Cap. 4

gas di Fermi

un sistema di fermioni deve ubbidire al Principio di Esclusione di Pauli: 2 particelle non possono avere lo stesso stato quantico

descriviamo il sistema nello spazio delle fasi, interviene anche il Principio di Indeterminazione di Heisemberg, il prodotto delle incertezze su posizione e momento deve essere maggiore di h:

ogni cella di volume può contenere al più s particelle, s essendo il numero di stati di spin (s=2 per elettroni, protoni, neutroni)

!x!px > h

!V = !x!y!z!px!py!pz = h3

!px

!x

gas di Fermi

per una distribuzione sferica di particelle compresa entro un raggio massimo R ed un momento massimo pF il numero di particelle sarà: N = s

4!

3R3

4!

3p3

F

1

h3

pF =

!

3

4!

n

s

"1/3

h

n =N

4!

3R3

= s4!

3

!pF

h

"3

la densità di particelle è:

il momento massimo della distribuzione si chiama momento di Fermi e cresce con la densità:

!px

!x

!x/2

2!px

pF

gas di Fermi

se tutti i fermioni occupano stati con energia <EF il gas si dice degenere e si ha la pressione di degenerazione:

E =

! pF

0

p2

2m4!p2dp

! pF

04!p2dp

=1

2m

p5F /5

p3F /3

=3

5

p2F

2m=

3

5EF

pd =2

3

!"#$

nE =1

5m

%3

4!s

&2/3

h2n5/3

energia per unità di volume

EF =p2

F

2m=

1

2m

!

3

4!

n

s

"2/3

h2 l’energia di Fermi è anch’essa funzione crescente della densità

! ! 1

gas di Fermi

la degenerazione degli elettroni si instaura quando questi non sono abbastanza caldi da occupare gli stati con momento maggiore

ad alte densità EF e pF sono alti e il

comportamento è come per T~0

fF (E, T ) =1

eE!EF

kT + 1

queste particelle seguono la statistica di Fermi-Dirac, descritta dalla distribuzione:

kT !

1

10

GMmp

R

vita e morte delle stelle normali

Teorema del Viriale

CALDO FREDDO

la stella è calda per sostenersi

c’è un flusso di energia continuo dalla stella all’Universo

non è possibile perciò l’equilibriotermodinamico con l’Universo

ma: le sorgenti di energia nucleare prima o poi terminano ( ) e la stella muore!!Mc2

che cosa resta? ci sono 4 possibilità:

1) non resta niente, c’è un’esplosione totale e la dispersione della stella nel mezzo interstellare

2) la stella espelle il suo inviluppo come Nebulosa Planetaria e il nucleo di Carbonio e Ossigeno forma una Nana Bianca che si sostiene attraverso la pressione degli elettroni degeneri e poi si raffredda tendendo all’equilibrio termodinamico con l’ambiente

3) il nucleo di Ferro di una stella di grande massa collassa in una Stella di Neutroni che si sostiene attraverso la pressione dei neutroni degeneri e come prima può raffreddarsi

4) se tale nucleo ha massa troppo grande. anche la pressione dei neutroni degeneri può risultare insufficiente e la stella collassa in un Black Hole

vittoria della Termodinamica

vittoria della Gravità

pareggio

pareggio

pressione degli elettroni degeneri

pd =1

5me

!

3

8!

"2/3

h2n5/3non dipende dalla Temperatura

(è grande anche se la stella è relativamente fredda)

confrontata con la pressione ordinaria p=2nkT diviene importante quando è grande ilrapporto

cioè quando

(fattore 2 per la presenza di elettroni e protoni)

n5/3/nkT

n ! nQ =

!

2!mekT

h2

"3/2

(densità degli stati quantici)

anche per temperature relativamente alte gli elettroni sono degeneri se la densità è sufficientemente alta

piano ! ! T

equilibrio idrostatico:dp

dr= !

GM!

r2" p #

M

R!

p ! !Tequazione di stato:}!

T !

p

!"

M

R"

M

(M/!)1/3" M2/3!1/3

Tdeg ! n2/3

Q ! !2/3

condizione di degenerazione:

!1/3

!2/3

una stella non degenere che ha esaurito il combustibile nucleare si contrae lungo un percorso !

1/3

necessariamente prima o poi incontra il limite di degenerazione

a questo punto la perdita di energia non provoca ulteriore contrazione perché la stella è sostenuta dagli elettroni degeneri; l’evoluzione prosegue con un raffreddamento a densità costante

massa minima di una stella

l’intersezione fra le 2 rette (nel piano log-log) edipende dal valore di M. La Temperatura corrispondente può essere insufficiente per accendere reazioni nucleari, questo succede per

l’oggetto così formato si chiama nana bruna, si sostiene con la pressione degli elettroni degeneri ma non genera energia e non è una stella; il percorso evolutivo in tal caso proviene direttamente dal collasso di una nube protostellare

!1/3

!2/3

M!

< 0.1M"

massa massima di una stella

dalla Luminosità di Eddington

oppure

e dalla relazione M-L

si trova

LE = 1.3 1038M/M!

LE

L!

= 3.4 104

M

M!

L

L!

!

!

M

M!

"3.2

!

M

M!

"2.2

! 3.4 104

MMax ! (3.4 104)1/2.2" 100M! log M

log

L

LEdd

relazione massa-raggio per le nane bianche

dp

dr= !

GM!

r2" p #

M2

R4equilibrio idrostatico:

pd ! n5/3" (!/mp)

5/3!

M5/3

R5pressione di degenerazione:

! R " M!1/3

R ! 9 108(M/M!)"1/3 cm

}

al crescere di M diminuisce R e cresce la densitàper data M le Nane Bianche sono dinamicamente stabiliraffreddandosi tendono all’equilibrio termodinamico con l’ambiente

R = cost, T !, L = 4!R2"T 4

e!

tWD =

2 ·3

2

M

mp

kT

L! T

!3tempo di raffreddamento

p.es.: M = 1M!, T = 105 K ! L " 14L!, tWD " 7000 yr

T = 104 K ! tWD " 7 106 yr

caso relativistico

se ne è molto alta, pF diventa relativistico:

(cf. caso classico: p2/2m)

p =

! pF

0p 4!p2dp

! pF

04!p2dp

=p4

F /4

p3F /3

=3

4pF

pd,rel =1

3nE =

1

3n

3

4cpF =

c

4

!

3

8!

"1/3

hn4/3

pressione di degenerazione:

EF ! mec2

E = c!

p2 + m2ec2

! pc

p ! mec " 9 10!28

· 3 1010

# 3 10!17

pF =

!

3

8!n

"1/3

h n =8!

3

!pF

h

"3

! 1030

cm!3

! ! mpn ! 1.6 106 g/cm3

g cm/s

consideriamo nuovamente l’equilibrio idrostatico: p !

M2

R4

pd,rel ! !4/3"

M4/3

R4} !

p

pd" M2/3

se la massa è troppo grande, la pressione di degenerazione non basta per sostenere la stella, che allora collassa

si trova:

per Z/A=0.5 si ottiene Mch ! 1.46M!

massa limite di Chandrasekhar

il rapporto non dipende dal raggio, ma solo dalla massa

Mch = 0.20

!

Z

A

"2 !

hc

Gm2p

"3/2

mp

neutronizzazione

mN = 1.6749 · 10!24 g ! 939.6 MeV

mp = 1.6726 · 10!24 g ! 938.3 MeV

me = 9.1 · 10!28 g ! 0.511 MeV

!E = (mN ! mp ! me)c2" 0.79 MeV

il neutrone libero in condizioni ordinarie decade spontaneamente in ! ! 900 s

n ! p + e!

+ ! decadimento beta

in condizioni di alta densità ( ) l’energia di Fermi degli elettroni è sufficiente per superare la soglia

[e diventa attivo il processo beta inverso

p + e!

! n + ! cattura elettronica

il decadimento beta avviene anch’esso in parte, ma bastano pochi decadimenti (~0.5% dei neutroni) per saturare i livelli energetici disponibili per gli elettroni e i rimanenti neutroni non decadono.

quando l’energia è sufficiente per vincere anche l’energia di legame~6.5 MeV/nucleone e liberare i neutroni, che poi, fra e , vanno a formare un fluido di neutroni

(Z, A) + e! ! (Z " 1, A) + !

! ! 107 g/cm3

! ! 3 108 g/cm3

1011 1014 g/cm3

interno di una stella di neutroni

pressione dei neutroni degeneri

caso non relativistico: E=p2/2m

EF (neutroni) !1

1800EF (elettroni)

se la densità è abbastanza alta anche il gas di neutroni è degenere

pd =1

5mN

!

3

8!

"2/3

h2n5/3

oppure si ha il caso relativistico se ! > 2.5 1014 g/cm3 (EF > mNc2)

pd,rel =c

4

!

3

8!

"1/3

hn4/3

valgono considerazioni simili al limite di Chandrasekhar, ma l’equazione di stato in queste condizioni estreme non è ben nota. il collasso si arresta se la massa non supera un valore critico, il limite di Oppenheimer-Volkoff, fra 2 e 3 masse solari. il valore preciso non si conosce ma si assume

se il limite non è superato si forma una Stella di Neutroni, sostenuta per l’appunto dalla pressione di degenerazione dei neutroni

M ! 2.5M!

Stelle di Neutroni

ci aspettiamo M<! 2.5M! ! ! 1014 g/cm3

inoltre, come per le Nane Bianche, si trova la relazione massa-raggio

R = 0.114h2

Gmem5/3p

!

Z

A

"5/3

M!1/3! 9 108(M/M")!1/3 cm

R = 0.114h2

Gm8/3p

M!1/3! 1.5 106(M/M")!1/3 cm

WD

NS

(Nane Bianche: White Dwarfs)

(Stelle di Neutroni: Neutron Stars)

Stelle di Neutronile Stelle di Neutroni sono molto calde (T~106K) e hanno il massimo dell’emissione termica nella banda X (kT< ~1 keV). sono state osservate in anni recenti.

5x105 K

2x106 K: hot spot

molto prima (1967-68) sono state scoperte come Pulsar, radiosorgenti pulsanti.

le Pulsar si formano grazie al fatto che il collasso amplifica sia la rotazione sia il campo magnetico

! ! R!2 [J = I! = cost ! R

2!]

B ! R!2 [!(B) = !R

2B = cost]

E(keV) = hν = 2.8 kT =

esempio: T=106 K

=2.8× 1.4 · 10−16 × 106

1.6 · 10−9

� 0.25 keV

Geminga

Cassiopeia A

Pulsarsla più nota e meglio studiata è la Crab Pulsar (Pulsar della Nebulosa del Granchio)

segnali radio periodici con periodo molto breve: P = 0.033 s

essa è immersa in un SNR (Crab Nebula) anche molto studiato

dati:

a) cinematica della espansione (accelerata)

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November 17, 2005

E � 2.4 1038 erg/s

1

b) emissione, oltre che di righe, di continuo con forte polarizzazione lineare radiazione di sincrotrone generata da elettroni con ed in

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→

L � 2 1038 erg/s

1

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E � 2.4 1038 erg/s

→

L � 2 1038 erg/s

γ = 102 − 107

1

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→

1

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L � 2 1038 erg/s

γ = 102 − 107

E = 0.1− 104 GeV

1

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E � 2.4 1038 erg/s

→

L � 2 1038 erg/s

γ = 102 − 107

E = 0.1− 104 GeV

B � 10−3 Gauss

1

problema: ci deve essere una sorgente attuale di energia: da dove proviene?

soluzione: dalla Pulsar !

periodi

oggi sono note circa 103 Pulsars, ma la lista si allunga ogni anno. almeno una fa parte di un sistema binario.

periodi: P ~ fraz di ms - ~ 5 s

in molte nei limiti osservativi, ma in altre è misurabile:

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E � 2.4 1038 erg/s

→

L � 2 1038 erg/s

γ = 102 − 107

E = 0.1− 104 GeV

B � 10−3 Gauss

∆P � 0

1

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→

L � 2 1038 erg/s

γ = 102 − 107

E = 0.1− 104 GeV

B � 10−3 Gauss

∆P � 0

∆PP

1

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→

L � 2 1038 erg/s

γ = 102 − 107

E = 0.1− 104 GeV

B � 10−3 Gauss

∆P � 0

∆PP

∆PP � 10−13 − 10−16

1

in allungamento

periodi regolari così brevi si possono ottenere solo dal moto di un corpo compatto in pulsazione o rotazione, in entrambi i casi:

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E � 2.4 1038 erg/s

→

L � 2 1038 erg/s

γ = 102 − 107

E = 0.1− 104 GeV

B � 10−3 Gauss

∆P � 0

∆PP

∆PP � 10−13 − 10−16

P � 1√Gρ

1

pulsazione:

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E � 2.4 1038 erg/s

→

L � 2 1038 erg/s

γ = 102 − 107

E = 0.1− 104 GeV

B � 10−3 Gauss

∆P � 0

∆PP

∆PP � 10−13 − 10−16

P � 1√Gρ

a = −GMR2 ⇒ R

τ2 � GMR2

1

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→

L � 2 1038 erg/s

γ = 102 − 107

E = 0.1− 104 GeV

B � 10−3 Gauss

∆P � 0

∆PP

∆PP � 10−13 − 10−16

P � 1√Gρ

a = −GMR2 ⇒ R

τ2 � GMR2

Pn = 1n

1√Gρ

1

anchema con energia ridotta

rotazione: altrimenti si spacca, ma la rotazione può essere minore

WD

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→

L � 2 1038 erg/s

γ = 102 − 107

E = 0.1− 104 GeV

B � 10−3 Gauss

∆P � 0

∆PP

∆PP � 10−13 − 10−16

P � 1√Gρ

a = −GMR2 ⇒ R

τ2 � GMR2

Pn = 1n

1√Gρ

ωR2 ≤ GMR2

(ρ � 106 g/cm3)

1

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E � 2.4 1038 erg/s

→

L � 2 1038 erg/s

γ = 102 − 107

E = 0.1− 104 GeV

B � 10−3 Gauss

∆P � 0

∆PP

∆PP � 10−13 − 10−16

P � 1√Gρ

a = −GMR2 ⇒ R

τ2 � GMR2

Pn = 1n

1√Gρ

ωR2 ≤ GMR2

(ρ � 106 g/cm3)

(ρ � 1014 g/cm3)

1

NS

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E � 2.4 1038 erg/s

→

L � 2 1038 erg/s

γ = 102 − 107

E = 0.1− 104 GeV

B � 10−3 Gauss

∆P � 0

∆PP

∆PP � 10−13 − 10−16

P � 1√Gρ

a = −GMR2 ⇒ R

τ2 � GMR2

Pn = 1n

1√Gρ

ωR2 ≤ GMR2

(ρ � 106 g/cm3)

(ρ � 1014 g/cm3)

P � 1√6.6 10−8·106

� 4 s

P � 1√6.6 10−8·1014

� 0.4 ms

1

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E � 2.4 1038 erg/s

→

L � 2 1038 erg/s

γ = 102 − 107

E = 0.1− 104 GeV

B � 10−3 Gauss

∆P � 0

∆PP

∆PP � 10−13 − 10−16

P � 1√Gρ

a = −GMR2 ⇒ R

τ2 � GMR2

Pn = 1n

1√Gρ

ωR2 ≤ GMR2

(ρ � 106 g/cm3)

(ρ � 1014 g/cm3)

P � 1√6.6 10−8·106

� 4 s

P � 1√6.6 10−8·1014

� 0.4 ms

1

troppo lunghi

OK

!2R !

GM

R2

collasso con J=cost

Sole: 27 giorni

J = I! = cost ! =

J

I! R

!2

P! = 27 ! 86400 " 2.5 106

s

! PNS = P!

!

106

7 1010

"2

"

2.5 106

5 109

<# 10

"3s

allo stesso modo:

Erot =1

2I!

2=

1

2

J2

I! R

!2 aumenta ~1010 nel collasso

si osserva un rallentamento della Crab Pulsar: perdita di energia rotazionale

(! = 2"/P )d

dt

!

1

2I!

2

"

= 4"2I

1

P

d

dt

!

1

P

"

= !4"2I

1

P 3

dP

dt

d

dt

!

1

2I!2

"

! 40 " 1045"

1

(1/30)3" 4 10!13

! 5 1038 erg/s

in grado di spiegare l’energetica della Crab Nebula: 2.4 1038 erg/s

+2 1038 erg/s

accelerazione

emissione

meccanismo

come si sottrae Erot dalla Stella di Neutroni per riversarla nella Crab Nebula?

il materiale stellare è buon conduttore, allora:

durante il collasso viene amplificato di 109-1010

!(B) ! BR2 = cost

B ! R!2

B! ! 102

Gauss " BNS # 1012

Gauss

NS rotante e magnetizzata

Jm soluzione di Hertz di dipolo magnetico

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

1

a distanza

le linee di forza di B sarebbero trascinate a velocità> c (cilindro della velocità della luce). Invece si aprono e dànno luogo ad un’onda elettromagneticadi bassa frequenza e grande ampiezza, che può accelerare particelle ad alte energie

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

1

oscillatore di Hertz

dipolo elettricoa) p=cost

b) p(t) oscillatore di Hertz

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

Er =2p cos θ

r3

Eθ =p sin θ

r3

1

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

Er =2p cos θ

r3

Eθ =p sin θ

r3

1

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

Er =2p cos θ

r3

Eθ =p sin θ

r3

Br = 0Bθ = 0Bφ = p

rc2 sin θ

Er = 0Eθ = p

rc2 sin θEφ = 0

1

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

Er =2p cos θ

r3

Eθ =p sin θ

r3

Br = 0Bθ = 0Bφ = p

rc2 sin θ

Er = 0Eθ = p

rc2 sin θEφ = 0

1

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

Er =2p cos θ

r3

Eθ =p sin θ

r3

Br = 0Bθ = 0Bφ = p

rc2 sin θ

Er = 0Eθ = p

rc2 sin θEφ = 0

{

1

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

Er =2p cos θ

r3

Eθ =p sin θ

r3

Br = 0Bθ = 0Bφ = p

rc2 sin θ

Er = 0Eθ = p

rc2 sin θEφ = 0

{

1

campi radiativi

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

Er =2p cos θ

r3

Eθ =p sin θ

r3

Br = 0Bθ = 0Bφ = p

rc2 sin θ

Er = 0Eθ = p

rc2 sin θEφ = 0

{

∝ 1/r

1

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

Er =2p cos θ

r3

Eθ =p sin θ

r3

Br = 0Bθ = 0Bφ = p

rc2 sin θ

Er = 0Eθ = p

rc2 sin θEφ = 0

{

∝ 1/r

S =c

4πE×B =

c

4π

�p

rc2

�2

sin2 θ r

1

Larmor:

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

Er =2p cos θ

r3

Eθ =p sin θ

r3

Br = 0Bθ = 0Bφ = p

rc2 sin θ

Er = 0Eθ = p

rc2 sin θEφ = 0

{

∝ 1/r

S =c

4πE×B =

c

4π

�p

rc2

�2

sin2 θ r

W =23

p2

c3

W =23

m2

c3(m sin θ ω2)2 ∝ ω4

1

dipolo magnetico

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

Er =2p cos θ

r3

Eθ =p sin θ

r3

Br = 0Bθ = 0Bφ = p

rc2 sin θ

Er = 0Eθ = p

rc2 sin θEφ = 0

{

∝ 1/r

S =c

4πE×B =

c

4π

�p

rc2

�2

sin2 θ r

W =23

p2

c3

E→ B, B→ E, S invariato

W =23

m2

c3(m sin θ ω2)2 ∝ ω4

1

, p ! m

potenza irraggiata:

tale potenza viene sottratta alla energia rotazionale:

perdita di energia rotazionale della Pulsar

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

Er =2p cos θ

r3

Eθ =p sin θ

r3

Br = 0Bθ = 0Bφ = p

rc2 sin θ

Er = 0Eθ = p

rc2 sin θEφ = 0

{

∝ 1/r

S =c

4πE×B =

c

4π

�p

rc2

�2

sin2 θ r

W =23

p2

c3

E→ B, B→ E, S invariato

W =23

m2

c3(m sin θ ω2)2 ∝ ω4

Erot =12Iω2

1

dErot

dt= Iωω

ω = − 1Iω

23

m2

c3= − 1

Iω

23c3

m2⊥ω4 = −

2m2⊥

3Ic3ω3

dω

ω3= −

2m2⊥

3Ic3dt

−12

�1ω2− 1

ω2o

�= −

2m2⊥

3Ic3t

ω = ωo

−12

�1ω2− 1

ω2o

�=

ω

ω3t

t = − ω

2ω

�1−

�ω

ωo

�2�

<∼ − ω

2ω

ω2o � ω2

t<∼

���ω

2ω

��� =P

2P� 1

20.033

4.2 10−13� 1200 yr

2

dErot

dt= Iωω

ω = − 1Iω

23

m2

c3= − 1

Iω

23c3

m2⊥ω4 = −

2m2⊥

3Ic3ω3

dω

ω3= −

2m2⊥

3Ic3dt

−12

�1ω2− 1

ω2o

�= −

2m2⊥

3Ic3t

ω = ωo

−12

�1ω2− 1

ω2o

�=

ω

ω3t

t = − ω

2ω

�1−

�ω

ωo

�2�

<∼ − ω

2ω

ω2o � ω2

t<∼

���ω

2ω

��� =P

2P� 1

20.033

4.2 10−13� 1200 yr

2

dErot

dt= Iωω

ω = − 1Iω

23

m2

c3= − 1

Iω

23c3

m2⊥ω4 = −

2m2⊥

3Ic3ω3

dω

ω3= −

2m2⊥

3Ic3dt

−12

�1ω2− 1

ω2o

�= −

2m2⊥

3Ic3t

ω = ωo

−12

�1ω2− 1

ω2o

�=

ω

ω3t

t = − ω

2ω

�1−

�ω

ωo

�2�

<∼ − ω

2ω

ω2o � ω2

t<∼

���ω

2ω

��� =P

2P� 1

20.033

4.2 10−13� 1200 yr

2

separazione delle variabili:

dErot

dt= Iωω

ω = − 1Iω

23

m2

c3= − 1

Iω

23c3

m2⊥ω4 = −

2m2⊥

3Ic3ω3

dω

ω3= −

2m2⊥

3Ic3dt

−12

�1ω2− 1

ω2o

�= −

2m2⊥

3Ic3t

ω = ωo

−12

�1ω2− 1

ω2o

�=

ω

ω3t

t = − ω

2ω

�1−

�ω

ωo

�2�

<∼ − ω

2ω

ω2o � ω2

t<∼

���ω

2ω

��� =P

2P� 1

20.033

4.2 10−13� 1200 yr

2

integriamo fra t=0 dove e il tempo generico t, attuale

dErot

dt= Iωω

ω = − 1Iω

23

m2

c3= − 1

Iω

23c3

m2⊥ω4 = −

2m2⊥

3Ic3ω3

dω

ω3= −

2m2⊥

3Ic3dt

−12

�1ω2− 1

ω2o

�= −

2m2⊥

3Ic3t

ω = ωo

−12

�1ω2− 1

ω2o

�=

ω

ω3t

t = − ω

2ω

�1−

�ω

ωo

�2�

<∼ − ω

2ω

ω2o � ω2

t<∼

���ω

2ω

��� =P

2P� 1

20.033

4.2 10−13� 1200 yr

2

sostituendo dall’equazione precedente possiamo riscrivere

dErot

dt= Iωω

ω = − 1Iω

23

m2

c3= − 1

Iω

23c3

m2⊥ω4 = −

2m2⊥

3Ic3ω3

dω

ω3= −

2m2⊥

3Ic3dt

−12

�1ω2− 1

ω2o

�= −

2m2⊥

3Ic3t

ω = ωo

−12

�1ω2− 1

ω2o

�=

ω

ω3t

t = − ω

2ω

�1−

�ω

ωo

�2�

<∼ − ω

2ω

ω2o � ω2

t<∼

���ω

2ω

��� =P

2P� 1

20.033

4.2 10−13� 1200 yr

2

dErot

dt= Iωω

ω = − 1Iω

23

m2

c3= − 1

Iω

23c3

m2⊥ω4 = −

2m2⊥

3Ic3ω3

dω

ω3= −

2m2⊥

3Ic3dt

−12

�1ω2− 1

ω2o

�= −

2m2⊥

3Ic3t

ω = ωo

−12

�1ω2− 1

ω2o

�=

ω

ω3t

t = − ω

2ω

�1−

�ω

ωo

�2�

<∼ − ω

2ω

ω2o � ω2

t<∼

���ω

2ω

��� =P

2P� 1

20.033

4.2 10−13� 1200 yr

2

dErot

dt= Iωω

ω = − 1Iω

23

m2

c3= − 1

Iω

23c3

m2⊥ω4 = −

2m2⊥

3Ic3ω3

dω

ω3= −

2m2⊥

3Ic3dt

−12

�1ω2− 1

ω2o

�= −

2m2⊥

3Ic3t

ω = ωo

−12

�1ω2− 1

ω2o

�=

ω

ω3t

t = − ω

2ω

�1−

�ω

ωo

�2�

<∼ − ω

2ω

ω2o � ω2

t<∼

���ω

2ω

��� =P

2P� 1

20.033

4.2 10−13� 1200 yr

2

se

dErot

dt= Iωω

ω = − 1Iω

23

m2

c3= − 1

Iω

23c3

m2⊥ω4 = −

2m2⊥

3Ic3ω3

dω

ω3= −

2m2⊥

3Ic3dt

−12

�1ω2− 1

ω2o

�= −

2m2⊥

3Ic3t

ω = ωo

−12

�1ω2− 1

ω2o

�=

ω

ω3t

t = − ω

2ω

�1−

�ω

ωo

�2�

<∼ − ω

2ω

ω2o � ω2

t<∼

���ω

2ω

��� =P

2P� 1

20.033

4.2 10−13� 1200 yr

2

facciamo il conto per la Pulsar della Crab Nebulada confrontarsi con il tempo passato dall’esplosione della SN osservata dagli astronomi cinesi: 2009-1054=955 anni

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

Er =2p cos θ

r3

Eθ =p sin θ

r3

Br = 0Bθ = 0Bφ = p

rc2 sin θ

Er = 0Eθ = p

rc2 sin θEφ = 0

{

∝ 1/r

S =c

4πE×B =

c

4π

�p

rc2

�2

sin2 θ r

W =23

p2

c3

E→ B, B→ E, S invariato

W =23

m2

c3=

23

1c3

(m sin θ ω2)2 ∝ ω4

Erot =12Iω2

1

spettro

notare che la radiazione pulsata è energeticamente irrilevante <<dE/dt della Nebula, ma è essenziale per segnalare la Pulsar e per misurare la sua dinamica (P, dP/dt)

spettro della Crab Nebula e spettro della radiazione pulsata

n(E) = E!p

!

I(!) ! !!!;" =p " 1

2

radiazione di sincrotrone: per una distribuzione di elettroni a legge di potenza si dimostra che l’emissione è pure a legge di potenza

conclusioni

• una Stella di Neutroni rotante e magnetizzata spiega molto bene la fenomenologia:1) sorgente di energia per l’accelerazione e per l’emissione del SNR2) esistenza di un oggetto compatto resto del core stellare dopo l’esplosione di SN3) età del SNR e rallentamento della Pulsar

• la radiazione pulsata richiede una asimmetria della magnetosfera rispetto all’asse di rotazione, m e J formano un angolo (rotatore obliquo)

• la radiazione è non-termica, emissione di sincrotrone da parte di elettroni relativistici

• anche la radiazione del SNR è non-termica, estesa dal radio al gamma, dovuta ad elettroni relativistici accelerati dalla Pulsar,

• la Crab nebula fornisce un ottimo esempio di come una sorgente cosmica possa emettere energia elettromagnetica non derivata da processi stellari, ma sostanzialmente derivata da energia gravitazionale convertita in energia rotazionale durante il collasso e poi usata per accelerare elettroni relativistici

dErot

dt= Iωω

ω = − 1Iω

23

m2

c3= − 1

Iω

23c3

m2⊥ω4 = −

2m2⊥

3Ic3ω3

dω

ω3= −

2m2⊥

3Ic3dt

−12

�1ω2− 1

ω2o

�= −

2m2⊥

3Ic3t

ω = ωo

−12

�1ω2− 1

ω2o

�=

ω

ω3t

t = − ω

2ω

�1−

�ω

ωo

�2�

<∼ − ω

2ω

ω2o � ω2

t<∼

���ω

2ω

��� =P

2P� 1

20.033

4.2 10−13� 1200 yr

γ = 102 − 107

2

dErot

dt= Iωω

ω = − 1Iω

23

m2

c3= − 1

Iω

23c3

m2⊥ω4 = −

2m2⊥

3Ic3ω3

dω

ω3= −

2m2⊥

3Ic3dt

−12

�1ω2− 1

ω2o

�= −

2m2⊥

3Ic3t

ω = ωo

−12

�1ω2− 1

ω2o

�=

ω

ω3t

t = − ω

2ω

�1−

�ω

ωo

�2�

<∼ − ω

2ω

ω2o � ω2

t<∼

���ω

2ω

��� =P

2P� 1

20.033

4.2 10−13� 1200 yr

γ = 102 − 107

GM2/R

Iω2/2

2

dErot

dt= Iωω

ω = − 1Iω

23

m2

c3= − 1

Iω

23c3

m2⊥ω4 = −

2m2⊥

3Ic3ω3

dω

ω3= −

2m2⊥

3Ic3dt

−12

�1ω2− 1

ω2o

�= −

2m2⊥

3Ic3t

ω = ωo

−12

�1ω2− 1

ω2o

�=

ω

ω3t

t = − ω

2ω

�1−

�ω

ωo

�2�

<∼ − ω

2ω

ω2o � ω2

t<∼

���ω

2ω

��� =P

2P� 1

20.033

4.2 10−13� 1200 yr

γ = 102 − 107

GM2/R

Iω2/2

2la scoperta delle Pulsar

Le Pulsar furono scoperte nel 1967 da Susan Bell, studentessa di dottorato presso il radiotelescopio di Cambridge. La scoperta fruttò il Nobel nel 1974 a Martin Ryle, direttore del radiotelescopio, e Antony Hewish, supervisore della Bell. La mancata inclusione della Bell nel Nobel fu considerata subito da molti come uno scandalo. Infatti in seguito fu riconosciuto che il merito dell’interpretazione era dovuto in gran parte alla studentessa.

Per qualche tempo si pensò alla possibilità di un segnale intelligente extraterrestre, che fu battezzato LGM (little green men). Poi Bell trovò un’altro segnale con periodo diverso ~1.2 s e concluse che questo escludeva la possibilità dei LGM, perché c’erano due diversi periodi da due diverse posizioni. Perciò ovviamente doveva trattarsi di un qualche tipo di stella molto rapida.

Hewish e Bell stavano investigando la scintillazione interplanetaria delle radiosorgenti extragalattiche, un fenomeno dovuto alla diffrazione da irregolarità nel plasma interplanetario e che causa piccole fluttuazioni irregolari sulla scala temporale di qualche secondo.

Invece Bell trovò un segnale periodico con periodo ~1.3 s. Hewish disse che a causa della brevità del periodo doveva essere un segnale di origine umana. Il più breve periodo stellare noto era infatti ~1/3 di giorno. Furono però escluse sorgenti terrestri o segnali provocati da satelliti artificiali o da riflessioni dalla Luna o da pianeti, infatti non c’era evidenza di parallassi maggiori di ~100 secondi d’arco, pertanto la distanza doveva essere maggiore di 1/100 di pc ~ 1000 AU.

black holesSe la massa supera il limite di Oppenheimer-Volkoff , la gravità della Stella di Neutroni non può più essere bilanciata dalla pressione di degenerazione dei neutroni e il collasso continua indefinitamente fino a formare un Black Hole.

Un Black Hole è caratterizzato dal Raggio di Schwarzschild

Occorre la Relatività Generale per dimostrarlo ma già nel 1800 Laplace l’aveva introdotto in termini newtoniani.

Consideriamo una NS con massa e raggio ~15 km e calcoliamo la velocità di fuga, velocità che deve avere un corpo per sfuggire al campo gravitazionale e raggiungere distanza infinita:

In quali condizioni questa velocità di fuga diventa c?

Proprio l’espressione del Raggio di Schwarzschild!In queste condizioni la velocità di fuga di un corpo di massa m è pari a c. Può il ragionamento essere applicato ad un fotone per concludere che anch’esso non supera la velocità di fuga?No, per 2 ragioni:1) il fotone ha massa nulla e la sua energia non è ma2) in questa situazione estrema non vale più la gravitazione newtoniana ma la Relatività Generale

dErot

dt= Iωω

ω = − 1Iω

23

m2

c3= − 1

Iω

23c3

m2⊥ω4 = −

2m2⊥

3Ic3ω3

dω

ω3= −

2m2⊥

3Ic3dt

−12

�1ω2− 1

ω2o

�= −

2m2⊥

3Ic3t

ω = ωo

−12

�1ω2− 1

ω2o

�=

ω

ω3t

t = − ω

2ω

�1−

�ω

ωo

�2�

<∼ − ω

2ω

ω2o � ω2

t<∼

���ω

2ω

��� =P

2P� 1

20.033

4.2 10−13� 1200 yr

γ = 102 − 107

GM2/R

Iω2/2

(∼ 2− 3M⊙)

2 Rs =2GM

c2

3

Rs =2GM

c2

∼ 1.5M⊙

3

Rs =2GM

c2

∼ 1.5M⊙

12v2f =

GM

R⇒ vf =

�2GM

R� 1.6 1010 cm/s >

c

2

3

Rs =2GM

c2

∼ 1.5M⊙

12v2f =

GM

R⇒ vf =

�2GM

R� 1.6 1010 cm/s >

c

2

vf = c =�

2GM

R⇒ R =

2GM

c2

3

Rs =2GM

c2

∼ 1.5M⊙

12v2f =

GM

R⇒ vf =

�2GM

R� 1.6 1010 cm/s >

c

2

vf = c =�

2GM

R⇒ R =

2GM

c2

mv2/2

hν

3

Rs =2GM

c2

∼ 1.5M⊙

12v2f =

GM

R⇒ vf =

�2GM

R� 1.6 1010 cm/s >

c

2

vf = c =�

2GM

R⇒ R =

2GM

c2

mv2/2

hν

3

redshift gravitazionaleTuttavia il risultato è giusto e corrisponde alla Soluzione di Schwarzschild, soluzione delle equazioni del campo gravitazionale di Einstein per una configurazione a simmetria sferica.Il Raggio di Schwarzschild non è un limite materiale ma indica una superficie sferica ideale detta l’orizzonte degli eventi. Se il corpo ha raggio inferiore ad Rs, se cioè è contenuto all’interno

dell’orizzonte degli eventi, esso risulta invisibile, perché nessuna informazione può uscire dall’interno dell’orizzonte. In particolare nessun fotone emesso in un punto interno all’orizzonte degli eventi può oltrepassare l’orizzonte stesso.

Rs =2GM

c2

∼ 1.5M⊙

12v2f =

GM

R⇒ vf =

�2GM

R� 1.6 1010 cm/s >

c

2

vf = c =�

2GM

R⇒ R =

2GM

c2

mv2/2

hν

λ

λo=

1�1−Rs/r

hν

hνo=

�1−Rs/r

3

Rs =2GM

c2

∼ 1.5M⊙

12v2f =

GM

R⇒ vf =

�2GM

R� 1.6 1010 cm/s >

c

2

vf = c =�

2GM

R⇒ R =

2GM

c2

mv2/2

hν

λ

λo=

1�1−Rs/r

hν

hνo=

�1−Rs/r

3

Si ha il fenomeno del redshift gravitazionale: un fotone emesso dalla coordinata radiale r>Rs e

diretto radialmente subisce uno spostamento verso il rosso quando emerge all’infinito:

L’effetto è dovuto alla distorsione dello spazio-tempo ad opera del campo gravitazionale, ma a grande distanza dal Raggio di Schwarzschild (dove il campo è debole) può essere interpretato in termini di energia persa dal fotone per risalire la buca di potenziale:

Fotoni provenienti da r=Rs vengono redshiftati a e

Rs =2GM

c2

∼ 1.5M⊙

12v2f =

GM

R⇒ vf =

�2GM

R� 1.6 1010 cm/s >

c

2

vf = c =�

2GM

R⇒ R =

2GM

c2

mv2/2

hν

λ

λo=

1�1−Rs/r

hν

hνo=

�1−Rs/r

ν → 0

λ→∞

3

Rs =2GM

c2

∼ 1.5M⊙

12v2f =

GM

R⇒ vf =

�2GM

R� 1.6 1010 cm/s >

c

2

vf = c =�

2GM

R⇒ R =

2GM

c2

mv2/2

hν

λ

λo=

1�1−Rs/r

hν

hνo=

�1−Rs/r

ν → 0

λ→∞

3

Rs =2GM

c2

∼ 1.5M⊙

12v2f =

GM

R⇒ vf =

�2GM

R� 1.6 1010 cm/s >

c

2

vf = c =�

2GM

R⇒ R =

2GM

c2

mv2/2

hν

λ

λo=

1�1−Rs/r

hν

hνo=

�1−Rs/r

ν → 0

λ→∞

Rs =2GM⊙

c2

M

M⊙� 3

M

M⊙km

3

come previsto, questa lunghezza è solo poco inferiore al raggio tipico di una Stella di Neutroni

2 classi di black holes, forse 3

BH stellariBH supermassivi

Rs =2GM

c2

∼ 1.5M⊙

12v2f =

GM

R⇒ vf =

�2GM

R� 1.6 1010 cm/s >

c

2

vf = c =�

2GM

R⇒ R =

2GM

c2

mv2/2

hν

λ

λo=

1�1−Rs/r

hν

hνo=

�1−Rs/r

ν → 0

λ→∞

Rs =2GM⊙

c2

M

M⊙� 3

M

M⊙km

∼ 3− 10M⊙

∼ 106 − 109M⊙

3

Rs =2GM

c2

∼ 1.5M⊙

12v2f =

GM

R⇒ vf =

�2GM

R� 1.6 1010 cm/s >

c

2

vf = c =�

2GM

R⇒ R =

2GM

c2

mv2/2

hν

λ

λo=

1�1−Rs/r

hν

hνo=

�1−Rs/r

ν → 0

λ→∞

Rs =2GM⊙

c2

M

M⊙� 3

M

M⊙km

∼ 3− 10M⊙

∼ 106 − 109M⊙

3

m⊥ rotante �= 2mi oscillanti

r >c

ω� 108 cm

Er =2p cos θ

r3

Eθ =p sin θ

r3

Br = 0Bθ = 0Bφ = p

rc2 sin θ

Er = 0Eθ = p

rc2 sin θEφ = 0

{

∝ 1/r

S =c

4πE×B =

c

4π

�p

rc2

�2

sin2 θ r

W =23

p2

c3

E→ B, B→ E, S invariato

W =23

m2

c3(m sin θ ω2)2 ∝ ω4

Erot =12Iω2

1

Quasar e Nuclei Galattici Attivi

Un BH non è visibile direttamente ma può essere rivelato dalla radiazione emessa dalla materia che cade su di esso, radiazione sia termica che non-termica, dovuta alla presenza di particelle relativistiche e di campi magnetici.Nel caso di BH stellari la materia in caduta (accrescimento) può provenire da una stella compagna in un sistema binario. Ma lo stesso fenomeno può verificarsi per accrescimento su una NS e i due casi possono essere distinti se è possibile determinare la massa dai parametri orbitali.

Nel caso dei BH supermassivi la materia in accrescimento proviene dalle parti centrali della galassia ospite e va normalmente a formare un disco di accrescimento.

si cercano anche BH di massa intermedia:forse legati alle cosiddette “Ultraluminous X-ray Sources”(LX>1039 erg/s) osservate in ammassi stellari densi e in regioni di alta formazione stellare

black holes supermassivi

Quasar e Nuclei Galattici Attivi (AGN)

• sono sorgenti di energia di grande potenza poste al centro delle galassie

• derivano tale potenza da accrescimento su BH giganti con rilascio di energia gravitazionale

• nuclei attivi e nuclei inattivi: ci sono evidenze che la durata della attività sia relativamente breve oppure intermittente infatti si ha ampia evidenza di nuclei inattivi contenenti un BH

• AGN vicini e AGN lontani: per studiare gli AGN lontani (cioè di alto redshift) è necessario studiarne l’evoluzione nel tempo cosmico, in sintonia con l’evoluzione dell’Universo ci ritorneremo dopo aver introdotto la cornice cosmologica

Rs =2GM

c2

∼ 1.5M⊙

12v

2f =

GM

R⇒ vf =

�2GM

R� 1.6 1010 cm/s >

c

2

vf = c =�

2GM

R⇒ R =

2GM

c2

mv2/2

hν

λ

λo=

1�1−Rs/r

hν

hνo=

�1−Rs/r

ν → 0

λ→∞

Rs =2GM⊙

c2

M

M⊙� 3

M

M⊙km

∼ 3− 10M⊙

∼ 106 − 109M⊙

∆t<∼ 108 yr � 1% H

−1o

3