1

V.8. Bozoni i fermioni

Kvantna statistička fizika polazi od aksioma da jednake čestice ne možemo razlikovati.U klasičnoj fizici početni uvjeti i jednadžbe gibanja jednoznačno određuju koordinate i impulse čestica, što znači da u svakom trenutku čestice zauzimaju potpuno određene položaje u faznom prostoru.Nasuprot tome, za kvantnu fiziku karakteristične su Heisenbergove relacije neodređenosti. Nemogućnost da egzaktno odredimo reprezentativno stanje čestice u faznom prostoru, automatski otklanja pretpostavku klasične statističke fizike o individualnosti čestica.

2

Razlikujemo bozonsku i fermionsku kvantnu statistiku.Bose-Einsteinova statistika vrijedi za čestice cjelobrojnog spina. Te čestice zovemo bozonima. Nju je 1924. uveo Nath Satyendra Bose za fotone, a nešto kasnije Albert Einstein primijenio na plinove.U sustavu jednakih bozona ukupna valna funkcija je simetrična.Ako sa a i b označimo kvantna stanja koja zauzimaju promatrani bozoni, vrijedi:

ab ba

Zamijene li dva bozona svoja kvantna stanja, valna funkcija sustava ostaje nepromijenjena.

3

Drugu vrstu čestica tvore fermioni.Fermionsku raspodjelu izveo je 1926. Enrico Fermi, a iste godine Paul Adrien Maurice Dirac objasnio je njihova valno-mehanička svojstva. Fermi-Diracova statistika opisuje čestice polucjelobrojnog spina.Valna funkcija sustava jednakih fermiona antisimetrična je.

ab ba Ako uvrstimo b = a slijedi:

aa aa odnosno 0aa

To je Paulijevo načelo: dva fermiona ne mogu se u isto vrijeme smjestiti u isto kvantno stanje. Kvantno stanje može biti samo prazno ili popunjeno jednim jedinim fermionom.

4

Bozoni: fotoni (s=1); π-mezoni (s=0); K-mezoni (s=0); Cooperovi parovi (s=0); He4 (s=0; 2 protona + 2 elektrona + 2 neutrona)

Fermioni: protoni; elektroni; neutroni; pozitroni; He3 (s=1/2; 2 protona + 2elektrona + 1 neutron)

Obje kvantne raspodjele izvest ćemo za idealni plin sastavljen od N jednakih čestica.Napisat ćemo izraz za termodinamičku vjerojatnost nekog ravnotežnog stanja i ispitati kada ona postaje maksimalna.Moramo uvažiti i pomočne uvjete koji zahtijevaju da se u zatvorenom sustavu ne mijenja ni energija, ni broj čestica.

ii

N N i ii

U N E

5

1ig 1iN

ln ! ln ; ,i ixx x x g Ne

Zamislimo jednu bijelu i jednu crnu kuglicu koje na različite načine raspoređujemo u tri kutije. Ukupan broj mogućih razmještaja je32=9 (Boltzmannova raspodjela).U kvantnim raspodjelama ne razlikujemo bijelu od crne kuglice, papreostaje samo 6 različitih razmještaja kuglica po kutijama (Bose-Einsteinova raspodjela).Prema Paulijevu načelu u svakoj kutiji ima mjesta za jednu česticu, pa se broj razmještaja kuglica po kutijama reducira na 3 (Fermi-Diracova raspodjela).

6

7

Bose-Einsteinova raspodjela

Razmjestit ćemo 12 čestica u 5 ćelija.

gi ćelija označeno je sa (gi-1) crtica, a Ni kružića obilježava bozone u tim ćelijama.Ukupan broj razmještaja bozona po ćelijama jednak je broju permutacija promatranih (Ni+gi-1) elemenata. Moramo eliminirati Ni! permutacija u kojima smo samo međusobno zamjenjivali Nikružića, te (gi-1)! unutrašnjih permutacija (gi-1) crtica.

8

1 !!( 1)!

i ii

i i

N gB

N g

1ig 1iNKako je:

!! !

i ii

i i

N gB

N g

Logaritmiranjem i primjenom Stirlingove formule dobivamo:

ln ln ln lni i i i i i i ii

B N g N g N N g g

9

Maksimalna termodinamička vjerojatnost određena je zahtjevom:

(ln ) 0B N U

Kako je: ii

N N i ii

U N E

Slijedi: ln ln 0i i i i ii

N g N E N

Budući da su varijacije broja bozona na pojedinim nivoimameđusobno nezavisne, izraz u svakoj zagradi mora biti jednak nuli:

10

ln 0i ii

i

N g EN

iEi i

i

N g eN

1iEi

i

g eN

Bose-Einsteinova raspodjela je prosječan broj bozona po kvantnojćeliji na i-tom energijskom nivou pa slijedi:

11i

ii E

i

Ng e

11

Da bi funkcija raspodjele bila pozitivna mora biti:

m in 0E

Emin je najniže individualno energijsko stanje bozona.U sustavima u kojima je energija bozona jednaka translacijskoj kinetičkoj energiji: E=p2/2m, minimalna energija je jednaka nuli pa slijedi:

0

Ako u sustavu broj bozona nije konstantan, moramo uzeti α = 0.

12

Time Bose-Einsteinova funkcija raspodjele postaje:

11ii Ee

Uvrstimo li β = 1/kBT i Ei = ħ ω , dobivamo Planckovu funkcijuraspodjele:

1( )1Bk Te

13

Fermi-Diracova funkcija raspodjele:

Prema Paulijevu načelu svako individualno kvantno stanje ili je prazno ili se u njemu nalazi jedan fermion. To znači da mora biti:

i ig N

Ni ćelija je puno, a (gi-Ni) prazno. Broj mogućih raspodjela na i-tomenergijskom nivou jest:

!!( )!

ii

i i i

gBN g N

14

Termodinamička vjerojatnost jednaka je umnošku broja mogućihraspodjela preko svih energijskih nivoa:

!!( )!

i

i i i i

gBN g N

Primjenom Stirlingove formule, za logaritam termodinamičkevjerojatnosti dobivamo:

ln ln ln ( )ln( )i i i i i i i ii

B g g N N g N g N

(ln ) 0B N U

15

Slijedi: ln 0i ii i

i i

g N E NN

Uzimanjem u obzir pomoćnih uvjeta, varijacije broja fermiona narazličitim energijskim nivoima postale su međusobno nezavisne, pamora biti:

ln 0i ii

i

g N EN

Odatle slijedi izraz za Fermi-Diracovu raspodjelu:

11i

ii E

i

Ng e

16

V.9. Funkcija raspodjele i Lagrangeovi multiplikatori

• Obje raspodjele možemo napisati relacijom:

11ii Ee

(ln ) 0B N U

17

Pomoću Boltzmannove relacije S=kBlnB, gornju relaciju možemo napisati:

B BS k N k U

Entropija je funkcija stanja pa slijedi:

, ,

;B BU V N V

S Sk kN U

18

Ranije smo imali: 1 ( )dS dU P dV dNT

Iz gornje relacije možemo očitati parcijalne derivacije entropijepo broju čestica i po energiji :

, ,

1;U V N V

S SN T U T

Usporedbom dobivamo:

1;B Bk T k T

19

Izraz za funkcije raspodjele postaje:

1

1i

B

i Ek Te

GN

Ovisnost kemijskog potencijala o temperaturi određena je uvjetom:

ii

N N

Slijedi:

20

1i

B

ii i i E

k T

gN ge

1i

B

iE

i k T

gNe

Pri danoj temperaturi kemijski potencijal mora biti tako odabranda gornja relacija bude ispunjena. Kemijski potencijal statističkogsustava u stanju termičke ravnoteže funkcija je temperature i koncentracije čestica.

21

V.10. Limes klasične statistike

• Bozonska raspodjela opisana je funkcijom:

1

1i

B

i Ek Te

Izraz mora biti pozitivan i za najnižu vrijednost energije Ei. Ako seograničimo na razmatranje sustava u kojima je energija jednakakinetičkoj energiji, minimalna vrijednost energije bit će jednakanuli:

0iE

22

Ako je Ei = 0, slijedi uvjet za kemijski potencijal:

1Bk Te

Da bi uvjet bio ispunjen kemijski potencijal mora biti negativanili jednak nuli:

0 Napišimo funkciju raspodjele u obliku:

23

1

1

i

B

i

B

Ek T

i Ek T

ee

Ako isključimo vrijednosti Ei = μ = 0, drugi član u nazivniku manjije od prvoga, pa bozonsku funkciju možemo razviti u red:

21 ...

i i i

B B B

E E Ek T k T k T

i e e e

Zadržavajući se na vodećem članu u razvoju dobivamo:

24

i

B

Ek T

i e

To je klasična Boltzmannova raspodjela. Ostali članovi u razvojuopisuju kvantne korekcije. One će biti zanemarivo male ako je:

1Bk Te

Relacija će biti ispunjena ako je kemijski potencijal negativan, anjegova apsolutna vrijednost mnogo veća od termičke energijekBT. Tada će i funkcija raspodjele biti mnogo manja od jedan.

25

Sada ćemo pogledati fermionsku raspodjelu:

1

1i

B

i Ek Te

Funkcija je uvijek pozitivna, tako da u ovisnosti o termodinamičkim uvjetima u kojima se sustav nalazi, kemijski potencijal fermiona može biti pozitivan, jednak nuli ili negativan.Analogno kao za bozone, možemo napisati Fermijevu funkciju u obliku.

21 ...

i i i

B B B

E E Ek T k T k T

i e e e

26

Ako je veličina eμ/kT vrlo mala, tada je dovoljno zadržati samo prvičlan u razvoju. Time se Fermi-Diracova funkcija raspodjele reducira naBoltzmannovu raspodjelu. U razvoju su vodeće kvantne korekcije za bozone i fermione sasuprotnim predznacima. Za oba će sustava korekcije biti male akoje ρi«1. To znači da je:

i iN g

27

28

V.11. Gustoća stanja

• Promatrajmo mnogočestični sustav sastavljen od materijalnih točaka mase m.

• Pretpostavljamo da se sustav nalazi izvan djelovanja vanjskih sila.

• U tim uvjetima energija čestice jednaka je translacijskoj kinetičkoj energiji:

2

2pEm

29

3 33

2 1 ;ii

sg d d d rd ph

3d r V

2

0

4d V p dp

2; 2pdpdE p dp m mEdEm

Iz gornjih relacija slijedi:

30

2 1 4 2ii

sg Vm m EdEh

30

Definiramo gustoću stanja g(E) kao broj stanja između energijaE i E+dE podijeljen s energijskim intervalom dE. Gustoća stanjajednaka je faktoru koji se pojavljuje pri prijelazu sa sume po energijskim nivoima na integral po energiji:

0

( )ii

g g E dE

Usporedbom relacija dobivamo:

3

2 1( ) 4 2sg E Vm mEh

Gustoća stanja proporcionalna je s drugim korijenom iz energije.

31

0

( ) ( )i i ii i

N N g g E E dE

1( )1B

Ek T

Ee

32

Za ukupnu energiju vrijedi:

0

( ) ( )i i i i ii i

U E N E g Eg E E dE

A za prosječnu energiju čestice:

0

0

( ) ( )

( ) ( )

E g E E d EUEN

g E E d E

Na sličan način određujemo prosječnu vrijednost proizvoljne fizičke veličine A(E) po čestici:

33

0

0

( ) ( ) ( )

( ) ( )

A E g E E d EA

g E E d E

34

V.12. Jako degenerirani fermionski plin

• Proučit ćemo ponašanje fermionskog sustava, pri čemu ćemo pretpostaviti da je individualna energija fermiona određena izrazom E=p2/2m.

• Minimalna energija je nula, pa je kriterij za prijelaz iz kvantne u klasičnu statističku fiziku izražen zahtjevom da je kemijski potencijal izrazito negativan.

• Jako degeneriran fermionski plin se javlja kada je kemijski potencijal pozitivan i mnogo veći od termičke energije.

Bk T

35

Potpuna degeneracija:

Stupanj degeneracije raste s povećanjem omjera μ/kBT. On postajebeskonačan na T = 0. Na T = 0 govorimo o potpuno degeneriranomfermionskom plinu.

00

1( ) lim1B

ETk T

Ee

Vrijednost gornjeg izraza ovisi o tome da li je energija E manja ili veća od kemijskog potencijala μ0 .

36

0

00lim 0;B

Ek T

Te E

0

00lim ;B

Ek T

Te E

0

0

( ) 1;( ) 0;E EE E

37

38

Iz Paulijevog načela slijedi da definicija temperature postavljena uklasičnoj statističkoj fizici:

2 32 2 Bp k Tm

gubi valjanost pri niskim temperaturama.Zahvaljujući Paulijevu načelu, energija fermiona i pri najnižimtemperaturama može biti ogromna.U razrijeđenim sustavima Fermijeva energija bit će mala pa će gornja relacija približno vrijediti sve do relativno niskih temperatura.U sustavima velikih gustoća ona će biti neispravna čak i pri vrlo visokim temperaturama.

39

2

0 2Fpm

22F F

F F

h hp k

2 2

0 2Fk

m

Kuglu radijusa kF nazivamo Fermijevom kuglom. Na apsolutnojnuli fermioni popunjavaju sva stanja u Fermijevoj kugli, a stanja izvan nje ostaju prazna.

40

Do kojeg stupnja moramo zagrijati sustav da bi termička energija kBT postala jednaka Fermijevoj energiji μ0?Dijeleći Fermijevu energiju s Boltzmannovom konstantom, definiramo temperaturu:

0F

B

Tk

Fermijeva temperatura ilitemperatura degeneracije

FT T

FT T

FT T

Klasična statistička fizika, Boltzmannova raspodjela

Fermionski plin je degeneriran

Fermionski plin je jako degeneriran

41

Maksimalna brzina fermiona na apsolutnoj nuli jest:

F FF

p kvm m

Fermijeva brzina

Kemijski potencijal nalazimo iz izraza:

0

( ) ( )N g E E dE

3

2 1( ) 4 2sg E Vm mEh

0

0

( ) 1;( ) 0;EE

42

Slijedi:

00

03 30

82 1 2 14 2 23

Vms sN Vm m EdE mh h

2/3 2 22 2

06

2 2 1 2FkN

m s V m

2

36

2 1FNk

s V

43

Prosječna energija na apsolutnoj nuli bit će:

0

0

3 / 2

0 00 0

1 / 2

0 0

( ) ( )35

( ) ( )

Eg E E dE E dEE

g E E dE E dE

Slijedi:

2 235 Fv v

0 0 035

U NE N

Prosječna vrijednost kvadrata brzine

Ukupna energija

44

Iz Paulijeva načela slijedi da se samo 2s+1 fermiona može smjestitina najnižem energijskom nivou. Posljedica toga je da je u makroskopskim sustavima granična energija različita od nule.Granična energija raste s koncentracijom kao (N/V)2/3.

Kriterij za primjenu Boltzmannove raspodjele sada prelazi:

2/32 26

2 2 1BNk T

m s V

Kvalitativno isti kriterijsmo dobili ranije:

2 /32

Bh Nk Tm V

45

Nepotpuna degeneracija

Povišenjem temperature fermioni prelaze na energijske nivoe iznadenergije μ0. Pritom je vjerojatnost popunjavanja nekog nivoa to manja što je veća njegova energija.

E E

1( )1B

Ek T

Ee

46

Slijedi:

1 1( ) ( ) 11 1B B

E Ek T k T

E Ee e

Ako uvrstimo ΔE = 0, dobivamo:

1( )2

Kemijski potencijal ona je vrijednost energije pri kojoj Fermi-Diracova funkcija raspodjele pada na polovicu maksimalnevrijednosti.

47

Ponašanje Fermi-Diracove funkcije u okolini kemijskog potencijalanavedeno je u sljedećoj tablici.

ΔE/kBT ρ(E-ΔE) ρ(E+ΔE)

0 0,5 0,5

1 0,73106 0,26894

2 0,88080 0,11920

3 0,95257 0,04743

4 0,98201 0,01799

48

Privođenje topline ima znatniji utjecaj na fermionsku raspodjeluSamo u energijskom intervalu širine nekoliko kBT oko kemijskogpotencijala.

49

0

ef BN k TN

2

0

Bef B

k TU N k T N

2

0 00

Bk TU U U U N

2

0

2 BV

V

k NUC TT

50

Za razliku od klasičnog izraza za toplinski kapacitet idealnoga jednoatomskog plina 3NkB/2. odgovarajući kvantni izraz teži nuli u limesu apsolutne nule.Toplinski kapacitet jako degeneriranoga fermionskog plina ponaša se u skladu s trećim zakonom termodinamike.Slaganje nije posljedica kvantizacije energijskog spektra, nego je rezultat oblika funkcije raspodjele.Ako uzmemo u obzir da je μ0=kBTF slijedi:

2V BF

TC NkT

Faktor 2NkB približno je jednak izrazu za toplinski kapacitet kojeg dobivamo primjenom klasične statističke fizike, a faktor T/TFneposredna je posljedica Paulijeva načela. On znatno reducira toplinski kapacitet sustava.

51

Matematički formalizam za razmatranje problema jako degeneriranihfermionskih sustava razvio je Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld1928. On je pokazao da se kemijski potencijal može razviti u red po parnim potencijama omjera T/TF. Zadržimo li se na vodećem članu u razvoju za kemijski potencijal jako degeneriranoga fermionskog sustava dobivamo:

22

0( ) 11 2 F

TTT

Analogni izraz opisuje i unutrašnju energiju:

22

03 515 12 F

TU NT

52

2 2

02B

Vk NUC T

T

Rezultat se razlikuje samo u numeričkom faktoru od ranije dobivenog izraza.Toplinski kapacitet fermiona proporcionalan je s temperaturom samo u niskotemperaturnompodručju. Povišenjem temperature ovisnost toplinskog kapaciteta o temperaturi postaje sveslabija.U limesu visokih temperatura toplinski kapacitet približava se klasičnoj vrijednosti 3NkB/2.

53

Vd TS CT

Ako uvrstimo CV i integriramo, slijedi:

2 2

002BN k TS S

Ako odaberemo S0=0, slijedi:

2 2

02BN k TS

Entropija iščezava kada temperatura teži prema apsolutnoj nuli.

54

3

2

v

v

C T TC TT

Toplinski kapacitet bakra

55

V.13. Jako degenerirani realni fermionski sustavi

0 Bk T

2/32 26

2 2 1 BN k T

m s V

Kvantni efekti pojačavaju se sniženjem temperature T, smanjenjemmase m i povećanjem koncentracije N/V.

56

Tekući He3

Pri normalnom tlaku, plin He3 ukapljuje se na temperaturi 3,2K. Gustoća tekućeg He3 iznosi ρ=81 kg/m3, a masa pripadnog atomam=5 10-27 kg.

mNV

28 31, 6 10N m

V m

s=1/22 / 32 2

230

3 6,7 102

N Jm V

0 4, 2FB

T Kk

U tekućem He3 zadovoljen je kriterij degeneracije, TF>T. Eksperimenti pokazuju da ispod temperature od 0,1K toplinski kapacitet tekućeg He3 postaje proporcionalan s temperaturom.

57

Plin vodljivih elektrona u metalima

U metalima se vanjski elektroni atoma oslobađaju sila koje ih vežu zajezgru, te se gibaju čitavim metalom.U plemenitim metalima (Au, Ag i Cu), te alkalijskim metalima (Li, K, Na, Rb i Cs) svaki atom daje jedan vodljivi elektron, pa je koncentracija vodljivih elektrona jednaka koncentraciji atoma.Koncentracije atoma u jednovalentnim metalima kreću se između 9,3 1027 m-3 (cezij) i 5,9 1028 m-3 (zlato). To je istog reda veličine kao i koncentracija atoma u tekućem u tekućem heliju.No kako je masa elektrona 5500 puta manja od mase atoma He3, to povlači da je po redu veličine Fermijeva temperatura vodljivih elektrona u metalima jednaka nekoliko desetaka tisuća kelvina. Za vodljive elektrone u metalima pri svim temperaturama ispod tališta metala, zadovoljen je kriterij jake degeneracije:

FT T

58

Ako u izraz za toplinski kapacitet vodljivih elektrona uvrstimoμ0=kBTF dobivamo:

2

2B

VF

Nk TCT

Izraz ćemo usporediti s toplinskim kapacitetom fonona. Pri visokimtemperaturama elektronski doprinos je približno za faktor T/TF manjiod fononskog doprinosa koji je prema Dulong-Petitovu pravilu 3NkB. Time objašnjavamo zašto pri visokim temperaturama dinamika vodljivih elektrona praktično ne utječe na toplinski kapacitet metala.

59

Bijeli patuljci

Bijeli patuljci imaju masu usporedivu sa masom Sunca.MSunca=2 1033 g, RSunca=7 1010 cm. Radijus bijelih patuljaka je vrlomali, približno 0,01 RSunca. Gustoća Sunca je 1 gcm-3, a gustoće Bijelih patuljaka 104 do 107 gcm-3.Atomi u bijelim patuljcima su potpuno ionizirani, a elektronskiplin je degeneriran. Gustoća Siriusa B iznosi ≈ 0,7 105 gcm-3. Atomi vodika kod gustoće ≈ 106 gcm-3 imaju volumen po atomu jednak:

30 3

6 3 23 1

6 3

1 2 1010 6 10

2 10 Å

A

A

V cm peratommolcm atommol

V peratom

60

Prosječni razmak između dva atoma je ≈ 0,01 Å.U molekuli vodika razmak između atoma iznosi 0,74 Å.U uvjetima tako visokih gustoća, elektroni više nisu vezani za pojedine jezgre. Elektroni su ionizirani i čine elektronski plin. Materija u bijelim patuljcima drži se zajedno gravitacionom silom, koja je vezivna sila u svim zvijezdama.Fermijeva energija elektronskog plina koncentracije 1030

elektrona cm-3, je dana sa:

2 2/32 53 3 10

2FE n eVm

Fermijeva temperatura TF=EF/kB≈3 109K.Stvarna temperatura u unutrašnjosti bijelog patuljka iznosi T≈107K.

FT T

61

V.14. Einsteinova kondenzacija

2

2pEm

0

( ) ( )N g E E dE

3

2 1( ) 4 2sg E Vm mEh

Najprije ćemo izračunat ukupan broj bozona, a onda pogledati uvjete za njihovu kondenzaciju na najniži energetski nivo. Polazimo od poznatih relacija:

1( )1B

Ek T

Ee

Ako uvrstimo sljedeće supstitucije:

;B B

Etk T k T

62

Dobivamo: 3/23

0

2 12 21B t

s tN V mk T dth e

2 2

2 2

0 0

2

1 0

2

1 0

2 23 / 2 2

1 0 0

3 / 21

1 ...1

1 ...

1; ; 2

2 :4

2

t t tt

n t t t

n

n nt

n

nx ax

n

n

n

t dt e t e e dte

e e t e e dt

e e t dt nt x x nt dt xdxn

e x e dx tabele x e dxn a

en

63

Slijedi: 3 / 23 3 / 2

1

2 1 12 B

nk T

Bn

sN V mk T eh n

U bozonskim sustavima μ=-| μ |. Sniženjem temperature kemijskipotencijal se povećava. Na nekoj temperaturi TE (Einsteinovatemperatura) kemijski potencijal bi morao postati jednak nuli.

0

3/ 2 3/ 23 3/ 2 3

1

2 1 1 2 12 2 2,612B E B En

s sN V mk T V mk Th n h

2/32

2 2,612 2 1EB

h NTmk s V

64

Ako uzmemo: 20 3 2410 ; 10 ; 0N cm m g sV

Slijedi: 1ET K

Ako je T»TE tada Bose-Einsteinova raspodjela prelazi u Maxwell-Boltzmannovu.

Degeneracija osnovnog stanja je g0= 2s+1

00

0

;ii

i

N Ng g

Broj bozona na najnižem stanju:

65

02 1

1Bk T

sNe

Kako je N0 velik, slijedi da je |μ|«kBT, pa eksponencijalnu funkciju možemo razviti u red:

1 ...Bk T

B

ek T

Pa je:

0 2 1 Bk TN s

0 pN N N

66

Np je broj pobuđenih bozona:

3/23 3/ 2

1

2 1 12 B

nk T

p Bn

sN V mk T eh n

Kako je broj kondenziranih bozona N0 velik, | μ | « kBT, to znači:

0 1B

nk Te e

3/2 3/23 3/2 3

1

2 1 1 2 12 2p B Bn

s sN V mk T V mk Th n h

3ζ

2

67

Dobili smo:

3/ 23

2 1 2 2,612B EsN V mk Th

3/23

2 1 2 2,612p BsN V mk Th

Ako napravimo omjer gornjih relacija:3 / 2

pE

TN NT

Kako je:0 pN N N Odnosno:

0 pN N N

Slijedi:3 / 2

0 1E

TN NT

68

Pri temperaturi T=TE započinje nagli prijelaz sve većeg brojačestica na najniži energetski nivo.

69

BEC nastaje kada se valne funkcije čestica počinju prekrivati:

13

22 2 23

3

B B

B E

EB B

h h hmv k T mk Tm

m

h VNmk T

h N hT nmk V mk

70

Za prosječnu energiju jednog bozona dobivamo:

3 / 2

2 30 0

1 2 1( ) ( ) 22 1E

s E dEE Eg E E dE Vm mN N e

3 / 2 3 / 25 / 2

( )0 0

5 / 2 5 / 23 / 25 / 2

1 10

1 1

3 14

t

BE t

n n x nB B

n n

E d E e t d tk Te e

k T e x e d x k T en

3 / 2 5 / 21

3 5 / 21

3 / 21

13 32 1 1

12 2 2

n

n nB B B

nn

n

eV k T m k T k Ts nE e

N n en

71

U klasičnoj aproksimaciji -μ»kBT, pa možemo zanemariti sve članoveosim prvog:

32B

klk TE

Uvodeći kritičnu temperaturu i izražavajući je pomoću brojapobuđenih čestica za ukupnu energiju se dobiva:

3 / 25 5

33 2 23 32 22 2

p BB

E

N k TN k T TUT

Gornja relacija podsjeća na zakon jednake raspodjele energijestatističke fizike. Energija, degeneriranoga bozonskog plina u bitnome je određena umnoškom broja pobuđenih čestica i termičke energije. Kondenzirane čestice nalaze se na nultom nivou i ne utječu na energiju plina.

72

Naravno, sličnost između izraza za energiju degeneriranog i klasičnog plina samo je formalna. Broj pobuđenih čestica degeneriranoga Bozonskog plina mijenja se s temperaturom kao T3/2, pa je ukupna energija bozona u blizini apsolutne nule proporcionalna s T5/2. Tek nadovoljno visokim temperaturama energija se vlada po klasičnomzakonu.

Energija idealnoga bozonskogplina kao funkcija temperature.

32kl BU Nk T

73

3 / 251 5

3 232 42

BV

E

N kU TCT T

Toplinski je kapacitet funkcija temperature, no njegova funkcionalna ovisnost iznad iispod kritične temperature je različita.

74

Riemannova zeta funkcija:

1

1 ; 1sn

sn

s ζ(s)

1

3/2 ≈2,612

2 π2/6 ≈1,645

5/2 ≈1,341

4 π4/90 ≈1,0823

5 ≈1,0369

6 π6/945 ≈1.017

75

V.15. Tekući He4

He I kada je T<TλHe II kada je T>TλTλ=2,18K

CV~T3 kada T<Tλ

Odstupanje od ponašanja CV~T3/2 , koje smo našli za idealni bozonski plin, pripisujemo interakciji atoma.

76

Na osnovi ovisnosti toplinskog kapaciteta o temperaturi razvio je Landau teoriju o He II. Uveo je kvazičestice-rotone.He4 na 4,2K i tlaku od jedne atmosfere prelazi u tekuće stanje. He II se sastoji od dviju komponenata. Jedna pokazuje ponašanje normalne tekućine, a druga je komponenta suprafluidna. Viskoznost suprafluidne komponente je zanemarivo mala, a njezina entropija je jednaka nuli. Suprafluidna komponenta iščezava na temperaturi Tλ.

Za He4 , m=6,68 10-24g, N/V=2,19 1022 cm-3, što daje TE=3,1K. To je vrlo blizu temperaturi faznog prijelaza Tλ.

77

1995. Eric Cornell i Carl Wieman pare od oko 200 atoma Rb87 su hladili na 170 nK.Wolfgang Ketterle je pak hladio pare Na23

Zajedno su dobili Nobelovu nagradu 2001.

1999. Dobiven BE kondenzat magnona (s=1) u antiferomagnetu TiCuCl3 na 14 K.

2006. Kondenzacija magnona u feromagnetima na sobnoj temperaturi.

78

Stvaranje BE kondenzata rubidijevih atoma (400nK;200nK;50nK)

79

Interferencija 2 kondenzata

80

81

V.16. Einsteinove vjerojatnosti prijelaza

U Bohrovim postulatima duboko je ukorijenjena statistička zakonitost. Iz početnog stanja moguć je prijelaz u svako stacionarno stanje niže energije.Einstein je prvi pokazao da Bohrovi postulati sa svojom statističkom interpretacijom vode do Planckova zakona zračenja.Zamislimo da je u omeđenom prostoru zračenje u ravoteži s atomima. Zračenje frekvencije ω stoji u uzajamnom djelovanju s atomskim nivoima Em i En (En-Em=ω).Neka je Nn broj atoma koji se nalaze u stanju s energijom En.Neka je Nm broj atoma koji se nalaze u stanju s energijom Em.

82

Zbog djelovanja zračenja, a i zbog spontane emisije, uvijek će stanovit broj atoma prelaziti iz stanja m u stanje n, i iz n u m.Sa uω, označit ćemo gustoću zračenja po jediničnome frekventnomintervalu u promatranom prostoru.Vjerojatnost da jedan atom iz nižeg stanja m prijeđe u više stanje njest uωBn

m, gdje je Bnm konstanta karakteristična za atomsku vrstu.

Broj prijelaza iz stanja m u n: NmuωBnm .

Broj prijelaza iz stanja n u m: NnuωBmn .

Broj spontanih prijelaza iz stanja iz stanja n u m: NnAmn .

Budući da je zračenje u ravnoteži s atomima, to cjelokupan broj prijelaza iz stanja m u stanje n mora biti jednak broju prijelaza iz stanja n u m. Uvjet za ravnotežu daje jednadžbu:

( )m n nm n n m mN u B N u B A

83

Broj atoma s energijom En, odnosno energijom Em, određen je Boltzmannovom raspodjelom:

. ; .n m

B B

E Ek T k T

n mN const e N const e

Pa dobivamo:

( )m n

B B

E Ek T k Tm n n

n m me u B e u B A

Kako je En-Em=ω slijedi:

B

nm

k T m nn m

Aue B B

84

Po Rayleigh-Jeansovu zakonu gustoća energije po jediničnom intervalu frekvencije iznosi:

2

2 3 Bu k Tc

Razvijemo li u dobivenoj formuli eω/kT u red, dobivamo:

nm

m m nn n m

B

AuB B B

k T

Gornja relacija prelazi u Rayleigh-Jeansov zakon ako uvrstimo:

85

n mm nB B

2

2 3n nm mA B

c

Koristeći dobivene izraze dobivamo Planckovu formulu:

2

2 3

1Bk T

uc

e

2

2 3

B B

nn mm

k T k Tm n m nn m n m

BA cue B B e B B

86

Domaća zadača:

1. Promatramo sustav čestica koje su se smjestile na tri ekvidistantna energijska nivoa:

E1=0, E2=E, E3=2E ; g1=1, g2=4, g3=3; pri čemu je razmak između susjednih nivoa E=0,01 eV. Na kojoj temperaturi će zbroj čestica na prvom i trećem nivou biti jednak broju čestica na drugom nivou?

2. N=1020 čestica smjestilo se na osam energetskih nivoa: En=nE; n=0,1,2,....,7; a svaki od njih sadrži isti broj kvantnih stanja. Izračunajte toplinski kapacitet sustava ako je kT=E.

3. U sustavu s dva energijska nivoa na gornjem nivou nalazi se 80% čestica. Odredite temperaturu sustava ako je broj kvantnih stanja na gornjem nivou dva puta veći nego na donjem nivou, a energijski procijep između nivoa jest E2-E1=1,5 eV.

4. U sustavu negativne temperature čestice su smještene na tri ekvidistantna energijska nivoa istih statističkih težina: E1=E, E2=2E, E3=3E, g1=g2=g3. Neka se na prvom nivou nalazi nalazi N1=2 1019 čestica. Koliki je ukupan broj čestica u sustavu?

87

5. U temperaturnom području duboko ispod Debyeove temperature θ, temperatura kristala snizila se od početne vrijednosti T1=20K na konačnu vrijednost T2=10K. Neka se u tom procesu unutrašnja energija kristalnog titranja smanjila za 3 J. Primjenom Debyevog modela odredite toplinski kapacitet rešetke u početnom i konačnom stanju.6. Pri kojoj koncentraciji iznos prosječne brzine u idealnom elektronskom plinu na apsolutnoj nuli postaje vsr=5 105 m/s.7. Odredite vjerojatnost da je na apsolutnoj nuli iznos translacijske brzine fermiona

veći od iznosa srednje kvadratične brzine .8. Zadana je gustoća stanja fermionskog sustava: g(E)=CVE3 , pri čemu konstanta proporcionalnosti C ima vrijednost C=2,5 10102 m-3J-4 . Kolika mora biti fermionska koncentracija da bi prosječna energija fermiona na apsolutnoj nuli bila

9. Odredite prosječnu energiju u podsistemu idealnog elektronskog plina u kojem na T=0K svi elektroni imaju z-komponentu valnog vektora između –kF/2 i kF/2.10. Idealni elektronski plin koncentracije n=4 1028 m-3 nalazi se na apsolutnoj nuli. Kolika je koncentracija elektrona kojima je energija veća od E0=5 10-19 J, a vektor brzine tvori s pozitivnim smjerom z-osi kut koji nije veći od π/4.

0,8 .E eV

2sv v

88

11. Zadana je gustoća stanja fermionskog plina: g(E) = C E3/2

, E>0. Odredite

na apsolutnoj nuli.

12. Neka u sistemu 80% harmoničkih oscilatora titra frekvencijom ω1 = 3 1013

s-1

, a 20 % frekvencijom ω2 = 3 1013

s-1

. Na

kojoj temperaturi će oba tipa titranja sadržavati isti broj kvazičestica?

13. U Debyevu modelu gustoća stanja proporcionalna je kvadratu frekvencije: g(ω) = Aω2. Koliko je relativno odstupanje od

prosječne vrijednosti?

14. Koliki je relativni broj elektrona u idealnom plinu na apsolutnoj nuli s brzimom između

v1=0,6vF v2=0,8vF .

15. Zadani su energetski nivoi E1=1 eV i E2= 3 eV, pri čemu donji nivo sadrži 2 puta više kvantnih stanja od gornjeg nivoa. Na kojoj temperaturi će populacija gornjeg nivoa postati pet puta veća od populacije donjeg nivoa.

1EE