UZ RAVNU STIJENKU - fsb.unizg.hr · PDF filekontinuuma, kojoj se pridružuju makroskopska fizikalna svojstva. Dakle, za razliku od realne materije, kontinuum je moguće dijeliti na

Prijenos topline i tvari

1

PRIJENOS TOPLINE I TVARI

LAMINARNI GRANIČNI SLOJEVI UZ RAVNU STIJENKU

Pripremio: doc. dr. sc. Nenad Ferdelji


2

SADRŽAJ

1 Uvod .................................................................................................................................. 3 1.1 Fizikalna svojstva i načini prijenosa ............................................................................ 3 1.2 Način prijenosa impulsa .............................................................................................. 4

1.3 Način prijenosa topline ................................................................................................ 6 1.4 Opće gibanje deformabilnih kontinuuma ..................................................................... 8

2 Osnovni pojmovi .............................................................................................................. 13 3. Hidrodinamički granični sloj ........................................................................................... 21

3.1 Zakon očuvanja mase ................................................................................................ 22 3.2 Zakon očuvanja količine gibanja................................................................................ 23 3.3 Teorija graničnog sloja .............................................................................................. 25 3.4 Profil brzine i debljina hidrodinamičkog graničnog sloja ........................................... 29

3.4.1 Egzaktno (Blasiusovo) rješenje ........................................................................... 29

3.4.2 Integralna metoda ............................................................................................... 34 4 Temperaturni granični sloj ................................................................................................ 40

4.1 Jednadžba očuvanja energije ...................................................................................... 40 4.2 Teorija temperaturnog graničnog sloja ....................................................................... 45 4.3 Analogija energijske i impulsne jednadžbe (jednadžbe očuvanja količine gibanja) ..... 48 4.4 Debljina temperaturnog graničnog sloja ..................................................................... 50

4.4.1 Konstantna temperatura stijenke ......................................................................... 50 4.4.2 Konstantna gustoća toplinskog toka .................................................................... 58

4.5 Lokalni koeficijent prijelaza topline ........................................................................... 59 4.5.1 Konstantna temperatura stijenke ......................................................................... 59

4.5.2. Chilton-Colburnova analogija ........................................................................... 62 4.5.3 Konstantna gustoća toplinskog toka .................................................................... 63

4.6 Prosječni koeficijent prijelaza topline ........................................................................ 64 4.6.1 Konstantna temperatura stijenke ......................................................................... 64 4.6.2 Konstantna gustoća toplinskog toka: ................................................................... 66

5 Uvjeti primjenjivosti modela ............................................................................................ 67


3

1 Uvod

Principi na kojima počivaju inženjerska teorijska razmatranja, konceptualno

pripadaju fenomenološkom pristupu proučavanja materije u sklopu kojeg je uveden

matematički model kontinuirane materije. Kontinuirana materija ili kontinuum, prema

pretpostavci je takva materija koja je neprekidno raspoređena po prostoru i koja nema

diskretne strukture. To znači da svakoj točki prostora odgovara samo jedna točka

kontinuuma, kojoj se pridružuju makroskopska fizikalna svojstva. Dakle, za razliku od realne

materije, kontinuum je moguće dijeliti na beskonačno male dijelove, bez da mu se izgubi

bilo koje fizikalno svojstvo. Tako bi se gustoća čestice kontinuuma matematički definirala

kao

V

m

V

m

V d

dlim

0=

∆∆

=→∆

ρ

Osim osnovne definicije, u mehanici kontinuuma, primjenjuje se i princip lokalne

ravnoteže prema kojem na nivou čestice (termodinamički sustav) vladaju ravnotežni uvjeti

što omogućava primjenu osnovnih zakona očuvanja u diferencijalnom obliku.

Dakle, ovakav koncept dozvoljava da se fizikalna svojstva materije mogu opisati

neprekidnim funkcijama, čime je omogućena primjena diferencijalnog i integralnog računa,

što će u idućim poglavljima biti primijenjeno na primjeru laminarnih strujanja.

1.1 Fizikalna svojstva i načini prijenosa

Provođenje inženjerskih proračuna ne zahtijeva poznavanje molekularne strukture

tvari, već je dovoljno da je poznat način na koji određena tvar reagira na nametnute

makroskopske uvjete. Takav odraz molekularnih zbivanja na makroskopski nivo nazivamo

fizikalnim svojstvima tvari. Ona se u pravilu određuju eksperimentalno, tj. makroskopskim

mjerenjem ponašanja tvari u odnosu na neku uzročnu silu, ali postoje i teorijske formule

pomoću kojih se fizikalna svojstva mogu izračunati na osnovu molekularnih karakteristika

tvari. Uglavnom se to odnosi na plinove, ali je proračun nerijetko vrlo kompleksan i počiva

na hipotetičkim modelima molekula i međumolekularnim efektima, pogotovo ako se radi o

višekomponentnim mješavinama.

Inženjerski pristup najčešće ima za fokus promatranje ponašanja fluida na

nametnutu razliku tlaka, temperature ili koncentracije neke komponente u mješavini.

Informacija o uspostavi tih razlika fizikalnih veličina prenosit će se od molekule do molekule,

tj. unutar fluida će se uspostaviti odgovarajući molekularni prijenosi: impulsa, topline i/ili

tvari.


4

Prema fenomenološkom pristupu proučavanja materije, odnos između nastalog

molekularnog „prijenosa“ i makroskopske „uzročne sile“ definira odgovarajuće fizikalno

svojstvo promatranog fluida. To se vidi u matematičkoj formulaciji Newtonovog zakona

viskoznosti, Fourierovog zakona provođenja i Fickovog zakona difuzije tvari, čiji su specifični

oblici dani u Tablici 1-1.

Riječ „zakon“ ovdje valja shvatiti samo uvjetno , budući da ta riječ implicira valjanost

navedenog matematičkog oblika za sve tvari i u svim uvjetima. Kako to nije slučaj, to je

upotreba te riječi opravdana samo u smislu uobičajenog načina izražavanja. Stoga se

ponekad umjesto riječi „zakon“ upotrebljava riječ „stavak“.

Tablica 1-1-Primjeri matematičkih modela molekularnog prijenosa

Naziv „zakona“ Fizikalno svojstvo Primjer matematičkog oblika

molekularnog prijenosa

Newtonov zakon viskoznosti

Dinamička viskoznost 2Ns/m,µ

impulsa

2m

N,

d

d

i

j

ijx

wµτ =

Fourierov zakon provođenja topline

Toplinska provodnost

( )KmW/,λ

topline

2m

W,

d

d

i

ix

Tq λ−=

Fickov zakon

difuzije tvari

Masena difuzivnost komponente

/sm, 2

ABD

tvari

sm

kg,

d

d2

i

AABiA

x

xDj ρ−=

1.2 Način prijenosa impulsa

Putovanje čestice fluida stalne mase, m, kroz prostor u kome postoji njeno

trodimenzijsko polje brzine, w(xi), praćeno je njezinim stalnim ubrzavanjem i usporavanjem.

Svakom polju brzine jednoznačno je pridruženo polje impulsa čestice, I = m⋅w, tako da polje

brzine predstavlja ujedno i polje specifičnog impulsa, w = I/m.

Prema Newtonovim zakonima gibanja, promjena impulsa čestice pri njenom

ubrzanju ili usporavanju može nastupiti samo uslijed djelovanja vanjskih sila.

Sile koje uzrokuju promjenu impulsa čestice fluida potječu od susjednih čestica s

drugačijim impulsom. Zbog toga se učinci njihove interakcije opisuju kao izmjena impulsa ili

prijenos impulsa. Kao i drugi molekularni prijenosi i ovaj pripada površinskim efektima.


5

Prijenos impulsa se odvija istovremeno na dvije razine: mikroskopskoj (molekularnoj)

i makroskopskoj.

Molekularni prijenos impulsa odvija se pri sudaru molekula pa je samim time uvijek

prisutan, bez obzira na oblik makroskopskog gibanja fluida. Međutim, efekti tog prijenosa

dolaze do izražaja samo u slučajevima kada su brzine čestica fluida različite, tj. kada je

unutar fluida uspostavljeno polje brzine – pod utjecajem okoline drugačije brzine (stijenke).

U promatranju tih efekata prepoznaju se dvije razine

• makro razina ili kontinuum – očituje se u razlici makroskopskog gibanja fluida i

stijenke

• mikro razina – očituje se u izmjeni impulsa pri sudaru molekula fluida

Efekti na nivou kontinuuma očituju se u nastanku polja brzine. Čestice fluida bliže

stijenki gibaju se manjom brzinom, tj. impuls čestica, m⋅w, se smanjuje. U skladu s

hipotezom da fluid zadovoljava uvjete kontinuuma, može se postaviti hipoteza o adheziji

između fluida i stijenke, prema kojoj se na samoj stijenci nalazi mirujući sloj fluida, debljine

par molekula, tvoreći tzv. hipotetski mirujući sloj (HMS). Ova je hipoteza potvrđena brojnim

eksperimentima.

Ako izuzmemo čestice fluida u neposrednom dodiru sa stijenkom, tada se gubitak

impulsa čestica dalje od stijenke može objasniti samo unutarnjim, molekularnim načinom,

koji se na nivou kontinuuma odražava kao sila trenja, τ, koja usporava kretanje čestica. Veza

između promjene impulsa i sile trenja svojstvena je svakom fluidu i smatra se njegovim

fizikalnim svojstvom, koje se naziva dinamička viskoznost, µ. Dakle, pojavu naprezanja

između slojeva, nazivamo viskoznim trenjem, τ, čiju vezu s poljem brzine u fluidu daje

Newtonov zakon viskoznosti.

Fizikalno svojstvo koje je također usko povezano sa silom trenja između slojeva fluida,

naziva se kinematička viskoznost i predstavlja fizikalno svojstvo difuzivnosti impulsa, a

definirana je kao omjer dinamičke viskoznosti i gustoće fluida.

ρµ

ν = (1.1)

Intenzitet molekularnog prijenosa impulsa ovisi o građi molekula i agregatnom stanju

fluida pa bi određivanje tog efekta zahtijevalo proračun temeljen na molekularnim

svojstvima – što bi bilo krajnje zamršeno i neracionalno. U inženjerskom interesu su ionako

značajni samo efekti na nivou kontinuuma pa se zato koriste eksperimentalna određivanja

dinamičke viskoznosti, koja predstavlja makroskopski odraz molekularne izmjene impulsa.


6

Izmjena impulsa pri laminarnom strujanju

U slučaju laminarnog strujanja, slojevi fluida klize jedan pored drugog bez miješanja

čestica. Zbog razlike u brzinama tih slojeva ne postoji stalan dodir dviju istih čestica

susjednih slojeva. Drugim riječima, pojedina čestica jednog sloja u dodiru je sa svaki put

različitom česticom susjednog sloja. Ova promjena partnera neposredna je posljedica

makroskopskog gibanja.

Molekularni prijenos impulsa odvija se, dakle, unutar perioda dodira dviju, uvijek

brzinama različitih, čestica susjednih slojeva fluida. Kada bi jedna čestica sloja bila svo

vrijeme u dodiru s istom česticom fluida susjednog sloja, tada bi se putem molekularnog

prijenosa njihovi impulsi nakon određenog vremena izjednačili i nestala bi razlika u brzini

slojeva.

Približavanjem stijenci smanjuje se brzina slojeva fluida, odnosno njihov impuls. To

ukazuje na to da se ne može ostvariti strujanje fluida u okolini drugačije brzine (u ovom

slučaju stijenke) bez gubitka energije. Dio impulsa se nepovratno gubi prema okolišu. Da bi

fluid nastavio gibanje, mora raspolagati s dovoljno energije, koja je u fluid unesena bilo

volumenskim, bilo površinskim efektima. Ovakav način naziva se viskoznim prijenosom

(transportom) impulsa.

1.3 Način prijenosa topline

U fluidima se prijenos topline odvija istovremeno i na makroskopskom i na

mikroskopskom nivou. Analogno načinu prijenosa impulsa, molekularni prijenos topline

odvija se između čestica koje su tog trenutka u međusobnom dodiru, ali se zbog

makroskopskog gibanja te čestice zamjenjuju, brže ili sporije, s drugim česticama.

Međusobna zavisnost ovih načina ne dozvoljava da se, u principu, pri opisu prijenosa

topline u fluidima upotrebljava termin provođenje ili kondukcija, s kojima je opisan čisti

molekularni prijenos topline.

Makroskopsko gibanje krute tvari, ako postoji, jednako se odražava na sve njene

čestice , odnosno ne postoji lokalni utjecaj na molekularni prijenos. Kod fluida to nije tako.

Karakterističan mehanizam prijenosa energije u tekućinama je konvekcija. Toplinska

neravnoteža s okolišem uvijek uzrokuje nastanak makroskopskog gibanja čestica fluida, koje

sadrže veliki broj molekula unutar sebe. Upravo iz tog razloga je konvektivni prijenos topline

rezultat superpozicije makro i mikro prijenosa. Vrlo važno je uočiti da su ove dvije razine

prijenosa međusobno povezane, tj. ne mogu se odvijati jedna bez druge.

U literaturi je uobičajeno da se pojam konvekcija upotrebljava u užem smislu, kada se

misli na efekte prijenosa topline samo pod utjecajem makroskopske brzine čestica, dok se za


7

opis efekta molekularnog prijenosa topline koristi pojam kondukcije. Takav pristup je

pogodan je samo radi kratkoće izražavanja ili komentara matematičkog opisa fizikalnog

modela, ali je u sukobu s izvornom definicijom pojma konvekcije (udruženi učin mikro i

makro prijenosa). Samostalni učin mikro prijenosa naziva se kondukcija, dok se u literaturi za

samostalni učin makro prijenosa često upotrebljava izraz advekcija.

Na slici 1-1 prikazano je temperaturno polje u fluidu koji struji pored krute stijenke.

Na proizvoljnoj, dovoljno dalekoj, udaljenosti od stijenke, x, temperatura fluida je T∞, dok je

temperatura hipotetičkog mirujućeg sloja (HMS) na stijenci jednaka temperaturi stijenke, Ts.

Slika 1-1. Temperaturni profil u graničnom sloju pri strujanju fluida uz stijenku

Kada bi postojao samo molekularni prijenos topline, tada bi izgled temperaturnog

polja, uz ostale pretpostavke modela, odgovarao onom u krutoj tvari, koja u slučaju

λ = konst ima oblik pravca. Kod fluida je molekularnom prijenosu superponiran

makroskopski prijenos topline, što rezultira temperaturnim poljem u obliku krivulje,

prikazane zelenom bojom na sl. 1-1.


8

1.4 Opće gibanje deformabilnih kontinuuma

Iz mehanike krutih tijela, poznato je da se gibanje pojedine točke krutog tijela u

prostoru, u odnosu na referentnu točku tijela, može prikazati kao superpozicija

translacijskog gibanja s tom točkom i sfernog gibanja oko te točke. Isto bi vrijedilo i u slučaju

fluida, koji bi se gibao kao kruto tijelo. Međutim, u općem slučaju strujanja fluida, svaki će

element tijekom svog puta do novog položaja doživjeti promjenu svog oblika, odnosno doći

će do njegove deformacije. Stoga se relativno gibanje jedne čestice fluida u odnosu na drugu

može prikazati kao superpozicija translacije, sfernog gibanja i deformacije. Drugim riječima,

može se zaključiti da polje brzine u općem slučaju uzrokuje translaciju, sferno gibanje i

deformaciju proizvoljnog prostornog elementa fluida.

Od prije je poznato da se prirast određenog tenzorskog polja između dviju bliskih

točaka, koje definiraju elementarni vektor pomaka, može prikazati kao skalarni umnožak

vektora pomaka i gradijenta tog polja. Polje brzine je vektorsko polje pa se prirast brzine

između dviju bliskih točaka A i B može zapisati kao,

j

j

iiii x

x

vvvv dd AB ∂

∂=−= (1.2)

Gradijent brzine u gornjoj jednadžbi, kao tenzor drugog reda, može se prikazati kao

zbroj simetričnog i antisimetričnog tenzora,

jiji

j

i VDx

v+=

∂

∂ (1.3)

gdje se simetrični tenzor Dji naziva tenzorom brzine deformacije, a antisimetrični tenzor, Vji,

tenzorom vrtložnosti. Definicije ovih tenzora dane su sljedećim jednadžbama.

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

=

∂

∂+

∂∂

=

3

3

3

2

2

3

3

1

1

3

2

3

3

2

2

2

2

1

1

2

1

3

3

1

1

2

2

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

wD

i

j

j

iji

(1.4)

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

=

∂

∂−

∂∂

=

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

2

1

3

2

2

3

3

1

1

3

2

3

3

2

2

1

1

2

1

3

3

1

1

2

2

1

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

wV

i

j

j

iji

(1.5)


9

Na primjeru ravninskog elementa bit će pokazana fizikalna interpretacija

dekompozicije tenzora gradijenta brzine, odnosno fizikalna interpretacija njegovog

simetričnog i antisimetričnog dijela.

Antisimetrični tenzor gradijenta brzine

Slika 1-2 prikazuje rotaciju dijagonale ravninskog elementa pri kojoj ne dolazi do

promjene pravog kuta između stranica elementa. Valja napomenuti da u slučaju ravninskog

gibanja, sferno gibanje oko referentne točke prelazi u rotaciju oko referentne osi.

Slika 1-2. Rotacija ravninskog elementa.

Kut zakreta dijagonale, dγ , može se izraziti pomoću kutova zakreta stranica, 1γ i 2γ .

( )21d1dd2

d2

1d

2

14 γγγγγγγβγαγ

πγβγα +=⇒−=−⇒

+=+

=+=+

(1.6)

Također iz slike 1-2 se mogu izvući sljedeći identiteti,

tx

w

x

txx

w

x

sd

d

dd

d

dtg

2

1

2

2

2

1

2

111 ∂

∂−=

∂∂

−=−=≈ γγ (1.7)

tx

w

x

txx

w

x

sd

d

dd

d

dtg

1

2

1

1

1

2

1

222 ∂

∂=

∂∂

==≈ γγ (1.8)


10

Brzina promjene kuta zakreta dijagonale je prema jed. (1.6), (1.7) i (1.8)

( )

∂∂−

∂∂

=

+=2

1

1

221

2

d

2

1

2

1

d

d

d

d

x

w

x

w

xtγγ

γ (1.9)

Jednadžba (1.9), odnosno izraz za brzinu promjene kuta zakreta dijagonale

ravninskog elementa, zapravo je samo jedan od članova antisimetričnog dijela tenzora

gradijenta brzine. To znači da antisimetrični dio tenzora gradijenta brzine predstavlja sferno

gibanje proizvoljnog elementa fluida pa se zato on i naziva tenzorom vrtložnosti.

Simetrični tenzor gradijenta brzine

Oblik deformacije ravninskog elementa pri kojem ne dolazi do zakreta njegovih bridova

naziva se dilatacija, a prikazana je na sl. 1-3 na primjeru ravninskog elementa.

Slika 1-3. Dilatacija ravninskog elementa

Uz pomoć slike 1-3. moguće je izraziti deformacije njegovih stranica,

tx

w

x

txx

w

x

sd

d

dd

d

d

1

1

1

1

1

1

1

1

∂∂=

∂∂

= (1.10)

tx

w

x

txx

w

x

sd

d

dd

d

d

2

2

2

2

2

2

2

2

∂∂=

∂∂

= (1.11)


11

Iz gornjih se identiteta može zaključiti da 1

1

x

w

∂∂

i 2

2

x

w

∂∂

predstavljaju brzinu

deformacije bridova u smjeru koordinata x1 i x2, a ako se pogleda jed. (1.4), može se vidjeti

da su to upravo članovi glavne dijagonale simetričnog dijela tenzora gradijenta brzine, čime

je određena njihova fizikalna interpretacija.

Nadalje, ako se pogleda slika 1-4, moguće je fizikalno interpretirati članove izvan

glavne dijagonale tenzora Dij.

Slika 1-4. Distorzija ravninskog elementa

Oblik deformacije ravninskog elementa pri kojem ne dolazi do promjene njegovog

volumena naziva se distorzija. Slika 1-4 prikazuje distorziju ravninskog elementa, koja se

formalno definira kao rotacija stranica u odnosu na rotaciju dijagonale.

Ako ne dolazi do promjene volumena ravninskog elementa, stranice mu ostaju

paralelne pa iz nastalog romba na sl. 1-4, vrijedi

( )21dd21

d

2d1

2

124 γγγγγγ

γαβ

πγβγγα −=⇒=−⇒

+=

=++=+

(1.12)

Distorzija se, prema definiciji, može, nakon uvrštavanja ranijih identiteta, izraziti kao,

( ) ( ) ( )

∂∂+

∂∂

=

+=−−=−2

1

1

221

2

d2d12

1

2

1

d

d

d

d

d

d

x

w

x

w

xttγγγγγγ (1.13)


12

Na temelju jed. (1.13) i jed. (1.4), može se zaključiti da članovi izvan glavne

dijagonale simetričnog dijela tenzora gradijenta brzine zapravo predstavljaju brzinu

promjena kutova zakreta stranica u odnosu na zakret dijagonale općenitog elementa,

odnosno njegovu distorziju.

Na temelju iznesenog, može se zaključiti da se, sasvim općenito, simetrični dio

tenzora gradijenta brzine, Dji, sastoji od brzina deformacija ploha elementarnog volumena

pa se upravo zato on i naziva tenzorom brzine deformacije. Također se zaključuje da se

deformacija elementarnog volumena sastoji od dilatacije i distorzije, što se može pokazati

sljedećom jednadžbom,

{

4444444444 34444444444 21444 3444 21

DISTORZIJA

3

2

2

3

3

1

1

3

2

3

3

2

2

1

1

2

1

3

3

1

1

2

2

1

DILATACIJA

3

3

2

2

1

1

ADEFORMACIJ

02

1

2

1

2

10

2

1

2

1

2

10

00

00

00

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

=

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

x

w

D ji

(1.14)

Sada se konačno pomoću jed. (1.2) može zaključiti analiza općenitog gibanja čestice

fluida B, koje se rastavlja na translaciju s bliskom točkom A, sferno gibanje oko točke A te

deformaciju, koja se sastoji od dilatacije i distorzije.

{ 32143421GIBANJESFERNOADEFORMACIJATRANSLACIJ

AAB ddd jjijjiij

j

iii xVxDvx

x

vvv ++=

∂∂+=

(1.15)

U ovom su uvodu dane osnovne definicije kontinuuma, te je pokazana dekompozicija

općeg gibanja deformabilnog kontinuuma zajedno s fizikalnim interpretacijama pojedinih

fizikalnih veličina, što će biti od velike važnosti za razumijevanje kasnijih izlaganja.


13

2 Osnovni pojmovi

Hidrodinamički granični sloj

Kako fluid koji struji preko čvrstih tijela prianja uz stijenku, tvoreći hipotetski mirujući

sloj (HMS), mora se unutar fluida uspostaviti područje u kojoj se brzina mijenja od nule do

iznosa brzine slobodne struje, ∞w , kako je prikazano na slici 2-1. To se područje zove

hidrodinamički granični sloj, koji ima svoju debljinu, δ. Debljina hidrodinamičkog graničnog

sloja dogovorno je definirana kao udaljenost od stijenke, u smjeru normale, gdje brzina

iznosi 99% brzine slobodne struje i obično je jako mala u usporedbi s dimenzijama tijela u

doticaju s fluidom.

∞=

= wwyx 99,0δ

(2.1)

Slika 2-1. Hidrodinamički granični sloj debljine δ

Brzina strujanja fluida se smanjuje u slojevima bliže stijenci sve do nule zbog utjecaja

viskoznih sila, koje uzrokuju smanjenje impulsa, a samim time i otklon strujanja fluida. Zbog

toga se u tzv. otvorenim strujanjima ne može ostvariti strujanje paralelno uz stijenku, dok je

to kod zatvorenih strujanja moguć slučaj. Drugim se riječima, dakle, može reći da je

hidrodinamički granični sloj fizikalni pojam koji označava područje u kojem je zamjetan

utjecaj stijenke.

Jedan od prvih matematičkih opisa hidrodinamičkog graničnog sloja napravio je

Prandtl zajedno sa svojim studentima 1904 g. za laminarno strujanje uz ravnu stijenku, koji


14

je zasnovao na uvedenim pojednostavljenjima nakon što je okvirno odredio debljinu

graničnog sloja.

Postupak počinje definiranjem funkcijske jednadžbe, koja pokazuje o kojim fizikalnim

veličinama ovisi debljina graničnog sloja. Funkcijska jednadžba lokalne debljine graničnog

sloja na ravnoj stijenci glasi

( )xwf ,,, µρδ ∞=

(2.2)

gdje je x koordinata duž površine strujanja, a ρ i μ, redom, gustoća fluida te njegova

dinamička žilavost. Bezdimenzijskom analizom pokazuje se da pet varijabli iz jed. (2.22) tvori

dvije Π značajke;

xΠ δ=1

i. νµ

ρ xwxwReΠ x

∞∞ ===2 tj.

( )xRefx=δ (2.3)

gdje je ν kinematička žilavost, a Rex , lokalna Reynoldsova značajka na koordinati x.

Kasnije će se pokazati da jednadžba (2.3) za laminarno strujanje fluida uz ravnu ploču

s nepromjenjivom brzinom slobodne struje w∞, ima svoje egzaktno rješenje, koje glasi

xRex 91,4=δ

Iz činjenice da dinamička žilavost, kao svojstvo tvari, karakterizira molekularni

prijenos impulsa slijedi vrlo korisna i važna fizikalna interpretacija Reynoldsove značajke.

Fizikalno značenje Reynoldsove značajke bilo bi da ona predstavlja omjer inercijskih i

viskoznih sila u fluidu što se koristi kao kriterij klasifikacije strujanja. Tako pri velikim

iznosima Reynoldsove značajke (slučaj velikih brzina strujanja), kada inercijske sile

prevladaju viskozne, fluid teži turbulentnom strujanju, dok pri malim njezinim iznosima

strujanje poprima laminarni karakter.

Manifestacija utjecaja stijenke različita je za različite režime strujanja, odnosno, kako

se razlikuju laminarni i turbulentni režimi strujanja, postoji razlika između laminarnih i

turbulentnih hidrodinamičkih graničnih slojeva.

Slika 2-2. prikazuje područja pri razvoju turbulentnog strujanja u graničnom sloju na

modelu strujanja fluida uz ravnu stijenku. U blizini nastrujnog brida, viskozne sile

prevladavaju inercijske, Reynoldsove značajke su malih iznosa te se formira laminarni režim

strujanja. Kako brzina čestica fluida raste, rastu i njihove inercijske sile te se one sve više

otklanjaju od svojih dotadašnjih, približno nepromjenjivih trajektorija formirajući tzv.

prijelazno područje tj. područje postupnog prijelaza iz laminarnog u razvijeno turbulentno

strujanje, u kojem inercijske sile u fluidu prevladavaju viskozne.


15

Slika 2-2. Granični sloj pri strujanju uzduž ravne stijenke s oštrim nastrujnim bridom

Pri laminarnom režimu strujanja dominiraju molekularni načini prijenosa što znači da

se utjecaj stohastičkih procesa na strujanje fluida uzima u obzir preko njegovih fizikalnih

svojstava. Time je uvelike olakšan matematički opis laminarnih strujanja, koja se slikovito

prikazuju kao strujanja u slojevima među kojima ne dolazi do njihovog miješanja.

S druge strane, u turbulentnom režimu strujanja formiranje hidrodinamičkog

graničnog sloja karakterizirano je mnogo više nasumičnim otklanjanjem čestica nego

molekularnim načinom prijenosa impulsa. Upravo zbog toga, rast hidrodinamičkog

graničnog sloja u turbulentnom strujanju ne ovisi o Prandtlovoj značajci kao veličini

definirane pomoću kinematičke žilavosti, fizikalnog svojstva definiranog u zakonima za

molekularni prijenos impulsa.

Razvijeno se turbulentno fluida može vizualizirati spektrom istovremenih vrtloga,

različitih veličina i frekvencija, preko kojih se događa disipacija kinetičke energije, sve dok

najmanji vrtlozi ne budu prigušeni posmičnim naprezanjima viskoznih sila. Stoga je jedna od

glavnih karakteristika turbulentnog strujanja postojanje različitih prostornih i vremenskih

„nivoa“ ili skala na kojima se odvijaju procesi disipacije kinetičke energije fluida. Tim

statističkim granicama pripada minimalno mjerilo dužine, a u skladu s tim i minimalni valni

broj, odnosno minimalna frekvencija vrtloga. U nastavku slijedi kratak opis pojedinih mjerila

dužine.

1. makroskopsko mjerilo dužine (large scale)

- mjerilo dužine istog reda veličine, O(1), kao i promatrana domena koja nosi veći dio

turbulentne kinetičke energije. Prenošenje svojstava difuzijskim procesima je vrlo sporo pa

se difuzija unutar ovih mjerila dužine zanemaruje.

2. integralno mjerilo dužine (integral scale)

– red veličine od O(1) do O(10-1), obično se uzima oko 0,2. Ovo mjerilo dužine se povezuje s

onim valnim brojevima koji nose najveću kinetičku energiju


16

3. Taylorovo mikroskopsko mjerilo dužine

- srednji red veličine, između integralnog i Kolmogorovog mjerila dužine. Naziva se još i

inercijsko podpodručje (inertial subrange) jer se na tom nivou utjecaj viskoznih sila može

zanemariti

4. Kolmogorovo mjerilo dužine (dissipation scale)

- zapravo predstavlja drugi naziv za disipacijsko mjerilo dužine, tj. mjerilo dužine

mikroskopskog (molekularnog) prijenosa. To je najmanje od svih mjerila dužine na kojem se

dešava konačna disipacija kinetičke energije, tj. pretvorba u toplinsku energiju posredstvom

viskoznih sila.

Važno je napomenuti da se utjecaj stjenke u turbulentnom strujanju ne proteže

preko svih mjerila dužine, što znači da turbulentni granični slojevi obuhvaćaju samo neke od

navedenih mjerila dužine.

Strukturu turbulentnog hidrodinamičkog sloja zorno opisuje višeslojni model

turbulentnog graničnog sloja. Prema tom modelu, turbulentni granični sloj sastoji se od

sljedećih podpodručja (podsloja): linearni (laminarni, viskozni) podsloj, prijelazni podsloj i

inercijski podsloj.

Linearni podsloj dobio je naziv jer se u njemu formira linarni bezdimenzijski profil

brzine, koji je izveden pod pretpostavkom da je dinamička viskoznost fluida mnogo veća od

koeficijenta turbulentne viskoznosti, definirane u Bousinesqovom modelu turbulencije.

Unutar inercijskog podsloja, u kojem je turbulentna viskoznost mnogo veća od dinamičke

viskoznosti fluida, formira se logaritamski bezdimenzijski profil brzine. Prijelazni podsloj,

formira se između linearnog i inercijskog podsloja, kao područje u kojem dinamička i

turbulentna viskoznost imaju isti red veličine.

Slika 2-3. Unutarnja regija turbulentnog graničnog sloja


17

Iz svega navedenog se može zaključiti kako turbulentni režim strujanja itekako ima

svoj difuzijski karakter te bi vrlo pogrešno bilo zaključiti kako pri turbulentnom strujanju ne

dolazi do molekularnog načina prijenosa pojedinih fizikalnih veličina.

U dosadašnjem izlaganju pokazano je da su laminarni i turbulentni režimi strujanja

bitno različiti upravo prema mjerilu duljine na kojima se odvijaju prijenosi impulsa i topline.

Kod laminarnog režima strujanja prevladavaju molekularni prijenosi pa je opis takvog

režima znatno jednostavniji nego što je to slučaj kod turbulentnih i prijelaznih režima

strujanja jer su utjecaji stohastičkih pojava opisani odgovarajućim fizikalnim svojstvima.

Stoga je vrlo bitno konzistentno definirati granice pojedinih režima strujanja, kako bi se

primjenom odgovarajućih modela što točnije opisala polja fizikalnih veličina.

Jedan od najčešćih pristupa kojim se definira laminarni režim strujanja je pomoću

Reynoldsove značajke, upravo zbog njene fizikalne interpretacije. U tom se smislu definira

kritična Reynoldsova značajka kao svojstvo strujanja za ocjenu pojave prijelaznog režima

strujanja. Najčešći oblik kritične Reynoldsove značajke, kritRe , je onaj u kojem je ona izražena

pomoću kritične brzine, kritw , kod koje se u strujanju pojavljuju prve nestabilnosti, odnosno

početak prijelaza iz laminarnog u prijelazni režim strujanja.

µρ krit

krit

wDRe = (2.4)

Iako jed. (2.4) predstavlja najčešći način definiranja kritične Reynoldsove značajke, u

pojedinim se slučajevima ona može definirati i pomoću kritične duljine, xkrit

νkrit

krit

xwRex

∞= (2.5)

gdje je xkrit ona vrijednost prostorne koordinate na kojoj se u strujanju pojavljuju prve

nestabilnosti. Ovakav način definiranja granice laminarnog i prijelaznog područja je u praksi

mnogo rjeđi pa će kritična Reynoldsova značajka, u daljnjem tekstu, podrazumijevati

definiciju pomoću kritične brzine, jed. (2.4).

Vrijednost kritične Reynoldsove značajke nije konstantna vrijednost, već ovisi o

čitavom nizu ostalih faktora (geometrijski faktori, hrapavost stijenke, vanjskim uvjetima itd.).

Zbog toga postoji donja vrijednost kritične Reynoldsove značajke (ispod koje nije zabilježeno

turbulentno strujanje) i gornja vrijednost kritične Reynoldsove značajke

Za strujanje fluida uz ravnu stijenku, prikazano na sl. 2-2, donji kritični Reynoldsov

broj iznosi 350000, ali stvarno turbulentno ponašanje, kako je ranije rečeno, ovisi o

mnogočemu; razvijenosti turbulencije slobodne struje, obliku nastrujnog brida, postojanju

zvučnih ili strukturnih vibracija itd. Stoga se u literaturi mogu naći različite vrijednosti

kritičnih Reynoldsovih značajki iz prostog razloga što početak prijelaznog područja ne ovisi


18

isključivo o iznosu Reynoldsove značajke. S druge strane, gornja granica kritične

Reynoldsove značajke, poslije koje i u laboratorijski kontroliranim uvjetima postoji isključivo

turbulentno strujanje, iznosi 6104×=xRe . Iz toga se vidi da je raspon kritičnih

Reynoldsovih značajki vrlo širok te da nema neke određene vrijednosti koja bi se mogla

striktno uzeti kao jedinstven kriterij za ocjenu pojave prijelaznog režima strujanja. Stoga se u

praksi, za strujanja uz ravnu stijenku, bez većih poremećaja vrlo često koristi kritična

vrijednost Reynoldsove značajke od 500000.

U slučaju zakrivljenih stijenki turbulencija se može pojaviti pri mnogo manjim

Reynoldsovim brojevima. Tako, u slučaju strujanja kroz cijev, uvjetno rečeno, granični iznos

Reynoldsovog broja za koji će razvijeno strujanje uvijek biti laminarno, iznosi 2100. U

posebnim uvjetima laminarno strujanje može biti laminarno i za Reynoldsove brojeve do

10 000, a u laboratorijskim uvjetima i za red veličine veći. U daljnjem će se izlaganju

podrazumijevati da kritična vrijednost Reynoldsove značajke, za strujanje fluida kroz cijev,

iznosi 3000.

Valja još samo naglasiti da će kritična vrijednost Reynoldsove značajke biti različita za

različite geometrije strujanja. Tako je npr. za strujanje u pravokutnom kanalu, kojemu je

širina veća od visine, kritični Reynoldsov broj na temelju srednje brzine i visine kanala, h, bio

500Re srkrit ≈=

µρ wh

.

Osim hidrodinamičkog graničnog sloja, u slučaju strujanja u kojem fluid izmjenjuje

toplinu sa svojim okolišem, dolazi do formiranja područja unutar fluida kojeg nazivamo

temperaturnim graničnim sloj u kojem se temperatura fluida mijenja od temperature

stijenke do temperature slobodne struje.

Temperaturni granični sloj

Temperaturni granični sloj, kako i njegov naziv govori, obuhvaća područje fluida u

kojem se temperatura slojeva promijenila pod utjecajem stijenke.

Dakle, u slučaju da se temperature stijenke, Ts , i slobodne struje, T∞, razlikuju

formirat će se temperaturni granični sloj debljine δt, (sl. 2-4.) koji će se u općem slučaju,

razlikovati od debljine hidrodinamičkog graničnog sloja, δ, jer njegovo oblikovanje počinje

od mjesta na kojem stijenka ima drugačiju temperaturu.

Analogno definiciji hidrodinamičkog sloja, temperaturni granični sloj, najčešće se

definira kao udaljenost od stijenke u smjeru normale na kojoj temperaturna razlika između

fluida i stijenke iznosi 99 % temperaturne razlike slobodne struje i temperature stijenke, što

se matematički može zapisati,


19

99,0

tt

t

s

s =∆∆

=−−

==∞=∞ δδ

δ

yyT

T

TT

TTΘ (2.6)

Slika 2-4. Temperaturni i hidrodinamički granični sloj

Na sl. 2-4 prikazane su temperaturne distribucije u graničnom sloju za slučaj grijanja i

hlađenja fluida. U hipotetičkom mirujućem sloju (HMS) postiže se lokalna toplinska

ravnoteža sa stijenkom. Čestice fluida u HMS-u prenose toplinski tok susjednom sloju ili

stijenci, zavisno o smjeru toplinskog toka. Kako gustoća toplinskog toka prenesenog sa

stijenke (ili na stijenku) mora biti jednaka gustoći toplinskog toka prenesenog konvekcijom

dalje u fluid (ili s fluida), vrijedi

( )∞

=

−=∂∂

− TTy

T

y

s

0

f αλ (2.7)

gdje je λf toplinska provodnost fluida. Svođenjem jed. (2.7) na bezdimenzijski oblik, dobiva

se sljedeći izraz,

L

f

0

s

s

NuL

L

y

TT

TT

L

y

==

∂

−−

∂

=

∞

λα

(2.8)

gdje je L karakteristična linearna dimenzija tijela koji se promatra – duljina ploče, promjer

cijevi, itd. Izraz na desnoj strani gornje jednadžbe bezdimenzijski je broj, koji se naziva


20

Nusseltovom značajkom. Dakle, jed. (2.8), koja kaže da je Nusseltova značajka jednaka

bezdimenzijskom temperaturnom gradijentu temperaturnog profila na samoj stijenci te kao

takva predstavlja vrlo važnu poveznicu na temelju koje se analiziraju mnogi problemi

konvektivnog prijelaza topline.

Opći oblik konzervativnih zakona

Konzervativni zakoni, kada se odnose na materijalni volumen, (volumen koji se

sastoji od uvijek istih čestica) u svojoj biti imaju istu definiciju: Brzina promjene pojedinog

konzervativnog fizikalnog svojstva, Φ, izraženog po jedinici volumena, unutar materijalnog

volumena, Vm, jednaka je sumi svih izvorskih članova, SΦ, koji se odnose na taj volumen. Ova

se konstatacija može matematički zapisati kao,

( ) ( )VS

tVΦ

ttVtV

dD

Dd

D

D

mm

Φ∫∫ = (2.9)

U gornjem izrazu derivacija je zapisana s velikim slovom „D“ čime se želi naglasiti da

se brzina promjene odnosi na materijalni volumen. Valja napomenuti da izvorski član može

biti izražen po jedinici volumena, kao u gornjoj jednadžbi, ili po jedinici površine kada bi

desni član bio zapisan površinskim integralom. Kako se površinski integrali mogu pomoću

teorema Gauss-Ostrogradskog svesti na volumne integrale, u jed. (2.9) je prikazan samo

izvorski član izražen po jedinici volumena.

Osnovni konzervativni zakoni razlikuju se s obzirom na konzervativno fizikalno

svojstvo, Φ, i pripadajući izvorski član, SΦ. U nastavku izlaganja od četiri konzervativna

zakona, izvest će se zakon očuvanja mase, zakon očuvanja količine gibanja te nešto kasnije,

zakon o očuvanju energije. Zakon o očuvanju momenta količine gibanja se ovdje ne izvodi

jer se on u biti svodi na činjenicu da je tenzor naprezanja simetričan tenzor. Osim

konzervativnih zakona, u osnovne zakone mehanike kontinuuma ulazi i tzv. princip porasta

entropije temeljen na II glavnom stavku termodinamike koji se svodi na činjenicu da je

promjena entropije izoliranog sustava uvijek veća ili hipotetički jednaka nuli.


21

3. Hidrodinamički granični sloj

Iz definicije Reynoldsove značajke i njene fizikalne interpretacije jasno je da se

laminarno strujanje u pravilu javlja u slučaju strujanja viskoznih fluida te pri malim brzinama

strujanja. Vrlo čest primjer laminarnog strujanja fluida je pri opstrujavanju tijela

aerodinamičnih oblika. Tako npr. pri opstrujavanju avionskog krila, u zraku se formiraju

strujnice koje prate aerodinamični profil krila. Upravo na tom primjeru je 1904. g. Ludwig

Prandtl primijenio koncept teorije graničnog sloja.

Laminarna strujanja često se koriste u situacijama kada je nužno spriječiti miješanje

ili odvajanje struja zraka, bilo da je razlog sprečavanje onečišćenja (industrija poluvodiča) ili

toplinska izolacija (zračne zavjese). Ipak, najčešći primjer laminarnih strujanje je strujanje

fluida kroz cijevi ili cijevčice, u pravilu s intenzivnim prijenosom topline, što se obrađuje u

idućem poglavlju.

U ovome se poglavlju analizira laminarno nestlačivo strujanje fluida uz ravnu stijenku

s konstantnim fizikalnim svojstvima. Upravo zbog toga fizikalne pojave unutar

hidrodinamičkog graničnog sloja mogu se promatrati odvojeno od fizikalnih pojava unutar

temperaturnog graničnog sloja pa je, shodno tome, poglavlje podijeljeno na dva dijela. U

prvom se dijelu, pojave unutar hidrodinamičkog graničnog sloja opisuju Navier-Stokesovim

jednadžbama, dok se u drugom dijelu identičan pristup primjenjuje na jednadžbu očuvanja

energije. Na kraju poglavlja dani su dodatni izrazi za izračun koeficijenta prijelaza topline,

kao i komentar o ograničenjima izvedenih modela.

Na temelju prethodnog izlaganja jasno je da se pri strujanju fluida uz ravnu stijenku,

cjelokupni prijenos impulsa i topline, odvija u određenom području koji nazivamo

hidrodinamički granični sloj. Čestice fluida unutar graničnih slojeva, baš kao i svaki fizikalni

sustav, moraju se pokoravati osnovnim konzervativnim zakonima. U nastavku se, uz

navedene pretpostavke modela, iz zakona očuvanja mase i zakona očuvanja količine gibanja

izvode Navier-Stokesove jednadžbe, kojima se opisuju fizikalne pojave unutar

hidrodinamičkog graničnog sloja.


22

3.1 Zakon očuvanja mase

Zakon očuvanja mase glasi: „Brzina promjene mase materijalnog volumena jednaka

je nuli“. Ovom je konstatacijom definirano da se radi o gustoći kao volumenskom svojstvu,

Φ = ρ, te da je pripadajući izvorski član jednak nuli, SΦ = 0. S tako definiranim konzervativnim

svojstvom i izvorskim članom, jed. (2.9) prelazi u matematički zapis zakona očuvanja mase.

( )0d

D

D

m

=∫ Vt

tV

ρ (3.1)

Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema, gornja jednadžba prelazi u sljedeći

oblik,

( )0dd

d

dd

D

D

KPKVm

=+= ∫∫∫ SnvVt

Vt

jj

tV

ρρρ (3.2)

koji se može teoremom Leibnitza i Gauss-Ostrogradskog prevesti na često korišteni

integralni oblik,

( ) ( )0ddd

KVKVKV

=

∂

∂+

∂∂

=∂

∂+

∂∂

∫∫∫ Vx

v

tV

x

vV

t j

j

j

j ρρρρ (3.3)

Ako pustimo da se kontrolni volumen sažme u točku, dobivamo diferencijalni oblik

zakona očuvanja mase,

( )0=

∂

∂+

∂∂

j

j

x

v

t

ρρ (3.4)

U inženjerskim se problemima vrlo često susreću takva strujanja kod kojih su vanjski

uvjeti takvi da ne izazivaju velike brzine strujanja. što posljedično znači da je promjena

gustoće tijekom takvih strujanja zanemariva. Drugim riječima, bez obzira radi li se o

stlačivom mediju, razlike tlaka su u tim problemima takve da ne utječu značajno na

promjenu njegove gustoće. Daljnje razmatranje će se ograničiti upravo na takva strujanja

koja se zbog toga nazivaju nestlačivim strujanjima.

Ako se, nadalje, jed. (3.4) primijeni na nestlačivo, stacionarno strujanje, ona prelazi u

jednadžbu kontinuiteta, koja će u daljnjem izlaganju biti često korištena.

0=

∂

∂

j

j

x

v (3.5)


23

3.2 Zakon očuvanja količine gibanja

Zakon o očuvanju količine gibanja glasi: „Brzina promjene količine gibanja

materijalnog volumena jednaka je sumi vanjskih masenih i površinskih i sila koje djeluju na

materijalni volumen“.

( ) ( ) ( )4342143421

sile povrsinskesile masene

dddD

D

mmm

SVfVvt

tS

i

tV

i

tV

i ∫∫∫ += σρρ (3.6)

Zadnji član, zapisan preko vektora površinskih sila, iσ , može se, kao i svaki vektor,

zapisati pomoću tenzora, koji se u ovom slučaju naziva tenzor naprezanja, jiσ , te bi nakon

primjene Gaussovog teorema glasio

( ) ( ) ( )V

xSnS

tV j

ji

tS

jij

tS

i ddd

mmm

∫∫∫ ∂

∂==

σσσ

Sada se, primjenom Leibnitzovog i Gaussovog teorema može zakon očuvanja količine

gibanja zapisati u sljedećem obliku,

( )( )

( )( ) ( ) ( )

Vx

VfVx

vvV

t

v

tV j

ji

tV

i

tV j

ji

tV

i dddd

mmmm

∫∫∫∫ ∂

∂+=

∂

∂+

∂∂ σ

ρρρ

(3.7)

Iz jed. (3.7), sažimanjem materijalnog volumena u česticu fluida, dobiva se

diferencijalni oblik zakona očuvanja količine gibanja u obliku,

( ) ( )j

ji

i

j

jii

xf

x

vv

t

v

∂

∂++

∂

∂−=

∂∂ σ

ρρρ

(3.8)

Ako se tenzor naprezanja, jiσ , rastavi na sferni i devijatorski dio, sferni bi dio

predstavljao sile tlaka na fluid (tenzor normalnih naprezanja), a devijatorski dio

tangencijalne sile u fluidu (tenzor tangencijalnih naprezanja).

jijiji Σp +−= δσ (3.9)

pa bi nakon uvrštavanja, jed. (3.8) poprimila sljedeći oblik,

( ) ( )

j

ji

i

i

j

jii

x

Σ

x

pf

x

vv

t

v

∂

∂+

∂∂−+

∂

∂−=

∂∂

ρρρ

(3.10)

U ovom trenutku uvodi se dopunska ili konstitutivna jednadžba kojom bi se tenzor

tangencijalnih naprezanja, preko odgovarajućeg fizikalnog svojstva, povezao s poljem brzine.

Ta se konstitutivna jednadžba naziva Newtonov zakon viskoznosti, koji u općem obliku glasi


24

ij

k

kijji

x

vDΣ δµµµ

∂∂

−+=3

22 v

(3.11)

gdje su

µ - dinamička viskoznost

vµ - volumenska viskoznost

Volumenska viskoznost iskazuje činjenicu da se, općenito, u fluidu javljaju viskozne

sile koje nastaju zbog promjene volumena čestice fluida.

Kod jednoatomnih plinova volumenska viskoznost jednaka je nuli, dok se kod

dvoatomnih plinova ista može zanemariti. Još 1845. g. George Gabriel Stokes je jednostavno

uveo pretpostavku da je volumenska viskoznost jednaka nuli, odnosno pretpostavku da je

prosječno normalno naprezanje na česticu fluida jednako nuli, koja u općem slučaju ne

vrijedi, ali je primjenjiva na veliki broj strujanja u inženjerskoj praksi.

Tako se, iz jed. (3.11), vidi da je u slučaju nestlačivog strujanja ili strujanja bez naglih

promjena brzine, drugi član na desnoj strani jednak ili približno jednak nuli. To znači da u

takvim strujanjima viskozne sile, koje su posljedica promjene volumena čestica fluida,

nemaju utjecaja na formiranje ili režim strujanja te se mogu zanemariti. Dakle, za nestlačivo

strujanje, tenzor tangencijalnih naprezanja, jed. (3.11), je jednak

∂

∂+

∂∂

==i

j

j

iijji

x

v

x

vDΣ µµ2 (3.12)

Uvrštavanjem jed. (3.12) u jed. (3.10) uz pretpostavku nestlačivog strujanja i

konstantnih fizikalnih svojstava, dobiva se zakon o očuvanju količine gibanja u sljedećem

obliku,

2

2

j

i

i

i

j

ij

i

x

v

x

pf

x

vv

t

v

∂∂

+∂∂−+

∂∂

−=∂∂

µρρρ (3.13)

Gornja jednadžba zajedno sa zakonom o očuvanju mase, jed. (3.5) predstavlja sustav

jednadžbi, u literaturi poznat pod nazivom Navier-Stokesove jednadžbe koje predstavljaju

najčešći model opisa viskoznih strujanja kako u inženjerskoj tako i u znanstvenoj primjeni.


25

3.3 Teorija graničnog sloja

Teorija graničnog sloja počiva na fizikalnom zapažanju da su unutar graničnog sloja, u

određenim slučajevima strujanja, gradijenti brzine i temperature u smjeru koordinata bitno

različiti. To znači da će i molekularni prijenosi impulsa i topline, koji su povezani s tim

gradijentima, biti jako različiti. Dok su u nekom smjeru takvi prijenosi istog reda veličine kao

što su makroskopski transporti, dotle u drugom smjeru mogu biti sasvim zanemarivi u

odnosu na njih. Ova zapažanja navela su Ludwiga Prandtla, 1904. god., na provedbu

postupka procjene reda veličine svih članova u jednadžbama matematičkog modela.

Matematički model

U slučaju stacionarnog strujanja nestlačivog fluida s konstantnim fizikalnim

svojstvima, koje se obrađuje u daljnjem tekstu, zakon očuvanja mase i zakon očuvanja

količine gibanja, odnosno sustav Navier-Stokesovih jednadžbi glasi

0=∂

∂

j

j

x

v (3.5)

jj

ii

ij

ij

xx

vf

x

p

x

vv

∂∂∂

++∂∂−=

∂∂ 2

µρρ (3.14)

Procjena reda veličine pojedinih članova sustava Navier-Stokesovih jednadžbi vrlo

jednostavno se provodi kada se jednadžbe svedu na bezdimenzijski oblik. Pri tome se,

naravno, ne može mijenjati broj nezavisnih varijabli, već se samo postojeće konstantne

veličine grupiraju u manji broj novih veličina, koje se nazivaju bezdimenzijske značajke ili

bezdimenzijski brojevi.

Za dvodimenzijsko strujanje fluida, kao na sl. 2.1, sustav jednadžbi (3.5) i (3.14) može

se raspisati po komponentama u smjeru koordinatnih osi, pri čemu se koristi sljedeća

nomenklatura

xx ≡1 , yx ≡2 , xwv ≡1

, , ywv ≡2 , xff ≡1 , yff ≡2

0=

∂

∂+

∂

∂

y

w

x

w yx (3.15)

∂∂+

∂∂

++∂∂−=

∂∂

+∂∂

y

w

x

wf

x

p

y

ww

x

ww xx

xx

yx

x 2

2

2

2

µρρ (3.16)

∂

∂+

∂

∂++

∂∂−=

∂

∂+

∂

∂

y

w

x

wf

y

p

y

ww

x

ww

yy

y

y

y

y

x 2

2

2

2

µρρ (3.17)


26

Ako je duljina ravne stijenke L, a brzina slobodne struje ∞w , mogu se formirati

sljedeće bezdimenzijske veličine,

L

xx =~

L

yy =~

∞

=w

ww x

x~

∞

=w

ww

y

y~

2

~

∞

=w

ppρ

Uvrštavanjem gornjih veličina u jednadžbe matematičkog modela i uzimanja u obzir

da od masenih sila djeluje samo sila gravitacije, odnosno uz 0=xf i gf y −= , te da se

promatra laminarno strujanje bez zamjetnog gradijenta tlaka u smjeru strujanja, dobivaju se

sljedeće bezdimenzijske jednadžbe modela

0~

~

~

~=

∂

∂+

∂∂

y

w

x

w yx (3.18)

∂∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

y

w

x

w

Rey

ww

x

ww xxx

yx

x ~

~

~

~1~

~~

~

~~

2

2

2

2

(3.19)

∂

∂+

∂

∂+−

∂∂−=

∂

∂+

∂

∂

y

w

x

w

ReFry

P

y

ww

x

ww

yyy

y

y

x ~

~

~

~11

~

~

~

~~

~

~~

2

2

2

2

(3.20)

U gornjim se jednadžbama pojavljuju nove bezdimenzijske veličine, koje zbog svojih

fizikalnih interpretacija nazivamo bezdimenzijskim značajkama.

Reynoldsova značajka sile viskozne

sile inercijske== ∞

νLw

Re

Froudeova značajka sile skegravitacij

sile inercijske2

== ∞

Lg

wFr

Prandtlova značajka toplineprijenos imolekularn

impulsa prijenos imolekularn===

λ

µν pc

aPr

Zanemarujući promjenu gustoće tlak gubi svoje termodinamičko značenje

(jednadžba stanja više nije upotrebljiva) i postaje čista hidrodinamička veličina. U pravilu je

interesantna samo promjena tlaka u odnosu na neku referentnu vrijednost, p0. Tada se

umjesto bezdimenzijskog tlaka p~ može upotrebljavati Eulerova značajka.

Eulerova značajka sile inercijske

tlakasile2

0 =−

=∞w

ppEu

ρ

Eulerova značajka razlikuje se od ostalih značajki po tome što ne sadrži samo

konstante, nego i nepoznatu varijablu, tlak p.


27

Prandtlov postupak procjene reda veličine

Prandtlova procjena reda veličine pojedinih članova u jednadžbama (3.18), (3.19),

(3.20) počiva na pretpostavci da je debljina hidrodinamičkog graničnog sloja vrlo mala u

odnosu na duljinu ploče, odnosno

L<<δ tj. εδ ≈L

gdje je ε vrlo mala veličina. Kako se pojave, koje se opisuju, odvijaju unutar graničnog sloja,

određene su i domene prostornih koordinata te pripadajućih brzina strujanja.

Lx ≤≤0 , δ≤≤ y0 , ∞≤≤ wwx0 , ∞≤≤ wwy0

Dok je domenama prostornih koordinata određen i njihov red veličine, u slučaju

brzina strujanja potrebno je provesti detaljniju analizu, što se posebice odnosi na brzinu

strujanja u smjeru osi y za koju nije odmah evidentno između kojih vrijednosti se kreće

njezin iznos.

Zbog toga što brzina strujanja u smjeru osi x unutar graničnog sloja mijenja svoj iznos

od nule do brzine slobodne struje, njena pripadajuća bezdimenzijska veličina, xw~ , je reda 1

ili drugim riječima ranga jedinice. Kako za brzinu strujanja u smjeru osi y nije poznat raspon

između kojih se kreće njen iznos, za njenu pripadajuću bezdimenzijsku veličinu, yw~ , nije

moguće odmah odrediti red veličine, tj.

1~ ≈x , ε≈y~ , 1~ ≈xw , ?~ ≈yw

Ipak, red veličine bezdimenzijske brzine u smjeru osi y određen je interpretacijom

jednadžbe kontinuiteta. Jednadžba kontinuiteta kaže da je gradijent brzine wx u smjeru osi x

jednak negativnom gradijentu brzine wy u smjeru osi y. Kako je bezdimenzijski gradijent

brzine xw~ , u smjeru osi x ranga jedinice, tj.

11

1~

~≈≈

∂∂

x

wx ,

istog ranga mora biti i bezdimenzijski gradijent brzine yw~ u smjeru osi y. Kako je

bezdimenzijska varijabla y~ ranga epsilon, tada i bezdimenzijska brzina yw~ mora biti ranga

epsilon.

εε≈≈

∂

∂1~

~

y

wy

tj.

ε≈yw~

Rangovi bezdimenzijskih prostornih koordinata i brzina određuju rangove njihovih

bezdimenzijskih derivacija.


28

ε1

~

~≈

∂∂

y

wx , εε≈≈

∂

∂

1~

~

x

wy, 1

1

1~

~

22

2

≈≈∂∂

x

wx ,

22

21

~

~

ε≈

∂

∂

y

wx , εε≈≈

∂

∂22

2

1~

~

x

wy,

εεε 1

~

~

22

2

≈≈∂

∂

y

wy

Vidljivo je da je druga derivacija brzine xw~ u smjeru y mnogo veća od njene druge

derivacije u smjeru osi x

22

2

2

21

~

~1~

~

ε≈

∂

∂<<≈

∂

∂

y

w

x

w xx

Ova činjenica fizikalno znači da je dominantan prijenos impulsa u smjeru y, praćen

pojavom smičnog naprezanja (trenja), te se zbog toga molekularni prijenos impulsa u x

smjeru može zanemariti u odnosu na smjer y. Ipak , da se dosljedno provede procjena reda

veličine svih članova, potrebno je odrediti rang člana 1/Re. On se može odrediti empirijskim

pristupom i fizikalnom interpretacijom jednadžbe strujanja, jed. (3.19).

U praksi je 1>>Re tako da rang faktora 1/Re može biti ε , 2ε , 3ε itd. Za slučaj kada bi bilo

ε≈Re1 , tada bi član ( ) ε1~~1 22 ≈∂∂ ywRe x pa bi njegov rang bio veći od ostalih članova u

jednadžbi, dok bi u slučaju da je 31 ε≈Re , rang pripadajućeg člana bio za red veličine manji

od ostalih članova. Preostaje de će se polazno strujanje s tankim graničnim slojem ostvariti

uz uvjet 21 ε≈Re .

Kada je određen rang faktora 1/Re, moguće je odrediti rang svih članova u

jednadžbama matematičkog modela. Nakon zanemarivanja članova nižeg ranga, sustav

diferencijalnih jednadžbi modela svodi se na sljedeći sustav:

0~

~

~

~=

∂

∂+

∂∂

y

w

x

w yx (3.21)

2

2

~

~1~

~~

~

~~

y

w

Rey

ww

x

ww xx

yx

x ∂∂

=∂∂

+∂∂

(3.22)

Primjećuje se da je cijela jednadžba strujanja u smjeru osi y zanemarena, izuzev dva

člana, čiji je rang ostao neprocijenjen, odnosno da se ona svela na sljedeći oblik:

0

1~

~≈−

∂∂−

Fry

p (3.23)

Gornja jednadžba fizikalno opisuje porast hidrostatskog tlaka unutar

hidrodinamičkog graničnog sloja, koji zbog njegove male debljine ne utječe značajno na


29

polje brzine što znači da se za opis strujanja, cijela jednadžba u smjeru osi y može

zanemariti. Zanemarivanjem jednadžbe strujanja u smjeru osi y, fizikalno je određen

karakter strujanja fluida unutar graničnog sloja na način da se ono odvija približno paralelno

sa stijenkom.

Ovime završava Prandtlov postupak procjene reda veličine, koji je, opravdanim

zanemarivanjem pojedinih članova, znatno pojednostavio složeni početni matematički

model pa pojednostavljeni model u dimenzijskom obliku glasi

0=

∂

∂+

∂∂

y

w

x

w yx (3.24)

2

2

y

w

y

ww

x

ww xx

yx

x ∂∂

=∂∂

+∂∂

ν (3.25)

3.4 Profil brzine i debljina hidrodinamičkog graničnog sloja

Sustav jednadžbi (3.24) i (3.25) ima svoje egzaktno rješenje, koje je 1908. g.

prezentirao Prandtlov student Paul Richard Heinrich Blasius. Druga metoda za rješavanje

navedenog sustava je tzv. integralna metoda koja ne daje egzaktno rješenje, ali je kao takva,

zbog svoje jednostavnosti, mnogo primjenjivija za veliki broj problema. U nastavku su

izložene obje metode.

3.4.1 Egzaktno (Blasiusovo) rješenje

Ideja Blasiusovog rješenja sustava jednadžbi (3.24) i (3.25) je da se dvije nepoznate

funkcije, wx i wy, zamijene jednom funkcijom te da se iz jednadžbi matematičkog modela

formira obična diferencijalna jednadžba, koja onda kao takva ima svoje rješenje, barem u

numeričkom obliku.

Iz kinematike fluida poznat je pojam strujnice koja je definirana kao krivulja kojoj se

u svakoj točki smjer tangente poklapa sa smjerom vektora brzine. Ako je strujanje

stacionarno, trajektorije i strujnice se poklapaju te je slika strujnica konstantna za sve

vremenske trenutke.

Iz definicije strujnice slijede dva važna svojstva: (i) strujnice se ne mogu presijecati,

(ii) kroz strujnicu nema protoka fluida. Dakle, u nestlačivom strujanju za česticu fluida, koja

se nalazi na stacionarnoj strujnici, zakon o očuvanju mase glasi

0dd =+− ywxw xy (3.26)

S druge strane, u dvodimenzijskom stacionarnom modelu, jednadžba strujnice ima

svoj opći oblik


30

( ) konst, =yxψ (3.27)

u kojoj svaka vrijednost konstante definira novu strujnicu. Ukoliko se diferencira jed. (3.27),

dobiva se

0ddd =

∂∂

+

∂∂

= yy

xx

xy

ψψψ (3.28)

Iz uvjeta da uz iste diferencijale dx i dy moraju biti isti članovi, tada iz jed. (3.26) i (3.28)

slijedi da je,

x

xy

w

∂∂

=ψ

(3.29)

y

yx

w

∂∂

−=ψ

(3.30)

Ispravnost ovakvog pristupa može se potvrditi na sljedeći način. Ako se jed. (3.29)

parcijalno derivira po varijabli x, a jed. (3.30) po varijabli y, te uz izjednačavanje dobivenih

drugih derivacija, dobiva se jednadžba kontinuiteta za nestlačivo strujanje. Odnosno

y

w

yxx

w

xy

yx

∂

∂−=

∂∂∂

=∂∂=

∂∂∂ ψψ 22

tj. 0=

∂

∂+

∂

∂

y

w

x

w yx

Kada su polja brzina izražena pomoću jedne funkcije, jed. (3.29) i (3.30), moguće je

zakon očuvanja količine gibanja, jed. (3.25), zapisati na sljedeći način

3

3

2

22

yyxxyy ∂

∂=

∂

∂∂∂−

∂∂∂

∂∂ ψ

νψψψψ

(3.31)

Gornja se jednadžba može svesti na običnu diferencijalnu jednadžbu na sljedeći

način. Bez smanjenja općenitosti može se pretpostaviti rješenje u obliku

( ) ( ) ( )ηfxgyxψ ⋅=, uz ( ) ( )xhyyx =,η

s rubnim uvjetima

( ) ( ) ∞=∞∂∂=∞ wx

yxwx ,,

ψ (3.32)

( ) ( ) 00,0, =∂∂= x

yxwx

ψ (3.33)


31

( ) ( ) 00,0, =∂∂−= x

xxwy

ψ (3.34)

Iz gornjih rubnih uvjeta i Blasiusove pretpostavke da su slični svi profili brzine duž

stijenke unutar graničnog sloja, moguće je iz parcijalne diferencijalne jednadžbe doći do

obične diferencijalne jednadžbe trećeg reda s konstantnim koeficijentima, koja glasi.

0

2

1=′′+′′′ fff (3.35)

i ima pripadajuće rubne uvjete

( ) 00 =f

( ) 00 =′f

( ) 1=∞′f

(3.36)

u kojoj varijabla, η, Blasiusove funkcije, f, ima sljedeći oblik

y

x

w

νη ∞= (3.37)

Jednadžba (3.35) zajedno s danim rubnim uvjetima naziva se Blasiusova jednadžba,

čije se rješenje može dobiti samo numeričkim putem i grafički je prikazano na sl. 3-1.

Slika 3-1. Blasiusova funkcija f(η)


32

Iz gornje se slike vidi da je Blasiusova funkcija monotono rastuća funkcija, čija je

asimptota pravac nagiba 45° što je očekivano, s obzirom na njene rubne uvjete. Ipak, za

analizu polja brzina i koeficijenta otpora trenja, puno su zanimljivije njene derivacije s

obzirom da one imaju pripadajuće fizikalne interpretacije. Slika 3-2 prikazuje prvu i drugu

derivaciju Blasiusove funkcije.

Slika 3-2.Zavisnost prve i druge derivacije Blasiusove funkcije o varijabli η

Poznavajući funkciju ( )ηf i njenu derivaciju, ( )ηf ′ mogu se izvesti profili brzina wx i

wy. , koji su u bezdimenzijskom obliku grafički prikazani na sl. 3-3.

fww x′= ∞ (3.38)

( )ff

x

wwy −′= ∞ η

ν2

1

(3.39)


33

Slika 3-3. Zavisnost bezdimenzijskih profila brzina, xw~ i yw~ , kod laminarnog strujanja

Bezdimenzijske brzine u gornjem dijagramu jednake su

f

w

ww x

x′==

∞

~ (3.40)

( )ff

w

xww yy −′==

∞

ην 2

1~ (3.41)

Rješenje Blasiusove jednadžbe omogućuje egzaktno određivanje profila brzina , a

samim time je definiran izraz za debljinu hidrodinamičkog graničnog sloja. Kako bi se

odredio izraz za debljinu hidrodinamičkog sloja, prema definiciji debljine hidrodinamičkog

sloja, jed. (2.1) slijedi da je potrebno naći onu vrijednost varijable η za koju brzina wx

postiže 99% brzine slobodne struje, w∞. To se postiže za η = 4,91 pa je debljina

hidrodinamičkog sloja, δ, dana sljedećom jednadžbom

∞

==

w

xνδ

η 91,4 tj.

xRexwx

91,491,4==

∞

ν

δ

(3.42)

Iako je definicija graničnog sloja dana jed. (2.1), u literaturi se može naći definicija da

je na granici hidrodinamičkog graničnog sloja brzina jednaka 95 % iznosa brzine slobodne

struje. U tom bi slučaju, izraz za debljinu graničnog sloja imao identičan oblik kao i jed. (3.42)

samo štoi bi konstanta bila manja i iznosila 3,918.


34

Druga važna činjenica koja slijedi iz Blasiusove funkcije je da bezdimenzijski profil

brzine yw~ teži konstantnoj vrijednosti, koja se može odrediti numerički, tj.

8604,02

lim =

−′

∞→

ff ηη

To znači da na rubu graničnog sloja postoji konstantna bezdimenzijska brzina u

smjeru osi y (zbog sličnosti profila), koja se javlja kao posljedica rasta graničnog sloja. Ta

brzina se može izračunati iz jed. (3.46)

( ) ( )

x

yRe

wff

x

wxw ∞

→∞

∞ =−′= 8604,0lim2

1, η

νδ

η (3.43)

Ostali zaključci vezani uz profil brzine laminarnog graničnog sloja dani su kasnije,

nakon prezentacije rješavanja integralnom metodom sustava jed. (3.24) i (3.25).

3.4.2 Integralna metoda

Druga metoda, tzv. integralna metoda, rješavanja sustava jed. (3.24) i (3.25) je

aproksimativna i mnogo jednostavnija za primjenu od egzaktnog rješenja. Ideja te metode je

da se integracijom jednadžbe graničnog sloja od stjenke do njegove debljine δ dobije sustav

običnih diferencijalnih jednadžbi, čijim se rješavanjem u konačnici određuje nepoznati

parametar, debljina hidrodinamičkog sloja.

Iako je ova metoda, zbog svojih pretpostavki samo približna, prilično je točna za

izračun naprezanja, i kako će kasnije biti pokazano, za izračun toplinskog toka na stjenci.

Kako bi se elegantnije izvršila integracija jednadžbe očuvanja količine gibanja, jed.

(3.25), potrebno ju je zapisati u malo prilagođenom obliku.

( ) ( )2

22

y

w

y

ww

x

w xyxx

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ν (3.44)

Integracija gornje jednadžbe kroz domenu graničnog sloja na koordinati x daje:

( ) ( )

∂∂

=+∂∂∫

δδ

δ

ν0

00

2

dy

wwwy

x

w xyx

x (3.45)

Kako se na y = δ može uzeti da su veličine onog iznosa kao na ∞→y može se pisati


35

( ) ( ) ( )

∂∂

−

∂∂

=

−+∂∂

====

∞∞

∫0

0

0

00

2

d

y

x

y

x

yyx

ww

yyxx

y

w

y

wwwwwy

x

w

yx 434214342143421 δ

δ

δ

ν (3.46)

Treći član lijeve strane jednak je nuli zbog hipotetičkog mirujućeg sloja na stijenci, a

prvi član desne strane se zanemaruje zbog toga što je brzina na rubu graničnog sloja gotovo

jednaka brzini slobodne struje. Ostaje odrediti nepoznati član, koji se može iskazati preko

brzine wx, pomoću jednadžbe kontinuiteta, jed. (3.24), koja nakon integracije i množenjem s

wx∞ daje

( )y

x

wwww

xx

yx d0

∫ ∂

∂−= ∞

∞∞

δ

(3.47)

što uvršteno u jed. (3.46) daje

( )[ ]

00

d=

∞ ∂∂

−=−∂∂∫

y

xxx

y

wywww

xν

δ

(3.48)

Kako desna strana predstavlja tangencijalno naprezanje na stjenci po jedinici

gustoće, a ono je funkcija samo varijable x, parcijalna derivacija na lijevoj strani postaje

potpuna i može otići ispred integrala tako da ona poprima svoj konačni oblik.

( )

( )

ρτδ

s

0

dd

d−=−∫ ∞

x

xx ywwwx

(3.49)

Gornja jednadžba predstavlja zakon očuvanja količine gibanja u integralnoj formi iz

kojeg se vidi da je brzina promjene količine gibanja uravnotežena tangencijalnom silom na

stijenci.

Kao i u slučaju egzaktnog rješenja može se pretpostaviti da su profili brzina

međusobno slični iz čega slijedi da je bezdimenzijski profil brzine, ∞= www xx~ , funkcija

samo jedne varijable, δη y=h . U tom slučaju bezdimenzijski profil brzine mora zadovoljiti

sljedeće uvjete na rubovima promatrane domene, tj. na stijenci ( 0h =η ) i na rubu graničnog

sloja ( 1h =η )

( ) 00~ =xw

( ) 11~ =xw

( ) 01d

~d

h

=η

xw ( ) 00

d

~d2

h

2

=η

xw (3.50)

Na temelju danih rubnih uvjeta moguće je bezdimenzijski profil brzine prikazati

polinomom trećeg reda,


36

3

h

2

hh~ ηηη dcbawx +++=

iz kojih se mogu odrediti nepoznati koeficijenti a, b, c i d, pa aproksimacija bezdimenzijskog

profila brzine poprima svoj konačni oblik

3

hh2

1

2

3~ ηη −=xw (3.51)

Ako se ova aproksimacija profila brzine usporedi s egzaktnim rješenjem, primjećuje

se kako se profili brzina u najvećoj mjeri podudaraju s maksimalnim odstupanjem od oko

8%, što je prikazano na sl. 3-4.

Slika 3-4. Usporedba rješenja integralne metode i egzaktnog rješenja profila brzina graničnog sloja.

Iz poznatog profila brzina, jed. (3.51) i jed. (3.49) može izvesti izraz za debljinu

hidrodinamičkog graničnog sloja. Najelegantniji način za to je da se jed. (3.49) prevede na

bezdimenzijski oblik,

( ) xxx Cww

xf,

1

0

h2

1d1~~

d

d−=

−∫ ηδ (3.52)

gdje xCf, lokalni koeficijent otpora trenja, definiran kao,

2

s,

f,

2

1∞

=w

Cx

x

ρ

τ

(3.53)

Uvrštavajući (3.51) u (3.52), te nakon sređivanja dobije se


37

δν

δ∞

=

wx 2

3

280

39

d

d (3.54)

Integracija gornje jednadžbe daje izraz za debljinu hidrodinamičkog graničnog sloja

izveden integralnom metodom.

xRex

641,4=δ

(3.55)

Primjećuje se da integralna metoda daje rješenje u istom obliku kao i egzaktno

rješenje, uz razliku da je konstanta u integralnom rješenju, zbog primijenjenih zanemarenja

manja za 5,6 %

Lokalni i prosječni koeficijent otpora trenja

U inženjerskim problemima obično je važnije poznavati prosječne fizikalne veličine

koje su, za razliku od lokalnih, definirane za određenu prostornu domenu. Pri tome će se

koristiti notacija da prosječne veličine dobivaju u indeks „m“, dok se, iz običajnih razloga,

prosječne bezdimenzijske veličine u pravilu označavaju bez indeksa.

Koeficijent otpora trenja, definiran jed. (3.53), lako se može dobiti iz Newtonovog

zakona viskoznosti i egzaktnog rješenja, koristeći činjenicu da je bezdimenzijski profil brzine

funkcija samo jedne varijable,

0

2

2

0

s,d

d

=

∞∞

=

=∂∂

=η

ηνµµτ

f

x

ww

y

w

y

xx (3.56)

Iz slike 3-2 ili numeričkim putem možemo odrediti drugu derivaciju Blasiusove

funkcije f za η = 0, koja se pojavljuje u gornjoj jednadžbi pa lokalno naprezanje na stijenci

poprima svoj konačni oblik

xx Re

x

w∞=µ

τ 332,0s, (3.57)

(Integralna bi metoda dala isti rezultat, samo bi konstanta umjesto 0,332 iznosila 0,323.)

Iz jed. (3.53) i jed. (3.57) slijedi izraz za lokalni koeficijent otpora trenja,

x

xRew

C664,0

2/2

s,f ==

∞ρτ

(3.58)

(Integralna metoda bi dala isti oblik rezultata samo bi konstanta iznosila 0,646.)


38

Iz jed. (3.58) dolazi se do prosječnog koeficijenta otpora trenja, mf,C , koji je definiran

kao i lokalni, jed. (3.53), samo što je lokalni koeficijent otpora trenja definiran preko

lokalnog naprezanja na stijenci, a prosječni preko prosječnog naprezanja uz stijenku, na

cijeloj duljini ploče, L, tj. pomoću ∫=L

x xL

0

s,ms, d1ττ

RewC

328,1

2/2

ms,

mf, ==∞ρτ

(3.59)

Vidi se da je prosječni koeficijent otpora trenja definiran pomoću prosječnog

Reynoldsovog broja, µ

ρ LwRe ∞= , što je i bilo za očekivati.

Jed. (3.59) daje dobre rezultate za laminarna strujanja u području Reynoldsovih

brojeva 54 105102 ×<<× LRe . U području vrlo malih Reynoldsovih brojeva dobivene su na

temelju mjerenja, veće vrijednosti za prosječni koeficijent otpora trenja. Janour, Z. (1951)

postavio je izraz za prosječni koeficijent otpora trenja s vrlo malim Reynoldsovim brojevima

6,0mf,

90,2

ReC =

300010 << LRe (3.60)

Laminarno strujanje uz gradijent tlaka

U slučajevima kada nije moguće zanemariti gradijent tlaka u jed. (3.16), diferencijalna

jednadžba strujanja, jed. (3.25) glasi

2

2

d

d1

y

w

x

p

y

ww

x

ww xx

yx

x ∂∂

+−=∂∂

+∂∂

νρ

(3.61)

Nakon sređivanja, gornja jednadžba se može zapisati u malo drugačijem obliku, pri čemu se

gradijent tlaka izražava pomoću brzine slobodne struje, uz istovremeno zanemarivanje

brzine u smjeru osi y, ∞yw .

000

2 d1d

dd1

d

d

=∞∞

∞

∞∞∞ ∂

∂=

−+

− ∫∫

y

xxxx

y

wy

w

ww

x

wy

w

w

w

ww

xν

δδ

(3.62)

Integrali u gornjoj jednadžbi, imaju svoje fizikalno značenje i označavaju se,

∫

−=

∞

δ

δ0

1 d1 yw

wx

- istisninska debljina graničnog sloja (3.63)


39

∫

−=

∞∞

δ

δ0

2 d1 yw

w

w

w xx

- impulsna debljina graničnog sloja (3.64)

Istisninska debljina ili debljina istisnuća pokazuje otklon strujnice zbog usporavanja

strujanja unutar graničnog sloja u odnosu na neviskozno strujanje pod istim uvjetima.

Drugim riječima, ona je mjera smanjenja masenog protoka zbog postojanja graničnog sloja,

što je zorno prikazano na slici 3-4. Impulsna debljina, analogno istisninskoj debljini je mjera

smanjenja impulsa slobodne struje zbog smanjivanja brzine u graničnom sloju.

Slika 3-4. Istisninska debljina (debljina istisnuća)

Ako se jed. (3.62) sredi i zapiše pomoću (3.63) i (3.64) dobije se konačni tzv. oblik

von Karmanove jednadžbe za granični sloj

( )

2

s,

122 2

d

d1

d

d

∞

∞

∞

=++wx

w

wx

x

ρ

τδδ

δ (3.65)

Von Karmanova jednadžba za slučaj strujanja fluida uz ravnu stijenku bez gradijenta

tlaka identična je jed. (3.49). Za taj se slučaj, koristeći egzaktno Blasiusovo rješenje, mogu se

dobiti izrazi za istisninsku i impulsnu debljinu u slučaju nestlačivog strujanja ,

x

x

Re

xy

w

w 7208,1d1

0

1 =

−= ∫

∞

∞

δ (3.66)

x

xx

Re

xy

w

w

w

w 6641,0d1

0

2 =

−= ∫

∞

∞∞

δ (3.67)


40

4 Temperaturni granični sloj

Temperaturni granični sloj je, kako i naziv implicira, područje fluida u kojem je

zamjetan utjecaj stijenke na njegovu temperaturu. Polje temperatura se, dakle, formira zbog

izmjene topline s okolišem. To znači da je, na temelju poznavanja temperaturne distribucije

unutar graničnog sloja, moguće zaključivati o intenzitetu prijenosa topline. Uobičajeni način

iskazivanja prenešenog toplinskog toka je korištenjem koeficijenta prijelaza topline, koji se iz

poznatog profila temperatura može izraziti na temelju poznate veze Newtonovog i Fourierov

zakona;

0ss

s

=∞∞ ∂∂

−−=

−=

yy

T

TTTT

q λα (4.1)

Temperaturnu distribuciju unutar temperaturnog graničnog sloja moguće je,

poznavajući profil brzine, odrediti iz jednadžbe očuvanja energije kako je to pokazano u

nastavku.

4.1 Jednadžba očuvanja energije

Ako unutar fluida postoji neko općenito temperaturno polje, između njegovih čestica

neminovno dolazi do prijenosa topline. Također, prema konceptu mehanike kontinuuma, pri

interakciji čestica fluida, dolazi do pojave površinskih sila putem kojih se međusobno

izmjenjuje rad. Drugim riječima, do izmjene rada i topline između čestica dolazi samo ako

unutar fluida postoje gradijenti pojedinih fizikalnih veličina. Ti gradijenti nastaju kao izravna

posljedica interakcije materijalnog volumena sa svojim okolišem. Na temelju toga, formulira

se zakon o očuvanju energije za materijalni volumen u obliku: Brzina promjene kinetičke i

unutarnje energije materijalnog volumena jednaka je snazi vanjskih masenih i površinskih

sila koje djeluju na njega, prenesenom toplinskom toku između materijalnog volumena i

okoliša te sumi energijskih izvora ili ponora unutar materijalnog volumena.

Toplinski izvor ili ponor u pravilu obuhvaća tokove onih oblika energije koji svoj uzrok

imaju unutar samog fluida, ali se često pojavljuju kao modeliranje interakcije materijalnog

volumena kada se fluid nalazi u polju neke fizikalne veličine (magnetsko polje,

elektromagnetsko zračenje, itd.). U svakom slučaju, postojanje toplinskih izvora ili ponora,

kada se radi o materijalnom volumenu, potaknuto je interakcijom sa svojim okolišem.

Matematički dana konstatacija zakona o održanju energije, u obliku općeg

konzervativnog zakona može se napisati na sljedeći način,


41

4342143421434214342144 344 21izvor toplinski

m

toktoplinski

m

silah površinski snaga

m

silamasenih snaga

m

energija napotencijal i kineticka

m

2

m

ddddd2D

Dd

D

D∫∫∫∫∫∫ +−+=

+=

V

v

S

jj

S

ii

V

ii

VV

VΦSnqSvVvfVv

ut

Vet

σρρρ

(4. 2)

Pri čemu je 22

2

ii vvu

vue ρρρρρ +=+=

Ako se vektor površinskih sila napiše pomoću tenzora naprezanja, preneseni toplinski

tok pomoću Fourierovog stavka, a materijalna derivacija raspiše preko Reynoldsovog

transportnog teorema, te primjenom teorema Leibnitza i Gauss-Ostrogradskog, jed. (4.2

Error! Reference source not found.) poprima sljedeći oblik

( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +

∂∂

−∂∂

−∂

∂++

∂

∂−=

∂∂

KVKVKVKVKVKV

dddddd VΦVx

T

xV

x

vVvfV

x

veV

t

ev

jjj

iji

ii

j

j λσ

ρρρ

(4. 3)

S obzirom da svi članovi imaju istu granicu integracije (kontrolni volumen),

sažimanjem kontrolnog volumena u točku prostora, dolazi se do diferencijalnog zakona

očuvanja energije,

( ) ( ) ( )v

jjj

iji

ii

j

jΦ

x

T

xx

vvf

x

ve

t

e+

∂∂

∂∂

+∂

∂++

∂

∂−=

∂∂

λσ

ρρρ

(4. 4)

Kako bi se detaljnije osvrnuli na fizikalnu interpretaciju jednadžbe očuvanja energije,

potrebno je raspisati član gornje jednadžbe koji se odnosi na snagu površinskih sila.

( )j

ijii

j

ji

j

iji

x

vv

xx

v

∂∂

+∂

∂=

∂

∂σ

σσ (4. 5)

Gornji izraz ustvari kazuje da se snaga površinskih sila jednim dijelom troši na

promjenu brzine čestice fluida (prvi član desne strane jednadžbe), a ostatak se troši na njenu

deformaciju (drugi član desne strane jednadžbe), što u biti povećava njenu unutarnju

energiju. To znači da površinske sile djeluju na česticu tako da joj mijenjaju i kinetičku i

unutarnju energiju.

Rastavljanjem tenzora naprezanja na sferni i devijatorski dio, jed. (3.9), odnosno na

tlačna (normalna) i viskozna (tangencijalna) naprezanja, moguće je dati još detaljniju analizu

pretvorbe energije. Snaga površinskih sila, može se, dakle, prikazati u sljedećem obliku,


42

( )j

iji

j

j

i

j

ji

i

ij

iji

x

vΣ

x

vpv

x

Σv

x

p

x

v

∂∂

+∂

∂−

∂

∂+

∂∂−=

∂

∂ σ (4. 6)

Uspoređujući jed. (4.5.) i (4.6.), jasno je da se prva dva člana desne strane jed.

(4.6.Error! Reference source not found.) odnose na članove koji mijenjaju kinetičku energiju

čestice fluida, dok se treći i četvrti član odnose se na povećanje njene unutarnje energije.

Povećanje unutarnje energije putem sila tlaka (treći član) može se interpretirati

sljedećim razmatranjem. Vremenska promjena općenitog svojstva, Φ, unutar materijalnog

volumena primjenom teorema Leibnitza i Gauss-Ostrogradskog jednaka je

( ) ( )

( )( )∫∫∫ ∂

∂+

∂∂

=tV j

j

tVtV

Vx

vΦV

t

ΦVΦ

tmmm

dddD

D

Stavi li se da je svojstvo Φ = 1, slijedi

( )

( )( )∫∫ ∂

∂==

tV j

j

tV

Vx

v

t

tVV

tmm

dD

Dd

D

D m

Nakon sažimanja materijalnog volumena u diferencijalni volumen, mVδ , slijedi

fizikalna interpretacija divergencije brzine

[ ]m

m D

D1V

tVx

v

j

j δδ=

∂

∂

Divergencija brzine, dakle, predstavlja brzinu promjene volumena čestice fluida. To

znači da treći član desne strane jed. (4.6) predstavlja volumensku gustoću snage tlačnih sila

koja mijenja unutarnju energiju čestice fluida, a posljedica je upravo onog mehaničkog rada

koji čestica (ili sustav) izvrši svojom promjenom volumena, što se vidi iz sljedećeg izraza.

( )t

Vp

Vx

vp

j

j

D

D1 m

m

δδ−=

∂

∂− (4. 7)

Na temelju toga i od ranije poznate definicije mehaničkog rada, može se zaključiti da

je promjena unutarnje energije putem tlačnih sila povrativ proces, što nije ispunjeno za

slučaj promjene unutarnje energije putem tangencijalnih sila.

Četvrti član desne strane jed. (4.6), koji predstavlja snagu viskoznih sila koje

mijenjaju unutarnju energiju čestice fluida, može se zapisati pomoću jed. (1.3),

( ) jijijijiji

j

iji DΣVDΣ

x

vΣ =+=∂∂


43

Raspisivanjem komponenti člana jiji DΣ može se pokazati da je on uvijek veći od

nule, što znači da viskozne sile uvijek djeluju tako da povećavaju unutarnju energiju čestice

fluida pa se zato taj član naziva i funkcija disipacije ili disipacijska funkcija.

S obzirom da se često kod toplinskih pojava zanemaruje kinetička energija valja za

daljnja razmatranja izvesti jednadžbu unutarnje energije koja se dobiva oduzimanjem

jednadžba mehaničke energije od jednadžbe očuvanja ukupne energije.

Jednadžba mehaničke energije dobije se kada se jednadžba količine gibanja, jed.

(3.10) skalarno pomnoži s vektorom brzine, (in-produkt).

( ) ( )i

j

ji

i

i

iii

j

ji

ii v

x

Σv

x

pvfv

x

vvv

t

v

∂

∂+

∂∂−+

∂

∂−=

∂

∂ρ

ρρ (4. 8)

Uvrštavanje definicije tenzora naprezanja, jed. (3.9) u energijsku jednadžbu, jed.

(4.4), s raspisanim pojedinim derivacijama, nakon oduzimanja jednadžbe mehaničke

energije, zakon o očuvanju unutarnje energije se svodi na sljedeći oblik,

( ) ( )v

jjj

iji

j

j

j

jΦ

x

T

xx

vΣ

x

vp

x

vu

t

u+

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂

∂−

∂

∂−=

∂∂

λρρ

(4. 9)

Jednadžba unutarnje energije vrlo je zastupljena u inženjerskim problemima s

obzirom da je često brzinu promjene kinetičke energije moguće zanemariti.

Zanimljiva je interpretacija jednadžbe unutarnje energije, ako se ona zapiše pomoću

materijalnih derivacija, pri čemu se snaga tlačnih sila može zapisati pomoću jed. (4.7).

( ) ( )v

j

iji

jj

Φx

vΣ

x

T

xt

Vp

Vt

u+

∂∂

+

∂∂

∂∂

=+

443442144 344 21321 toktoplinskirad mehanicki

m

m

energije unutarnje promjena

D

D1

D

Dλ

δδ

ρ

(4. 10)

Gornja jednadžba je zapravo jednadžba očuvanja energije napisana u obliku Prvog

glavnog stavka termodinamike postavljenog na česticu fluida uz dva dodatna člana, koja

valja dodatno prokomentirati. Na desnoj strani jednadžbe, osim toplinskog toka, pojavljuju

se dva dodatna člana koja predstavljaju pojave koje egzistiraju unutar čestice fluida ili na

njenoj površini.

Zadnji, treći, član jed. (4.10) predstavlja izvorski toplinski član koji, ako je pozitivan

(toplinski izvor), posljedično dovodi do porasta unutarnje energije, odnosno ako je negativan

(toplinski ponor), dolazi do smanjenja unutarnje energije čestice.

Drugi član na desnoj strani jed. (4.10), je tzv. disipacijska funkcija koja predstavlja

snagu viskoznih sila koja mijenja unutarnju energiju čestice. Ranije je rečeno kako je ta


44

snaga uvijek pozitivna, što znači da je pretvorba mehaničke energije u unutarnju putem sila

trenja uvijek jednosmjerna pa time predstavlja izvor nepovratnosti, odnosno generira

entropiju.

To se lijepo može predočiti pomoću jed. (4.10) ako se radi jednostavnosti, a bez

smanjenja općenitosti, usporede ravnotežni i neravnotežni proces bez promjene volumena i

bez toplinskih izvora ili ponora, koji bi generirali istu promjenu unutarnje energije. Toplinski

tok se u takvom ravnotežnom procesu razlikuje od neravnotežnog upravo za disipacijsku

funkciju, koja je uvijek pozitivna, čime se potvrđuje matematička formulacija Drugog glavnog

stavka za neravnotežne promjene.

( ) ( )nerr

δdδ QSTQ >=

Kada brzine promjene kinetičke energije nije moguće zanemariti, potrebno je

uključiti sve članove energijske jednadžbe, koja u svom razvijenom obliku glasi,

( ) ( )v

jjj

iji

j

j

i

j

ji

i

i

ii

j

jΦ

x

T

xx

vΣ

x

vpv

x

Σv

x

pvf

x

ve

t

e+

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂

∂−

∂

∂+

∂∂−+

∂

∂−=

∂∂

λρρρ

(4. 11)

pri čemu je 22

2

ii vvu

vue ρρρρρ +=+=


45

4.2 Teorija temperaturnog graničnog sloja

Pristup koji se primjenjuje u nastavku je identičan kao i pri analizi hidrodinamičkog

graničnog sloja. Potrebno je definirati model na koji se tada primjenjuje postupak procjene

reda veličine pojedinih članova u energijskoj jednadžbi.

Matematički model

U modelu, koji podrazumijeva ranije uvedene pretpostavke, zanemaruje se promjena

kinetičke energije u odnosu na promjene unutarnje energije. To znači da se u jednadžbi

očuvanja energije zanemaruju svi članovi koji se odnose na očuvanje kinetičke energije,

odnosno energijska se jed. (4.11) svodi na jednadžbu očuvanja unutarnje energije, jed. (4.9).

( ) ( )v

jjj

iji

j

j

j

jΦ

x

T

xx

vΣ

x

vp

x

vu

t

u+

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂

∂−

∂

∂−=

∂∂

λρρ

(4.9)

Uz ranije uvedene pretpostavke modela, uvodi se i pretpostavka da se svojstva fluida

ne mijenjaju s promjenom temperature. U tom slučaju jednadžba unutarnje energije glasi

v

jjj

iji

j

jp Φxx

T

x

vΣ

x

Tvc +

∂∂∂

+∂

∂=

∂∂ 2

λρ (4. 12)

Kako je ranije pokazano, profil brzine unutar graničnog sloja uvjetovan je viskoznim

silama u fluidu. Zbog toga se njihov utjecaj u jednadžbi očuvanja količine gibanja nikako se

nije mogao zanemariti. S druge strane, u energijskoj jednadžbi njihov se utjecaj može u

većini praktičnih primjera zanemariti jer samo u slučaju vrlo viskoznih fluida one mogu

disipirati dovoljno energije da bi signifikantno utjecale na promjenu unutarnje energije

fluida, a time i na formiranje profila temperatura unutar temperaturnog graničnog sloja.

Stoga se funkcija disipacije u jednadžbama modela može zanemariti, kao i, iz očitih razloga,

postojanje toplinskih izvora ili ponora. U tom slučaju jednadžba unutarnje energije poprima

svoj konačni oblik

jjj

jxx

Ta

x

Tv

∂∂∂

=∂∂ 2

(4. 13)

gdje je,

pcaρλ

= temperaturna provodnost ili toplinska difuzivnost fluida

S obzirom da se ovdje analizira dvodimenzijski model strujanja u smjeru x i y, jed. (4.13) glasi


46

∂∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

2

2

2

2

y

T

x

Ta

y

Tw

x

Tw yx (4. 14)

Konačni matematički model zanemaruje difuziju topline u smjeru osi x u odnosu na

difuziju u smjeru osi y, što se može potvrditi procjenom reda veličine svakog člana u

jednadžbi. Procjena reda veličine, trivijalna je ako se jed. (4.14) svede na bezdimenzijski

oblik, uvođenjem u iste sljedećih bezdimenzijskih

s

s

TT

TTΘ

−−

=∞ L

xx =~

L

yy =~

∞

=w

ww x

x~

∞

=w

ww

y

y~

∂∂+

∂∂

=

∂∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

y

Θ

x

Θ

Pey

Θ

x

Θ

PrRey

Θw

x

Θw yx ~~

1~~

11~

~~

~2

2

2

2

2

2

2

2

(4. 15)

U gornjoj se jednadžbi javljaju dvije nove bezdimenzijske značajke.

aPr

ν= – Prandtlova značajka

a

LwPrRePe ∞== - Pecletova značajka

Iz definicije Prandtlove značajke vidljivo je da se ona sastoji isključivo od svojstava

fluida te je kao takva svojstvena svakom fluidu. Ona zbog toga ima vrlo važnu ulogu u

načinima prijenosa, jer iskazuje omjer karakteristika molekularnog prijenosa impulsa i

molekularnog prijenosa topline u fluidu. Drugim riječima, ona na makrorazini kvalitativno

opisuje sposobnost međumolekularnih mehanizama prijenosa. Kasnije će biti pokazano kako

omjer debljine hidrodinamičkog i temperaturnog graničnog sloja određenog fluida ovisi

upravo o Prandtlovoj značajki, što je sasvim jasno, s obzirom da unutar graničnih slojeva

dominiraju molekularni načini prijenosa. Iako Prandtlov broj može biti, za različite fluide,

vrlo različitih redova veličina, njegova vrijednost ostaje posljedica analognih načina prijenosa

količine gibanja i energije.

• iz kinetičke teorija plinova slijede iznosi Prandtlovog broja za različite plinove:

Za jednostavne, jednoatomne plinove, 32=Pr

Za dvoatomne plinove, čije su vibracije molekula nepobuđene, 75=Pr

Kako kompleksnost molekula raste, Prandtlov broj se približava jedinici

Valja napomenuti da je Prandtlov broj za plinove s jednostavnim strukturama

molekulama neovisan o temperaturi jer je, kod njih, struktura molekula, kao i njihovo

međudjelovanje, neosjetljiva na promjene temperatura.


47

• U kapljevinama, fizikalni načini prijenosa količine gibanja i energije su mnogo

kompleksniji pa Prandtlov broj može biti znatno različit od jedinice. Tako npr. za

kapljevine s relativno jednostavnim molekulama, izuzev metala, Prandtlov broj je

negdje između 1 i 10.

• Za kapljevite metale Prandtlov broj je reda veličine 10-2 ili manji

• Ako su molekule kapljevine jako kompleksnih struktura, Prandtlov broj može dostići

red veličine 105, što npr vrijedi za lančane molekule ugljikovodika.

Slika 3-5. Prandtlovi brojevi za različite fluide

Druga značajka koja se javlja u energijskoj jednadžbi je Pecletova značajka iz čije se

definicije može zaključiti da ona stavlja u omjer makroskopski način prijenosa, karakteriziran

inercijskim silama i mikroskopski način prijenosa, karakteriziran toplinskom difuzivnošću.

Fizikalna interpretacija Pecletove značajke može se zgodnije analizirati njezinim prikazom u

sljedećem obliku.

*

*

ϑλ

ϑρ

L

wc

a

LwPe

p ∞∞ ==

Iz gornjeg se izraza vidi kako Pecletova značajka predstavlja omjer konvektivno

prenesene gustoće toplinskog toka i provođenjem prenesene gustoće toplinskog toka.

Sada se može pristupiti procjeni reda veličine pojedinih članova u jed. (4.15). Kao i

kod analize hidrodinamičkog graničnog sloja, pretpostavlja se da je temperaturni granični

sloj mnogo manji od karakteristične linearne dimenzije, L, tj. da vrijedi 1~t <<≈ εy pa su

rangovi bezdimenzijskih članova u jed. (4.15) sljedeći,

1~ ≈x t

~ ε≈y 1≈Θ , 1~ ≈xw , t~ ε≈yw

11

1~ ≈≈∂∂

x

Θ,

t

1~ ε≈

∂∂

y

Θ, 1

1

1~ 22

2

≈≈∂∂

x

Θ,

2

t

2

2 1~ ε≈

∂∂

y

Θ


48

Iz navedenog se može zaključiti da je molekularni prijenos topline u smjeru osi x

zanemariv u odnosu na molekularni prijenos topline u smjeru osi y. Time je i određen rang

Pecletove značajke, koja mora biti onog ranga da bi jed. (4.15) opisivala postavljen model

strujanja. Sada se može napisati konačni oblik energijske jednadžbe za promatrani model

strujanja.

2

2

y

Ta

y

Tw

x

Tw yx ∂

∂=

∂∂

+∂∂

(4. 16)

4.3 Analogija energijske i impulsne jednadžbe (jednadžbe očuvanja količine gibanja)

Za postavljeni model strujanja jednadžba količine gibanja, jed. (3.25) i energijska

jednadžba, jed. (4.16) glase,

2

2

y

w

y

ww

x

ww xx

yx

x ∂∂

=∂∂

+∂∂

ν (3.25)

2

2

y

Ta

y

Tw

x

Tw yx ∂

∂=

∂∂

+∂∂

(4.16)

Već se na prvi pogled primjećuje da gornje jednadžbe imaju vrlo sličan oblik, uz

iznimku da se u jednadžbi količine gibanja, kao svojstvo fluida, pojavljuje kinematička

žilavost, ν, a u energijskoj jednadžbi, također kao svojstvo fluida, pojavljuje se toplinska

difuzivnost, a.

U slučaju kada bi kod fluida kinematička žilavost bila jednaka toplinskoj difuzivnosti,

moglo bi se govoriti da te dvije jednadžbe imaju isto rješenje. Međutim, da bi to vrijedilo,

moraju jednadžbe također imati iste rubne uvjete, što u ovakvom dimenzijskom zapisu nije

ispunjeno. Stoga je potrebno preurediti jednadžbe matematičkog modela, kako bi se

Blasiusovo egzaktno rješenje moglo primijeniti na energijsku jednadžbu. To je moguće, ako

se uvedu bezdimenzijske varijable brzine i temperature,

∞

=w

ww x

x~

∞

=w

ww

y

y~

s

s

TT

TTΘ

−−

=∞

pa je jed. (3.25) i jed. (4.16) moguće prikazati u sljedećem obliku


49

2

2 ~~~

y

w

y

ww

x

ww xx

yx

x ∂∂

=∂∂

+∂∂

ν (4. 17)

2

2

y

Θa

y

Θw

x

Θw yx ∂

∂=

∂∂

+∂∂

(4. 18)

Rubni uvjeti gornjih jednadžbi dani su redom

( ) 00,~ =xwx

( ) 1,~ =∞xwx

( ) 00,~

=∂∂

xx

wx

( ) 00, =xΘ

( ) 1, =∞xΘ

( ) 00, =∂∂

xx

Θ

Očito je da, uz uvjet ν = a, energijska i impulsna jednadžba u bezdimenzijskom obliku

imaju identična rješenja. To znači da je bezdimenzijski profil nadtemperatura ovisan o jednoj

i to istoj varijabli kao i bezdimenzijski profil brzina, tj. ( )ηΘ , a njeno rješenje je dano s,

( )ηηd

d

s

s f

TT

TTΘ =

−−

=∞

čiji je grafički prikaz dan na slici 3-2. Moguće je, koristeći jednadžbu (2.7), izraziti koeficijent

prijelaza topline,

( )0

2

2

00

s

s d

d

===∞

∂∂

=∂∂

=∂−∂

−=

η

ηη

λλλ

αy

f

y

Θ

y

TT

TTyy

(4. 19)

Iz Blasiusovog rješenja poznata je vrijednost druge derivacije Blasiusove funkcije f pa

se jed. (4.19) može napisati u sljedećem bezdimenzijskom obliku

xx ReNu

x33206,0==

λα

(4. 20)

Vidi se da, u slučaju kada je kinematička žilavost jednaka toplinskoj difuzivnosti,

koeficijent prijelaza topline ne ovisi o svojstvima fluida što se moglo i očekivati jer su tada

molekularni prijenosi impulsa i topline potpuno analogni.


50

4.4 Debljina temperaturnog graničnog sloja

Prethodnim se izlaganjem pokazalo da vrijedi δ = δt kad je Pr = 1 te da su, na ravnoj

stjenci, bezdimenzijski profili brzine i temperature identični. Valja ukazati na dvije sljedeće

tvrdnje;

• Kada je Pr > 1, slijedi da je hidrodinamički granični sloj deblji od temperaturnog, tj.

δ > δt, a kad je Pr < 1, slijedi da je δ < δt.

• Iz gornje tvrdnje i činjenice da su pripadajuće diferencijalne jednadžbe, jed. (3.98) i

(3.99), identične uz iznimku da se u jednoj pojavljuje ν, a u drugoj a, može se

zaključiti da omjer debljina tih dvaju graničnih slojeva ovisi isključivo o Prandtlovoj

značajki, tj. ( )Prft =δδ , pri čemu su za Pr = 1, te debljine jednake.

Na temelju ovih činjenica zaključuje se da je profil temperatura unutar temperaturnog

graničnog sloja moguće povezati s bezdimenzijskim Blasiusovim rješenjem, a samim time i

pronaći nepoznatu funkciju omjera debljina temperaturnog i hidrodinamičkog graničnog

sloja te na taj način odrediti intenzitet prijenosa topline u laminarnom strujanju. Pri tome

valja ukazati na činjenicu da kod strujanja uz stijenku, rubni uvjet jednadžbe količine gibanja

bio je da je brzina u hipotetičkom mirujućem sloju jednaka nuli duž čitave stijenke. U slučaju

energijske jednadžbe, rubni uvjet, iako ima isti oblik, zapravo je mnogo kompleksniji jer

temperatura stijenke, u općem slučaju, nema konstantnu vrijednost jer njena promjena ovisi

o uvjetima prijenosa topline na samoj stijenci. U nastavku se obrađuju dva najčešće

primjenjivana rubna uvjeta u praksi; rubni uvjet konstantne temperature stijenke i

konstantne gustoće toplinskog toka.

4.4.1 Konstantna temperatura stijenke

Kao i u slučaju jednadžbe očuvanja količine gibanja, pojednostavljenu jednadžbu

očuvanja energije moguće je riješiti integralnom i egzaktnom metodom.

Integralna metoda

Činjenica da omjer debljina temperaturnog i hidrodinamičkog graničnog sloja ne ovisi

o koordinati x, znatno pojednostavnjuje integralnu metodu rješavanja diferencijalne

jednadžbe što se u nastavku i pokazuje.

Ideja je integralne metode rješavanja jed. (4.16.) da se integracijom energijske

jednadžbe unutar temperaturnog graničnog sloja dođe do informacije o koeficijentu

konvektivnog prijelaza topline što je mnogo jednostavniji postupak nego što je to slučaj kod

egzaktnog rješenja, koje se kasnije obrađuje u tekstu.

Integracija energijske jednadžbe, jed. (4.16), daje,


51

∫∫∫ ∂∂

=∂∂

+∂∂ ttt

0

2

2

00

ddd

δδδ

yy

Tay

y

Twy

x

Tw yx

Koristeći pravilo lančanog deriviranja, gornja jednadžba može se napisati i dovesti na

sljedeći oblik,

( ) ( )

∂∂−

∂∂

=

∂

∂+

∂∂

−+∂∂

==∫∫

000

0t

t

t

t

ddyy

yxy

x

y

T

y

Tay

y

w

x

wTTwy

x

Tw

δ

δδ

δ

(4. 21)

Zadnji član lijeve strane jed. (4.21) jednak je nuli jer se radi o nestlačivom strujanju.

Isto tako prvi član desne strane također je približno jednak nuli što izravno slijedi iz definicije

temperaturnog graničnog sloja.

Drugi član lijeve strane jednadžbe, u svom skraćenom obliku, predstavlja entalpiju

koju fluid odnosi iz graničnog sloja. Taj se član može raspisati na sljedeći način,

( ) ( ) ( ) ∞∞ =−=−= TwTwTwTwTw yyyyy ttt

t

,,000 δδδ

δ

Brzina kojom fluid „istječe“ iz graničnog sloja posljedica je smanjenje brzine u smjeru

neporemećenog strujanja pa se ona može s njom povezati upravo preko jednadžbe

kontinuiteta sa sljedećim izrazom.

( )∫ ∂∂

−= ∞∞

t

t

0

, d

δ

δ yx

TwTw x

y (4. 22)

Uvrštenjem gornje jednadžbe u jed. (4.21) daje konačno i oblik energijske jednadžbe

promatranog modela strujanja

( )[ ]

p

xc

qyTTw

x ρ

δs

0

t

d =−∂∂∫ ∞ (4. 23)

Derivacija unutar integrala može se izvući ispred tako da energijska jednadžba

promatranog modela poprima svoj konačni oblik,

( )[ ]

p

xc

qyTTw

x ρ

δs

0

t

dd

d=−∫ ∞ (4. 24)

Kako je ranije rečeno, jednadžba (4.24) predstavlja matematički zapis očuvanja

toplinske energije u integralnoj formi za nestlačivo strujanje. Iz nje se, zapravo, vidi da je

brzina promjene energije koju sa sobom odnosi fluid iz promatranog dijela graničnog sloja

jednaka toplinskom toku koji u njega dolazi kroz stijenku.


52

Iz te se jednadžbe vidi kako je temperaturni profil unutar graničnog sloja ovisi o

prenesenom toplinskom toku, ali i brzini strujanja. Stoga će biti potrebno što točnije

pretpostaviti profil temperature kako bi se mogla riješiti jed. (4.24) te iz tog rješenja slijedi

izraz za debljinu temperaturnog graničnog sloja.

Profil temperature moguće je, na isti način kao i profil brzine ranije, pretpostaviti na

temelju rubnih uvjeta koji moraju biti zadovoljeni. Ako se uvedu oznake,

s

s

TT

TTΘ

−−

=∞

i t

t δη

y= ,

uz ( )tηΘ , sljedeći su rubni uvjeti koji se mogu postaviti za profil nadtemperatura

( ) 00 =Θ

( ) 11 =Θ ( ) 01

d

d

t

=ηΘ

( ) 00d

d2

t

2

=ηΘ

(4. 25)

Pomoću rubnih uvjeta može se temperaturni profil aproksimirati kubnim polinomom

te odrediti nepoznate koeficijente tako da se konačno dobiva bezdimenzijski profil

nadtemperatura u obliku

3

tt2

1

2

3ηη −=Θ (4. 26)

Primjećuje se kako bezdimenzijski profil nadtemperatura ima istu formu kao i

bezdimenzijski profil brzine, a postaju identični u slučaju kada je Prandtlova značajka

jednaka jedinici, odnosno kada su debljine temperaturnog i hidrodinamičkog graničnog sloja

jednake.

Kako bi se došlo do izraza za debljinu temperaturnog graničnog sloja, δt, potrebno je

u jed. (4.24) uvrstiti poznati temperaturni profil, jed. (4.26) i profil brzina, jed. (3.51)

Prije postupka rješavanja jed. (4.24) valja skrenuti pozornost na problem koji se pri

tome u pojedinim slučajevima može javiti.

U slučaju da je tδ < δ , integracija se može provesti bez problema jer su poznati i

profil brzine i profil temperature duž čitavog područja integracije. Međutim, ako je tδ > δ ,

postoji problem s podintegralnom funkcijom i granicama integracije jer nakon y = δ umjesto

jed. (3.63), profil brzine opisuje jednadžba 1~ =xw . Osvrt na ovaj problem iznesen je na kraju

poglavlja, a za sada se nastavlja s izvodom, uz pretpostavku da je ipak tδ < δ .

Radi lakše integracije, jed. (4.24) se najprije svodi na bezdimenzijski oblik


53

( )[ ]

0t

1

0

ttt

t

d

dd1~

d

d

=∞

=

−∫

ηη

ηδδΘ

w

aΘw

xx (4. 27)

pri čemu vrijede bezdimenzijski omjeri

∞

=w

ww x

x~

s

s

TT

TTΘ

−−

=∞

t

t δη

y=

δδ

ϕ t= , t

t δη

y= iz čega slijedi

δηϕ

y=t

Nakon uvrštavanja navedenih supstitucija i izraza za bezdimenzijski profil brzina i

temperatura u prethodnu jednadžbu, ona nakon integracije i sređivanja poprima oblik

∞

=

−w

a

x 2

3

280

3

20

3

d

d 3

tt ϕϕδδ

(4. 28)

U općem slučaju, bez obzira na pretpostavke modela, omjer temperaturnog i

hidrodinamičkog graničnog sloja može biti funkcija koordinate x u slučaju ako fluid struji uz

stijenku s negrijanim ulaznim područjem.

Bez negrijanog ulaznog područja

U slučaju da se oba granična sloja počinju stvarati na istom mjestu, jed. (4.28.) se

može jednostavno integrirati s odgovarajućim rubnim uvjetom (na x = 0, δt= 0) pa je njezino

rješenje sljedećeg oblika

025,1

141 3

13

12

t

−−

−

==

Prϕ

δδ

ϕ (4. 29)

Negrijano ulazno (početno) područje

Ako postoji negrijano ulazno područje, tj. kada se temperaturni granični sloj počinje

stvarati na koordinati x = x0., jed. (4.28) se može riješiti ako se zbog ϕ < 1 drugi član u

okrugloj zagradi zanemari u odnosu na prvi. Tada ona glasi,

( )∞

=w

a

x10

d

dtt δϕδ

(4. 30)


54

Rješenje se gornje jednadžbe dobije integracijom uz rubni uvjet da na x = x0, δt = 0

3

1

3

1

4

3

0

t

025,1

1

Pr

x

x

−

==δδ

ϕ

(4. 31)

Izraz (4.31) daje omjer debljina temperaturnog i hidrodinamičkog graničnog sloja u

općem slučaju kada se temperaturni granični sloj počinje stvarati na koordinati x = x0.

Evidentno je da, ako se u jed. (4.29), zbog ϕ < 1, drugi član u okrugloj zagradi

zanemari u odnosu na prvi,. tada ona poprima isti oblik kao kad bi se u jed. (4.31) uvrstilo

x = x0. odnosno

025,1

3

1

t

−

=Pr

δδ

(4. 32)

Ovaj rezultat vrijedi kada je ispunjena pretpostavka da je ϕ < 1, a to je, prema jed.

(4.32) kada je Pr1/3 ≥ 0,94, odnosno kod fluida s Prandtlovom značajkom, Pr ≥ 0,93.

U jed. (4.32) se u pravilu konstanta na desnoj strani zamjenjuje jedinicom tako da je

u upotrebi široko prihvaćena opće poznata jednadžba

3

1

t−

= Prδδ

506,0 ≤≤ Pr (4. 33)

Slika 3-6. Usporedba jed. (4.29) i jed. (4.33) u funkciji Prandtlove značajke.


55

Gornja slika pokazuje utjecaj zanemarenog člana u jed. (4.29) u funkciji Prandtlove

značajke iz koje je očito da je primijenjena aproksimacija i više nego opravdana u čitavom

području definicije, 506,0 ≤≤ Pr .

Također se vidi da je za plinove, kod kojih je 0,6 ≤ Pr ≤ 1, omjer debljina

temperaturnog i hidrodinamičkog sloja veći od jedinice, tj. ϕ ≥ 1. Ipak, bez obzira na

usvojene aproksimacije, pogreška, koja se čini primjenom jed. (4.33) na plinovima je

dovoljno malena, tako da se njeni rezultati mogu koristiti i u takvim slučajevima strujanja.

Za kapljevine je Pr > 1 pa je polazna pretpostavka ispunjena, ali pri tome valja imati

na umu da za jako viskozne kapljevine, kao što su npr. viskozna ulja, nisu ispunjene ostale

pretpostavke teorije graničnog sloja.

U slučaju strujanja kapljevitih metala, za koje vrijedi 0,005 ≤ Pr ≤ 0,05, omjer

debljina temperaturnog i hidrodinamičkog sloja znatno je veći od jedinice, tj. ϕ � 1 pa

rezultati iznesene analize u njihovom slučaju ne vrijede. Npr. za živu pri 100 °C Pr = 0,0162

pa je ϕ = 3,952 iz čeg se vidi da je polazna pretpostavka u znatnoj mjeri narušena.

Egzaktno (Pohlhausenovo) rješenje

Iz činjenice da omjer debljina temperaturnog i hidrodinamičkog graničnog sloja ovisi

samo o Prandtlovoj značajci, slijedi da se bezdimenzijski profil nadtemperatura može

također prikazati kao funkcija jedne i to iste varijable, koja je već ranije definirana u

Blasiusovom rješenju, tj. može se pisati da ( )ηΘ=Θ . Rješenje ove funkcije izveo je još

Prandtlov student Ernst Pohlhausen po kojemu je egzaktno rješenje profila temperatura

dobilo ime.

Rješenje energijske jednadžbe, jed. (4.18), može se analitički izraziti oslanjajući se na

već izneseno Blasiusovo rješenje profila brzine.

2

2

y

Θa

y

Θw

x

Θw yx ∂

∂=

∂∂

+∂∂

(4.18)

pri čemu vrijedi ( )ηΘ=Θ uz

yx

w

νη ∞= (3.37)

Nakon uvrštavanja poznatog profila brzina i sređivanja, dobiva se obična

diferencijalna jednadžba


56

0

d

d

2d

d2

2

=+ηηΘ

fPrΘ

(4. 34)

sa sljedećim rubnim uvjetima:

( ) 00, =xΘ

( ) 1, =∞xΘ

(4. 35)

Rješenje Pohlhausenove jednadžbe može se izvesti analitički, i glasi

( )[ ]

( )[ ]∫

∫∞

′′

′′

=

0

**

0

**

d

d

ηη

ηηη

Pr

Pr

f

f

Θ (4. 36)

Vidi se da je bezdimenzijski profil nadtemperatura ovisan o Prandtlovom broju, a

može se izračunati iz gornje jednadžbe samo korištenjem numeričke metode. Rješenje

jed. (4.36) u ovisnosti o Prandtlovom broju prikazano je u bezdimenzijskom obliku na sl. 3-7.

Slika 3-7. Egzaktno rješenje bezdimenzijskog profila nadtemeperatura


57

Na gornjoj slici se jasno vidi da se ista nadtemperatura postiže za manje vrijednosti

varijable η kako Prandtlov broj raste. To znači da debljina temperaturnog graničnog sloja

pada s porastom Prandtlovog proja, što je u skladu s njegovom fizikalnom interpretacijom. Iz

slike 3-5, odnosno jed. (4.36) moguće je dobiti omjer debljina temperaturnog i

hidrodinamičkog graničnog sloja u ovisnosti o Prandtlovom broju, ako se vrijednosti

varijable η(δ t) podijeli s η(δ ). Ta je ovisnost prikazana dijagramski na slici 3-8.

Slika 3-8. Ovisnost omjera debljina temperaturnog i hidrodinamičkog sloja o Prandtlovom broju

Na prethodnoj se slici može primijetiti kako je funkcijska ovisnost omjera debljina

graničnih slojeva drugačija za male i za velike Prandtlove brojeve, koja je u općem obliku

dana sljedećim izrazom.

2

1

1t

−= PrC

δδ

1<<Pr (4. 37)

3

1

2t

−= PrC

δδ

1>>Pr (4. 38)

Valja istaknuti da se konstanta u jed. (4.38) neznatno razlikuje za Prandtlove brojeve

oko jedinice i za velike Prandtlove brojeve.


58

4.4.2 Konstantna gustoća toplinskog toka

Integralna metoda

U općem slučaju, ako fluid struji uz horizontalnu ravnu stijenku pri konstantnoj

gustoći toplinskog toka ili uz konstantnu temperaturu stijenke , debljine temperaturnih

graničnih slojeva će im se razlikovati zbog različitog intenziteta izmjene topline. Jednadžba

očuvanja energije, jed. (4.24), naravno, ostaje nepromijenjena, samo što joj se mijenjaju

rubni uvjeti. Polazi se od prilagođene energijske jednadžbe,

( )[ ]p

xc

qyTTw

x ρ

δs

0

t

dd

d=−∫ ∞ (4.24)

Ono što se mijenja to su rubni uvjeti na y = 0 i y = δt, koji za slučaj konstantne gustoće

toplinskog toka u dimenzijskom obliku glase:

s

0

qy

T

y

=∂∂

−=

λ,

( ) , t ∞= TxT δ,

0

t

=∂∂

=δyy

T

,

0

0

2

2

=∂∂

=yy

T (4. 39)

Identičnim postupkom kao i kod konstantne temperature stijenke, dolazi se do

temperaturnog profila i debljine temperaturnog graničnog sloja u slučaju rubnog uvjeta

konstantne gustoće toplinskog toka

λδδ s

2

t

3

t3

1

3

2 qyyTT

+−+= ∞ (4. 40)

31

03121t 15934,3

−= −−

x

xPrRe

x

δ (4. 41)

Uvrštavanjem jed. (4.41) u jed. (4.40) uz y = 0, dobiva se izraz za temperaturu stijenke

31

03121ss 13956,2

−+= −−∞

x

xPrRex

qTT

λ (4. 42)

U slučaju da se temperaturni i hidrodinamički granični sloj počinju stvarati na istom

mjestu, tj. na x0 = 0, izraz za temperaturu stijenke glasi,

3121ss 3956,2 −−

∞ += PrRexq

TTλ

(4. 43)


59

4.5 Lokalni koeficijent prijelaza topline

Već se ranije pokazalo da je konvektivni koeficijent prijelaza topline povezan s

temperaturnim profilom unutar graničnog sloja, pa su upravo iz tog razloga u prethodnom

poglavlju dana dva načina izvoda profila temperatura unutar laminarnog graničnog sloja,

egzaktnom i integralnom metodom. Shodno tome, u nastavku se daje izračun lokalnog, a

kasnije i prosječnog, koeficijenta prijelaza topline u bezdimenzijskom obliku.


Integralna metoda

Lokalna gustoća toplinskog toka na stijenci može se izraziti Fourierovim stavkom i

zapisati pomoću bezdimenzijskog profila nadtemperatura,

0t

s

s

t

s

0

s

t

=

∞∞

=

∂

−−

∂−

−=∂∂

−=

δ

δδ

λλ

y

y

xy

TT

TT

TT

y

Tq (4. 44)

Derivacija u gornjem izrazu, može se izračunati prema jed. (4.26) pa on postaje,

t

ss

2

3

δλ ∞−=

TTq x (4. 45)

Ako se gustoća toplinskog toka u gornjoj jednadžbi izrazi Newtonovim stavkom,

dobiva se sljedeći izraz za lokalni koeficijent prijelaza topline,

tts

s

2

3

2

3

δδ

δλ

δλ

α ==−

=∞TT

q xx (4. 46)

Nadalje, ako se u gornji izraz uvrste ranije dobiveni izrazi, jed. (3.55) i jed. (4.33),

dobije se konačni izraz za lokalnu Nusseltovu značajku.

3

1

2

1

331.0 PrRex

Nu xx

x ==λα

(4. 47)

Egzaktna metoda

Lokalna gustoća toplinskog toka, a time i lokalni koeficijent prijelaza topline može se,

naravno, dobiti točnije egzaktnom metodom, koristeći od ranije poznate identitete.

( )

0

ssd

d

=

∞∞−=

ηην

λΘ

x

wTTq x (4. 48)


60

0d

d

=

∞=ηην

λαΘ

x

wx (4. 49)

U gornjim jednadžbama potrebno je još samo odrediti prvu derivaciju

nadtemperature na stijenci da bi se dobilo egzaktno rješenje gustoće toplinskog toka i

koeficijenta prijelaza topline. Ona se može izračunati iz jed. (4.36) i glasi

( )( )∫

∞=

′′′′

=

0

**

0d

0

1

d

d

ηηη

ηPr

f

f

Θ

(4. 50)

Derivacija u gornjem izrazu ovisi o Prandtlovoj značajci, a prikazana je na slici 3-9.

Slika 3-9. Derivacija profila nadtemperature na stijenci u ovisnosti o Prandtlovoj značajci

Na temelju poznate bezdimenzijske derivacije nadtemperature na stijenci moguće je

dobiti lokalni iznos gustoće toplinskog toka i koeficijenta prijelaza topline.

Bezdimenzijski izraz za izračun lokalnog koeficijenta prijelaza topline dobije se iz jed.

(4.49)

0

2

1

d

d

=

=ηηΘ

ReNu xx (4. 51)

Ranije je rečeno, što se vidi iz slike 3-8, da se funkcijska ovisnost omjera debljina

graničnih slojeva o Prandtlovom broju razlikuje za slučajeve malih i velikih prandtlovih

brojeva. Ta je funkcijska ovisnost izravno povezana s derivacijom natemeprature pa su i

Pr (dΘ / dη )0

0,01 0,052

0,7 0,293

1 0,332

2 0,422

3 0,485

4 0,535

5 0,577

10 0,728

20 0,918

30 1,052

40 1,158

50 1,247

80 1,459

100 1,572


61

izrazi za Nusseltovu značajku u slučaju malih i velikih Prandtlovih brojeva analogni

funkcijskim ovisnostima danim u jed. (4.37) i (4.38). U nastavku su dani oblici jed. (4.51)

posebno za slučaj velikih i malih Prandtlovih brojeva.

2

1

565,0 xx PeNu =

≥

<

≥

410

ili 01,0

i 100

x

x

Re

Pr

Pe

(4. 52)

3

1

2

1

332,0 PrReNu xx = 506,0 ≤≤ Pr (4. 53)

3

1

2

1

339,0 PrReNu xx = 1>>Pr (4. 54)

Opća relacija lokalnog konvektivnog koeficijenta prijelaza topline

Churchill i Ozoe predložili su sljedeću empirijsku korelaciju za laminarno strujanje

preko ravne stijenke konstantne temperature, koja se pokazala dovoljno preciznom za cijeli

raspon Prandtlovih brojeva;

4

1

3

2

3

1

2

1

0468,01

3387,0

+

=

Pr

PrReNu x

x

100>xPe

(4. 55)


62

4.5.2. Chilton-Colburnova analogija

Chilton-Colburnova analogija, kao i ostale analogije u primjeni, počiva na činjenici da

postoji analogni način prijenosa impulsa i topline, koji je obrađen ranije u tekstu. Tako,

uspoređujući izraze za lokalni koeficijent otpora trenja, jed. (3.58) i lokalni Nusseltov broj,

jed. (4.53), primjećuje se kako između njih postoji sličnost, što navodi na činjenicu da se ta

dva pojma mogu međusobno povezati.

2

1

f 664,0−

= xx ReC (3.58)

3

1

2

1

332,0 PrReNu xx = (4.53)

Ako se podijele gornje dvije jednadžbe dobiva se tzv. Chilton-Colburnova analogija

3

1

1f2

−−= PrRe

Nu

Cx

x

x

3

1

f

2PrRe

NuC

x

xx = (4. 56)

Desna strana gornje jednadžbe naziva se lokalni „JH – faktor“ pa se ona u literaturi

može naći pod nazivom „Chilton-Colburnova JH – faktor analogija“ ili skraćeno

„JH - analogija“. Desna strana se često zapisuje pomoću nove bezdimenzijske značajke koja

se naziva Stantonova značajka, definirane kao,

∞

==wcPrRe

NuSt

px

xx ρ

α (4. 57)

Iz definicije slijedi fizikalna interpretacija Stantonove značajke kao omjer toplinskog

toka izmijenjenog konvekcijom i razlike entalpija fluida na istoj razlici temperatura. Uvede li

se Stantonova značajka u jed. (4.56), ona poprima svoj često korišteni oblik.

3

2f

2PrSt

Cx

x = (4. 58)

Gornja relacija vrijedi i ako se umjesto lokalnih vrijednosti uvedu prosječne

vrijednosti koeficijenta otpora trenja i koeficijenta prijelaza topline,

3

2mf

H2

PrStC

J == (4. 59)


63

Zanimljiva je činjenica da, iako je jed. (4.59) izvedena pod uvjetima laminarnog

strujanja uz ravnu stijenku bez gradijenta tlaka, ona vrijedi i za turbulentna strujanja s

gradijentom tlaka, što su pokazala eksperimentalna istraživanja.

Osim toga, upotrebljiva je i za turbulentna strujanja unutar cijevi uz sljedeće uvjete

60

1607,0

10000

>

<<

>

dL

Pr

Re

Povijesni značaj Reynoldsove1 i Chilton-Colburnove analogije je u tome da povezuju

koeficijent otpora trenja s koeficijentom prijelaza topline, a poznato je da su eksperimenti za

određivanje koeficijenta otpora trenja daleko brojniji i lakše provedivi od eksperimenata za

određivanje koeficijenata prijelaza topline.

Valja još napomenuti da se Chilton-Colburnova analogija može proširiti i na probleme

prijenosa mase, s obzirom da između načina prijenosa topline i mase također postoji

analogija. Potpuna analogija prijenosa impulsa, topline i mase u smislu navedenog se može

napisati sljedećom relacijom,

3

1

3

1

mf

2ScRe

Sh

PrRe

NuC== (4. 60)

4.5.3 Konstantna gustoća toplinskog toka

Integralna metoda

Newtonov zakon viskoznosti definira koeficijent prijelaza topline kao omjer gustoće

toplinskog toka na stijenci i razlike temperatura stijenke i slobodne struje. Stoga se

Nusseltova značajka može izraziti pomoću gustoće toplinskog toka na sljedeći način.

( )∞−==

TT

xqxNu x

x

s

s

λλα

(4. 61)

Kada se funkcijska ovisnost temperaturne razlike stijenke i slobodne struje iz jed.

(4.43) uvrsti u jed. (4.61), dobiva se bezdimenzijska jednadžba za izračun koeficijenta

prijelaza topline u slučaju da nema negrijane početne regije.

3121417,0 PrRex

Nu xx ==

λα

(4. 62)

1 Reynoldsova analogija povezuje koeficijent otpora trenja i koeficijent prijelaza topline na način StC 2mf = ,

ali ne uzima u obzir svojstva fluida. Chilton-Colburnova analogija se naziva još i modificirana Reynoldsova

analogija.


64

Egzaktna metoda

Ovisnost Nusseltove značajke o Reynoldsovom i Prandtlovom brojue može se dobiti i

egzaktnom metodom, čije je rješenje dano sljedećim izrazom

3121453,0 PrRex

Nu xx ==

λα

6,0≥Pr (4. 63)

Primjećuje se da izraz za Nusseltovu značajku u slučaju konstantne gustoće

toplinskog toka ima isti oblik kao i u slučaju konstantne temperature stijenke. To se i moglo

očekivat jer u pretpostavljenom modelu profil temperatura ne utječe na profil brzine, a u

fluidu i dalje dominiraju mikroskopski načini prijenosa. Jedina razlika je da je pri konstantnoj

gustoći toplinskog toka konstanta u izraz za Nusseltovu značajku veća za otprilike 30 %. To je

izravna posljedica toga što se u slučaju konstantne temperature stijenke, temperaturna

razlika između fluida i stijenke konstantno smanjuje što utječe na smanjenje intenziteta

prijenosa topline.

4.6 Prosječni koeficijent prijelaza topline

Koeficijent prijelaza topline, α, definiran je Newtonovim stavkom kao omjer gustoće

toplinskog toka, q, i razlike temperatura stijenke i slobodne struje, ∞−TTs, od kojih svaka

može biti funkcija prostorne koordinate, x. U slučajevima strujanja s konstantnom

temperaturom stijenke, gustoća toplinskog toka je ovisna o prostornoj koordinati, dok je u

slučajevima strujanja s konstantnom gustoćom toplinskog toka, temperatura stijenke ovisna

o koordinati u smjeru strujanja. Zbog toga se prosječni koeficijent prijelaza topline, αm,

definira pomoću osrednjenog toplinskog toka, qm, u problemima konstantne temperature

stijenke, a pomoću osrednjene temperaturne razlike stijenke i slobodne struje, ∞−TTs , u

problemima konstantne gustoće toplinskog toka.


Da bi fluid strujao uz ravnu ploču s konstantnom temperaturom stijenke, gustoća

toplinskog toka mora se mijenjati shodno promjeni njegove temperature. Zbog toga se, u

takvim slučajevima, definira srednja gustoća toplinskog toka, a povezano s njom i prosječni

koeficijent prijelaza topline.

( ) ( ) ( )∞∞∞ −=−=−== ∫∫∫ TTx

LTTxTT

Lxq

Lq

L

x

L

x

L

x sm

0

s

0

s

0

m d1

d1

d1

ααα (4. 64)

Shodno gornjoj jednadžbi, uz pretpostavku konstantnih fizikalnih svojstava, definira

se i prosječni Nusseltov broj


65

∫∫∫ ====L

x

L

x

L

x xx

NuxNu

xx

L

LLNu

000

mm dd

1d

1 λλ

αλλ

α (4. 65)

Ako se zadrži pretpostavka konstantnih fizikalnih svojstava, u slučajevima strujanja s

konstantnom temperaturom stijenke, vidi se da svi izrazi za lokalnu Nusseltovu značajku,

jednadžbe (4.52) – jed. (4.54), imaju isti oblik.

2

1

xx ReCNu = (4. 66)

Uvrštavanjem jed. (4.66) u jed. (4.65) moguće je dobiti oblik jedinstvenog izraza za

prosječnu Nusseltovu značajku za slučaj strujanja fluida preko ravne stijenke konstantne

temperature.

2

1

00

2

1

0

m 22ddd ReCLw

Cxx

xwCx

x

ReCx

x

NuNu

LL

x

L

x ===== ∞∞ ∫∫∫ νν

(4. 67)

Shodno gornjoj jednadžbi, izrazi za lokalnu Nusseltovu značajku, jednadžbe

(4.52) - (4.54), mogu se preformulirati u izraze za prosječne Nusseltove značajke.

2

1

m 13,1 PeNu =

≥

<

≥

410

ili 01,0

i 100

Re

Pr

Pe

(4. 68)

3

1

2

1

m 664,0 PrReNu = 506,0 ≤≤ Pr (4. 69)

3

1

2

1

m 678,0 PrReNu = 1>>Pr (4. 70)

Isto vrijedi i za Churchill i Ozoevu empirijsku korelaciju:

4

1

3

2

3

1

2

1

m

0468,01

6774,0

+

=

Pr

PrReNu

100>Pe

(4. 71)

Pri primjeni danih izraza valja paziti da nisu u znatnoj mjeri narušeni uvjeti

primjenjivosti lokalnih Nusseltovih značajki. S poznatim izrazom za definiciju prosječne

Nusseltove značajke, jed. (4.65) računaju se prosječni koeficijenti prijelaza topline.


66

mm Nu

L

λα = (4. 72)

4.6.2 Konstantna gustoća toplinskog toka:

S obzirom da se u slučajevima strujanja pri konstantnoj gustoći toplinskog toka

mijenja temperatura stijenke, prosječni koeficijent prijelaza topline definira se pomoću

osrednjene temperaturne razlike između stijenke i slobodne struje prema sljedećem izrazu.

∫∆=

−=

∞L

xTL

q

TT

q

0

s

s

sm

d1

α (4. 73)

Osrednjena temperaturna razlika stijenke i slobodne struje može se dobiti pomoću

lokalne temperaturne razlike, ako se ista izrazi pomoću lokalnog koeficijenta prijelaza

topline iz jed. (4.63).

3

1

2

1

s

s

6795,0 PrRe

Lq

TT λ=− ∞ (4. 74)

Prosječni koeficijent prijelaza topline dobije se uvrštavanjem jed. (4.74) u jed. (4.73)

3

1

2

1

s

sm 47167,1 PrRe

LTT

q λα =

−=

∞

(4. 75)

Tada je prosječni Nusseltov broj jednak

3

1

2

1

m 47167,1 PrReNu = (4. 76)


67

5 Uvjeti primjenjivosti modela

Iznesena razmatranja u ovom poglavlju opisuju dvodimenzijski model nestlačivog

laminarnog strujanja fluida uz ravnu stijenku. Osim tih pretpostavki, matematički model

uključuje i dodatna ograničenja, koja su uvedena u teoriji graničnog sloja pri procjeni reda

veličine pojedinih članova u konzervativnim zakonima. Te su pretpostavke bile uvedene bez

konkretnog kriterija ocjene kada su one u realnim primjerima ispunjene. Zbog toga se u

nastavku navode numerički kriteriji valjanosti izvedenih modela.

Kriterij laminarnog strujanja

Ako se strujanje odvija duž ravne stijenke, osnovna pretpostavka pri izvodu danih

izraza je da se strujanje odvija laminarno što znači da se osnovni načini prijenosa relevantnih

fizikalnih veličina odvijaju na mikroskopskoj razini. Kriterij ocjene načina strujanja, kako je

ranije rečeno, izražava se pomoću kritične vrijednosti Reynoldsove značajke, kritRe . Ako se

strujanje odvija uz Reynoldsove značajke manje od kritRe , strujanje će u pravilu biti

laminarno, u protivnom dolazi do prijelaznog i turbulentnog načina strujanja fluida. Pri tome

valja uočiti da je kritična Reynoldsova značajka, u ovom slučaju, definirana preko kritične

brzine strujanja slobodne struje. Također valja ponoviti da ne postoji čvrsta granica koja

razdvaja laminarni način strujanja od prijelaznog, već se u praksi koriste standardne

vrijednosti kritične Reynoldsove značajke, ovisno o geometrijskim uvjetima strujanja. U

ovom slučaju, za strujanja uz ravnu stijenku, bez većih poremećaja uzima se da kritična

vrijednost Reynoldsove značajke okvirno iznosi 5×105. Dakle, kriterij laminarnog strujanja

može se zapisati na sljedeći način:

( ) 5

krit 105×==<= ∞∞

µρ

µρ krit

wLRe

wLRe (3.68)

Kriterij nestlačivog strujanja

Druga važna pretpostavka izvedenog modela bila je da je strujanje nestlačivo. Pri

tome valja razlikovati pojam nestlačivog fluida od nestlačivog strujanja. Nestlačivo strujanje

podrazumijeva da razlike tlaka koje uzrokuju strujanje, bez obzira da li je tvar koja struji

stlačiva ili ne, nisu dovoljno velike da bi promijenile njenu gustoću. Nestlačivo strujanje

obično je ispunjeno kada fluid struji s Machovim brojem manjim od 0,3 što se općenito

može zapisati

3,0<=

∞

∞

c

wMa (3.69)

gdje je ∞c brzina zvuka neporemećene struje.


68

Brzina se zvuka, kao mali tlačni poremećaj, u općem slučaju definira kao drugi korijen

gradijenta tlaka s promjenom gustoće pri konstantnoj entropiji, odnosno

s

pc

∂∂

=ρ

(3.70)

Za nestlačive tvari, može se derivacija pod korijenom izračunati iz podataka u toplinskim

tablicama, koje nisu uvijek dostupne, pogotovo za krutine. Zbog toga se za nestlačive tvari,

brzina zvuka definira preko adijabatskog modula elastičnosti, KS preko kojeg se izračunava

brzina zvuka za kapljevine

s

pK

∂∂

=ρ

ρS (3.71)

ρSK

c = (3.72)

Vrijednosti adijabatskog modula elastičnosti, gustoće i brzine zvuka za vodu pri tlaku

1 bar, za različite temperature, dani su u Tablici 3-1.

Tablica 3-1. Brzina zvuka za vodu pri tlaku 1 bar

Temperatura GustoćaAdijabatski modul

elastičnostiBrzina zvuka

(°C) (kg/m3) (MPa) (m/s)

5 999,97 2033,9 1426,2

10 999,70 2094,0 1447,3

15 999,10 2147,0 1465,9

20 998,21 2193,4 1482,3

25 997,05 2233,5 1496,7

30 995,65 2267,6 1509,2

35 994,03 2296,1 1519,8

40 992,22 2319,3 1528,9

45 990,21 2337,6 1536,4

50 988,03 2351,1 1542,6

55 985,69 2360,2 1547,4

60 983,20 2365,1 1551,0

65 980,55 2366,1 1553,4

70 977,76 2363,5 1554,7

75 974,84 2357,4 1555,1

80 971,79 2348,1 1554,4

85 968,61 2335,7 1552,9

90 965,31 2320,5 1550,4

95 961,89 2302,6 1547,2


69

Kod idealnih plinova brzina zvuka može se izračunati iz jednadžbe izentrope, s

obzirom da je poznata veza između tlaka i gustoće kod izentropske promjene stanja.

TR

pc κ

ρ=

∂∂

=s

(3.73)

Kriterij ocjene disipacije viskoznih sila

Sljedeća važna pretpostavka bila je zanemarivanje utjecaja viskoznih sila na

promjenu unutarnje energije fluida. Ta se pretpostavka može numerički provjeriti

uvođenjem Eckertove i Brinkmanove značajke. Eckertova značajka definirana kao omjer

kinetičke energije fluida i razlike entalpija fluida na temperaturnoj razlici koja uvjetuje

prijenos topline, što se može zapisati sljedećim izrazom

( )∞∞

−=

TTc

wEc

sp

2

(3.74)

Načelno se može reći da se u strujanjima s malim vrijednostima Eckertove značajke,

članovi energijske jednadžbe koji se odnose na snagu tlačnih, viskoznih i masenih sila mogu

zanemariti. Pravi smisao ocjene snage viskoznih sila očituje se u Brinkmanovoj značajci koja

je definirana kao umnožak Eckertove i Prandtlove značajke, tj.

( )∞∞

−=⋅=

TT

wPrEcBr

s

2

λµ

(3.75)

Fizikalna interpretacija Brinkmanove značajke vidi se ako se njena definicija

transformira na sljedeći način

( )( )( )

y

T

wy

w

TT

ww

TT

wPrEcBr

∆∆

∆∆

=−−

=−

=⋅=∞

∞

∞∞

∞

∞

λ

µ

λµ

λµ

ss

20

Član u zagradi u brojniku gornjeg izraza predstavlja, analogno Newtonovom zakonu

viskoznosti, tangencijalno naprezanje, što znači da brojnik predstavlja snagu viskoznih sila.

Nazivnik, s druge strane, predstavlja gustoću toplinskog toka kada se dominantni način

prijenosa topline odvija na molekularnoj razini. To znači da Brinkmanova značajka

predstavlja omjer snage viskoznih sila i izmijenjene topline fluida s okolišem provođenjem. Iz

navedenog slijedi da se snaga viskoznih sila u energijskoj jednadžbi može zanemariti kada je

Brinkmanova značajka značajno manja od jedinice.


70

Ostali uvjeti primjenjivosti teorije graničnog sloja

Iz jed. (3.53) i jed. (4.52) – (4.54) može se zaključiti da koeficijent otpora trenja, kao i

koeficijent prijelaza topline na ulaznom bridu ploče, tj. na x = 0, teže beskonačnosti. Dakako

da to nije slučaj što bi se dalo zaključiti i iz fizikalnih interpretacija danih veličina. Model daje

takve nefizikalne rezultate jer je u okolini točke x = 0 značajno narušena pretpostavka da je u

Prandtlovoj procjeni reda veličine, ε ili εt mala veličina što znači da se neki članovi u

osnovnim jednadžbama modela ne mogu zanemariti, što pak ukazuje na činjenicu da teorija

graničnog sloja ne vrijedi u zoni nastrujnog brida.

Iz tog se razloga u literaturi navodi da unutar područja, x < 5δ, gdje je granični sloj još

uvijek relativno tanak, rezultati spomenute analize nisu zadovoljavajuće točni. Ta tvrdnja

postavlja područje primjenjivosti dane analize, koji se može zapisati sljedećom

nejednadžbom,

∞

>w

xν

600

(3.76)

Tek kad je zadovoljena gornja nejednadžba, moguće je primijeniti rezultate izvedenih

modela.

Također, u svim prijašnjim razmatranjima, svojstva fluida smatrala su se

konstantnima. U stvarnosti, λ, ρ cp, a pogotovo, μ mogu se jako mijenjati s temperaturom

unutar graničnog sloja. Čak i u tim slučajevima, rezultati su dovoljno točni ako se svojstva

očitavaju za srednju temperaturu između temperature stijenke i slobodne struje sloja, tj. za

temperaturu, Tm

2

sm

∞+=TT

T (3.77)

Također valja reći da iako svojstva ovise o tlaku, ta ovisnost je vrlo slaba i općenito se

ne uzima u obzir.

Premda je primjena teorije graničnog sloja prikazana na fizikalnom modelu koji je

karakterističan za tzv. otvorena strujanja, kod kojih se može prepoznati granica između

graničnog sloja i slobodne struje, primjena Prandtlovog postupka nije time uvjetovana. Bitno

je samo to, da li su u konkretnom slučaju pojedini prijenosi impulsa i topline zanemarivi u

nekom smjeru ili ne. Zbog toga se teorija graničnog sloja može primijeniti i na tzv. zatvorena

strujanja, kod kojih se ne može u cijelom području razlikovati granični sloj i slobodna struja.

Kod takvih strujanja, zbog obodnog utjecaja stijenke, uspostavlja se strujanje paralelno sa

stijenkom.

Documents

UZ RAVNU STIJENKU - fsb.unizg.hr · PDF filekontinuuma, kojoj se pridružuju makroskopska fizikalna svojstva. Dakle, za razliku od realne materije, kontinuum je moguće dijeliti na