Url Pe1c12 Clase 18 Probabilidad 6 Tabla de cia Arbol de Decision y Circuitos

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Probabilidad y EstadsticaPROBABILIDAD 6TABLAS DE CONTINGENCIA RBOL DE DECISIONES CIRCUITOS

Tablas de contingencia y Diagramas de rbol

En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicional, resulta interesante y prctico organizar la informacin en una tabla de contingencia o en un diagrama de rbol.

Continuacin

Las tablas de contingencia y los diagramas de rbol estn ntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fcilmente uno de ellos y a partir de l podemos construir el otro, lo cual nos ayudar en la resolucin del problema.

Conversin de una tabla en diagrama de rbol

Las tablas de contingencia estn referidas a dos caractersticas que presentan cada una de ellas 2 o ms sucesos. _ _ En el caso de los sucesos A, A, B y ,B expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades, la tabla adopta la forma:A B P( A B ) P( P( A TOTAL P( A ) ) P( P( ) TOTAL B ) P( B ) ) P( 1 )

Continuacin

Dicha tabla adopta la forma del diagrama de rbol del dibujo. En ste, a cada uno de los sucesos A y A se les ha asociado los sucesos B y B. _ A = A

Continuacin

Sobre las ramas del diagrama de rbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones anlogas a:

Conversin de un diagrama de rbol en tabla de contingencia

De manera recproca, dado el diagrama de rbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente sin ms que utilizar la expresin P( BA ) = P( B/A ) * P( A ) para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla.

Ejemplo 1

Un taller sabe que por trmino medio acuden: por la maana 3 automviles con problemas elctricos, 8 con problemas mecnicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas elctricos, 3 con problemas mecnicos y 1 con problemas de chapa.a. Calcule el porcentaje de los que acuden por la tarde. b. Calcule el porcentaje de los que acuden por problemas mecnicos. c. Calcule la probabilidad de que un automvil con problemas elctricos acuda por la maana.

Ejemplo 3 Elec 8 Mec.

Maana

3 Chap

2 Elec Tarde 3 Mec.

1 Chap

Solucin

Con las frecuencias absolutas y los porcentajes, se elaboran las tablas de contingencia:ELCTRICOS MECNICOS CHAPA TOTAL MAANA TARDE TOTAL 3 2 5 8 3 11 3 1 4 14 6 20

ELCTRICOS MECNICOS CHAPA TOTAL MAANA TARDE TOTAL 0.15 0.10 0.25 0.40 0.15 0.55 0.15 0.05 0.20 0.70 0.30 1.00

Respuestas

Las respuestas a las cuestiones planteadas basta leerlas en las tabla. As, se obtiene:a.

El 30% de los automviles acude al taller por la tarde.ELCTRICOS MECNICOS CHAPA TOTAL MAANA TARDE TOTAL 0.15 0.10 0.25 0.40 0.15 0.55 0.15 0.05 0.20 0.70

0.301.00

Respuestas

Las respuestas a las cuestiones planteadas basta leerlas en las tabla. As, se obtiene:b.

El porcentaje de vehculos ingresados con problemas mecnicos es el 55%.ELCTRICOS MECNICOS CHAPA TOTAL MAANA TARDE TOTAL 0.15 0.10 0.25 0.40 0.15 0.15 0.05 0.20 0.70 0.30 1.00

0.55

Respuestas

Las respuestas a las cuestiones planteadas basta leerlas en las tabla. As, se obtiene:Calcule la probabilidad de que un automvil con problemas elctricos acuda por la maana. La probabilidad buscada es: P(acuda por la maana/tiene problemas elctricos) = 3/5 = 0.60c.ELCTRICOS MECNICOS CHAPA TOTAL MAANA 8 3 14 3 TARDE TOTAL 2

5

3 11

1 4

6 20

Ejemplo 2 (RESUELVEN EN CLASE)

Una compaa de seguros hace una investigacin sobre la cantidad de informes de siniestro fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio, automvil y "otros", se obtiene la siguiente relacin de datos: El 6% son informes por incendio fraudulentos; el 1% son informes de automviles fraudulentos; el 3% son "otros" informes fraudulentos; el 14% son informes por incendio no fraudulentos; el 29% son informes por automvil no fraudulentos y el 47% son "otros" informes no fraudulentos.

RHR

Preguntasa. Haga una tabla ordenando los datos anteriores en la cual se puedan calcular fcilmente el porcentaje total de informes fraudulentos y no fraudulentos. b. Calcule qu % total de informes corresponde a la rama de incendios, cul % a la de automviles y cul % a "otros". Aade estos datos a la tabla. c. Calcule la probabilidad de que un informe escogido al azar sea fraudulento. d. Cul ser la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios?

Solucina)

TablaINCENDIO AUTOMVIL FRAUDULENTOS NO FRAUDULENTOS TOTAL 6 14 1 29 OTROS 3 47 TOTAL

20

30

50

10 90 100

b) c) d)

% incendios = 20%, automviles 30% y otros 50% Es fcil ver en la tabla que la probabilidad de escoger al azar un informe fraudulento es del 10%. la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendio: es una probabilidad condicionada: P(FRAUDE/INCENDIO)=6/20=0.3= 30%

Circuitos

El circuito siguiente trabaja slo si existe una trayectoria de dispositivos en funcionamiento de izquierda a derecha. La probabilidad de que cada dispositivo funcione aparece en las figuras siguientes. Supngase que los dispositivos fallan de una manera independiente. Cul es la probabilidad de que el sistema S trabaje o S funcione? Y Cul es la probabilidad de que el sistema NO trabaje o NO funcione?

Informacin del sistema de circuitos

PROBABILIDADES DE QUE FUNCIONE

Solucin

Parte A (en paralelo):

PROBABILIDAD DE QUE NO FUNCIONE = COMPLEMENTO DE LA PROBABILIDAD DE QUE S FUNCIONE: 1-0.9 = 0.1 Probabilidad de que no funcione A: 0.1*0.1*0.1 = 0.001 (que se arruinen los tres circuitos de A), Por lo tanto, probabilidad de que funcione A: 1 0.001 = 0.999 Probabilidad de que no funcione B: 0.05*0.05 = 0.0025 (que se arruinen los dos circuitos de B), Por lo tanto, probabilidad de que funcione B: 1 0.0025 = 0.9975

Parte B (en paralelo):

SolucinDOS FORMAS DE CALCULAR LA Parte B: I. 1 S Func y 2 NO Func = 0.95* (1-0.95) = 0.0475 II. 1 NO Func y 2 S Func = (1-0.95)*0.95 = 0.0475 III. AMBOS S FUNCIONAN 0.95*0.95 = 0.9025 (probabilidades del diagrama) IV. AMBOS NO FUNCIONAN (1-0.95)*(1-0.95) = 0.0025 PROBABILIDAD TOTAL: SUMA I,II,III,IV = 1.0000 FORMA 1: Funciona = SUMA I,II y III = 0.9975 FORMA 2: Funciona = 1 IV = 0.9975 ( MS FCIL!)

Solucin

Circuito con Partes A y B resueltas y Parte C original:

Circuito simplificado (en serie):

0.999

0.9975

0.99

Probabilidad de funcionamiento (en serie):

0.999 * 0.9975 * 0.99 = 0.9865

PROBABILIDAD DE QUE NO FUNCIONE EL SISTEMA

CIRCUITO TOTAL NO FUNCIONA A B C

PROB S FUNCIONA CADA CIRCUITO A B C

A

B

C

PROBABILIDAD 0.002473 0.009965 0.000988 0.000025 0.000010 0.000002 0.013463

S SI NO SI NO NO NO

NO SI SI NO SI NO NO

SI NO SI NO NO SI NO

0.999

0.9975

0.99

PROB NO FUNCIONA CADA CIRCUITO

A 0.001

B 0.0025 0.01

0.999 0.999 0.001 0.999 0.001 0.001

0.0025 0.9975 0.9975 0.0025 0.9975 0.0025

0.99 0.01 0.99 0.01 0.01 0.99

APROX A 4 DECIMALESYA CALCULADO QUE S FUNCIONA COMPLEMENTO NO FUNCIONA

0.01350.9865

0.0135

Circuitos (Gua)1.

2.

3.

Uniformizar: todos los datos deben ser de probabilidad de que S funciones el dispositivo En paralelo: usar concepto de complemento para encontrar probabilidad que funcione porque hacindolo en detalle sera muy tedioso En serie: no es necesario usar concepto de complemento ya que deben funcionar todos los dispositivos, slo multiplicar las probabilidades de que s funcione