Uso creativo del cartabon y la escuadra · pensamiento inventivo y creativo. ... Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones (LS). 8.- Uso de herramientas

“USO CREATIVO DEL CARTABÓN Y LA ESCUADRA”. UDI PARA EL 3º CICLO DE PRIMARIA.

………………………………………………………………………………………………………………………………………… Juan García Moreno // http://www.didactmaticprimaria.com/

1

“USO CREATIVO DEL CARTABÓN

Y LA ESCUADRA”

La utilización de polígonos modulares en la enseñanza-aprendizaje de la Geometría

en la Etapa Primaria.

(Ejemplificación con triángulos_cartabón y triángulos_escuadra)



2

“Vivir la Geometría en la escuela puede ser una experiencia feliz si basamos su aprendizaje en actividades constructivas, sensibles y lúdicas. De todas las disciplinas matemáticas la Geometría es la que mayores posibilidades ofrece a la hora de experimentar, mediante materiales adecuados, sus métodos, sus conceptos, sus propiedades y sus problemas. Es por ello que la enseñanza geométrica no debe sucumbir a las limitaciones formales, simbólicas y algebraicas de los conocimientos matemáticos: será precisamente en este primer estadio de sensibilidad donde el tacto, la vista, el dibujo y la manipulación permitirán familiarizar al alumno con todo un mundo de formas, figuras y movimientos sobre el cual asentar posteriormente los modelos abstractos”. Claudi Alsina, Carme Burgués, Joseph Mª Fortuna. “MATERIALES PARA CONSTRUIR LA GEOMETRÍA”. (Matemáticas: Cultura y aprendizaje (/nº 11). Editorial Síntesis)

Pero la mayor parte de los maestros y maestras que imparten el área de Matemáticas (y del profesorado que realiza propuestas), por diferentes razones, no ha “vivido” la geometría ni ha tenido una formación adecuada al respecto; no ha jugado con las formas y, por tanto, no ha tenido la oportunidad de descubrir el inagotable mundo de relaciones, de patrones, de regularidades que éstas esconden… De esta manera es difícil trasladar esta vivencia de la Geometría a nuestras aulas, a nuestros alumnos y alumnas. Como consecuencia de este déficit vivencial o experimental de la Geometría, de no haber descubierto su extraordinario potencial formativo, todavía ésta sigue siendo relegada en el currículo de matemáticas en todos los niveles y etapas… Es por ello, además, que la mayor parte de las propuestas que se vienen haciendo en libros de texto, y otros formatos, para trabajar el bloque de Geometría a lo largo de la Etapa Primaria suele reflejar una visión excesivamente fraccionada y estereotipada de esta materia, que no permite aprovechar de manera óptima el alto valor formativo que tiene. Con bastante frecuencia las actividades propuestas son poco relevantes, curricularmente hablando, incidiendo, sobre todo, en tareas de reproducción más que en tareas de conexión y reflexión. Esto no resulta ni eficaz ni suficiente para ayudar a progresar a los alumnos desde sus intuiciones espaciales hasta grados cada vez más elaborados y objetivos de razonamiento espacial, el más específico de los tipos de razonamiento que se puede desarrollar en este bloque. Un tratamiento adecuado de la Geometría en Primaria debe perseguir la mejora continua de la intuición espacial (de naturaleza visual, directa y subjetiva -creativa-) y la percepción espacial (reconocimiento de formas, propiedades geométricas, transformaciones, relaciones espaciales,…) mediante el desarrollo progresivo de habilidades de visualización (permiten reconocer objetos geométricos iguales o semejantes por cambio de posición y escala), de estructuración/construcción (reconocimiento y reconstrucción de un objeto geométrico a partir de sus elementos básicos constituyentes, que implica la abstracción), de traducción (comunicar oralmente o por escrito el procedimiento, estrategias, … que llevan a un determinado resultado, y viceversa), de determinación (reconocimiento de la existencia de un objeto geométrico a partir de una descripción de sus relaciones métricas), de clasificación (el reconocimiento de clases de figuras – planas y tridimensionales- equivalentes según



3

diferentes criterios, con dificultad progresiva, permite organizar el universo de las formas planas y espaciales…) El razonamiento espacial actúa sobre figuras geométricas (tridimensionales y planas) por medio de operaciones básicas entre las que destacan el análisis (descomposiciones diversas de un mismo todo) y la síntesis (combinaciones diferentes de las mismas partes) teniendo en cuenta la orientación espacial y las posiciones de las figuras en el espacio. Estas operaciones son ineludibles e inseparables (si una es el camino de ida la otra es el camino de vuelta). El análisis y la síntesis desarrollan tanto el pensamiento convergente (partes diferentes se organizan configurando un mismo todo final) como el pensamiento divergente (las mismas partes se organizan en todos que son diferentes), fundamentales para el pensamiento inventivo y creativo. Pero además del razonamiento espacial, el mundo de las formas y su orientación en el espacio es un soporte ideal para el desarrollo de la observación sistemática de diferentes variables geométricas fundamentales (longitud, perímetro, área, volumen, número de lados -aristas, vértices, …-, amplitud angular, simetrías, giros, traslaciones, concavidad, convexidad, fraccionamiento,…) susceptibles de comparación/medición para determinar diferencias y similitudes que permitan la clasificación (simple o jerárquica), a partir de la consideración de las características comunes que conforman las clases, a través de la inducción y la síntesis. Estas habilidades cognitivas facilitan la formulación/verificación de conjeturas e hipótesis (evidentemente adecuadas al grado de desarrollo madurativo de los alumnos y alumnas a los que se dirigen las propuestas), que implica análisis, inducción informal (si una propiedad se cumple en todos los casos vistos es probable que se cumpla siempre…), generalización, síntesis y deducción. Una atención especial merece el razonamiento analógico (descubrimiento de relaciones). Implica procesos como la observación sistemática, el análisis, la comparación de cualidades o variables, la proyección de relaciones, la selección de alternativas y es especialmente útil para estructurar el pensamiento inductivo (al captar relaciones bidireccionales, paralelas o recíprocas entre dos objetos, dos situaciones o dos conceptos) con el fin de formular hipótesis, generar convicciones, expresarse con convicción…) Por otra parte, la enseñanza-aprendizaje de la matemática escolar persigue desarrollar competencias. El concepto “competencia” tiene un claro componente funcional, utilitario, de aplicabilidad. Pone el acento en lo que el alumno es capaz de hacer con sus conocimientos y destrezas matemáticas, más que en el dominio formal de los conceptos y destrezas. Las competencias matemáticas elegidas (desde el proyecto PISA/OCDE) son:

1. Pensar y razonar (PR). 2.- Argumentar (AJ). 3.- Comunicar (C). 4.- Modelar (M). 5.- Plantear y resolver problemas (RP).



4

6.- Representar (R). 7.- Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones (LS). 8.- Uso de herramientas y recursos.

Pero ¿cómo integrar en propuestas y actividades concretas todas estas habilidades cognitivas, razonamientos específicos y competencias matemáticas? La siguiente tabla muestra una reinterpretación personal enriquecida de la expuesta por Luis Rico Romero (Evaluación de Competencias Matemáticas. Proyecto PISA/OCDE. 2003. Luis Rico

Romero. Universidad de Granada) sobre la gradación –niveles- de competecias matemáticas (subcompetencias si las referimos a las competencias generales).

Es sumamente importante y práctico tener presente una tabla como ésta y usarla como referencia para saber de qué manera inciden las actividades que proponemos en el desarrollo de competencias. La unidad didáctica ( o proyecto de área si se prefiere) “Uso creativo del cartabón y la escuadra” que se ofrece a continuación integra, a mi juicio, todos los aspectos anteriores de una manera eficaz y atractiva, sugiriendo incluso posibilidades que van más allá de las actividades concretas propuestas. Ilustra un enfoque de la Geometría más acorde con los tiempos y las demandas sociales.



5

Persigue de una manera clara desarrollar las capacidades de los escolares para analizar y comprender situaciones relacionadas con el universo de las formas, razonar sobre ellas, identificar los conceptos y procedimientos aplicables, generar soluciones y expresar los resultados de forma adecuada. Como valor transversal se persigue apreciar la armonía y belleza que generan las formas geométricas así como valorar el cuidado y la precisión necesarios para la obtención de formas más armoniosas A su vez, se han tenido muy presentes cinco de los seis principios, internacionalmente aceptados, para las matemáticas escolares: El principio de igualdad. No significa que todos los/as alumnos/as deben recibir una enseñanza idéntica pero sí que todos deben “hacer matemáticas”. Serán los maestros y maestras los que tendrán que decidir qué actividades concretas realizan, o no, determinados alumnos y cómo adaptar las actividades para atender a la diversidad de estilos, intereses y capacidades de sus alumnos. El principio de currículum. Las ideas matemáticas están relacionadas y se construyen unas sobre otras. Por lo tanto, será imprescindible guiar a nuestros alumnos en un proceso continuo de descubrimiento de relaciones, de conexiones, más allá de la mera reproducción… El principio de la enseñanza. Favoreciendo que el profesorado conozca y entienda más profundamente las matemáticas que enseña y sea capaz de usar ese conocimiento con flexibilidad, motivando y apoyando al alumno en su aprendizaje. El principio del aprendizaje. Los alumnos deben aprender las matemáticas entendiéndolas, construyendo activamente los nuevos conocimientos a partir de sus conocimientos y experiencias previas. El principio de evaluación. Apoyando el aprendizaje de matemáticas relevantes a la vez que el abordaje de las tareas propuestas facilita información útil tanto al profesorado como al alumnado en relación con la autorregulación del aprendizaje del alumno (fijándose metas, resolviendo retos, asumiendo responsabilidades, mejorando su autoestima,…) El principio de Tecnología 1 . El alumnado puede desarrollar un conocimiento más profundo de la matemática (Geometría en este caso) mediante un uso apropiado de la tecnología focalizando su atención en la reflexión, el razonamiento y la resolución de problemas… En “Uso creativo del cartabón y la escuadra” se ha tenido en cuenta proponer actividades que favorezcan la motivación y el interés hacia la Geometría, buscando que estén lo mejor contextualizadas y situadas posible. No es nada fácil hacer compatible esta tarea con todo lo anteriormente argumentado. Es obvio que la Geometría parte de la realidad, la abstrae y luego sus resultados, sorprendentemente, son aplicables al estudio y análisis de la propia realidad; que es casi inevitable en Primaria tratar las formas sin que éstas se asocien o sugieran parcelas de la realidad en la que vivimos… No

1 En esta propuesta se ha optado por conseguir los mismos objetivos a partir de materiales didácticos enormemente sencillos y

mediante modelos ya construidos para cuya realización ha sido imprescindible el uso de programas de geometría.



6

obstante, cuando la realidad no esté presente o sugerida de manera evidente se tendrá en cuenta el contexto motivacional y sociocultural y la construcción de contextos dentro de la propia matemática. El contexto lúdico y el contexto investigativo-creativo están continuamente presentes.

Teniendo en cuenta el grado de complejidad de las tareas (reproducción, conexión y reflexión), la mayor parte de las tareas que se proponen inciden en los dos últimos grados de complejidad (puesto que se utilizan con mayor frecuencia contextos matemáticos que otros más familiares, se incide continuamente en la interpretación y explicación de modelos en tareas que siempre requieren de comprensión y reflexión, se provoca el uso de diferentes estrategias de resolución de problemas no rutinarios, se busca la creatividad, las producciones del alumno como ejemplificación y uso de conceptos, la relación de conocimientos, la justificación y generalización de resultados…) Aunque se persigue fundamentalmente desarrollar las competencias matemáticas, es lógico que también se persiga, de manera más transversal, el desarrollo de otras competencias básicas. Así, la adquisición gradual de precisión en el lenguaje matemático utilizado en las explicaciones de los procesos y en las argumentaciones es un vehículo de mejora de las destrezas comunicativas. Se tiene en cuenta más aún que el carácter instrumental de las matemáticas, su valor formativo (lo que su aprendizaje aporta al desarrollo intelectual, al crecimiento personal y desarrollo integral). La propuesta de tareas para ser realizadas en pequeños grupos o colectivamente pone en juego el aprendizaje colaborativo, en equipo. Este aspecto debe ser aprovechado para propiciar la necesidad de compartir, cooperar y establecer unas normas para conseguir juntos los objetivos propuestos La importancia que se da en esta propuesta a las producciones y diseños geométricos realizados por los alumnos como creación propia a partir de la utilización de sus propios conocimientos, y fácilmente vinculable a diversas manifestaciones artísticas, contribuyen al desarrollo de la competencia en expresión cultural. Evidentemente no se apuesta aquí por una recepción pasiva de los conocimientos transmitidos por el/la maestro/a sino que decididamente se apuesta por la acción del alumno facilitándole que “construya la Geometría” a través de un proceso guiado de investigación 2 y descubrimiento. Estos conceptos son casi sinónimos en la Etapa Primaria. Los contenidos geométricos se prestan especialmente a ello. En esta construcción de la geometría cobra un papel especial el procedimiento geométrico por excelencia (o el más específicamente geométrico): el dibujo. Esto se traduce en la realización de dibujos por parte de los alumnos y en el uso continuo de modelos gráficos (construidos y realizados) sobre los que tendrá el alumno que realizar acciones.

2 Evidentemente, en Primaria, hay que entender Investigación como todo aquel proceso que provoque en el alumnado descubrimiento y creación.



7

En esta propuesta se ha optado, además, por utilizar materiales didácticos manipulables sumamente sencillos: dos juegos de triángulos idénticos entre sí (o congruentes). Se considera la manipulación guiada de los materiales (que persigue unas metas claras), la reflexión sobre lo realizado (a la que se va llevando paso a paso al alumno mediante los diferentes modelos y actividades propuestas, y que se va plasmando en el cuaderno de trabajo) y la comunicación de descubrimientos (tanto la comunicación escrita de la que queda constancia en el cuaderno de trabajo como la comunicación oral provocada y administrada por el/la maestro/a) los pilares constituyentes del método o enfoque pedagógico utilizado para el desarrollo de habilidades cognitivas y competencias. Se tiene siempre presente la función formativa de las Matemáticas (buscando el desarrollo de las capacidades de razonamiento y abstracción), su valor instrumental (permitiendo posteriores aprendizajes tanto en el área de Matemáticas como en otras áreas), y su valor funcional (posibilitando la comprensión y resolución de problemas de la vida cotidiana).

Se prioriza la observación de propiedades, el establecimiento de relaciones y la resolución de problemas concretos (entendidos en sentido amplio y distinguiéndolos de los ejercicios rutinarios o mecánicos) a través de actividades que, en sí mismas, supongan atractivos desafíos que resolver, utilizando metodológicamente – y no de manera meramente testimonial- recursos y materiales didácticos para ser manipulados. Es evidente que este recurso va a permitir desarrollar en cierto grado cada una de las competencias matemáticas puesto que se ha diseñado teniendo muy presentes los seis niveles competenciales así como las tipologías de actividades y tareas correspondientes a cada nivel de competencia. Son las características de los modelos utilizados en las actividades propuestas los que facilitan plantear cuestiones que implican niveles de competencia altos (3, 4, 5 y 6). Así, por ejemplo…

Para la competencia PENSAR Y RAZONAR (PR), los alumnos han de responder a cuestiones en contextos poco familiares (3) e incluso formar y relacionar conceptos (6).

En relación con la competencia ARGUMENTAR Y JUSTIFICAR (AJ), han de elaborar sus argumentos basados en las propias acciones (4) con el material manipulativo y los modelos gráficos, formular los razonamientos desarrollados -explicaciones, argumentaciones- (5) e incluso elaborar argumentos desde la propia reflexión (6).

En relación con la competencia COMUNICAR (C) deben describir resultados obtenidos (2), realizar explicaciones sencillas (3) apoyadas en los modelos realizados, comunicar conclusiones con precisión (5).



8

En relación con la competencia MODELIZAR continuamente han de estar utilizando modelos explícitos en situaciones concretas e incluso desarrollando nuevos modelos (4-5).

En relación con la competencia PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS (RP) continuamente se proponen problemas geométricos no rutinarios (bastante escasos en la mayor parte de los libros de texto) que han de resolverse con datos sencillos (1), seleccionar y aplicar estrategias sencillas de RP (3) e incluso generalizar resultados de problemas (6).

En relación con la competencia REPRESENTAR ( R ), continuamente se obliga a los/as alumnos/as a leer datos en figuras, gráficos y tablas (1), a vincular diferentes sistemas de representación – incluido el simbólico- (4) .

En relación con Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones (LS) , los alumnos han de realizar operaciones sencillas (1), usar fórmulas fáciles (2), aplicar procedimientos descritos con claridad (3), representar situaciones reales mediante símbolos (4), …

El procedimiento de evaluación del recurso es simple y podríamos decir que utiliza instrumentos muy generales. Por una parte, el “cuaderno de trabajo del alumno” recoge, refleja y evidencia en cada momento, de manera estática, lo que el alumno sabe o no sabe hacer. Por otra parte, dado que las actividades que se proponen solicitan la actividad de los alumnos, el/la maestro/a dispone de tiempo para observar in situ y con detalle la realización de las tareas y recoger la información que necesita para andamiar de manera óptima el aprendizaje de los alumnos. Evidentemente, la evaluación debe servir al maestro/a para interpretar correctamente el desarrollo de las actividades propuestas, para reconducir las tareas cuando sea necesario asegurándose de que efectivamente suponen retos dentro de la zona de desarrollo próximo para todos sus alumnos y que sirven para cumplir los objetivos propuestos. (La propuesta de actividades que sigue, titulada “Uso creativo del cartabón y la escuadra”, va dirigida a alumnos/as del tercer ciclo de Educación Primaria. Se presenta en un “cuaderno de trabajo del alumno” que incluye el material manipulable que sirve de soporte a las actividades planteadas.)



9

“USO CREATIVO DEL CARTABÓN Y LA

ESCUADRA”

CUADERNO DE TRABAJO DEL ALUMNO

Observaciones: Todas las imágenes y dibujos que ilustran este documento son obra del autor del mismo.



10

Presentación del material manipulable.

El material manipulable utilizado por alumnos y alumnas en múltiples actividades propuestas en

esta Unidad Didáctica consiste en un número suficiente de triángulos de dos tipos (“escuadras” y

“cartabones”) trazados y recortados sobre papel o cartulina. Todos los triángulos de un mismo

tipo deben ser congruentes entre sí (misma forma y tamaño).

Este material puede ser realizado

por los propios alumnos utilizando

sus escuadras y cartabones (es

preferible que todas las escuadras

utilizadas sean del mismo tamaño.

Idem para los cartabones) como

plantillas para obtener tantas copias

idénticas (triángulos congruentes)

como sea necesario repasando el

contorno de los mismos. También se

pueden colorear (por una misma

cara) como se verá más adelante.

Es conveniente, además, facilitar los triángulos, a menor tamaño, sobre papel o

cartulina y listos para recortar y colorear. Se puede optar por trabajar con triángulos

calados (con hueco interior triangular) o bien con triángulos sin huecos. La primera

opción es más interesante porque cada triángulo unitario evidencia ya un modelo de

ampliación/reducción de figuras basado en el trazado de rectas paralelas…

Para ello se facilita a continuación el material que puede ser reprografiado y entregado

a los alumnos y alumnas.



11

Escuadras congruentes entre sí con hueco interior.



12

Cartabones congruentes entre sí con hueco interior.



13

Escuadras congruentes entre sí sin hueco interior.



14

Cartabones congruentes entre sí sin hueco interior.



15

Propuesta nº 1 Con el material manipulable, forma los modelos A, B y C. Observa detenidamente el modelo A. En él concurren en un mismo vértice tres ángulos agudos del mismo valor que forman un ángulo recto (90º).

¿Qué se puede deducir sobre el valor del ángulo A del cartabón?

A partir del modelo A y del modelo B, se puede deducir, razonando, el valor de cada uno de los ángulos A, B y C del cartabón. Escribe los valores de los mismos sobre la figura anterior.

El modelo B ilustra, también, que un cartabón es justamente la mitad de un rectángulo. ¿Qué se puede decir de una escuadra (fíjate en el modelo C)?

Puesto que un cuadrado tiene sus cuatro ángulos rectos, ¿cuál será el valor de los ángulos A, B y C de una escuadra? Anótalos sobre la figura.



16

¿Por qué tanto la escuadra como el cartabón son triángulos rectángulos?

Se han nombrado los lados del cartabón con las letras a, b y c. Observa que a>b y que b>c.

¿Qué significa esto?

¿Qué nombre reciben los triángulos que tienen sus tres lados de diferente longitud?

¿Por qué la escuadra es un triángulo isósceles?

Completa: Un cartabón es un triángulo __________________ y

escaleno.

Una escuadra es un triángulo rectángulo e ___________________________.

Los lados b y c tanto en la escuadra como en el cartabón son _______________________

porque se cortan formando un ángulo recto.

Con el material manipulable, forma el modelo D.

Observa detenidamente el modelo D. ¿Qué se puede deducir de él?

¿Crees que el valor del ángulo B es igual que el de dos ángulos A?



17

¿Crees que se puede afirmar que la longitud del lado a del cartabón es justamente el doble que la longitud de su lado c?

¿Será cierto que c + c = a?

¿Será cierto que a = 2 x c?

Al unir por su lado b dos cartabones obtenemos un

triángulo muy especial.

¿De qué clase de triángulo se trata?

¿Cómo podríamos expresar el perímetro del

triángulo formado?

Anota, en la figura, el valor de cada uno de los

tres ángulos interiores del triángulo equilátero obtenido.

¿Cuál es el valor de la suma total de los tres ángulos interiores?

¿Cuál será el valor de la

suma de los tres ángulos

interiores en el cartabón?

¿Y en la escuadra?

¿Qué patrón o regularidad observas en relación con la suma de los ángulos

interiores de un triángulo?

Propuesta nº 2



18

A continuación, vamos a unir triángulos cartabón idénticos. Comenzaremos formando figuras que sean la unión de dos triángulos cartabón. Sólo está permitido unirlos haciendo coincidir lados iguales entre sí. Trataremos de obtener todas las figuras diferentes posibles. Está permitido darle la vuelta a los triángulos.

No es necesario colorearlos.

Utilizando triángulos cartabón pequeños como plantillas para repasar su contorno, dibuja con la mayor precisión y limpieza posible las figuras diferentes obtenidas por ti y por los compañeros de tu grupo.

Debes tener en cuenta que una misma figura puede presentar diferentes posiciones en el plano. Así, por ejemplo, las figuras A y B son el mismo rectángulo. De igual manera, C y D son el mismo paralelogramo.

Figuras formadas con dos triángulos idénticos (¡Hay seis figuras diferentes! Dos de

ellas se han unido por el lado a, otras dos por el lado b y otras dos por el lado c):



19



20

Ahora vamos a analizar las figuras obtenidas. Esta figura se ha obtenido uniendo dos cartabones por su lado de mayor longitud (a) por lo que en el contorno de la figura resultante ya no hay ningún lado de longitud a. El perimetro (P) del rectángulo resultante será la suma de las longitudes de sus cuatro lados, es decir,

P = b + c + b + c = 2 x b + 2 x c. Observa que podemos expresar algebraicamente el perímetro de cualquier figura obtenida. También podemos cuantificar el valor de cada uno de los ángulos interiores de los polígonos resultantes.

Para cada una de las figuras siguientes, expresa algebraicamente el valor de su perímetro y escribe, al lado de su marca, el valor de cada ángulo interior:

P =

P =

P =

P =

P =



21

Entre las figuras anteriores hay algunas que no aparecerían completamente coloreadas si los triángulos cartabón unitarios se colorearan todos por una sola cara y la misma en cada caso.

¿Cuáles son? Efectivamente, se trata de las figuras B, C y D que presentan simetría axial o bilateral. Cada una de ellas tiene un eje de simetría (representado por un segmento rojo).

¿Crees que en la figura B si desplazas y giras un triángulo, sin levantarlo de la mesa y sin darle la vuelta, podrás hacer que coincida con el otro?

¿Y en la figura C? ¿Y en la figura D?

Explica con tus palabras lo que es la simetría axial utilizando la palabra doblando.

Este cuadrilátero es un COMETA.

¿Cómo son los lados a y d que se cortan en el vértice A?

¿Cómo son los lados b y c que se cortan en el vértice C? Las diagonales son los segmentos que unen vértices no consecutivos. Todo cuadrilátero tiene dos diagonales. En este caso las dos diagonales del cometa son los segmentos AC y BD.

¿Cuál de las diagonales del cometa es un eje de simetría de la misma?



22

¿Por qué la diagonal BD no es un eje de simetría del paralelogramo ABCD?

El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo o romboide. En un rombo los cuatro lados han de tener la misma longitud.

¿Tienen la misma longitud los cuatro lados de este romboide?

¿Podemos decir que tiene los lados iguales dos a dos? ¿Qué otro lado tiene la misma longitud que el lado AD?

¿Podemos decir que tiene los lados paralelos dos a dos? ¿Qué otro lado es paralelo al lado AB?

¿Qué diagonal no aparece dibujada en el paralelogramo anterior?

Los triángulos B y C tienen la misma área pero diferente perímetro.

Explica argumentando por qué es cierta la afirmación anterior y por qué el perímetro

de la figura B es mayor que el de la figura A.



23

Propuesta nº 3 Aprovechando las figuras obtenidas en la actividad número 2, podemos ver cómo podemos añadir a cada una de ellas otro triángulo más para formar figuras compuestas

por tres triángulos idénticos. Utiliza el material manipulable. Ten en cuenta que las tres composiciones de este ejemplo son la misma figura ya que forman el

mismo trapecio.

Utilizando triángulos cartabón pequeños como plantillas para repasar su contorno, dibuja con la mayor precisión y limpieza posible las figuras diferentes obtenidas por ti y por los compañeros de tu grupo.



24



25

Une con flechas asociando cada figura con la expresión algebraica de su perímetro: (Ten en cuenta que 3c significa tres veces la longitud del lado c, es decir, 3 x c)

Hay tres figuras iguales. ¿Cuáles son?



26

Las figuras que estamos formando pueden considerarse polígonos modulares, puesto que están compuestas por varios módulos idénticos (triángulos cartabón).

¿Por qué todas estas figuras tienen la misma área?

¿Qué figuras son triángulos?

¿Qué figuras, además de la A, son cuadriláteros?

¿Qué figuras, además de la B, son pentágonos?

Utilizando triángulos cartabón unidos con cinta adhesiva transparente, forma las figuras anteriores de manera que puedan doblarse con facilidad por las líneas de unión de los triángulos. ¿Cuáles de ellas podrán doblarse por la mitad de manera que las dos mitades coincidan? ¿Cuáles presentan al menos un eje de simetría axial o bilateral?



27

Aquí tienes sólo las siluetas de los polígonos modulares anteriores. ¿Sabrías dividir cada uno de ellos en 4 partes congruentes, es decir, de la misma forma y tamaño?

Cada una de las 4 partes congruentes de cada figura

será un ……

Una vez que hayas dividido cada polígono en cuatro partes congruentes, utiliza dos colores diferentes para distinguir los triángulos que

no necesitan darle la vuelta de los que sí. Observa y comprueba que las 4 partes de la figura A son triángulos

que pueden hacerse coincidir desplazándolos y girándolos sobre la mesa sin necesidad de darle la vuelta a ninguno de ellos. Por eso se han coloreado los cuatro con el mismo color. En cambio, si hacemos lo mismo con la figura B comprobaremos que mientras las partes 1, 2 y 4 se pueden hacer coincidir entre sí mediante desplazamiento y giro, la parte 4 está “vuelta” con respecto a las anteriores y por eso se ha coloreado diferente. Dicho de otra manera para que se entienda perfectamente: si recortas 4 triángulos cartabón y los colocas sobre la mesa con la misma cara hacia arriba, comprobarás que para realizar la figura A los cuatro triángulos se unen por la misma cara sin necesidad de darle la vuelta a ninguno de ellos. En cambio, si luego quieres formar con ellos la figura B, necesitarás forzosamente darle la vuelta a uno de ellos.

Otro ejemplo: observa cómo sería el coloreado de estas dos figuras. En la figura A, las partes 1 y 2 son simétricas entre sí y no coincide su color. También las partes 2 y 3 son simétricas entre sí y no coincide su color. Las partes 3 y 4 son simétricas entre sí y no coincide su color. En la figura B, las partes 1 y 2 no son simétricas entre sí y coincide su color. Las partes 2 y 3 sí son simétricas entre sí y no coincide su color…



28

Propuesta nº4

Con lo que llevas investigado habrás tenido ya la ocasión de comprobar que “las mismas partes se pueden combinar de múltiples formas para obtener todos diferentes”. (Aquí las partes son los triángulos unitarios y el todo el polígono

modular formado con ellos) Esto ocurre así en la Naturaleza, tanto en los seres vivos (genes) como en la materia inerte (átomos, moléculas) y es la causa de la gran diversidad y creatividad de formas que encontramos en la Naturaleza. Para nosotros constituye un procedimiento o método creativo que nos ayuda de manera poderosa a generar formas complejas a partir de otras más sencillas y nos permite, a la par, analizarlas de una manera más sencilla y eficaz.

Pero esta aventura no ha hecho nada más que comenzar…

Nos vamos a fijar ahora en otra característica importante de las figuras. Imagina que tienes recortadas cada una de estas figuras en madera.

¿Cuáles de ellas, además de la figura A, podrían apoyarse sobre la mesa por cada uno de sus lados?

¿Cuáles de ellas, además de la figura B, no podrían apoyarse sobre la mesa por alguno de sus lados?

Pues bien, las figuras como la A, que pueden apoyarse sobre un plano por cada uno de sus lados reciben el nombre de convexas (son polígonos convexos). Las figuras como la B, que no pueden apoyarse sobre un plano por alguno de sus lados, reciben el nombre de cóncavas (son polígonos cóncavos)



29

Vamos a ver lo anterior con más detenimiento y de una manera más matemática:

Es facilísimo comprobar y comprender que un triángulo siempre es un polígono convexo, es decir, que puede apoyarse sobre un plano por cada uno de sus tres lados:

En cambio, no todos los cuadriláteros son convexos. La figura de la derecha muestra dos cuadriláteros muy interesantes (“cometa” y “dardo” – o punta de flecha-). En realidad ambos son cometas. En ambos a=b y c=d; ambos tienen un eje de simetría axial; en ambos el ángulo formado por los lados a y d es igual que el ángulo formado por los lados b y c…

Pero mientras uno es un cometa convexo (o cometa propiamente dicho) el otro es un cometa cóncavo (por eso se le da otro nombre)

Observa que el cometa convexo se puede apoyar por cada uno de sus lados. El cometa cóncavo no podría apoyarse sobre un plano ni por su lado a ni por su lado b.

Todo cuadrilátero tiene dos diagonales. Traza en cada cuadrilátero las diagonales AC y BD. ¿Qué observas?



30

Prolonga, en cada uno de los cometas, el segmento AB por ambos extremos. ¿Qué observas?

En el cometa cóncavo, ¿están las dos diagonales en el interior del polígono? ¿La prolongación de un lado corta o divide a la figura en dos partes? Teniendo en cuenta lo anterior, cómo definirías tú lo que es un polígono cóncavo?



31

Propuesta nº5 Las figuras también obedecen a interesantes reglas o patrones numéricos.

Tanto si utilizas escuadras como si utilizas cartabones, puedes comprobar que puedes reproducir la escuadra (o el cartabón) a escalas mayores, es decir puedes ampliarla. Observa detenidamente y cuenta cuántas escuadras (o cartabones) se colocan en cada fila. ¿Qué números obtienes en cada fila?

¿Qué números dan el total de escuadras (o de cartabones necesarios) en cada tamaño? Seguro que has descubierto que en cada fila va un número impar de triángulos idénticos y que se forma una serie de números impares consecutivos: 1, 3, 5, ….

Pero no te voy a dar más pistas. Seguro que estás en condiciones de completar esta tabla:

Número de filas De triángulos

unitarios idénticos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Número de triángulos unitarios

en esta fila

Número total de triángulos unitarios

que forman el nuevo triángulo

FORMANDO TRIÁNGULOS SEMEJANTES A MAYOR ESCALA UNIENDO

TRIÁNGULOS UNITARIOS IDÉNTICOS.



32

Si has completado correctamente la tabla anterior, para el número total de triángulos se obtiene una serie de números cuadrados perfectos consecutivos. Estos números se forman sumando números impares consecutivos. Completa las igualdades: 1 = 1;

4 = 1 + 3;

9 = 1 + 3 + 5;

16 =

25 =

36 =

49 =

64 =

81 =

100 =

¿Cuántos triángulos se necesitarían para formar otro, a mayor escala, que tuviera 50 filas? Si un triángulo está formado por 1600 triángulos idénticos, ¿cuántas filas de triángulos tendrá?

Observa los datos que se dan en la figura de arriba. A partir de ellos debes expresar tanto el perímetro (P) como el área (A) de cada una de las escuadras A, B y C. Ten en cuenta que se ha tomado como unidad de área la superficie ocupada por la escuadra de menor tamaño. Completa la tabla siguiente:



33

Escuadra A Escuadra B Escuadra C Expresión algebraica

del área (A)

Expresión algebraica del perímetro (P)

Las escuadras anteriores son semejantes pero tienen diferente tamaño o escala. Descubre y expresa correctamente las relaciones entre ellas: La escuadra B tiene cada lado de doble longitud que la escuadra A, sin embargo el

área de la escuadra B es ________________________________ el área de la escuadra A.

La escuadra C tiene cada lado de ______________________________ que la escuadra A,

sin embargo el área de la escuadra C es ________________________________ el área de

la escuadra A.

Observa la figura anterior y completa la tabla siguiente expresando el perímetro y el

área de cada uno de los “cartabones” A, B y C.

Cartabón A Cartabón B Cartabón C Expresión algebraica

del área (A) A = 1

Expresión algebraica del perímetro (P)

El perímetro de C es ___________ veces mayor que el perímetro de A.

El área de C es ___________ veces mayor que el área de A.



34

Escribe el valor de cada ángulo interior.

¿Qué observas?

¿Cuál es el valor de la suma de los ángulos interiores en cada caso?

Como puedes comprobar, cada uno de estos cuadriláteros se ha obtenido uniendo “triángulos cartabón” idénticos.

Para cada uno de ellos, escribe el valor de cada uno de sus cuatro ángulos interiores. No se han borrado las líneas interiores de unión entre los triángulos para facilitarte la tarea

Comprueba que en cualquier cuadrilátero la suma de sus cuatro ángulos

interiores vale 360º.



35

Ahora haz lo mismo para estos pentágonos modulares formados con triángulos cartabón idénticos:

Como puedes comprobar, cada uno de estos pentágonos se ha obtenido uniendo “triángulos cartabón” idénticos.

Para cada uno de ellos, escribe el valor de cada uno de sus cinco ángulos interiores. Date cuenta de que lo puedes hacer sin utilizar ningún instrumento de medida de ángulos, sólo analizando adecuadamente las figuras. No se han borrado las líneas interiores de unión entre los triángulos para facilitarte la tarea

¿Observas algún patrón o regularidad, es decir, alguna propiedad que se cumpla en todo0s los casos?

¿Cuánto suman los ángulos interiores de un pentágono?

¿Crees que el valor de la suma de los ángulos interiores de cualquier pentágono que podamos trazar será 540º?

Teniendo en cuenta lo descubierto para la suma de los ángulos interiores de TRIÁNGULOS, CUADRILÁTEROS Y PENTÁGONOS, ¿te atreverías a predecir lo que ocurrirá con la suma de los ángulos

interiores en cualquier HEXÁGONO? Escribe tu hipótesis.



36

Comprueba ahora si tu hipótesis era, o no, correcta utilizando los siguientes hexágonos modulares:

Para ello, deduce el valor de cada ángulo interior en cada hexágono y escríbelo sobre la figura. Luego, suma los seis valores angulares obtenidos en cada figura y compara las sumas totales.

¿Qué patrón o regularidad observas?

Seguro que ya estás preparado para poder completar la siguiente tabla:

Número de lados del polígono 3 4 5 6 7 8 9 10

Valor de la suma de los ángulos interiores

¿Crees que es cierta la afirmación de que con cada lado que se añade al polígono aumenta el valor de la suma de los ángulos interiores 180º?



37

Propuesta nº6 Realización de diseños grupales y colectivos con escuadras y cartabones grandes.



38

Los diseños A y B se han realizado rotando (girando) los triángulos. ¿Son del mismo valor los 6 ángulos que se juntan en el centro del diseño A? Si entre los 6 forman un ángulo completo, es decir, de 360º, ¿cuál es el valor de cada uno de los ángulos que se juntan en el centro? ¿Son del mismo valor los 8 ángulos que se juntan en el centro del diseño B? Si entre los 8 forman un ángulo completo, es decir, de 360º, ¿cuál es el valor de cada uno de los ángulos que se juntan en el centro? El diseño A puede considerarse una estrella de seis puntas. ¿Crees que a partir de este diseño se podrá trazar fácilmente un hexágono regular? ¿Cómo?

¿Cómo trazarías un octágono regular a partir del diseño B?



39

¿Crees que los vértices (puntos) que se han numerado del 1 al 6 están todos a la misma distancia del centro 0? Une los vértices de manera consecutiva (1 con 2, 2 con 3 y así sucesivamente…) para obtener un hexágono regular.

¿Crees que el hexágono regular obtenido se podría formar con nuestro material manipulativo? ¿Cómo?

¿Cuál es el valor del ángulo central B? ¿Cuál es el valor del ángulo interior A ? ¿Cuál es el valor del ángulo exterior C?



40

Los ángulos A y C son suplementarios. Entre los dos suman ___________. Escribe V (verdadero) o F (falso) para cada una de las siguientes afirmaciones:

Un hexágono regular tiene 6 ángulos centrales idénticos que suman un total de 360º por lo que cada uno de ellos vale 360º : 6 = 60º.

Un hexágono regular tiene 3 ángulos interiores de 120º cada uno.

La suma de los ángulos interiores de un hexágono regular, al igual que en cualquier otro hexágono, vale 720º.

Dos ángulos son suplementarios si entre los dos suman un ángulo llano, es decir, 180º.

Un hexágono regular tiene sus 6 lados de la misma longitud y sus seis ángulos centrales del mismo valor.

Cada ángulo interior del hexágono regular vale 150º

Un hexágono regular se puede dividir en 6 triángulos equiláteros idénticos.

Un triángulo equilátero se puede formar con dos triángulos cartabón.

Con 6 triángulos cartabón podemos formar un triángulo equilátero

Si en la figura anterior unimos los vértices 1, 2 y 3 obtenemos un triángulo equilátero

Seguro que no te resultará difícil pasar del diseño A al B. Si colocas las 6 piezas del diseño A sobre la mesa, ¿necesitarías darle la vuelta a alguna de ellas para formar el diseño B?



41

Observa detenidamente los dos hexágonos regulares que se han dibujado en el diseño B.

¿Son paralelos los lados AB del hexágono pequeño y A’B’ del hexágono grande?

¿Crees que hay la misma distancia desde A hasta A’ que desde B hasta B’?

En este diseño se ilustra claramente que el valor de cada ángulo interior de un hexágono regular es de 120º y el de cada ángulo exterior de un hexágono de 60º. ¿Cómo podemos comprobarlo?

Con la ayuda de una regla y midiendo lo que necesites, debes completar un hexágono regular que tenga cada lado de la misma longitud que el lado AB.



42

Utilizando escuadras del material manipulativo (o bien utilizando tu escuadra como plantilla para trazar escuadras de mayor tamaño) obtén las escuadras necesarias para realizar los diseños A y B.

Seguro que no te resultará difícil pasar del diseño A al B. Si colocas las 8 piezas del diseño A sobre la mesa, ¿necesitarías darle la vuelta a alguna de ellas para formar el diseño B? Observa que en el diseño A de una escuadra a otra contigua o adyacente se pasa girando o rotando un ángulo de 45º. En cambio, en el diseño B, para pasar de una escuadra a otra contigua no basta con girarla 45º, antes hay que desplazarla. Une los vértices 1-2-3-4-5-6-7-8 del diseño A. Obtendrás un octágono regular. Une, también, los vértices A-B-C-D-E-F-G-H. ¿Qué polígono regular obtendrás? ¿Cómo son los lados de los dos octágonos regulares obtenidos? Además, los dos octágonos regulares obtenidos son concéntricos. Eso significa que tienen o comparten el mismo centro. Comprueba que la distancia desde cualquier vértice del octágono hasta el centro es siempre la misma. ¿Sabrías argumentarlo?



43

Observa detenidamente la siguiente figura, correspondiente al diseño B anterior. Nos puede ayudar a descubrir, razonando, muchas cosas diferentes…. Luego completa con V (verdadero) o F (falso) la tabla:

Cada lado del octágono regular de mayor tamaño mide igual que el lado a de la escuadra.

El perímetro del octágono regular de mayor tamaño se puede expresar así: P= 6 x b

Cada ángulo interior de un octágono regular vale 90º + 45º, es decir, 135º

Cada ángulo exterior de un octágono regular vale 45º.

Los lados del octágono regular más pequeño y los del más grande no son paralelos entre sí.

La suma de los ángulos interiores de un octágono regular se puede calcular así: 6 x 135º = 810º

Todos los lados de un octágono regular tienen la misma longitud.

Todos los ángulos interiores de un octágono regular tienen la misma amplitud angular (el mismo valor en grados).

En cada vértice del octágono regular (al igual que ocurría en el hexágono regular) el ángulo interior y el exterior son ángulos suplementarios porque

entre los dos suman 180º.

La suma de los ángulos interiores de un octágono regular se puede calcular así: 8 x 135º = 1080ºº

Un octágono regular es un polígono convexo.

Si unimos los vértices de un octágono regular de dos (1 – 3 – 5 – 7 -1) lo que estamos haciendo es trazar 4 diagonales para obtener un cuadrado…



44

Ya sabemos cómo obtener el octágono regular con ayuda de las escuadras. Observa los octágonos regulares A y B de la siguiente figura:

Traza en A, otro cuadrado del mismo tamaño pero con una orientación diferente al que se muestra.

Traza en B, las diagonales del octágono regular teniendo en cuenta que desde cada vértice se pueden trazar 5 diagonales diferentes pero una misma diagonal sirve para dos vértices diferentes. ¿Sabrías explicar por qué el número total de diagonales de un

octágono regular es 20?

¿Cuántas de esas 20 diagonales son ejes de simetría del octágono regular? ¿Tiene el octágono regular algún otro eje de simetría que no sea una diagonal del mismo?



45

Los polígonos regulares son especialmente armoniosos y bellos porque presentan simetría. La figura siguiente muestra dos ejes de simetría del octágono regular. Uno de ellos pasa por dos vértices. Otro pasa por los puntos medios de dos lados opuestos. ¿Sabrías tú dibujar los 6 vértices de simetría que faltan utilizando dos colores diferentes?

¿Cómo explicarías con tus propias palabras lo que es un eje de simetría bilateral?

Uniendo vértices opuestos, divide este octágono regular en 8 triángulos congruentes (es decir, de la misma forma y mismo tamaño). ¿Por qué son isósceles los triángulos resultantes? Teniendo en cuenta que los 8 ángulos centrales forman un ángulo completo (360º) cuyo vértice es

el centro del polígono, ¿cuál es el valor de cada uno de los ángulos centrales de un octágono regular? (Expresa la operación que te ayuda a

calcular dicho valor)



46

Volvemos de nuevo a diseños realizados con triángulos cartabón. Forma el siguiente diseño. Teniendo en cuenta los razonamientos que hemos realizado con diseños anteriores y razonando de manera análoga debes ser capaz de completar los datos que se te piden y colocarlos en esta tabla:

Si llamamos c a la longitud del lado más corto del triángulo cartabón, el perímetro (P) del dodecágono regular B será:

P =

El número de lados de un dodecágono regular es…

Cada ángulo interior de un dodecágono regular vale ….

Cada ángulo exterior de un dodecágono regular vale …

Cada ángulo central de un dodecágono regular vale…

La suma de los ángulos interiores de un dodecágono regular se puede calcular así:

¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde cada vértice del dodecágono regular?

¿Cuál será el número total de diagonales de un dodecágono regular? (Dividimos entre 2 porque cada diagonal sirve para 2

vértices diferentes y no podemos contarla dos veces) (12 vértices x 9 diagonales/vértice) :2

Si numeramos los vértices del dodecágono regular del 1 al 12 y unimos entre sí los vértices pares obtenemos un ….

Si numeramos los vértices del dodecágono regular del 1 al 12 y unimos entre sí los vértices que son múltiplos de 3 obtenemos

un….

Si numeramos los vértices del dodecágono regular del 1 al 12 y unimos entre sí los vértices que son múltiplos de 4 obtenemos

un….



47

Puedes aprovechar los vértices de un dodecágono regular para trazar otros polígonos regulares inscritos en él. Esto significa que están en su interior pero comparten vértices con el dodecágono.

Traza, con dos colores diferentes, dos TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS inscritos en el dodecágono regular (ambos deben tener la misma forma y tamaño pero diferente orientación espacial).

Traza, con dos colores diferentes, dos CUADRADOS inscritos en el dodecágono regular (ambos deben tener la misma forma y tamaño pero diferente orientación espacial).

Traza, con dos colores diferentes, dos HEXÁGONOS REGULARES inscritos en el dodecágono regular (ambos deben tener la misma forma y tamaño pero diferente orientación espacial).



48

Propuesta nº7 Construimos un hexágono regular modular a tamaño gigante para decorar el aula.

He aquí el hexágono regular modular ya acabado y colocado en la puerta de la clase. Se propone la construcción colectiva de otro análogo a éste utilizando no ya el material manipulable facilitado sino obteniendo nosotros mismos triángulos cartabón calados con la ayuda de varios cartabones idénticos, con la misma orientación (sin darle la vuelta al cartabón) utilizados como plantilla. Se pueden utilizar diversos criterios para colorearlos pero…. ¡cuidado!, no todos se van a colorear por la misma cara. Es necesario tener a mano cinta adhesiva transparente para unir unos triángulos cartabón con otros, siempre haciendo coincidir lados iguales.

Si trabajáis en equipo os podéis repartir el trabajo según vuestras preferencias: dibujar los triángulos cartabón, recortarlos, colorearlos, unirlos con cinta adhesiva…

El diseño se va a construir por composición de otras partes más sencillas. Primero formaremos 6 triángulos equiláteros mediante la unión, con cinta adhesiva transparente, de seis triángulos cartabón para cada uno de ellos(tal y como se muestra en la figura de arriba) teniendo muy en cuenta que tres de ellos deben estar coloreados por una cara y los otros tres por la cara opuesta).



49

El diseño estará acabado cuando unamos con cinta adhesiva transparente los seis triángulos equiláteros.

¿Cuántos triángulos cartabón necesitaremos? ¿Cómo lo has calculado?

¿Cuánto tendría que medir el lado b del cartabón para que el hexágono regular resultante tuviera justamente 1 metro de anchura? (Se considera como anchura

la longitud de cualquier diagonal del hexágono regular que pase por el centro, como la diagonal AB)

Si el lado b del cartabón que has utilizado mide 16 centímetros, ¿cuál sería la anchura del hexágono regular resultante? ¿Y su perímetro?



50

La figura de la derecha muestra que de los 36 triángulos cartabón necesarios la mitad están coloreados por una cara y la otra mitad por la cara opuesta.

¿Crees que el hexágono regular resultante muestra todas sus diagonales? Trázalas en la figura de la izquierda. ¿Cuántas diagonales tiene el hexágono regular? Si no colocamos el diseño realizado sobre una superficie para decorarla, se podría guardar doblándolo antes cuidadosamente… Esto se puede hacer de muchas maneras diferentes.

Si lo doblamos por la mitad y luego otra vez por la mitad obtenemos un cuadrilátero que es la cuarta parte del hexágono regular. Esto es debido a que el hexágono regular se puede dividir en 4 partes congruentes, cada una de ellas es un trapecio rectángulo (un cuadrilátero con un par de lados paralelos y con un ángulo recto). Pero aún podríamos seguir plegando

(sobre todo si el diseño se ha hecho con bastante precisión) este trapecio por una de las líneas que lo dividen en tres triángulos rectángulos congruentes, obteniendo este rectángulo.

Esto nos lleva a intuir que el diseño que hemos realizado encierra muchos polígonos diferentes. Efectivamente, así es. El diseño realizado, bien interpretado, es un pequeño tratado de geometría básica. Es decir, encierra múltiples figuras planas y múltiples relaciones geométricas fundamentales. A continuación, a modo de ejemplo, se te propone que descubras algunas. ¡Seguro que eres capaz!



51

Puedes utilizar las figuras que siguen para recortarlas y ensayar diferentes formas de plegar el hexágono regular. También para descubrir y trazar figuras “escondidas” en él.



52

Propuesta nº8 Descubrimos la geometría escondida en el diseño colectivo realizado.

La figura muestra el cometa más pequeño que se puede encontrar en el hexágono regular. Está formado por la unión de dos triángulos unitarios (cada uno de los 36 triángulos cartabón utilizado es la unidad

más pequeña en que se puede dividir el diseño, es decir, es un

triángulo unitario.) Pero también hay cometas formados por 6, 8 y 24 triángulos unitarios. ¿Sabrías encontrar y dibujar uno

de cada tamaño?

Con 3 triángulos unitarios podemos formar un nuevo triángulo cartabón (un triángulo con ángulos de 30º, 60º y 90º). También hay triángulos cartabón formados por 4, 9 y 12 triángulos unitarios. ¿Sabrías encontrar y dibujar uno de cada tamaño?

Hemos formado el hexágono regular uniendo 6 triángulos equiláteros, cada uno de ellos formado por seis triángulos unitarios. Pero el hexágono también contiene triángulos equiláteros formados con 2 y con 18 triángulos unitarios. ¿Sabrías encontrar y dibujar uno de cada tamaño?

Este rectángulo está formado con 6 triángulos unitarios. El hexágono regular esconde otros rectángulos diferentes formados con 6, 12 y 24 triángulos unitarios. ¿Sabrías encontrar y dibujar uno de cada tamaño?



53

La figura muestra tanto el rombo más pequeño escondido en el hexágono regular modular como el más grande. ¿Cuántas veces más largo es el lado del rombo grande que el del más pequeño? ¿En cuántos rombos pequeños idénticos (congruentes) se puede dividir el rombo mayor? ¿Cuántas veces es mayor el área del rombo grande que la del pequeño?

¿Cuántas veces es mayor el perímetro del rombo grande que el del pequeño? ¿Qué valores tienen los ángulos interiores de estos rombos? ¿Son los ángulos interiores de un rombo iguales “dos a dos”?

Como el rombo pequeño está formado por 4 triángulos unitarios y el hexágono regular está formado por 36, podemos establecer la relación entre las áreas de ambos utilizando la fracción 4/36 = 1/9. Es decir, el área del rombo pequeño es 1/9 del área del hexágono regular. ¿Qué relación existe entre las áreas del rombo grande y el hexágono regular? (Tienes que

dar como solución la fracción reducida o simplificada)

En la figura se muestran dos trapecios rectángulos.

Cada uno de ellos se ha obtenido cortando un triángulo cartabón. ¿Sabrías dibujar para cada trapecio el triángulo cartabón del que se ha cortado así como las líneas de corte? Comprueba que la línea de corte, en cada caso, es paralela a un lado del triángulo cartabón inicial. Por eso el trapecio tiene dos lados paralelos.



54

Este trapezoide rectángulo también se puede obtener cortando un triángulo cartabón. Dibuja el triángulo cartabón del que se ha “cortado” así como la línea de corte. ¿Por qué este trapezoide no tiene dos lados paralelos?

Como habrás podido comprobar, el diseño realizado, esconde numerosísimas figuras y relaciones geométricas. Es como un libro de geometría que puede ser leído e interpretado. Sólo hemos iniciado el procedimiento de descubrimiento que tú, si lo deseas, puedes continuar…



55

Orientaciones didácticas ligadas al material del alumnado.

El material manipulable (triángulos cartabón y triángulos escuadra de tamaño pequeño) debe proporcionarse a los/as alumnos (fotocopiado sobre papel o cartulina) en cantidad suficiente para que, tras su recortado, la manipulación del mismo no sea meramente testimonial sino que sea una auténtica herramienta metodológica y le permita realizar todos los modelos que se le proponen su “cuaderno de aprendizaje”. El recortado del mismo debe ser preciso para no restar ni exactitud ni belleza a los modelos construidos. Según el modelo que se esté tratando el triángulo cartabón (o el triángulo escuadra) será el triángulo unitario, es decir, la unidad de diseño para otros muchos modelos (polígonos modulares). A pesar de la sencillez del materia no hay que subestimar en absoluto su potencial o interés didáctico. Ha de tenerse muy presente que el material manipulativo facilitado, así como el propio juego personal de regla, escuadra y cartabón se utilizan como material para dibujar (los polígonos unitarios pueden ser utilizados como plantillas para obtener copias iguales del mismo o de una manera más dinámica, al desplazarlas y girarlas sobre el plano del papel, como plantillas para dibujar un determinado diseño). En este sentido el material facilitado sirve para generar nuevos materiales. Dicho de otro modo, cada triángulo unitario es un modelo y, a su vez, una unidad de diseño de nuevos modelos. Dicho de otra manera y utilizando una analogía de la física y

la química, los triángulos unitarios son los átomos con los que se construyen moléculas diferentes (polígonos modulares)… Entendemos aquí por modelo matemático todo aquel material capaz de traducir o sugerir ideas matemáticas, favoreciendo situaciones activas de aprendizaje. En esta unidad didáctica se trabaja con dos tipos de modelos: los modelos construidos (imágenes estáticas que se facilitan al alumno para su observación sistemática, sugerir ideas y proponer que actúe inteligentemente sobre ellas), y los modelos realizados por los propios alumnos. La propia construcción de los modelos es ya por sí una actividad recomendable y útil para concretar conceptos y profundizar en muchas propiedades que a veces una descripción verbal o una fórmula pueden esconder… El ”cuaderno de aprendizaje” del alumno es especialmente rico en modelos construidos y las actividades propuestas conducen a un descubrimiento continuo. Es indispensable que el/la maestro/a que propone esta unidad didáctica a sus alumnos acompañe a sus alumnos en este viaje de descubrimiento. Además de los espacios reservados en el cuaderno del alumno para explicaciones y argumentaciones, el/la maestro/a debe provocar explicaciones y argumentaciones orales de los alumnos. Estimular la producción de explicaciones orales para extraer la información (explícita e implícita) contenida en las imágenes-modelos es un objetivo competencial ineludible (competencia lingüística y competencia matemática). Se debe buscar y provocar la mejora paulatina del procesamiento oral de las explicaciones (incorporando



56

adecuadamente el vocabulario específico) de manera que vayan tomando la forma de argumentaciones objetivas y convincentes. Como el/la lector/a puede comprobar, el vocabulario específico para la descripción de los modelos se utiliza, sin definirlo, en el contexto de los modelos y actividades propuestas provocando que sean las acciones sobre los modelos las que lleven al alumno al descubrimiento, a la comprensión profunda de los conceptos y procedimientos, a la generalización de propiedades … Evidentemente no se apuesta aquí por una recepción pasiva de los conocimientos transmitidos por el/la maestro/a. No puede haber aprendizaje donde no hay acción. El material facilitado sirve, y ello se ilustra con bastante frecuencia en las propuestas dirigidas a los alumnos y alumnas, como material para hacer medidas directas o indirectas permitiendo comparar y cuantificar longitudes, perímetros, áreas y amplitudes angulares… El material utilizado sirve, además, para el descubrimiento y comprensión de conceptos (polígonos de igual área con diferente perímetro, o viceversa; polígonos con un eje de simetría, polígonos cóncavos y convexos, ángulo central, interior y exterior, semejanza, congruencia, escala, concavidad/convexidad,…). También como material con aplicación funcional (diseños decorativos, …) Además, el material permite generar interesantes situaciones problemáticas no rutinarias, realizar comprobaciones y demostraciones informales (el valor de la suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero modular formado es 360º, un cometa tiene un eje de simetría axial o bilateral, todo hexágono regular se puede fraccionar en 6 triángulos equiláteros congruentes, sólo las diagonales de un hexágono regular que pasan por su centro son ejes de simetría del mismo, …) y sirve como soporte visual para la comunicación y argumentación. La propuesta contiene gran cantidad de modelos-diseños que sirven de soporte para la reflexión, argumentación y comunicación. Los modelos-diseños colectivos en tamaño gigante que se proponen encierran numerosas relaciones geométricas interesantes por una parte. Por otra, tienen un claro interés plástico y visual. Pueden ser aprovechados, pues, como elementos para interdisciplinar las áreas de Matemáticas y Artística. Dicho de otra manera, y según la disponibilidad de tiempo, se podría utilizar el tiempo semanal de educación Plástica, mientras dura el desarrollo de esta UDI, para la elaboración colectiva de los diseños más complejos. Otros diseños individuales -para cuya realización el alumno cuenta con su material manipulativo- pueden ser propuestos como deberes para casa. Es conveniente disponer de un par de sobres (pueden ser sobres de carta) para guardar los triángulos cartabón unitarios en uno y los triángulos escuadra unitarios en otro.

Documents

Uso creativo del cartabon y la escuadra · pensamiento inventivo y creativo. ... Utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y las operaciones (LS). 8.- Uso de herramientas