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Valores Propios

Valores y Vectores Propios

Hermes Pantoja Carhuavilca

Facultad de Ingenierıa Industrial

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Metodos Computacionales

Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 21

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CONTENIDO

Valores Propios

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Valores Propios

DEFINICIONES Y PROPIEDADES

A matriz cuadrada n × n

v vector dimension n

λ escalarObjetivo: Buscar escalares λ y vectores no nulos v tales que

Av = λv ⇒ λ valor propio de A

v vector propio asociado a λ

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Valores Propios

Definicion p(λ) = det( A− λ I )

los valores propios de A son las raıces del polinomio caracterıstico

λ valor propio ⇔  p(λ) = 0

Calculo de vectores propios

Para cada valor propio λ resolvemos

(A− λI)v = 0

que debe ser un sistema compatible indeterminado.

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Valores Propios

DIAGONALIZACION

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Valores Propios

E JEMPLO

Ejemplo

Dada la matriz

 A =

3 −1 0

−1 2 −10 −1 3

Calcule:

1. Valores Propios

2. Vectores Propios3. Diagonaliza la matriz A

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V l P i

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SOLUCION

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V l P i

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Valores Propios

E JEMPLO:

Consideremos la matriz

 A =

−5 12 0−4 9 0−2 4 1

Determinar los valores propios de la matriz A.

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Valores Propios

E JEMPLO:

Consideremos la matriz

 A =

−5 12 0−4 9 0−2 4 1

Determinar los valores propios de la matriz A.Solucion:

Hallando el polinomio caraterıstico asociado a la matriz A.Su polinomio caracterıstico es

 p(λ) = | A− λ.I | = (1− λ)(λ2 − 4λ + 3)λ = 1 de multiplicidad 2λ = 3 de multiplicidad 1

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p

TEOREMA

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p

E JEMPLO

Para la matriz 5 −2 0−2 3 −10 −1 1

Localice todos sus valores propios:

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E JEMPLO

Para la matriz 5 −2 0−2 3 −10 −1 1

Localice todos sus valores propios:

Solucion:Los circulos Zi(i = 1, 2, 3), con radio ri

Z1 = { z ∈ C | z− 5| ≤ | − 2|+ |0|}Z2 = { z ∈ C | z− 3| ≤ | − 2|+ | − 1|}

Z3 = { z ∈ C | z− 1| ≤ |0|+ |1|}

Por lo tanto los valores propios estan localizados en:

0 ≤  z ≤ 7

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CIRCULOS DE GERSGORIN

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METODO DE LA POTENCIA

Definicion (Valor Propio Dominante)

Es el de mayor m´ odulo. Si

|λ1| > |λ2| > |λ1| . . . > |λn|

entonces λ1 es el valor propio dominante.

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Definicion (Vector Normalizado)

v =

v1

v2...

vn

v j es una componente dominante. Si |v j| = ||v||∞Si vdom es una componente dominante de v, entonces el vectornormalizado v es

v =1

vdom .v

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METODO DE POTENCIA

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E JEMPLO:

Valores Propios Hermes Pantoja Carhuavilca 21 de 21