V. Corrientes V. Corrientes eléctricaseléctricas

4. 4. Conductores lineales: Conductores lineales: medios óhmicosmedios óhmicos

CamposCampos ElectromagnéticosElectromagnéticos® Gabriel Cano Gómez, 2010/11 ® Gabriel Cano Gómez, 2010/11

Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)

CamposCampos ElectromagnéticosElectromagnéticosIngeniero de TelecomunicaciónIngeniero de Telecomunicación

V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas1.1. IntroducciónIntroducción22 M it d l i t lé t iM it d l i t lé t i

V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas

2.2. Magnitudes para la corriente eléctricaMagnitudes para la corriente eléctrica3.3. Leyes de la corriente eléctricaLeyes de la corriente eléctrica4.4. Conductores lineales: medios óhmicosConductores lineales: medios óhmicos5.5. GeneradoresGeneradoresLey de Ohm

medio óhmico: conductividad6.6. Coeficientes de conductanciaCoeficientes de conductancia7.7. Circuito equivalenteCircuito equivalente

medio óhmico: conductividadResistencia eléctrica de un tubo de corrienteConductor filiforme

8.8. Corrientes no estacionariosCorrientes no estacionariosConductor filiforme

resistencia eléctrica de un hiloDisipación de energía. Ley de Joule

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

5.5. GeneradoresGeneradores6.6. Coeficientes de conductanciaCoeficientes de conductancia

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

ff7.7. Circuito equivalenteCircuito equivalente8.8. Corrientes no estacionariasCorrientes no estacionarias

Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) V. Corrientes eléctricasV. Corrientes eléctricas

® G

a®

Ga

2

8.8. Corrientes no estacionariasCorrientes no estacionarias

Ley de Ohm (medio óhmico)Comportamiento lineal de conductor

régimen estacionario en medio conductor:

ey e O ( e o ó co)

ΔτΔτ ∼∼PPt t ≥≥ tt00régimen estacionario en medio conductor:equilibrio dinámico

( )( )q d dt± ± ±= ⇒ =E r + F 0 v 0

00

v+(r) Ω; σ → velocidad arrastre

modelo lineal de fuerza “disipativa”efecto del medio sobre la corriente

( )dis( )q d dt= ⇒ =E r + F 0 v 0

J(r)q+ Fe+

Fdis+

;

efecto del medio sobre la corriente

L d Oh d ti id d

E(r)dis ( 0)( ); ±± ± ± >= −F v r γγv

_(r)F

_Ley de Ohm: conductividad

relación constitutiva del medio óhmico: q_

v (r)Fe Fdis_

( )( ) ( )±± ± E

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

Conductividad eléctrica “σ” ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.( )( ) ( )q±± ±=v r E rγ ( ) ( )⇒ = σJ r E r

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

conductor perfectodieléctrico ideal

0 ⎧⎨⎩

σ → ∞ :σ = :

→sólo depende del medio: σ≠σ(|E|)en medios óhmicos es siempre positiva: σ ≥0

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® G

a®

Ga ⎩

3

medio óhmico inhomogéneo: σ=σ(r)

Resistencia eléctricaTubo de corriente (estacionaria)

conjunto de líneas de corriente entre dos

Resistencia eléctrica

J(r)=Ω; σ =−σ∇φσE(r)conjunto de líneas de corriente entre dos superficies equipotenciales:

J es tangente a la superficie lateral SL

|| JP

n2S2: φ(r)=V2

en medio óhmico, J es normal a S1 y S2

ley de conservación de la carga:en el tubo entra y sale la misma intensidad τ

P22 φ( ) 2

en el tubo entra y sale la misma intensidad

R i t i lé t i

d 0∂τ

⋅⋅ =∫ J S2 1

2 1d dS S

I S S⇒ = ⋅⋅ = − ⋅⋅∫ ∫J n J n dSn|| Jτ

S: φ(r)=V

Resistencia eléctricarelación dif. de potencial−intensidad en tubo τ:

ól d d d l t í d l t b d

nL ⊥ JS

SL

dr

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11 sólo depende de la geometría del tubo y de σ

ley de Ohmley de Ohm(integral)(integral)

1 2V VRτ−

=( )2

1

dP

Pσ

=⋅∫

∫J r

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G

unidades (en el SI): n1S1: φ(r)=V1

|| J(voltio)( h i )

V Ω[ ] [ ] [ ]R V I

(integral)(integral)

P1

Iτ dS ⊥

⋅∫ JJ S

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® G

a®

Ga

4

1 ||( )

(amperio)(ohmio)

A = = Ω[ ] [ ] [ ]R V Iτ =

Ejercicio 5.4: resistencia eléctrica de corona cilíndricaj

a) en la dirección longitudinal S2:φ(z=L)=V2Zn2=uz

ε0; σ=0

S2:φ(z L) V2Z

K

z=LEext≠0; Ω; σ Ω; σJext=0

Ω; σ Jext=0

nlat=uρn=uz V

EΩ(r) EΩ(r)=V1−V2

S IJΩ(r) JΩ(r)

J ⊥

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

long VRIΩ = ( )2 2

Lb aπ

=−σ

z=0

SJΩ ⊥

∂

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G I ( )b aπ σ

S1:φ(z=0)=V1ba∂τ

( )longR L S= σ n

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® G

a®

Ga

5

( )R L SΩ Ω= σ

Ejercicio 5.4: resistencia eléctrica de corona cilíndricaj

b)en la dirección transversal Jext=0S

Eext≠0;⊥ J

ε0; σ=0S⊥ JΩ

n=uρ

nlat=uz Z

Ω; σ Ω; σz=L

Ω; σ S2:φ(ρ=b)=V2EΩ(r) EΩ(r)Jext=0

n1

JΩ(r) JΩ(r)S1:φ(ρ=a)=V1

1

n2=uρ

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

tran VRIΩ =

( )ln2

b aLπ

=σ z=0

φ(ρ ) 1

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G I 2 Lπ σ

V V V

Ib

along ( )d

bR S ρ= ρ σ∫

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® G

a®

Ga

6

V =V1−V2( )d

aR SΩ ρ= ρ σ∫

Conductores filiformesDescripción

“hilo” de material óhmico Ω :

Conductores filiformesT(r)S1φ( )=V1 φ( )=V2S2

II“hilo” de material óhmico Ωfil: se identifica con curva C: r=r(l)T(r) vector tangente unitario

L δδ→0 II

l 0 l=LT(r) vector tangente unitario

Densidad de corrientelíneas de J confinadas en Ωfil ≈ C: nL

Jext=0 Ωfil ≈ C

l=0 l L

•T≅0líneas de J confinadas en Ωfil C:SLnL•[J]SL

=0( )( ) ( )I S⇒ ≈J r T r0d

SI

→= ⋅∫ J S S≈ J

( ) ( )I

J(r)verifica condiciones de contornoen general, no verifica ∇·J=0

dS=dS T

Ωfil; σ

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11

( )( ) ( )

lI

S≈J r T rsección variable S(l):Resistencia del hilo S(l)→0

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G el hilo constituye un tubo de corriente

1 2fil

V VRI−

=L dl

S≈ ∫ ( , ctes.)S

LS

σ= [ ] [ ][ ][ ]

1 S(siemens)m m

LR S

= = =Ω

σ

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® G

a®

Ga

7

fil I 0 Sσ∫ ( )Sσ

[ ] [ ][ ] m mR S Ω

Disipación de energía. Ley de JoulePotencia disipada en medio óhmico

trabajo “disipativo” en Δτ~P:

s pac ó de e e g a. ey de JouleΔτΔτ ∼∼ PP ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.

trabajo disipativo en Δτ~P:

é i i i ( )± ±F E

( )dis disdis n nW dtτ

+ + − − −

Δ+δ ≈ ⋅ ⋅ Δτ+F Fv v

J( )

q+v+(r)Fe

+Fdis

+

en régimen estacionario: potencia “disipativa” (por unidad de volumen):

dis ( )q± ±= −F E r

E(r)J(r)

( )

Ω; σ ( )W dtdP δ

potencia disipada (perdida) en región Ω: q_

v_(r)Fe

_

Fdis_

( )disdis

0lim

P

W dtdPd τ τΔ →

δ

Δ=

τ( ) ( )= − ⋅J r E r

L d J l Ωdis dP

Ω Ω= − ⋅ τ∫J E 2 dσ

Ω= − τ∫ E 0<

dr

Góm

ez,

10/1

1G

ómez

, 10

/11 Ley de Joule

calor por unidad de tiempo cedido por Ω:la energía se pierde en forma de calor: efecto

ΩJ(r)=σ E(r)

d

dS

abri

el C

ano

Gab

riel

Can

o G la energía se pierde en forma de calor: efecto

Joule

δQ

I

=|δW |( )I V V−Qδ= 2I R= d P= ⋅ =τ∫J E φ( ) VSφ( )=VS

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® G

a®

Ga

8

δQ=|δWdis|1 2( )I V V−dt Ω

= I RΩ= disd PΩ

= ⋅ =τ∫J E φ( )=V2S2φ( )=V1S1