimensin de la matriz, entonces se concluye que la matriz A no es diagonalizable.

3. = 1 0 00 1 10 1 1 Hallamos los valores propios,

1 0 00 1 10 1 1 = 0 ( 1)3 ( 1) = 0

( 1)( 2) = 0 1 = 0; 2 = 1; 3 = 2

La matriz tiene 3 valores propios distintos. Esto es condicin suficiente para saber que A si es diagonalizable.

Entonces hallamos los vectores propios.

Para 1 = 0 ( ) = 1 0 00 1 10 1 1 123 = 000

1 0 00 1 10 1 1 123 = 000



19

1 0 00 1 10 1 1 1 11 1 [0]

3 = 2 = 1 = 0

= 123

= 0

= 011 Para 2 = 1 ( ) =

1 0 00 1 10 1 1 123 = 000

0 0 00 0 10 1 0 123 = 000

0 0 00 0 10 1 0

1 = 2 = 0 3 = 0

= 123

= 00 = 100 Para 3 = 2 ( ) =

1 0 00 1 10 1 1 123 = 000

1 0 00 1 10 1 1 123 = 000

1 0 00 1 10 1 1

1 = 0 2 = 3 =

= 123

= 0

= 011 Y = [1 2 3] = 0 1 01 0 11 0 1

1 = 0 1/2 1/21 0 00 1/2 1/2


20

= 1 = 0 1/2 1/21 0 00 1/2 1/2 1 0 00 1 10 1 1 0 1 01 0 11 0 1

= 0 0 01 0 00 1 1 0 1 01 0 11 0 1 = 0 0 00 1 00 0 2 Adems, ntese que los elementos de la matriz diagonal D, son los valores propios de la matriz diagonalizada A. El orden de estos depende del orden en que se tomen los vectores propios para la matriz P.

4. =

| | = 0 3 54 4 100 0 4 = 0 ()( 4)( 4) 12( 4) = 0

3 82 + 4 + 48 = 0 ( + 2)( 4)( 6) = 0 1 = 2; 2 = 4; 3 = 6

Buscamos los vectores propios

Para 1 = 2 ( ) = 3 54 4 100 0 4 123 = 000 2 3 54 6 100 0 6 123 = 000


2 3 54 6 100 0 6 0 00 6 [0]

2 = 3 = 0

21 + 32 53 = 0 1 = 32 = 12

3 = 3 2 0 =

3 210


21

Para 2 = 4. ( ) = 3 54 4 100 0 4 123 = 000

4 3 54 0 100 0 0 123 = 000


4 3 54 0 100 0 0 12 600 0 [0]

3 = 2 = 5

21 + 32 53 = 0 1 = 52 = 12

3 = 5 2 5

= 5 251 Para 3 = 6. ( ) =

3 54 4 100 0 4 123 = 000

6 3 54 2 100 0 2 123 = 000


6 3 54 2 100 0 2 0 800 12 [0]

2 = 3 = 0 61 + 32 53 = 0 1 = 12

= 1 2 0 = 1 210

Entonces

= 3/2 5/2 1/21 5 10 1 0 1 = 3/2 5/2 1/21 5 10 1 0


22

= 1 = 3/2 5/2 1/21 5 10 1 0 0 3 54 4 100 0 4 3/2 5/2 1/21 5 10 1 0 = 2 0 00 4 00 0 6 5. =

Del ej. 3 de la seccin anterior, tenemos que:

Ecuacin caracterstica:

3 42 + 4 = 0 Valores Propios

1 = 0; 2 = 2, = 2 Vectores Propios.

Para 1 = 0 = 3

= 131

Para 2 = 2. Su multiplicidad es k=2. = 12

3 = 3 2

= 310 + 201

Entonces P tiene por columnas los vectores propios de A, de la siguiente manera.

= 1 3 23 1 01 0 1 ; 1 = 1/8 3/8 1/43/8 1/8 3/41/8 3/8 5/4 = 1 = 0 0 00 2 00 0 2

MATRICES SIMTRICAS Y DIAGONALIZACIN ORTOGONAL

Matriz Simtrica

Una matriz cuadrada A es simtrica si = . Y adems cumple con las siguientes propiedades

A es diagonalizable. Todos los valores propios de A son reales. Si es un valor propio de A con multiplicidad k entonces tiene k vectores propios

linealmente independientes. Es decir, el espacio caracterstico de es de dimensin k.


23

Lo mencionado anteriormente se conoce como Teorema Espectral Real y el conjunto de valores propios de A se denomina espectro de A.

Sea A una matriz simtrica n x n. Si 1 2 son valores caractersticos distintos de A entonces sus vectores propios correspondientes a 1 2 son ortogonales.

Demostracin. Sean 1 2 valores propios distintos de A con vectores propios correspondientes 1 2. 1 = 11 2 = 22. La forma escalar del producto punto (producto escalar) es:

1 2 = [11 12 1] 21222

= 12 Entonces.

1(1 2) = (11) 2 = (1) 2 = (1)2 = (1)2 A es simtrica, = = (1)2 = 1(2) = 1(22) = 1 (22) = 2(1 2) Entonces

1(1 2) = 2(1 2) (1 2)(1 2) = 0 Como 1 2 entonces (1 2) = 0. Lo que significa que 1 2 son ortogonales. LQQD. Matriz Ortogonal.

Una matriz cuadrada P se denomina ortogonal si es invertible y 1 = . Adems cumple con la siguiente propiedad:

Los vectores columna de P forman un conjunto ortonormal.

Demostracin. Supongamos que los vectores columna de P forman un conjunto ortonormal.

= [1 2 ] = 11 12 121 22 2 1 2

Entonces sera

= 11 21 112 22 2 1 2

11 12 121 22 2

1 2 =


24

Por hiptesis sabemos que el conjunto {1 2 } es ortonormal, entonces por producto escalar, tenemos

= , = ||2 = 1 La matriz compuesta de productos punto (producto escalar) es de la forma

= 1 0 00 1 0 0 0 1 =

1 = 1 = 1

Por lo tanto P es ortogonal. LQQD.

Diagonalizacin Ortogonal

Decimos que una matriz A es ortogonalmente diagonalizable si existe una matriz ortogonal P tal que 1 sea diagonal; se dice que la matriz P diagonaliza ortogonalmente a A.

Teorema fundamental de las matrices simtricas.

Sea A una matriz n x n. Entonces A es diagonalizable ortogonalmente y tiene valores propios si y solo si A es simtrica.

Demostracin. Supongamos que A es diagonalizable ortogonalmente, entonces existe una matriz ortogonal P tal que = 1 es diagonal. Por hiptesis 1 =

= 1 = = 1 =

= () = () = =

Con lo que queda demostrado que A es simtrica. LQQD

Si A es una matriz de n x n, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes.

A es ortogonalmente diagonalizable. A tiene un conjunto ortonormal de n vectores propios.

Si A es una matriz simtrica, entonces los valores propios de espacios caractersticos diferentes son ortogonales.

Como consecuencia de este teorema, se obtiene el procedimiento que se describe en seguida para diagonalizar ortogonalmente una matriz simtrica:


25

Diagonalizacin Ortogonal de una matriz simtrica.

Hallar una base para cada espacio caracterstico de A. Aplique el proceso de Gram-Schmidt (o el proceso de Determinantes) a cada una de las

bases para obtener una base ortonormal para cada espacio caracterstico.

Formar la matriz P que tiene por columnas los vectores base construidos en el paso anterior. Esta matriz P diagonaliza ortogonalmente a la matriz A.

Ejemplos.

Encuentre una matriz ortogonal P que diagonalice a las siguientes matrices simtricas.

1. = 0 4 44 2 04 0 2 Encontramos los valores propios | | = 0

4 4

4 2 04 0 + 2 = 0

( 2)( + 2) 16( 2) 16( + 2) = 0 3 36 = 0

(2 36) = 0 ( 6)( + 6) = 0

1 = 0; 2 = 6; 3 = 6 Hallamos los vectores propios. Resolviendo cada sistema homogneo. ( ) = Para 1 = 0

0 4 4

4 2 04 0 2 4 2 00 4 44 0 2 4 48 8 [0]

3 = ; 2 = ; 1 = 12 = 12

3 = 1 2

= 1/211 Para 2 = 6

6 4 44 8 04 0 4 32 1616 8 [0]

3 = ; 2 = 12 ; 1 =


26

= 123

= 1 2

= 11/21 Para 3 = 6

6 4 4

4 4 04 0 8 8 1616 32 [0]

3 = ; 2 = 2; 1 = 2 = 12

3 = 22

= 221

Como todos los valores propios tienen multiplicidad 1, y forman bases ortogonales para 3 entonces simplemente debemos normalizar los vectores propios. Para obtener bases ortonormales.

1 = 122 + (1)2 + (1)2 = 32 2 = (1)2 + 122 + (1)2 = 32

3 = (2)2 + (2)2 + (1)2 = 3 = 11 ; = 22 ; = 3

= 12 , 1,13/2 ; = 1, 12 , 13 2 ; = (2,2,1)3 = 13 , 23 , 23 ; = 23 , 13 , 23 ; = 23 , 23 , 13

Entonces la matriz ortogonal P que diagonaliza a la matriz simtrica A, es aquella que tiene por columnas las bases ortonormales de los espacios caractersticos de la matriz A.

= 1/3 2/3 2/32/3 1/3 2/32/3 2/3 1/3 = 1 = 0 0 00 6 00 0 6

2. = 2 22 1

2 22 1 = 0


27

( 2)( 1) 2 = 0 2 3 = 0 ( 3) = 0

1 = 0; 2 = 3 Hallamos los vectores propios.

Para 1 = 0 2 22 1 [0]

1 = 22 ; 2 = = 12 = 22

= 2 21

Para 2 = 3 1 22 2 [0]

1 = 2; 2 = = 12 = 2 = 21

Ortonormalizamos los vectores propios.

1 = 2 2 2 + (1)2 = 32 2 = 22 + (1)2 = 3 = 11 ; = 22

= 22 , 132 ; = 2, 13

= 33 , 23 ; = 23 , 33


28


= [1 2] =

33 23

23 33

= 1 = 0 00 3 3. = 0 1 11 0 11 1 0

Encontramos los valores propios | | = 0

1 11 11 1 = 0

3 3 2 = 0 ( 2)( + 1)2 = 0 1 = 2; 2 = 1; = 0

Hallamos los vectores propios. Resolviendo cada sistema homogneo. ( ) = Para 1 = 2

2 1 1

1 2 11 1 2 3 33 3 [0]

3 = ; 2 = ; 1 = = 12

3 =

= 111

Para 2 = 1 1 1 11 1 11 1 1 0 00 0

3 = ; 2 = ; 1 = = 12

3 =

= 110 + 101


29

es ortogonal con . Pero los vectores de no son ortogonales entre s. Por lo tanto debemos ortonormalizar el conjunto. Aplicamos Gram-Schmidt.

= {1, 2} = {(1,1,0), (1,0,1)} 2 = 1|1| = 11 = (1,1,0)

3 = (1,1,0)< (1,0,1), (1,1,0) > (1,1,10)||(1,1,0)< (1,0,1), (1,1,0) > (1,1,10)|| 3 = (1,0,1) (1,1,0)||(1,0,1) (1,1,0)|| = (2,1,1)||(2,1,1)|| = (2,1,1)6


= 1 1 2/61 1 1/61 0 1/6 = 1 = 2 0 00 1 00 0 1

4. =

Encontramos los valores propios | | = 0 6 0 00 3 30 3 3 = 0 ( 6)( 3)( 3) 9( 6) = 0

3 122 + 36 = 0 (2 12 + 36) = 0

( 6)2 = 0 1 = 0; 2 = 6; 3 = 6

Hallamos los vectores propios. Resolviendo cada sistema homogneo. ( ) = Para 1 = 0

6 0 00 3 30 3 3 3 33 3 [0] 3 = ; 2 = ; 1 = 0


30

= 123

= 0

= 011 Para 2 = 6

0 0 00 3 30 3 3

3 = ; 2 = ; 1 = = 12

3 =

= 100 + 011

1 = (1,0,0) y 2 = (0,1,1) son ortonormales. Por lo tanto no debemos realizar ninguna otra operacin y podemos definir la matriz P directamente.

= [ ] = 0 1 01 0 11 0 1

= 1 = 0 0 00 6 00 0 6 5. =

Buscamos los valores propios en |I-A|=0

5 2 0 02 2 0 00 0 5 20 0 2 2 = 0 Desarrollamos por cofactores.

( 5) 2 0 00 5 20 2 2 2 2 0 00 5 20 2 2 = 0 ( 5)[( 2)2( 5) 4( 2)] + 2 2( 5)( 2) 8 2 = 0 4 143 + 612 84 + 36 = 0 ( 1)2( 6)2 = 0

Buscamos los vectores propios para cada valor propio.

Si =1, tenemos la ecuacin ( ) = . La cual es un sistema homogneo.


31

4 2 0 02 1 0 00 0 4 20 0 2 1 0 0 00 16 80 8 4

1 = 12 ; 2 = ; 3 = 12 ; 4 = = 123

4 = 1 2

1 2

= 1/2100 +

001/21 = 12 , 1,0,0 ; = 0,0, 12 , 1

y ortogonales dado que =0. Debemos normalizarlos || = 52 = ||||

= |||| = (1,2,0,0)5 = |||| = (0,0,1,2)5

Si =6, tenemos la ecuacin ( ) = . La cual es un sistema homogneo.

1 2 0 02 4 0 00 0 1 20 0 2 4 0 0 00 1 20 2 4

1 = 2; 2 = ; 3 = 2; 4 = = 123

4 = 2

2

= 2100 + 00

21 = (2,1,0,0); = (0,0, 2,1 )

y ortogonales dado que =0. Debemos normalizarlos || = 5 = ||||

= |||| = (2,1,0,0)5 = |||| = (0,0, 2,1)5 = [ ]


32

=1/5 0 2/5 02/5 0 1/5 00 1/5 0 2/50 2/5 0 1/5

= 1 = 1 0 0 00 1 0 00 0 6 00 0 0 6

APLICACIONES

Los valores propios y los vectores propios tienen muchsimas aplicaciones, entre las cuales estn: Ecuacin de Schrdinger, Orbitales moleculares, Anlisis factorial, Caras propias, Tensor de inercia, Tensor de tensin, Valores propios de un grafo, etc. Pero para este trabajo nos centraremos en el estudio de los siguientes.

CRECIMIENTO DE UNA POBLACIN

Primero se debe agrupar la poblacin en clases de edad de la misma duracin. Por ejemplo si el tiempo que vive un miembro de la poblacin es L aos entonces las clases de edad se representan por los n siguientes intervalos.

0,

,

, 2

, , ( 1)

, El nmero de elementos de la poblacin en cada clase de edad se representa entonces por el vector de distribucin de edades.

= 12

Nmero en la clase de la primera edad.Nmero en la clase de segunda edad.Nmero en la clase de la n sima edad. Durante un periodo de L/n aos, la probabilidad de que una persona de la clase de la i-sima edad sobreviva para convertirse en elemento de la clase de la (i+1)-sima edad est dada por , donde 0 1, = 1,2, , 1 El numero medio de descendencia producido por un miembro de la clase de la i-sima edad est dado por , donde 0 , = 1,2, , Los nmeros indicados pueden escribirse en forma matricial de la siguiente manera.

Clases de primera edad

Clases de segunda edad Clases de

n-sima


33

=1 2 3 1 1 0 0 0 00 2 0 0 0 0 0 0 1

Esta matriz es conocida como matriz de transicin de edades. Y al multiplicarla por el vector de distribucin de edades durante un periodo especfico se obtiene el vector de distribucin de edades para el siguiente periodo.

= +1 Ejemplos.

1. Una poblacin de cuyes criados en una granja productora tienen las siguientes caractersticas: a) La tercera parte de los cuyes sobrevive el primer ao. De estos la mitad sobrevive

el segundo ao. La vida mxima de un cuy es 3 aos. b) Durante el primer ao el nmero medio de descendencia es 2, en el segundo 8 y

en el tercero 6.

Actualmente la granja dispone de 50 cuyes, en la clase de primera edad, 40 en la segunda y 45 en la tercera. Cuntos habr de cada clase en un ao?

Vector actual de distribucin de edades.

1 = 504045 0 11 22 3 Matriz de transicin de edades

= 2 8 61/3 0 00 1/2 0 2 = 1 = 2 8 61/3 0 00 1/2 0 504045 = 6901720 0 11 22 3

2. Encuentre una distribucin estable de edades para la poblacin del ejercicio anterior.

= La ecuacin caracterstica de A es

| | = 2 8 6 1 3 00 1 2 = 0 3 22 83 1 = 0


34

( 3) 2 + + 13 = 0 Si =3 (nica raz real)

1 8 6 1 3 3 00 1 2 3 1/3 21/2 3 = [0]

1 = 54; 2 = 6; 3 = = 12

3 = 546

= 5461

3. Si una poblacin de bacterias, en un laboratorio tiene las siguientes caractersticas. a) El 80% de las bacterias sobreviven la primera hora. De estas el 40% sobreviven la

segunda hora. Adems la vida mxima de una bacteria es de 4 horas. b) Durante la primera hora el nmero medio de descendencia es 500, durante la segunda

hora el nmero medio de descendencia es 900 y en la tercera es 400.

En aquel instante, la poblacin de laboratorio consta de 4000 bacterias en la primera edad, 3800 en la segunda y 3000 en la tercera. Cuntos habr en cada clase una hora despus?



= 500 900 4004/5 0 00 2/5 0 2 = 1 = 500 900 4004/5 0 00 2/5 0 400038003000 = 662000032001520 0 11 22 3

4. Encuentre una distribucin estable de edades para la poblacin del ejercicio anterior.

= La ecuacin caracterstica de A es

| | = 500 900 4004/5 00 2/5 = 0 3 5002 720 128 = 0 ( 501.43)( + 0.207)( + 1.228) = 0

Con el valor positivo, se hace =501


35

5. Una poblacin de palomas tiene las siguientes caractersticas

El 70% de las palomas sobreviven la primera dcada. De estas el 80% sobreviven la segunda dcada. El tiempo mximo de vida es tres dcadas.

Durante la primera dcada el nmero medio de descendencia es 15, en la segunda 20 y en la tercera 12.

Actualmente en el palomar hay 15 palomas que estn en su primera dcada de vida, y 20 que estn en su segunda dcada. 30 que estn en su tercera dcada. En 20 aos Cuntas palomas habr de cada edad?



= 15 20 120.7 0 00 0.8 0 En 10 aos.

2 = 1 = 15 20 120.7 0 00 0.8 0 152030 = 9851116 0 11 22 3 Y en 20 aos

= 2 = 15 20 120.7 0 00 0.8 0 9851216 = 9851216 0 11 22 3 = 2 = 15 20 120.7 0 00 0.8 0 9851216 = 1520769010 0 11 22 3

FORMAS CUADRTICAS

En esta seccin se aplican los resultados obtenidos acerca de las transformaciones ortogonales de coordenadas, para el estudio de las ecuaciones cuadrticas, las formas cuadrticas y las secciones cnicas. Las formas cuadrticas surgen en una diversidad de problemas importantes referentes a reas tan diversas como las vibraciones, la relatividad, la geometra y la estadstica.


36

Se pueden usar formas cuadrticas para obtener informacin sobre las secciones cnicas en 2 (crculos, parbolas, elipses, hiprbolas) y extender est teora para describir ciertas superficies, llamadas superficies cuadrticas, en R3. Las formas cuadrticas surgen en una gran variedad de aplicaciones que van de la descripcin de las funciones de costo en economa al anlisis del control del recorrido de un cohete en el espacio.

Los valores propios y los vectores propios pueden usarse para problemas de rotacin de ejes.

Si tenemos la ecuacin de una figura cnica de la forma

2 + + 2 + + + = 0 Y deseamos obtener una ecuacin ms simple por medio de una rotacin de los ejes de referencia. Esta rotacin tiene por objetivo eliminar el termino xy. Y la ecuacin resultante ser de la forma.

()2 + ()2 + + + = 0 Los coeficientes a y c son los valores propios de la matriz.

= /2/2

La expresin 2 + + 2 se forma cuadrtica asociada con la ecuacin cuadrtica 2 + + 2 + + + = 0

La matriz A se llama matriz de la forma cuadrtica.(Simtrica por definicin). Y ser diagonal si la su forma cuadrtica no tiene el trmino xy

Teorema de los Ejes Principales

La rotacin definida por X=PX elimina el termino xy si P es una matriz ortogonal, |P|=1, que diagonaliza a A. Es decir,

= 1 00 2 Donde 1 2 son valores propios de A. La ecuacin cnica rotada est dada por

1()2 + 2()2 + [ ] + = 0 Donde el producto matricial [ ] es de la forma [ ] = ( cos + ) + ( + cos ) Pasos para aplicar el teorema de aplicacin del teorema de los ejes principales.

1. Forme la matriz A y determine sus valores propios 1 2. 2. Encuentre los vectores propios correspondientes a 1 2. Normalice estos vectores

propios para formar columnas de P. 3. Si |P|=-1, entonces multiplique por -1 una de las columnas de P para obtener una

matriz de la forma


37

= cos cos

4. El ngulo representa el ngulo de rotacin de la cnica. 5. La ecuacin de la cnica rotada es

1()2 + 2()2 + [ ] + = 0 Ejemplos.

1. Efecte una rotacin de ejes para eliminar el elemento xy en la ecuacin cuadrtica + =

La matriz de la forma cuadrtica asociada con la ecuacin es:

= 2 5/25/2 2

La ecuacin caracterstica de A es

2 5252 2 = 0 ( 2)2 254 = 0 2 4 94 = 0

92 + 12 = 0

Los valores propios son: 1 = 92 y 2 = 12 Entonces la ecuacin de la curva rotada es 92 ()2 12 ()2 = 0

() () = Ahora hallamos los vectores propios. Para 1 = 92

2 5252 2 =

5 2 5 25 2 5 2 1 = ; 2 =

= 12 = = 11


38

Normalizamos (-1,1). Dividindolo para su norma, obtenemos 1

2, 1

2

Ahora hallamos los vectores propios. Para 1 = 12 2 5252 2 =

5 2 5 25 2 5 2 1 = ; 2 = = 12 = = 11

Normalizamos (1,1). Dividindolo para su norma, obtenemos 1

2, 1

2

Entonces la matriz que diagonaliza ortogonalmente a A es

= 1/2 1/21/2 1/2 = 1/2 1/21/2 1/2 cos cos De aqu, sen = 1

2 por lo que = 45. Como se observa en la grafica.

2. Efecte una rotacin de ejes para eliminar el elemento xy en la ecuacin cuadrtica 92 + 3 + 92 = 5 La matriz de la forma cuadrtica asociada con la ecuacin es:

= 9 3/23/2 9 La ecuacin caracterstica de A es

y

x


39

9 32

32 9 = 0 ( 9)2 94 = 0 2 18 + 3154 = 0

212 152 = 0

Los valores propios son: 1 = 212 y 2 = 152 Entonces la ecuacin de la curva rotada es 212 ()2 + 152 ()2 = 5

() + () = Ahora hallamos los vectores propios. Para 1 = 212

9 32

32 9 = 3 2 3 2

3 2 3 2 1 = ; 2 = = 12 = = 11


2, 1

2

Ahora hallamos los vectores propios. Para 2 = 152 9 32

32 9 = 3 2 3 2 3 2 3 2

1 = ; 2 = = 12 = = 11

Normalizamos (-1,1). Dividindolo para su norma, obtenemos 1

2, 1

2



40

= 1/2 1/21/2 1/2 = cos cos De aqu, cos = 1


3. Efecte una rotacin de ejes para eliminar el elemento xy en la ecuacin cuadrtica 52 + 4 + 22 = 2 La matriz de la forma cuadrtica asociada con la ecuacin es:

= 5 22 2 La ecuacin caracterstica de A es

5 22 2 = 0 ( 2)( 5) 4 = 0 2 7 + 6 = 0 ( 3)( 2) = 0

Los valores propios son: 1 = 6 y 2 = 1 Entonces la ecuacin de la curva rotada es

() + () = Ahora hallamos los vectores propios. Para 1 = 6

5 22 2 = 1 22 4 1 = 2; 2 = = 12 = 2 = 21

y x


41


5, 1

5


2 2 = 4 22 1 1 = 12 ; 2 =

= 12 = 1/2 = 1 21 Ortonormalizamos (-1/2,1). Dividindolo para su norma || = 2/5, obtenemos 1

5, 2

5


= 2 5 1 515 2 5 = cos cos

De aqu, cos = 25 por lo que = 263354. Como se observa en la grafica.

4. Efecte una rotacin de ejes para eliminar el elemento xy en la ecuacin cuadrtica + + + =


= 16 1212 9 La ecuacin caracterstica de A es

y

x


42

16 1212 9 = 0 ( 16)( 9) 144 = 0

2 25 = 0 ( 25) = 0

Los valores propios son: 1 = 25 y 2 = 0 Ahora hallamos los vectores propios. Para 1 = 25

16 1212 9 = 9 1212 16

1 = 43 ; 2 = = 12 = 4 3 = 4 31

Normalizamos (4/3,1). Dividindolo para su norma |||| = 53, obtenemos

4

5, 3

5


12 9 = 16 1212 9 1 = 34 ; 2 =

= 12 = 3/4 = 3 41 Ortonormalizamos (-3/4,1). Dividindolo para su norma || = 5/4, obtenemos 3

5, 4

5


= 4 5 3 53 5 4 5 = cos cos De aqu, cos = 4/5 por lo que = 365212. Como se observa en la grafica. [ ] = ( cos + ) + ( + cos ) [ ] = 25 4 5 + 0 + 25 3 5 + 0 [ ] = (20) + (15) Entonces la ecuacin de la curva rotada es: 25()2 + 20() 15() = 0


43

5()2 + 4() 3() = 0

5. Efecte una rotacin de ejes para eliminar el elemento xy en la ecuacin cuadrtica + + + =


= 1 55 1

La ecuacin caracterstica de A es

1 55 1 = 0 ( 1)2 25 = 0 2 2 24 = 0 ( 6)( + 4) = 0

Los valores propios son: 1 = 6 y 2 = 4 Ahora hallamos los vectores propios. Para 1 = 6

1 55 1 = 5 55 5 1 = ; 2 =

= 12 = = 11 Normalizamos (4/3,1). Dividindolo para su norma |||| = 2, obtenemos 1

2, 1

2

Ahora hallamos los vectores propios. Para 2 = 4 1 55 1 = 5 55 5

y

x


44

1 = ; 2 = = 12 = = 11

Ortonormalizamos (-3/4,1). Dividindolo para su norma || = 5/4, obtenemos 12

, 12


=

12 12

1

2 12 = cos

cos De aqu, cos = 1


Y finalmente [ ] = ( cos + ) + ( + cos ) [ ] = (10) 1

2 + 2 12 + (10) 12 + 2 12 [ ] = 12

2 + 122 [ ] = 62 + 62 Entonces la ecuacin de la curva rotada es: 6()2 4()2 62 + 62 + 13 = 0

3()2 2()2 32 + 32 + 132 = 0

y x


45

BIBLIOGRAFA:

Libros

Introduccin al Algebra Lineal. Roland E. Larson. Introduccin al Algebra Lineal. Howard Anton. Tercera edicin. Calculus. Vol. 2. Tom A. Apostol.

Internet

es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio html.rincondelvago.com/valores-y-vectores.html http://ocw.ehu.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-matematicos-de-la-

ingenieria/contenidos/teoria/presentaciones-ppt/diagonalizacion

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Valores Propios & Vectores Propios