Uvijanje - torzija - Почетна · PDF fileizlaz ulaz izlaz M=2kNm2 M=5kNm1 M=3kNm3 3 kNm 3 kNm-2kNm -2kNm + M t M tI M tII M 2 M 1 M 3 polje I polje II Otpornost materijala Uvijanje

11/22/2009

1

Uvijanje - torzija

Obrtni moment i moment uvijanja

Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka

Odnos modula elastičnosti i modula klizanja

Dimenzionisanje delova izloženih čistom uvijanju

Uvijanje - torzija

Otpornost materijala

Ako u preseku deluje samo moment torzije naprezanje je čisto uvijanje -torzija

- F

+ F

m t

m A

A

B

11/22/2009

2

Definicija uvijanja

Uvijanje je naprezanje pri kome se u svakom poprečnom preseku štapa javlja samo moment koji obrće oko ose štapa – moment uvijanja ili moment torzije Mt



Kod štapa koji je izložen uvijanju ili torziji deluje samo moment uvijanja dok ostale unutrašnje sile - aksijalna sila, transverzalna i moment savijanja ne postoje.

Uzročnici naprezanja su spoljašnji obrtni momenti koji deluju na štap u ravnima upravnim na njegovu osu


11/22/2009

3


Štap izložen dejstvu dva sprega

Da bi štap bio u ravnoteži momenti ovih spregova treba da budu međusobno jednaki po intenzitetu, a suprotnih smerova

F1

F1

F2

F2

d 1

d 2F d = F d = 1 1 2 2 M



Da bi se odredio unutrašnji moment uvijanja iskorišćena je metoda preseka

Štap se preseca zamišljenom ravni R

R

M

M z


11/22/2009

4


Svaki od delova treba da bude u ravnoteži

To je moguće ako je unutrašnji moment u uočenom preseku jednak obrtnom momentu suprotnog smera

Momenti se razlikuju samo po smeru saglasno zakonu akcije i reakcije

M

M

Mt

Mt

Mt

Mt

= M

= M



Moment uvijanja Mt, unutrašnji moment, smatra se pozitivnim ako obrće u smeru kazaljke na časovniku posmatran iz vrha normale na ravan momenta

Dijagram momenta uvijanja analiziranog štapa

M

M

M

M

Mt

+

z


11/22/2009

5


Primer transmisije gde se pogoni vratilo sa 5 kNm, a na dva izlaza prosleđuje 3 odnosno 2 kNm

Raspodela torzionog momenta merodavna za određivanje dimenzija vratila i napona u presecima ima izgled kao na slici

A B

izlaz izlazulaz

M =2kNm2 M =5kNm1 M =3kNm3

3 kNm3 kNm

-2kNm -2kNm

+

Mt

MtI

MtIIM 2 M 1

M 3

polje I polje II



Moment uvijanja Mt=MA

deluje u ravni B

Nastaje deformacija – pa vlakno se ab na spoljašnjem omotaču UVIJA na ab’, a vlakno

cd na cd’ za ugao g

Istovremeno se u ravni B zakrene Cd na Cb’ za

ugao q

a

b'd'

c

b

d

C

g1

q

F

-F

Mt

M Al

AB


11/22/2009

6


a

b'd'

c

b

d

C

g1

q

F

-F

Mt

M Al

AB

Iz trouglova Dabb’ i DCbb’ jednaki lukovi bb’

Lg1=Rq odnosno na nekom prečniku Lg=rq

Ugao naginjanja srazmeran je udaljenju od ose

001 ggg rzaR

r



R

r

1g

g

Tangencijalni, smicajni napon po poprečnom preseku se menja po zakonu prave linije

Za vlakno koje se poklapa sa geometrijskom osom tangencijalni napon je jednak nuli

Najveći je za r=R, max=1

C

= 1

rR

1

1


11/22/2009

7


12

EG

Između tangencijalnog napona i deformacije –klizanja postoji odnos

=Gg - Hukov zakon

Klizanje je srazmerno tangencijalnom naponu

G - modul klizanja

E – modul elastičnosti

Hukov zakon s=Ee

Modul klizanja

b'd'

b

d C

q

R

r

bb' = R = lq g1

dd' = r = lq g

g g= 1

rR



o

AA

t IR

dArR

rdAM 121

Tangencijalni napon deluje na dA, elementarnu površinu na nekom prečniku r

Ovo se svodi na

elementarnu silu dA

Zbir momenata elementarnih sila za tačku O daje moment torzije Mt

Io – polarni moment inercije

C

= 1

rR

1

1r

dA


11/22/2009

8

Najveći tangencijalni smicajni napon

1= max maksimalni tangencijalni

napon, MPa

I0 – polarni moment inercije, m4

W0 – polarni otporni moment

00

1maxW

M

I

RM tt

R

IW 0

0

MPa

m3


Ugao uvijanja u rad

1= max maksimalni tangencijalni napon,

MPa


G – modul klizanja, MPa

L - dužina, m

GR

l

GI

lM t max

0

q rad


11/22/2009

9

Ugao uvijanja u stepenima

1= max maksimalni tangencijalni napon,

MPa



L - dužina, m

GR

l

GI

lM t max

0

180180

q

o


Poasonov koeficijent

e – uzdužna dilatacija

eP – poprečna dilatacija

koeficijent zavisnosti poprečne dilatacije od uzdužne

Poasonov koeficijent je neimenovan broj

l

l1

b

h

epb

eph

ee -p


11/22/2009

10

Poasonov koeficijent i modul elastičnosti

0,3

0,34

0,33

0,37

0,25

1/6

[-]

2.1 . 105

0.7 . 105

1.1 . 105

1.0 . 105

1.0 . 105

0.3. 105

E [ M Pa ]

Čelik

Materijal

Aluminijum

Bakar

Mesing

Sivi liv

Beton


Veza modula elastičnosti i modula klizanja


E – modul elastičnosti, MPa

- Poasonov koeficijent

212

EG MPa


11/22/2009

11

Moduli klizanja i elastičnosti za čelik

G=8 104 MPa– modul klizanja

E=2,1 105 MPa - modul elastičnosti

=0,3 Poasonov koeficijent

Pa

m

NEEG

2

81046,2212

u starim jedinicama E=2,1 106 kp/cm2 G=8 105 kp/cm2


Zatezna čvrstoća i uvojna (torziona) čvrstoća

Pošto se u tablicama češće nalaze vrednosti zatezne čvrstoće za određeni materijal od vrednosti uvojne čvrstoće koristi se njihov odnos

MM s 6,05,0 -


11/22/2009

12

Dozvoljeni napon kod zatezanja

Dozvoljeni napon je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti


sss M

ddoz

Dozvoljeni napon kod uvijanja (torzije)

Dozvoljeni napon je količnik jačine na torziju, smicajne (torzione) čvrstoće, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti


M

ddoz

11/22/2009

13

Dozvoljeni torzioni (smicajni) napon

Pošto se u tablicama češće nalaze vrednosti dozvoljenog napona na zatezanje koristi se odnos

dd s 6,05,0 -


Dimenzionisanje vratila i štapova pri uvijanju

Dimenzionisanje dela prema maksimalnom torzionom naponu - uslov čvrstoće

Dimenzionisanje prema dozvoljenom uglu uvijanja po jedinici dužine - uslov deformabilnosti

ODABRATI NEPOVOLJNIJI KRITERIJUM– ODNOSNO VEĆE DIMENZIJE


11/22/2009

14

Dimenzionisanje prema najvećem torzionom naponu

Najveći napon pri uvijanju

Dobija se poprečni presek

Za kružni poprečni presek

dozt

W

M

0

1max

doz

tO

MW

316

doz

tMD


Dimenzionisanje prema dozvoljenoj deformabilnosti – dozvoljeni ugao uvijanja

Najveći ugao pri uvijanju

Dobija se poprečni presek

Za kružni poprečni presek

dozt

GI

Mqq

0

'

doz

tO

G

MI

q

332

doz

t

G

MD

q

m

raddozq


11/22/2009

15

Dimenzionisanje

Nakon određivanja prethodne dve vrednosti dimenzija poprečnog preseka iz:

Uslova čvrstoće

Uslova deformabilnosti

bira se računom dobijena veća vrednost


Kod torzionog naprezanja postoje tri osnovna zadatka

1. Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona i ugla deformacije

2. Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka

3. Poznat je poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalnog torzionog momenta


11/22/2009

16

1. Određivanje veličine napona i ugla deformacije

MPaW

M t

0

Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona i ugla deformacije

radGI

M t

0

q


2. Određivanje veličine poprečnog preseka

4

'm

G

MI

doz

tO

q

m

raddozq

Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka

3mM

Wdoz

tO


11/22/2009

17

3. Određivanje veličine torzionog momenta koji deo sme da prenese

'

'

doz

tdozOt

G

MGIM

qq

m

raddozq

Poznat je poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalnog torzionog momenta

NmWM dozt 0

Kao merodavna uzima se manja vrednost


Veza između obrtnog momenta i snage

Kada je poznata snaga koju prenosi analizirani deo (vratilo, štap) poznat je i obrtni moment

WMP

s

1

JodnosnoNmP

M


11/22/2009

18

Veza između obrtnog momenta i snage

Kada je poznata snaga koju prenosi analizirani deo (vratilo, štap) poznat je i obrtni moment

Wn

MP30

min

on

Nmn

PM

30

1min -n


Rezime

Moment uvijanja jednak je spoljašnjem obrtnom momentu suprotnog smera Mt=M

Kod uvijanja najviše se deformišu (uvijaju) spoljašnja vlakna, vlakna u osi se ne deformišu

Smicajni napon max najveći je na spoljašnjim vlaknima

G – modul klizanja

Hukov zakon: napon je proporcionalan proizvodu modula klizanja i ugla uvijanja

Maksimalni smičući napon je količnik momenta Mt torzije i W0 polarnog otpornog momenta

Maksimalni ugao uvijanja je količnik momenta torzije Mt i proizvoda modula klizanja i polarnog momenta inercije GI0


Documents

Uvijanje - torzija - Почетна · PDF fileizlaz ulaz izlaz M=2kNm2 M=5kNm1 M=3kNm3 3 kNm 3 kNm-2kNm -2kNm + M t M tI M tII M 2 M 1 M 3 polje I polje II Otpornost materijala Uvijanje