Uso de Distribuciones de Tamaño de Partícula para el ...148.206.53.84/tesiuami/UAMI13059.pdf · Evolución de una Distribución de Tamaños de Gota para Modelar un Proceso de Combustión

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA

LICENCIATURA EN INGENIERÍA EN ENERGÍA Evolución de una Distribución de Tamaños de Gota para

Modelar un Proceso de Combustión con Evaporación Relativa

SEMINARIOS DE PROYECTOS I Y II

PRESENTA

Rocío Meraz Dávila

ASESORES Dra. Elizabeth Maritza Salinas Barrios

Dr. Juan Manuel Zamora Mata México, D.F. Diciembre 2005

Evolución de una Distribución de Tamaños de Gota para Modelar un Proceso de Combustión con Evaporación Relativa

CONTENIDO

Pág. INTRODUCCIÓN 3 CAPÍTULO I COMBUSTIÓN Y CÁMARAS DE COMBUSTIÓN I.1 El Proceso de Combustión 5 I.2 Un Poco sobre Cámaras de Combustión 7 CAPÍTULO II DEDUCCIÓN HEURÍSTICA DE LA CONSERVACIÓN

DEL NÚMERO DE GOTAS II.1 Ecuación de Conservación del Número de Gotas 17 II.2 Ejemplo 22 CAPÍTULO III ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA DENSIDAD

NUMÉRICA UTILIZANDO UNA VELOCIDAD DE EVAPORACIÓN POR RADIACIÓN

III.1 Deducción de la Ecuación de Conservación de la Densidad Numérica 33 III.2 Valores de las Constantes para la Solución de n(x,t) 37 CAPÍTULO IV EVOLUCIÓN TEMPORAL DE LA CONSERVACIÓN DE LA MASA TOTAL DEL SISTEMA 40

CAPÍTULO V RESULTADOS NUMÉRICOS Y DISCUSIÓN V.1 Solución Numérica de la Ecuación de Conservación de la Densidad Numérica 42 V.2 Solución Numérica para la Fracción Masa Residente en el Sistema 49 CONCLUSIONES 55 REFERENCIAS 56 APÉNDICE A ECUACIONES DE CONSERVACIÓN PARA MEZCLAS

MULTICOMPONENTES, REACTIVAS DE UN GAS A.1 Ecuación de Continuidad 57 A.2 Ecuación de Continuidad para Sistemas Multicomponentes 58 A.3 Conservación del Momento 61 A.4 Conservación de la Energía 64 A.5 Conservación de la Masa 67 A.6 Ecuaciones Acopladas 70 APÉNDICE B QUEMADO DE UNA PARTÍCULA DE COMBUSTIBLE

EN UNA ATMÓSFERA OXIDANTE B.1 Análisis de la Predicción de la Rapidez de Quemado 78

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INTRODUCCIÓN En la mayoría de los sistemas industriales de combustión modernos el combustible es quemado en la forma de un sólido pulverizado o como un aerosol de gotas de combustible de tal manera que el proceso de combustión sea lo más rápido y más eficientemente posible. El modelado detallado de la distribución de tamaños de las partículas del combustible se vuelve de gran importancia debido a la transferencia de calor y masa. Aunque el análisis de la combustión es aproximado es necesario determinar parámetros promedio de la distribución, es decir, se toma un conjunto grande de partículas en vez de una descripción minuciosa de todo el intervalo. El punto inicial del proceso del modelado de la distribución, es la medición del tamaño de la distribución. Recientes avances en las técnicas de medición de muestras automatizadas han permitido mejoras considerables en muestreos estadísticos de distribución de tamaños de tal forma que la incertidumbre de los datos es considerablemente pequeña. Este tratamiento de datos con frecuencia es reportado en un histograma de población de partículas dentro de un intervalo discreto. En muchos casos el tratamiento de los datos de la distribución puede ser usado para muchos análisis aproximados en el proceso de combustión; sin embargo para un modelado matemático más detallado es conveniente usar una función de distribución con parámetros empíricamente determinados para relacionar el tamaño de la distribución. La aproximación tradicional para la selección de estas funciones de distribución se realiza para observar en detalle los mecanismos de formación de partículas y así deducir una forma funcional apropiada. Rosin y Rammler usaron esencialmente esta técnica para deducir la distribución de carbón pulverizado el cual ha sido subsecuentemente generalizado y usado para describir aerosoles de aceite. Desafortunadamente los procesos de pulverizados y de atomizado son extremadamente complejos debido a la relación directa que tienen las funciones de distribución con la física de los mecanismos de producción, (Williams, 1985). Esta teoría puede ser más eficiente en el análisis de la combustión de líquidos en aerosol, donde la forma de la velocidad del cambio del diámetro de la gota usualmente resulta en expresiones analíticamente simples para la evolución del aerosol. En el presente trabajo la ecuación de conservación de la densidad numérica para una distribución de partículas de cierto tamaño que se evaporan o se queman, se deriva y resuelve por una forma general de la velocidad de cambio del diámetro de la partícula. Esta ecuación se usa para deducir una evolución de la distribución que esta relacionada con la ley particular de la evolución y que describe completamente la forma en cómo la masa total de la suspensión cambia con el tiempo, que es el objetivo principal de este trabajo. La conservación de distribución provee un poderoso método de aproximación para analizar sistemas de combustión. Esto muestra como la teoría puede ser aplicada para combustibles en aerosol y también para la combustión de partículas sólidas de carbón. El material está organizado de la siguiente manera. En el primer capítulo se introduce al tema de la combustión en general, mostrando la importancia que tiene este proceso en ejemplos de

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la vida diaria como son la combustión que se produce en los seres vivos, así como también el papel que tiene este proceso en las grandes operaciones industriales; en este mismo capítulo también se realiza una breve descripción de una cámara de combustión, sus condiciones típicas, requisitos de operación y diseño, qué combustibles se utilizan en los procesos industriales dedicados, en específico, a la aviación, así también se habla de los aspectos físicos que se llevan a cabo en el proceso de combustión, como son la formación de gotas, dando un panorama general de la clasificación de los atomizadores, y por último se dan algunas recomendaciones, que son muy utilizadas en la industria, para la operación de la cámara de combustión, y así se llegue a un proceso de quemado exitoso. La deducción heurística de la conservación del número de gotas se presenta en el capítulo II, en donde se realizan las suposiciones pertinentes para simplificar el problema de la descripción de la distribución de partículas, así mismo se muestra un ejemplo para ilustrar esta distribución y analizar la conservación del número total de gotas. En el siguiente capítulo se hace la deducción de la ecuación de conservación de la densidad numérica, llegando a la solución general y al final se obtienen los valores de las constantes de ésta última, por medio de una regresión no lineal, a partir de datos experimentales reportados en la literatura. Con base a la densidad numérica, se obtiene la expresión para la evolución temporal de la conservación de la masa total del sistema en el capítulo IV. Con toda la teoría dada y las herramientas matemáticas utilizadas en los capítulos anteriores, se procede en el capítulo V a analizar los resultados obtenidos, a partir de una simulación que se encuentra realizada en el CD anexo, para diferentes funciones de distribución de tamaños de gotas en tiempos arbitrarios. En particular se encuentra que el número total de partículas en el sistema no se conserva, y que fue una de las suposiciones fuertes en este trabajo, sin embargo se predice de una manera efectiva el comportamiento del proceso de combustión, a través de un modelo de distribución de partículas. Esta conclusión y otras se amplían en la sección final de conclusiones.

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CAPÍTULO I

COMBUSTIÓN Y CÁMARAS DE COMBUSTIÓN En este primer capítulo se introducirá en términos generales al proceso de combustión, así como al funcionamiento de los diferentes tipos de cámaras de combustión y la importancia que hay en el diseño de éstas. I.1 El Proceso de Combustión Dentro de las reacciones químicas hay un tipo llamado “reacciones de combustión”.

Una reacción de combustión es una reacción de oxidación rápida en la que se libera energía luminosa y calorífica.

Los procesos de combustión y de oxidación tienen algo en común: la unión de una sustancia con el oxígeno. La única diferencia es la velocidad con que el proceso tiene lugar. Así, cuando el proceso de unión con el oxígeno es lo bastante lento como para que el calor desprendido durante el mismo se disipe en el ambiente sin calentar apreciablemente el cuerpo, se habla de oxidación. Si el proceso es rápido y va acompañado de un gran aumento de temperatura y en ocasiones de emisión de luz (llama), recibe el nombre de combustión.

Ésta consiste en una combinación química con el oxígeno de la atmósfera para dar dióxido de carbono y agua. Se obtiene una gran cantidad de energía que se utiliza con fines industriales y domésticos.

Un ejemplo de reacción de combustión puede ser la del metano (gas natural):

metano + oxígeno dióxido de carbono + agua + energía

CH4 + 2 O2 CO2 + 2 H2O + 890 kJ/mol

Las reacciones químicas implicadas en la combustión no suelen producirse de forma espontánea, al contrario de lo que sucede en la oxidación. Una fuga de gas puede permanecer un tiempo considerable sin que se produzca reacción alguna, pues es necesario un iniciador, como puede ser el contacto con una llama o chispa accidental, para que la combustión de comienzo.

Normalmente se requiere un aporte continuo de calor hasta que en un punto del material se alcanza la temperatura de inflamación y se produce la ignición. Una vez iniciada, la combustión se auto-alimenta debido al carácter exotérmico de las reacciones de oxidación, generando calor y transmitiéndolo a otras partes del mismo combustible.

Aunque poco frecuente, la combustión espontánea puede darse si un cuerpo se oxida fácilmente y disipa muy mal el calor generado en la oxidación, de manera que aumenta gradualmente su temperatura hasta alcanzar el punto de inflamación.

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Bajo determinadas condiciones de presión y temperatura, la combustión de ciertas sustancias puede ser extremadamente rápida, generando grandes cantidades de energía calorífica y de gases que se expanden y que pueden hacer estallar el recipiente que los contiene. En este hecho se fundamentan los explosivos.

Las aplicaciones de las reacciones de combustión son muy diversas. Pero las más importantes son las que se describen a continuación:

• La combustión en los seres vivos.

Los trabajos de Priestley y Lavoisier, llevados a cabo a finales del siglo XVIII, permitieron conocer que el mantenimiento de la vida en los seres vivos era posible gracias a reacciones internas de combustión que suministran la energía necesaria para mantener la actividad del organismo y, en el caso de animales de sangre caliente, la temperatura del propio cuerpo, venciendo el desequilibrio entre ésta y la del medio líquido o gaseoso que les rodea. En ambos procesos el aire que se respira produce la oxidación del carbono y el hidrógeno contenidos en la sangre, procedentes de la digestión de los alimentos ingeridos.

Si se realiza la combustión de esos alimentos en un laboratorio, se observa que se desprende una cantidad de energía superior a la generada por su oxidación en el organismo, si bien los productos finales son los mismos: dióxido de carbono y agua. Esa pérdida de energía aprovechable en el proceso respiratorio se debe a que su cadena de reacciones es muy distinta a la de una combustión ordinaria, que lleva implícita la formación de llama, evidentemente inexistente en la oxidación biológica, que debe verificarse dentro de los límites impuestos por las condiciones vitales del organismo, (www.atexport.com).

• Fuentes de energía.

El proceso de combustión tiene un gran impacto en la industria, ya que producto de este es el trabajo que se genera para poder mover grandes maquinarias y poder satisfacer las necesidades de toda una sociedad, como es la generación de electricidad, entre otras. Hoy en día se vive la problemática de un uso eficiente de estos combustibles fósiles, razón por la cual es indispensable el estudio de la combustión para poder optimizar este proceso y al mismo tiempo impactar de una manera positiva al medio ambiente y a la salud de los seres vivos que habitan en él.

Entre los compuestos de carbono e hidrógeno, los más utilizados como fuente de energía son: el carbón, el gas natural y los productos derivados del petróleo. Para que su combustión sea completa, se requiere que la cantidad de aire utilizado en la misma tenga el oxígeno necesario que permita transformar todo el hidrógeno en agua y el carbono en dióxido de carbono.

Si la cantidad de oxígeno empleado es inferior, la combustión se denomina incompleta y se caracteriza por la presencia de cuerpos no totalmente oxidados, como el venenoso monóxido de carbono. Tal es el caso de los gases que desprenden los automóviles, que contienen entre el 1% y el 8% de dicho gas, lo que representa un peligro potencial en calles estrechas o garajes mal ventilados.

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Cuando el aire utilizado en la combustión contiene mayor cantidad de oxígeno que la necesaria, el rendimiento disminuye, al utilizar parte de su calor para elevar la temperatura de una masa superior de aire que no contribuye en nada a la energía liberada.

Uno de los efectos más importantes y, por desgracia, más comunes de un mal proceso combustión es la contaminación del aire.

Esta contaminación consiste en la presencia en la atmósfera de una o varias sustancias en tales concentraciones que puedan originar riesgos, daños o molestias a las personas y al resto de seres vivos, perjuicios a los bienes o cambios de clima. Es por esto que es de vital importancia el estudio del proceso de combustión y poder proponer mejoras a éste.

I.2 Un Poco sobre Cámaras de Combustión La combustión en turbinas de gas tiene lugar en la cámara de combustión, ubicada entre el compresor y la turbina (figura 1).

Figura 1. Turbina de gas típica

La cámara consiste en un recipiente al cual ingresa el aire comprimido, al que se le añade el combustible que quemará en forma ininterrumpida. Los gases producto de la combustión dejan la cámara a temperatura y velocidad elevadas, para ser utilizados en impulsar la turbina y así generar potencia, (www.fi.uba.ar/materias/6730/Tomo2Unidad12.pdf). Las turbinas de gas tienen su uso principal en la aviación, ya sea como propulsoras por reacción o como máquinas turbohélice (aviones de ala fija) o turboeje (helicópteros). Entre las aplicaciones de superficie se cuentan las navales (turboeje), y aplicaciones industriales (generación de electricidad, bombeo de gas). También se emplean en pequeño número para incineración y para calefacción (hornos metalúrgicos). Condiciones típicas y requisitos de operación y diseño Las turbinas de gas operan en muy variadas condiciones, que requieren especial consideración en el diseño de la cámara de combustión.

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Para cubrir ciertos requisitos y a la vez obtener un diseño liviano para aplicaciones aeronáuticas se recurre a la filosofía de diseño de dividir los requerimientos por medio de una doble carcasa; una externa, que soporta la presión y está protegida de las altas temperaturas por una carcasa interna, perforada, que aísla del calor pero no soporta una diferencia de presión. Los requisitos a cumplir para una adecuada realización de la cámara de combustión son: • Combustión completa (eficiencia de la combustión) • Poca pérdida de presión total • Estabilidad de la combustión • Buena distribución de temperaturas en la salida • Operación aceptable en un amplio rango de riquezas de mezcla • Reencendido Combustibles y combustión Mezcla combustible La mezcla combustible está formada por el comburente (normalmente aire), típicamente a unas 20 atmósferas pero ocasionalmente (arranque) a una presión mucho menor, y a temperatura ambiente. Combustibles Típicamente los combustibles son hidrocarburos líquidos o gaseosos, aunque ha habido numerosos intentos de operar con polvo de carbón y otros sólidos. Entre los hidrocarburos líquidos se pueden citar los gasóleos y diesels, combustibles en aceite, keroseno y nafta, y entre los gaseosos se encuentran el gas natural y el gas licuado, y otros gases de proceso. Las turbinas aeronáuticas operan exclusivamente con combustibles líquidos de especificación precisa, particularmente el JP-1, Jet A-1 o Avtur (un keroseno de bajo punto de congelamiento), el JP-4, Jet B o Avtag (un keroseno de más amplio rango de destilación que el anterior) y el Jet A (versión similar al Jet A-1). Es de notar que los combustibles de uso industrial tienen límites especiales para las cenizas (corrosión), el vanadio y los álcalis (también causa de corrosión), la viscosidad (por problemas de bombeo a baja temperatura) y el punto de escurrimiento (congelación en aplicaciones marinas o bajas temperaturas ambiente). Aspectos físicos Combustión de rocíos La combustión de rocíos de combustibles líquidos en aire es un tema muy complejo, cuyos aspectos teóricos y prácticos están lejos de ser totalmente conocidos. Sin embargo, se pueden hacer las siguientes consideraciones:

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El combustible líquido habitualmente se quema a través de una suspensión de gotas generadas como consecuencia de su atomización. Las gotas provienen del atomizador y se dirigen hacia la zona de combustión, y en el pasaje se calientan como consecuencia de la radiación de la llama y de la transferencia de calor convectiva desde los gases calientes que la rodean. Ello produce la vaporización de los componentes más livianos del combustible, que se mezclan con el aire que rodea la gota y luego reaccionan. El combustible quema en fase gaseosa, no líquida, formando una pluma de llama del orden de 20 a 30 diámetros de largo. En la pluma se presentan procesos de evaporación, difusión mutua, mezcla y combustión. Al ser la llama continua la ignición se produce por aumento de la temperatura de la mezcla, por lo que es importante la velocidad a la que el fluido se evapora. Según el tipo de combustible, la gota puede ser completamente vaporizada, o parcialmente vaporizada dejando depósitos carbonosos residuales o partículas de coque. Los fuel oils pueden contener una cantidad significativa de azufre. El SO2 es el principal producto de la combustión del azufre con mezclas aire-combustible estequiométricas o más pobres; pero con el exceso de aire normalmente utilizado para la combustión satisfactoria puede formar SO3 y condensar como ácido sulfúrico a temperaturas más altas que las temperaturas de rocío normalmente esperadas. En este caso, pueden ser puestos en peligro los precalentadores de aire y otros equipos de recuperación de calor. La evaporación del fluido consume un calor latente, calor que es recibido de la llama por radiación y conducción. A medida que la gota se evapora su área disminuye proporcionalmente al cuadrado del radio, pero su masa es proporcional al cubo del radio. Luego, la absorción de calor se acelera, y puede concluir en la evaporación simple, la ebullición y/o explosión de la gota, o la coquización de la gota formando esferas de carbón o ceniza. Es por consiguiente vital el control del tamaño y la distribución de tamaño de las gotas del rocío. Inyección y Atomización El combustible sale del inyector como un chorro de líquido que inicialmente forma filamentos, luego se rompe en largos de hilos, y finalmente forma gotas, típicamente de entre 10 y 200 µm (www.fi.uba.or/materias/6730/Tomo2Unidad12.pdf). La atomización es el proceso de ruptura de la fase líquida continua del combustible, que lo transforma en gotas discretas. La Figura 2 muestra el proceso ideal a través del cual la superficie de una capa líquida se incrementa hasta formar gotas. Mientras la gota se evapora, el combustible evaporado tiende a permanecer cerca de ella, aumentando la concentración y por lo tanto la presión parcial de combustible cerca de la superficie, retardando la evaporación subsiguiente. Además, esto afecta más a las fracciones de hidrocarburos más pesadas y menos a las livianas, con lo que la gota se vuelve más densa y

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http://www.fi.uba.or/materias/6730/Tomo2


aumenta el riesgo de coquización. Es necesario entonces barrer el combustible evaporado de las cercanías de la gota para acelerar la evaporación.

Figura 2. Ruptura de una capa líquida en gotas

Esto se logra creando un flujo altamente turbulento, pero a costa de una pérdida de presión total por la creación de turbulencia, que es un proceso típicamente irreversible. Es necesario balancear el nivel de turbulencia con una adecuada atomización y control del rango de tamaños de gota para asegurar la penetración adecuada, es decir, el largo de la pluma de la llama, sin llegar a la coquización o el lavado de las paredes de la cámara con gotas sin evaporar. Además, la generación de turbulencia debe ser adecuada para todo el rango de flujo másico. La difusión turbulenta es de vital importancia pues controla la riqueza de la mezcla en la zona de la llama. Como el flujo turbulento es regulado con una adecuada atomización, entonces sería necesario tener un área variable para mantener el tamaño de gota. Esto no es práctico en los tamaños de orificio usuales, y se adoptan otras soluciones a este problema, respecto al tipo de atomizador Los atomizadores pueden ser clasificados dentro de dos grupos:

a) Atomizadores a presión, en el cual el combustible se inyecta a alta presión, y b) Atomizadores con fluido auxiliar, en el que el combustible se inyecta a presión

moderada y un fluido compresible (en general, aire o vapor) interviene en el proceso de atomización.

Para la atomización efectiva (gotas pequeñas) se requieren combustibles de baja viscosidad cinemática (menor que 15 mm2/s). Los combustibles livianos tales como el fuel oil N° 2, pueden ser atomizados a temperatura ambiente. Sin embargo, los combustibles más pesados deben ser calentados para producir la viscosidad deseada. El precalentamiento requerido varía desde 373 K (212 ºF) para combustibles N° 6, hasta 623 K (480°F) para productos de fondo de torre con vacío.

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a) Atomizadores a presión El más común de los atomizadores a presión es el tipo rotativo, como el que se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Atomizador Rotativo

Entrando en una pequeña copa a través de los orificios tangenciales, el combustible gira a alta velocidad. La salida de la copa forma un dique alrededor del extremo abierto, y el combustible derrama sobre el dique en la forma de una fina hoja cónica, que posteriormente rompe en finos filamentos y luego gotas. Dependiendo de la viscosidad del combustible, los rangos de operación van desde 0,69 a 6,9 MPa. Para combustibles más livianos es más efectiva la atomización mecánica. b) Atomizadores con fluido auxiliar En este caso la corriente de combustible se expone a una corriente de aire o vapor que fluye a alta velocidad. En la configuración de mezcla interna que se muestra en la Figura 4 el combustible y el fluido auxiliar se mezclan antes de la descarga a través de los orificios de salida del quemador.

Figura 4. Atomizador con fluido auxiliar

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En la nariz de mezclado externo, la corriente de combustible es impactada por la corriente del fluido auxiliar a alta velocidad, fuera de la nariz. En los sistemas de combustión industrial, el vapor es el medio de atomización preferido para estas narices. En el caso de las turbinas a gas es más fácilmente disponible el aire comprimido. La máxima presión del combustible es alrededor de 0,69 MPa, con la presión de vapor o aire mantenida entre 0,14 y 0,28 MPa en exceso por sobre la presión del combustible. Un atomizador bien diseñado generará una nube de gotas con un tamaño promedio de alrededor de 30 a 40 µm y un tamaño máximo de 100 µm para combustibles livianos. Para combustibles más pesados el promedio y el máximo pueden ser más grandes. Quemadores de combustible líquido La Figura 5 muestra la estructura típica de una llama de combustible líquido.

Figura 5. Llama típica de combustible atomizado

La figura 6 muestra un quemador de combustible líquido circular que se utiliza en calderas. Se utilizan una combinación de técnicas de estabilización, incluyendo típicamente giros. Es importante cotejar la trayectoria de la gota con la aerodinámica de la combustión de un quemador dado para asegurar una ignición estable y un buen rango de regulación. Algunos quemadores fueron diseñados como una combinación de quemadores de combustible líquido y gaseoso. En la Figura 7 se muestra un ejemplo de quemador con ventilador forzado para combustible líquido y gas de bajo NOx. Este es un diseño con aire en etapas, dividido en corrientes primaria, secundaria y terciaria.

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Figura 6. Quemador de caldera industrial

Figura 7. Quemador de combustible mixto

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En la figura 8, se ilustra un quemador de combustible líquido y gas con aire en etapas inducido.

Figura 8 Quemador mixto con aire inducido

Las emisiones de carbón no quemado (cenoesferas de coque primario) pueden ser reducidas: • Asegurando el tamaño promedio más chico posible de las gotas de combustible (por ejemplo, a través del calentamiento del combustible hasta la menor de sus viscosidades o por la optimización de la geometría del atomizador). • Incrementando la temperatura del aire precalentado para la combustión. • Quemando combustibles líquidos con alto contenido de vanadio (el vanadio cataliza el quemado del coque). A fin de producir reacciones químicas eficientes dentro del hogar de una caldera mediante la combinación del aire y el combustible, resulta necesario que: • El régimen aire-combustible responda al rango de operación de la caldera. • En los productos de la combustión sea mínimo el exceso de aire y contenido de combustible no quemado. • La disposición de los quemadores y el diseño del hogar demanden la mínima inversión. • Prevalezca la seguridad de la llama dentro de todo el rango de operación; incluyendo los arranques, salidas de servicio, variaciones de carga y cambios de combustible. • El diseño y los materiales utilizados respondan a normas de instituciones reconocidas. Quemador de combustibles en aceite Atomizan el combustible a fin de ofrecer la mayor superficie de contacto con el aire de combustión, que a la vez dispersa las partículas convenientemente dentro del hogar, para

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formar una mezcla aire-combustible de rápida ignición. Los procedimientos más difundidos son la atomización mecánica, con vapor o con aire. Para que la atomización sea la correcta, se debe reducir la viscosidad a valores convenientes, para lo que resulta necesario el calentamiento previo del combustible. Sin embargo, si se superan las temperaturas máximas admisibles, se corre el riesgo de formación de gases que interrumpan el bombeo de combustible y en consecuencia se produzcan fallas en la ignición. También es importante que el combustible no contenga ácidos, arenilla, u otras materias extrañas que puedan taponar o dañar los orificios de los quemadores y sus válvulas de control. Otras variantes de los atomizadores con fluido auxiliar y a presión son el de tipo vapor y el de tipo presión mecánica, respectivamente. Atomizadores a vapor La mezcla combustible en aceite-vapor en el interior de la pastilla, produce una determinada emulsión que se atomiza en el hogar por efecto de la rápida expansión del vapor. El fluido suministrado como medio de atomización debe ser seco, dado que unas pequeñas gotas de agua resultan suficientes para provocar pulsaciones y fallas de ignición. De ser posible, resulta preferente la utilización de vapor. La única desventaja es la demanda de vapor, que en las grandes unidades producen sensibles pérdidas térmicas por chimenea, salvo en aquellas que derivan mucho vapor a procesos con baja recuperación de condensados, en cuyo caso el consumo resulta relativamente despreciable. Atomizadores a presión mecánica En estos casos la atomización del combustible en aceite se obtiene mediante su propia presión a través de placas atomizadotas adecuadas a este combustible. El atomizador a presión mecánica con retorno se utiliza en muchas instalaciones marinas y en aquellas instalaciones terrestres donde la atomización con vapor resulta impracticable. Para carga máxima, la presión mecánica oscila entre 40 y 68 kg/cm2, dependiendo del rango de carga y tipo de combustible. El combustible en aceite fluye por ranuras que descargan tangencialmente en la cámara de turbulencia para después desprenderse a través de un orificio calibrado y formar la fina neblina de conformación cónica requerida para la ignición. El combustible sobrante retorna al sistema en forma regulada desde la mencionada cámara. Son convenientes para atender variaciones de carga sin cambiar las placas atomizadotas ni la cantidad de quemadores en servicio. Rango de operación del quemador Se define como el cociente entre la máxima y mínima cantidad de combustible que se quema en condiciones seguras y eficientes. A modo de ejemplo, el rango 4 en una caldera de 45000 kg/h, significa que podrá disminuir carga su hasta 12000 kg/h sin necesidad de apagar quemadores ni cambiarle pastillas atomizadoras. La masa de aire real deberá superar la teórica, a fin de facilitar la existencia de un exceso de aire capaz de asegurar la combustión completa dentro del hogar, con mínima pérdida de calor sensible por chimenea; reducir la

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formación de escoria y mejorar la eficiencia como consecuencia de la mayor limpieza de las superficies involucradas en la transferencia de calor. El diseño del quemador ocasionará bajo costo de mantenimiento cuando la radiación recibida resulte mínima, y se facilita la reparación o recambio de las partes componentes en servicio. Dentro del rango de operación, se obtiene un buen funcionamiento si se cumplen las siguientes condiciones: • Cámara de combustión de sección transversal relativamente pequeña en la zona del quemador, • 68 kg/cm2 en el quemador a plena carga, • Temperatura del aire de combustión sensiblemente mayor que la del medio ambiente, y • Caída de presión de 200 a 300 mm de columna de agua. Un buen sistema con regulación de retorno diseñado y operado adecuadamente, podrá ofrecer un proceso de combustión tan eficiente como el de un atomizador a vapor. Exceso de aire Para altas cargas, la distribución de combustible habitualmente trabaja en forma correcta, no así la del aire. Ello obliga a trabajar con cierto exceso de aire para asegurar una combustión completa en todos los quemadores. En la mayoría de las calderas es posible operar con 5 a 7 % de exceso de aire en la salida del hogar. Si se pone especial atención en el diseño y la operación, las unidades de gran tamaño pueden reducir el exceso de aire al 2,5 %, sin que resulten excesivos los combustibles no quemados. Para compensar el deterioro de la combustión provocado por la baja turbulencia durante el funcionamiento con cargas parciales, habría que incrementar el exceso de aire, en especial cuando todos los quemadores se encuentran en servicio.

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CAPÍTULO II

DEDUCCIÓN HEURÍSTICA DE LA CONSERVACIÓN DEL NÚMERO DE GOTAS II.1 Ecuación de Conservación del Número de Gotas Las siguientes imágenes, (Enciclopedia Encarta 99, Microsoft Corporation) ayudarán a visualizar el proceso de combustión y así poder entender las suposiciones a formular. Esta figura sólo es un ejemplo de un sistema de combustión.

Figura 9. Turboventilador

La Figura 10 ilustra el funcionamiento por etapas de algunas turbinas de reacción. Etapas del funcionamiento de las turbinas de reacción Etapa 1. Succión de aire. Etapa 2. Compresión de aire. Etapa 3. Combustión Etapa 4. Expansión de gases de la combustión. Etapa 5. Emisión de gases.

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Figura 10. Proceso de combustión en distintos turbinas de reacción

A continuación se realiza un acercamiento de la etapa 3, en donde se observa la salida del combustible por medio del inyector en forma de hilos hasta llegar a convertirse en gotas de diferentes tamaños de diámetro (como se explicó previamente en el capítulo I).

Salida del combustible a travésdel inyector (formación de gotasdesde el atomizador)

Evaporaciónt+∆t

::

::::

:::

:

:

::

:::::

:

::

::

: ::

:::

:

Evaporaciónt

Fragmentación, coalescencia y evaporación

Figura 11. Zoom de la distribución de tamaños de gotas en el sistema cámara de combustión

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Como se observa, cuando el combustible sale del inyector para dirigirse a la cámara de combustión, tan sólo por el simple hecho de estar en contacto con un ambiente muy caliente, las gotas de diversos tamaños comienzan a experimentar varios efectos, entre éstos se encuentran el de evaporación, pero también por la fuerza a la que son lanzadas las gotas, por el tipo de inyector, experimentan fragmentación y coalescencia. Sin embargo al continuar su recorrido y estar más tiempo en contacto con la flama, el único efecto es el de la evaporación, disminuyendo así su diámetro hasta que en un tiempo t+∆t, las gotas disminuyen aún más y finalmente se evaporan completamente. El objetivo principal de este trabajo será enfocarse sólo a los efectos de evaporación en un tiempo t y en un tiempo t+∆t, por lo que se realizarán las siguientes suposiciones. Suposiciones: Se asume que no hay coalescencia, fragmentación ni colisiones en las gotas.

Todas las gotas se encuentran inmersas en un mismo medio y bajo las mismas

condiciones Se asume que todas las gotas son esféricas

El número de gotas se conserva, es decir, no se evaporan completamente.

La descripción de la distribución de partículas se efectúa mediante la densidad numérica de partículas, que se define como:

n(x,t)dx que es el número de gotas por unidad de volumen, cuyos diámetros se encuentran en el intervalo de x a x + dx a un tiempo t. En un intervalo de tiempo ∆t se puede observar lo siguiente:

El diámetro de una gota es función del tiempo x = x(t). A medida que transcurre el tiempo, el diámetro de la gota disminuye por efectos de

evaporación. x

t+∆tt

t

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Por medio de un desarrollo de Series de Taylor se puede aproximar la solución de la función del diámetro en un cierto intervalo de tiempo.

)()()(

)()()(

)()()(

txtxttx

tdtdxtxttx

tttdtdxtxttx

∆+=∆+

∆+=∆+

−∆++=∆+

&

Donde &x , es la rapidez de cambio del diámetro, en la que se involucran fenómenos de transferencia de calor, ya sea sólo por radiación o por radiación y conducción a la vez. En este trabajo sólo se abordarán estos dos casos, puesto que también existen otros efectos involucrados como es la transferencia de calor por convección, la transferencia de masa y el movimiento relativo de la gota. Caso 1 Cuando &x involucra fenómenos de transferencia de calor sólo por radiación, entonces la rapidez de cambio del diámetro se describe mediante la siguiente ecuación:

kx −=& Donde k es la constante de evaporación, cuyo valor dependerá del tipo de combustible que se esté estudiando. El signo negativo es por convención, puesto que las partículas se evaporan y reducen su tamaño al transcurrir el tiempo sin desaparecer completamente.

tk)t(xtx)t(x)tt(x ∆−=∆−=∆+ & por lo que:

)t(x)tt(x <∆+

Como se puede observar entre más grande sea la constante de evaporación de un combustible, más rápido comenzarán a evaporarse sus gotas, puesto que están en contacto con un medio muy caliente (radiación). Caso 2 Cuando x& involucra fenómenos de transferencia de calor por conducción, entonces x& se describe mediante la siguiente ecuación:

xkx −=&

La velocidad de cambio del diámetro depende del tamaño de la gota . )(xx& Por lo que x& se comporta de la siguiente manera:

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x

x En la medida que se tengan combustibles con constantes de evaporación grandes los diámetros de las gotas disminuirán y la rapidez de cambio del diámetro aumentará, es decir entre más pequeñas son las gotas, más rápido se evaporarán, ya que además de estar en contacto con un medio muy caliente (radiación), la transferencia de calor también se lleva a cabo de la capa límite de la gota hacia el interior de ésta (conducción), por lo que si se cuentan con diámetros cada vez más pequeños, la transferencia de calor es más rápida. Por tanto la función del diámetro en un intervalo de tiempo es:

txktxttx ∆−=∆+ )()(

Debido a que el número de partículas se conserva, puesto que las gotas no desaparecen, es decir, no se evaporan completamente, sólo el diámetro evolucionará en el tiempo, por lo que se tendrán diferentes distribuciones de tamaños de gotas n(x,t) a lo largo del tiempo.

( , ) ( , ) ( )n x t dx n x x t t t dx t t= + ∆ + ∆ + ∆& [=] Número de gotas

Tomando el caso 2, en donde se presentan los fenómenos de transferencia de calor por radiación y conducción, se sabe que el diámetro y un tiempo posterior disminuye:

txktxttx ∆−=∆+ )()(

Derivando a ( )x t t+ ∆ :

[ ]

∆+=∆+

∆+=∆+

∆+=∆+

∆+=∆+

tdx

xddxttdx

tdxxd

dxttdx

tdx

xddxdx

dxttdx

txxdxd

dxttdx

&

&

&

&

1)(

1)(

)(

)(

Por lo tanto el número de partículas por unidad de volumen se conserva a través del tiempo, es decir la identidad de la partícula se conserva y únicamente cambia el tamaño del diámetro.

( , ) ( , ) 1 dxn x t dx n x x t t t dx tdx

= + ∆ + ∆ + ∆

&&

21


Lo anterior se puede demostrar mediante un ejemplo resuelto de forma discreta que se presenta en la siguiente subsección. II.2 Ejemplo Partiendo de la ecuación de la conservación del número de gotas

( , ) ( , ) 1 dxn x t dx n x x t t t dx tdx

= + ∆ + ∆ + ∆

&&

Se consideran valores arbitrarios y adimensionales para k y ∆t y el caso 2 para la velocidad de evaporación. k = 0.35 [mm2/s] ∆t = 1 s

xkx −=&

De la ecuación para encontrar el número de gotas, se derivará el término dxxd&

21

x35.0)x35.0(.

dxd

x35.0

dxd

xk

dxd

dxxd

==

−=

−= −&

2x35.0

dxxd

=&

Por otro lado se sabe que el nuevo diámetro que tiene un grupo de gotas está dado por:

tx)t(x)tt(x ∆+=∆+ &

Ahora se propondrán en una tabla varios grupos de gotas con diferentes intervalos de tamaños de diámetro, para un tiempo inicial t (Tabla 1).

22


Tabla 1. Intervalos de tamaños de diámetro para grupos de gotas en un tiempo inicial t

Grupo n(x,t)dx Intervalo x (t)

1 6 [0.60, 0.61] 2 7 [0.61, 0.62] 3 8 [0.62, 0.63] 4 9 [0.63, 0.64] 5 10 [0.64, 0.65] 6 11 [0.65, 0.66] 7 12 [0.66, 0.67] 8 13 [0.67, 0.68] 9 14 [0.68, 0.69]

10 15 [0.69, 0.70] 11 16 [0.70, 0.71] 12 17 [0.71, 0.72] 13 18 [0.72, 0.73] 14 19 [0.73, 0.74] 15 20 [0.74, 0.75] 16 20 [0.75, 0.76] 17 19 [0.76, 0.77] 18 18 [0.77, 0.78] 19 17 [0.78, 0.79] 20 16 [0.79, 0.80] 21 15 [0.80, 0.81] 22 14 [0.81, 0.82] 23 13 [0.82, 0.83] 24 12 [0.83, 0.84] 25 11 [0.84, 0.85] 26 10 [0.85, 0.86] 27 9 [0.86, 0.87] 28 8 [0.87, 0.88] 29 7 [0.88, 0.89] 30 6 [0.89, 0.90]

A continuación se realizará un seguimiento a lo largo de un intervalo de tiempo [t , t+∆t], para un grupo de gotas de cierto diámetro. Esto servirá como muestra para los demás grupos de gotas, explicando el razonamiento que se hizo para obtener la información pertinente. Se nombrará a un primer grupo de gotas en cualquier tiempo inicial t y una x∈[0.60,0.61] cuya n(x,t)dx = 6, este valor puede ser pensado en millones de gotas, por ejemplo. Donde dx ~ ∆x = 0.01 Por lo tanto

60001.06

x6)t,x(n ==∆

≈

Lo anterior significa que en esta casilla de la malla se tiene:

23


• Una distribución n(x,t) ≈ 600 • El número de gotas se conserva, n(x,t) dx = 0 • El ancho de la casilla es ∆x = 0.01

Es decir:

n(x,t) ≈ 600

0.610.60

n(x,t)dx = 6

∆x = 0.01

Después de un tiempo t+∆t

9722.1x35.01)x(

dxd1

6.02 =

+=+ &

Entonces el nuevo ∆x es:

0197.0)9722.1)(01.0()x(dxd1dx ==

+ &

El nuevo intervalo del diámetro va desde:

[ ]60.035.060.0)t(x)t(x)tt(x 60.0i −=∆+=∆+ &

0166.0)tt(xi =∆+ hasta un diámetro de:

0363.00197.00166.0)tt(x)tt(x)tt(x 6,0f =+=∆+∆+∆+=∆+ 0363.0)tt(x f =∆+

Por lo tanto ]0363.0,0166.0[)tt(x ∈∆+ Considerando que hay conservación del número de gotas,

6tdx

xd1dx)tt,txx(ndx)t,x(n =

∆+∆+∆+= &

&

Entonces n en t+∆t, x(t+∆t) es:

24


2256.3040197.06

tdx

xd1dx

dx)t,x(n)tt,txx(n ==

∆+

=∆+∆+&

&

2256.304)tt,txx(n =∆+∆+ & Esto significa que la nueva casilla ahora tiene las siguientes características:

0.03620.0166

n(x,t)dx = 6

n(x,t) ≈ 304.2256 ∆x (t+∆t) = 0.0197 En la Tabla 2 se presentan los datos obtenidos. En la gráfica 1 se puede observar como la distribución en un tiempo t+∆t se abre mucho más y además es menos alta que la distribución

inicial. El término

∆+ t

dxxd1dx & es precisamente el alargamiento que toma cada celda de la

malla después de un tiempo t+∆t, es decir es una especie de factor de corrección que sirve para ubicar hacia qué nuevos intervalos de diámetro emigraron los grupos de gotas. Además también se observa tanto en la tabla como en la gráfica, las celdas en donde se encuentran cada número de gotas con sus respectivos intervalos de diámetro al tiempo t+∆t, se traslapan unas con otras, debido a que se tomaron de una forma estricta los valores de las ∆x, es decir no se aproximaron estos valores, considerándose diferente el valor final de un intervalo del inicio de otro. Posteriormente se comprueba que efectivamente el número total de gotas es el mismo tanto a un tiempo inicial como a un tiempo posterior, mediante el cálculo del área bajo la curva.

25


Tabla 2. Evolución de los diámetros y de las distribuciones de las gotas después de un tiempo (t+∆t)

xi(t) ∆x(t) xf(t) Intervalo x (t) n(x,t)dx n(x,t) xi(t+∆t) ∆ x (t+∆t) xf(t+∆t) Intervalo x (t+∆t)

0.6 0.01 0.61 [0.60, 0.61] 6 600 0.0167 0.0197 0.0364 [0.0167,0.0364] 6 304.22540.61 0.01 0.62 [0.61, 0.62] 7 700 0.0362 0.0194 0.0556 [0.0362,0.0556] 7 360.71180.62 0.01 0.63 [0.62, 0.63] 8 800 0.0555 0.0191 0.0746 [0.0555,0.0746] 8 418.73640.63 0.01 0.64 [0.63, 0.64] 9 900 0.0744 0.0188 0.0933 [0.0744,0.0933] 9 478.25680.64 0.01 0.65 [0.64, 0.65] 10 1000 0.0931 0.0185 0.1117 [0.0931,0.1117] 10 539.23120.65 0.01 0.66 [0.65, 0.66] 11 1100 0.1115 0.0183 0.1298 [0.1115,0.1298] 11 601.61810.66 0.01 0.67 [0.66, 0.67] 12 1200 0.1297 0.0180 0.1477 [0.1297,0.1477] 12 665.37680.67 0.01 0.68 [0.67, 0.68] 13 1300 0.1476 0.0178 0.1654 [0.1476,0.1654] 13 730.46690.68 0.01 0.69 [0.68, 0.69] 14 1400 0.1653 0.0176 0.1829 [0.1653,0.1829] 14 796.84880.69 0.01 0.7 [0.69, 0.70] 15 1500 0.1828 0.0174 0.2001 [0.1828,0.2001] 15 864.48370.7 0.01 0.71 [0.70, 0.71] 16 1600 0.2 0.0171 0.2171 [0.2,0.2171] 16 933.3333

0.71 0.01 0.72 [0.71, 0.72] 17 1700 0.2170 0.0169 0.2340 [0.2170,0.2340] 17 1003.36030.72 0.01 0.73 [0.72, 0.73] 18 1800 0.2339 0.0168 0.2506 [0.2339,0.2506] 18 1074.52790.73 0.01 0.74 [0.73, 0.74] 19 1900 0.2505 0.0166 0.2671 [0.2505,0.2671] 19 1146.80030.74 0.01 0.75 [0.74, 0.75] 20 2000 0.2670 0.0164 0.2834 [0.2670,0.2834] 20 1220.14260.75 0.01 0.76 [0.75, 0.76] 20 2000 0.2833 0.0162 0.2996 [0.2833,0.2996] 20 1232.87670.76 0.01 0.77 [0.76, 0.77] 19 1900 0.2995 0.0161 0.3155 [0.2995,0.3155] 19 1183.09620.77 0.01 0.78 [0.77, 0.78] 18 1800 0.3155 0.0159 0.3314 [0.3155,0.3314] 18 1131.84860.78 0.01 0.79 [0.78, 0.79] 17 1700 0.3313 0.0158 0.3470 [0.3313,0.3470] 17 1079.17360.79 0.01 0.8 [0.79, 0.80] 16 1600 0.3470 0.0156 0.3626 [0.3470,0.3626] 16 1025.11040.8 0.01 0.81 [0.80, 0.81] 15 1500 0.3625 0.0155 0.3780 [0.3625,0.3780] 15 969.6970

0.81 0.01 0.82 [0.81, 0.82] 14 1400 0.3779 0.0153 0.3932 [0.3779,0.3932] 14 912.97090.82 0.01 0.83 [0.82, 0.83] 13 1300 0.3932 0.0152 0.4084 [0.0392,0.4084] 13 854.96870.83 0.01 0.84 [0.83, 0.84] 12 1200 0.4083 0.0151 0.4234 [0.4083,0.4234] 12 795.72620.84 0.01 0.85 [0.84, 0.85] 11 1100 0.4233 0.0150 0.4383 [0.4233,0.4383] 11 735.27850.85 0.01 0.86 [0.85, 0.86] 10 1000 0.4382 0.0148 0.4531 [0.4382,0.4531] 10 673.65970.86 0.01 0.87 [0.86, 0.87] 9 900 0.4530 0.0147 0.4678 [0.4530,0.4678] 9 610.90310.87 0.01 0.88 [0.87, 0.88] 8 800 0.4677 0.0146 0.4823 [0.4677,0.4823] 8 547.04130.88 0.01 0.89 [0.88, 0.89] 7 700 0.4823 0.0145 0.4968 [0.4823,0.4968] 7 482.10600.89 0.01 0.9 [0.89, 0.90] 6 600 0.4967 0.0144 0.5112 [0.4967,0.5112] 6 416.1282 Σ Número total de gotas = 390

∆+∆+∆+ t

xdxd1dx)tt,)ttt(x(n &

)tt),tt(x(n ∆+∆+

26


Gráfica 1. Evolución de las Distribuciones de Tamaños de Gotas después de un Tiempo (t+ ∆ t)

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

∆x

n(x

,t) )(),)(( ttxttttxn ∆+∆∆+∆+

xtxn ∆),(Grupo 1 - 6 gotas - [0.60,0.61] → [0.0167,0.0364]

27


xi(t+∆t) xf(t+∆t) ( ( ), )n x t t t t+ ∆ + ∆ ( ( ), ) [1 ( / ) ]n x t t t t dx dx dx t+ ∆ + ∆ + ∆&

0.0167 0.0362 304.2253521 5.9515 0.0362 0.0364 332.4685824 0.0530 0.0364 0.0555 360.7118128 6.8878 0.0555 0.0556 389.7240981 0.0591 0.0556 0.0744 418.7363834 7.8760 0.0744 0.0746 448.4965891 0.0648 0.0746 0.0931 478.2567948 8.8650 0.0931 0.0933 508.7439845 0.0701 0.0933 0.1115 539.2311743 9.8548 0.1115 0.1117 570.4246486 0.0750 0.1117 0.1297 601.618123 10.8454 0.1297 0.1298 633.4974525 0.0795 0.1298 0.1476 665.3767821 11.8367 0.1476 0.1477 697.921837 0.0837 0.1477 0.1653 730.466892 12.8286 0.1653 0.1654 763.6578675 0.0876 0.1654 0.1828 796.8488429 13.8212 0.1828 0.1829 830.6662808 0.0911 0.1829 0.2 864.4837187 14.8144 0.2000 0.2001 898.908526 0.0944 0.2001 0.2170 933.3333333 15.8081 0.2170 0.2171 968.3467978 0.0974 0.2339 0.2340 1038.944065 0.1002 0.2340 0.2505 1074.527867 17.7970 0.2505 0.2506 1110.664092 0.1027 0.2506 0.2670 1146.800317 18.7922 0.2670 0.2671 1183.47146 0.1050 0.2671 0.2833 1220.142602 19.7877 0.2833 0.2834 1226.509657 0.1045 0.2834 0.2995 1232.876712 19.7940 0.2995 0.2996 1207.986437 0.0989 0.2996 0.3155 1183.096162 18.8100 0.3155 0.3155 1157.472357 0.0911 0.3155 0.3313 1131.848552 17.8253 0.3313 0.3314 1105.511088 0.0837 0.3314 0.3470 1079.173623 16.8397 0.3470 0.3470 1052.14199 0.0766 0.3470 0.3625 1025.110358 15.8535 0.3625 0.3626 997.403664 0.0699 0.3626 0.3779 969.6969697 14.8666 0.3779 0.3780 941.3339237 0.0636 0.3780 0.3932 912.9708776 13.8790 0.3932 0.3932 883.9697894 0.0575 0.3932 0.4083 854.9687011 12.8908 0.4083 0.4084 825.347475 0.0518 0.4084 0.4233 795.7262489 11.9020 0.4233 0.4234 765.5023818 0.0463 0.4234 0.4382 735.2785146 10.9126 0.4382 0.4383 704.4690941 0.0411 0.4383 0.4530 673.6596737 9.9227 0.4530 0.4531 642.2813787 0.0362 0.4531 0.4677 610.9030837 8.9324 0.4677 0.4678 578.9721851 0.0315 0.4678 0.4823 547.0412865 7.9415 0.4823 0.4823 514.5736493 0.0270 0.4823 0.4967 482.1060121 6.9502 0.4967 0.4968 449.1170985 0.0228 0.4968 0.5112 416.1281849 5.9789

Σ Número total de gotas =388

Tabla 3. Intervalos de Diámetros, Distribuciones y número de gotas en un tiempo t+∆t con ∆x precisas

28


Como se puede notar el número de gotas que hay en un tiempo t+∆t, no coincide con el número total de gotas que hay en el tiempo inicial t, debido a lo siguiente: Al tomar ∆x más pequeñas, es decir intervalos de diámetros en donde las gotas se pueden ubicar, trae como consecuencia una pérdida de área en las casillas (pérdida de número de gotas), como se muestra en la siguiente figura:

l-----------l--l------l---l-----------l

Áreas perdidas

n(x,t)

∆x

t+∆t

Figura 12. Pérdida de área con ∆ x pequeñas Por lo que la suma de Riemann para obtener el área bajo la curva se vuelve todavía más imprecisa de lo que era. Una solución para no perder número de gotas, es decir, área, es intentar hacer una aproximación de los ∆x, si se consideran que entre las casillas no existen esas ligeras intersecciones, como se muestra en la Tabla 4. A pesar de que los ∆x son aproximados, no se pierde tanta área, por lo que esto favorece al método de Riemann. Sin intersecciones en las celdas

l------------l-----------l---------------l

n(x,t) t+∆t

∆x

Figura 13. Menos pérdida de área con ∆ x aproximadas Por lo tanto se ha comprobado que el número total de gotas se conserva en cualquier tiempo t+∆t.

29


xi(t+∆t) xf(t+∆t)

0.02 0.04 304.2253521 6.0845 0.04 0.06 360.7118128 7.2142 0.06 0.08 418.7363834 8.3747 0.08 0.10 478.2567948 9.5651 0.10 0.12 539.2311743 10.7846 0.12 0.13 601.618123 6.0162 0.13 0.15 665.3767821 13.3075 0.15 0.17 730.466892 14.6093 0.17 0.19 796.8488429 15.9370 0.19 0.20 864.4837187 8.6448 0.20 0.22 933.3333333 18.6667 0.22 0.24 1003.360262 20.0672 0.24 0.26 1074.527867 21.4906 0.26 0.27 1146.800317 11.4680 0.27 0.29 1220.142602 24.4029 0.29 0.30 1232.876712 12.3288 0.30 0.32 1183.096162 23.6619 0.32 0.34 1131.848552 22.6370 0.34 0.35 1079.173623 10.7917 0.35 0.37 1025.110358 20.5022 0.37 0.38 969.6969697 9.6970 0.38 0.40 912.9708776 18.2594 0.40 0.4100 854.9687011 8.5497

0.4100 0.4300 795.7262489 15.9145 0.4300 0.4400 735.2785146 7.3528 0.4400 0.4600 673.6596737 13.4732 0.4600 0.4700 610.9030837 6.1090 0.4700 0.4900 547.0412865 10.9408 0.4900 0.5000 482.1060121 4.8211 0.5000 0.5200 416.1281849 8.3226

Σ Número total de gotas 389.9950 ≈ 390.000

∆+∆+∆+ t

xdxd1dx)tt,)ttt(x(n &

)tt),tt(x(n ∆+∆+

Tabla 4. Intervalos de diámetros aproximados, distribuciones y número de gotas en un tiempo t+∆t

30


Gráfica 2. Evolución de las distribuciones de Tamaños de gotas después de un Tiempo (t+ ∆ t)

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

∆x

n(x,

t) )(),)(( ttxttttxn ∆+∆∆+∆+

xtxn ∆),(

31


CAPÍTULO III

ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA DENSIDAD NUMÉRICA UTILIZANDO UNA VELOCIDAD DE EVAPORACIÓN POR RADIACIÓN

III.1 Deducción de la Ecuación de Conservación de la Densidad Numérica

A partir de la ecuación de conservación del número de gotas, se deduce la ecuación de la conservación de la densidad numérica

( , ) ( , ) 1

en donde

( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )lim lim ( , )∆ → ∆ →

= + ∆ + ∆ + ∆

∂≡

∂= + ∆ + ∆ + + ∆ + ∆ ∆

+ ∆ + ∆ −= − + ∆ + ∆

∆+ ∆ + ∆ − = − + ∆ + ∆∆

&&

&

& &

& &&

& &&

t o t o

dxn x t dx n x x t t t dx tdx

xxt

n x t n x x t t t n x x t t t tn x x t t t n x t dxn x x t t t

t dn x x t t t n x t dxn x x t t t

t d

x

x

= −&dn dxn

dt dx

Como

entonces

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂+ = −

∂ ∂

&

&&

dn n n x n nxdt t x t t x

n n dxx nt x dx

Por lo tanto

( ) 0n xnt x

∂ ∂+

∂ ∂& = ..........(1)

Gráficamente (Figura 14) lo anterior significa que:

0

0

( , ) ( ,lim

( , ) ( ,lim

∆ →

∆ →

∂ + ∆ + ∆ −=

∂ ∆∂ + ∆ + ∆ −

=∂ ∆

x

t

n n x x t t n xx xn n x x t t n xt t

)

)

t

t

33


34

n(x,t) x

x1

(x1,t0) (x1,t1) x0

(x0,t0)

t0 t1

t

Figura 14. Concepto de Derivada Parcial

Variando x y dejando fijo a t, se observan las diferentes gamas de tamaños de gotas de

cada grupo de partículas en un cierto tiempo. Variando t y dejando fijo a x, se observa todo el seguimiento de la distribución de

tamaños que tiene un grupo de partículas con un diámetro específico inicial a lo largo del tiempo.

Por lo tanto al variar tanto a x como a t, lo que se observará son las distribuciones de la gran gama de tamaños de todos los diferentes grupos de gotas que evolucionan a través del tiempo. A continuación se obtendrá la solución de la ecuación (1) para los dos casos particulares para la rapidez de evaporación mencionados anteriormente

( ) 0n xnt x

∂ ∂+ =

∂ ∂&

Se resolverá con el método de separación de variables (Boyce, 1998), considerando que

( , ) ( ) ( )n x t X x T t= ..............................(2) es decir X(x) es constante para toda t y T(t) es constante para toda x.

Caso 1 La velocidad con la que la gota del fluido se evapora es una constante

x k= −& ................................................(3)

Sustituyendo (3) en (1)

( )n knt x

∂ ∂+ − =

∂ ∂0


0nn kt x

∂ ∂− =

∂ ∂................................... .(4)

Realizando las derivadas parciales respectivas:

t)t(T)x(X

tn

∂∂

=∂∂ ..................................(5)

( )( )n XT t x

x x∂ ∂

=∂ ∂

.......................... ......(6)

Sustituyendo (5) y (6) en (4)

( ) ( )( ) ( ) 0T t X tX x kT tt x

∂ ∂−

∂ ∂= ........ ...(7)

Multiplicando a (7) por XTXT :

0

1 0

XT T XX kTXT t x

T XX kTXT t x

∂ ∂ − = ∂ ∂

∂ ∂ − = ∂ ∂

1 0T k XT t X x

∂ ∂−

∂ ∂= ........................... ..(8)

Rescribiendo la ecuación (8) 1 T k XT t X x

∂ ∂=

∂ ∂

Como X es constante respecto a t y viceversa, entonces se tienen 2 casos:

1) 21 T CT t

∂= −

∂..................................(9)

2) 2k X CX x

∂= −

∂...............................(10)

en donde –C2 es la constante de separación de variables. Se procede a resolver la ecuación (9). Como T es sólo función de t y X de x, entonces las derivadas son ordinarias, por lo que:

35


2dT C dtT

= − ....................................(9a)

Integrando a (9a)

2dT C dtT

= −∫ ∫

12 mtCTln +−= donde m1 = constante

tCmTln

tCmlnTln

2

1

21

−=

−=−

Aplicando la exponencial en ambos lados de la ecuación

tC

1

tCmTln

2

21

emT

ee

−

−

=

=

2

1C tT m e−= ......................................(9b)

Esta es la solución general para T(t). Ahora resolviendo la ecuación diferencial (10) y como sólo hay dependencia en x.

2k dX CX dx

= − 2dX C dx

X k= − ...............................(10a)

Integrando la ecuación (10a)

xk

CmXln

xk

CmlnXln

mxk

CXln

dxk

CX

dX

2

2

2

2

2

2

2

−=

−=−

+−=

−= ∫∫

Aplicando la exponencial en ambos lados de la ecuación

36


xk

C

2

xk

CmXln

2

2

2

emX

ee

−

−

=

=

2

2

C xkX m e

−= ..................................(10b)

Esta es la solución general para X(x). Por lo tanto la solución general para n(x,t) = X(x)T(t)

xk

CtC

21

tC1

xk

C

22

2

2

2

eemm)t,x(n

emem)t,x(n

−−

−

=

=

pero: m1m2 = m3 Por lo tanto

tCxk

C

32

2

eem)t,x(n −−=

pero bk

C 2

= , por consiguiente la solución general para n(x,t) es:

tCbx3

2eem)t,x(n −−= ...........................(11)

III.2 Valores de las Constantes para la Solución de n(x,t) Se partirá de la condición inicial

bx3em)0,x(n0t −==

Integrando n(x,0) de 0 hasta ∞

∫∫∞

−∞

=0

bx3

0

dxemdx)0,x(n

∫∫∞

−∞

=0

bx3

0

dxemdx)0,x(n

∞−

∞

−=∫0

bx3

0

eb

mdx)0,x(n

)10(b

mdx)0,x(n 3

0

−−=∫∞

37


Nob

mdx)0,x(n 3

0

==∫∞

,

en donde No es el número total de gotas. Para obtener el valor de las constantes m3 y b se realizará una regresión no lineal a partir de datos experimentales reportados en la literatura (Cooper, 1984). Se tienen algunos intervalos de diámetros de gotas de combustible que se forman al salir de un inyector a presión de una turbosina tipo Jet.

Intervalos de diámetros

(µm) # Gotas

0 – 70 1131 70 – 140 470

140 – 210 89 210 – 280 23 280 – 350 12 350 – 420 4 420 – 490 1

# Total de gotas 1730 Tabla 5. Distribuciones de tamaño Inicial para atomizadores a presión tipo Jet

Como ya se conoce que el modelo teórico para calcular el número de gotas es:

LU

U

bxbx3x

xL

eeb

mdx)0,x(n −− −−=∫

De tal manera que se obtendrá el número de gotas en función del valor de m3 y b, generando una tabla comparativa entre los resultados experimentales y los resultados del modelo analítico.

i xL xU # Gotas experimental # Gotas analítico 1 0 70 1131 ( ) )ee(bm )70(b)0(b

3−− −−

2 70 140 470 ( ) )ee(bm )140(b)70(b3

−− −− 3 140 210 89 ( ) )ee(bm )210(b)140b(

3−− −−

4 210 280 23 ( ) )ee(bm )280(b)210(b3

−− −− 5 280 350 12 ( ) )ee(bm )350(b)280(b

3−− −−

6 350 420 14 ( ) )ee(bm )420(b)350(3b3

−− −− 7 420 490 1 ( ) )ee(bm )490(b)429(b

3−− −−

Tabla 6. Planteamiento de la regresión no lineal Σ gotas exp = 1730 Σ gotas modelo = ¿?

Diferencia = Σ gotas exp - Σ gotas modelo

38

Evolución de una Distribución de Tamaños de Gota para Modelar un Proceso de Combustión con Evaporación Relativa A continuación se realizará un problema de optimización en el Solver de Excel para minimizar la diferencia entre el número total de gotas que se obtiene experimentalmente y el número total de gotas que se obtiene del modelo teórico, el cual está en función de m3 y b. m3=32.59260586 b=1.8839657E-02

Tabla 7. Resultados de la Regresión no lineal i xL xU # Gotas exp # Gotas mod ei ei

2 1 0 70 1131 1267.289898 -136.289898 18574.9364 2 70 140 470 338.9525073 131.047493 17173.4453 3 140 210 89 90.65708043 -1.65708043 2.74591555 4 210 280 23 24.24736815 -1.24736815 1.55592731 5 280 350 12 6.485261378 5.51473862 30.4123421 6 350 420 4 1.734564134 2.26543587 5.13219966 7 420 490 1 0.463930836 0.53606916 0.28737015

Σgotas exp Σgotas mod Σei Σ(ei ) 2 1730 1729.83061 0.01638945 35788.5155

Diferencia = Σgotas exp - Σgotas mod= 0.028692785

Comprobación m3/b = 1730 gotas

Por lo tanto el valor de C2 queda en función de b y k

Puesto que bkCk

Cb 22

=→=

entonces: C2 = bk donde C2 dependerá del valor de la constante de evaporación según sea el tipo de combustible. Como se puede apreciar el error estadístico es mucho menor que el error discreto, esto se debe a que es difícil cuantificar experimentalmente el número de gotas cuyos diámetros caen en un determinado intervalo, ya que siempre se tiende a incertidumbres.

39


CAPÍTULO IV

EVOLUCIÓN TEMPORAL DE LA CONSERVACIÓN DE LA MASA TOTAL DEL SISTEMA

En la práctica es más útil conocer cómo la masa total del sistema cambia con el tiempo, ya que nos proporciona información de cuánto es la cantidad de masa que queda en el sistema, de manera que en realidad lo que se está monitoreando es el proceso de combustión y en cierta forma tomar criterios para solucionar los problemas que puedan surgir en el caso en que no se éste evaporando cierta cantidad de combustible. Se comienza por recordar que

Vm

=ρ ,

entonces

Vm ρ= m es la masa de una partícula, entonces

V)t,x(nM ρ= , M es la masa de todas las partículas del sistema, puesto que todas las gotas son esféricas.

ρ=⇒=ρ )t,x(VnMVM)t,x(n

y como x es el diámetro de las gotas, entonces el radio es

2xr =

Por tanto el volumen de una esfera se define como

6xV

8x

34V

2x

34V

r34V

3

3

3

3

π=

π=

π=

π=

40

Evolución de una Distribución de Tamaños de Gota para Modelar un Proceso de Combustión con Evaporación Relativa Por consiguiente la masa del sistema es

6x)t,x(nM

3πρ=

Pero la masa que hay en el sistema va a depender tanto de la variación del diámetro, como del tiempo, por lo tanto:

dx)t,x(nx61)t(M

0

3∫∞

πρ=

41


CAPÍTULO V

RESULTADOS NUMÉRICOS Y DISCUSIÓN

V.1 Solución Numérica de la Ecuación de Conservación de la Densidad Numérica

En esta sección se analizarán los resultados numéricos que se obtuvieron de realizar un programa hecho en Fortran (CD Anexo), utilizando un método numérico que simuló diferentes funciones de distribución de tamaños de gotas para diferentes tiempos arbitrarios, tomando en cuenta que en un proceso de combustión hay una gran variedad de tamaños de gotas durante el quemado del combustible, además se obtuvo las fracciones de masa que se evaporaron a lo largo del tiempo. El programa de simulación parte de la ecuación de conservación de la densidad numérica (en la cuál se utilizó el caso 1 para la velocidad de evaporación, es decir, sólo transferencia de calor por radiación), resolviéndola a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en función de un número determinado de intervalos de tamaños diámetro y tiempo, de tal forma que se logró hacer un seguimiento de las funciones de distribución de tamaños en diferentes instantes de tiempo; también para comprobar la suposición de conservación de número de gotas en cualquier intervalo de tiempo, se aplicó la regla de Simpson, la cual calculó el área bajo la curva, que no es otra cosa que el número total de gotas de combustible y por último se utilizó la ecuación para la masa que propone Cooper (Cooper, 1984), obteniendo el valor exacto de la masa inicial en un tiempo igual a cero, el cual se usa como referencia en el programa y así calcular la fracción de masa de combustible que se evapora conforme transcurre el tiempo. Algunos de los parámetros iniciales que se le dieron al programa fueron: La constante de evaporación (k) con un valor de 54.05 cal/g. Una densidad (ρ) de 0.91 g/cm3 Los cuales corresponden al combustible n-Hexadecano, utilizado en turbinas tipo Jet A-1 de aviación comercial y militar en los Estados Unidos de Norte-América (www.fi.uba.or/materias/6730/Tomo2 Unidad8.pdf). La masa total del sistema, cuyo valor se obtuvo de la solución exacta:

dx)t,x(nx61)t(M

0

3∫∞

πρ= = = 7.315023965765679 x 108 ∫= dxeemx6

)t(M −−ρπ10001

0

bxbkt3

3

Además se dio una gran variedad de diferentes tamaños de diámetros (0-500 micras), que pueden presentar las gotas durante el proceso de evaporación, así como también se realizó un seguimiento por diferencias finitas en donde se dividió en muchos intervalos (10000) el gran conjunto de tamaños de diámetro (Tabla 8).

42


t (arbitrario) 0 1 1.25 1.5 1.75

x n0(x,t) n1(x,t) n2(x,t) n3(x,t) n4(x,t) 0.00E+00 32.59260586 11.7740658 9.12809931 7.07683806 5.48646017

10 26.99600475 9.75232187 7.56068291 5.86164671 4.54435841 20 22.36041744 8.07771359 6.26241027 4.85512316 3.76402934 30 18.52082457 6.69065991 5.18706895 4.02143225 3.11769412 40 15.35500023 5.54178283 4.29637884 3.33089777 2.58234375 50 12.70635955 4.59018419 3.55863281 2.75893783 2.1389206 60 10.52450192 3.80198054 2.94756832 2.28519158 1.77163954 70 8.717299406 3.14912791 2.44142491 1.89279443 1.46742596 80 7.220418557 2.6083791 2.02219847 1.56777667 1.21545036 90 5.980572849 2.16048434 1.67495903 1.2985627 1.0067428 100 4.953625793 1.78949931 1.38734541 1.07558153 8.34E-01 110 4.103019746 1.48221753 1.14911902 8.91E-01 6.91E-01 120 3.39847452 1.22770029 9.52E-01 7.38E-01 5.72E-01 130 2.814909452 1.01688717 7.88E-01 6.11E-01 4.74E-01 140 2.331550575 8.42E-01 6.53E-01 5.06E-01 3.92E-01 150 1.931191101 6.98E-01 5.41E-01 4.19E-01 3.25E-01 160 1.599578885 5.78E-01 4.48E-01 3.47E-01 2.69E-01 170 1.324909072 4.79E-01 3.71E-01 2.88E-01 2.23E-01 180 1.097403864 3.96E-01 3.07E-01 2.38E-01 1.85E-01 190 9.09E-01 3.28E-01 2.55E-01 1.97E-01 1.53E-01 200 7.53E-01 2.72E-01 2.11E-01 1.63E-01 1.27E-01 210 6.24E-01 2.25E-01 1.75E-01 1.35E-01 1.05E-01 220 5.17E-01 1.87E-01 1.45E-01 1.12E-01 8.69E-02 230 4.28E-01 1.55E-01 1.20E-01 9.29E-02 7.20E-02 240 3.54E-01 1.28E-01 9.92E-02 7.69E-02 5.97E-02 250 2.94E-01 1.06E-01 8.22E-02 6.37E-02 4.94E-02 260 2.43E-01 8.78E-02 6.81E-02 5.28E-02 4.09E-02 270 2.01E-01 7.27E-02 5.64E-02 4.37E-02 3.39E-02 280 1.67E-01 6.03E-02 4.67E-02 3.62E-02 2.81E-02 290 1.38E-01 4.99E-02 3.87E-02 3.00E-02 2.33E-02 300 1.14E-01 4.13E-02 3.20E-02 2.48E-02 1.93E-02 310 9.48E-02 3.42E-02 2.65E-02 2.06E-02 1.60E-02 320 7.85E-02 2.84E-02 2.20E-02 1.70E-02 1.32E-02 330 6.50E-02 2.35E-02 1.82E-02 1.41E-02 1.09E-02 340 5.39E-02 1.95E-02 1.51E-02 1.17E-02 9.07E-03 350 4.46E-02 1.61E-02 1.25E-02 9.69E-03 7.51E-03 360 3.69E-02 1.33E-02 1.03E-02 8.02E-03 6.22E-03 370 3.06E-02 1.11E-02 8.57E-03 6.65E-03 5.15E-03 380 2.53E-02 9.16E-03 7.10E-03 5.50E-03 4.27E-03 390 2.10E-02 7.59E-03 5.88E-03 4.56E-03 3.53E-03 400 1.74E-02 6.28E-03 4.87E-03 3.78E-03 2.93E-03 410 1.44E-02 5.20E-03 4.03E-03 3.13E-03 2.41E-03 420 1.19E-02 4.31E-03 3.34E-03 2.59E-03 1.92E-03 430 9.88E-03 3.57E-03 2.77E-03 2.09E-03 1.42E-03 440 8.19E-03 2.96E-03 2.27E-03 1.59E-03 9.21E-04 450 6.78E-03 2.44E-03 1.76E-03 1.10E-03 4.23E-04 460 5.62E-03 1.94E-03 1.27E-03 5.98E-04 -7.51E-05 470 4.65E-03 1.45E-03 7.73E-04 9.98E-05 -5.73E-04 480 3.85E-03 9.48E-04 2.75E-04 -3.98E-04 -1.07E-03 490 3.19E-03 4.50E-04 -2.23E-04 -8.96E-04 -1.57E-03 500 2.64E-03 -4.83E-05 -7.21E-04 -1.39E-03 -2.07E-03

Tabla 8. Algunas Funciones de Distribución de Tamaños de Gotas al tiempo t.

43


Gráfica 3. Algunas Distribuciones de Tamaños de Gotas

0

5

10

15

20

25

30

35

0.00E+00 5.00E+01 1.00E+02 1.50E+02 2.00E+02 2.50E+02 3.00E+02x

n(x,

t)

n0(x,t), t = 0

n1(x,t), t = 1

n2(x,t), t = 1.25

n4(x,t), t = 1.75n3(x,t), t= 1.5

45


En la gráfica 3. se muestra que a medida que transcurre el tiempo, el área bajo la curva se hace cada vez más pequeña, y esto se puede corroborar con los valores de algunas distribuciones de tamaños de gota, presentados en la tabla 7, donde se observa que algunas son negativas interpretando esto como un valor de cero, lo que significa que una parte de área de estas distribuciones está desapareciendo, por lo que se está corriendo el riesgo de que no haya una conservación del número total de gotas al transcurrir el tiempo. Para poder asegurar lo anterior se mostrará una pequeña tabla en donde se monitorearon los valores de la integral de la distribución en diferentes tiempos.

t (unidades arbitrarias) 0 1 1.25 1.5 1.75 Integral Distribución (# gotas) 625.48188 484.896454 375.899403 291.3798131731.489715

Al ver esta tabla se puede ver que efectivamente se están perdiendo gotas. Otra importante observación es que en la gráfica 3, no se ve claramente una disminución del diámetro para cada grupo de partículas, sino lo que se ve es que a mayor diámetro de las gotas (x), más tiempo es el que se tardan para evaporarse completamente (implícitamente se da por entendido que se está reduciendo el diámetro antes de llegar a la evaporación completa). Lo dicho anteriormente se analizará mediante el siguiente dibujo.

n (x,t)

no(x,t)

n1(x,t)

n2(x,t)

n3(x,t) n4(x,t)

Menos área bajo las curvas cuando t avanza (pérdida de gotas)

x Cuando x es pequeña, las gotas tardan menos en evaporarse (menos área)x pequeñas Cuando x es grande, las gotas tardan más en evaporarse (más área)

x grandes Análisis de la gráfica 3

47

Evolución de una Distribución de Tamaños de Gota para Modelar un Proceso de Combustión con Evaporación Relativa V.2 Solución Numérica para la Fracción de Masa Residente en el Sistema

Tabla 9. Fracción de masa residente en el sistema al tiempo t para diferentes intervalos de diámetro

Fracción de masa residente en el sistema t

[-] [Unidades arbitrarias]

# Intervalos

9.95E-01 0 3.58E-01 1 2.76E-01 1.25 2.12E-01 1.5 1.61E-01 1.75 1.21E-01 2 8.91E-02 2.25 6.33E-02 2.5 4.21E-02 2.75 2.45E-02 3

10,000

9.99E-01 0 3.52E-01 1 2.70E-01 1.25 2.06E-01 1.5 1.56E-01 1.75 1.17E-01 2 8.72E-02 2.25 6.40E-02 2.5 4.64E-02 2.75 3.33E-02 3

30

1.000898795 0 3.37E-01 1 2.57E-01 1.25 1.97E-01 1.5 1.53E-01 1.75 1.22E-01 2 1.01E-01 2.25 8.96E-02 2.5 8.59E-02 2.75 8.97E-02 3

15

9.91E-01 0 2.21E-01 1 2.44E-01 1.25 3.20E-01 1.5 4.34E-01 1.75 5.75E-01 2 7.29E-01 2.25 8.83E-01 2.5

1.019006539 2.75 1.119432192 3

5

49


Tabla 10. Fracción de masa en el sistema al tiempo t, resuelta con la solución exacta

t Fracción de masa residente en el

sistema [Unidades arbitrarias] [-]

0 1 1 0.3612 1.25 0.280031 1.5 0.217094 1.75 0.168302 2 0.130476 2.25 0.101151 2.5 0.0784175 2.75 0.0607931 3 0.0471298

∫ −−ρπ=

10001

0

bxbkt3

3 dxeemx6

)t(M

De esta tabla se observa claramente que la masa no se conserva, como era de esperarse, pero además este modelo de evaporación kx −=& no satisface la hipótesis de conservación del número de gotas. Algunas de las observaciones que se tienen de la gráfica 4, es que se muestra como al transcurrir el tiempo, disminuye la fracción de masa en la cámara de combustión, es decir el resto es la fracción de masa que se evapora hacia el medio ambiente; también se ejemplifica que al tomar un mayor número de intervalos, el comportamiento numérico de la gráfica cada vez se apega más al comportamiento de la solución exacta. Esta información es muy útil ya que predice que tan bien o que tan mal va el proceso de combustión, y cuánto tiempo le esté llevando al sistema todo este proceso. Uno de los problemas típicos que afectan a la combustión es precisamente el retardo de la evaporación de las gotas de combustible, debido a que una parte de las gotas ya se evaporó, por lo que ese combustible evaporado tiende a permanecer cerca de las gotas, retardando la evaporación subsiguiente y aumentando el riesgo de coquización, como se explicó previamente en el Capítulo I, es por eso que una de las soluciones a tomar es la creación de un flujo turbulento que barra con este combustible evaporado, de tal forma que se pueda acelerar el proceso de evaporación; y así hay muchos otros problemas que se pueden presentar durante este proceso y que pueden incluir hasta el mismo diseño del equipo, pero que sin embargo uno puede tener la información sobre el comportamiento que presenta el sistema y poder tomar decisiones al respecto, para mejorar dicho proceso.

51

Evolución de

Gráfica 4

0.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.

M(t)

/ M

(0)

Gráfica 4

una Distribución de Tamaños de Gota para Modelar un Proceso de Combustión con Evaporación Relativa

53

. Comparación de la fracción de masa de combustible permanente en el sistema usando diferencias finitas

00E+00

.00E-01

.00E-01

.00E-01

.00E-01

.00E-01

.00E-01

.00E-01

.00E-01

.00E-01

00E+00

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3t (unidades arbitrarias)

10000 Intervalos30 Intervalos15 Intervalos5 IntervalosExacta

. Comparación de la fracción de masa de combustible remanente en el sistema usando diferencias finitas


CONCLUSIONES

Este trabajo se hizo con la finalidad de poder obtener un modelo de estudio, basándose en distribuciones de tamaños de partículas, el cual puede predecir el comportamiento del proceso de combustión, mediante el proceso de radiación, para cualquier tipo de combustible. Sólo se consideró el efecto del medio alrededor de las gotas a través de la constante k de la ley de evaporación. Sin embargo para considerar el efecto en forma global deben de considerarse las ecuaciones para el fluido que las rodea, así como las reacciones químicas que tienen lugar entre el fluido y el vapor de las gotas en la capa límite de estas últimas; estas ecuaciones se consideraron en el Apéndice A. El tipo de proceso de combustión que se trató aquí, no es el único, existe también el proceso de combustión por conducción y por lo tanto se pueden considerar otras leyes de evaporación, como se indica en el Apéndice B, y otros valores para las constantes. Con base a este procedimiento, también se pudo analizar que la suposición de la conservación del número de partículas en un sistema al transcurrir el tiempo, no fue correcta para este modelo de evaporación por radiación, puesto que los datos que se obtuvieron predijeron la pérdida de gotas al transcurrir el tiempo. El modelado de estos sistemas de combustión, permiten obtener información de gran utilidad al observar cómo se está llevando la combustión, por medio de la cantidad de partículas que se evaporan en un determinado tiempo, y así mismo poder dar soluciones que puedan dar mejoras a este proceso, como puede ser desde el diseño del inyector hasta una adecuada mezcla aire-combustible en las cámaras de combustión que optimicen el proceso de combustión, de tal manera que disminuya el consumo excesivo de combustible, causado por quemado ineficiente del combustible.

Además de un ahorro en combustible, otra de las ventajas de analizar el proceso de combustión, mediante modelos de distribución es la disminución de gases dañinos para el medio ambiente y para nuestra salud, como es el dióxido de carbono procedente de las reacciones de combustión de los combustibles fósiles que es el responsable del efecto invernadero; así como el monóxido de carbono y otros componentes (hidrocarburos aromáticos) que no se logran quemar y evaporar, escapando a la atmósfera y reaccionando con la hemoglobina, siendo muy tóxicos.

Como ya se dijo antes, hoy en día es de gran importancia cuidar los energéticos fósiles que a través de los años sus reservas se agotan, es por eso que en la actualidad se crean cada vez más equipos con mejores diseños que ahorren este recurso y a su vez no creen un gran impacto hacia el medio ambiente, que ya bastante ha hecho el sector industrial en deteriorarlo y sobre todo dañen la salud de nosotros los seres vivos, por tal motivo se ha tratado de concienciar a la sociedad sobre este problema y se han hecho acciones como son la creación de normas y leyes ambientales que se aplican al diseño de equipos industriales.

55


REFERENCIAS

Bird, R. B., Stewart, W. E. y Lightfoot, E. N., 2002, Transport Phenomena, John Wiley & Sons, New York. Boyce William E., DiPrima Richard C., 1998, Ecuaciones Diferenciales con Valores a la Frontera, LIMUSA, México. Cooper, S., 1984.The Use of Particle Size Distributions in the Modeling of Combustion Systems, Combustion and Flame. Currie, I.G., 1993, Fundamental Mechanics of Fluids, Mc. Graw-Hill, Inc., Nueva York. Enciclopedia Encarta 99, Microsoft Corporation. http://www.fi.uba.ar/materias/6730/Tomo2Unidad8.pdf http://www.fi.uba.ar/materias/6730/Tomo2Unidad12.pdf http://www.atexport.com Kleinstrever, C., 1997, Engineering Fluid Dynamics, Cambridge University Press, New York. Salinas-Rodríguez, E. y Rodríguez R.F., 1995, Descripción Estocástica de Sistemas Dispersos. Rev. Mex. Física. Williams, F. A., 1985, Combustion Theory, The Combustion Institute, Pittsburgh.

56

http://www.fi.uba.ar/materias/6730/Tomo2Unidad8.pdf

http://www.fi.uba.ar/materias/6730/Tomo2Unidad12.pdf


APÉNDICE A

ECUACIONES DE CONSERVACIÓN PARA MEZCLAS MULTI COMPONENTES,

REACTIVAS DE UN GAS Los flujos viscosos en procesos isotérmicos son descritos a través de las ecuaciones de conservación de la materia y de la cantidad de movimiento. Para procesos no isotérmicos y para mezclas de varias componentes en donde existe reacción es necesario incluir también ecuaciones de conservación de la energía y de conservación de las especies químicas individuales. En este capítulo se presentan las ecuaciones de balance de masa, de momento, y de energía para mezclas de varios componentes con reacciones químicas y efectos calóricos, para cada una de las especies químicas presentes. Estas relaciones proporcionan una descripción completa de los sistemas de flujo de varias componentes. A.1 Ecuación de Continuidad Desde un sistema de referencia lagrangiano se tiene que la masa total es

0=⇒= ∫ DtDMdVM

V

ρ

Considerando que no hay reacciones químicas, es decir ni fuente ni sumidero, por lo que la masa se conserva. Por el Teorema de Transporte de Reynolds

0)v( =

⋅∇+∂∂

= ∫∫→

dVt

dVDtD ρρρ

entonces

0)v( =⋅∇+∂∂ →

ρρt

por tanto

)v(→

⋅−∇=∂∂ ρρ

t

pero por la regla de la cadena

ρρρ ∇⋅+⋅∇=⋅∇→→→

vv)v(

57


y por tratarse de un fluido incompresible, ρ es constante por lo tanto: ρ no depende ni de la posición ni del tiempo, es decir

),( tx→

≠ ρρ por consiguiente

0vvv)v( =⋅∇=∇⋅+⋅∇=⋅∇→→→→

ρρρρ

0v =⋅∇→

A.2 Ecuación de Continuidad para Sistemas Multi-componentes Considerando una mezcla binaria, se aplicará la ley de la conservación de materia de la especie A. Dentro de un volumen de control se puede producir A por reacción química con una ωA (donde ωA es la velocidad de reacción de la componente A), (Williams, 1985).

AAV

A DtDMdVM ωρ =⇒= ∫

Considerando que no hay reacciones químicas por tratarse de una sola especie, entonces la masa se conserva. Por el Teorema de Transporte de Reynolds

AAAAA dVt

dVDtD ωρρρ =

⋅∇+∂∂

= ∫∫→

AA )v(

entonces

AAAA

tωρ

ρ=⋅∇+

∂∂ →

)v(

Por la regla de la cadena

AAA ρρρ ∇⋅+⋅∇=⋅∇→→→

vv)v( AA pero por tratarse de un fluido incompresible, ρΑ es constante por lo tanto ρΑ no depende ni de la posición ni del tiempo, es decir:

),( txAA

→

≠ ρρ

58


Por consiguiente

AAAA

tωρρ

ρ=∇⋅+⋅∇+

∂∂ →→

AA vv

Esta es la ecuación de continuidad para el componente A de una mezcla binaria, que describe la variación de la concentración de A con respecto al tiempo para un punto fijo en el espacio. Esta variación resulta del movimiento de A y de las reacciones químicas que dan lugar a A. Definiendo la fracción másica,

AAY ρ

ρ≡

Despejando ρA y sustituyéndola en (1)

( ) . v v .AA A A A

YY Y

tρ

Aρ ρ ω∂

+ ∇ + ∇ =∂

v . . vAA A A A

Y Y Yt A

ρ ρ ω ρ∂+ ∇ = − ∇

∂

Dividiendo entre ρ

. vv .A A AA A

Y YYt

Aω ρρ ρ

∂ ∇+ ∇ = −

∂

Por lo que de manera general para cualquier tipo de especie se tiene que

1. vv .i i i

iY YYt

iω ρρ ρ

∂ ∇+ ∇ = −

∂

Velocidad de Reacción Una reacción química arbitraria se puede escribir de la siguiente forma

´

1 1v

N N

i i i ii i= =

ℜ → ℜ∑ ∑ ´́v .............................(1)

Donde y son los coeficientes estequiométricos para especies i que aparecen como reactivos y como productos, respectivamente, y

´vi´́vi

iℜ es el símbolo químico para especies i. Para la reacción en (1) existe una relación entre los cambios en las concentraciones ci (moles por unidad de volumen) de todas las especies i. Si ω̂ (moles por unidad de volumen por segundo) denota la tasa de crecimiento de la concentración de especies i, entonces la ecuación (1) se escribe como:

59


´´ ´́ ´́ ´´ˆ ˆ/(v v ) /(v v )i i i j j jω ω− = − ....................(2) para cualquier par de especies i y j. Además se puede definir una velocidad de reacción para la reacción en (1) como

´́ ´1 1 1ˆ /(v v )ω ω= −

donde ´´ ´1 1v v− ≠ 0

1

Como se puede ver ω es la tasa de producción (moles por unidad de volumen por segundo) para algunas especies donde

´´ ´1 1v v− =

La ecuación (2) implica que en la reacción (1)

´́ ´ˆ (v v ) , 1,...,i i i i Nω ω= − = para cada especie. En la forma usual de la cinética química, la fenomenología de la ley de la acción de la masa declara que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de la conservación de los reactivos. Para la reacción general dada en la ecuación (1) se puede, además, escribir

´

1

ivi

N

ick

=∏=ω

donde k es un factor de proporcionalidad, llamado la constante de velocidad de reacción específica. K dependerá principalmente de la temperatura. Ahora de acuerdo con la teoría de la cinética química tenemos lo siguiente. Ley de Arrhenius

RTEAek −

= Es una expresión empírica que determina la constante de la velocidad de reacción en un evento químico Donde R0 es la constante universal de los gases, E es la Energía de activación y A es el factor de frecuencia para el paso de la reacción. En este caso tenemos que E es constante pero A depende de T por lo que se tiene la siguiente expresión.

αBTA = de donde B es constante, α=cte y -1< α ≤2. por lo que si analizamos la velocidad de reacción en una reacción k tenemos lo siguiente:

60


De la ecuación de Arrhenius tenemos que la constante de la velocidad de reacción es

RTEeBTkk

−= α

Sustituyendo kk en la expresión para ωk tenemos lo siguiente:

∏=

−=

N

i

vi

kk

kiRTE CeBT

1

',αω

Ahora, de la expresión de la velocidad de reacción de la especie i en la reacción k se tiene:

',v" '

, , ,1

ˆ (v v ) E i kRT

Nk

i k i k i k ii

BT e Cαω −

=

= − ∏

por lo que la expresión de la velocidad de reacción queda de la siguiente manera.

',v" '

, ,1 1

ˆ (v v ) E i kRT

NMk

i i k i kk i

BT e Cαω −

= =

= −∑ ∏ i

pero se sabe que

i

ii W

ωω =ˆ

Por lo tanto se tiene ',v" '

, ,1 1

(v v ) E i kRT

NMk

i i i k i k ik i

W BT eαω −

= =

= −∑ ∏C

La ecuación anterior es la velocidad de reacción de una especie i a lo largo de un proceso químico. A.3 Conservación del Momento Para un elemento de volumen ∆x∆y∆z, se puede escribir el siguiente balance de cantidad de movimiento.

+

−

=

sistemaelsobreactúanquefuerzas

deSuma

salidalaamovdeCant

deTasa

entradalaamovdeCant

deTasa

movimientodeCantdenacumulació

deTasa...

.

Balance del Momento Lineal Considérese un elemento de fluido de volumen V en el sistema de referencia de Lagrange y apliquémosle la segunda Ley de Newton. (Bird, 2002 y Salinas-Rodríguez, 1995). Las fuerzas son volumétricas y superficiales. Las primeras se aplican sobre todo el sistema y un ejemplo son las fuerzas gravitacionales, de tal forma que la fuerza volumétrica total será

61


dVtrFV

),(→→

∫ ρ

Las fuerzas superficiales son las fuerzas normales, de presión, y las tangenciales, esfuerzos

cortantes. Si es un vector que representa la fuerza superficial resultante por unidad de área, la fuerza superficial neta que actúa a través de la superficie S del volumen V será

→

∑

dSS∫

→

∑

Por otra parte, el momento lineal contenido en V será . vV

dVρ→

∫entonces, la segunda ley de Newton, que es una ecuación de balance para el momento será

vV S V

D dV dS F dVDt

ρ ρ→ → →

= ∑ +∫ ∫ ∫

pero la fuerza para una orientación arbitraria de un elemento de superficie S será: →

∑

. i i jP n P n→

∑ = ⇒ ∑ = −sr r

j donde Pij: Tensor de Esfuerzos entonces la ecuación de balance para el momento lineal será:

vi i j jV S V

D dV P n dS F dVDt

ρ ρ= − +∫ ∫ ∫ i

Teorema del transporte de Reynolds: Por otro lado el teorema del transporte de Reynolds (Bird, 2002; Currie 1993)) dice que la tasa temporal de cambio de la propiedad del fluido α (masa, momento, energía etc.)sobre todo el volumen estará dada por el cambio en el tiempo y en las variables de la propiedad física (localmente) en todo el volumen, rapidez temporal de cambio local y rapidez de cambio convectivo en V.

( ) ( v )kkV V

D t dV dVDt t x

αα α ∂ ∂

= + ∂ ∂ ∫ ∫

Teorema de la Divergencia o de Gauss: Sea E una región simple sólida cuya superficie de frontera S tiene una orientación positiva

(hacia fuera). Sea →

A un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta que contiene a E, entonces

62


dVAdSnAVS∫∫ ∇=

rr.ˆ.

pero . iiV V

A dV P dVx

→ ∂∇ =

∂∫ ∫

Por tanto usando el teorema de Reynolds en el miembro izquierdo y el teorema de la divergencia en el primer término del miembro derecho de la ecuación de balance para el momento lineal, se obtiene que:

( v ) ( v v )i i k i jk iV V

dV P dV F dVt x x

ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂

+ = − + ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ i

V∫

Puesto que V es arbitrario

( v ) ( v v )i i k i jk i

P Ft x x

ρ ρ∂ ∂ ∂+ = − +

∂ ∂ ∂ iρ

pero

( v ) v ( v ) ( v ) (vk i i k k ik k

ux x

ρ ρ ρ∂ ∂= +

∂ ∂)

kx∂

∂

entonces

.

v v v ( v ) ( v ) (v )

v v ( v ) ( v ) (v )

i i i k k i i jk k i

i i k k i i jk k i

Ec Continuidad

P Ft t x x x

P Ft t x x x

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ ρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

suuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuruuu

14444244443suuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuruuu

i

i

ρ

ρ

Sustituyendo la Ec. De Continuidad, se obtiene que

v ( v ) (v )i k i i jk i

P Ft x x

ρ ρ∂ ∂ ∂+ = −

∂ ∂ ∂ iρ+

o bien en notación vectorial

↔↔→→→

+⋅−∇=∇⋅+∂∂ FPt

ρρρ )v()v(v

donde

63


v vi ii j i j

j i

P px x

δ µ ∂ ∂

= − + ∂ ∂

en donde p es la presión hidrostática y µ es el coeficiente de viscosidad dinámico. El miembro izquierdo representa la razón de cambio del momento lineal del fluido contenido en la unidad de volumen. El primer término es la aceleración temporal y el segundo es la aceleración convectiva y es la que permite que existan aceleraciones locales; por ejemplo alrededor de obstáculos, aún cuando el fluido sea estacionario, es decir independientemente del tiempo. Cambiando la notación tensorial a una equivalencia vectorial por tanto

( )( v) ( v)Ti jP p µ= − ∇ + ∇

Dividiendo entre la densidad la ecuación de momento lineal

1v v (v )i k i i j ii

P Ft xk xρ

∂ ∂ ∂+ = −

∂ ∂ ∂+

if

Poniendo la ecuación de momento lineal en su equivalencia vectorial.

1

N

i ii

F Y=

= ∑

Fi son las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Es decir la sumatoria de todas las fuerzas externas. por lo tanto

1

1v v . vN

i ii

P Yt ρ

→

=

∂+ ∇ = − ∇ +

∂ ∑ f

A.4 Conservación de la Energía La energía instantánea que un fluido presenta consiste en dos partes: una energía interna

y una energía cinética por unidad de masa

→

tru , 12 v v

→ →

⋅ de esta manera aplicamos la

primera ley de la termodinámica para deducir la ecuación de la energía. Por lo que para definir completamente el estado de un fluido en movimiento necesitamos, además del campo de

64


velocidades , dos cantidades termodinámicas del fluido como por ejemplo y

.

(v ,r tr )

→

trp ,

→

tr ,ρ

v v→ → + ⋅

v Fρ→ →

⋅

→

trT ,

dW

V∫

v. dS→ →

→

q

∫ ⋅S

nq ˆ

dQdU =

La tasa total en la energía total de un elemento de fluido será la suma de la rapidez con que se realiza trabajo por las fuerzas que actúan sobre el fluido y la razón con que se agrega calor al sistema. 1.- Consideremos ahora un volumen de control arbitrario V, la energía total instantánea por

unidad de volumen de la masa contenida en V será 12 v vuρ ρ

→ → + ⋅

, entonces la energía

total contenida en V es

12u dρ ρ V

2.- Por otra parte, el trabajo que se realiza sobre el fluido por unidad de tiempo es igual al producto de las fuerzas que actúan sobre él por la velocidad. Entonces el trabajo realizado por las fuerzas superficiales y las fuerzas volumétricas por unidad de tiempo será

S V

dVΣ +∫ ∫

Sea el flujo de calor que sale de elemento de fluido. Es claro que existe un flujo de calor

porque y entonces existen gradientes de temperatura en el fluido, por lo que el

flujo de sobre la superficie será

=T

→

q

→

dS

Primera ley de la termodinámica

+ Aplicando la primera ley de la termodinámica a un elemento de fluido tenemos.

12 ˆv v v v

V S V

D u dV dS F dV q n dSDt

ρ ρ ρ→ → → → → → → + ⋅ = ⋅Σ + ⋅ − ⋅

∫ ∫ ∫S∫

65


Se aplica el teorema de la divergencia para transformar las integrales de superficie y sabiendo que . jiji nP−=Σ Teorema de divergencia

∫∫ ⋅∇=⋅ dVAdSnA ˆ

v v vj i j ij jdS dS P n dS→ →

⋅Σ = Σ =∫ ∫ ∫

Equivalencia

( ) ˆv vj ij jP n dS P n dS→ → ⋅ ⇒ ⋅ ⋅

∫ ∫

Por lo que al aplicar el teorema de la divergencia tenemos

( )v j ijj

P dVx∂

⋅∂∫

Entonces la primera ley de la termodinámica queda de la siguiente forma

( )12 v v v vj ij i

i iV V V

D u dV P dV F dV q dVDt x x

ρ ρ ρ→ → → →∂ ∂ + ⋅ = − + ⋅ − ∂ ∂ ∫ ∫ ∫

S∫

Teorema de Reynolds

( ) ( )vkkV V

D t dV dVDt t x

αα α ∂ ∂

= + ∂ ∂ ∫ ∫

Aplicando el teorema de Reynolds tenemos lo siguiente

( )1 1v v v v v v2 2i i i i k j ij i i i

k iV V

u u u P Ft x x

ρ ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ + + + = − + − ∂ ∂ ∂ ∂

∫ ∫i

q dVx∂

Como V es arbitrario, entonces después de integrar V tenemos lo siguiente:

( )1 1v v v v v v v2 2j j j j k j ij j j j

k i

u u Pt x x

ρ ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ + + + = + − ∂ ∂ ∂ j

F qx∂

∂

Aplicando la ecuación de conservación de la masa y del momento lineal, para simplificar la ecuación anterior.

66


A.5 Conservación de la masa:

( )v 0kkt x

ρ ρ∂ ∂+ =

∂ ∂

Conservación del momento lineal:

v v vi k i ikk k

P ft x x iρ ρ ρ∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂

+

Ahora se desarrollará el lado derecho de la ecuación

v v1 v v v v2 2

j jj j j j

uu ut t t t

12 t

ρ ρρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

.........................................(A)

( ) ( )1 1v v v v v v v v v v v2 2j j k k k j j k k j j

k k k k

uu ux x x x

ρ ρ ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂

12kx

∂ ...........(B)

Por la ecuación de continuidad sabemos que ( vkkt x

)ρ ρ∂ ∂− =

∂ ∂, sustituyendo este resultado

en (B) y sumando las ecuaciones anteriores se tiene:

v v 1 1v v v v v v v v2 2 2 2j j

j j k j j k j jk k

u uA Bt t t x t x

ρ ρρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + = + + + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

1 ..............(C)

Desarrollando los términos que aparecen en las ecuaciones A, B, C.

v v v1 1v v v v v2 2 2j j j

j j j j jt t tρ ρ ρ ρ

t∂ ∂ ∂ ∂ = + = ∂ ∂ ∂ ∂

y v1v v v v v

2j

k j j j kk kx x

ρ ρ∂∂ = ∂ ∂

Por lo tanto se puede escribir A+B en una forma más simplificada.

v vv v v vj j

j k j kk k

u uA Bt t x

ρ ρ ρ ρ∂ ∂∂ ∂

+ = + + +∂ ∂ ∂ x∂

Analizando el desarrollo del otro lado de la ecuación de conservación de la energía.

( ) vv v j

j ij j ij iji i

P P Pix x x

∂∂ ∂= +

∂ ∂ ∂

67


Por lo tanto la ecuación de conservación de la energía es:

v vv v v v vj j j

j k j k j ij ij j jk k i i

vu uu P Pt t x x x x x

ρ ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ + + = + + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ j

j

F q∂

Pero aplicando la ecuación de conservación de momento considerando que la energía debida a las fuerzas externas es diferente de cero tenemos, que es:

vv v j

j k ijk i

P Ft x x jρ ρ ρ

∂∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂

Por lo que al aplicar esta ecuación tenemos:

vv vj i

k ij jk i j

qu u P Ft x x x jρ ρ ρ

∂ ∂∂ ∂+ = − +

∂ ∂ ∂ ∂

entonces pasando la ecuación a la nomenclatura del libro tenemos lo siguiente:

iiYv)(:P--uv Vfqtu

⋅+∇∇=∇⋅+∂∂ ∑ρρρ

El lado izquierdo de la ecuación es la energía interna del sistema, el primer término del lado derecho es el calor que se pierde durante el proceso, el segundo término representa la energía por fuerzas viscosas, el último término es la energía asociada al cuerpo de fuerzas externas que actúan en el sistema Si consideramos que q es escrito por la siguiente relación

( ) Rji

N

i

N

j iji

iTjN

iiii qVV

DWDX

YhTq +−

++∇−= ∑∑∑

= == 1 1

,

1Vρλ

El primer término del lado izquierdo es el calor liberado por el sistema por efectos conductivos, el segundo término es la energía liberada por reacciones químicas. El tercer término de la expresión de calor se le conoce como efecto Dufour que tiene que ver con la velocidad de difusión térmica que aumenta cuando el gradiente de temperaturas es grande, cuando hay una transferencia de masa. La entalpía específica se denota por: Hi = Hi / mi , Hi = himi , Yi = ρi / ρ

iiiiiiiiiiiiii VYhVhVnmhVnH ρρ ===

68


Por lo tanto la expresión para todas las especies es:

∑=

N

iiii VYh

1

ρ

Esta expresión denota la cantidad de calor por reacciones químicas de cada especie. Tensor de presión

( ) ( ) ( )v v vTx x xT µ η = − ∇ + ∇ ∇ U .......................................................................................(1)

κµη −=32 .............................................................................................................................(2)

Donde η : Coeficiente de viscosidad T : Tensor Cortante P : Tensor de presión κ : Coeficiente de viscosidad de bulto P = pU + T p : presión hidrostática U : Tensor unitario Combinando (1) y (2)

( ) ( )23( ) ( v) ( v) vTP pU Uµ µ κ = + − ∇ + ∇ − ∇

( ) ( ) ( ) ( )23 v v TP p Uµ κ µ = + − ∇ − ∇ + ∇ v

Por otro lado se tiene que la velocidad neta de cambio de momento de las moléculas del tipo i por unidad de volumen es

1

v ( ) , 1, 2,...,N

i ij ij j i i ij

V V Y f i Nµ ρ=

Γ = − + =∑

Donde: µij : perdida de masa mi : # total de colisiones por unidad de volumen por segundo

69


ρYifi : Cuerpo de fuerzas que actúan sobre una molécula de tipo i por unidad de volumen :ij VV − Velocidad relativa promedio transferida de i a j

:)( ijij VV −µ Momento trasferido hacia una molécula tipo i en una colisión entre moléculas i y j. En resumen: Ecuación de Continuidad

⋅∇−=

∂∂ →

vρρt

Ecuación de Conservación de Momento

1

1v v . vN

i ii

P Yt ρ

→

=

∂+ ∇ = − ∇ +

∂ ∑ f

Ecuación de Conservación de Energía

( ) Rji

N

i

N

j iji

iTjN

iiii qVV

DWDX

VYhTq +−

++∇−= ∑∑∑

= == 1 1

,

1ρλ

Ecuación de Conservación de Especies

( )v , 1,2,....i i i io

Y w Y VY it

ρρ ρ

∂ ∇ •+ •∇ = − =

∂N

Tensor de Esfuerzos

( ) ( ) ( ) ( )23 v v TP p Uµ κ µ = + − ∇ − ∇ + ∇ v

A.6 Ecuaciones Acopladas Una serie de efectos no son muy importantes en algunas ecuaciones en problemas de combustión y se omitirán en la mayoría de las aplicaciones. Hipótesis:

1. El cuerpo de fuerzas que actúan sobre el sistema es despreciable. 2. Los efectos Soret y Dufour (Términos que involucran DT,i) son cero pues en un

proceso de combustión son muy pequeños. 3. La presión que actúa sobre el sistema es constante, por lo que el gradiente de presión

es cero[(Yi-Xi) P/p] ∇4. La viscosidad µ = Cte, y la de bulto κ = 0 5. El flux de calor por radiación qr = 0, pues en el proceso de quemado no hay

partículas sólidas suspendidas ( no hay hollín) 6. se considera que es un flujo estacionario

70


La ecuación de continuidad de un flujo estacionario, se reduce a:

0)v( =⋅∇ ρ Para velocidades bajas, flujo estacionario los efectos viscosos se consideran despreciables por lo que la ecuación de momento la presión es constante. Por otro lado si se analiza la conservación de la energía se tiene

..................................................................(1) )v()(v1i

⋅∇−

⋅∇−∇⋅∇=∇⋅ ∑

=

pVYhTuN

iiiρλρ

y teniendo que la energía interna para una mezcla gaseosa es:

∑=

−=N

iii

pYhu1 ρ

sustituyendo la ecuación de continuidad y la energía interna en (1) se tiene que:

1

(v ) 0N

i i ii

Y h V Tρ λ=

∇ • + − ∇ = ∑

.............................................................................................(2)

Con la ecuación de continuidad y la de conservación de especies se tiene que:

[ ](v ) , 1, 2,...,i i iY V w iρ∇ • + = = N

i

...........................................................................................(3) Cuando todos los coeficientes de difusión binarios de todas las especies son aproximadamente iguales entonces la ecuación del perfil de concentraciones másica se reduce a

1

( )N

i i j j ij

D X X X V X V=

∇ = −∑

Suposiciones:

)(1

)(1

0

.

0

0

1

molFracciónmasadeónConcervaciX

masaFracciónmasadeónConcervaciY

linealmomentodeónConcervaciVY

sistemaeltodoparaddifusividadeeCoeficientDD

N

ii

N

ii

N

iii

ij

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

71


Si multiplicamos a la expresión anterior por Yi / Xi, y si sumamos sobre todo i en∑ ,

obtenemos lo siguiente =

N

jjjVX

1

i

N

jjii VLnXYLnXD −=

∇−∇ ∑

=1

Obteniendo la ley de Fick

ii LnYDV ∇−= ........................................................................................................................(4) Por otro lado se sabe que la ecuación de estado es

∫+=T

Tipii dTChh

0,

0

Sustituyendo esta ecuación en la ecuación (3) y (2)

0 0

0

1 1

vT TN N

i i i ii iT T

CpdT YV CpdT T h wρ ρ λ= =

∇ • + − ∇ = −

∑∫ ∫ ∑ .................................................(5)

Donde

∑=

=N

iiiCpYCp

1...........................................................................................................................(6)

que es el calor específico de l mezcla. Por definición tenemos el número de Lewis

1==DCp

Leρ

λ ......................................................................................................................(7)

Es un número que nos dice la relación que existe entre la capacidad de transferir energía por conducción y por difusión de las especies. En este caso tiene la misma capacidad de transferir energía por conducción y por difusión de las especies. Sustituyendo (7) en (4)

0 0

0

1

vT T N

i iiT T

CpdT CpdT h wCpλρ

=

∇ • − ∇ = −

∑∫ ∫ .................................................................(8)

72


La ecuación (3) y (4) implica que

( v )i iY D Y iwρ ρ∇ • − ∇ = ......................................................................................................(9) la cual es conocida como ecuación de conservación de especies de Shvab y Zel’dovich. Para enfatizar lo que esta ocurriendo podemos ahora suponer que las reacciones en el proceso ocurren paso a paso es decir una vez formada una especie dará pie a otra por medio de una reacción para formar otra y así sucesivamente.

, ,

1 1v v

N N

i i i ii i

m m= =

⇒∑ ∑ , ,

donde mi es el símbolo para la especie química i, en este caso tenemos que

,, ,(v v )i i

wiWi

ω≡−

....................................................................................................................(10)

Despejando wi de (10) y sustituyendo en (8) tenemos lo siguiente.

0 0

0 ,, , 0 ,, ,

1 1

v(v v ) (v v )

T T

T TN N

i i i i i ii i

CpdT CpdTD

h Wi h Wiρ ρ ω

= =

∇ • − ∇ =

− −

∫ ∫

∑ ∑

donde

TN

iiii

T

T

vvWih

CpdTαα ≡

−=

∑

∫

=1

,,,0 )(

0

De forma análoga se puede hacer lo mismo en la ecuación (9), por lo tanto la ecuación (8) y (9) se pueden escribir de la siguiente forma.

[ ]v Dρ α ρ α ω∇ • − ∇ = ..........................................................................................................(11) entonces se define que:

ωα =)(L ...............................................................................................................................(11a)

73


donde L es un operador lineal

[ ]( ) vL Dα ρ α ρ α= ∇ • − ∇ Entonces para determinar las variables de flujo por la ecuación lineal para sistemas donde la función es acoplada β, se tiene L(β) = 0 Con β = αT - α1 ≡ βT y β = αI - α1 ≡ βi (i≠1) En el operador lineal L, el primer termino representa la convección del proceso y el segundo la difusión. La ecuación (11a), representa los balances de energía por efectos convectivos, difusivos, y por reacciones químicas.

74


APÉNDICE B

QUEMADO DE UNA PARTÍCULA DE COMBUSTIBLE EN UNA ATMÓSFERA OXIDANTE

Una variedad de fenómenos son exhibidos por el quemado de una partícula de combustible esférica en una atmósfera oxidante infinita. Aquí se considerará una de las situaciones más simples, el quemado esférico simétrico cuasi estático de un combustible líquido que se vaporiza y reacciona en una flama de fase gaseosa produciendo productos gaseosos que fluyen y se difunden al infinito. Sin embargo, en principio, es de interés indicar algunas de las complejidades que pueden surgir en otras situaciones. Por la diversidad de los mecanismos de oxidación de los sólidos a altas temperaturas, estas complejidades con frecuencia se asocian con la combustión de combustibles sólidos. La volatilidad del combustible y su óxido tiene una importante influencia sobre los mecanismos de la combustión de la partícula. El carbón es un ejemplo de un sólido no volátil y volátil a la vez, las reacciones tienden a ocurrir en la superficie de la partícula. Si los productos de la reacción son menos volátiles, entonces su condensación puede influenciar en el mecanismo de la combustión. Los mecanismos de combustión siempre se ven influenciados por la condensación de productos no volátiles. Los productos condensados se pueden acumular en la superficie de la partícula, en la superficie de la reacción localizada a cierta distancia de la superficie de la partícula, en la superficie de la capa de condensación localizada en el exterior de una partícula delgada de la fase gaseosa de la reacción o bien pueden fluir y difundirse hacia el infinito en forma de partículas finas. Los combustibles líquidos con productos gaseosos no comparten estas complejidades en sus mecanismos de combustión. El experimento más ideal en la combustión de gotas líquidas es el quemado estacionario de una gota simétricamente esférica, que internamente se suministra con combustible; por ejemplo a través de un soporte esférico poroso en un ambiente de gravedad. La ausencia de gravedad es significante porque las fuerzas flotantes distorsionan la forma de la flama significativamente, a menos que la partícula de combustible sea muy pequeña. Tres diferentes técnicas experimentales han sido ideadas para estudiar el quemado de una gota de combustible en una atmósfera oxidante (Williams, 1985).

75


Combustible

Filamento de cuarzo

Región luminosa Región

luminosa Región luminosa

Gota libre Esfera Porosa

Gota suspendida

movimiento de la gota

a b c

Figura 1. Diagrama de Experimentos del Quemado de una gota de combustible en una atmósfera oxidante. a)Esfera porosa, b) Gota suspendida c) Caída de una gota

En el caso de estudio de una sola partícula porosa la masa que es transferida por unidad de tiempo se denota por la siguiente relación.

1rKm ′=& ....................................................................................................................................(1) donde r1 es el radio de la gota y K’ es independiente del radio de la esfera (r1). En el caso de una partícula suspendida o una partícula que esta cayendo la masa trasferida esta dada por:

)( 02

12

0,1 ttKdd −=− .................................................................................................................(2) en donde d1 es el diámetro de la gota, t es el tiempo, d1,0 es el valor del diámetro antes de empezar el régimen de quemado, K es llamada la constante de evaporación, que es independiente de t.

76


Suposiciones

r1

Gota

Medio oxidante

Superficie de flama

Productos

Productos

Combustible Zona de Reacción

Fig 2: Modelo de el quemado de una gota de combustible en una

atmósfera oxidante Si se concederá a la gota como esférica, entonces el volumen de la gota esta dado por:

3

34 rV π= ................................................................................................................................(3)

donde r es el radio de la gota. Por otro lado el cambio de volumen de la gota durante el proceso de quemado es

drrdV 24π= ...........................................................................................................................(4) entonces el cambio en el volumen el a gota es solo función del radio de la gota.

[ 214 r

dtd

dtdV π−= ] ...................................................................................................................(5)

Ahora partiendo de la hipótesis de que la densidad de la partícula es constante.

Vm ρ= ....................................................................................................................................(6) Por lo tanto

dtdrr

dtdm

d124 ρπ−= ...............................................................................................................(7)

Reescribiendo la ecuación (7).

77


1

21 2)(

rm

dtdd

dρπ&−

= ......................................................................................................................(8)

Como se puede ver la expresión 8, se puede escribir.

dd

Kr

mKρπρπ

'22

1

== .................................................................................................................(9)

B.1 Análisis de la predicción de la rapidez de quemado Usando la ecuación de continuidad sabemos que el cambio de la masa respecto al tiempo es constante.

tetanconsvr4m 2 =ρπ=•

.........................................................................................................(10) donde r es la coordenada radial y v es la velocidad radial. La velocidad de quemado aparece como un eigenvalor de la expresión L(β) = 0 y será obtenida para aplicarla en la ecuación L(β) = 0 para βT con α ≡ α0 tenemos lo siguiente. L(α) = L(β) = 0 Por lo que el operador lineal queda:

[ 0v =∇−⋅∇ ]αραρ D entonces haciendo uso de L(β) = 0, se tiene

[ 0v =∇−⋅∇ ]βρβρ D , entonces aplicando coordenadas esféricas se tiene

( )

=

drdDr

drdr

drd βρβρ 22 ν ................................................................................................(11)

entonces se puede reducir usando πρ 42 v

•

= mr

drd

mDr

drd

drd βρπβ

=

&

24 .....................................................................................................(12)

Cuando se usa la ecuación (10). En términos de la dimensión variable independiente.

∫∞

−≡r

drDrm 12 )4( ρπξ & .........................................................................................................(13)

entonces resolviendo la integral impropia se tiene que

78


( ) 122 4

4 41 −••∞•

=∞→

==

−∫ Drmm

Drdrm

DrLim

rr

ρπλρπ

ξρπ

λ

( ) 14 −•

= Drm ρπξ

ξξρπ

ξ drdryDr

mdrd

=−=

•

24

entonces la ecuación (12), se reduce a

2

2

ξβ

ξβ

dd

dd

= .............................................................................................................................(14)

donde la expresión 14 es una ecuación diferencial ordinaria de 2do orden.

02 =+ ZZ de la cual el polinomio característico es r2 + r = 0

ξξβ 21 rr BeAe += Por lo que la solución de esta ecuación es.

ξβ −+= eBA .........................................................................................................................(15) donde A y B son constantes, es la solución para el perfil de un par de funciones β. Los valores de A y de B dependen de las condiciones límite, los cuales serán discutidas por separado para cada función. Los perfiles de temperatura y de concentración son determinados por.

∫ +=−≡T

TT vW

Yq

CpdT0 00

000ααβ ............................................................................................(16)

donde el calor promedio de reacción a la temperatura T0 es

∑−

=

−+≡2

1

000

00

00N

iiiiFFF vWhvWhvWhq ......................................................................................(17)

entonces las constantes AT y BT son resueltas, con β = βT son determinadas por las condiciones limite de la temperatura y de la fracción masa de oxidante. La notación + o -, indican las condiciones dentro y fuera de la gota correspondientemente entonces.

79


000 =

−

+dr

dYDYv ρρ ....................................................................................................(18)

Desde que no hay oxidante dentro de la partícula (que es, Y0-=0). La ecuación determina meramente la velocidad de flujo másico en la superficie de la gota que es cero, esto produce que

ll

YddY

,00 −=

ξ

........................................................................................................................(19)

donde el uso ha sido hecho de las ecuaciones (10), (13), y la inscripción l identifica condiciones en el gas en la superficie de la gota. Es claro que la razón física de que cuando la temperatura de la gota es constante y uniforme, la cantidad de calor conducido dentro de la gota debe ser suficiente para vaporizar el combustible que hay en la gota.

LmdrdTr &=

+

λπ 24 ..........................................................................................................(20)

donde L es el calor de vaporización por unidad de masa del combustible a una temperatura Tl. Para obtener la ecuación (20) formalmente, uno debe omitir la energía por radiación y energía cinética, se usa el ∇ y V0=−T i- = 0, y empleando la conservación de la masa para el combustible y el producto de especies. Usando las siguientes ecuaciones en la ecuación (20)

∑∫∫=

−=

∇−

•∇

==

N

iii

T

T

T

T

whdTCpCp

dTCpv

CpDLe

1

0

00

1

λρ

ρλ

Tomando la referencia estándar arbitraria de temperatura de T0=Tl por conveniencia se tomarán las condiciones a la frontera

80


Ld

CpdTd

l

T

T −=

∫

ξ0

...............................................................................................................(21)

La ecuaciones (19) y (21), determinan el gradiente de βT. En la superficie de la gota en el gas, combinando los términos L y Y0,l.

00

,00 vW

YqL

dd l

l

T −−=

ξ

β ..........................................................................................................(22)

Se puede ver que la ecuación (15) y la ecuación (22) muestran que

00

,00

1

vWY

qLeB l

T +=−ξ ...............................................................................................................(23)

donde una velocidad de quemado adimensional es

∫∞

−≡r

drDrm 121 )4( ρπξ & ........................................................................................................(24)

Se puede obtener una expresión para la velocidad con la ecuación (15), cuando se aplica βT y evaluando con r = r1.

leBA TTlTξβ +=, ............................................................................................................(25)

Evaluando la misma ecuación con r = ∞, donde ξ =0.

TTT BA +=∞,β .......................................................................................................................(26) Por eliminación entre (25), (26), se tiene

leBTlTTTξβββ −

∞ +−= )( ,, .....................................................................................................(27)

En vista del significado de y nuestra convención T∫T

T

CpdT0

0 = Tl, se tiene que

00

,0,00

1,

,, vWYY

q

dTCpYl

N

i

T

Tii

lTTl −

+=− ∞=∞

∞

∑ ∫ββ ..............................................................................(28)

81


Utilizando la ecuación (23) y (27), se tiene que:

+

−+

+=∑

∫

=

∞

∞

∞

00

,00

1 00

,0,00

,

1

)(

1

vWY

qL

vWYY

q

dTCpY

Lnl

N

i

l

T

Tii

l

ξ ......................................................(29)

El hecho de que la ecuación (29) puede escribirse en notación dimensional, usando la ecuación 24.

( )

+

×−+

+×=∑ ∫

∫

=

∞∞

∞

∞−

00

0

,0

1 00

0,0,0

,

12

)(

14

1

1vW

qYL

vWqYY

dTCpY

LndrDr

m

l

N

i

lT

Tii

r

l

ρπ& ..............................(30)

82

Documents

Uso de Distribuciones de Tamaño de Partícula para el ...148.206.53.84/tesiuami/UAMI13059.pdf · Evolución de una Distribución de Tamaños de Gota para Modelar un Proceso de Combustión