uosis.mif.vu.ltuosis.mif.vu.lt/~mmartynas/rizikos_valdymas_magistrams.pdf · Turinys 1 Finansu staigosi ir juasdienke rizika 4 1.1 Rizikosu²ysr . . . . . . . . . . . . . . .

Martynas Manstavi£ius

Rizikos valdymasPaskaitu konspektas magistrantams

Vilnius

2011 08 16Redaguoti priedai.

Turinys

1 Finansu istaigos ir ju kasdiene rizika 4

1.1 Rizikos ru²ys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Kaip rmos matuoja ir atsiºvelgia i rizik¡? . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Suderintieji rizikos matai 21

2.1 Rizika kaip atsitiktinis dydis. Ateities grynoji verte . . . . . . . . . . 222.2 Priimtinu poziciju aksiomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 Priimtinu riziku aibiu ir rizikos matu atitiktis . . . . . . . . . . . . . 252.4 Priimtinu aibiu ir rizikos matu aksiomu atitiktis . . . . . . . . . . . . 302.5 Pirmoji suderintuju rizikos matu i²rai²ka . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6 Antroji suderintuju rizikos matu i²rai²ka . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7 Rizikos matu pavyzdºiai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.8 Decito vidurkis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.9 Decito vidurkio reprezentacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.10 Spektriniai rizikos matai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.11 Kai kurie suderintuju rizikos matu apibendrinimai . . . . . . . . . . . 57

2.11.1 I²kilieji rizikos matai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.11.2 Skirstinio atºvilgiu invarianti²ki matai . . . . . . . . . . . . . 61

3 Seminaru medºiaga 63

Literatura 93

ii

Pratarme

is paskaitu konspektas skirtas matematiniu specialybiu studentams, norintiemssusipaºinti su pastaraisiais metais pasaulyje itin populiaria rizikos matavimo irvaldymo sritimi. Medºiag¡ stengtasi pateikti kiek imanoma nuosekliai ir i²samiai.Skaitytojas turetu buti susipaºin¦s su tikimybiu teorijos, matematines statistikosir matematines analizes pagrindais. Kai kur, ypa£ 2 skyriuje, pravers ir funkcinesanalizes ºinios. Todel destoma medºiaga geriausiai tiks magistrantams, nors didºi¡j¡dali supras ir vyresniu kursu bakalauro studiju studentai.

Rizikos valdymas domina ne tik ekonomikos ir nansu specialistus, bet vis labiauir matematikus, statistikus bei aktuarus. Apie tai galima spr¦sti i² daugybes knyguir moksliniu straipsniu rizikos valdymo tematika. ioje srityje tikrai yra dar daugk¡ nuveikti, vien jau todel, kad nepasikartotu pasauli ²iomis dienomis kre£iantinansine krize, kuri¡ i² esmes sukele netinkamas rizikos ivertinimas, nepakankamirinkos reguliuotoju veiksmai ir, deja, nepasotinamas investuotoju godumas.

Negalime teigti, kad i²klaus¦ Rizikos valdymo paskaitu kurs¡ magistrantai buspajegus svariai prisideti ir tinkamai valdyti rizik¡ praktikoje, ta£iau norisi tiketi,kad jie suvoks pagrindinius rizikos matavimo ir modeliavimo principus, reikaling¡matematini aparat¡. Angli²koje literaturoje vartojami terminai dar neturi nusis-tovejusiu ir visiems priimtinu lietuvi²ku atitikmenu, todel daug kur tekste skliaus-teliuose pateikiame ir angli²k¡ termin¡.

Ruo²iant ²i kurs¡ daugiausiai remtasi C. Bluhm'o, L. Overbeck'o ir C. Wag-ner'io bei C. Marrison'o knygomis [4], [16], o taip pat P. Artzner'io, F. Delbaen'o,J-M. Eber'o ir D. Heath'o straipsniu [3]. iuos ²altinius skaitytojui rekomenduo-jame panagrineti pla£iau, nei pateikta ²iame konspekte. Reikalingi funkcines irre£iau cituojami matematines analizes faktai itraukti i priedus. Skaitytoj¡ taippat kvie£iame apsilankyti rizikos valdymo sri£iai skirtoje svetaineje internete. Sve-taines adresas: http://www.defaultrisk.com. ia rasite daug naujausiu moksliniustraipsniu, knygu apºvalgu, praktiniu diskusiju...

Autorius dekoja Vilniaus universiteto Matematikos ir informatikos fakulteto ben-dradarbiams uº param¡ rengiant ²i konspekt¡.

2008 kovo 31 d. M. Manstavi£ius

3

1 Finansu istaigos ir ju kasdiene rizika

1.1 Rizikos ru²ys

Naivu tiketis universalaus recepto, kuris padetu visose gyvenimo situacijose i²vengtirizikos arba j¡ kaip nors suvaldyti, juolab kad rizik¡ kiekvienas i² musu suvokia irvaldo savaip. Todel demesi sutelksime i rizik¡, su kuria kasdien susiduria ivairiosnansu istaigos: bankai, kredito unijos, investicines bendroves,... Velesniuose skyre-liuose mokysimes ²i¡ rizik¡ i²matuoti ir aptarsime kelius, kaip j¡ valdyti. O kolkas pameginkime atsidurti banko valdytojo kedeje ir pasamprotaukime, kaip bankaipinigu uºdirba ir kaip ju praranda. Paprastai bankai uºdirba dviem budais: teik-dami paslaugas klientams ir prisiimdami rizik¡. Jei, pavyzdºiui, kalbame apie maº-menines bankininkystes paslaugas teikianti bank¡, tai ²is paºadedamas tam tikrodydºio palukanas i² ºmoniu surenka indelius, aptarnauja indelininku ir kitu bankoklientu einam¡sias s¡skaitas, teikia debeto ir kredito korteliu paslaugas, nuomojavertybiu saugojimo deºutes... Bankas taip pat i²duoda ir daug paskolu tiek ziniams,tiek juridiniams asmenims. Ta£iau su paskolomis prisiimama rizika, kad paskolosnebus gr¡ºintos. O taip gali atsitikti del ivairiausiu nenumatytu prieºas£iu. Tokiagalimybe nesudomintu ne vieno banko, jei jis negaletu uº paskolas imti pakankamaidideliu palukanu.

Kita vertus, naturalu tiketis, kad prisiem¦s didesn¦ rizik¡, bankas daugiau iruºdirbs. Didesnis pelnas skatina daugiau skolinti. Tik nereiktu pamir²ti, jog kartupadideja ir tikimybe, kad, nepalankiai susiklos£ius aplinkybems, bankas pats tapsnepajegus ivykdyti visu savo isipareigojimu ir bankrutuos. Todel spr¦sdamas, kaippadidinti peln¡, bankas privalo rupintis dar ir kaip i²likti. Didesn¦ rizik¡ vertaprisiimti tik tada, kai sukaupta pakankamai informacijos, rezervu ir pats sprendi-mas kruop²£iai apgalvotas. Butent rizikingu sprendimu analize ir sudaro (nansu)rizikos valdymo esm¦. Pagrindinis ²ios rizikos valdytoju uºdavinys yra uºtikrinti, kadbankas ar kita nansu istaiga bus pajegi absorbuoti nuostolius, nepalankiai susik-los£ius aplinkybems. Kita ne maºiau svarbi uºduotis padeti istaigos valdytojuitinkamai paskirstyti visiems taip reikaling¡ kapital¡, kad jis generuotu kuo didesnipeln¡ prisiimant kuo maºesn¦ rizik¡. Tokiems sprendimams priimti itin svarbu tin-kamai rizik¡ i²matuoti ir atsakyti i ²iuos klausimus:

• Kiek galime prarasti, jei konkretus sprendimas bus priimtas?

• Ar esame pajegus patirti dideliu nuostoliu ir i²vengti bankroto?

• Ar nansine gr¡ºa yra pakankamai didele, kad mums apsimoketu prisiimti

4

1.1 Rizikos ru²ys 5

1.1 pav. Tipi²ko banko struktura.

nauj¡ rizik¡?

• Ar galime rizik¡ sumaºinti labai nesumaºindami gr¡ºos?

Vienu sakiniu i kiekvien¡ i² ²iu klausimu neatsakysime. O situacij¡ geriausuprasime, jei suvoksime tipi²ko banko struktur¡, kaip ²is bankas pinigu uºdirba,o ypa£, kaip ju gali prarasti. Toliau pateiksime diagram¡, kurioje pavaizduota tip-i²ko banko struktura. Ai²ku, konkretaus banko atveju ji gali gerokai skirtis.

Imoniu aptarnavimo departamentas aptarnauja didºiuosius banko klientus (daº-niausiai, stambias imones ar kitas nansu institucijas). i departament¡ papras-tai sudaro penki skyriai: vertybiniu popieriu pasira²ymo, imoniu konsultavimo,produktu pletros, komercines bankininkystes ir rinkos tyrimu.

• Vertybiniu popieriu pasira²ymo skyrius kuria naujus vertybinius popierius,pvz., akcijas ir obligacijas. Jei kuri nors imone nori sukaupti kapitalo, ji krei-piasi i bank¡ su pra²ymu pasira²yti ir i²platinti obligaciju emisij¡. Sudaromaskontraktas, bankas perveda imonei pinigu, o pats rupinasi obligaciju platinimu

6 1 Finansu istaigos ir ju kasdiene rizika

investuotojams. Veliau kontrakte numatytas imokas uº obligacijas investuoto-jams moka jau pati rma. Bankas uº ²ias paslaugas i² rmos gauna tam tikr¡mokesti, o daugiau uºdirbti jis gali didesne kaina i²platin¦s obligacijas. Ta£iaugali buti, kad bankas patirs ir nuostoliu, jei obligaciju verte kris iki bankas jasspes i²platinti.

• Imoniu konsultavimo skyrius pataria ketinan£ioms susijungti korporacijoms,kaip sutvarkyti bendrus nansus, sumaºinti susijungimo ka²tus, maksimaliaipasinaudoti mokes£iu lengvatomis. Uº paslaugas i² klientu imamas mokestis.Taip pat ²is skyrius naudojasi ir kai kuriomis vertybiniu popieriu pasira²ymoskyriaus paslaugomis.

• Produktu pletros skyrius investuotojams siulo isigyti ivairiu vertybiniu popie-riu, jais prekiauja su kitais bankais, tvarko banko turimo turto ir isipareigojimuneatitikimus. iam skyriui daºniausiai tenka susidurti su rinkos rizika. Pro-duktu pletros skyriui daºnai priklauso ir nansavimo poskyris, kuris rupinasile²u skolinimu kitiems ir skolinimusi i² kitu istaigu. Taip valdomas susidar¦seinamasis le²u perteklius ir decitas.

• Komercines bankininkystes skyrius teikia paskolas imonems, taip pat jas kon-sultuoja nansu strukturos klausimais. Pavyzdºiui, jei rma noretu steigtinauj¡ imon¦, ²is banko skyrius patartu, kaip geriausia sukaupti pradini kapi-tal¡: imti paskol¡ ar i²platinti akciju emisij¡. Uº suteiktas paskolas imonemsimamos vidutinio dydºio palukanos. Kartu komercines bankininkystes skyriusprisiima didºi¡j¡ dali kredito rizikos.

• Rinkos tyrimu skyrius rengia ekonomines ir specializuotas apºvalgas ir ataskai-tas, kurias naudoja produktu pletros bei nansu maklerio skyriai. Ataskaitosir apºvalgos taip pat parduodamos ir banko klientams.

Priva£ios bankininkystes departamentas rupinasi daugybe priva£iu klientu. iodepartamento pagrindine funkcija i s¡skaitas priimti klientu indelius, dalyti var-tojimo ir busto paskolas, platinti kreditines korteles. Pinigu uºdirbama mokantnedideles palukanas uº indelius ir imant didesnes palukanas uº kreditines kortelesir ivairias paskolas. I² palukanu skirtumo uºdirbtu pinigu privalo pakakti s¡skaitutvarkymo i²laidoms ir galimiems nuostoliams del klientu isipareigojimu neivykdymopadengti. Departament¡ sudaro taip pat penki skyriai: nansu maklerio, svarbiuklientu aptarnavimo, busto paskolu, mokejimo korteliu bei £ekiu ir vartojimo paskoluaptarnavimo. Tiesa, pirmieji du skyriai gali priklausyti ir imoniu aptarnavimo de-partamentui.

• Finansu maklerio skyrius uº tam tikr¡ mokesti suteikia galimyb¦ privatiemsklientams prekiauti turimais vertybiniais popieriais.

• Svarbiu klientu aptarnavimo skyrius teikia specializuotas paskolas turtingiemsir itin svarbiems privatiems klientams.


• Busto paskolu, mokejimo korteliu bei £ekiu ir vartojimo paskolu aptarnavimoskyriai dideliu komentaru nereikalauja. Tiesa, reiketu pamineti, kad Lietuvoje£ekiai visai nepaplit¦, o ²tai JAV jais atsiskaitoma labai daºnai.

Turto valdymo departamentas administruoja ivairius fondus, i kuriuos inves-tuoja privatus klientai. is departamentas valdo ne banko, o klientu pinigus, todeltiesioginiu nuostoliu del turto vertes kritimo rinkoje nepatiriama. Daºniausiai su-maºeja tik iplaukos uº aptarnavimo paslaugas.

Kai kurie bankai turi ir draudimo departament¡. is padalinys draudºia bankoklientus nuo ivairiu sukretimu. Potencialioms ºaloms padengti draudimo departa-mentas yra sukaup¦s daug kapitalo, daºniausiai akciju ir obligaciju forma. Padalinysdraudºia turt¡, gyvyb¦, nuo nelaimingu atsitikimu, taip pat siulo kai kurias komer-ciniu draudimo bendroviu teikiamas paslaugas.

Aprupinimo departamento uºduotis rupintis, kad kiti banko padaliniai sklan-dºiai dirbtu. is departamentas stengiasi, kad visos transakcijos butu sekmingai ap-dorotos, gautos ir tinkamai registruojamos. Aprupinimo padalini sudaro penki sky-riai: apskaitos, operaciju vykdymo, audito ir prieºiuros, informaciniu technologijubei rizikos valdymo.

• Audito ir prieºiuros skyrius atsako uº banko tvarkos bei veikl¡ reguliuojan£iuteises aktu laikym¡si.

• Apskaitos skyrius rengia pelno/nuostoliu bei turimo turto/isipareigojimu atas-kaitas prieºiuros institucijoms.

• Rizikos valdymo skyrius taip pat itrauktas i aprupinimo departament¡, kadbutu nepriklausomas nuo ivairi¡ rizik¡ prisiiman£iu banko padaliniu.

• Operaciju vykdymo ir informaciniu technologiju skyriai yra labiau techniniai,bet ne maºiau svarbus sekmingam banko darbui.

Aptareme tipi²ko banko struktur¡ bei pagrindinius pajamu bei rizikos ²altinius.Dabar pla£iau panagrinekime, kaip bankai praranda pinigu. Prisiimdami nauj¡rizik¡ bankai gali ne tik daugiau uºdirbti, bet ir daugiau prarasti. Paprastai i²skiri-amos trys bankams aktualios rizikos ru²ys: rinkos, kredito ir operacine.1 Dabar jasatskirai ir aptarsime.

• Rinkos rizika kyla del galimu nepalankiu rinkos poky£iu ir su jais susijusiunuostoliu. i rizikos ru²is siejama su nuostoliais del pasikeitusios turto vertesrinkoje. Klasikiniai rinkos rizikos pavyzdºiai yra del akciju rinkos staigiupoky£iu investuotoju patirti nuostoliai:

nuo 2000 m. kovo iki 2001 m. kovo del internetiniu rmu burbulosprogimo (angl. ".com" buble) NASDAQ akciju birºos indeksas krito65%;

1Angli²kai ²ios rizikos atitinkamai vadinamos market risk, credit risk ir operational risk.


vien¡ 1987 metu savait¦ Dow Jones akciju indeksas prarado 31% savovertes, net 23% buvo prarasta vien per Juod¡ji Pirmadieni, 1987 spalio19 dien¡;

per Didºi¡j¡ Depresij¡ JAV (192932 m.) Dow Jones indekso verte smukonet 87% ir ankstesnio lygio nepasieke iki pat 1954 metu.

Per kiekvien¡ i² ²iu didºiuju nansiniu kriziu bankai patyre nuostoliu, kaikurie bankai net bankrutavo. Maºiausiai prarado tie, kurie prie² pat kriz¦susiprato, kad turimos akciju pozicijos yra labai paºeidºiamos, ir ²ias pozici-jas spejo likviduoti arba labai sumaºinti. tai, pavydºiui, didelis JAV bankasChase 1998 metu pradºioje susigriebe, kad yra per daug investav¦s i Rusi-jos rink¡, ir eme skubiai i²parduoti turimas Rusijos vyriausybes obligacijas.Kai tu pa£iu metu vasar¡ Rusijos vyriausybe atsisake ivykdyti isipareigojimusuºsienio kreditoriams ir kilo nansine krize, Chase bankas galejo t¦sti savoveikl¡ lyg nieko nebutu ivyk¦. O ²tai ribotos rizikos fondas (hedge fund) LongTerm Capital Management (LTCM) smarkiai rizikavo ir tikejosi Rusijos krizesbei po jos seksian£ios rublio devalvacijos, kuri¡ norejo panaudoti nuostoliamsapdrausti. Krize ivyko, bet devalvacijos nebuvo. Todel LTCM galiausiaiprarado 4,6 mlrd. JAV doleriu (i² ju 430 mln. pa£ioje Rusijoje ir kitosebesivystan£iose rinkose) ir buvo perimtas konkurentu, o 2000 metu pradºiojei²vis uºdarytas. Beje, ²is fondas po jo ikurimo 1994 metais veike itin sekmingai,kelerius metus jo turto gr¡ºa sieke per 40%, tiesa, daugiausia del labai dideliosverto (kreditoriu ir akcininku turto santykis sieke net 25). Reikia pamineti,kad fondo direktoriu taryboje dirbo ir du Nobelio ekonomikos premijos laure-atai Myron'as Scholes'as ir Robertas C. Merton'as, kuriu sukurti matematiniainansu teorijos modeliai po fondo ºlugimo buvo labai kritikuojami.

Nuostoliai del svyravimu rinkose nebutinai pasirei²kia i² karto. Jie galimi irdel ilgalaikiu rinkos tendenciju. tai devintajame praeito amºiaus de²imt-metyje bankrutavo daug JAV smulkesniu kredito uniju ir i jas pana²iu nansuinstituciju. ios institucijos vertesi dalydamos ilgalaikes paskolas uº ksuo-tas palukanas, o indelininkams palukanas mokejo uº trumpalaikius indelius.Viskas puikiai klojosi, kol palukanu normos buvo stabilios. Ta£iau 1980 metaispalukanu normos eme staigiai kilti. Kredito istaigos vis dar sulaukdavo maºuimoku uº i²duotas paskolas, o indelininkams reikejo moketi vis didesnes i²mokasuº laikomus indelius. Tokia praktika ilgai t¦stis negalejo, todel daugelis ²iukredito istaigu bankrutavo. Taigi svarbu atsiºvelgti ir i ilgalaik¦ tenden-cij¡ rinkose. Beje, toks palukanu normu rizikos valdymas vadinamas turtoisipareigojimu valdymu (asset liability management (ALM)).

• Kredito rizika kyla, kai privatus asmuo, imone arba vyriausybe neivykdosavo paºado sumoketi tam tikr¡ pinigu sum¡. Tarp rinkos ir kredito rizikutakoskyra nera labai ai²ki. Imoniu obligaciju kaina valstybes iºdo obligacijuatºvilgiu svyruoja del rinkos dalyviu nuomones apie imones isipareigojimuneivykdymo tikimyb¦. Rizika patirti nuostoliu, kol imone vis dar vykdo savoisipareigojimus, priskiriama rinkos rizikai, o pats isipareigojimu neivykdymas


yra kredito rizikos objektas. Kredito rizika atsiranda ivairiai. Bene akivaizdºi-ausia jos forma paskolos arba palukanu negr¡ºinimas, tiek objektyvus ne-sugebejimas gr¡ºinti, tiek piktybi²kas atsisakymas gr¡ºinti paskol¡ ir sutartaspalukanas. Butent taip 1999 m. sausi Guangdong International Trust and In-vestment Corporation atsisake gr¡ºinti 4,5 mlrd. JAV doleriu paskol¡, kuriospus¦ buvo suteik¦ uºjurio bankai. Kitas pavyzdys 1999 m. rugpjuti paly-dovines telekomunikacijos bendrove Iridium atsisake gr¡ºinti dvi sindikuotas(t.y. keliu kredito istaigu suteiktas) 1,5 mlrd. JAV doleriu paskolas, kuriosbuvo skirtos palydovams paleisti, nes uº teikiamas palydovinio ry²io paslaugasgavo netiketai maºai pajamu.

Analogi²ka situacija galima ir su obligacijas i²leidusia imone ar vyriausybe,kai liaujamasi moketi sutartas sumas uº i²leistas obligacijas. Vienas i² tokiosrizikos pavyzdºiu 1998 rugpju£io 17 dien¡ Rusija viena²ali²kai nusprendepertvarkyti 43 mlrd. JAV doleriu vertes obligaciju i²pirkimo tvarkara²ti. Uº-sienio kreditoriai veliau atgavo tik maº¡ dali ²ios Rusijos skolos. Pana²iainutiko ir 2001 m. vasari, kai JAV Kalifornijos valstijos elektros energijos kom-panija PG&E atsisake i²pirkti 726 mln. JAV doleriu vertes trumpalaikuobligaciju. Tiesa, t¡kart isipareigojimu neivykdymas buvo selektyvus: kom-panija toliau mokejo palukanas uº kit¡, 8 mlrd. JAV doleriu vertes skol¡.

Kiek subtiliau yra su prekybos operaciju kredito rizika. Sandorio ²alies rizika(angl. counterparty risk) siejama su galimybe, kad verslo partneris atsisakyssumoketi, jei ²iuo sandoriu praras pinigu. Vienu i² tokios rizikos pavyzdºiulaikytinas Maskvos tarpbankines valiutu keityklos ir keletos Rusijos banku at-sisakymas ivykdyti isipareigojimus bankui Credit Suisse First Boston (CSFB)1998 metais. Pagal CSFB isigytu i²vestiniu vertybiniu popieriu s¡lygas Rusijosbankai liko skolingi 600 mln. JAV doleriu del staiga pakitusio valiutu kurso.

Atsiskaitymo sandorio rizika (angl. settlement risk) atsiranda tada, kai nei-vykdo atsiskaitymo sandorio isipareigojimu. Kartais pastaroji rizika vadinamaHer²tato rizika, iamºinant maº¡ Vokietijos bank¡ Bankhaus Herstatt, kuris1974 metais patyre dideliu nuostoliu del keliu operaciju uºsienio valiuta. KaiVokietijoje baigesi darbo diena, bankas bankrutavo. Todel banke istrigo 620mln. doleriu i² JAV prekybos partneriu gautu le²u, kuriuos pervesti adresa-tams Bankhaus Herstatt neprivalejo iki kitos darbo dienos. Bankrutav¦s ²isbankas sustabde visas operacijas, o JAV bankai prarado beveik visus pervestuspinigus.

• Operacine rizika apima visus kitus budus, kaip bankas gali patirti nuostoliu.Tarptautinis Bazelio bankininkystes komitetas operacin¦ rizik¡ apibreºia kaiptikimyb¦ patirti nuostoliu del imoniu, sistemu, netinkamu ar nepavykusiu vi-daus procesu arba del i²ores ivykiu itakos, iskaitant teisin¦ rizik¡. Keletaspavyzdºiu: vienas JAV vyriausybes obligaciju makleriu Japonijos banko Niu-jorko skyriuje savo prekybos nuostolius denge kitu klientu vertybiniais popieri-ais ir sugebejo per 10 metu nuslepti 1 mlrd. JAV doleriu nuostoliu, o ²tai 1997metais NatWest prarado 127 mln. JAV doleriu ir turejo labai apriboti savo


vykdom¡ veikl¡, nes rmos makleriai, prekiav¦ pasirinkimo sandoriais, nau-dojo ne tuos duomenis numanomam kainu kintamumui modeliuose ivertinti irtodel prisieme rizikos, kurios ne neiºvelge.

Nors rizikos ru²iu yra keletas, daºnai bankai nuostoliu patiria del keliu rizikui² karto. Bene geriausias pavyzdys seniausio Didºiosios Britanijos prekybos irinvesticiju banko, kuriame s¡skait¡ turejo ir Didºiosios Britanijos karaliene, BaringsBank ºlugimo istorija. I Singapuro ateities sandoriu birº¡ nusiustas jaunas mak-leris Nick'as Leeson'as ivykde kelet¡ rizikingu vadovybes nepatvirtintu sandoriu. I²pradºiu ²ie sandoriai buvo sekmingi ir Leeson'as uºdirbo 10 milijonu svaru, apie10% 1992 metu banko pelno. Ta£iau sekme greit nusisuko ir eme kauptis nuos-toliai, kuriuos Leeson'as kruop²£iai paslepe specialioje banko nuostoliu s¡skaitoje.1994 metu rudeni nuostoliai sieke jau 208 milijonus svaru. Jiems susigr¡ºinti Lee-son'as sumane riziking¡ schem¡. Prekiaudamas Tokijo akciju birºoje, 1995 metusausio 17 dien¡ Leeson'as tikejosi nedideliu birºos kurso svyravimu, bet nakti ivyk¦sKobes ºemes drebejimas smarkiai numu²e Azijos rinku kainas. Leeson'as rizikavovis labiau, ²ikart tikedamasis greito Tokijo birºos indekso Nikkei225 atsigavimo,bet taip neivyko, o nuostoliai pasieke 827 milijonus Didºiosios Britanijos svarusterlingu, maºdaug dukart daugiau, nei bankas turejo prekybos kapitalo. Vasario 26dien¡ bankas bankrutavo, o i² Singapuro pabeg¦s Leeson'as veliau buvo pagautas irkalejime praleido 6,5 metu. Pradinius nuostolius makleriui buvo pavyk¦ nuslepti, nesSingapuro skyriuje Leeson'as buvo atsakingas ir uº prekyb¡, ir uº apskait¡. O pasku-tini¡j¡ afer¡ makleriui pavyko igyvendinti, nes banko valdºia neturejo efektyviupriemoniu prisiimtai rizikai ivertinti.

2008 metu sausi pasaulini banku sektoriu sukrete dar vienas didelis skandalas.Prancuzijos bankas Societe Generale paskelbe del imantriu ir ivairiu savo dar-buotojo suktybiu prarad¦s 4,9 mlrd. euru.2 Veliau paskelbtas ir itariamasis,31-eriu metu prancuzas Jerome Kerviel'is, kuris savo kalt¦ neige. Pasak bankoprane²imo spaudai, Paryºiuje dirb¦s makleris tikejosi itin optimisti²ko Europosakciju kursu kilimo, ta£iau atsitiko prie²ingai. Bankas skubiai likvidavo riziking¡Kerviel'io sudaryt¡ 50 mlrd. euru pozicij¡ (nors paties banko rinkos verte sudaretik 35 mlrd. euru!) ir patyre milºini²k¡ nuostoli. Ta£iau idomiausia, kaip taip i²visgalejo atsitikti?! 2009 metu rugseji Prancuzijos teismas paskelbe, kad Kerviel'iobylos svarstymas prasides 2010 metu pradºioje.

Ta£iau ir Kerviel'io atvejis greit nublanko, suºinojus apie JAV investiciju ben-droves Bernard L. Mado Investment Securities LLC vadovo Bernard'o Mado'opiramides schem¡, del kurios investuotojai, kaip manoma, neteko 65 mlrd. JAVdoleriu. Dar 1999 metais JAV vertybiniu popieriu ir birºu prieºiuros tarnybai buvoprane²ta apie itartinai dideli peln¡, kuriuo didºiuojasi Mado'as, ta£iau tarnybaprane²imus ignoravo. Ir ²tai 2008 metu gruodi nansine piramide griuvo. Iki ²iol i²Mado'o ²eimos turtu sugr¡ºinta tik nedidele dalis prarastu pinigu, o pats 71-eriuMado'as teisme savo kalt¦ pripaºino ir gavo maksimali¡ istatymu numatom¡ 150metu kalejimo bausm¦.

2Apie 7,1 mlrd. JAV doleriu 2008 sausio 25 dienos kursu, t.y. maºdaug 4 kartus daugiau, neibuvo prarad¦s Leeson'as.


Priºiureti banko prisiimam¡ rizik¡ ir kitas banko funkcijas auk²£iausiu lygiuyra banko valdybos uºduotis. Akcininkai i² valdybos tikisi didesniu dividendu,ta£iau bankas dar turi atsiºvelgti ir i savo kreditoriu, reitingo agenturu, prieºiurosinstituciju reikalavimus, o taip pat ir savo nor¡ i²silaikyti rinkoje. Todel valdymouºdavinys yra i² esmes maksimizuoti investiciju gr¡º¡, prisiimant ribot¡ rizik¡ iratsiºvelgiant i daug apribojimu. Banko valdyba priºiuri tris pagrindines rizikosvaldytoju funkcijas: kaip parenkamas skolos reitingo lygis, apskai£iuojamas turimaskapitalas ir kaip nustatomos rizikos ribos kiekvienam banko skyriui.

• Skolos reitingas yra banko kredito patikimumo matas. Jis tampriai sieja-mas su banko isipareigojimu neivykdymo tikimybe (trumpinsime PD.3 Pa-prastai skelbiami tiek trumpalaikes, tiek ilgalaikes skolos reitingai. Auk²tasskolos reitingas rei²kia maº¡ isipareigojimu neivykdymo tikimyb¦. Papras-tai ²is skolos reitingas suteikiamas atsiºvelgiant i banko prisiimtos rizikos irvaldomo kapitalo santyki. Kapitalu vadiname skirtum¡ tarp banko turto irprisiimtu isipareigojimu. Ji galima laikyti dabartine banko verte. Jei bankokapitalas maºas, o rizikos prisiimta daug, tuomet labiau tiketina, kad nuos-toliai bus didesni uº turim¡ kapital¡, ir bankas tiesiog bankrutuos. Todel,jei bankas nori auk²to skolos reitingo, jis privalo tureti dideli kapital¡ lygi-nant su prisiimta rizika. Nors skolos reitingo lygi nustato banko valdyba,pa£ius reitingus suteikia nepriklausomos agenturos, kurios kokybi²kai ir kieky-bi²kai ivertina banko patikimum¡. Bene geriausiai ºinomos Standard&Poor's(S&P), Moody's ir Fitch agenturos. I² pirmo ºvilgsnio bankui naudinga turetiºem¡ skolos reiting¡, nes tuomet galima prisiimti daugiau rizikos ir akcininkamsuºdirbti didesnius dividendus. Kita vertus, ºemas skolos reitingas susij¦s ir sudidesnemis palukanu normomis, nes maºesni reiting¡ turintis bankas kredi-toriams yra rizikingesnis ir ne toks patrauklus investicijoms. Banko skolosreitingas svarbus ir banko klientams. tai prekybininkai tikrai nenores laikytisavo santaupu banke, jei labiau tiketina, kad bankas bankrutuos. em¡ reitin-g¡ turin£io banko i²vestiniu vertybiniu popieriu nenores pirkti ir imones, nestokio banko sandorio ²alies kredito rizika didesne.

Kredito reitingu agenturu S&P, Moody's ir Fitch reitingu ºymenys skiriasi, betatitinkama interpretacija labai pana²i. Lenteleje pateiksime S&P agenturosilgalaikio skolinimosi reitingu lentel¦:

Daºnai prie reitingu, ºemesniu uº AAA, pridedamas + arba −, rei²kiantisatitinkamo ukio subjekto padeti tarp t¡ pati reiting¡ turin£iu rmu. Pvz.,AA+ rei²kia pirm¡ji AA reiting¡ turin£iu imoniu tre£dali, AA antr¡ji, oAA− tre£i¡ji. Standard&Poor's agenturos trumpalaikio skolinimosi reitingaiºymimi: A-1+, A-1, A-2, A-3, B, C, D.

Atitinkami Moody's ilgalaikio skolinimosi reitingai yra: Aaa, Aa, A, Baa, Ba,B, Caa, Ca, C. Pastebesime, kad Moody's reitingas C atitinka S&P agenturosreiting¡ D. Ivertinimai nuo Aa iki Caa daºniausiai papildomi skai£iumi 1 2,

3Angli²kai probability of default arba tiesiog default probability.


Reitingas Reitingo apibudinimasAAA auk²£iausios kokybes kreditas,

nansiniu isipareigojimu atºvilgiu klientas itin patikimasAA labai geros kokybes kreditas,

klientas labai patikimasA vis dar geros kokybes kreditas,

klientas truputi jautrus ekonominems s¡lygomsBBB ºemiausias investicinio lygio kreditasBB butina elgtis atsargiai,

geriausias neinvesticinio lygio kreditasB klientas jautrus ekonominems s¡lygoms,

pajegus vykdyti savo nansinius isipareigojimusCCC klientas gali tapti nemokus,

jei ekonomines s¡lygos taps nepalankiosCC klientas labai rizikingas,

greit gali tapti nemokusC klientas arti bankroto arba jau bankrutav¦s,

isiskolinimu gr¡ºinimas dar vykdomasD klientas jau yra neivykd¦s bent vieno

i² savo nansiniu isipareigojimu

1.1 lentele. Agenturos Standard&Poor's ilgalaikio skolinimosi reitingai ir ju in-terpretacija.

arba 3, rei²kian£iu atitinkamo ukio subjekto padeti tarp t¡ pati reiting¡turin£iu rmu. Pvz., Aa1 rei²kia pirm¡ji Aa reiting¡ turin£iu imoniu tre£dali,Aa2 antr¡ji, o Aa3 tre£i¡ji. Trumpalaikio skolinimosi Moody's agenturosreitingai ºymimi: P-1, P-2, P-3 ir NP. Raide P £ia rei²kia pagrindinis (prime),o NP atitinka nepagrindinis (not prime). Fitch agenturos ilgalaikio skolini-mosi reitingu skale beveik sutampa su jau minetaja Standard&Poor's skale, tiktarp C ir D reitingu dar iterpta RD kategorija. Be to, kaip ir S&P taip ir Fitchnaudoja + ir − simbolius rmos pade£iai tiksliau nusakyti. Atitinkamitrumpalaikio skolinimosi reitingai ºymimi F1+, F1, F2, F3, B, C, D.

Dauguma tarptautiniu banku yra ivertinti AA reitingu, o daug JAV valstybiniuir regioniniu banku turi reiting¡ A arba BBB. Didºiausiu Lietuvos banku irjiems suteiktu reitingu lentel¦ pateikiame 1.2 lenteleje.

Per pastaruosius trejus metus Lietuvos banku reitingai, kaip ir pa£ios Lietuvos,daºnai keitesi. Siulome skaitytojui pasidometi, kaip 1.2 lentele atrodo dabar.

Kai pasirenkamas skolos reitingo lygmuo, tampa svarbu subalansuoti rizik¡,kad ji atitiktu turim¡ banko kapital¡.

• Banko kapitalas skai£iuojamas i² dabartines banko turto vertes atemus da-bartin¦ isipareigojimu vert¦. Jei vis¡ turt¡ ir isipareigojimus galima lais-vai parduoti rinkoje, tuomet dabartine verte yra tiesiog dabartine turto ir


1.2 lentele. Lietuvos banku reitingai 2007 metais.

isipareigojimu kaina. Ta£iau daºnai ne vis¡ turt¡ galima laisvai parduoti,pavyzdºiui, privatiems asmenims i²duotomis paskolomis prekiaujama nedaº-nai. Todel banko valdytojams svarbu visam turtui suteikti objektyvi¡ kain¡.Paprastai ²i kaina gaunama i² nominalios turto vertes atemus specialius irbendruosius atidejinius. Nominali (paskolu) verte yra visa suma, kuri¡ klien-tai yra skolingi bankui. Specialiesiems atidejiniams priskiriama tiketina suma,kurios negr¡ºins jau galo su galu nesuduriantys skolininkai. O i bendruosiusatidejinius itraukiama tiketina suma, kurios per ateinan£ius metus negr¡ºinsvisi kiti skolininkai. Tuomet kapitalas yra skirtumas, gautas i² nominaliosturto vertes atemus visus atidejinius ir isipareigojimus. Jei banko valdyba nus-prendºia greitai pritraukti papildomo kapitalo, ji gali i²leisti daugiau bankoakciju. Taip padideja kapitalas, o isipareigojimai lieka tokie patys. Beje,isipareigojimai paprastai suprantami kaip visi sandoriai, pagal kuriuos bankasyra skolingas kitiems rinkos dalyviams, ta£iau praktikoje daºnai neitraukiamanuosavybes teis¦ turin£iu vertybiniu popieriu (akciju) verte. Kapital¡ padi-dinti galima ir nusprendus kelet¡ metu nemoketi dividendu akcininkams.

• Leistina banko rizika tampa ºinoma, vos tik paai²keja banko reitingas irapskai£iuojamas kapitalas. Paprastai ²i maksimali prisiimamos rizikos riba ap-skai£iuojama padauginus isipareigojimu neivykdymo tikimyb¦ i² turimo kapi-talo. Tada banko valdyba dar turi nuspr¦sti, kaip ²i¡ rizik¡ paskirstyti ivairiemsbanko padaliniams: prekybos, mokejimo korteliu, paskolu ukio subjektams...


Butina ivertinti kiekvieno i² ²iu padaliniu tiketin¡ gr¡º¡ ir rizikos diversi-kacij¡, apie kuri¡ daugiau kituose skyreliuose. inodamas rizikos lubas,kiekvienas skyrius atitinkamai reguliuoja savo veikl¡, pvz., paskoloms i²dalijane daugiau kaip 100 mln. litu.

1.2 Kaip rmos matuoja ir atsiºvelgia i rizik¡?

iame skyriuje aptarsime dvi svarbias s¡vokas, be kuriu nei²siver£ia rmos, matuo-damos prisiimam¡ rizik¡, kalbesime apie ekonomini kapital¡ (economic capital) beipagal rizik¡ ivertint¡ kapitalo gr¡º¡ (risk-adjusted return on capital (RAROC)).Ekonominis kapitalas, apie kuri dar kalbesime ir ?? skyriuje, yra tarsi skale ivairiomsrizikoms palyginti, juo skai£iuojama, kiek turto turi sukaupti rma, kad apsidraustunuo prisiimamos rizikos. Kita vertus, RAROC verslo pasaulyje tapo standartiniumatu transakciju pelningumui ivertinti, atsiºvelgiant i rizik¡.

Pradekime nuo s¡ry²io tarp kapitalo, rizikos ir isipareigojimu neivykdymo tiki-mybes. Jau minejome, kad kapitalu vadinamas skirtumas tarp turimo turto vertesir prisiimtu isipareigojimu. Kapitalas kasdien kinta, nes kei£iasi turimo turto verterinkoje, taip pat gali kisti ir prisiimtu isipareigojimu kiekis. Nuo kapitalo dydºiotampriai priklauso ir banko galimybe apmoketi skolas. Panagrinekime paprast¡pavyzdi. Tarkime, kad i² jusu verslo idej¡ palaikan£iu investuotoju gavote 5 mln.litu kredito unijai isteigti. Dar 95 mln. litu sukaupete i² indelininku. Tiek inves-tuotojai (akcininkai), tiek indelininkai tikisi gr¡ºos uº savo pinigus. Indelininkamspaºadejote 5% metiniu palukanu uº indelius. Uº sukauptus 100 mln. litu nuperkategarsiu rmu (pvz., IBM ar British Airways) obligaciju, kuriu paºadetoji metinegr¡ºa yra 6%. Po metu indelininkams turesite gr¡ºinti 99,75 mln. litu, o lik¦6,25 mln. liks akcininkams. Todel nuosavo kapitalo pelningumas (return on eq-uity (ROE)) bus 25%. O tai nemaºas pelnas. Ta£iau visai imanoma situacija, kaddalis obligacijas i²leidusiu rmu neivykdys savo isipareigojimu. Jei po metu 4% jusuturimu obligaciju taps bevertes (jas i²leidusios rmos atsisakys obligacijas i²pirkti irnieko nebus atgauta po bankroto proceduru), tai turesite tik 101,76 mln. litu, o ne106 mln. kaip ankstesniu atveju. Indelininkams vis tiek teks i²moketi 99,75 mln., oakcininkams liks 2,01 mln., t.y. jie patirs 2,99 mln. litu arba 59,8% nuostoli. O jeipo metu padetis dar prastesne ir net 8% obligaciju tapo bevertes, turesite vos 97,52mln. litu, todel patys nesugebesite ivykdyti isipareigojimu indelininkams ir turesiteskelbti bankrot¡. Kartu jusu kredito unijos akcininkai praras visk¡. Pana²iai sam-protaujame ir tuo atveju, kai kapitalo struktura kiek kita: 20 mln. litu sudaronuosavas kapitalas, o 80 mln. litu sudaro skola, t.y. tiek sukaupiama i² indeliu.Abieju scenariju rezultatus pateikiame 1.3 lenteleje.

Abiem atvejais nuosavo kapitalo pelningumas ROE skai£iuojamas taip:

ROE =FE− IE

IE,

£ia FE yra galutinis nuosavas kapitalas (nal equity), o IE rei²kia pradini nuosav¡kapital¡ (initial equity). Pastebesime, kad didesnio pradinio kapitalo atveju net ir

1.2 Kaip rmos matuoja ir atsiºvelgia i rizik¡? 15

1.3 lentele. Skirtingos kapitalo strukturos kredito unijos ir ju pelningumas.

blogesnis scenarijus (8% obligaciju praradimas) nesukelia kredito unijos bankroto.Suprantama, kad realiai bever£iu obligaciju po vieneriu metu gali buti ne tik 4

ar 8%. Galimu scenariju daºniausiai yra be galo daug. Todel nuosavo kapitalo dydiir scenarijaus tiketinum¡ paprastai vaizduojame tikimybinio tankio graku.

6

-106

99, 8 skola NK

Tikimybe

Turimas turtas

1.2 pav. Kredito unijos turto skirstinio tankis. NK ºymi nuosav¡ kapital¡.Uºbruk²niuotas plotelis lygus unijos isipareigojimu neivykdymo tikimybei.

Padidinus nuosavo kapitalo dali, sumaºetu unijos isipareigojimu neivykdymotikimybe. Taigi tarp pradinio kapitalo, prisiimtos rizikos ir bankroto tikimybes egzis-tuoja tamprus ry²ys.

Ekonominis kapitalas, kaip rizikos matas, leidºia ivairi¡ rizik¡ matuoti vienaskale. Rinkos rizikai ivertinti i² pradºiu skai£iuosime dienos vertes rizik¡ (daily value-at-risk (Daily-VaR)), o tada j¡ transformuosime i ekonomini kapital¡. Grieº£iauvertes rizikos matas apibreºiamas ir nagrinejamas [11] knygoje. Kredito ir operacinesrizikos ekonomini kapital¡ skai£iuosime tiesiogiai i² nuostoliu skirstinio. Ekonominiskapitalas suprantamas kaip minimalus turtas (rezervas), kuri metu pradºioje turisukaupti nansu istaiga (jos akcininkai), kad tikimybe bankrutuoti per tuos metusbutu labai maºa. Maºum¡ lemia banko pasirinktas skolos reitingas. Pvz., noredamas


Reitingas TikimybeAAA 1AA 4A 12BBB 50BB 300B 1100CCC 2800D 10000

1.4 lentele. Agenturos Standard&Poor's ilgalaikio skolinimosi reitingai ir metinesisipareigojimu neivykdymo tikimybes (baziniais punktais).

i²laikyti A lygio reiting¡, bankas privalo pasiekti, kad isipareigojimu neivykdymo(arba bankroto) tikimybe nevir²ytu 0,12% (t.y. 12 baziniu punktu). 1.2 lentelejematome skolos reitingo ir metines isipareigojimu neivykdymo tikimybes (tiksliau, jutreju metu vidurkio) s¡ry²i (2001 m. duomenys i² [5]).

Rizikos ru²ys ir ekonominis kapitalas

• Kredito rizikos ekonominis kapitalas priklauso nuo paskolu portfelio nuostoliuL tikimybinio skirstinio. Nuostolius £ia suprasime kaip skirtum¡ tarp plan-uoto galutinio turto (veliau paºymeto A1,max) ir gauto galutinio turto (veliaupaºymeto A1). Tiesa, ²is skirtumas nebutinai rei²kia nuostolius banko ar r-mos akcininkams, veikiau negautas pajamas. Tipi²k¡ galutinio turto skirstiniotankio grak¡ matome 1.3 pav.

6

-A1,max

Tikimybe

-

A1

EL

MPL

ULULp

R

1.3 pav. Kredito portfelio galutinio turto skirstinio tankio grakas ir svarbiausiosnuostoliu charakteristikos.

Jame pavaizduotas paskolu portfelio galutinio turto pasiskirstymas po vieneriumetu. Raide A paºymejome portfelio vert¦, o D reik² banko skol¡ kreditori-ams. Indeksas 0 ºymi metu pradºi¡, o 1 metu pabaig¡. Taip pat sim-boliu A1,max paºymejome maksimali¡ portfelio vert¦ po vieneriu metu, jei visi


paskolu gavejai ivykdys savo isipareigojimus bankui. Ivertinti pati portfelionuostoliu skirstini sudetingas uºdavinys. Labai daºnai svarbu ºinoti trispagrindines ²io skirstinio charakteristikas:

tiketin¡ (arba laukiam¡) nuostoli (expected loss (EL)), kuris yra maksi-malios (planuotos) portfelio vertes A1,max ir tikrosios portfelio vertes A1

skirstinio vidurkio skirtumas (arba tiesiog nuostoliu vidurkis). EL yraverte, kuri¡ bankas vidutini²kai turi tiketis prarasti (negauti) per viene-rius metus;

netiketin¡ (arba nelaukiam¡) nuostoli (unexpected loss (UL)), t.y. port-felio galutinio turto skirstinio standartini nuokrypi;

didºiausi¡ leistin¡ nuostoli (maximum probable loss (MPL)), kurio mate-matinis atitikmuo yra nuostoliu skirstinio p-lygmens kvantilis, t.y.

MPL = infx : P(L > x) ≤ p.

Lygmuo p parenkamas atsiºvelgiant i banko skolos reiting¡. Pavyzdºiui,A reiting¡ turin£io banko p = 0, 0012, t.y. toks bankas patirti nuostoli,didesni uº MPL, gali tiketis tik 12 i² 10000 atveju.

Ekonominis kapitalas, reikalingas metu pradºioje, norimam paskolu portfeliuisuformuoti skai£iuojamas pagal formul¦:

EC0 = MPL1 + rA1 + rD

− A0rA − rD1 + rD

,

£ia rA yra portfelio gr¡ºos norma, o rD ºymi le²u skolinimosi norm¡. Jeiteisingos kelios prielaidos (apie jas i²samiau truputi veliau), tai EC ≈ MPL−EL.

• Rinkos rizikos ekonominis kapitalas yra rezervas, kuri metu pradºioje turisukaupti akcininkai, kad bankas galetu igyvendinti numatyt¡ investavimo stra-tegij¡ ir i²laikytu norim¡ skolos reiting¡. io rezervo reikia tam atvejui, kaidel nepalankios situacijos rinkoje banko strategijos pelningumas yra neigiamasir butina i² rezervo padengti isiskolinim¡. Pasirinkus investavimo strategij¡,skai£iuojamas nuostoliu skirstinys. Tada randamas didºiausias leistinas nuos-tolis Wp > 0, tenkinantis lygti4 p = P(X < −Wp), kurioje X rei²kia atsitiktinipeln¡ (ºr. 1.4 pav.).

Veliau gautasis Wp diskontuojamas, naudojant neriziking¡ palukanu norm¡rf , t.y. EC = Wp/(1 + rf ).

• Operacines rizikos ekonominis kapitalas skai£iuojamas taip kaip ir rinkos ri-zikos, tik ²ikart kebliau rasti nuostoliu skirstini. is uºdavinys vienas i²svarbiausiu rizikos valdymo verslo i²²ukiu.

4Jei nuostoliu skirstinys diskretus, tai ²i lygtis gali netureti sprendiniu. Tuomet Wp reiktu imtibet kuri q > 0, tenkinanti nelygybes P(X < −q) ≤ p < P(X ≤ −q).


6

-

Tikimybe

Pelnas

Wp

0

1.4 pav. Rinkos rizikos nuostoliu skirstinys. Uºbruk²niuotas plotelis rei²kia nuos-toli, didesni uº Wp.

Pagal rizik¡ ivertintas pelningumas

Ekonominio kapitalo s¡voka naudinga norint ivertinti didel¦ rizik¡ ir sukauptireikiam¡ kapital¡ banko veiklai vykdyti. Ta£iau bankui ne tik svarbu ºinoti konkre-taus sandorio rizik¡, bet ir to sandorio pagal rizik¡ ivertint¡ pelningum¡ (risk-adjusted performance (RAP)). Butent taip rizikos matavimai kasdien panaudojamibanko pelningumui valdyti. Nuo pagal rizik¡ ivertinto pelningumo gali priklausytiatsakymai i tokius klausimus:

• kurie i² siulomu banko produktu yra pelningi ir kokia turetu buti ju kaina, kadjie butu pelningi;

• kokie ry²iai su klientais yra pelningi bankui;

• ar apsimoka sudaryti konkretu sandori ir, jei apsimoka, uº koki¡ kain¡;

• kaip premijuoti darbuotojus pagal ju grupes gaut¡ pelno ir panaudoto bankokapitalo santyki;

• kurie banko skyriai gauna daugiausia pelno atsiºvelgiant i prisiimam¡ rizik¡.Taip galima nuspr¦sti, kuriuos skyrius plesti, o kuriuos sumaºinti. Daºna i²-vada daugiausia rizikos prisiimantys ir didºiausi¡ gr¡º¡ generuojantys skyriai,pvz., prekybos ir paskolu imonems pagal rizik¡ ivertinto pelningumo poºiuriunusileidºia maºiau patraukliems skyriams, pvz., maºmeniniu paskolu.

Tradici²kai banku sektorius pasikliaudavo matais, kurie rode nei²samu vaizd¡apie pelningum¡ ir jo s¡ry²i su rizika. Daºniausiai skai£iuoti turto pelningumo (arbagr¡ºos) (return on assets (ROA)) ir nuosavo kapitalo pelningumo (ROE) matai.ROA reik²me gaunama paskolu portfelio peln¡ padalijus i² portfelio vertes, o ROE t¡ pati peln¡ padalijus i² nuosavo kapitalo (book capital) arba i² privalomojo kapi-talo (regulatory capital). Nuosav¡ kapital¡ sudaro istatinis kapitalas, nepaskirstytaspelnas (nuostolis), ivairus rezervai. Privalomasis kapitalas yra minimalus kapitalas,kuri turi tureti bankas ir kuri nustato prieºiuros istaiga (pvz., Lietuvos Bankas).ROA visai neatsiºvelgia i turimo turto rizik¡. O ROE i rizik¡ atsiºvelgs tik tuoatveju, jei privalomasis kapitalas bus skai£iuojamas atsiºvelgiant i rizik¡. Todel pas-taraisiais metais banku sektorius vis pla£iau skai£iuoja pagal rizik¡ ivertint¡ kapitalo


gr¡º¡ (RAROC) ir akcininkams tenkan£i¡ pridetin¦ vert¦ (shareholder value added(SVA)).

• Pagal rizik¡ ivertinta kapitalo gr¡ºa yra laukiamas grynasis pagal rizik¡ iver-tintas pelnas (expected net risk-adjusted prot (ENP)) padalytas i² ekonominiokapitalo (EC), reikalingo sandoriui sudaryti, t.y. RAROC = ENP/EC. Skai-£iuojant RAROC visi sandoriai prilyginami investicinio portfelio vertybiniupopieriu pirkimo arba pardavimo sandoriams. Vertybinio popieriaus kainayra ekonominio kapitalo kiekis, reikalingas sandoriui sudaryti. Sandorio gr¡ºayra grynasis vertes padidejimas. Pavyzdºiui, jei nagrinejame paskolos sandori,RAROC skai£iuojamas taip:

RAROC =A0rA + F −D0rD −OC− L

EC

=A0rA + F − (A0 − EC)rD −OC− L

EC,

£ia A0rA yra pelnas i² paskolos palukanu, F pajamos i² paskolos aptarnavimomokes£iu, D0rD i²laidos banko skolos palukanoms padengti, OC operacinesi²laidos (operating costs) ir L nuostoliai (loss). Prekybinio sandorio RAROCskai£iuojamas taip:

RAROC =∆V −OC

EC,

£ia∆V yra grynasis pozicijos vertes pokytis (iskai£iuojant ir vis¡ skolos kain¡),o OC ir EC rei²kia t¡ pati, k¡ ir anks£iau. RAROC skai£iuojamas i praeiti(norint ivertinti jau ivykdyto sandorio pelningum¡) arba i ateiti (norint ivertintibusimo sandorio pelningum¡). Jei skai£iuojama i praeiti, tai nuostolis L irpozicijos vertes pokytis ∆V rei²kia jau ºinomus dydºius, o jei RAROC skai-£iuojamas i ateiti, tuomet L kei£iame i tiketin¡ (arba laukiam¡) nuostoli ELir tiketin¡ (arba laukiam¡) pozicijos vertes pokyti E(∆V ).

• Banko vadovybe paprastai nustato minimali¡ gr¡º¡ (hurdle rate (H)), kuriostikisi i² kiekvieno verslo skyriaus. Tik sandoriai, kuriu RAROC reik²me yranemaºesne uº H laikomi priimtinais. Paprastai H reik²me nustatoma vienavisam bankui ir buna intervale nuo 12 iki 20%. Tiksli jos reik²me priklauso nuoakcininku laukiamos investiciju gr¡ºos, o pastaroji nuo banko rizikingumoir koreliacijos tarp banko nuostoliu ir bendrojo rinkos lygio. Daºniausiaivadovaujamasi kapitalo i²tekliu vertinimo modeliu (Capital Asset Pricing Mo-del (CAPM)). Kadangi H yra minimali RAROC reik²me, tai paskolos sandoriuigauname

H =A0rA + F− (A0 − EC)rD −OC− L

EC, (1.1)

todel minimali laukiama gr¡ºa i² paskolos sandorio turi tenkinti A0rA + F =(A0−EC)rD+OC+EL+H×EC. Butent toki¡ sum¡ uº paskol¡ i² kliento turipra²yti bankas (Tuomet dydis EC kei£iamas i EC0, o L i EL). Analogi²kai,minimalus prekybos sandorio laukiamas pokytis yra E(∆V ) = H× EC+OC.


• RAROC yra santykinis pelningumo matas. Bet kartais naudinga tureti irabsoliutu pelningumo mat¡. Kaip tik tokia yra akcininkams tenkanti pridetineverte (SVA), kuri yra skirtumas tarp dabartinio (arba laukiamo) pelningumoir vadovybes reikalaujamo pelningumo. Paskolos sandoriams

SVA = (A0rA + F− (A0 − EC)rD −OC− L)− H× EC,

o prekybos sandoriams

SVA = (E(∆V )−OC)− H× EC.

Dabar jau galime parodyti, kaip gaunama aproksimacija EC ≈ MPL − EL.Metu pradºioje turto (t.y. i²dalytu paskolu) verte A0 bus lygi skolos D0 irpradinio ekonominio kapitalo EC0 sumai. Po metu teks gr¡ºinti D1 = (1 +rD)D0. Po vieneriu metu paskolu verte A1 bus randama pagal toki¡ formul¦:

A1 = (1 + rA)(1− λ)A0,

£ia rA yra paskolu porftelio gr¡ºa, o λ dalis skolininku, kurie neivykde savoisipareigojimu, kitaip tariant, nuostoliu norma. Vadinasi, ekonominis kapitalaspo vieneriu metu yra

EC1 = A1 −D1 = (1 + rD)

((1 + rA)(1− λ)

1 + rDA0 −D0

).

Bankas taps nepajegus ivykdyti savo isipareigojimu, jei λ bus pakankamaididelis, o EC1 ≤ 0. Didºiausi¡ bankui priimtin¡ nuostoliu norm¡ paºymekimeλp. is dydis turi tenkinti lygti:

0 = (1 + rD)

((1 + rA)(1− λp)

1 + rDA0 −D0

).

I²sprend¦D0 atºvilgiu ir istat¦ i pradinio ekonominio kapitalo i²rai²k¡, gausime:

EC0 = A0 −D0 = A0 − A0(1 + rA)(1− λp)

1 + rD= A0

(rD − rA) + λp + λprA1 + rD

.

Jei i² (1.1) i²reik²ime rA, gausime

rA =(A0 − EC0)rD +OC+ EL + H× EC− F

A0

.

Jei A0 − EC0 ≈ A0, OC = F ir ignoruosime H× EC0, tai rA ≈ rD +EL/A0 =rD + µ. Tuomet

EC0 = A0

(λp

1 + rD + µ

1 + rD− µ

)≈ A0(λp − µ),

nes λpµ/(1 + rD) ≈ 0.

2 Suderintieji rizikos matai

io skyriaus tikslas i praktikoje naudojamu rizikos matu pasauli ivesti tvark¡, tamtikr¡ klasikacij¡. Aptarsime kokiomis savybemis turi pasiºymeti idealus rizikosmatas. Kartu i²ry²kes daºniausiai naudojamu matu privalumai ir ydos. I²grynintas,aksiomomis paremtas matematinis poºiuris skaitytojui gal pasirodys sausokas, betturetu suteikti peno apm¡stymams ir viening¡ rizikos matu analizes, konstravimo irtaikymo terp¦. Skyrius parengtas pagal [3] straipsni. Pagalbiniai faktai surinkti Air B prieduose.

Populiarios rinkos pilnumo prielaidos ²iame skyriuje nenaudosime. Visi rizikosmatai, kuriuos minesime, gali buti suprasti kaip (papildomi) kapitalo reikalavimainorint reguliuoti rinkos dalyviu (makleriu, draudiku,...) prisiimam¡ rizik¡, o taippat paskirstyti turim¡ imones kapital¡. ia aktualia tema jau yra pasirod¦ straipsniuir lietuviu kalba. Vienas i² tokiu yra V. Valvonio darbas [20].

Skyriaus planas bus toks:

• Apibre²ime priimtinu atsitiktiniu ateities grynojo turto ver£iu aib¦ ir pasiu-lysime ²i¡ aib¦ apibudinan£iu aksiomu rinkini.

• Kai duotas patikimas investicinis instrumentas, t.y. turime turto matavimoskal¦, priimtinoms vertems apibre²ime rizikos mat¡. Jis i² esmes nusakysminimalu papildom¡ kapital¡, kuri reikia investuoti i patikim¡ investicini in-strument¡, kad modikuotos pozicijos ateities verte taptu priimtina.

• Pristatysime rizikos matu aksiomas ir susiesime jas su priimtinu ateities ver£iuaibes aksiomomis. Visus rizikos matus, tenkinan£ius minet¡sias aksiomas,vadinsime suderintaisiais.

• Supaprastintai pristatysime tris rinkos rizikos vertinimo metodus: vertes rizi-kos (VaR), privalomuju ina²u sandoriams sudaryti sistem¡ SPAN1, sukurt¡ i-kagos agrariniu ir kitu terminuotuju sandoriu birºos (CME)2, bei privalomujuina²u taisykles, kurias nustate JAV Vertybiniu popieriu ir birºu komisija (SEC)3

ir kuriomis vadovaujasi Nacionaline vertybiniu popieriu makleriu asociacija(NASD)4.

1Standard Portfolio Analysis of Risk2Chicago Mercantile Exchange3Securities and Exchanges Commission4National Association of Securities Dealers

21

22 2 Suderintieji rizikos matai

• velgdami per aksiomu prizm¦, i²nagrinesime minetuosius metodus ir paro-dysime, kad privalomuju ina²u sistema SPAN ir SEC ina²u taisykles i² esmeslygiavertes (matemati²kai jos beveik dualios).

• I²tirsime daugumos rizikos valdytoju naudojam¡ vertes rizikos (VaR) metodo-logij¡ ir jos pasekmes.

2.1 Rizika kaip atsitiktinis dydis. Ateities grynoji

verte

Rizika kartais siejama su (investicinio instrumento, ju portfelio, ...) vertes poky£iuper konkretu laikotarpi. P. Artzner'is ir jo bendraautoriai [3] laikosi nuomones, kadrizika yra sietina su pozicijos ateities vertes kintamumu, todel del poky£iu rinkojear bendresniu nenuspejamu ivykiu geriau nagrineti tik ateities vertes. Autoriai siulopozicijos komponentu isigijimo kain¡ nustatyti ne i² universaliu rinkos kainu, o kaiptai daroma uºbirºineje prekyboje. Raginama vadovautis principu: kas buvo, taspraºuvo.

Pagrindiniai tyrimo objektai atsitiktiniai dydºiai, apibreºti ekonomikos ateitiesbusenu aibeje, o ju reik²mes yra galimos turimu poziciju ar portfelio ateities vertes.Pirmasis pozicijos rizikingumo matas (nors ir ²iurk²tokas) yra jos priimtinumas,t.y. ar pozicijos ateities verte priklauso priimtinu riziku aibei, kuri¡ apibreºia ivairiosrink¡ priºiurin£ios institucijos:

• valstybines rinkos reguliuotojai5, kuriu pareiga rupintis, kad rinkos dalyviai perdaug nerizikuotu, nesugriautu rinkos stabilumo, kad nebutu per daug laiduo-jama vyriausybes vardu ir t.t.;

• vertybiniu popieriu birºos (ju iskaitos (kliringo) rumai (clearinghouse), kuriegarantuoja, kad visi birºoje sudaryti sandoriai bus iki galo ivykdyti;

• investiciju vadybininkas (makleris), ºinantis, kad jo rma jam yra suteikusipasirinkimo i²eiti sandori (exit option), kurio igyvendinimo kaina yra atleidi-mas i² darbo, jei maklerio pozicija patirs dideli nuostoli.

Kaskart tarp rizikos (ar jos mato reik²mes) ir galimos veiklos kontroliuojamojesrityje ie²koma kompromiso. Aksiomos, kurias i²vardinsime, nei²skiria vienintelioteisingo rizikos mato. Konkretu pasirinkim¡ visada nulemia tolesne ekonominepadeties analize.

Jei rizika nepriimtina (t.y. pozicijos ateities verte yra nepriimtina), viena i²galimu i²ei£iu yra keisti turim¡ pozicij¡ i² jos pa²alinant rizikingiausius kompo-nentus. Alternatyva rasti ir isigyti papildomu, visu rinkos dalyviu pripaºintuinvesticiniu instrumentu, kuriuos itraukus i turim¡ pozicij¡, ²i taptu priimtina re-guliuotojui ar vir²ininkui. Papildomu instrumentu isigijimo kaina galetu buti geranepriimtinos pozicijos rizikos mato kandidate.

5Lietuvoje tokiu funkciju turi Lietuvos Bankas, Draudimo prieºiuros komisija, Vertybiniupopieriu komisija,...

2.2 Priimtinu poziciju aksiomos 23

Del paprastumo nagrinesime vieno periodo investavimo modeli. Ivairias valiutas(nes turima pozicija gali apimti ivairiu ²aliu investicinius instrumentus) numeruo-sime indeksu i, i ∈ 1, . . . , I. Kiekvienai i² ju pateikiamas bazinis nansinis instru-mentas (skale), kuris vien¡ i-osios valiutos vienet¡ laiko momentu t = 0 perkelia i ritos pa£ios valiutos vienetu laiko momentu t = 1. Nerizikingos, palukanu (kuponu)nemokan£ios obligacijos atitinkama valiuta, ir kuriu i²pirkimo terminas yra t = 1,gali buti pasirinktos kaip itin paprasti baziniai nansiniai instrumentai. Kito bazinioinstrumento pavyzdi pateiksime veliau (ºr. pastraip¡ po T Aksiomos). Intervalas(0, 1) gali buti sutapatintas su laikotarpiu nuo apsidraudimo strategijos (hedgingstrategy) sudarymo ir persidraudimo, pavyzdºiui, su ksuotomis dviem savaitemis.Taip pat ²i interval¡ galime interpretuoti kaip laik¡, reikaling¡ turimai pozicijailikviduoti arba kaip draudimo kontrakto galiojimo laik¡.

Laikysimes pirmosios (i = 1) ²alies investuotojo, kuris privalo paklusti prieºiurosinstituciju taisyklems, poºiurio. Investuotojo portfelyje yra ivairiu instrumentuskirtinga valiuta. Laiko momentu t = 0 visi valiutu keitimo kursai lygus vienetui(t.y. instrumentu verte perskai£iuota pirmosios ²alies valiuta), o laiko momentu t = 1²iuos keitimo kursus ºymesime ei, t.y. ei bus atsitiktinis kiekis pirmosios valiutos,kuri galima isigyti uº vien¡ i-osios valiutos vienet¡. Pradin¦ investuotojo pozicij¡i-aja valiuta ºymesime Ai, i = 1, . . . , I. i pozicija gali buti sudaryta atsiºvelgianti ivairius apribojimus, pvz., trumpos prekybos6 draudim¡ arba reikalavim¡ i²laikytiturto ir isipareigojimu balans¡ kiekviena valiuta atskirai. Per laikotarpi (0, 1) pozici-jos verte Ai tampa Ai(1). Todel nesunku suvokti, kad investuotojo grynasis ateitiesturtas, i²reik²tas pirmosios ²alies valiuta ir kuri P. Artzner'is ir jo bendraautoriaivadina tiesog rizika, yra

X =I∑

i=1

eiAi(1).

Suprantama, kad reikalavim¡, jog portfelio komponentai (bet ne ju verte) nekintaper vis¡ laikotarpi nuo t = 0 iki t = 1, galima su²velninti. Pozicijos gali kisti delinvestuotojo ar jo prekybos partneriu veiksmu. Tuomet nagrinejamoji situacija bustik pirmasis modelio etapas.

2.2 Priimtinu poziciju aksiomos

Tarkime, kad busimu ekonomikos busenu aibe periodo gale yra ºinoma, bet neºi-nomos (arba del ju nera bendro sutarimo) ²iu busenu tikimybes. Kalbant apie rinkosrizik¡, ekonomines busenas galima nusakyti galimu kainu ir valiutu kursu s¡ra²u.Susitarsime, kad visi tokie s¡ra²ai mums ºinomi. Taip pat laikysime, kad laiko mo-mentu t = 1 rinka yra likvidi. Jei taip nebutu, prireiktu sudetingesniu modeliu,kuriuose galetume i²skirti poziciju rizik¡ ir ateities gryn¡j¡ vert¦, nes nelikvidºioserinkose ²iu dydºiu s¡ry²is gali buti netiesinis.

6Trump¡ja prekyba vadinamas investicinio instrumento skolinimasis ir po to sekantis pardavi-mas, tikintis ateityje (kritus kainai) instrument¡ pigiau nupirkti rinkoje, su palukanomis gr¡ºintisavininkui, o kainu skirtum¡ pasilikti sau.


Susitarsime ekonominiu busenu aib¦ ºymeti Ω ir laikyti j¡ baigtine. Investuotojopozicijos vert¦ (laiko momentu t = 1) apibudins atsitiktinis dydis X : Ω → R.Didºiausi¡ absoliu£i¡ pozicijos X vert¦ ºymesime ∥X∥ = maxω∈Ω |X(ω)|, o visupoziciju (riziku) aib¦ G = X |X : Ω → R. Kadangi ekonominiu busenu aibe Ωyra baigtine, tai riziku aib¦ G galime sutapatinti su euklidine erdve Rn, £ia n = |Ω|yra Ω elementu skai£ius. Neneigiamu riziku kugi7 ºymesime L+, t.y. L+ = X ∈G |X(ω) ≥ 0,∀ω ∈ Ω, o jam simetri²k¡ neteigiamu riziku kugi ºymesime L−.Aib¦ ateities grynuju ver£iu, i²reik²tu i-¡ja valiuta ir priimtinu j-ajai tos ²aliesprieºiuros institucijai, ºymesime Ai,j, j ∈ Ji. Atitinkamai, aibe grynuju ver£iu,i²reik²tu i-¡ja valiuta ir priimtinu visoms tos ²alies institucijoms, bus paºymeta Ai,t.y. Ai = ∩j∈Ji

Ai,j. Formuluodami aksiomas indeks¡ i praleisime, t.y. aib¦ Asuprasime kaip kuri¡ nors Ai.

Priimtinu poziciju aksiomos

A1 Priimtinu riziku aibei A priklauso kugis L+.

Kitaip tariant, visada neneigiamos rizikos yra priimtinos.

A2 Aibes A ir kugio L− vidaus (aibes L−− = X ∈ G|X(ω) < 0,∀ω ∈ Ω)sankirta yra tu²£ia.

Kitais ºodºiais, visada neigiama rizika yra nepriimtina, todel butinas papildo-mas kapitalas. Kartais bus idomi ir grieºtesne aksioma:

A2' A ∩ L− = ∅, £ia A yra aibes A uºdarinys.

A3 Priimtinu riziku aibe A yra i²kila (ºr. A pried¡).

Pastaroji aksioma atspindi prieºiuros instituciju prie²i²kum¡ rizikai.

A4 Priimtinu riziku aibe A yra teigiamai homogeni²kasis kugis8.

Kad butu ai²kiau, panagrinekime pavyzdi. Tegu Ω = ω1, ω2. Tada rizikasgalima sutapatinti su plok²tuma R2 (ºr. 2.1 pav.). Kugis L+ yra uºdaras pir-masis plok²tumos ketvirtis, o kugiai L− ir L−− yra atitinkamai uºdaras ir atvirastre£iasis plok²tumos ketvirtis. Priimtinu riziku aibe A yra plok²tumos dalis tarpspinduliu l1 ir l2, apimanti kugi L+ ir paºymeta lankeliu. A3 aksioma atmeta kugiusturin£ius kugio formos skyliu. Pavyzdºiui, jei i² 2.1 pav. de²ineje pavaizduotospriimtinos aibes A i²mestume kugi B, parodyt¡ 2.1 pav. kaireje, gautume nepri-imtinos rizikos aib¦. Kitaip tariant, nagrinedami i²kilas tiesines priimtinos pozicijoskomponen£iu kombinacijas galetume gauti nepriimtin¡ pozicij¡. A4 aksioma skelbia,kad proporcingai (teigiam¡ skai£iu kartu) padidin¦ priimtinos pozicijos komponentesgauname priimtin¡ pozicij¡.

7Tiesines erdves X poaibis A vadinamas kugiu, jei bet kokiems a ∈ A ir λ ≥ 0, λa ∈ A.8Tiesines erdves X poaibis A vadinamas teigiamai homogeni²kuoju kugiu, jei bet kokiems a ∈ A

ir λ > 0, λa ∈ A.

2.3 Priimtinu riziku aibiu ir rizikos matu atitiktis 25

6

-

6

-

L+

L−−X(ω1)

X(ω2)

X(ω1)

X(ω2)

A

l1

l2B

..................................................................................................................................

2.1 pav. Kaireje: kugiai L+, L−− ir B; de²ineje: pavyzdys priimtinos rizikos aibesA, kuri¡ sudaro lankeliu paºymeta plok²tumos dalis tarp tiesiu l1 ir l2.

2.3 Priimtinu riziku aibiu ir rizikos matu atitiktis

Priimtinu riziku aibes apibreºeme, kad butu paprasta apibudinti, kuri rizika yrapriimtina, o kuri ne. Dabar tarsime, kad duotas bazinis investicinis instrumentas.Rizikos mat¡ apibre²ime kaip tam tikr¡ duotos pozicijos atstum¡ iki priimtinu rizikuaibes.

2.1 apibreºimas . Rizikos matu vadinsime bet kuri atvaizdi i² visu riziku aibes Gi realiuju skai£iu aib¦ R.

Kai rizikos matas priklausys nuo konretaus tikimybinio mato, apibreºto ekono-miniu busenu aibeje, kalbesime apie nuo modelio priklausanti rizikos mat¡. Prie²inguatveju rizikos mat¡ vadinsime nuo modelio nepriklausan£iu. Rizikos mato ρ rizikingaipozicijai X priskiriamas skai£ius ρ(X), kai jis yra teigiamas, bus sutapatinamas supapildomu pinigu kiekiu, kuri butina prideti prie pozicijos X ir investuoti i nerizi-king¡ instrument¡, kad naujoji pozicija taptu priimtina. Kai ρ(X) yra neigiamas,leidºiama pinigu kieki −ρ(X) i² rizikingos pozicijos pa²alinti arba gauti kaip kom-pensacij¡ (taip paprastai daroma ateities sandoriu rinkoje).2.1 pastaba . Galbut nustebino tai, kad rizikos mat¡ apibreºeme visu riziku aibejeG. Juk atrodytu keista, kad norime ivertinti pozicijos X ≡ −1 rizik¡. Uºtikrint¡nuostoli duodan£ios pozicijos niekas nenores. Ta£iau yra bent trys prieºastys, kodeltokios pozicijos nagrinejamos:

1) nenorime ignoruoti kai kuriu blogu scenariju, pvz., inventoriaus praradimo,gamyklos zinio susidevejimo,...;

2) praktikoje i² tiesu daºniausiai nagrinejamos rizikos, veikiamos tiek palankiu,tiek nepalankiu busenu, t.y. egzistuoja ω1, ω2 ∈ Ω, kadX(ω1) > 0 irX(ω2) <0. Ta£iau esant tam tikroms s¡lygoms (ºr. skyreli apie antr¡j¡ rizikos matui²rai²k¡), rizikos mat¡, apibreºt¡ aibes G poaibyje, galima prasmingai prat¦stii vis¡ aib¦ G;

3) neigiamas grynasis turtas gali naturaliai atsirasti kuriuo nors tarpiniu keletoperiodu modelio momentu.


2.2 pastaba. Aksiomatizuoto poºiurio kritikai siule ρ reik²mes imti i² gausesniu aibiunei R. Ta£iau pasak Artzner'io ir jo bendraautoriu, sprendimas prisiimti ar nepriimtirizik¡ yra i² principo dvinaris, t.y. tik atsakyti galime tik Taip arba Ne. Todeldaugiau nei vieno skai£iaus rizikai ivertinti ne nereikia.2.3 pastaba . Minetas pinigu kiekis, kuri atspindi ρ(X), sietinas su nuosavo kapitalodidinimu, pvz., rma gali tokiu dydºiu sumaºinti balansin¦ skol¡ kreditoriams.

2.2 apibreºimas . Tegu bazinio instrumento kaina momentu t = 1 yra r. Rizikosmatu, atitinkan£iu priimtinu riziku aib¦ A, vadinsime atvaizdi ρA,r : G → R apibreºiam¡lygybe

ρA,r(X) = infm |mr +X ∈ A.2.4 pastaba . Priimtinu poziciju aibes leidºia nagrineti tarptautiniu rmu prisiima-mas rizikas, kai pozicijos vertinamos perskai£iavus kita valiuta. Priminsime, kadi-ajai valiutai (£ia i ∈ 1, . . . , I) teisingas s¡ry²is eiAi = A1, todel jei X yra pri-imtina pozicija i-osios valiutos atºvilgiu, tai Xei/ej bus priimtina pozicija j-osiosvaliutos atºvilgiu. Nepriimtinu poziciju situacija yra keblesne. Jei i-¡ja valiutapozicij¡ X butina papildyti pradiniu dydºiu ρAi,ri(X), kuris investuojamas i i-¡javaliuta matuojam¡ bazini instrument¡, tai dar nerei²kia, kad pastarasis dydis su-taps su ρAj ,rj(X), kurio reikalautu j-osios valstybes prieºiuros institucija (rinkosreguliuotojas), nors pradinius valiutu keitimo kursus laikome lygiais vienetui.

2.3 apibreºimas . Rizikos mat¡ ρ atitinkan£ia priimtinu poziciju aibe vadinsime

Aρ = X ∈ G | ρ(X) ≤ 0.Toliau nagrinesime kelet¡ pageidautinu rizikos matu savybiu, kurias vadinsime

aksiomomis.Rizikos matu aksiomos

T Bet kuriai pozicijai X ∈ G ir α ∈ R, ρ(X + αr) = ρ(X)− α, £ia r yra bazinioinstrumento kaina laiko momentu t = 1 (grieºtai teigiama ir neatsitiktine), jeipradiniu momentu ²io instrumento kaina yra lygi vienetui.

T aksioma9 patikina, kad rizikos matas bus i²reik²tas tais pa£iais vienetais,kaip ir galutinis grynasis turtas, t.y. matuosime bazinio instrumento viene-tais. Ar atsitiktines ir neatsitiktines, bet maºesnes uº vienet¡, r reik²mes yrapriimtinos, sprendºia (rinkos) reguliuotojas. Taigi, jei pozicija X yra nepri-imtina, j¡ papildºius (sumaºinus) α dydºio kapitalu, kuris investuojamas isaugu bazini instrument¡ ir ateityje yra vertas αr, trukstam¡ papildom¡ kap-ital¡ ρ(X) sumaºina (padidina) α dydºio kapitalu. Be to, i² T aksiomos gau-name, kad ρ(X + ρ(X)r) = 0, o tai dera su mat¡ ρ atitinkan£ios priimtinupoziciju aibes apibreºimu.

S Bet kurioms pozicijoms X1, X2 ∈ G teisinga nelygybe ρ(X1 + X2) ≤ ρ(X1) +ρ(X2).

i aksioma10 yra taip pat naturali, nes trumpai j¡ galima apibudinti taip:9Raide T atitinka angli²k¡ translation invariance, t.y. aksioma apibudina rizikos mato invari-

anti²kum¡ poslinkio atºvilgiu.10Raide S rei²kia subadityvum¡ (subadditivity).


riziku apjungimas naujos rizikos nesukuria. Jei gyvenime taip nebutu, tai,pavyzdºiui, nansu birºos dalyvis, noredamas prisiimti rizik¡ X1 + X2, butusuinteresuotas sau pasilikti rizik¡ X1 bei ikurti nauj¡ imon¦, kuri prisiimturizik¡ X2. Tuomet pozicijos priimtinum¡ nusakytu maºesnis dydis ρ(X1) +ρ(X2), o tai jau netenkintu birºos prieºiuros instituciju. Jei S aksioma negalio-tu, rmos butu suinteresuotos skaldytis i daugyb¦ smulkiu rmeliu po vienaveliava. Kita vertus, jei ²i aksioma galioja, o rmos padaliniai atskirai skai£iuo-ja trukstam¡ kapital¡ (atitinkamai ρ(X1) ir ρ(X2)) rizikoms X1 ir X2 prisiimti,tai rmos direktorius gali buti ramus, kad kapitalo ρ(X1)+ρ(X2) tikrai pakaks,kad rmos prisiimama rizika X1 +X2 taptu priimtina.

PH Bet kokiems λ ≥ 0 ir X ∈ G teisinga ρ(λX) = λρ(X).

PH aksioma 11 reikalinga atvejams, kai rizika tiesiogiai priklauso nuo pozicijosdydºio, pavyzdºiui, kai laikas, reikalingas rizikingai pozicijai likviduoti, yratiesiogiai proporcingas pozicijos dydºiui. Be to, PH aksioma i² dalies sug-rieºtina S aksiomos reikalavim¡. tai i² S aksiomos gautume ρ(nX) ≤ nρ(X)bet kokiam n = 1, 2, . . . . O PH aksioma leidºia uºra²yti ρ(nX) = nρ(X).Taip gali atsitikti, kai n rmu turi t¡ pa£i¡ riziking¡ pozicij¡ X, bet rinkosprieºiuros poºiuriu jokios diversikacijos nera, todel bendrai visoms rmomsreikia sukaupti nρ(X) dydºio kapital¡. Taip pat i² T ir PH aksiomu gaunameρ(α(−r)) = α, bet kokiam α.

M Bet kokiems X, Y ∈ G, jei X ≤ Y , tai ρ(X) ≥ ρ(Y ).

M aksiom¡12 taip pat nesunku pagristi: jei rizikingos pozicijos X ir Y yranepriimtinos ir pozicija X yra maºesne (t.y. blogesne), noredami pozicij¡X padaryti priimtina, privalome pritraukti daugiau papildomo kapitalo neipozicijai Y pagerinti.

R Bet kuriai pozicijai X ∈ G ir tokiai, kad X ≤ 0, X = 0, teisinga ρ(X) > 0.

Pastaroji aksioma13 teigia, kad pozicijoms, kuriu ateities grynasis turtas X yravisad neteigiamas ir bent kaºkada nenulinis, padaryti priimtinomis reikalingaspapildomas kapitalas, o tai taip pat labai naturalu.

2.5 pastaba . Jei λ > 0 ir matas ρ tenkina S, PH, M ir R aksiomas, tai ²ias aksiomastenkina ir matas λρ. Ta£iau to paties negalima pasakyti apie T aksiom¡.

2.4 apibreºimas. Rizikos matas ρ, tenkinantis T, S, PH ir M aksiomas, vadinamassuderintuoju (coherent).

2.1 pavyzdys . Bene populiariausias ir daºniausiai skai£iuojamas praktikoje rizikosmatas yra vadinamoji vertes rizika VaRα(X). Daºnai ji apibreºiama atsitiktini-ams dydºiams, ºymintiems gryn¡ji peln¡ arba peln¡-nuostoli ir todel ignoruojamas

11Raides PH neturi nieko bendra su vandens rug²tingumu ir rei²kia teigiam¡ homogeni²kum¡(positive homogeneity).

12Raide M rei²kia monotoni²kum¡ (monotonicity).13Raide R rei²kia rizikos mato prasmingum¡ (relevance).


pinigu vertes skirtingomis dienomis skirtumas. Suprantama, toks supaprastinimaspriimtinas, jei laiko intervalas yra maºas ir skai£iuojama ta pa£ia valiuta. Vertesrizika yra susijusi su atsitiktinio dydºio kvantiliu, todel reikia buti atsargiems iratsiºvelgti i galimus pasiskirstymo funkcijos trukius bei suplok²tejimus. Formaliaivertes rizik¡ apibreºiame taip: jei α ∈ (0, 1), nerizikingo instrumento kaina yra r, irturime pozicij¡ X, tai

VaRα(X) = − infx |P(X ≤ xr) > α.

Taigi vertes rizika yra neigiamas diskontuotos pozicijos X/r vir²utinis α-kvantilis14.Irodykite, kad vertes rizika tenkina T, PH ir M aksiomas. O ²tai S aksiomos ben-druoju atveju ²is rizikos matas netenkina. Pateiksime du pavyzdºius (ºr. (a) ir (b)),kai S aksioma netenkinama ir vien¡ pavyzdi (c), kai S aksioma tenkinama.

(a) Nagrinekime du dvejetainius15 pasirinkimo sandorius A ir B. Tarkime, kadopciono A pradine kaina yra u ir jo turetojui bus sumoketa 1000 litu, jei,pavyzdºiui, Teo LT akciju kaina S1 laiko momentu t = 1 vir²ys sutart¡ lygi U ,ir nieko prie²ingu atveju. Antrojo opciono B pradine kaina yra l, o jo turetojuibus i²moketas 1000 litu, jei Teo LT akciju kaina S1 laiko momentu t = 1 busmaºesne uº L (susitarsime, kad L < U), ir nieko prie²ingu atveju. Tegu r = 1,o lygmenys L ir U parinkti taip, kad P(S1 < L) = P(S1 > U) = 0, 008. Teguα = 0, 01. Nagrinekime du investuotojus: pirm¡ji, parduodanti du A opcionus,ir antr¡ji, parduodanti du B opcionus. Investuotoju ateities grynasis turtasyra, atitinkamai, Y1 = 2(u−1000 ·1S1>U) ir Y2 = 2(l−1000 ·1S1<L). Todelpasirem¦ T aksioma ir vertes rizikos apibreºimu gausime

VaR0,01(Y1) = −2u+ 2VaR0,01(−1000 · 1S1>U) = −2u.

Analogi²kai, VaR0,01(Y2) = −2l. Tuo tarpu, jei abu investuotojai parduos povien¡ opcion¡ A ir B, tai kiekvieno i² ju grynasis ateities turtas bus Z =u+ l − 1000 · 1S1>U − 1000 · 1S1<L ir

VaR0,01(Z) = 1000− u− l.

O abieju investuotoju bendra vertes rizika

2(1000− u− l) = 2VaR0,01(Z) = VaR0,01(2Z) = VaR0,01(Y1 + Y2)

> VaR0,01(Y1) + VaR0,01(Y2) = −2l − 2u.

14Priminsime, kad atsitiktinio dydºio X α-kvantiliu (α ∈ (0, 1)) vadinamas skai£ius q, kuriamteisingos nelygybes P (X ≤ q) ≥ α ≥ P (X < q). Visu α-kvantiliu aibe yra uºdaras intervalas[q−α , q

+α ], £ia q−α = infx |P (X ≤ x) ≥ α yra apatinis α-kvantilis, o q+α = infx |P (X ≤ x) > α

vir²utinis α-kvantilis. Be to, aibe α reik²miu, kurioms q−α = q+α yra ne daugiau kaip skaiti.(Kodel?)

15Angli²koje literaturoje tokie pasirinkimo sandoriai (opcionai) vadinami digital, binary arbaall-or-nothing. iems opcionams budinga tai, kad ju i²moka (pinigai arba preke) yra ksuojamaopciono pardavimo dien¡ t = 0, o sutart¡ dien¡ t = 1 i²mokama sutarta suma, jei opcione minimoinstrumento kaina vir²ijo ivykdymo kain¡ K, arba nieko prie²ingu atveju.


Situacija yra dar blogesne, nes priimtinu poziciju aibe, atitinkanti vertes rizikosmat¡, nera i²kila, nors suderintiesiems rizikos matams taip visada yra (ºr. 2.2teigini). I² tiesu, pozicijos Y1 ir Y2 yra priimtinos (jei u > 0, v > 0), bet Y1+Y2jau yra nepriimtina, jei u+ l < 1000.

(b) Tegu ²ikart busenu aibe Ω yra begaline, o atsitiktiniai dydºiai X1 ir X2 yranepriklausomi, vienodai pasiskirst¦ a.d., turintys tanki p(x) = 0, 9 · 1[0,1](x) +0, 05 ·1[−2,0](x). Tarkime, kad Xi yra atsitiktinis grynasis pelnas, kuris dominainvestuotojus, nes EXi = 0, 35 > 0, i = 1, 2. Tegu r = 1. Ir nors VaR0,1(Xi) =0, i = 1, 2, bet VaR0,1(X1+X2) > 0. I² tiesu, galime rasti tiksli¡ vertes rizikosreik²m¦. Tam reikia atidºiai ir kantriai uºra²yti a.d. X1 + X2 pasiskirstymofunkcij¡

FX1+X2(t) =

ˆRP(X1 ≤ t− y)p(y) dy

=

0, jei t ≤ −4;0, 00125t2 + 0, 01t+ 0, 02, jei t ∈ [−4,−2];0, 04375t2 + 0, 18 + 0, 19t, jei t ∈ [−2,−1];−0, 00125t2 + 0, 09t+ 0, 145, jei t ∈ [−1, 0];0, 36t2 + 0, 09t+ 0, 145, jei t ∈ [0, 1];−0, 405t2 + 1, 62t− 0, 62, jei t ∈ [1, 2];1, jei t ≥ 2.

Dabar jau matyti, kad lygtis FX1+X2(t) = 0, 1 turi vieninteli sprendini t⋆ =36 − 6

√37 ≈ −0, 4966 ∈ [−1, 0]. Vadinasi, VaR0,1(X1 + X2) = −t⋆ > 0,

kaip ir teigeme. Ai²ku, jei tikslios vertes rizikos reik²mes nereikia, tuometsamprotauti galima ir papras£iau:

P(X1 +X2 < 0) ≥ P(Xi < 0, i = 1, 2) + 2P(X1 < −1, X2 > 0)

+ 2P(X1 ∈ [−1,−1/2), X2 ∈ [0, 1/2])

= 0, 01 + 2 · 0, 09 + 2 · 0, 01125 = 0, 1225 > 0, 1.

Vadinasi, VaR0,1(X1 +X2) > 0.

(c) Nagrinekime dvimati normaluji atsitiktini vektoriu (X,Y ). Parodysime, kadjei α ∈ (0, 1/2), tai dydºiams X ir Y vertes rizikos matas tenkina S aksiom¡.Bet kokiems atsitiktiniams dydºiams, turintiems baigtinius antruosius momen-tus, galioja s¡ry²is

σX+Y =√σ2X + σ2

Y + 2Cov(X, Y ) ≤√σ2X + σ2

Y + 2σXσY = σX + σY .

Be to, jei X ∼ N(µ, σ2X), tai lygties P(X ≤ t) = α sprendini galime uºra²yti

t = µ + Φ−1(α)σX , £ia Φ−1(·) yra standartinio normaliojo a.d. pasiskirstymofunkcijos atvirk²tine funkcija. Kai α ∈ (0, 1/2), Φ−1(α) < 0, todel (jei r = 1)

Varα(X + Y ) = −(µX + µY ) + Φ−1(α)σX+Y

≤ −

(µX + µY ) + Φ−1(α)(σX + σY )

= Varα(X) + Varα(Y ).


Vertes rizikos matas turi ir kitu blogu savybiu. tai pavyzdys16 situacijos, kai vertesrizikos matas nepastebi riziku koncentracijos. Tarkime, kad r = 1 ir kad mus dominaivairiu rmu i²leistos obligacijos, kurios visos ºada 2% gr¡º¡. Ta£iau kiekviena i²²ias obligacijas i²leidusiu rmu nepriklausomai viena nuo kitos gali bankrutuoti sutikimybe 0, 01. Tarkime, kad pasiskolinome 1 mln. litu, uº kuriuos ketiname isigytiobligaciju. Rizik¡ vertinsime 5% vertes rizikos matu. Tuomet, jei Xi ºymi inves-ticijos i i-osios rmos obligacijas gryn¡ji peln¡ (Xi = 0, 02 mln. su tikimybe 0, 99ir Xi = −1 su tikimybe 0, 01), tai VaR0,05(Xi) = −0, 02 mln. litu, t.y. investicijanerizikinga. Ta£iau noredami pozicij¡ diversikuoti, pradini kapital¡ investuojamelygiomis dalimis i 100 rmu obligacijas. Tikimybe, kad bent dvi i² musu pasirinktunepriklausomu rmu bankrutuos, yra 1−0, 99100−0, 9999 ≈ 0, 264. Ateities grynasisturtas bus neneigiamas, jei bankrutuos ne daugiau kaip viena rma. Todel po diver-sikacijos tikimybe tureti neigiam¡ gryn¡ji ateities turt¡ yra didesne uº 0, 05, todelpadides vertes rizika. Vadinasi, diversikacija sukele prie²ing¡, nei tikejomes, efekt¡.Tuo tarpu, rizikos koncentracijos, kai visk¡ investuojame i vienos rmos obligacijas,vertes rizikos matas nepastebejo. Taigi, vien vertes rizikos matu aklai pasikliautinegalime.

2.2 pavyzdys . Yra ir kitu rizikos matu, kurie netenkina M arba S aksiomu. Mono-toni²kumu nepasiºymi rizikos matas ρ(X) = −EX+ασ(X), α > 0 (£ia tiek vidurkis,tiek standartinis nuokrypis skai£iuojami mato P, o ne rizikai neutralaus mato Qatºvilgiu). I² tiesu, pakanka nagrineti atsitiktinius dydºius X ir Y = X + c, c > 0.Tuomet Y > X, bet ρ(Y ) = −E(X + c) + ασ(X + c) = ρ(X) − c < ρ(X). Bejau nagrinetos vertes rizikos, subadityvumu nepasiºymi ir rizikos matas ρ(X) =−EX + σ((X −EX)−), £ia y− = max−y, 0. Noredami tuo isitikinti, nagrinekimenepriklausomus atsitiktinius dydºius

X =

1, su tikimybe 1/2;−1, su tikimybe 1/2, ir Y =

2, su tikimybe 1/4;−2/3, su tikimybe 3/4.

Nesunku isitikinti, kad EX = EY = 0, ρ(X) = σ(X−) = 1/2, ρ(Y ) = σ(Y −) =1/(2

√3). Be to,

(X + Y )− =

5/3, su tikimybe 3/8;0, su tikimybe 5/8.

Todel ρ(X + Y ) = σ((X + Y )−) = 5√5/(8

√3) > ρ(X) + ρ(Y ).

2.4 Priimtinu aibiu ir rizikos matu aksiomu atitiktis

Jau turbut pastebejote, kad priimtinu riziku aib¦ i²skyreme kaip fundamentalu ob-jekt¡, kruop²£iai aptareme aksiomas, t¡ aib¦ atitinkan£ius rizikos matus. Dabarsuformuluosime ir irodysime teigini, kuris pagris toki musu poºiuri.

2.1 teiginys . Jei aibe B tenkina A1A4 aksiomas, tai rizikos matas ρB,r yra sude-rintasis. Be to, AρB,r

= B, t.y. rizikos mat¡ ρB,r atitinkanti priimtinu riziku aibeyra aibes B uºdarinys.

16Pasiulytas C. Albanese.

2.4 Priimtinu aibiu ir rizikos matu aksiomu atitiktis 31

Irodymas. Irodym¡ sudaro kelios dalys. I² pradºiu patikrinkime, kad bet kuriairizikai X, rizikos mato reik²me ρB,r(X) yra apibreºta ir baigtine.

• Kadangi Ω yra baigtine aibe17, tai galime apibreºti skai£ius x⋆ = maxω∈ΩX(ω)ir x⋆ = −minω∈ΩX(ω). Jei X ∈ B (t.y. rizika yra priimtina), tai x⋆ ≥ 0 (ºr.A2 aksiom¡), ρB,r(X) ≤ 0, ir su bet kuriuom < −x⋆/r rizika Y = mr+X /∈ B,nes Y (ω) < 0 kiekvienam ω ∈ Ω, o i² A2 aksiomos ºinome, kad B ∩ L−− = ∅.Vadinasi, ρB,r(X) ∈ [−x⋆/r, 0]. O jei X /∈ B, tuomet ρB,r(X) ≥ 0 ir su betkuriuo m ≥ x⋆/r rizika Y = mr +X ∈ L+ ⊂ B. Todel ρB,r(X) ∈ [0, x⋆/r].

• Matas ρB,r tenkina T aksiom¡, nes

ρB,r(X + rα) = infp |X + (α+ p)r ∈ B = infq − α |X + qr ∈ B= infq |X + qr ∈ B − α = ρB,r(X)− α.

• Jei rizikos X + mr ir Y + nr yra priimtinos, t.y. jos priklauso aibei B, taii² A3 ir A4 aksiomu gausime, kad ir rizika X + Y + (m + n)r = 2(0, 5(X +mr) + 0, 5(Y + nr)) ∈ B. Todel parink¦ bet koki ε > 0 rasime m,n ∈ R, kadX +mr, Y + nr ∈ B ir

ρB,r(X) ≤ m < ρB,r(X) + ε, ρB,r(Y ) ≤ n < ρB,r(Y ) + ε.

Vadinasi,ρB,r(X + Y ) ≤ m+ n < ρB,r(X) + ρB,r(Y ) + 2ε.

Kadangi ε > 0 buvo bet koks, kai ε ↓ 0, gausime

ρB,r(X + Y ) ≤ ρB,r(X) + ρB,r(Y ),

t.y. matas ρB,r tenkina S aksiom¡.

• Vel nagrinekime bet koki ε > 0. Tuomet egzistuos m ∈ (ρB,r(X), ρB,r(X)+ ε),kad rizika X +mr butu priimtina. Todel su kiekvienu λ > 0, pasirem¦ matoρB,r apibreºimu ir A4 aksioma gauname, kad rizika λX + λmr ∈ B ir

ρB,r(λX) ≤ λm < λ(ρB,r(X) + ε).

Perej¦ prie ribos, kai ε ↓ 0, gausime ρB,r(λX) ≤ λρB,r(X).

Kita vertus, jei n = ρB,r(X) − ε, tai X + nr /∈ B ir todel su kiekvienu λ > 0rizika λX + λnr nera priimtina. Vadinasi, ρB,r(λX) ≥ λn = λ(ρB,r(X) − ε).Perej¦ prie ribos, kai ε ↓ 0, gausime ρB,r(λX) ≥ λρB,r(X). Taigi matas ρB,rtenkina PH aksiom¡.

17Jei ²ios prielaidos noretume atsisakyti, tuomet reiktu nagrineti siauresn¦ riziku aib¦, pvz., vientik apreºtu riziku aib¦ G. Prie²ingu atveju, gali atsitikti taip, kad ρB,r bus neapreºtas arba i²visneapibreºtas. Pvz., jei Ω = N, B = Y | ∃k ∈ 2N, Y (k) ≥ 0, tai imdami X(n) = n gautume, kadmr+X ∈ B su kiekvienu m < 0. Todel ρB,r = −∞. O jei B = Y |Y (k) ≥ 0∀k ∈ N ir X(k) = −k,tai mr +X /∈ B su bet kuriuo m ∈ R. Vadinasi, ρB,r i²vis neapibreºtas.


• Noredami irodyti mato ρB,r monotoni²kum¡ (t.y. patikrinti M aksiom¡) velksuokime bet koki ε > 0 ir raskime m ∈ (ρB,r(X), ρB,r(X) + ε), kad X +mr ∈ B. Jei Y ≥ X, t.y. Y (ω) ≥ X(ω) su kiekvienu ω ∈ Ω, tai uºra²¦Y +mr = 2(0, 5(X+mr)+0, 5(Y −X)) isitikiname, kad Y +mr ∈ B, nes aibeB tenkina A1 ir A3 aksiomas. Vadinasi, ρB,r(Y ) ≤ m < ρB,r(X) + ε. Dabarperej¦ prie ribos, kai ε ↓ 0, gausime ρB,r(Y ) ≤ ρB,r(X).

Irodeme, kad matas ρB,r yra suderintasis. Noredami irodyti antr¡ji teiginio tvirtini-m¡, nagrinekime X ∈ AρB,r

. Tada i² 2.3 apibreºimo gausime ρB,r(X) ≤ 0. Vadinasi,su kiekvienu n ∈ N rizika Xn = X + r/n ∈ B. Kadangi Xn → X, kai n→ ∞, rizikaX ∈ B. Kita vertus, jei Y ∈ B, tai ρB,r(Y ) ≤ 0, todel Y ∈ AρB,r

. Vadinasi,

B ⊂ AρB,r⊂ B.

Kadangi B yra maºiausia uºdara aibe, kuriai priklauso aibe B, tai lygybei AρB,r= B

irodyti pakanka isitikinti, kad aibe AρB,ryra uºdara. O tai yra vienas i² 2.2 teiginio

tvirtinimu.

2.2 teiginys. Jei rizikos matas ρ yra suderintasis, tai ji atitinkanti priimtinu rizikuaibe Aρ yra uºdara ir tenkina A1A4 aksiomas. Be to, ρ = ρAρ,r.

Irodymas. Teiginio irodym¡ ir vel suskaidysime i kelet¡ daliu:

• Kadangi matas ρ tenkina S ir PH aksiomas, tai ρ yra i²kila funkcija aibeje G.Vadinasi, ρ yra joje tolydi (ºr. C pried¡), nes G galime sutapatinti su R|Ω|.Tada ir aibe Aρ = X|ρ(X) ≤ 0 yra uºdaras, i²kilas kugis riziku erdveje G.(Vadinasi, 2.1 teiginys dabar jau iki galo irodytas.)

• I² PH aksiomos gauname, kad su bet kuriuo λ ∈ (0, 1), ρ(0) = ρ(λ0) = λρ(0),o tai imanoma tik tada, kai ρ(0) = 0. Pasinaudoj¦ M aksioma gausime, kadsu bet kuriuo X ≥ 0 (t.y. su bet kuriuo X ∈ L+), ρ(X) ≤ ρ(0) = 0. TodelX ∈ Aρ (t.y. L+ ⊂ Aρ). Taigi, aibe Aρ tenkina A1 aksiom¡.

• Tegu X ∈ L−−, t.y. X(ω) < 0 bet kuriam ω ∈ Ω. Jei ρ(X) < 0, tai i²M aksiomos gautume, kad ρ(0) ≤ ρ(X) < 0. Bet tai prie²tarauja k¡ tikirodytam faktui, kad ρ(0) = 0. Kita vertus, jei tai pa£iai rizikai X bututeisinga ρ(X) = 0, tuomet apibreº¦ α = −maxω∈ΩX(ω)/(2r) > 0 gautumeX + αr ∈ L−−, o pasinaudoj¦ T aksioma galetume uºra²yti:

0 ≤ ρ(X + αr) = ρ(X)− α = −α,

bet juk α > 0. Gavome prie²tar¡. Vadinasi, jei X ∈ L−−, tai ρ(X) > 0, todelAρ ∩ L−− = ∅, ir aibe Aρ tenkina A2 aksiom¡.

• Tegu X ∈ G yra bet kokia rizika ir ε > 0 yra parinktas laisvai. Tuometegzistuoja m ∈ (ρAρ,r(X), ρAρ,r(X) + ε), kad X +mr ∈ Aρ, o tada ir ρ(X +mr) ≤ 0. Pasinaudoj¦ T aksioma ir m vir²utiniu reºiu, gausime ρ(X) ≤ m <ρAρ,r(X) + ε. Perej¦ prie ribos, kai ε ↓ 0, turesime ρ(X) ≤ ρAρ,r(X). RizikaX buvo bet kokia, todel ρ ≤ ρAρ,r.

2.5 Pirmoji suderintuju rizikos matu i²rai²ka 33

• Noredami irodyti prie²ing¡ nelygyb¦, t.y. ρAρ,r ≤ ρ, vel nagrinekime betkoki¡ rizik¡ X ir bet koki δ > ρ(X). Tuomet i² T aksiomos i²plaukia s¡ry²isρ(X+δr) = ρ(X)−δ < 0. Vadinasi, X+δr ∈ Aρ, o kartu ir ρAρ,r(X+δr) ≤ 0.Bet matui ρAρ,r taip pat galioja T aksioma (ºr. 2.1 teigini), todel ρAρ,r(X) ≤ δ.Jei parinksime δ = ρ(X) + ε, £ia ε > 0, ir pereisime prie ribos, kai ε ↓ 0,gausime ρAρ,r(X) ≤ ρ(X). Kadangi X buvo bet koks, tai ρAρ,r ≤ ρ.

Jei A2 aksiom¡ keisime grieºtesne A2' aksioma, tuomet galesime irodyti daugiau:

2.3 teiginys . Jei aibe B tenkina A1, A2', A3 ir A4 aksiomas, tai suderintasisrizikos matas ρB,r tenkina R aksiom¡. Ir atvirk²£iai, jei suderintasis rizikos matas ρtenkina R aksiom¡, tai ji atitinkanti priimtinu riziku aibe Aρ tenkina A2' aksiom¡.

Irodymas. Nagrinekime rizik¡ X ∈ G, tenkinan£i¡ s¡lygas X ≤ 0 ir X = 0. TuometX ∈ L− ir X = 0, o i² A2' aksiomos gausime X /∈ B. Vadinasi, ρB,r(X) > 0, irgalioja R aksioma. I² tiesu, nesunkiai gauname ρB,r(X) ≥ 0, nes X /∈ B. Ta£iau, jeibutu ρB,r(X) = 0, tai egzistuotu seka mn∞n=1, artejanti i nuli ir tokia, kad Xn =rmn + X ∈ B visiems n ∈ N. Akivaizdu, kad riziku seka Xn∞n=1 konverguoja18 irizik¡ X, todel pastaroji turi priklausyti aibes B uºdariniui. O tai prie²tarauja i²A2' aksiomos gautam s¡ry²iui X /∈ B.

Kita vertus, jei X ∈ G tenkina s¡lygas X ≤ 0, X = 0, ir galioja R aksioma, taiρ(X) > 0. Vadinasi, X /∈ Aρ, ir uºdarai aibei Aρ galioja A2' aksioma.

2.5 Pirmoji suderintuju rizikos matu i²rai²ka

Pirmoji suderintuju rizikos matu i²rai²ka yra susijusi su apibendrintais scenarijais.Matematikos terminais pastarieji yra ne kas kita, kaip tikimybiniai matai ekonomikosbusenu erdveje Ω. Kaip ir anks£iau, nagrinesime baigtin¦ busenu erdv¦ Ω, o σ-algebr¡ atstos visu jos poaibiu aibe 2Ω. Kol kas neksuojame jokio tikimybiniomato ma£ioje erdveje (Ω, 2Ω). Suformuluosime teorem¡, teigian£i¡, kad suderintojorizikos mato reik²me yra nuostolis del blogiausiojo scenarijaus.

2.4 teorema. Tegu duota nerizikingo vertybinio popieriaus kaina r momentu t = 1.Rizikos matas ρ yra suderintasis tada ir tik tada, kai egzistuoja tikimybiniu matuerdveje (Ω, 2Ω) ²eima P, kad

ρ(X) = supEP(−X/r) |P ∈ P. (2.1)

Irodymas. (Pakankamumas) Remdamiesi integralo ir supremumo savybemis lengvaigauname, kad (2.1) lygybe apibreºtas rizikos matas yra suderintasis.

(Butinumas) Remsimes 3.3 teorema (ºr. B pried¡) apie tikimybiniu matu i²rai²k¡.Nagrinekime funkcional¡ E⋆(X) = ρ(−rX), X ∈ G. Jei ρ yra suderintasis rizikos

18Riziku aib¦ sutapatinome su baigtinio matavimo euklidine erdve R|Ω|. Todel riziku konverga-vim¡ galime nagrineti bet kokios R|Ω| atstumo funkcijos prasme.


matas, tai i² M aksiomos gausime (3.5) funkcionalo E⋆ savyb¦, i² PH ir T aksiomui²plauks (3.6), o S aksioma duos (3.7). Todel i² 3.3 teoremos gausime, kad egzistuojatikimybiniu matu ²eima Pρ, kuriai teisinga

ρ(X) = E⋆(−X/r) = supP∈Pρ

EP(−X/r)

ir

Pρ = P ∈ M |EPX ≤ E⋆(X) = ρ(−rX), ∀X ∈ G= P ∈ M |EP(−Y/r) ≤ ρ(Y ), ∀Y ∈ G.

2.6 pastaba . Pirm¡j¡ suderintojo rizikos mato ρ i²rai²k¡ galime vadinti draudimopriemokos principu. Paºymekime raide P0 zini mat¡, kuriuo savo isitikinimus delateities rei²kia rinkos dalyviai. Tuomet s¡lyga P0 ∈ P19 yra labai svarbi. Jei jitenkinama, tai EP0(−X/r) ≤ ρ(X).

2.7 pastaba . Juo daugiau scenariju nagrinejama, tuo konservatyvesne (t.y. didesne)yra suderintojo rizikos mato reik²me.

2.8 pastaba . Nagrinedami rizikas Xω(ω) = 1ω(ω), £ia ω ∈ Ω yra ksuotas, o ω ∈ Ωyra bet koks, gauname, kad suderintasis rizikos matas ρ tenkina R aksiom¡ tada irtik tada, kai tikimybiniu matu P i² P atramu (t.y. aibiu supp(P) = ω |P(ω) > 0)s¡junga padengia aib¦ Ω, t.y. kiekvienam ω ∈ Ω egzistuoja bent vienas matas P ∈ P ,kad P(ω) > 0.

2.9 pastaba . Jei i aib¦ P itrauksime ateities kainu skirstinius, kurie gaunami i² kitumodeliu, tuomet suderintasis rizikos matas ρ atsiºvelgs ir i modelio rizik¡.

Suformuluotas teiginys paai²kina, kodel praktikoje nagrinejami scenarijai ir sten-giamasi ivertinti pati blogiausi¡ variant¡, kurio nuostoliams padengti reikalaujamarezervo. Butent tokiu samprotavimu grindºiama ikagos agrariniu ir kitu terminuo-tuju sandoriu birºos taikoma SPAN privalomuju ina²u sandoriams sudaryti sistema.Ji buvo sukurta 1988 metais ir nuo to laiko tapo ateities sandoriu verslo standartu.SPAN sistema ivertina ateities sandoriu ir su jais susietu opcionu portfeliu rizik¡ir apskai£iuoja privalom¡ ina²¡ tokiam portfeliui i²laikyti ar sudaryti. Nagrinejama16 scenariju, kaip per dien¡ gali pakisti ateities sandoriu kainos, atsiºvelgiant ir igalim¡ ²iu kainu kintamum¡, kuris labai svarbus ivertinant opcionu kainu svyravimorizik¡. I² atitinkamu ateities sandoriu birºu iskaitos (kliringo) rumu (clearinghouse)rinkos dalyviai gauna rizikos lenteles ir gali paskai£iuoti savo poziciju minimaliusprivalomuosius ina²us. Kasdien sudaromos rizikos lenteles pateikiamos kiekvienaiprekei, kuria prekiaujama birºoje. I² 16 pateiktu scenariju randamas pats blogiau-sias, kuri atitinkantis nuostolis butu pats didºiausias. Butent ²is didºiausias mena-mas nuostolis ir yra minimalus ina²o reikalavimas atitinkamai pozicijai sudaryti ari²laikyti. Atsiºvelgdama i ankstesnes dienos ateities sandorio ir kainu kintamumo

19Galima reikalauti ir silpniau, t.y., kad P0 priklausytu tikimybiniu matu ²eimos P i²kilamapvalkalui.

2.5 Pirmoji suderintuju rizikos matu i²rai²ka 35

Scenarijus NuostolisK0; ↑ 37$K0; ↓ -52$

K0 + (1/3)a; ↑ 339$K0 + (1/3)a; ↓ 255$K0 − (1/3)a; ↑ -170$K0 − (1/3)a; ↓ -252$K0 + (2/3)a; ↑ 696$K0 + (2/3)a; ↓ 633$K0 − (2/3)a; ↑ -317$K0 − (2/3)a; ↓ -374$K0 + a; ↑ 1115$K0 + a; ↓ 1075$K0 − a; ↑ -369$K0 − a; ↓ -429$K+ 890$K− -159$

2.1 lentele. SPAN lentele pirkimo opciono pardavejo pozicijai ivertinti. Rodykles↑ ir ↓ atitinkamai rei²kia padidejusi ir sumaºejusi kintamum¡. Neigiamos reik²mesrei²kia peln¡.

reik²mes, birºa pateikia naujos dienos sandorio kainos ir kintamumo svyravimo in-tervalus, pagal kuriuos sudaromi scenarijai. Pvz., jei prekiaujama naftos sandoriaisir nurodytas intervalas yra 1500$, tai rei²kia, jog labiausiai tiketina, kad tos dienosnaftos kaina svyruos ne daugiau kaip 1,50$ uº bareli, nes kiekvienas ateities san-doris sudaromas 1000 bareliu naftos. Jei ankstesnes dienos ateities sandorio kainabuvo K0 ir kainos svyravimo intervalas yra [K0 − a,K0 + a], tai scenarijuose na-grinejamos kainos yra K0 ± a,K0 ± (2/3)a,K0 ± (1/3)a,K0. Kiekvienai i² ju yradvi kintamumo busenos: padidej¦s ir sumaºej¦s kintamumas. Be ²iu 14 scenariju,i analiz¦ itraukiami dar du ekstremalus scenarijai, kad kaina K0 labai padides (ikiK+) arba sumaºes (iki K−). Pastaruju dvieju scenariju nuostolis tolimesnei anal-izei imamas su 35% svoriu. Taigi kainu reik²miu aibeje nagrinejami 16 tikimybiniumatu, sudaran£iu aib¦ P . Keturiolika i² ju yra ta²kiniai Dirako matai δK20, £iaK ∈ K0 ± a,K0 ± (2/3)a,K0 ± (1/3)a,K0 yra atitinkamo neekstremalaus sce-narijaus kaina, o lik¦ du yra 0, 35δK+ + 0, 65δK0 ir 0, 35δK− + 0, 65δK0 . I²vardinti 16matu ir yra skyrelio pradºioje minetieji apibendrintieji scenarijai. Beje, scenari-jus atitinkan£ioms opcionu ir ateities sandoriu kainoms skai£iuoti paprastai taiko-mos Black'oScholes'o formules. Jei pozicij¡ sudaro vienas parduotas pirkimo op-cionas gruodºio menesio naftos sandoriui, tai scenariju lentele galetu atrodyti kaip2.5 lenteleje. Pagal ²i¡ lentel¦ minimalus nagrinejamos pozicijos ina²as yra 1115$.

20δK(A) = 1, jei K ∈ A ⊂ Ω, ir δK(A) = 0, jei K /∈ A.


2.6 Antroji suderintuju rizikos matu i²rai²ka

iame skyrelyje formalizuosime kit¡ rizikos matavimo metodologij¡, kuri¡ i savotaisykles itrauke JAV vertybiniu popieriu ir birºu komisija SEC ir kuri¡ taiko Na-cionaline vertybiniu popieriu makleriu asociacija NASD. Metodologijos esme rei-kalauti privalomuju ina²u uº tam tikrus pagrindinius portfelius, vadinam¡sias stan-dartines rizikas, ir ju kombinacijomis ivertinti kitas rizikas. Nagrinejamo portfe-lio rizikai apdrausti reikalingas kapitalas veliau vertinamas i² vir²aus naudojantisstandartiniu riziku privalomuju ina²u kombinacijomis.

2.5 apibreºimas . (Rizikos rams£iai) Tegu Y ⊂ G yra busenu aibeje Ω apibreºtufunkciju (standartiniu riziku) ²eima. Nagrinekime neneigiamu skai£iu rinkini µ =µY |Y ∈ Y, kuriame nelygiu nuliui µY yra tik baigtinis skai£ius. Sakysime, kadpora (µ, γ), £ia γ ∈ R, yra rizikos X ∈ G ramstis, jei

X ≥∑Y ∈Y

µY Y + γr.

Visu rizikos X rams£iu (µ, γ) aib¦ ºymesime SY(X).

Toliau nagrinesime funkcijas, kurios bus apibreºtos visu riziku (poziciju) aibesG poaibyje Y , ir bandysime i² vir²aus apreºti galimus ²iu funkciju pletinius. Tamnaudosime rams£ius, sudarytus i² standartiniu riziku. Noredami i²vengti be galodideliu neigiamu reik²miu reikalausime, kad galiotu

Pirmoji dermes s¡lyga. Tegu Y ⊂ G yra busenu aibeje Ω apibreºtu funkciju²eima. Sakysime, kad funkcija Ψ : Y → R tenkina pirm¡j¡ dermes s¡lyg¡, jeisu kiekvienu 0 (t.y. tapatingos nuliui funkcijos aibeje Ω) rams£iu (µ, γ) teisinganelygybe ∑

Y ∈Y

µYΨ(Y )− γ ≥ 0.

Kaireje pastarosios nelygybes puseje esanti rei²kini vadinsime rams£io (µ, γ) kaina.

2.5 teiginys . Jei Y ⊂ G ir Ψ : Y → R, tai lygybe

ρΨ(X) = inf(µ,γ)∈SY (X)

(∑Y ∈Y

µYΨ(Y )− γ

)

apibreºia suderint¡ji rizikos mat¡ ρΨ tada ir tik tada, kai Ψ tenkina pirm¡j¡ dermess¡lyg¡. Tokiu atveju ρΨ yra didºiausias suderintasis rizikos matas ρ, kuriam aibejeY teisinga nelygybe ρ ≤ Ψ.

Irodymas. I² pradºiu irodykime pirmosios dermes s¡lygos butinum¡. Tegu (µ, γ)yra nulio ramstis, o ρΨ yra suderintasis rizikos matas. Tuomet∑

Y ∈Y

µY Y + γr ≤ 0,

2.6 Antroji suderintuju rizikos matu i²rai²ka 37

todel i² M, PH, S ir T aksiomu gausime

0 = ρΨ(0) ≤ ρΨ

(∑Y ∈Y

µY Y + γr

)≤∑Y ∈Y

µY ρΨ(Y )− γ.

Fiksuokime Y0 ∈ Y . Pora (µ, 0) yra Y0 ∈ Y ramstis, jei µ = µY yra toks, kadµY = 1, jei Y = Y0, ir µY = 0, jei Y = Y0. Todel

ρΨ(Y0) ≤ Ψ(Y0), bet kuriam Y0 ∈ Y .

Vadinasi,0 ≤

∑Y ∈Y

µY ρΨ(Y )− γ ≤∑Y ∈Y

µYΨ(Y )− γ,

t.y. pirmoji dermes s¡lyga tenkinama.Irodyti pakankamum¡ reikes keliu ºingsniu:

• Kadangi (0, 0) yra X ≡ 0 ∈ G ramstis ir galioja pirmoji dermes s¡lyga, tai

0 ≤ inf(µ,γ)∈SY (0)

(∑Y ∈Y

µYΨ(Y )− γ

)= ρΨ(0) ≤

∑Y ∈Y

0Ψ(Y )− 0 = 0,

t.y. ρΨ(0) = 0.

Beje, pastebesime, kad jei negaliotu pirmoji dermes s¡lyga, tuomet egzistuotubent vienas nulio ramstis (µ, γ), kad

0 ≥∑Y ∈Y

µY Y + γr ir∑Y ∈Y

µYΨ(Y )− γ = a < 0.

Tuomet bet kuriam n ∈ N, pora (nµ, nγ) butu nulio ramstis ir

ρΨ(0) ≤∑Y ∈Y

(nµY )Ψ(Y )− (nγ) = na < 0.

Kadangi n galetume imti bet koki, tai gautume ρΨ(0) = −∞.

• Jei (µi, γi), i = 1, 2, yra Xi rams£iai, tuomet pora (µ1+µ2, γ1+γ2) bus X1+X2

ramstis. Todel SY(X1) + SY(X2) ⊂ SY(X1 +X2), £ia aibiu A ir B suma yraaibe A+B = a+b | a ∈ A, b ∈ B. Vadinasi, ρΨ(X1+X2) ≤ ρΨ(X1)+ρΨ(X2),t.y. galioja S aksioma.

• Jei λ > 0, tai pora (µ, γ) yra X ramstis tada ir tik tada, kai (λµ, λγ) yra λXramstis. Vadinasi, teisinga ir PH aksioma.

• Tegu ε > 0 yra bet koks. Tuomet egzistuoja rizikos X + αr, α ∈ R, ramstis(µ, γ), kurio kaina yra c ∈ [ρΨ(X + αr), ρΨ(X + αr) + ε). Nesunku pastebeti,kad (µ, γ−α) yra rizikos X ramstis, kurio kaina yra c+α. Vadinasi, ρΨ(X) ≤c + α < ρΨ(X + αr) + ε + α. Perej¦ prie ribos, kai ε ↓ 0, gausime nelygyb¦ρΨ(X) ≤ ρΨ(X + αr) + α. Analogi²kai samprotaujame irodydami prie²ing¡nelygyb¦. Tik ²ikart reikia pradeti nuo rizikos X rams£io ir i² jos gauti rizikosX + αr ramsti. Vadinasi, matas ρΨ tenkina T aksiom¡.


• Jei rizikoms X ir Z teisinga nelygybe X ≤ Z, tai turime ideti SY(X) ⊂ SY(Z),todel ρΨ(Z) ≤ ρΨ(X), t.y. teisinga M aksioma.

Irodeme, kad matas ρΨ yra suderintasis, jei galioja pirmoji dermes s¡lyga. Jei ρ butukitas suderintasis rizikos matas, kuriam aibeje Y galiotu nelygybe ρ ≤ Ψ, tuomet betkuriam rizikos X rams£iui (µ, γ), pasinaudoj¦ M, PH, S ir T aksiomomis, galetumeuºra²yti

ρ(X) ≤∑Y ∈Y

µY ρ(Y )− γ ≤∑Y ∈Y

µYΨ(Y )− γ.

Vadinasi, teisinga ir ρ(X) ≤ ρΨ(X).

2.10 pastaba . Nagrinedami standartines rizikas susiduriame su prie²inga situacija,nei tuomet, kai kalbejome apie scenarijus, t.y. juo maºiau standartiniu riziku yraaibeje Y , tuo konservatyvesnis (t.y. didesnis) yra rizikos matas ρΨ.

Nesunku pastebeti, kad rizikos matas ρΨ aibeje Y yra dominuojamas funkcijosΨ. Toliau pateiksime s¡lyg¡, kuri leis patikrinti, kada ρΨ = Ψ aibeje Y .

Antroji dermes s¡lyga. Tegu Y ⊂ G yra busenu aibeje Ω apibreºtu funkciju(standartiniu riziku) ²eima. Sakysime, kad funkcija Ψ : Y → R tenkina antr¡j¡dermes s¡lyg¡, jei su kiekviena standartine rizika Z ∈ Y ir bet kuriuo jos rams£iu(µ, γ) teisinga nelygybe

Ψ(Z) ≤∑Y ∈Y

µYΨ(Y )− γ.

Nesunku irodyti, kad i² antrosios dermes s¡lygos i²plaukia pirmoji (ºr. 2 pra-tim¡). Todel, jei funkcija Ψ tenkina antr¡j¡ dermes s¡lyg¡, rizikos matas ρΨ yrasuderintasis.

2.6 teiginys . Jei Y ⊂ G ir Ψ : Y → R tenkina antr¡j¡ dermes s¡lyg¡, tai suderin-tasis rizikos matas ρΨ yra didºiausias galimas funkcijos Ψ pletinys iki suderintojorizikos mato, t.y. jei ρ yra suderintasis rizikos matas, tai ρΨ|Y ≥ ρ|Y (£ia f |A ºymifunkcij¡, kurios apibreºimo sritis sumaºinta iki aibes A).

Irodymas. Jei funkcija Ψ tenkina antr¡j¡ dermes s¡lyg¡, tai Ψ(Z) ≤ ρΨ(Z), jeiZ ∈ Y . Prie²inga nelygybe buvo teisinga, kai funkcijai Ψ galiojo silpnesne, pirmojidermes s¡lyga. Taigi, Ψ = ρΨ|Y .

Tegu ρ yra bet koks suderintasis rizikos matas, kuris yra funkcijos Ψ pletinys,t.y. ρ|Y = Ψ. Vadinasi, teisinga ir ρ|Y ≤ Ψ. Taigi i² 2.5 teiginio gauname, kadρ|Y ≤ ρΨ|Y .

I² 2.5 ir 2.6 teiginiu i²plaukia dar viena suderintojo rizikos mato i²rai²kos teo-rema.

2.7 teorema . Rizikos matas ρ yra suderintasis tada ir tik tada, kai egzistuojapirm¡j¡ dermes s¡lyg¡ tenkinanti funkcija Ψ, kad ρ = ρΨ.

2.7 Rizikos matu pavyzdºiai 39

Irodymas. (Butinumas) Tegu ρ yra suderintasis rizikos matas. Tuomet apibreºkimeY = G ir Ψ = ρ. Remdamiesi M, PH, S ir T aksiomomis gauname, kad funkcijaΨ tenkina antr¡j¡ (o kartu ir pirm¡j¡) dermes s¡lyg¡, todel i² 2.6 teiginio i²plaukialygybe ρ = Ψ = ρΨ.

(Pakankamumas) Jau irodytas (ºr. 2.5 teigini).

Jau buvo mineta, kad standartiniu riziku metodologija pagristos JAV vertybiniupopieriu ir birºu komisijos SEC taisykles. Jomis remiantis, visi vertybiniu popieriuportfeliai sutapatinami su formaliais standartizuotu popieriu s¡ra²ais. Privalomiejiina²ai reikalaujami uº ²iuos standartinius popierius, o ne uº vis¡ portfeli, kaip toreikalaujama pagal SPAN metodologij¡.

tai pavyzdys. Tarkime, portfeli sudaro du isigyti pirkimo opcionai, kuriu ivyk-dymo kaina yra 10, du parduoti opcionai, kuriu ivykdymo kaina yra 20, trys par-duoti opcionai, kuriu ivykdymo kaina yra 30, keturi isigyti pirkimo opcionai, kuriuivykdymo kaina yra 40 bei vienas parduotas pirkimo opcionas, kurio ivykdymo kainayra 50. Del paprastumo tarkime, kad visi opcionai yra europiniai ir visu ju terminasyra tas pats. io portfelio i²moka laiko momentu t = 1 yra

Y = 2(S1− 10)+− 2(S1− 20)+− 3(S1− 30)++4(S1− 40)+− (S1− 50)+ ∈ [−10, 20],

bet kuriai S1 reik²mei. Taigi privalomasis ina²as uº toki portfeli neturetu vir²yti 10.Kita vertus, pagal SEC taisykles, toks portfelis butu prilygintas kitam portfe-

liui, sudarytam vien i² ilguju pirklo opcionu (long call spread), kuriuos sudaro povien¡ isigyt¡ pirkimo opcion¡ su ivykdymo kaina K ir terminu t = 1 bei parduot¡pirkimo opcion¡ su ivykdymo kaina H ir tokiu pat terminu t = 1. Tokio instru-mento i²moka laiko momentu t = 1 yra XK,H = (S1 − K)+ − (S1 − H)+. JeiK < H, ina²o nereikalaujama: jei bus pareikalauta parduoti S1 uº didesn¦ kain¡,o mes galesime isigyti pigiau, tai netgi laimesime. I² tiesu, XK,H grakas nenusilei-dºia ºemiau S1 a²ies, t.y. nuostolio del tokio XK,H nepatiriame. Kita vertus, jeiH ≤ K, reikalaujama K−H dydºio ina²o. Porfelio ina²as skai£iuojamas kaip ilgujupirklu, sudaran£iu porfeli, ina²u suma. Tariama, kad investuotojas pats sugebapasirinkti optimalu portfelio skaidini i ilguosius pirklus. Tai yra tiesinio programav-imo uºdavinys. Nagrinetajam pavyzdºiui, ina²as yra 30, o tai yra daug daugiaunei maºiausioji portfelio verte padauginta i² minus vieneto. Nesunku pastebeti, kadY = 2X10,20 + 3X40,30 +X40,50. Tik dar reiktu irodyti tokio skaidinio optimalum¡.Beje, 30 yra portfelio ver£iu intervalo ilgis, t.y. lyg ir bandoma ivertinti didºi-ausi¡ i²mok¡, kuri¡ investuotojas tures sumoketi termino gale. Taigi, pagal SECmetodologij¡, investuotojo, turin£io nagrinet¡ portfeli, pozicija birºoje turi buti nemaºesne uº opcionu vert¦ plius 30.

Vadinasi, SEC taisyklese numatyta per maºai standartiniu riziku, kuriomisbandoma ramstyti investuotoju porftelius.

2.7 Rizikos matu pavyzdºiai

Vertindami draudimo sutar£iu su i²skaita imokas, aktuarai jau seniai skai£iuoja s¡-lyginius ºalu vidurkius su s¡lyga, kad ºala vir²ys i²skait¡. Analogi²kai vertinamos


ir perdraudimo imokos, tik ²ikart skai£iuojamas poliso ar ju portfelio ºalos i²mokosvidurkis, kai ºala vir²ija perdraudejo prisiimamos ºalos dydi. Anks£iau minetasisrizikos vertes matas VaRα parodo tik minimalu portfelio nuostoli tarp 100α procentublogiausiu atveju. Kad ir kaip keista butu, vertes rizikos matas yra bene daºniau-siai taikomas valdant rizik¡, nors jis visai neatsiºvelgia i tai, kokio dydºio nuostoliu,didesniu uº VaRα, galima patirti. Kad ir su labai maºomis tikimybemis, tie nuosto-liai gali buti katastro²ki. Kur kas geriau butu klausti, koks yra vidutinis nuostolistarp nuostoliu, didesniu uº VaRα. Paminesime du rizikos matus, kurie i ²i klausim¡duoda tikslesni atsakym¡. Jei portfelio vertes skirstinys yra tolydus21, tuomet puikiaitinka s¡lyginis uodegos vidurkis TCEα.

2.6 apibreºimas . Tegu ma£iojoje erdveje (Ω, 2Ω) duotas tikimybinis matas P.Tarkime, kad r yra nerizikingo bazinio instrumento kaina laiko momentu t = 1.Fiksuokime lygmeni α ∈ (0, 1). Tuomet s¡lyginiu uodegos vidurkiu (arba uodegosvertes rizika (Tail-VaR)) vadinsime rizikos mat¡, apibreºt¡ lygybe

TCEα(X) = −EP [X/r |X/r ≤ −VaRα(X)] .

Ta£iau jei portfelio vertes skirstinys nera tolydus, ivykio X/r ≤ −VaRα(X)tikimybe gali buti didesne uº pasirinkt¡ lygmeni α, todel uºgriebsime didesn¦, neinoretume, dali blogiausiu atveju. Bendruoju atveju, s¡lyginis uodegos vidurkisnetenkina S aksiomos, t.y. nera suderintasis rizikos matas. Jis yra suderintasistik tada, kai riziku aib¦ susiauriname iki riziku, turin£iu tolydºius skirstinius. Ben-druoju atveju geresnis yra blogiausias s¡lyginis vidurkis WCEα.

2.7 apibreºimas . Tegu ma£ioje erdveje (Ω, 2Ω) duotas tikimybinis matas P. Tar-kime, kad r yra nerizikingo bazinio instrumento kaina laiko momentu t = 1. Fik-suokime lygmeni α ∈ (0, 1). Tuomet blogiausiu s¡lyginiu vidurkiu (worst conditionalexpectation) vadinsime suderint¡ji rizikos mat¡, apibreºt¡ lygybe

WCEα(X) = − infEP [X/r |A]

∣∣P(A) > α.

2.11 pastaba . Matas WCEα i² tiesu yra suderintasis, nes

WCEα(X) = sup EPA(−X/r) |PA ∈ P ,

£ia P = PA |P(A) > α, o PA(B) = P(A ∩ B)/P(A), jei P(A) > 0 ir B ∈ 2Ω. Likotik pasinaudoti 2.4 teorema.

2.8 teiginys . Teisinga nelygybe TCEα ≤ WCEα.

Irodymas. Paºymekime Y = X/r. Tegu FY yra rizikos Y pasiskirstymo funkcija.Jei FY (q

+α (Y )) > α (priminsime, kad q+α (Y ) = infx |P(Y ≤ x) > α yra vir²u-

tinis atsitiktinio dydºio Y α-kvantilis ir kad q+α (Y ) = −VaRα(X)), tai aibei A0 =ω |Y (ω) ≤ q+α (Y ) galioja P(A0) > α, ir akivaizdu, kad

TCEα(X) = −EP [Y |A0] ≤ sup−EP

[Y∣∣A] |P(A) > α

= WCEα(X).

21Apie skirstiniu tolydum¡ galime kalbeti tik tada, kai Ω yra neskaiti aibe, t.y. nagrinejamebendresn¦ teorij¡, nei pateikiama ²iame skyrelyje.


Jei FY (q+α (Y )) = α, tai su bet kokiu ε > 0 teisinga FY (ε+ q

+α (Y )) > α. Pasinau-

dojome kvantilio q+α apibreºimu ir pasiskirstymo funkcijos monotoni²kumu. Nagri-nekime aibes Aε = ω |Y (ω) ≤ ε+ q+α (Y ). Tuomet

WCEα(X) ≥ −EP [Y |Aε] = −EP [Y 1Aε ]

P(Aε). (2.2)

Kadangi pasiskirstymo funkcija FY yra tolydi i² de²ines, tai

limε↓0

P(Aε) = FY (q+α (Y )).

Be to, Aε ↓ A0. Vadinasi, de²ine (2.2) nelygybes puse, kai ε ↓ 0, arteja i

−EP [Y 1A0 ]

P(A0)= −EP[Y |A0] = TCEα(X).

2.9 teiginys . Bet kuriai rizikai X teisinga lygybe

VaRα(X) = inf ρ(X) | ρ yra suderintasis matas ir ρ ≥ VaRα .

Irodymui prireiks pagalbines lemos:

2.10 lema. Jei ρ yra suderintasis rizikos matas, atitinkantis tikimybiniu matu ²eim¡P (ºr. 2.4 teorem¡), tai ρ ≥ VaRα tada ir tik tada, kai su kiekviena aibe B tokia,kad P(B) > α, ir kiekvienu ε > 0 egzistuoja Q ∈ P, kad Q(B) > 1− ε.

Irodymas. (Butinumas) Tegu aibe B yra tokia, kad P(B) > α. Nagrinekime X =−r1B. Tada VaRα(X) = 1 ir todel ρ(X) ≥ 1. Vadinasi, bet kuriam ε > 0 egzistuojaQ ∈ P , kad Q(B) > 1− ε.

(Pakankamumas) Paºymekime −k = VaRα(X). Tuomet P(X ≤ kr) ≥ α, ir betkuriam δ > 0 teisinga nelygybe P(X ≤ (k + δ)r) > α. Tegu Q ∈ P yra toks, kadQ(X ≤ (k + δ)r) ≥ 1− δ. Tuomet

EQ[−X/r] ≥ −(k + δ)(1− δ)− δ ∥X/r∥ .

Perej¦ prie ribos, kai δ ↓ 0, gausime ρ(X) ≥ EQ(−X/r) ≥ −k.

Irodymas. (2.9 teiginio) Tegu X yra bet kokia rizika. Paºymekime −k = VaRα(X).Tada bet kuriam δ > 0 teisinga P(X ≤ (k − δ)r) ≤ α. Sukonstruosime suderint¡jirizikos mat¡ ρX , kuriam butu teisingos nelygybes ρX(Y ) ≥ VaRα(Y ), Y ∈ G, irρX(X) ≤ VaRα(X) + δ.

Nagrinekime bet koki¡ aib¦ B, tenkinan£i¡ s¡lyg¡ P(B) > α. Tada

P(B∩X ≥ (k−δ)r) = P(B)−P(B∩X < (k−δ)r) > α−P(X < (k−δ)r) ≥ 0.

Vadinasi, galime apibreºti

hB,δ(ω) =1B∩X≥(k−δ)r(ω)

P(B ∩ X ≥ (k − δ)r)ir QB,δ = hB,δP,


£ia bet kokiai aibei A ⊂ Ω

QB,δ(A) =

Â

hB,δ(ω)P(dω) =P(A ∩B ∩ X ≥ (k − δ)r)P(B ∩ X ≥ (k − δ)r)

= P[A |B ∩ X ≥ (k − δ)r],

t.y. matas QB,δ yra s¡lyginis matas, kai ºinomas ivykis B ∩ X ≥ (k− δ)r. Be to,QB,δ(B) = 1 bet kuriam δ > 0.

Dabar apibreºkime tokiu s¡lyginiu matu aib¦

P = QB,δ |P(B) > α, δ > 0

ir j¡ atitinkanti (ºr. 2.4 teorem¡) suderint¡ji rizikos mat¡, priklausanti nuo musuanks£iau ksuotos rizikos X,

ρX(Y ) = supEQB,δ(−Y/r) |QB,δ ∈ P, Y ∈ G.

Pasinaudoj¦ 2.10 lema galime tvirtinti, kad ρX(Y ) ≥ VaRα(Y ), Y ∈ G. Be to,

ρX(X) = supQB,δ

EQB,δ(−X/r) = sup

QB,δ

ˆΩ

−X(ω)

rhB,δ(ω)P(dω)

= supQB,δ

ˆB∩X≥(k−δ)r

−X(ω)

rP(B ∩ X ≥ (k − δ)r)P(dω)

≤ −k + δ = VaRα(X) + δ.

Kartais s¡lyginis uodegos vidurkis TCEα sutampa su blogiausiu s¡lyginiu vidurkiuWCEα. Tiksliau teisingas toks teiginys.

2.11 teiginys . Tegu P yra tolygusis matas aibeje Ω, t.y. P(ω) = 1/|Ω| bet kuriamω ∈ Ω. Jei Y = X/r yra tokia rizika, kad Y (ω1) = Y (ω2), kai ω1 = ω2, taiTCEα(X) = WCEα(X).

Irodymas. Tegu α ∈ (0, 1) ir q = −VaRα(X). Paºymekime B = X ≤ qr irY (ωi) = yi, i = 1, . . . , n = |Ω|. Jei reikia pernumerav¦ busenas, galime tarti, kady1 < y2 < · · · < yn. Raskime k ∈ 0, 1, . . . , n− 1, kad α ∈ [k/n, (k + 1)/n).

I² pradºiu parodysime, kad q = yk+1. I² tiesu, bet kuriam u > q teisinga

α < P(X/r ≤ u) =|i | yi ≤ u|

n.

Todel sveikasis skai£ius22 m = |i | yi ≤ u| tenkina nα < m ir m ≥ k + 1. Parink¦u = yk+1 minimizuojame m reik²m¦, todel q = yk+1. Be to,

TCEα(X) = −E[X/r |X ≤ qr] = −y1 + · · ·+ yk+1

k + 1.

22ymejimas |A| £ia rei²kia aibes A elementu skai£iu.


Kita vertus, bet kuriai aibei C = B ir tokiai, kad |C| ≥ k+1 (todel ir P(C) > α),teisinga nelygybe

E[−Y |C] < TCEα(X).

Vadinasi, WCEα(X) = TCEα(X).

Jei rma privalo laikyti ne maºesn¦ kaip portfelio vertes rizikos lygio atsarg¡nuostoliams padengti, ta£iau kartu nori rizik¡ matuoti suderintuoju rizikos matu23

ir i² tokiu pasirinkti maºiausi¡, tuomet atskiru atveju tinka WCEα.

2.12 teiginys . Tegu P yra tolygusis matas aibeje Ω, t.y. P(ω) = 1/|Ω| bet kuriamω ∈ Ω. Jei suderintojo rizikos mato ρ reik²me ρ(X) priklauso tik nuo X/r skirstinioir yra nemaºesne uº VaRα(X), tai ir ρ(X) ≥ WCEα(X).

Irodymas. Vel paºymekime q = −VaRα(X) ir Y = X/r. Aibes A = ω |Y (ω) ≤ qelementu skai£ius p yra grieºtai didesnis24 uº nα, £ia n = |Ω|. Jei reikia pernumerav¦aibes Ω busenas, galime tarti, kad A = ω1, . . . , ωp ir Y (ωi) ≤ Y (ωi+1), 1 ≤ i ≤p− 1. Nagrinekime

Y (ω) =

E[Y |Y ≤ q], ω = ωi, i ≤ p;Y (ωi), ω = ωi, i > p;

=

(Y (ω1) + · · ·+ Y (ωp))/p, ω = ωi, i ≤ p;Y (ωi), ω = ωi, i > p.

Kai σ yra bet kokia skai£iu 1, . . . , p perstata, apibreºkime

Y σ(ω) =

Y (ωσ(i)), ω = ωi, i ≤ p;Y (ωi) ω = ωi, p+ 1 ≤ i ≤ n.

Tuomet Y = (∑

σ Yσ) /(p!). Pagal teiginio s¡lyg¡, bet kuriai rizikai Z reik²me ρ(Z)

priklauso tik nuo Z/r skirstinio, vadinasi, bet kuriam Y σ teisinga ρ(rY σ) = ρ(X).Be to, pasinaudoj¦ kita teiginio s¡lyga ir mato ρ i²kilumu, gauname

VaRα(rY ) ≤ ρ(rY ) ≤ 1

p!

∑σ

ρ(rY σ) = ρ(X).

Kita vertus, VaRα(rY ) = E[−Y |Y ≤ q], nes Y (ωi) ≤ Y (ωp), kai i ≤ p. Taigi,ρ(X) ≥ E[−X/r |X ≤ qr].

Aibe riziku X, kuriu visos reik²mes X(ω) yra skirtingos, sudaro tir²t¡ visu rizikuaibes G poaibi, kuri galime sutapatinti su aibe

G0 = Rn \n∪

k=2

∪1≤i1<···<ik≤n

x = (x1, . . . , xn) | xi1 = · · · = xik.

23Viena i² paskatu taip elgtis butu didelis portfelis, kurio atskiras dalis valdo ivairus ºmones.Tuomet suderintuoju rizikos matu ivertin¦ kiekvienos porftelio dalies rizik¡ (t¡ valdytojai galetudaryti atskirai) ir visk¡ sudej¦, gautume atsarg¡, kurios pakaktu viso portfelio rizikai apdrausti.

24ia i² esmes praver£ia tai, kad aibe Ω yra baigtine ir rizikos X skirstinys yra diskretus.


JeiX ∈ G0, tai i² 2.12 teiginio gauname E[−X/r |X ≤ qr] = TCEα(X) = WCEα(X).Abu matai ρ ir WCEα yra i²kilos riziku funkcijos, todel jos yra tolydºios (ºr. Cpried¡). Vadinasi, nelygybe ρ(X) ≥ WCEα(X) galioja ne tik X ∈ G0, bet ir visiemsX ∈ G.

Literaturoje galima sutikti ir dar vien¡ rizikos mat¡, pana²u i s¡lygini uodegosvidurki TCEα. Jis apibreºiamas lygybe

ESα = TCEα + (λ− 1)(TCEα − VaRα),

£ia 1 ≤ λ = P(X/r ≤ −VaRα(X))/α, ir vadinamas decito vidurkiu arba α-s¡lyginevertes rizika. C. Acerbi ir D. Tasche straipsnyje [2] nagrinejamos ivairios decitovidurkio savybes, parodoma, kad ²is matas yra suderintasis ir kad WCEα ≤ ESα.

Pratimai

1. Griºkime prie 2.5 teiginio irodymo. Remdamiesi didºiausiojo apatinio reºiosavybemis, formaliai pagriskite nelygyb¦ ρΨ(X1+X2) ≤ ρΨ(X1)+ρΨ(X2), t.y.kad matui ρΨ galioja S aksioma.

2. Irodykite, kad i² antrosios dermes s¡lygos i²plaukia pirmoji.

3. inome dvi suderintuju rizikos matu i²rai²kas. Todel naturalu klausti, kokiaapibendrintuju scenariju (tikimybiniu matu) aibe P atitinka funkcij¡ Ψ. Paro-dykite, kad jeiΨ tenkina pirm¡j¡ dermes s¡lyg¡, o ρΨ yra ²i¡ funkcij¡ atitinkan-tis suderintasis rizikos matas, tuomet aibe

PΨ = P |EP(−X/r) ≤ ρΨ(X),∀X ∈ G

yra netu²£ia, ir galioja lygybe

ρΨ(X) = supEP(−X/r) |P ∈ PΨ.

4. Nagrinekime M' aksiom¡, teigian£i¡, kad i² nelygybes X ≤ 0 i²plaukia ne-lygybe ρ(X) ≥ 0. Akivaizdu, kad M' aksioma yra silpnesne uº M aksiom¡.Pasinaudoj¦ 2.5 teiginiu parodykite, kad suderintojo mato ρ apibreºime pakankareikalauti M' aksiomos vietoje M aksiomos.

2.8 Decito vidurkis 45

2.8 Decito vidurkis

Finansu ir draudimo matematikos bei rizikos valdymo literaturoje sutinkamas darvienas rizikos matas, pana²us i s¡lygini uodegos vidurki TCEα. Jis vadinamasdecito vidurkiu arba α-s¡lygine vertes rizika ir apibreºiamas lygybe:

ESα(X) = TCEα(X) + (λ− 1)(TCEα(X)− VaRα(X)), X ∈ G,

£ia 1 ≤ λ = P(X/r ≤ −VaRα(X))/α.emiau apºvelgsime ²io rizikos mato savybes. O veliau panagrinesime ir decito

vidurkio apibendrinimus, vadinamuosius spektrinius rizikos matus. Medºiag¡ i²destysimeremdamiesi [2] straipsniu.

Nesunku pastebeti, kad rizikoms X, kuriu skirstiniai tolydus,25 λ = 1 ir todelTCEα(X) = ESα(X). Kita vertus, praktikoje daºnai tenka susidurti su diskre£iusskirstinius arba ju mi²inius turin£iomis rizikomis. Tokiu riziku pavyzdºiai galibuti paskolu portfeliai, kuriais rinkoje neprekiaujama. Tokiu portfeliu vertes (pel-no/nuostolio) skirstiniai yra diskretus. Jei portfelyje be paskolu esama ir i²vestiniuvertybiniu popieriu, tai tokio portfelio vertes skirstinys gali buti tolydºiu ir diskre£iuskirstiniu mi²inys.

Kaip tik skirstinio diskretumas ir yra viena i² problemu, su kuria susiduriamarizik¡ matuojant VaRα, TCEα ir net WCEα rizikos matais. Pastarieji yra jautrusmaºiems pasikliovimo lygmens α poky£iams: net keliu baziniu punktu α pokytisgali sukelti dideli minetuju rizikos matu reik²miu pokyti ir pareikalauti dideliunansiniu i²tekliu kapitalo rezervui reikiamame lygmenyje i²laikyti. Kita vertus,decito vidurkis ESα yra tolydi α funkcija, todel nera jautri maºiems α poky£iams.Dar daugiau, ESα yra monotoni²ka α funkcija: juo maºesnis α, tuo didesne ESα

reik²me. Dabar visk¡ aptarsime nuosekliai.Jau ºinome, kad yra keletas a.d. X kvantiliu apibreºimu. Nagrinedami VaRα,

naudojome vir²utiniji α-lygmens kvantili

q+α (X) = infx : P(X ≤ x) > α = supx : P(X ≤ x) ≤ α.

Kai kurie autoriai naudoja apatiniji α-lygmens kvantili

q−α (X) = infx : P(X ≤ x) ≥ α = supx : P(X ≤ x) < α,

kuris bendruoju atveju nelygus q+α (X), todel privalome buti atidus, taikydami ivairiusirodytus teiginius.

Kadangix : P(X ≤ x) > α ⊂ x : P(X ≤ x) ≥ α,

akivaizdu, kad q−α (X) ≤ q+α (X). Be to, q−α (X) = q+α (X) tada ir tik tada, kai lygtisP(X ≤ x) = α turi ne daugiau kaip vien¡ sprendini x. Jei q−α (X) < q+α (X), tai

x : P(X ≤ x) = α =

[q−α (X), q+α (X)), jei P(X = q+α (X)) > 0;[q−α (X), q+α (X)], jei P(X = q+α (X)) = 0.

25Velgi reiktu nagrineti neskai£i¡ busenu aib¦ Ω.


Butent ²ios kvantiliu savybes ir apsunkina VaRα apibreºimo pasirinkim¡. Anks£iaupasirinkome VaRα(X) = −q+α (X/r) = q+1−α(−X/r), nors galejome naudoti ir q−α .Analogi²kai, galime skirtingai apibreºti ir TCE+

α ir TCE−α . Ta£iau, jau sutareme

naudoti TCEα(X) = TCE+α (X) = −E(X/r|X/r ≤ q+α (X/r)). Po tokiu diskusiju

gali kilti pagristas klausimas, ar nera dvieju decito vidurkiu apibreºimu? Pasirodo,kad ESα nuo kvantilio apibreºimo pasirinkimo nepriklauso, t.y. turime t¡ pati ESα

apibreºim¡. Tikimybiu teorijoje ºinomas toks teiginys:

2.13 teiginys . Tegu Y yra a.d. apibreºtas tikimybineje erdveje (Ω,F ,P) ir toks,kad EP|Y | <∞. Fiksuokime α ∈ (0, 1) ir apibreºkime funkcij¡ Hα,Y : R → [0,+∞)lygybe

Hα,Y (s) := αE(Y − s)+ + (1− α)E(Y − s)−.

Tuomet funkcija Hα,Y yra i²kila (todel ir tolydi), be to, lim|s|→∞Hα,Y (s) = ∞.Funkcij¡ Hα,Y minimizuoja reik²mes ir kompakti²ko intervaloMα,Y = [q−α (Y ), q+α (Y )].

Teiginyje apibreºt¡ funkcij¡ Hα,Y galime perra²yti ir taip:

Hα,Y (s) = αEY + α

(E(Y − s)−

α− s

)= αEY − α

(E(Y 1Y≤s)

α+ s

α− P(Y ≤ s)

α

).

Vadinasi, imdami Y = X/r ir s = −VaRα(X), gausime

ESα(X) =Hα,Y (s)− αEY

α=

1

αHα,Y (s)− EY.

I² tiesu, pagal ESα apibreºim¡ ir tokiam s, turime

ESα(X) = TCE+α (X) +

(1

αP(X/r ≤ s)− 1

)(TCE+

α (X) + s)

=1

αTCE+

α (X)P(X/r ≤ s) + s

(1

αP(X/r ≤ s)− 1

)= − 1

α

E((X/r)1X/r≤s

)+ s (α− P(X/r ≤ s))

.

(2.3)

Kadangi funkcijaHα,X/r(s) yra pastovi intervale s ∈ [q−α (X/r), q+α (X/r)], tai ESα(X)

nepriklauso nuo kvantilio pasirinkimo.Toliau irodysime, kad ESα yra suderintasis rizikos matas.

2.14 teiginys . Decito vidurkis ESα yra suderintasis rizikos matas bet kuriamα ∈ (0, 1).

Irodymas. Patikrinsime suderintojo mato aksiomas.

2.8 Decito vidurkis 47

M' aksioma. Tegu X ≤ 0. Parodysime, kad ESα(X) ≥ 0.26 Kadangi M' aksiom¡ aki-vaizdºiai tenkina rizikos matai VaRα ir TCEα, tai pagal ESα apibreºim¡ (pri-mename, kad λX = P(X/r ≤ −VaRα(X))/α ≥ 1)

ESα(X) = TCEα(X) + (λX − 1)(TCEα(X)− VaRα(X)) ≥ 0,

nes

TCEα(X) = E(−X/r|X/r ≤ −VaRα(X))

≥ E(VaRα(X)|X/r ≤ −VaRα(X)) = VaRα(X).

PH aksioma. Jei λ > 0, tai TCEα(λX) = λTCEα(X), nes VaRα(λX) = λVaRα(X). Vadi-nasi, ir ESα(λX) = λESα(X).

T aksioma. Jei a ∈ R, tai ESα(X+ar) = ESα(X)−a, nes TCEα(X+ar) = TCEα(X)−a(isitikinkite!).

S aksioma. Tegu X,Y ∈ G. Parodysime, kad ESα(X+Y ) ≤ ESα(X)+ESα(Y ). Noredamisupaprastinti ºymejimus, apibreºkime

1(α)X≤x =

1X≤x, jei P(X = x) = 0;1X≤x +

α−P(X≤x)P(X=x)

1X=x, jei P(X = x) > 0.

Tuomet k¡ tik apibreºtoji pakoreguota indikatorine funkcija pasiºymi tokiomissavybemis:

(i) 1(α)

X≤q−α (X) ∈ [0, 1];

(ii) E(1(α)

X≤q−α (X)

)= α;

(iii) E(X1

(α)

X≤q−α (X)

)= E

(X1X≤q−α (X)

)+ q−α (X) (α− P(X ≤ q−α (X))).

I² tiesu, prisimin¦ apatinio kvantilio apibreºim¡ ir pasinaudoj¦ pasiskirstymofunkcijos tolydumu i² de²ines gauname, kad P(X ≤ q−α (X)) ≥ α, t.y. pako-reguota indikatorine funkcija nevir²ija iprastos indikatorines funkcijos, kai x =q−α (X). Todel 1(α)

X≤q−α (X) ≤ 1. Kita vertus, jos reik²me galetu kristi ºemiaunulio tik tokiems ω ∈ Ω, kuriems X(ω) = q−α (X). Bet ir tokiems ω turime

1(α)

X≤q−α (X)(ω) = 1 +α− P(X ≤ q−α (X))

P(X = q−α (X))=α− P(X < q−α (X))

P(X = q−α (X))≥ 0.

Taigi patikrinome (i) savyb¦.

26Nors M' aksioma i² paºiuros silpnesne uº M aksiom¡, ankstesnio skyrelio gale esantis pratimasrodo, kad suderintuju rizikos matu aksiomu rinkiniai gaunami ekvivalentus, t.y. jei vietoje Maksiomos reikalausime tik M', vis tiek gausime t¡ pa£i¡ suderintuju matu klas¦.


Prisimin¦ bendr¡ji α-lygmens kvantilio apibreºim¡, turime P(X < q−α (X)) ≤α ≤ P(X ≤ q−α (X)), todel, jei P(X = q−α (X)) = 0, tai (ii) savybe akivaizdi.Kita vertus, jei P(X = q−α (X)) > 0, tai

E(1(α)

X≤q−α (X)) = P(X ≤ q−α (X)) +α− P(X ≤ q−α (X))

P(X = q−α (X))P(X = q−α (X)) = α,

t.y. (ii) savybe teisinga ir ²iuo atveju. Analogi²kai i²nagrinej¦ du atvejus,isitikiname ir (iii) savybes tikrumu.

Pasinaudoj¦ pakoreguotos indikatorines funkcijos (iii) savybe ir (2.3) i²rai²ka(imdami s = q−α (X)), galime uºra²yti:

ESα(X) = − 1

αE((X/r)1

(α)

X/r≤q−α (X/r)

)= − 1

αrE(X1

(α)

X≤q−α (X)

). (2.4)

Todel S aksioma bus patikrinta, jei parodysime, kad

− αr (ESα(X + Y )− ESα(X)− ESα(Y ))

= E((X + Y )1

(α)

X+Y≤q−α (X+Y ) −X1(α)

X≤q−α (X) − Y 1(α)

Y≤q−α (Y )

)= E

(X[1(α)

X+Y≤q−α (X+Y ) − 1(α)

X≤q−α (X)

])+ E

(Y[1(α)

X+Y≤q−α (X+Y ) − 1(α)

Y≤q−α (Y )

])≥ 0.

O tam pakaks isitikinti, kad kiekvienas i² pastaruju vidurkiu yra neneigiamas.Aib¦ Ω suskaidykime i nesikertan£ius poaibius Ai(Z), £ia Z = X arba Y , oi = 1, 2, 3:

Ω = A1(Z) ∪ A2(Z) ∪ A3(Z)

= ω : Z(ω) > q−α (Z) ∪ ω : Z(ω) < q−α (Z) ∪ ω : Z(ω) = q−α (Z).

Tuomet, paºymej¦

V =ω :X(ω)

[1(α)

X+Y≤q−α (X+Y )(ω)− 1(α)

X≤q−α (X)(ω)]

≥ q−α (X)[1(α)

X+Y≤q−α (X+Y )(ω)− 1(α)

X≤q−α (X)(ω)]

,

gausime

(a) jei ω ∈ A1(X), tai ω ∈ V , nes 1(α)

X≤q−α (X)(ω) = 0;

(b) jei ω ∈ A2(X), tai ω ∈ V , nes 1(α)

X≤q−α (X)(ω) = 1;

(c) jei ω ∈ A3(X), tai ω ∈ V , nes X(ω) = q−α (X).

Vadinasi,

E(X[1(α)

X+Y≤q−α (X+Y ) − 1(α)

X≤q−α (X)

])≥ q−α (X)E

(1(α)

X+Y≤q−α (X+Y ) − 1(α)

X≤q−α (X)

)= q−α (X)(α− α) = 0,

2.9 Decito vidurkio reprezentacija 49

£ia pasinaudojome pakoreguotos indikatorines funkcijos (ii) savybe. Analogi²kaisamprotaujame ir a.d. Y atveju. Vadinasi, S aksioma taip pat galioja rizikosmatui ESα.

2.9 Decito vidurkio reprezentacija

iame skyrelyje irodysime dar vien¡ nauding¡ decito vidurkio i²rai²k¡, tik tamprireiks nagrineti tolygiai intervale [0, 1] pasiskirs£iusi atsitiktini dydi, kurio baig-tineje busenu aibeje apibreºti negalime. Todel i² pradºiu praplesime tikimybin¦erdv¦.27

Tegu Ω1 = Ω × [0, 1], F1 = F ⊗ B([0, 1]) = σA × B,A ∈ F , B ∈ B([0, 1]),£ia B([0, 1]) ºymi intervalo [0, 1] Borelio σ-algebr¡. Kitaip tariant, F1 yra maºiausiaσ-algebra, generuota aibiu A × B, kai A ∈ F , B ∈ B([0, 1]). Taip pat nagrinekimetikimybini mat¡ P1, kuris aibems A×B apibreºiamas taip:

P1(A×B) = P(A) · λ(B),

£ia λ yra Lebego matas intervale [0, 1]. Kitoms σ-algebros F1 aibems, mat¡ P1

apibreºiame taip, kaip tai daroma mato teorijoje.Visas rizikas X ∈ G galime sutapatinti su rizikomis X, apibreºiant jas taip:

X(ω, x) = X(ω), (ω, x) ∈ Ω× [0, 1] = Ω1.

Tuomet funkcija U(ω, x) = x ir bus reikiamas tolygiai intervale [0, 1] pasiskirst¦sa.dydis, nepriklausomas nuo visu riziku X. I² tiesu, jei Cj ∈ B(R), j = 1, 2, tai

(ω, x) : X(ω, x) ∈ C1 = ω : X(ω) ∈ C1 × [0, 1],

(ω, x) : U(ω, x) ∈ C2 = Ω× (C2 ∩ [0, 1]),

todel

(ω, x) : X(ω, x) ∈ C1,U(ω, x) ∈ C2= (ω : X(ω) ∈ C1 × [0, 1]) ∩ (Ω× (C2 ∩ [0, 1]))

= X ∈ C1 × (C2 ∩ [0, 1]).

Vadinasi,

P1(X ∈ C1, U ∈ C2) = P1(X ∈ C1 × (C2 ∩ [0, 1]))

= P(X ∈ C1) · λ(C2 ∩ [0, 1]) = P1(X ∈ C1) · P1(U ∈ C2).

Aproksimuodami σ-algebros F1 aibes aibiu i² F ir B([0, 1]) Dekarto sandaugomis irju kombinacijomis (baigtinemis ar skai£iomis sankirtomis, s¡jungomis, papildiniais),gausime analogi²k¡ rezultat¡.

Dabar jau galime irodyti toki teigini:27is prapletimas yra atliekamas standartiniu metodu, kaip tai daroma mato teorijoje. inantys,

kaip t¡ daryti, prapletimo apra²ym¡ gali praleisti.


2.15 teiginys . Jei r yra nerizikingo vertybinio popieriaus kaina momentu t = 1,α ∈ (0, 1), o X yra atsitiktinis dydis erdveje (Ω,F ,P),28 tai

ESα(X) = − 1

α

ˆ α

0

q−u (X/r)du.

Irodymas. Nemaºindami bendrumo tarkime, kad r = 1. (Prie²ingu atveju visus Xºemiau keistume i X/r.) Jei reikia, prapleskime tikimybin¦ erdv¦, kad joje galetumenagrineti tolygiai intervale [0, 1] pasiskirs£iusi dydi U . Apibreºkime atsitiktini dydiZ = q−U (X). Tuomet Z ir X skirstiniai sutampa. I² tiesu,

P1(Z ≤ x) = P1(q−U (X) ≤ x) = P(X ≤ x),

nes galime uºra²yti (ω, z) : q−U(ω,z)(X) ≤ x = Ω × z : q−z (X) ≤ x, o tadaλ(z : q−z (X) ≤ x) = P(X ≤ x).

Kadangi funkcija u 7→ q−u (X) yra nemaºejanti, tai

U ≤ α ⊂ Z ≤ q−α (X) ir U > α ∩ Z ≤ q−α (X) ⊂ Z = q−α (X).

Vadinasi,ˆ α

0

q−u (X)du = EP1

(Z1U≤α

)= EP1

(Z1Z≤q−α (X)

)− EP1

(Z1U>α∩Z≤q−α (X)

)= EP

(X1X≤q−α (X)

)− q−α (X)P1(U > α ∩ Z ≤ q−α (X))

= EP

(X1X≤q−α (X)

)+ q−α (X)(α− P(X ≤ q−α (X))),

(2.5)

nes

Z ≤ qα(X) =(Z ≤ q−α (X) ∩ U ≤ α

)⊔(Z ≤ q−α (X) ∩ U > α

)£ia ⊔ rei²kia nesikertan£iu aibiu s¡jung¡, ir

P1(U > α ∩ Z ≤ q−α (X)) = P1(Z ≤ q−α (X))− P1(U ≤ α)

= P(X ≤ q−α (X))− α.

Padalij¦ abi (2.5) lygybes puses i² −α ir pasinaudoj¦ (2.3) (velgi turedami omeny,kad r = 1), gauname norim¡ rezultat¡.

2.16 i²vada . Jei X yra atsitiktine rizika (tokia, kad Emax−X, 0 < +∞, jei Ωyra begaline aibe), tai atvaizdis α 7→ ESα(X) yra tolydus intervale (0, 1).

Irodymas. Remiantis auk²£iau irodytu teiginiu, nagrinejamas atvaizdis yra tolydºiuatvaizdºiu santykis, kurio vardiklis nevirsta nuliu intervale (0, 1), todel ²is santykisyra tolydi funkcija.

28Jei Ω butu begaline, reiketu pareikalauti, kad Emax−X, 0 < +∞.

2.10 Spektriniai rizikos matai 51

Galime parodyti dar daugiau:

2.17 teiginys . Jei X yra atsitiktine rizika (tokia, kad Emax−X, 0 < +∞, jeiΩ yra begaline aibe) ir α ∈ (0, 1), tai su bet kuriuo ε ∈ (0, 1 − α) teisinga nelygybeESα+ε(X) ≤ ESα(X).

Irodymas. Prisimin¦ (2.4) i²rai²k¡, galime uºra²yti:

ESα+ε(X)− ESα(X) =−1

(α+ ε)rE(X1

(α+ε)

X≤q−α+ε(X)

)+

1

αrE(X1

(α)

X≤q−α (X)

)=

−1

α(α+ ε)rE(X(α1

(α+ε)

X≤q−α+ε(X) − (α+ ε)1(α)

X≤q−α (X)

))≤ −1

α(α+ ε)rE(q−α (X)

(α1

(α+ε)

X≤q−α+ε(X) − (α+ ε)1(α)

X≤q−α (X)

))=

−q−α (X)

α(α+ ε)r(α(α+ ε)− (α+ ε)α) = 0.

2.10 Spektriniai rizikos matai

iame skyrelyje remsimes C. Acerbi straipsniu [1] ir nagrinesime decito vidurkioapibendrinimus ir nauj¡ bud¡, kaip i² turimu suderintuju rizikos matu gauti nauju.Pradesime nuo elementaraus teiginio.

2.18 teiginys . Tegu ρi, i = 1, . . . , n, yra suderintieji rizikos matai. Tuomet betkuri i²kila ju kombinacija

ρ(·) =n∑

i=1

αiρi(·), αi > 0,n∑

i=1

α1 = 1,

yra suderintasis rizikos matas. Analogi²kai, jei ρβ, β ∈ [a, b], yra suderintuju rizikosmatu ²eima, o dµ(β) yra bet koks tikimybinis matas intervale [a, b], tai ρ(·) =´ b

aρβ(·)dµ(β) yra suderintasis rizikos matas.

Irodymas. Suderintuju rizikos matu aksiomas patikrinti siulome pa£iam skaitytojui.

Prisiminkime 2.15 teigini, pagal kuri

ESα(X) = − 1

α

ˆ α

0

q−α (X/r)du, jei α ∈ (0, 1).

Kai α = 0, galime apibreºti ES0(X) := −ess.inf(X/r) = − supb : P(X < br) = 0,t.y. nuostoli del paties blogiausio scenarijaus.


Tegu ν yra teigiamas σ-baigtinis (ne tikimybinis) matas intervale [0, 1]. Tuometi² 2.18 teiginio ir FubinioTonelio teoremos gausime, kad matas

Mν(X) :=

ˆ 1

0

αESα(X)ν(dα) = −ˆ 1

0

(ˆ α

0

q−u (X/r)du

)ν(dα)

= −ˆ 1

0

ν([u, 1])q−u (X/r)du = −ˆ 1

0

q−u (X/r)f(u)du ≡Mf (X)

(2.6)

yra suderintasis rizikos matas, jei´ 1

0αν(dα) = 1, t.y. µ(dα) = αν(dα) yra tikimy-

binis matas. Funkcija f(u) = ν([u, 1]) =´ 1

uν(dα) vadinama rizikos spektru. Ji yra

nedidejanti ir neneigiama. Pastebesime, kad Mf (X) apibreºime matas µ gali turetiatom¡ ta²ke u = 0 (kitaip tariant, matui ν singuliari¡ komponent¦), t.y. galimanagrineti ir tokius matus µ = cδ0 + (1 − c)µ (µ(A) = c1A(0) + (1 − c)

Áαν(dα),

A ∈ B([0, 1])), kuriems µ(0) = c > 0, tuomet f(u) = cδ0(u) + (1− c)f(u) (£ia δ0ºymi Dirako δ-funkcij¡ ta²ke α = 0), o q−0 (X/r) = −ES0(X). Ta£iau del papras-tumo, Dirako δ-funkciju nenagrinesime. S¡lyg¡, jog µ yra tikimybinis matas, galimaperra²yti rizikos spektrui f(u):

1 =

ˆ 1

0

αν(dα) =

ˆ 1

0

(ˆ α

0

du

)ν(dα) =

ˆ 1

0

(ˆ 1

u

ν(dα)

)du =

ˆ 1

0

f(u)du,

t.y. rizikos spektras turi buti tikimybinio mato tankis.Taigi i² neneigiamo mato ν, kuri padaugin¦ i² funkcijos g(α) = α gauname

tikimybini mat¡ intervale [0, 1], sukonstravome nedidejanti neneigiam¡ rizikos spek-tr¡ f(u), kuris gali buti panaudotas naujam suderintam rizikos matui Mν apibreºti.Ir atvirk²£iai, kiekviena nedidejanti neneigiama funkcija ϕ : [0, 1] → R+ ir tokia,kad ||ϕ||L1([0,1]) = 1 apibreºia suderint¡ji rizikos mat¡ Mϕ, o atitinkamas tikimybinismatas yra ν(A) := −

Ádϕ(u), A ∈ B([0, 1]).

Atidºiau paºvelg¦ i (2.6), matome, kad rizikos matas Mf i² tiesu priklauso tiknuo funkcijos f ekvivalentumo klases [f ] Banacho erdveje L1([0, 1]), t.y. pakeit¦f(u) reik²mes nulinio Lebego mato aibeje, gausime t¡ pati rizikos mat¡ Mf . Bet £iasusiduriame su problema, nes neºinome, k¡ rei²kia s¡vokos nedidejanti, neneigiamaintegruojamu funkciju klasiu aibeje. Pata²kinis lyginimas £ia beprasmis. Todelreikes nauju apibreºimu.

2.8 apibreºimas . Sakysime, kad funkciju ekvivalentumo klase [f ] i² L1([0, 1]),kuriai priklauso funkcija f , yra neneigiama, jei bet kuriam intervalui I ⊂ [0, 1]teisinga nelygybe: ˆ

I

f(u)du ≥ 0.

Taip pat sakysime, kad [f ] ∈ L1([0, 1]) yra nedidejanti, jei bet kuriam q ∈ (0, 1) irbet kuriam ε > 0 tokiems, kad [q − ε, q + ε] ⊂ [0, 1], teisinga nelygybe:

ˆ q

q−ε

f(u)du ≥ˆ q+ε

q

f(u)du.


Toliau pravers dar viena s¡voka:

2.9 apibreºimas . Ekvivalentumo klase [f ] ∈ L1([0, 1]) yra leistinasis rizikos spek-tras, jei

1. [f ] yra neneigiama;

2. [f ] yra nedidejanti;

3. ||f ||L1([0,1]) = 1.

Irodysime toki¡ teorem¡:

2.19 teorema . Tegu r yra nerizikingo vertybinio popieriaus kaina momentu t = 1,[f ] ∈ L1([0, 1]) ir

Mf (X) = −ˆ 1

0

f(u)q−u (X/r)du, X ∈ G,

£ia G kaip ir anks£iau ºymi aib¦ visu riziku X tikimybineje erdveje (Ω,F ,P). Tuomet[f ] yra leistinasis rizikos spektras tada ir tik tada, kai rizikos matas Mf yra suder-intasis, kad ir koki¡ tikimybin¦ erdv¦ (Ω,F ,P) nagrinetume.

Teoremos irodymui reikes tokio teiginio

2.20 teiginys . Jei ekvivalentumo klases [f ] ∈ L1([a, b]) atstove funkcija f tenkinas¡lygas:

(i) Bet kuriam intervalui I ⊂ [0, 1] teisinga nelygybeÍf(u)du ≥ 0;

(ii) Bet kuriam q ∈ (0, 1] ir bet kuriam ε > 0 tokiam, kad [q − ε, q + ε] ⊂ [0, 1],teisinga nelygybe ˆ q

q−ε

f(u)du ≥ˆ q+ε

q

f(u)du,

tai i² funkcijos f ekvivalentumo klases [f ] galime i²rinkti funkcij¡, kuri butu visurneneigiama ir nedidejanti.

Irodymas. Jei q ∈ (0, 1) yra funkcijos f Lebego ta²kas, tai, pasinaudoj¦ (i) savybe,bet kuriam ε ∈ (0,minq, 1− q) gausime

1

2ε

ˆ q+ε

q−ε

f(u)du ≥ 0.

Vadinasi, ir perejus prie ribos, kai ε ↓ 0, nelygybe liks galioti, t.y.

f(q) = limε↓0

1

2ε

ˆ q+ε

q−ε

f(u)du ≥ 0.


Jei q nera funkcijos f Lebego ta²kas (tokiu pagal Lebego diferencijavimo teorem¡yra tik nulinio Lebego mato aibe), arba q = 1, tuomet funkcijos f reik²m¦ f(q)kei£iame29 i didºiausi¡ esmini apatini funkcijos f reºi, t.y.

f(q) := ess.infp∈[0,q]f(p) = supb : λx ∈ [0, q] : f(x) < b = 0, (2.7)

£ia λ yra Lebego matas. Analogi²kai, jei x = 0, nera funkcijos f Lebego ta²kas,tuomet f(0) kei£iame i

f(0) = ess.supp∈[0,1]f(p) = infb : λx ∈ [0, 1] : f(x) > b = 0.

Kadangi f(x) < 0 gali buti tik, kai x nera funkcijos f Lebego ta²kas, ir tokiu ta²kuaibes Lebego matas lygus nuliui, tai f(q) ≥ 0.

Noredami parodyti, kad egzistuoja nedidejanti funkcijos f modikacija, i² pradºiuparodykime, kad f(p) ≥ f(q), jei 0 ≤ p < q ≤ 1 ir abu ta²kai p ir q yra Lebego ta²kai.I² tiesu, tuomet pagal Lebego ta²ko apibreºim¡ (ºr. Lebego diferencijavimo teo-rem¡), bet kuriam δ > 0 egzistuoja ε0,p ∈ (0,minp, 1−p) ir ε0,q ∈ (0,minq, 1−q)tokie, kad∣∣∣∣ 12ε

ˆ p+ε

p−ε

f(u)du− f(p)

∣∣∣∣ < δ ir∣∣∣∣ 12εˆ q+ε

q−ε

f(u)du− f(q)

∣∣∣∣ < δ,

jei tik ε ∈ (0,minε0,p, ε0,q). Nagrinekime n ∈ N tokius, kad n ≥[

q−pminε0,p,ε0,q

]+1.

Tuomet, pasinaudoj¦ (ii) savybe ir imdami ε = (q − p)/n, gausime

f(p) + δ >n

2(q − p)

(ˆ p

p−(q−p)/n

f(u)du+

ˆ p+(q−p)/n

p

f(u)du

)

≥ n

2(q − p)

(ˆ p+(q−p)/n

p

f(u)du+

ˆ p+2(q−p)/n

p+(q−p)/n

f(u)du

)· · ·

≥ n

2(q − p)

(ˆ q

q−(q−p)/n

f(u)du+

ˆ q+(q−p)/n

q

f(u)du

)> f(q)− δ.

Vadinasi, f(p) + 2δ > f(q). Kadangi δ buvo pasirinktas laisvai, perej¦ prie ribos,kai δ ↓ 0, gausime f(p) ≥ f(q). Jei kuris nors ta²kas p arba q nera Lebego ta²kas,tuomet gelbsti pasirinktoji modikacija f (ºr. (2.7)). I² tiesu, jei p nera Lebegota²kas ir q nera Lebego ta²kas, tai f(p) ≥ f(q), kai p < q, nes bet kuriam b ∈ Ri² lygybes λ(x ∈ [0, q] : f(x) < b) = 0 i²plaukia λ(x ∈ [0, p] : f(x) < b) = 0, irf(p) apibreºiantis supremumas renkamas i² (galbut) didesnes aibes nei tos, kuriossupremumas apibreºia f(q). Jei p nera Lebego ta²kas, o q yra Lebego ta²kas, tainelygybe f(p) ≥ f(q) taip pat galioja. Jei butu prie²ingai, t.y. f(p) < f(q), tuomet

29ia pakako f(q) pakeisti i f(q) = 0. Pasirinkta modikacija pravers irodant antr¡j¡ savyb¦.


ωi P(ωi) xi yiω1 q1 x1 x1ω2 q2 − q1 x2 x2 + aω3 1− q2 x3 x3

2.2 lentele. Atsitiktiniu dydºiu X ir Y skirstiniai; £ia x1 < x2 < x3, xi ∈ R,a ∈ (0, x3 − x2).

u q−u (X) q−u (Y )u ∈ (0, q1] x1 y1u ∈ (q1, q2] x2 y2u ∈ (q2, 1] x3 y3

2.3 lentele. Apatiniu kvantiliu funkciju q−u (X) ir q−u (Y ), kai u ∈ (0, 1], reik²mes.

bet kuriam c ∈ (f(p), f(q)) galiotu nelygybe λ(x ∈ [0, p] : f(x) < c) > 0, betvisiems funkcijos f Lebego ta²kams y i² intervalo [0, p] (o ju aibe intervale [0, p] yratir²ta) turime f(y) ≥ f(q) > c, o tai rei²kia, kad λ(x ∈ [0, p] : f(x) < c) = 0.Prie²tara. Analogi²kai samprotaujame, jei p yra f Lebego ta²kas, o q nera f Lebegota²kas. Jei negaliotu nelygybe f(p) ≥ f(q), t.y. turetume f(p) < f(q), tai egzistuotub0 ∈ (f(p), f(q)) toks, kad λ(x ∈ [0, q] : f(x) < b0) = 0, bet kiekvienam f Lebegota²kui y i² intervalo [p, q] galioja f(y) ≤ f(p) < b0, o tai rei²kia λ(x ∈ [0, q] : f(x) <b0) ≥ q − p > 0. Vel gavome prie²tar¡.

Taigi modikuotoji funkcija

f(x) =

f(x), jei x yra f Lebego ta²kas i² intervalo [0, 1];ess.infp∈[0,q]f(p), jei x nera f Lebego ta²kas i² intervalo [0, 1],

ir yra ie²kota neneigiama ir nedidejanti funkcija i² funkcijos f ekvivalentumo klases[f ].

Irodymas. (2.19 teoremos) (Butinumas) Remdamiesi 2.20 teiginiu, i² ekvivalentumoklases [f ] i²renkame neneigiam¡ ir nedidejan£i¡ funkcij¡ f , kuriai galioja ||f ||L1([0,1]) =1, todel i² ankstesniu samprotavimu gauname, kad rizikos matas Mf =Mf yra sud-erintasis, nepriklausomai nuo nagrinejamos tikimybines erdves (Ω,F ,P).

(Pakankamumas) Nemaºindami bendrumo tarkime, kad r = 1. (Prie²ingu atvejuvisus X, Y ir Z ºemiau keistume i X/r, Y/r ir Z/r.) Tegu rizikos matas Mf (X) =

−´ 1

0q−u (X)f(u)du, X ∈ G, yra suderintasis. Parodysime, kad [f ] yra leistinasis

rizikos spektras. Tarkime prie²ingai. Jei negalioja 2.9 apibreºimo 1 s¡lyga, tuometegzistuoja intervalas I = [q1, q2] ⊂ (0, 1), kad

Íf(u)du < 0. Nagrinekime du a.d.

X ir Y , apibreºtus tikimybineje erdveje (Ω,F ,P) tokioje, kad ω1, ω2, ω3 = Ω.Tarsime, kad X ≤ Y , o ²iu a.dydºiu skirstiniai pavaizduoti 2.2 lenteleje. Nesunkurasti apatiniu kvantiliu funkciju q−u (X) ir q−u (Y ), u ∈ (0, 1], reik²mes. Jos sura²ytosi 2.3 lentel¦. Tokioms rizikoms gauname

Mf (Y )−Mf (X) = −ˆ 1

0

f(u)(q−u (Y )− q−u (X)

)du = −a

Î

f(u)du > 0.


ωi P(ωi) xi yi ziω1 q − ε x1 y1 x1 + y1 = z1ω2 ε x2 y3 x2 + y3 = z2ω3 ε x3 y2 x3 + y2 = z3ω4 1− q − ε x4 y4 x4 + y4 = z4

2.4 lentele. Atsitiktiniu dydºiu X, Y ir Z skirstiniai; £ia x1 < x2 < x3 < x4,y1 < y2 < y3 < y4 ir x2 + y3 < x3 + y2.

u q−u (X) q−u (Y ) q−u (Z)u ∈ (0, q − ε] ≡ I1 x1 y1 z1u ∈ (q − ε, q] ≡ I2 x2 y2 z2u ∈ (q, q + ε] ≡ I3 x3 y3 z3u ∈ (q + ε, 1] ≡ I4 x4 y4 z4

2.5 lentele. Apatiniu kvantiliu funkciju q−u (X), q−u (Y ) ir q−u (Z), kai u ∈ (0, 1],reik²mes.

Gavome prie²tar¡ suderintojo mato Mf M aksiomai.Toliau parodysime, kad turi galioti ir 2.9 apibreºimo 2 s¡lyga. Tarkime prie²ingai,

t.y. tegu egzistuoja q ∈ (0, 1) ir ε > 0 toks, kad [q − ε, q + ε] ⊂ (0, 1) irˆ q

q−ε

f(u)du <

ˆ q+ε

q

f(u)du.

ikart nagrinekime tris atsitiktinius dydºius X, Y ir Z = X + Y , apibreºtus kiekdidesneje tikimybineje erdveje, kurioje Ω = ω1, ω2, ω3, ω4. Atsitiktiniu dydºiuX, Y ir Z skirstinius sura²ome i 2.4 lentel¦. Reik²mes Y (ω2) = y3 ir Y (ω3) = y2parinktos specialiai tokia tvarka. Velgi nesunkiai apskai£iuojame apatiniu kvantiliufunkciju reik²mes, kurias sura²ome i 2.5 lentel¦. Dabar

Mf (Z)−Mf (X)−Mf (Y ) = −ˆ 1

0

f(u)(q−u (Z)− q−u (X)− q−u (Y )

)du

= −4∑

j=1

Îj

f(u)(zj − xj − yj

)du

= −(y3 − y2)

(Î2

f(u)du−Î3

f(u)du

)> 0,

bet tai prie²tarauja suderintojo mato Mf S aksiomai.Irodym¡ baigsime parodydami, kad ||f ||L1([0,1]) = 1. Tegu X yra bet kokia

atsitiktine rizika, o a ∈ R. Tuomet ºinome, kad q−u (X + a) = q−u (X) + a, todel i²suderintojo mato T aksiomos gausime

Mf (X + a) = −ˆ 1

0

f(u)q−u (X + a)du =Mf (X)− a

ˆ 1

0

f(u)du =Mf (X)− a

tada ir tik tada, kai´ 1

0f(u)du = 1.

2.11 Kai kurie suderintuju rizikos matu apibendrinimai 57

2.11 Kai kurie suderintuju rizikos matu apibendrin-

imai

2.11.1 I²kilieji rizikos matai

Kaip teigia H. Föllmer'is ir A. Schied'as, kuriu straipsnio [10] pagrindu para²ytas²is skyrelis, praktikoje pasitaikan£ioms investiciju pozicijoms daºnai negalioja PHaksioma, kurios reikalavome i² suderintuju rizikos matu. Tai ypa£ pasakytina apiedideles pozicijas, kuriu likvidavimo ka²tai nebutinai proporcingi pozicijos dydºiui,t.y. norit likviduoti didesn¦ pozicij¡ gali tekti pakloti daugiau, nei norint likviduotimaº¡, ir ²i priklausomybe daºnai buna netiesine. Todel galima meginti atsisakytiPH ir S aksiomu, jas su²velninant ir itraukiant nauj¡, silpnesn¦ C aksiom¡:

C (I²kilumo aksioma)30 Rizikos matas ρ tenkina nelygyb¦

ρ(λX + (1− λ)Y ) ≤ λρ(X) + (1− λ)ρ(Y ), bet kuriam λ ∈ [0, 1].

C aksiomos esme diversikuotos pozicijos λX + (1− λ)Y rizika, ivertinta matu ρ,yra nedidesne uº atskiru poziciju X ir Y svorini riziku vidurki.

2.10 apibreºimas . Atvaizdi ρ : G → R vadinsime i²kiluoju rizikos matu, jei jistenkina C, M ir T aksiomas; £ia kaip ir anks£iau G ºymi visu riziku (t.y. a.dydºiu)erdveje (Ω,F ,P) aib¦.

2.12 pastaba . Akivaizdu, kad kiekvienas suderintasis rizikos matas yra i²kilas, betatvirk²£ias teiginys bendruoju atveju neteisingas.

Jei i²kilas rizikos matas ρ yra toks, kad ρ(0) = 0, tai mato ρ reik²m¦ galime inter-pretuoti kaip minimalu kapital¡, kuri investavimo periodo pradºioje reikia investuotii neriziking¡ instrument¡, kad papildytoji pozicija taptu priimtina.

Kaip ir suderintuosius rizikos matus, taip ir i²kiluosius charakterizuosime priimtinupoziciju aibemis

Aρ = X ∈ G|ρ(X) ≤ 0.

Ir atvirk²£iai, tam tikras aksiomas tenkinanti priimtinu poziciju aibe apibudinsi²kil¡ji rizikos mat¡

ρA(X) = infm ∈ R|mr +X ∈ A, (2.8)

£ia, kaip ir anks£iau, r yra nerizikingo investicinio instrumento kaina momentu t = 1.

2.21 teiginys . Tegu ρ yra i²kilas rizikos matas, o Aρ yra ji atitinkanti priimtinupoziciju aibe. Tuomet ρAρ = ρ. Be to, A := Aρ tenkina tokias savybes:

1. Aibe A yra i²kila ir netu²£ia.

2. Jei X ∈ A ir Y ∈ G tenkina Y ≥ X, tai Y ∈ A.

30T¦sdami tradicij¡, aksiom¡ ºymime pirm¡ja angli²ko ºodºio convexity (i²kilumas) raide.


3. Jei X ∈ A ir Y ∈ G, tai

λ ∈ [0, 1]|λX + (1− λ)Y ∈ A

yra uºdaras intervalo [0, 1] poaibis.

Irodymas. Noredami irodyti, kad ρAρ(X) = ρ(X) visiems X ∈ G, pasinaudokime Taksioma:

ρAρ(X) = infm ∈ R|mr +X ∈ Aρ = infm ∈ R|ρ(mr +X) ≤ 0= infm ∈ R|ρ(X) ≤ m = ρ(X).

Pirmosios dvi aibes A savybes yra akivaizdºios (jas patikrinti paliekame skaitytojui).Noredami irodyti tre£i¡j¡, pastebekime, kad funkcija λ 7→ ρ(λX+(1−λ)Y ) budamai²kila yra tolydi, be to, ji igyja tik baigtines reik²mes. Vadinasi, aibe tu λ ∈ [0, 1],kurioms ρ(λX + (1− λ)Y ) ≤ 0 yra uºdara.

2.3 pavyzdys . Vertes rizikos matas VaRα nera i²kilas rizikos matas, nes ji atitinkantipriimtinu riziku aibe nera i²kila.

2.22 teiginys . Tarkime, kad A yra i²kilas ir netu²£ias visu riziku aibes G poaibis,tenkinantis 2.21 teiginio 2 s¡lyg¡. Tegu ρA yra rizikos matas, atitinkantis aib¦ A irapibreºtas (2.8) lygybe. Jei ρA(0) > −∞, tai

1. ρA yra i²kilas rizikos matas.

2. Aibe A yra AρA poaibis. Be to, jei A tenkina 2.21 teiginio 3 s¡lyg¡, tai A =AρA.

Irodymas. (1 dalis) T ir M aksiomu tikrinim¡ (jis tiesmuki²kas ir tikrai nesudetingas)paliekame skaitytojui. Toliau patikrinkime, ar matas ρA visada baigtinis. Fik-suokime Y ∈ A = ∅. Jei duotas X ∈ G, tai egzistuoja m toks, kad X +mr > Y ,nes tiek X, tiek Y yra apreºti (galimu reik²miu skai£ius yra baigtinis, nes tokia yraΩ). Pasinaudoj¦ M ir T aksiomomis, i² nelygybes ρA(Y ) ≤ 0 gausime ρA(X) ≤ m,t.y. reik²me ρA(X) yra apreºta i² vir²aus.

Parink¦ m′ ∈ R toki, kad X +m′r ≤ 0, vel pasinaudoj¦ M ir T aksiomomis beiteiginio prielaida, gausime

ρA(X) ≥ ρA(0) +m′ > −∞.

Liko parodyti, kad matas ρA tenkina C aksiom¡. TeguXi ∈ G irmi ∈ R, i = 1, 2,yra tokie, kad mir+Xi ∈ A. Jei λ ∈ [0, 1], tai i² aibes A i²kilumo savybes i²plaukia

λ(m1r +X1) + (1− λ)(m2r +X2) ∈ A.

Vadinasi, pasinaudoj¦ mato ρA tenkinama T aksioma, gausime

0 ≥ ρA(λ(m1r +X1) + (1− λ)(m2r +X2))

= ρA((λX1 + (1− λ)X2) + (λm1 + (1− λ)m2)r)

= ρA(λX1 + (1− λ)X2)− (λm1 + (1− λ)m2).


Beliko parinkti mi ∈ (ρA(Xi), ρA(Xi) + ε), i = 1, 2, ir paleisti ε ↓ 0.(2 dalis) Idetis A ⊂ AρA yra akivaizdi. Tarkime, aibe A tenkina 2.21 teiginio 3

savyb¦. Parodysime, kad jei X /∈ A, tai ρA(X) > 0. Tegu m > ρA(0). Pasinaudoj¦2.21 teiginio 3 savybe, gausime, kad uºdaram intervalo [0, 1] poaibiui

λ ∈ [0, 1]|λmr + (1− λ)X ∈ A

nepriklauso ta²kas λ = 0, todel egzistuoja ε ∈ (0, 1) toks, kad εmr + (1− ε)X /∈ A.Todel

εm ≤ ρA((1− εX)) = ρA(ε0 + (1− ε)X)

≤ ερA(0) + (1− ε)ρA(X).

Vadinasi,

ρA(X) ≥ ε(m− ρA(0))

1− ε> 0,

todel 2 dalies irodymas baigtas.

Kaip ir suderintiems rizikos matams, taip ir i²kiliesiems rizikos matams teisingareprezentacijos teorema.31

2.23 teorema. Visu baigtineje tikimybineje erdveje (Ω,F ,P) apibreºtu riziku aibejeG apibreºtas rizikos matas ρ : G → R yra i²kilas tada ir tik tada, kai egzistuojatikimybiniu matu ²eima P ir baudos funkcija α : P → (−∞,+∞] tokios, kad

ρ(X) = supQ∈P

(EQ(−X/r)− α(Q)) . (2.9)

Baudos funkcija α tenkina nelygyb¦ α(Q) ≥ ρ(0) bet kuriam matui Q ∈ P. Ji galibuti parinkta i²kila ir pustolyde i² apa£ios.32

2.13 pastaba . Pastaroji teorema apibendrina pirm¡j¡ suderintuju matu i²rai²k¡. I²tiesu, rizikos matas, apibreºtas (2.9) lygybe, tenkins PH aksiom¡ tada ir tik tada,kai teoremos irodyme sukonstruota baudos funkcija α igis tik dvi reik²mes: 0 ir +∞.Tuomet suderintojo mato ρ pirmojoje i²rai²koje minima tikimybiniu matu ²eima Qbus

Q = Q ∈ P|α(Q) = 0.31ios teoremos bendresnis variantas begalinems busenu erdvems Ω [10] straipsnyje taip pat

pateikiamas; ºr. 6 teorem¡.32Topologineje erdveje S apibreºta funkcija f : S → R vadinama pustolyde i² vir²aus, jei bet

kuriam a ∈ R, f−1([a,+∞)) yra uºdara. Funkcija f vadinama pustolyde i² apa£ios, jei −f yrapustolyde i² vir²aus. Galima parodyti, kad f yra pustolyde i² vir²aus tada ir tik tada, kai betkuriam x ∈ S galioja nelygybe:

f(x) ≥ lim supy→x

f(y) := infsupf(y)|y ∈ U, y = x|x ∈ U,U atvira,

£ia susitarta, kad sup ∅ = +∞. Funkcija f yra tolydi tada ir tik tada, kai f yra pustolyde i² vir²ausir pustolyde i² apa£ios.


Irodymas. (Pakankamumas) i irodymo dalis nesunki: bet kuriam matui Q ∈ Pfunkcionalas

X 7→ EQ(−X/r)− α(Q)

yra i²kilas, monotoni²kas ir invarianti²kas postumio atºvilgiu (t.y. tenkina C, M irT aksiomas). Tos pa£ios savybes i²liks ir imant supremum¡.

(Butinumas) I² pradºiu pastebesime, kad jei

α(Q) := supX∈G

(EQ(−X/r)− ρ(X)) , (2.10)

taiα(Q) = sup

X∈Aρ

EQ(−X/r). (2.11)

Pastarosios lygybes de²ini¡j¡ pus¦ paºymekime α(Q). I² aibes Aρ apibreºimo i²-plaukia, kad α(Q) ≥ α(Q). Noredami irodyti atvirk²£i¡ nelygyb¦, imkime bet kokiX ∈ G ir prisiminkime, kad X ′ := ρ(X)r +X ∈ Aρ. Todel

α(Q) ≥ EQ(−X ′/r) = EQ(−X/r)− ρ(X).

Pastaroji nelygybe galioja visiems X ∈ G, vadinasi, ji galioja ir imant supremum¡.Taigi gauname α(Q) ≥ α(Q). Beje, kol kas niekur nepanaudojome prielaidos, kadΩ yra baigtine aibe.

Fiksuokime Y ∈ G ir nagrinekime (2.10) lygybe apibreºt¡ α(·). Tuomet aki-vaizdu, kad

ρ(Y ) ≥ supQ∈P

(EQ(−Y/r)− α(Q)) .

Kad irodytume atvirk²£i¡ nelygyb¦, imkime m ∈ R toki, kad

m > supQ∈P

(EQ(−Y/r)− α(Q)) .

Norime parodyti, kadm ≥ ρ(Y ), kas yra ekvivalentu teiginiuimr+Y ∈ Aρ. Tarkimeprie²ingai, t.y. tegumr+Y /∈ Aρ. Kadangi matas ρ yra i²kila funkcija aibeje G, kuri¡galime sutapatinti su euklidine erdve R|Ω|, ρ yra tolydi. Todel aibe X|ρ(X) ≤ 0yra i²kila ir uºdara, be to, nesikertanti su i²kila kompakti²ka vienta²ke aibe mr+Y .Todel pagal i²kiluju aibiu atskyrimo teorem¡ (ºr. A priedo 3.1 teorem¡) egzistuojanenulinis tiesinis tolydusis funkcionalas l : R|Ω| → R toks, kad

β := supX∈Aρ

l(X) < l(mr + Y ) := γ < +∞. (2.12)

Pastarasis funkcionalas l neneigiamoms funkcijoms priskiria neteigiamas reik²mes.I² tiesu, jei X ≥ 0, tai M aksioma duoda ρ(X) ≤ ρ(0). Be to, bet kuriam X ∈ Gtokiam, kad X ≥ 0 ir bet kuriam λ ≥ 1 teisinga nelygybe λX + rρ(0) ≥ X + rρ(0),tad, pasirem¦ M aksioma, gausime λX + rρ(0) ∈ Aρ. O todel ir

γ > l(λX + rρ(0)) = λl(X) + rρ(0)l(1Ω),


£ia 1Ω ≡ 1. Paleid¦ λ → +∞, isitikiname, kad pastaroji nelygybe galima tik,jei l(X) ≤ 0. Toliau nemaºindami bendrumo galime manyti, kad l(1Ω) = −1, irapibreºti

Q(A) := l(− 1A

)A ∈ F = 2Ω.

I² tiesu, jei l(1Ω) = c < 0, tai nagrinetume l = l/|c|, o jei l(1Ω) = 0, tai gautumel(X) ≡ 0 (Isitikinkite!33), o tai prie²tarautu nelygybei β < γ. Tuomet Q bus tikimy-binis matas, priklausantis nuo pasirinkto Y . Visu tokiu matu aib¦ paºymekime P .Pasinaudoj¦ (2.11) ir (2.12), gauname

α(Q) = supX∈Aρ

EQ(−X/r) = β,

bet EQ(−Y/r) − m = l(mr + Y ) = γ > β = α(Q). Prie²tara m pasirinkimui.Vadinasi, mr + Y ∈ Aρ ir todel m ≥ ρ(Y ).

2.4 pavyzdys . I²kilieji rizikos matai gali atsirasti analogi²kai kaip ir naudingumoteorijoje. Jei u : R → R yra didejanti, i²kila ir ne tapatingai lygi konstantai funkcija,tai rizikai X (kuri bendruoju atveju gali buti erdves L∞(Ω,F ,P) elementas, jeinagrinetume begalin¦ busenu aib¦ Ω) galime apibreºti tiketin¡ (laukiam¡) nuostoli

EPu(−X/r).

Jei funkcija u intervale (−∞, 0] yra tapatingai lygi nuliui, tai minet¡ji tiketin¡nuostoli galime interpretuoti kaip tam tikr¡ kiekybin¦ decito rizikos i²rai²k¡.

Tarkime, kad x0 yra funkcijos u reik²miu srities vidinis ta²kas. Tuomet galimenagrineti toki¡ priimtinu poziciju aib¦

A := X ∈ G|EPu(−X/r) ≤ x0.

Pastaroji aibe tenkina pirm¡sias dvi 2.21 teiginio s¡lygas ir todel apibreºia i²kil¡rizikos mat¡ ρ = ρA (ºr. 2.22 teigini).

Atskiru atveju, jei u(x) = ex ir x0 = 1, gausime

ρ(X) = infm ∈ R|EP

(e−m−X/r

)≤ 1= lnEPe

−X/r.

2.11.2 Skirstinio atºvilgiu invarianti²ki matai

Dar viena rizikos matu savybe, kuri reikalinga praktikoje, yra invarianti²kumas skirs-tinio atºvilgiu, t.y. rizikos matas ρ turetu tenkinti savyb¦

Xd= Y ⇒ ρ(X) = ρ(Y ).

Musu jau nagrineti decito vidurkis ir spektriniai rizikos matai pasiºymi invari-anti²kumu skirstinio atºvilgiu. Ta£iau ne visi suderintieji rizikos matai tokie yra.tai pavyzdys

ρ(X) = −EQ(X/r), Q ≪ P,Q = P,33Uºuomina pradekite nuo ma£iu aibiu indikatoriu. Jei A ∈ F ir l(1A) < 0, tai gaukite

prie²tar¡ irodytam faktui, kad l(X) ≤ 0, jei X ≥ 0 ir prielaidai l(1Ω) = 0. Toliau aproksimuokiteX laiptinemis funkcijomis ir pereikite prie ribos.


£ia Q ≪ P rei²kia, kad tikimybinis matas Q yra absoliu£iai tolydus mato P atºvil-giu. Rizikos mato ρ suderintumas i²plaukia i² pirmosios suderintuju rizikos matui²rai²kos, pasirinkus P = Q.

Kad butu konkre£iau, tegu Ω = ω1, ω2, X(ω1) = 1, X(ω2) = −1, P(ωi) =1/2, i = 1, 2, ir Y = −X. Tuomet X d

= Y , EPX = EPY = 0. Ta£iau, jei Q(ω1) =1/4, Q(ω2) = 3/4, tai Q ≪ P, dQ

dP (ω1) = 1/2, dQdP (ω2) = 3/2, ir EQX = −1/2 =

1/2 = EQY .I²kilieji rizikos matai taip pat nebutinai turi pasiºymeti invarianti²kumu skirs-

tinio atºvilgiu. Galima nagrineti toki pavyzdi: tegu ρ yra suderintas rizikos matas,o aibe C yra rinkoje platinamu nansiniu ie²kiniu aibe. Apibreºkime i²kil¡ rizikosmat¡

ρ′(X) := infY ∈C

ρ(X + Y ),

£ia X yra atsitiktinis investuotojo turtas. Aibei C nebutinai turi priklausyti visiY

d= Y0, jei Y0 ∈ C, todel ir ρ′ nebutinai invarianti²kas skirstinio atºvilgiu.Kitas pavyzdys faktoriu rizikos matai ρf (X) := ρ(E(X|Y )), kuriuos nagrinejo

Cherny ir Madan'as [7]. Jei ρ yra i²kilas, tai toks yra ir ρf . ia Y gali buti naftoskaina, S&P indeksas, kredito marºa ir pana²us rinkos faktoriai. Faktoriu rizikosmatai nebutinai invarianti²ki skirstinio atºvilgiu.

Daugiau apie invarianti²kus skirstinio atºvilgiu matus siulome pasiskaityti [15],[13], [6], [9],. . . . ioje srityje tikrai dirbama aktyviai.

3 Seminaru medºiaga

Reikalingos topologijos s¡vokos

iame skyrelyje surinktos reikalingos topologijos s¡vokos. Studentams jos turetubuti ºinomos, tad pakaks tik prisiminti. Norintys suºinoti daugiau turetu susirastikoki nors topologijos vadoveli1 arba rinktis skyrius i² funkcines analizes vadoveliu(pvz., [17], [18])

I² pradºiu nagrinekime abstrak£i¡ aib¦ S ir jos poaibiu ²eim¡ τ . Sakysime, kad(S, τ) yra topologine erdve, τ yra topologija ir bet kuri A ∈ τ yra atviroji aibe, jei²eima τ tenkina s¡lygas:

• S ∈ τ , ∅ ∈ τ (t.y. visa aibe S ir tu²£ia aibe ∅ yra atviros);

• A ∩B ∈ τ , jei A,B ∈ τ (t.y. (baigtine) atviru aibiu sankirta yra atvira);

• Jei τ1 ⊂ τ yra bet koks topologijos poaibis, tai∪

A∈τ1 A ∈ τ (t.y. bet kokiosatviru aibiu klases elementu s¡junga yra atvira aibe).

Nemegstantiems abstrakciju siulome nagrineti S = Rn ir jos atviruju aibiu ²eim¡τ . Priminsime, kad A ⊂ Rn yra atvira, jei bet kuriam x ∈ A egzistuoja δ > 0, kadrutulys B(x, δ), kurio centras ta²ke x ∈ Rn ir spindulys δ > 0, t.y. B(x, δ) = y ∈Rn | ∥y − x∥ < δ, visas priklauso aibei A. Parodykite, kad taip apibreºtu aibiuklase τ tenkina topologijos apibreºimo s¡lygas.

Aibe B ⊂ S vadinama uºdar¡ja, jei jos papildinys Bc = S \B yra atviras.Daºnai topologineje erdveje S yra apibreºtos algebrines operacijos (sudetis ir

daugyba i² skaliaru), kuriu atºvilgiu erdve S yra tiesine erdve vir² atitinkamoskaliaru kuno K (Prisiminkite tiesines erdves apibreºim¡). Jei ²ios operacijos (kaipatvaizdis i² S×S i S sudeties atveju ir kaip atvaizdis i² S×K i S daugybos i² skaliaroatveju) yra tolydºios ir visos vienta²kes aibes x, x ∈ S, yra uºdaros, tokia erdveS vadinama tiesine topologine erdve. Beje, atvaizdis vadinamas tolydºiu, jei bet ku-rios atviros aibes pirmvaizdis yra atviras. Tiesiniu topologiniu erdviu pavyzdºiu yratikrai daug. Visos funkcines analizes kurse nagrinetos Banacho, Hilberto erdves yratiesines topologines erdves vir² R arba C. Jose atviros aibes nusakomos pasitelkianterdves normos indukuot¡ atstumo funkcij¡, kaip kad erdveje Rn. Visos metrineserdves yra topologines erdves, bet nebutinai yra tiesines topologines erdves.

1Ivadas i topologij¡, pvz., pateiktas http://www.math.cornell.edu/~hatcher/Top/TopNotes.pdf.

63

64 3 Seminaru medºiaga

Dar mums prireiks kompaktines aibes s¡vokos. Topologines erdves S poaibis Avadinamas kompaktiniu, jei i² bet kurios atvirosios A dangos, t.y. tokios S atvirujupoaibiu ²eimos Aii∈I , kad A ⊂

∪i∈I Ai, (£ia I yra bet kokia indeksu aibe, nebutinai

baigtine ar skai£ioji) galima i²rinkti baigtin¦ A dang¡.Baigtiniamates erdves S (pvz., Rn) poaibisA yra kompaktinis tada ir tik tada, kai

jis yra uºdaras ir apreºtas. Priminsime, kad aibe A yra apreºtoji, jei bet kuriai nulioaplinkai V (t.y. atvirajai aibei, kuriai priklauso neutralus elementas 0) egzistuojas > 0, kad A ⊂ tV = tx |x ∈ V bet kuriam t > s. Pavyzdºiui, erdveje Rn aibeA ⊂ Rn yra apreºta, jei A patenka i bet kuri pakankamai didelio spindulio rutuli sucentru koordina£iu pradºioje. Bet kuris uºdaras kompaktines aibes poaibis irgi yrakompaktinis.

Seminaru struktura

Tolimesni skyreliai i²laikys vien¡ ir t¡ pa£i¡ schem¡. I² pradºiu bus pateikiamastrumpas reikalingos literaturos s¡ra²as, kuri studentams rekomenduojama pastudi-juoti. Kai kurie ²altiniai bus lengviau prieinami straipsniai ar vadoveliai, dar kitumedºiaga bus sunkiau randama. Tuomet turetu pagelbeti literaturos paie²ka inter-nete. is pasirengimo seminarams aspektas labai pravers ir veliau, ra²ant magistrodarbus, todel yra skatintinas. Net ir pasiulytieji ²altiniai nebutinai turi buti vien-inteliai. Studentai gali savo nuoºiura internete susirasti kitu ²altiniu ir jais remtisruo²damiesi pristatymui.

Po literaturos s¡ra²o bus pateikiamas trumpas reikalingu s¡voku rinkinys, butinassuprasti pristatom¡ teorem¡. Studentai turetu i ²ias s¡vokas isigilinti, parinktipaprastu pavyzdºiu ir per pristatym¡ juos pateikti grupes draugams. inant reikalin-gas s¡vokas, jau galima pateikti ir butinus teiginius, galiausiai vedan£ius i kulmi-nacij¡ pristatom¡ teorem¡ ir jos irodym¡. Kai kuriu minimu teoremu irodymaitrumpi ir jau surinkti konspekte, o kai kuriuos studentai pra²omi pateikti patys.Papildomas pliusas pristatan£iajam bus skiriamas uº kompiuteriu surinkt¡ i² semi-naro dalyviams i²dalyt¡ trukstam¡ irodym¡, nepraleidºiant ne menkiausios smulk-meneles, kurios straipsniuose daºnai lieka tarp eilu£iu. Vertinant i² ²io ta²ko, labaigerai atsiskleidºia, ar studentas(-e) iki galo suvokia pristatom¡ tem¡. Taip patreiketu nepamir²ti pamineti, kur ²io kurso medºiagoje remiamasi pristatoma teo-rema.

Pradinis seminaru temu s¡ra²as yra toks:

1. I²kiluju aibiu atskyrimo teorema;

2. Tikimybiniu matu ²eimos ir funkcionalai;

3. I²kiluju funkciju savybes;

4. Adityvus matai ir YosidaHewitt'o teorema;

5. Erdves L∞(Ω,F ,P) jungtine erdve;

6. Dualumas ir bipoliares teorema;

65

7. Krein'omulian'o teorema;

8. Halmos'oSavage teorema;

9. Minimakso teorema;

10. Bishop'oPhelps'o teorema;

11. James'o silpnai kompakti²ku aibiu charakterizacija;

12. Fatou savybe ir rizikos matai;

13. . . .

Pastar¡ji s¡ra²¡ studentu ir destytojo iniciatyva galima papildyti.


A. I²kiluju aibiu atskyrimo teorema

Literaturos ²altiniai

1. V. Paulauskas ir A. Ra£kauskas. Funkcine analize. I knyga. Erdves, Vilnius,Vaistu ºinios, 2007. [17]

2. V. Paulauskas ir A. Ra£kauskas. Funkcine analize. II knyga. Funkcijos irlygtys, Vilnius, Vaistu ºinios, 2007. [18]

3. V. Rudin, Functional Analysis, 2nd edition, McGraw-Hill, 1991. [19]

Reikalingos s¡vokos ir teiginiai

1. I²kiloji aibe;

2. Tiesinis funkcionalas;

3. Topologine vektorine erdve;

4. Hahn'oBanach'o teorema;

5. Ivairios tiesinio funkcionalo tolydumo charakterizacijos.

Aibes S poaibi C vadinsime i²kiluoju, jei bet kuriems x, y ∈ C ir λ ∈ [0, 1],i²kiloji x ir y kombinacija λx+(1−λ)y priklauso aibei C. Tiesine topologine erdveS yra lokaliai i²kiloji, jei bet kurioje nulio aplinkoje egzistuoja i²kilas atviras poaibis.Pavyzdºiui, erdve Rn yra lokaliai i²kila, nes bet kurioje nulio aplinkoje egzistuojaatviras (ir i²kilas!) rutulys su centru koordina£iu pradºioje.

Taip pat prisiminkime tiesinio funkcionalo s¡vok¡. Tiesines erdves S atvaizdif : S → R vadiname tiesiniu funkcionalu, jei f(αx + βy) = αf(x) + βf(y), betkuriems α, β ∈ R ir x, y ∈ S.

Dabar galime suformuluoti teorem¡, kurios prireiks irodant 3.3 teorem¡. Teo-remos irodymo nepateiksime, nes jam prireiktu keliu funkcines analizes s¡voku irteiginiu, kuriu daugiau niekur nenaudosime. ingeidu skaitytoj¡ kvie£iame susirastirimtesni funkcines analizes vadoveli (pvz. [19]) ir ºemiau suformuluotos teoremosirodym¡ i²siai²kinti savaranki²kai.

3.1 teorema. (Atskyrimo teorema)[19, 3.4 teorema, p. 59] Tegu A ir B yra netu²ti,i²kili ir nesikertantys realios topologines vektorines erdves V poaibiai.

(i) Jei A atviras, tuomet egzistuoja tolydusis tiesinis funkcionalas f : V → R irγ ∈ R, kad

f(x) < γ ≤ f(y), bet kuriems x ∈ A ir y ∈ B.

(ii) Jei A kompaktinis, B uºdaras, o V yra lokaliai kompaktine erdve, tuomet egzis-tuoja tolydusis tiesinis funkcionalas f : V → R ir γ1, γ2 ∈ R, kad

f(x) < γ1 < γ2 < f(y), bet kuriems x ∈ A, y ∈ B.

67

Irodymas. (i) Fiksuokime bet kuriuos a0 ∈ A ir b0 ∈ B. Paºymekime x0 = a0 − b0ir C = A − B + x0 = a − b + x0 : a ∈ A, b ∈ B. Tuomet C yra i²kila nulioaplinka erdveje V , o kartu ir absorbuojan£ioji aibe. Tegu p yra aibes C Minkovskiofunkcionalas, t.y. pC(x) := infε > 0 : x ∈ εC, x ∈ V . Remiantis 2.7 teiginiu (ºr.[17, 121 psl.]), pC yra subtiesinis funkcionalas, pasiºymintis savybe pC(x0) ≥ 1, nesA ∩B = ∅ ir x0 /∈ C.

Nagrinekime tiesini poerdviM ⊂ V , generuot¡ ta²ko x0, t.y. M = tx0 : t ∈ R.iame poerdvyje apibreºkime tiesini funkcional¡ f :M → R lygybe f(tx0) := t. Jeit ≥ 0, tai

f(tx0) = t ≤ tpC(x0) = pC(tx0),

o jei t < 0, tuomet f(tx0) < 0 ≤ pC(tx0). Vadinasi, poerdvyje M galioja nelygybef ≤ pC . Pagal Hahn'oBanach'o teorem¡, tiesini funkcional¡ f galima prat¦sti ivis¡ erdv¦ V iki tiesinio funkcionalo Λ taip, kad galiotu nelygybe Λ ≤ pC (ºr. 2.3teorem¡ [17, 122 psl.]). O tai rei²kia, kad aibeje C galioja nelygybe Λ ≤ 1. Todelaibeje −C teisinga nelygybe Λ ≥ −1. Vadinasi, nulio aplinkoje C ∩ (−C) galioja|Λ| ≤ 1, o tai rei²kia, kad Λ yra tolydys nulyje,2 vadinasi, ir visoje erdveje.

Toliau, jei a ∈ A ir b ∈ B, tai

Λa− Λb+ 1 = Λ(a− b+ x0) ≤ pC(a− b+ x0) < 1,

nes Λx0 = 1, a − b + x0 ∈ C ir C yra atvira aibe. Taigi Λa < Λb. I² £ia gauname,kad Λ(A) ir Λ(B) yra nesikertantys, i²kili realiuju skai£iu tieses R poaibiai (taigi,intervalai) ir Λ(A) yra kairiau Λ(B). Taip pat, remiantis atvirojo atvaizdºio teorema(ºr. 8.10 teorem¡ [18, 79 psl.]), aibe Λ(A) yra atvira, nes tokia yra aibe A. Vadinasi,γ pakanka paimti de²iniji intervalo Λ(A) ta²k¡.

(ii) Remiantis 3.2 lema (ºr. ºemiau), egzistuoja i²kila nulio aplinka U tokia, kad(A+U)∩B = ∅. Pasinaudoj¦ (i) dalimi aibems A+U ir B, gauname, kad egzistuojatiesinis tolydus funkcionalas Λ toks, kad Λ(A+U) ir Λ(B) yra nesikertantys i²kili Rpoaibiai, be to, intervalas Λ(A + U) yra atviras ir kairiau intervalo Λ(B). KadangiΛ(A) yra kompakti²kas Λ(A+ U) poaibis (kodel?), tai teisingas (ii) teiginys.

Liko suformuluoti ir irodyti toki¡ lem¡:

3.2 lema. Tegu K ir C yra topologines vektorines erdves V poabiai, K kompakti²kas,C uºdaras ir K ∩ C = ∅. Tuomet egzistuoja nulio aplinka U tokia, kad

(K + U) ∩ (C + U) = ∅.

Pastebesime, kad aibe K + U =∪

x∈K(x + U) yra atviru aibiu s¡junga, todel yraatvira aibe, kuriai priklauso K. Lema teigia, kad egzistuoja nesikertan£ios atvirosaibes, kurios atskiria K nuo C.

Irodymas. I² pradºiu irodykime toki fakt¡:Jei W yra nulio aplinka erdveje V , tai egzistuoja simetri²ka nulio aplinka U (t.y.

U = −U), kad U + U ⊂ W .

2Jei ε > 0 yra parinktas laisvai, tai W := ε(1+ε)−1C yra nulio aplinka, kuriai teisinga |Λx| < εvisiems x ∈ W .


Kadangi 0 + 0 = 0 ir sudetis yra tolydi operacija erdveje V , duotajai nulioaplinkai W egzistuoja nulio aplinkos U1 ir U2, kad U1 + U2 ⊂ W . Tuomet nesunkuisitikinti, kad U := U1 ∩ U2 ∩ (−U1) ∩ (−U2) yra ie²kota simetri²ka nulio aplinka.

Jei irodyt¡ji fakt¡ pritaikytume k¡ tik gaut¡jai nulio aplinkai U , tuomet rastumenauj¡ simetri²k¡ nulio aplink¡ U ′, kad

U ′ + U ′ + U ′ + U ′ ⊂ W,

ir taip galetume t¦sti toliau.Griºkime prie lemos irodymo. Jei K = ∅, tuomet K+V = ∅ ir lemos tvirtinimas

akivaizdus. Todel tarkime, kadK = ∅, ir imkime x ∈ K. Kadangi C yra uºdara aibeir x /∈ C, be to, topologines vektorines erdves topologija yra invarianti²ka postumiuatºvilgiu (t.y. aibe A ⊂ V yra atvira, jei kiekviena i² aibiu x+A, x ∈ V , yra atvira),i² auk²£iau irodyto fakto gauname (kaip?), kad egzistuoja nulio simetri²ka aplinkaUx, kad x+ Ux + Ux + Ux ir C nesikirstu. Tuomet del Ux simetrijos gauname

(x+ Ux + Ux) ∩ (C + Ux) = ∅. (3.1)

Kadangi K yra kompakti²ka aibe, egzistuoja baigtine K ta²ku aibe x1, . . . , xn,kad

K ⊂(x1 + Ux1

)∪ · · · ∪

(xn + Uxn

).

Paºymekime U := Ux1 ∩ · · · ∩ Uxn . Tuomet

K + U ⊂n∪

i=1

(xi + Uxi

+ U)⊂

n∪i=1

(xi + Uxi

+ Uxi

),

ir ne vienas paskutines s¡jungos nariu nesikerta su aibe C + U , nes galioja (3.1).Irodymas baigtas.

3.1 pastaba. Suformuluotoji atskyrimo teorema teisinga ir erdvems vir² kompleksiniuskai£iu kuno. Tik nelygybese reikia ira²yti reali¡sias atitinkamu funkcionalu dalis.

3.2 pastaba . I²kiluju aibiu atskyrimo teoremos labai prireiks irodant 3.3 teorem¡apie tikimybiniu matu ²eimu ir atitinkamu funkcionalu s¡ry²i (ºr. kito seminaromedºiag¡)

69

B. Tikimybiniu matu ²eimos ir funkcionalai


1. P. J. Huber, Robust Statistics, Wiley, 1981. [12]


1. Vir²utinysis ir apatinysis vidurkiai;

2. Monotoni²ki, teigiamai ani²kai homogeni²ki ir subadityvus funkcionalai;

Nagrinekime ma£i¡j¡ erdv¦ (Ω,F), kai Ω yra baigtine aibe (|Ω| = n), o F = 2Ω

yra visu Ω poaibiu σ-algebra. Paºymekime M visu tikimybiniu matu erdveje (Ω,F)aib¦. Kadangi elementariuju ivykiu aibe Ω yra baigtine, M galime sutapatinti susimpleksu M = (p1, . . . , pn) |

∑ni=1 pi = 1, pi ≥ 0, kuris yra i²kilas ir kompaktinis

tiesines erdves Rn poaibis (ºr. reikalingu topologijos s¡voku skyreli). Nagrinekimebet koki netu²£i¡ poaibi P ⊂ M. Ma£ioje erdveje (Ω,F) apibreºtiems atsitiktiniamsdydºiams X : Ω → R apibreºiame vir²utiniji ir apatiniji vidurkius:

E⋆(X) = supP∈P

ˆX dP, E⋆(X) = inf

P∈P

ˆX dP. (3.2)

Apibreºtieji vidurkiai E⋆ ir E⋆ yra netiesiniai ir tam tikra prasme jungtiniaifunkcionalai, t.y.

E⋆(X) = −E⋆(−X). (3.3)

Kita vertus, jei (E⋆, E⋆) yra pora jungtiniu funkcionalu, tenkinan£iu (3.2), taigalime apibreºti tikimybiniu matu poaibi

P ′ =

P ∈ M |

ˆX dP ≥ E⋆(X), ∀X

=

P ∈ M |

ˆX dP ≤ E⋆(X), ∀X

.

(3.4)

Reikia pabreºti, kad, pradej¦ nuo matu ²eimos P ir apibreº¦ funkcionalus E⋆ irE⋆ (3.2) lygybemis, i² (3.4) gausime matu ²eim¡ P ′, kuri nesutaps su pradine P .Analogi²kai, jei pradedame nuo jungtiniu funkcionalu poros (E⋆, E⋆), (3.4) lygybeapibreºiame matu ²eim¡ P ′ ir j¡ panaudojame naujai funkcionalu porai (E⋆, E⋆)(3.2) formulemis apibreºti, tai gautieji jungtiniai funkcionalai nesutaps su pradiniais(E⋆, E⋆). Ta£iau ²i¡ procedur¡ kartodami antr¡kart jau nieko naujo negausime.

3.1 apibreºimas . Sakysime, kad matu ²eima P ir jungtiniu funkcionalu pora(E⋆, E⋆) apibudina viena kit¡, jei i² (3.2) formuliu gauname (E⋆, E⋆), o i² (3.4)gauname P .

Pagrindiniai ²io skyrelio klausimai yra du:

(i) Kokias s¡lygas turi tenkinti jungtiniu funkcionalu pora (E⋆, E⋆), kad j¡ api-budintu kokia nors tikimybiniu matu ²eima P?


(ii) Kokias s¡lygas turi tenkinti tikimybiniu matu ²eima P, kad j¡ apibudintukokia nors jungtiniu funkcionalu pora (E⋆, E⋆)?

Kelet¡ butinu s¡lygu galime nesunkiai pastebeti:

• Jei P yra apibudinama (3.4) lygybemis, tai P yra i²kilas ir uºdaras M poaibis.

I²kilumas i²plaukia i² integralo savybiu, o uºdarumas i² silpnojo matu kon-vergavimo apibreºimo arba i² aibes M sutapatinimo su erdves Rn simpleksuM, kuris akivaizdºiai yra i²kilas ir uºdaras.

• Kita vertus, jei E⋆ yra apibudinamas (3.2) lygybe, tai jis yra monotoni²kas,teigiamai ani²kai homogeni²kas ir subadityvus, t.y.

X ≤ Y =⇒ E⋆(X) ≤ E⋆(Y ), (3.5)E⋆(aX + b1Ω) = aE⋆(X) + b, a ≥ 0, b ∈ R, (3.6)E⋆(X + Y ) ≤ E⋆(X) + E⋆(Y ), ∀X, Y. (3.7)

• Funkcionalas E⋆ pasiºymi (3.5) ir (3.6) savybemis bei yra superadityvus, t.y.

E⋆(X + Y ) ≥ E⋆(X) + E⋆(Y ), ∀X,Y.

3.3 pastaba. V. Paulausko ir A. Ra£kausko vadovelyje [17, 121 psl.] yra labai pana²isubtiesinio funkcionalo s¡voka. Funkcionalas vadinamas subtiesiniu, jei teisinga3.7 savybe, o 3.6 savybe galioja, kai b = 0. Teigiamai ani²kai homogeni²kasfunkcionalas X⋆ papildomai tenkina X⋆(±1Ω) = ±1.

Mums prireiks tokios teoremos

3.3 teorema. ([12, 2.1 teiginys, 256 psl.]) Tikimybiniu matu ²eima P yra apibudinamavir²utiniuoju vidurkiu E⋆ tada ir tik tada, kai P yra i²kila ir uºdara. Atvirk²£iai,(3.5)(3.7) s¡lygos yra butinos ir pakankamos, kad funkcionalas E⋆ butu apibudina-mas kokios nors tikimybiniu matu ²eimos P.

Irodymas. Jau ºinome, kad bet kuri tikimybiniu matu ²eima P , apibudinama (3.4)lygybemis, yra i²kila ir uºdara. Todel lieka tik irodyti ²iu s¡lygu pakankamum¡.

Tarkime, P yra i²kila ir uºdara tikimybiniu matu ²eima. Apibreºkime E⋆ pirm¡ja(3.2) lygybe ir paºymekime

P ′ =

P ∈ M |


.

Tuomet akivaizdu, kad P ⊂ P ′. Noredami irodyti, kad P ′ ⊂ P , tarsime prie²ingai,t.y. tegu egzistuoja Q ∈ P ′ \ P . Toliau pasitelksime 3.1 teoremos (ii) dali, kaiA = P , o B = Q. Abi aibes galime nagrineti kaip erdves Rn simplekso M i²kiluspoaibius. Be to, abu jie kompaktiniai, nes yra uºdari kompaktines aibesM poaibiai.Taigi egzistuoja tolydusis tiesinis funkcionalas f : Rn → R ir γ1, γ2 ∈ R, kad

f(P) < γ1 < γ2 < f(Q), bet kuriems P ∈ A.

71

Vadinasi, supP∈P f(P) ≤ γ1 < f(Q).Kadangi kiekvien¡ tolyduji tiesini funkcional¡ f : Rn → R atitinka vektorius

x⋆ ∈ Rn, kad

f(x) =n∑

i=1

xix⋆i , ∀x ∈ Rn,

tai, paºymej¦ X = (X(ω1), . . . , X(ωn)) = (x⋆1, . . . , x⋆n), gausime

f(P) =n∑

i=1

X(ωi)P(ωi) =

ˆX dP ir f(Q) =

ˆX dQ.

TodelE⋆(X) = sup

P∈P

ˆX dP ≤ γ1 <

ˆX dQ,

t.y. Q /∈ P ′. Prie²tara.Taip pat jau ºinome, kad antr¡ja (3.3) lygybe apibreºiamas E⋆ pasiºymi (3.5)

(3.7) savybemis. Parodysime, kad ²ios s¡lygos taip pat yra ir pakankamos.Tegu funkcionalas E⋆ yra monotoni²kas, teigiamai ani²kai homogeni²kas ir sub-

adityvus. Del jau irodytos teoremos dalies pakanka parodyti, kad bet kuriam X0

egzistuoja tikimybinis matas P toks, kad visiems X teisinga nelygybe´X dP ≤

E⋆(X), be to,´X0 dP = E⋆(X0). I² tiesu, tuomet galesime teigti, kad

P =

P ∈ M |


= ∅

ir kad funkcionalui E⋆1 , apibreºtam lygybe

E⋆1(X) = sup

P∈P

ˆX dP, ∀X,

galioja E⋆1(X0) = E⋆(X0). Kadangi E⋆ yra teigiamai ani²kai homogeni²kas, galime

manyti, kad E⋆(X0) = 1. I² tiesu, jei E⋆(X0) = 1, tuomet X0 kei£iame i X0 =X0 − E⋆(X0) + 1. Jei P yra tikimybinis matas, atitinkantis X0, t.y. visiems Xteisinga nelygybe

´X dP ≤ E⋆(X) ir

´X0 dP = E⋆(X0) = 1, tai tas pats P tiks ir

atsitiktiniam dydºiui X0, t.y. galios ir lygybe´X0 dP = E⋆(X0).

Paºymekime U = X |E⋆(X) < 1. i aibe yra atvira. I² tiesu, pasirem¦ funk-cionalo E⋆ teigiamo aninio homogeni²kumo ir monotoni²kumo savybemis, gausime,kad su bet kuriuo X ∈ U aibei U priklauso ir visi Y < X + ε/2, £ia ε = 1−E⋆(X).Be to, pasitelk¦ dar ir E⋆ subadityvumo savyb¦, gausime, kad U yra i²kila. Pritaik¦3.1 teoremos (i) dali, kai A = U , o B = X0, galime rasti tiesini tolyduji funkcional¡f : Rn → R ir γ ∈ R, kad

f(X) < γ ≤ f(X0), bet kuriam X ∈ U.

Kai X ≡ 0, pastaroji nelygybe teigia, kad f(X0) yra grieºtai teigiamas, todel, jeireikia, funkcional¡ f galime normuoti taip, kad f(X0) = 1 = E⋆(X0). Tuomet i²nelygybes E⋆(X) < 1 (t.y., kai X ∈ U) i²plauks f(X) < 1.


Pasirem¦ (3.5) ir (3.6) savybemis, bet kuriam X ≤ 0 gausime E⋆(X) ≤ 0 =E⋆(0). Todel bet kuriems c > 0 ir X ≥ 0 galime uºra²yti

cf(X) = −f(−cX) > −1, nes − cX ∈ U.

Vadinasi, f(X) ≥ −1/c. Kadangi c > 0 pasirinkome laisvai, galime pereiti prieribos, kai c ↑ +∞. Gausime f(X) ≥ 0. Toliau irodysime, kad f(1) = 1. Jeic < 1, tai c ∈ U , todel ir f(c) = cf(1) < 1. Perej¦ prie ribos, kai c ↑ 1, gaunamef(1) ≤ 1. Kita vertus, jei c > 1, tai E⋆(2X0 − c) = 2− c < 1, t.y. 2X0 − c ∈ U , irf(2X0−c) = 2−cf(1) < 1. Vadinasi, kai c > 1, f(1) > 1/c. Dabar perej¦ prie ribos,kai c ↓ 1, gausime f(1) ≥ 1. Vadinasi, f(1) = 1. Be to, bet kuriam c > 0 i² nelygybesE⋆(X) < c gausime f(X) < c. Tereikia pastebeti, kad X/c ∈ U ir pasinaudoti jauirodytu faktu, kad atsitiktiniam dydºiui X/c teisinga f(X/c) = f(X)/c < 1.

Vadinasi, f(X) ≤ E⋆(X), o lygybe P(D) = f (1D) (£ia 1D yra aibes D ⊂ Ωindikatorius) apibreºia tikimybini3 mat¡ P. is matas yra tas, kurio ie²kojome, nes

ˆX dP =

n∑i=1

X(ωi)f(1ωi

)= f

(n∑

i=1

X(ωi)1ωi

)= f(X) ≤ E⋆(X), ∀X,

ir´X0 dP = f(X0) = 1 = E⋆(X0).

3.4 pastaba . Irodytoji teorema apie tam tikru tikimybiniu matu ²eimu ir specialiufunkcionalu s¡ry²i pravers charakterizuojant suderintuosius rizikos matus (ºr. I-¡j¡suderintuju matu i²rai²k¡).

3Isitikinkite, kad taip apibreºtas P i² tikruju yra tikimybinis matas!

73

C. I²kiluju funkciju savybes


1. R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, 2nd edition, Cambridge Univer-sity Press, 2002. [8]


1. I²kiloji ºemyn/auk²tyn funkcija;

2. Kryptines i²vestines;

3. Lip²ico s¡lyga.

Tiesineje erdveje V nagrinekime i²kil¡ji poaibi C ir funkcij¡ f : C → R. i¡funkcij¡ vadinsime i²kil¡ja ºemyn, jei

f(tx+ (1− t)y) ≤ tf(x) + (1− t)f(y), ∀x, y ∈ C, t ∈ [0, 1].

Jei galioja prie²inga nelygybe, tuomet funkcij¡ vadiname i²kil¡ja auk²tyn. Taip patpastebesime, kad jei f yra i²kila ºemyn, tai −f yra i²kila auk²tyn.

Geometri²kai i²kilumo ºemyn (atitinkamai, auk²tyn) s¡lyga rei²kia, kad parink¦bet kuriuos du aibes C ta²kus ir nubreº¦ atkarp¡, jungian£i¡ ta²kus (x, f(x)) ir(y, f(y)), funkcijos reik²m¦ bet kuriame tarpiniame ta²ke tx + (1 − t)y tarp x ir yrasime ºemiau (atitinkamai, auk²£iau) ta²ko, esan£io ant minetosios atkarpos. JeiV = R = C, tai funkcijos f(x) = x2k, k ∈ N yra i²kilosios ºemyn, o g(x) = −x2ktokios nera (jos yra i²kilos auk²tyn). Minetosios funkcijos yra visur diferencijuo-jamos, ta£iau ²ia savybe pasiºymi ne visos i²kilosios funkcijos. Pvz., f(x) = |x| yrai²kiloji ºemyn, bet ne diferencijuojama ta²ke x = 0. Kitas ekstremalus pavyzdys C = [0, 1] ⊂ V = R, f(x) = 0, x ∈ (0, 1) ir f(0) = f(1) = 1. Tuomet f yrai²kiloji ºemyn, bet netolydi intervalo [0, 1] galuose. Toliau parodysime, kad bet kurii²kiloji ºemyn funkcija, apibreºta euklidines erdves Rn i²kilame ir atvirame poaibyjeyra tolydi (ji yra net beveik visur diferencijuojama!). Bet tam reikes irodyti kelet¡pagalbiniu teiginiu apie i²kiluju funkciju glodum¡.

3.4 teiginys . Tegu f yra i²kiloji ºemyn funkcija, apibreºta tieses R intervale J .Tarkime, t < u < v ir t, u, v ∈ J . Tuomet

f(u)− f(t)

u− t≤ f(v)− f(t)

v − t≤ f(v)− f(u)

v − u.

Taigi i²kilosios funkcijos kirstiniu kryp£iu koecientai nemaºeja (ºr. 3.1 pav.(kaireje)).

Irodymas. Raskime λ ∈ (0, 1), kad u = λt + (1 − λ)v, t.y. λ = (v − u)/(v − t).Pasinaudoj¦ i²kilosios funkcijos apibreºimu, gausime

f(u) ≤ v − u

v − tf(t) +

(1− v − u

v − t

)f(v) =

v − u

v − tf(t) +

u− t

v − tf(v).


t u vp

q

rs t

uC

DL

3.1 pav. (Kaireje) i²kilosios ºemyn funkcijos grako kirstines; (de²ineje) kubus Cir D kertanti tiese L.

Vadinasi,(v − t)f(u) ≤ (v − u)f(t) + (u− t)f(v).

Pertvark¦ ²ios nelygybes puses, gauname abi reikiamas nelygybes. Pavyzdºiui,

(v − t)(f(u)− f(t)) ≤ (v − u)f(t)− (v − t)f(t) + (u− t)f(v)

= −(u− t)f(t) + (u− t)f(v) = (u− t)(f(v)− f(t)).

3.5 i²vada . Tegu f yra i²kiloji ºemyn funkcija, apibreºta intervale J ir [a, b] ⊂ J ,a < b. Teisingi ²ie teiginiai:

• Santykiai (f(a + h) − f(a))/h yra nemaºejantys, kai h ↓ 0, ir egzistuoja riba(de²inine i²vestine)

f ′(a+) = limh↓0

f(a+ h)− f(a)

h≥ −∞.

• Jei f yra apibreºta kuriame nors ta²ke t < a, tuomet (f(a + h) − f(a))/h ≥(f(a)− f(t))/(a− t) bet kuriam h > 0. Todel f ′(a+) yra baigtinis skai£ius.

• Analogi²kai, santykiai (f(b) − f(b − h))/h yra nemaºejantys, kai h ↓ 0, iregzistuoja riba (kairine i²vestine)

f ′(b−) = limh↓0

f(b)− f(b− h)

h≤ +∞.

Be to, jei f yra apibreºta kuriame nors ta²ke c > b, tuomet (f(b) − f(b −h))/h ≤ (f(c) − f(b))/(c − b) bet kuriam h > 0. Todel f ′(b−) yra baigtinisskai£ius.

• Funkcija f ′(x+) yra nemaºejanti x ∈ [a, b) funkcija, o f ′(y−) yra nemaºejantiy ∈ (a, b] funkcija. Be to, f ′(x−) ≤ f ′(x+) bet kuriam x ∈ [a, b].

• Atvirame intervale (a, b) funkcija f yra tolydi, nes egzistuoja baigtines kairinesir de²inines i²vestines.

75

Irodymas. Visi teiginiai nesunkiai gaunami i² 3.4 teiginio. Kvie£iame skaitytoj¡ tuoisitikinti savaranki²kai.

Dabar nagrinekime i²kil¡sias funkcijas, apibreºtas erdveje Rn, n > 1. Jei tokiosjunkcijos f apibreºimo sriti C apribosime imdami C ir bet kurios tieses L sankirt¡C ∩ L, tai gausime i²kil¡j¡ funkcij¡ (jei C ∩ L = ∅). Todel egzistuoja funkcijos fvienpus4s kryptines i²vestines. Parodysime, kad ²ios i²vestines yra tolygiai apreºtosbet kuriame kompaktiniame atvirosios apibreºimo srities C poaibyje K.

3.6 teorema . Tegu U ⊂ Rn yra atviras poaibis, o f : U → R yra i²kiloji ºemynfunkcija. Tuomet bet kuriems x ∈ U ir v ∈ Rn egzistuoja vienpuses kryptinesfunkcijos f i²vestines

Dvf(x) = limh↓0

f(x+ hv)− f(x)

h.

Jei K ⊂ U yra kompaktinis poaibis ir v yra apreºtas, sakykime ∥v∥ ≤ 1, tuometDvf(x), x ∈ K yra apreºtos, o funkcija f tenkina Lip²ico s¡lyg¡. Vadinasi, f yratolydi aibeje U .

Irodymas. Kryptiniu i²vestiniu egzistavimas i²plaukia i² 3.5 i²vados. Likusi¡ daliirodysime matematines indukcijos budu. Tarkime, n = 1. Tegu a < b < c < d irf yra i²kila intervale (a, d). Nagrinekime ta²kus t ∈ (a, b) ir v ∈ (c, d). Tuometremiantis 3.4 teiginiu, visi santykiai (f(x) − f(y))/(x − y), kai b ≤ y < x ≤ c,yra apreºti i² apa£ios santykio (f(b)− f(t))/(b− t), o i² vir²aus santykio (f(v)−f(c))/(v − c). Todel f intervale [b, c] tenkina Lip²ico s¡lyg¡. Be to, kairines irde²inines funkcijos f i²vestines intervale [b, c] yra tolygiai apreºtos (ºr. 3.5 i²vad¡).Todel teorema teisinga, kai n = 1. Tarkime, kad teorema teisinga bet kuriamn = 1, 2, . . . , k − 1. Parodysime, kad teorema teisinga, kai n = k.

Nagrinekime uºdar¡ji kub¡ C =∏k

j=1[cj, cj + s] ⊂ U . Tuomet egzistuoja toksδ > 0, kad kubas C yra kito uºdarojo kubo D =

∏kj=1[cj − δ, cj + s+ δ] ⊂ U viduje.

Ant ²iu kubu sienu (kurios taip pat yra kubai, priklausantys atvirajai aibei U , tikmaºesnes dimensijos) funkcijai f galime pritaikyti indukcin¦ prielaid¡, t.y. ºinome,kad f tenkina Lip²ico s¡lyg¡, todel yra tolydi ir apreºta. Vadinasi, galime rastiteigiam¡ skai£iu M < ∞, kad sup∂D f − inf∂C f ≤ M ir sup∂C − inf∂D ≤ M . Perbet kuriuos kubo C vidaus intC ta²kus r ir s breºkime ties¦ L. ios tieses sankirt¡su kubo D siena ∂D paºymekime p, sankirt¡ su ∂C paºymekime q. Tegu toliau tieseeina per ta²kus r ir s, vel kerta sien¡ ∂C ta²ke t, sien¡ ∂D ta²ke u (ºr. 3.1 pav.(de²ineje)). Tada

−Mδ

≤ f(q)− f(p)

∥q − p∥≤ f(s)− f(r)

∥s− r∥≤ f(u)− f(t)

∥u− t∥≤ M

δ.

Antroji nelygybe teisinga, nes, pasinaudoj¦ 3.4 teiginiu, galime iterpti santyki (f(r)−f(q))/ ∥r − q∥. Vadinasi, |f(r)− f(s)| ≤ M ∥r − s∥ /δ. Taigi kube C funkcija ftenkina Lip²ico s¡lyg¡. Todel ²io kubo viduje intC teisinga nelygybe |Dvf | ≤M/δ,jei ∥v∥ ≤ 1.


Bet kuri kompaktini atvirosios aibes U poaibi K galime padengti C kubu vidausaibiu s¡junga. Kadangi K yra kompaktinis, tai i² nagrinetosios atvirosios K dangosgalima i²rinkti baigtin¦ dang¡ intC1, . . . , intCm. Nagrinedami baigtinio skai£iauskonstantu Mi/δi, i = 1, . . . ,m, maksimum¡ randame teigiam¡ skai£iu N < ∞, kadvisos kryptines i²vestines Dvf , kai ∥v∥ = 1, yra apreºtos skai£iumi N kiekvienamei² kubu Ci, o tuo pa£iu ir kompakte K. Vadinasi, funkcija f tenkina Lip²ico s¡lyg¡kompakte K ir |f(x)− f(y)| ≤ N ∥x− y∥, x, y ∈ K.

Jei x ∈ U , tai egzistuoja t > 0, kad visas rutulys B(x, t) = y | ∥y − x∥ < y yraatviroje aibeje U . Nagrinekime kompakt¡ Kx = y | ∥x− y∥ ≤ t/2 ⊂ U . I² jauirodytos dalies ºinome, kad f yra tolydi aibeje Kx, o tuo pa£iu ir ta²ke x. Vadinasi,funkcija f yra tolydi visoje U , nes x pasirinkome laisvai.

3.5 pastaba . I²kiluju funkciju tolydumas panaudotas...

77

D. Integruojamu funkciju Lebego ta²kai


1. R. M. Dudley, Real Analysis and Probability, 2nd edition, Cambridge Univer-sity Press, 2002. [8]


1. Integruojamos funkcijos Lebego ta²kas;

2. Borelio matas;

3. Lip²ico s¡lyga.

Lebego integralo teorijoje yra ºinoma tokia teorema:

3.7 teorema (Lebego diferencijavimo teorema). Jei f ∈ L1([a, b]), tai beveik visi(Lebego mato atºvilgiu) ta²kai x ∈ [a, b] yra funkcijos f Lebego ta²kai, t.y. beveikvisiems x ∈ [a, b] teisinga

limε↓0

1

2ε

ˆ x+ε

x−ε

f(y)dy = f(x).

Irodymas. Norint irodyti4 3.7 teorem¡, pakanka parodyti, kad beveik visiems x ∈[a, b] (Lebego mato atºvilgiu) galioja5

limh→0

1

h

(ˆ x+h

a

f(t)dt−ˆ x

a

f(t)dt

)=

d

dx

ˆ x

a

f(t)dt = f(x). (3.8)

Pastar¡j¡ formul¦ irodysime pasinaudoj¦ dviem lemomis:

3.8 lema . Tegu U yra atviru aibes R intervalu ²eima tokia, kad W = ∪V ∈UV yraapreºta aibe. Tuomet, jei t < λ(W ) (£ia λ yra Lebego matas), tai egzistuoja baigtinisporomis nesikertan£iu intervalu rinkinys V1, . . . , Vq ⊂ U toks, kad

q∑i=1

λ(Vi) >t

3.

Irodymas. Remiantis Ulamo teorema,6 Lebego matas apreºtame ir atvirame realiujuskai£iu tiesesR poaibyjeW yra reguliarus, t.y. λ(W ) = supλ(K) : K kompaktas, K ⊂

4Lebego diferencijavimo teorem¡ galima apibendrinti ir i erdv¦ Rn, tuomet jos irodymuipraver£ia Hardy ir Littlewood'o maksimaliosios funkcijos ir ju silpnieji (1, 1)-iver£iai.Pla£iau apie tai skaitytojai ras internete: http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_differentiation_theorem.

5Visiems x ∈ [a, b] teiginys bendruoju atveju neteisingas, pvz., teiginys butu klaidingas, jeinagrinetume funkcij¡ f(t) = 1, kai t ∈ [a, b] \Q ir f(t) = 0, kai t ∈ [a, b] ∩Q.

6Ji teigia, kad bet kuris baigtinis Borelio matas, apibreºtas pilnoje separabilioje metrinejeerdveje (S, d) yra reguliarus, t.y. bet kurios Borelio aibes mat¡ galime aproksimuoti tos aibeskompakti²ku poaibiu matais.


W. Todel egzistuoja kompaktas K ⊂ W , kad λ(K) > t. Kadangi U yra atvi-roji K danga, i² jos galime i²rinkti baigtini podangi U1, . . . , Un ⊂ U , kad K ⊂U1∪· · ·∪Un. Tegu intervalai Ui sunumeruoti taip, kad λ(U1) ≥ λ(U2) ≥ · · · ≥ λ(Un).Apibreºkime V1 := U1 = Uk(1). Kitus Vj, j = 2, 3, . . . , apibreºkime nuosekliai:Vj = Um(j), jei m(j) yra maºiausias indeksas m, kad Vi ∩ Um = ∅, visiems i < j.Tegu Wj yra intervalas, kurio centras sutampa su Vj centru, bet ilgis yra tris kartusdidesnis. Tuomet bet kuriam r ≥ 2, Ur yra vienas i² Vj arba Ur kertasi su Vi = Uk,kuriam nors k < r, todel λ(Ur) ≤ λ(Uk) ir Ur ⊂ Wi.

Tuomet, jei q yra didºiausias indeksas i toks, kad Vi yra apibreºtas, tai

t < λ(K) < λ

(n∪

j=1

Uj

)≤

q∑i=1

λ(Wi) = 31∑

i=1

λ(Vi).

3.9 lema. Jei µ yra baigtinis Borelio matas intervale [a, b], o A ⊂ [a, b] yra Borelioaibe tokia, kad µ(A) = 0, tai λ-beveik visiems x ∈ A, d/dxµ([a, x]) = 0.

Irodymas. Pakaks parodyti, kad λ-beveik visiems x ∈ A,

limh↓0

µ(x− h, x+ h)

h= 0.

Bet kuriam j = 1, 2, . . . , apibreºkime

Pj :=

x ∈ A : lim sup

h↓0

µ(x− h, x+ h)

h>

1

j

.

ia skai£iuodami vir²utin¦ rib¡ galime imti tik racionalius h, nes funkcija µ(x−h,x+h)h

yra tolydi i² kaires h funkcija. Be to, indikatorius 1(x−h,x+h)(y) yra Borelio funkcijajungtinio kintamojo (x, h, y) atºvilgiu. Todel, remiantis FubinioTonelio teorema,funkcija µ((x−h, x+h)) yra Borelio funkcija kintamojo (x, h) atºvilgiu. Todel perej¦prie vir²utines ribos, kai h ↓ 0, gausime Borelio funkcij¡ kintamojo x atºvilgiu, oaibe Pj bus mati.

Imkime bet koki ε > 0 ir nagrinekime atvir¡ aib¦ V ⊃ A toki¡, kad µ(A) < ε(Tokia aibe A egzistuoja, nes baigtinis Borelio matas µ yra reguliarus, velgi pagalUlamo teorem¡. ikart i² vidaus uºdaromis aibemis aproksimuojame Ac.). Betkuriam x ∈ Pj egzistuoja h > 0 toks, kad (x−h, x+h) ⊂ V ir µ((x−h, x+h)) > h/j.Intervalai (x − h, x + h) padengia aib¦ Pj, todel pasinaudoj¦ 3.8 lema, bet kuriamt < λ(Pj) rasime baigtini skai£iu nesikertan£iu intervalu J1, . . . , Jq ⊂ V , kad galiotu

t ≤ 3

q∑j=1

λ(Jj) ≤ 6j

q∑j=1

µ(Jj) ≤ 6jµ(V ) ≤ 6jε.

Todel λ(Pj) ≤ 6jε (£ia pakanka imti t = λ(Pj) − ε′ ir pereiti prie ribos, kai ε′ ↓ 0,nelygybeje λ(Pj) ≤ 6jε + ε′). Perej¦ prie ribo²s, kai ε ↓ 0, gausime λ(Pj) = 0,j = 1, 2, . . . . Todel, paleid¦ j → ∞, ir pastebej¦, kad Pj ⊂ Pj+1 bet kuriam j ≥ 1,irodysime lem¡.

79

Tolesnis (3.8) formules irodymas yra toks: bet kuriam racionaliam skai£iui r > 0apibreºkime

gr := maxg − r, 0, fr(x) :=

ˆ x

a

gr(t)dt.

Tuomet pritaikykime 3.9 lem¡ baigtiniam Borelio matui µ, apibreºtam formule

µ(E) :=

Ê

gr(t)dt, E ∈ B([a, b]).

Aibes A vaidmeni atliks aibes Ar := x ∈ [a, b] : g(x) ≤ r, r ∈ Q. Gausimedfr(x)/dx = 0 λ-beveik visiems x ∈ Ar kiekvienam r ∈ Q. Tegu B yra s¡junga, pagalvisus racionalius r, nulinio Lebego mato aibiu Ar poaibiu, kuriuose dfr(x)/dx = 0.Tuomet λ(B) = 0. Be to, jei a ≤ x < x+ h ≤ b, tai

ˆ x+h

x

g(t)dt− rh =

ˆ x+h

x

(g(t)− r

)dt ≤

ˆ x+h

x

gr(t)dt,

vadinasi,1

h

ˆ x+h

x

g(t)dt ≤ r +1

h

ˆ x+h

x

gr(t)dt.

Analogi²kai, jei a ≤ x− h < x ≤ b,

1

h

ˆ x

x−h

g(t)dt ≤ r +1

h

ˆ x

x−h

gr(t)dt.

Jei funkcija f yra apibreºta ta²ko x aplinkoje (t.y. bent jau atvirame intervale,kuriame yra ta²kas x) ir igyja realias reik²mes, tai galime apibreºti keturis i²vestiniusskai£ius:

UR(f, x) := lim suph↓0

f(x+ h)− f(x)

h≥

LR(f, x) := lim infh↓0

f(x+ h)− f(x)

h, ir

UL(f, x) := lim suph↓0

f(x)− f(x− h)

h≥

LL(f, x) := lim infh↓0

f(x)− f(x− h)

h.

ie skai£iai apibreºti visada, bet gali igyti begalines reik²mes ±∞. Funkcija f yradiferencijuojama ta²ke x, jei visi keturi skai£iai sutampa ir yra baigtiniai.

Jei x ∈ B ir r > g(x), tai dfr(x)/dx = 0. Nagrinekime funkcij¡ f(x) :=´ x

ag(t)dt.

Jai, kai h ↓ 0, gauname nelygybes:

UR(f, x) ≤ r, ir UL(f, x) ≤ r.

Dabar paleid¦ r ↓ g(x), gausime UR(f, x) ≤ g(x) ir UL(f, x) ≤ g(x).


Analogi²kai, nagrinedami funkcij¡ −g ir j¡ atitinkan£i¡ −f , gausime

UR(−f, x) ≤ −g(x), ir UL(−f, x) ≤ −g(x).

Vadinasi, LL(f, x) ≥ g(x) ir LR(f, x) ≥ g(x). Tokiems x visi keturi i²vestiniaiskai£iai sutampa, todel galioja (3.8). Irodymas baigtas.

3.6 pastaba . Lebego diferencijavimo teorema pasinaudota irodant 2.20 teigini.

81

E. Adityvus matai ir YosidaHewitt'o teorema


1. K. Yosida ir E. Hewitt, Finitely additive measures, Trans. Amer. Math. Soc.72 (1952), 4666.7

2. J. Kubilius, Tikimybiu teorija ir matematine statistika, Vilnius, VU leidykla,1996. [21]


1. Adityvus, σ-adityvus ir grynai adityvus matai;

2. Adityviu matu aibes gardeli²kumas.

Tikimybiu teorijos pagrindus turintieji tikriausiai gerai ºino, kas yra abstrak£iosaibes X poaibiu σ-algebra ir kas yra σ-adityvus matas, apibreºtas toje σ-algebroje.is skyrelis nagrines kiek bendresnius matus, kurie jau nebutinai σ-adityvus irapibreºti jau tik poaibiu algebroje. Tokiu apibendrinimu prireikia, norint kalbetiapie tiesinius tolydºiuosius funkcionalus erdveje L∞(Ω,F ,P). Bet apie visk¡ nuopradºiu.

Tegu Ω yra abstrakti aibe, o A yra jos poaibiu algebra, t.y. baigtines aibiu s¡jun-gos ir papildinio operacijos yra uºdaros ²ioje poaibiu klaseje. Taip pat paºymekimeA = σ(A) maºiausi¡ σ-algebr¡, kuriai priklauso A.

3.2 apibreºimas . Funkcij¡ ϕ : A → R vadinsime adityviu matu, jei

(i) ϕ(∅) = 0;

(ii) supA∈A |ϕ(A)| < +∞;

(iii) ϕ(A ∪B) = ϕ(A) + ϕ(B), jei A,B ∈ A ir A ∩B = ∅.

Visu adityviu matu ϕ aib¦ paºymekime Φ = Φ(Ω,A).

3.7 pastaba . (ii) s¡lyg¡ itraukeme, nes tik j¡ tenkinan£ius adityvius matus na-grinesime veliau. Beje, (ii) s¡lyga i² kitu paminetuju nei²plaukia: tegu Ω = Nir tegu

∑∞n=1 an yra konverguojanti, bet ne absoliu£iai konverguojanti eilute, pvz.,∑∞

n=1(−1)nn−1. Tegu A = B ⊂ N : |B| < ∞ arba |BC | < ∞, £ia |B| rei²kiaaibes B elementu skai£iu, o BC yra aibes B papildinys. (Isitikinkite, kad A yra Npoaibiu algebra!) Nagrinekime funkcij¡ ϕ(A) =

∑n∈A an, A ∈ A. Tuomet nesunku

pastebeti, kad teisingos (i) ir (iii) s¡lygos, bet (ii) nera tenkinama.

Kitas apibreºimas turetu buti gerai ºinomas:

7http://www.ams.org/journals/tran/1952-072-01/S0002-9947-1952-0045194-X/home.html


3.3 apibreºimas . Adityvus matas ϕ ∈ Φ vadinamas σ-adityviu, jei bet kuriaiporomis nesikertan£iu Ω poaibiu sekai Ai∞i=1 ⊂ A tokiai, kad ∪∞

i=1Ai ∈ A, galiojalygybe

ϕ (∪∞i=1Ai) =

∞∑i=1

ϕ(Ai).

Adityvaus mato σ-adityvumo savybe yra ekvivalenti²ka tokio mato tolydumuitu²£ioje aibeje, t.y. teisinga tokia teorema:

3.10 teorema . Adityvus matas ϕ ∈ Φ yra σ-adityvus tada ir tik tada, kai betkuriai sekai Ai∞i=1 ⊂ A tokiai, kad A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ · · · ir

∩∞i=1Ai = ∅,

limi→∞ ϕ(Ai) = 0.

Aibiu algebroje A apibreºt¡ σ-adityvu mat¡ vieninteliu budu (jei matas yra σ-baigtinis, juo labiau, kai galioja (ii)) galima prat¦sti iki σ-adityvaus mato σ-algebrojeσ(A). Tai yra Caratheodory mato prat¦simo teorema, kuri¡ galima rasti J. Kubiliaustikimybiu teorijos vadovelyje [14].

3.11 teorema . Adityviu matu aibe Φ yra tiesine erdve vir² R, t.y.

(i) Jei ϕ1, ϕ2 ∈ Φ, tai ϕ1 + ϕ2 ∈ Φ, £ia (ϕ1 + ϕ2)(A) := ϕ1(A) + ϕ2(A), A ∈ A.

(ii) Jei ϕ ∈ Φ ir α ∈ R, tai αϕ ∈ Φ, £ia (αϕ)(A) := αϕ1(A), A ∈ A.

Toliau panagrinesime dalines tvarkos s¡ry²i erdveje Φ.

3.4 apibreºimas . Jei ϕ ∈ Φ, tai sakysime, kad ϕ yra neneigiamas (ºymesimeϕ ≥ 0), jei ϕ(A) ≥ 0 bet kuriai aibei A ∈ A. Taip pat ra²ysime ϕ ≤ ψ, jei ϕ, ψ ∈ Φir ψ − ϕ ≥ 0.

3.12 teorema . Adityviu matu erdve Φ su dalines tvarkos s¡ry²iu "≥" yra gardele,t.y. bet kuriems ϕ, ψ ∈ Φ galime apibreºti adityvius matus ϕ ∧ ψ (dvieju matuminimum¡) ir ϕ ∨ ψ (dvieju matu maksimum¡):

(ϕ ∧ ψ)(A) := inf B ⊂ A,B ∈ A(ϕ(B) + ψ(A ∩BC)

), A ∈ A, (3.9)

irϕ ∨ ψ := −((−ϕ) ∧ (−ψ)).

(Irodykite teorem¡ ir isitikinkite, kad galioja nelygybes ϕ ∧ ψ ≤ ν ≤ ϕ ∨ ψ, £iaν = ϕ arba ν = ψ.)

3.13 teorema. Tegu ϕ ∈ Φ, o ϕ+ := ϕ∨ 0 ir ϕ− := (−ϕ)∨ 0. Tuomet ϕ = ϕ+−ϕ−ir ϕ+ ∧ ϕ− = 0.

Teoremos irodymas paliekamas skaitytojui.Tarp adityviu matu i²skirsime tokius, kurie yra itin nepana²us i σ-adityvius

matus:

83

3.5 apibreºimas . Tegu 0 ≤ ϕ ∈ Φ. Jei bet kuris σ-adityvus matas ψ, kuriamgalioja nelygybe 0 ≤ ψ ≤ ϕ, yra tapatingai lygus nuliui, tuomet sakysime, kadmatas ϕ yra grynai adityvus. Jei ϕ ∈ Φ ir ϕ+, ϕ− yra grynai adityvus, tuomet irpati mat¡ ϕ vadinsime grynai adityviu.

Toliau pravers keletas σ-adityviu ir grynai adityviu matu savybiu:

3.14 teorema . Jei ϕ, ϕ1, ϕ2 ∈ Φ yra σ-adityvus matai, o α ∈ R, tai tokie yra irϕ1 + ϕ2, αϕ, ϕ1 ∧ ϕ2 bei ϕ1 ∨ ϕ2.

Irodymas. Matu ϕ1 + ϕ2 bei αϕ σ-adityvumas yra tiesiogine teoremu 3.11 ir 3.10pasekme (paliekame skaitytojui tuo isitikinti). Toliau nagrinekime adityvu mat¡ϕ1∧ϕ2. Imkime bet kuri¡ sek¡ Ai∞i=1 ⊂ A toki¡, kad A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ · · · ir∩∞

i=1Ai = ∅. Kadangi (ϕ1∧ϕ2)(Ai) ≤ minϕ1(Ai), ϕ2(Ai) ∀i ∈ N, teisinga nelygybelim infi→∞(ϕ1 ∧ ϕ2)(Ai) ≤ 0. Jei kartais galiotu grieºta nelygybe lim infi→∞(ϕ1 ∧ϕ2)(Ai) < 0, tuomet egzistuotu realus skai£ius t < 0 ir naturaliuju skai£iu sekank∞k=1, nk < nk+1 ∀k, kad ϕ(Ank

) < t∀k. Prisimin¦ mato ϕ1 ∧ ϕ2 apibreºim¡,rastume aibes Tnk

∈ A, k = 1, 2, . . . , kurioms galiotu

Tnk⊂ Ank

ir ϕ1 (Tnk) + ϕ2

(Ank

∩ TCnk

)< t ∀k.

Vadinasi, su kiekvienu k ∈ N, arba ϕ1 (Tnk) < t/2 arba ϕ2

(Ank

∩ TCnk

)< t/2. O

tai rei²kia, kad bent viena i² seku ϕ1 (Tnk)∞k=1 ir ϕ2

(Ank

∩ TCnk

)∞k=1 turi begalini

poseki, kurio kiekvienas elementas yra maºesnis uº t/2. Kadangi

∞∩k=1

Tnk=

∞∩k=1

(Ank∩ Tnk

) = ∅,

gauname prie²tar¡ prielaidai, kad ϕ1 ir ϕ2 yra σ-adityvus matai (ºr. 3.10 teorem¡).Vadinasi, musu prielaida, kad lim infi→∞(ϕ1 ∧ ϕ2)(Ai) < 0 yra neteisinga, todel

lim infi→∞(ϕ1 ∧ ϕ2)(Ai) ≥ 0, o atsiºvelgus, kad jau yra irodyta lim infi→∞(ϕ1 ∧ϕ2)(Ai) ≤ 0, i²plaukia lygybe lim infi→∞(ϕ1∧ϕ2)(Ai) = 0. Visi²kai taip pat gaunameir lygyb¦ lim supi→∞(ϕ1 ∧ ϕ2)(Ai) = 0, todel limi→∞(ϕ1 ∧ ϕ2)(Ai) = 0, o tai rei²kia,kad ϕ1 ∧ ϕ2 yra σ-adityvus matas.

Mato ϕ1 ∨ ϕ2 σ-adityvumas i²plaukia i² jau irodytos dalies ir apibreºimo, nes−ϕi yra σ-adityvus, jei toks yra ϕi, i = 1, 2.

Toliau irodysime dar vien¡ σ-adityvaus mato charakterizacij¡:

3.15 teorema . Jei ϕ ∈ Φ ir egzistuoja σ-adityvus matai ψ1, ψ2, kad ψ1 ≤ ϕ ≤ ψ2,tai ϕ yra σ-adityvus.

Irodymas. Nemaºindami bendrumo galime tarti, kad ψ1 = 0. I² tiesu, jei ϕ−ψ1 ≥ 0butu σ-adityvus, tuomet toks butu ir ϕ (ºr. 3.14 teorem¡). Toliau nagrinekimesek¡ Ai∞i=1 ⊂ A toki¡, kad A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ · · · ir

∩∞i=1Ai = ∅. Nesunku

pastebeti, kad galioja nelygybes 0 ≤ ϕ(Ai) ≤ ψ2(Ai), i = 1, 2, . . . . Be to, teisingalimi→∞ ψ2(Ai) = 0. Vadinasi, ir limi→∞ ϕ(Ai) = 0, o tai rei²kia, kad ϕ yra σ-adityvus.


3.16 teorema . Tegu 0 ≤ ϕ ∈ Φ. Tuomet ϕ yra grynai adityvus matas tada ir tiktada, kai bet kuriam σ-adityviam matui ψ ≥ 0 galioja lygybe ϕ ∧ ψ = 0.

Irodymas. Tegu ϕ yra grynai adityvus, neneigiamas matas, o ψ ≥ 0 yra bet koksσ-adityvus matas. Tuomet, jei ν := ϕ ∧ ψ ∈ Φ, tai 0 ≤ ν ≤ ψ ir i² 3.15 teoremosgauname, kad ν yra σ-adityvus. Be to, 0 ≤ ν ≤ ϕ, o todel ν = 0, nes ϕ yra grynaiadityvus.

Atvirk²£iai, jei ϕ ∧ ψ = 0 su bet kuriuo σ-adityviu matu 0 ≤ ψ ∈ Φ, tai ϕ yragrynai adityvus, nes prie²ingu atveju egzistuotu σ-adityvus matas ν = 0 toks, kad0 ≤ ν ≤ ϕ. Bet tada ν ∧ ϕ ≥ ν = 0, prie²tara.

3.17 teorema . Jei ϕ, ϕ1, ϕ2 ∈ Φ yra grynai adityvus matai, o α ∈ R, tai tokie yrair ϕ1 + ϕ2, αϕ, ϕ1 ∧ ϕ2 bei ϕ1 ∨ ϕ2.

Irodymas. I² pradºiu nagrinekime atveji ϕ1, ϕ2 ≥ 0. Remsimes 3.16 teorema. Teguψ ≥ 0 yra bet koks σ-adityvus matas. Parodysime, kad (ϕ1 + ϕ2) ∧ ψ = 0. Imkimebet koki¡ aib¦ A ∈ A. Tuomet mums reikia parodyti, kad

0 = ((ϕ1 + ϕ2) ∧ ψ)(A) = infB⊂A,B∈A

(ϕ1(B) + ϕ2(B) + ψ(A ∩BC)

).

Tegu ε > 0 yra laisvai pasirinktas. Tuomet egzistuoja aibesB1, B2 ∈ A, kad ϕ1(B1)+ψ(A ∩BC

1 ) < ε/2 ir ϕ2(B2) + ψ(A ∩BC2 ) < ε/2, nes ϕ1 ∧ ψ = ϕ2 ∧ ψ = 0. Todel

0 ≤ ((ϕ1 + ϕ2) ∧ ψ)(A) ≤ ϕ1

(B1 ∩B2

)+ ϕ2

(B1 ∩B2

)+ ψ

(A ∩

(B1 ∩B2

)C)≤ ϕ1

(B1

)+ ϕ2

(B2

)+ ψ

(A ∩BC

1

)+ ψ

(A ∩BC

2

)≤ ε/2 + ε/2 = ε.

Vadinasi, 0 = (ϕ1+ϕ2)∧ψ, nes ε ir A buvo parinkti laisvai. O tai rei²kia, kad ϕ1+ϕ2

yra grynai adityvus. Jei ϕ1, ϕ2 nebutinai neneigiami, tuomet pakanka pasinaudotilygybemis ϕi = ϕi,+ − ϕi,−, i = 1, 2, ir jau irodyta dalimi.

Jei ϕ1 ir ϕ2 yra grynai adityvus, tuomet pagal 3.5 apibreºim¡ tokie yra ir ϕ1 ∨ 0bei ϕ2∨0. Kadangi (ϕ1+ϕ2)∨0 ≤ ϕ1∨0+ϕ2∨0, o de²inioji puse yra grynai adityvipagal jau irodyt¡ dali, tai i² £ia pagal grynai adityvaus mato apibreºim¡ gauname,kad grynai adityvus yra ir (ϕ1+ϕ2)∨0. Analogi²kai parodome, kad grynai adityvusyra ir −(ϕ1 + ϕ2) ∧ 0) = (−ϕ1 − ϕ2) ∨ 0. Taigi gauname, kad ϕ1 + ϕ2 yra grynaiadityvus.

Jei ϕ1, ϕ2 ≥ 0, tai 0 ≤ ϕ1 ∧ ϕ2 ≤ ϕ1 ∨ ϕ2 ≤ ϕ1 + ϕ2, todel ²iuo atveju ϕ1 ∧ ϕ2 irϕ1∨ϕ2 yra grynai adityvus matai. Bendruoju atveju, pastebesime, kad (ϕ1∨ϕ2)∨0 =(ϕ1∨0)∨(ϕ2∨0) ir (ϕ1∨ϕ2)∧0 = (ϕ1∧0)∨(ϕ2∧0), todel bendrasis atvejis suvedamasi auk²£iau irodyt¡ neneigiamu matu atveji.

Paskutinis teoremos teiginys gaunamas po keliu ºingsniu:

• I² pradºiu parodysime, kad αϕ yra grynai adityvus, jei toks yra ϕ ir α ≥ 0.

• Kadangi (−ϕ)+ = ϕ− ir (−ϕ)− = ϕ+, ϕ ∈ Φ, αϕ bus grynai adityvus, jei toksyra ϕ ir α < 0.

85

• Bendr¡ji atveji gausime i²skaid¦ αϕ = αϕ+ − αϕ− ir pasinaudoj¦ ankstesniuatveju rezultatais.

Pirm¡ji atveji irodysime pasirem¦ 3.16 teorema. Tegu ψ ≥ 0 yra σ-adityvusmatas, o A ∈ A. Tuomet

(αϕ ∧ ψ)(A) = infB⊂A,B∈A

(αϕ(B) + ψ

(A ∩BC

)),

kuris akivaizdºiai lygus nuliui, jei α ≥ 0 ir ϕ ≥ 0 (Isitikinkite!).

3.18 teorema . (YosidaHewitt'o teorema) Bet kuri mat¡ ϕ ∈ Φ vieninteliu budugalima uºra²yti kaip sum¡ ϕ = ϕc+ϕp, £ia ϕc yra σ-adityvus matas, o ϕp yra grynaiadityvus matas.

Irodymas. I² pradºiu nagrinesime atveji, kai ϕ ≥ 0. Tuomet ir ie²komieji ϕc, ϕp ∈ Φbus neneigiami. Be to, skaidinio vienati paliksime bendrajam atvejui.

Apibreºkime matu ²eim¡ Γ = γ ∈ Φ|0 ≤ γ ≤ ϕ ir skai£iu

α = supγ∈Γ

γ(Ω).

Akivaizdu, kad 0 ≤ α ≤ ϕ(Ω) < +∞. Parinkime bet koki¡ sek¡ γn∞n=1 ⊂ Γ, sukuria limn→∞ γn(Ω) = α. Apibreºkime

γn := γ1 ∨ γ2 ∨ · · · ∨ γn, n = 1, 2, . . . .

I² 3.14 teoremos gauname, kad γn yra σ-adityvus bet kuriam n ∈ N. Pasirem¦Carathéodory theorema, prat¦skime matus γn i σ-algebr¡ σ(A). Jie i²liks σ-adityvus,o mes ir toliau juos ºymesime taip pat. Akivaizdu, kad γ1 ≤ γ2 ≤ · · · ≤ γn ≤ · · · irkad visoms A ∈ σ(A) egzistuoja baigtine riba limn→∞ γn(A). Apibreºkime ϕc(A) :=limn→∞ γn(A), kai A ∈ σ(A). Tuomet remiantis Nikodym'o teorema, kitaip dar vad-inama VitaliHahn'oSaks'o teorema,8 ϕc yra σ-adityvus matas σ-algebroje σ(A).Apriboj¦ ²io mato apibreºimo sriti iki A, gausime ie²kom¡ σ-adityvu mat¡ ϕc. Darapibreºkime ϕp := ϕ − ϕc. Nesunku pastebeti, kad ϕp yra neneigiamas adityvusmatas. Tad liko parodyti, kad ϕp yra grynai adityvus. Tegu ψ ∈ Φ yra σ-adityvusir tenkina nelygybes 0 ≤ ψ ≤ ϕ − ϕc. Tuomet ϕc ≤ ψ + ϕc ≤ ϕ. Jei ψ = 0, taiψ(Ω) > 0 ir tuomet (ψ + ϕc)(Ω) > ϕc(Ω) = α. Prie²tara, ir todel ϕp yra grynaiadityvus.

Bendruoju atveju, uºra²ykime ϕ = ϕ+−ϕ−. Remiantis jau irodyta dalimi, galimapara²yti:

ϕ+ = ϕ+c + ϕ+

p ir ϕ− = ϕ−c + ϕ−

p .

Taigi, ϕ = (ϕ+c − ϕ−

c ) + (ϕ+p − ϕ−

p ). Pagal 3.14 teorem¡, ϕ+c − ϕ−

c yra σ-adityvusmatas. Analogi²kai, pagal 3.17 teorem¡, ϕ+

p − ϕ−p yra grynai adityvus matas.

Taigi liko irodyti tik gautojo skaidinio vienati. Tarkime, kad egzistuoja du skai-diniai ϕ = ϕc,1 + ϕp,1 = ϕc,2 + ϕp,2, £ia ϕc,i, i = 1, 2, yra σ-adityvus matai, o

8http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC223367/pdf/pnas00112-0056.pdf


ϕp,i, i = 1, 2, yra grynai adityvus matai. Tuomet ϕp,1 − ϕp,2 = ϕc,2 − ϕc,1. Pasin-audoj¦ 3.17 teorema, galime teigti, kad ϕc,2 − ϕc,1 yra grynai adityvus matas, todeltoks yra ir (ϕc,2−ϕc,1)∨ 0 ≥ 0. Be to, (ϕc,2−ϕc,1)∨ 0 dar yra ir σ-adityvus, todel i²rei²kinio 0 ≤ (ϕc,2−ϕc,1)∨0 = (ϕp,1−ϕp,2)∨0 bei grynai adityvaus mato apibreºimoi²plaukia, kad (ϕc,2 − ϕc,1) ∨ 0 = 0. Analogi²kai gauname ir (ϕc,1 − ϕc,2) ∨ 0 = 0.Todel ir ϕc,1 = ϕc,2. O i² £ia ir ϕp,1 = ϕp,2.

87

F. Erdves L∞(Ω,F ,P) jungtine erdve


1. K. Yosida ir E. Hewitt, Finitely additive measures, Trans. Amer. Math. Soc.72 (1952), 4666. [21]


1. Adityvus, σ-adityvus ir grynai adityvus matai (ºr. E. dali);

2. Lebego integralo konstrukcija.

is skyrelis prat¦s paºinti su adityviais matais ir charakterizuos erdves L∞(Ω,F ,P)jungtin¦ erdv¦ ba(Ω,F ,P).

I² pradºiu irodysime kelet¡ teiginiu apie grynai adityvius matus. Kaip ir ankstes-niame skyrelyje, nagrinekime abstrak£i¡ aib¦ Ω ir jos poaibiu algebr¡A. Priminsime,kad Φ = Φ(Ω,A) yra algebroje A apibreºtu adityviu matu klase.

3.19 teorema. Tegu 0 ≤ ϕ ∈ Φ. Tuomet ϕ yra grynai adityvus tada ir tik tada, kaibet kuriems neneigiamam σ-adityviam matui ψ, aibei A ∈ A ir skai£iams α, β > 0egzistuoja poaibis T ⊂ A, T ∈ A toks, kad ψ(T ) < α ir ϕ

(A ∩ TC

)= ϕ(A \ T ) < β.

Irodymas. I²plaukia i² 3.16 ir (3.9). (Isitikinkite!)

3.8 pastaba . Pastaroji teorema idomiausia, kai α ir β yra maºi. Ji teigia, kad betkuri¡ A ∈ A galime padalyti i du nesikertan£ius poaibius, kurie priklausytu algebraiA ir viename i² ju matas ϕ butu maºas, o kitame maºas butu matas ψ, t.y. jei matasϕ kokiame nors poaibyje (ai²ku, nagrinejame tik algebrai A priklausan£ius poaibius)yra sutelk¦s maºai mases, tai matas ϕ negali buti sutelk¦s kaip norima maºai savomases tame pa£iame poaibyje, ir atvirk²£iai.

Kai ksuotoji algebra A kartu yra ir σ-algebra, galime pasakyti kiek daugiau:

3.20 teorema . Tarkime, A = σ(A). Tegu 0 ≤ ϕ ∈ Φ yra grynai adityvus matas, o0 ≤ ψ ∈ Φ yra σ-adityvus matas. Tuomet bet kuriam ε > 0 egzistuoja aibe A ∈ Atokia, kad ϕ

(AC)= 0 ir ψ(A) < ε.

Irodymas. Laisvai pasirinkime ε > 0. Toliau rekurenti²kai konstruosime aibiu sek¡,kiekviename ºingsnyje bandydami rasti dar didesn¦ aib¦, kurioje matas ψ butusutelk¦s vis dar ne daugiau kaip ε savo mases, o matas ϕ butu sutelk¦s dar truputidaugiau savo mases. Kaskart remsimes 3.19 teorema, maºindami α ir β.

Pirmame ºingsnyje, kai n = 1, renkames A1 = D0 = Ω, α1 = ε/2 ir β1 = ϕ(Ω)/2.Remdamiesi 3.19 teorema, randame poaibi T1 ⊂ A1 toki, kad T1 ∈ A, ψ(T1) <α1 = ε/2, ϕ(A1 \ T1) < β1, o todel ir ϕ(T1) > ϕ(Ω)/2. Jei kartais, ϕ

(TC1

)= 0,

tuomet teoremoje minim¡ aib¦ galime apibreºti lygybe A = T1. Jei taip nera, t.y.ϕ(TC1

)> 0, tuomet paºymekime D1 := A1 \ T1 = D0 \ T1 = TC

1 ir procedur¡kartokime.

Taigi, kai n = 2, renkames A2 = D1, α2 = α1/2 ir β2 = ϕ(D1)/2. Remdamiesi3.19 teorema, randame poaibi T2 ⊂ A2 toki, kad T2 ∈ A, ψ(T2) < α2 = ε/4,


ϕ(A2 \ T2) < β2, o todel ir ϕ(T1 ∪ T2) = ϕ(T1) + ϕ(T2) > ϕ(T1) + ϕ(D1)/2 =ϕ(T1) + (ϕ(Ω) − ϕ(T1))/2 > ϕ(Ω)(1/2 + 1/4). Be to, ψ(T1 ∪ T2) < ε(1/2 + 1/4).Jei kartais, ϕ(D1 \ T2) = 0, tuomet teoremoje minim¡ aib¦ galime apibreºti lygybeA = T1 ∪ T2 = (D1 \ T2)C . Jei taip nera, t.y. ϕ(D1 \ T2) > 0, tuomet paºymekimeD2 := D1 \ T2 = (T1 ∪ T2)C ir procedur¡ t¦siame.

Tarkime, jau atlikome n = k ≥ 3 ºingsnius ir radome aibes T1, . . . , Tk, Ti ∈ A,kad

ψ

(k∪

i=1

Ti

)<

k∑i=1

ε

2i=(1− 2−k

)ε (3.10)

ir

ϕ

(k∪

i=1

Ti

)=

k∑i=1

ϕ(Ti) > ϕ(Ω)k∑

i=1

2−i = ϕ(Ω)(1− 2−k

), (3.11)

tai iteracijas stabdysime, jei ϕ(∩k

i=1 TCi

)= 0, ir tuomet A =

∪ki=1 Ti bus ie²komoji

aibe, minima teoremoje, o jei ne, vel taikysime 3.19 teorem¡, imdami Ak+1 = Dk =∩ki=1 T

Ci , αk+1 = αk/2 ir βk+1 = ϕ(Dk)/2. Tuomet egzistuos poaibis Tk+1 ⊂ Dk toks,

kad Tk+1 ∈ A, ψ(Tk+1) < αk+1 = ε/2k+1 ir ϕ(Dk \ Tk+1) < βk+1, o i² £ia gausime,kad

ψ

(k+1∪i=1

Ti

)<(1− 2−k

)ε+ 2−k−1ε =

(1− 2−k−1

)ε

ir

ϕ

(k+1∪i=1

Ti

)=

k∑i=1

ϕ(Ti) + ϕ(Tk+1) >k∑

i=1

ϕ(Ti) +ϕ(Dk)

2

=k∑

i=1

ϕ(Ti) +1

2

(ϕ(Ω)−

k∑i=1

ϕ(Ti)

)

=1

2

(ϕ(Ω) +

k∑i=1

ϕ(Ti)

)≥ ϕ(Ω)

(1− 2−k−1

).

Taigi yra dvi galimybes:

• iteracijos nutruksta po baigtinio skai£iaus ºingsniu, ir tada ie²komoji aiberasta, arba

• iteracijas t¦sdami be galo daug kartu (remdamiesi matematines indukcijosprincipu) randame poromis nesikertan£iu poaibiu sek¡ Ti∞i=1 ⊂ A, kad (3.10)ir (3.11) galioja visiems k ∈ N. Pastaruoju atveju paºymekime A =

∪∞i=1 Ti.

Kadangi A yra σ-algebra, A ∈ A ir

ϕ(A) > ϕ(Ω)(1− 2−k

)∀k ∈ N.

Perej¦ prie ribos, kai k → ∞, gausime ϕ(A) ≥ ϕ(Ω), kas imanoma tik,jei ϕ(A) = ϕ(Ω) ir todel ϕ

(AC)= 0. Kita vertus, ψ(A) =

∑∞i=1 ψ(Ti) <∑∞

i=1 ε2−i = ε, nes ψ yra σ-adityvus. Taigi A yra ie²kotoji aibe.

89

Apibendrindami gauname toki¡ teorem¡:

3.21 teorema. Tarkime, A = σ(A). Tegu ϕ ir ψ yra adityvus matai, kad ϕ∧ψ = 0.Tegu α ir β yra bet kokie teigiami skai£iai. Tuomet egzistuoja aibe A ∈ A, kadϕ(A) < α ir ψ

(AC)< β. Jei ϕ yra σ-adityvus, tuomet ψ

(AC)galima sumaºinti iki

nulio. Jei ϕ ir ψ abu yra σ-adityvus, tuomet iki nulio sumaºinti galima tiek ϕ(A),tiek ψ

(AC).

Irodymas. Pirmasis teiginys i²plaukia i² teoremos s¡lygu ir 3.9 apibreºimo. Antrasis i² esmes irodytas ankstesneje teoremoje (Pakomentuokite pla£iau!), o tre£iasis taippat gaunamas analogi²kai (Velgi reiketu pakomentuoti pla£iau!).

Dabar pereikime prie erdves L∞ = L∞(Ω,F ,P) ir jai jungtines erdves. Kaippaprastai susitarta, F ºymi aibes Ω poabiu σ-algebr¡. Nagrinekime jos poklasi Nsudaryt¡ i² tokiu aibiu A ∈ F , kuriu visi poaibiai taip priklauso poklasiui N . Daºni-ausiai toki poklasi gauname nagrinedami nulines (mato P atºvilgiu) aibes ir jas visasprijungdami prie σ-algebros F , ta£iau bendriausiuoju atveju mato P apibreºimamsnereikia.

Jei X : Ω → R yra atsitiktinis dydis, tai

||X||∞ := ess sup|X|

:=

infα : ω : |X(ω)| > α ∈ N, jei pastaroji aibe netu²£ia;+∞, kitu atveju.

=

infα : P(|X| > α) = 0, jei pastaroji aibe netu²£ia;+∞, kitu atveju.

I² funkcines analizes ºinome, kad L∞ yra Banacho erdve su norma || · ||∞, jeisutapatiname atsitiktinius dydºius, kuriu skirtumo || · ||∞-norma lygi nuliui, kitaiptariant (musu nagrinejamos pilnos erves su matu (Ω,F ,P) atveju), atsitiktiniai dy-dºiai lygus P-beveik tikrai.

Kita teorema apibudina erdvei L∞ jungtin¦ erdv¦.

3.22 teorema. Jei F yra tiesinis ir apreºtas funkcionalas erdveje L∞(Ω,F ,P), taiegzistuoja adityvus matas ϕ ∈ Φ(Ω,F) toks, kad

F (X) =

ˆΩ

X(ω)dϕ(ω) ∀X ∈ L∞(Ω,F ,P) (3.12)

ir ϕ(N) = 0, jei N ∈ N .Atvirk²£iai, jei ϕ ∈ Φ(Ω,F) yra toks, kad ϕ(N) = 0 bet kuriai N ∈ N , tai (3.12)

formule apibreºia apreºt¡, tiesini funkcional¡ erdveje L∞(Ω,F ,P). Funkcionalui Fir matui ϕ, susietiems (3.12) formule, teisinga ||F || = ϕ+(Ω) + ϕ−(Ω) = |ϕ|(Ω).

Irodymas. Integral¡ (3.12) formuleje apibreºiame analogi²kai kaip ir Lebego inte-gral¡, tik reikia naudoti funkcijos X reºius ess supX ir ess infX visur, i²kyrus nuliniomato aib¦.


Tada pradedami nuo tiesinio, apreºto funkcionalo F erdveje L∞, nagrinejamelaisvai pasirinkt¡ aib¦ A ∈ F ir jos indikatoriu 1A. Akivaizdu, kad 1A ∈ L∞ ir||1A||∞ = 0, jei P(A) = 0 arba ||1A||∞ = 1, jei P(A) > 0. Abiem atvejais F (1A) =:ϕ(A) ∈ R. Del funkcionalo F tiesi²kumo, taip apibreºta poaibiu funkcija ϕ yraadityvi, taip pat nevir²ija funkcionalo F normos ||F ||. Tegu X ∈ L∞. Paºymekimea = ess infω∈ΩX(ω) ir b = ess supω∈ΩX(ω). Nagrinekime aibes

Ai := ω : ((n−i)a+ib)/n ≤ X(ω) < ((n−i−1)a+(i+1)b)/n, i = 0, 1, . . . , n−2,

irAn−1 := ω : ((n− 1)b+ a)/n ≤ X(ω) ≤ b.

Tegu

Pn :=n−1∑i=0

(n− i)a+ ib

n1Ai

.

Tuomet nesunku pastebeti, kad ||Pn −X||∞ ≤ (b− a)/n ir todel

F (X) = limn→∞

F (Pn) = limn→∞

n−1∑i=1

(n− i)a+ ib

nϕ(Ai) =

ˆΩ

X(ω)dϕ(ω).

Taigi, F galima uºra²yti (3.12) formule.Atvirk²£ias teiginys lengvesnis. Bet kuris aditivus matas, tenkinantis teoremos

s¡lygas, (3.12) formule apibreºia tiesini, apreºt¡ funkcional¡ erdveje L∞.Liko suskai£iuoti ||F || = sup||X||∞≤1 |F (X)|. Duot¡ F atitinkanti adityvu mat¡

ϕ i²skaidykime: ϕ = ϕ+ − ϕ−, £ia ϕ+ ∧ ϕ− = 0. Todel pasirem¦ 3.21 teorema, betkuriam ε > 0 rasime aib¦ A ∈ F toki¡, kad ϕ+

(AC)< ε ir ϕ−(A) < ε. Tegu

Y = 1A − 1AC . Akivaizdu, kad Y ∈ L∞, ||Y ||∞ ≥ 1 (jei ϕ = 0, tuomet ||Y ||∞ = 1).Taip pat

F (Y ) =

ˆΩ

Y (ω)dϕ+(ω)−ˆΩ

Y (ω)dϕ−(ω)

=

Â

Y (ω)dϕ+(ω) +

ÂC

Y (ω)dϕ+(ω)−Â

Y (ω)dϕ−(ω)−ÂC

Y (ω)dϕ−(ω)

= ϕ+(A)− ϕ+

(AC)− ϕ−(A) + ϕ−

(AC)

> ϕ+(A) + ϕ−(A) + ϕ+

(AC)+ ϕ−

(AC)− 4ε = |ϕ|(Ω)− 4ε.

Kadangi ε > 0 buvo pasirinktas laisvai, ||F || ≥ |ϕ|(Ω).Kita vertus, tegu X ∈ L∞ ir ||X||∞ ≤ 1. Tuomet P(ω : |X(ω)| > 1) = 0 ir∣∣∣∣ˆ

Ω

X(ω)dϕ(ω)

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ˆΩ

maxminX(ω), 1,−1dϕ(ω)∣∣∣∣

todel nemaºindami bendrumo galime manyti, kad |X(ω)| ≤ 1 kiekvienam ω ∈ Ω.

91

Vadinasi, ∣∣∣∣ˆΩ

X(ω)dϕ(ω)

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ˆΩ

X(ω)dϕ+(ω)−ˆΩ

X(ω)dϕ−(ω)

∣∣∣∣≤∣∣∣∣ˆ

Ω

X(ω)dϕ+(ω)

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ˆΩ

X(ω)dϕ−(ω)

∣∣∣∣≤ ϕ+(Ω) + ϕ−(Ω) = |ϕ|(Ω).

Taigi irodeme, kad ||F || = |ϕ|(Ω).

Literatura

[1] C. Acerbi, Spektral measures of risk: A coherent representation of subjectiverisk aversion, Journal of Banking & Finance 26 (2002), 15051518.

[2] C. Acerbi and D. Tasche, On the coherence of expected shortfall, Journal ofBanking & Finance 26 (2002), no. 7, 14871503.

[3] P. Artzner, F. Delbaen, J-M. Eber, and D. Heath, Coherent measures of risk,Mathematical Finance 9 (1999), no. 3, 203228.

[4] C. Bluhm, L. Overbeck, and C. Wagner, An introduction to credit risk modeling,Financial Mathematics Series, Chapman & Hall/CRC, 2003.

[5] L. Brand and R. Bahar, Corporate defaults: Will things get worse before theyget better?, Standard and Poor's Credit week, January 31, 2001.

[6] A. S. Cherny and P. G. Grigoriev, Dilation monotone risk measures are lawinvariant, Finance and Stochastics 11 (2007), 291298.

[7] A. S. Cherny and D. B. Madan, Coherent measurement of factor risks, http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=904543.

[8] R. M. Dudley, Real Aanalysis and Probability, 2nd ed., Cambridge studies inadvanced mathematics, vol. 74, Cambridge University Press, 2002.

[9] D. Filipovi¢ and G. Svindland, The canonical model space for law-invariantconvex risk measures in L1, Viena Institute of Finance Working paper series,working paper No. 2, 3 November 2008.

[10] H. Föllmer and A. Schied, Convex measures of risk and trading constraints,Finance and Stochastics 6 (2002), 429447.

[11] G. A. Holton, Dening risk, Financial Analysts Journal 60 (2004), no. 6, 1925.

[12] P.J. Huber, Robust statistics, Wiley series in probability and mathematicalstatistics, Wiley, 1981.

[13] E. Jouini, W. Schachermayer, and N. Touzi, Law invariant risk measures havethe Fatou property, Advances in Mathematical Economics (S. Kusuoka andA. Yamazaki, eds.), vol. 9, Springer, 2006, pp. 4971.

92

LITERATURA 93

[14] J. Kubilius, Tikimybiu teorija ir matematine statistika, VU leidykla, Vilnius,1996.

[15] S. Kusuoka, On law invariant coherent risk measures, Departamental bulletinpaper, University of Tokyo, 2001.

[16] C. Marrison, The fundamentals of risk measurement, McGraw-Hill, 2002.

[17] V. Paulauskas and Ra£kauskas A., Funkcine analize. I knyga. Erdves, Vaistuºinios, 2007.

[18] , Funkcine analize. II knyga. Funkcijos ir lygtys, Vaistu ºinios, 2007.

[19] W. Rudin, Functional analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, 1991.

[20] V. Valvonis, iuolaikinis kredito rizikos vertinimas banke: paskolu portfeliorizika ir ekonominio kapitalo paskirstymas, Pinigu studijos De²imtieji metai

(2006), no. 2, 5874.

[21] K. Yosida and E. Hewitt, Finitely additive measures, Trans. Amer. Math. Soc.72 (1952), 4666.

Documents

uosis.mif.vu.ltuosis.mif.vu.lt/~mmartynas/rizikos_valdymas_magistrams.pdf · Turinys 1 Finansu staigosi ir juasdienke rizika 4 1.1 Rizikosu²ysr . . . . . . . . . . . . . . .