1

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

﴾التحويالت الهندسية ﴿

) االنعكاس، اإلزاحة، الدوران والتماثل(

هي دال��ة(�� Transformation )التحويلفي علم الرياض��يات، على الغ���الب، يك���ون. إلى نفس���هاXرياض���ية من مجموع���ة

هيكلية جبرية أو هندسية أخرى عندها، يصبح تعريفXللمجموعة . إلى نفسها مع االحتفاظ بهيكليتهاXالتحويل بالدالة التي تحول

التحويل الخطي، التحويل األفيني مثل ال��دوران،: من األمثلة نورد. واإلزاحة االنعكاس

******************** إن االنعكاس، اإلزاحة والدوران هي أمثلة لتحويالت ايزومترية-

) متساوية القياس ( في المستوي.

التحويل االيزومتري : هو تحويل متساوي القياس – وهو تحويل أو نسخ لنقاط

المستوي يحفظ األبعاد بين النقاط. حركةبشكل حدسي يمكن النظر إلى هذه التحويالت على أنها "

" لنقاط المستوي. ) انظر األمثلة: أ، ب، ج (

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

2

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

في هذه التحويالت تحف��ظ األبع��اد، ول�ذلك ك�ل قطع��ة تنس�خ إلى قطع��ة تس��اويها في الط��ول. المع��نى الحدس��ي له��ذه الص��فة أن

األشكال المحولة ال تتغير ) ال بشكلها وال بكبرها(.

5 سم ينسخ إلى مربع آخر طول ضلعه 5مثال: مربع طول ضلعه سم.

تحويالت ايزومترية أساسية: االنعكاس، اإلزاحة3نميز بين والدوران.

أمثلة لتحويالت ايزومترية:

بواسطة ه��ذه التح�ويالت الثالث�ة فق�ط يمكن ت�ركيب ك��ل تحوي�ل " لنق���اطحركةايزوم���تري لنق���اط المس���توى أي أن، ك���ل "

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

3

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

المستوي، تحفظ األبعاد، تنتج عن تنفيذه أحد ه��ذه التح��ويالت، أوبضعة تحويالت الواحد تلو اآلخر.

: لنتمعن في العلم المؤكد، يمكن الوصول منه إلى كل علممثاال من اإلعالم األخرى ) المطابقة له( بأحد هذه التحويالت أو بتركيبة

منها: باالنعكاس.----<يمكن الوصول إلى العلم )أ( - بالدوران.----<يمكن الوصول إلى العلم )ب( - باإلزاحة.----<يمكن الوصول إلى العلم )ج( - باالنعكاس واإلزاحة.----<يمكن الوصول إلى العلم )د( -

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

4

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

﴾ االنعكاس ﴿

الدال��ة ال�تي تح��ول ش��كل م�ا إلى في الرياض�يات هواالنعكاس.صورة مرآته المعكوسة

بالمفهوم الهندسي، إليجاد االنعك��اس لنقط��ة م��ا، يتم إس��قاط خ��ط المس��تعمل كمح��ور االنعك��اس( أو المس��توى)عم��ودي على الخ��ط

ومن ثم متابعة الخ��ط يش��كل مس��تقيم في الجه��ة األخ��رى وبنفس

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

5

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

ولتحديد االنعكاس لرس��م م��ا، يتم تحدي��د انعكاس��ات ك��ل. المسافة.النقاط المؤلفة له

هو تحويل أو نس��خ، يح��ول ك��ل نقط��ة فيmاالنعكاس بالمستقيم -.m " بالنسبة للمستقيم صورتها في المرآةالمستوي إلى "

يسمى خط االنعكاس.mالمستقيم "، ألنها مركبةصورتها في المرآةاألشكال تحول )تنسخ( إلى "

من نقاط.مثال النعكاس نقاط وأشكال:

من المهم أن نشير إلى أن االنعكاس يعمل على جهتي خط-االنعكاس في آن واحد.

بشكل حدسي يمكن النظر إلى االنعكاس على انه عملية". مرآة ثنائية الجانبانعكاس في "

كل جهة من المرآة تنعكس في الجهة األخرى، والخط الذي تقفعليه المرآة هو خط االنعكاس، وهو يبقى في مكانه، مثال:

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

6

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

االنعكاس وعناصره: عندما تقف أمام المرآة فانك ترى صورتك فيه��ا، أو عن��دما تنظ��ر إلى سطح بح�يرة أو برك�ة فان�ك ت�رى ص�ورتك وص�ورة األش�جار التي حولك في م��اء البح��يرة، وك��ذلك عن��د النظ��ر في أي س��طح

مصقول فانه يعكس صورتك. إن م��ا نش��اهده في الم��رآة أو في البح��يرة إنم��ا ه��و االنعك��اس ويسمى سطح الم��رآة بمح��ور االنعك��اس، أم��ا عناص��ر االنعك��اس

فهي: الجسم األصلي، صورة الجسم، محور االنعكاس.

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

انعكاس األشجاروالجبال في البحيرة.

7

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

خصائص االنعكاس: القطعة المستقيمة الواصلة بين الجسم ) النقطة ( وصورتهأ-

تكون عمودية على محور االنعكاس. بعد النقطة عن محور االنعكاس يساوي بعد الصورة عن محورب-

االنعكاس.

االنعكاس يقلب الوضع.ج- د- الشكل األصلي وصورته في االنعكاس شكالن متطابقان.

هناك حاالت خاصة لالنعكاس وهي: األشكال المتماثلة حول مستقيم يسمى هذا المستقيم-

محور تماثل، مثال على ذلك:

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

8

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

وقد يكون للشكل أكثر من محور تماثل واحد، مثال:-

وهناك أشكال ال يوجد لها محور تماثل، مثل:-

﴾ اإلزاحة ﴿

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

9

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

بالتعريفو اإلزاحة هي قيمة اتجاهية تمثل المسافة بين نقط���تين، المسار المستقيم الذي يقطع��ه الجس��م من نقط��ة إلى: الرياضي

أخرى باتجاه ثابت، وهي كمية اتجاهي��ة، وتق��اس بالس��نتمتر والم��تر ويس��تخدم مفه��وم اإلزاح��ة في تطبيق��ات علم الفيزي��اء. والكيلومتر

.والرياضيات إليجاد السرعة والمسافة والتعجيل لجسم معين

" ك��ل نق��اط المس��توي في اتج��اه معين،ينقلتحوي��ل اإلزاح��ة " - وبمقدار طولي معين، اتجاه اإلزاحة وبعد اإلزاح��ة يح��ددان بحس��ب

" ننف��ذ أمرسهم اإلزاح��ة. يمكن وص��ف س��هم اإلزاح��ة على ان��ه " اإلزاحة حسبه، أي أن اإلزاحة تنسخ كل نقاط المستوي على النح��و

اآلتي:.بنفس االتجاهكل نقاط المستوي تنسخ أ-.بنفس المقدار كل النقاط تتحرك ب-

) أي أن كل األبعاد بين النقاط األصلية والنقاط الناتجة بعداإلزاحة هي أبعاد متساوية (.

أمثلة في إزاحة الشكل:

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

10

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

﴾ الدوران﴿

أنواع من التحويالت ال��تي تحاف��ظ على األبع��اد، في3هو واحد من المس��توى أو الف��راغ. باإلض��افة إلى اإلزاح��ة واالنعك��اس. ونع��ني بالدوران بكلمات بسيطة، دوران ش��كل باتج��اه معين ) م��ع أو ض��د عقارب الساعة(، حول نقطة معينة ) هي مركز ال��دوران (، بزاوي��ة معينة ) هي مقدار هذا الدوران(. فعندما تدور األرض حول الشمس مثال، يكون اتجاه الدوران من الغرب إلى الشرق، ومرك��ز ال��دوران هو الشمس. وقد يكون الدوران بزاوية معينة، وعندما يكون بزاوي��ة

درجة نسميه360 درجة نسميه ربع دورة. وعندما يكون بزاوية 90 دورة كاملة. وقد يكون أكثر من ذل��ك، كم��ا في دوران األرض ح��ول

الشمس، مثال.

يحاف��ظ ال��دوران على ش��كل الجس��م ال��ذي نق��وم بت��دويره وعلى حجم��ه. والش��كل الن��اتج من ال��دوران مط��ابق تمام��ا للش��كل قب��ل

الدوران. إذا دورنا مثلثا مثال، فان الناتج سيكون مثلثا مطابقا.

إن الدوران هو تحويل هندسي ، كثيرا ما نشاهده ونلمسه في حياتنا-اليومية، مثل حركة المروحة الهوائية التي ثبتت في سقف الغرفة.

تحويل الدوران يدير كل المستوي حول نقطة معينة وبزاوية معين��ة، كل نقاط المستوي تدور حول نفس النقطة وبنفس الزاوية، لذا عند

وصف الدوران ال بد من ذكر زاويته ومركزه.يمكن تمييز التحويل الدوراني بأمرين:-

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

11

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

نقطة دوران..1زاوية دوران..2

مثال:

:مركز الدوران ال يدور

مركز الدوران هو النقطة التي ي��دور حوله��ا الش�كل، وق��د تك��ون هذه النقطة داخل الشكل أو خارج��ه، ولكن أهم م��ا يميزه��ا أنه��ا

هي نفسها ال تدور.

مالحظة:

يلعب مركز الدوران دورا مشابها للدور الذي يلعبه خط التماثل في االنعكاس، فكما أن لكل انعك��اس يق��وم خ��ط انعك��اس ك��ذلك ف��ان

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

12

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

لكل دوران هناك مركز دوران، ويمكن القول أن الدوران يتح��دد ب أشياء هي: زاوية الدوران، اتجاه الدوران، ومركز الدوران.3

لو أدرنا مسطرة ح��ول نقط��ة في وس��طها، الختل��ف الش��كل ال��ذي نحصل عليه للمسطرة مما لو أدرناها حول نقطة في طرفها، ح��تىلو كانت زاوية الدوران واحدة في الحالتين، واتجاه الدوران واحدا.

ويشترك مركز الدوران مع خط االنعكاس في صفة أخ��رى: فمرك��ز الدوران الذي ه��و نقط��ة ال ي��دور، تمام��ا كم��ا أن النق��اط على خ��ط

االنعكاس ال تتحرك من مكانها بفعل االنعكاس.

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

13

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

﴾ التماثل ﴿

خاصية يمكن وصف العديد من األشياء بها مثل األجسامالتماثل ص��فة يتص��فالتماثل الهندسية والمعادالت الرياضية وغيره��ا، و

وأذنين، أي أن به��ا اإلنس��ان، فاإلنس��ان ل��ه ي��دان ورجالن وعين��ان.نصفه اليميني يماثل نصفه اليساري شكال

)الخط المستقيم في الشكل، هو خط التماثل أو محور االنعكاسللشكل(.

بالنسبة لعملي��ة م��ا،متماثلوبشكل عام نقول عن جسم ما أنه يمكن إطالق. إذا كان تطبيق هذه العملية عليه ال تحدث فيه تغيرا

متماثل��ة» على أي جس��م أو بني��ة فنق��ول أنه��ا التماثلوص��ف «.بالنسبة للعملية كذا

العملية يمكن أن تكون بسيطة بديهية مث��ل دوران ش��كال هندس��يا.أو يمكن أن تكون تحويال لمعادالت أو دائرة حول قطرها

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

14

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

التماثلبعض عمليات . مألوفة جدا لدرجة أننا ال نالحظه��ا أحيان��ا مثال شهير ألحد أدوات خلق التماثل، تق��وم بقلب ج��انبيفالمرآة

عملي��ة. لألشياء بحيث يصبح الطرف األيمن أيس��را واأليس��ر أيمنا التمي�يز تص��بح أس��هل عن��دما يك�ون الج�انبين األيمن واأليس�ر من

عن��د األحي��اء وخاص��ةالتماثل لكن . مخلوق م��ا مختلفين ج��ذريا عن��د اإلنس��ان متط��ور ج��دا بحيث يص��عب مالحظ��ة مث��ل ه��ذه

.الفوارق

يسمي البعض االنعك��اس تم��اثال، والص��حيح أن االنعك��اس ه��و حال��ة-واحدة فقط من التماثل.

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

15

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

فالتماثل مؤلف من حركات ثالث هي الدوران، االنعكاس واإلزاحة.

الشكالن المتماثالن هما الشكالن اللذان نستطيع أن نحص��ل على- واحد منهما من اآلخ��ر، عن طري��ق واح��دة من الحرك��ات الثالث: االنعكاس، الدوران، واإلزاحة. ونقول عن شكل واحد أنه متماث��ل

إذا كان مؤلفا من قسمين هما شكالن متماثالن.

:محور التماثل

يلعب مح��ور التماث��ل أهمي��ة كب��يرة في األش��كال المتماثل��ة، وعلى الرغم من أنه ال يكون مرئيا في األشكال المتماثلة ) مثال في شكل القلب،أو وجه اإلنسان، ال نرى حقيق�ة خ�ط التماث�ل(، إال ان�ه يمث�ل

الخط الذي ينقسم عنده الشكل إلى نصفين متطابقين.

مالحظات:

إذا كان مؤلفا من نصفين، كلباالنعكاسيكون الشكل متماثال -واحد هو صورة بالمرآة عن اآلخر.

هي أبسط أنواع التماثل، إن إزاحة الشكل هو تغيير مكانهاإلزاحة- فقط عن طريق جره على طول خط مس��تقيم، يص�بح الش��كل في موضعه الجديد متماثال مع الشكل في موض��عه الس��ابق، واض��ح أن اإلزاحة ليست دورانا أو انعكاسا، وهي لذلك حركة مستقلة تختل��ف

.عن هاتين الحركتين

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي

16

مشروع تخرج - التحويالت الهندسية تغريد أبو عياش

ال ف��رق بين أن نق��ول مح��ور انعك��اس أو مح��ور تماث��ل، فالش��كل- وانعكاسه يصبحان شكال متماثال )انعكاسيا(، وخط االنعكاس يسمى

أيضا خط التماثل لهذا السبب.

المصادر:

الجواريش، خالد. أوراق عمل في الرياضيات. وزارة التربية.1م.2004والتعليم العالي – فلسطين، الجزء الرابع، سنة

فكر وتمتع – المركز القطري لمعلمي الرياضيات في.2المرحلة االبتدائية، جامعة حيفا، الجزء الثالث.

مجد، زهير ) وآخرون (. الرياضيات. وزارة التربية والتعليم.3، الجزء الثاني.2العالي – فلسطين، ط -

مسارات رياضيات للمدرسة االبتدائية – مركز التكنولوجيا –.4 م.2005فلسطين، الجزء الثامن، سنة

5.Cms.education.gov.il6.Mathcenter-k6.haifa.ac.il7.www.aghandoura.com

أكاديمية ألقاسمي– باقة الغربية سنة ثالثة، تخصص رياضيات وحاسوب، مسار فوق ابتدائي