Valgkampens og valgets matematik

Rune Stubager, ph.d., lektor,Institut for Statskundskab,

Aarhus Universitet

Ungdommens Naturvidenskabelige Forening:

Disposition

• Meningsmålinger– Hvorfor kan vi stole på dem?– Hvad er usikkerheden?– Et eksempel

• Valgsystemet– Hvordan bliver stemmer til mandater?

1 Meningsmålinger

• Problemet:– En normal meningsmåling består som regel af

ca. 1000 personer, som er blevet stillet ét eller flere spørgsmål – fx hvilket parti, de vil stemme på ved valget. Hvordan kan vi overhovedet sige noget om hele befolkningen ud fra kun 1000 personer?

• Svaret:– Sandsynlighedsteori

1.1 Notation• Et eksempel:

– Epinion giver S 29,3% af stemmerne = en andel på 0,293

– Men hvad er S stemmeandel i hele kommunens befolkningen?

• π = Andelen i hele befolkningen (populationsparameteren)

• = Stikprøvens estimat af andelen i befolkningen

• n = Stikprøvens størrelse

π

1.2 Det sandsynlighedsteoretiske grundlag

• Andelen i en given stikprøve er et stikprøvemål – dvs. noget der er beregnet på baggrund af en stikprøve

• Hvis man udtager mange stikprøver og beregner det samme mål, vil der være en vis variation i dem

• Man kan derfor vise dem i et stolpediagram, hvor hver stolpe viser, hvor mange stikprøver, der har fået en given værdi for målet

• Den fordeling, der herved fremkommer, kaldes stikprøvemålsfordelingen – og det er den vi er interesserede i

1.2 Den centrale grænseværdisætning

Når n er tilstrækkelig stor, vil sπfordeling – uanset fordelingen i populationen – være omtrent normalfordelt med gennemsnit π og standardafvigelse (kaldes standardfejl)

nπ)π(

nπ)π(

σπ

11

ˆ

Hvis stikprøven er udtrukket simpelt tilfældigt, gælder det, at:

1.2 Den centrale grænseværdisætning

• Simulation – http://www.vias.org/simulations/simusoft_cenlimit.html

• Og hvad kan vi så bruge det til?– Vi kender ikke π, men vi ved, at når

stikprøven er udtaget tilfældigt, så gælder CGS, og så følger stikprøvefordelingen normalfordelingen

– For normalfordelinger kan det vises, at 95% af fordelingen ligger inden for en afstand på ± 1,96 gange standardfejlen af gennemsnittet

1.2 Normalfordelingen

ˆ96,1 ˆ96,1

2,5% 2,5%

π

95%

1.3 Konfidensintervaller• Vores fordeling er en fordeling af stikprøvemål

for andelen π• Dvs. hvis vi for hver stikprøve laver et interval på

± 1,96 gange standardfejlen rundt om estimatet af π, så vil det indeholde π i 95% af de gange, vi udtrækker en stikprøve

• For den enkelte stikprøve siger man, at intervallet indeholder π med 95% konfidens (= sikkerhed)

• Intervallet kaldes således et konfidensinterval og viser altså de værdier, hvor indenfor det er rimeligt sandsynligt, at π falder

1.3 Princippet bag et 95% konfidensinterval for andelen

ˆ96,1 ˆ96,1

2,5% 2,5%

π

95%

ˆ96,1 ˆ96,1

1.3 En lille detalje• Beregning af standardfejlen forudsætter

kendskab til π:

• I praksis estimeres denne dog ud fra stikprøven, så standardfejlen beregnes som

nπ)π(

nπ)π(

σπ

11

ˆ

n)π(π

n)π(π

σπˆ1ˆˆ1ˆ

ˆ ˆ

1.4 Konfidensinterval for andele: Definition

• Et 95% konfidensinterval for π er defineret som

• Vi opstiller altså et interval, hvori π befinder sig med 95% konfidens

• Gælder som udgangspunkt kun for n>30 og 0,3 < π < 0,7

πσπ ˆˆ96,1ˆ

1.4 Definition (forts.)

• Generelt: n skal overstige 30• For π < 0,3 eller π > 0,7:

– Stikprøvemålsfordelingen skæv skærpet krav til n:

– Der skal mindst være 10 observationer både i den kategori vi måler andelen for – og i resten af gruppen – fx skal mindst 10 respondenter ville stemme på S og mindst 10 respondenter på alle andre partier til sammen

1.5 Et eksempel• Fx: Rambøll i JP Århus i søndags:

– Estimat: Andel S-vælgere = 0,293, n=1008

• Et 95% konfidensinterval for andelen af S-vælgere:

0,321 0,265;1008

293,01293,096,1293,0ˆ96,1ˆ ˆ

πσπ

1.6 Faktorer, der påvirker bredden af konfidensintervaller

• Formlen igen:

• Bredden påvirkes af to faktorer:– Tallet, der ganges med– Standardfejlen

πσπ ˆˆ96,1ˆ

1.6.1 Tallet, der ganges med• Afgøres af konfidensniveauet• Kan principielt fastsættes, som man vil• Dvs. under vores kontrol• Konventionelt 95% eller 99%• Jo højere, jo større tal, og dermed jo

bredere konfidensinterval• Mao.: Jo mere sikker man vil være, jo flere

værdier er mulige, og jo mindre præcist kan vi udtale os

1.6.2 Standardfejlen• Formlen igen:

• To elementer heri:– Den estimerede populationsstandardafvigelse– n

n)π(πσπ

ˆ1ˆˆ ˆ

1.6.2.1 Standardafvigelsen

• Populationsparameter kan ikke ændres• Estimeres fra stikprøven• Formlen igen:

ππσ ˆ1ˆˆ

1.6.2.2 n• Under vores kontrol!• Da , kræver dobbelt præcision (dvs.

halv bredde på intervallet = halvering af standardfejlen) 4-dobbelt n (for et givet konfidensniveau):

nn 42

n)π(π

n)π(π

σ

n)π(π

σ

π

π

4

ˆ1ˆˆ1ˆ21ˆ

21

,ˆ1ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1.6.2.3 Eksemplet igen• 4-dobling af antallet af respondenter i

Epinionmålingen: 1008 4032• 95% konfidensinterval for S-andelen:

• Dvs. ca. et spænd på 0,028 (= halvdelen af første interval)

0,307 0,279;4032

293,01293,096,1293,0ˆ96,1ˆ ˆ

πσπ

1.7 Onsdagens Epinion – nu med usikkerhed

Parti Stemmeandel i % UsikkerhedSocialdemokr. 29,3 ±2,8Radikale 6,3 ±1,5Konservative 5,1 ±1,4SF 11,6 ±2,0Liberal Alliance 4,3 ±1,3KD 0,7 ±0,5DF 12,9 ±2,1Venstre 23,4 ±2,6Enhedslisten 6,4 ±1,5

2 Valgsystemet

• 2 bærende principper bag det danske valgsystem:– Partierne skal have nogenlunde lige så stor

en andel af mandaterne i Folketinget, som de har fået stemmer på landsplan (proportionalitet)

– De enkelte folketingsmedlemmer skal have en lokal base – de skal være knyttet til et bestemt geografisk sted

2 Valgsystemet

• Geografi – 3 niveauer:– 3 landsdele: Hovedstaden, Sjælland-Syddanmark og

Midtjylland-Nordjylland– 10 storkredse: Københavns (15), Københavns

Omegns (12), Nordsjællands (10) og Bornholms (2); Sjællands (20), Fyns (12) og Sydjyllands (18); Østjyllands (18), Vestjyllands (13) og Nordjyllands (15) Storkredse

– 92 opstillingskredse• 2 typer af mandater:

– 135 Kredsmandater: Bundet til en bestemt storkreds– 40 Tillægsmandater: Bruges til udjævning – bundet til

en bestemt landsdel (10, 16, 14)

2 Valgsystemet• Mandatfordelingen foregår i 6 trin:

1. Fordeling af kredsmandater, efter d’Hondts divisorrække

2. Kontrol af spærregrænsepassage3. Overordnede nationale fordeling af

mandater, efter største brøks metode4. Tillægsmandater fordeles på partier inden

for landsdelene, efter Sainte-Laguës divisorrække

5. Tillægsmandater fordeles på partier inden for storkredsene, efter danske divisorrække

6. Fordeling af mandater på personer

2 Valgsystemet1 Fordeling af kredsmandater:

– Inden for hver storkreds divideres alle partiernes stemmetal med tallene 1, 2, 3, 4 osv., og kredsmandaterne fordeles til de højeste kvotienter

2 Kontrol af passage af spærregrænsen:– = adgang til tillægsmandater– 3 regler: Enten…

• Mindst et kredsmandat• I to af tre landsdele mindst lige så mange stemmer

som gennemsnitlige antal gyldige stemmer pr. kredsmandat

• 2% af de afgivne stemmer på landsplan

2 Valgsystemet3 Overordnede nationale mandatfordeling:

– Stemmetallene for de partier, der er over spærregrænsen lægges sammen og divideres med antal mandater til fordeling (oftest alle 175)

– Det herved fremkomne tal (19593,47 i 2007) divideres så op i alle partiernes stemmetal

– De herved fremkomne hele tal angiver antal mandater til hvert parti

– Hvis der er mandater til overs, fordeles de til partierne efter størrelsen af decimalbrøkerne

2 Valgsystemet

4 Tillægsmandaternes fordeling I – På partier inden for landsdelene:– Partiernes stemmetal i hver landsdel divideres

med tallene 1, 3, 5, 7 osv.– Der ses så bort fra lige så mange kvotienter,

som partierne har opnået kredsmandater– Blandt de resterende kvotienter fordeles

tillægsmandaterne, indtil hver landsdel og hvert parti har fået opfyldt deres kvoter

2 Valgsystemet5 Tillægsmandaternes fordeling II – På

partier inden for storkredsene:– Partierne stemmetal i hver storkreds divideres

med tallene 1, 4, 7, 10 osv.– Der ses så bort fra lige så mange kvotienter,

som partierne har opnået kredsmandater– Blandt de resterende kvotienter fordeles

tillægsmandaterne, indtil hvert parti har fået opfyldt sin kvote i den pågældende landsdel

2 Valgsystemet6 Fordeling af mandater på personer:

– Afhænger af opstillingsformen:• Sideordnet (m/u nominering)• Kredsvis• (Kredsvis med) Partiliste

– Sideordnet: Hver kandidat får i hver kreds egne personlige stemmer + en andel af partistemmerne i kredsen, som svarer til deres andel af de personlige stemmer i kredsen. Mandaterne fordeles i rækkefølgen efter disse stemmetal

– Partiliste: Mandaterne fordeles efter rækkefølgen på listen – med mindre en kandidat ’sprænger listen’ og får flere stemmer end fordelingstallet (partiets samlede stemmetal i kredsen/antal mandater+1) – så er man valgt umiddelbart