PRIPREMA ZA NASTAVNI ČAS

NASTAVNA TEMA: GEOMETRIJSKE FIGURE U PROSTORU

NASTAVNA JEDINICA: VALJAK

SREDNJA ŠKOLA: Mješovita srednja škola „Vitez“

RAZRED: IIIg

PROFESOR: Merima Smaka

Vitez

Nastavnik: Merima Smaka Datum:

Nastavni predmet: matematika Red. br. časa: 71

Razred: IIIg Gimnazija

Nastavna tema: Geometrijske figure u prostoru

Nastavna jedinica: Valjak

Cil

jevi

i za

dac

in

asta

vnog

čas

a

Obrazovni zadaci:upoznati učenike s modelom valjka,pokazati osnovne elemente valjka,razumjeti pojam valjka,dokazati formule za zapreminu i površinu valjka,razumjeti i naučiti te formule,uočiti osni presjek valjka

Funkcionalni zadaci:razvijati kod učenika sposobnost predočavanja i samostalnog skiciranja geometrijskih tijela,osposobljavati učenike da sami izvode jednostavnije dokaze,uvježbati rješavanje zadataka

Odgojni zadaci:razvijati naviku koncentracije, pozornosti i misaone aktivnostirazvijati kod učenika smisao za pravilnu procjenu veličine crteža,razvijanje tačnosti, urednosti i preglednosti pisanja,poštivanje radne discipline i radnih navika, kulture dijaloga,razvijanje tolerantnog odnosa prema drugima,prihvaćanje stajališta i argumenata drugih osoba

Nastavne metode: demonstracijska metoda, metoda razgovora, grafička metoda (crtanje i pisanje), heuristička metoda

Vrsta časa: čas obrade novog gradiva

Oblici rada: frontalni rad, individualni rad učenika

Nastavna sredstva i pomagala: školska tabla, kreda, kreda u boji, modeli valjka i prizme, grafoskop, grafofolije, udžbenik (sa zbirkom zadataka)

Literatura: Matematika za treći razred srednje škole, Sead Softić,Sarajevo 2000, B. Dakić, N. Elezović: Matematika 3, udžbenik i zbirka zadataka iz matematike za 2. r. tehničkih škola, Element, Zagreb, 2000.

2

PLAN TABLE

VALJAKZapremina valjka Primjer 1.

V = B · H Površina valjka jednako je 112π cm2, dužine poluprečnika baze iB = r2 π visine valjka u omjeru su 2 : 5. Kolika je zapremina valjka?V = r2 π · H P = 112π cm2

V = r2 H π r : H = 2 : 5 V = ? P = 2rπ (r+H) V = r2 H π 112π = 2 · 2k · π (2k+5k) / : πPovršina uspravnog valjka r = 2k 112 = 4k · 7k

P = 2B + M H = 5k 112 = 28 k2

B = r2 π k2 = 4 M = 2rπH površina omotača k1 = 2 P = 2·r2 π + 2rπH k2 = -2 - nije rješenje P = 2rπ (r+H) površina valjka r = 2 · 2 H = 5 · 2

r = 4 cm H = 10 cm V = 42 · 10 · π V = 160π cm 3

VALJAKZadatak:d = 1 mm = 0,1 cmm = 1 kg = 1000 gρCu = 8.9 g/cm 3 l = ?

3

STRUKTURA NASTAVNOG ČASA

UVODNI DIO ČASA ( 5 min )

(metoda razgovora, demonstracijska metoda)Nastavnik: Koja geometrijska tijela ste do sada upoznali?Učenik: Prizmu, piramidu.Nastavnik na modelu prizme pokazuje elemente prizme i traži od učenika da imenuju te elemente.Učenici: Baza, omotač (ili strane), bridovi – osnovni i bridovi omotača, visina.Nastavnik: Kako glase formule za obim i površinu prizme?Učenik: P = B · H , O = 2B + MNastavnik: Koji geometrijski likovi mogu biti baza prizme?Učenik: Trokut, četverougao,... – mnogougao.Nastavnik: Da li neko zna kako se zove geometrijsko tijelo slično prizmi kome je baza krug? (8.r. OŠ)Učenik: Valjak.

GLAVNI DIO ČASA (35 min )

( metoda razgovora, demonstracijska metoda, grafička metoda (crtanje i pisanje), heuristička metoda )

Nastavnik pokazuje modele valjka (uspravni i kosi).Zapisuje se naslov --> VALJAKNastavnik: Gdje u svakodnevnom životu susrećete lik valjka?Učenici: Kanta za smeće, vodovodna ili neka druga cijev, lonac...

Udžbenik, str. 314Slika 147 i 148. prikazuje način dobivanja valjka. Prokomentira se ta slika.Učenici prepisuju definiciju valjka s grafofolije:VALJAK je geometrijsko tijelo koje nastaje translacijom baze duž jedne svoje izvodnice.Učenici zatim precrtavaju skicu valjka s grafofolije.Skica:

v izvodnica

B

Uz pomoć nastavnika i grafofolije učenici izvode i zapisuju elemente valjka:BAZA valjka je krug.OMOTAČ je zakrivljena površ koja nastaje translacijom oko baze (kružnice) duž jedne svoje izvodnice.VISINA valjka je udaljenost ravnina u kojima leže njegove baze.

4

Nastavnik: Valjak može biti uspravan i kos. Kakav valjak smo skicirali?Učenik: Kosi.Nastavnik pokazuje uspravni valjak na grafofoliji i pita: Koji valjak ćemo nazvati uspravnim?Učenik: ...onaj čija je izvodnica okomita na bazu.Učenici prepisuju definicije uspravnog i kosog valjka s grafofolije:Valjak je USPRAVAN ako mu je izvodnica okomita na ravan baze. Valjak koji nije uspravan naziva se KOSI.

Nastavnik: Pretpostavimo da nam je zadan valjak poluprečnika baze r i visine H.

Zapremina valjkaSkiciramo uspravni valjak (nastavnik na tabli, a učenici u sveske).Označimo visinu s H, a poluprečnik baze sa r.Prisjetimo se formule za zapreminu prizme:

V = B · HUčenici samostalno pokušavaju izvesti formulu za zapreminu.(Pretpostavljam da će nekoliko učenika doći do rješenja.Nastavnik prošeta razredom i pozove pred tablu učenika koji je izveo formulu za zapreminu da izvod zapiše na tabli i objasni kako je došao do tačne formule.)U slučaju da niko od učenika nije uspio izvesti formulu za zapreminu, primjenjujući heurističku metodu uz pomoć nastavnika učenici zaključuju:Baza valjka je krug pa je B = r2 πZapremina valjka je V = r2 π · HZbog lakše primjene ove formule kod rješavanja zadataka, zapisujemo je na sljedeći način (kredom u boji):

V = r2 H π.

Površina uspravnog valjkaPrisjetimo se formule za površinu prizme:

P = 2B + MNastavnik pokazuje model valjka (koji u sebi sadrži omotač kao posebni dodatak).Skiciramo mrežu valjka (učenici u sveske, a nastavnik na tablu – manja sličica kako bi cijeli izvod formule stao na tablu):

v2Rπ

R

Heurističkom metodom izvodimo formulu za površinu uspravnog valjka.Nastavnik: Čemu je jednaka površina baze?Učenik: B = r2 πNastavnik: Koji geometrijski lik predstavlja omotač?Učenik: Pravougaonik.

5

Nastavnik: Kolike su dužine stranica tog pravougaonika?Učenik: Obim baze 2rπ i visina H.Dopisujemo te oznake na skici mreže valjka.Nastavnik: Čemu je jednaka površina omotača?Učenik: P = 2rπH. - omotačDakle, slijedi da je P = 2·r2 π + 2rπHKredom u boji zapisujemo:

P = 2rπ (r+H).

Primjer 1 Površina (uspravnog) valjka jednako je 112π cm2, dužine poluprečnika baze i visine valjka u omjeru su 2 : 5. Kolika je zapremina valjka?Rješenje:

P = 112π cm2

r : H = 2 : 5V = ?

Koju formulu ćemo koristiti da bi izračunali zapreminu V? V = r2 H πKoji elementi se traže u formuli? Poluprečnik r i visina H.Koji podatak ćemo iskoristiti da bi izračunali r i H? Kako?

r = 2kH = 5k

Koji podatak još nismo iskoristili? Kako ćemo iskoristiti podatak o površini?P = 2rπ (r+H)112π = 2 · 2k · π (2k+5k) / : π112 = 4k · 7k112 = 28 k2

-28k2 = -112 / : (-28)k2 = 4k1 = 2k2 = -2 - nije rješenje

Može li k biti negativan? Ne, jer su dulžine visine i poluprečnika baze pozitivne.R = 2 · 2 v = 5 · 2R = 4 cm v = 10 cm

V = 42 · 10 · πV = 160π cm 3

Osni presjek valjka

Udžbenik, str. 314Prokomentira se slika 148. i izvodi definicija koja se zatim prepisuje s grafofolije:OSNI PRESJEK valjka je lik koji nastaje kada valjak presiječemo ravninom koja prolazi središtem baze valjka i paralelna je s izvodnicom valjka.

Nastavnik pokazuje skice osnog presjeka uspravnog i kosog valjka na grafofoliji.Učenici precrtavaju skice i pripadajući tekst u svesku.

6

Osni presjek uspravnog valjka jepravougaonik sa stranicama 2r i H.

Osni presjek kosog valjka je paralelogramstranice 2r i visine na tu stranicu H.Paralelogrami dobiveni na ovaj način nisupodudarni, čak je jedan od njih i pravougaonik. Onaj osni presjek čiji je ugao α najmanji naziva sekarakteristični presjek valjka.

Zadatak 1 Koliko se metara bakrene žice promjera 1 mm može dobiti od jednog kilograma bakra (gustoća bakra je 8.9 g cm-3.)Rješenje:

d = 1 mm = 0,1 cmm = 1 kg = 1000 gρCu = 8.9 g/cm 3 l = ?

Skica:

lPotrebno je paziti na mjerne jedinice.Prevedimo milimetre u centimetre, a kilograme u grame.Iskoristimo definiciju gustoće da bi izračunali zapreminu.

==>

Bakrena žica ima oblik valjka poluprečnik r=0,05 cm i visine l.Zapreminu možemo izračunati po formuli:

V = r2 l πNepoznanica je l pa formulu preokrećemo:

l = 14306,12 cml = 143,0612 m

ZAVRŠNI DIO ČASA ( 5 min )7

DOMAĆA ZADAĆA

Zadatak 1.Izračunaj površinu i obim osnog presjeka valjka iz primjera 1.

Upute uz zadatak 1.U primjeru 1 smo izračunali da je r = 4 cm, a H = 10 cm.Kako ćemo izračunati površinu i obim osnog presjeka valjka?

M = 2r · HO = 2(2r+H)

Ovaj zadatak nije iz udžbenika pa evo rješenja: M = 80 cm2, O = 36 cm.

Zadatak 2.

Omotač valjka ima površinu 72π cm2, a obim baze je 12π cm. Odredi površinu i zapreminu tog valjka.

Upute uz zadatak 2.Kako ćemo iskoristiti podatak o omotaču valjka?

M = 2rπ·HČemu je jednak obim baze?

Obaze = 2rπPoluprečnik r se može izračunati odmah iz ove formule (r=6)

Slijedi da je (jedan od načina) (H=6).

Visina H se može izračunati i uvrštavanjem poluprečnika r u formulu za omotač.Nakon što smo izračunali r i H, lahko je izračunati površinu i zapreminu valjka.Rješenja: O = 144π cm2, P = 216π cm3

8

U slučaju da završimo prije kraja časa, predvidjela sam još jedan zadatak:

Zadatak 2 Obim osnog presjeka uspravnog valjka je 20 cm, a površina tog presjeka je 16 cm2. Izračunaj površinu i zapreminu valjka.Rješenje:

Opr = 20 cmPpr = 16 cm 2 P, V = ?

Prvo nacrtamo skicu uspravnog valjka s osnim presjekom.Koji geometrijski lik predstavlja osni presjek? Pravougaonik.Po kojim formulama se računaju obim i površina pravougaonika? O = 2(a+b) i P = ab

Opr = 2(2r+H) Ppr = 2r · H20 = 2(2r+H) 16 = 2r · H

Dobili smo sistem od dvije jednačinee s dvije nepoznate r i H.2(2r+H) = 20 /:22r · H = 16 /:22r+H = 10 ==> H = 10 – 2rrH = 8 .r(10-2r) = 810r – 2r2 = 8

Kakvu jednačinu smo dobili? Kvadratnu jednačinu.

Kako se rješava kvadratna jednačina?

Kako ćemo odrediti koeficijente a, b i c? Zapišemo jednačinu u obliku

-2r2 + 10r – 8 = 0 / : (-2), pojednostavnimo je r2 – 5r + 4 = 0 ==> a=1, b=-5, c=4

cm

cm

H1 = 10 – 2 · 4 = 2 cm H2 = 10 – 2 · 1 = 8 cm

Možemo odmah provjeriti dobivene rezultate. Da li za dobivene poluprečnike i visine obim osnog presjeka iznosi 20 cm, a površina 16 cm2 ? Da.Šta se u zadatku tražilo? Površina i zapremina.Izračunajmo ih.

P = 2rπ (r+H)P1 = 2·4π(4+2) P2 = 2·1π(1+8)P1 = 48π cm 2 P2 = 18π cm 2 V = r2 H πV1 = 42·2π V2 = 12·8πV1 = 32π cm 3 V2 = 8π cm 3

9

ZAPAŽANJA NAKON ODRŽANOG ČASA

Pripremu izradila:Merima Smaka, prof.

10